1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
ESCUELA DE ELECTRICIDAD
EXTENSIÓN SAN FELIPE
Integrantes:
Rubén Rodríguez
Oswaldo Pérez
Antony Muñoz
Prof. MariennyArrieche
5to
Semestre
Escuela 70
SAN FELIPE JULIO 2013
FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA Y
RESPUESTA EN
FRECUENCIA

2. Respuesta en Frecuencia
La respuesta de frecuencia es una característica de un sistema que tiene
una respuesta medida que es el resultado de una entrada conocida aplicada. En el
caso de una estructura mecánica, la respuesta de frecuencia es el espectro de la
vibración de la estructura, dividido entre el espectro de la fuerza de entrada al
sistema. Para medir la respuesta de frecuencia de un sistema mecánico, hay que
medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta de
vibración .Esto se hace más fácilmente con un analizadorTRF.Las mediciones de
respuesta de frecuencia se usan mucho en el análisis modal de sistemas
mecánicos.
La función de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que
consiste en amplitud vs fase vs frecuencia. Por eso una gráfica verdadera de ella
necesita tres dimensiones, lo que es difícil de representar en papel. Una manera
de realizar esto es la llamada gráfica de Bode, que consiste en dos curvas, una de
amplitud vs frecuencia, y una de fase vs frecuencia. Otra manera de ver la función
es de resolver la porción de fase en dos componentes ortogonales, una parte en
fase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase (llamada la parte
imaginaria o parte de la cuadratura).
Bode
Un diagrama de Bode consta de dos gráficas, una para la amplitud de
salida y otra para el desfase de salida. Se los denominará respectivamente
diagrama de ganancias y diagrama de fases. Los dos diagramas representan las
frecuencias de forma logarítmica en el eje de abscisas empleando rad/s.
El diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de
la señal de salida transformados a decibelios. El diagrama de fases representa en
el eje de ordenadas el desfase de la señal de salida en grados.

3. En realidad, el uso de los decibelios como unidad de medida es una forma
solapada de representar la amplitud de salida en escala logarítmica. Conviene
resaltar que los logaritmos son siempre decimales, no neperianos. El factor 20 de
la (ecu.1) se debe en parte al uso de la fracción del belio y en parte al empleo de
la potencia de la señal, lo que hace que haya que elevar al cuadrado la amplitud
dentro del logaritmo y salga fuera de él como un factor de dos. En el eje
logarítmico de frecuencias se denomina década a cualquier intervalo que va desde
una determinada frecuencia hasta otra diez veces mayor. Se denomina octava a
cualquier intervalo que va desde una frecuencia hasta su doble.
Trazas de Bode
Trazas de esquina o trazas asintóticas
El diagrama de Bode ha recibido también los nombres de trazas de
esquinas o trazas asintóticas ya que las trazas de Bode se pueden construir
empleando aproximaciones en línea recta que son asintóticas a la gráfica real. En
términos simples las trazas de Bode tienen las siguientes características:
1. El diagrama de bode consta de dos trazados los mismos que están
representados en función de la frecuencia en escala logarítmica.
Diagrama del logaritmo del módulo de una función de transferencia
Diagrama del ángulo de fase
2. La representación común de la magnitud logarítmica de G (jw) es 20logG (jw),
donde la base del logaritmo es 10. En la representación logarítmica se dibujan con
escala logarítmica para la frecuencia y la escala para cualquier magnitud (en
decibelios) o el ángulo de fase (en grados).
3. En los diagramas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos
de octavas o décadas.
a. Una octava es una banda de frecuencia de w1 a 2 w1, donde w1 es
cualquier frecuencia.

4. b. Una década es una banda de frecuencia de w1 a 10 w1, donde w1 es
cualquier frecuencia.
4. Ya que la magnitud de G (jw) en las trazas de Bode se expresa en dB, los
factores de producto y división de G (jw) se vuelve adiciones y sustracciones,
respectivamente. Las relaciones de fase también son sumadas y restadas entre sí
de manera algebraica como se indicó en la propiedad de los logaritmos expuesta
al principio del ensayo.
5. La gráfica de magnitud de las trazas de Bode de G (jw) se puede aproximar
mediante segmentos de línea recta, lo que permite el simple bosquejo de las
trazas sin cálculos detallados.
6. El diagrama de Bode de una función de transferencia G(s), que contiene varios
ceros y polos, se obtiene sumando la gráfica debida a cada polo y cero
individuales. La magnitud asintótica total se puede dibujar sumando las asíntotas
debidas a cada factor. La característica de fase total, ϕ (w), se obtiene sumando la
fase debida a cada factor.
7. El diagrama de Bode de un factor de cero (1+jwτ) se obtiene de la misma forma
que para el del polo. Sin embargo, la pendiente es positiva en 20 dB/década y el
ángulo de fase es ϕ (w)=tan-1wt.
8. Ya que la aproximación en línea recta de las trazas de Bode es relativamente
fácil de construir, los datos necesarios para otras trazas en el dominio de la
frecuencia, tales como la traza polar y la traza de magnitud-fase, pueden ser
fácilmente generados a partir de las traza de Bode.
Ventajas de las trazas de Bode
En ausencia de una computadora, las trazas de Bode se pueden bosquejar
por la aproximación de magnitud y fase con segmentos de línea recta.
El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de fase se determinan
más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza de Nyquist.

5. Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus
parámetros se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que
sobre la traza de Nyquist.
La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode es que la multiplicación
de magnitudes se convierte en suma.
Cuenta con un método simple para dibujar una curva aproximada de
magnitud logarítmica
Desventajas de las trazas de Bode
La estabilidad absoluta y relativa de sistemas de fase mínima se puede
determinar desde las trazas de Bode.
No es posible dibujar las curvas hasta frecuencia cero, debido a la
frecuencia logarítmica (log 0=-∞).

6. Pasos para Construir el Diagrama de Bode
En un diagrama de Bode se representa por un lado el módulo de la función
y por otro la fase . La figura 1 muestra como ejemplo el diagrama de
Bode de un filtro paso baja de primer orden, cuya función de transferencia es:
Figura 1: Diagrama de bode de un filtro paso baja de primer orden
A la hora de elaborar un diagrama de Bode hay que prestar atención al
hecho de que la escala correspondiente al eje de frecuencias es logarítmica.
¿Qué es una escala logarítmica y por qué usarla? Las escalas logarítmicas
se emplean cuando se quieren representar datos que varían entre sí varios
órdenes de magnitud (como en el ejemplo de la figura 1, en el que la frecuencia
varía entre 1 rad/s y 106
rad/s). Si hubiésemos empleado una escala lineal, sólo
apreciaríamos bien los datos correspondientes a las frecuencias mayores mientras
que, por ejemplo, todos los puntos por debajo de 104
rad/s se
representarían en la centésima parte del eje de abscisas. Esto se muestra, como
ejemplo, en la Figura 2.

7. Figura 2: módulo de la función de transferencia empleando una escala lineal en el
eje de frecuencias
Para evitar este problema se usan las escalas logarítmicas, que permiten
representar en un mismo eje datos de diferentes órdenes de magnitud,
separándolos en décadas. Para ello, en lugar de marcar sobre el eje la posición
del dato que queremos representar se marca la de su logaritmo decimal. Esto se
hace aprovechando la siguiente propiedad de los logaritmos:
De este modo, el orden de magnitud (D) establece un
desplazamiento,separando una década (D = i) de la siguiente (D = i + 1) y los
puntos correspondientes a un mismo orden de magnitud (década) tienen el mismo
espacio para ser representados que los pertenecientes a una década superior.
Como ejemplo, en la figura 3 se indica dónde se ubicarían en un eje logarítmico
los puntos correspondientes a 60, 600 y 6000.

8. Figura 3: representación de puntos en una escala logarítmica
Obsérvese que otra particularidad del diagrama de Bode en módulo es que
se representa en dB. Es decir, en lugar de representar se representa 20
log . Ésta es otra forma de poder visualizar también funciones de
transferencia que pueden variar en varios órdenes de magnitud.
NOTA IMPORTANTE: no confundir representar los datos en escala
logarítmica (como se hace con el eje de frecuencias del diagrama de Bode) con
representar el logaritmo de los datos, o algo proporcional (como en el eje de
ordenadas del diagrama de Bode en módulo). Cuando se usa una escala
logarítmica se cambia la posición de los puntos respecto de una escala lineal, pero
se siguen etiquetando con su valor (10, 60, 100, 600,… en la figura 3).
Análisis de Estabilidad utilizando el Diagrama de Bode
La siguiente figura resume el concepto de estabilidad absoluta en un
sistema identificado con una función de transferencia Gs y un controlador con una
función de transferencia Gc. Rompiendo el lazo cerrado y aplicando una señal
senoidal A y consigna U igual a cero, se transmite por el otro extremo una señal B
que es opuesta a la realimentación o señal de medida Y, ya que Y cambia de
signo en el nudo de señales. En estas condiciones, el sistema convierte la señal A
en otra señal Y que tendrá un determinado retraso de fase. Si el retraso de Y
respecto de A no puede llegar a 180º para ninguna frecuencia, entonces puede
cerrarse el lazo, uniendo B con A, sin que las oscilaciones aumenten, porque B

9. también tendrá desfase respecto de A y por lo tanto se amortiguan en un cierto
grado, es decir, el sistema consume energía y las oscilaciones disminuyen. Por el
contrario, si el retraso de Y respecto de A sí puede llegar a 180º, entonces las
señales A y B no tendrán desfase, tal como vemos en la figura. En estas
condiciones, la estabilidad depende de la amplitud de la señal Y o la de B, que
serán iguales. Si la amplitud de B es menor que la de A y se cierra el lazo,
resultará un sistema estable, porque la señal A irá perdiendo amplitud, ya que se
iguala con B. Al contrario, si la amplitud de B es mayor o igual que la de A,
resultará un sistema inestable, porque la señal A se mantiene o se incrementa, ya
que se iguala con B.
Es verdad que pueden evitarse señales con una frecuencia tal, que el
retraso no alcance los 180º, pero en la práctica no es aceptable porque toda señal
es siempre una superposición de muchas otras, llamadas armónicos, de modo que
alguna de ellas puede coincidir o acercarse demasiado a la frecuencia que lo
inestabiliza, ese armónico será amplificado por el sistema y terminará dominando
la respuesta. Tampoco ha de olvidarse la influencia de perturbaciones ajenas al
sistema.
Este concepto de estabilidad absoluta solo nos dice si el sistema es estable
o no lo es, pero no nos aporta una medida de la estabilidad. Con los diagramas de
Bode también se puede determinar la estabilidad relativa como se representa en la
siguiente figura. Se conoce como frecuencia de corte (en lazo abierto) a la
frecuencia con la que se anula el módulo (expresado de decibelios), o, lo que es

10. igual, a la frecuencia con la que la ganancia es igual a 1, ya que el logaritmo de 1
es cero. Con frecuencias mayores a la de corte, el módulo es negativo y la
ganancia menor de 1, de modo que el sistema atenúa las oscilaciones de
frecuencias mayores a la de corte. Si el retraso de 180º se alcanza a mayor
frecuencia que la de corte, entonces el sistema es estable porque, como se acaba
de decir, la ganancia es menor de 1. El margen de fase y el margen de ganancia,
marcados en la figura, son una medida de la estabilidad relativa y miden,
respectivamente, el número de grados y el número de decibelios que faltan para
llegar a la inestabilidad. En el ejemplo representado como inestable, se observa
que con el retraso de 180º tenemos un módulo mayor que cero, por lo que la
ganancia será mayor de 1 y si se cierra el lazo (uniendo B con A como en la figura
anterior) aumentarán las oscilaciones.
En lazo cerrado se denomina "banda pasante" al intervalo de frecuencias
entre las que el sistema mantiene buena ganancia, concretamente se corresponde
con una pérdida en módulo de 3 dB. En esta banda de frecuencias responde con
rapidez a las exigencias de control y lógicamente, interesa que la banda pasante
sea grande para que mantenga la capacidad de reaccionar con altas frecuencias.
La banda pasante (en lazo cerrado) coincide aproximadamente con la frecuencia
de corte (en lazo abierto), por lo tanto, aumentar la frecuencia de corte significa
aumentar la velocidad de respuesta del sistema. Sin embargo, a medida que se

11. aumenta la frecuencia de corte disminuyen los márgenes de fase y de ganancia,
acercándose a la inestabilidad.
Para mejorar la respuesta se necesita, en consecuencia, aumentar la
frecuencia de corte a la vez que se disminuye el retraso de fase, de forma que el
módulo siempre sea menor de cero cuando se alcance el retraso de 180º. En el
siguiente tema veremos los diferentes bloques o comportamientos que
caracterizan a todo sistema y a cualquier regulador. Cada bloque tiene su propio
diagrama de Bode característico, de forma que podemos configurar el regulador o
controlador con los bloques que mejor se adapten para mejorar la respuesta del
sistema. Como el controlador y el sistema estarán en serie, sus correspondientes
diagramas de Bode pueden sumarse, lo que permite probar diferentes
configuraciones de control hasta alcanzar el objetivo: Aumentar la frecuencia de
corte y disminuir el retraso de fase sin que se pierda la estabilidad. Para garantizar
en la práctica un comportamiento satisfactorio, el margen de fase debe estar entre
30º y 60º y el margen de ganancia ser superior a 6 dB.