Cours d'optique géométrique
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Cours d'optique géométrique Cours d'optique géométrique Document Transcript

  • A - OPTIQUE• Chapitre I : Lois générales de l’optique géométrique• Chapitre II : Miroirs et lentilles sphériques dans l’approximationde GaussL .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • Chapitre I : Lois générales de loptique géométriqueI – historique I-1) Modèle Géométrique I-2) Modèle Ondulatoire I-3) Modèle CorpusculaireII – Le rayon lumineux II-1) Faisceau lumineux, notion de rayon lumineux II-2) L’approximation de l’optique géométrique II-2-1) L’onde électromagnétique II-2-2) Longueur d’onde de la lumière II-2-3) L’approximation de l’optique géométrique II-3) Propagation de la lumière dans les milieux matériels II-3-1) Absorption et dispersion II-3-2) Propagation en milieu homogène et non homogène II-3-3) Indépendance des rayons lumineuxIII – Les Lois de Descartes III-1) Réflexion et réfraction d’un milieu lumineux III-2) Lois de Descartes III-3) Réfraction III-4) Principe de retour inverse de la lumièreIV – Construction géométrique de Huygens IV-1) Le rayon réfléchi IV-2) Le rayon réfractéV – Réflexion totale V-1) Réfraction limite (n1<n2) V-2) Réflexion totale (n1>n2) V-3) Applications Chapitre I : Lois générales de loptique géométriqueL .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • Introduction Loptique est principalement lensemble des phénomènes perçus par l’œil. La cause de cesphénomènes, la lumière, a été étudiée très tôt dans lhistoire des sciences, au point que tous lesprincipes peuvent sur lesquels reposent l’optique géométrique et loptique ondulatoire sont connuesdepuis le XIXème siècle. Le but de ce chapitre va être dans un premier temps de voir sous quelles conditions les lois deloptique géométrique sont valables, ensuite nous poserons ces lois. Mais dans un premier temps jetons un coup d’œil rapide sur lhistorique de loptique.I – historique I-1) Modèle Géométrique Avant le XVIIème siècle, la nature de la lumière et sa propagation ne sont pas des questionsessentielles. Cependant des notions de rayons lumineux et de retour inverse de la lumière permette àEuclide (300 ans av. J.-C.) de poser les bases de loptique géométrique. Il faut attendre le XIème siècle pour quAlhazen, physicien arabe attribue à la lumière une origineextérieure à l’œil, définisse la notion dimages et interprète la formation des images dans l’œil. Au XVIIème siècle, Descartes, Fermat et Newton donnent à loptique géométrique sa véritablegrandeur ainsi Descartes énonce ces fameuses lois et propose un modèle corpusculaire, Fermatpropose une optique basée sur un principe de moindre action et Newton publie en 1704 « optics » oùils présentent les lentilles, prismes et miroirs que nous verrons tout au long de ce cours. I-2) Modèle Ondulatoire Dès la fin du XVIIème siècle, Huygens suggéra une théorie ondulatoire de la lumière permettantde retrouver les résultats de loptique géométrique compatibles avec une vitesse de la lumière plusgrande dans l’air que dans les milieux matériels. La découverte, les siècles suivant des phénomènesdinterférence de diffraction imposent cette théorie, suite aux travaux de Fresnel. I-3) Modèle Corpusculaire En 1906, Planck et Einsstein reviennent à un modèle corpusculaire en introduisant des quantasd’énergie appelées photons : particules sans masse et d’énergie ε=hν déplaçant à la célérité de lalumière. Les deux modèles ondulatoires et corpusculaires, sont assez cohérents et se complètent. Cette Dualité onde-corpuscule pour la lumière est alors généralisée aux particules dans lathéorie de la mécanique quantique par : De Broglie, Bohr, Heisenberg et Schrödinger. Les quelques contradictions entre les deux modèles ont pu être levé par l’électrodynamiquequantique de Feynman, Schwinger et Tomonaga dans les années 50.II – Le rayon lumineux II-1) Faisceau lumineux, notion de rayon lumineux Considérons une source lumineuse S de petites dimensions (par exemple un trou dans undiaphragme éclairé par une lampe quartz-iode ; par définition la lumière issue de cette sourceponctuelle forme un faisceau lumineux. Plaçons alors sur le trajet de ce faisceau un objet plan, l’ombre portée sur l’écran E ethomothétique de l’objet, quelquesoit la distancede celui-ci à l’écran. ⇒ Le faisceau lumineux issu de Sest constitué de rayons lumineux rectilignes.L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • Un laser fourni pratiquement en rayon lumineux : si l’on fait fonctionner laser dans l’obscurité,on peut visualiser et le rayon lumineux. En fait si ce rayon évoque une droite, il a malgré tout de Dinantune dimension transversale finit. On peut alors se demander s’il est aussi d’isoler rayon lumineux. Pour se faire plaçons un diaphragme réglable à la sortie du laser ; si l’on retrécit trop l’ouverturedu diaphragme, la trace du faisceau sur un écran E donne une tâche qui s’élargit à la mesure que l’ondiminue a : ce phénomène porte le nom de diffraction. L’élargissement du faisceau laser, dans lesconditions que nous venons d’évoquer, se caractérise par un étalement angulaire ε dont l’expériencepermet d’écrire : ε=λ/a où λ est une longueur caractéristique du rayon lumineux c’est à dire la longueurd’onde. ⇒ on ne peut donc pas isoler un rayon lumineux. On peut cependant considérer qu’un faisceaude lumière est formée de rayons lumineux, l’étude de la marche de ses rayons constituant le but del’optique géométrique. ⇒Le rayon lumineux est un modèle II-2) L’approximation de l’optique géométrique II-2-1) L’onde électromagnétique Maxwell en 1873 a formulé les équations qui décrivent les ondes électromagnétiques…ainsi lesondes électromagnétiques présente des similitudes avec les propagations des vibrations lors de lachute d’un objet dans un liquide, vagues artificielles… Les ondes électromagnétiques se propagent dans tout l’espace, même en l’absence de milieumatériel avec une vitesse de propagation v et une fréquence f tel que : λ=vT=v/f où λ est appelé longueur d’onde. • λ = la période spatiale de l’onde (unité : mètre) • T = la période temporelle de l’onde (unité : seconde) II-2-2) Longueur d’onde de la lumière • La longueur d’onde de la lumière est définie par : λ=vT=v/ν où ν est la fréquence et v lacélérité dans le milieu considéré.L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • Dans le vide : c = 299 792 458 ms-1. • Le domaine visible de l’œil humain s’étend de 400nm (violet) à 750nm (rouge) avec unesensibilité maximale dans le jaune vert à 560nm. II-2-3) L’approximation de l’optique géométrique L’approche géométrique constitue lune bonne approximation des solutions des équations deMaxwell tant que les caractéristiques géométriques du milieu varient peu à léchelle de la longueurdonde. Dans le domaine visible, les dimensions étudiées sont bien supérieures à la longueur dondedu milieu ainsi loptique géométrique est largement suffisante. « L’étude vertu de loptique géométrique suppose que les grandeurs caractéristiques du milieuqui limitent les faisceaux ont des dimensions très supérieures à la longueur donde λ. » II-3) Propagation de la lumière dans les milieux matériels II-3-1) Absorption et dispersion • Dans les milieux transparents la lumière se propage à la vitesse v=c/n où n est l’indice optiquedu milieu qui dépend de la longueur donde, c’est la dispersion que l’on observera dans le prisme. Pour les « verres » on peut utiliser la modélisation de Cauchy : n=A+B/λ2 • Lintensité lumineuse décroît lors de la propagation de la lumière dans le milieu matériel. La loide décroissance est en général une fonction exponentielle de la distance parcourue et dépend de lafréquence, donc de la longueur donde : cest le phénomène d’absorption. II-3-2) Propagation en milieu homogène et non homogène • Dans un milieu homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite : les rayonslumineux sont des droites. • Par contre dans les milieux non homogènes cest-à-dire présentant un indice variable, lapropagation de rayons lumineux nest pas rectiligne. • Lindice de la solution est une fonction croissante de la concentration en sucre dissout : cetindice est donc plus important aux fond de la cuve. Il existe donc un gradient d’indice dirigé vers le basde la cuve. Nous observons une courbure des rayons lumineux dont la concavité, donc dans le sensdes indices croissants. II-3-3) Indépendance des rayons lumineux Nous supposerons dans la suite que le cheminement des différents rayons lumineux traversantun instrument doptique sont indépendants : c’est l’hypothèse de lindépendance des rayons lumineux.III – Les Lois de Descartes III-1) Réflexion et réfraction d’un milieu lumineux • Le plan défini par la normale et le rayon incident est par définition le plan d’incidenceL .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • • Dans le cas où la surface de séparation est un miroir il y a réflexion. • Dans le cas où la surface de séparation est un dioptre, il y a en général un rayon réfléchi et unrayon réfracté. III-2) Lois de Descartes 1°) Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d’incidence 2°) L’angle de réflexion est égale à l’angle d’incidence : i = r 3°) L’angle de réfraction t est lié a i par : n1 sin i = n2 sin t III-3) Réfraction • Si le milieu 2 est plus réfringent (n2>n1) le rayon s’approche de la normale. • Si le milieu 2 est moins réfringent (n1>n2) le rayon s’éloigne de la normale. III-4) Principe de retour inverse de la lumière Les lois de Descartes obéissent au principe de retour inverse de la lumière : tout trajet suivi parla lumière dans un sens peut l’être en sens opposé.L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • IV – Construction géométrique de Huygens IV-1) Le rayon réfléchi Soit P le point d’intersection entre le rayon incident et cercle de rayon unité. Le rayon réfléchipasse par le point d’intersection O du cercle avec la normale au miroir passant par P. IV-2) Le rayon réfracté Traçons deux cercles de ryon n1 et n2. Soit P le point d’intersection entre le cercle de rayon n1 etle rayon incident. Soit Q le point d’intersection entre le cercle de rayon n2 et la normale au planpassant par P. Le rayon réfracté passe par Q car : OH = n1 sin i = n2 sin tV – Réflexion totale V-1) Réfraction limite (n1<n2) Le faisceau va se rapprocher donc i peut varier de 0 à π/2.L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • Soit n1 sin i = n2 sin t ⇔ sin i = n2/n1sin tOr 0 ≤ i ≤ π/2 ⇒ 0≤ sin i ≤ 1 ⇒ 0 ≤sin t ≤ n1/n2⇒0 ≤ t ≤ Arcsin (n1/n2) = tlim : anglede refraction limite.⇒ Les rayons réfractés sont toussitués à l’intérieur d’un cône de réfraction de demi-angle au sommet tm. V-2) Réflexion totale (n1>n2) Le faisceau va s’éloigner donc t peut varier de 0 à π/2.Soit n1 sin i = n2 sin t ⇔ sin i = n2/n1 sin tOr 0 ≤ t ≤ π/2 ⇒ 0≤ sin t ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin i ≤ n2/n1⇒ 0 ≤ i ≤ Arcsin (n2/n1) = ilim : angle de refraction limite. • Donc tout rayon incident tel que i > ilim ne peut-être réfractéet subit donc une réfraction totale V-3) Applications La réflexion totale sert à canaliser la lumière : - tube en matière souple : endoscope - fibres optiques - lampes décoratives… Chapitre II : Miroirs et lentilles sphériques dans l’approximation de GaussI – Le stigmatisme I-1) ObjetL .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • I-1-1) définition I-1-2) Objet primaire ou secondaire I-1-3) Objet ponctuel ou étendu I-1-4) Objet réel ou virtuel I-2) image I-2-1) Définition I-2-2) Image virtuelle ou réelle I-3) Stigmatisme rigoureux I-3-1) Définition I-3-2) Le miroir plan I-3-3) Autres surfaces rigoureusement stigmatiques I-4) Stigmatisme approchéII – L’Aplanétisme II-1) Système centré II-2) AplanétismeIII – Systèmes centrés dans l’approximation de Gauss III-1) Approximation de Gauss III-2) Foyer image et plan focal image III-3) Foyer objet et plan focal objet III-4) Système afocalIV – Les miroirs sphériques IV-1) Présentation IV-2) Stigmatise rigoureux en C et S IV-3) Stigmatise et aplanétisme approchés sur l’axe IV-3–1) Formule de conjugaison IV-3–2) Aplanétisme approché IV-4) Caractéristiques des miroirs sphériques IV-4-1) Modélisation de Newton IV-4-2) Le foyer IV-4-3) Construction d’une image IV-5) Relations de conjugaison IV-6) GrandissementV – Lentilles sphériques V-1) Présentation V-1-1) Définition V-1-2) Lentille mince V-1-3) Lentilles à bords épais ou minces V-1-4) Sitgmatisme et aplanétisme V-2) Caractéristiques des lentilles V-2-1 Centre de la lentille V-2-2 Foyers principaux V-2-3 Lentilles accolées V-3) Construction d’une image V-4) Formules de conjugaison et grandissement V-4-1 Origine au foyer (Formules de Newton) V-4-2) Origine au centre (formules de Descartes) Chapitre II : Miroirs et lentilles sphériques dans l’approximation de GaussL .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • Introduction Le but de ce cours est de préciser les conditions de stigmatisme et d’aplanétisme dans unpremier temps puis de s’intéresser plus précisément aux miroirs et lentilles sphériques. On verra ainsi les conditions de gauss qui seront nos conditions de travail puis les relations deconjugaison.I – Le stigmatisme I-1) Objet I-1-1) définition • Un objet définit un ensemble de rayon lumineux entrant dans le système optique I-1-2) Objet primaire ou secondaire • Un objet primaire émet spontanément de la lumière (flamme, lampe à décharge…) alors qu’unobjet secondaire diffuse la lumière (livre, trousse…) I-1-3) Objet ponctuel ou étendu • Un objet est ponctuel si ces dimensions sont infiniment petites par rapport à sa distanced’observation (étoile, objet trou…). • Un objet est étendu si ces dimensions sont finies (une fleur, la terre vu de la lune…) et on letraite alors comme un ensemble d’objets indépendants. I-1-4) Objet réel ou virtuel • Un objet est réel s’il est placé avant la face d’entrée du système optique et si les rayonslumineux issus de lui se dirigent vers le système optique. • Un objet est virtuel si c’est les prolongements des rayons incidents qui se cheminent vers lui.Un tel objet ne peut-être vu sur un écran I-2) image I-2-1) Définition • Un point image correspond à l’intersection de rayons lumineux émergents du systèmeoptique… I-2-2) Image virtuelle ou réelle • Elle est dite réelle, si elle est située après la face de sortie du système optique commeintersection des rayons émergents. Cette image peut-être vue sur un écran. • Elle est dite virtuelle, si elle est située avant la face de sortie du système comme intersectiondes prolongements des rayons émergents. Cette image ne peut-être vue sur un écran.L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • I-3) Stigmatisme rigoureux I-3-1) Définition • Il y a stigmatisme rigoureux lorsque tout rayon passant par unpoint objet A, réel ou virtuel, passe après traversé du système optique parun point image A’ réel ou virtuel. • A’ est l’image de A par le système optique, on dit que A et A’ sontdeux points conjugués. A→A’ , où → représente le lien de conjugaison I-3-2) Le miroir plan • Dès qu’un système optique est stigmatique, l’image A’ d’un objetponctuel est unique. Une relation mathématique, appelée relation deconjugaison existe donc entre les points A et A’. I-3-3) Autres surfaces rigoureusement stigmatiques • Il existe peu de surfaces rigousements stigmatiques par réflexionou réfraction parmi celles-ci il y a : - Le miroir plan pour tout point. - Les miroirs paraboliques dans le cas où l’objet est à l’infini. I-4) Stigmatisme approché Les cas de stigmatisme rigoureux sont trop rares pour couvrir les besoins de l’imagerie. On vadonc utiliser des systèmes optiques qui présentent un stigmatisme approché. Un système optique (S) présente un stigmatisme approché pour un couple de points A et A’ sitout rayon passant par A passe au voisnage de A’ après traversé de S.L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • II – L’Aplanétisme II-1) Système centré Un système centré est un système optique présentant la symétrie de révolution autour d’un axeappelé axe optique. II-2) Aplanétisme Un système est dit aplanétique si le stigmatisme pour tout couple (A,A’) de l’axe optique seconserve pour tout couple de (B,B’) dans des plans normaux à l’axe. Les plans P et P’ sont conjugués…Dans l’appareil photographique P’ est le plan de la pelliculeet P le plan de mise au point.III – Systèmes centrés dans l’approximation de Gauss III-1) Approximation de Gauss Un système centré est utilisé dans les conditions de Gauss si tous les rayons lumineux qui letraversent sont paraxiaux : - Rayons peu inclinés par rapport à l’axe - Rayons proches de l’axe Dans les conditions de Gauss les systèmes centrés sont stigmatiques et aplanétiquesapprochés. III-2) Foyer image et plan focal image • Le foyer image F’ est l’image d’un point objet à l’infini situé sur l’axe. A∞ (sur l’axe) → F’ • Soit un point objet réel B situé à l’infini en dehors de l’axe. Le système étant aplanétique, sonimage sera alors dans le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par F’ : ce plan est dit plan focalimage et tout point de ce plan foyer image secondaire.L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • III-3) Foyer objet et plan focal objet • Le foyer objet est le point de l’axe optique dont l’image est à l’infini sur l’axe : F→B∞ sur l’axe • Le plan focal objet est le plan perpendiculaire à l’axe optique, contenant F. Tout point B de ceplan a son image à l’infini. III-4) Système afocal Dans le cas ou le foyer F’ se trouve à l’infini le système est dit afocal.IV – Les miroirs sphériques IV-1) Présentation Un miroir sphérique est constitué d’une surface sphériqueréfléchissante de centre C. Il existe deux types de miroirssphériques : - Les miroirs concaves R= SC < 0. - Les miroirs convexes R= SC > 0.L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • IV-2) Stigmatise rigoureux en C et S • Tout rayon incident passant par C arrive selon la normale aumiroir sphérique et repasse par C après réflexion. C→C • Tout rayon incident en S sur le miroir est réfléchisymétriquement par rapport à l’axe optique et semble provenir deS.S→S IV-3) Stigmatise et aplanétisme approchés sur l’axe IV-3–1) Formule de conjugaison On trace les rayons suivant les lois de Descartes. On se place dans les conditions de Gaussd’où : - les angles α, β, α’, i et i’ sont petits et sont assimilables à leurs tangentes - et S est confondu avec H.Dans le triangle AIC : π =α +i+π -β ⇒ α = β − iDans le triangle AIC : π =π − α + β + i ⇒ α = β + iDoù α+α=2β IS IS ISSoit tan α = α , tan α = α , tan β = β SA SA SC 1 1 2Donc + = SA SA SC IV-3–2) Aplanétisme approché Le stigmatisme approché se conserve pour des points peu éloignés de l’axe ⇒ la conditiond’aplanétisme approché est vérifiée. D’où pour un objet vertical AB on aura aussi B→B’ avec x(B’)=x(A’).L .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • IV-4) Caractéristiques des miroirs sphériques IV-4-1) Modélisation de Newton Comme nous travaillons dans les conditions de Gauss, un miroir sphérique sera représenté parson plan tangent en S. IV-4-2) Le foyer 1 2 Si SA → ∞ alors = SF SC 1 2 Si SA → ∞ alors = SF SC SC D où F=F tel que SF= = R / 2 = f focale du miroir. 2 IV-4-3) Construction d’une image a) Miroir concave b) Miroir ConvexeL .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • IV-5) Relations de conjugaison 1 1 2 • Origine au sommet : + = SA SA SC • Origine au foyer (formule de newton) En multipliant (1) et (2) on obtient A B AB SJ SI = ⇒ FA FA = FS FS = f2 AF A F SF SF * Origine au centre Soit FA = FC + CA et FA= FC + CA D où : CA.CA + FC.FC + CA .FC + CA.FC = f 2 CS ⇔ CA.CA = (CA + CA ). 2 1 1 1 1 ⇔ = ( + ) CS 2 CA CA 1 1 2 1 ⇔ + = = CA CA CS CFL .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • IV-6) Grandissement A B Il est défini par γ = , si γ>0 l’image est droite, sinon elle est inversée. AB D’après les schémas : AB SJ A B SI FS FA • Origine au foyer : = et = ⇒γ = = AF SF A F SF FA FS CA • Origine au centre : γ= CA SA • Origine au sommet : γ = − SAV – Lentilles sphériques V-1) Présentation V-1-1) Définition Une lentille sphérique est un système centré résultant de l’association de deux dioptressphériques repérés par leurs centres et sommets respectifs. V-1-2) Lentille mince Une lentille est dite mince si son épaisseur e=S1S2 est petite par rapport à C1C2, S1C2 et S2C1. V-1-3) Lentilles à bords épais ou minces Les lentilles à bords minces sont convergentes, les lentilles à bords épais sont divergentes. V-1-4) Sitgmatisme et aplanétismeL .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • Au vue des expériences, on admettra que les propriétés d’aplanétisme et de stigmatismeapprochés sont vérifiées pour les lentilles sphériques.V-2) Caractéristiques des lentilles V-2-1 Centre de la lentille Tout rayon passant par le centre de la lentille n’est pas dévié. V-2-2 Foyers principaux Une lentille possède deux foyers symétriques par rapport à O : F et F’ et l’on obtient une desconfigurations suivantes : V-2-3 Lentilles accolées Deux lentilles minces accolées de focales f’1 et f’2 agissent comme une lentille unique de même 1 1 1centre O et de focale f’ : = + f f 1 f 2 V-3) Construction d’une imageL .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
  • • 3 rayons fondamentaux : - le rayon passant par le centre de la lentille n’est pas dévié - le rayon incident parallèle à l’axe optique passe par F’ - le rayon incident passant par F ressort parallèle à l’axe V-4) Formules de conjugaison et grandissement V-4-1 Origine au foyer (Formules de Newton) AB OJ A B OI Soit = et = AF OF A F OF Or OJ=AB et OI = AB A B A F OF d où = = AB OF AF FA.F A = − f 2 ⇒ A F OF et γ = = OF AF V-4-2) Origine au centre (formules de Descartes) Soit FA=FO+OA=OF+OA et FA=FO+OA=-OF+OA d où en remplaçant dans la formule de Newton : OA.OA-OF.OF-OF.OA+OF.OA=-f2 ⇔ OA.OA = OF.OA-OF.OA 1 1 1 OA ⇔ = − et γ = OF OA OA OAL .PIETRI – Cours d’Optique – Première année PCSI
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