Materi integral tak tentu
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Materi integral tak tentu

on

  • 6,580 views

 

Statistics

Views

Total Views
6,580
Views on SlideShare
6,573
Embed Views
7

Actions

Likes
1
Downloads
137
Comments
0

1 Embed 7

http://www.slideee.com 7

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Materi integral tak tentu Materi integral tak tentu Document Transcript

  • Mata Kuliah : Kalkulus II Program Studi : Pendidikan Matematika Dosen Pengampu : Isna Farahsanti, S.Pd. FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO 2011
  • INTEGRAL TAK TENTU A. Pengertian Integral Secara matematis, istilah integral adalah menentukan suatu fungsi yang turunannya atau diferensialnya diberikan. Dengan kata lain, integral atau pengintegralan merupakan operasi invers dari diferensial atau pendiferensialan. Integral dapat diaplikasikan dalam penentuan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva fungsi, volume benda padat, dan beberapa aplikasi lainnya. Lambang ʃ menyatakan opersai integral, diperkenalkan pertama kali oleh ilmuwan bangsa Jerman bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716). B.Pengertian Integral Tak Tentu Pada kalkulus diferensial telah dibicarakan cara-cara menentukan fungsi turunan, misalnya suatu fungsi f merupakan turunan dari fungsi F, maka 𝐹 ′ (𝑥) = Misal : F(x) = x2, F(x) = x2 – 5, F(x) = x2 + 10, F(x) = x2 + c, 𝑑 𝐹(𝑥) 𝑑 (𝑥) . maka f(x) = 2x maka f(x) = 2x maka f(x) = 2x maka f(x) = 2x, (c = konstanta) Integral tak tentu adalah proses untuk menentukan anti turunan yang umum dari suatu fungsi yang diberikan. Integral tak tentu dinyatakan sebagai 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (dibaca “integral dari f(x) terhadap x”) adalah fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan : 𝒇 𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 dengan : F(x) dinamakan fungsi integral umum dan F’(x) = f(x), f(x) dinamakan fungsi integran, c adalah konstanta pengintegralan (konstanta real sebarang). Dari contoh di atas, dapat ditulis : 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 𝐶 C.Rumus-Rumus Dasar Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar Misalkan f(x) dan g(x) masing-masing adalah fungsi integran yang dapat ditentukan fungsi integral umumnya dan c adalah konstanta real, maka : 1. 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 2. 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 3. 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 4. 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1
  • 5. Dalam kasus 𝑛 ≠ −1, maka : 1 a. 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = b. 𝑘 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 + 𝐶 𝑛 +1 𝑘 𝑛 +1 𝑥 𝑛+1 + 𝐶 6. Dalam kasus n = -1, maka : 1 a. 𝑥 𝑘 b. 𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 = 𝑘 ln 𝑥 + 𝐶 Contoh : 1. 2. 5 5 5𝑥 2 𝑑𝑥 = 2+1 𝑥 2+1 + 𝑐 = 3 𝑥 3 + 𝐶 1 𝑑𝑥 = 𝑥3 1 1 𝑥 −3 𝑑𝑥 = −2 𝑥 −2 + 𝐶 = − 2𝑥 2 + 𝐶 Soal : (kerjakan) Carilah integral berikut ini! 1. 2. 3. 4 𝑥 3 𝑑𝑥 3 3 4 𝑥 𝑥2 6. 4𝑥 5 +𝑥 3 −2 𝑥 dx 7. 5𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 11. 2𝑥 2 𝑦 − 4𝑥 5 𝑦 3 𝑑𝑥 12. 𝜋𝑝5 𝑟 + 5𝑝𝑞 6 𝑟 3 − 12𝑝4 𝑞 𝑑𝑟 1 8. (𝑥 − 𝑥 )2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 4. 5𝑥 3 + 𝑥 𝑑𝑥 9. 5. (8𝑥 3 + 2 𝑥 2 − 𝑥 + 5) 𝑑𝑥 10. 1 𝑥(𝑥 + 5)2 𝑑𝑥 (2−𝑥)2 𝑥 𝑑𝑥 D.Aplikasi Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar Menentukan Fungsi F(x), jika F’(x) dan F(a) Diketahui Jika F(x) dan F(a) diketahui (a konstanta real), maka konstanta c pada hasil pengintegralan mempunyai nilai tertentu. Sebagai akibatnya diperoleh fungsi F(x) tertentu pula. Nilai x = a dinamakan sebagai syarat awal atau syarat batas bagi F(x). Contoh : Jika diketahui F’(x) = 2x + 3 dan F(1) = 14, tentukan F (x) ! Jawab : F’(x) = 2x + 3 F(x) = 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 𝐶 F(1) = 14 ↔ (1)2 + 3(1) + C = 14 4 + C = 14 C = 10 2 ∴ F(x) = 𝑥 + 3𝑥 + 10 2
  • Soal : (kerjakan) Tentukan F(x), jika diketahui : 1 1. F’(x) = 3 − 1 dan F(2) = 3 2 𝑥2 2. F’(x) = 6x2 + 2x dan F(1) = -3 1 3. F’(x) = 𝑥 − 4. F’(x) = 1 dan F(2) = 42 𝑥2 𝑥 dan F(0) = 0 5. F”(x) = 6x – 6, F’(2) = 0, dan F(2) = -4 Menentukan Persamaan Kurva y = f(x) jika Diketahui 𝒅𝒚 𝒅𝒙 dan Sebuah Titik pada Kurva. Salah satu penerapan integral tak tentu adalah untuk menentukan persamaan kurva y = F(x) 𝑑𝑦 apabila diketahui 𝑑𝑥 dan sebuah titik yang terletak pada kurva tersebut. Contoh : Gradien garis singgung dari suatu kurva y = F(x) memenuhi hubungan 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =1− 4 𝑥2 . Tentukanlah persamaan kurva tersebut jika kurva melalui titik (2, 5)! Jawab : 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4 = 𝑦′ = 1 − 𝑥2 ↔ 𝑦= 𝐹 𝑥 = 1− 𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 4 𝑥2 −1 𝑑𝑥 + 𝐶 Melalui titik (2, 5)  5 = 2 + 4(2)-1 + C 5 =4+C C=1 Jadi, persamaan kurva adalah 𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 −1 + 1 Soal : (kerjakan) Tentukan persamaan kurva y = F(x) jika diketahui : 1. 𝑦 ′ = 6𝑥 2 − 2𝑥 dan kurva melalui titik (1,4) 2. 𝑦 ′ = 2𝑥 − 3. 𝑦 ′ = 𝑥− 1 𝑥2 1 𝑥 dan kurva melalui titik (1, 5) dan kurva melalui titik (1, -2) 4. 𝑦" = 6(𝑥 − 2), gradien garis singgung di titik x = 2 adalah -12, dan kurva melalui titik (2, -16) 3
  • E. Teorema (Aturan Pangkat yang Digeneralisasi) Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r adalah suatu bilangan rasional yang bukan -1, maka 𝒈 𝒙 𝒓+𝟏 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 = + 𝑪 𝒓+ 𝟏 𝒓 𝒈 𝒙 ′ Cara penulisan Leibniz : Jika ditentukan 𝑢 = 𝑔 𝑥 → 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑔′ (𝑥) Jadi 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 Sehingga integral di atas dapat ditulis sebagai : 𝑢 𝑟+1 𝑢 𝑑𝑢 = + 𝐶 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑟 ≠ −1 𝑟+1 𝑟 Contoh : 𝑥 3 + 2𝑥 Hitunglah 25 3𝑥 2 + 2 𝑑𝑥. Solusi : Misalkan 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥; maka 𝑔′ 𝑥 = 3𝑥 2 + 2. Jadi, menurut Teorema : 𝑥 3 + 2𝑥 25 3𝑥 2 + 2 𝑑𝑥 = 25 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 = 26 𝑔′ (𝑥) 26 𝑥 3 + 2𝑥 = 26 + 𝐶 26 + 𝐶 Soal : (kerjakan) Hitunglah! 1. 𝑥 3 + 6𝑥 2. 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 3. 𝑥2 + 4 4. 5𝑥 3 − 18 7 15𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥3 5 15 6𝑥 2 + 12 𝑑𝑥 2 2𝑥 − 3 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 3 )2 𝑥 2 𝑑𝑥 5. ( 6. 3𝑥 3𝑥 2 + 7 𝑑𝑥 7. 5𝑥 2 + 1 (5𝑥 3 + 3𝑥 − 8)6 𝑑𝑥 8. 5𝑥 2 + 1 2 5𝑥 3 + 3𝑥 − 2 𝑑𝑥 4
  • F. Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri Pengetahuan prasyarat yang harus dimiliki sebelum kita menguraikan tentang integral fungsi trigonometri adalah turunan fungsi trigonometri. Sekarang perhatikan turunan dari fungsi-fungsi trigonometri berikut! No f(x) f’(x) No f(x) f’(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. sin 𝑥 cos 𝑥 tan 𝑥 sin 𝑎𝑥 cos 𝑎𝑥 tan 𝑎𝑥 sin(𝑎𝑥 + 𝑏) cos(𝑎𝑥 + 𝑏) tan(𝑎𝑥 + 𝑏) cos 𝑥 − sin 𝑥 sec 2 𝑥 𝑎 cos 𝑎𝑥 −𝑎 sin 𝑎𝑥 𝑎 sec 2 𝑥 𝑎 cos(𝑎𝑥 + 𝑏) −𝑎 sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎 sec 2 (𝑎𝑥 + 𝑏) 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. cot 𝑥 sec 𝑥 cosec 𝑥 cot 𝑎𝑥 sec 𝑎𝑥 cosec 𝑎𝑥 cot (𝑎𝑥 + 𝑏) sec(𝑎𝑥 + 𝑏) cosec(𝑎𝑥 + 𝑏) −cosec 2 𝑥 tan 𝑥 sec 𝑥 −cot 𝑥 cosec 𝑥 −𝑎 cosec 2 𝑎𝑥 𝑎 tan 𝑎𝑥 sec 𝑎𝑥 −𝑎 cot 𝑎𝑥 cosec 𝑎𝑥 −𝑎 cosec 2 (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑎 tan(𝑎𝑥 + 𝑏) sec(𝑎𝑥 + 𝑏) −𝑎 cot 𝑎𝑥 + 𝑏 cosec (𝑎𝑥 + 𝑏) Dari tabel di atas, dapat ditentukan rumus-rumus dasar integral tak tentu fungsi trigonometri sebagai berikut. Tipe 1: 1. cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 4. cosec 2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 2. sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 5. tan 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 3. sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 6. cot 𝑥 cosec 𝑥 𝑑𝑥 = −cosec 𝑥 + 𝐶 4. cosec 2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎 cot 𝑎𝑥 + 𝐶 5. tan 𝑎𝑥 sec 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 sec 𝑎𝑥 + 𝐶 6. cot 𝑎𝑥 cosec 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − Tipe 2 : 1 1. cos 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 sin 𝑎𝑥 + 𝐶 2. sin 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑎 cos 𝑎𝑥 + 𝐶 3. sec 2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 tan 𝑎𝑥 + 𝐶 1 1 1 1 1 𝑎 cosec 𝑎𝑥 + 𝐶 Tipe 3 : 1 1. cos 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝑎 sin 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 2. sin 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = − cos 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 1 𝑎 1 3. sec 2 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝑎 tan 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 4. cosec 2 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = − 𝑎 cot 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 5. tan 𝑎𝑥 + 𝑏 sec 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 𝑎 sec 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 6. cot 𝑎𝑥 + 𝑏 cosec 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = − 1 1 1 𝑎 cosec 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶 5
  • Contoh : 1. (𝑥 2 + sin 𝑥) 𝑑𝑥 = 2. (cos 𝑥 − sin 𝑥) 𝑑𝑥 = 1 𝑥 2 𝑑𝑥 + sin 𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑥 3 − cos 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 𝑑𝑥 − sin 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 Dalam pemgintegralan fungsi trigonometri seringkali digunakan rumus-rumus fungsi trigonometri berikut. Rumus Kebalikan, Perbandingan, dan Identitas Pythagoras a. Rumus Kebalikan 1. sin 𝛼 × cosec 𝛼 = 1 ⟺ sin 𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 1 2. cos 𝛼 × cot 𝛼 = 1 ⟺ cos 𝛼 = sec 𝛼 1 𝛼 1 3. tan 𝛼 × cot 𝛼 = 1 ⟺ tan 𝛼 = cot 1 ⟺ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = sin ⟺ sec 𝛼 = cos 𝛼 1 𝛼 ⟺ cot 𝛼 = tan 𝛼 b. Rumus Perbandingan sin 𝛼 1. tan 𝛼 = cos 2. cot 𝛼 = 𝛼 cos 𝛼 sin 𝛼 c. Identitas Pythagoras 1. 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 2. 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝛼 3. 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝛼 Rumus-Rumus Trigonometri Sudut Rangkap Untuk setiap sudut 𝛼 sebarang, berlaku : 1 1. sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼 3. sin2 𝛼 = 2 (1 − cos 2𝛼) 2. cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 − sin2 𝛼 4. cos 2 𝛼 = 2 (1 + cos 2𝛼) 1 Rumus-Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus Untuk setiap sudut 𝛼 dan 𝛽 sebarang, berlaku : 1. 2 sin 𝛼 cos 𝛽 = sin 𝛼 + 𝛽 + sin(𝛼 − 𝛽) 2. 2 cos 𝛼 sin 𝛽 = sin 𝛼 + 𝛽 − sin(𝛼 − 𝛽) 3. 2 cos 𝛼 cos 𝛽 = cos 𝛼 + 𝛽 + cos 𝛼 − 𝛽 4. 2 sin 𝛼 sin 𝛽 = −cos 𝛼 + 𝛽 + cos(𝛼 − 𝛽) 6
  • Soal : (Kerjakan) 1. 2 sec 2 𝑥 𝑑𝑥 2. cos 2𝑥 𝑑𝑥 3. sin 4𝑥 − 2 𝑑𝑥 4. (sin 𝑥 + 3 cos 𝑥) 𝑑𝑥 5. (sec 𝑥 tan 𝑥 − 5 sin 𝑥) 𝑑𝑥 6. 2 sec 2 𝑥 − 7. cos 3𝑥 − 2 − 9 sin(2 − 3𝑥) 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 8. (sin 𝑥 − cos 𝑥)2 𝑑𝑥 9. sin2 𝑥 𝑑𝑥 10. 4 sin 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 11. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 2 𝑑𝑥 12. 2 sin 11𝑥 cos 5𝑥 𝑑𝑥 13. cos 4 𝑥 𝑑𝑥 14. 6 cos 8𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 15. 4 sin 3𝑥 sin 3𝑥 + 3 𝜋 𝑑𝑥 7
  • INTEGRAL TENTU A. Pengertian Integral Tentu Integral dengan batas-batas integrasi dinamakan integral tentu. Jika f(x) merupakan turunan dari F(x), maka integral tentu dari f(x) menuju x pada interval [a, b] dinotasikan dengan 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥. Nilai integral tentu tersebut dirumuskan dengan : 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝑎 Bentuk 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) ditulis dengan notasi khusus 𝐹(𝑥) 𝑏 𝑎 yamg dinamakan notasi kurung siku, sehingga : 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) 𝑏 𝑎 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝑎 Dengan a dinamakan batas bawah dan b dinamakan batas atas pengintegralan. Interval [a, b] dinamakan wilayah pengintegralan. B. Sifat-Sifat Integral Tentu Misal f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup [a, b] , dan k adalah konstanta, maka : 𝑎 1. 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 2. 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 3. 𝑏 𝑎 𝑘 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 4. 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 5. 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, dengan a < c < b 6. a. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0 b. Jika 𝑓(𝑥) ≤ 0 pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑏 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 0 Contoh : 3 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑥 3 1 = 18 − 4 = 14 1 8
  • Soal : (kerjakan) Hitunglah integral berikut! 1. 4 1 6. 1 −1 3𝑥 2 − 2𝑥 𝑑𝑥 2. 3 0 𝑥 2 − 1 𝑑𝑥 7. 2 1 𝑥3 − 3. 2 2 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 8. 3 1 4. 2 5 1 𝑥 2 + 𝑥 𝑑𝑥 9. 4 ( 0 5. 3 1 1 𝑥3 𝑑𝑥 10. 𝑥 𝑑𝑥 1 0 1 𝑥3 𝑑𝑥 𝑥 − 2 3𝑥 + 1 𝑑𝑥 𝑥 + 1)2 𝑑𝑥 𝑥 3 𝑥 + 2 3 𝑥 𝑑𝑥 Tentukanlah nilai k jika diketahui : 𝑘 1. 0 2. 0 3. 𝑘 𝑥 𝑑𝑥 = 16 3 𝑥 4 − 𝑥 𝑑𝑥 = 0 2𝑘 𝑑𝑥 −1 𝑥 2 1 =2 9