Your SlideShare is downloading. ×
Aturan rantai 2 variable
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Aturan rantai 2 variable

1,678

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
1,678
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
90
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. ATURAN RANTAI Aturan rantai dua variabel Misalkan u adalah fungsi dua peubah dari x dan y yang terdiferensial, didefinisikan melalui persamaan u= f(x,y) , x= F(r,s) dan y= G(r,s) serta turunan – turunan parsial dx/dr, dx/ds, dy/dr, dy/dr semuanya ada, Aturanrantai pada fungsi komposit (composite function) dengan satu peubah, sejauh ini telah kita kenal dengan baik. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝑡 ), di mana baik 𝑓 maupun 𝑡 adalah fungsi-fungsi yang dapat dideferensialkan, maka 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Di sini, tujuannya adalah menghasilkan penerapan-penerapan untuk fungsi-fungsi dengan beberapa peubah. Versi Pertama jika 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , di mana 𝑥dan 𝑦 adalah fungsi-fungsi dari 𝑡, maka masuk akal apabila kita menyatakan 𝑑𝑧 𝑑𝑡 , yang tentunya terdapat sebuah rumus untuk itu. Teorema A Aturan Rantai Misalkan 𝑥 = 𝑥(𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑡) dapat dideferensialkan di 𝑡, dan misalkan 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 dapat dideferensialkan di 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , maka 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑦(𝑡) dapat dideferensialkan di 𝑡 da 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 Bukti kita meniru pembuktian satu peubah pada Lampiran L.2, Teorema B. Untuk meyederhanakan notasi, misalkan 𝒑 = 𝑥, 𝑦 , ∆𝒑 = ∆𝑥, ∆𝑦 , ∆𝑧 = 𝑓 𝒑 + ∆𝒑 − 𝑓 𝒑 . Maka karena 𝑓 dapat dideferensialkan, ∆𝑧 = 𝑓 𝒑 + ∆𝒑 − 𝑓 𝒑 = ∇ 𝑓 𝐩 ∙ ∇𝐩 + ε(∆𝐩) ∙ ∆𝐩 = 𝑓𝑥 𝒑 ∆𝑥 + 𝑓𝑦 𝒑 ∆𝑦 + 𝜀(∆𝒑) ∙ ∆𝒑 Dengan 𝜀 ∆𝒑 → 0 ketika ∆𝒑 → 0. Ketika kita membagi kedua ruas dengan ∆𝑡, maka kita akan memperoleh
  • 2. (1) ∆𝑧 ∆𝑡 = 𝑓𝑥 𝒑 Aelanjutnya, ∆𝑥 ∆𝑡 + 𝑓𝒚 𝒑 ∆𝑦 ∆𝑡 + 𝜀 ∆𝒑 ∙ ∆𝑥 ∆𝒚 𝑑𝑥 ∆𝑡 𝑑𝑡 , ∆𝒕 mendekati , ∆𝑥 ∆𝒚 ∆𝑡 𝑑𝑦 , ∆𝒕 ketika ∆𝑡 → 0. Demikian pula, ketika 𝑑𝑡 ∆𝑡 → 0, ∆𝑥 dan ∆𝑦 mendekati 0 (ingatlah bahwa 𝑥(𝑡) dan 𝑦(𝑡) kontinu, dapat dideferensialkan). Hasilnya adalah ∆𝒑 → 0, sehingga ε(∆𝐩) → 0 ketika ∆𝑡 → 0. Konsekuensinya, ketika kita menetapkan ∆𝑡 → 0 pada (1), kita memperoleh 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑓𝑥 𝒑 + 𝑓𝑦 𝒑 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Yang merupakan hasil yang ekuivalen dengan Teorema A. Penjelasan yang menarik atas Analogi Umum Apakah analogi umum atas turan rantai dengan satu peubah (Teorema A, Subbab 3.5) juga berlaku disini? Jawabannya adalah ya, dan terdapat penjelasan yang sangat menarik tentang hal ini. Misalkan Ʀ" melambangkan ruang berdimensi −𝑛 Euclidean. g melambangkan fungsi dari Ʀ ke Ʀ", dan 𝑓 melambangkan sebuah fungsi dari Ʀ" ke Ʀ. Jika g dapat dideferensialkan di 𝑡 dan 𝑓 dapat dideferensialkan di g(𝑡), maka fungsi komposit 𝑓°g dapat dideferensialkan di g(𝑡) dan (𝑓°g)′ 𝑡 = ∇𝑓 g 𝑡 ∙ g′(𝑡) seluruh perangkat yang diperlukan utuk mendemonstrasikan fungsi ini telah bersedia. Anda diharapkan dapat melakukan pembuktiannya. Aturan Rantai : Kasus Dua Peubah Berikut ini adalah konsep yang dapat memebantu anda untuk mengingat aturan rantai. 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝑦 gg 𝑥 Peubah tak bebas 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑡 Peubah bebas Peubah pertengahan
  • 3. 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 CONTOH 1 andaikan 𝑧 = 𝑥 3 𝑦, di mana 𝑥 = 2𝑡 dan 𝑦 = 𝑡 2 . Tentukan 𝑑𝑧 𝑑𝑡 Penyelesaian 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = + 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 = 3𝑥 2 𝑦 2 + (𝑥 2 )(2𝑡) = 6 2𝑡 Sehingga 𝑑𝑧 𝑑𝑡 2 𝑡 2 + 2(2𝑡)3 𝑟 2 = 8𝑡 5 = 40𝑡 2 . meskipun demiian, metode substitusi lagsung seringkali tidak bersedia atau tidak sesuai. Perhatikan contoh berikutnya. CONTOH 2 Ketika sebuah silinder lingkaran tegak padat dipanaskan , jari-jari 𝑟 dan tingginya ℎ akan meningkat, sehingga luas permukaannya 𝑆 juga meningkat. Andaikan pada waktu sesaat ketika 𝑟 = 10 𝑐𝑚 dan ℎ = 100 𝑐𝑚, 𝑟 meningkat 0,2 cm per jam dan ℎ meningkat 0,5 cm per jam. Seberapa cepatkah peningkatan 𝑆 pada waktu tersebut? Penyelesaian rumus untuk luas permukaan total dari sebuah silinder (Gambar 1) adalah 𝑆 = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟 2 h Jadi, 𝑑𝑆 r 𝑑𝑡 = 𝜕𝑆 𝑑𝑟 𝜕𝑟 𝑑𝑡 + 𝜕𝑆 𝑑ℎ 𝜕ℎ 𝑑𝑡 = 2𝜋ℎ + 4𝜋𝑟 0,2 + (2𝜋𝑟)(0,5) Di 𝑟 =10 dan ℎ = 100, 𝑑𝑆 = 2𝜋 ∙ 100 + 4𝜋 ∙ 10 0,2 + (2𝜋 ∙ 10)(0,5) 𝑑𝑡 = 58 𝜋 cm2/jam
  • 4. Hasil yang diperoleh pada Teorema A dapat diperluas untuk dengan tiga peubah sebagaimana ilustrasi berikut ini. CONTOH 3 Andaikan𝑊 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑦 + 𝑥𝑧 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑦 = dimana 𝑑𝑤 𝑠𝑖𝑛 𝜃, 𝑑𝑎𝑛 𝑧 = 𝜃 2. Tentukan dan hitunglah nilai tersebut di 𝜃 = 𝑑𝜃 𝜋 3 Penyelesaian 𝑑𝑤 𝜕𝑤 𝑑𝑥 𝜕𝑤 𝑑𝑦 𝜕𝑤 𝑑𝑧 = + + 𝑑𝜃 𝜕𝑥 𝑑𝜃 𝜕𝑦 𝑑𝜃 𝜕𝑧 𝑑𝜃 = 2𝑥𝑦 + 𝑧 −𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑥 2 + 1 cos 𝜃 + (𝑥)(2 𝜃) = −2 cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 𝜃 2 sin 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 + cos 𝜃 + 2 𝜃 cos 𝜃 Di 𝜃 = 𝜋/3 𝑑𝑤 1 3 𝜋2 3 1 1 2𝜋 1 = −2 ∙ ∙ − ∙ + +1 + ∙ 𝑑𝜃 2 4 9 2 4 2 3 2 1 𝜋2 3 𝜋 =− − + 8 18 3 Versi Kedua Andaikan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), dimana 𝑥 = 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑠, 𝑡). Maka, masuk akal untuk menanyakan 𝜕𝑧/𝜕𝑠 dan 𝜕𝑧/𝜕𝑡. Teorema B Aturan Rantai Misalkan𝑥 = 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦 = 𝑦(𝑠, 𝑡) mempunyai turunan parsial pertama di (𝑠, 𝑡), dan misalkan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dapat dideferesialkan di 𝑧 = 𝑓 𝑥 𝑠, 𝑡 , 𝑦 𝑠, 𝑡 𝑥 𝑠, 𝑡 , 𝑦 𝑠, 𝑡 . Maka mempunyai turunan parsial pertama yang dinyatakan dengan (i) 𝜕𝑧 𝜕𝑠 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑠 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑠 ; (ii) 𝜕𝑧 𝜕𝑡 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑡 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑡 . Bukti Jika 𝑠 dipertahankan bernilai tetap, maka 𝑥(𝑠, 𝑡) dan 𝑦(𝑠, 𝑡) menjadi fungsi-fungsi dari 𝑡 itu sendiri, yang berarti bahwa teorema A berlaku. Ketika kita
  • 5. menggunakan teorema ini dengan 𝜕 menggantikan 𝑑 untuk menyatakan bahwa 𝑠tetap, maka kita akan memperoleh rumus di dalam (ii) dan 𝜕𝑧/𝜕𝑡. Rumus untuk 𝜕𝑧/𝜕𝑠 diperoleh dengan cara yang serupa dengan mempertahankan nilai 𝑡. Contoh 4 Jika 𝑧 = 3𝑥 2 − 𝑦 2 , dimana 𝑥 = 2𝑠 + 7𝑡 dan 𝑦 = 5𝑠𝑡, tentukan 𝜕𝑧/𝜕𝑡 dan nyatakan dalam 𝑠 dan 𝑡. Penyelesaian 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = + 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 = (6𝑥)(7) + (−2𝑦)(5𝑠) = 42 2𝑠 + 7𝑡 − 10𝑠𝑡 5𝑠 = 84𝑠 + 294𝑡 − 50𝑠 2 𝑡

×