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210 civ361 flujo poroso2
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  • 1. CAPÍTULO III ECUACIONES DE FLUJO SUBTERRÁNEO 3.1 GRADIENTE DE POTENCIAL El estudios de Transporte en general, el flujo ocurrente es proporcional a un gradiente de potencial: • Corriente eléctrica: de alto a bajo voltaje • Transmisión de calor : de alta a baja temperatura • Flujo a superficie y a presión : de mayor a menor nivel Ej. La Ley de la Hidrostática 1 ∇p = F ρ El flujo subterráneo obedece al mismo principio. Ocurre desde un nivel de energía mayor a un menor: GRADIENTE DE ENERGÍA O GRADIENTE DE POTENCIAL!
  • 2. 3.1 GRADIENTE DE POTENCIALLa energía en un sistema puede ser expresada por: Energía total = potencial + cinética + elástica o de deformaciónLa dinámica de fluidos, en términos de flujo unidimensional y fluidoincompresible presenta: p v2 E = z+ + γ 2gEl flujo subterráneo es en general muy lento, tal que el término cinéticopuede ser omitido.Se define el POTENCIAL DE FLUJO como: p − po Φ = gz + ρ
  • 3. 3.1 GRADIENTE DE POTENCIALSe representa: pDe ese modo: φ = superficie γ Φ = g h = g z + gφ ψ punto de control h Así, z h : energía por unidad de peso Datum z=0 Φ : energía por unidad de masa
  • 4. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD El principio de la conservación de la masa afirma: El cambio neto en masa durante un tiempo es igual al volumen almacenado en ese intervaloSea el elemento ρq x dydzdtdiferencial de un medioporoso saturado. z y x  ∂ρ  ∂q  ρ + dz  qx + x dz dydzdt  ∂x  ∂x 
  • 5. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDADLa masa de agua ingresando a él, según el eje X se puede escribir, ρ q x dy dz dtSiendo qx el caudal unitario en dirección XLa masa saliendo en ese intervalo:  ∂ρ  ∂q x  ρ + dx  q x + dx dy dz dt  ∂x  ∂x 
  • 6. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDADLa masa neta:  ∂  − ( ρ q x ) dx dy dz dt  ∂x La masa total en las tres direcciones:  ∂   ∂   ∂   − ( ρ qx )  +  −  ∂y ( ρ q y )  +  − ∂z ( ρ q z )   dx dy dz dt   ∂x     
  • 7. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDADPor otra parte, el volumen de agua inicialmente existente en elelemento de control era: dVw = dVv = n dV = θ dVComo el medio está saturado, n = θ siendo θ el contenido dehumedad (water content)Entonces, la masa almacenada en el estado inicial, ρ θ dVLa masa de agua en el instante posterior  ∂ρ  ∂θ  ρ + dt θ + dt  dV  ∂t  ∂t 
  • 8. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD La masa almacenada en ese intervalo, ∂ ( ρ θ ) dV dt ∂t Por el Principio de Conservación de la masa, ∂   ∂   ∂  ∂ − ( ρ qx )  +  −  (ρ qy )  +  −  ( ρ q z )   dx dy dz dt = ( ρ θ ) dV dt ∂x   ∂y   ∂z  ∂t
  • 9. 3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDADEn forma condensada, ∂ ∇  ( ρ q) + ( ρ θ ) = 0 ∂tSi el fluido es incompresible, ∂θ ∇q + =0 ∂t
  • 10. 3.3 ECUACIÓN DE MOVIMIENTOA partir de la Segunda Ley de Newton, se puede derivar laecuación de movimiento para un líquido fluyendo en un medioporoso (ecuación de Darcy) ∂h qx = − K ∂x ∂h qy = − K q = − K ∇h ∂y ∂h qz = − K ∂zLa ecuación de Darcy, de la forma presentada es únicamente válida paramedios anisotrópicos
  • 11. 3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA La conductividad hidráulica muestra variación espacial. • Si K es independiente de la posición en la formación geológica, entonces la formación es homogénea, y K(x,y,z) = Constante • Si K es dependiente en su valor de la posición, la formación es heterogénea, y K(x,y,z) ≠ Constante
  • 12. 3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Algunas causas para heterogeneidad: • Ambiente e historial geológico • Estratificación (heterogeneidad estratificada) • Fallas (heterogeneidad por discontinuidad) • Procesos de sedimentación que ocurren en deltas o pantanales (heterogeneidad de tendencias)
  • 13. 3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICALa heterogeneidad de la conductividad hidráulica puede ser descrita entérminos estadísticos a través de densidades de probabilidad.Se ha observado que K responde a una distribución log-normal con unadesviación estándar de 0.5 a 1.5Por ejemplo, en una formación geológica fuera de esperar una variaciónde K en el orden del 1 a 2 de orden de magnitud.
  • 14. 3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Homogeneo, Isotropico Homogeneo, Anisotropico (x2,z2) Kz Z Kx (x1,z1) X Heterogeneo, Isotropico Heterogeneo, Anisotropico
  • 15. 3.3.2 ANISOTROPÍA DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Se dice que un medio es isotrópico cuando un observador arbitrariamente colocado en él, observará la misma estructura molecular y propiedades en todas direcciones. Las direcciones en el espacio en las cuales K alcanza sus máximos valores son denominadas direcciones principales de anisotropía Si el sistema de referencia coincide con las direcciones principales, las conductividades hidráulicas serán Kx , Ky , Kz. De ese modo, • Medio isotrópico : Kx = Ky = Kz • Medio anisotrópico : Kx ≠ Ky ≠ Kz • Isotropía transversal : Kx = Ky ≠ Kz
  • 16. 3.3.2 ANISOTROPÍA DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA Algunas causas para la anisotropía: • Pequeña escala: orientación de las partículas de arcilla H/V • Gran escala : capas homogéneas en sí, actúan como un medio anisotrópico único
  • 17. 3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES ∂h Cuando las coordenadas del qx = − K ∂x sistema coinciden con las ∂h qy = − K direcciones principales de ∂y ∂h anisotropía : qz = − K ∂z Pero cuando no coinciden, ∂h ∂h ∂h q x = − K xx − K xy − K xz ∂x ∂y ∂z  K xx K xy K xz  ∂h ∂h ∂h con,   q y = − K yx − K yy − K yz K =  K yx K yy K yz  ∂x ∂y ∂z  K zx K zy K zz  ∂h ∂h ∂h   q z = − K zx − K zy − K zz ∂x ∂y ∂z
  • 18. 3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONESELIPSOIDE DE CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICAA veces es necesario conocer la conductividad hidráulica en una direcciónarbitraria, pero se dispone de información en las direcciones principalesSea qs la dirección arbitraria. ∂h qs = − K s ∂sEn las direcciones principales (sean x,z) ∂h ∂h qx = − K x = qs cos α ; qz = − K z = qs senα ∂x ∂z También, ∂h ∂h ∂x ∂h ∂y ∂h ∂h = + = cos α + senα ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂x ∂y
  • 19. 3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES Resultando en, 1 cos 2 α sen 2α = + Ks Kx Ky Que en coordenadas rectangulares, r2 x2 y2 = + Ks Kx Ky Ks Kz Kx
  • 20. 3.5 ECUACIÓN DE RICHARDSDe la combinación de la ecuaciones de Continuidad y de Movimiento, ∂θ = −∇q q = − K ∇h ∂tSurge la denominada ecuación de Richards ∂θ = ∇  ( K ∇h ) ∂t
  • 21. 3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS ∂θ ∂  ∂h  ∂  ∂h  ∂  ∂h  =  K (φ )  +  K (φ )  +   ∂z  K (φ ) ∂z  ∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y    Que es una ecuación no lineal, y que no es posible resolverla sin conocer, por ejemplo, el estado inicial de θ Si h es desdoblada en sus componentes : h = z + φ ∂θ ∂φ ∂  ∂φ  ∂  ∂φ  ∂   ∂h   =  K (φ )  +  K (φ )  +   ∂z  K (φ )  ∂z + 1  ∂φ ∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y    
  • 22. 3.5 ECUACIÓN DE RICHARDSSi se introduce el concepto de : ∂θ C (φ ) = ∂φEntonces, ∂φ ∂  ∂φ  ∂  ∂φ  ∂   ∂h  C (φ ) =  K (φ )  +  K (φ )  +   ∂z  K (φ )  ∂z + 1  ∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y    Que es la ecuación de Richards, válida para flujo subterráneo, un cualquierpunto, ya sea que el medio esté saturado o parcialmente saturado ! • Para resolverla, es necesario conocer K(φ) y C(φ) ó θ (φ) • Partiendo de Richards, uno simplifica la ecuación dependiendo del caso particular que se analice
  • 23. 3.5 ECUACIÓN DE RICHARDSPor ejemplo, para medio completamente saturado, ∂  ∂h  ∂  ∂h  ∂  ∂h  K  + K  +  ∂y  ∂z  K ∂z  = 0 ∂x  ∂x  ∂y     para medio completamente saturado, homogéneo e isotrópico, ∂ 2h ∂ 2h ∂ 2h + 2 + 2 = ∇2h = 0 ∂x 2 ∂y ∂z La cual es la conocida ecuación de Laplace
  • 24. 3.6 PROBLEMA DE CONDICIONES DE BORDE Además de conocer las ecuaciones que gobiernan el flujo al interior del Dominio, es necesario también conocer: 1. El tamaño y la forma del dominio 2. Las ecuaciones de flujo dentro de la región 3. Las condiciones de contorno en los bordes 4. Las condiciones iniciales en la región 5. La distribución espacial de los parámetros hidrogeológicos que controlan el flujo 6. Un modelo matemático de solución El punto 4 puede ser obviado si el flujo es considerado como permanente
  • 25. 3.6 PROBLEMA DE CONDICIONES DE BORDE La resolución de problemas puede ser encarada: 1. Simplificando el problema real de manera que éste pueda ser tratable, pero manteniendo las características mas importantes de él 2. Formular las cantidades físicas del problema en términos de variables y funciones abstractas para ser usadas en el modelo matemáticos descriptivo del problema 3. Elección y resolución del problema e interpretación de resultados
  • 26. 3.7 TIPOS DE FLUJO – FLUJO HORIZONTAL Se considera: • Flujo ocurre solo en el plano horizontal (qz = 0) • Flujo confinado entre dos capas o bordes impermeables • Los bordes son horizontales y suficientemente extensos • La capa entre los bordes conforman el acuífero Flujo horizontal puede ser • Unidimensional • Bi-dimensional • Bi-dimensional y radial