UNIVERSIDAD VERACRUZANA                      16 de Abril al 20 de Abril                              TOPOLOG´ I           ...
Definici´n 2.9: Sea (X, τ ) un espacio topol´gico.       o                                    o  Entonces F ⊂ X es cerrado ...
Definici´n de Kuratowski: Sean X un conjunto, y ϕ : 2X −→ 2X una         ofunci´n tal que:     o   i)ϕ(φ) = φ   ii) A ⊂ ϕ(A...
X es completamente separable si ∃β ⊂ τ tal que β es una base numerable.Definici´n 2.17: Sea (X, τ ) un espacio topol´gico  ...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Bitácora n° 10 (16 de abril a 20 de abril)

174

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
174
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
1
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Bitácora n° 10 (16 de abril a 20 de abril)

  1. 1. UNIVERSIDAD VERACRUZANA 16 de Abril al 20 de Abril TOPOLOG´ I IA REPASO: Definici´n de Alexandroff : o Sea X un conjunto no vac´ Entonces τ ⊂ 2X es una topolog´ sobre ıo. ıa X si: i) τ es estable bajo uniones arbitrarias. ii) τ es estable bajo intersecciones finitas. iii) φ ∈ τ y X ∈ τ (redundante) Sea (X, τ ) un espacio topol´gico. o Si A ∈ τ , entonces A es un conjunto abierto. Definici´n 2.6: Sean (X, τ ) y (Y, τ ) espacios topol´gicos, y f : X −→ Y o o −1una funci´n. Se dice que f es (τX − τY )-continua si f (V ) ∈ τX , ∀V ∈ τY oDefinici´n 2.7: Sean (X, τ ) y (Y, τ ) espacios topol´gicos, y f : X −→ Y o ouna funci´n. Se dice que f es abierta si f (U ) ∈ τY , ∀U ∈ τX oDefinici´n 2.8: Una funci´n f es un homeomorfismo si: o o i) f es biyecci´n o ii) f es continua iii) f es abierta En la categor´ de espacios topol´gicos (T ) los objetos son espacios ıa o topol´gicos y los morfismos son aplicaciones continuas o 1
  2. 2. Definici´n 2.9: Sea (X, τ ) un espacio topol´gico. o o Entonces F ⊂ X es cerrado si y s´lo si F c ⊂ τ oTeorema: Si es la familia de conjuntos cerrados en un espacio topol´gico oX, = {F ⊂ X : F es cerrado en X}, entonces: i) es estable bajo intersecciones arbitrarias ii) es estable bajo uniones finitas iii) φ ∈ y B ∈ (redundante)Demostraci´n: o i) {Fi }i∈I ⊂ =⇒ X − Fi ∈ τ para toda i ∈ I As´ i∈I (X − Fi ) ∈ τ , es decir X − i∈I Fi = ı i∈I (X − Fi ) ∈ τ Por lo tanto i∈I Fi ∈ ii) An´logo a i) aDefinici´n 2.10: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y A ⊂ X. Se define o ola adherencia (cerradura) de A como: A− = A⊂F F , tal que F es cerradoTAREA 2.4 Teorema: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y A ⊂ X. Se tiene que: o i) φ− = φ ii) A ⊂ A− iii) A−− = A− iv) (A ∪ B)− = A− ∪ B −Demostraci´n:o i) φ = φ⊂F F = φ. Por lo tanto φ− = φ − ii) Es obvio de la definici´n o iii) Sabemos que si A es cerrado, entonces A = A− , como A− es cerrado,se tiene que A− = A−− iv) Puesto que A ⊂ A− y B ⊂ B − , tenemos que A ∪ B ⊂ A− ∪ B − ,el cual, por ser una uni´n finita de cerrados es cerrada. Por lo tanto, dado oque (A ∪ B)− es el cerrado m´s peque˜o que contiene a A ∪ B, tenemos a n − − −(A∪B) ⊂ A ∪B . Para demostrar la inclusi´n inversa, note que A ⊂ A∪B, oas´ A ⊂ (A ∪ B) e igualmente B ⊂ (A ∪ B)− . As´ A− ∪ B − ⊂ (A ∪ B)− . ı − − − ı Por lo tanto (A ∪ B)− = A− ∪ B −Observaci´n: A− es cerrado; ya que A− es intersecci´n de cerrados, y por o ola segunda propiedad del teorema de la familia de conjuntos cerrados: A− ∈ 2
  3. 3. Definici´n de Kuratowski: Sean X un conjunto, y ϕ : 2X −→ 2X una ofunci´n tal que: o i)ϕ(φ) = φ ii) A ⊂ ϕ(A), ∀A ∈ 2X iii) ϕ(ϕ(A)) = ϕ(A), ∀A ∈ 2X iv) ϕ(A ∪ B) = ϕ(A) ∪ ϕ(B), ∀A, B ∈ 2XSi = F ∈ 2X : ϕ(F ) = F , entonces define una topolog´ sobre X ıaObservaciones: ϕ se llama la funci´n cerradura de Kuratowski o En la topolog´ definida por ıa (inducida por ϕ) se tiene que ϕ(B) = B − , ∀B ∈ 2XDefinici´n 2.11: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y x ∈ X o o Se dice que V ∈ 2X es vecindad de x, si ∃W ∈ τ tal que x ∈ W ∪ V Definici´n de Simmons [Introduction to Topology and Modern Analy- o sis, 1966]: V es vecindad de x si V ∈ τDefinici´n 2.12: Sea (X, τ ) un espacio topol´gico. o o Una familia de vecindades de x, (ηx ) se llama una base local en x si: i) N ∈ ηx , N ∈ τ ii) ∀A ∈ τ tal que x ∈ A, ∃N ∈ ηx , con N ⊂ AEjemplo: ηx = {(a, b) : a, b ∈ Q} es una base local numerable, ya que Qes numerable.Definici´n 2.13: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y β ⊂ τ , entonces β o oes una base para τ si: ∀U ∈ τ , ∃BU ∈ β tal que BU ⊂ UDefinici´n 2.14: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y A ⊂ X o o − Se dice que A es denso si A = XDefinici´n 2.15: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y A ⊂ X o o X es separable si A es denso y numerableDefinici´n 2.16: Sea (X, τ ) un espacio topol´gico o o 3
  4. 4. X es completamente separable si ∃β ⊂ τ tal que β es una base numerable.Definici´n 2.17: Sea (X, τ ) un espacio topol´gico o o X es d´bilmente separable si para cada x ∈ X existe βx base local nume- erableTeorema: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y A ⊂ X o − Entonces A = {x ∈ X : N ∩ A = φ, ∀N ∈ ηx }Demostraci´n: o Llam´mosle B a {x ∈ X : N ∩ A = φ, ∀N ∈ ηx }. Sabemos que ηx = {N ∈ τ : x ∈ N } e =⇒) PD. A− ⊂ B, es decir B c ⊂ A−c Si y ∈ B c =⇒ ∃N ∈ ηy abierta tal que N ∩ A = φ =⇒ N ⊂ A− =⇒ A ⊂ N c =⇒ A− ⊂ N c =⇒ y ∈ A− =⇒ y ∈ A−c / As´ B c ⊂ A−c ı Por lo tanto A− ⊂ B⇐=) PD. B ⊂ A− , es decir A−c ⊂ B c Sea y ∈ A−c =⇒ y ∈ A− =⇒ ∃F cerrado tal que y ∈ F =⇒ y ∈ F c el cual / /es abierto, es decir, ∃Ny = F c ⊂ ηy tal que Ny ∩A = φ =⇒ y ∈ B =⇒ y ∈ B c / −c c As´ A ⊂ B ı Por lo tanto B ⊂ A−Por lo tanto A− = BDefinici´n 2.18: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico, A ⊂ X y x ∈ X. o oSe definen: x es punto de A aislado si ∃N ∈ ηx tal que (N − {x}) ⊂ Ac x es punto de acumulaci´n si ∀N ∈ ηx se tiene que (N − {x}) ∩ A = φ o ˙ Notaci´n: N − {x} = N se llama vecindad agujerada oTeorema: Sean (X, τ ) un espacio topol´gico y F ⊂ X cerrado, entonces oF = A ∪ B con A = {x ∈ F : x es punto aislado} y B = {x ∈ F : x es puntode acumulaci´n de F}, A ∩ B = φ o ˙Nota: Si x es no aislado, entonces ∀N ∈ ηx se tiene que N ∩ A = φ porlo tanto x ∈ Aa 4

×