Integrales  indefinidas
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    Integrales  indefinidas Integrales indefinidas Document Transcript

    • Apuntes sobre la integral indefinida.1.- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA.La integración es la operación inversa de la derivación.Dada una función f(x), diremos que F(x) es una primitiva suya si F’(x)=f(x).Nota: La primitiva de una función no es única; por ejemplo, si f(x)=3x2, entonces F1(x)=x3,F2(x)=x3+2,............etc, son primitivas de f(x).Propiedad: Si F1(x) y F2(x) son primitivas de una misma función f(x), entonces se diferencianen una constante; o sea, F1(x)-F2(x)=cte.Demostración:.)()())((0))((0)()()()()(2121212121xctexFxFxctexFFxxFFxxFxFxxfxFxF∀=−⇒∀=−⇒∀=−⇒∀=−⇒∀==Pues bien, acabamos de ver que si una función f(x) tiene una función primitiva F(x), entoncesadmite infinitas primitivas, cuyas expresiones serán F(x)+K, siendo K una constante arbitraria.Al conjunto de todas las primitivas de f(x), se le llama integral indefinida de f(x) y se le denotamediante ∫ .)( dxxfPor ejemplo: ∫ += Kxdxx 323 , siendo K una constante arbitraria.Si existe la integral indefinida de una función, se dice que ésta es integrable.2.- PROPIEDADES DE LA INTEGRACIÓN.Las dos propiedades más importantes de la integración son las siguientes:1) La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia)de las integrales de dichas funciones. O sea,[ ]∫ ∫ ∫+=+ .)()()()( dxxgdxxfdxxgxfDemostración: Por un lado [ ]( ) )()()()( xgxfdxxgxf +=+∫ .Por otro lado,( ) ( ) ( ) ).()()()()()( xgxfdxxgdxxfdxxgdxxf +=+=+ ∫∫∫ ∫ csqd.Igual se demuestra con la diferencia.2) La integral del producto de un número por una función es igual al producto delnúmero por la integral de dicha función. O sea, ∫ ∫⋅=⋅ .)()( dxxfadxxfaDemostración: Análoga a la anterior.La utilización de estas dos propiedades constituye el llamado método de descomposición en elque como principio conviene descomponer el integrando lo más posible, aplicando laspropiedades anteriores; a veces, conviene hacer un hábil manejo de constantes, sumar y restaruna misma cantidad ó multiplicar y dividir por un mismo número.Ejemplo: Kxxdxxxdxdxxxdxdxxxx+⋅−⋅=⋅−⋅=−=−∫ ∫∫ ∫∫ ln7211722177 223Integrales indefinidas. Pág 1 de 6.
    • Apuntes sobre la integral indefinida.3.- CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS.TIPOSFORMASSimples Compuestas1. Potencial (n≠-1) Knxdxxnn++=∫+112. Logarítmico Kxdxx+=∫ ln13. ExponencialKaadxaKedxexxxx+=+=∫∫ln4. Seno Kxdxx +−=∫ cossen5. Coseno Kxdxx +=∫ sencos6. Tangente Kxtanxdx +=∫ secln7. Cotangente Kxanxdx +=∫ senlncot8. Secante Ktanxdxx +=∫2sec9. Cosecante Kxandxxec +−=∫ cotcos 210. Arco seno Kxarcdxx+=−∫ sen11211. Arco tangente Kxtanarcdxx+=+∫ 21112. Arco secante Kxarcdxxx+=−⋅∫ sec112Aunque no son inmediatas, hay algunas que aparecen con mucha frecuencia y conviene saber.Son las siguientes:dxcbxaxnmxedxcbxaxdxxa∫ ∫ ∫ ++++++ 22221,1Ejemplos:1) .2212121212121214441412222Kxatandxxdxxdxxdxx+⋅=+⋅=+⋅=+=+ ∫∫∫∫2)Kxatandxxdxxdxxxdxxx++⋅⋅=++⋅=++=+++=++∫∫∫∫21221212)12(2212)12(121441344122223)tangentearcotiponeperianotipodxxxdxxxxdxxxxdxxxx−=++−+++=++−+=++−∫∫∫∫ 13813321383213522222Integrales indefinidas. Pág 2 de 6.
    • Apuntes sobre la integral indefinida.4.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE.Este método es una consecuencia de la derivación de funciones compuestas. Como su nombreindica, se trata de sustituir la variable x por otra variable t mediante una nueva función g tal quex=g(t), para transformar el integrando f(x)dx en otro más sencillo.De esta manera, dx=g’(t)dt, con lo que quedaría que ∫ ∫ ⋅= dttgtgfdxxf )())(()( .En la práctica se suele hacer de la siguiente manera:Se hace t=u(t), de donde dt=u’(x)dx y se despejan a continuación x y dx, sustituyéndolos en elintegrando.Si el cambio de variable ha sido bien elegido, la última expresión será más fácil de integrar quela primera. Una vez calculada ésta, se deshace el cambio y tendremos así la integral pedida.¿Cuándo es aconsejable utilizar este método?a) Cuando aparezca en el integrando un producto o un cociente de funciones de modoque una de ellas “recuerda” a la derivada de la otra.Ejemplo: .)2()4sen( 2∫ +⋅+ dxxxHacemos el cambio x2+4x=t y nos quedaría (2x+4)dx=dt. EntoncesKxxKtdttdxxxdxxx++⋅−=+−⋅=⋅=+⋅+⋅=+⋅+ ∫∫∫)4cos(21)cos(21sen21)2(2)4sen(21)2()4sen(222b) Cuando el integrando guarda cierto parecido con una integral inmediata.Ejemplo: ∫ +dxx 9412Esta integral guarda cierto parecido con ∫ +dxx 112que es inmediata.Dividiendo en nuestra integral numerador y denominador por 9 nos queda:(*)19419119491941222=+=+=+ ∫∫∫ dxxdxxdxxAhora hacemos el cambio de variable dtdxdtdxtx233232=⇒=⇒= , con lo queKxtanarcKttanarcdttdttdtt+⋅=+⋅=+⋅=+⋅⋅=+⋅= ∫∫∫ 3261611118311239112391(*) 222c) En algunos casos es necesario comenzar realizando una transformación previa paradespués aplicar un cambio de variable.Ejemplo: ∫ −+dxxx11.(*)sen11111111111222+=−+−=−+=+⋅−+⋅+=−+∫∫∫∫∫xarcdxxxdxxdxxxdxxxxxdxxxIntegrales indefinidas. Pág 3 de 6.
    • Apuntes sobre la integral indefinida.En la segunda integral (*), hacemos el cambio de variable 1-x2=t, con lo que –2xdx=dt yentonces .12211221(*) 22KxKttdttdtdxxx+−−=+−=−=⋅−=−−⋅−= ∫∫∫Por lo tanto, .1sen11 2Kxxarcdxxx+−−=−+∫5.- INTEGRACIÓN POR PARTES.Este método se basa en la derivada de un producto de funciones.Sean u y v dos funciones de una misma variable independiente. Entonces∫ ∫ ⋅−⋅=⋅⇒⋅−⋅=⋅⇒⋅+⋅=⋅ duvvudvuduvvuddvuduvdvuvud )()(Esta fórmula reduce el cálculo de la integral ∫ ⋅dvu al de ∫ ⋅duv .¿Cuándo es conveniente emplear este método?a) Cuando aparezca un producto o un cociente de funciones de modo que ninguna delas derivadas de estas funciones recuerde a la otra.Ejemplo: ∫ ⋅ dxex x2Llamamos u=x2y dv=exdx con lo que du=2x·dx yxxedxev == ∫ .Luego ∫ ∫ ∫∫ ⋅−⋅=−==⋅*222xdxexevduuvudvdxex xxx**2(*) ∫ ⋅⋅= xdxex. En (**) volvemos a hacer u=x y dv=exdx con lo que du=dx yxxedxev == ∫ .∫ +−⋅=−⋅= Keexdxeex xxxx(**)Resumiendo, KxxeKeexxedxex xxxxx+−−⋅=+−⋅⋅−⋅=⋅∫ )12()(2 222b) A veces, el procedimiento de integración por partes nos conduce a la misma integraldel principio, como en el ejercicio siguiente:Ejemplo: ∫ ⋅ xdxexcosLlamamos u=cosx y dv=exdx con lo que du=-senx·dx yxxedxev == ∫ .Luego ( )*sencos)sen(coscos ∫∫∫ ⋅+⋅=−⋅−⋅=⋅ xdxexedxxexexdxe xxxxxEn (*) volvemos a hacer u=sen x y dv=exdx con lo que du=cosx·dx yxxedxev == ∫ .∫ ⋅−= xdxexe xxcossen(*)Entonces,KxexexdxeKxexexdxexdxexexexdxexxxxxxxxxx+⋅+⋅=⋅⇒+⋅+⋅=⋅⋅⇒⋅−⋅+⋅=⋅∫∫∫∫2sencoscossencoscos2cossencoscosc) A veces, es necesario combinar el método de integración por partes con otro.6.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.Integrales indefinidas. Pág 4 de 6.
    • Apuntes sobre la integral indefinida.Las funciones racionales son de la forma)()()(xQxPxf = donde P(x) y Q(x) sonfunciones polinómicas y están definidas en todos los puntos de R menos en aquellos donde seanula el denominador.Nota importante: Las integrales de muchas funciones racionales pueden calcularsedirectamente; por eso, hay que comprobar primero si el integrando pertenece a alguno de estostipos:a) Forma potencialb) Forma neperianac) Forma arco tangented) Forma neperiano-arco tangentevistos con anterioridad. Si no corresponde a ninguno de estos tipos, lo que haremos serátransformar nuestra función racional en una suma de fracciones que tienen por denominadorpolinomios de primer o segundo grado irreducibles (descomposición en fracciones simples).Estudiaremos solamente el caso en el que todas las raíces del denominador sean reales puestoque es el único caso que exigen en Selectividad.El esquema de descomposición en fracciones simples es el siguiente:.........................................................................)....(....................)()()....(....................)()(....................)()(232+−+−+−++−+−++−+−+−=triplelinealfactorpxRpxQpxPdoblelinealfactormxNmxMsimpleslinealesfactorescxCbxBaxAxQxPPara la determinación de las constantes A, B, C,....,M, N,.....,P, Q,.... se hace lo siguiente:a) Se multiplica la igualdad anterior por Q(x), obteniéndose la igualdad polinómicaP(x)=.............b) Se dan valores numéricos en ambos miembros, tantos como constantes haya quedeterminar. Por comodidad se utilizan las raíces obteniéndose un sistema deecuaciones.c) Se resuelve el sistema y las soluciones obtenidas se sustituyen en las fraccionessimples.Ejemplo: Vamos a descomponer en fracciones simples la función racional153)( 23+−−+=xxxxxfEl denominador se descompone como (x+1)·(x-1)2. Entonces podremos descomponer como1)1(1153)( 223−+−++=+−−+=xCxBxAxxxxxfMultiplicando la igualdad anterior por (x+1)·(x-1)2resulta 3x+5=A(x-1)2+B(x+1)+C(x+1)(x-1)Dando valores:Para x=1 tenemos 8=2B⇒B=4Para x=-1 tenemos 2=4A⇒A=1/2Para x=0 (por ejemplo) tenemos 5=A+B-C⇒C=-1/2Entonces tenemos que:121)1(4121153223−−+−++=+−−+xxxxxxx .Integrales indefinidas. Pág 5 de 6.
    • Apuntes sobre la integral indefinida.Los factores simples así obtenidos son fácilmente integrables, pues serán de la forma potencial óneperiana. En nuestro casoKxxxdxxdxxdxxdxxxxx+−⋅−−−+⋅=−−+−++=+−−+∫∫∫∫ 1ln21141ln21121)1(4121153223Integrales indefinidas. Pág 6 de 6.
    • Apuntes sobre la integral indefinida.Los factores simples así obtenidos son fácilmente integrables, pues serán de la forma potencial óneperiana. En nuestro casoKxxxdxxdxxdxxdxxxxx+−⋅−−−+⋅=−−+−++=+−−+∫∫∫∫ 1ln21141ln21121)1(4121153223Integrales indefinidas. Pág 6 de 6.