3. En tres dimensiones
𝑉𝑥 = 𝑉 sen 𝛼 cos 𝛽 ; 𝑉𝑦 = 𝑉 sen 𝛼 sen 𝛽 ; 𝑉𝑧 = 𝑉 cos 𝛼
Cinemática
o Fórmulas generales
En cualquier movimiento predecible
𝑥 = 𝑥 𝑜 + 𝑣 𝑜 𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
; 𝑎𝑖𝑛𝑠𝑡 =
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
Movimientos en una dimensión
Parámetro M. R. U. A. Caída libre Tiro vertical
a
𝑣 − 𝑣 𝑜
𝑡 − 𝑡 𝑜
9.81
𝑚
𝑠2
= 32.2
𝑓𝑡
𝑠2
−9.81
𝑚
𝑠2
= −32.2
𝑓𝑡
𝑠2
v 𝑣 𝑜 + 𝑎𝑡 𝑔 𝑡 𝑣 𝑜 − 𝑔𝑡
x 𝑣 𝑜 𝑡 +
𝑎𝑡2
2
ℎ =
𝑔𝑡2
2
ℎ = 𝑣 𝑜 𝑡 −
𝑔𝑡2
2
v2
𝑣 𝑜
2
+ 2𝑎𝑑 2𝑔ℎ 𝑣 𝑜
2
− 2𝑔ℎ
o Fórmulas complementarias y movimientos en dos dimensiones
Modificación de la aceleración gravitacional en base al ángulo
𝑔 = 9.81 sen 𝜃 (𝑒𝑛
𝑚
𝑠2
) = 32.2 sen 𝜃 (𝑒𝑛
𝑓𝑡
𝑠2
)
Para una caída vertical, θ=90° por lo tanto: sen 90° = 1
𝑔 = 9.81
𝑚
𝑠2
= 32.2
𝑓𝑡
𝑠2
Tiro vertical
Tiempo y altura máxima
𝑡 𝑚á𝑥 =
𝑣 𝑜
𝑔
; ℎ 𝑚á𝑥 =
𝑣 𝑜
2
2𝑔
α
β
4. Movimiento parabólico con salida horizontal
o Componentes de la velocidad:
Componente en x
𝑣 𝑜 = 𝑣 𝑥 = 𝑣𝑓
Componente en y
𝑣 𝑦 = 𝑔𝑡
𝑣 𝑦𝑓 = 𝑔𝑡 𝑚á𝑥
𝑣 𝑦
2
= 2𝑔ℎ
Velocidad absoluta
𝑣2
= 𝑣 𝑥
2
+ 𝑣 𝑦
2
𝑣𝑓
2
= 𝑣 𝑥𝑓
2
+ 𝑣 𝑦𝑓
2
Alcance (dmáx) y altura de salida (hmáx)
𝑑 𝑚á𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑡 𝑚á𝑥
ℎ 𝑚á𝑥 =
𝑔𝑡 𝑚á𝑥
2
2
Aplican también para un instante cualquiera (se sustituye el tiempo del instante de interés)
5. o Movimiento parabólico con salida inclinada
Componentes de la velocidad
Para la velocidad inicial
𝑣 𝑜𝑥 = 𝑣 𝑜 cos 𝜃
𝑣 𝑜𝑦 = 𝑣 𝑜 sen 𝜃
𝑣 𝑜
2
= 𝑣 𝑜𝑥
2
+ 𝑣 𝑜𝑦
2
Componente en x
𝑣 𝑜𝑥 = 𝑣 𝑥 = 𝑣 𝑥𝑓
Componente en y
𝑣 𝑦 = 𝑣 𝑜𝑦 − 𝑔𝑡
𝑣 𝑦
2
= 𝑣 𝑜𝑦
2
− 2𝑔ℎ
Velocidad absoluta
𝑣2
= 𝑣 𝑥
2
+ 𝑣 𝑦
2
𝑣𝑓
2
= 𝑣 𝑥𝑓
2
+ 𝑣 𝑦𝑓
2
Altura (h) o posición en el aire en un instante
ℎ = 𝑣 𝑜𝑦 𝑡 −
𝑔𝑡2
2
= 𝑣 𝑜 sen 𝜃 𝑡 −
𝑔𝑡2
2
Altura máxima o flecha (f)
f =
𝑣 𝑜𝑦
2
2𝑔
=
(𝑣 𝑜 sen 𝜃)2
2𝑔
6. Tiempo de flecha (tf) o tiempo que tarda en alcanzar la altura
máxima
𝑡𝑓 =
𝑣 𝑜𝑦
𝑔
=
𝑣 𝑜 sen 𝜃
𝑔
Tiempo del proyectil en el aire (tA)
𝑡 𝐴 =
2 𝑣 𝑜𝑦
𝑔
=
2 𝑣 𝑜 sen 𝜃
𝑔
Posición horizontal del proyectil (dh)
𝑑ℎ = 𝑣 𝑥 𝑡 = 𝑣 𝑜 cos 𝜃 𝑡
Alcance del proyectil (A) o distancia máxima alcanzada
A =
𝑣 𝑜
2
sen 2 𝜃
𝑔
o Movimiento circular
Ecuación general
𝜃 = 𝜃 𝑜 + 𝑤𝑜 𝑡 +
1
2
𝛼𝑡2
𝜃̇ =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
= 𝑤𝑜 + 𝛼𝑡
𝜃̈ =
𝑑2
𝜃
𝑑𝑡2
= 𝛼
Periodo (T) y frecuencia (f)
T ∙ f = 1
7. Velocidad angular (w) (Para θo=0 y to=0)
𝑤 =
á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
=
𝜃
𝑡
Como θ en radianes = S/r
𝑤 =
𝑆
𝑟𝑡
Siendo S el arco barrido, r el radio y t el tiempo. La velocidad angular se da en rad/s.
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 (
𝜋
180°
)
Velocidad tangencial (vt)
𝑣𝑡 =
2 𝜋 𝑟
𝑇
= 2𝜋𝑟𝑓
𝑣𝑡⃗⃗⃗⃗= 𝑤⃗⃗⃗ × 𝑟⃗
𝑣𝑡 = 𝑤𝑟
Aceleración centrípeta (ac)
𝑎 𝑐 =
𝑣𝑡
2
𝑟
Fuerza centrípeta (Fc)
𝐹𝑐 = 𝑚 ∙ 𝑎 𝑐