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13                                ECUACIONES DE DINAMICA     FUERZA     Peso (w)w= - mg          Fuerza normal (N)N = m...
14    MOVIMIENTO CIRCULAR    El desplazamiento angular (θ)θ = θ2 - θ1    Velocidad angular (w)w=θ/t    La velocidad ...
15    MOVIMIENTO CIRCULAR ACELERADO O VARIADO (MCV)    Aceleración lineal o tangencialaT = r    Velocidad angular (w)w...
16    TRABAJO NETO   1. Sumamos todas las fuerzas y calculamos la fuerza neta: F1 + F2 + F3 + F4 = FN →      WFn = FNX.  ...
17                      ECUACIONES DE MECÁNICA DE FLUIDOS     HIDROSTATICA     La densidad ()=m/V     El peso específ...
18    ECUACIÓN DE BERNOULLIP1 + ½ v21 + gh1 = P2 + ½ v22 + gh2P + ½ v2 + gh = Constante    APLICACIONES DE LA ECUA...
19     Dilatación superficialA = ς Ao T A = Ao (1 + ςT). Donde ς ≈ 2. Es decir, que A = Ao (1 +2T)     Dilatación ...
20    Ecuación de estado de los gases idealesPV = n RT   -   R = 8,314 J/mol K, es conocida como constante de los gases i...
21                        LISTADO DE ECUACIONES GRADO 11                                ECUACIONES DEL MAS    MAS (sistem...
22    Energía mecánica totalE = ½kA²     (en función de la amplitud)E = ½mv² + ½kx² (en función de la velocidad y de la e...
23    Tabla de valores máximos       t               x            v        a             K      U       0               A...
24    Longitud de onda en función de los armónicosλ= 2L/n       n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…    Frecuencia de una cuerda en ...
25    Convenciones: la siguiente tabla resume las convenciones de signos para     identificar el tipo de espejos con el c...
26    Convenciones: la siguiente tabla resume las convenciones de signos para     identificar el tipo de lentes con el cu...
27    CAMPO ELECTRICO UNIFORMEv = -qEt/ma = -qE/mv = -qEt/mv2 = -2qEx/my = -qEt2/2mx=vtK = qEx    ENERGIA POTENCIAL ELEC...
28    COMBINACIÓN DE CONDENSADORES EN PARALELOCeq = C1 + C2 +…    CORRIENTE ELECTRICAI=q/t    FUERZA ELECTROMOTRIZ=w/q...
29     LEYES DE KIRCHHOFF     PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF O LEY DE NODOS                  (Ley de conservación de la      c...
30                            SOLUCIÓN DE ECUACIONESPara plantear una solución se debe anotar primero los datos conocidos ...
31                                  UNIDAD 1                        MOVIMIENTO ONDULATORIO                                ...
32                            MAPA CONCEPTUAL                          MOVIMIENTO OSCILATORIOSe describe con los elementos...
33                          MOVIMIENTOS ONDULATORIOS      Movimientos oscilatoriosEn la naturaleza existen algunos cuerpo...
34    La oscilaciónUna oscilación o ciclo se produce cuando el objeto, partir de determinada posición,después de ocupar t...
35                         MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) Todos los cuerpos en la naturaleza se comportan como oscilador...
36     o EjemploUn ascensor de carga tiene una masa de 150kg. Cuando transporta el máximo de carga,350kg, comprime sus cua...
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38Al ángulo  se le llama constante de fase.Valores máximos de la posición para  = 0 viene dada por x = ACos( wto ) posic...
39La velocidad lineal v, es tangente a la trayectoria solo posee una componente vx ya queel movimiento se da en el diámetr...
40    La mínima velocidad se da en t = 0, t = T/2 y t = T  v = 0. En los extremos del    círculo. Máxima elongación en el...
41Valores máximos de la aceleración para  = 0 viene dada por a = -Aw2Cos(wt)aceleración inicial.Valores de la aceleración...
42Como la masa y la velocidad angular son constantes, entonces la fuerza varía en formaproporcional a la elongación.   o E...
43    Periodo de un MASHasta ahora se conoce el período previamente de un MAS, sin embargo es posibleencontrar una expres...
44    La energía en el MASUn MAS se produce en ausencia de fricción, pues la fuerza neta que actúa sobre elobjeto – fuerz...
45    Para el punto O (posición de equilibrio)En O la fuerza restauradora es nula ya x = 0, por lo tanto la energía es ne...
46De acuerdo a la ley de Hooke, F = -kx, y a la segunda ley de Newton, F = ma. Igualandoambas ecuaciones ma =-kx, despejan...
47De la ecuación E = K + U = 1/2mv2 + 1/2kx2 1/2kA2 = 1/2mv2 + 1/2kx2,Despejando v 1/2mv2 = 1/2kA2 - 1/2kx2 mv2 = kA2 -...
48   o ProblemaLa figura muestra la gráfica de la energía potencial en función de la amplitud de uncuerpo de un 1kg que re...
49                                 EL PÉNDULO SIMPLEUn péndulo simple es un modelo que consiste en una masa puntual suspen...
50    Período de péndulo simpleAnalicemos la siguiente figura                                                       Cuan...
51    Como hay una fuerza restauradora ya que se considera un MAS, esta viene dada     por F = -kx. Igualando -mgx/L= -kx...
52                                  UNIDAD 2                                    ONDAS LOGRO MACRO Describe y aplica el c...
53                           MAPA CONCEPTUAL                                      ONDASSe clasifican de                   ...
54                                        ONDAS    Formación de ondasAnalicemos la siguiente figura. Se lanza una piedra ...
55    Frentes de ondasSon líneas que se propagan en la misma dirección y une todos los puntos vecinos deuna onda que vibr...
56    Ondas periódicasAl tomar un acuerda y aplicarle un movimiento vertical en uno de sus extremos, segenera un pulso qu...
57Serian equivalentes a las “montañas” o zonas elevadas en el movimiento de la cuerday las depresiones o zonas bajas en la...
58    La frecuencia de una onda ( f )Es el número de ondas formadas por unidad de tiempo. Sus unidades son las mismasdel ...
59     o ProblemaTu emisora de radio favorita tiene una frecuencia de 88,9 MHz. Calcula  si esta sepropaga con una veloci...
60Cada partícula de la cuerda oscila con un MAS de la misma amplitud y frecuencia. Eldesplazamiento de una partícula en el...
61El valor del ángulo wt  Kx se le denomina ángulo de fase. De forma más general(wt  Kx) + . Cuando este ángulo es igua...
62       VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE UNA ONDA EN UNA CUERDALa velocidad de propagación de una onda depende de las caracter...
63El segmento s forma un arco de radio R y ángulo θ, el cual viene dado pors = R(2θ). Como el segmento esta acelerado ex...
64             LA ENERGÍA Y LA POTENCIA QUE TRANSMITEN LAS ONDASTodo movimiento ondulatorio tiene cierta energia asociada ...
65Sabemos que P = E / tDespejando E/ t = 2v2f2A2Por lo tanto la potencia transmitida viene dada por:                   ...
66                          FENÓMENOS ONDULATORIOSLas ondas en su camino de propagación pueden experimentar una serie de c...
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  1. 1. 1 COLEGIO DE LA SAGRADA FAMILIA AREA DE CIENCIAS NATURALES Y EDUCACIÓN AMBIENTAL ESTRUCTURA DE TRABAJO DE LA ASIGNATURA DE FÍSICA AÑO 2011 PLANEACIÓN Y EJECUCIÓN GRADO 11 EST RESPONSABLE LICENCIADO NELSON JESUS CARDALES GALINDO LA FÍSICA“La que en verdad abrió los ojos del hombre al universo y permitió acceder a la conquistas de sus misterios y a la profundización de otros”.
  2. 2. 2 TEXTOS DE REFERENCIAS – WEBGRAFIA FISICA 2 HIPERTEXTO Santillana. EDITORIAL SANTILLANA. FISICA SERWAY 5a Y 6a EDICION PARA INGENERIA Mc GRAWHILL. PAGINAS WEB DE LIBRE USO (SIMULADORES – EVALUACIONES – PROYECTOS). Los enlaces aparecen en el documento.
  3. 3. 3 ESTÁNDARES FÍSICA Me aproximo al conocimiento como científico natural Décimo- Observo y formulo preguntas específicas sobre aplicaciones de teorías científicas.- Formulo hipótesis con base en el conocimiento cotidiano, teorías y modelos científicos.- Identifico variables que influyen en los resultados de un experimento.- Propongo modelos para predecir los resultados de mis experimentos y simulaciones.- Realizo mediciones con instrumentos y equipos adecuados.- Registro mis observaciones y resultados utilizando diagramas, gráficos y tablas.- Registro mis resultados en forma organizada y sin alteración alguna.- Establezco diferencias entre descripción, explicación y evidencia.- Establezco diferencias entre modelos, teorías, leyes e hipótesis.- Utilizo las matemáticas para modelar, analizar y presentar datos y modelos en forma- de ecuaciones, funciones y conversiones.- Busco información en diferentes fuentes, escojo la pertinente y doy el crédito correspondiente.- Establezco relaciones causales y multicausales entre los datos recopilados.- Relaciono la información recopilada con los datos de mis experimentos y simulaciones.- Interpreto los resultados teniendo en cuenta el orden de magnitud del error experimental.- Saco conclusiones de los experimentos que realizo, aunque no obtenga los resultados esperados.- Persisto en la búsqueda de respuestas a mis preguntas.- Propongo y sustento respuestas a mis preguntas y las comparo con las de otros y con las de teorías científicas.- Comunico el proceso de indagación y los resultados, utilizando gráficas, tablas, ecuaciones aritméticas y algebraicas.- Relaciono mis conclusiones con las presentadas por otros autores y formulo nuevas preguntas.
  4. 4. 4 Manejo conocimientos propios de las ciencias naturales Entorno físico- Establezco relaciones entre las diferentes fuerzas que actúan sobre los cuerpos en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme y establezco condiciones para conservar la energía mecánica.- Modelo matemáticamente el movimiento de objetos cotidianos a partir de las fuerzas que actúan sobre ellos.- Explico la transformación de energía mecánica en energía térmica.- Establezco relaciones entre estabilidad y centro de masa de un objeto.- Establezco relaciones entre la conservación del momento lineal y el impulso en sistemas de objetos.- Explico el comportamiento de fluidos en movimiento y en reposo.- Relaciono masa, distancia y fuerza de atracción gravitacional entre objetos.- Establezco relaciones entre el modelo del campo gravitacional y la ley de gravitación universal.- Establezco relaciones entre fuerzas macroscópicas y fuerzas electrostáticas.- Establezco relaciones entre campo gravitacional y electrostático y entre campo eléctrico y magnético.- Relaciono voltaje y corriente con los diferentes elementos de un circuito eléctrico complejo y para todo el sistema. Ciencia, tecnología y sociedad- Explico aplicaciones tecnológicas del modelo de mecánica de fluidos.- Analizo el desarrollo de los componentes de los circuitos eléctricos y su impacto en la vida diaria.- Analizo el potencial de los recursos naturales en la obtención de energía para diferentes usos.- Establezco relaciones entre el deporte y la salud física y mental.- Explico el funcionamiento de algún antibiótico y reconozco la importancia de su uso correcto.- Reconozco los efectos nocivos del exceso en el consumo de cafeína, tabaco, drogas y licores.- Explico cambios químicos en la cocina, la industria y el ambiente.- Verifico la utilidad de microorganismos en la industria alimenticia.- Describo factores culturales y tecnológicos que inciden en la sexualidad y la reproducción humanas.- Argumento la importancia de las medidas de prevención del embarazo y de las enfermedades de transmisión sexual en el mantenimiento de la salud individual y colectiva.
  5. 5. 5- Identifico tecnologías desarrolladas en Colombia. Desarrollo compromisos personales y sociales- Escucho activamente a mis compañeros, reconozco otros puntos de vista, los comparo con los míos y puedo modificar lo que pienso ante argumentos más sólidos.- Reconozco y acepto el escepticismo de mis compañeros ante la información que presento.- Reconozco los aportes de conocimientos diferentes al científico.- Admito que los modelos de la ciencia cambian con el tiempo y que varios pueden ser válidos simultáneamente.- Cumplo mi función cuando trabajo en grupo y respeto las funciones de otras personas.- Me informo para participar en debates sobre temas de interés general en ciencias.- Diseño y aplico estrategias para el manejo de basuras en mi colegio.- Cuido, respeto y exijo respeto por mi cuerpo y por el de las demás personas.- Tomo decisiones responsables y compartidas sobre mi sexualidad.
  6. 6. 6 COMPETENCIAS EN CIENCIAS NATURALESLas competencias que se evalúan en ciencias naturales se describen a continuación.Cabe anotar que son aplicables a la asignatura de física.IDENTIFICAR: esta competencia enfatiza no en la memorización de los conceptos y lasteorías, sino que los comprenda, que encuentre relación entre la física y las demásáreas del saber y que sepa aplicar sus conocimientos en la resolución de problemas.INDAGAR: está orientada a la búsqueda de información que ayude a establecer lavalidez de una respuesta preliminar. Uno de esos mecanismos es la experimentación,donde se recree un fenómeno natural para deducir de él conclusiones aplicables.EXPLICAR: es fundamental someter las explicaciones propuestas a debate y estardispuestos a cambiarlas cuando se reconozca que existen razones para ello. Lacreatividad y la imaginación como también la crítica y la autocrítica ayudan a laelaboración de una explicación coherente y creíble en el estudio de la naturaleza através de la física.Cada una de las competencias en ciencias naturales en especial física desde lossiguientes componentes:MECÁNICA CLÁSICA: está en relación con la manera como se caracteriza el movimientode un cuerpo y la argumentación que se hace sobre el cambio en el movimiento delcuerpo.¿Respecto a quién o qué se mueve un cuerpo? ¿Por qué cambia su movimiento? ¿Elmovimiento es una característica intrínseca de los cuerpos?Carácter direccional de algunas de las magnitudes físicas involucradas en el análisis delmovimiento de un cuerpo (posición, velocidad, cantidad de movimiento y fuerza).TERMODINÁMICA: involucra la manera como se relaciona las variables de estado en elequilibrio termodinámico y cómo se incrementa la energía interna de un sistema.Relaciones entre energía interna, temperatura, volumen, presión y número de partículasde un sistema. EVENTOS ONDULATORIOS: se relaciona con la forma como se caracteriza un movimiento ondulatorio y lo que sucede cuando una onda interactúa con un cuerpo u otra onda.- Análisis de la “ecuación de onda”.- Interacciones onda-partícula y onda-onda.
  7. 7. 7 EVENTOS ELECTROMAGNÉTICOS: hace referencia a la manera como se puede cargar eléctricamente un sistema, a la forma como se genera una corriente eléctrica y a las condiciones necesarias para que un cuerpo interactúe con un campo magnético.- Caracterización de la carga eléctrica de un sistema (su naturaleza, su ilustración gráfica, entre otros).- Análisis básico de las características atractivas y repulsivas de fuerzas eléctricas y magnéticas y los procesos mediante los cuales es posible cargar eléctricamente un sistema.- Noción de campo, potencial eléctrico y de las condiciones necesarias para generar una corriente eléctrica (nociones de conductividad y resistividad eléctrica), así como las condiciones necesarias para que un cuerpo interactúe en un campo magnético.
  8. 8. 8REGLAMENTO Y MEDIDAS DE SEGURIDAD EN EL LABORATORIO DE FÍSICA Entrar en orden al laboratorio y ubicarse en grupo de ocho (8) en las mesas de la uno (1) a la cuatro (4). No arrojar basura en el piso ni sobre las mesas, usar la caneca. No rayar las mesas ni las sillas de brazos. No subirse ni sentarse en las mismas. No ingerir alimentos ni bebidas durante la permanencia en el laboratorio. No manipular ninguna conexión eléctrica del laboratorio. El docente se encargará de ello. No manipular los experimentos de biología depositados en el laboratorio. Usar los materiales disponibles para los montajes planeados, solo cuando el docente lo disponga. Cuando se trabaje con fuente de calor y/o corriente eléctrica, espere las indicaciones del docente para ser manipulados. Hágalo con sumo cuidado. Al momento de retirarse, dejar las sillas sobre las mesas. En caso de evacuación siga las flechas de la ruta más cercana al laboratorio, manteniendo orden en la salida y en los pasillos hasta el punto de encuentro. Verificar la medida de presión del extintor asignado al laboratorio.
  9. 9. 9 INFORME DE LABORATORIOA continuación se hará una descripción sencilla, de las partes de un laboratorio, lascuales se deben seguir de acuerdo al orden establecido.PORTADA:Nombre del colegio:Título del laboratorio:Grado y curso:Nombre de las integrantes del grupo de trabajo:Asignatura:Nombre del profesor:Fecha de entrega:DESARROLLO:Nombre de la práctica: aparecen en la guíaObjetivo (s) de la práctica: aparecen en la guíaMateriales: los usados en la realización de la práctica, aparecen en la guíaTeoría relacionada: una breve descripción o resumen de la teoría vista sobre el tema.Procedimiento: se hace una corta explicación de cómo se hizo la práctica, en primerapersona.Recolección de datos: se debe anotar todos los datos obtenidos durante la práctica, ensus respectivas tablas de valores, si las hay.Tablas y gráficas: representación en el plano cartesiano de los datos obtenidos.Análisis de resultados: se responden las preguntas a partir de la teoría conocida y losresultados que arroje el análisis de gráficas.Conclusiones: se hace alusión si se llegó a la demostración práctica de la teoría vista enclases.Bibliografía – Webgrafía: se anotan los libros usados como textos guías y de consultasademás de los enlaces de páginas relacionadas con la temática.
  10. 10. 10 MECANÍSMOS DE EVALUACIÓNPara lograr una profundización en la teoría y los conceptos en la asignatura de física,esta se evaluara de la siguiente forma y dentro de los tiempos estipulados. 1. Se desarrollará durante el curso cuestionarios tipos ICFES de la temática, dichas actividades serán evaluadas. 2. La sección de CONSULTAS que aparecen a lo largo del documento es de obligatorio cumplimiento, ya que serán evaluadas. 3. Al inicio de cada clase se harán preguntas teóricas que buscaran verificar si hay continuidad y profundización en los temas estudiados en las clases anteriores, las cuales serán valoradas. 4. Para trabajar los talleres se formaran grupos de 3 alumnas para su solución los cuales deberán ser sustentados en clases para su discusión y corrección. Se aclara que todos los grupos deben resolver los puntos de los talleres. Se aceptara si alguna alumna desea hacerlo individual. 5. La preparación y ejecución de los laboratorios se llevara a cabo por grupo conformados por 4 alumnas. Los cuales deben socializar los resultados en clases, luego del análisis de resultados. Se realizaran prácticas con materiales traídos por las alumnas donde se evaluara la creatividad y el grado de profundización que aporte el experimento. 6. Los talleres y trabajos deben ser presentados dentro de la fecha estipulada. Serán revisados y calificados y devueltos para socializarlos. 7. Se motivará a todas las alumnas que presenten en clases ejercicios, problemas y consultas hechas en textos y en internet los cuales aporten a la de profundización de los temas vistos en las mismas. 8. Los grupos de laboratorio que presenten experimentos a la comunidad serán evaluados y podrán ser eximidos de evaluaciones posteriores. Periódicamente los grupos de laboratorio deberá presentar actividades experimentales a los demás cursos, en las horas concernientes al área de las ciencias naturales. 9. En colaboración con el área de informática (internet) se harán prácticas virtuales usando los simuladores o en la biblioteca previo permiso para el uso del internet. Los cuáles serán evaluados como laboratorios reales. 10. Todos los exámenes serán tipos ICFES con la salvedad de que los procedimientos deben acompañar las respuestas marcadas, donde sea necesario.
  11. 11. 11 CONTENIDO DEL DESARROLLO DE LA ASIGNATURAA continuación se desarrollara toda la temática de la física de 11o la cual consta delsiguiente orden:  Logro macro.  Indicadores de logros.  Mapa conceptual.  Desarrollo de los temas.DESARROLLO DE COMPETENCIAS  TALLERES (individual o 2 alumnas). Interpreta. Argumenta. Propone.  Verifica conceptos. - Analiza y resuelve.  Problemas básicos.  Problemas de profundización.  PARTICIPACIÓN EN CLASES (la valoración más importante).  EXPOSICIONES (grupo de tres).  EXÁMENES (individuales).  LABORATORIOS (4 alumnas por grupo).  PRUEBAS ICFES (durante la realización de las clases).  EVALUACIÓN FINAL (según programación por periodo).NOTA: las actividades se llevaran a cabo en las clases. Aquellas que no seancompletadas deberán ser terminadas por las alumnas y presentadas en la siguienteclase.NOTA: las valoraciones se tomaran de 0,0 hasta 5,0
  12. 12. 12 LISTADO DE ECUACIONES GRADO 10 ECUACIONES DE CINEMATICAA continuación se enlistan las ecuaciones que se usaran durante el curso  MUx = vt  MUAv = v0 ± atx = v0t ± at2/2v2 = v20 ± 2ax  CAIDA LIBRE Y LANZAMIENTO VERTICALv = v0 ± gt g= 9,8m/s2y = v0t ± gt2/2 v2 = v20 ± 2gy  COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTORAX = ACosθ AY = ASenθ  VECTOR RESULTANTE║ A║= √ (A2 x + A2y)  ANGULO VECTOR RESULTANTETanθ = AY / AX  MOVIMIENTO SEMIPARABOLICOx = v0t y = - gt2/2vy = -gt y = - x2g/2v2o  MOVIMIENTO PARABOLICOvx = v0 Cosθ tv = 2ts ts =v0senθ/gvy = v0 Senθ Ymax = v20 sen2θ/2gx = v0tcosθ Xmax = v20 sen (2θ)/g
  13. 13. 13 ECUACIONES DE DINAMICA  FUERZA  Peso (w)w= - mg  Fuerza normal (N)N = mg  Plano inclinadowX = wSenθ y wY = wCosθ  Plano inclinado la normal es igual a la componente vertical del pesowy = - N  N = - mgCosθ  Fuerza de rozamiento o fricción (fr)Fr = N, donde  se le conoce cono coeficiente de rozamiento estático  LA PRIMERA LEY DE NEWTON  Equilibrio de traslaciónFn = 0  LA SEGUNDA LEY DE NEWTON O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICAFn = ma  CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL (MOMENTUM LINEAL)P = mv  IMPULSO MECÁNICOFn = p/tI = p – p0  I = pI = Fn t  COLISIONESm1v1o + m2v2o = m1v1f + m2v2f
  14. 14. 14  MOVIMIENTO CIRCULAR  El desplazamiento angular (θ)θ = θ2 - θ1  Velocidad angular (w)w=θ/t  La velocidad lineal (v)v = wr  MCU  El desplazamiento angular (θ)θ = wt  Periodo (T)T=t/n  Frecuencia (f)f=n/tTf = 1T=1/f yf=1/T  La velocidad angular (w)w = 2π /Tw = 2πf  Aceleración centrípeta (aC)ac = v2/R  Fuerza centrípeta (FC)FC = m v2 /R
  15. 15. 15  MOVIMIENTO CIRCULAR ACELERADO O VARIADO (MCV)  Aceleración lineal o tangencialaT = r  Velocidad angular (w)w = w0 + t  Desplazamiento angular (θ)θ = w0t - t2 / 2  La aceleración del sistemaa2 = a2T + a2C  TRANSMISIÓN DEL MOVIMIENTO CIRCULARw1R = w2r  LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSALF = G Mm / R2, G = 6,67x10-11Nm2 / kg2  ROTACIÓN DE SOLIDOS  Torque o momento de una fuerza = Fd Senθ-mg + T + F = 0  La cantidad de movimiento angularL=mwr2  TRABAJOW = FxCosθ  Trabajo realizado por la fuerza de fricciónW = - fr x  TRABAJO HECHO POR UNA FUERZA VARIABLEW = 1/2kx2
  16. 16. 16  TRABAJO NETO 1. Sumamos todas las fuerzas y calculamos la fuerza neta: F1 + F2 + F3 + F4 = FN → WFn = FNX. 2. Calculando el trabajo hecho por cada fuerza y luego sumando cada uno de ellos: WFn = WF1 + WF2 + WF3 + WF4.  LA ENERGÍA  La energía potencial gravitacionalEP = mgh  LA ENERGÍA CINÉTICAEC = mv2/2  EL TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍAWneto = EC - EC0  POTENCIAP = W/ t ó P = Fv  PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICAEM = K + U → mv2A / 2 + mghA = mv2B / 2 + mghB  ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICAEM = K + UG + UEEM = mv2 /2 + mgh +1/2kx2  LAS FUERZAS NO CONSERVATIVAS Y LA ENERGÍA MECÁNICAEmA + WFNC = EMb  LA ENERGÍA EN LAS COLISIONES  Colisiones elásticam1v1o + m2v2o = m1v1f + m2v2f  Colisiones inelásticasm1v1o + m2v2o = (m1 + m2)v
  17. 17. 17 ECUACIONES DE MECÁNICA DE FLUIDOS  HIDROSTATICA  La densidad ()=m/V  El peso específico = g  LA PRESIÓN (P)  La presión en los sólidosP = F/A  La presión en los líquidosP = hg  EL PRINCIPIO DE PASCALFA/AA = FB/AB  EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES  Fuerza de empujeFE = l gVsumFE = l gVdesp  LA PRESION EN LOS GASES  La presión atmosférica ( Patm )Pgas = Patm +  g h Llamada presión absoluta  HIDRODINAMICA  Ecuación de continuidadA1 v1 = A2 v2  Gasto volumétrico o caudalQ = Av ó Q = V/ t
  18. 18. 18  ECUACIÓN DE BERNOULLIP1 + ½ v21 + gh1 = P2 + ½ v22 + gh2P + ½ v2 + gh = Constante  APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI  El tubo de VenturiP1 + ½ v21 = P2 + ½ v22  Teorema de Torricelliv = (2gh) ECUACIONES DE TERMODINAMICA  EQUILIBRIO TÉRMICOQa = -Qc  PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CALÓRICAQ a = -Qc La Ecuación Fundamental de la Calorimetría  CAPACIDAD TERMICA O CALORIFICA (C)C = Q/T  CALOR ESPECÍFICOce = Q/m TQ = mceT  TRANSFERENCIA O TRANSMISION DE CALOR  Conducción del calorH = - kAT/e ó H = - kA (T1 - T2)/e  LA DILATACIÓN  Dilatación en sólidos  Dilatación linealL =  Lo TL = Lo (1 + T)
  19. 19. 19  Dilatación superficialA = ς Ao T A = Ao (1 + ςT). Donde ς ≈ 2. Es decir, que A = Ao (1 +2T)  Dilatación volumétricaV = Vo T V = Vo (1 + T) ≈2ς. Es decir, que V = Vo (1 + 4T)  CALOR LATENTEQ = mL  La energía cinéticaK = mceT + mLf  Calor específico desconocidocX = ma ca (Te - Tia ) / m0 (Tix - Te)  LEYES DE LOS GASES  Ley de Boyle – MariotteP1 V1 = P2 V2 - Al ser inversamente proporcionales la condición inicial y final es igual. Es un proceso ISOTERMICO.  Ley de CharlesV1/T1 = V2/T2 - Al ser directamente proporcionales las condiciones iníciales y finales son iguales. Es un proceso ISOBÁRICO.  Ley de Gay – LussacP1/T1 = P2/T2 - Al ser directamente proporcionales las condiciones iníciales y finales son iguales. Es un proceso ISÓCORO.  Ley de los gases idealesP1V1T2 = P2V2T1
  20. 20. 20  Ecuación de estado de los gases idealesPV = n RT - R = 8,314 J/mol K, es conocida como constante de los gases ideales.  PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA (Conservación de la energía) - E = QN –W principio de conservación de la energía  TRABAJO REALIZADO POR UN GAS:W = PV  PROCESO ADIABATICOQ = 0, E = –W  PROCESO ISOBARICOE = Q – PV. Es una aplicación de la ley de Charles V1 / T1 = V2 / T2  PROCESO ISOTERMICOQ = W (P1 V1 = P2 V2)  PROCESO ISOCORO (isométrico ó isovolumétrico)  E = Q Es una aplicación de la Ley de Gay—Lussac  LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA - El calor no fluye de los cuerpos más fríos a los cuerpos más calientesWneto = Q1 – Q2  EFICIENCIA DE LA MAQUINA TERMICA (  ) = 1 - Q2/Q1  CICLO DE CARNOTWneto = Q1 – Q2  EFICIENCIA DEL CICLO DE CARNOT = (T1 – T2)/T1 = 1 - T2/T1
  21. 21. 21 LISTADO DE ECUACIONES GRADO 11 ECUACIONES DEL MAS  MAS (sistema masa-resorte)  Posiciónx = Acos(wt) (elongación en la posición inicial)x = Acos(wt + φ) (elongación en cualquier t y ángulo φ ó constante de fase)x = A (elongación máxima o amplitud)  Velocidadv = -wAsen(wt) (velocidad en la posición inicial)v = -wAsen(wt + φ) (velocidad en cualquier t y ángulo φ ó constante de fase)v = -w√(A² - x²) (velocidad en función de la velocidad angular, amplitud y elongación)v = - √( k/m)√(A² - x²) (velocidad en función de la constante de elasticidad, de lamasa , amplitud y elongación)v = - wA (velocidad máxima, en función de la velocidad angular y al amplitud)  Aceleracióna = -w² Acos(wt) (aceleración en la posición inicial)a = -w² Acos(wt + φ) (aceleración en cualquier t y ángulo φ ó constante de fase)a = -w² x (aceleración en función de la elongación)a = -w² A (aceleración máxima en función de la amplitud)  Energía cinéticaK = ½mv²  Energía potencial elásticaU = ½kx²
  22. 22. 22  Energía mecánica totalE = ½kA² (en función de la amplitud)E = ½mv² + ½kx² (en función de la velocidad y de la elongación)E = ½mv² + ½kA² (en función de la velocidad y de la amplitud)T = 2π√(m/k) (período en función de la masa y la constante de elasticidad)f = 1/2π√(k/m) (frecuencia en función de la constante de elasticidad y la masa)  Periodo del péndulo simpleT = 2π√(l/g) (período en función de la longitud y la gravedad)  Frecuencia del péndulo simplef = 1/2π√(g/l) (frecuencia en función de la gravedad y la longitud)  Energía mecánica total del péndulo simpleE = mgl (en función de la longitud)  Otras fórmulas útilesF = -kxw² = k/mk = mw²m = k/w²w = √(k/m)  Aceleración en función de la constante de elasticidad, la masa y de la elongacióna = (k/m)x  Aceleración en función de la constante de elasticidad, la masa y de la amplituda = (k/m)A
  23. 23. 23  Tabla de valores máximos t x v a K U 0 A 0 - w²A 0 ½kA² T/4 0 - wA 0 ½mv² 0 T/2 -A 0 w²A 0 ½kA² 3T / 4 0 wA 0 ½mv² 0 T A 0 - w²A 0 ½kA² ECUACIONES DE ACUSTICA  Velocidad de propagaciónv = λ/ T (T periodo)v = λf (frecuencia)  Función de ondaY = Asen[w t ± Kx]Y = Acos[w t ± Kx]  Numero de ondasK =2π/λ  Densidad linealμ= m / L  Velocidad de propagación de una onda en una cuerdav = √(T/μ) (T es tensión)v = √(TL/m)  Energía de onda en una cuerdaE = 2mπ2f2A2  Potencia de una ondaP = 2μvπ2 f2 A2 ó P = 2μw2 A2 v  Ley de SnellSenθi /Senθr = v1 / v2
  24. 24. 24  Longitud de onda en función de los armónicosλ= 2L/n n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…  Frecuencia de una cuerda en función de los armónicosfn = nv/2L n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…  Velocidad del sonido en función de la temperaturav = 331m/s + (0,6m/s 0C)T (T es la temperatura)  Intensidad del sonidoI = P/A2I = P/4πR2 (R es distancia)  Nivel de intensidadβ = 10dB Log (I/I0), I0 = 10-12w/m2 (umbral de audición)  Efecto Dopplerf0 = f (v ± v0 ) / ( v ± vf )  Frecuencia en tubos sonoros - Tubos abiertos: fn = nv/2L n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… - Tubos cerrados: fn = nv/4L n = 1, 3, 5, 7… ECUACIONES DE OPTICA GEOMETRICA  ECUACIÓN DEL CONSTRUCTOR DE ESPEJOS Ó ECUACIÓN DE DESCARTES.R = 2fM = - p / q = h / h’M = - O / I = do /di1 / f = 1/ p + 1 / q
  25. 25. 25  Convenciones: la siguiente tabla resume las convenciones de signos para identificar el tipo de espejos con el cual se esta trabajando. - Para p (+): objeto enfrente del espejo (objeto real) p (-): objeto detrás del espejo (objeto virtual) - Para q (+): imagen enfrente del espejo (imagen real) q (-): imagen detrás del espejo (imagen virtual) - Para f (+): espejo cóncavo f (-): espejo convexo - Para R (+): el centro de curvatura está enfrente del espejo ( cóncavo) R (-): el centro de curvatura está detrás del espejo (convexo) - Para M (+): la imagen es vertical M (-): la imagen está invertida  REFRACCIÓN DE LA LUZ  Índice de refracción (n)n=c/vSenθi / Senθr = n2 / n1 = v1 / v2  REFRACCIÓN Y REFLEXIÓN TOTAL  Angulo límiteSenθl = n2 / n1  LAS LENTESM = - O / I = do / di1/f=1/p+1/qD=1/f
  26. 26. 26  Convenciones: la siguiente tabla resume las convenciones de signos para identificar el tipo de lentes con el cual se está trabajando. - Para p ( + ): objeto enfrente de la lente (objeto real) p (-): objeto detrás de la lente (objeto virtual) - Para q ( + ): imagen detrás de la lente (imagen real) q (-): imagen delante de la lente (imagen virtual) - Para f ( + ): lente convergente f (-): lente divergente - Para D ( + ): lente convergente D (-): lente divergente - Para M ( + ): la imagen derecha M (-): la imagen está invertida ECUACIONES ELECTROSTATICA Y ELECTRODINAMICA  LA CARGA ELÉCTRICA  Carga elementale =1,602x10-19C, donde 1C = 6,25x1018 eq = Ne  FUERZA ELECTRICALEY DE COULOMBFe = K q1 q2 / r2 K ≈ 9x109 Nm2 / C2FE = w tan  CAMPO ELECTRICOE = KQ/r2E = F/q - Los campos eléctricos en una zona cerrada en su centro serán nulos
  27. 27. 27  CAMPO ELECTRICO UNIFORMEv = -qEt/ma = -qE/mv = -qEt/mv2 = -2qEx/my = -qEt2/2mx=vtK = qEx  ENERGIA POTENCIAL ELECTRICAW = qEdEp = qEd  POTENCIAL ELECTRICOV = W/qV = Ep/q  DIFERENCIA DE POTENCIALV = kq/rVab = kq (1/ra - 1/rb)V = EdEp = qV  CAPACITANCIA (C)C = Q/V  DIELECTRICOSC = KCo  COMBINACIÓN DE CONDENSADORES EN SERIECeq = 1/C1 + 1/C2 +…
  28. 28. 28  COMBINACIÓN DE CONDENSADORES EN PARALELOCeq = C1 + C2 +…  CORRIENTE ELECTRICAI=q/t  FUERZA ELECTROMOTRIZ=w/q  LEY DE OHMR = V/I  RESISTIVIDADR=L/AT = 0(1 + T)CIRCUITOS ELECTRICOS  RESISTENCIAS EN SERIEReq = R1 + R2 +…  RESISTENCIAS EN PARALELO1 / Req = 1 / R1 + 1 / R2…ENERGIA POTENCIALEp = Ivt  POTENCIA ELECTRICAP = IvP = I2RP = V2/RP = Pr + PR  EL EFECTO JOULEQ= Ivt
  29. 29. 29  LEYES DE KIRCHHOFF  PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF O LEY DE NODOS (Ley de conservación de la carga) Ie =  Is  SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF O LEY DE MALLAS (Ley de conservación de la energía) = IR - Para aplicar la segunda ley debemos tener en cuenta las siguientes reglas 1. Si la I circula en la dirección de la terminal positiva,  es positiva. 2. Si la I circula en la dirección de la terminal negativa,  es negativa. 3. Cada vez que la I circula por la dirección de la terminal positiva a través de una R se considera una caída de potencial y se expresa -IR. 4. Cada vez que la I circula por la dirección de la terminal negativa a través de una R se considera una ganancia de potencial y se expresa +IR. ECUACIONES DE MAGNETISMO  FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA ELÉCTRICAF = qvBsen
  30. 30. 30 SOLUCIÓN DE ECUACIONESPara plantear una solución se debe anotar primero los datos conocidos y luego los noconocidos de la siguiente forma DATOS CONOCIDOS DATOS DESCONOCIDOS DC DD Se debe leer Se debe leer cuidadosamente el cuidadosamente el problema planteado problema planteado y sacar los datos y sacar los datos que son dados, que no son dados, incluyendo aquellos es decir la (s) que son constantes incógnita (s) para y por lo tanto no la solución del son mencionados problema. pero se usa para la solución del problema.
  31. 31. 31 UNIDAD 1 MOVIMIENTO ONDULATORIO OSCILACIONES LOGRO MACRO Determina, explica y aplica las características del movimiento periódico y de un movimiento armónico simple caracterizando los sistemas masa – resorte, péndulo simple, desde el punto vista cinemático y dinámico. INDICADORES DE LOGROS Analiza las características generales del movimiento periódico a través de ejemplos de la vida cotidiana. Identifica las características dinámicas y cinemáticas de los sistemas físicos con movimiento armónico simple, para plantear nuevos problemas y establecer soluciones a estos a partir de las analogías. Caracteriza el movimiento de un sistema masa-resorte como armónico simple desde la cinemática, dinámica y la conservación de la energía. Aplica los principios del MAS al péndulo simple. Evalúa los proyectos que desarrolla bajo la asesoría del docente. Valora su desempeño en el periodo académico de acuerdo a los parámetros establecidos por la institución. DESARROLLO COMPROMISOS PERSONALES Y SOCIALES Escucha activamente a sus compañeras de clase, reconociendo otros puntos de vista. Reconoce y acepta el escepticismo de sus compañeras de clase ante la información que presenta Cumple su función cuando trabaja en grupo y respeta las funciones de otras personas.
  32. 32. 32 MAPA CONCEPTUAL MOVIMIENTO OSCILATORIOSe describe con los elementos Se clasifica en Oscilación Movimiento Armónico Movimiento Simple amortiguado Elongación Se caracteriza Se puede Se caracteriza por predecir por Periodo su Ausencia Presencia Frecuencia de Posición de fricción fricción Amplitud Velocidad Perdida de la Conservación energía de la energía mecánica mecánica Aceleración Puede ser Ley de Hooke Energía cinética Sobreamortiguado Energía potencial Subamortiguado Amortiguamiento critico
  33. 33. 33 MOVIMIENTOS ONDULATORIOS  Movimientos oscilatoriosEn la naturaleza existen algunos cuerpos que describen movimientos repetitivos concaracterísticas similares en lapsos iguales de tiempo, como por ejemplo, el péndulo deun reloj, las cuerdas de una guitarra, el extremo de una regla sujeta a la orilla de lamesa, las olas cuando se acercan o se alejan de la playa. Todos los movimientos quedescriben estos objetos se le conoce como: periódico.  Movimiento periódico: son movimientos cuya característica principal es que ocupan las mismas posiciones en ciertos intervalos de tiempo.Una de las aplicaciones de los movimientos periódicos es la medición del tiempo.La forma más sencilla de movimiento periódico es el movimiento oscilatorio de unobjeto atado a un resorte.Consideremos el siguiente sistema físico compuesto por un soporte, resorte y unamasa. La posición en el punto P se le llama posición inicial.X1 La posición en O se le llama A posición de equilibrio y es el punto dondeP el resorte está en su estiramiento máximo en reposo. X2 La posición Q se le llama posición final y es O el más bajo cuando el sistema está en movimiento.Q -APara describir un movimiento oscilatorio es necesario tener en cuenta los siguienteselementos: la oscilación, el periodo, la frecuencia, la elongación y la amplitud.Enlaces de apoyo. - http://www.mates-fskyqmk.net/fsk/sim%20hooke.html - http://www.meet-physics.net/David- Harrison/castellano/ClassMechanics/HookesLaw/HookesLaw.html
  34. 34. 34  La oscilaciónUna oscilación o ciclo se produce cuando el objeto, partir de determinada posición,después de ocupar todas las posibles posiciones de la trayectoria, regresa a ella. Esdecir, una oscilación de acuerdo a la figura es POQOP. El objeto vuelve a la posicióninicial.  El periodoEs el tiempo que demora la masa en realizar una oscilación completa, se representacon la letra T y sus unidades en el SI es el segundo.  La frecuenciaEs el número ciclos o de oscilaciones que realiza el móvil por unidad de tiempo, serepresenta con la letra f y sus unidades en el SI es el Hertz (Hz).En el movimiento oscilatorio, al igual que en el MCU, la frecuencia y el periodo serelacionan entre sí, siendo uno reciproco del otro, es decir: f = 1 / T y T = 1 / f, por lotanto Tf = 1  La elongaciónEs la posición que ocupa un objeto respecto a su posición de equilibrio. Se representapor la letra x.  La amplitudEs la máxima distancia que el cuerpo alcanza respecto a su posición de equilibrio,llamada también máxima elongación. Se representa por la letra A y se da en metros.  Definición del movimiento oscilatorio: se produce cuando al trasladar un sistema de su posición de equilibrio, una fuerza restauradora lo obliga a desplazarse a puntosa simétricos con respecto a esta posición. o EjemploUn bloque atado a un resorte oscila sin fricción entre las posiciones extremas B y B’indicadas en la figura. Si en 10 segundos pasa 20 veces por el punto B, determinar: a) El periodo de oscilación b) La frecuencia de oscilación c) La amplitud B B´ 6cm  Sugerencia ver ejemplos pagina 11 Física 2 Hipertexto Santillana.
  35. 35. 35 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) Todos los cuerpos en la naturaleza se comportan como osciladores, ya que las moléculas que lo conforman están atadas como por resortes que las hacen oscilar en un punto de equilibrio. Analicemos el sistema masa resorte desde dos puntos de vista de la dinámica y cinemática.  Dinámica del MAS Analicemos el siguiente sistema masa-resorte. Para que un objeto, como el representado en la figura, describa un movimiento oscilatorio, se requiere que sobre él actúe una fuerza que lo dirija del punto O hacia el punto Q, lo cual ocasiona una disminución en su rapidez e implica que dicha fuerza esté dirigida hacia O. P Si el objeto se mueve desde el punto Q al punto O, la rapidez se incrementa, dirigiendo la fuerza F= 0 hacia el punto O. A Cuando el objeto se mueve desde el punto O hacia el punto P, la rapidez se disminuye,X= 0 implica que la fuerza esté dirigida hacia el punto O. F -A Si el objeto se mueve desde el punto P al punto O, la rapidez se incrementa, dirigiendo la fuerza F hacia el punto O. Q En todos los casos la fuerza está dirigida hacia la posición de equilibrio O, por lo que se denomina fuerza de restitución. Siempre se opone a la dirección movimiento del objeto. Cómo la vector fuerza y elongación se orientan en dirección contraria, el sistema masa-resorte cumple la LEY DE HOOKE: F = -k x  Definición: un MAS es un movimiento oscilatorio en el cual se desprecia la fricción y la fuerza de restitución es proporcional a la elongación. Al cuerpo que describe este movimiento se le conoce como oscilador armónico.
  36. 36. 36 o EjemploUn ascensor de carga tiene una masa de 150kg. Cuando transporta el máximo de carga,350kg, comprime sus cuatro resortes 3cm. Considerando que los resortes actúan comouno solo, calcular: a) La constante del resorte b) La longitud e la comprensión del resorte cuando el ascensor no tiene carga.  Sugerencia ver ejemplos pagina 13 Física 2 Hipertexto Santillana.  Cinemática del MAS  Proyección de un movimiento circular uniformePara encontrar las ecuaciones de la posición, la velocidad y la aceleración de un MAS,nos apoyaremos en la semejanza entre la proyección del MCU de una pelota pegada alborde de un disco y el sistema masa-resorte y su proyección en el diámetro delcírculo.Analicemos la siguiente figura, donde un móvil se mueve con velocidad angularconstante w y describe un círculo de radio R. x F A P FE O Q -AEnlaces de apoyo. - http://www2.biglobe.ne.jp/~norimari/science/JavaEd/e-wave1.html - http://enebro.pntic.mec.es/~fmag0006/op_applet_17.htm
  37. 37. 37  Definición: un MAS es la proyección de un MCU a lo largo del diámetro de un circulo de radio R cuyo punto de equilibrio, es el centro del mismo y es equivalente al movimiento oscilatorio del sistema masa-resorte.Lo anterior implica que las ecuaciones del MCU se pueden aplicar al MAS. Por lo tantopodemos deducir ecuaciones para la elongación, velocidad, aceleración y periodo.  Cálculo de la posición (elongación en cualquier instante) x x P A T/4 T/2 3T/4 T t w θ t=0  π/2 π 3π/2 2π θ -A t w Gráfica del MCU-MAS Gráfica de la posición en cualquier tUna partícula en el punto P se mueve en un círculo de radio R = A con rapidez angularw, formando en un tiempo to, un ángulo θ.Es decir se ha desplazado angularmente.En el círculo se forma un triángulo rectángulo donde Cosθ = x / A  x = ACosθ, comoél móvil gira con velocidad angular w, dada por la posición se expresa θ = wt o,remplazando: x = ACos (wto) (Ecuación de posición inicial)Donde w = 2  / TComo el ángulo θ gira en determinado tiempo t, hasta un ángulo , entonces eldesplazamiento angular total es θ + . Sustituyendox = ACos( θ )  x = ACos(θ +  )  remplazando x = ACos ( wt +  ) (Ecuación general para la posición)
  38. 38. 38Al ángulo  se le llama constante de fase.Valores máximos de la posición para  = 0 viene dada por x = ACos( wto ) posicióninicial.Valores de la posición para   0. t 0 T/4 T/2 3T/4 T θ 0 /2  3/2 2 x A 0 -A 0 A  La máxima elongación se da en t = 0 = T/2 = T  x =  A  La mínima elongación se da en t = T/4 = 3T/4  x = 0 o EjemploU cuerpo describe un MCU con periodo de 0,1s y radio 5cm. Determinar: a) La velocidad angular del MCU b) La ecuación de posición del objeto a los 0,25s después de que el objeto ha pasado por el punto P  Sugerencia ver ejemplo pagina 14 Física 2 Hipertexto Santillana.  Cálculo de la velocidad (en cualquier instante) w θ v v x T/4 T/2 3T/4 T t θ t=0 vx π/2 π 3π/2 2π θ - Aw Gráfica del MCU-MAS Gráfica de la velocidad en cualquier t
  39. 39. 39La velocidad lineal v, es tangente a la trayectoria solo posee una componente vx ya queel movimiento se da en el diámetro del círculo, es decir en sentido horizontal. Dichavelocidad está dirigida hacia la izquierda de su posición inicial, como muestra la figura.De acuerdo al triangulo superior Senθ = -vx / v  vx = -vSenθ, como el móvil gira convelocidad angular w, dada por la posición se expresa θ = wto, remplazando:vx = -vSen(wto)Donde w = 2  / T.Del MCU sabemos que v = wA, de donde vx = -vSen(wto) v = - AwSen( wto ) (Ecuación de velocidad inicial)Como el ángulo θ gira en determinado tiempo t, hasta un ángulo , entonces eldesplazamiento angular total es θ + . Sustituyendo en v = -AwSen(θ + ) v = - AwSen( wt +  ) (Ecuación general para la velocidad)Valores máximos de la velocidad para  = 0 viene dada por v = -AwSen(wto) velocidadinicial.Valores de la posición para   0. t 0 T/4 T/2 3T/4 T θ 0 /2  3/2 2 v 0 -Aw 0 Aw 0La máxima velocidad se da en t = 3T/4 y t = T/4. La cual viene dada por vmáx = ± Aw (Ecuación para la velocidad máxima) Parte superior e inferior del círculo
  40. 40. 40 La mínima velocidad se da en t = 0, t = T/2 y t = T  v = 0. En los extremos del círculo. Máxima elongación en el resorte. El signo menos en la ecuación significa que la velocidad cambia su dirección durante su trayectoria.  Cálculo de la aceleración (en cualquier instante) θ a Aw2w T /4 T /2 3T /4 T t θ t=0 w θ ax  /2  3/2 2 w - Aw 2 Gráfica del MCU-MAS Gráfica de la aceleración en cualquier t La aceleración que experimenta el móvil es la centrípeta ac, posee una componente ax ya que el movimiento se da en el diámetro del círculo, es decir en sentido horizontal. Dicha aceleración está dirigida hacia la izquierda de su posición inicial, como muestra la figura. De acuerdo al triangulo superior Cosθ = -ax / ac  ax = -acCosθ, como el móvil gira variando su posición, dada por θ = wto, remplazando: ax = -acCos(wto) Donde w = 2  / T. Del MCU sabemos que ac = w2 A, de donde ax = -Aw2Cos(wto) a = -Aw2Cos( wto) (Ecuación de aceleración inicial) Como el ángulo θ gira en determinado tiempo t, hasta un ángulo , entonces el desplazamiento angular total es θ + . Sustituyendo en a = -Aw2 Cos(θ + ) a = -Aw2Cos( wt +  ) (Ecuación general para la aceleración)
  41. 41. 41Valores máximos de la aceleración para  = 0 viene dada por a = -Aw2Cos(wt)aceleración inicial.Valores de la aceleración para   0. t 0 T/4 T/2 3T/4 T θ 0 /2  3/2 2 v -Aw2 0 Aw2 0 -Aw2La máxima aceleración se da en t = 0, t = T/2 y t = T La cual viene dada por amáx = ±Aw2 (Ecuación para la aceleración máxima) En los extremos del círculo Máxima elongación en el resorte.La mínima aceleración se da en t = T/4 y t =3T/4  a = 0. Posición de equilibrioEl signo menos en la ecuación significa de la aceleración cambia si dirección durantesu trayectoria.De la ecuación de la posición x = ACos( wt +  ) sustituyendo en la de ecuación deaceleración a = -Aw2Cos( wt +  ), tenemos a = ±w2 x (Ecuación para la aceleración en función de la elongación)Desde el punto de vista dinámico la fuerza se expresa de acuerdo a la segunda ley deNewton F = ma, donde a = -w2x sustituyendo F = -mw2 x (Ecuación para la Fuerza en función de la elongación)
  42. 42. 42Como la masa y la velocidad angular son constantes, entonces la fuerza varía en formaproporcional a la elongación. o EjemploSe tiene un pistón cuya masa es 5kg, el cual realiza un MAS. La amplitud delmovimiento es 0,8cm y su frecuencia angular de 188,5rad/s. Si se considera elmovimiento a partir de su elongación máxima positiva, luego de tres segundos.Calcular: a) La velocidad del pistón. b) La aceleración del pistón. c) La elongación en ese tiempo. d) La fuerza ejercida por el pistón.  Sugerencia ver ejemplo pagina 16 Física 2 Hipertexto Santillana. o EjemploUn objeto atado al extremo de un resorte oscila con una amplitud de 5 cm y períodoigual a 1s. Si el movimiento se observa desde que el resorte está en su máximaelongación positiva, calcular: a) La máxima velocidad del movimiento. b) La máxima aceleración alcanzada por el objeto.  Sugerencia ver ejemplo pagina 18 Física 2 Hipertexto Santillana. o EjemploUn cuerpo describe un MAS con una velocidad angular de 20 rad/s y radio 5cm. Si elobjeto se encuentra en un punto Po a /3 rad de la posición de equilibrio, determinar: a) La posición del objeto en el punto Po. b) La posición del objeto 0,3 segundos después de haber pasado por el punto Po. c) La velocidad del objeto en ese mismo instante.  Sugerencia ver ejemplo pagina 18 Física 2 Hipertexto Santillana. Actividades adicionales: aportadas en forma de talleres por el docente.
  43. 43. 43  Periodo de un MASHasta ahora se conoce el período previamente de un MAS, sin embargo es posibleencontrar una expresión para este. De acuerdo al grafico de la página 35 y a la SegundaLey de Newton para este movimiento se tiene que F = - mw2 x, y la fuerza restauradoradel sistema masa – resorte viene dada por F = -kx igualando-mw2 x = -kx, simplificando mw2 = k, despejando w, w2 = k/m w =  k/m, sabemos que w = 2 /T, remplazando2 / T =  k/m despejando T T = 2 m / k El período en un MAS solo depende de la masa y la constante de elasticidad del resorte.Sabemos que f = 1/T, sustituyendo en la ecuación anterior T obtenemos f = 1/ 2 k / m La frecuencia en un MAS solo depende de la masa y la constante de elasticidad del resorte. o EjemploUn objeto de masa 200gr atado al extremo de un resorte cuya constante elástica es100N/m. el objeto se aleja de la posición de equilibrio una distancia igual a 20cm y sesuelta para que oscile. Si se considera despreciable la fricción, determinar: a) La amplitud, el período, la frecuencia, la ecuación de la posición del movimiento. b) La grafica de la elongación x en función del tiempo.  Sugerencia ver ejemplo paginas 19 – 20 Física 2 Hipertexto Santillana.
  44. 44. 44  La energía en el MASUn MAS se produce en ausencia de fricción, pues la fuerza neta que actúa sobre elobjeto – fuerza de restitución – es conservativa y la energía mecánica total seconserva. Sin embargo en sistemas reales que oscilan siempre hay fricción y enconsecuencia la energía mecánica se disipa, lo que genera las oscilacionesamortiguadas.De acuerdo a la siguiente figura deduciremos el comportamiento de la energíamecánica en cuatro puntos básicos: A, O, -A y x (cualquier posición) -A O A x Ec = 0 Ec = máxima Ec = 0 Ep máxima Ep= 0 Ep máximaRecordemos que E = K + U, donde K = 1/2mv2 y U = 1/2kx2.Cuando se comprime o se estira un resorte se almacena energía potencial elástica porefecto del trabajo realizado sobre él.  Para el punto A (máxima elongación positiva)Sabemos que en A la velocidad es cero por lo tanto la energía es netamente potencialelástica, es decir: E = K + U = 1/2mv2 + 1/2kx2. Entonces E = 0 + 1/2kx2, pero x = Aluego: E = 1/2kA2  Para el punto -A (máxima elongación negativa)En –A la velocidad es cero por lo tanto la energía es netamente potencial elástica, esdecir: E = K + U = 1/2mv2 + 1/2kx2. Entonces E = 0 + 1/2kx2, pero x = A luego: E = 1/2kA2Enlace de apoyo. - http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm
  45. 45. 45  Para el punto O (posición de equilibrio)En O la fuerza restauradora es nula ya x = 0, por lo tanto la energía es netamentecinética, es decir: E = K + U = 1/2mv2 + 1/2kx2Entonces E =1/2mv2 + 0, luego: E = 1/2mv2  Para un punto x (cualquier posición después de cierto t)Como la energia mecánica se conserva viene dada por: E = K + U, por la tanto la energiamecánica del sistema viene dado por E = 1/2mv2 + 1/2kA2La anterior ecuación se puede resumir así:E = 1/2mv2 + 1/2kx2 = 1/2m (-AwSen( wt +  )) 2 + 1/2k(ACos( wt +  ) )2 E = 1/2m A2 w2 Sen2 ( wt +  ) + 1/2kA2 Cos2 (wt +  )Sabemos w2 = k/m sustituyendoE = 1/2m A2 k/m Sen2 ( wt +  ) + 1/2kA2 Cos2 (wt +  )Eliminando términos semejantesE = 1/2kA2 Sen2 ( wt +  ) + 1/2kA2 Cos2 (wt +  )Factorizando términos semejantesE = 1/2kA2 [Sen2 ( wt +  ) + Cos2 (wt + )]De acuerdo a la trigonometría la expresión Sen2 (wt + ) + Cos2 (wt + ) = 1 E = 1/2kA2  Conclusión: la energía mecánica en un MAS es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud del movimiento.Una expresión para la aceleración del objeto en cualquier posición se puede deducir dela relación entre la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo con movimiento armónicosimple.
  46. 46. 46De acuerdo a la ley de Hooke, F = -kx, y a la segunda ley de Newton, F = ma. Igualandoambas ecuaciones ma =-kx, despejando la aceleración: a = - kx / mLa dirección de la fuerza y la dirección de la aceleración son las mismas.  Conclusión: la fuerza de restitución del resorte es cero cuando el cuerpo se encuentra en el punto de equilibrio y máxima en los puntos extremos.  Gráfica de la energía cinética y potencial elástica en un MAS Max Max Max Observe que E = 1/2kx2 es una U ecuación de segundo grado dela forma Y =  ax2 Min K Min Min Cuya gráfica es una x parábola -A 0 A  Gráfica de la energía mecánica en un MAS en función de t E1/2kA2 U K t(s) 0 T/4 T/2 3T/4 T
  47. 47. 47De la ecuación E = K + U = 1/2mv2 + 1/2kx2 1/2kA2 = 1/2mv2 + 1/2kx2,Despejando v 1/2mv2 = 1/2kA2 - 1/2kx2 mv2 = kA2 - kx2  v2 = k/m (A2 - x2) v2 = w2 (A2 - x2),Extrayendo raíz cuadrada. v =  w√A2 - x2 Ecuación de la velocidad en función de elongación.Velocidad en función de la elongación, amplitud y velocidad angular.  Tabla de valores máximos y mínimos en un MAS θ t x v a K U 0 0 A 0 -w2A 0 1/2kA2 /2 T/4 0 -wA 0 1/2mv2 0  1/2kA2 T/2 -A 0 w2A 0 3/2 3T/4 0 wA 0 1/2mv2 0 2 A T 0 -w2A 0 1/2kA2 Consulta: sistemas resonantes oscilaciones amortiguadas y oscilaciones forzadas.
  48. 48. 48 o ProblemaLa figura muestra la gráfica de la energía potencial en función de la amplitud de uncuerpo de un 1kg que realiza un MAS. Si la amplitud del cuerpo es 0,03m. Calcular: a) La energía mecánica del cuerpo en este MAS. b) La constante de restitución del movimiento. c) El período de oscilación. d) La energía cinética en la posición x = 0,01 y la velocidad que alcanza el cuerpo en ese punto. U (J) 4,5x10-2 0,5x10-2 x (m) 0,01 0,03  Sugerencia ver ejemplo paginas 22 Física 2 Hipertexto Santillana. o ProblemaUna masa de 2kg se fija a un resorte de k = 4N/m. si la amplitud del movimiento es2cm, ¿Cuál es el T del sistema y su E? además, ¿Cuál es la rapidez de la masa cuando laelongación del sistema es 1cm? o ProblemaLa E de un sistema masa-resorte es 10J. Si la masa es 0,05kg y k = 2N/m, ¿Cuál es laamplitud y la velocidad máxima del sistema masa-resorte? Actividades adicionales: aportadas en forma de talleres por el docente.
  49. 49. 49 EL PÉNDULO SIMPLEUn péndulo simple es un modelo que consiste en una masa puntual suspendida de unhilo de longitud, cuya masa se considera despreciable. La masa oscila de un lado a otroalrededor de su posición de equilibrio describiendo una trayectoria a lo largo de unarco de un círculo con igual amplitud, según la figura. θ θ L x x OEnlace de apoyo. - http://phet.colorado.edu/sims/pendulum-lab/pendulum-lab_en.html - http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechan ics/PendulumForces/PendulumForces.html
  50. 50. 50  Período de péndulo simpleAnalicemos la siguiente figura  Cuando el péndulo esta en la posición de equilibrio la θ tensión T y el peso w se anulan es decir T – w = 0. T (1ª ley de Newton) L  Cuando el péndulo no esta en su posición de WN equilibrio, el hilo forma un ángulo θ con la vertical y w el peso w se descompone T wt en dos componentes. wT x θ tangencial a la trayectoria dada por: wT = wSenθ. Y la wN perpendicular a la trayectoria dada por: wN = wCosθ. w Esta última se anula con la tensión. Por lo tanto la única fuerza restauradora es la ejercida por la componente tangencial del peso.  Es decir F = -mgSenθ. Para ángulos menores o iguales a 10º el movimiento es un MAS, y se cumple que Senθ ≈ θ.  En conclusión F = -mgθ  Como la longitud x del arco, el radio L y el ángulo θ ser relacionan mediante la expresión x = Lθ, de donde θ = x / L, sustituyendo en F = -mgθ  F = -mgx/L.
  51. 51. 51  Como hay una fuerza restauradora ya que se considera un MAS, esta viene dada por F = -kx. Igualando -mgx/L= -kx, eliminando términos semejantes y despejando k. la expresión queda k = mg/L.Sabemos que en cualquier MAS el período T viene dado por T = 2 m / kSustituyendo k, T = 2 m / mgL eliminando términos semejantes T = 2√ L /gEl período de oscilación de un péndulo simple, con una amplitud menor de 100: - Es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del hilo que sostiene el cuerpo. - Es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad. - No depende de la masa del cuerpo. - No depende de la amplitud angular.  La energía en un péndulo simpleEn el MAS de un péndulo simple en ausencia de la fricción la energía mecánica seconserva, es equivalente al sistema masa resorte. K = ½ mvmáx2 o ProblemaPara establecer el valor de la aceleración de la gravedad en la luna, un astronautarealiza una serie de mediciones del período con un péndulo de 1m de longitud, si elvalor promediado de los datos es 4,92 s, determinar: a) La aceleración de la gravedad lunar. b) La relación entre la aceleración lunar y la terrestre.  Sugerencia ver ejemplo paginas 24 Física 2 Hipertexto Santillana. o ProblemaDemostrar que la velocidad máxima para un punto en su posición más baja en unpéndulo simple viene dada por vmáx = 2gh0. Actividades adicionales: aportadas en forma de talleres por el docente.
  52. 52. 52 UNIDAD 2 ONDAS LOGRO MACRO Describe y aplica el concepto de una onda en términos de magnitudes físicas como frecuencia, longitud de onda, periodo, amplitud, velocidad y aceleración y determina las condiciones de onda estacionaria y su propagación en cuerdas. INDICADORES DE LOGROS Aplica los conceptos básicos sobre ondas en la descripción de fenómenos ondulatorios. Determina las condiciones en la cuales se dan los fenómenos ondulatorios. Entender el concepto de condición de frontera. Caracteriza las ondas de diferentes modos normales. Establecer como se generan las diferentes notas en los instrumentos de cuerda. Evalúa los proyectos que desarrolla bajo la asesoría del docente. Valora su desempeño en el periodo académico de acuerdo a los parámetros establecidos por la institución. DESARROLLO COMPROMISOS PERSONALES Y SOCIALES Escucha activamente a sus compañeras de clase, reconociendo otros puntos de vista. Reconoce y acepta el escepticismo de sus compañeras de clase ante la información que presenta Cumple su función cuando trabaja en grupo y respeta las funciones de otras personas.
  53. 53. 53 MAPA CONCEPTUAL ONDASSe clasifican de Se caracterizan Experimentan acuerdo con por su fenómenos de Mecánicas Reflexión Naturaleza Periodo de la Transmisión emisión Electromagnéticas Frecuencia Refracción Transversales Longitud de onda Superposición Oscilación del medio Amplitud Longitudinales Velocidad de Viajeras propagación Sentido de propagación Estacionarias
  54. 54. 54 ONDAS  Formación de ondasAnalicemos la siguiente figura. Se lanza una piedra en un estanque provocando elfenómeno la perturbación, cuya grafica se muestra al lado Superficie x t Fondo -x Ondas circularesCuando se toca una superficie liquida con un objeto las moléculas de agua se desplazanhacia abajo una distancia determinada y vuelven a su posición de equilibrio, no sedesplazan horizontalmente.La perturbación producida a la primera molécula se propaga a las otras empleando untiempo determinado, ese primer toque se le llama pulso o pulso de onda.Durante el fenómeno observado si dejamos un objeto sobre la superficie no sedesplaza, aunque la superficie este perturbada. Significa que las partículas de agua nose desplazan cuando se aplican pulsos, simplemente se mueven de abajo hacia arribaconservando la posición de equilibrio. En la gráfica anterior los pulsos forman círculosconcéntricos que se alejan a la misma velocidad desde su centro, también se puedeproducir pulsos de forma recta. Según la figuraEn ambos casos las líneas que se observan se les denominan:Enlace de apoyo. http://www.falstad.com/ripple/
  55. 55. 55  Frentes de ondasSon líneas que se propagan en la misma dirección y une todos los puntos vecinos deuna onda que vibran en fase. De acuerdo a la forma se le llaman frente ondas circulareso planos, mostrados en las figuras anteriores.Estos movimientos que se producen a través de un medio material de propagación sedenominan movimientos ondulatorios. En estos movimientos: `` SE TRANSPORTA ENERGIA MÁS NO MATERIA´´  Definición: es una perturbación que se propaga de un lugar a otro a través del tiempo, en dicho fenómeno hay transporte de energía más no materia.Según el medio de propagación, las ondas se clasifican en:  Ondas mecánicasSon perturbaciones que necesitan de un medio elástico (sólido, líquido y gaseoso) parapropagarse, transportan energía. Se originan al desplazar alguna porción del medioponiéndolo a oscilar con respecto a su porción de equilibrio. Por ejemplo, las ondasen las cuerdas, en el agua y las sonoras.  Ondas electromagnéticasSon ondas que no necesitan de un medio elástico para su propagación, es decir, lohacen en el vacio, transportando energía. Su propagación lo hace a través de lavibración de campos magnéticos y eléctricos. Por ejemplo, la luz, rayos X, la radiaciónultravioleta.El concepto de onda es abstracto. Lo que se observa es un reacomodo de la superficiedel agua. Sin el agua no habría onda, si es en una cuerda no habría ondas sin la cuerda ylas sonoras no lo serían sin las moléculas de aire.Se pueden generar pulsos en la superficie de un estanque para recrear este fenómenose usa una cubeta de ondas.Enlaces de apoyo. - http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Wave_Interference - http://concurso.cnice.mec.es/cnice2005/56_ondas/index.htm
  56. 56. 56  Ondas periódicasAl tomar un acuerda y aplicarle un movimiento vertical en uno de sus extremos, segenera un pulso que viaja a través de la cuerda. Según la figura y v Cada partícula de la cuerda permanece en reposo hasta que el pulso llega hasta ella, Partícula donde se mueve durante un instante y vuelve a permanecer en reposo, según la figura. y v Si se mantiene constante el movimiento en el extremo de la cuerda, la propagación a lo largo de la cuerda será Partícula periódica y produce un tren de ondas, como se muestra en la segunda figura.  Definición: cuando la perturbación local que origina a onda se produce en ciclos repetitivos a través del tiempo.Retomando la gráfica de entrada podemos hacer una analogía entre la onda generadaen el agua y la de una cuerda. x Crestas Crestas Zonas oscuras Superficie t tZonas claras Fondo -x VallesLa onda generada en al cubeta tiene dos zonas bien definidas una clara y una oscuraque se intercalan durante la propagación de los frentes de ondas. Las zonas clarasestán por encima de la superficie (la luz se refleja con mayor intensidad) y las zonasoscuras están por debajo de la superficie (la luz se refleja con menor intensidad).
  57. 57. 57Serian equivalentes a las “montañas” o zonas elevadas en el movimiento de la cuerday las depresiones o zonas bajas en la cuerda. Dichas zonas se conocen con el nombrede crestas y valles. Cuyo patrón se repite periódicamente en intervalos de espaciosfijos.Una onda posee un MAS ya que oscila en una posición de equilibrio, como lo hace elsistema masa-resorte o la proyección del MCU sobre el diámetro del círculo, por lotanto las condiciones para un MAS se aplican al movimiento ondulatorio.  Elementos del movimiento ondulatorioLa forma de la onda sugiere que ésta puede ser descrita matemáticamente medianteuna curva sinusoidal de amplitud A. de acuerdo a la siguiente figura, analizaremoscada elemento de una onda. T CrestaA  P  Q-A T Valle   La amplitud de onda (A)Es la máxima distancia (vertical) que alcanza una partícula con respecto a su posiciónde equilibrio. También se puede decir que es la altura de una cresta o la profundidad eun valle. Sus unidades son el cm o el m dependiendo de la situación planteada.  La longitud de onda ()Es la distancia (horizontal) entre dos puntos en los que empieza a repetirse elmovimiento. Se puede decir que es la distancia entre dos crestas consecutivas o dosvalles consecutivos. Además en el movimiento hay puntos llamados nodos los cualesestán en fase es decir tienen el mismo estado de vibración, en las grafica los puntos sonP Y Q, por lo tanto a  s ele puede definir como la distancia entre dos nodos noconsecutivos. Sus unidades son el cm o el m dependiendo de la situación planteada.Enlaces de apoyo. - http://www.xtec.cat/~ocasella/applets/ones/appletsol2.htm - http://www.falstad.com/membrane/
  58. 58. 58  La frecuencia de una onda ( f )Es el número de ondas formadas por unidad de tiempo. Sus unidades son las mismasdel MCU y el MAS, es decir, el Hertz (Hz).  El período de una onda ( T )Es el tiempo en el cual se produce una onda, que coincide con el tiempo que tarda unpunto en dar una vibración completa. Aunque también se puede definir como eltiempo que emplea una onda en desplazarse una . Sus unidades son el segundo.  La velocidad de propagación (v)Es la velocidad con que se propaga la perturbación en el medio. Puesto que la onda sedesplaza una distancia , en un tiempo de un período T, la velocidad de propagaciónes constante y se expresa: v=/TComo T = 1 / f se escribe también v = fPor lo tanto, la velocidad de propagación de las ondas, en todas las direcciones, tieneel mismo valor y su magnitud depende del medio de propagación, su rigidez yelasticidad. Por ejemplo las ondas en el agua se propagan con una velocidad de1500m/s y en el aire a 340m/s. Consulta: Dos ondas pueden tener igual A y diferente  o igual  pero diferente A. mostrar gráficamente lo anterior. o ProblemaUna placa vibrante de un timbre eléctrico está unidad por su extremo libre. Al sonar lacampanilla, la placa empieza a vibrar con una frecuencia de 20Hz, dando origen a unaonda de amplitud 1cm. Si la onda se propaga en la cuerda con una  de 44cm,determinar: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La misma velocidad si la amplitud se reduce a la mitad. c) ¿Qué condiciones deben cambiar para que en la cuerda se produzca una  de 22cm?  Sugerencia ver ejemplo paginas 42 Física 2 Hipertexto Santillana.
  59. 59. 59 o ProblemaTu emisora de radio favorita tiene una frecuencia de 88,9 MHz. Calcula  si esta sepropaga con una velocidad igual a la de la luz.  Sugerencia ver ejemplo paginas 42 Física 2 Hipertexto Santillana.De acuerdo a la forma de propagación las ondas, la cual puede ser paralela operpendicular a la dirección de las partícula del medio en el que se propaga, seclasifican en.  Ondas longitudinalesSon aquellas en las que las partículas del medio oscilan en dirección paralela a ladirección en que se propaga el movimiento ondulatorio. Las ondas mecánicas son deeste tipo, y se debe a las sucesivas comprensiones y expansiones del medio. Porejemplo, las ondas en un resorte y las del sonido.  Ondas transversalesSon aquellas en las que las partículas del medio oscilan en dirección perpendicular ala dirección en que se propaga el movimiento ondulatorio. Las ondas generadas en losestanques de agua o a las generadas por las ondas electromagnéticas. FUNCION DE ONDAHasta el momento hemos analizado muchas características de las ondas, como larapidez, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda, pero es necesario hacer unadescripción de la posición y movimiento de la partícula. Dicho análisis lo haremos através de una función llamada función de onda.  Función de onda: es una expresión que permite obtener la posición (y) de una partícula del medio con respecto a su posición de equilibrio (x), para cualquier instante de tiempo (t), es decir, y = f(x, t).La siguiente figura representa una cuerda larga y tensa, en la dirección del eje OX, pormedio de la cual se propaga una onda., con rapidez v, una distancia  y en un tiempo T. y v A t O x-A
  60. 60. 60Cada partícula de la cuerda oscila con un MAS de la misma amplitud y frecuencia. Eldesplazamiento de una partícula en el extremo izquierdo de la cuerda (x = 0), donde seorigina la onda, está dada por la expresión:Y = Asen (wt)Sabemos que v = 2/TSustituyendo Y = Asen [(2/T) t]Donde a es la amplitud del MAS.Como la onda se ha propagado con velocidad v, constante, el tiempo transcurrido tviene dado por t = x/v.Si el movimiento es un MAS entonces es periódico, es decir, el movimiento del punto xen un instante t es el mismo que para x = 0 en el instante anterior t – x/v. luego eldesplazamiento del punto x en el instante t es:Y = Asen [(2/T) t] = Asen [(2/T) (t – x/v)] = Asen [2 (t/T – x/v T)]Como vT =  Y = Asen[2 t /T – 2x/ ]La expresión w =2/T es la frecuencia angular en el MAS.La expresión K =2x /  es el número de ondas o constante de propagación.Rescribiendo la ecuación Y = Asen[w t – Kx] (Para una onda que se desplaza de la izquierda a la derecha) Y = Asen[w t + Kx] (Para una onda que se desplaza de derecha a izquierda)
  61. 61. 61El valor del ángulo wt  Kx se le denomina ángulo de fase. De forma más general(wt  Kx) + . Cuando este ángulo es igual a 900 (/2) se dice que la onda estádesfasada y las ecuaciones se escriben Y = Acos[w t - Kx] (Para una onda que se desplaza de la izquierda a la derecha) Y = Acos[w t + Kx] (Para una onda que se desplaza de derecha a izquierda) o EjemploUna cuerda tensa y atada en uno de sus extremos a la pared vibra con un MAS deamplitud 2cm, frecuencia de 8Hz y una velocidad de 20m/s. Determinar: a) w, A, T,  y K b) La función de onda par aun instante de tiempo t = 0,05s  Sugerencia ver ejemplo paginas 45 Física 2 Hipertexto Santillana. o EjemploLa función de propagación de una onda transversal está dada porY(x , t) = 2sen[ t / 0,02seg + x / 30cm], donde x, y están dadas en cm y t ensegundos. Determinar: A, f, K, , . o EjemploPara la onda representada en la figura determinar: A, , T, w, f, K y v 8 4 0 t-4 2 4 6 8-8
  62. 62. 62 VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE UNA ONDA EN UNA CUERDALa velocidad de propagación de una onda depende de las características del medio.Cuando se tienen cuerdas de diferentes masa y longitud y se tensionan, a mayortensión mayor es la velocidad de propagación de la onda. Si se hace lo mismo con unacuerda de mayor masa la velocidad es menor.Por lo tanto se puede afirmar que la velocidad de propagación de una onda en unacuerda es: - Directamente proporcional a la tensión de la misma. - Inversamente proporcional al grosor de la cuerda.Para determinar los factores de los cuales depende la velocidad de propagación de lasondas en una cuerda, supongamos que una cuerda es sometida a una tensión FT y queen un instante t = 0 se produce, en su extremo, una fuerza en dirección vertical F Yhaciéndola oscilar como muestra la figura, además tomemos una sección de la cuerda yanalicemos su comportamiento. s a = v2 / R Tomemos un pulso ubicado en la cresta de una onda en t = 0, con una aceleración radial o centrípeta dada por a = v2 / R, por lo tanto hay una fuerza dirigida hacia el centro del R círculo de radio R. Tomemos una sección de cuerda O s tal que está sujeto a un MAS. Dicha sección de cuerda tiene una densidad de masa lineal o masa por unidad de longitud, dada por  =m / l s θ θ v T FR T R R θ θEnlace de apoyo. O - http://phet.colorado.edu/sims/wave-on-a-string/wave-on-a-string_en.html
  63. 63. 63El segmento s forma un arco de radio R y ángulo θ, el cual viene dado pors = R(2θ). Como el segmento esta acelerado existe una fuerza proporcionada por la Tde la cuerda y es equivalente a la fuerza centrípeta, esta fuerza actúa sobre el eje Y, esdecir, a largo del radio del círculo. Sería la componente vertical de la tensión, esdecir, Tsenθ, o más general 2Tsenθ. Como s es pequeño, θ también lo es, tal quesenθ ≈ θ.Por lo tanto 2Tsenθ ≈ 2Tθ, la fuerza radial viene dada por FR = 2TθEl segmento tiene una masa m = (s), peros = R(2θ)  m =  R(2θ).De acuerdo a la 2ª ley de Newton FR = ma, igualando las fuerzas,ma = 2Tθ, remplazando la masa y la aceleración R(2θ) (v2 / R) = 2Tθ, eliminando términos semejantes.v2 = T despejando v y extrayendo raíz cuadrada. v =T/ o´ v =  T l/ mDe donde se deduce que la fuerza aplicada a una cuerda viene dada por T = v2 o´ T = mv2/l o EjemploUna cuerda de un arpa sinfónica de 2m de longitud se somete a una tensión de 500N. Sisu masa es de 60gr, calcular: a) La densidad lineal de la cuerda. b) La velocidad de una onda en dicha cuerda. o EjemploLa densidad de masa lineal de una cuerda es 0,25kg / m. ¿Cuánta tensión deberáaplicarse para producir una velocidad de onda de 20m / s? Sugerencia ver ejemplos paginas 47 Física 2 Hipertexto Santillana. Actividades adicionales: aportadas en forma de talleres por el docente.
  64. 64. 64 LA ENERGÍA Y LA POTENCIA QUE TRANSMITEN LAS ONDASTodo movimiento ondulatorio tiene cierta energia asociada a él. Para producir unmovimiento ondulatorio es necesario aplicar una fuerza a cierta porción del medio,efectuando trabajo sobre el sistema, es decir, hay transferencia de energía de unaregión a otra.Consideremos una articula que oscila con un MAS (en un sistema masa resorte comoanalogía) la energía potencial asociada en el puntoDe mayor elongación A es: E = 1/2kA2,Como k = mw2, tenemos que:E = 1/2kA2 = 1/2mw2A2Siendo w = 2 /T, por tanto:E = 1/2m (2 /T )2A2 = 1/2m (42 /T2) A2SimplificandoE = 22m(1/T)2 A21/T=fRemplazando E = 2m2f2A2Al pasar la energía por el medio, queda almacenada en cada partícula en forma de unacombinación de energía de movimiento y energía potencial de deformación, la energíaabsorbida por rozamiento interno se convierte en calor.Para una onda unidimensional y considerando un medio homogéneo, la densidadlineal  = m / l, se sustituye en la ecuación anteriorE = 2m2f2A2 = 2l2f2A2Si se considera un punto de dimensiones muy pequeñas, l, y masa, m, la densidadlineal será = m/l, por tanto:E = 2l 2f2A2, como l corresponde a la distancia x podemos escribirl = vt, es decir:E = 2v2f2A2t
  65. 65. 65Sabemos que P = E / tDespejando E/ t = 2v2f2A2Por lo tanto la potencia transmitida viene dada por: P = 2v2f2A2 o P = 2w2A2vEnlace de apoyo. - http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Radio_Waves_and_Electro magnetic_Fields o ProblemaEn el extremo de una cuerda tensa muy larga, de masa 0,04kg y densidad lineal0,08kg/m, se produce un MAS, perpendicular a la dirección de la cuerda, de amplitud0,02m y frecuencia 8Hz. Si esta perturbación se propaga a lo largo de la cuerda convelocidad de 20m/s, determinar: a) A, f y  b) La E que transmiten estas ondas. c) La P que transmiten estas ondas producidas a lo largo de la cuerda.  Sugerencia ver ejemplo pagina 49 Física 2 Hipertexto Santillana. o ProblemaUna cuerda tensada para la cual  = 5x10-2 kg/m se somete a una tensión de 80N.¿Cuánta potencia debe aplicarse a la cuerda para generar ondas senoidales a unafrecuencia de 60 Hz y una amplitud de 6 cm? Consulta: ondas sísmicas ¿Cómo se producen y sus efectos en la naturaleza? Consulta: ondas de radio. (AM Y FM) ¿Qué diferencias hay entre ellas? Actividades adicionales: aportadas en forma de talleres por el docente.
  66. 66. 66 FENÓMENOS ONDULATORIOSLas ondas en su camino de propagación pueden experimentar una serie de cambiostanto en su velocidad como en su dirección e intensidad. Estas se pueden verafectadas en su comportamiento características cuando en su trayectoria encuentranobstáculos cambian de medio o se encuentran con otras ondas de la mismanaturaleza.Los fenómenos ondulatorios surgen de la interacción de las ondas con el medio depropagación.  Reflexión de ondasHasta el momento hemos estudiado las ondas como si el medio fuese de extensióninfinita y homogénea. Pero ¿Qué sucede cuando una onda choca contra un obstáculo?Cuando una onda llega a un obstáculo o al final del medio material donde se propaga,una parte se devuelve, es decir, se refleja, según el siguiente gráfico. Normal θ i θ Frente de Frente de r onda onda Reflejado Incidente θ θ i r Onda incidente: es La reflexión: Onda reflejada: es la la onda que se consiste en el onda que se aleja el dirige hacia el cambio de obstáculo, después de obstáculo. dirección que haber chocado. experimenta una onda cuando choca contra un obstáculo.

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