Fórmulas matemáticas lexus

1,668 views
1,526 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,668
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
136
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Fórmulas matemáticas lexus

  1. 1. www.elsolucionario.net
  2. 2. FÓRMULASFÓRMULASMAMATEMÁTICASTEMÁTICASwww.elsolucionario.net
  3. 3. FÓRMULAS MATEMÁTICASIDEA, DISEÑO Y REALIZACIÓNDepartamento de Creación Editorial de Lexus Editores© LEXUS EDITORES S.A.Av. Del Ejército 305 Miraflores, Lima-Perúwww.lexuseditores.comPrimera edición, febrero 2008Hecho el Depósito Legal en la BibliotecaNacional del Perú: 2008-01603ISBN: 978-9972-209-54-3EDICIÓN 2008www.elsolucionario.net
  4. 4. PRESENTPRESENTACIÓNACIÓNAl igual que René Descartes, gran matemático y filósofo del siglo XVII, quien hubiera pre-ferido una ciencia única o “matemática universal”, que explique el orden y la medida de lanaturaleza, sin importar si la unidad de medida son números, o ecuaciones o gráficos, elpresente “Formulario Matemático” pretende realizar una exposición de todos los métodosmatemáticos en un solo documento.Como es habitual, Editorial Lexus pone a disposición del estudiante avanzados recursos quecontribuirán a minimizar diferencias teóricas y prácticas entre el nivel secundario y la uni-versidad. Se ha pretendido crear un manual educativo para que el alumno en la etapa pre-universitaria, a través de la práctica directa de sus ejercicios, pueda auto-evaluarse y pronos-ticar sus capacidades con vistas a iniciar sus estudios superiores. Y, al mismo tiempo, servircomo obra de consulta general.La preparación de esta formidable obra ha sido posible debido a la participación de un selec-to equipo de estudiantes universitarios y calificados docentes especialistas. Este libro resu-me más de 4 mil maravillosos años de investigación matemática. Desde las antiguas aritmé-tica y álgebra, escudriñadas por babilonios y egipcios hasta las modernas técnicas y aplica-ciones, que permiten actividades cotidianas de complicado análisis, como el pronóstico deltiempo, el movimiento bancario o la telefonía móvil, imposibles sin el concurso de todas lasdisciplinas matemáticas.Este manual incluye secciones de Física y Química pues, como señalaba Von Neumann, lasmatemáticas poseen una doble naturaleza: las matemáticas como cuerpo científico propio,independientes de otros campos, y las matemáticas relacionadas con las ciencias naturales.De hecho, muchos de los mejores resultados alcanzados en las matemáticas modernas hansido motivados por las ciencias naturales y, similarmente, hay una tremenda matematizaciónde las partes teóricas de dichas ciencias1.El método práctico utilizado en toda la extensión de esta obra, conduce al lector de unamanera didáctica a lo largo de la asignatura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo,con numerosos ejercicios resueltos y propuestos. La resolución de problemas y el repasoteórico no dudamos que le darán al estudiante una base muy sólida para que destaque enlas aulas universitarias de pre-grado o post-grado.Los Editores1 Referencias históricas consultadas en: José M. Méndez Pérez. “Las Matemáticas: su Historia, Evolución y Aplicaciones”.Archivo online: http://www.divulgamat.net/weborriak/TestuakOnLine/HasierakoIkasgaiak/Mendez2003-04-extendida.doc.www.elsolucionario.net
  5. 5. Aritmética … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 15Definición, Lógica matemática, Proporciones lógicas, Conectivos lógicos … … … … … … … 15Proporciones simples, Proporciones compuestas básicas … … … … … … … … … … … … … 16Tablas de verdad de las proporciones compuestas básicas … … … … … … … … … … … … 16Tipo de proporciones, Tautología … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 16Contradicción, Contingencia … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17Leyes lógicas principales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17Teoría de conjuntos, Conceptos básicos, Formas de expresar un conjunto … … … … … … … 19Principales símbolos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 19Notación de los conjuntos, La recta real … … … … … … … … … … … … … … … … … … 20Características de los conjuntos, Relaciones entre conjuntos … … … … … … … … … … … 21Conjunto de conjunto o conjunto de partes, Potencia de un conjunto … … … … … … … … 21Diagramas de Venn, Operaciones con conjuntos … … … … … … … … … … … … … … … 22Unión de conjuntos, Intersección de conjuntos, Diferencia de conjuntos … … … … … … … 22Complemento de un conjunto, Diferencia simétrica … … … … … … … … … … … … … … 23Producto cartesiano de dos conjuntos, Relaciones … … … … … … … … … … … … … … … 23Tipos de relaciones en un conjunto, Reflexiva, Simétrica, Transitiva … … … … … … … … … 24Funciones, Definición, Sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … 25Numeración, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 25Formación de un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26Convención, Cifras mínimas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26Operaciones aritméticas básicas no decimales … … … … … … … … … … … … … … … … 27Suma, Resta, Multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 27División, Cambios de base de un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … 28Cambios de base se un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … 28Conteo de cifras al escribir la serie natural … … … … … … … … … … … … … … … … … 29Sumatoria de primeros números de la serie natural en base 10 … … … … … … … … … … … 29Operaciones básicas sobre números reales … … … … … … … … … … … … … … … … … 30Suma o adición, Resta o sustracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 30La multiplicación, La división … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 31Alternaciones de los términos de una división … … … … … … … … … … … … … … … … 32Relaciones notables de las cuatro operaciones … … … … … … … … … … … … … … … … 33Propiedades de los números, Divisibilidad (en Z), Divisor, Múltiplo … … … … … … … … … 33Propiedades de la divisibilidad, Reglas prácticas de divisibilidad … … … … … … … … … … 34SUMARIOSUMARIOPag.www.elsolucionario.net
  6. 6. Números congruentes, Números primos (en ‫)ގ‬ … … … … … … … … … … … … … … … … 35Números compuestos, Criba de Eratóstenes, Reglas para su construcción … … … … … … … 36Fórmulas generales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 36Máximo común divisor(M.C.D.), Mínimo común múltiplo(m.c.m.) … … … … … … … … … 37Propiedades, Números racionales(fracciones) … … … … … … … … … … … … … … … … 38Fracciones ordinarias, Clasificación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 38Fracciones decimales, Clasificación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 39Transformación de fracciones, Potencia y radicación de cuadrados y cubos … … … … … … … 40Cuadrado y raíz cuadrada … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 40Cuadrado, Cuadrado perfecto, Raíz cuadrada … … … … … … … … … … … … … … … … 40Cubo, Raíz cúbica, Sistema de medidas, Sistemas tradicionales … … … … … … … … … … … 41Sistema métrico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 41Medidas agrarias, Medidas de volumen, Medidas de capacidad, Medidas de peso … … … … … 42Sistema español, Superficie, Agraria, Volumen, Peso … … … … … … … … … … … … … … 42Sistema inglés, Longitud, Sueperficie, Agraria … … … … … … … … … … … … … … … … 42Volumen, Capacidad, Sistema Avoirdupois, Densidad de algunos cuerpos … … … … … … … 43Relaciones entre longitud y tiempo, Dimensiones geográficas … … … … … … … … … … … 43Sistema internacional(S.I.), Unidades de bases … … … … … … … … … … … … … … … … 43Unidades suplementarias, Razones y proporciones, Razones … … … … … … … … … … … … 44Propiedades y leyes, Proporciones, Proporción artimética … … … … … … … … … … … … 44Proporción geométrica, Clases de proporciones según sus términos … … … … … … … … … 44Términos notables, Promedios, Propiedades de las proporciones geométricas … … … … … … 45Magnitudes proporcionales, Regla de tres, Regla de tres simple … … … … … … … … … … … 46Regla del tanto por ciento, Regla de tres compuesta … … … … … … … … … … … … … … 46Aritmética mercantil, Interés simple, Interés o rédito … … … … … … … … … … … … … … 46Fórmulas básicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 46Descuento, Descuento comercial, Descuento racional … … … … … … … … … … … … … … 47Comparación del descuento comercial con el descuento racional … … … … … … … … … … 48Vencimiento común, Descuentos sucesivos, Aumentos sucesivos … … … … … … … … … … 48Repartimiento proporcional, Tipología … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 49Repartimiento proporcional compuesto … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50Aplicaciones, Regla de compañía o de sociedad, Regla de compañía compuesta … … … … … 50Regla de mezcla o aligación, Mezcla, Regla de mezcla directa … … … … … … … … … … … 50Regla de mezcla inversa, Aleación, Ley de aleación … … … … … … … … … … … … … … … 51Aleación directa, Aleación inversa, Cambios en la ley de una aleación … … … … … … … … 51Aumento de la ley de una aleación, Disminución de la ley de una aleación … … … … … … … 51Ley de kilates … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 52www.elsolucionario.net
  7. 7. Álgebra … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 53Definición, Notación usada en el álgebra … … … … … … … … … … … … … … … … … … 53Operaciones fundamentales con los números relativos … … … … … … … … … … … … … 54Suma, Sustracción, Multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 54División, Potencia, Raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Expresiones algebraicas, Principales conceptos, Término algebraico … … … … … … … … … 55Expresión algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Clasificación de las expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Racionales, Irracionales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Teoría de exponentes, Operaciones de exponentes, Ley de signos … … … … … … … … … … 56Ecuaciones Exponenciales, Valor numérico … … … … … … … … … … … … … … … … … 57Grado de las expresiones algebraicas, Grados … … … … … … … … … … … … … … … … 57Grados de un monomio, Grados de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … 57Polinomios, Notación polinómica, Polinomios especiales … … … … … … … … … … … … … 58Polinomios ordenados, Polinomio completo … … … … … … … … … … … … … … … … … 58Polinomio Homogéneo, Polinomios idénticos … … … … … … … … … … … … … … … … 58Polinomio idénticamente nulo, Polinomio entero en “x” … … … … … … … … … … … … … 59Operaciones con expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 59Suma y resta de expresiones algebraicas, Supresión de signos de colección … … … … … … … 59Multiplicación de expresiones algebraicas, Propiedades de la multiplicación … … … … … … 59Casos en la multiplicación, Productos notables … … … … … … … … … … … … … … … … 60División algebraica, Propiedades de la división … … … … … … … … … … … … … … … … 61Casos en la división, División de dos monomios … … … … … … … … … … … … … … … 61División de polinomios, Método normal … … … … … … … … … … … … … … … … … … 61Método de coeficientes separados, Método de Horner … … … … … … … … … … … … … … 62Método o regla de Rufinni … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 63Teorema del resto, Divisibilidad y cocientes notables … … … … … … … … … … … … … … 65Principios de la divisibilidad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 65Cocientes notables(CN), Forma general de los cocientes notables … … … … … … … … … … 66Regla práctica para desarrollar cualquier cociente notable … … … … … … … … … … … … 66Métodos de factorización, Factor común, … … … … … … … … … … … … … … … … … … 67Método de identidades, Método del aspa … … … … … … … … … … … … … … … … … … 68Método de evaluación o de divisores binomios … … … … … … … … … … … … … … … … 69Método de artificios de cálculo, Sumas y restas, Cambio de variable … … … … … … … … … 70Factorización recíproca, Factorización simétrica alternada … … … … … … … … … … … … 71Polinomio simétrico, Polinomio alterno … … … … … … … … … … … … … … … … … … 71Propiedades de las expresiones y los polinomios simétricos y alternos … … … … … … … … 71Factorización de un polinomio simétrico y alternado … … … … … … … … … … … … … … 72Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo … … … … … … … … … … … … … … … 72Fracciones algebraicas, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 73www.elsolucionario.net
  8. 8. Cambios de signo en una fracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 73Simplificación de fracciones, Binomio de Newton … … … … … … … … … … … … … … … 73Análisis combinatorio, Factorial de un número … … … … … … … … … … … … … … … … 73Variaciones, Permutaciones, Combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … 74Propiedades de las combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74Desarrollo del binomio de Newton, Método inductivo … … … … … … … … … … … … … … 75Propiedades del Binomio de Newton … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 76Cálculo de término general t(k+1) , Término central … … … … … … … … … … … … … … 76Término de Pascal o de Tartaglia, Procedimiento … … … … … … … … … … … … … … … 77Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario … … … … … … 77Radicación, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 77Elemento de una raíz, Signo de las raices … … … … … … … … … … … … … … … … … … 78Radicación de expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 78Raíz de un monomio, Raíz cuadrada de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … 78Raíz cúbica de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 79Descomposición de radicales dobles en simples … … … … … … … … … … … … … … … … 80Operaciones con radicales, Conceptos básicos … … … … … … … … … … … … … … … … 81Radicales homogéneos, Homogenización de radicales … … … … … … … … … … … … … … 81Radicales semejantes, Teorema fundamental de los radicales … … … … … … … … … … … … 81Operaciones algebraicas con radicales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 81Suma y resta de radicales, Multiplicación de radicales … … … … … … … … … … … … … … 81División de radicales, Potencia de radicales, Raíz de radicales … … … … … … … … … … … 82Fracción irracional, Racionalización, Factor racionalizante (F.R.) … … … … … … … … … … 82Racionalización del denominador de una fracción, Primer caso, Segundo caso … … … … … … 82Tercer caso. Cuarto caso, Verdadero valor de fracciones algebraicas … … … … … … … … … 83Verdadero valor (V.V.), Cálculo del verdadero valor … … … … … … … … … … … … … … … 84Cantidades imaginarias, Conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 85Números complejos, Representación gráfica de un complejo … … … … … … … … … … … 86Operaciones con complejos, Determinantes, Matriz … … … … … … … … … … … … … … 87Determinante, Orden del determinante … … … … … … … … … … … … … … … … … … 88Método para hallar el valor de un determinante, Regla de Sarrus … … … … … … … … … … 88Forma práctica de la regla de Sarrus, Menor complementario … … … … … … … … … … … 89Propiedades de los determinantes, Ecuaciones y sistemas de ecuaciones … … … … … … … … 90Clases de igualdad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 90Principios fundamentales de las igualdades para la trasformación de ecuaciones … … … … … 91Sistema de ecuaciones, Clasificación de los sistemas de ecuaciones … … … … … … … … … 91Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, Método de sustitución … … … … … … 91Método de igualación, Método de reducción, Método de los determinantes … … … … … … … 92Ecuaciones de segundo grado y ecuaciones bicuadráticas … … … … … … … … … … … … … 93www.elsolucionario.net
  9. 9. Ecuaciones de segundo grado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 93Discusión del valor de las raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 94Propiedades de las raíces, Ecuaciones bicuadradas … … … … … … … … … … … … … … … 94Propiedades de las raíces de una ecuación bicuadrada … … … … … … … … … … … … … … 95Ecuaciones recíprocas, Ecuaciones binomias y trinomias … … … … … … … … … … … … … 95Ecuaciones que se resuelven mediante artificio, Desigualdad e inecuaciones … … … … … … 96Desigualdad, Propiedades de las desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … 96Clases de desigualdades, Inecuaciones de primer grado con una incógnita … … … … … … … 97Solución de una inecuación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 97Sistema de inecuaciones con una incógnita, Inecuaciones de segundo grado … … … … … … 98Progresiones, Definición, Progresión aritmética “P.A.” … … … … … … … … … … … … … … 99Progresión geométrica “P.G.” … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 100Logaritmos, Principales conceptos, Sistema de logaritmos … … … … … … … … … … … … 101Propiedades de logaritmos, Cologaritmo, Antilogaritmo … … … … … … … … … … … … … 102Cambio de un sistema de logaritmos a otro, Logaritmos como progresiones … … … … … … 102Sistema de logaritmos neperianos, Sistema de logaritmos decimales … … … … … … … … … 103Interés compuesto y anualidades, El interés compuesto … … … … … … … … … … … … … 104Anualidad de capitalización(Ac), Anualidad de amortización(Aa) … … … … … … … … … … 105Geométria … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 106Definición, Geométria plana, Ángulos, Teoremas básicos … … … … … … … … … … … … … 106Teoremas básicos, Teoremas auxiliares … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 106Valor de los ángulos en la circunferencia … … … … … … … … … … … … … … … … … … 107Distancia de un punto a una recta, Triángulos, Líneas principales del triángulo … … … … … 108Altura, Mediana … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 108Mediatriz, Bisectriz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 109Igualdad de triángulos, Teoremas derivados de la igualdad de triángulos … … … … … … … 110Semejanza de triángulos, Teoremas derivados de la semejanza de triángulos … … … … … … 111Teorema de Thales, Teorema de Menelao, Teorema de Ceva … … … … … … … … … … … … 111Relaciones métricas en el triángulo rectángulo … … … … … … … … … … … … … … … … 112Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo … … … … … … … … … … … … … … … 112Relación de lados con la mediana, Relación de lados de ángulos: 30º, 60º, 90º … … … … … … 113Relación de lados con segmentos determinados por la bisectriz … … … … … … … … … … 114Relación de lados con bisectriz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 114Relación de lados en desigualdad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 115Circunferencia, Posiciones relativas de dos circunferencias … … … … … … … … … … … … 115Circunferencias ortogonales, Cuadrilátero inscrito a una circunferencias … … … … … … … 116Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, Propiedades de las tangentes … … … … … … 116Teoremas fundamentales en la circunferencia … … … … … … … … … … … … … … … … 117Líneas proporcionales en el círculo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 117Potencia de un punto, Lugar geométrico, Eje radical … … … … … … … … … … … … … … 118www.elsolucionario.net
  10. 10. Posiciones del eje radical, Propiedades del eje radical … … … … … … … … … … … … … … 119Centro radical, Mediana y extrema razón de un segmento o sección aúrea … … … … … … … 119División armónica de un segmento, Haz armónico … … … … … … … … … … … … … … … 120Polígonos, Definición y conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 120Cálculo de los elementos de los polígonos irregulares … … … … … … … … … … … … … … 121Valor de los elementos de los polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … 121Conclusiones sobre los polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … … … 123Área de las regiones planas, Región … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 124Relaciones de áreas de triángulos, Propiedades de los cuadriláteros … … … … … … … … … 125Teorema de Euler, Teorema de Ptolomeo(1), Teorema de Ptolomeo(2) … … … … … … … … 125Semejanza de polígonos, Áreas de las regiones curvas … … … … … … … … … … … … … … 126Geometría del espacio, Teoremas fundamentales, Ángulo triedro, Poliedros … … … … … … … 127Teorema de Euler, Poliedro regular … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 128Prisma, Prisma regular, Cálculo de los elementos de los poliedros … … … … … … … … … … 129Tronco de prisma, Pirámide, Pirámide regular … … … … … … … … … … … … … … … … 130Pirámide irregular, Semejanza de pirámides, Tronco de pirámide … … … … … … … … … … 131El cono, Definiciones, Cono de revolución … … … … … … … … … … … … … … … … … 132Cono oblícuo, Semejanza de conos, Tronco de cono … … … … … … … … … … … … … … 132El cilindro, Cilindro recto, Cilindro oblícuo, Tronco de cilindro … … … … … … … … … … 134La esfera, Superficie y volumen de la esfera, Partes de área de esfera … … … … … … … … … 135Partes de volúmenes de una esfera, Segmento esférico, Cuña esférica … … … … … … … … 136Sector esférico, Anillo esférico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 137Sólidos de revolución, Teorema de Guldin Pappus (Áreas) … … … … … … … … … … … … 138Teorema de Guldin Pappus (volumen) … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 138Leyenda general … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139Trigonometría … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 140Definición, Medida de ángulos, Sistemas de medición de ángulos … … … … … … … … … … 140Sexagesimal, Centesimal, Radial, Equivalencia entre los tres sistemas … … … … … … … … 140Longitud de un arco … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 140Funciones trigonométricas en el triágulo rectángulo, Funciones básicas … … … … … … … … 140Tabla de valores de funciones trigonométricas de triángulos notables … … … … … … … … … 141Ángulos directrices … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 142Signo de las funciones trigonométricas según el cuadrante … … … … … … … … … … … … 143Variación de las funciones trigonométricas según el cuadrante … … … … … … … … … … … 144Intervalo de las funciones trigonométricas … … … … … … … … … … … … … … … … … 144Dominio y rango de las funciones trigonométricas … … … … … … … … … … … … … … … 144Relación de funciones trigonométricas en términos de una sola … … … … … … … … … … 145Arcos compuestos, Funciones de la suma y diferencia de arcos … … … … … … … … … … … 146www.elsolucionario.net
  11. 11. Funciones de la suma de tres arcos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 146Funciones de arcos dobles, Funciones de arco mitad, Funciones de arcos triples … … … … … 147Funciones auxiliares, Transformación a producto … … … … … … … … … … … … … … … 147Limites trigonométricos, Funciones trigonométricas inversas … … … … … … … … … … … 148Dominio y rango de las funciones inversas … … … … … … … … … … … … … … … … … 149Ecuaciones trigonométricas, Solución de las ecuaciones … … … … … … … … … … … … … 150Resolución de triángulos, Triángulos oblicuángulos … … … … … … … … … … … … … … 150Cálculo de ángulos (fórmula de Briggs), Cálculo de superficies … … … … … … … … … … 151Elementos secundarios en la solución de triángulos, Radios … … … … … … … … … … … … 152Radios circunscritos, Radio inscrito o inradio, Radio ex-inscrito … … … … … … … … … … 152Cevianas, Altura, Mediana, Bisectriz interior … … … … … … … … … … … … … … … … … 153Bisectriz exterior, Cuadriláteros convexos, Superficies … … … … … … … … … … … … … … 154Cuadrilátero inscrito o ciclíco … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 154Cuadrilátero circunscrito, Polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … … 155Problema de Pothenot-Snellius … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 155Física … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 156Definiciones, Ecuaciones dimensionales, Sistema de unidades … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema absoluto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema técnico gravitacional o práctico … … … … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema internacional de medida “SI”, Unidades suplementarias … … … … … … 157Unidades derivadas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157Convenciones básicas, Vectores, Magnitud, Representación gráfica de un vector … … … … … 158Suma y resta de vectores, Métodos geométricos … … … … … … … … … … … … … … … … 158Método del paralelogramo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159Métodos analíticos, Dirección de la resultante … … … … … … … … … … … … … … … … 160Mecánica, Cinemática … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 161Conceptos, Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) … … … … … … … … … … … … … … 162Movimiento variado, Aceleración … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 162Movimiento vertical, Movimiento compuesto, Movimiento parabólico … … … … … … … … 163Movimiento circunferencial uniforme (M.C.U.) … … … … … … … … … … … … … … … … 164Velocidad o rapidez angular y período … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 164Movimiento circunferencial uniformemente variado (M.C.U.V.) … … … … … … … … … … 165Estática, Fuerza, Resultantes de un sistema de fuerzas … … … … … … … … … … … … … 165Condiciones de equilibrio en un cuerpo, Teorema de Lamy … … … … … … … … … … … … 167Diagrama de cuerpo libre (D.C.L) o diagrama libre … … … … … … … … … … … … … … 168Descomposición de fuerzas en sus componentes rectangulares … … … … … … … … … … … 168Máquinas simples, Tipo palanca … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 169Tipo plano inclinado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 171www.elsolucionario.net
  12. 12. Dinámica, Principales conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 172Segunda ley de Newton, Unidades de fuerza … … … … … … … … … … … … … … … … … 173Rozamiento, fuerza de rozamiento o fricción … … … … … … … … … … … … … … … … … 174Dinámica de rotación o rotación dinámica … … … … … … … … … … … … … … … … … 174Momentos de inercia de algunos sólidos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 175Centro de gravedad, Teorema de Varignon … … … … … … … … … … … … … … … … … 176Posición del centro de gravedad, Centros de gravedad de figuras grométricas … … … … … … 177Trabajo, Potencia y Energía. Trabajo, Unidades de trabajo, … … … … … … … … … … … … 180Equivalencias de unidades de trabajo, Potencia, Unidades de potencia, Energía … … … … … 180Energía potencial (Ep), Energía cinética (Ec) … … … … … … … … … … … … … … … … 181Trabajo transformado o energía trasnformada, Trabajo en las rotaciones … … … … … … … … 181Energía cinética de rotación, Impulso y cantidad de movimiento … … … … … … … … … … 182El movimiento oscilatorio y el péndulo, Péndulo simple … … … … … … … … … … … … … 182Elementos de un péndulo simple, Leyes del péndulo … … … … … … … … … … … … … … 182Péndulo que bate segundos, Fórmula general del péndulo … … … … … … … … … … … … 183Movimiento armónico simple o movimiento vibratorio armónico … … … … … … … … … … 183Resortes, Fuerzas deformadora: Ley de Hooke … … … … … … … … … … … … … … … … 184Velocidad, Aceleración, Período y frecuencia … … … … … … … … … … … … … … … … … 184Cálculo de la velocidad “V”, Cálculo de la aceleración … … … … … … … … … … … … … 184Velocidad y aceleración máximas, Período y frecuencia … … … … … … … … … … … … … 184Densidad y peso específico, Relación entre densidad y peso específico … … … … … … … … 185Estática de los fluídos, Conceptos y definiciones, Presión … … … … … … … … … … … … 185Principio de Pascal, Prensa hidráulica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 185Principio de la hidrostática, Presión hidrostática … … … … … … … … … … … … … … … 186Ley fundamental de la hidrostática, Principio de Arquímides … … … … … … … … … … … 186Relación entre el empuje y el peso específico de líquidos, Neumología … … … … … … … … 187El calor, Dilatación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 187Calorimetría, Unidades para medir el calor, Calor específico “Ce” … … … … … … … … … … 188Calor sensible “Q” (calor ganado o perdido) … … … … … … … … … … … … … … … … … 189Teorema fundamental de la calorimetría, Capacidad calorífica “Cc” … … … … … … … … … 189Temperatura de equlibrio de una mezcla, Temperatura final “tf” … … … … … … … … … … 189Cambios de fase, Calores latentes, Transmisión de calor … … … … … … … … … … … … … 189Transmisión del calor por conducción, Cantidad de calor trasmitido “Q” … … … … … … … 190Trabajo mecánico del calor … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 190Termodinámica, Trabajo realizado por un gas “W” … … … … … … … … … … … … … … … 190Calor absorbido por un gas “G”, Primera ley de la termodinámica … … … … … … … … … … 191Segunda ley de la termodinámica (Rudolf Clausius 1850) … … … … … … … … … … … … 191Electrostática, Primera ley de la electrostática … … … … … … … … … … … … … … … … 191Tabla triboeléctrica, Segunda ley de la electrostática:Ley de Coulomb … … … … … … … … 191Primitividad, Unidades eléctricas coulomb “C” … … … … … … … … … … … … … … … … 192Campo eléctrico, Campo de cargas iguales … … … … … … … … … … … … … … … … … 193www.elsolucionario.net
  13. 13. Campo de cargas distintas, Intensidad del campo eléctrico … … … … … … … … … … … … 193Potencial eléctrico, Diferencia de potencial … … … … … … … … … … … … … … … … … 194Trabajo eléctrico, Capacidad eléctrica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 195Capacidad de los conductores aislados … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 195Capacidad de uns esfera aislada, Condensadores … … … … … … … … … … … … … … … 196Capacidad de un condensador, Capacidad de un condensador plano … … … … … … … … … 196Capacidad de condensador esférico y cilíndrico, Asociación de condensadores … … … … … 197Energía de un condensador, Electrodinámica … … … … … … … … … … … … … … … … 198Corriente eléctrica, Partes de un ciruito eléctrico … … … … … … … … … … … … … … … 198Resistencia de los conductores, Ley de Pouillet, Conductancia … … … … … … … … … … … 199Asociación de resistencias, En serie … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 199En paralelo, Fuerza electromotriz y resistencia total en un circuito … … … … … … … … … 200Corrientes derivadas, Ley de Kirchoff, Puente de Wheatstone … … … … … … … … … … … 200Energía y potencia de la corriente eléctrica, Potencia de la corriente eléctrica … … … … … … 201Efecto Joule o ley de Joule, Rendimiento de la corriente eléctrica … … … … … … … … … … 202Magnetismo y electromagnetismo, Magnetismo … … … … … … … … … … … … … … … … 202Líneas de fuerza de un campo magnético, Leyes magnéticas … … … … … … … … … … … … 202Intensidad “B” de un punto del campo magnético … … … … … … … … … … … … … … … 203Intensidad de campo magnético producida por un polo, Flujo magnético … … … … … … … 203Densidad magnética “B”, Electromagnetismo … … … … … … … … … … … … … … … … 204Efecto Oersted, Regla de la mano derecha (de Ampere), Ley de Biot y Savart … … … … … … 204Intensidad de campo creada por un conductor circular … … … … … … … … … … … … … 204Ley de la circulación de Ampere … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 205Bobina, Solenoide anular o toroidal de Rowland … … … … … … … … … … … … … … … 205Densidad del flujo inducido “B” a través del núcleo, Efecto Faraday … … … … … … … … … 206Ley de Faraday, Óptica, Velocidad de la luz … … … … … … … … … … … … … … … … … 207Unidad de intensidad de la luz, Iluminación, Unidad de iluminación “E” … … … … … … … 207Flujo luminoso “f”, Intensidad luminosa “I”, Flujo de intensidad “fT” … … … … … … … … 208Reflexión de la luz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 208Leyes de la reflexión regular, Espejos, Espejos planos, Espejos esféricos … … … … … … … … 209Elementos de un espejo esférico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 209Rayos principales, Posición del objeto y la imagen en un espejo cóncavo … … … … … … … 210Refracción de la luz, Indices de refracción, Leyes de la refracción … … … … … … … … … … 212Ángulo límite y reflexión total “L” … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 212Lámina de caras paralelas, Prisma óptico, Imágenes por refracción … … … … … … … … … 213Lentes, Elementos de las lentes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 214Rayos principales en las lentes convergentes y divergentes … … … … … … … … … … … … 214Construcción y posición de imágenes de lentes convergentes … … … … … … … … … … … 215Fórmula de Descartes para las lentes, Construcción de la imagen de una lente divergente … … 215Potencia de un lente, Aumento de la lente … … … … … … … … … … … … … … … … … 215Lentes gruesas de dos caras de cobertura, Potencia de lentes de contacto … … … … … … … 216www.elsolucionario.net
  14. 14. Química … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 217Definiciones, Química, Masa, Materia, Estados o fases de la materia … … … … … … … … … 217Cuerpo, Sustancia, Sistema, Fase, Energía … … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de medida, Unidades de longitud … … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de superficie, Unidades de volumen … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de masa, Unidades de tiempo … … … … … … … … … … … … … … … … … … 219Equivalencias de unidades SI e inglesas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 219Unidades de temperatura, Densidad y peso específico … … … … … … … … … … … … … … 220Densidad absoluta o densidad, Densidad relativa … … … … … … … … … … … … … … … 220Peso específico, Gravedad específica, Densidad de la mezcla … … … … … … … … … … … 221Relación entre densidad y peso específico, Presiones, Presión … … … … … … … … … … … 221Presión hidrostática, Presión neumática o presión de gases … … … … … … … … … … … … 222Teoría atómico molecular, Principales conceptos, Regla de Hund … … … … … … … … … … 223Tendencia a la máxima simetría, Estructura particular del átomo … … … … … … … … … … 223Croquis de un átomo, Núcleo, Isótopos, Isóbaros … … … … … … … … … … … … … … … 224Distribución electrónica de los elementos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 224Niveles de energía, Sub-niveles, Números cuánticos … … … … … … … … … … … … … … 224Conceptos adicionales, Electronegatividad, Afinidad, Valencia, Kerne … … … … … … … … 225Nomenclatura Lewis … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 225Enlace íonico, Enlace covalente, Enlace covalente puro, Enlace covalente polar … … … … … 226Tabla periódica de los elementos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 227Grupos principales de la tabla, Nomenclatura … … … … … … … … … … … … … … … … 228Nomenclatura química, Nombres de los átomos en su estado iónico … … … … … … … … … 229Aniones, Cationes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 229Nombre de los compuestos, Función química … … … … … … … … … … … … … … … … 230Nombre de los anhídridos, Nombre de los óxidos, Nombre de los peróxidos … … … … … … 231Nombre de los ácidos, Ácidos hidráticos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 231Ácidos oxácidos, Ácidos especiales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 232Radicales halogénicos, Radical halogénico hidrácido … … … … … … … … … … … … … … 234Radical halogénico oxácido, Nombre de la base o hidrócidos … … … … … … … … … … … 234Nombre de las sales, Sales hidráticas, Sales oxácidas … … … … … … … … … … … … … … 235Sales dobles, Peculiaridades de los ácidos del fósforo … … … … … … … … … … … … … … 236Óxidos dobles, Radicales cationes compuestos … … … … … … … … … … … … … … … … 236Anfoterismo del cromo, nitrógeno y manganeso … … … … … … … … … … … … … … … 237Unidades químicas de medida, Átomo-Gramo y Molécula-Gramo … … … … … … … … … … 238Átomo, Molécula, Átomo-Gramo, Molécula- Gramo o Mol, El estado gaseoso, Gas … … … … 238Ley general de los gases, Ley de Boyle y Mariotte, Ley de Charles, Ley de Gay-Lusasac … … … 239www.elsolucionario.net
  15. 15. Densidad de un gas, Ley de difusión o ley de Graham, Ecuación universal de los gases … … … 240Hipótesis de Avogrado y Ampere, Mezcla de gases, Leyes de Dalton … … … … … … … … … 241Ley de Amagat, Fracción molar, Gases húmedos, Gas húmedo … … … … … … … … … … … 242Humedad relativa, Determinación de pesos atómicos, Método del calor específico … … … … 243Ley de la combinación equivalente de los elementos … … … … … … … … … … … … … … 244Leyes de las combinaciones químicas, Leyes ponderales, Leyes volumétricas … … … … … … 244El estado líquido, Soluciones, Formas de expresar la concentración, Formas físicas … … … … 245Equivalente-gramo(Eq-g)de compuestos, Mili-valente … … … … … … … … … … … … … … 246Formas químicas para medir la concentración de las soluciones, Molaridad … … … … … … 246Molaridad, Normalidad, Dilución y aumento de la concentración … … … … … … … … … … 247Determinación de pesos moleculares, Método gasométrico, Método osmótico … … … … … … 248Método ebulloscópico, Método crioscópico, Termoquímica, Definición y conceptos … … … … 249Ley de Hess, Definición de las unidades calorimétricas, Caloría … … … … … … … … … … 250Equilibrio químico, Reacciones reversibles … … … … … … … … … … … … … … … … … 250Reacciones irreversibles, Ácidos y bases, Ácidos … … … … … … … … … … … … … … … 251Bases, Constante de ionización del agua(Kw), Tipo de soluciones, Concepto de “pH” … … … 252Electro-química, Unidad de masa, Coulomb, Faraday, Electro-equivalente … … … … … … … 253Unidades de intesidad, Ampere, Electrólisis, Leyes de Faraday … … … … … … … … … … … 253Química orgánica, Breves nociones y nomenclatura … … … … … … … … … … … … … … 254División de la química orgánica, Serie acíclica, Funciones químicas … … … … … … … … … 255Función hidrocarburo, Funciones principales, Serie saturada o Alkana … … … … … … … … 256Serie no saturada … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 257Funciones fundamentales, Función alcohol … … … … … … … … … … … … … … … … … 258Función aldehído, Función cetona … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 259Función ácido … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 260Radicales orgánicos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 261Funciones especiales, Función éter, Función éster, Función sal orgánica … … … … … … … 262Función amina, Función amida … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 263Función nitrilo, Función cianuro … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264Cuadro de los grupos funcionales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 265Serie cíclica, Serie alicíclica, Serie heterocíclica, Benceno … … … … … … … … … … … … … 267Radical fenilo, Derivados del benceno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 268Naftaleno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269Radical naftil, Derivados del naftaleno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269Antraceno, Radical antracil … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 270Derivados del antraceno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 271www.elsolucionario.net
  16. 16. DEFINICIÓNEs aquella parte de la matemática pura elemental quese ocupa de la composición y descomposición de lacantidad expresada en números.Lógica MatemáticaDEFINICIÓNLa lógica es la ciencia que estudia los procedimien-tos para distinguir si un razonamiento es correcto oincorrecto; en este sentido, la LÓGICA MATEMÁ-TICA analiza los tipos de razonamiento utilizandomodelos matemáticos con ayuda de las PROPOSI-CIONES LÓGICAS.PROPOSICIONES LÓGICASUna proposición lógica es el conjunto de palabrasque, encerrando un pensamiento, tiene sentido alAFIRMAR que es VERDADERO o al AFIRMAR quees falso.Las proposiciones se calsifican en:1) Simples o Atómicas2) Compuestas o MolecularesCONECTIVOS LÓGICOSLos conectivos lógicos son símbolos que sirven pararelacionar o juntar proposiciones simples (atómicas)y formar proposiciones compuestas (moleculares).F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 15 -ARITMÉTICAARITMÉTICACONECTIVO NOMBRE EL LENGUAJE COMÚN SE LEE~ Negación no, n es cierto que, no es el caso que, etc.∧ ó • Conjunción y, pero, sin embargo, además, aunque, etc.∨ Disyunción o, y/oinclusivaCONECTIVO NOMBRE EL LENGUAJE COMÚN SE LEEDisyunción o … o…∆exclusivaentonces, si … entonces …, dado que …⇒ Condiciona… siempre que …, en vista que …,implica …, etc.⇔ Bicondicional … si y sólo si …www.elsolucionario.net
  17. 17. PROPOSICIONES SIMPLESLas proposiciones simples o atómicas se representanpor las letras p, q, r, s, t, etc. y pueden ser verdaderaso falsas.Ejemplos:p: Juan Estudiaq: Andrés es un niñor: Stéfano no juega fútbols: Alejandra está gorditat: Christian es rubiou: Alescia habla muchoPROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICASSon las siguientes, formadas a partir de proposi-ciones simples:Negación: ~ p Se lee:“no p”, “no escierto que p”, etc.Conjunción: p ∧ q Se lee:“p y q”, “p pero q”,“p sin embargo q”, etc.Disyunción: p ∨ q Se lee:“p o q” , “p y/o q”DisyunciónExclusiva: p ∆ q Se lee:“o p o q”Condicional: p ⇒ q Se lee:“si p, entonces q”,“p implica q”, etc.Bicondicional p ⇔ q Se lee:“p si, y sólo si q”TABLAS DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONESCOMPUESTAS BÁSICASNEGACIÒN CONJUNCIÒNp ~ q p q p ∧ qV F V V VF V VF FFV FFF FDISYUNCIÓN DISYUNCIÓNINCLUSIVA EXCLUSIVAp q p ∨ q p q p ∆ qVV V V V FVF V VF VFV V FV VFF F FF FCONDICIONAL BICONDICIONALp q p ⇒ q p q p ⇔ qVV V V V VVF F VF FFV V FV FFF V FF VTIPOS DE PROPOSICIONESTAUTOLOGÍAEs una proposición cuyos VALORES DE VERDADdel OPERADOR PRINCIPAL son TODOS VERDA-DEROS, cualquiera sea el valor de verdad de suscomponentes.Ejemplo:p q p ∧ q ⇒ (p ∨ q)VV V V VVF F V VFV F V VFF F V F- 16 -www.elsolucionario.net
  18. 18. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 17 -CONTRADICCIÓNEs una proposición cuyos VALORES DE VERDADdel OPERADOR PRINCIPAL son TODOS FALSOS,cualquiera que sea el valor de verdad de sus compo-nentes.Ejemplo:p q [~ p ⇒ (q ∧ ~ q)] ∧ ~ pVV F V V F F F FVF F V F F V F FFV V F V F F F VFF V F F F V F VCONTINGENCIANo es ni tautología ni contradicción porque los VA-LORES DE VERDAD de su OPERADOR PRINCIPALtienen por lo menos una VERDAD y/o una FALSE-DAD.LEYES LÒGICAS PRINCIPALES1. DE IDENTIDAD:p ⇒ pp ⇔ p“Una proposición sólo es idéntica consigo misma”.2. DE CONTRADICCIÓN:~ (p ∧ ~ p)“Una proposición no puede ser verdadera y falsaa la vez”.3. DEL TERCIO EXCLUÍDO:p ∨ ~ q“Una proposición o es verdadera o es falsa, nohay una tercera opción”.4. DE LA DOBLE NEGACIÒN (INVOLUCIÓN):~ ( ~ p) ≡ p“La negación de la negación es una afirmación”.5. DE LA IDEMPOTENCIA:a) p ∧ p ∧ p ∧ … ∧ p ≡ pb) p ∨ p ∨ p ∨ … ∨ p ≡ p“Las variables repetidas redundantemente en unacadena de conjunciones o en una cadena dedisyunciones se reemplazan por la sola variable”.6. DE LA CONMUTATIVIDAD:a) p ∧ q ≡ q ∧ pb) p ∨ q ≡ q ∨ pc) p ⇔ q ≡ q ⇔ p“En una proposición, la conjunción, la dis-yunción inclusiva y la bicondicional son con-mutativas”.7. DE LA ASOCIATIVIDAD:a) p ∧ (q ∧ s) ≡ (p ∧ q) ∧ sb) p ∨ (q ∨ s) ≡ (p ∨ q) ∨ sc) p ⇔ (q ⇔ s) ≡ (p ⇔ q) ⇔ s“En una proposición, la doble conjunción, ladoble disyunción, o la doble bicondicional se aso-cian indistintamente”.8. DE LA DISTRIBUTIVIDAD:a) p ∧ (q ∨ s) ≡ (p ∧ q)∨ (p ∧ s)b) p ∨ (q ∧ s) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ s)c) p ⇒ (q ∧ s) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ s)d) p ⇒ (q ∨ s) ≡ (p ⇒ q) ∨(p ⇒ s)“En una proposición la conjunción, la disyuncióny la implicación son distributivas”.9. DE DE MORGAN:a) ~ (p ∧ q) ≡ ( ~ p ∨ ~ q)b) ~ (p ∨ q) ≡ ( ~ p ∧ ~ q)“En una proposición, la negación de una conjun-ción o de una disyunción son distributivasrespecto a la disyunción o conjunción.www.elsolucionario.net
  19. 19. - 18 -10. DEL CONDICIONAL:a) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ qb) ~ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q“En una proposición, la condicional equivale a ladisyunción de la negación del antecedente con elconsecuente, y la negación de una condicionalequivale a una conjunción del antecedente con lanegación del consecuente”.11. DEL BICONDICIONAL:a) (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)b) (p ⇔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~ q) ≡ ~ (p ∆ q)12. DE LA ABSORCIÓN:a) p ∧ (p ∨ q) ≡ pb) p ∧ (~ p ∨ q) ≡ p ∧ qc) p ∨ (p ∧ q) ≡ pd) p ∨ (~ p ∧ q) ≡ p ∨ q13. DE TRANSPOSICIÓN:a) (p ⇒ q) ≡ (~ q ⇒ ~ p)b) (p ⇔ q) ≡ (~ p ⇔ ~ q)14. DE EXPORTACIÓN:a) ( p ∧ q) ⇒ s ≡ p ⇒ (q ⇒ s)b) (p1∧ p2∧ …∧ pn) ⇒ s≡ (p1∧ p2∧ …∧ pn-1) ⇒ (Pn ⇒ s)15. MODUS PONENS:[(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q“En una premisa condicional; si se afirma elantecedente, entonces se concluye en la afirma-ción del consecuente”.16. MODUS TOLLENS:[(p ⇒ q) ∧ ~ p] ⇒ ~ p“En una proposición, si se niega el consecuentede una premisa condicional entonces se concluyeen la negación del antecedente”.17. DEL SILOGISMO DISYUNTIVO:[(p ∨ q) ∧ ~ p] ⇒ q“En una proposición, cuando se niega elantecedente de la premisa de una disyunción, seconcluye en la afirmación del consecuente”.18. DE LA INFERENCIA EQUIVALENTE:[(p ⇔ q) ∧ p] ⇒ q“En una proposición, cuando se afirma que unode los miembros de una bicondicional es ver-dadera, entonces el otro miembro también es ver-dadero”.19. DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO:[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ (p ⇒ s)“En una proposición, el condicional es transitivo”.20. DE LA TRANSITIVIDAD SIMÉTRICA:[(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ s)] ⇒ (p ⇔ s)“En una proposición, el bicondicional es tran-sitivo”.21. DE LA SIMPLIFICACIÓN:(p ∧ q) ⇒ p“En una proposición, si el antecedente y conse-cuente de una conjunción son verdades, entoncescualquiera de los dos términos es verdad”.22. DE ADICIÓN:p ⇒ (p ∨ q )“En una proposición, una disyunción está impli-cada por cualquiera de sus dos miembros.www.elsolucionario.net
  20. 20. P R I N C I PP R I N C I P A L E S S Í M B O L O SA L E S S Í M B O L O STEORÍA DE CONJUNTOSCONCEPTOS BÁSICOSDEFINICIÓN DE CONJUNTOSe entiende por conjunto a la colección, agrupacióno reunión de un todo único de objetos definidos, dis-tinguiles por nuestra percepción o nuestro pen-samiento y a los cuales se les llama elementos.Ejemplo: los muebles de una casa. Los muebles sonlos elementos que forma el conjunto.FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTOa) Por extensión.- Cuando el conjunto indica explí-citamente los elementos del conjunto. También sellama forma constructiva.Ejemplos:i) A = {a, b, c, d}ii) ‫ޚ‬ = {… ; -3; -2; -1; -0; 1; 2; … }b) Por comprensión.- Cuando los elementos delconjunto pueden expresarse por una propiedadcomún a todos ellos. También se le llama formasimbólica.Ejemplos:i) M = {x/x = vocal }Se lee:“M es el conjunto de las x, donde x es una vocal”.ii) B = {x e ‫ޚ‬ / -2 < x < 3}Se lee:“B es el conjunto de las x que pertenecen a losnúmeros enteros, donde x es mayor que -2 peromenor que 3”.F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 19 -Símbolo Lectura∈ … pertenece…∉ … no pertenece…φ Conjunto vacío≡ … equivalente…≠ … diferente…⊂ … está incluido⊆ … está incluido estrictamente⊄ … no está incluido…∪ … unión…∩ … intersección…/ … tal que …∼ … es coordinable…… no es coordinable…‫ޕ‬ Conjunto Universal∆ … diferencia simétrica…∀ Para todoSímbolo Lectura∃ existe…∃! existe un … sólo un …∃/ no existeη cardinal de…⇒ implica; entonces…⇔ … si y sólo si…᏿ conjunto de partes de…P potencial del …∧ … y …∨ … o …᭝ o … o …A’ Complemento de A con Respectoal conjunto Universal ‫ޕ‬< … es menor que …> … es mayor que …≤ … es menor o igual que …≥ … es mayor o igual que …www.elsolucionario.net
  21. 21. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4- ∞ + ∞↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑__ __1-π -2,8 -√2 - –– 0,5 √3 π3NOTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS‫:ގ‬ Conjunto de los números naturales‫ގ‬ = {0; 1; 2; 3; 4;… }‫:ޚ‬ Conjunto de los números entero‫ޚ‬ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}‫ޚ‬+: Conjunto de los números enteros positivos‫ޚ‬-: Conjunto de los números enteros negativos‫:*ޚ‬ Conjunto de los números enteros no nulos‫ޑ‬ : Conjunto de los números racionales (deci-males finitos o infinitos periódicos)a‫ޑ‬ ={x/x = –– ; a ∈ ‫ޚ‬ ∧ b ∈ ‫ޚ‬ ∧ b ≠ 0}b5 7 6‫ޑ‬ ={...; –– ; –– ; -8; +3; - –– ;...}8 2 5‫މ‬ : Conjunto de números irracionales (decimalesinfinitos no periódicos)‫މ‬ = ‫´ޑ‬ = {x/x es número no racional}__ __ __‫މ‬ = {…; √30 ; √2 ; √3 ; + e ; π;...}‫ޒ‬ : Conjunto de los números reales‫ޒ‬ = {x/x ∈ ‫ޑ‬ ∨ x ∈ ‫}މ‬____8 4 5‫ޒ‬ ={…; –– ; - ––– ; √5 ; 3; - –– ;...}3 13 √4‫:ރ‬ Conjunto de los números complejos‫ރ‬ = {‫ޒ‬ ∧ ~ ‫ޒ‬ }__ __5‫ރ‬ = {…; -8; √7 ; 3; 5i; i√3 ; - –– ;...}9- 20 -LA RECTA REALEl conjunto de los números reales está formado portodos los conjuntos numéricos. Todos los números:Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales se pue-den representar sobre una recta, desde el cero a + ∞y desde cero a - ∞ . A esta recta se le llama “Rectareal” o “Recta numérica”.Cualquier número real se puede representar sobre unpunto de la Recta Real, porque tiene infinitos puntos.www.elsolucionario.net
  22. 22. CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS1) PERTENENCIA ∈ Y NO PERTENENCIA “∉”Sea : A = {a, b, c, d, e }: B = {a, b, c }: C = {m, n, q, r, s }Entonces: B ∈ A, se lee:“B pertenece a A”C ∉ A, se lee:“C no pertenece a A”2) CONJUNTOS FINITOS E INFINITOSFinitos:Cuando los elementos del conjunto se puede contar.A = {m, n, q, r };Son 4 elementos.Infinitos:Cuando los elementos del conjunto son tantosque no se puede contar.M = {estrellas del firmamento}; son infinitasN = {0; 1; 2; 3; 4; 5; …; ∞};Infinitos números3) CONJUNTOS IGUALESDos conjuntos son iguales cuando tienen exacta-mente los mismos elementos aunque no estén enel mismo orden.A = {4; 5; 6; 7; 8}B = {5; 6; 4; 8; 7}Entonces: A = B4) CONJUNTO VACÍOEs el conjunto que carece de elementos.A = φ ; A = { } ; A = 05) CONJUNTO UNITARIOEs el conjunto que tiene un solo elemento.M = {3} ; Q = {0}X = {y/2y = 4 }6) CONJUNTO UNIVERSALEs el conjunto que contiene a todos los elemen-tos de otro conjunto.‫ޕ‬ = {todas las vocales}A = { e; i ; o }Entonces ‫ޕ‬ es el conjunto universal de A.7) SUBCONJUNTOA = { m; n; p }B = { q; m; n; r; p}Se lee “ A es subconjunto de B” o “A está inclui-do en B”.RELACIONES ENTRE CONJUNTOSCONJUNTO DE CONJUNTO O CONJUNTO DEPARTESEs el conjunto formado por la totalidad de subcon-juntos que se puede formar a partir de un conjuntodado.Sea el conjunto:M = { m; n; p }El conjunto de partes es:᏿ (M) = {φ ,{m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p},{n, p}, {m, n, p}}POTENCIA DE UN CONJUNTOExpresa el número de subconjuntos que se puedeformar con los elementos de un conjunto. En otraspalabras, es el número de elementos de un conjuntode partes.P (M) = 2nN = número de elementos del conjunto M.Para el ejemplo anterior:n = 3, luego:P (M) = 23= 8F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 21 -www.elsolucionario.net
  23. 23. - 22 -DIAGRAMAS DE VENNSon gráficos, generalmente círculos, que sirven paraencerrar y representar conjuntos:A B.a.b.c AA = {a, b, c} A ⊂ BConjunto A “A está incluído en B”A ⊄ B“A no está incluido en B”OPERACIONES CON CONJUNTOS1) UNIÓN DE CONJUNTOSLa unión de dos conjuntos A y B, es el conjuntoformado por todos los elementos de los conjuntosA y B.Sean: A = { a, b, c }B = { c, d, e, f }‫ޕ‬A Ba b c d e fA ∪ B = { a, b, c, d, f }Se lee: “A unión B”.2) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOSLa intersección de los conjuntos A y B, es el con-junto que contiene elementos comunes a los con-juntos A y B.Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 }B = { 1; 3; 5; 7 }‫ޕ‬413 725A ∩ B = { 1; 3; 5 }Se lee: “A intersección B”.La intersección de varios conjuntos:Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 }B = { 1; 2; 4; 7}C = { 4; 5; 9; 10 }‫ޕ‬AB2 713 45109CA ∩ B ∩ C = {4}Se lee “A intersección B intersección C”.3) DIFERENCIA DE CONJUNTOSLa diferencia de dos conjuntos, A menos B, es elconjunto formado por elementos de A que nopertenezcan a B.Sean: A = { a, b, c, d, e }B = { d, e, f, g, h }www.elsolucionario.net
  24. 24. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 23 -‫ޕ‬A Bbfa de gc hA - B = { a, b, c }Se lee: “El conjunto A menos el conjunto B, es elconjunto a, b, c”.4) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTOSean los conjuntos A y universal ‫.ޕ‬ El comple-mento del conjunto A es la parte del conjunto uni-versal ‫ޕ‬ que no pertenece al conjunto A.Sean:A = { vocales }‫ޕ‬ = { el alfabeto }A’ AA’ = ‫ޕ‬ - A = { las consonantes }Se lee: “A’ es el complemento de A”.5) DIFERENCIA SIMÉTRICAEs el conjunto formado por la parte no común dedos conjuntos.A = { 2; 4; 6; 8; 10 }B = { 2; 4; 5; 7; 9 }A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)‫ޕ‬ AB6528 7410 9A ∆ B = { 5; 6; 7; 8; 9; 10 }Se lee: “A diferencia simétrica B”PRODUCTO CARTESIANO DE DOSCONJUNTOSDados dos conjuntos A y B, se llama producto carte-siano A . B, al conjunto de “pares ordenados” forma-dos por todos los elementos de A, como primeroscomponentes, asociados a todos los elementos de Bcomo segundos elementos.Sean:A = { a, b }M = { m, n, p }A . M(a, m)A M (a, n)a m (a, p). =b n (b, m)p (b, n)(b, p)A . M = { (a, m), (a, n), (a, p),(b, m), (b, n), (b, p)}Simbólicamente:A . M = {(x, y)/x ∈ A ∧ y ∈ M}Nota: A . M ≠ M . A (no es conmutativo)RELACIONESDEFINICIÓNRelación es un subconjunto de pares ordenados dedos conjuntos A y B que obedecen a una proposiciónestablecida.www.elsolucionario.net
  25. 25. Ejemplo:Sean los conjuntos:A = { a, b }M = { m, n, p}Se denota:a ℜ m ó (a, m) ∈ ℜy se lee:“ a está relacionada con m por ℜ”.Simbólicamente:ℜ es una relación de A en M ⇔ R ⊂ A . My se lee:“ℜ es una relación de A en M, si y solamente si larelación ℜ es un subconjunto de A . M”.Ejemplo: A = { 2; 4; 6; 8; 10 }B = { 1; 2; 3; 4 }Sea la propiedad: x ∈ A ∧ y ∈ BQue obedezca a la proposición P(x): x < yentonces:2 ℜ 32 ℜ 4Sólo se puede escribir estas dos relaciones porqueson las únicas que cumplen que x < y, que es laproposición P(x) que los relaciona.DOMINIO Y RANGODOMINIOEs el conjunto formado por los primeros compo-nentes de los pares ordenados que forman larelación ℜ.Se denota: Dom (ℜ)En el ejemplo anterior:Dom (ℜ) = {2}RANGOEs el conjunto formado por los segundos compo-nentes de los pares ordenados que forman larelación ℜ.Se denota: Ran (ℜ)En el ejemplo anterior:Ran (ℜ) = { 3; 4}TIPOS DE RELACIONES EN UN CONJUNTO1) REFLEXIVACuando todos los elementos de un conjunto Aestán relacionados consigo mismos a través de ℜ.ℜ es reflexiva ⇔ (a, a) ∈ ∀ ℜ a ∈ AEjemplo:A = { a, b, c}Relación Reflexiva:ℜ = {(a, a); (b, b); (c, c)}2) SIMÉTRICACuando cada uno de los elementos de un conjunto Aestá relacionado con otro del mismo conjunto y éstea su vez está relacionado con el primero.ℜ es simétrica ⇔ (a, b) ∈ ℜ ⇒ (b, a) ∈ ℜEjemplo:A = {a, b, c}Relación simétrica:ℜ = {(a, b); (b, a); (a, c); (c, a); (b, c); (c, b)}3) TRANSITIVACuando un elemento de un conjunto A está rela-cionado con otro elemento del mismo conjunto yesté a su vez está relacionado con uno tercero delmismo conjunto; entonces, el primero está rela-cionado con el tercero a través de la relación R.ℜ es transitiva ⇔ (a, b) ∈ ℜ ∧ (b, c) ∈ ℜ⇒ (a, c) ∈ ℜ- 24 -www.elsolucionario.net
  26. 26. Ejemplo:A = { a, b, c }Relación Transitiva:ℜ = {(a, b); (b, c); (a, c)}RELACIÓN DE EQUIVALENCIALa relación ℜ de A en A es una relación de EQUIVA-LENCIA, cuando esta relación es reflexiva, simétricay transitiva a la vez.FUNCIONESDEFINICIÓNUna función de A en B es una relación de par orde-nado que asocia a TODO ELEMENTO del conjuntoA con UN SOLO ELEMENTO del conjunto B.Se denota: f : A ⇒ BEjemplos:i) A B ii) A Bf g.a .a1. 1..b .b2. 2..c .c3. 3..d .df es una función g es una funcióny se denota y se denotaf = {(1,a), (2,b), (3,c)} g = {(1,a), (2,a), (3,b)}iii) h iv) j.a .a1. 1..b .b2. 2..c .c3. 3..d .dh No es una función j NO es una funciónporque No cumple: porque No cumple:“a todo elemento de “a TODO elemento de AA le corresponde UNSOLO elemento de B”En general una función de denota así:f (x) = yDonde “x” es un elemento de A, e “y” es un ele-mento de B.x ∈ A x y y ∈ B ≡ f(x) ∈ BDOMINIO Y RANGODOMINIOEs el conjunto de todas las PRIMERAS componentesdel par ordenado que pertenecen a una función “f”.RANGOEs el conjunto de todas las SEGUNDAS compo-nentes del par ordenado que pertenecen a unafunción “f”.Ejemplo:Sea: f = {(1, a), (2, b), (3, c)}Dom (f) = {1; 2; 3}Ran (f) = { a, b, c}SISTEMAS DE NUMERACIÓNNUMERACIÓNDEFINICIÓNEs la parte de la Aritmética que estudia las leyes, arti-ficios y convencionalismos utilizados para expresar(hablar) y representar (escribir) a los números enforma sistemática y lo más simple posible.SISTEMAS DE NUMERACIÓNSe refiere a los conjuntos de reglas, leyes, artificios yconvenios que permiten formar, expresar y represen-tar todos los números.BASE DE UN SISTEMAEs aquel número que indica la cantidad de unidadesde un orden cualquiera que se requiere para formaruna unidad de un orden inmediato superior. Así,F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 25 -www.elsolucionario.net
  27. 27. - 26 -nuestro sistema se llama DECIMAL porque con 10UNIDADES de un orden cualquiera, se logra formaruna unidad de un orden inmediato superior.FORMACIÓN DE UN SISTEMA DENUMERACIÓNPRINCIPIO BÁSICOEn un sistema de base N, toda cifra escrita un lugara la izquierda de otra, representa unidades de ordenN veces mayor al orden que representa la otra, escri-ta a la derecha.Ejemplo:Sea el número 468 en base N = 10, el 4 es deorden 10 veces mayor que cada unidad de 60 ycada unidad de 6 es de orden 10 veces mayor quecada unidad de 8.DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UNNÚMEROEs el procedimiento de cálculo que permite determi-nar la cantidad de unidades simples que posee unnúmero y con ello su valor real.______Sea el número a b c d de base N:________a b c d (N)Unidades de 1° orden.Unidades de 2° orden(N veces las u.s.)Unidades de 3° orden(N2veces las u.s.)Unidades de 4° orden(N3veces las u.s.)Donde: u.s. = unidades simplesMÉTODO PRÁCTICO PARA DESCOMPONER UNNÚMERO EN SU FORMA POLINÓMICA“Se toma la primera cifra de la izquierda y se multi-plica por la base del sistema elevado a un exponenteigual al número de cifras que le siguen a la cifratomada, a este resultado se le suma el producto de lasegunda cifra multiplicada por la base del sistemaelevada a un exponente igual al número de cifras quele siguen y así sucesivamente”.____a b c(N)⇒ a . N2+ b . N + c_______a b c d e(N)⇒ a . N4+ b . N3+ c . N2+ d . N + e_______ab…xyz(N)⇒ a . Nm-1+ b . Nm-2+ … x . N2123+ y N + z“m” cifrasCONVENCIÓNCuando la base es superior a 10, y los números 10;11; 12 y 13 sean cifras, se emplea la siguiente equiva-lencia:α = 10 ; β = 11 ; γ = 12 ; & = 13CIFRAS MÍNIMASSon todas las cifras menores o iguales a la mitad dela base del número dado.Ejemplos de cifras mínimas:De base 4: 0; 1; 2;De base 7: 0; 1; 2; 3;De base 10: 0; 1; 2; 3; 4, 5De base 11: 0; 1; 2; 3, 4; 5De base 12: 0; 1; 2; 3, 4; 5; 6Ejemplo:Escribir el número 67 654(8)en cifras mínimas. Lascifras mínimas de este número son: 0; 1; 2; 3; 4.4 = 4__5 - 8 = 3__6 + 1 = 7 ; 7 - 8 = 17 + 1 = 8 ; 8 - 8 = 0__6 + 1 = 7 ; 7 - 8 = 10 + 1 = 1_ _ _∴ 67 654(8)= 1 1 0 1 3 4www.elsolucionario.net
  28. 28. OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS NODECIMALESSUMATal como en el sistema decimal, si la suma parcialsupera el valor de la base, se ecribe el valornumérico de lo que excede a la base y se llevacomo unidades tantas veces como excede al valorde la base.Ejemplo:423(7)+ 566(7)+ 2521(7)4 2 3 +5 6 62 5 2 1________4 1 4 3(7)lo cual se desarrolló de la siguiente manera:3 + 6 + 1 = 10como 10 = 7 + 3; se pone 3 y se lleva 1.1 + 2 + 6 + 2 = 11como 11 = 7 + 4 ; se pone 4, se lleva 1.1 + 4 + 5 + 5 = 15como 15 = 14 + 1; 15 = 2 . 7 + 1; se pone 1, selleva 22 + 2 = 4RESTAEl método es similar a la resta en base 10. Cuando labase es otra, se añade como unidad el valor de labase.Ejemplo: 4 7 3 5(8)- 2 3 6 7(8)4 7 3 5 –2 3 6 7(8)_______2 3 4 6(8)Desarrollo:5 - 7 no se puede restar, entonces, en la segundacolumna tomamos prestada 1 unidad a 3, lo quenos permite añadir a 5 el valor de la base:(5 + 8) - 7 = 6Como a 3 se quitó 1 unidad, ahora es 2, pero 2 - 6no se puede restar, entonces:(2 + 8) - 6 = 4Como a 7 se le había quitado 1 unidad, ahora es 6:6 - 3 = 3Ahora no se ha quitado nada.Finalmente:4 - 2 = 2MULTIPLICACIÓNEl procedimiento es similar a la multiplicación enbase 10; sólo que lo que se lleva es la unidad de labase de los factores.Ejemplo:326(7). 465(7)3 2 6 x4 6 5_________2 3 0 22 6 3 11 6 4 3___________2 2 6 2 1 2(7)Desarrollo:5 . 6 = 30 = 4 . 7 + 2 pongo 2 van 45 . 2 + 4 = 14 = 2 . 7 + 0 pongo 0 van 25 . 3 + 2 = 17 = 2 . 7 + 3 pongo 3 van 2Finalmente: pongo 2.6 . 6 = 36 = 5 . 7 + 1 pongo 1 van 56 . 2 + 5 = 17 = 2 . 7 + 3 pongo 3 van 26 . 3 + 2 = 20 = 2 . 7 + 6 pongo 6 van 2Finalmente: pongo 24 . 6 = 24 = 3 . 7 + 3 pongo 3 van 34 . 2 + 3 = 11 = 1 . 7 + 4 pongo 4 van 14 . 3 + 1 = 13 = 1 . 7 + 6 pongo 6 van 1Finalmente: pongo 1F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 27 -www.elsolucionario.net
  29. 29. - 28 -Luego, se suma los productos parciales, recordan-do cómo se suma cuando los sumandos no son debase 10.DIVISIÓNPara hacer la división es aconsejable formar una tablacon la base dada, con todos los productos posiblesdel divisor por el cociente.Ejemplo: 4 350(6)÷ 24(6)Las cifras del cociente, por ser de base 6, oscilanentre 0 y 5, lo cual se toma en cuenta para formarla tabla:Tabla de base 60 . 24 = 01 . 24 = 242 . 24 = 523 . 24 = 1204 . 24 = 1445 . 24 = 2124 3 5 0 2 42 4 1 4 2(6)_____1 5 51 4 4_____1 1 05 2______1 4CAMBIOS DE BASE DE UN SISTEMA DENUMERACIÓN1° UN NÚMERO DE CUALQUIER BASE PASARA BASE 10Regla:Se descompone polinómicamente el número da-do. El número que resulta de sumar las unidadessimples (u.s.) de este número es el número debase 10.Ejemplo:Pasar 3 856(9)a base 10.Se descompone polinómicamente y se suma:3 . 93+ 8 . 92+ 5 . 9 + 6 = 2 886 u. s.3 856(9)= 2 886(10)= 2 886Nota.-Que cuando el número es de base 10 no esnecesario señalar la base.2° UN NÚMERO DE BASE 10 PASAR A OTROSISTEMA DE BASE “N”Regla:Se divide el número dado entre el valor “N” de labase deseada, lo cual arroja un cociente. Estecociente se divide nuevamente entre el valor “N”,sucesivamente hasta obtener un último cocientecuyo valor sea menor a la base. Luego, tomandola cifra del último cociente y las cifras de losresiduos en el orden del último al primero, quedaformado el número de base “N”.Ejemplo:Pasar 4 975 de base 10 a base 8.4 9 7 5 81 7 6 2 1 81 5 6 1 7 7 87 5 5 9 81 1∴ 4 975(10)= 11 557(8)3° DE UN NÚMERO NO DECIMAL A OTRO NODECIMALRegla:El primero se pasa a base 10 y luego, el nuevonúmero, a la base pedida.Ejemplo:Pasar el número 2 583(9)a base 5.A base 10:2 . 93+ 5 . 92+ 8 . 9 + 3 = 1 938www.elsolucionario.net
  30. 30. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 29 -Ahora, 1 938 se cambia a base 5:1 9 3 8 54 3 3 8 7 53 8 3 7 7 7 53 2 2 7 1 5 52 0 3∴ 2 583(9)= 30 223(5)CONTEO DE CIFRAS AL ESCRIBIR LASERIE NATURALEN BASE 10# de cifras = (# mayor + 1) (# cifras del #mayor) – (número con tantos 1como cifras tenga el # mayor)Ejemplos:¿Cuántas cifras se emplea para escribir la serienatural de los números hasta el 3 475?Solución:# de cifras = (3 475 + 1) (4) – (1 111)# de cifras = 3 4 76 . 4 – 1 111# de cifras = 13 904 – 1 111 = 12 793¿Cuántas cifras se ha empleado para escribir laserie natural de los números hasta 15 497?Solución:# de cifras = (15 497 + 1) (5) – 11 111# de cifras = 15 498 . 5 – 11 111# de cifras = 66 379EN BASE N:# de cifras =nk- 1(# mayor + 1)(# cifras del # mayor) - [–––––]n - 1k = # de cifras del número mayorn = base del sistemaEjemplo:¿Cuántas cifras se ha empleado para escribirhasta el número 8 427(9)?Solución:8 427(9)= 6 18194- 1# de cifras = [(6 181 + 1) . 4 - –––––]9 - 1# de cifrras = 23 908CÁLCULO DE LA CANTIDAD DE NÚMEROS DE“n” CIFRAS, EN BASE “A”Consiste en darle a cada cifra el número de valoresque puede asumir. El producto de estos valores nosdá el número de combinaciones que a su vez es elnúmero de números de “n” cifras.# de números = (base – 1)(base - 1)(n-1)Observar que:“n” es el número de ciras, pero cuando las cifra serepiten, esa cifra se toma una sola vez.Ejemplo:_____¿Cuántos números de la forma a b b(12)existen?_____Solución: a b bTiene 1 cifra repetida y distinta a la primera cifra.Por lo tanto:# de cifras = (12 - 1) (12 - 1)(2-1)= 121SUMATORIA DE PRIMEROS NÚMEROS DELA SERIA NATURAL EN BASE 101) Suma de los “n” primeros números consecutivosde la serie natural.SC= 1 + 2 + 3 + … + (n - 2) + (n - 1) + nn(n + 1)SC= –––––––22) Suma de los “n” primeros números impares con-secutivos de la serie natural de los números.S¡ = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n - 3) + (2n - 1)S¡ = n2www.elsolucionario.net
  31. 31. - 30 -3) Suma de los “n” primeros números pares consecu-tivos de la serie natural de los números.Sp= 2 + 4 + 6 + … + (2n - 4) + (2n - 2) + 2nSp= n(n + 1)OPERACIONES BÁSICAS SOBRENÚMEROS REALESSUMA O ADICIÓN1) LEY CONMUTATIVAEn una suma, el orden de los sumandos no alterala suma total. Así:a + b + c = c + a + b = SEjemplo:4 + 9 + 12 = 12 + 4 + 9 = 252) LEY ASOCIATIVAEn una suma de varios sumandos, dos o más deellos pueden ser sustituidos por su suma parcial yla suma total no se altera.a + b + c = (a + b) + c = SEjemplo:6 + 8 + 3 + 11 = 14 + 3 + 11 = 283) LEY DE UNIFORMIDADSi se suma miembro a miembro dos o más igual-dades, el resultado es otra igualdad.a + c = m 5 + 3 = 8b + d = n 6 + 9 = 15r + p = h 8 + 10 = 18_________ __________S = S 41 = 414) LEY DE MONOTONÍAa) Si se suma miembro a miembro igualdades con de-sigualdades del mismo sentido, el resutlado esuna desigualdad cuyo sentido es el mismo que elde las desigualdades.Ejemplo:6 = 65 = 59 > 413 > 11_______Resultado 33 > 26b) Si se suma miembro a miembro dos o más desi-gualdades del mismo sentido, el resutlado es otradesigualdad del mismo sentido que las anteriores.Ejemplo:5 < 86 < 918 < 60_______Resultado 29 > 77RESTA O SUSTRACCIÓNForma general:M - S = DDonde, los términos son:M = minuendoS = sustraendoD = diferenciaVARIACIONES DE LOS TÉRMINOS DE LARESTA1) Si al minuendo se le suma o se le resta un númerocualquiera sin alterar el sustraendo, entonces ladiferencia queda aumentada o disminuida, respec-tivamente, en dicha cantidad.(M ± n) - S = D ± n2) Si al sustraendo se le suma o se le resta un númerocualquiera, sin alterar el minuendo entonces ladiferencia queda disminuida o aumentada, respec-tivamente, en dicha cantidad.M - (S ± n) = D ϯ n3) Si al minuendo y sustraendo se le suma o se leresta un mismo número, la diferencia no se altera.(M ± n) - (S ± n) = Dwww.elsolucionario.net
  32. 32. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 31 -COMPLEMENTO ARITMÉTICO “C.A.”C.A. de un número es otro número equivalente a loque le falta al primero para ser igual a la unidad dec-imal de orden inmediato superior.Ejemplo:C.A. de 0,03 es 0,07 porque 0,1 - 0,03 es 0,07C.A. de 6 es 4 porque 10 - 6 es 4C.A. de 367 es 633 porque 1 000 - 367 es 633LA MULTIPLICACIÓN1) LEY CONMUTATIVAEl orden de los factores no altera el producto.a . b = b . a = PEjemplo:7 . 4 = 4 . 7 = 282) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMAEl producto de un factor por la suma indicada dedos o más sumandos es giual a la suma de los pro-ductos del factor por cada sumando.a(n + m) = a . n + a . m = PEjemplo:5(8 + 3) = 5 . 8 + 5 . 3 = 553)LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA RESTAEl producto de un factor por una resta indicada esigual a la diferencia del producto del factor por elminuendo menos el producto del factor por elsustraendo.a(n - m) = a. n - a . m = PEjemplo:5(8 - 3) = 5 . 8 - 5 . 3 = 254) LEY DE UNIFORMIDADSi se multiplica miembro a miembro dos igual-dades, el resultado es otra igualdad.a = bm = n___________a . m = b . n5) LEY DE MONOTONÍASi se multiplica miembro a miembro igualdadescon desigualdades del mismo sentido, el resulta-do es otra desigualdad del mismo sentido que lasanteriores.Ejemplo:3 = 35 > 23 > 1______Multiplicando 45 > 6Si se multiplica miembro a miembro desigual-dades del mismo sentido, el resultado es otradesigualdad del mismo sentido que las anteriores.Ejemplo:3 < 58 < 92 < 7________Multiplicando 48 < 315PROPIEDAD FUNDAMENTAL DEL NÚMEROENTERO10n-1≤ N < 10nN = número enteron = número de cifras del númeroLA DIVISIÓNEs una operación que consiste en hallar un factor lla-mado cociente, el cual indica el número de veces queun factor, llamado divisor, está contenido en otro lla-mado dividendo.DD = d . q ⇔ –– = qdDonde: D = dividendod = divisorq = cocientewww.elsolucionario.net
  33. 33. Además, cuando la división es inexacta tiene unresiduo.a) División inexacta por defecto:D = d . q + rDonde:R ≠ 0 , r < db) División inexacta por exceso:D = d(q + 1) - r’Donde:r’ ≠ 0, 0 < r’ < d1) LEY DE UNIFORMIDADSi se divide miembro a miembro dos igualdades,el resultado es otra igualdad; si las divisiones sonexactas.A = B y C = DA BLuego: ––– = –––C D2) LEY DE MONOTONÍASi ambos miembros de una desigualdad son divi-didos por un mismo número que sea divisor deambos, se obtiene otra desigualdad cuyo sentidoes el mismo que la desigualdad dada.A BA > B; “d” divisor de ambos ⇒ ––– > –––d d3) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LASUMAEl cociente de una suma indicada dividida por undivisor es igual a la suma de los sumandos dividi-dos cada uno por el divisor común.a + b + c + m a b c m––––––––––– = –– + –– + –– + –– = qd d d d d4) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA RESTAEl cociente de una resta indicada dividida por undivisor común es igual a la resta de los cocientesresultantes.a - b a b––––– = –– - –– = qd d dALTERACIONES DE LOS TÉRMINOS DE UNADIVISIÓN1) Alteración del dividendo.-En una división exacta, si al dividendo se le mul-tiplica o se le divide por un número cualquiera,sin alterar el divisor, entonces el cociente quedamultiplicado o dividido, respectivamente, por elmismo número.Casos:D D . na) –– = q ; ––––– = q . nd dD D ÷ nb) –– = q ; ––––– = q ÷ nd d2) Alteración del divisor.-En una división exacta, si al divisor se le multi-plica o se le divide por un número cualquiera, sinalterar el dividendo, entonces el cociente quedadividido o multiplicado respectivamente, pordicho número.Casos:D Da) –– = q ; ––––– = q ÷ nd d . nD Db) –– = q ; ––––– = q . nd q ÷ n3 ) Alteración del dividendo y divisor.-En una división exacta, si al dividendo y al divi-sor se les multiplica o divide simultáneamentepor un mismo nùmero, el cociente no varía.Casos:D D . na) –– = q ; ––––– = qd q . nD D ÷ nb) –– = q ; ––––– = qd q ÷ nEn una división inexacta, si al dividendo y al divi-sor se les multiplica o se les divide por el mismonúmero, el cociente no se altera, pero el residuoqueda multiplicado o dividido respectivamente,por el mismo número.- 32 -www.elsolucionario.net
  34. 34. F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 33 -D D . na) –– = q + r ; ––––– = q + r . nd d . nD D ÷ nb) –– = q + r ; ––––– = q + r ÷ nd d ÷ nPROPIEDADES DEL RESTO O RESIDUO1° El resto siempre es menor que el dividendor < d2° El resto siempre debe ser menor que la mitad deldividendo:Dr < ––23° El resto máximo siempre será igual al divisormenos uno:r máx= d - 14° La suma de los valores absolutos de los restos pordefecto y por exceso siempre es igual al divisor.| r | + | r’ | = dRELACIONES NOTABLES DE LAS CUATROOPERACIONES1) Dadas la suma “S” y la diferencia “D” de dosnúmeros “a” y “b”, donde a > b:S + D S - Da = ––––– b = ––––––2 22) Dados la suma “S” y el cociente “q” de dosnúmeros “a” y “b”, donde a > b:q . S Sa = ––––– b = ––––––q + 1 q + 13) Dados la suma “S”, el cociente “q” y el residuo “r”de dos números “a” y “b” (a > b).S . q+ r S - ra = ––––––– b = ––––––q + 1 q + 14) Dados la diferencia “D” y el cociente “q” de dosnúmeros “a” y “b”, donde a > b.q . D Da = ––––– b = ––––––q - 1 q - 15) Dados la diferencia “D”, el cociente “q” y el resid-uo “r” de dos números “a” y “b”, donde a > b.D . q - r D - ra = ––––––– b = –––––q - 1 q - 16) Dados el producto “P” y el cociente “q” de dosnúmeros “a” y “b”, donde a > b_________ pa = √P . q b = ––√ qPROPIEDADES DE LOS NÚMEROSDIVISIBILIDAD (en Z)Un número “A” es divisible por otro número “B”solamente si el cociente de dividir “A” por “B” es unnúmero entero “n”.A–– = n ⇒ A = n . B ⇔ n ∈ ‫ޚ‬BDIVISOREs un número que está contenido en otro un númeroexacto (entero) de veces.Ejemplo:{ -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8}son todos los divisores de 8.MULTIPLOMúltiplo de un número es aquel número que con-tiene al primero un número (entero) exacto de veces.Se denota:A = m . Bo, también así:°A = BEjemplos:{ -16; -8; 8; 16; 24 }son algunos múltiplos de 8.www.elsolucionario.net
  35. 35. PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD1º Si un número “n” divide a varios otros números,divide también a la suma o a la diferencia dedichos números.A B––– = q1; ––– = q2n nA ± B⇒ –––––– = qn2º Si un número “n” no divide exactamente a otrosdos (A y B), dividirá exactamente a la diferenciade ellos (A - B) si y solamente si los residuos (r1y r2) que resultan de dividir cada número entre elnúmero “n” son iguales.A = n . q1r1B = n q2+ r2_______________________Restando: A - B = n(q1- q2) + (r1- r2)⇔ r1- r2= 0 ⇒ r1= r23º Si un número “n” divide exactamente a otronúmero “A”, también divide a todo múltiplo deéste.ASi: –– = q1nm . A⇒ ––––– = q2n4º Si un número “A” es divisible por otro “n” lo estambién por los factores de éste.ASi: –– = qnA A A⇒ –– = q1; –– = q2; –– = q3n1n2n3donde: n = n1. n2. n35º En una división inexacta, si un número “n” divideal dividendo “A” y al divisor “d”, también divideal residuo “r”.ASea: –– = q + rdA dSi: –– = q1y –– = q2n nrEntonces : –– = q3nREGLAS PRÁCTICAS DE DIVISIBILIDADSe dice que un número es divisible:Por 2, cuando termina en cero o en cifra par.Por 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros omúltiplos de 4.Por 8, cuando sus tres últimas cifras son ceros omúltiplos de 8.Por 5, cuando su última cifra es cero o cinco.Por 25, cuando sus dos últimas cifras son ceros oun número múltiplo de 25.Por 125, cuando sus tres últimas cifras son ceroso múltiplos de 125.Por 2no 5n, cuando las “n” últimas cifras sonceros o un número múltiplo de 2no 5n.Por 3, cuando la suma de sus cifras significativases 3 o múltiplo de 3.Por 9, cuando la suma de sus cifras significativases 9 o múltiplo de 9.Por 11, cuando la suma de las cifras que ocupanlugar impar menos la suma de las cifras que ocu-pan lugar par es: 0, 11 o múltiplo de 11.Ejemplo: 538 527 es m11Lugar par: 5 + 8 + 2 = 15Lugar impar: 3 + 5 + 7 = 15⇒15 - 15 = 0Por 6, cuando los es simultáneamente por 2 ypor 3.Por 22, cuando lo es simultáneamente por 2 ypor 11.Por 7, lo es cuando se verifica el siguiente pro-cedimiento: “Se separa la última cifra significati-va de la derecha, esta cifra se duplica y se resta alnúmero que queda a la izquierda, con el resulta-do se hace lo mismo sucesivamente hasta llegar aun número pequeño tal, que a simple vista se- 34 -www.elsolucionario.net
  36. 36. puede ver si es o no múltiplo de 7; si lo es, elnúmero es divisible entre 7”.Ejemplos:i) 63 743 no es m7.6 374 - 2 . 3 = 6 368636 - 2 . 8 = 6206 - 2 . 2 = 2∴ NO es m7, porque: 2 ≠ m7ii) 25 7952 579 - 2 . 5 = 2 569256 - 2 . 9 = 23823 - 2 . 8 = 7∴ SI es m7, porque: 7 = m7Por 12, cuando lo es simultáneamente por 3 ypor 4.Por 14, cuando lo es simultáneamente por 2 ypor 7.Por 15,cuando lo es simultáneamente por 3 ypor 5.Por 16, cuando las 4 últimas cifra son ceros o elnúmero formado por esta 4 últimas cifras esmúltiplo de 16. Corresponde al caso de 2n, cuan-do n = 4.Por 17, cuando la diferencia entre sus decenas yel quíntuple de sus unidades es 17 o m17.Ejemplo: 2 975297 - 5 . 5 = 27227 - 5 . 2 = 17∴ 2 975 = m17Por 19, cuando la suma de sus decenas con eldoble de sus unidades es 19 o m19.Ejemplos:i) 4 835 no es m19.483 + 2 . 5 = 49349 + 2 . 3 = 55 ≠ M19ii) 12 6351 263 + 2 . 5 = 1 273127 + 2 . 3 = 13313 + 2 . 3 = 19 = m19NÚMEROS CONGRUENTESDos números son congruentes respecto de otronúmero “p”, llamado módulo, si al dividir por estemódulo originan el mismo resto.Se denota: A = p . a + rB = p . b + rEn general: A ≡ B (mod. P)Ejemplo:Verificar que los números 50 y 32 son congru-entes con el módulo 6.50––– = 8 + 2632––– = 5 + 26Notar que la condición necesaria y suficiente paraque dos números sean congruentes respecto a unmódulo, es que su diferencia sea múltipo delmódulo.°A ≡ B (mod. p) ⇔ A - B = pAsí, del ejemplo anterior:50 - 32 = 18 ∧ 18 = m6∴ 50 ≡ 32 (mod. 2)NÚMEROS PRIMOS (en ‫)ގ‬CLASIFICACIÓN1. Primos absolutos o simplemente primos.-Son aquellos números primos que sólo son divisi-bles entre la unidad y entre sí mismos.F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 35 -www.elsolucionario.net
  37. 37. - 36 -Ejemplos:i) 1ii) 3iii) 17iv) 592. Primos relativos.-Son dos o más números que simultáneamentesólo son divisibles entre la unidad, aunque inde-pendientemente pueden ser divisibles por otronúmero diferente de 1.Ejemplo:5; 9; 14;son primos relativos porque no son divisiblesentre sí, aun cuando el 9 y el 14 son divisibles porotros números y el 5 es primo absoluto.NÚMERO COMPUESTOEs todo número no primo, resultado de multiplicardos o más números primos absolutos o las potenciasde estos.Ejemplos:i) 32 = 25ii) 180 = 22. 32. 5iii) 12 = 22. 3iv) 33 = 3 . 11CRIBA DE ERATÓSTENESEs una tabla denominada también “Tabla de losNúmeros Primos Absolutos” y permite obtener losprimeros números primos.REGLAS PARA SU CONSTRUCCIÓN1° Se escribe todos los números en ‫ގ‬ desde el 1 hastael límite pedido.2° Se tacha los múltiplos de 2, partiendo de 4.3° El siguiente número no tachado es el 3; en conse-cuencia, se tacha los múltiplos de 3 , partiendo de 9.4° Dado que el siguiente número no tachado es el 5,se tacha los múltiplos de 5, partiendo de 25.5° Así sucesivamente, hasta concluir. Los númerosque quedan son los primeros números primosabsolutos.Ejemplo:Hallar los números primos en el rango de los 100primeros números naturales.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100En conclusión:{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 57, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}es el conjunto de los números primos en el rangodel 1 al 100.FÓRMULAS GENERALESTodo número compuesto, como se mencionó, pue-de ser expresado como el producto de 1 por dos omás factores primos y se pondrá calcular algunoselementos asociados cuyas fórmulas se indica a con-tinuación.Sea N número un número compuesto:N = aα. bβ. cγ. … . wωwww.elsolucionario.net
  38. 38. Donde:a, b, c, …, w = factores primos de Nα, β, γ, …, ω = exponentes de los factores primosde NNÚMERO DE DIVISORES1) n = (α + 1) (β + 1) (γ + 1) … (ω + 1)n: número de divisores de NEjemplo:N = 12 = 22. 31n = (2 + 1) (1 + 1) = 6{1, 2, 3, 4, 6, 12}SUMA DE DIVISORESaα+1- 1 bβ+1- 1 cγ+1- 1 wω+1- 12) S = ––––––– . ––––––– . –––––– . … . –––––––a - 1 b - 1 c - 1 w - 1S: suma de los divisores de NSUMA DE INVERSAS DE DIVISORESS3) Si= –––NSi: suma de la inversa de los divisores de N.SUMA DE POTENCIAS DE LOS DIVISORESaq(α+1)- 1 bq(β+1)- 1 wq(ω+1)- 14) Sq= –––––––– . –––––––– … –––––––––a - 1 b - 1 w - 1Sq: suma de las potencias “q” de los divisores de NPRODUCTO DE DIVISORES___5) P = √NnP: producto de los divisores de NMÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)Máximo común divisor de dos números es el mayordivisor común de ellos.Ejemplo:Hallar el MCD de los números 36, 48 y 7236 2 36 = 22. 3318 2 sus factores son:9 31, 2, 43 33, 6, 1219, 18, 3648 2 48 = 24. 324 2sus factores son:12 26 2 1, 2, 4, 8, 16,3 3 3, 6, 12, 24, 48172 2 72 = 23. 3236 2sus factores son:18 29 3 1, 2, 4, 8,3 3 3, 6, 12, 24,1 9, 18, 36, 72Los “divisores comunes” a los números 36, 48 y72 son: 1, ,2 ,3 ,4 ,6 y 12, pero el mayor de elloses 12, éste es el MCD.PROPIEDADES DEL M.C.D.1) El MCD de los números primos es la unidad.2) El MCD de dos o más números primos entre si esla unidad.3) De dos números diferentes, estando uno con-tenido en el otro, MCD de ellos es el menor.4) Si se divide dos números entre su MCD los cocien-tes que resultan son números primos relativos.MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)Mínimo común múltiplo de dos o más números es elmenor multiplo común que contenga exactamente alos números dados.REGLA PARA HALLAR EL m.c.m. DE DOS OMÁS NÚMEROSSe descompone los números dados en sus factoresprimos; el m.c.m. de los números es igual al produc-to de los factores primos comunes y no comunes consus mayores exponentes.F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 37 -www.elsolucionario.net
  39. 39. Ejemplo:Hallar el mcm de 180; 528; 936.180 2 528 290 2 264 245 3 132 215 3 66 25 5 33 31 11 111180 = 22. 32. 5 528 = 24. 3 . 11936 2468 2234 2117 339 313 131936 = 23. 32. 13∴ m.c.m. (180; 528; 936) =24. 32. 5 . 11 . 13 = 102 960PROPIEDADES1° El mcm de dos o más números primos absolutoses igual al producto de ellos.2° El mcm de dos números primos entre sí es el pro-ducto de ellos.3° El cm de dos números, de los cuales uno contieneal otro es el mayor de ellos.4° Si dos o más números son multiplicados o dividi-dos por otro, el mcm queda multiplicado o divi-dido, respectivamente, por dicho número.5° Si se divide el mcm de varios números entre cadauno de ellos, los cocientes resultantes son primosentre sí.6° El producto de dos núneros enteros es igual al pro-ducto de MCD por el mcm.A . Bm.c.m. = ––––––MCDo:A . B = (mcm) (MCD)NÚMEROS RACIONALES (Fracciones)A. FRACCIONES ORDINARIASNúmero fraccionario o quebrado es aquel númeroque está constituido por una o más partes de launidad.NOTACIÓNUna fracción se denota por:a––bdonde:a es el numeradorb es el denominadorCLASIFICACIÓN1) Fracciones propias.-Son aquellas cuyo numerador es menor que eldenominador.5Ejemplo: ––92) Fracciones impropias.-Son aquellas cuyo numerador es mayor que eldenominador. Las fracciones impropias son lasque dan origen a los números mixtos.8 2Ejemplo: –– = 2 –– (número mixto)3 33) Fracciones homogéneas.-Dos o más fracciones son homogéneas cuandotienen el mismo denominador.8 5 22Ejemplo: –– , –– , –––9 9 94) Fracciones heterogéneas.-Dos o más fracciones son heterogéneas cuandotienen distintos denominadores.4 2 6Ejemplo: –– , –– , –––7 5 11- 38 -www.elsolucionario.net

×