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Fórmulas matemáticas   lexus
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    Fórmulas matemáticas   lexus Fórmulas matemáticas lexus Document Transcript

    • www.elsolucionario.net
    • FÓRMULASFÓRMULASMAMATEMÁTICASTEMÁTICASwww.elsolucionario.net
    • FÓRMULAS MATEMÁTICASIDEA, DISEÑO Y REALIZACIÓNDepartamento de Creación Editorial de Lexus Editores© LEXUS EDITORES S.A.Av. Del Ejército 305 Miraflores, Lima-Perúwww.lexuseditores.comPrimera edición, febrero 2008Hecho el Depósito Legal en la BibliotecaNacional del Perú: 2008-01603ISBN: 978-9972-209-54-3EDICIÓN 2008www.elsolucionario.net
    • PRESENTPRESENTACIÓNACIÓNAl igual que René Descartes, gran matemático y filósofo del siglo XVII, quien hubiera pre-ferido una ciencia única o “matemática universal”, que explique el orden y la medida de lanaturaleza, sin importar si la unidad de medida son números, o ecuaciones o gráficos, elpresente “Formulario Matemático” pretende realizar una exposición de todos los métodosmatemáticos en un solo documento.Como es habitual, Editorial Lexus pone a disposición del estudiante avanzados recursos quecontribuirán a minimizar diferencias teóricas y prácticas entre el nivel secundario y la uni-versidad. Se ha pretendido crear un manual educativo para que el alumno en la etapa pre-universitaria, a través de la práctica directa de sus ejercicios, pueda auto-evaluarse y pronos-ticar sus capacidades con vistas a iniciar sus estudios superiores. Y, al mismo tiempo, servircomo obra de consulta general.La preparación de esta formidable obra ha sido posible debido a la participación de un selec-to equipo de estudiantes universitarios y calificados docentes especialistas. Este libro resu-me más de 4 mil maravillosos años de investigación matemática. Desde las antiguas aritmé-tica y álgebra, escudriñadas por babilonios y egipcios hasta las modernas técnicas y aplica-ciones, que permiten actividades cotidianas de complicado análisis, como el pronóstico deltiempo, el movimiento bancario o la telefonía móvil, imposibles sin el concurso de todas lasdisciplinas matemáticas.Este manual incluye secciones de Física y Química pues, como señalaba Von Neumann, lasmatemáticas poseen una doble naturaleza: las matemáticas como cuerpo científico propio,independientes de otros campos, y las matemáticas relacionadas con las ciencias naturales.De hecho, muchos de los mejores resultados alcanzados en las matemáticas modernas hansido motivados por las ciencias naturales y, similarmente, hay una tremenda matematizaciónde las partes teóricas de dichas ciencias1.El método práctico utilizado en toda la extensión de esta obra, conduce al lector de unamanera didáctica a lo largo de la asignatura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo,con numerosos ejercicios resueltos y propuestos. La resolución de problemas y el repasoteórico no dudamos que le darán al estudiante una base muy sólida para que destaque enlas aulas universitarias de pre-grado o post-grado.Los Editores1 Referencias históricas consultadas en: José M. Méndez Pérez. “Las Matemáticas: su Historia, Evolución y Aplicaciones”.Archivo online: http://www.divulgamat.net/weborriak/TestuakOnLine/HasierakoIkasgaiak/Mendez2003-04-extendida.doc.www.elsolucionario.net
    • Aritmética … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 15Definición, Lógica matemática, Proporciones lógicas, Conectivos lógicos … … … … … … … 15Proporciones simples, Proporciones compuestas básicas … … … … … … … … … … … … … 16Tablas de verdad de las proporciones compuestas básicas … … … … … … … … … … … … 16Tipo de proporciones, Tautología … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 16Contradicción, Contingencia … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17Leyes lógicas principales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17Teoría de conjuntos, Conceptos básicos, Formas de expresar un conjunto … … … … … … … 19Principales símbolos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 19Notación de los conjuntos, La recta real … … … … … … … … … … … … … … … … … … 20Características de los conjuntos, Relaciones entre conjuntos … … … … … … … … … … … 21Conjunto de conjunto o conjunto de partes, Potencia de un conjunto … … … … … … … … 21Diagramas de Venn, Operaciones con conjuntos … … … … … … … … … … … … … … … 22Unión de conjuntos, Intersección de conjuntos, Diferencia de conjuntos … … … … … … … 22Complemento de un conjunto, Diferencia simétrica … … … … … … … … … … … … … … 23Producto cartesiano de dos conjuntos, Relaciones … … … … … … … … … … … … … … … 23Tipos de relaciones en un conjunto, Reflexiva, Simétrica, Transitiva … … … … … … … … … 24Funciones, Definición, Sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … 25Numeración, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 25Formación de un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26Convención, Cifras mínimas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26Operaciones aritméticas básicas no decimales … … … … … … … … … … … … … … … … 27Suma, Resta, Multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 27División, Cambios de base de un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … 28Cambios de base se un sistema de numeración … … … … … … … … … … … … … … … … 28Conteo de cifras al escribir la serie natural … … … … … … … … … … … … … … … … … 29Sumatoria de primeros números de la serie natural en base 10 … … … … … … … … … … … 29Operaciones básicas sobre números reales … … … … … … … … … … … … … … … … … 30Suma o adición, Resta o sustracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 30La multiplicación, La división … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 31Alternaciones de los términos de una división … … … … … … … … … … … … … … … … 32Relaciones notables de las cuatro operaciones … … … … … … … … … … … … … … … … 33Propiedades de los números, Divisibilidad (en Z), Divisor, Múltiplo … … … … … … … … … 33Propiedades de la divisibilidad, Reglas prácticas de divisibilidad … … … … … … … … … … 34SUMARIOSUMARIOPag.www.elsolucionario.net
    • Números congruentes, Números primos (en ‫)ގ‬ … … … … … … … … … … … … … … … … 35Números compuestos, Criba de Eratóstenes, Reglas para su construcción … … … … … … … 36Fórmulas generales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 36Máximo común divisor(M.C.D.), Mínimo común múltiplo(m.c.m.) … … … … … … … … … 37Propiedades, Números racionales(fracciones) … … … … … … … … … … … … … … … … 38Fracciones ordinarias, Clasificación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 38Fracciones decimales, Clasificación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 39Transformación de fracciones, Potencia y radicación de cuadrados y cubos … … … … … … … 40Cuadrado y raíz cuadrada … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 40Cuadrado, Cuadrado perfecto, Raíz cuadrada … … … … … … … … … … … … … … … … 40Cubo, Raíz cúbica, Sistema de medidas, Sistemas tradicionales … … … … … … … … … … … 41Sistema métrico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 41Medidas agrarias, Medidas de volumen, Medidas de capacidad, Medidas de peso … … … … … 42Sistema español, Superficie, Agraria, Volumen, Peso … … … … … … … … … … … … … … 42Sistema inglés, Longitud, Sueperficie, Agraria … … … … … … … … … … … … … … … … 42Volumen, Capacidad, Sistema Avoirdupois, Densidad de algunos cuerpos … … … … … … … 43Relaciones entre longitud y tiempo, Dimensiones geográficas … … … … … … … … … … … 43Sistema internacional(S.I.), Unidades de bases … … … … … … … … … … … … … … … … 43Unidades suplementarias, Razones y proporciones, Razones … … … … … … … … … … … … 44Propiedades y leyes, Proporciones, Proporción artimética … … … … … … … … … … … … 44Proporción geométrica, Clases de proporciones según sus términos … … … … … … … … … 44Términos notables, Promedios, Propiedades de las proporciones geométricas … … … … … … 45Magnitudes proporcionales, Regla de tres, Regla de tres simple … … … … … … … … … … … 46Regla del tanto por ciento, Regla de tres compuesta … … … … … … … … … … … … … … 46Aritmética mercantil, Interés simple, Interés o rédito … … … … … … … … … … … … … … 46Fórmulas básicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 46Descuento, Descuento comercial, Descuento racional … … … … … … … … … … … … … … 47Comparación del descuento comercial con el descuento racional … … … … … … … … … … 48Vencimiento común, Descuentos sucesivos, Aumentos sucesivos … … … … … … … … … … 48Repartimiento proporcional, Tipología … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 49Repartimiento proporcional compuesto … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50Aplicaciones, Regla de compañía o de sociedad, Regla de compañía compuesta … … … … … 50Regla de mezcla o aligación, Mezcla, Regla de mezcla directa … … … … … … … … … … … 50Regla de mezcla inversa, Aleación, Ley de aleación … … … … … … … … … … … … … … … 51Aleación directa, Aleación inversa, Cambios en la ley de una aleación … … … … … … … … 51Aumento de la ley de una aleación, Disminución de la ley de una aleación … … … … … … … 51Ley de kilates … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 52www.elsolucionario.net
    • Álgebra … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 53Definición, Notación usada en el álgebra … … … … … … … … … … … … … … … … … … 53Operaciones fundamentales con los números relativos … … … … … … … … … … … … … 54Suma, Sustracción, Multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 54División, Potencia, Raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Expresiones algebraicas, Principales conceptos, Término algebraico … … … … … … … … … 55Expresión algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Clasificación de las expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Racionales, Irracionales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 55Teoría de exponentes, Operaciones de exponentes, Ley de signos … … … … … … … … … … 56Ecuaciones Exponenciales, Valor numérico … … … … … … … … … … … … … … … … … 57Grado de las expresiones algebraicas, Grados … … … … … … … … … … … … … … … … 57Grados de un monomio, Grados de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … 57Polinomios, Notación polinómica, Polinomios especiales … … … … … … … … … … … … … 58Polinomios ordenados, Polinomio completo … … … … … … … … … … … … … … … … … 58Polinomio Homogéneo, Polinomios idénticos … … … … … … … … … … … … … … … … 58Polinomio idénticamente nulo, Polinomio entero en “x” … … … … … … … … … … … … … 59Operaciones con expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 59Suma y resta de expresiones algebraicas, Supresión de signos de colección … … … … … … … 59Multiplicación de expresiones algebraicas, Propiedades de la multiplicación … … … … … … 59Casos en la multiplicación, Productos notables … … … … … … … … … … … … … … … … 60División algebraica, Propiedades de la división … … … … … … … … … … … … … … … … 61Casos en la división, División de dos monomios … … … … … … … … … … … … … … … 61División de polinomios, Método normal … … … … … … … … … … … … … … … … … … 61Método de coeficientes separados, Método de Horner … … … … … … … … … … … … … … 62Método o regla de Rufinni … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 63Teorema del resto, Divisibilidad y cocientes notables … … … … … … … … … … … … … … 65Principios de la divisibilidad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 65Cocientes notables(CN), Forma general de los cocientes notables … … … … … … … … … … 66Regla práctica para desarrollar cualquier cociente notable … … … … … … … … … … … … 66Métodos de factorización, Factor común, … … … … … … … … … … … … … … … … … … 67Método de identidades, Método del aspa … … … … … … … … … … … … … … … … … … 68Método de evaluación o de divisores binomios … … … … … … … … … … … … … … … … 69Método de artificios de cálculo, Sumas y restas, Cambio de variable … … … … … … … … … 70Factorización recíproca, Factorización simétrica alternada … … … … … … … … … … … … 71Polinomio simétrico, Polinomio alterno … … … … … … … … … … … … … … … … … … 71Propiedades de las expresiones y los polinomios simétricos y alternos … … … … … … … … 71Factorización de un polinomio simétrico y alternado … … … … … … … … … … … … … … 72Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo … … … … … … … … … … … … … … … 72Fracciones algebraicas, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 73www.elsolucionario.net
    • Cambios de signo en una fracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 73Simplificación de fracciones, Binomio de Newton … … … … … … … … … … … … … … … 73Análisis combinatorio, Factorial de un número … … … … … … … … … … … … … … … … 73Variaciones, Permutaciones, Combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … 74Propiedades de las combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74Desarrollo del binomio de Newton, Método inductivo … … … … … … … … … … … … … … 75Propiedades del Binomio de Newton … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 76Cálculo de término general t(k+1) , Término central … … … … … … … … … … … … … … 76Término de Pascal o de Tartaglia, Procedimiento … … … … … … … … … … … … … … … 77Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario … … … … … … 77Radicación, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 77Elemento de una raíz, Signo de las raices … … … … … … … … … … … … … … … … … … 78Radicación de expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 78Raíz de un monomio, Raíz cuadrada de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … 78Raíz cúbica de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 79Descomposición de radicales dobles en simples … … … … … … … … … … … … … … … … 80Operaciones con radicales, Conceptos básicos … … … … … … … … … … … … … … … … 81Radicales homogéneos, Homogenización de radicales … … … … … … … … … … … … … … 81Radicales semejantes, Teorema fundamental de los radicales … … … … … … … … … … … … 81Operaciones algebraicas con radicales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 81Suma y resta de radicales, Multiplicación de radicales … … … … … … … … … … … … … … 81División de radicales, Potencia de radicales, Raíz de radicales … … … … … … … … … … … 82Fracción irracional, Racionalización, Factor racionalizante (F.R.) … … … … … … … … … … 82Racionalización del denominador de una fracción, Primer caso, Segundo caso … … … … … … 82Tercer caso. Cuarto caso, Verdadero valor de fracciones algebraicas … … … … … … … … … 83Verdadero valor (V.V.), Cálculo del verdadero valor … … … … … … … … … … … … … … … 84Cantidades imaginarias, Conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 85Números complejos, Representación gráfica de un complejo … … … … … … … … … … … 86Operaciones con complejos, Determinantes, Matriz … … … … … … … … … … … … … … 87Determinante, Orden del determinante … … … … … … … … … … … … … … … … … … 88Método para hallar el valor de un determinante, Regla de Sarrus … … … … … … … … … … 88Forma práctica de la regla de Sarrus, Menor complementario … … … … … … … … … … … 89Propiedades de los determinantes, Ecuaciones y sistemas de ecuaciones … … … … … … … … 90Clases de igualdad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 90Principios fundamentales de las igualdades para la trasformación de ecuaciones … … … … … 91Sistema de ecuaciones, Clasificación de los sistemas de ecuaciones … … … … … … … … … 91Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, Método de sustitución … … … … … … 91Método de igualación, Método de reducción, Método de los determinantes … … … … … … … 92Ecuaciones de segundo grado y ecuaciones bicuadráticas … … … … … … … … … … … … … 93www.elsolucionario.net
    • Ecuaciones de segundo grado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 93Discusión del valor de las raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 94Propiedades de las raíces, Ecuaciones bicuadradas … … … … … … … … … … … … … … … 94Propiedades de las raíces de una ecuación bicuadrada … … … … … … … … … … … … … … 95Ecuaciones recíprocas, Ecuaciones binomias y trinomias … … … … … … … … … … … … … 95Ecuaciones que se resuelven mediante artificio, Desigualdad e inecuaciones … … … … … … 96Desigualdad, Propiedades de las desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … 96Clases de desigualdades, Inecuaciones de primer grado con una incógnita … … … … … … … 97Solución de una inecuación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 97Sistema de inecuaciones con una incógnita, Inecuaciones de segundo grado … … … … … … 98Progresiones, Definición, Progresión aritmética “P.A.” … … … … … … … … … … … … … … 99Progresión geométrica “P.G.” … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 100Logaritmos, Principales conceptos, Sistema de logaritmos … … … … … … … … … … … … 101Propiedades de logaritmos, Cologaritmo, Antilogaritmo … … … … … … … … … … … … … 102Cambio de un sistema de logaritmos a otro, Logaritmos como progresiones … … … … … … 102Sistema de logaritmos neperianos, Sistema de logaritmos decimales … … … … … … … … … 103Interés compuesto y anualidades, El interés compuesto … … … … … … … … … … … … … 104Anualidad de capitalización(Ac), Anualidad de amortización(Aa) … … … … … … … … … … 105Geométria … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 106Definición, Geométria plana, Ángulos, Teoremas básicos … … … … … … … … … … … … … 106Teoremas básicos, Teoremas auxiliares … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 106Valor de los ángulos en la circunferencia … … … … … … … … … … … … … … … … … … 107Distancia de un punto a una recta, Triángulos, Líneas principales del triángulo … … … … … 108Altura, Mediana … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 108Mediatriz, Bisectriz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 109Igualdad de triángulos, Teoremas derivados de la igualdad de triángulos … … … … … … … 110Semejanza de triángulos, Teoremas derivados de la semejanza de triángulos … … … … … … 111Teorema de Thales, Teorema de Menelao, Teorema de Ceva … … … … … … … … … … … … 111Relaciones métricas en el triángulo rectángulo … … … … … … … … … … … … … … … … 112Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo … … … … … … … … … … … … … … … 112Relación de lados con la mediana, Relación de lados de ángulos: 30º, 60º, 90º … … … … … … 113Relación de lados con segmentos determinados por la bisectriz … … … … … … … … … … 114Relación de lados con bisectriz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 114Relación de lados en desigualdad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 115Circunferencia, Posiciones relativas de dos circunferencias … … … … … … … … … … … … 115Circunferencias ortogonales, Cuadrilátero inscrito a una circunferencias … … … … … … … 116Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, Propiedades de las tangentes … … … … … … 116Teoremas fundamentales en la circunferencia … … … … … … … … … … … … … … … … 117Líneas proporcionales en el círculo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 117Potencia de un punto, Lugar geométrico, Eje radical … … … … … … … … … … … … … … 118www.elsolucionario.net
    • Posiciones del eje radical, Propiedades del eje radical … … … … … … … … … … … … … … 119Centro radical, Mediana y extrema razón de un segmento o sección aúrea … … … … … … … 119División armónica de un segmento, Haz armónico … … … … … … … … … … … … … … … 120Polígonos, Definición y conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 120Cálculo de los elementos de los polígonos irregulares … … … … … … … … … … … … … … 121Valor de los elementos de los polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … 121Conclusiones sobre los polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … … … 123Área de las regiones planas, Región … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 124Relaciones de áreas de triángulos, Propiedades de los cuadriláteros … … … … … … … … … 125Teorema de Euler, Teorema de Ptolomeo(1), Teorema de Ptolomeo(2) … … … … … … … … 125Semejanza de polígonos, Áreas de las regiones curvas … … … … … … … … … … … … … … 126Geometría del espacio, Teoremas fundamentales, Ángulo triedro, Poliedros … … … … … … … 127Teorema de Euler, Poliedro regular … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 128Prisma, Prisma regular, Cálculo de los elementos de los poliedros … … … … … … … … … … 129Tronco de prisma, Pirámide, Pirámide regular … … … … … … … … … … … … … … … … 130Pirámide irregular, Semejanza de pirámides, Tronco de pirámide … … … … … … … … … … 131El cono, Definiciones, Cono de revolución … … … … … … … … … … … … … … … … … 132Cono oblícuo, Semejanza de conos, Tronco de cono … … … … … … … … … … … … … … 132El cilindro, Cilindro recto, Cilindro oblícuo, Tronco de cilindro … … … … … … … … … … 134La esfera, Superficie y volumen de la esfera, Partes de área de esfera … … … … … … … … … 135Partes de volúmenes de una esfera, Segmento esférico, Cuña esférica … … … … … … … … 136Sector esférico, Anillo esférico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 137Sólidos de revolución, Teorema de Guldin Pappus (Áreas) … … … … … … … … … … … … 138Teorema de Guldin Pappus (volumen) … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 138Leyenda general … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139Trigonometría … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 140Definición, Medida de ángulos, Sistemas de medición de ángulos … … … … … … … … … … 140Sexagesimal, Centesimal, Radial, Equivalencia entre los tres sistemas … … … … … … … … 140Longitud de un arco … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 140Funciones trigonométricas en el triágulo rectángulo, Funciones básicas … … … … … … … … 140Tabla de valores de funciones trigonométricas de triángulos notables … … … … … … … … … 141Ángulos directrices … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 142Signo de las funciones trigonométricas según el cuadrante … … … … … … … … … … … … 143Variación de las funciones trigonométricas según el cuadrante … … … … … … … … … … … 144Intervalo de las funciones trigonométricas … … … … … … … … … … … … … … … … … 144Dominio y rango de las funciones trigonométricas … … … … … … … … … … … … … … … 144Relación de funciones trigonométricas en términos de una sola … … … … … … … … … … 145Arcos compuestos, Funciones de la suma y diferencia de arcos … … … … … … … … … … … 146www.elsolucionario.net
    • Funciones de la suma de tres arcos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 146Funciones de arcos dobles, Funciones de arco mitad, Funciones de arcos triples … … … … … 147Funciones auxiliares, Transformación a producto … … … … … … … … … … … … … … … 147Limites trigonométricos, Funciones trigonométricas inversas … … … … … … … … … … … 148Dominio y rango de las funciones inversas … … … … … … … … … … … … … … … … … 149Ecuaciones trigonométricas, Solución de las ecuaciones … … … … … … … … … … … … … 150Resolución de triángulos, Triángulos oblicuángulos … … … … … … … … … … … … … … 150Cálculo de ángulos (fórmula de Briggs), Cálculo de superficies … … … … … … … … … … 151Elementos secundarios en la solución de triángulos, Radios … … … … … … … … … … … … 152Radios circunscritos, Radio inscrito o inradio, Radio ex-inscrito … … … … … … … … … … 152Cevianas, Altura, Mediana, Bisectriz interior … … … … … … … … … … … … … … … … … 153Bisectriz exterior, Cuadriláteros convexos, Superficies … … … … … … … … … … … … … … 154Cuadrilátero inscrito o ciclíco … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 154Cuadrilátero circunscrito, Polígonos regulares … … … … … … … … … … … … … … … … 155Problema de Pothenot-Snellius … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 155Física … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 156Definiciones, Ecuaciones dimensionales, Sistema de unidades … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema absoluto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema técnico gravitacional o práctico … … … … … … … … … … … … … … 156Unidades del sistema internacional de medida “SI”, Unidades suplementarias … … … … … … 157Unidades derivadas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157Convenciones básicas, Vectores, Magnitud, Representación gráfica de un vector … … … … … 158Suma y resta de vectores, Métodos geométricos … … … … … … … … … … … … … … … … 158Método del paralelogramo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159Métodos analíticos, Dirección de la resultante … … … … … … … … … … … … … … … … 160Mecánica, Cinemática … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 161Conceptos, Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) … … … … … … … … … … … … … … 162Movimiento variado, Aceleración … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 162Movimiento vertical, Movimiento compuesto, Movimiento parabólico … … … … … … … … 163Movimiento circunferencial uniforme (M.C.U.) … … … … … … … … … … … … … … … … 164Velocidad o rapidez angular y período … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 164Movimiento circunferencial uniformemente variado (M.C.U.V.) … … … … … … … … … … 165Estática, Fuerza, Resultantes de un sistema de fuerzas … … … … … … … … … … … … … 165Condiciones de equilibrio en un cuerpo, Teorema de Lamy … … … … … … … … … … … … 167Diagrama de cuerpo libre (D.C.L) o diagrama libre … … … … … … … … … … … … … … 168Descomposición de fuerzas en sus componentes rectangulares … … … … … … … … … … … 168Máquinas simples, Tipo palanca … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 169Tipo plano inclinado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 171www.elsolucionario.net
    • Dinámica, Principales conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 172Segunda ley de Newton, Unidades de fuerza … … … … … … … … … … … … … … … … … 173Rozamiento, fuerza de rozamiento o fricción … … … … … … … … … … … … … … … … … 174Dinámica de rotación o rotación dinámica … … … … … … … … … … … … … … … … … 174Momentos de inercia de algunos sólidos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 175Centro de gravedad, Teorema de Varignon … … … … … … … … … … … … … … … … … 176Posición del centro de gravedad, Centros de gravedad de figuras grométricas … … … … … … 177Trabajo, Potencia y Energía. Trabajo, Unidades de trabajo, … … … … … … … … … … … … 180Equivalencias de unidades de trabajo, Potencia, Unidades de potencia, Energía … … … … … 180Energía potencial (Ep), Energía cinética (Ec) … … … … … … … … … … … … … … … … 181Trabajo transformado o energía trasnformada, Trabajo en las rotaciones … … … … … … … … 181Energía cinética de rotación, Impulso y cantidad de movimiento … … … … … … … … … … 182El movimiento oscilatorio y el péndulo, Péndulo simple … … … … … … … … … … … … … 182Elementos de un péndulo simple, Leyes del péndulo … … … … … … … … … … … … … … 182Péndulo que bate segundos, Fórmula general del péndulo … … … … … … … … … … … … 183Movimiento armónico simple o movimiento vibratorio armónico … … … … … … … … … … 183Resortes, Fuerzas deformadora: Ley de Hooke … … … … … … … … … … … … … … … … 184Velocidad, Aceleración, Período y frecuencia … … … … … … … … … … … … … … … … … 184Cálculo de la velocidad “V”, Cálculo de la aceleración … … … … … … … … … … … … … 184Velocidad y aceleración máximas, Período y frecuencia … … … … … … … … … … … … … 184Densidad y peso específico, Relación entre densidad y peso específico … … … … … … … … 185Estática de los fluídos, Conceptos y definiciones, Presión … … … … … … … … … … … … 185Principio de Pascal, Prensa hidráulica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 185Principio de la hidrostática, Presión hidrostática … … … … … … … … … … … … … … … 186Ley fundamental de la hidrostática, Principio de Arquímides … … … … … … … … … … … 186Relación entre el empuje y el peso específico de líquidos, Neumología … … … … … … … … 187El calor, Dilatación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 187Calorimetría, Unidades para medir el calor, Calor específico “Ce” … … … … … … … … … … 188Calor sensible “Q” (calor ganado o perdido) … … … … … … … … … … … … … … … … … 189Teorema fundamental de la calorimetría, Capacidad calorífica “Cc” … … … … … … … … … 189Temperatura de equlibrio de una mezcla, Temperatura final “tf” … … … … … … … … … … 189Cambios de fase, Calores latentes, Transmisión de calor … … … … … … … … … … … … … 189Transmisión del calor por conducción, Cantidad de calor trasmitido “Q” … … … … … … … 190Trabajo mecánico del calor … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 190Termodinámica, Trabajo realizado por un gas “W” … … … … … … … … … … … … … … … 190Calor absorbido por un gas “G”, Primera ley de la termodinámica … … … … … … … … … … 191Segunda ley de la termodinámica (Rudolf Clausius 1850) … … … … … … … … … … … … 191Electrostática, Primera ley de la electrostática … … … … … … … … … … … … … … … … 191Tabla triboeléctrica, Segunda ley de la electrostática:Ley de Coulomb … … … … … … … … 191Primitividad, Unidades eléctricas coulomb “C” … … … … … … … … … … … … … … … … 192Campo eléctrico, Campo de cargas iguales … … … … … … … … … … … … … … … … … 193www.elsolucionario.net
    • Campo de cargas distintas, Intensidad del campo eléctrico … … … … … … … … … … … … 193Potencial eléctrico, Diferencia de potencial … … … … … … … … … … … … … … … … … 194Trabajo eléctrico, Capacidad eléctrica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 195Capacidad de los conductores aislados … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 195Capacidad de uns esfera aislada, Condensadores … … … … … … … … … … … … … … … 196Capacidad de un condensador, Capacidad de un condensador plano … … … … … … … … … 196Capacidad de condensador esférico y cilíndrico, Asociación de condensadores … … … … … 197Energía de un condensador, Electrodinámica … … … … … … … … … … … … … … … … 198Corriente eléctrica, Partes de un ciruito eléctrico … … … … … … … … … … … … … … … 198Resistencia de los conductores, Ley de Pouillet, Conductancia … … … … … … … … … … … 199Asociación de resistencias, En serie … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 199En paralelo, Fuerza electromotriz y resistencia total en un circuito … … … … … … … … … 200Corrientes derivadas, Ley de Kirchoff, Puente de Wheatstone … … … … … … … … … … … 200Energía y potencia de la corriente eléctrica, Potencia de la corriente eléctrica … … … … … … 201Efecto Joule o ley de Joule, Rendimiento de la corriente eléctrica … … … … … … … … … … 202Magnetismo y electromagnetismo, Magnetismo … … … … … … … … … … … … … … … … 202Líneas de fuerza de un campo magnético, Leyes magnéticas … … … … … … … … … … … … 202Intensidad “B” de un punto del campo magnético … … … … … … … … … … … … … … … 203Intensidad de campo magnético producida por un polo, Flujo magnético … … … … … … … 203Densidad magnética “B”, Electromagnetismo … … … … … … … … … … … … … … … … 204Efecto Oersted, Regla de la mano derecha (de Ampere), Ley de Biot y Savart … … … … … … 204Intensidad de campo creada por un conductor circular … … … … … … … … … … … … … 204Ley de la circulación de Ampere … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 205Bobina, Solenoide anular o toroidal de Rowland … … … … … … … … … … … … … … … 205Densidad del flujo inducido “B” a través del núcleo, Efecto Faraday … … … … … … … … … 206Ley de Faraday, Óptica, Velocidad de la luz … … … … … … … … … … … … … … … … … 207Unidad de intensidad de la luz, Iluminación, Unidad de iluminación “E” … … … … … … … 207Flujo luminoso “f”, Intensidad luminosa “I”, Flujo de intensidad “fT” … … … … … … … … 208Reflexión de la luz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 208Leyes de la reflexión regular, Espejos, Espejos planos, Espejos esféricos … … … … … … … … 209Elementos de un espejo esférico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 209Rayos principales, Posición del objeto y la imagen en un espejo cóncavo … … … … … … … 210Refracción de la luz, Indices de refracción, Leyes de la refracción … … … … … … … … … … 212Ángulo límite y reflexión total “L” … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 212Lámina de caras paralelas, Prisma óptico, Imágenes por refracción … … … … … … … … … 213Lentes, Elementos de las lentes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 214Rayos principales en las lentes convergentes y divergentes … … … … … … … … … … … … 214Construcción y posición de imágenes de lentes convergentes … … … … … … … … … … … 215Fórmula de Descartes para las lentes, Construcción de la imagen de una lente divergente … … 215Potencia de un lente, Aumento de la lente … … … … … … … … … … … … … … … … … 215Lentes gruesas de dos caras de cobertura, Potencia de lentes de contacto … … … … … … … 216www.elsolucionario.net
    • Química … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 217Definiciones, Química, Masa, Materia, Estados o fases de la materia … … … … … … … … … 217Cuerpo, Sustancia, Sistema, Fase, Energía … … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de medida, Unidades de longitud … … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de superficie, Unidades de volumen … … … … … … … … … … … … … … … … 218Unidades de masa, Unidades de tiempo … … … … … … … … … … … … … … … … … … 219Equivalencias de unidades SI e inglesas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 219Unidades de temperatura, Densidad y peso específico … … … … … … … … … … … … … … 220Densidad absoluta o densidad, Densidad relativa … … … … … … … … … … … … … … … 220Peso específico, Gravedad específica, Densidad de la mezcla … … … … … … … … … … … 221Relación entre densidad y peso específico, Presiones, Presión … … … … … … … … … … … 221Presión hidrostática, Presión neumática o presión de gases … … … … … … … … … … … … 222Teoría atómico molecular, Principales conceptos, Regla de Hund … … … … … … … … … … 223Tendencia a la máxima simetría, Estructura particular del átomo … … … … … … … … … … 223Croquis de un átomo, Núcleo, Isótopos, Isóbaros … … … … … … … … … … … … … … … 224Distribución electrónica de los elementos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 224Niveles de energía, Sub-niveles, Números cuánticos … … … … … … … … … … … … … … 224Conceptos adicionales, Electronegatividad, Afinidad, Valencia, Kerne … … … … … … … … 225Nomenclatura Lewis … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 225Enlace íonico, Enlace covalente, Enlace covalente puro, Enlace covalente polar … … … … … 226Tabla periódica de los elementos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 227Grupos principales de la tabla, Nomenclatura … … … … … … … … … … … … … … … … 228Nomenclatura química, Nombres de los átomos en su estado iónico … … … … … … … … … 229Aniones, Cationes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 229Nombre de los compuestos, Función química … … … … … … … … … … … … … … … … 230Nombre de los anhídridos, Nombre de los óxidos, Nombre de los peróxidos … … … … … … 231Nombre de los ácidos, Ácidos hidráticos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 231Ácidos oxácidos, Ácidos especiales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 232Radicales halogénicos, Radical halogénico hidrácido … … … … … … … … … … … … … … 234Radical halogénico oxácido, Nombre de la base o hidrócidos … … … … … … … … … … … 234Nombre de las sales, Sales hidráticas, Sales oxácidas … … … … … … … … … … … … … … 235Sales dobles, Peculiaridades de los ácidos del fósforo … … … … … … … … … … … … … … 236Óxidos dobles, Radicales cationes compuestos … … … … … … … … … … … … … … … … 236Anfoterismo del cromo, nitrógeno y manganeso … … … … … … … … … … … … … … … 237Unidades químicas de medida, Átomo-Gramo y Molécula-Gramo … … … … … … … … … … 238Átomo, Molécula, Átomo-Gramo, Molécula- Gramo o Mol, El estado gaseoso, Gas … … … … 238Ley general de los gases, Ley de Boyle y Mariotte, Ley de Charles, Ley de Gay-Lusasac … … … 239www.elsolucionario.net
    • Densidad de un gas, Ley de difusión o ley de Graham, Ecuación universal de los gases … … … 240Hipótesis de Avogrado y Ampere, Mezcla de gases, Leyes de Dalton … … … … … … … … … 241Ley de Amagat, Fracción molar, Gases húmedos, Gas húmedo … … … … … … … … … … … 242Humedad relativa, Determinación de pesos atómicos, Método del calor específico … … … … 243Ley de la combinación equivalente de los elementos … … … … … … … … … … … … … … 244Leyes de las combinaciones químicas, Leyes ponderales, Leyes volumétricas … … … … … … 244El estado líquido, Soluciones, Formas de expresar la concentración, Formas físicas … … … … 245Equivalente-gramo(Eq-g)de compuestos, Mili-valente … … … … … … … … … … … … … … 246Formas químicas para medir la concentración de las soluciones, Molaridad … … … … … … 246Molaridad, Normalidad, Dilución y aumento de la concentración … … … … … … … … … … 247Determinación de pesos moleculares, Método gasométrico, Método osmótico … … … … … … 248Método ebulloscópico, Método crioscópico, Termoquímica, Definición y conceptos … … … … 249Ley de Hess, Definición de las unidades calorimétricas, Caloría … … … … … … … … … … 250Equilibrio químico, Reacciones reversibles … … … … … … … … … … … … … … … … … 250Reacciones irreversibles, Ácidos y bases, Ácidos … … … … … … … … … … … … … … … 251Bases, Constante de ionización del agua(Kw), Tipo de soluciones, Concepto de “pH” … … … 252Electro-química, Unidad de masa, Coulomb, Faraday, Electro-equivalente … … … … … … … 253Unidades de intesidad, Ampere, Electrólisis, Leyes de Faraday … … … … … … … … … … … 253Química orgánica, Breves nociones y nomenclatura … … … … … … … … … … … … … … 254División de la química orgánica, Serie acíclica, Funciones químicas … … … … … … … … … 255Función hidrocarburo, Funciones principales, Serie saturada o Alkana … … … … … … … … 256Serie no saturada … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 257Funciones fundamentales, Función alcohol … … … … … … … … … … … … … … … … … 258Función aldehído, Función cetona … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 259Función ácido … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 260Radicales orgánicos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 261Funciones especiales, Función éter, Función éster, Función sal orgánica … … … … … … … 262Función amina, Función amida … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 263Función nitrilo, Función cianuro … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264Cuadro de los grupos funcionales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 265Serie cíclica, Serie alicíclica, Serie heterocíclica, Benceno … … … … … … … … … … … … … 267Radical fenilo, Derivados del benceno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 268Naftaleno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269Radical naftil, Derivados del naftaleno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269Antraceno, Radical antracil … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 270Derivados del antraceno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 271www.elsolucionario.net
    • DEFINICIÓNEs aquella parte de la matemática pura elemental quese ocupa de la composición y descomposición de lacantidad expresada en números.Lógica MatemáticaDEFINICIÓNLa lógica es la ciencia que estudia los procedimien-tos para distinguir si un razonamiento es correcto oincorrecto; en este sentido, la LÓGICA MATEMÁ-TICA analiza los tipos de razonamiento utilizandomodelos matemáticos con ayuda de las PROPOSI-CIONES LÓGICAS.PROPOSICIONES LÓGICASUna proposición lógica es el conjunto de palabrasque, encerrando un pensamiento, tiene sentido alAFIRMAR que es VERDADERO o al AFIRMAR quees falso.Las proposiciones se calsifican en:1) Simples o Atómicas2) Compuestas o MolecularesCONECTIVOS LÓGICOSLos conectivos lógicos son símbolos que sirven pararelacionar o juntar proposiciones simples (atómicas)y formar proposiciones compuestas (moleculares).F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 15 -ARITMÉTICAARITMÉTICACONECTIVO NOMBRE EL LENGUAJE COMÚN SE LEE~ Negación no, n es cierto que, no es el caso que, etc.∧ ó • Conjunción y, pero, sin embargo, además, aunque, etc.∨ Disyunción o, y/oinclusivaCONECTIVO NOMBRE EL LENGUAJE COMÚN SE LEEDisyunción o … o…∆exclusivaentonces, si … entonces …, dado que …⇒ Condiciona… siempre que …, en vista que …,implica …, etc.⇔ Bicondicional … si y sólo si …www.elsolucionario.net
    • PROPOSICIONES SIMPLESLas proposiciones simples o atómicas se representanpor las letras p, q, r, s, t, etc. y pueden ser verdaderaso falsas.Ejemplos:p: Juan Estudiaq: Andrés es un niñor: Stéfano no juega fútbols: Alejandra está gorditat: Christian es rubiou: Alescia habla muchoPROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICASSon las siguientes, formadas a partir de proposi-ciones simples:Negación: ~ p Se lee:“no p”, “no escierto que p”, etc.Conjunción: p ∧ q Se lee:“p y q”, “p pero q”,“p sin embargo q”, etc.Disyunción: p ∨ q Se lee:“p o q” , “p y/o q”DisyunciónExclusiva: p ∆ q Se lee:“o p o q”Condicional: p ⇒ q Se lee:“si p, entonces q”,“p implica q”, etc.Bicondicional p ⇔ q Se lee:“p si, y sólo si q”TABLAS DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONESCOMPUESTAS BÁSICASNEGACIÒN CONJUNCIÒNp ~ q p q p ∧ qV F V V VF V VF FFV FFF FDISYUNCIÓN DISYUNCIÓNINCLUSIVA EXCLUSIVAp q p ∨ q p q p ∆ qVV V V V FVF V VF VFV V FV VFF F FF FCONDICIONAL BICONDICIONALp q p ⇒ q p q p ⇔ qVV V V V VVF F VF FFV V FV FFF V FF VTIPOS DE PROPOSICIONESTAUTOLOGÍAEs una proposición cuyos VALORES DE VERDADdel OPERADOR PRINCIPAL son TODOS VERDA-DEROS, cualquiera sea el valor de verdad de suscomponentes.Ejemplo:p q p ∧ q ⇒ (p ∨ q)VV V V VVF F V VFV F V VFF F V F- 16 -www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 17 -CONTRADICCIÓNEs una proposición cuyos VALORES DE VERDADdel OPERADOR PRINCIPAL son TODOS FALSOS,cualquiera que sea el valor de verdad de sus compo-nentes.Ejemplo:p q [~ p ⇒ (q ∧ ~ q)] ∧ ~ pVV F V V F F F FVF F V F F V F FFV V F V F F F VFF V F F F V F VCONTINGENCIANo es ni tautología ni contradicción porque los VA-LORES DE VERDAD de su OPERADOR PRINCIPALtienen por lo menos una VERDAD y/o una FALSE-DAD.LEYES LÒGICAS PRINCIPALES1. DE IDENTIDAD:p ⇒ pp ⇔ p“Una proposición sólo es idéntica consigo misma”.2. DE CONTRADICCIÓN:~ (p ∧ ~ p)“Una proposición no puede ser verdadera y falsaa la vez”.3. DEL TERCIO EXCLUÍDO:p ∨ ~ q“Una proposición o es verdadera o es falsa, nohay una tercera opción”.4. DE LA DOBLE NEGACIÒN (INVOLUCIÓN):~ ( ~ p) ≡ p“La negación de la negación es una afirmación”.5. DE LA IDEMPOTENCIA:a) p ∧ p ∧ p ∧ … ∧ p ≡ pb) p ∨ p ∨ p ∨ … ∨ p ≡ p“Las variables repetidas redundantemente en unacadena de conjunciones o en una cadena dedisyunciones se reemplazan por la sola variable”.6. DE LA CONMUTATIVIDAD:a) p ∧ q ≡ q ∧ pb) p ∨ q ≡ q ∨ pc) p ⇔ q ≡ q ⇔ p“En una proposición, la conjunción, la dis-yunción inclusiva y la bicondicional son con-mutativas”.7. DE LA ASOCIATIVIDAD:a) p ∧ (q ∧ s) ≡ (p ∧ q) ∧ sb) p ∨ (q ∨ s) ≡ (p ∨ q) ∨ sc) p ⇔ (q ⇔ s) ≡ (p ⇔ q) ⇔ s“En una proposición, la doble conjunción, ladoble disyunción, o la doble bicondicional se aso-cian indistintamente”.8. DE LA DISTRIBUTIVIDAD:a) p ∧ (q ∨ s) ≡ (p ∧ q)∨ (p ∧ s)b) p ∨ (q ∧ s) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ s)c) p ⇒ (q ∧ s) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ s)d) p ⇒ (q ∨ s) ≡ (p ⇒ q) ∨(p ⇒ s)“En una proposición la conjunción, la disyuncióny la implicación son distributivas”.9. DE DE MORGAN:a) ~ (p ∧ q) ≡ ( ~ p ∨ ~ q)b) ~ (p ∨ q) ≡ ( ~ p ∧ ~ q)“En una proposición, la negación de una conjun-ción o de una disyunción son distributivasrespecto a la disyunción o conjunción.www.elsolucionario.net
    • - 18 -10. DEL CONDICIONAL:a) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ qb) ~ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q“En una proposición, la condicional equivale a ladisyunción de la negación del antecedente con elconsecuente, y la negación de una condicionalequivale a una conjunción del antecedente con lanegación del consecuente”.11. DEL BICONDICIONAL:a) (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)b) (p ⇔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~ q) ≡ ~ (p ∆ q)12. DE LA ABSORCIÓN:a) p ∧ (p ∨ q) ≡ pb) p ∧ (~ p ∨ q) ≡ p ∧ qc) p ∨ (p ∧ q) ≡ pd) p ∨ (~ p ∧ q) ≡ p ∨ q13. DE TRANSPOSICIÓN:a) (p ⇒ q) ≡ (~ q ⇒ ~ p)b) (p ⇔ q) ≡ (~ p ⇔ ~ q)14. DE EXPORTACIÓN:a) ( p ∧ q) ⇒ s ≡ p ⇒ (q ⇒ s)b) (p1∧ p2∧ …∧ pn) ⇒ s≡ (p1∧ p2∧ …∧ pn-1) ⇒ (Pn ⇒ s)15. MODUS PONENS:[(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q“En una premisa condicional; si se afirma elantecedente, entonces se concluye en la afirma-ción del consecuente”.16. MODUS TOLLENS:[(p ⇒ q) ∧ ~ p] ⇒ ~ p“En una proposición, si se niega el consecuentede una premisa condicional entonces se concluyeen la negación del antecedente”.17. DEL SILOGISMO DISYUNTIVO:[(p ∨ q) ∧ ~ p] ⇒ q“En una proposición, cuando se niega elantecedente de la premisa de una disyunción, seconcluye en la afirmación del consecuente”.18. DE LA INFERENCIA EQUIVALENTE:[(p ⇔ q) ∧ p] ⇒ q“En una proposición, cuando se afirma que unode los miembros de una bicondicional es ver-dadera, entonces el otro miembro también es ver-dadero”.19. DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO:[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ (p ⇒ s)“En una proposición, el condicional es transitivo”.20. DE LA TRANSITIVIDAD SIMÉTRICA:[(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ s)] ⇒ (p ⇔ s)“En una proposición, el bicondicional es tran-sitivo”.21. DE LA SIMPLIFICACIÓN:(p ∧ q) ⇒ p“En una proposición, si el antecedente y conse-cuente de una conjunción son verdades, entoncescualquiera de los dos términos es verdad”.22. DE ADICIÓN:p ⇒ (p ∨ q )“En una proposición, una disyunción está impli-cada por cualquiera de sus dos miembros.www.elsolucionario.net
    • P R I N C I PP R I N C I P A L E S S Í M B O L O SA L E S S Í M B O L O STEORÍA DE CONJUNTOSCONCEPTOS BÁSICOSDEFINICIÓN DE CONJUNTOSe entiende por conjunto a la colección, agrupacióno reunión de un todo único de objetos definidos, dis-tinguiles por nuestra percepción o nuestro pen-samiento y a los cuales se les llama elementos.Ejemplo: los muebles de una casa. Los muebles sonlos elementos que forma el conjunto.FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTOa) Por extensión.- Cuando el conjunto indica explí-citamente los elementos del conjunto. También sellama forma constructiva.Ejemplos:i) A = {a, b, c, d}ii) ‫ޚ‬ = {… ; -3; -2; -1; -0; 1; 2; … }b) Por comprensión.- Cuando los elementos delconjunto pueden expresarse por una propiedadcomún a todos ellos. También se le llama formasimbólica.Ejemplos:i) M = {x/x = vocal }Se lee:“M es el conjunto de las x, donde x es una vocal”.ii) B = {x e ‫ޚ‬ / -2 < x < 3}Se lee:“B es el conjunto de las x que pertenecen a losnúmeros enteros, donde x es mayor que -2 peromenor que 3”.F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 19 -Símbolo Lectura∈ … pertenece…∉ … no pertenece…φ Conjunto vacío≡ … equivalente…≠ … diferente…⊂ … está incluido⊆ … está incluido estrictamente⊄ … no está incluido…∪ … unión…∩ … intersección…/ … tal que …∼ … es coordinable…… no es coordinable…‫ޕ‬ Conjunto Universal∆ … diferencia simétrica…∀ Para todoSímbolo Lectura∃ existe…∃! existe un … sólo un …∃/ no existeη cardinal de…⇒ implica; entonces…⇔ … si y sólo si…᏿ conjunto de partes de…P potencial del …∧ … y …∨ … o …᭝ o … o …A’ Complemento de A con Respectoal conjunto Universal ‫ޕ‬< … es menor que …> … es mayor que …≤ … es menor o igual que …≥ … es mayor o igual que …www.elsolucionario.net
    • -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4- ∞ + ∞↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑__ __1-π -2,8 -√2 - –– 0,5 √3 π3NOTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS‫:ގ‬ Conjunto de los números naturales‫ގ‬ = {0; 1; 2; 3; 4;… }‫:ޚ‬ Conjunto de los números entero‫ޚ‬ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}‫ޚ‬+: Conjunto de los números enteros positivos‫ޚ‬-: Conjunto de los números enteros negativos‫:*ޚ‬ Conjunto de los números enteros no nulos‫ޑ‬ : Conjunto de los números racionales (deci-males finitos o infinitos periódicos)a‫ޑ‬ ={x/x = –– ; a ∈ ‫ޚ‬ ∧ b ∈ ‫ޚ‬ ∧ b ≠ 0}b5 7 6‫ޑ‬ ={...; –– ; –– ; -8; +3; - –– ;...}8 2 5‫މ‬ : Conjunto de números irracionales (decimalesinfinitos no periódicos)‫މ‬ = ‫´ޑ‬ = {x/x es número no racional}__ __ __‫މ‬ = {…; √30 ; √2 ; √3 ; + e ; π;...}‫ޒ‬ : Conjunto de los números reales‫ޒ‬ = {x/x ∈ ‫ޑ‬ ∨ x ∈ ‫}މ‬____8 4 5‫ޒ‬ ={…; –– ; - ––– ; √5 ; 3; - –– ;...}3 13 √4‫:ރ‬ Conjunto de los números complejos‫ރ‬ = {‫ޒ‬ ∧ ~ ‫ޒ‬ }__ __5‫ރ‬ = {…; -8; √7 ; 3; 5i; i√3 ; - –– ;...}9- 20 -LA RECTA REALEl conjunto de los números reales está formado portodos los conjuntos numéricos. Todos los números:Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales se pue-den representar sobre una recta, desde el cero a + ∞y desde cero a - ∞ . A esta recta se le llama “Rectareal” o “Recta numérica”.Cualquier número real se puede representar sobre unpunto de la Recta Real, porque tiene infinitos puntos.www.elsolucionario.net
    • CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS1) PERTENENCIA ∈ Y NO PERTENENCIA “∉”Sea : A = {a, b, c, d, e }: B = {a, b, c }: C = {m, n, q, r, s }Entonces: B ∈ A, se lee:“B pertenece a A”C ∉ A, se lee:“C no pertenece a A”2) CONJUNTOS FINITOS E INFINITOSFinitos:Cuando los elementos del conjunto se puede contar.A = {m, n, q, r };Son 4 elementos.Infinitos:Cuando los elementos del conjunto son tantosque no se puede contar.M = {estrellas del firmamento}; son infinitasN = {0; 1; 2; 3; 4; 5; …; ∞};Infinitos números3) CONJUNTOS IGUALESDos conjuntos son iguales cuando tienen exacta-mente los mismos elementos aunque no estén enel mismo orden.A = {4; 5; 6; 7; 8}B = {5; 6; 4; 8; 7}Entonces: A = B4) CONJUNTO VACÍOEs el conjunto que carece de elementos.A = φ ; A = { } ; A = 05) CONJUNTO UNITARIOEs el conjunto que tiene un solo elemento.M = {3} ; Q = {0}X = {y/2y = 4 }6) CONJUNTO UNIVERSALEs el conjunto que contiene a todos los elemen-tos de otro conjunto.‫ޕ‬ = {todas las vocales}A = { e; i ; o }Entonces ‫ޕ‬ es el conjunto universal de A.7) SUBCONJUNTOA = { m; n; p }B = { q; m; n; r; p}Se lee “ A es subconjunto de B” o “A está inclui-do en B”.RELACIONES ENTRE CONJUNTOSCONJUNTO DE CONJUNTO O CONJUNTO DEPARTESEs el conjunto formado por la totalidad de subcon-juntos que se puede formar a partir de un conjuntodado.Sea el conjunto:M = { m; n; p }El conjunto de partes es:᏿ (M) = {φ ,{m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p},{n, p}, {m, n, p}}POTENCIA DE UN CONJUNTOExpresa el número de subconjuntos que se puedeformar con los elementos de un conjunto. En otraspalabras, es el número de elementos de un conjuntode partes.P (M) = 2nN = número de elementos del conjunto M.Para el ejemplo anterior:n = 3, luego:P (M) = 23= 8F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 21 -www.elsolucionario.net
    • - 22 -DIAGRAMAS DE VENNSon gráficos, generalmente círculos, que sirven paraencerrar y representar conjuntos:A B.a.b.c AA = {a, b, c} A ⊂ BConjunto A “A está incluído en B”A ⊄ B“A no está incluido en B”OPERACIONES CON CONJUNTOS1) UNIÓN DE CONJUNTOSLa unión de dos conjuntos A y B, es el conjuntoformado por todos los elementos de los conjuntosA y B.Sean: A = { a, b, c }B = { c, d, e, f }‫ޕ‬A Ba b c d e fA ∪ B = { a, b, c, d, f }Se lee: “A unión B”.2) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOSLa intersección de los conjuntos A y B, es el con-junto que contiene elementos comunes a los con-juntos A y B.Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 }B = { 1; 3; 5; 7 }‫ޕ‬413 725A ∩ B = { 1; 3; 5 }Se lee: “A intersección B”.La intersección de varios conjuntos:Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 }B = { 1; 2; 4; 7}C = { 4; 5; 9; 10 }‫ޕ‬AB2 713 45109CA ∩ B ∩ C = {4}Se lee “A intersección B intersección C”.3) DIFERENCIA DE CONJUNTOSLa diferencia de dos conjuntos, A menos B, es elconjunto formado por elementos de A que nopertenezcan a B.Sean: A = { a, b, c, d, e }B = { d, e, f, g, h }www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 23 -‫ޕ‬A Bbfa de gc hA - B = { a, b, c }Se lee: “El conjunto A menos el conjunto B, es elconjunto a, b, c”.4) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTOSean los conjuntos A y universal ‫.ޕ‬ El comple-mento del conjunto A es la parte del conjunto uni-versal ‫ޕ‬ que no pertenece al conjunto A.Sean:A = { vocales }‫ޕ‬ = { el alfabeto }A’ AA’ = ‫ޕ‬ - A = { las consonantes }Se lee: “A’ es el complemento de A”.5) DIFERENCIA SIMÉTRICAEs el conjunto formado por la parte no común dedos conjuntos.A = { 2; 4; 6; 8; 10 }B = { 2; 4; 5; 7; 9 }A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)‫ޕ‬ AB6528 7410 9A ∆ B = { 5; 6; 7; 8; 9; 10 }Se lee: “A diferencia simétrica B”PRODUCTO CARTESIANO DE DOSCONJUNTOSDados dos conjuntos A y B, se llama producto carte-siano A . B, al conjunto de “pares ordenados” forma-dos por todos los elementos de A, como primeroscomponentes, asociados a todos los elementos de Bcomo segundos elementos.Sean:A = { a, b }M = { m, n, p }A . M(a, m)A M (a, n)a m (a, p). =b n (b, m)p (b, n)(b, p)A . M = { (a, m), (a, n), (a, p),(b, m), (b, n), (b, p)}Simbólicamente:A . M = {(x, y)/x ∈ A ∧ y ∈ M}Nota: A . M ≠ M . A (no es conmutativo)RELACIONESDEFINICIÓNRelación es un subconjunto de pares ordenados dedos conjuntos A y B que obedecen a una proposiciónestablecida.www.elsolucionario.net
    • Ejemplo:Sean los conjuntos:A = { a, b }M = { m, n, p}Se denota:a ℜ m ó (a, m) ∈ ℜy se lee:“ a está relacionada con m por ℜ”.Simbólicamente:ℜ es una relación de A en M ⇔ R ⊂ A . My se lee:“ℜ es una relación de A en M, si y solamente si larelación ℜ es un subconjunto de A . M”.Ejemplo: A = { 2; 4; 6; 8; 10 }B = { 1; 2; 3; 4 }Sea la propiedad: x ∈ A ∧ y ∈ BQue obedezca a la proposición P(x): x < yentonces:2 ℜ 32 ℜ 4Sólo se puede escribir estas dos relaciones porqueson las únicas que cumplen que x < y, que es laproposición P(x) que los relaciona.DOMINIO Y RANGODOMINIOEs el conjunto formado por los primeros compo-nentes de los pares ordenados que forman larelación ℜ.Se denota: Dom (ℜ)En el ejemplo anterior:Dom (ℜ) = {2}RANGOEs el conjunto formado por los segundos compo-nentes de los pares ordenados que forman larelación ℜ.Se denota: Ran (ℜ)En el ejemplo anterior:Ran (ℜ) = { 3; 4}TIPOS DE RELACIONES EN UN CONJUNTO1) REFLEXIVACuando todos los elementos de un conjunto Aestán relacionados consigo mismos a través de ℜ.ℜ es reflexiva ⇔ (a, a) ∈ ∀ ℜ a ∈ AEjemplo:A = { a, b, c}Relación Reflexiva:ℜ = {(a, a); (b, b); (c, c)}2) SIMÉTRICACuando cada uno de los elementos de un conjunto Aestá relacionado con otro del mismo conjunto y éstea su vez está relacionado con el primero.ℜ es simétrica ⇔ (a, b) ∈ ℜ ⇒ (b, a) ∈ ℜEjemplo:A = {a, b, c}Relación simétrica:ℜ = {(a, b); (b, a); (a, c); (c, a); (b, c); (c, b)}3) TRANSITIVACuando un elemento de un conjunto A está rela-cionado con otro elemento del mismo conjunto yesté a su vez está relacionado con uno tercero delmismo conjunto; entonces, el primero está rela-cionado con el tercero a través de la relación R.ℜ es transitiva ⇔ (a, b) ∈ ℜ ∧ (b, c) ∈ ℜ⇒ (a, c) ∈ ℜ- 24 -www.elsolucionario.net
    • Ejemplo:A = { a, b, c }Relación Transitiva:ℜ = {(a, b); (b, c); (a, c)}RELACIÓN DE EQUIVALENCIALa relación ℜ de A en A es una relación de EQUIVA-LENCIA, cuando esta relación es reflexiva, simétricay transitiva a la vez.FUNCIONESDEFINICIÓNUna función de A en B es una relación de par orde-nado que asocia a TODO ELEMENTO del conjuntoA con UN SOLO ELEMENTO del conjunto B.Se denota: f : A ⇒ BEjemplos:i) A B ii) A Bf g.a .a1. 1..b .b2. 2..c .c3. 3..d .df es una función g es una funcióny se denota y se denotaf = {(1,a), (2,b), (3,c)} g = {(1,a), (2,a), (3,b)}iii) h iv) j.a .a1. 1..b .b2. 2..c .c3. 3..d .dh No es una función j NO es una funciónporque No cumple: porque No cumple:“a todo elemento de “a TODO elemento de AA le corresponde UNSOLO elemento de B”En general una función de denota así:f (x) = yDonde “x” es un elemento de A, e “y” es un ele-mento de B.x ∈ A x y y ∈ B ≡ f(x) ∈ BDOMINIO Y RANGODOMINIOEs el conjunto de todas las PRIMERAS componentesdel par ordenado que pertenecen a una función “f”.RANGOEs el conjunto de todas las SEGUNDAS compo-nentes del par ordenado que pertenecen a unafunción “f”.Ejemplo:Sea: f = {(1, a), (2, b), (3, c)}Dom (f) = {1; 2; 3}Ran (f) = { a, b, c}SISTEMAS DE NUMERACIÓNNUMERACIÓNDEFINICIÓNEs la parte de la Aritmética que estudia las leyes, arti-ficios y convencionalismos utilizados para expresar(hablar) y representar (escribir) a los números enforma sistemática y lo más simple posible.SISTEMAS DE NUMERACIÓNSe refiere a los conjuntos de reglas, leyes, artificios yconvenios que permiten formar, expresar y represen-tar todos los números.BASE DE UN SISTEMAEs aquel número que indica la cantidad de unidadesde un orden cualquiera que se requiere para formaruna unidad de un orden inmediato superior. Así,F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 25 -www.elsolucionario.net
    • - 26 -nuestro sistema se llama DECIMAL porque con 10UNIDADES de un orden cualquiera, se logra formaruna unidad de un orden inmediato superior.FORMACIÓN DE UN SISTEMA DENUMERACIÓNPRINCIPIO BÁSICOEn un sistema de base N, toda cifra escrita un lugara la izquierda de otra, representa unidades de ordenN veces mayor al orden que representa la otra, escri-ta a la derecha.Ejemplo:Sea el número 468 en base N = 10, el 4 es deorden 10 veces mayor que cada unidad de 60 ycada unidad de 6 es de orden 10 veces mayor quecada unidad de 8.DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UNNÚMEROEs el procedimiento de cálculo que permite determi-nar la cantidad de unidades simples que posee unnúmero y con ello su valor real.______Sea el número a b c d de base N:________a b c d (N)Unidades de 1° orden.Unidades de 2° orden(N veces las u.s.)Unidades de 3° orden(N2veces las u.s.)Unidades de 4° orden(N3veces las u.s.)Donde: u.s. = unidades simplesMÉTODO PRÁCTICO PARA DESCOMPONER UNNÚMERO EN SU FORMA POLINÓMICA“Se toma la primera cifra de la izquierda y se multi-plica por la base del sistema elevado a un exponenteigual al número de cifras que le siguen a la cifratomada, a este resultado se le suma el producto de lasegunda cifra multiplicada por la base del sistemaelevada a un exponente igual al número de cifras quele siguen y así sucesivamente”.____a b c(N)⇒ a . N2+ b . N + c_______a b c d e(N)⇒ a . N4+ b . N3+ c . N2+ d . N + e_______ab…xyz(N)⇒ a . Nm-1+ b . Nm-2+ … x . N2123+ y N + z“m” cifrasCONVENCIÓNCuando la base es superior a 10, y los números 10;11; 12 y 13 sean cifras, se emplea la siguiente equiva-lencia:α = 10 ; β = 11 ; γ = 12 ; & = 13CIFRAS MÍNIMASSon todas las cifras menores o iguales a la mitad dela base del número dado.Ejemplos de cifras mínimas:De base 4: 0; 1; 2;De base 7: 0; 1; 2; 3;De base 10: 0; 1; 2; 3; 4, 5De base 11: 0; 1; 2; 3, 4; 5De base 12: 0; 1; 2; 3, 4; 5; 6Ejemplo:Escribir el número 67 654(8)en cifras mínimas. Lascifras mínimas de este número son: 0; 1; 2; 3; 4.4 = 4__5 - 8 = 3__6 + 1 = 7 ; 7 - 8 = 17 + 1 = 8 ; 8 - 8 = 0__6 + 1 = 7 ; 7 - 8 = 10 + 1 = 1_ _ _∴ 67 654(8)= 1 1 0 1 3 4www.elsolucionario.net
    • OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS NODECIMALESSUMATal como en el sistema decimal, si la suma parcialsupera el valor de la base, se ecribe el valornumérico de lo que excede a la base y se llevacomo unidades tantas veces como excede al valorde la base.Ejemplo:423(7)+ 566(7)+ 2521(7)4 2 3 +5 6 62 5 2 1________4 1 4 3(7)lo cual se desarrolló de la siguiente manera:3 + 6 + 1 = 10como 10 = 7 + 3; se pone 3 y se lleva 1.1 + 2 + 6 + 2 = 11como 11 = 7 + 4 ; se pone 4, se lleva 1.1 + 4 + 5 + 5 = 15como 15 = 14 + 1; 15 = 2 . 7 + 1; se pone 1, selleva 22 + 2 = 4RESTAEl método es similar a la resta en base 10. Cuando labase es otra, se añade como unidad el valor de labase.Ejemplo: 4 7 3 5(8)- 2 3 6 7(8)4 7 3 5 –2 3 6 7(8)_______2 3 4 6(8)Desarrollo:5 - 7 no se puede restar, entonces, en la segundacolumna tomamos prestada 1 unidad a 3, lo quenos permite añadir a 5 el valor de la base:(5 + 8) - 7 = 6Como a 3 se quitó 1 unidad, ahora es 2, pero 2 - 6no se puede restar, entonces:(2 + 8) - 6 = 4Como a 7 se le había quitado 1 unidad, ahora es 6:6 - 3 = 3Ahora no se ha quitado nada.Finalmente:4 - 2 = 2MULTIPLICACIÓNEl procedimiento es similar a la multiplicación enbase 10; sólo que lo que se lleva es la unidad de labase de los factores.Ejemplo:326(7). 465(7)3 2 6 x4 6 5_________2 3 0 22 6 3 11 6 4 3___________2 2 6 2 1 2(7)Desarrollo:5 . 6 = 30 = 4 . 7 + 2 pongo 2 van 45 . 2 + 4 = 14 = 2 . 7 + 0 pongo 0 van 25 . 3 + 2 = 17 = 2 . 7 + 3 pongo 3 van 2Finalmente: pongo 2.6 . 6 = 36 = 5 . 7 + 1 pongo 1 van 56 . 2 + 5 = 17 = 2 . 7 + 3 pongo 3 van 26 . 3 + 2 = 20 = 2 . 7 + 6 pongo 6 van 2Finalmente: pongo 24 . 6 = 24 = 3 . 7 + 3 pongo 3 van 34 . 2 + 3 = 11 = 1 . 7 + 4 pongo 4 van 14 . 3 + 1 = 13 = 1 . 7 + 6 pongo 6 van 1Finalmente: pongo 1F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 27 -www.elsolucionario.net
    • - 28 -Luego, se suma los productos parciales, recordan-do cómo se suma cuando los sumandos no son debase 10.DIVISIÓNPara hacer la división es aconsejable formar una tablacon la base dada, con todos los productos posiblesdel divisor por el cociente.Ejemplo: 4 350(6)÷ 24(6)Las cifras del cociente, por ser de base 6, oscilanentre 0 y 5, lo cual se toma en cuenta para formarla tabla:Tabla de base 60 . 24 = 01 . 24 = 242 . 24 = 523 . 24 = 1204 . 24 = 1445 . 24 = 2124 3 5 0 2 42 4 1 4 2(6)_____1 5 51 4 4_____1 1 05 2______1 4CAMBIOS DE BASE DE UN SISTEMA DENUMERACIÓN1° UN NÚMERO DE CUALQUIER BASE PASARA BASE 10Regla:Se descompone polinómicamente el número da-do. El número que resulta de sumar las unidadessimples (u.s.) de este número es el número debase 10.Ejemplo:Pasar 3 856(9)a base 10.Se descompone polinómicamente y se suma:3 . 93+ 8 . 92+ 5 . 9 + 6 = 2 886 u. s.3 856(9)= 2 886(10)= 2 886Nota.-Que cuando el número es de base 10 no esnecesario señalar la base.2° UN NÚMERO DE BASE 10 PASAR A OTROSISTEMA DE BASE “N”Regla:Se divide el número dado entre el valor “N” de labase deseada, lo cual arroja un cociente. Estecociente se divide nuevamente entre el valor “N”,sucesivamente hasta obtener un último cocientecuyo valor sea menor a la base. Luego, tomandola cifra del último cociente y las cifras de losresiduos en el orden del último al primero, quedaformado el número de base “N”.Ejemplo:Pasar 4 975 de base 10 a base 8.4 9 7 5 81 7 6 2 1 81 5 6 1 7 7 87 5 5 9 81 1∴ 4 975(10)= 11 557(8)3° DE UN NÚMERO NO DECIMAL A OTRO NODECIMALRegla:El primero se pasa a base 10 y luego, el nuevonúmero, a la base pedida.Ejemplo:Pasar el número 2 583(9)a base 5.A base 10:2 . 93+ 5 . 92+ 8 . 9 + 3 = 1 938www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 29 -Ahora, 1 938 se cambia a base 5:1 9 3 8 54 3 3 8 7 53 8 3 7 7 7 53 2 2 7 1 5 52 0 3∴ 2 583(9)= 30 223(5)CONTEO DE CIFRAS AL ESCRIBIR LASERIE NATURALEN BASE 10# de cifras = (# mayor + 1) (# cifras del #mayor) – (número con tantos 1como cifras tenga el # mayor)Ejemplos:¿Cuántas cifras se emplea para escribir la serienatural de los números hasta el 3 475?Solución:# de cifras = (3 475 + 1) (4) – (1 111)# de cifras = 3 4 76 . 4 – 1 111# de cifras = 13 904 – 1 111 = 12 793¿Cuántas cifras se ha empleado para escribir laserie natural de los números hasta 15 497?Solución:# de cifras = (15 497 + 1) (5) – 11 111# de cifras = 15 498 . 5 – 11 111# de cifras = 66 379EN BASE N:# de cifras =nk- 1(# mayor + 1)(# cifras del # mayor) - [–––––]n - 1k = # de cifras del número mayorn = base del sistemaEjemplo:¿Cuántas cifras se ha empleado para escribirhasta el número 8 427(9)?Solución:8 427(9)= 6 18194- 1# de cifras = [(6 181 + 1) . 4 - –––––]9 - 1# de cifrras = 23 908CÁLCULO DE LA CANTIDAD DE NÚMEROS DE“n” CIFRAS, EN BASE “A”Consiste en darle a cada cifra el número de valoresque puede asumir. El producto de estos valores nosdá el número de combinaciones que a su vez es elnúmero de números de “n” cifras.# de números = (base – 1)(base - 1)(n-1)Observar que:“n” es el número de ciras, pero cuando las cifra serepiten, esa cifra se toma una sola vez.Ejemplo:_____¿Cuántos números de la forma a b b(12)existen?_____Solución: a b bTiene 1 cifra repetida y distinta a la primera cifra.Por lo tanto:# de cifras = (12 - 1) (12 - 1)(2-1)= 121SUMATORIA DE PRIMEROS NÚMEROS DELA SERIA NATURAL EN BASE 101) Suma de los “n” primeros números consecutivosde la serie natural.SC= 1 + 2 + 3 + … + (n - 2) + (n - 1) + nn(n + 1)SC= –––––––22) Suma de los “n” primeros números impares con-secutivos de la serie natural de los números.S¡ = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n - 3) + (2n - 1)S¡ = n2www.elsolucionario.net
    • - 30 -3) Suma de los “n” primeros números pares consecu-tivos de la serie natural de los números.Sp= 2 + 4 + 6 + … + (2n - 4) + (2n - 2) + 2nSp= n(n + 1)OPERACIONES BÁSICAS SOBRENÚMEROS REALESSUMA O ADICIÓN1) LEY CONMUTATIVAEn una suma, el orden de los sumandos no alterala suma total. Así:a + b + c = c + a + b = SEjemplo:4 + 9 + 12 = 12 + 4 + 9 = 252) LEY ASOCIATIVAEn una suma de varios sumandos, dos o más deellos pueden ser sustituidos por su suma parcial yla suma total no se altera.a + b + c = (a + b) + c = SEjemplo:6 + 8 + 3 + 11 = 14 + 3 + 11 = 283) LEY DE UNIFORMIDADSi se suma miembro a miembro dos o más igual-dades, el resultado es otra igualdad.a + c = m 5 + 3 = 8b + d = n 6 + 9 = 15r + p = h 8 + 10 = 18_________ __________S = S 41 = 414) LEY DE MONOTONÍAa) Si se suma miembro a miembro igualdades con de-sigualdades del mismo sentido, el resutlado esuna desigualdad cuyo sentido es el mismo que elde las desigualdades.Ejemplo:6 = 65 = 59 > 413 > 11_______Resultado 33 > 26b) Si se suma miembro a miembro dos o más desi-gualdades del mismo sentido, el resutlado es otradesigualdad del mismo sentido que las anteriores.Ejemplo:5 < 86 < 918 < 60_______Resultado 29 > 77RESTA O SUSTRACCIÓNForma general:M - S = DDonde, los términos son:M = minuendoS = sustraendoD = diferenciaVARIACIONES DE LOS TÉRMINOS DE LARESTA1) Si al minuendo se le suma o se le resta un númerocualquiera sin alterar el sustraendo, entonces ladiferencia queda aumentada o disminuida, respec-tivamente, en dicha cantidad.(M ± n) - S = D ± n2) Si al sustraendo se le suma o se le resta un númerocualquiera, sin alterar el minuendo entonces ladiferencia queda disminuida o aumentada, respec-tivamente, en dicha cantidad.M - (S ± n) = D ϯ n3) Si al minuendo y sustraendo se le suma o se leresta un mismo número, la diferencia no se altera.(M ± n) - (S ± n) = Dwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 31 -COMPLEMENTO ARITMÉTICO “C.A.”C.A. de un número es otro número equivalente a loque le falta al primero para ser igual a la unidad dec-imal de orden inmediato superior.Ejemplo:C.A. de 0,03 es 0,07 porque 0,1 - 0,03 es 0,07C.A. de 6 es 4 porque 10 - 6 es 4C.A. de 367 es 633 porque 1 000 - 367 es 633LA MULTIPLICACIÓN1) LEY CONMUTATIVAEl orden de los factores no altera el producto.a . b = b . a = PEjemplo:7 . 4 = 4 . 7 = 282) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMAEl producto de un factor por la suma indicada dedos o más sumandos es giual a la suma de los pro-ductos del factor por cada sumando.a(n + m) = a . n + a . m = PEjemplo:5(8 + 3) = 5 . 8 + 5 . 3 = 553)LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA RESTAEl producto de un factor por una resta indicada esigual a la diferencia del producto del factor por elminuendo menos el producto del factor por elsustraendo.a(n - m) = a. n - a . m = PEjemplo:5(8 - 3) = 5 . 8 - 5 . 3 = 254) LEY DE UNIFORMIDADSi se multiplica miembro a miembro dos igual-dades, el resultado es otra igualdad.a = bm = n___________a . m = b . n5) LEY DE MONOTONÍASi se multiplica miembro a miembro igualdadescon desigualdades del mismo sentido, el resulta-do es otra desigualdad del mismo sentido que lasanteriores.Ejemplo:3 = 35 > 23 > 1______Multiplicando 45 > 6Si se multiplica miembro a miembro desigual-dades del mismo sentido, el resultado es otradesigualdad del mismo sentido que las anteriores.Ejemplo:3 < 58 < 92 < 7________Multiplicando 48 < 315PROPIEDAD FUNDAMENTAL DEL NÚMEROENTERO10n-1≤ N < 10nN = número enteron = número de cifras del númeroLA DIVISIÓNEs una operación que consiste en hallar un factor lla-mado cociente, el cual indica el número de veces queun factor, llamado divisor, está contenido en otro lla-mado dividendo.DD = d . q ⇔ –– = qdDonde: D = dividendod = divisorq = cocientewww.elsolucionario.net
    • Además, cuando la división es inexacta tiene unresiduo.a) División inexacta por defecto:D = d . q + rDonde:R ≠ 0 , r < db) División inexacta por exceso:D = d(q + 1) - r’Donde:r’ ≠ 0, 0 < r’ < d1) LEY DE UNIFORMIDADSi se divide miembro a miembro dos igualdades,el resultado es otra igualdad; si las divisiones sonexactas.A = B y C = DA BLuego: ––– = –––C D2) LEY DE MONOTONÍASi ambos miembros de una desigualdad son divi-didos por un mismo número que sea divisor deambos, se obtiene otra desigualdad cuyo sentidoes el mismo que la desigualdad dada.A BA > B; “d” divisor de ambos ⇒ ––– > –––d d3) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LASUMAEl cociente de una suma indicada dividida por undivisor es igual a la suma de los sumandos dividi-dos cada uno por el divisor común.a + b + c + m a b c m––––––––––– = –– + –– + –– + –– = qd d d d d4) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA RESTAEl cociente de una resta indicada dividida por undivisor común es igual a la resta de los cocientesresultantes.a - b a b––––– = –– - –– = qd d dALTERACIONES DE LOS TÉRMINOS DE UNADIVISIÓN1) Alteración del dividendo.-En una división exacta, si al dividendo se le mul-tiplica o se le divide por un número cualquiera,sin alterar el divisor, entonces el cociente quedamultiplicado o dividido, respectivamente, por elmismo número.Casos:D D . na) –– = q ; ––––– = q . nd dD D ÷ nb) –– = q ; ––––– = q ÷ nd d2) Alteración del divisor.-En una división exacta, si al divisor se le multi-plica o se le divide por un número cualquiera, sinalterar el dividendo, entonces el cociente quedadividido o multiplicado respectivamente, pordicho número.Casos:D Da) –– = q ; ––––– = q ÷ nd d . nD Db) –– = q ; ––––– = q . nd q ÷ n3 ) Alteración del dividendo y divisor.-En una división exacta, si al dividendo y al divi-sor se les multiplica o divide simultáneamentepor un mismo nùmero, el cociente no varía.Casos:D D . na) –– = q ; ––––– = qd q . nD D ÷ nb) –– = q ; ––––– = qd q ÷ nEn una división inexacta, si al dividendo y al divi-sor se les multiplica o se les divide por el mismonúmero, el cociente no se altera, pero el residuoqueda multiplicado o dividido respectivamente,por el mismo número.- 32 -www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 33 -D D . na) –– = q + r ; ––––– = q + r . nd d . nD D ÷ nb) –– = q + r ; ––––– = q + r ÷ nd d ÷ nPROPIEDADES DEL RESTO O RESIDUO1° El resto siempre es menor que el dividendor < d2° El resto siempre debe ser menor que la mitad deldividendo:Dr < ––23° El resto máximo siempre será igual al divisormenos uno:r máx= d - 14° La suma de los valores absolutos de los restos pordefecto y por exceso siempre es igual al divisor.| r | + | r’ | = dRELACIONES NOTABLES DE LAS CUATROOPERACIONES1) Dadas la suma “S” y la diferencia “D” de dosnúmeros “a” y “b”, donde a > b:S + D S - Da = ––––– b = ––––––2 22) Dados la suma “S” y el cociente “q” de dosnúmeros “a” y “b”, donde a > b:q . S Sa = ––––– b = ––––––q + 1 q + 13) Dados la suma “S”, el cociente “q” y el residuo “r”de dos números “a” y “b” (a > b).S . q+ r S - ra = ––––––– b = ––––––q + 1 q + 14) Dados la diferencia “D” y el cociente “q” de dosnúmeros “a” y “b”, donde a > b.q . D Da = ––––– b = ––––––q - 1 q - 15) Dados la diferencia “D”, el cociente “q” y el resid-uo “r” de dos números “a” y “b”, donde a > b.D . q - r D - ra = ––––––– b = –––––q - 1 q - 16) Dados el producto “P” y el cociente “q” de dosnúmeros “a” y “b”, donde a > b_________ pa = √P . q b = ––√ qPROPIEDADES DE LOS NÚMEROSDIVISIBILIDAD (en Z)Un número “A” es divisible por otro número “B”solamente si el cociente de dividir “A” por “B” es unnúmero entero “n”.A–– = n ⇒ A = n . B ⇔ n ∈ ‫ޚ‬BDIVISOREs un número que está contenido en otro un númeroexacto (entero) de veces.Ejemplo:{ -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8}son todos los divisores de 8.MULTIPLOMúltiplo de un número es aquel número que con-tiene al primero un número (entero) exacto de veces.Se denota:A = m . Bo, también así:°A = BEjemplos:{ -16; -8; 8; 16; 24 }son algunos múltiplos de 8.www.elsolucionario.net
    • PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD1º Si un número “n” divide a varios otros números,divide también a la suma o a la diferencia dedichos números.A B––– = q1; ––– = q2n nA ± B⇒ –––––– = qn2º Si un número “n” no divide exactamente a otrosdos (A y B), dividirá exactamente a la diferenciade ellos (A - B) si y solamente si los residuos (r1y r2) que resultan de dividir cada número entre elnúmero “n” son iguales.A = n . q1r1B = n q2+ r2_______________________Restando: A - B = n(q1- q2) + (r1- r2)⇔ r1- r2= 0 ⇒ r1= r23º Si un número “n” divide exactamente a otronúmero “A”, también divide a todo múltiplo deéste.ASi: –– = q1nm . A⇒ ––––– = q2n4º Si un número “A” es divisible por otro “n” lo estambién por los factores de éste.ASi: –– = qnA A A⇒ –– = q1; –– = q2; –– = q3n1n2n3donde: n = n1. n2. n35º En una división inexacta, si un número “n” divideal dividendo “A” y al divisor “d”, también divideal residuo “r”.ASea: –– = q + rdA dSi: –– = q1y –– = q2n nrEntonces : –– = q3nREGLAS PRÁCTICAS DE DIVISIBILIDADSe dice que un número es divisible:Por 2, cuando termina en cero o en cifra par.Por 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros omúltiplos de 4.Por 8, cuando sus tres últimas cifras son ceros omúltiplos de 8.Por 5, cuando su última cifra es cero o cinco.Por 25, cuando sus dos últimas cifras son ceros oun número múltiplo de 25.Por 125, cuando sus tres últimas cifras son ceroso múltiplos de 125.Por 2no 5n, cuando las “n” últimas cifras sonceros o un número múltiplo de 2no 5n.Por 3, cuando la suma de sus cifras significativases 3 o múltiplo de 3.Por 9, cuando la suma de sus cifras significativases 9 o múltiplo de 9.Por 11, cuando la suma de las cifras que ocupanlugar impar menos la suma de las cifras que ocu-pan lugar par es: 0, 11 o múltiplo de 11.Ejemplo: 538 527 es m11Lugar par: 5 + 8 + 2 = 15Lugar impar: 3 + 5 + 7 = 15⇒15 - 15 = 0Por 6, cuando los es simultáneamente por 2 ypor 3.Por 22, cuando lo es simultáneamente por 2 ypor 11.Por 7, lo es cuando se verifica el siguiente pro-cedimiento: “Se separa la última cifra significati-va de la derecha, esta cifra se duplica y se resta alnúmero que queda a la izquierda, con el resulta-do se hace lo mismo sucesivamente hasta llegar aun número pequeño tal, que a simple vista se- 34 -www.elsolucionario.net
    • puede ver si es o no múltiplo de 7; si lo es, elnúmero es divisible entre 7”.Ejemplos:i) 63 743 no es m7.6 374 - 2 . 3 = 6 368636 - 2 . 8 = 6206 - 2 . 2 = 2∴ NO es m7, porque: 2 ≠ m7ii) 25 7952 579 - 2 . 5 = 2 569256 - 2 . 9 = 23823 - 2 . 8 = 7∴ SI es m7, porque: 7 = m7Por 12, cuando lo es simultáneamente por 3 ypor 4.Por 14, cuando lo es simultáneamente por 2 ypor 7.Por 15,cuando lo es simultáneamente por 3 ypor 5.Por 16, cuando las 4 últimas cifra son ceros o elnúmero formado por esta 4 últimas cifras esmúltiplo de 16. Corresponde al caso de 2n, cuan-do n = 4.Por 17, cuando la diferencia entre sus decenas yel quíntuple de sus unidades es 17 o m17.Ejemplo: 2 975297 - 5 . 5 = 27227 - 5 . 2 = 17∴ 2 975 = m17Por 19, cuando la suma de sus decenas con eldoble de sus unidades es 19 o m19.Ejemplos:i) 4 835 no es m19.483 + 2 . 5 = 49349 + 2 . 3 = 55 ≠ M19ii) 12 6351 263 + 2 . 5 = 1 273127 + 2 . 3 = 13313 + 2 . 3 = 19 = m19NÚMEROS CONGRUENTESDos números son congruentes respecto de otronúmero “p”, llamado módulo, si al dividir por estemódulo originan el mismo resto.Se denota: A = p . a + rB = p . b + rEn general: A ≡ B (mod. P)Ejemplo:Verificar que los números 50 y 32 son congru-entes con el módulo 6.50––– = 8 + 2632––– = 5 + 26Notar que la condición necesaria y suficiente paraque dos números sean congruentes respecto a unmódulo, es que su diferencia sea múltipo delmódulo.°A ≡ B (mod. p) ⇔ A - B = pAsí, del ejemplo anterior:50 - 32 = 18 ∧ 18 = m6∴ 50 ≡ 32 (mod. 2)NÚMEROS PRIMOS (en ‫)ގ‬CLASIFICACIÓN1. Primos absolutos o simplemente primos.-Son aquellos números primos que sólo son divisi-bles entre la unidad y entre sí mismos.F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 35 -www.elsolucionario.net
    • - 36 -Ejemplos:i) 1ii) 3iii) 17iv) 592. Primos relativos.-Son dos o más números que simultáneamentesólo son divisibles entre la unidad, aunque inde-pendientemente pueden ser divisibles por otronúmero diferente de 1.Ejemplo:5; 9; 14;son primos relativos porque no son divisiblesentre sí, aun cuando el 9 y el 14 son divisibles porotros números y el 5 es primo absoluto.NÚMERO COMPUESTOEs todo número no primo, resultado de multiplicardos o más números primos absolutos o las potenciasde estos.Ejemplos:i) 32 = 25ii) 180 = 22. 32. 5iii) 12 = 22. 3iv) 33 = 3 . 11CRIBA DE ERATÓSTENESEs una tabla denominada también “Tabla de losNúmeros Primos Absolutos” y permite obtener losprimeros números primos.REGLAS PARA SU CONSTRUCCIÓN1° Se escribe todos los números en ‫ގ‬ desde el 1 hastael límite pedido.2° Se tacha los múltiplos de 2, partiendo de 4.3° El siguiente número no tachado es el 3; en conse-cuencia, se tacha los múltiplos de 3 , partiendo de 9.4° Dado que el siguiente número no tachado es el 5,se tacha los múltiplos de 5, partiendo de 25.5° Así sucesivamente, hasta concluir. Los númerosque quedan son los primeros números primosabsolutos.Ejemplo:Hallar los números primos en el rango de los 100primeros números naturales.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100En conclusión:{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 57, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}es el conjunto de los números primos en el rangodel 1 al 100.FÓRMULAS GENERALESTodo número compuesto, como se mencionó, pue-de ser expresado como el producto de 1 por dos omás factores primos y se pondrá calcular algunoselementos asociados cuyas fórmulas se indica a con-tinuación.Sea N número un número compuesto:N = aα. bβ. cγ. … . wωwww.elsolucionario.net
    • Donde:a, b, c, …, w = factores primos de Nα, β, γ, …, ω = exponentes de los factores primosde NNÚMERO DE DIVISORES1) n = (α + 1) (β + 1) (γ + 1) … (ω + 1)n: número de divisores de NEjemplo:N = 12 = 22. 31n = (2 + 1) (1 + 1) = 6{1, 2, 3, 4, 6, 12}SUMA DE DIVISORESaα+1- 1 bβ+1- 1 cγ+1- 1 wω+1- 12) S = ––––––– . ––––––– . –––––– . … . –––––––a - 1 b - 1 c - 1 w - 1S: suma de los divisores de NSUMA DE INVERSAS DE DIVISORESS3) Si= –––NSi: suma de la inversa de los divisores de N.SUMA DE POTENCIAS DE LOS DIVISORESaq(α+1)- 1 bq(β+1)- 1 wq(ω+1)- 14) Sq= –––––––– . –––––––– … –––––––––a - 1 b - 1 w - 1Sq: suma de las potencias “q” de los divisores de NPRODUCTO DE DIVISORES___5) P = √NnP: producto de los divisores de NMÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)Máximo común divisor de dos números es el mayordivisor común de ellos.Ejemplo:Hallar el MCD de los números 36, 48 y 7236 2 36 = 22. 3318 2 sus factores son:9 31, 2, 43 33, 6, 1219, 18, 3648 2 48 = 24. 324 2sus factores son:12 26 2 1, 2, 4, 8, 16,3 3 3, 6, 12, 24, 48172 2 72 = 23. 3236 2sus factores son:18 29 3 1, 2, 4, 8,3 3 3, 6, 12, 24,1 9, 18, 36, 72Los “divisores comunes” a los números 36, 48 y72 son: 1, ,2 ,3 ,4 ,6 y 12, pero el mayor de elloses 12, éste es el MCD.PROPIEDADES DEL M.C.D.1) El MCD de los números primos es la unidad.2) El MCD de dos o más números primos entre si esla unidad.3) De dos números diferentes, estando uno con-tenido en el otro, MCD de ellos es el menor.4) Si se divide dos números entre su MCD los cocien-tes que resultan son números primos relativos.MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)Mínimo común múltiplo de dos o más números es elmenor multiplo común que contenga exactamente alos números dados.REGLA PARA HALLAR EL m.c.m. DE DOS OMÁS NÚMEROSSe descompone los números dados en sus factoresprimos; el m.c.m. de los números es igual al produc-to de los factores primos comunes y no comunes consus mayores exponentes.F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 37 -www.elsolucionario.net
    • Ejemplo:Hallar el mcm de 180; 528; 936.180 2 528 290 2 264 245 3 132 215 3 66 25 5 33 31 11 111180 = 22. 32. 5 528 = 24. 3 . 11936 2468 2234 2117 339 313 131936 = 23. 32. 13∴ m.c.m. (180; 528; 936) =24. 32. 5 . 11 . 13 = 102 960PROPIEDADES1° El mcm de dos o más números primos absolutoses igual al producto de ellos.2° El mcm de dos números primos entre sí es el pro-ducto de ellos.3° El cm de dos números, de los cuales uno contieneal otro es el mayor de ellos.4° Si dos o más números son multiplicados o dividi-dos por otro, el mcm queda multiplicado o divi-dido, respectivamente, por dicho número.5° Si se divide el mcm de varios números entre cadauno de ellos, los cocientes resultantes son primosentre sí.6° El producto de dos núneros enteros es igual al pro-ducto de MCD por el mcm.A . Bm.c.m. = ––––––MCDo:A . B = (mcm) (MCD)NÚMEROS RACIONALES (Fracciones)A. FRACCIONES ORDINARIASNúmero fraccionario o quebrado es aquel númeroque está constituido por una o más partes de launidad.NOTACIÓNUna fracción se denota por:a––bdonde:a es el numeradorb es el denominadorCLASIFICACIÓN1) Fracciones propias.-Son aquellas cuyo numerador es menor que eldenominador.5Ejemplo: ––92) Fracciones impropias.-Son aquellas cuyo numerador es mayor que eldenominador. Las fracciones impropias son lasque dan origen a los números mixtos.8 2Ejemplo: –– = 2 –– (número mixto)3 33) Fracciones homogéneas.-Dos o más fracciones son homogéneas cuandotienen el mismo denominador.8 5 22Ejemplo: –– , –– , –––9 9 94) Fracciones heterogéneas.-Dos o más fracciones son heterogéneas cuandotienen distintos denominadores.4 2 6Ejemplo: –– , –– , –––7 5 11- 38 -www.elsolucionario.net
    • 5) Fracciones equivalentes.-Una fracción es equivalente a otra fracción sila segunda resulta de multiplicar o dividir alnumerador y al denominador de la primerapor un mismo número.a a . K a/KEjemplo: –– < > ––––– < > ––––b b . K b/K6) Fracción irreductible.-Cuando el numerador y denominador son pri-mos entre sí (primos relativos).3Ejemplo: ––77) Fracciones iguales a la unidad.-Cuando tienen numerador y denominadoriguales.3 5 6 nEjemplo: –– = –– = –– = … = –– = 13 5 6 nPROPIEDADES1° Si el numerador y el denominador son multiplica-dos o divididos por un mismo número, el quebra-do no varía.5 5 . 4 5 ÷ 8Ejemplo: –– = –––––– = –––––9 9 . 4 9 ÷ 82° De varias fracciones homogéneas, es mayor la quetiene mayor numerador.3 12 6Ejemplo: ––– , ––– , –––17 17 1712 6 3––– > ––– > –––17 17 173° De varias fracciones heterogéneas que tienen elmismo numerador, es mayor la que tiene menordenominador.7 7 7Ejemplo: ––– , ––– , ––15 31 67 7 7∴ –– > ––– > –––6 15 314° El mcm de dos o más fracciones irreductibles esigual al mcm de los numeradores dividido entreel MCD de los denominadores.a n cSean las fracciones –– , –– , –– , irreductibles:b m dmcm (a, n, c)m.c.m. = –––––––––––––––MCD (b, m, d)5° El MCD de dos o más fracciones irreductibles esigual al MCD de los numeradores dividido entreel m.c.m. de los denominadores.a n cSean las fracciones –– , –– , –– , irreductibles:b m dMCD (a, n, c)MCD = –––––––––––––––mcm (b, m, d)FRACCIONES DECIMALESUna fracción es decimal si su denominador es 10 omultiplo de 10.Las fracciones decimales pueden ser:CLASIFICACIÓNa) Fracción decimal limitada.-Son las que presentan un número limitado decifras. A su vez, éstas puede ser:• Fracción decimal exacta (fde).Ejemplos:0,3620,125• Fracción decimal periodica pura (fdpp).) ) )Ejemplo: 0,31 31 … = 0,31• Fracción decimal periódica mixta (fdpm).) ) )Ejemplo: 0,25 37 37 … = 0,25 37b) Fracción decimal ilimitada.-Son las fracciones decimales que presentan unnúmero indefinido de cifras y pueden ser:• Números irracionales:__Ejemplo: √3 = 1,7320506 …• Números trascendentesEjemplos: π = 3, 14159265 …e = 2,71828183 …F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 39 -www.elsolucionario.net
    • - 40 -TRANSFORMACIÓN DE FRACCIONES1) Generatriz de una fracción decimal exacta.Sea: 0,a1a2a3… anuna fde.Su Generatriz es:___________a1a2a3… ang = –––––––––––10nEjemplos:183 183i) 0,183 = –––– = ––––––1031 000325 325ii) 3,25 = –––– = ––––1021002) Generatriz de una fracción decimal periódi-ca pura.Sea:________________________0,b1b2b3… bnb1b2b3… bnuna fdpp.Su generatiz es:b1b2b3… bng = –––––––––––10n- 1) )Ejemplo: 0,31 31…31 31Su generatriz: g = –––––– = –––102- 1 993) Generatiz de una fracción decimal periódicamixta.Sea:0,a1a2a3… amb1b2… bnb1b2… una fdpmSu generatriz correspondiente es:(a1a2… amb1b2… bn) - (a1a2… am)g = –––––––––––––––––––––––––––––––10m(10n- 1)Ejemplos:3 615 - 36 3 579i) 0,361515 … = –––––––––––– = –––––102(102- 1) 9 900261 - 2 259ii) 0,26161 … = ––––––––––– = ––––101(102- 1) 990POTENCIA Y RADICACIÓN DECUADRADOS Y CUBOSCUADRADO Y RAÍZ CUADRADACUADRADOSe denomina cuadrado o segunda potencia de unnúmero, al producto que resulta de multiplicar dichonúmero por sí mismo.OPERACIONES MÁS IMPORTANTES1) a . a = a22) a2+ 3a2= 4a23) (an)2= a2na24) a2: a = –– = a2-1= a1= aa15) (a . b3. c2)2= a2. b3. 2. c2 . 2= a2. b6. c4an 2a2n6)(–––)= ––––bmb2m7) (a . 10n)2= a2. 102nCUADRADO PERFECTOUn número es un cuadrado perfecto cuando aldescomponerlo en el producto de sus factores pri-mos, éstos presentan exponentes múltiplos de 2.° ° ° ° °n = a2. b2. c2. d2; (2 = multiplo de 2)Ejemplo: 324 = 22. 34RAÍZ CUADRADARaíz cuadrada de un número, es otro número que,elevado al cuadrado, reproduce el número original.__√N = q ⇒ q2= NLa raíz cuadrada puede ser exacta o inexactawww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 41 -__Exacta: √N = q__Inexacta: √N = q + rRAÍZ CUADRADA CON APROXIMACIÓN ENMENOS DE UNA FRACCIÓN–––––––––a b 2A = ––(–––). Nb √ aN = número a extraer su raíz cuadradaA = raíz cuadrada con aproximación de una frac-cióna–– = fracción de aproximaciónbEjemplo:___3Hallar √196 con una aproximación menor que ––7_________ ___________3 7 23 72. (4 . 72)A = ––(––). 196 = –– ––––––––––7 √ 3 7 √ 32________3 492. 223 . 49 . 2= –– ––––––– = –––––––– = 147 √ 327 . 3CUBO Y RAÍZ CÚBICACUBOSe denomina cubo o tercera potencia de un número,al producto que resulta de multiplicar dicho número3 veces como factor.OPERACIONES MÁS IMPORTANTES1) a . a . a = a32) (an)3= a3na33) a3: a = ––– = a3-1= a2a14) (an. bm. cp)3= a3n. b3m. c3pan 3a3n5)(––)= ––––bnb3n6) (a . 10n)3= a3. 103na 3a37)(–––)= ––––10n103nRAÍZ CÚBICAEs aquel número que, elevado al cubo, reproduce elnúmero original.___3√N = q ⇒ q3= NLa raíz cúbica puede ser exacta e inexacta:__Exacta: =3√N = q__Inexacta: =3√N = q + rRAÍZ CÚBICA CON APROXIMACIÓN MENORQUE UNA FRACCIÓN–––––––––a 3b 3A = ––(–––). Nb √ aN = número a extraer a su raíz cúbicaA = raíz cúbica con aproximacióna–– = fracción de aproximaciónbEjemplo:______1Hallar3√27 000 con aproximación de ––23 3__________ ________1 1 6.10A = –– 23. 33.103= –– 216.103= –––– = 302 √ 2 √ 2SISTEMAS DE MEDIDASSISTEMAS TRADICIONALESSISTEMA MÉTRICOLa definición moderna de 1 metro equivale a 1 650736, 73 veces la longitud de onda de la luz anaranja-da emitida por los átomos de un isótopo puro decriptón (criptón 86) bajo una descarga eléctrica.www.elsolucionario.net
    • MEDIDAS AGRARIAS1 área = 100m2Hectárea = 10 000m2= 100 áreasCentiárea = 1m2MEDIDAS DE VOLUMEN1 metro cúbico = 1m31 decímetro cúbico = 0,001 m31 centímetro cúbico = 0,000001 m31 milímetro cúbico = 0,000000001 m3MEDIDAS DE CAPACIDAD1 Mirialitro = ML = 10 000 L1 kilolitro = kL = 1 000 L1 Decalitro = DL = 10 L1 Litro = Lt = 1L = 1 decímetrocúbico1 decilitro = dL = 0,1 L1 centilitro = cL = 0,01 L1 militro = mL = 0,001 LMEDIDAS DE PESO1 tonelada métrica = 1 000 kilos1 quintal métrico = 100 kilosSISTEMA ESPAÑOLLONGITUD1 legua = 6 666 2/3 varas = 4 827 m1 vara = 2,76 pies = 0,84 m1 pie = 12 pulgadas = 30,48 cm1 pulgada = 2,54 cmSUPERFICIE1 vara cuadrada = 0,7 m2AGRARIA1 fanegada = 28 978 m2= 3Ha1 fanegada: es el área de terreno equivalente a 144varas de ancho y 288 varas de largo.VOLUMEN1 vara cúbica = 0,59 m3PESO1 tonelada = 20 quintales = 920 kg1 quintal = 4 arrobas = 46 kg1 arroba = 25 libras = 11,4 kg1 libra = 16 onzas = 0,454 kg1 onza = 8 dracmas = 28,38 g1 dracma = 2 adarmes = 2,5 g1 adarme = 3 tomines = 1,25 gSISTEMA INGLESLONGITUD1 yarda = 3 pies = 0,914 m1 pie = 12 pulgadas = 30,48 cm1 pulgada = 2,54 cmLONGITUD: Itinerarias1 milla marina = 1 852 m1 milla terrestre = 1 609 mSUPERFICIE1 yarda cuadrada = 0,836 m21 pie cuadrado = 0,093 m21 pulgada cuadrada = 0,000645 m2AGRARIA1 acre = 43 560 pies cuadrados = 4 047 m2- 42 -www.elsolucionario.net
    • VOLUMEN1 yarda cúbica = 0,7646 m31 pie cúbico = 0,02832 m31 pulgada cúbica = 0,000016 m3CAPACIDAD1 galón imperial = 4,546 L(1 galón U.S.A. = 3,785 L)PESOSe utiliza tres sistemas:Avoirdupois (más utilizado)Troy (usado para metales nobles)Apothecables (usado en farmacias)SISTEMA AVOIRDUPOIS (avdp)1 tonelada larga = 2 240,0 lb = 1 016,05 = kg1 tonelada corta = 2 000,0 lb = 907,18 = kg1 quintal = 100,0 lb = 45,36 = kg1 libra = 16,0 Onz. = 453,59 = g1 onza = 16,0 dracmas = 28,35 = g1 dracma = 27,3 granos = 1,77 = gDENSIDAD DE ALGUNOS CUERPOS g/cm3agua destilada = 1agua de mar = 1,03aire = 0,00129hielo = 0,92hierro = 7,8leche = 1,03petróleo = 0,8RELACIONES ENTRE LONGITUD YTIEMPOTiempo Arco1 día = 360º1 hora = 15º1 minuto = 15’1 segundo = 15”DIMENSIONES GEOGRÁFICASLongitud: Distancia medida en arco sobre un cír-culo máximo de la tierra (el Ecuador) al meridi-ano de Greenwich.Latitud: Distancia, medida en arco sobre unmeridiano de cualquier punto al Ecuador.Longitud y Latitud del punto P:Longitud Merdiano de Greenwichrecorrida (0º longitud)Latitud Ecuadorrecorrida (0º latitud)Meridiano ParaleloSISTEMA INTERNACIONAL (SI)Está basada en el sistema métrico.UNIDADES DE BASESon 7 unidades de base, establecidas arbitrariamentey consideradas independientemente porque noguardan relación entre sí:F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 43 -www.elsolucionario.net
    • - 44 -MAGNITUDESUNIDAD DE MEDIDAFÍSICAS NOMBRE SÍMBOLOLongitud metro mMasa kilogramo kgTiempo segundo sIntensidad de ampere Acorriente eléctricaTemperatura kelvin KtermodinámicaIntensidad luminosa candela cdCantidad de materia mol molUNIDADES SUPLEMENTARIASUNIDAD DE MEDIDAMAGNITUD FÍSICANOMBRE SÍMBOLOÁngulo plano radián radÁngulo sólido estereoradián srRAZONES Y PROPORCIONESRAZONESSe llama “razón” a la comparación de dos cantidades.Esta comparación puede hacerse mediante unaDIFERENCIA, en tal caso se llama “razón aritméti-ca”, o mediante una DIVISIÓN, en tal caso se llama“razón geométrica”.Razón Aritmética (R A)a - b = dRazón Geométrica (R G)a–– = Kbdonde:a: antecedenteb: consecuentePROPIEDADES Y LEYESCon la R A es una diferencia y la R G es una división,éstas cumple con las mismas propiedades de la restay division, respectivamente.PROPORCIONESSe llama “proporción” a la igualdad de dos razones,siendo la característica principal que estas razonesson iguales. Las proporciones pueden ser Aritméticasy Geométricas.PROPORCIÓN ARITMÉTICASean las R A: a - b = kc - d = k∴ P A: a - b = c - do, también: a . b : c . dSe lee: “a es a b, como c es a d”PROPORCIÓN GEOMÉTRICASean las RGa–– = kbc–– = kda c∴ P G: –– = ––b do, también: a : b : : c : dSe lee: “a es a b, como c es a d”CLASES DE PROPORCIONES SEGÚN SUSTÉRMINOS1) Proporción discreta.-Una proporción Aritmética o Geométrica es disc-reta si sus términos son diferentes:Sean:a ca - b = c - d ∨ –– = ––b d⇒ a ≠ b ≠ c ≠ dwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 45 -En este caso, cualquiera de los términos se llama“Tercera Proporcional”.2) Proporción continua.-Una proporción Aritmética o Geométrica es con-tinua sis sus términos medios, o sus términosextremos son iguales así:Sean:a ca - b = c - d ∨ –– = ––b d⇒ b = c ∨ a = dEn este caso cualquiera de los términos diferentesse llama “Tercera Proporcional” y al término quese repite se le llama:“media diferencial” si es P A“media proporcional” si es P GTÉRMINOS NOTABLESMEDIA DIFERENCIAL (m d)Sea la P A continua: a - b = b - da + db = –––––2MEDIA PROPORCIONAL (m p)a bSea la P G continua: –– = ––b d____b = √a . dMEDIA ARMÓNICA (m h)Sean los números a y b; con inversas:1 1__ , __a b1∴ mh= –––––––1 1–– + ––a bPROMEDIOSSe denomina promedio, o cantidad media, auna cantidad tal que: de varias cantidades, elpromedio es mayor que la inferior pero menorque la superior. Puede ser Aritmética, Geomé-tria o Armónica.MEDIDA ARITMÉTICA:a1+ a2+ a3+ … + anMa= –––––––––––––––––– a1< Ma< annMEDIDA GEOMÉTRICA:________________Mg= √a1. a2. a3. … . ana1< Mg< anMEDIDA ARMÓNICA:nMh= –––––––––––––––––––1 1 1 1–– + –– + –– + … + –– a1< Mh< ana1a2a3anAdemás, se cumple que:2Ma> MgMg= Ma. Mhy, el producto de dos cantidades es igual alproducto de su media aritmética por su mediaarmónica.a . b = Ma . MhPROPIEDADES DE LAS PROPORCIONESGEOMÉTRICASa cSi: –– = –– , se cumple las siguientes propiedades:b da ± b a b a + b c + d–––––– = –– = –– –––––– = –––––c ± d c d a - b c - da + c b + d a nc n––––– = –––––(––) =(––)a - c b - d b dwww.elsolucionario.net
    • - 46 -––– –––a - c a c na nc–––– = –– = –– –– = ––b - d b d √b √da c eSi: –– = –– = –– = k, se verifica las siguientesb d f propiedades.a + c + e a . c . e–––––––– = k ––––––– = k3b + d + f b . d . fMAGNITUDES PROPORCIONALESMagnitudes proporcionales son aquellas que guardanalguna relación matemática entre sí. Pueden serdirecta e inversamente proporcionales.Magnitudes directamente proporcionales.-Se dice que dos magnitudes “A” y “B” son directa-mente proporcionales, cuando los cocientes de cadapar de sus valores son iguales:A = {a1, a2, a3, … , an}B = { b1, b2, b3, …, bn}a1a2a3an∴ –– = –– = –– = … = –– = kb1b2b3bnMagnitudes inversas proporcionales.-Se dice que dos magnitudes “A” y “B” son inversa-mente proporcionales, cuando los productos de cadapar de sus valores son iguales.A = {a1, a2, a3, … , an}B = { b1, b2, b3, …, bn}∴ a1. b1= a2. b2= a3. b3= … = an. bn= kREGLA DE TRESREGLA DE TRES SIMPLESe emplea para calcular un cuarto valor cuando otrostres son conocidos. La regla de tres simple puede ser:directa e inversa.a c b . ca) Directa: –– = –– ⇒ x = ––––b x aa . bb) Inversa: a . b = c . x ⇒ x = ––––cREGLA DEL TANTO POR CIENTOLa regla del tanto por ciento es un caso particular dela regla de tres simple directa.Ejemplo:Calcular el 8% de 98.A mayor tasa, mayor interés. Son directamenteproporcionales, luego:8 x––– = –––100 988 . 98x = –––––100REGLA DE TRES COMPUESTAUna regla de tres compuesta está formada por una omás reglas de tres simple, que pueden ser todasdirectamente proporcionales o todas inversamenteproporcionales o de proporción mixta.Ejemplo:5 hombres en 8 días fabrican 600 m de tela.13 hombres en x días fabrican 1 300 m de tela.5 . 13 . 1 300⇒ x = ––––––––––– = 17,6 días = 18 días8 . 600ARITMÉTICA MERCANTILINTERÉS SIMPLEINTERÉS O RÉDITOSe denomina Interés o Rédito a la ganancia que pro-duce una cantidad llamada Capital, prestada por untiempo determinado y según una tasa fijada.Hay dos clases de intereses: Simple y Compuesto. ElInterés Compuesto se estudia en Algebra.FÓRMULAS BÁSICASC . i . t 100 . 1I = –––––– C = ––––––100 i . twww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 47 -M = C + II = Interés o rédito ganado.C = Capital impuesto a un interés.i = Tasa de interés (porcentaje que gana el ca-pital).t = Tiempo que demora el préstamo.Si el tiempo es en años, se usa 100; si el tiempoestá en meses, se usa 1 200; si el tiempo está endías, se usa 36 000.M= Monto final que equivale a la suma del capi-tal más el interes.FÓRMULAS PARA CALCULAR EL MONTO ENFUNCIÓN DEL CAPITALC(100 + i . t) C(1 200 + i + t)M = ––––––––––– M = ––––––––––––––100 1 200t en años t en mesesC(36 000 + i . t)M = –––––––––––––36 000t en díasDESCUENTOEs la disminuición que se hace a una cantidad indi-cada en un documento comercial para hacer efectivosu cobro antes de la fecha fijada para su vencimien-to. El documento comercial, según su naturaleza sedenomina:Letra de cambio, Pagaré, Cheque bancario.Hay dos clases de descuento:Comercial y Racional.DESCUENTO COMERCIALEs el interés simple, Dc, que produce el “ValorNominal”, Vn (que es aquel escrito en el docu-mento) de una letra desde el día en que se hace eldescuento hasta el día del vencimiento; a estedescuento se le conoce también como descuentointerno.Vn . i . t Vn . i . tDc = ––––––– Dc = –––––––100 1 200t en años t en mesesVn . i . tDc = –––––––36 000t en díasAdemás se define el nuevo valor a cobrar como:Va = Vn - DcVa = Valor actual0 Vn––––––––––––––––––123123Va Dcvalor actual en función del valor nominalVn(100 - i . t)Va = ––––––––––––100Vn(1 200 - i . t)Va = –––––––––––––1 200Vn(36 000 - i. t)Va = ––––––––––––––36 000DESCUENTO RACIONALEs el interés simple producido por el ValorActual” de una letra, desde el día en que se haceel descuento hasta el día de su vencimiento.Va . i . t Va . i . tDr = ––––––– Dr = ––––––––100 1 200Va . i . tDr = –––––––36 000De este modo:Vn = Va + Drwww.elsolucionario.net
    • - 48 -VALOR ACTUAL EN FUNCIÓN DEL VALORNOMINAL100 . Vn 1 200 . VnVa = ––––––––– Va = ––––––––––100 + i . t 1 200 + i . t36 000 . VnVa = ––––––––––––36 000 + i . tCOMPARACIÓN DEL DESCUENTO COMERCIALCON EL DESCUENTO RACIONALSólo por fines comparativos, establezcamosVn . i . t Vn . i . tDr = ––––––––– Dr = ––––––––––100 + i . t 1 200 + i . tVn . i . tDr = ––––––––––––36 000 + i . tLo que cual, nos permite deducir que:Dc > DrDr . i . tDc - Dr = ––––––––100Dc . DrVn = –––––––Dc - DrVENCIMIENTO COMÚNEs una operación comercial que consiste en realizaruna pago único de dos o más letras de cambio quetienen diferentes vencimientos; la fecha en que serealiza el pago único se denomina vencimientocomún.V1+ t1. V2. t2+ … + Vn. tnt = –––––––––––––––––––––––––V1+ V2+ … + Vnt = Número de días o plazo de vencimiento de laletra única.t1, t2, … ,tn= Plazo de vencimiento de cada unade las otras letras.V1, V2, … Vn= Valores nominales de las otrasletras.DESCUENTOS SUCESIVOSTodo los descuentos sucesivos aplicables, pueden serconsolidados en un descuento único “D.U.”:D1. D2D.U. = [D1+ D2- ––––––– ]%100D1= primer descuentoD2= segundo descuentoEjemplo:Un comprador logra un primer descuento de 25%y un descuento adicional, sobre el nuevo monto,del 10%. Se pregunta ¿ Cuál es el descuento final(único) que obtiene?Solución:Aplicando la fórmula:25 . 10D.U. =[25 + 10 - –––––––]100D.U. = 35 - 2,5 = 32,5Luego: D.U. = 32,5 %Como podrá observarse el descuento único NOes el 35 % (25 + 10).AUMENTOS SUCESIVOSPorcentajes de aumento a las nuevas cantidades,resultan en un Aumento Único “A.U.”:A1. A2A.U. =[A1+ A2+ ––––––]100www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 49 -Ejemplo:Un capital aumenta en dos porcentajes sucesivosde 18 % y 12 %. ¿Cuál es el porcentaje de aumen-to único?Solución:Dado que el 12% se aplica sobre el nuevo monto,la respuesta No Es 40% (18 + 12):18 . 12A.U. =[18 + 12 + ––––––]100A.U. = 30 + 2,16 = 32,16Luego: A.U. = 32,16 %REGLAS DE FALSA SUPOSICIÓNConsiste en un supuesto que se hace del valornumérico de la respuesta a un problema.Puede ser SIMPLE o DOBLE.1) Simple.-Se asigna a la incógnita un valor numéricosupuesto. Si este valor se opera y se cumplecon el problema, es la respuesta; en casocontrario, se plantea la proporción:Resultado Resultado queobtenido debe obtenerse–––––––––––––– = –––––––––––––Número supuesto Incógnita2) Doble.-Consiste en suponer dos valores distintospara la incóginta, con estos valores se operay la diferencia de cada uno de estos resulta-dos con el verdadero, constituyen loserrores.V’ . e - V” . ex = –––––––––––e” - e’X = IncógnitaV’ = Primer valor supuestoV” = Segundo valor supuestoe’ = Error que se comente con V’e” = Error que se comete con V”REPARTIMIENTO PROPORCIONALTIPOLOGÍAConsiste en repartir un número “N” en otrosnúmeros tales como x, y, z, que sean a su vez pro-porcionales a los números a, b, c.El reparto puede ser directo o inversamente propor-cional.1) Reparto directamente proporcional.-Repartir el número “N” en partes directamenteproporcionales a los números a, b, c.Sean x, y, z los números buscados:x y z N–– = –– = –– = ––––––––a b c a + b + cDe aqui:N . a N . b N . cx = –––––––– y = ––––––– z = ––––––––a + b + c a + b + c a + b + cPor principio de proporción geométrica:x + y + z + = N2) Reparto inversamente proporcional.-Consiste en repartir el número “N” en 3 númerosque sean inversamente proporcionales a losnúmeros a, b, c.Sean x, y, z los números buscados.x y z N–– = –– = –– = –––––––––––1 1 1 1 1 1–– –– –– –– + –– + ––a b c a b cDe aqui:1 1–– . N –– . Na bx = ––––––––––– y = –––––––––––1 1 1 1 1 1–– + –– + –– –– + –– + ––a b c a b c1–– . Ncz = ––––––––––1 1 1–– + –– + ––a b cwww.elsolucionario.net
    • - 50 -Por principio, se cumple que:N = a + b + cREPARTIMIENTO PROPORCIONALCOMPUESTOEs repartir el número N en partes directamente pro-porcionalesa los números a, b. c e inversamente pro-porcionales a los números a’, b’, c’.x y z N–– = –– = –– = ––––––––––a b c a b c–– –– –– –– + –– + ––a’ b’ c’ a’ b’ c’APLICACIONESREGLA DE COMPAÑIA O DE SOCIEDADEs una aplicación de los repartos proporcionales. Elobjetivo es repartir entre dos o más socios la ganan-cia o pérdida. Puede ser simple o compuesta.REGLA DE COMPAÑIA COMPUESTAG . c1. t1g1= –––––––––––––––––––––––––c1. t1+ c2. t2+ … + cn. tnG . c2. t2g2= –––––––––––––––––––––––––c1. t1+ c2. t2+ … + cn. tnDonde:g1, g2, … = ganancias o pérdidas de cada socioG = ganancia o pérdida totalc1, c2, … = capitales aportados por cada sociot1, t2, … = tiempo en que se impone cada capitaln = número de sociosREGLA DE COMPAÑIA SIMPLEPuede presentarse los siguientes casos:a) Capitales iguales y tirmpos iguales:(c1= c2= … ; t1= t2= …)Gg = ––– (g = ganancia o pérdida)nGanancia o pérdida igual para cada socio.b) Capitales diferentes y tiempos iguales:(t1= t2= … = tn)G . c1g1= –––––––––––––––c1+ c2+ … + cnc) Capitales iguales y tiempos diferentes:(c1= c2= … =cn)G . t1g1= ––––––––––––t1+ t2+ … + tnREGLA DE MEZCLA O ALIGACIÓNSe presenta dos casos: Mezcla propiamente dicha yaleación.A) MEZCLAEs la unión de dos o más ingredientes, conservan-do cada cuál su naturaleza. Desde un punto devista comercial, la mezcla se realiza con el objetode establecer el precio promedio, de manera queno haya pérdida ni ganancia.Puede ser Directa o Inversa.REGLA DE MEZCLA DIRECTASirve para calcular el precio promedio:p1. c1+ p2. c2+ … + pn. cnPm = ––––––––––––––––––––––––c1+ c2+ … + cnPm = Precio mediop1, p2, p3, … pn= Precios unitarios de cada ingre-diente.c1, c2, c3, … cn= cantidades de cada ingrediente.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 51 -REGLA DE MEZCLA INVERSASirve para calcular las proporciones en que inter-vienen los ingredientes, conocidos susprecios unitar-ios y su precio medio.x Pm - py–– = –––––––––y px - Pmx, y = ingredientes de la mezcla(magnitudes físicas: peso, etc.)Pm = precio medio de la mezclapx, py = precios unitarios de los ingredientesALEACIÓNEs el resultado que se obtiene al fundir varios met-ales, entre ellso siempre hay un metal más fino. Laaleación es una mezcla.LEY DE ALEACIÓNEs la relación del peso del metal fino y el peso totalde la aleación, se expresa en milésimos.FL = –––PL = ley de aleaciónF = peso del metal finoP = peso de la aleaciónALEACIÓN DIRECTASe trata de calcular la ley de una aleación resultanteal fundir lingotes de diferentes leyes.F1+ F2+ … + FnL = –––––––––––––––p1+ p2+ …+ pnL = ley de aleaciónF1, F2, F3, … , Fn= peso del metal fino en cadalingote.p1, p2, p3, … , pn= peso de cada lingote.ALEACIÓN INVERSASe trata de calcular la proporción de los pesos de loslingotes que intervienen en la aleación, cuyas leyes seconoce:x Ls- Lm–– = ––––––y Lm- Lix = peso del lingote de ley superiory = peso del lingote de la ley inferiorLs= ley del lingote de ley superiorLi= ley del lingote de ley inferiorLm= ley mediaCAMBIOS EN LA LEY DE UNA ALEACIÓNAUMENTO DE LA LEY DE UNA ALEACIÓNP(LA- L)p = ––––––––LAp = peso del metal fino que se tiene que agregarP = peso inicial de la aleaciónLA= nueva ley del lingoteL = ley inicial del lingoteDISMINUCIÓN DE LA LEY DE UNA ALEACIÓNP(L - LD)p = ––––––––LDp = peso del metal pobre que se tiene queagregarP = peso inicial de la aleaciónLD= nueva ley del lingoteL = ley inicial del lingotewww.elsolucionario.net
    • - 52 -LEY DE KILATESKilate es una forma de iniciar la pureza de unaaleación denotando el número de partes de metalfino en 24 partes de aleación.Por ejemplo, oro de 18 kilates quiere decir que si lajoya pesa 24, 18 son de oro. También se puede expre-sar en porcentaje.Número de kilatesL = ––––––––––––––––24Ejemplo:¿Que porcentaje de metal fino contiene unas jo-yas de oro de 18 kilates?18L = –––– = 0,7524∴ P = 75% de oro puro.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 53 -DEFINICIÓNEs la parte de la matemática elemental que estudia ala cantidad en su forma más general. Para su estudioemplea números y letras.NOTACIÓN USADA EN EL ÁLGEBRALas cantidades conocidas son representadas por laspirmeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … ; las canti-dades desconocidas o incógnitas, por las últimasletras: x, y, z, …Para no repetir las letras, cuando hay algunarelación entre ellas se escribe:a’, b’, c’ …; o también : a1, b2, c3…Los signos empleados en el algebra, son de tresclases: de operación, de relación y de agrupación.A) SIGNOS DE OPERACIÓN__Son seis: + ; - ; . ; : ; an; √Ejemplos:i) +, se lee: “más”.a + b, se lee: “a más b”ii) - , se lee: “menos”a - b, se lee: “a menos b”iii) . , se lee: “por”a . b, se lee: “a por b”iv) : , se lee: “entre”a : b, se lee: “a entre b”v) Exponente:an, se lee: “a, a la n”. (signo de potencia)Significa “n” veces “a” como factor, así:a . a . a … a123n__vi) √ , se lee: “raíz”__√a , se lee: “raíz cuadrada de a”B) SIGNOS DE RELACIÓN= , se lee: “igual”a = b, se lee: “a igual b”> , se lee: “mayor que”a > b, se lee: “a mayor que b”< , se lee: “menor que”a < b, se lee: “a menor que b”≥ , se lee: “igual o mayor que”a ≥ b, se lee: “a igual o mayor que b”≤ , se lee: “menor o igual que”a ≤ b, se lee: “a igual o menor que b”ÁLGEBRAÁLGEBRAwww.elsolucionario.net
    • - 54 -≡ , se lee: “idénticamente igual a”a ≡ b, se lee: “a identicamente igual a b”≠ , se lee: “diferente de”a ≠ b, se lee: “a diferente de b”, se lee: “ se lee no es menor que”a b, se lee: “a no es menor que b”, se lee: “no es mayor que”a b, se lee: “a no es mayor que b”Ӎ, se lee: “aproximadamente igual a”a Ӎ b, se lee: “a aproximadamente a b”<>, se lee: “equivalente a”a <> b, se lee: “a equivalente a b”⇒, se lee: “a entonces b”a ⇒ b, se lee: “a entonces a b” o“a implica a b”∧, se lee: “y”a ∧ b, se lee: “a y b”∨, se lee: “o”a ∨ b, se lee: “a o b”≅ , se lee: “es congruente con”b ≅ b, se lee: “b es congruente con b”C) SIGNOS DE AGRUPACIÓN( ) : paréntesis[ ] : corchetes{ } : llaves–– : vínculo o barraVALOR ABSOLUTO Y RELATIVOA) Valor absoluto o número absoluto, es elvalor que denota la fugura que representa,independiente del signo.Ejemplos:| -5 | = 5 ; | 3 | = 3B) Valor relativo o número relativo, es el valorque depende del signo que la acompaña.Ejemplos:-7 ; +4OPERACIONES FUNDAMENTALES CONLOS NÚMEROS RELATIVOSA) SUMA• Suma de dos números positivos:(+5) + (+7) = +5 + 7 = +12• Suma de dos números negativos:(-3) + (-5) = -3 - 5 = - 8• Suma de un número positivo y un número ne-gativo:(+7) + (-3)= +7 - 3 = +4(-12) + (+2) = -12 + 2 = -10B) SUSTRACCIÓN• (+8) - (+4) = +8 - 4 = +4• (-8) - (-13) = -8 + 13 = +5• (-12) - (-8) = -12 + 8 = -4C) MULTIPLICACIÓN• (+3) (+5) = +15• (-2) (-3) = +6• (+5) (-8) = -40• (-12) (+3) = -36www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 55 -D) DIVISIÓN• (+18) ÷ (+2)= +9• (+12) ÷ (-4) = -3• (-15) ÷ (-3) = +5• (-14) ÷ (+7) = -2E) POTENCIA(+2)2= +4(-5)4= 625(-3)3= -27F) RAÍCES____par√ (+) = + y/o - (dos raíces)____par√ (-) = número imaginario____impar√(+) = +____impar√ (-) = -EXPRESIONES ALGEBRAICASPRINCIPALES CONCEPTOSTERMINO ALGEBRAICOEs la mínima expresion algebraica cuyas partes noestán separadas ni por el signo más ni por el signomenos. Las partes de un término algebraico son:coeficiente exponente-7x4signo parte literalEXPRESIÓN ALGEBRAICAEs el conjunto de números y letras unidas entre sípor los signos de operación: más, menos, por, entre,exponente, radiación.Ejemplo:i) 4x2+ 5y2+ 7z2ii) 4x_____3x5+ √1 + xiii) –––––––––––––2xy + y5Las funciones exponenciales, logarítmicas y tri-gonométricas no son expresiones algebraicas, sonfunciones trascendentes.Ejemplos:i) 5xii) logbxiii) sen xCLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONESALGEBRAICASA) RACIONALES.-Sus exponentes son enteros, la cantidad sub-radi-cal no tiene letras.Ejemplos:i) 4ax2+ 5y3+ 7z4+ 3x-5z3 5zii) –– x3+ –––4 6__ __iii) 2y + √3 x +5√7 x5yB) IRRACIONALES.-Tiene exponentes fraccionarios, la cantidad sub-radical incluye letras.Ejemplos:i) 5x1/2+ 7y1/3+ 8z1/5+ 9y-1/2____ii) 4x12+ 5y + 2√3xywww.elsolucionario.net
    • 2 3y 7iii) –––– + ––––– + –––––__ __ __√x3√z5√yA su vez, las expresiones algebraicas irracionalespueden ser enteras o fraccionarias.• Racional entera.- Denominadores sin letras,exponentes positivos.Ejemplos:i) 2x2+ 3z2y3+ 6w49y21ii) 3x4+ ––– + –– z28 3• Racional fraccionaria.- Denominadores con le-tras, exponentes negativos.Ejemplos:7x 2i) 4x-3+ 7y-9+ –––– - –––4yz23yObsérvese que:1x-3= ––x31y-9= ––y94x2+ 2y + zii) ––––––––––––5x4+ 2x + zTEORÍA DE EXPONENTESLa teoría de exponentes estudia todas las clases deexponentes que existen y las relaciones entre ellos.OPERACIÓN DE EXPONENTES1) am. an= am+n2) am. bm= (a . b)m3) (am)n= amnam4) ––– = am-nan5) a0= 1, a ≠ 016) a-n= –––ana -nb n7)(––) =(––)b aama m8) ––– =(––)bmb__ __ _____9)m√a .m√ b =m√ a . bn__ _10)m√an= am__ ___m√a a11) –––– = m––__m√b √b__ n__12) (m√a ) =m√an______ __13)m√ n√a =mn√aLEY DE LOS SIGNOS1) MULTIPLICACIÓN(+) . (+) = (+)(+) . (–) = (–)(–) . (+) = (–)(–) . (–) = (+)2) DIVISIÓN(+) (+)––– = (+) ––– = (–)(+) (–)(–) (–)––– = (–) ––– = (+)(+) (–)3) POTENCIA(+)2n= (+)(+)2n+1= (+)(–)2n= (+)(–)2n+1= (–)- 56 -www.elsolucionario.net
    • 4) RADIACIÓN____2n+1√ (+) = (+)____2n+1√ (–) = (–)____2n√ (+) = (±)____2n√ (–) = número imaginarioNota.- 2n = número par2n + 1 = número imparECUACIONES EXPONENCIALESSon igualdades relativas cuyas incógnitas aparecencomo exponentes. Se llama igualdad relativa aquellaque se verifica soló para algunos valores que se leasigna a la incógnita.Así:, por ejemplo:7x+1= 3437x+1= 73igualando exponentes:x + 1 = 3∴ x = 2VALOR NUMÉRICOEs aquel valor que adquiere una expresión algebraicacuando se le asigna un valor numérico a sus letras.Ejemplo:Hallar el valor numérico de:E = x5+ 3x2- 8x + 1; para x = 1sustituyendo x = 1:E = 15+ 3 . 12- 8 . 1 + 1 = -3GRADO DE LAS EXPRESIONESALGEBRAICASGRADOEs una característica de la expresión algebraica, dadapor el exponente de sus letras, el cual debe ser un nú-mero entero y positivo. El exponente permite ademásdeterminar el número de soluciones que tiene unaecuación. El grado puede ser relativo y absoluto.GRADOS DE UN MONOMIOMONOMIOEs la mínima expresión algebraica formado por unsolo término algebraico.GRADO ABSOLUTO (G.A)Es la suma de los exponentes de todas las letras delmonomio.Ejemplo:M = x2y3z-1∴ G.A.M. = 2 + 3 - 1 = 4GRADO RELATIVO (G.R.)Está dado por el exponente de una letra del monomio.Ejemplo:M = 4x3y5z4w2∴ G.R.M. y = 5G.R.M. x = 3que se lee: “el grado relativo del monomio respec-to a la letra y es 5 y respecto a la letra x, es 3”.GRADOS DE UN POLINOMIOPOLINOMIOEs una expresión algebraica que tiene 2 o más térmi-nos algebraicos.Por convención, se denomina:Binomio: cuando tiene 2 términosTrinomio: cuando tiene 3 términos, etc.GRADOS ABSOLUTO DE UNPOLINOMIO(G.A.P.)Está dado por el grado del término que tiene mayorgrado absoluto.Ejemplo: Sea el polinomio:P = 4x2y3w4+ 3xy5w - 18x6y8w-7G.A. de 4x2y3w4= 2 + 3 + 4 = 9G.A. de 3xy5w = 1 + 5 + 1 = 7G.A. de -18x6y8w-7= 6 + 8 - 7 = 7Luego: G.A.P. = 9F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 57 -www.elsolucionario.net
    • GRADO REALTIVO DE UN POLINOMIO(G.R.P.)Está dado por el mayor exponente de la letra referi-da en el problema. Así en el polinomio del ejemploanterior:G.R.P. respecto a x = 6G.R.P. respecto a y = 8G.R.P. respecto a w = 4POLINOMIOSNOTACIÓN POLINÓMICAEs la representación de un polinomio, mediante susvariables y sus constantes.VARIABLE.- Es toda magnitud que cambia de valor.CONSTANTE.- Es toda magnitud que tiene valor fijo.NOTACIÓN POLINÓMICA.-La notación polinómica es la siguiente:1) P(x) se lee: “polinomio en x”2) P(x, y) se lee: “polinomio en x, y”3) P(x, y, z) se lee: “polinomio en x, y, z”Ejemplos:i) P(x,y) = 4x2+ 5y3+ 2x2y + 7ii) P(x) = 5x8+ 3x5- 6x3- 8iii) P(x, y, z) = 8x2y - 9xz + 2yz + 9z + 10y - 9POLINOMIOS ESPECIALESSe trata de polinomios importantes con característi-cas útiles:A) POLINOMIOS ORDENADOSSon aquellos que son ordenados de manera cre-ciente o decreciente con respecto al grado deuna letra.Ejemplo:P(x,y) = 4x3y12+ 5x7y8+ 4x12y2P(x, y) está ordenado de forma creciente conrespecto a x, ordenado de forma decreciente conrespecto a y.B) POLINOMIO COMPLETOCon respecto a una letra, es aquel que se caracte-riza porque los exponentes de la letra considera-da existen desde el mayor hasta el cero inclusive.A este último término se le denomina “términoindependiente”.Ejemplos:i) P(x, y) = 5x5+ 6x4y + 7x3y2+ 3x2- 7x + 6y3P(x,y) es completo con respecto a “x”. El “térmi-no independiente” es 6y3.ii) P(x) = 4x3- 8x2+ 12x - 9es completado con respecto a x. El término inde-pendiente es -9.PROPIEDADES DE UN POLINOMIO COMPLETO• Si el polinomio es de grado “n” el número de tér-minos es igual a “n + 1”.• El grado del polinomio completo es igual alnúmero de términos menos 1.G P = # T P - 1• La diferencia de grados relativos de dos términosconsecutivos es igual a la unidad.G R (tx+1)- GR (tx)= 1• El “término independiente” contiene a la varia-ble con exponente cero.Ejemplo:-9x0= -9C) POLINOMIO HOMOGENEOTodos sus términos tienen igual grado absoluto.P(x, y) = 4x7y12 + 8x3y16 + 6x2y17G.A.P. = 19D) POLINOMIOS IDENTICOSSon aquellos caracterizados porque los términossemejantes tienen coeficientes iguales.Ejemplo: 4x5+ 7y ≡ 4x5+ 7y- 58 -www.elsolucionario.net
    • TÉRMINO SEMEJANTEEs aquel que tiene igual parte literal afectada de losmismos exponentes, sin interesar los coeficientes.Ejemplo:Son términos semejantes:14x5y2; -12x5y2; –– x5y24E) POLINOMIO IDENTICAMENTE NULOSon aquellos cuyos coeficientes son iguales a cero.Ejemplo:P(x) = ax3+ bx2+ cx + ddonde: a = b = c = d = 0F) POLINOMIO ENTERO EN “x”Sus exponentes son enteros y su única variable es “x”.De primer grado:P(x) = ax + bDe segundo grado:P(x) = ax2+ bx + cDe tercer grado:P(x) = ax3+ bx2+ cx + dOPERACIONES CON EXPRESIONESALGEBRAICASA) SUMA Y RESTA DE EXPRESIONESALGEBRAICASPara sumar o restar expresiones algebraicas, sesuma, o se resta los coeficientes de los términossemejantes.Ejemplo:-8bx2y5+ 12bx2y5+ bx2y5= 5bx2y5SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN1) Cuando el signo de colección está precedido delsigno “más”, se elimina este signo sin producirningún cambio.a + (b - c) = a + b - c2) Cuando está precedido del signo “menos”, seelimina el signo de colección cambiando todoslos signos de suma o resta que se encuentradentro de él.a - (b - c) = a - b + cINTRODUCCIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN1) Cuando tiene que ir precedido del signo “más”, seescribe el signo de colección sin realizar ningúncambio.a + b - c = a + (b - c)2) Cuando tiene que ir precedido del signo “menos”,se escribe el signo de colección, cambiando lossignos de suma y de resta de todos los términosque se introduce.a - b + c = a - (b - c)MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONESALGEBRAICASEs la operación que consiste en obtener una expre-sión llamada producto, conociendo otras dos lla-madas multiplicando y multiplicador.PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN• El grado del producto es igual a la suma de losgrados de los factores.• El término independiente del producto es igual alproducto de los términos independientes de losfactores.Ejemplo:Sea el producto:(4x4+ 5x + 6) . (7x5+ 6x2+ 2). (3x2+ 6x - 3) . (2x - 5)Grado (absoluto) del producto:4 + 5 + 2 + 1 = 12Término independiente:(6) (2) (-3) (-5) = 180F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 59 -www.elsolucionario.net
    • - 60 -CASOS EN LA MULTIPLICACIÓN1) PRODUCTO DE DOS MONOMIOSSe multiplica los signos, luego los coeficientes y,por último, las partes literales, de acuerdo a lateoria de exponentes.2) PRODUCTO DE DOS POLINOMIOSSe puede utilizar cualesquiera de los dos métodossiguientes:• Método normal.- Se ordena los dos polinomiosen forma descendente y se escribe uno debajodel otro. A continuación, se multiplica cadauno de los términos del multiplicador por cadauno de los términos del multilplicando, sus sig-nos, sus coeficientes y sus letras; se obtiene losproductos parciales, los cuales se escribe enforma ordenada uno debajo del otro del mismogrado y se suma ordenadamente, obteniendosefinalmente el producto total.Ejemplo:(x3+ 3x2- 5x + 1) (x + 3)Solución:x3+ 3x2- 5x + 1x + 3––––––––––––––––x4+ 3x3- 5x2+ x3x3+ 9x2- 15x + 3–––––––––––––––––––––––x4+ 6x3+ 4x2- 14x + 3• Método de coeficientes separados.- Se ordenadescendentemente los coeficientes del multipli-cando y multiplicador, escribiendolos en líneahorizontal, uno debajo del otro. Se efectúa lasoperaciones como en el caso anterior, corrien-do un lugar a la derecha despúes de cada pro-ducto parcial; para obtener el grado del pro-ducto se aplica la propiedad respectiva.Este método es recomendable para polinomiosde una sola variable. En caso de faltar unapotencia de la variable, se completa con el coe-ficiente “cero”, tanto en el multiplicando comoen el multiplicador.Ejemplo:(4x3+ 7x2- 6) (2x2- 3x - 4)completando el multiplicando, se escribe:(4x3+ 7x2+ 0x - 6) (2x2- 3x - 4)Solución:Se toma sólo los coeficientes:4 + 7 + 0 - 62 - 3 - 4–––––––––––––––––––––––––8 + 14 + 0 - 12- 12 - 21 + 0 + 18- 16 - 28 + 0 + 24–––––––––––––––––––––––––––––––––––Sumando: 8 + 2 - 37 - 40 + 18 + 24Grado del producto: 3 + 2 = 5El producto final es, por consiguiente:8x5+ 2x4- 37x3- 40x2+ 18x + 24PRODUCTOS NOTABLESSon denominados también “identidades algebraicas”.Su desarrollo se conoce fácilmente por una simpleobservación, ya que obedecen a una ley. Lo más im-portantes son:1) Cuadrado de una suma o una diferencia:(a ± b)2= a2± 2 . a . b + b22) Producto de una suma por su diferencia:(a + b) (a - b) = a2- b23) Cuadrado de un trinomio:(a + b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2 . a . b+ 2 . a . c + 2 . b . c4) Cubo de una suma o de una diferencia:(a ± b)3= a3± 3 . a2. b + 3 . a . b2± b35) Producto de dos binomios que tienen un términocomún:(x + a) (x + b) = x2+ (a + b) x + a . bwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 61 -6) Producto de un binomio por un trinomio que dauna suma o diferencia de cubos:(a ± b) (a2ϯ a . b + b2) = a3± b37) Identidades de LEGENDRE:(a + b)2+ (a - b)2= 2 (a2+ b2)(a + b)2- (a - b)2= 4 . a . b8) Identidades de LAGRANGE:(ax + by)2+ (bx - ay)2= (x2+ y2) (a2+ b2)(ax + by + cz)2+ (bx - ay)2+ (cx - az)2+ (cy - bz)2= (a2+ b2+ c2) (x2+ y2+ z2)DIVISIÓN ALGEBRAICAConsiste en averiguar cuántas veses una cantidad,que se llama divisor (d), está contenida en otra, quese llama dividendo (D). El dividendo y el divisor sonlos términos de la división y el resultado es elcociente (q). Si la división no es exacta existe unresto (r).Expresión general:D = q . d + rCuando la división es exacta: r = 0entonces : D = q . dPROPIEDADES DE LA DIVISIÓN1º En toda división, el grado del cociente es igual algrado del dividendo menos el grado del divisor.º| q | = º| D | - º| d |2º En toda división el grado del dividendo es mayoro igual que el grado del divisor.º| D | ≥ º| r |3º En toda división el grado del divisor es mayorque el grado del resto (excepto polinomios ho-mogéneos).º| d | ≥ º| r |4º En toda división el grado máximo del resto esigual al grado del divisor menos uno.º|r(máx)| = º| d | - 1En el caso de división de polinomios homogé-neos, no se cumple esta propiedad.5º En el caso de polinomios homogéneos, el gradodel resto es mayor que el grado del divisor.º| r | > º| d |CASOS EN LA DIVISIÓNDIVISIÓN DE DOS MONOMIOSSe procede en el siguiente orden:Se divide los signos mediante la regla de signos.Se divide los coeficientes.Se divide los laterales aplicando “teoría de expo-nentes”.Ejemplo:-16x4y8z5––––––––– = -4x2y3z4x2y5z4DIVISIÓN DE POLINOMIOSExiste los siguientes métodos:a) MÉTODO NORMAL1. Se ordenan los polinomios, generalmente enforma descendente.2. Se escribe éstos en línea horizontal, uno a conti-nuación del otro y utlizando el signo de la divisiónaritmética.3. Se divide el primer termino del dividendo, entre elprimer término del divisor, lo cual da el primertérmino del cociente.4. Este primer término se multiplica por cada unode los términos del divisor y se resta de loscorrespondiente términos del dividendo.(secambian de signo los productos).www.elsolucionario.net
    • 5. Se incorpora al residuo, el siguiente término deldivisor. Se divide el primer término del resto obte-nido, entre el primer término del divisor y seobtiene el segundo término del cociente.6. Se procede como el paso 4, y así sucesivamente,hasta terminar la división.Ejemplo:6x3+ 5x2y - 26xy2+ 33y32x2- 3xy + y2-6x3+ 9x2y - 3xy23x + 7y––––––––––––––––––14x2y - 29xy2+ 33y3-14x2y + 21xy2- 7y3–––––––––––––––––––––––-8xy2+ 26y3El cociente es: 3x + 7yEl resto es: 8xy2+ 26y3b) MÉTODO DE COEFICIENTES SEPARADOSAdemás de las consideraciones del método nor-mal, debe tenerse en cuenta que:1. Se trabaja solamente con los coeficientes y sus sig-nos.2. En caso de faltar un término, se coloca en su lugarcero, tanto en el dividendo como en el divisor.3. Se procede a dividir estos coeficientes siguiendolos pasos del método normal, de esta manera seobtiene los coeficientes del cociente con sus sig-nos.4. Para determinar el grado del cociente y el resto seaplica las siguientes propiedades:º| q | = º| D | - º| d |º| r | = º| d | - 15. Este método es recomendable para polinomios deuna sola variable.Ejemplo:6x5- 20x4- 13x3+ 25x2- 12x + 7: 3x2- x + 1Procedimiento:6 - 20 - 13 + 25 - 12 + 7 3 - 1 + 1-6 + 2 - 2 2 - 6 - 7 + 8––––––––––––––––––––- 18 - 15 + 25+ 18 - 6 + 6––––––––––––––––––––- 21 + 31 - 12+ 21 - 7 + 7––––––––––––––––––––+ 24 - 5 + 7- 24 + 8 - 8–––––––––––––––+ 3 - 1Grado del cociente:º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 2 = 3∴ q = 2x3- 6x2- 7x + 8Grado del resto:º| r | = º| d | - 1 = 2 - 1 = 1∴ r = 3x - 1c) MÉTODO DE HORNEREs un caso particular del método de coeficientesseparados y se emplea para la división de poli-nomios de cualquier grado. Se procede así:1. Se escribe los coeficientes del dividendo en unafila de izquierda a derecha con su propio signo.2. Se escribe los coeficientes del divisor en una co-lumna de arriba hacia abajo, a la izquierda del pri-mer término del dividendo; el primero de elloscon su propio signo y los restantes con signoscambiados.3. El primer término del dividendo se divide entre elprimer término del divisor, obteniendose el pri-mer término del cociente, el cual se anota en laúltima fila del cuadro.4. Se multiplica este término del cociente solamentepor los términos del divisor a los cuales se lescambio su signo, colocándose los resultados a par-tir de la segunda columna a la derecha.- 62 -www.elsolucionario.net
    • 5. Se reduce la siguiente columna (efectuando laoperación indicada) y se coloca este resultado enla parte superior para dividirlo entre el primercoeficiente del divisor y obtener el segundo ter-mino del cociente.(en el ejemplo: +14 - 2 = +12).6. Se multiplica este cociente por los términos deldivisor a los cuales se cambio de signo, colocán-dose los resultados a partir de la tercera columnaa la derecha.7. Se continúa este procedimiento hasta obtener untérmino debajo del último término del dividendo,separando inmediatamente los términos delcociente y resto. El número de términos del restoestá dado por el número de términos que tiene elúltimo paso.8. Se suma verticalmente obteniendose los coeficien-tes del residuo. El grado del cociente y del resto seobtiene tal como se indicó en el Método deCoeficientes separados.Ejemplo:8x5+ 14x4+ 5x3+ 16x2+ 3x + 2 : 4x2+ x + 3Solución:Grado del cociente:º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 2 = 3Grado del residuo:º| r | = º| d | - 1 = 2 - 1 = 1Procedimiento:12 - 4 + 84 8 + 14 + 5 + 16 + 3 + 2––––––––––––––––––––––––––––––––––––-1 - 2 - 6- 3 - 9+ 1 + 3- 2 - 6––––––––––––––––––––––––––––––––––––2 + 3 - 1 + 2 4 - 4123 123cociente restoCociente: Q(x) = 2x3+ 3x2- x + 2Resto: R(x) = 4x - 4d) MÉTODO O REGLA DE RUFFINIEste método se utiliza para dividir polinomioscuando el divisor es un binomio de primer grado.Se presenta tres casos:1º Cuando el divisor es de forma (x ± b)2º Cuando el divisor es de la forma (ax ± b)3º Cuando el divisor es de la forma (axn± b)1er. Caso. Forma del divisor: x ± b1. Se escribe los coeficientes del dividendo en líneahorizontal. Completando previamente, si fuesenecesario.2. Se ecribe el término independiente del divisor,con signo cambiado, un lugar a la izquierda y unlugar abajo del primer coeficiente del dividendo.3. Se divide como en el caso de Horner, teniendopresente que el primer coeficiente del cociente, esigual al primer coeficiente del dividendo.4. Para obtener los coeficientes del cociente, se sepa-ra la última columna, la cual costituye el resto.Ejemplo:4x4- 5x3+ 6x2+ 7x + 8 : x + 1Procedimiento:4 - 5 + 6 + 7 + 8-1 ↓ - 4 + 9 - 15 + 8–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––4 - 9 + 15 - 8 + 16 ← resto14444244443coeficientes del cocienteGrado del cociente:º| q | = º| D | - º| d | = 4 - 1 = 3∴ Cociente: 4x3- 9x2+ 15 - 8Resto: 16F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 63 -www.elsolucionario.net
    • 2do. Caso. Forma del divisor: a . x ± b1. Se transforma el divisor a la primera forma,sacando en factor común el primer coeficientedel divisor:bax ± b = a(x ± ––)ab2. Se divide entre(x ± ––)operando como el primercaso.a3. Los coeficientes del cociente obtenido son dividi-dos entre el coeficiente de “x” del divisor.4. El resto obtenido no se altera.Ejemplo:18x5- 29x3- 5x2- 12x - 16 ÷ 3x + 2Procedimiento:Factorizando el denominador:23x + 2 = 3(x + ––)318 - 0 - 29 - 5 - 12 - 162- –– ↓ - 12 + 8 + 14 - 6 + 123–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––18 - 12 + 21 + 9 - 18 - 4 ← resto1444442444443coeficientes del cociente por 3Grado del cociente:º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 1 = 4Verdaderos coeficientes del cociente:18 - 12 - 21 + 9 - 18––––––––––––––––––– = 6 - 4 - 7 + 3 - 63∴ Cociente:q = 6x4- 4x3- 7x2+ 3x - 6Resto: r = -43er. Caso. Forma del divisor: a . xn± bLa resolución sólo es posible por el método deRuffini cuando los exponentes de la variable del div-idendo son multiplos enteros de la variable del divi-sor. El procedimiento se explica a travéz del siguienteejemplo:6x36+ 17x27- 16x18+ 17x9+ 12 ÷ 3x9+ 1Procedimiento:1. Se observa que los coeficientes de la variable deldividendo sean múltiplos del exponente de lavariable del divisor.2. Se factoriza el divisor:13(x9+ ––)33. Se divide como en el primer caso.4. Cada uno de los coeficientes del cociente obteni-do, se divide entre coeficiente de “x” del divisor.6 + 17 - 16 + 17 + 121- –– ↓ - 2 - 5 + 7 - 83–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––6 + 15 - 21 + 24 + 4 ← resto144424443coeficientes del resto por 3Grado del cociente:º| q | = º| D | - º| d | = 36 - 9 = 27Verdaderos coeficientes del cociente:6 + 15 - 21 + 24–––––––––––––––– = 2 + 5 - 7 + 83∴ Cociente: 2x27+ 5x18- 7x9+ 8Resto: +4- 64 -www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 65 -TEOREMA DEL RESTOConsiste en hallar el resto de una división sinrealizar la división.“El resto de dividir un polinomio en “x”,racional y entero, entre un binomio de laforma (a . x ± b), es igual al valor numéricoque adquiere dicho polinomio cuando sereemplaza en él x por ϯb/a.REGLA: Para hallar el resto se procede así:1) Se iguala el divisor a cero:a . x ± b = 02) Se despeja “x”ϯbx = –––a3) Se reemplaza en el polinomio dividendo lavariable “x” por:bϯ ––ase efectua operaciones, el resultado es elvalor del resto.br = P(ϯ ––)aEjemplo:Hallar el resto:6x4+ 3x3- 19x2+ 14x - 15 : 2x - 3Procedimiento:31º 2x - 3 = 0 ⇒ x = ––23 3 43 32º r = P (––)= 6 (––)+ (––)2 2 23 23- 19 (––)+ 14(––)- 152 2r = -3DIVISIBILIDAD Y COCIENTESNOTABLESLa finalidad es determinar polinomios desconocidosdadas ciertas condiciones.PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD1º Para determinar la suma de los coeficientes de unpolinomio, se iguala la variable o variables a 1.Suma de coeficientes de:P(x ; y) = P(1 ; 1)Ejemplo:P(x, y) = 3x3- 2x2y - 5xy2+ y3SP (1 ; 1) = 3(1)3- 2(1)2(1) - 5(1)(1)2+ (1)3SP (1 ; 1) = -32º El término independientemente se determina ha-ciendo igual a cero la variable a la cual se refiereel polinomio.Término independiente = P(0)Ejemplo:P(x) = 5x3+ 2x2y - 6xy2- 8y3Desde el punto de vista de la variable x:P(0) = 5(0)3+ 2(0)2y - 6(0)y2- 8y3P(0) = -8y3por otra parte, para la variable y:P(0) = 5x3+ 2x2(0) - 6x(0)2- 8(0)3P(0) = 5x33º Si un polinomio es divisible separadamente entredos o más binomios será divisible entre el produc-to de ellos.Si: P(x) : (x - a), r = 0P(x) : (x - b), r = 0P(x) : (x - c), r = 0www.elsolucionario.net
    • - 66 -Luego se tendrá:P(x) ÷ (x - a) (x - b) (x - c), r = 04º Viceversa, si un polinomio es divisible entre unproducto de varios factores, binomios, será divis-ibles separadamente por cada uno de ellos.5º En general, si al dividendo y al divisor se le mul-tiplica por una misma cantidad, el resto quedamultiplicado por dicha cantidad.D . m = d . m . q + r . m6º Si al dividendo y divisor se divide por una mismacantidad, el resto queda dividido por dicha cantidad.D d r–– = –– q + ––m m mCOCIENTES NOTABLES (CN)Se denomina cociente notable, aquel cociente que norequiere efectuar operaciones para conocer su resul-tado, porque obedece a ciertas reglas fijas.FORMA GENERAL DE LOS COCIENTESNOTABLESxm± am––––––––x ± aSe denota en 4 casos:1er. Caso: es CN ⇔ “m” es impar.xm+ am––––––––x + a2do. Caso: es CN ⇔ “m” es par.xm- am––––––––x + a3er. Caso: no es CN para cualquier valor de “m”.xm+ am––––––––x - a4to. Caso: es CN para cualquier valor de “m”.xm- am––––––––x - aREGLA PRÁCTICA PARA DESARROLLARCUALQUIER COCIENTE NOTABLE1) El primer término del cociente es igual al cocienteentre el primer término del dividendo y el primertérmino del divisor.2) El último término del cociente es igual al cocienteentre el segundo término del dividendo y elsegundo término del divisor.3) A partir del segundo término del cociente el ex-ponente de “x” comienza a disminuir de 1 en 1hasta “cero”.4) A partir del segundo término del cociente, apareceel segundo término “a” con exponente “1” ycomienza a aumentar de 1 en 1 hasta “m - 1”.5) Los signos varián así:• Cuando el divisor es de la forma “x + a” los sig-nos de los términos del cociente son alternados(+) (-), comenzando con (+).• Cuando el divisor es de la forma “x - a” los sig-nos de los términos del cociente son todos po-sitivos.Ejemplo:i) 1er. Caso:x5+ a5–––––– = x4- ax3+ a2x2- a3x + a4x + aii) 2do. Caso:x6- a6–––––– = x5- ax4+ a2x3- a3x2+ a4x - a5x + aiii) 3er. Caso:x7+ a7–––––– = No es CNx - aiv) 4to. Caso:x4- a4–––––– = x3+ ax2+ a2x + a3x - aHALLAR UN TERMINO CUALQUIERA “K” DEUN COCIENTE NOTABLEtK= (signo) xm-KaK-1www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 67 -REGLA PARA EL SIGNO:1) Cuando el divisor es de la forma(x - a), el signode cualquier término es positivo.2) Cuando el divisor es de la forma(x + a), los signosson alternadamente positivos y negativos,empezando por positivo.Por consiguiente, los terminos de lugar par: sonnegativos, y los términos de lugar impar: son po-sitivos.Ejemplo:Hallar los términos t10y t15en el desarrollo delC.N. siguiente:x150- a100––––––––x3+ a2Previamente, se busca darle la forma de cocientenotable:(x3)50- (a2)50y50- b50––––––––––– = –––––––(x3) + (a2) y + bTrabajamos con la forma original de la izquierda:Término K = 10: t10= -(x3)50-10(a2)10-1(par)t10= -x120a18Término K = 15: t15= +(x3)50-15(a2)15-1(impar)t15= +x105a28CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTExm± anPARA QUE EL COCIENTE ––––––– SEA NOTABLExp± aqSerá notable si:xm± an(xp)r± (aq)r–––––– = -–––––––––xp± aqxp± aqmésto es: p . r = m ⇒ r = ––– (a)pnq . r = n ⇒ r = ––– (b)qm nEs decir, será notable ⇔ –– = ––p qes número enteroAdemás:m n–– = –– = número de términosp qdel cociente notable.Ejemplo:x16+ a32–––––––x2+ a416 32# de términos = ––– = ––– = 82 4MÉTODOS DE FACTORIZACIÓNFactorización es la operación que tiene por objetotransformar una expresión algebraica racional yentera en otra equivalente que sea igual al productode sus factores primos racionales y enteros.Los principales métodos para factorizar son los si-guientes:A. FACTOR COMÚNEl factor común de dos o más expresiones alge-braicas es la parte numérica y/o literal que estárepetida en cada una de dichas expresiones. El factorcomún puede ser de tres tipos:• Factor común monomio• Factor común polinomio• Factor común por agrupaciónA.1) FACTOR COMÚN MONOMIOCuando el factor común en todos los términos esun monomio.Ejemplo:P(,x y) = 72x2ayb+ 48xa+1yb+1+ 24xay2bEl factor común es 24xayb, de este modo:P(x, y) = 24xayb(3xa+ 2xy + yb)www.elsolucionario.net
    • A.2) FACTOR COMÚN POLINOMIOCuando el factor común que aparece es un poli-nomio.Ejemplo:(a + 1)7(a2+ 1)10- (a + 1)5(a2+ 1)11El factor común es:(a + 1)5(a2+ 1)10luego:(a + 1)5(a2+ 1)10[(a + 1)2- (a2+ 1)](a + 1)5(a2+ 1)10[a2+ 2a + 1 - a2- 1](a + 1)5(a2+ 1)10(2a)2a(a + 1)5(a2+ 1)10A.3) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓNSea:xm+n+ ym+n+ (xy)m+ (xy)nEfectuando operaciones:xmxn+ ymyn+ xmym+ xnynagrupando:(xmxn+ xmym) + (ymyn+ xnyn)factoricemos cada paréntesis:xm(xn+ ym) + yn(ym+ xn)el factor común es el paréntesis, así:(xn+ ym) (xm+ yn)B. MÉTODO DE IDENTIDADESB.1) DIFERENCIA DE CUADRADOSa2m- b2no:(am)2- (bn)2∴ (am+ bn) (am- bn)B.2) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOSSUMA(a3m+ b3n) = (am)3+ (bn)3se trata de un producto notable:= (am+ bn) (a2m- ambn+ b2n)DIFERENCIA(a3m- b3n) = (am)3- (bn)3= (am- bn) (a2m+ ambn+ b2n)B.3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTOa2m± 2ambm+ b2n= (am± bn)2C. MÉTODO DEL ASPAC.1) ASPA SIMPLESe usa para factorizar trinomios de la forma:ax2n± bxn± co, de la forma:x2n± bxn± cPROCEDIMIENTO.-Se descompone en dos factores al primer término,ax2no x2n, según sea el caso. Se coloca estos factoresen las puntas de la izquierda del aspa. El términoindependiente, incluyendo el signo, también sedescompone en dos factores, los que se coloca en laspuntas de la derecha del aspa. Los factores de laexpresión dada son la suma horizontal de arriba y lasuma horizontal de abajo. El término central debeser igual a la suma de los productos en aspa.Ejemplo: x4n+ 7x2n+ 121) x4nen dos factores: x2n. x2n2) 12 en dos factores: 4 . 3Se coloca los factores en la punta izquierda yderecha del aspa:x2n+4x2n+3- 68 -www.elsolucionario.net
    • 3) El término central es la suma de los productosen aspa.3x2n+ 4x2n= 7x2n4) Los factores son las sumas horizontales de arri-ba y abajo.Luego:x4n+ 7x2n+ 12 = (x2n+ 4) (x2n+ 3)C.2) ASPA DOBLESe usa para factorizar polinomios de la forma:ax2n± bxnyn± cy2n± dxn± eyn± fy también para algunos polinomios de 4to. grado.PROCEDIMIENTO.-Se ordena en forma decreciente para una de las vari-ables; luego, se traza y se ejecuta un aspa simple paralos tres primeros términos con trazo continuo. Acontinuación y, pegada al primer aspa, se traza otro,de tal modo que el producto de los elementos delextremo derecho de este aspa multiplicados vertical-mente sea el término independiente.1er. factor: suma de los elementos tomados horizon-tales de la parte superior.2do. factor: suma de los elementos tomados horizon-talmente de la parte inferior.Ejemplo:12x2- 7xy - 10y2+ 59y - 15x - 63Tomando los tres primeros términos:1) 12x2en dos factores: 4x . 3x2) -10y2en dos factores: -5y . 2yTomando el último término:3) -63 en dos factores: -9 . 74x -5y +7(I) (III) (II)3x +2y -9Verificando dos términos:(I) 8xy (II) 45y-15xy 14y––––– –––––-7xy +59y123 1232do. término 4to. término(III) -36x+21x––––––-15x1235to. términoLuego, la expresión factorizada es:(4x - 5y + 7) (3x + 2y - 9)D. MÉTODO DE EVALUACIÓN ODE DIVISIORES BINOMIOSEste método se aplica a polinomios de una sola vari-able que se caracterizan por anularse para algunos delos divisores de su término independiente afectadode doble signo, o alguna combinación.Ejemplo: FactorizarP(x) = 2x4+ x3- 9x2- 4x + 4Solución:Los números de prueba son:1± 1, ± 2, ± 4, ± ––2Los números fraccionarios tienen como numer-ador los divisores del término independiente ycomo denominador los divisores del coeficientedel término de mayor grado.para x = -1P(x) = 2 + 1 - 9 - 4 + 4 ≠ 0∴ no es divisorpara x = 1P(-1) = 2 - 1 - 9 + 4 + 4 = 0∴ Un divisor es: (x + 1)F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 69 -www.elsolucionario.net
    • para x = 2P(2) = 32 + 8 - 36 - 8 + 4 = 0∴ Otro divisor o factor es: (x - 2)Dividiendo P(x) sucesivamente entre los factoresobtenidos por el método de Ruffini:2 + 1 - 9 - 4 + 4-1 - 2 + 1 + 8 - 4––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––2 - 1 - 8 + 4 02 + 4 + 6 - 4–––––––––––––––––––––––––––––––––––2 + 3 - 2 0Despues de la división se obtiene:P(x) = (x + 1) (x - 2) (2x2+ 3x - 2)P(x) = (x + 1) (x - 2) (2x - 1) (x + 2)E. METÓDO DE ARTIFICIOS DE CÁLCULOE.1) REDUCCIÓN A DIFERENCIA DECUADRADOSConsiste en sumar y restar una misma cantidad ala expresión dada para transformarla en unadiferencia de cuadrados.Ejemplo: Factorizar:E = a4+ 2a2b2+ 9b4Sumando y restando 4a2b2:E = a4+ 6a2b2+ 9b4- 4a2b2E = (a2+ 3b2)2- 4a2b2E = (a2+ 3b2)2- (2ab)2E = ( a2+ 3b2+ 2ab) (a2+ 3b2- 2ab)SUMAS Y RESTASConsiste en sumar y restar una misma cantidad de talmanera que se forme una suma o una diferencia decubos y se presenta al factor x2+ x + 1 o x2- x + 1.Ejemplo: Factorizar:P(x) = x5+ x4+ 11ra. Forma: Sumando y restandox3+ x2+ x:P(x) = x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1 - x3- x2- xP(x) = x3(x2+ x + 1) + (x2+ x + 1) - x(x2+ x + 1)∴ P(x) = (x2- x + 1) (x3+ 1 - x)2da. Forma: Sumando y restando x2:P(x) = x5- x2+ x4+ x2+ 1P(x) = x2(x3- 1) + (x4+ x2+ 1)Sumando y restando x2al segundo paréntesis,factorizando y tambien factorizando el primerparéntesis.P(x) = x2(x3- 1) + (x2+ x + 1) (x2- x + 1)P(x) = (x2+ x + 1) (x3- x2+ x2- x + 1)∴ P(x) = (x2+ x + 1) (x3- x + 1)CAMBIO DE VARIABLEConsiste en cambiar una variable por otra, de man-era que se obtenga una forma de factorización cono-cida, o que tenga una forma más simple.Ejemplo: Factorizar:P(x) = 1 + x(x + 1) (x + 2) (x + 3)Agrupando así:P(x) = 1 + [x(x + 3)][(x + 1) (x + 2)]Efectuando:P(x) = 1 + (x2+ 3x) (x2+ 3x + 2)Haciendo x2+ 3x = yP(x) = 1 + y(y + 2)P(x) = 1 + 2y + y2es el desarrollo de una suma al cuadrado:P(x) = (1 + y)2sustituyendo la variable:P(x) = (1 + 3x + x2)2- 70 -www.elsolucionario.net
    • FACTORIZACIÓN RECÍPROCAPOLINOMIO RECÍPROCOEs aquel que cuyos coeficientes equidistantes de losextremos son iguales.Ax4+ Bx3+ Cx2+ Bx + AEjemplo: Factorizar el polinomio:P(x) = 6x4+ 5x3+ 6x2+ 5x + 6PROCEDIMIENTOSe factoriza x2:5 6P(x) = x2(6x2+ 5x + 6 + –– + ––)x x2Ordenando así:1 1P(x) = x2[6(x2+ ––)+ 5 (x + ––)+ 6]x2x1Haciendo: x + –– = yxentonces:1x2+ –– = y2- 2x2sustituyendo:P(x) = x2[6(y2- 2) + 5y + 6]Efectuando:P(x) = x2(6y2+ 5y - 6)Factorizando el paréntesis por el aspa simple:3y -22y +3∴ P(x) = x2(3y - 2) (2y + 3)Reponiendo “x”:1 1P(x) = x2[3(x + ––)- 2][2(x + ––)+ 3]x x3x2+ 3 - 2x 2x2+ 2 + 3xP(x) = x2[––––––––––][–––––––––––]x x∴ P(x) = (3x2- 2x + 3) (2x2+ 3x + 2)FACTORIZACIÓN SIMÉTRICA ALTERNADAPOLINOMIO SIMÉTRICOUn polinomio es simétrico, con respecto a sus vari-ables, cuando su valor no se altera por el intercambiode cualquier par de ellas, y además es homogéneo.Ejemplo:A (x2+ y2+ z2) + B(xy + xz + yz)Notar que las operaciones con expresionessimétricas dan como resultado también expre-siones simétricas.POLINOMIO ALTERNOUn polinomio es alterno, con respecto a sus vari-ables, cuando su signo se altera, pero no su valorabsoluto, al intercambiar un par cualquiera de ellas,y además es homogéneo.Ejemplo:y2(z - y) + x2(y - z) + z2(x - y)PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES Y DELOS POLINOMIOS SIMÉTRICOS Y ALTERNOS1º No hay expresiones alternas que contengan másde 2 variables y sean de primer grado.2º Generalmente los polinomios alternos son circulareso cíclicos y están escritos en forma de diferencia.3º El producto de una expresión simetrica por unaalterna da como resultado una expresión alterna.4º Una expresión simétrica o alterna de variables x, y,z, si es divisible entre “x”, entonces también serádivisible entre “y” y entre “z”.5º En una expresión simétrica o alterna, de variables,x, y, z, si es divisible entre (x ± y), entonces tam-bién será divisible entre (x ± z) (y ± z).F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 71 -www.elsolucionario.net
    • FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIOSIMÉTRICO Y ALTERNADO1) Se averigua si el polinomio es simétrico o alterno.2) Encontrar los factores de la expresión aplicando elteorema del resto y aplicando las propiedades delpolinomio simétrcio y alterno.3) Plantear el cociente, planteando la identidad dedos polinomios y ampliarlo aplicando el criteriode los valores numéricos.Ejemplo: Factorizar:P(x) = (x - y)3+ (y - z)3+ (z - x)3PROCEDIMIENTO1) Intercambiando x por y, se ve que la expresiónes alterna.2) Cálculo de los factores x = yP(x) = (y - y)3+ (y - z)3+ (z - y)3= 0 + (y - z)3+ [-(y - z)3]P(x) = (y - z)3- (y - z)3= 0Luego el polinomio es divisible entre (x - y)Por ser polinomio alterno, también será divisibleentre los factores obtenidos en forma circular enel sentido indicado:xx = yz y Haciendo{y = zz = xEs decir entre: (y - z) ∧ (z - x)El polinomio es divisible entre el producto:(x - y) (y - z) (z - x)3) Se plantea la identidad de los polinomios:(x - y)3+ (y - z)3+ (z - x)33er. grado= (x - y) (y - z) (z - x) Q3er. grado grado ceroSi Q es de grado cero quiere decir que es un nú-mero.Dando un juego de valores para x, y, z; se obtieneel valor de Q:Para x = 1 ; y = 2 ; z = 3:(1 - 2)3+ (2 - 3)3+ (3 - 1)3= Q (1 - 2) (2 - 3) (3 - 1)(-1) + (-1) + (8) = Q(2)∴ Q = 3Luego, la expresión factorizada es:(x - y)3+ (y - z)3+ (z - x)3= 3 (x - y) (y - z) (z - x)MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMOCOMÚN MÚLTIPLOMÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)De dos o más expresiones algebraicas, es la expresiónde mayor grado posible, que está contenida comofactor un número entero de veses en dichas expresio-nes. Para determinar el M C D se factoriza las expre-siones comunes con su menor exponente.MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)De dos o más expresiones algebraicas, es la expresiónde menor grado posible, que contiene un númeroentero de veces como factor dichas expresiones.Para determinar el m c m se factoriza las expresionesy se forma el producto de los factores comunes y nocomunes con su mayor exponente.Ejemplo:Hallar el MCD y el m c m de:A = x2(x2+ 2y2) + (y2+ z2) (y + z) (y - z)B = x4+ 2x2z2+ z4- y4PROCEDIMIENTOEfectuando:A = x4+ 2x2y2+ (y2+ z2) (y2- z2)- 72 -www.elsolucionario.net
    • A = (x4+ 2x2y2+ y4) - z4A = (x2+ y2)2- (z2)2A = (x2+ y2+ z2) (x2+ y2- z2)Mientras que:B = (x4+ 2x2y2+ z4) - y4B = (x2+ z2)2- (y2)2B = (x2+ z2+ y2) (x2+ z2- y2)MCD (A, B) = x2+ y2+ z2mcm (A, B) = (x2+ y2+ z2) (x2+ y2- z2)(x2+ z2- y2)FRACCIONES ALGEBRAICASDEFINICIÓNSe denomina fracción algebraica a toda aquellaexpresión que tiene por lo menos una letra en eldenominador.Ejemplos:2i) –––3x2a + bii) ––––––3c + 1iii) 2ax-2y3z-1CAMBIOS DE SIGNO EN UNA FRACCIÓN1) CUANDO NO HAY PRODUCTOS INDICADOSSe puede cambiar dos de sus tres signos y la fracciónno se altera.Ejemplo:+(m + 1) -(m + 1)F = + –––––––– = - ––––––––+(n + q) +(n + q)+(m + 1) -(m + 1)= - –––––––– = + ––––––––-(n + q) -(n + q)2) CUANDO LA FRACCIÓN TIENE PRODUCTOSINDICADOSEn toda fracción, si se cambia de signo a un nú-mero par de factores, la fracción no cambia de sig-no; si se cambia de signo a un número impar defactores, la fracción sí cambia de signo.Ejemplo:(a - b)(c - d)F = –––––––––––(e - f)(g - h)-(b - a)(c - d) (a - b)(c - d)F = –––––––––––– = –––––––––––} par-(f - e)(g - h) (e - f)(g - h)-(b - a)(c - d) (a - b)(c - d)F = ––––––––––– ≠ –––––––––––} impar(f - e)(g - h) (e - f)(g - h)SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONESPara simplificar fracciones se factoriza.Ejemplo: Simplificar:x3+ (2a + b)x2+ (a2+ 2ab)x + a2bP(x) = ––––––––––––––––––––––––––––––x3+ ax2+ 2bx2+ b2x + 2abx + ab2Ordenando y factorizando:x(x2+ 2ax + a2) + b(x2+ 2ax + a2)P(x) = –––––––––––––––––––––––––––––x(x2+ 2bx + b2) + a(x2+ 2bx + b2)x(x + a)2+ b(x + a)2(x + a)2(x + b)P(x) = ––––––––––––––––– = –––––––––––––x(x + b)2+ a(x + b)2(x + b)2(x + a)x + aP(x) = –––––x + bBINOMIO DE NEWTONDEFINICIÓNEs el desarrollo de un binomio elevado a la potencia “n”.ANÁLISIS COMBINATORIOFACTORIAL DE UN NÚMEROFactorial de un número “n” es el producto de losnúmero consecutivos desde “1” hasta “n”. Se denotaasí: no así: n!F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 73 -www.elsolucionario.net
    • - 74 -Ejemplos:i) 5 , se lee factorial de 5 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5ii) n!, se lee el factorial de n = 1 . 2 . 3 …. (n - 1)nPROPIEDADES DE LOS FACTORIALES1º Si n existe, el valor de “n” es entero y positivo.2º 0 = 1 y 1 = 13º Si el factorial de un número es igual al factorial deotro, entonces los números son iguales.Sí: a = b∴ a = b4º Debe tenerse en cuenta que:a ± b ≠ a ± ba . b ≠ a . ba a–– ≠ –––b bVARIACIONESCada una de las ordenaciones, coordinaciones oarreglos que puede formarse tomando algunos otodos de un número de objetos, se llama unavariación diferenciándose entre ellas bien en un obje-to o bien en una diferente ordenación de los objetos.De este modo, las variaciones de “n” elementostomados de “r” en “r” se puede hallar con la siguientefórmula:nnVr= –––––n - rEjemplo:En un campeonato deportivo, participan los equi-pos a, b, c, d y e. Si los partidos son realizadostanto en la sede de cada uno (“casa o “local”), co-mo en la sede del otro equipo (“visitante”).¿Cuántos partidos se jugara en total?.Se trata de hallar cuantas variaciones se puedeformarse de 2 en 2.5 5 1 . 2 . 3 . 4 . 55V2= –––––– = ––– = ––––––––––––– = 205 - 2 3 1 . 2 . 3PERMUTACIONESSe llama permutaciones de “n” objetos a los difer-entes grupos que con ellos se puede formar, de man-era que participando “n” objetos en cada grupo,difieren solamnente en el orden de colocación.Pn= nEjemplo:Hallar el número de permutaciones de las letras a,b, c, d.P4= 4 = 24COMBINACIONESSe llama así a los diferentes grupos que se puede for-mar con “n” elementos tomándolos todos a la vez ode “r” en “r”, de manera que los grupos se diferen-cien por lo menos en un elemento. Para determinarel número de combinaciones de “n” elementos toma-dos de “r” en “r”, se usa la siguiente fórmula:nnCr= ––––––––r n - rEjemplo:¿De cuántas maneras se pueden combinar lasvocales a, e, i, o, u tomadas de 2 en 2?5 1 . 2 . 3 . 4 . 55C2= –––––––– = –––––––––––– = 102 5 - 2 1 . 2 . 1 . 2 . 3PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES1º COMBINACIONES COMPLEMENTARIASSe dice que 2 combinaciones son complementariascuando el número de combinaciones de “n” ele-mentos tomados de “r” en “r” es igual al número decombinaciones de “n” elementos tomados de “n - r”en “n - r”.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 75 -n nCr= Cn-r2º SUMA DE COMBINACIONESn n n+1Cr+ Cr+1= Cr+13º PROPIEDAD SOBRE LOS ÍNDICESnSi Crexiste, luego:a) “n” y “r” son números enteros y positivosb) n > r4º DEGRADACIÓN DE ÍNDICESConsiste en descomponer un número conbinato-rio en otro que tenga igual índice superior, peroíndice inferior disminuyendo en 1.n - r + 1n nCr= ––––––– = Cr-1rDESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON(x + a)nPara exponente entero y positivo “n”MÉTODO INDUCTIVO(x + a) (x + b) = x2+ (a + b)x + a . b(x + a)(x + b) (x + c) = x3+ (a + b + c)x2+ (ab + ac + bc)x + a . b . c(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = x4+ (a + b + c + d)x3+ (a . b + a . c + a . d + b . c + b . d + c . d)x2+ (a . b . c + a . b . d + b . c . d + a . c . d)x+ a . b . c . dPor lo tanto, para “n” factores:(x + a) (x + b) (x + c) … (x + k) = xn+ S1xn-1+ S2xn-2+ S3xn-3+ PnS1= Suma de las letras: a + b + c + … + kS2= Suma de los productos de las “n” letras to-madas de 2 en 2.S3= Suma de los productos de las “n” letras toma-das de 3 en 3.Pn= Producto de todas las “n” letras.Si: a = b = c = … = k ⇒nnS1= C1a =(––)a = n . a1n n(n - 1)S2= C2a2= ––––––– a21 . 2nn(n - 1)(n - 2)S3= C3a3= –––––––––––– a31 . 2 . 3y así, sucesivamente. Además:Pn= anFinalmente:n n(x + a)n= xn+ C1xn-1a + C2xn-2a2n+ C3xn-3a3+… + ann(n - 1)(x + a)n= xn+ n . xn-1. a + ––––––– a2. xn-21 . 2n(n - 1)(n - 2)+ –––––––––––– a3. xn-3+ …+ an1 . 2 . 3Ejemplo:Desarrollar (x + a)4.4(4 - 1)(x + a)4= x4+ 4x4-1a + ––––––– a2x4-21 . 24(4 - 1)(4 - 2)+ –––––––––––– a3x4-3+ a41 . 2 . 3(x + 4)4= x4+ 4ax3+ 6a2x2+ 4a3x + a4www.elsolucionario.net
    • - 76 -PROPIEDADES DEL BINOMIO DE NEWTON1º Su desarrollo es un polinomio completo de (n + 1)términos.2º Los coeficientes equidistantes de los extremosson iguales.3º El exponente de “x” en cada término es igual alnúmero de términos que le siguen y el de “a” alque le preceden.4º El coeficiente del primer término es 1 y el coefi-ciente del segundo término es igual al exponentedel primer término.5º El coeficiente de cada término es igual al anteriormultiplicando por el exponente del “x’ anterior ydividido por el del “a” anterior y aumentando en 1.6º Si los términos del binomio tienen signos contra-rios, los términos del desarrollo serán alternativa-mente positivos y negativos, siendo negativos losque contengan potencias impares del término ne-gativo del binomio. Basta sustituir en el dearrollo“a” por “-a”.7º Si los dos términos del binomio son negativos, to-dos los términos del desarrollo serán positivos onegativos, según que el exponente sea par o im-par. En efecto:(-x - a)n= [(-1) (x + a)]n= (-1)n(x + a)n8º La suma de los coeficientes del desarrollo es iguala 2 elevado a la potencia del binomio.n n n n2n= 1 + C1+ C2+ C3+ …+ Cn9º La suma de los coeficientes de los términos delugar impar es igual a la suma de los de lugar par.10º Con respecto a las letras “x” y “a”, el desarrolloes un polinomio homogéneo de grado “n”.CÁLCULO DE TERMINO GENERAL t(k+1)k = lugar del término anterior al buscadontk+1= Ck. xn-k. akEjemplo:Hallar el término 10 del desarrollo de:1 12(27x5+ –––)3xPROCEDIMIENTO:Nótese que: n = 121er. término: 27x512do. término: –––3x121 9t10= t9+1= C9(27x5)12-9(–––)3x12 . 11 . 10t10= –––––––––– (33x5)3(3-9x-9)1 . 2 . 3t10= 220x6TÉRMINO CENTRALSe presenta 2 casos:1) Cuando el exponente es par, de la forma (x + a)2n,existe un sólo término central, su lugar se calcu-la así:2n––– + 1 = n + 12Notar que, en este caso 2n es la potencia delbinomio.2) Cuando el exponente es impar, de la forma:(x + a)2n+1, existen 2 términos centrales, y suslugares se determinan así:(2n + 1) + 11er. Término Central = –––––––––– = n + 12(2n + 1) + 32do. Término Central = ––––––––––– n + 22Notar que la potencia del binomio es (2n + 1)www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 77 -TÉRMINO DE PASCAL O DE TARTAGLIAPermite determinar los coeficientes de desarrollo delbinomio . Se escribe en forma horizontal los coefi-cientes del desarrollo de las sucesivas potencias delbinomio, resulta un triángulo aritmético que se llamaPascal o Tartaglia.Coeficientes de:(x + a)0= 1(x + a)1= 1 1(x + a)2= 1 2 1(x + a)3= 1 3 3 1(x + a)4= 1 4 6 4 1(x + a)5= 1 5 10 10 5 1y así sucesivamente.Ejemplo:Desarrollar (x3+ y4)5PROCEDIMIENTOUtilizando el triángulo de Pascal, los coeficientesdel binomio a la 5ta. son:1 ; 5 ; 10 ; 10 ; 5 ; 1Luego:(x3+ y4)5= (x3)5+ 5(x3)4(y4) + 10(x3)3(y4)2+ 10(x3)2(y4)3+ 5(x3) (y4)4+ (y4)5(x3+ y4)5= x15+ 5x12y4+ 10x9y8+10x6y12+ 5x3y16+ y20DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON CONEXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIOPROPIEDADES:1º El número de términos es infinito, y al desarrollose le conoce con el nombre de “Serie Binómica deNewton”.2º Para determinar el desarrollo de (x + a)npara unnúmero “n” fraccionario y/o negativo, el valor de“x” debe ser uno y además x > a. Los valores de adeben estar en el rango 0 < a < 1.3º Los términos del desarrollo con respecto a sussignos, no guardan ninguna relación.4º Para extraer la raíz de un número con aproxi-mación por la serie binómica de Newton, se uti-liza la siguiente relación:1(1 + x)1/m= 1 + –– xmdonde: 0 < x < 1_____Ejemplo: Hallar5√921,6Se puede escribir:–––––––––––––––––___ 5102,45√1 024 - 102,4 = 1 024(1 - ––––––)√ 1 0241–___1 51 1=5√1024(1 - –––) = 4(1 - –– . –––)10 5 10= 4 (1 - 0,02) = 4(0,98) = 3,92_____∴ √921,6 = 3,925º Para determinar el término general en el desar-rollo se utiliza:n(n - 1)(n - 2) … (n - k - 1)tk+1= ––––––––––––––––––––––––––– xn-kakkDonde:n = exponente negativo y/o fraccionariok = lugar del término anterior al pedidoEjemplo:Hallar el término 2 del desarrollo de (1 - x)-3(-3)t1+1= –––––– x3-1(1)11 4t2= -3x2RADIACIÓNDEFINICIÓNEs la operación que consiste en hallar una cantidadalgebraica llamada raíz, que al ser elevada a un cier-www.elsolucionario.net
    • - 78 -Ejemplo: ___________________________________√ 4x6- 4x5+ 13x4- 10x3+ 11x2- 6x + 1 2x3- x2+ 3x - 1–––––––––––––––––––––––––––––-4x62 (2x3) = 4x3________________ _____________________________- 4x5+ 13x4(4x3- x2) (+x2)_____________________________+ 4x5- x42 (2x3- x2) = 4x3- 2x2_______________________ _____________________________+ 12x4- 10x3+ 11x2(4x3- 2x2+ 3x) (-3x)–––––––––––––––––––––––––––––- 12x4+ 6x3- 9x22 (2x3- x2+ 3x) = 4x3- 2x2+ 6x_______________________ _____________________________- 4x3+ 2x2- 6x + 1 (4x3- 2x2+ 6x - 1) (+1)+ 4x3- 2x2+ 6x - 1__________________- - - -to índice, reproduce una cantidad llamada radicandoo cantidad subradical. Es la operación contraria a lapotenciación.__n√ A = q ⇒ A = qnELEMENTOS DE UNA RAÍZíndice signon____√A = qsubradical raíz enésimaSIGNO DE LAS RAÍCES___2n√(+) = (±)___2n√(-) = imaginario___2n+1√(+) = (+)___2n+1√(-) = (-)Donde: 2n = número par2n + 1 = número imparRADICACIÓN DE EXPRESIONESALGEBRAICASRAÍZ DE UN MONOMIOREGLA:1) Se extrae la raíz del signo, de acuerdo con la leyde signos de un radical.2) Se extrae la raíz del coeficiente.3) Se divide los exponentes de las letras entre elíndice de la raíz.Ejemplo:10 20 -5___________ __ __ __5√ -32x10y20z-5= -2x5y5z5= -2x2y4z-1RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIOREGLA:1) Se ordena y completa el polinomio; luego, se agru-pa los términos de 2 en 2, empezando por laderecha.2) Se halla la raíz cuadrada del primer término(monomio o binomio) del primer grupo de laizquierda, que sera el primer término de la raízcuadrada del polinomio. Se multiplica esta raíz porsí misma, se cambia de signo y se suma al poli-nomio dado, eliminándose la primera columna.3) Se baja los términos que forman el siguientegrupo, se duplica la raíz hallada y se divide elprimer término de los bajados entre este duplo. Elcociente así hallado es el segundo término de laraíz. Este segundo término de la raíz, con su pro-pio signo, se escribe al lado derecho del duplo delprimer término de la raíz formándose un binomio,este binomio se multiplica por dicho segundo tér-mino con signo cambiado, sumándose este pro-ducto a los dos términos que se habia bajado.4) Se baja el siguiente grupo de términos. Se duplicala parte de la raíz ya hallada y se divide el primertérmino del resíduo entre el primero de esteduplo, el cociente es el tercer término de la raíz.Este tercer término con su propio signo se escribeal lado del duplo de la raíz hallada y se forma untrinomio, este trinomio se multiplica por dichotercer término de la raíz con signo cambiado yeste producto se suma al resíduo.5) Se continúa el procedimiento anterior, hastaobtener un resto, cuyo grupo sea una unidadmenor que el grado de la raíz o un polinomio idén-ticamente nulo.www.elsolucionario.net
    • RAÍZ CÚBICA DE UN POLINOMIOREGLA:1) Se ordena y completa el polinomio, se separa engrupos de tres términos, emprezando por ladrecha.2) Se extrae la raíz cúbica del primer término delprimer grupo de la izquierda (puede estar formadopor uno, dos o tres términos), que será el primertérmino de la raíz, este término se eleva al cubo yse resta del primer término del polinomio dado.3) Se baja el siguiente grupo formado por los trestérminos siguientes del polinomio y se divide elprimero de ellos entre el triple del cuadrado de laraíz hallada, el cociente de esta división es elsegundo término de la raíz.4) Se forma 3 productos:• El triple del cuadrado del primer término de laraíz.• El triple del primer término de la raíz por elcuadrado del segundo término de la raíz.• El cubo del segundo término de la raíz.Se suma los resultados obtenidos, se cambia designo y se le suma a los tres términos del poli-nomio que se habia bajado.5) Se baja el siguiente grupo de términos, dividién-dose el primer término del residuo entre el tripledel cuadrado del primer termino de la raíz, el co-ciente es el tercer término de la raíz.Se forma 3 grupos:• El triple del cuadrado de la raíz hallada (1º y 2ºtérmino) por el tercer término de la raíz.• El triple de la raíz hallada por el cuadrado deltercer término de la raíz.• El cubo del tercer término de la raíz.Se suma los productos obtenidos, se cambia designo sus términos y se les suma a los términosdel resíduo. Se continúa hasta obtener comoresiduo un polinomio cuyo grado sea una unidadmenor que el doble del grado de la raíz.F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 79 -Ejemplo:_________________________________3√x6- 6x5+ 15x4- 20x3+ 15x2- 6x + 1 x2- 2x + 1––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-x63 (x2)2= 3x4––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––- 6x5+ 15x4- 20x3(-6x5) : (3x4) = -2x––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––+ 6x5- 12x4+ 8x3a) 3 (x2)2(-2x) = -6x5–––––––––––––––––––––––––––––+ 3x4- 12x3+ 15x2- 6x + 1 b) 3 (x2) (-2x)2= +12x4- 3x4+ 12x3- 15x2+ 6x - 1 c) (-2x)3= -8x3––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––- - - - - = 6x5+ 12x4- 8x3––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––(3x4) : (3x4) = 1__________________________________________a) 3 (x2- 2x)2(1) = 3x4- 12x3+ 12x2b) 3 (x2- 2x) (1)2= 3x2- 6xc) (1)3= 1__________________________________________= 3x4- 12x3+ 15x2- 6x + 1www.elsolucionario.net
    • - 80 -DESCOPOSICIÓN DE RADICALES DOBLESEN SIMPLESA) Forma:_______ __________________A + K A - K√A ± √B = –––––– ± –––––√ 2 √ 2_____Donde: K = √A2- BEjemplo: Descomponer en radicales simples:__________√3 + √5PROCEDIMIENTO:_______ _________________A + K A - K√3 + √5 = –––––– + ––––– (I)√ 2 √ 2Cálculo de K:______ ______ __K = √A2- B = √32- 5 = √4 = 2Sustituyendo en (1):_______ _________________3 + 2 3 - 2√3 + √5 = –––––– + –––––√ 2 √ 2___ _______________5 1√3 + √5 = –– + ––√2 √ 2B) Forma:______________________ __ __ __ __ __√A + √B + √C + √D = √x + √y + √zEjemplo:Descomponer en radicales simples:______________________________ ___ ___√10 + 2√6 + 2√10 + 2√15PROCEDIMIENTO:___________________________ ___ ___ __ __ __√10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = √x + √y + √zElevando al cuadrado:__ ___ ___10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = x + y + z___ ___ ___+ 2√xy + 2√xz + 2√yzIdentificando las partes racionales e irracionales:x + y + z = 10 (1)____ __2√x . y = 2√6 ⇒ x . y = 6 (2)____ ___2√x . z = 2√10 ⇒ x . z = 10 (3)____ ___2√y . z = 2√15 ⇒ y . z = 15 (4)Multiplicando: (2) por (3) por (4):x2y2z2= (3 . 2) (5 . 2) (5 . 3) = 22. 32. 52∴ x . y . z = 2 . 3 . 5 (5)Sustituyendo (2) en (5): z = 5Sustituyendo (3) en (5): y = 3Sustituyendo (4) en (5): x = 2____________________________ ___ ___ __ __ __∴√10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = √2 + √3 + √5C) Forma:______________________ __ __ __ __ __3√ A + √B - √C - √D = √x ± √y ± √zSe procede igual que la forma anterior.D) Forma:___________ __3√A ± √B = x ± √yLlamando:______C =3√A2- By = x2- CSe resuelve A = 4x3- 3xC por tanteos para “x”.Ejemplo:___________3√7 + 5√2PROCEDIMIENTO:__________ __Primero:3√7 + 5√2 = x + √yAhora cálculo deC:______C =3√72- 50 = -1www.elsolucionario.net
    • Sustituyendo valores en:A = 4x3- 3xC7 = 4x3- 3x (-1)7 = 4x3+ 3xDonde por tanteo:x = 1Sustituyendo valores en:y = x2- Cy = 12- (-1)y = 2__________ __∴3√7 + 5√2 = 1 + √2OPERACIONES CON RADICALESCONCEPTOS BÁSICOSRADICALES HOMOGÉNEOSSon aquellos que tienen iguales índices.Ejemplo:____ ___ __5√x4z2;5√y2x ;5√xHOMOGENIZACIÓN DE RADICALESEs la operación que se realiza para pasar radicales dedistinto índice, a radicales de índice iguales.Ejemplo:Homogenizar:___ __ ___3√a2b ;4√b3;5√c4dPROCEDIMIENTO:1) Se halla m c m de los indices; éste será el índicecomún.mcm: 3, 4, 5 = 602) Se afecta del índice común y se eleva cada canti-dad subradical a un exponente que resulta de di-vidir el índice común entre su índice original.______ ______ _______606060606060__ __ __√(a2b)3; √(b3)4; √(c4d)5efectuando las operaciones se obtiene:_____ ___ _____60√a40b20;60√b45;60√c48b12RADICALES SEMEJANTESSon aquellos qie tienen igual índice e igual radicando.Ejemplo:___ ___ ___3x3√ 3b ; 8y3√ 3b ; 23√ 3bTEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS RADICALESSi se multiplica o divide el índice del radical y el radi-cando por un mismo número, no varía el valor aritmé-tico, pero el número de valores algebraicos de las po-sibles raízes queda multiplicado o dividido por esemismo número:Sea: ___n√Bm= bmultiplicando índice y exponente por “r”:____n.r√Bm.rnotar que:___n√Bmtiene “n” raíces____n.r√Bm.rtiene “n . r” raícesOPERACIONES ALGEBRAICAS CONRADICALESSUMA Y RESTA DE RADICALESPara sumar radicales semejantes basta sacar comofactor común el radical; si no son semejantes, se dejaindicado.Ejemplo:__ __ __ __3x3√3b + 8y3√3b + 23√3b =3√3b (3x + 8y + 2)MULTIPLICACIÓN DE RADICALES1) Cuando son homogéneos:__ __ ____√A . √B = √A . B2) Cuando tienen índices distintos.Se reduce a un índice común y se opera igual queen el caso anterior, así:__ __ __ __ ____p√x .q√y =pq√xq.pq√yp=pq√xqypF O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 81 -www.elsolucionario.net
    • DIVISIÓN DE RADICALES1) Cuando son homogéneos:_____n√A nA––– = ––__n√B √B2) Cuando son homogéneos.Previamente se homogeniza y se procede como seindicó en el caso anterior:_____ ___p√Apq√Aq pqAq–––– = ––––– = –––__ ___q√Bpq√Bp√BpPOTENCIAL DE RADICALES__ p__( n√B ) =n√BpRAÍZ DE RADICALES_______ __n√ m√B =nm√BFRACCIÓN IRRACIONALEs aquella cuyo denominador tiene raíz algebraica.RACIONALIZACIÓNEs una operacion que consiste en modificar un que-brado en cuyo denominador hay una raíz algebraica(fracción irracional) y transformarla a otra que notenga raíz en el denominador.FACTOR RACIONALIZANTE (F.R.)El factor racionalizante de una expresión irracionales también otra expresión irracional que, multiplica-da por la primera, la convierte en una expresiónracional.RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DEUNA FRACCIÓNPRIMER CASOCuando la fracción presenta, en el denominador,radicales en forma de producto.Ejemplo:1Racionalizar: ––––––––__ __4√a .5√b3PROCEDIMIENTO:Se multiplica numerador y denominador por el lite-ral elevado a un exponente igual a lo que le falta alexponente del literal para equivaler a la unidad.De este modo:__ __1 1 a3/4. b2/5 4√a3.5√b2–––––––– = –––––––– . –––––––– = –––––––––__ __4√a .5√b3a1/4. b3/5a3/4. b2/5a . bSEGUNDO CASOCuando la fracción presenta en su denominador unasuma de raíces algebraicas; para racionalizar, se uti-liza el criterio denominado como la conjugada real.Ejemplo:mi) Racionalizar: –––––––––– ––√a + √b__ __m m √a - √b–––––––– = ––––––––––– . –––––––––––__ __ __ __ __ __√a + √b (√a + √b ) (√a - √b )__ __m m(√a - √b )–––––––– = –––––––––––––__ __√a + √b a - b1ii) Racionalizar: –––––––––––––––__ __ ____√a + √b - √a + b1 1–––––––––––––––– = –––––––––––––––––––__ __ ____ __ __ ____√ a + √ b - √a + b [(√a +√b )-√a + b]__ __ ____(√ a +√ b + √a + b). ––––––––––––––––––––__ __ ____[√ a + √ b + √a + b ]__ __ _____√ a + √ b + √ a + b= ––––––––––––––––––––__ __ _____(√ a + √ b )2-(√a + b)2__ __ ____ _____(√ a + √ b + √a + b ) √a . b= –––––––––––––––––––– . ––––––____ _____2√ a . b √a . b____ __ __ _____√a . b (√ a + √ b + √ a + b )= ––––––––––––––––––––––––2 . a . b- 82 -www.elsolucionario.net
    • TERCER CASOCuando la fracción presenta en su denominador unasuma algebraica de radicales de índice superior a 2.Se procede así:• Si el índice es una potencia de 2, se utiliza el cri-terio de la conjugada en forma sucesiva.• Si el índice es 3, es necesario tener en cuenta lassiguientes identidades:__ __a + b = (3√ a )3+ (3√ b )3__ __ __ ___ ___= (3√ a +3√ b ) (3√ a2-3√ ab +3√ b2)__ __a - b = (3√ a )3- (3√ b )3__ __ __ ___ ___= (3√ a -3√ b ) (3√ a2+3√ ab +3√ b2)Ejemplo:1Racionalizar: –––––––––__ __6√ a -6√ bSolución:Multiplicando por la conjugada y luego aplicandolas identidades anteriores se logra racionalizar:__ __1 16√ a +6√ b––––––––– = ––––––––––– . ––––––––––__ __ __ __ __ __6√ a -6√ b (6√ a -6√ b ) 6√ a +6√ b__ __ __ ___ ___6√ a +6√ b ( 3√ a2+3√ab +3√ b2)= ––––––––––– . ––––––––––––––––––––__ __ __ ___ ___( 3√a -3√ b ) ( 3√a2+3√ ab +3√b2)__ __ __ ___ ___(6√ a +6√ b ) ( 3√a2+3√ ab +3√b2)= –––––––––––––––––––––––––––––––a - bCUARTO CASOSi el índice es mayor que 3, y pertenece a una de lasformas:__ __1)n√a ±n√ b____ _____ ______2)n√an-1ϯn√an-2b +n√an-3b2___ ___ϯn√ an-4b3+ … ϯn√bn-1Previamente, debe recordarse que para todo valorde “n”:___ ___ ___ _____( n√a +n√ b ) ( n√an-1+n√an-2b_____ ___+n√an-3b2+ … +n√bn-1) = a - bSin embargo, para valores impares de “n”:___ ___ ___ _____( n√a +n√ n ) ( n√an-1-n√an-2b_____ ___+n√an-3b2- … +n√bn-1) = a + by, para valores pares de “n”:___ ___ ___ _____( n√a +n√ b ) ( n√an-1-n√an-2b_____ ___+n√an-3b2- … +n√bn-1) = a - bUno de los factores es utilizado como el F.R.Ejemplo: Racionalizar:N–––––––––––––––––––––––––__ __ __ __4√x3+4√x2y +4√xy2+4√y3__ __Si al denominador se le multiplica por4√x -4√y, seobtiene x - y, por consiguiente el factor raciona-__ __lizante es4√x -4√y.__ __N(4√x -4√y )E = ––––––––––––x - yVERDADERO VALOR DE FRACCIONESALGEBRAICASCONCEPTOSFRACCIONES DETERMINADASSon la siguientes:a 0 ∞ a ∞ 0–– , –– , –– , –– , –– , ––0 a a ∞ 0 ∞Estas formas determinadas son definidas como:a a1) lim –– = ∞ 2) lim –– = 0x xx→ 0 x→ ∞x x3) lim –– = ∞ 4) lim –– = 0a ax→ ∞ a→ ∞x→ 0F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 83 -www.elsolucionario.net
    • x a5) lim –– = 0 6) lim –– = ∞a xx→ 0 a→ ∞x→ 0aLa expresión: lim ––xx→ 0aSe lee: “limite de la fracción –– cuando “x” tiendea cero”.xVERDADERO VALOR(V.V.)Cuando para ciertos valores de la variable, unaexpresión adquiere muchos valores, se dice que laexpresión es de la forma indeterminada. Por estarazón, se busca su “verdadero valor”, siendo éste elvalor de otra que sea su equivalente. A este procedi-miento se denomina “llevar indeterminación.FORMAS INDETERMINADASMatemáticamente, no son definibles:0 ∞–– , –– ∞ - ∞ , 0 . ∞ , 1∞,000 ∞CÁLCULO DEL VERDADERO VALOR0A) FORMA ––0Para levantar esta inderminación debe tenerse encuenta que tanto en el numerador como en eldenominador está el factor cero, que se debe deeliminar, por lo tanto:• Se factoriza el numerador y el denominadorbuscando el factor cero (por ejemplo: x - a = 0,cuado “x” tiende a “a”).• Se simplifica en el numerador y denominadorde la fracción este factor.• Se sustituye nuevamente x = a. Si persiste la in-determinación, se repite hasta hallar el verda-dero valor.Ejemplo:Hallar el verdadero valor de la fracción:2x2- 5x - 3E = –––––––––– , para x = 3x2+ x - 12PROCEDIMIENTO:2(3)2- 5(3) - 3 0E = ––––––––––––– = ––(3)2+ (3) - 12 0Esta forma es indeterminada, quiere decir que enel numerador y en el denominador hay un factorde la forma “x - a”. Hay que factorizarlo y luegosimplificarlo.1) Factorizando:(2x + 1) (x - 3)E = –––––––––––––(x + 4) (x - 3)ese factor es: “x - 3”2) Simplificando:2x + 1E = ––––––x + 43) Para x = 3:2(3) + 1 7E = ––––––– = –– = 13 + 4 7∴ V.V.(E) = 1∞B) FORMA ––∞Para levantar la indeterminación de esta forma, sedivide numerador y denominador entre la máxi-ma potencia de la variable cuya presencia provo-ca la indeterminación.REGLA PRÁCTICA:1) Si el numerador es de mayor grado que eldenominador, el V.V. es ∞ ; es decir:si: º| N | > º| D | ⇒ V.V.(E) = ∞2) Si el numerador es de menor grado que eldenominador. el V.V. es 0, es decir:si: º| N | < º| D | ⇒ V.V.(E) = ∞3) Si el numerador y el denominador son de igualgrado, el V.V. es un cociente formado por loscoeficientes de los términos de máxima poten-cia del numerador y denominador; es decir:si: º| N | = º| D |, entonces:Coeficiente de mayor grado de NV.V.(E) = ––––––––––––––––––––––––––––Coeficiente de mayor grado de DEjemplo:Hallar el V.V. de la fracción:2x3+ 3x2+ 3x + 7E = –––––––––––––––– ; para x→∞6x32x2+ 5x + 1- 84 -www.elsolucionario.net
    • Sustituyendo x por ∞:2(∞) + 3(∞) + 3(∞) + 7 ∞E = –––––––––––––––––––– = ––6(∞) + 2(∞) + 5(∞) + 1 ∞Para levantar la indeterminación se divide denumerador y denominador entre la variable ele-vada a su mayor exponente:2x33x23x 7––– + ––– + ––– + ––x3x3x3x3E = ––––––––––––––––––6x32x25x 1––– + ––– + ––– + ––x3x3x3x33 3 72 + –– + –– + ––x x2x3= –––––––––––––––2 5 16 + –– + –– + ––x x2x3Para (x + ∞):2 + 0 + 0 + 0 2 1V.V.(E) = ––––––––––– = –– = ––6 + 0 + 0 + 0 6 3C) FORMA ∞ - ∞Cuando se presenta esta forma de indetermi-nación, se lleva a la forma ∞/∞ y se procedecomo tal.Ejemplo:Hallar el V.V. de:___________ __E = √2x2+ 3x + 1 - x√2 ; cuando x→∞Sustituyendo:______________ __E = √2(∞) + 3(∞) + 1 - ∞√2 = ∞ - ∞Para levantar esta indeterminación se multiplica ydivide por la conjugada de la expresión:__________ __ __________ __(√2x2+ 3x + 1 - x√2 )(√2x2+ 3x + 1 + x√2 )E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––__________ __(√2x2+ 3x + 1 + x√2 )Efectuando:2x2+ 3x + 1 - 2x23x + 1E = –––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––__________ __ __________ __√2x2+ 3x + 1 + x√2 √2x2+ 3x + 1 + x√2Dividiendo numerador y denominador entre x:13 + ––xE = ––––––––––––––––––____________3 12 + –– + –– + √2√ x x2Para x → ∞:__3 3√2V.V. (E) = ––––– = –––––__2√2 4D) FORMA 0 . ∞Cuando una expresión algebraica toma la for-ma 0 . ∞, su V.V. se obtiene efectuando primerolas operaciones indicadas y, luego, simplifican-do y reemplazando x = a. Si subsiste la indeter-minación, se transforma a una de las formasanteriores y se procede.Ejemplo:Hallar el verdadero valor de:1 1 7E = (––––– - ––––––)(–––––––––––)x + 3 3x - 1 x2+ 6x - 16para: x = 2Procedimiento:Para x = 2, se obtiene 0 .∞( forma indeterminada)Efectuando operaciones:3x - 1 - x - 3 7E =[––––––––––––––][–––––––––––](x + 3)(3x - 1) (x + 8)(x - 2)2(x - 2) 7=[––––––––––––––][––––––––––––](x + 3)(3x - 1) (x + 8)(x - 2)Simplificando (x - 2):14E = ––––––––––––––––––(x + 3)(3x - 1)(x + 8)para: x = 2:14 7V.V. (E) = –––––––––– = ––––(5) (5) (10) 125CANTIDADES IMAGINARIASCONCEPTOSDEFINICIÓNCantidades imaginarias son las raíces de índice parde cantidades negativas:F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 85 -www.elsolucionario.net
    • - 86 -Ejemplos:__i) √-3__ii)6√-5____iii)8√-64UNIDAD IMAGINARIASegún la notación de Gauss:__√-1 = ide donde: i2= -1Ejemplo:___ ___ ___√-16 = √16 . √-1 = 4iPOTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA__1) i1= (√-1 )1= i__2) i2= (√-1 )2= -13) i3= i2. i = -i4) i4= i2. i2= 15) i5= i4. i = i6) i6= i4. i3= -17) i7= i4. i3= -i8) i8= i4. i4= 1NÚMEROS COMPLEJOSSe llama así a un número de la forma “a + bi”, donde“a” y “b” son números reales.COMPLEJOS IGUALESSon los que tienen iguales sus partes reales e igualessus partes imaginarias.Ejemplo:a + bi = c + di⇔ a = c ∧ b = dCOMPLEJOS CONJUGADOSSon los que tienen iguales sus partes reales; e iguales,pero de signos contrarios sus partes imaginarias.Ejemplo:z1= a + biz2= a - b iCOMPLEJOS OPUESTOSSon los que tienen iguales sus partes reales e imagi-narias, pero de signos contarios.Ejemplo:z1= a + biz2= -a - biREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN COMPLEJO1) REPRESENTACIÓN CARTESIANAy, eje imaginarioy = a + bii {1231 x, eje realSea: y = a + biUnidad sobre el eje y: iUnidad sobre el eje x: 12) REPRESENTACIÓN POLAR O TRIGONOMÉ-TRICAyρbθa x______ρ = √a2+ b2módulo o radio vector.bθ = arco tg –– argumento.awww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 87 -Con apoyo en la figura, la forma polar de a + bi,se calcula así:a + bi = ρ cos θ + i ρ sen θa + bi = ρ (cos θ + i sen θ)Ejemplo:Expresar en forma polar: 8 + 6iPROCEDIMIENTO:Se sabe que:8 + 6i = ρ (cos θ + i sen θ)Cálculo de ρ y θ:______ ______ρ = √a2+ b2=√82+ 62= 10b 6 3θ = arco tg –– = arco tg –– = arco tg –– = 37ºa 8 4∴ 8 + 6i = 10 (cos37º + i sen 37º)OPERACIONES CON COMPLEJOS1) SUMAz1= a + biz2= c + diz1+ z2= (a + c) + (b + d) i2) MULTIPLICACIÓN(a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2∴ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) iEn forma polar:z1= a + bi = ρ1(cos θ1+ i sen θ1)z2= c + di = ρ2(cos θ2+ i sen θ2)z1 . z2= ρ1(cos θ1+ i sen θ1) ρ2(cos θ2+ i sen θ2)= ρ1. ρ2[(cos θ1cos θ2- sen θ1sen θ2)+ i (sen θ1cos θ2+ cos θ1sen θ2)z1. z2= ρ1. ρ2[ cos (θ1+ θ2) + i sen (θ1+ θ2)]3) DIVISIÓNDividir z1: z2, sí:z1= a + biz2= c + diz1a + b (a + bi)(c - di)–– = ––––– = ––––––––––––z2c + di (c + di)(c - di)(ac + bd) + (bc - ad) i= –––––––––––––––––––c2- d2i2z1 ac + bd bc - ad–– =(–––––––)+(––––––). iz2c2+ d2c2+ d2Forma polar:z1ρ1(cos θ1+ i sen θ1) (cos θ2- i sen θ2)–– = ––––––––––––––––– . –––––––––––––––z2ρ2(cos θ2+ i sen θ2) (cos θ2- i sen θ2)z1ρ1–– = –– [cos (θ1- θ2) + i sen (θ1- θ2)]z2ρ24) POTENCIA.- Fórmula de Moivre:[ρ (cos θ + i senθ )]n= ρn(cos nθ + i sen nθ )5) RAÍZ_______________ __θ + 2Kπn√ρ (cos θ + i sen θ) =n√ρ [cos(–––––––)nθ + 2Kπ+ i sen (–––––––)]nDonde K = 0, 1, 2, 3, …, (n - 1)DETERMINANTESMATRIZMatriz es una herramienta matemática que permite,en principio, resolver ecuaciones simultáneas deprimer grado.DEFINICIÓNMatriz es todo arreglo rectangular de elementos delconjunto de números reales, vectoriales, tensores,números complejos, etc. colocados en filas y encolumnas perfectamente definidas.Ejemplos:a bi) A =[ ]c dwww.elsolucionario.net
    • __1 2 3i √7ii) B =[4 9 5 1/3]__√2 3i 7 6DTERMINANTEDEFINICIÓNDeterminante es el desarrollo de una “matriz cuadra-da”; se le representa simbólicamente encerrando lamatriz entre dos barras verticales.ORDEN DEL DETERMINANTEEl “orden” del determinante, como es una matrizcuadrada, está expresado o por el número de “filas”o por el número de “columas” que tiene la matriz.La “matriz” es “cuadrada” cuando el número de filases igual al número de columnas.DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDENa1a2∆ =b1b2∆ = valor del determinanteelementos del determinante: a1, a2, b1, b2COLUMNAS : (a1b1) y (a2b2)FILAS : (a1a2) y (b1b2)DIAGONAL : (a1b2)PRINCIPALDIAGONAL : (b1a2)SECUNDARIAVALOR DEL DETERMINANTE DE SEGUNDOORDENEs igual a la diferencia de los productos de la diago-nal principal y diagonal secundaria.diagonalsecundaria(-)a1a2∆ = = a1b2- b1a2b1b2(+)diagonalprincipalEjemplo:-3 +5∆ = = (-3)(-7) - (+2)(+5) = 21 - 10 = 11+2 -7DETERMINANTE DE TERCER ORDENEs el desarrollo de una matriz cuadradade 3 filas y 3columnas.MÉTODOS PARA HALLAR EL VALOR DEUN DETERMINANTEPara determinar el valor de determinantes de 3ºorden u orden superior, se utiliza la “Regla de Sarrus”o el método de “menores complementarios”.REGLA DE SARRUS1) Se repite las filas primer y segunda debajo de latercera.2) Se toman con signo positivo la diagonal principaly sus paralelasy con signo negativo la diagonalsecundaria y sus paralelas.3) Se efectúan las operaciones con los signos con-siderados.(-)a1a2a3(-)a1a2a3b1b2b3 (-)∆ = b1b2b3= c1c2c3(+)c1c2c3a1a2a3(+)b1b2b3(+)- 88 -www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 89 -∆ = a1b2c3+ b1c2a3+ c1a2b3- c1b2a3- a1c2b3- b1a2c3Ejemplo: Desarrollar:(-)1 2 3(-)1 2 3 4 5 -6 (-)∆ = 4 5 -6 = 7 8 9(+)7 8 9 1 2 3(+)4 5 -6(+)∆ = 1 . 5 . 9 + 4 . 8 . 3 + 7 . 2 . (-6) -7 . 5 . 3- 1 . 8 . (-6) - 4 . 2 . 9∆ = 45 + 96 - 84 - 105 + 48 - 72∆ = -72FORMA PRÁCTICADE LA REGLA DE SARRUSa1a2a3b1b2b3c1c2c3con signo (+)a1a2a3b1b2b3c1c2c3con signo (-)MENOR COMPLEMENTARIOEl menor complementario de un elemento de undeterminante, es otro determinante de menor orden,que resulta despúes de suprimir en el determinantelos elementos que pertenecen a la fila y la columnade dicho elemento.Ejemplo:Escribir el menor complementario del elementob2en el siguiente determinante:a1a2a3a1a3∆ = b1b2b3⇒ ∆1=c1c3c1c2c3∆1= menor complementario de ∆ del elemento b2.1) Si la suma es par el elemento tiene signo (+).2) Si la suma es impar el elemento tiene signo (-).Ejemplo:a1a2a3∆ = b1b2b3c1c2c3El elemento “c2” pertenece a la 3ra. fila: 3 y a la2da. columna: 2, luego:S = 3 + 2 = 5 ⇒ signo(-)El elemento “a3” es de la 1ra. fila: 1y de la 3ra.columna: 3, luego:S = 1 + 3 = 4 ⇒ signo(+)DESARROLLO DE UN DETERMINANTE PORMENORES COMPLEMENTARIO“ Todo determinante es igual a la suma algebraica delos productos que se obtiene multiplicando cadauno de los elementos de una línea cualquiera (filao columna) por sus respectivos menores comple-mentarios, colocando a cada producto el signo delelemento”.www.elsolucionario.net
    • Ejemplo:Hallar el valor del determinante.1 4 2∆ = 3 4 59 16 25Desarrollandolo por menores complementarios,tomando la primera fila.4 5 3 5 3 4∆ = (1) - (4) + (2)16 25 9 25 9 16∆ = (1)(100 - 80) - (4) (75 - 45) + (2)(48 - 36)∆ = 20 - 120 + 24 = -76PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES1º Si en un determinante se cambia las filas por co-lumnas y las columnas por filas, el valor de deter-minante no se altera.a1a2a1b1∆ = =b1b2a2b22º Si en un determinante se intercambia entre sí dosfilas o dos columnas, el determinante cambia designo.a1a2a1b1∆ = = -b1b2a2b2a1a2a2a1∆ = = -b1b2b2b13º Si el determinante tiene dos filas o dos columnasiguales, el determinante es igual a cero.a1a2a3∆ = b1b2b3= 0b1b2b3a1a2a3∆ = b1b2b3= 0b1b2b34º Si en un determinante se multiplica o dividetodos los elementos de una fila o una columnapor un mismo número, el determinante quedamultiplicado o dividido por este número.Sea:a1a2∆ =b1b2Si:na1a2∆1=nb1b2∴ ∆1= n∆ECUACIONES Y SISTEMAS DEECUACIONESDEFINICIÓNEcuación es una igualdad que contiene una o más in-cognitas.CLASES DE IGUALDADHay dos clases de igualdad: absoluta y relativa.A) IGUALDAD ABSOLUTALlamada también identidad o igualdad incondi-cional, es aquella que se verifica para cualquiervalor de sus letras.Ejemplo:(x + a)(x + b) = x2+ (a + b) x + a . bB) IGUALDAD RELATIVA o ECUACIÓNLlamada también igualdad condicional, es aquellaque se verifica para algunos valores particularesatribuidos a sus letras, llamadas incognitas.Ejemplo:3x + 6 = 0se verifica sólo para: x = -2- 90 -www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 91 -PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LASIGUALDADES PARA LA TRANSFORMACIÓNDE ECUACIONES1er. PRINCIPIOSi a ambos miembros de una ecuación se les sumao resta un mismo valor, la ecuación no varía.A = B ⇔ A ± n = B ± n2do. PRINCIPIOSi a ambos miembros de una igualdad se le mul-tiplica o divide por un número independiente de“x”, distinto de cero y distinto de infinito, laecuación no varia.A = B ⇔ A . n = B . nA BA = B ⇔ –– = ––n nn ≠ 0, n ≠ ∞3er. PRINCIPIOSi ambos miembros de una ecuación son elevadosa una misma potencia o se les extrae la mismaraíz, la ecuación que resulta parcialmente es lamisma.Sea:A = BSi:__ __An= Bn;n√A =n√Bentonces, se puede escribir:An- Bn= 0Factorizando por cocientes notables:(A - B) (An-1+ An-2B + An-3B2+…+ ABn-2+ Bn-1) = 0De esta última igualdad se obtiene, igualando, losfactores a cero:A - B = 0 A = BAn-1+ An-2B + An-3B2+ …+ ABn-2+ Bn-1= 0(Ecuaciones introducida que da solucionesextrañas)ECUACIONES DE PRIMER GRADO CONINCOGNITASon aquellas que pueden reducirse a la forma:ax + b = 0bSolución: x = - ––aSISTEMA DE ECUACIONESEs un conjunto de dos o más ecuaciones verificadaspara un mismo juego de valores de las incognitas.CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DEECUACIONESa) Compatibles:Cuando el sistema tiene soluciones. A su vez,puede ser:• Determinadas: Número de soluciones limitado.• Indeterminadas: Muchas soluciones.b) Incompatibles:Cuando el sistema no tiene ninguna soluciónSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSon aquellas cuyas ecuaciones son de primer grado.Ejemplo:a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES1) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:PARA DOS ECUACIONESDe una de las ecuaciones se despeja una de lasincógnitas en función de la otra y se sustituye estevalor en la otra ecuación, obteniéndose unaecuación con una sola incógnita.El valor de la incógnita obtenida de esta últimaecuación se reemplaza en cualquiera de las dosecuaciones del sistema y se obtiene el valor de lasegunda incógnita.www.elsolucionario.net
    • - 92 -Ejemplo:2x + 5y = 26 (1)3x - 4y = -7 (2)De (1):26 - 5yx = ––––––2Sustituyendo en (2):26 - 5y3 . –––––– - 4y = -7278 - 15y - 8y = -14∴ y = 4Sustituyendo en (1):2x + 5 . 4 = 26∴ x = 32) MÉTODO DE IGUALACIÓN:PARA DOS ECUACIONESDe las dos ecuaciones se despeja una mismaincógnita en función de la otra y se iguala ambas,obteniéndose una ecuación con una sola incógni-ta; el valor obtenido de esta última ecuación sereemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones delsistema y se obtiene el valor de la otra incógnita.Ejemplo:2x + 5y = 26 (1)3x - 4y = -7 (2)De (1):26 - 5yx = –––––––2De (2):-7 + 4yx = –––––––3Igualando estas últimas:26 - 5y -7 + 4y–––––– = ––––––2 3∴ y = 4Sustituyendo en (1):2x + 5 . 4 = 26∴ x = 33) MÉTODO DE REDUCCIÓN:PARA DOS ECUACIONESConsiste en hacer que los coeficientes de laincógnita que se quiere eliminar en ambas ecua-ciones sean iguales, para lo cual se multiplica unade las ecuaciones por el coeficiente de la mismaincógnita de la otra ecuación, luego se suman orestan según convenga.Ejemplo:2x + 5y = 26 (1)3x - 4y = -7 (2)Para eliminar “x”, se multiplica (1) por 3 y (2)por 2, así:6x + 15y = 78 (3)6x - 8y = -14 (4)Restando (3) - (4):23y = 92∴ y = 4Sustituyendo en (1): 2x + 5 . 4 = 26∴ x = 34) MÉTODO DE LOS DETERMINANTES:REGLA DE CRAMEREn todo sistema de ecuciones determinadas, elvalor de cada incógnita se puede calcular medi-ante una fracción, cuyo denominador es el deter-minante del sistema, siendo el numerador estemismo determinante en el que se ha reemplazadola columna de los coeficientes de la incógnita porlos términos independientes. Así:∆x ∆yx = –––– y = ––––∆S ∆SEjemplo:Resolver: 2x + 5y = 263x - 4y = -7www.elsolucionario.net
    • ∆S = determinante del sistema:2 5= -8 - 15 = -233 -4∆x = determinante de x:26 5= -104 - (-35) = -69-7 -4∆y = determinante de y:2 26= -14 - 78 = -923 -7∆x -69∴ x = ––– = ––– = 3∆s -23∆y -92y = ––– = ––– = 4∆s -23ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO YECUACIONES BICUADRATICASECUACIONES DE SEGUNDO GRADOUna ecución de segundo grado o cuadrática es de laforma:ax2+ bx + c = 0RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DESEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITASe resuelve de dos formas:1) FACTORIZANDO MEDIANTE EL ASPASIMPLEEjemplo: Resolver la ecuación:4x2- 3x + 5–––––––––– = 2x2- 2x + 13PROCEDIMIENTO:Efectuando, ordenando e igualando a cero:4x2- 3x + 5 = 2x2- 4x + 262x2+ x - 21 = 0Factorizando por aspa:2x 7x -3(2x + 7) (x - 3) = 0Igualando a cero cada factor:Si: 2x + 7 = 0 ⇒ x1= -3,5Si: x - 3 = 0 ⇒ x2= 32) APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL_______-b ± √b2- 4acx = ––––––––––––2aEsta fórmula se recomienda aplicar cuando la fac-torización no es inmediata.Ejemplo:Resolver la ecuación: 4x2- 5x = 19PROCEDIMIENTO:Igulando a cero:4x2- 5x - 19 = 0donde: a = 4 ; b = -5 ; c = -19Aplicando la fórmula:________________-(-5) ± √(-5)2- 4 . 4 . (-19)x = –––––––––––––––––––––––2(4)____5 ± √329x = ––––––––8de donde se obtiene dos raíces:____5 + √329x1= ––––––––8____5 - √329x2= ––––––––8F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 93 -www.elsolucionario.net
    • - 94 -DISCUCIÓN DEL VALOR DE LAS RAÍCESLas raíces de una ecuación de segundo grado depen-den de la cantidad sub-radical, llamada “discrimi-nante” o “invariante” y se le representa por la letragriega “delta”.∆ = b2- 4ac1) Si ∆ > 0, se obtiene dos raíces reales y desiguales.2) Si ∆ = 0, se obtiene dos raíces reales e iguales.3) Si ∆ < 0, se obtiene dos raíces complejas y conju-gadas.PROPIEDADES DE LAS RAÍCESSea la ecuación ax2+ bx + c = 0, con raíces:_______-b + √b2- 4acx1= ––––––––––––2a_______-b - √b2- 4acx2= ––––––––––––2a1º SUMA DE RAÍCESbx1+ x2= ––a2º PRODUCTO DE RAÍCEScx1+ x2= ––a3º PARA UNA ECUACIÓN CÚBICAx3+ bx2+ cx + d = 0con raíces:x1, x2, x3se cumple:x1+ x2+ x3= -bx1. x2+ x1. x3+ x2. x3= cx1. x2. x3= -dFORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DESEGUNDO GRADOSi “x1” y “x2” son las raíces de una ecuación desegundo grado. la ecuacíon originaria se forma así:x2- (x1+ x2) x + (x1. x2) = 0Ejemplo:Sean x1= -4 y x2= 3, escribir la correspondienteecuación de segundo grado.PROCEDIMIENTO:x2- (-4 + 3) x + (-4) (3) = 0x2+ x - 12 = 0ECUACIONES BICUADRADASSon ecuaciones de 4º grado de la forma:ax4+ bx2+ c = 0Se resuelve de dos maneras:a) Factorizando e igualando a cero.b) Haciendo x2= y, lo que transforma a la ecuaciónbicuadrada a una de segundo grado de la forma:ay2+ by + c = 0cuyas raíces son:________-b + √b2- 4acy1= ––––––––––––2a________-b - √b2- 4acy2= ––––––––––––2a__pero x2= y, luego x = ± √y ; resultando entonces4 raíces:____________________-b + √b2- 4acx1= + ––––––––––––√ 2a____________________-b + √b2- 4acx2= - ––––––––––––√ 2a____________________-b - √b2- 4acx3= + ––––––––––––√ 2a____________________-b - √b2- 4acx4= + ––––––––––––√ 2awww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 95 -PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNAECUACIÓN BICUADRADASUMA DE RAÍCES:x1+ x2+ x3+ x4= 0PRODUCTO:cx1. x2. x3. x4= ––aPRODUCTOS BINARIOS:bx1. x2+ x3. x4= ––aFORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN BICUADRADAx4+ (x1. x2+ x3. x4)x2+ x1. x2. x3. x4= 0Ejemplo:Sean las raíces x’ = ± 4 y x” = ± 2¿Cuál es la ecuación bicuadrada)PROCEDIMIENTO:Sean: x1= 4 x2= -4x3= 2 x4= -2Luego aplicando la fórmula de cosntrucción:x4+ [(4) (-4) + (2) (-2)] x2+ (4) (-4) (2) (-2) = 0x4- 20x2+ 64 = 0ECUACIONES RECÍPROCASSon de la forma:Ax4+ Bx3+ Cx2+ Bx + A = 0Es decir, sus coeficientes equidistantes del centroson iguales.Reciben este nombre porque no varían cuando secambia “x” por su recíproco “1/x”.Ejemplo:Resolver: 6x4- 25x3+ 12x2- 25x + 6 = 0PROCEDIMIENTO:Se factoriza x2:25 6x2(6x2- 25x + 12 - ––– + –––)= 0x x21 1x2[6(x2+ ––)- 25(x + ––)+ 12]= 0 (A)x2xhacemos:1x + ––– = y(1)para elevarlo al cuadrado:1x2+ –– = y2- 2 (2)x2Sustituyendo (1) y (2) en (A):x2[6(y2- 2) - 25y + 12] = 0x2(6y2- 25y) = 0x2y(6y - 25) = 0Reponiendo el valor de x:1 1x2(x + ––)[6(x + ––)- 25]= 0x xIgualando los factores a cero, sólo el último factorarroja resultados válidos:x1= 3,91098x2= 0,25569ECUACIONES BINOMIAS Y TRINOMIAS1) BINOMIASSon de forma: Axn+ b = 0Se resuelve factorizando e igualando cada factor acero o mediante la fórmula de Moivre.Ejemplo:8x3- 27 = 0la cual también se puede escribir también como:(2x)3- (3)3= 0factorizando:(2x - 3)[(2x)2+ (2x)(3) + (3)2] = 0(2x - 3)(4x2+ 6x + 9) = 0www.elsolucionario.net
    • - 96 -3Si: 2x - 3 = 0 ⇒ x1= ––2Si: 4x2+ 6x + 9 = 0 ⇒__ __-3 + 3√3i -3 - 3√3ix2= ––––––––– x3= –––––––––4 42) TRINOMIASSon de la forma: Ax2n+ Bxn+ C = 0Se resuelve cambiando xn= y, y se transforma enuna ecuación de segundo grado.Ejemplo:Resolver: x8- 15x4- 16 = 0PROCEDIMIENTO:Llamando: x4= y (a)Luego:y2- 15y - 16 = 0de donde:y1= 16 ; y2= -1Sustituyendo estos valores en (a): primero, y = 16;luego, y = 11) x4= 16 ⇒ (x4- 16) = 0 ⇒ (x + 2) (x - 2)(x + 2i)(x - 2i) = 0De donde:x1= -2 ; x2= 2x3= -2i ; x4= 2i__2) x4= -1 ⇒ x =4√-1 = iECUACIONES QUE SE RESUELVENMEDIANTE ARTIFICIOMediante el empleo de incógnitas auxiliares se llegaa una ecuación de forma conocida.Ejemplo: Resolver:___________ ___________x2- 2x + 14 x2+ 4x + 2––––––––––– + –––––––––– = 2√x2+ 4x + 2 √x2- 2x + 14PROCEDIMIENTO:Obsérvese que las cantidades subradicales soninversamente iguales, luego llamado a:___________x2- 2x + 14–––––––––– = y√x2+ 4x + 2___________x2+ 4x + 2 1–––––––––– = ––√x2+ 4x + 2 y∴ La expresión propuesta se escribe:1y + –– = 2yy2- 2y + 1 = 0(y - 1)2= 0de donde:y = 1Con este valor:___________x2- 2x + 14––––––––––– = 1√ x2+ 4x + 2x2- 2x + 14––––––––––– = 1x2+ 4x + 2x2- 2x + 14 = x2+ 4x + 26x = 12x = 2DESIGUALDADES E INECUACIONESDESIGUALDADEs una relación que establece que dos cantidadestienen diferente valor. Los signos usados son:> mayor que< menor que≤ igual o mayor que≥ igual o menor quePROPIEDADES DE LA DESIGUALDADES1º Si ambos miembros de una desigualdad se suma oresta una misma cantidad, la desigualdad no cam-bia de sentido.a > b ⇔ a ± m > b ± m2º Si ambos miembros de una desigualdad son mul-tiplicados o divididos por un mismo número po-sitivo, la desigualdad no varía.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 97 -a > btambién:a ba . m > b . m ∨ –– > –– ; si m > 0m m3º Si ambos miembros de una desigualdad se multi-plica o divide por un mismo número negativo, ladesigualdad cambia de sentido.a > ba bsi n < 0⇒ a . n < b . n ∨ –– < ––n n4º Si se suma miembro a miembro varias desigual-dades del mismo sentido, el resultado es unadesigualdad del mismo sentido.a > bc > d___________a + c > b + d5º Si se multiplica o divide miembro a miembrovarias desigualdades del mismo sentido, cuyosmiembros son positivos, se obtiene una desigual-dad del mismo sentido:a > bc > d–––––––––– a ba . c > b . d ∨ –– > ––c d6º Si ambos miembros de una desigualdad son ele-vados a una misma potencia impar, el sentido dela desigualdad no varía.a > b ⇒ a2n+1> b2n+17º Si ambos miembros de una desigualdad se eleva auna misma potencia par, siendo los dos miembrosnegativos, se obtiene una desigualdad de signocontrario.a > b ⇔ a2n< b2n⇔ a < 0 y b < 08º Si ambos miembros de una desigualdad se lesextrae una misma raíz de índice impar se obtieneuna desigualdad del mismo sentido.__ __a > b ⇔2n+1√a >2n+1√bCLASES DE DESIGUALDADES1) ABSOLUTACuando se verifica para cualquier valor de susletras.Ejemplo: (x - 3)2+ 9 > 02) RELATIVA O INECUACIÓNCuando se verifica sólo para valores determina-dos de sus letras.Ejemplo: 5x - 9 > 11sólo se satisface para x > 4.INECUACIONES DE PRIMER GRADO CONUNA INCÓGNITASon de la forma:ax ± b > 0o:ax ± b < 0SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓNEs todo valor de la incógnita o conjunto de valores delas incógnitas que verifican la desigualdad.Las soluciones se expresan en intervalos abiertos ocerrados.INTERVALO ABIERTOEs el conjunto de soluciones limitados por losvalores a y b, sin incluir estos valores:Se denota así:〈 a, b 〉Ejemplo:El intervalo 〈 2, 5 〉 significa que x tiene todoslos valores entre 2 y 5 pero no incluye a éstos;es decir, los valores son solamente 3 y 4.INTERVALO CERRADOEs el conjunto de soluciones limitados por val-ores a y b, incluyendo a éstos.Se representa así:[a, b]www.elsolucionario.net
    • - 98 -Ejemplo:El intervalo [3, 8] significa que x tiene todoslos valores entre 3 y 8, inclusive estos valores;es decir, los valores son 3; 4; 5; 6; 7; 8.VALOR ABSOLUTOSe representa así: | x |y, se define:x si x > 0| x | ={-x si x < 0SISTEMA DE INECUACIONES CON UNAINCÓGNITAPara resolver este sistema se sigue los siguientespasos:(1) Se halla las soluciones de cada inecuación enforma separada.(2) Se compara, para establecer las soluciones comu-nes a todas las inecuaciones.(3) Se grafica, las soluciones en la recta numéricapara facilitar la solución:Ejemplo:3x––– - 5 > 7 (1)4x–– + 3 > x - 9 (2)2PROCEDIMIENTO:Con la (1):3x - 20 > 283x > 48x > 16 (3)No incluye al 16Con la (2):x + 6 > 2x - 18-x > -24x < 24 (4)No incluye 24Solución gráfica:- ∞ 16 24 +∞INECUACIONES DE SEGUNDO GRADOSon de la forma:ax2+ bx + c > 0ax2+ bx + c < 0Se presenta 3 casos:1er. CASO .- Cuando la inecuación es:ax2+ bx + c > 0Se factoriza el trinomio. Suponiendo que se pue-de factorizar así: p(x - r1)(x - r2) > 0Para que esta desigualdad se verifique, ambos fac-tores o son positivos o son negativos, y las solu-ciones serán las siguientes:(1) si son positivos:x - r1> 0 ∴ x > r1x - r2> 0 ∴ x > r2(2) si son negativos:x - r1< 0 ∴ x < r1x - r2< 0 ∴ x < r2Ejemplo:Resolver: x2- 7x + 12 > 0Procedimiento: factorizando el trinomio:(x - 4)(x - 3) > 0(1) si son positivos:x - 4 > 0 ∴ x > 4x - 3 > 0 ∴ x > 3(2) si son negativos:x - 4 < 0 ∴ x < 4x - 3 < 0 ∴ x < 3Conclusión:La solución es: x > 4 ∨ x < 3-∞ 0 3 4 +∞www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 99 -2do. CASO.- La inecuación es:ax2+ bx + c < 0Análogamente a la anterior, se factoriza, supo-niendo que se puede factorizar así:(x - r1)(x - r2) < 0Para que esta desigualdad se verifique, un factordebe ser positivo y el otro negativo y las solu-ciones serán las siguientes:Si: x - r1< 0 ⇒ x < r1x - r2> 0 ⇒ x > r2Si: x - r1> 0 ⇒ x > r1x - r2< 0 ⇒ x < r2Ejemplo:Resolver: x2- 9x + 18 < 0Procedimiento: Se factoriza el trinomio:(x - 6) (x - 3) < 0Si: x - 6 > 0 ⇒ x > 6No hay}solución comúnx - 3 < 0 ⇒ x < 3Si: x - 6 < 0 ⇒ x < 6Solución} 3 < x < 6x - 3 > 0 ⇒ x > 3En forma de intervalo: x ε 〈 3; 6 〉Gráficamente:-∞ 0 3 6 +∞3er. CASO.- Cuando la inecuación es ax2+ bx + c >0 y tiene sus raíces complejas, solamente se verificapara ese sentido porque se trata de una desigualdadabsoluta.Ejemplo:Resolver: x2+ x + 1 > 0PROCEDIMIENTO: Se iguala a cero:x2+ x + 1 = 0___ ___-1 + √3 i -1 - √3 ix1= –––––––– x2= ––––––––2 2Las raíces son complejas. Por otra parte:1x2+ 2 (x)(––)+ 1 > 021 1 3x2+ 2 (x)(––)+ –– + –– > 02 4 41 23(x + ––) + –– > 02 4expresión que verifica la desigualdad absoluta.PROGRESIONESDEFINICIÓNSon sucesiones de números o términos algebraicosen las cuales cada tres términos consecutivos formauna proporción continua, que puede ser aritmética ogeométrica.A) PROGRESIÓN ARITMÉTICA “P.A.” o“POR DIFERENCIA”Es una sucesión de números en la cual cada unode ellos se obtiene sumándole al anterior una can-tidad constante que se llama “razón”.Sea la progresión aritmética:: t1, t2, t3, …, tn-1, tnSe denota: t1= primer términotn= término de lugar “n”r = razónn = número de términosSn= suma de “n” términos.Por definición:tn= tn-1+ r ⇒ r = tn- tn-1www.elsolucionario.net
    • - 100 -Una P.A. es creciente cuando la razón es positiva;es decreciente, cuando la razón es negativa.r > 0 : crecienter < 0 : decrecientePROPIEDADES1º Términos cualquiera:tn= t1+ (n - 1) r2º Las sumas de términos equidistantes de los extre-mos son iguales.Sea la P.A.:: t1, …, tp, …, tq, …, tnt1+ tn= tp+ tq(a) Término central:t1+ tntc= –––––2(b) Un término cualquiera es media aritméticaentre el anterior y el posterior:t1+ t3t2= –––––23º Suma de los “n” primeros términos:(t1+ tn)nSn= ––––––––2o:[2t1+ (n - 1)r]nSn= ––––––––––––––2INTERPOLACIÓNEs la operación de hallar los términos de una pro-gresión aritmética entre otros dos. Por ejemplo,entre a y b.Razón para interpolar:b - ari= ––––––m + 1Donde:“a” y “b” son términos dados de una proresiónaritmética.“m” es el número de términos a colocar entre “a”y “b”.Ejemplo:Interpolar 4 medios aritméticos entre losnúmeros 5 y 20.Razón para interpolar:b - a 20 - 5ri= ––––– = ––––– = 3m + 1 4 + 1La P.A. completa será:: 5 : 8 : 11 : 14 : 17 : 20PROGRESIÓN GEOMÉTRICA “P.G.” o “PORCOCIENTE”Es una sucesión de números en la cual el primero esdistinto de cero y cada uno de los términos siguien-tes se obtiene multiplicando al anterior por una can-tidad constante llamada “razón”.Sea la progresión geométrica:: : t1: t3: … : tn-1: tnSe denota: t1= primer términot2= t1. qt3= t2. qtn= término de lugar “n”q = razónn = número de términosSn= suma de “n” términosPn= producto de “n” términoswww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 101 -Ejemplos:i) : : 2 : 10 : 50 : 250Donde: q = 5Es una progresión creciente porque q > 1.ii) : : 16 : 8 : 4 : 21Donde: q = ––2Es una progresión decreciente porque q < 1.PROPIEDADES1º Término cualquiera:tn= t1. qn-12º El producto de los términos equidistantes de losextremos es igual al producto de los extremos:: : t1: t2: … : tp: … : tq: … : tn-1: tntp. tq= t1. tna) Término Central:_____tcentral= √t1. tnb) En una P.G. de tres términos el segundo esmedia geométrica entre el primero y el tercero._____: : t1: t2: t3⇒ t2= √t1. t33º Producto de “n” primeros términos:_______Pn= √(t1. tn)n4º Suma de “n” primeros términos:(q . tn) - t1Sn= –––––––––q - 1o:qn- 1Sn= t1. –––––q - 15º El limite de la suma de los términos de una P.G.decreciente ilimitada es:t1lim S = ––––1 - qINTERPOLACIÓNRazón para interpolar:___bqi=m+1––√ aDonde:m = número de términos para interpolar.“a” y “b”: números entre los cuales se interpola“m” términos.Ejemplo:1 1Interpolar 3 términos entre ––– y ––––16 256Donde:1 1b = –––– ; a = ––– ; m = 3256 16_________ ____1 1 1 1⇒ qi=3+1––––/––– =4––– = ––√256 16 √16 2Luego, la P.G. será:1 1 1 1 1: : ––– : ––– : ––– : –––– : ––––16 32 64 128 256LOGARITMOSPRINCIPALES CONCEPTOSDEFINICIÓNSe llama logaritmo de un número, en una base dada,positiva y distinta de la unidad, al “exponente” a quedebe elevarse la base para obtener el número dado.logbN = x ⇒ bx= N ⇒ blogbN= NSISTEMA DE LOGARITMOSHay muchos sistemas de logaritmos, que se diferen-cian según la base que se elija. Los sistemas máswww.elsolucionario.net
    • - 102 -comunes son el Nepariano de base “e” y el vulgar, ode Briggs, de base 10.e = 2,718281…PROPIEDADES DE LOGARITMOS1º Sólo existe logaritmos de base positiva y diferentede 1.b > 12º En el campo de los números reales no existe log-aritmos de números negativos.3º a) Si la base es mayor que la unidad:logb∞ = +∞ y logb0 = -∞b) Si la base es menor que la unidad:logb∞ = -∞ y logb0 = ∞4º En todo sistema de logaritmos:logbb = 15º En todo sistema de logaritmos:logb1 = 06º Logaritmo de un producto:logbA . B = logbA + logbB7º Logaritmo de un cociente:Alogb–– = logbA - logbBB8º Logaritmo de una potencia:logbAn= n logbA9º Logaritmo de un radical:__ logbAlogbn√A = ––––––n10º En todo sistema de logaritmos, si se eleva a labase y al número a una potencia “n” o a una raíz“n”, el resultado no varía.__logbN = logbn Nn= log nn√N__√bCOLOGARITMOCologaritmo de un número, en una base “b”, es ellogaritmo de la inversa del número en la misma base;o también, es igual al logaritmo del mismo númeroen la misma base, precedido del signo menos.1cologbN = logb (––)= - logbNNANTILOGARITMOAntilogaritmo es el número que dio origen al logaritmo.Antilogbx = bxo:AntilogblogbN = NCAMBIO DE UN SISTEMA DE LOGARITMOS AOTROlogaNlogbN = –––––logabFórmula que permite conocer al logaritmo de unnúmero en base “b”, conociendo el logaritmo delnúmero en base “a”.LOGARITMOS COMO PROGRESIONESSean las progresiones geométrica, de razon “q” y pri-mer término “1”; y aritmética, de razón “r” y primertérmino “0”, cuyos términos se corresponden:P.G. : : 1 : q : q2: q3: q4: … : qnP.A. : 0 . r . 2r . 3r . 4r . … . nrse tiene:logb1 = 0logbq = rlogbq2= 2rlogbqn= nrwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 103 -BASE DEL SISTEMA DE LOGARITMOSDEFINIDO POR UNA P.G. Y UNA P.A.De la conclución anterior:logbqn= nr ⇒ qn= bnr__b =r√qLa base de todo sistema de logaritmos es igual ala raíz “r” de la razón “q” de la P.G., siendo “r” larazón de la P.A. cuyos términos se correspondan.Ejemplo:Hallar la base del sistema de logaritmos definidopor las progresiones:1 1: : … : ––– : –– : 1 : 9 : 81 : …81 9: … . -8 . -4 . -0 . 4 . 8 . …PROCEDIMIENTO:1/9En la P.G.: q = –––– = 91/81En la P.G.: r = -4 - (-8) = 4__ __ __⇒ b =r√q ⇒ b =4√ 9 ⇒ b = √3SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOSTambién se llama logaritmos “naturales” o “hiperbó-licos”. Tiene como base el número trascendente” “e”,definido como:n1e = lim (1 + ––)= 2,718281 …nn → ∞o:1_e = lim (1 + n) n= 2,718281 …n → 0NOTACIÓN:El logaritmo de un número “N” en base “e” serepresenta así:In No:Ln No:logeNSISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALESSe les llama también “vulgares” o de Briggs. Son loga-ritmos de base 10 definidos por las progresiones:::…:10-n:…:10-3:10-2:10-1:1:10:102:103:…:10n:…:… . -n . … . -3 . -2 . -1 . 0 . 1 . 2 . 3 . … . n . …NOTACIÓN:El logaritmo de base 10 se representa así:log10No simplemente:log NLos logaritmos tienen 2 partes:La parte entera del logaritmo se llama “carac-terística”.La parte decimal del logaritmo se llama “mantisa”.PROPIEDADES DEL SISTEMA DELOGARITMOS DECIMALES1º Los logaritmos de los números mayores que 1 sonpositivos y los logaritmos de los números meno-res que 1 son negativos.(log > 1) > 0 (log < 1) < 02º Los logaritmos de potencia de 10 son iguales alexponente de dicha potencia.log10n= n3º Los logaritmos de los números correspondidos en-tre dos potencias consecutivas de 10 son decimales.Ejemplo:log 1 000 = log 103= 3log 100 = log 102= 2log 545 = 2,7363974º La “característica del logaritmo decimal de unnúmero mayor que 1 es positivo e indica elnúmero de cifras enteras más 1, que tiene la parteentera del número.www.elsolucionario.net
    • - 104 -Ejemplos:i) log 5 = 0 . …; 0 + 1 = cifra enteraii) log 238 = 2 . … ; 2 + 1 = 3 cifras enterasiii) log 48,64 = 1 . … ; 1 + 1 = 2 cifras enteras5º La característica del logaritmo decimal de unnúmero menor que la unidad es negativa e igualal número de ceros que preceden a la primeracifra significativa, inclusive el cero de los enteros.Ejemplos:__i) log 0,0038 = 3 . …__ii) log 0,516 = 1 . …6º Si se multipica o divide un número por la unidadseguida de ceros, no altera la mantisa de su loga-ritmo pero la característica aumenta o disminuyerespectivamente en tantas unidades como cerosacompañan a la unidad.Ejemplo:__log 0,00361 = 3 . …__log 0,361 = 1 . …TRANSFORMAR UN LOGARITMO TOTALMENTEPOSITIVO A OTRO PARCIALMENTE NEGATIVO(A) Y VICEVERSA (B)El siguiente ejemplo indica el procedimiento para (A):1log ––– = colog 75 = -log 7575= -1,875061 = -(1 + 0,875061)= -1 - 0,875061 + 1 - 1= (-1 - 1) + (1 - 0,875061)= -2 + 0,124939finalmente:__1log ––– = colog 75 = 2, 12493975Ejemplo: para el procedimiento inverso (B):__log 0,071 = 2,851258log 0,071 = -2 + 0,851258 + 1 - 1log 0,071 = (-2 + 1) - (1 - 0,851258)log o,071 = -1 - 0,148742log 0,071 = -1,148742CONVERSIÓN DE LOGARITMOS DECIMALES ANEPERIANOSIn N = 2,3026 log NEjemplo:Hallar logaritmo neperiano de 1000.PROCEDIMIENTO:In 1 000 = 2,3026 log 1 000= 2,3026 log 103= 2,3026 . 3In 1 000 = 6,9078CONVERSIÓN DE LOGARITMOS NEPERIANOSA DECIMALESlog N = 0,4343 In NEjemplo:Hallar el logaritmo decimal de 16, si:In 4 = 1,38629PROCEDIMIENTO:log 16 = 0,4343 In 16 = 0,4343 In 42= 0,4343 . 2 In 4= 0,4343 . 2 . 1,38629log 16 = 1,2041INTERÉS COMPUESTO YANUALIDADESEL INTERÉS COMPUESTOEs un mecanismo mediante el cual las ganancias se vansumando al capital, generalmente cada año, para for-mar parte del capital. produciendo nuevos intereses.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 105 -M = C (1 + r)tDonde:M = Monto = C + 1 = Capital + InteresC = Capital inicial impuesto.Rr = ––– = interés producido por 1 unidad mone-100 taria en 1 año.R = Interés producido por 100 u.m. en 1 año.t = Tiempo impuesto al capital, en años.INTERÉS COMPUESTO:I = C [(1 + r)t- 1]Se denomina ANUALIDAD a la cantidad fija que seentrega o impone todos los años para formar un ca-pital (anualidad de capitalización) o para amortizaruna deuda (anualidad de amortización).ANUALIDAD DE CAPITALIZACIÓN (AC)Es la cantidad fija que se impone al principio de cadaaño al “r” por uno de interés compuesto para formarun capital “C” en un tiempo “t”.C . rAc= –––––––––(1 + r)t- 1ANULADIDAD DE AMORTIZACIÓN (Aa)Es la cantidad fija que se impone al final de cada añoal “r” por uno de interés compuesto para amortizaruna deuda “C” y los intereses que ocasiona, a interéscompuesto, en un tiempo “t”.C . r (1 + r)tAa= –––––––––––(1 + r)t- 1www.elsolucionario.net
    • - 106 -GEOMETRÍAGEOMETRÍADEFINICIÓNEs la parte de la Matemática Elemental que trata delas propiedades y medidas de la extensión. LaGeometría parte de ciertos conceptos primitivosdados intuitivamente, tales como: punto, recta yplano. Se divide en GEOMETRÍA PLANA YGEOMETRÍA DEL ESPACIO.GEOMETRÍA PLANAÁNGULOSTEOREMAS BÁSICOS1) La suma de los ángulos consecutivos formadosalrededor de un punto y a un mismo lado de unarecta es 180°.Punto O: α + β + δ + θ = 180°CB Dβ δα θA E02) En todo triángulo, la suma de los ángulos internoses igual a 180°.∆ ˆAˆB ˆC: ˆA + ˆB + ˆC = 180°BA C3) En un triángulo cualquiera, el ángulo exterior esigual a la suma de los ángulos interiores no adya-centes con él.∆ ABC: α = ˆA + ˆBBαACTEOREMAS AUXILIARESTEOREMA 1.-En todo cuadrilátero cóncavo, el ángulo exteriorconvexo, es igual a la suma de los ángulos inte-riores convexos:∆ ABCD: A ˆDC = ˆA + ˆB + ˆCBDA CTEOREMA 2.-El ángulo formado por dos bisectrices interioresde un triángulo, es igual a noventa grados más lamitad del tercer ángulo:www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 107 -ˆB∆ ABC: A ˆDC = 90° + –––2BDA CTEOREMA 3.-El ángulo formado por dos bisectrices exterioresde un triángulo es igual a noventa grados, menosla mitad del tercer ángulo.ˆAδ = 90° - –––2DαδBαβ βACTEOREMA 4.-El ángulo formado por una bisectriz interior yuna bisectriz exterior de un triángulo es igual a lamitad del tercer ángulo.ˆBδ = –––2DB δβα βαACVALOR DE LOS ÁNGULOSEN LA CIRCUNFERENCIASean los ángulos “α”:ÁNGULO CENTRALO )α = ACR RαA CÁNGULO INSCRITOBα C )ACOα = –––2AÁNGULO INTERIORB C) )AD + BCα α = ––––––––2Α DÁNGULO EXTERIORBαA) )O C AD - BCα = ––––––––2DÁNGULO SEMI-INSCRITOB)ABα α = –––O2CA tangenteÁNGULO EXINSCRITOBparte de secanteD αO )ABDα = –––––2Awww.elsolucionario.net
    • - 108 -DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA“Es la longitud de la perpendicular trazada desde elpunto a la recta”.AX X’BAB: distancia de “A” a XX´TRIÁNGULOSLÍNEAS PRINCIPALES DEL TRIÁNGULOSon cuatro las líneas principales: Altura, Mediana,Mediatriz y Bisectriz.1) ALTURAEs la distancia de un vértice al lado opuesto o a suprolongación. Las ALTURAS se cortan en unpunto llamado ORTOCENTRO.Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro esinterior; si es obtusángulo es exterior; pero si esrectángulo, es el punto de intersección de loscatetos.BE FortocentroA D CAEh1F CBh h2DO ortocentroBortocentrohA CHTRIÁNGULO ÓRTICO O PEDALEs el triángulo cuyos vértices son los pies de lasalturas de un triángulo dado.BPNα βOδA CMα , β y δ : ángulos del triángulo órtico.“O” es el incentro del triángulo órtico.∆ MNP: órtico o pedalDonde se cumple:α = 180° - 2Cβ = 180° - 2Aδ = 180° - 2BNOTA.-En el triángulo rectángulo no se puede formarel triángulo órtico.2)MEDIANAEs el segmento que une un vértice con el puntomedio del lado opuesto.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 109 -Bc a–– ––2 22c a–– ––2 2BaricentroO1A Cb D b–– ––2 2Las MEDIANAS se intersectan en un punto llama-do BARICENTRO o CENTRO DE GRAVEDAD deltriángulo, este punto tiene la propiedad de dividira cada una de las medianas en la relación de dos esa uno. Por consiguiente, se cumple que:OB 2 2 1–––– = –– OB = –– BD OD = –– BDOD 1 3 3TEOREMA.- En todo triángulo rectángulo, la me-diana relativa a la hipotenusa es igual a la mitadde esa hipotenusa.AC hDB = ––– = ––2 2BMedianaA Ch D h–– ––2 23) MEDIATRIZEs la perpendicular trazada desde el punto mediodel lado de un triángulo. Las MEDIATRICES secortan en un punto llamado CIRCUNCENTROpor ser el centro de la circunferencia circunscritaal triángulo.Cuando el triángulo es acutángulo, el CIRCUN-CENTRO es interior, si es obtusángulo es exteri-or, pero si es rectángulo, es el punto medio de lahipotenusa.B BA COO CABO: CIRCUNCENTROS A CO4) BISECTRIZEs la recta que divide a un ángulo en dos ángulosparciales iguales. Las BISECTRICES de un trián-gulo se cortan en un punto “O” llamado INCEN-TRO por ser el centro de la circunferencia inscri-ta en el triángulo.BIncentroOA CEXCENTRO.- Es el punto “O” de intersección deuna bisectriz interior con dos bisectrices exterio-res relativas a los otros dos ángulos de un trián-gulo.El excentro es el centro de la circunferencia exin-scrita al triángulo.BExcentroOA Cwww.elsolucionario.net
    • - 110 -NOTNOTAASOBRE LA SITUACIÓN DE ALGUNOSPUNTOS.LA RECTA DE EULER.1.- EL CIRCUNCENTRO equidista de los vér-tices del triángulo.2.- EL INCENTRO equidista de los lados deltriángulo.3.- El EXCENTRO equidista de los lados deltriángulo.RECTA DE EULER.-En todo triángulo, excepto en el equilátero, el“ortocentro”, el “baricentro” y el “circuncen-tro” están situados en línea recta (recta deEuler) y la distancia del ortocentro al baricen-tro es el doble de la distancia del baricentro alcircuncentro.OBC: recta de EulerN OB = 2BCO: OrtocentroB: BaricentroC: CircuncentroBO CMPIGUALDAD DE TRIÁNGULOSPara determinar la igualdad de dos triángulos, bas-tará establecer la igualdad de tres elementos, a condi-ción de incluir en ellos, por lo menos un lado. Si estaúltima cláusula no se cumple, se llegará sólo a lasemejanza de triángulos.1er. Caso.- Dos triángulos son iguales cuandotienen dos lados respectivamente iguales y elángulo comprendido entre éstos es igual.2do. Caso.- Dos triángulos son iguales cuandotienen un lado igual y los ángulos adyacentes aestos, respectivamente iguales.3er. Caso.- Dos triángulos son iguales cuandotienen sus tres lados respectivamente iguales.TEOREMAS DERIVADOS DE LA IGUALDAD DETRIÁNGULOSEn virtud de la igualdad de triángulos, se demuestralos siguientes teoremas:TEOREMA 1.-Si por el punto medio del lado de un triángulo, setraza una paralela a otro lado, dicha paralelapasará por el punto medio del tercer lado y sulongitud será igual a la mitad del lado al que esparalelo.Si M = punto medio de AB yMN // AC ⇒ N = punto medio de BCBM NA CACMN = ––––2TEOREMA 2.-El “baricentro” o “Centro de Gravedad” de untriángulo divide a cada una de las medianas en larelación dos es a uno.BE FC.G.OA CDwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 111 -OA OB OC 2∆ ABC: ––– = ––– = ––– = ––OF OD OE 1TEOREMA 3.-En cualquier trapecio, la mediana es igual a lasemisuma de las bases; y el segmento que une lospuntos medios de las diagonales es igual a lasemidiferencia de las bases.A BM NE FD CDC + ABMN = ––––––––2DC - ABEF = ––––––––2SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSDos triángulos son semejantes cuando tienen susángulos respectivamente iguales, y sus elementoshomólogos son proporcionales.Se llama elementos homólogos a a quellos que se opo-nen a ángulos iguales, comparando ambos triángulos.Los casos generales de semejanza de triángulos son:1er. Caso.- Cuando tienen sus 3 ángulos iguales.2do. Caso.- Cuando tienen un ángulo igual, com-prendido entre lados proporcionales.3er. Caso.- Cuando tienen sus lados respectiva-mente proporcionales.TEOREMAS DERIVADOS DE LA SEMEJANZA DETRIÁNGULOSTEOREMA DE THALESToda recta, paralela al lado de un triángulo y quecorta a los otros dos lados, determina un triánguloparcial, semejante al total y recíprocamente.Si: MN // ACB⇒ ∆ ABC ∼ ∆ MBNM NA CLuego:AB BC AC––– = ––– = –––BM BN MNTEOREMA DE MENELAOToda recta que corta a los tres lados de un triángulodetermina en estos, seis segmentos; siendo el pro-ducto de tres de ellos no consecutivos igual al pro-ducto de los otros tres.BFEA DC∆ ABC: AF . BE . CD = BF . CE . ADFD: recta que corta a los tres lados.TEOREMA DE CEVALas rectas que pasan por los vértices de un triánguloy son concurrentes, determinan en los lados de éste,seis segmentos; siendo el producto de tres de ellos noconsecutivos igual al producto de los otros tres.BD EA CF∆ ABC: AD. BE . CF = BD . CE . AFwww.elsolucionario.net
    • - 112 -RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULORECTÁNGULOEn cualquier triángulo rectángulo, se cumple lassiguientes propiedades:1° La altura relativa a la hipotenusa, es media pro-porcional entre los segmentos que determinasobre ésta.2° Cada cateto es media proporcional entre lahipotenusa y su proyección sobre ésta.3° La suma de los cuadrados de los catetos, es igualal cuadrado de la hipotenusa; es el teorema dePitágoras.4° El producto de los catetos es igual al producto dela hipotenusa por la altura relativa a ésta.Bc ahA Cm H nb1° h2= mn2° a2= bnc2= bm3° a2+ c2= b24º ac = bhTEOREMA.-En todo triángulo rectángulo, la inversa delcuadrado de la altura relativa a la hipotenusa esigual a la suma de las inversas de los cuadrados delos catetos.Bc ahA CHb1 1 1–– = –– + ––h2a2c2RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULOOBLICUÁNGULO1er caso.- En todo triángulo acutángulo, el cua-drado del lado que se opone a un ángulo agudo esigual a la suma de los cuadrados de los otros dos,menos el doble producto de uno de éstos por laproyecciòn del otro sobre el que se ha tomado.Bc aA Cp H mb∆ ABC: a2= b2+ c2- 2bp∆ ABC: c2= a2+ b2- 2bm2do. Caso.- En todo triángulo obtusángulo, elcuadrado del lado que se opone al ángulo obtusoes igual a la suma de los cuadrados de los otrosdos más el doble producto de unos de éstos por laproyección del otro sobre el que se ha tomado.BacH p A b C∆ ABC: a2= b2+ c2+ 2bpTEOREMA.-Conocidos los tres lados de un triángulo: a, b y csiendo “a” el lado mayor, el triángulo será rectángu-lo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente, si:www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 113 -1) a2= b2+ c2∆ rectángulo2) a2< b2+ c2∆ acutángulo3) a2> b2+ c2∆ obtusánguloRELACIÓN DE LADOS CON LA MEDIANAEn un triángulo cualquiera, la suma de los cuadra-dos de los lados que concurren en el vértice de don-de parte la mediana, es igual al doble del cuadradode dicha mediana, más la mitad del cuadrado deltercer lado.Bc aA Cb M b__ __2 2–––2 b2∆ ABC: a2+ c2= 2BM + ––2TEOREMA AUXILIAR.-En un triángulo, la diferencia de los cuadrados de loslados que concurren en el vértice de donde parte lamediana, es igual al doble producto del tercer ladopor la proyección de la mediana sobre éste.Bc aA CHp Mb b__ __2 2∆ ABC: a2– c2= 2bpTEOREMA.-En todo triángulo, la suma de los cuadrados de lastres medianas es igual a tres cuartos de la suma delos cuadrados de los lados.BE FA CD∆ ABC:3AF2+ BD2+ CE2= –– (AB2+ BC2+AC2)4RELACIÓN DE LADOS CON ÁNGULOS : 30º,60º, 45º1.- En todo triángulo rectángulo de ángulos 30º y60º, se cumple:a.- El cateto que se opone a 30º es igual a la mitadde la hipotenusa.b.- El cateto que se opone a 60º es igual a la mitadde la hipotenusa por la raíz cuadrada de 3.∆ ABC: 30º - 60º - 90ºA60º30ºB CACa) AB = –––2__AC√3b) BC = ––––––22.- En todo triángulo rectángulo isósceles, cada cate-to es igual a la mitad de la hipotenusa por la raízcuadrada de 2.A45ºB45ºCwww.elsolucionario.net
    • - 114 -∆ ABC: 45º - 45º - 90º__AC √ 2AB = BC = –––––––23.- En un triángulo rectángulo de ángulos 15º y 75º,la altura relativa a la hipotenusa es la cuarta partede dicha hipotenusa.∆ ABC: 15º - 75º - 90ºBc ah75º 15ºA Cbbh = ––4NOTA.-Cuando se tenga ángulos de 120º, 135º o 150º,es preferible trabajar con el suplemento: 60º,45º o 30º; de modo que éste sea el ángulo deun triángulo rectángulo convenientementeconstruido, al cual se le aplica los teoremasvistos anteriormente, así:∆ BEC: 30º - 60º - 90ºE60º 30ºB C120ºARELACIÓN DE LADOS CON SEGMENTOSDETERMINADOS POR LA BISECTRIZ1er. Caso: BISECTRIZ INTERIOREn un triángulo cualquiera, la bisectriz interiordetermina en el lado opuesto, segmentos propor-cionales a los lados que forman el vértice de dondeparte dicha bisectriz.Bα αc aA Cm nDc m∆ ABC: –– = ––a n2do. Caso: BISECTRIZ EXTERIORLa bisectriz exterior de un triángulo, determina en ellado opuesto, segementos proporcionales a los ladosque forman el vértice de donde parte esa bisectriz.c m∆ ABC: –– = ––a nBααc aA DC nmRELACIÓN DE LADOS CON BISECTRIZ1er. Caso: En un triángulo cualquiera, la bisectrizinterior elevada al cuadrado, es igual al productode los lados que forman el vértice de donde partedicha bisectriz, menos el producto de los segmen-tos determinados por esa bisectriz en el tercer lado.Bα αc am nA CDb___2∆ ABC: BD = a . c – m . n2do. Caso.- En todo triángulo, la bisectriz exteri-or elevada al cuadrado, es igual al producto de lossegmentos determinados por dicha bisectriz en ellado opuesto menos el producto de los lados queforman el vértice de donde parte esa bisectriz.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 115 -Bααc aA Db C nm___2∆ ABC: BD = m . n - a . cRELACIÓN DE LADOS EN DESIGUALDADEn un triángulo, debe cumplirse que un lado esmenor que la suma de los otros dos lados pero mayorque su diferencia.Bc aA Cb∆ ABC: b - c < a < b + cTEOREMA.-Toda línea poligonal envuelta es menor que lalínea poligonal envolvente que tiene los mismosextremos que aquella.CDBG FA EAG + GF + FE < AB + BC + CD + DEEnvuelta < EnvolventeCIRCUNFERENCIACircunferencia es una curva plana, cerrada, cuyospuntos son todos equidistantes de otro que se llamacentro, situado en el mismo plano. Más formalmente,es el lugar Geométrico de todos los puntos queequidistan de otro punto llamado centro.POSICIONES RELATIVAS DE DOSCIRCUNFERENCIASLas posiciones relativas de dos circunferencias son:Exteriores, Interiores, Tangentes (exteriores e inte-riores), Secantes y Concéntricas.EXTERIORESR rOO’ > R + rO O’INTERIORESOO’ < R - rO O’TANGENTES EXTERIORESR rOO’ = R + rO O’TANGENTES INTERIORESOO’ = R - rO O’SECANTESAO O’ R - r < OO’ < R + rR rAdemás:MB AB = cuerda comúnAB ⊥ OO’AM = BMCONCENTRICASOO’ rOO’ = ceroRwww.elsolucionario.net
    • - 116 -CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALESSon dos circunferencias secantes cuyos radios sonperpendiculares entre sí en los puntos de intersección.AO O’ R ^ rR rBCUADRILÁTERO INSCRITO A UNACIRCUNFERENCIAEs todo cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a lacircunferencia y se cumple que los ángulos opuestosson suplementarios.CBOADABCD: ˆB + ˆD = 180ºˆA + ˆC = 180ºCUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE A UNACIRCUNFERENCIAEs aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a unacircunferencia, si y sólo si su ángulos opuestos sonsuplementarios.Por ejemplo: El cuadrado y el rectángulo.CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO A UNACIRCUNFERENCIAEs todo cuadrilátero cuyos lados son tangentes a lacircunferencia. En estos cuadriláteros se cumple quela suma de los lados opuestos son iguales.B COA DABCD: AB + CD = BC + ADCUADRILÁTERO CIRCUNSCRIPTIBLE AUNA CIRCUNFERENCIAEs el cuadrilátero cuyos lados pueden ser tangentes ala circunferencia, sólo será posible si la suma de loslados opuestos son iguales.Por ejemplo: El cuadrado y el rombo son circun-scriptibles.PROPIEDADES DE LAS TANGENTESTEOREMA 1.-Las tangentes trazadas desde un punto exterior auna circunferencia, son iguales.BO ACAB = ACTEOREMA 2.-Las tangentes comunes interiores a dos circunfer-encias, son iguales.ADO O’BCAB = CDTEOREMA 3.-Las tangentes comunes exteriores a dos circunfer-encias, son iguales.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 117 -ABO O’CDAB = CDTEOREMAS FUNDAMENTALES EN LACIRCUNFERENCIATEOREMA 1.-En todo triángulo rectángulo, la suma de los cate-tos es igual a la suma de la hipotenusa más eldiámetro de la circunferencia inscrita al triángulo.Bc arA Cb∆ ABC: a + c = b + 2rTEOREMA 2.-En todo triángulo, el producto de dos lados esigual al producto de la altura relativa al terceropor el diámetro de la circunferencia circunscrita.Bc ahO RA CH∆ ABC: a . c = h . 2RTEOREMA 3.-El triángulo exinscrito a una circunferencia, tienepor perímetro el doble de una de las tangentes delos lados prolongados, excepto el lado tangente.EBOA C D∆ ABC: 2p = 2AE = 2ADo: p = AE = ADdonde: 2p = perímetrop = semiperímetroLÍNEAS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULOSe presentan tres propiedades o teoremas:TEOREMA 1.-Si dos cuerdas se cortan dentro de un círculo, elproducto de los dos segmentos de una, es igual alproducto de los dos segmentos de la otra.BCODAPunto E: AE . EB = CE . DETEOREMA 2.-Si desde un punto exterior a un círculo se traza aél una secante y una tangente, la tangente esmedia proporcional entre la secante y su parteexterna.Punto A: AB2= AD . ACB AOCDwww.elsolucionario.net
    • - 118 -TEOREMA 3.-Si desde un punto exterior a un círculo, se trazados o más secantes, el producto de una de ellas ysu parte externa es igual al producto de la otra ysu parte externa.C BAOEDPunto A: AC . AB = AD . AEPOTENCIA DE UN PUNTOSe define potencia de un punto, con relación a unacircunferencia de centro O, a cualquiera de las sigu-ientes afirmaciones:1.- Al cuadrado de la tangente trazada desde esepunto.BAO___2Potencia A(0)= AB2.- El producto de la secante (trazada desde esepunto) y su parte externa.BC AOPotencia A(0)= AC . AB3.- Al producto de los segmentos en que dicho puntodivide a una cuerda.EA BOPotencia E(0)= AE . BELa forma general de potencia se expresa en fun-ción de la distancia “d” del punto al centro y delradio “r” de la circunferencia.OrB ACdPotencia A(0)= d2- r2OBSERVACIONES SOBRE LA POTENCIADE UN PUNTO1.- Cuando el punto es exterior, su potencia espositiva, ya que: d > r.2.- Cuando el punto es interno, su potencia esnegativa, ya que: d < r.3.- Cuando el punto está en la circunferencia,su potencia es nula, porque: d = r.LUGAR GEOMÉTRICOLugar geométrico es un sistema de puntos o conjun-tos de puntos que tienen una misma propiedad.La mediatriz de un segmento de recta, la bisectriz deun ángulo convexo, la circunferencia, etc., son casosde lugares geométricos.EJE RADICALEs el lugar geométrico de los puntos que tiene igualpotencia con relación a dos circunferencias dadas.El eje radical es una línea recta perpendicular a lalínea que une los centros.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 119 -POSICIONES DEL EJE RADICALCuando las circunferencias son:SECANTESAO O’BE.R. cuerda común ABTANGENTES EXTERIORMENTEE.R.T.C.O O’E.R. tangente comúnTANGENTES INTERIORMENTEE.R.O O’E.R. tangente comúnEXTERIORESE.R.T.C.O O’INTERIORESE.R.O O’Nótese que si las circunferencias son concéntri-cas, no hay eje radical.PROPIEDADES DEL EJE RADICAL1º El eje radical de dos circunferencias exteriores estámás cerca al centro de la menor que al de la mayor.2º El eje radical de dos circunferencias es el LugarGeométrico de los puntos, desde el cual se puedetrazar a las dos circunferencias, tangentes iguales.3º El eje radical de dos circunferencias pasa por lospuntos medios de las tangentes comunes.OBSERVACIÓN:En las propiedades 2º y 3º, hay que considerar las posi-ciones de las dos circunferencias, a las cuales se lespuede trazar tangentes comunes inferiores o exteriores.CENTRO RADICALEs el punto de intersección de los ejes radicales detres circunferencias, tomadas de dos en dos. Los cen-tros de las circunferencias no están en línea recta.P = Centro Radicale3O O’Pe1e2O”El centro radical, es el punto desde el cual sepuede trazar a las tres circunferencias, tangentesiguales entre sí, y es el centro de circunferenciaortogonal a los tres.No se cumple si las tres son secantes, entre otrasposibilidades.MEDIA Y EXTREMA RAZÓN DE UN SEGMENTOO SECCIÓN AÚREAUn segmento está dividido en media y extrema razón,por un punto, si la parte mayor es media proporcionalentre la parte menor y el segmento total. Es decir:www.elsolucionario.net
    • - 120 -AB2= AC . BCA B CA la parte AB, se le llama sección áurea o seg-mento áureo, cuyo valor es:__AC (√5 - 1 )AB = ––––––––––––2El número áureo es:__√5 - 1n = ––––––2⇒ AB = AC . nDIVISIÓN ARMÓNICA DE UN SEGMENTOSe dice que un segmento “AB” está dividido armóni-camente por dos puntos (C y D) tal que uno “C” lepertenece y otro “D” está en su prolongación, si secumple que:AB AD––– = –––BC BDA B C DA los puntos: A, B, C y D se les llama: “cuaternaarmónica”; siendo C y D los conjugados armóni-cos de A y B.HAZ ARMÓNICOEs todo sistema de cuatro rectas concurrentes quepasan por una cuaterna armónica.OA, OM, OB, ON: rayos del haz.OM y ON: rayos conjugados respecto de OA yOB, recíprocamente.OA NM BTEOREMA.-Los pies de las bisectrices interior y exterior deun triángulo son los conjugados armónicos de losvértices del lado respectivo.Se cumple:AD AE––– = –––DC CEB ααβ βA ED CPOLÍGONOSDEFINICIÓN Y CONCEPTOSSon las figuras geométricas formadas por un conjun-to de segmentos de recta uno a continuación de otro,en un mismo plano, llamados lados que cierran una“región” o área. El punto común de dos segmentosconsecutivos se llama vértice.Los polígonos pueden ser: regulares e irregulares.Son regulares aquellos que tienen sus ángulosiguales, lados iguales y son siempre inscriptiblesy circuncriptibles a una circunferencia.Los irregulares, no cumplen estas condiciones.ELEMENTOS DE LOS POLÍGONOSREGULARES360ºαn= ––––nSi= 180º (n - 2)180º (n - 2)ˆi = ––––––––––nn (n - 2)ND= –––––––2SE= 360ºwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 121 -BLnLn/2HRApA CαnR ROrˆiE DO = centro de la circunferencias inscrita y cir-cunscrita.αn= ángulo centraln = número de ladosSi= suma de ángulos internosi = ángulos interiorLn= longitud del lado del polígonoND= número total de diagonalesR = radio de la circunferencia circunscritar = radio de la circunferencia inscrita = ApSE= suma de ángulos exterioresAp = apotema = rn-2 = número de triángulos que se pueden trazardesde un solo vértice.n-3 = número de diagonales que se puede trazardesde un solo vértice.CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LOSPOLÍGONOS IRREGULARESSi= 180º (n - 2)SE= 360ºn (n - 3)ND= ––––––––2VALOR DE LOS ELEMENTOS DE LOSPOLÍGONOS REGULARESAngulos centrales, lados, apotemas y áreas de lospolígonos regulares en función del radio de la cir-cunferencia circunscrita.TRIÁNGULO EQUILATERO:BlαORA P Cα = 120º__l = R√3RAp = ––2__3R2√3S = ––––––4CUADRADO:A l BRO αApD P Cα = 90º__l = R√2__R√2Ap = –––––2S = 2R2www.elsolucionario.net
    • - 122 -PENTÁGONO:BlA CαOPE Dα = 72º___________R√ 10 - 2√5l = ––––––––––––2___________R√ 6 + 2√5Ap = ––––––––––––4____________5R2√ 10 + 2√5S = –––––––––––––––8EXÁGONOB CRαA O DPF Eα = 60ºl = R__R√3Ap = –––––2__3R2√3S = –––––––2OCTÁGONOBA CαH O DPG EFα = 45º__________l = R√2 - √2__________R√2 + √2Ap = ––––––––––––2__S = 2R2√2DECÁGONOBA CJ DO αI EPH FGα = 36º__R (√5 - 1)l = –––––––––––2____________R√ 10 + 2√5Ap= ––––––––––––4____________5R2√ 10 - 2√5S = –––––––––––––––4www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 123 -DODECÁGONO:BA CL DαK O ERJ FPI GHα = 30º__________l = R√2 - √3__________R√2 + √3Ap = ––––––––––––2S = 3R2LEYENDA GENERAL:α = ángulo centrall = ladoAp = Apotema = OPS = superficie = áreaNOTAS.-1.- El lado del decágono regular, es la secciónáurea de un radio que se encuentra dividi-do en media y extrema razón.__R(√5 - 1 )l10= ––––––––––22.- El lado del pentágono regular es la hipote-nusa de un triángulo rectángulo, cuyos ca-tetos son el lado del exágono regular y ellado del decágono regular._______∆ ABC: l5= √l2+ l26 103.- El área de un polígono regular se puedecalcular así:Sn= pn. ApnDonde: “pn”, el semiperímetro y “Apn” laapotema, del polígono de “n” lados.CONCLUSIONES SOBRE LOS POLÍGONOSREGULARES1º El ángulo exterior de un polígono regular y elángulo central son iguales.2º El ángulo interior de un polígono regular y elángulo central son suplementarios.3º De dos o más polìgonos regulares, el que tienemás lados, posee menor ángulo central.4º Un triángulo isósceles puede ser el elemento deun polígono regular, siempre que su ángulo desi-gual sea un divisor de 360º; siendo el cociente ob-tenido el número de lados del polígono.En ese triángulo se cumplirá:a.- El ángulo desigual es el ángulo central delpolígono.b.- El vértice del ángulo desigual es el centro dela circunferencia circunscrita al polígono.c.- Los lados iguales son los radios de la circun-ferencia circunscrita al polígono.d.- La altura relativa a la base es el apotema delpolígono.e.- La base o lado desigual es el lado del polígonoregular.BαR RApnA H CLnwww.elsolucionario.net
    • - 124 -ÁREA DE LAS REGIONES PLANASREGIÓNEs un espacio plano llamado “área” limitado por seg-mentos rectilíneos llamados “lados”.ÁREA DE TRIÁNGULOSFÓRMULA BÁSICAB b . hS = –––––2hA CbTRIÁNGULO EQUILATERO:B__l2. √3S = ––––––l l 4A ClEN FUNCIÓN DEL SEMIPERÍMETRO “p”:Bc aA Cb_________________S = √p(p - a)(p - b)(p - c)a + b + cDonde: p = ––––––––2EN FUNCIÓN DE RADIO INSCRITO “r”:B S = p . rc arA Cba + b + cDonde: p = ––––––––2EN FUNCIÓN DEL RADIOCIRCUNSCRITO “R”:BaO R a . b . cc C S = –––––––4RbAEN FUNCIÓN DEL RADIOEXINSCRITO “R”S = R (p - AC)AORC BEN FUNCIÓN DE LOS RADIOS INSCRITO“r” Y EX-INSCRITOS_______S = √rR1R2R3BR3R1OrA CR2LEYENDA:S = superficie o áreaB = base (un lado)H = alturaL = ladoP = semiperímetro2p = perímetroR = radio del círculo circunscritor = radio del círculo inscritoa, b, c = lados del triángulowww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 125 -RELACIÓN DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS1.- Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas sonentre sí como las bases respectivas.S ∆ ABC AC––––––––––– = –––S ∆ DEF DEB FhA EC D2.- Si dos triángulos son semejantes, sus áreas sonentre sí como los cuadrados de sus elementoshomólogos.S ∆ ABC a2b2c2––––––––– = ––– = ––– = –––S ∆ DEF d2e2f2B Ef dc aD FeA Cb3.- Si dos triángulos tienen un ángulo igual (común)o suplementario, sus áreas son entre sí como losproductos de los lados que forman ese ánguloigual (común) o suplementario.S ∆ ABC AB . AC––––––––– = –––––––S ∆ MBN BM . BNB CMMNα βA C A B NTEOREMA.-El área del triángulo cuyos lados son medianas deun triángulo dado, es igual a los tres cuartos deárea del triángulo dado.3S ∆ MNP = –– S ∆ ABC4NB yzzMy xxPA CPROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS1º TEOREMA DE EULEREn todo cuadrilátero, la suma de los cuadrados desus lados es igual a la suma de los cuadrados desus diagonales, más cuatro veces el cuadrado delsegmento que une los puntos medios de las diago-nales.a2+ b2+ c2+ d2= d2+ d2+ 4MN21 2CbBca M Nd1d2A Dd2º TEOREMA DE PTOLOMEO (1)En todo ccuadrilátero inscrito o inscriptible a unacircunferencia, la suma de los productos de los ladosopuestos es igual al producto de las diagonales.B CAB . CD + BC . AD = AC . BDA D3º TEOREMA DE PTOLOMEO (2)En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible a unacircunferencia, las diagonales son entre sí, como lasuma de los productos de los lados que concurrenen los vértices que forman las respectivas diago-nales.B CAC AB . AD + BC . CD––– = –––––––––––––––––BD AB . BC + AD . CDA Dwww.elsolucionario.net
    • - 126 -4º En todo cuadrilátero, si se une consecutivamentelos puntos medios de los lados del cuadrilátero,se formará siempre un paralelogramo cuya área esla mitad del área del cuadrilátero.S ABCDS MNPQ = –––––––––––2CNBM PA DQ5º En todo trapecio, si se une el punto de un lado noparalelo, con los vértices del otro lado no parale-lo, se formará un triángulo cuya área es la mitaddel área del trapecio.S ABCDS ∆ CMD = –––––––––––2B CMA DSEMEJANZA DE POLÍGONOSPara que dos polígonos del mismo número de ladossean semejantes, debe cumplirse dos condiciones:1.- Que tengan sus ángulos respectivamente iguales.2.- Que se les pueda descomponer en el mismo nú-mero de triángulos semejantes.Satisfechas estas condiciones de semejanza, las rela-ciones métricas de dos polígonos semejantes son:B b Cβa cSα δA d DB1b1C1βa1c1S1α δA1d1D1(1) Los elementos homólogos son proporcionales.a b c d AC–– = –– = –– = –– = –––––a1b1c1d1A1C1(2) Las áreas son entre sí, como los cuadrados delos elementos homólogos.S a2b2c2d2–– = –– = –– = –– = ––S a2b2c2d21 1 1 1 1ÁREAS DE LAS REGIONES CURVASCÍRCULO:S = πR2R πD2O A S = ––––s 4D = diámetroSECTOR CIRCULAR:απR2A SsecAOB= ––––360ºO α SB α = ángulo centralSEGMENTO CIRCULAR:Sseg= SsecAOB- S ∆ AOBOR RA BSwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 127 -CORONA CIRCULAR:rS O A S = π (R2- r2)Rπ (D2- d2)S = –––––––––B 4D = diámetro exteriord = diámetro interiorTRAPECIO CIRCULARS πR2α πr2αR S = ––––– - –––––α 360º 360ºrO πα(R2- r2)S = ––––––––––360ºLEYENDA:S = superficie o áreaS ∆ = superficie o área del triánguloS = superficie o área del cuadriláteroR = radio exteriorr = radio interiorD = diámetro exteriord = diámetro interiorSsec= superficie o área del sector circularSseg= superficie o área del segmento circularGEOMETRÍA DEL ESPACIOTEOREMAS FUNDAMENTALESÁNGULO TRIEDROO simplemente TRIEDRO, es un ángulo poliedro detres caras. Sus elementos son:* Tres caras o planos:ASB = a ; BSC = b ; ASC = c* Tres diedros o aristas:SA ; SB: SC ( o simplemente A; B; C)* Un vértice:El punto “S” donde concurren las tres caras o lastres aristas.TEOREMA 1.-En todo triedro, una cara debe ser mayor que ladiferencia de las otras dos, pero menor que lasuma de las mismas.b – c < a < b + cTEOREMA 2.-En todo triedro, la suma de sus caras es mayorque cero grados, pero menor que cuatro rectos0 < a + b + c < 2 πEste teorema es aplicable también para todos losángulos poliedros distintos al triedro.TEOREMA 3.-En todo driedro, la suma de los ángulos diedros esmayor que dos rectos, pero menor que seis rectos.π < A + B + C < 3 πSa bc BA CPOLIEDROSPoliedro es un sólido limitado por planos, que al cor-tarse y limitarse determinan sus caras, sus aristas ysus vértices.www.elsolucionario.net
    • - 128 -TEOREMA DE EULERTEOREMA 1.-En todo poliedro, el número de aristas más dos, esigual al número de vértices más el número de caras.# A + 2 = # V + # CTEOREMA 2.-En todo poliedro, la suma de los ángulos forma-dos en los vértices por las aristas, es igual a tan-tas veces cuatro rectos, como número de vérticestiene el poliedro menos dos.S = 2 π ( # V – 2)POLIEDRO REGULAREs aquel cuyas caras son polígonos regulares igualesy cuyos ángulos poliedros son todos iguales.Los poliedros regulares son sólo cinco: Tetraedroregular, Exaedro regular o cubo, Octaedro regular,Dodecaedro regular e Icosaedro regular.1) TETRAEDRO REGULAREs el poliedro regular formado por cuatro carasiguales que son triángulos equiláteros unidos porlos vértices de tres en tres.2) EXAEDRO REGULAR O CUBOPoliedro regular formado por seis caras iguales,que son cuadradas, unidas por los vértices de tresen tres.3) OCTAEDRO REGULAREs el poliedro regular formado por ocho carasiguales que son triángulos equiláteros unidos porlos vértices de cuatro en cuatro.4) DODECAEDRO REGULAREs el poliedro regular formado por doce carasiguales que son pentágonos regulares, unidos porlos vértices de tres en tres.5) ICOSAEDRO REGULAREs el poliedro regular formado por veinte carasiguales que son triángulos equiláteros unidos porlos vértices de cinco en cinco.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 129 -PRISMAEs un poliedro, dos de cuyas caras son paralelas lla-madas bases (iguales) y cuyas otras caras son para-lelogramos (caras laterales).ALTURA DE UN PRISMAEs la longitud de la perpendicular común a lasbases.PRISMA RECTOEs aquel cuyas aristales laterales son perpendicu-lares a las bases.PRISMA OBLICUOEs aquel cuyas aristas son oblicuas a las bases.PRISMA REGULARUn prisma es regular cuando tienen polígonos regu-lares por bases y sus aristas laterales son perpen-diculares a las bases.SECCIÓN RECTA (SR)Es la sección determinada por un plano perpen-dicular a las aristas laterales.CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LOSPOLIEDROSPRISMA RECTOSL= 2p . hST= SL+ 2SbV = Sb. hV = Sb. arista lateralBA ChFSbE DPRISMA OBLICUOSL= 2pSR. arista lateralST= SpL+ 25bV = Sb. hV = SSR. arista lateralCA BNMSR hPFSbE DPARALELEPIPEDO RECTÁNGULAREs todo paralelepípedo recto cuyas bases son rec-tángulares.SL= 2xy + 2xzST= 2xy + 2xz + 2yzV = xyz___________d = √x2+ y2+ z2www.elsolucionario.net
    • - 130 -dzyxCUBOadaaSL= 4a2ST= 6a2V = a3__d = a√3TRONCO DE PRISMAEs la parte de un prisma comprendida entre una basey un plano no paralelo a las bases.TRONCO DE UN PRISMA RECTOEs aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares ala base principal y sus caras laterales son trapeciosrectángulares, siendo sus bases polìgonos cua-lesquiera y desiguales.BCbS1aDc FA SbESL= Suma de áreas de caras lateralesST= SL+ Sb+ S1a + b + cV = Sb. ––––––––3TRONCO DE UN PRISMA OBLICUOEs aquel cuyas aristas laterales son oblícuas a lasbases, sus caras laterales son trapecios, sus basespolígonos cualesquiera y desiguales.CBS1h1h2DPMF SRh3S2 NEASL= Suma de caras lateralesST= SL+ S1+ S2AB + FC + EDV = SSR. ––––––––––––3h1+ h2+ h3V = S2. ––––––––––3PIRÁMIDEEs un poliedro en el que una de las caras, llamadabase, es un polígono cualquiera y las otras caras (lat-erales) son triángulos que tienen un vértice común.ALTURAEs la distancia del vértice de la pirámide, a la base.PIRÁMIDE REGULAREs aquella cuya base es un polígono regular y suscaras laterales son triángulos isósceles iguales.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 131 -La altura de una pirámide regular pasa por el centrode la circunferencia inscrita o circunscrita a la basede la pirámide.APOTEMA DE LA PIRÁMIDE REGULAREs la altura de los triángulos isósceles que forman suscaras laterales.AE Dh ApSbB CSL= p . ApST= SL+ SbSb. hV = –––––3PIRÁMIDE IRREGULAREs una pirámide cuya base es un polígono irregulary las caras laterales son triángulos desiguales.NOTA.-Si la pirámide es irregular, pero sus aristas lat-erales son iguales, la altura pasará por el cen-tro de la circunferencia circunscrita a la base.AEDH SbB CST= SL+ SbSb. hV = –––––3SEMEJANZA DE PIRÁMIDESSi se corta una pirámide cualquiera por un planoparalelo a la base se obtiene una pirámide pequeña,adyacente y semejante a la total, y recìprocamente,entonces:AV1h1F ES1hHB DSbC1.- Las áreas de sus bases son entre sí como loscuadrados de los elementos homólogos.S1h2AF2AH2FH2––– = ––– = –––– = –––– = ––––Sbh2AB2AC2BC22.- Sus volúmenes son entre sí, como los cubos desus elementos homólogos.V1h3AF3AH3––– = ––– = –––– = ––––V h3AB3AC3TRONCO DE PIRÁMIDEEs la parte de una pirámide comprendida entre labase y una sección determinada por un plano para-lelo o no a la base. Esta sección y la base son denom-inadas bases del tronco; siendo las caras laterales,trapecios.ALTURA DE UN TRONCO DE PIRÁMIDEEs la longitud de la perpendicular trazada de unabase a la otra.www.elsolucionario.net
    • - 132 -Los troncos de pirámides pueden ser regulares oirregulares.TRONCO DE PIRÁMIDE REGULARSe llama así, cuando sus bases son polígonos regu-lares y paralelos, y sus caras laterales son trapeciosisósceles e iguales.APOTEMA DEL TRONCO DE PIRÁMIDEREGULAREs la altura de los trapecios que forman las caras lat-erales y une los puntos medios de las bases de estostrapecios.S1Aph hMSbSL= Ap (p + p1)ST= SL+ S1+ Sb_____h(S1+ Sb+ √S1. Sb )V = ––––––––––––––––––3TRONCO DE PIRÁMIDE IRREGULARSus bases son paralelas, sus caras laterales sontrapecios cualesquiera.S1hhHSbST= SL+ S1+ Sb_____h(S1+ Sb+ √S1. Sb )V = ––––––––––––––––––3EL CONOSe llama cono a todo sólido limitado por una super-ficie cónica y por la sección del plano que corta atodas las generatrices de la superficie cónica, deter-minándose la base del cono.DEFINICIONESALTURA DE UN CONOEs la longitud de la perpendicular trazada desde elvértice del cono a su base.CONO CIRCULAREs el que tiene por base un círculo.CONO RECTOLlámese cono recto al cono circular cuyo eje es per-pendicular al círculo de la base en su centro. El eje deun cono recto se confunde con la altura.CONO DE REVOLUCIÓNLlámase cono de revolución, o recto, al que sesupone engendrado por la rotación de la hipotenusade un triángulo rectángulo alrededor de uno de suscatetos.Ah gRSbBOSL= π . R . g ST= SL+ Sbwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 133 -1 π . R2. hV = –– B . h V = ––––––––3 3CONO OBLICUOEs aquel cuya base es una elipse y cuyo eje no es per-pendicular a la base.helipseSb. hV = ––––––3o:π . a . b . hV = ––––––––––3ELIPSEa = radio mínimob = radio máximoS = πaba2ab2bSEMEJANZA DE CONOSSi se corta un cono cualesquiera por un plano para-lelo a su base, se obtiene un cono pequeño o defi-ciente semejante al total y recíprocamente, entonces:1.- Las áreas de las bases son entre sí como loscuadrados de los elementos homólogos.2.- Los volúmenes son entre sí como los cubos de suselementos homólogos.S1h2r2g21 1––– = ––– = ––– = –––Sbh2R2g2V1h3r3g31 1––– = ––– = ––– = –––V h3R3g3h1g1h r gS1RSbTRONCO DE CONOEs la parte de un cono comprendida entre la base yuna sección paralela o no a la base. A la sección y a labase del cono se les llama bases del tronco de cono.ALTURA DE UN TRONCO DE CONO RECTOEs la distancia entre sus bases. La altura pasa por loscentros de las bases.hgRSbwww.elsolucionario.net
    • - 134 -SL= π . g (R + r)ST= SL+ S1+ Sbπ . h(R2+ r2+ R . r)V = –––––––––––––––––3EL CILINDROLlámese cilindro a un sólido limitado por una super-ficie cilíndrica y dos superficies planas paralelas lla-madas bases.Los términos base, altura y área lateral son usadoscomo en los prismas.CILINDRO RECTOUn cilindro es recto cuando su generatriz es perpen-dicular a las bases.Pg = hRSbSL= 2π . R . gST= SL+ 2SbST= 2πR(g + R)V = π . R2. gCilindro recto o de revolución, es el que se con-sidera generado por la rotación de un rectánguloalrededor de unos de sus lados.CILINDRO OBLICUOCuando sus generatrices son oblícuas a las bases.Algunas veces sus bases son elipses y otras círculos.SL= 2π . r . gST= SL+ 2SbST= π . a . b . hV = π . r2. gabgSr hrSbTRONCO DE CILINDROEs la parte de un cilindro comprendida entre una sec-ción no paralela a la base del cilindro y una base de éste.TRONCO DE CILINDRO RECTOCuando sus generatrices son perpendiculares a unabase (principal) pero no a la otra.S1 S ElipseEjeg2g1SbRSL= 2π . R . EJEST= SL+ S1+ SbV = π . R2. EJEg1+ g2EJE = ––––––2www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 135 -TRONCO DE CILINDRO OBLICUOSi sus generatrices son oblícuas a las bases.S1REje g2g1SecciónRectaS2SL= 2π . R . EJEST= SL+ S1+ S2V = π . R2. EJEg1+ g2EJE = ––––––2LA ESFERAEs un sólido, limitado por una superficie curva, en lacual todos los puntos equidistan de un punto interi-or llamado centro.La mitad de una esfera se llama hemisferio o semi-esfera.CÍRCULO MÁXIMOEs el círculo que se obtiene al trazar un plano por elcentro de la esfera.SUPERFICIE Y VOLUMEN DE LA ESFERAS = 4π . R24π . R3V = ––––––3S = π . D2π . D3V = ––––––6DROPARTES DE ÁREA DE ESFERAEstas son: la zona y el huso esférico.1.- ZONALlámase zona esférica o zona simplemente, a laparte de la superficie de una esfera comprendidaentre dos circunferencias paralelas llamadasbases.La distancia entre las bases se llama altura de lazona.Se la considera generada por la rotación de unarco de circunferencia que gira alrededor de undiámetro.EjearcoR2RLa zona puede ser de una base y de dos bases. Ala de una base, se le llama también “casqueteesférico”.ZONA DE UNA BASE O CASQUETES = 2 π . R . ho:___S = π . AB2AhBRR = radio de esferaH = altura de la zonaAB = cuerda del arco generadorwww.elsolucionario.net
    • - 136 -ZONA DE DOS BASESSL= 2π . R . hh2.- HUSO ESFÉRICOLlamado también “lúnula”, es la parte de la su-perficie de una esfera limitada por las semicircun-ferencias de dos círculos máximos.π . R . αS = –––––––360ºO αRR = radio de la esferaα = ángulo del husoPARTES DE VOLUMENES DE UNA ESFERAEstas son: segmento esférico, cuña esférica, sectoresférico y anillo esférico1.- SEGMENTO ESFÉRICOEs la porción de esfera limitada por una zona ypor bases circulares.Hay de dos clases:segmento esférico de una base y segmento esféri-co de dos bases.a. SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASELimitado por un casquete y un círculo por base.hrST= SCASQUETE+ SCÍRCULOπ . h3π . r2. hV = –––– + ––––––––6 2h = altura de la zonar = radio de la base de la zonab.- SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASESEs parte del volumen de la esfera comprendi-da entre dos planos paralelos.r1O1hO2 r2ST= Szona de+ Scírculo1+ Scírculo2dos basesπ . h3 r2+ r21 2V = ––––– + π(––––––)h6 2h = altura de la zonar1, r2= radios de las bases.2. -CUÑA ESFÉRICAEs la parte de volumen de una esfera limitada porun huso y dos semicírculos máximos.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 137 -ARRBα . π . R2ST= πR2+ ––––––––90ºα . π . R3V = ––––––––270º3.- SECTOR ESFÉRICOEs la parte del volumen de esfera generado por un“sector circular” que gira alrededor de un eje quepasa por el centro, en dos posiciones:a.- Cuando el radio del sector circular coincidecon el eje de giro: está limitado por un cas-quete esférico y una superficie lateral cónica.BhA A’RROST= SCASQUETE+ SLCONO2π . R2. hV = –––––––––3h = altura del casqueteR = radio de la esferab.- Cuando el radio no coincide con el eje de giro:está limitado por una zona de dos bases yáreas laterales de dos conos.A A’RR hOB B’ST= Szona de+ SLCONO+ SLCONOdos bases 1 22π . R2. hV = –––––––––3h = altura de la zonaR = radio de la esfera4.- ANILLO ESFÉRICOEs el volumen generado por un segmento circularque gira alrededor de un eje que pasa por su cen-tro, en tres posiciones:a.- Cuando un extremo de la cuerda del segmen-to circular pertenece al eje; está limitada porun casquete esférico y el área lateral de uncono.BhA CST= SCasquete+ SLconoπ . AB2. hV = ––––––––––6AB = cuerda del segmento circularh = altura de la zona o casquetewww.elsolucionario.net
    • - 138 -b.- Cuando la cuerda del segmento circular no esparalela al eje de giro: está limitado por unazona de dos bases y el área lateral de un tron-co de cono.A DhB CST= Szona+ SLtronco___π . AB2. hV = –––––––––6AB = cuerda del segmento circularh = altura de la zona.c.- Cuando la cuerda del segmento circular es para-lela al eje del giro: está limitado por una zonade dos bases y el área lateral de un cilindro.A DhB CST= Szona+ SLcilindro___π . AB2. hV = –––––––––6___π . AB3V = ––––––6AB = cuerda del segmento circularh = altura de la zonaSÓLIDOS DE REVOLUCIÓNTEOREMA DE GULDIN PAPPUS (ÁREAS)“La superficie de un sólido de revolución es igual alperímetro (2p) de la figura móvil multiplicado por lalongitud (L) de la línea recorrida por el centro degravedad de la citada figura”.S = 2p . L2p = a + b + c + dL = longitud de la circunferencia descrita por elcentro de gravedad = 2πRbR ca GdTEOREMA DE GULDIN PAPPUS (VOLUMEN)“El volumen de un sólido de revolución es igual alárea (S) de la figura móvil, multiplicada por la longi-tud (L) de la línea recorrida por el centro degravedad del cuerpo”.V = S . LL = longitud de la línea descrita por el centro degravedad = 2 πRRGwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 139 -LEYENDA GENERALV = volumenp’ = semiperímetro de la base secundariaST= superficie o área totalS.R. = sección recta2p = perímetro de la base principalSb= superficie o área de la base principalh = alturag1, g2= generatricesSL= superficie o área lateralS2= superficie o área de la base secundariaSS.R.= superficie o área de la base rectap = semiperímetroR, r = radiosS1= superficie o área de la base secundariag = generatriceswww.elsolucionario.net
    • - 140 -TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍADEFINICIÓNEs aquella parte de la matemática elemental que estu-dia la medida de los tres ángulos de un triángulo enrelación con sus lados.MEDIDA DE ÁNGULOSSISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOSHay tres sistemas para medir los ángulos; Sexagesi-mal, Centesimal y Radial.SEXAGESIMALToma como unidad de medida un arco que es igual ala 360 ava parte de la circunferencia, y a cada parte sele llama grado sexagesimal. Se simboliza así: ºEjemplo: 30º Se lee: 30 grados sexagesimalesCENTESIMALToma como unidad de medida un arco que es igual ala 400 ava parte de la circunferencia, y a cada partese le llama grado centesimal. Se simboliza así: g.Ejemplo: 40 g. Se lee: 40 grados centesimalesRADIALToma como unidad de medida un arco de una longi-tud igual a la de su radio, y a esta longitud de arco sele llama radián. Se simboliza así: rad.Ejemplo: 2,16 rad. Se lee: 2,16 radianes.VALOR DE π22π = ––– (Arquímides)7355π = –––– (Mecio)113EQUIVALENCIA ENTRE LOS TRESSISTEMAS1 circunferencia < > 360º < > 400 < > 2π rad.1º < > 60’ y 1’ < > 60”1 g < > 100 min y 1 min < > 100 sS C R–––– = –––– = –––180 200 πLONGITUD DE UN ARCO:L = r . αα : ángulo central, debe estar en radianesrO α LFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ENEL TRIÁNGULO RECTÁNGULOFUNCIONES BÁSICASb csen B = –– cos B = ––a ab ctg B = –– ctg B = ––c ba asec B = –– cosec = ––c bwww.elsolucionario.net
    • CabB AcTABLAS DE VALOR DE FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOSNOTABLESVALORES DE LAS FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS DE 30º Y 60º(30º = π/6 Y 60º = π/3)__1 √3sen 30º = –– sen 60º = ––––2 2__√3 1cos 30º = –––– cos 60º = ––2 2__ __√3tg 30º = –––– tg 60º = √33 ____√3ctg 30º = √3 ctg 60º = ––––3__2√3sec 30º = ––––– sec 60º = 23 __2√3cosec 30º = 2 cosec 60º = –––––3C60º2 130ºB A__√3VALORES DE LAS FUNCIONES DE 45º(45º = π/4)__ __√2 √2sen 45ª = ––– cos 45º = –––2 2tg 45º = 1 ctg 45º = 1__ __sec 45º = √2 cosec 45º = √2C45º2 145ºB A1VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONESDE 37º y 53º (37º = π/4,865 y 53º Ӎ π/3,396)3 4sen 37º = –– sen 53º = ––5 54 3cos 37º = –– cos 53º = ––5 53 4tg 37º = –– tg 53º = ––4 34 3ctg 37º = –– ctg 53º = ––3 45 5sec 37º = –– sec 53º = ––4 35 5cosec 37º = –– cosec 53º = ––3 4C53º5337ºB A4VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONESDE 15º y 75º (15º = π/12 y 75º = π/2,4)__ __ __ __√6 - √2 √6 + √2sen 15º = –––––––– sen 75º = ––––––––4 4__ __ __ __√6 + √2 √6 - √2cos 15º = –––––––– cos 75º = ––––––––4 4__ __tg 15º = 2 - √3 tg 75º = 2 + √3__ __ctg 15º = 2 + √3 ctg 75º = 2 - √3__ __ __ __sec 15º = √6 - √2 sec 75º = √6 + √2__ __ __ __cosec 15º = √6 + √2 cosec 75º = √6 - √2F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 141 -www.elsolucionario.net
    • C15º__ __ __√6 +√2 2 + √375ºB A1VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONESDE 16º y 74º (16º = π/11,25 y 74º Ӎ π/2,43)7 24sen 16º = ––– sen 74º = –––25 2524 7cos 16º = ––– cos 74º = –––25 257 24tg 16º = ––– tg 74º = –––24 724 7ctg 16º = ––– ctg 74º = –––7 2425 25sec 16º = ––– sec 74º = –––24 725 25cosec 16º = ––– cosec 74º = –––7 24C16º25 2474ºB A7VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONESDE 18º Y 72º (18º = π/10 Y 72º = π/2,5)___________ __√5 - 1 √10 + 2√5sen 18º = –––––– sen 72º = ––––––––––4 4___________ __√10 + 2√5 √5 - 1cos 18º = –––––––––– cos 72º = –––––––4 4____________ ___________√25 -10√5tg 18º = –––––––––––– tg 72º = √5 + 2√55______________________√25-10√5ctg 18º = √ 5 + 2√5 ctg 72º= ––––––––––5_______________√50 - 10√5sec 18º = ––––––––––– sec 72º = √5 + 15___________√50-10√5––cosec 18º = √5 + 1 cosec 72º = ––––––––––5C18º___________4 √10 + 2√572ºB A__√5 - 1ÁNGULOS DIRECTRICESÁngulo de Elevación:- 142 -ObjetoHorizontalαwww.elsolucionario.net
    • Ángulo de Depresión:Ángulo que Subtiende:Los ángulos de elevación (α) y depresión (β)siempre están en plano vertical. El ángulo quesubtiende (θ) dos objetos observados puede estaren cualquier plano.FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS OCIRCULARES EN EL CÍRCULOTRIGONOMÉTRICO DE RADIO = 1sen a = PMcos a = OPtg a = ATctg a = BNsec a = OScosec a = OQQB NMII I Tα SA’ O P AIII IV°AM = a = αF O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 143 -ObjetoHorizontalβObjeto BθObjeto ASIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN EL CUADRANTEFUNCIÓN I C II C III C IV Cseno + + - -coseno + - - +tangente + - + -cotangente + - + -secante + - - +cosecante + + - -www.elsolucionario.net
    • - 144 -INTERVALO DE LAS FUNCIONESTRIGONOMÉTRICASIntervalo es el espacio o valor dentro de dosextremos en el cual se encuentra el valor de la fun-ción. Se denota así:[ ] intervalo cerrado〈 〉 intervalo abierto〈 ] intervalo abierto cerrado[ 〉 intervalo cerrado abiertosen x ε [-1; + 1]cos x ε [-1; + 1]tg x ε 〈 -∞ ; + ∞ 〉ctg x ε 〈 -∞ ; + ∞〉sec x ε 〈 -∞ ; -1] ∨ [+1; + ∞ 〉cosec x ε 〈 -∞ ; -1] ∨ [+1; + ∞ 〉DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONESTRIGONOMÉTRICASEn las funciones trigonométricas, DOMINIO es elvalor del ángulo o arco; RANGO es el valor de la fun-ción. Las funciones trigonométricas no son BIUNI-VOCAS; es decir, para un ángulo hay más de un valorpara su función, repitiéndose dentro de un período.FUNCIÓN DOMINIO RANGO PERÍODOsen x ᭙ x [-1; +1] 2πcos x ᭙ x [-1; +1] 2ππtg x ᭙ x - { 2n + 1} –– ‫ޒ‬ o 〈 -∞ ; + ∞ 〉 π2ctg x ᭙ x - {nπ} ‫ޒ‬ o 〈 -∞ ; + ∞ 〉 ππsec x ᭙ x - { 2n + 1} –– ‫ޒ‬ - 〈 -1; +1〉 2π2cosec x ᭙ x - {nπ} ‫ޒ‬ - 〈 -1; +1〉 2πVARIACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN EL CUADRANTEFUNCIÓN I C II C III C IV Cseno c: de 0 a 1 d: de 1 a 0 d: de 0 a -1 c: de -1 a 0coseno d: de 1 a 0 d: de 0 a -1 c: de -1 a 0 c: de 0 a 1tangente c: de 0 a ∞ c: de -∞ a 0 c: de 0 a ∞ c: de -∞ a 0cotangente d: de ∞ a 0 d: de 0 a -∞ d: de ∞ a 0 d: de 0 a -∞secante c: de 1 a ∞ c: de -∞ a – 1 d: de -1 a -∞ d: de ∞ a 1cosecante d: de ∞ a 1 c: de 1 a ∞ c: de - ∞ a -1 d: de -1 a - ∞c = crece ; d = decrece‫ޒ‬ = número realwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 145 -RELACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TÉRMINOS DE UNA SOLAsen a cos a tg a ctg a sec a cosec a________________1 1 ± √sec2a - 1 1sen ± √1 - cos2a ––––––––––– ––––––––––– ––––––––––––– ––––––_______ ________± √1 + tg2a ± √1 + ctg2a sec a cosec a_________________tg a ctg a 1 ± √cosec2a - 1cos a ± √1 - sen2a ––––––––––– ––––––––––– ––––– ––––––––––––_______ ________± √1 + tg2a ± √1 + ctg2a cos a cosec a_______________sen a ± √1 - cos2a 1 1tg a ––––––––––– ––––––––––– ––––– ± √sec2a - 1 ––––––––––––________ _________± √1 - sen2a cos a ctg a ± √cosec2a - 1_________________± √1 - sen2a cos a 1 1ctg a ––––––––––– ––––––––––– –––– ––––––––––– ± √cosec2a - 1________ ________sen a± √1 - cos2a tg a ± √sec2a - 1_______________1 1 ± √1 + ctg2a cosec asec a ––––––––––– –––– ± √1 + tg2a ––––––––––– ____________________ _________± √1 - sen2acos a ctg a± √cosec2a - 1______________1 1 ± √1 + tg2a sec acosec a –––– ––––––––––– –––––––––––– ± √1 + ctg2a –––––––––––––________ ________sen a ± √1 - cos2atg a± √sec2a - 1RELACIONES TRIGONOMÉTRICASFUNDAMENTALESsen2a + cos2a = 1sen atg a = –––––cos atg a . ctg a = 11 + tg2a = sec2acos actg a = –––––sen asen a . cosec a = 1cos a . sec a = 11 + ctg2a = co sec2awww.elsolucionario.net
    • - 146 -ARCOS COMPUESTOSFUNCIONES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DEARCOSsen (a ± b) = sen a . cos. b ± sen b . cos acos (a ± b) = cos a . cos . b ϯ sen a . sen btg a ± tg btg (a ± b) = ––––––––––––––1 ϯ tg a . tg bctg a . ctg b ϯ 1ctg (a ± b) = ––––––––––––––ctg b ± ctg aFUNCIONES DE LA SUMA DE TRES ARCOSsen (a + b + c) = sen a . cos b . cos c - sen a. sen b . sen c + sen b . cos a. cos c + sen c . cos a . cos bcos (a + b + c) = cos a . cos b . cos c - sen b. sen c . cos a - sen a . sen c. cos b - sen a . sen b . cos ctag a + tg b + tg c – tg a . tg b . tg ctg(a+b+c)= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––1 - tg a . tg b - tg a . tg c - tg b . tg cEQUIVALENCIA DE LAS FUNCIONES DE LOSARCOS COMPLEMENTARIOSπSean:(–– - a)y “a” dos arcos complementarios:2π π(–– - a)+ a = ––2 2se cumple:πsen(–– - a)= cos a2πcos(–– - a)= sen a2πtg(–– - a)= ctg a2Ejemplo:sen 40º = cos 50ºpuesto que:40º + 50º = 90ºEQUIVALENCIAS DE LAS FUNCIONES DE LOSARCOS SUPLEMENTARIOSSean: (π - a) y “a” dos arcos suplementarios, entonces:(π - a) + a = πse cumple:sen (π - a) = sen acos (π - a) = - cos atg (π - a) = - tg aEjemplos:cos 120º = - cos 60ºnotar que:120º + 60º = 180ºtg 130º = -tg 50EQUIVALENCIAS DE LAS FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS DE LOS ARCOSNEGATIVOSSean “a” y “-a” dos arcos iguales pero de signo cotra-rio. Es decir, del mismo origen pero de sentido con-trario. (En el gráfico todos de origen A).sen a = MP ; sen (-a) = M’P = -MPcos a = OP ; cos (-a) = OP = OPtg a = AT ; tg (-a) = AT’ = -ATwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 147 -TMaPAO-aM’T’Luego:sen (-a) = -sen acosec (-a) = -cosec acos (-a) = cos asec (-a) = sec atg (-a) = -tg actg (-a) = -ctg aFUNCIONES DE ARCOS DOBLESsen 2a = 2 sen a . cos a2 tg asen 2a = –––––––1 + tg2acos 2a = cos2a – sen2a1 - tg2acos 2a = –––––––1 + tg2acos 2a = 2 cos2a – 1cos 2a = 1 – 2 sen2a2 tg atg 2a = –––––––1 – tg2aFUNCIONES DE ARCO MITADa1 - cos a = 2 sen2––2––––––––a 1 - cos asen –– = ± ––––––––2 √ 2a1 + cos a = 2 cos2––2________a 1 + cos acos –– = ± ––––––––2 √ 21 - cos a a–––––––– = tg2––1 + cos a 2FUNCIONES DE ARCOS TRIPLESsen 3a = 3 sen a - 4 sen3acos 3a = 4 cos3a - 3 cos a3 tg a - tg3atg 3a = ––––––––––1 - 3 tg2aFUNCIONES AUXILIARESseno verso a = 1 - cos acos verso a = 1 - sen aex-sec a = sec a - 1NOTA: A la ex-secante se le llama tambiénexternal.TRANSFORMACIÓN A PRODUCTOSUMA Y DIFERENCIA DE SENOSA + B A - Bsen A + sen B = 2 sen ––––– cos –––––2 2A + B A - Bsen A - sen B = 2 cos ––––– sen –––––2 2www.elsolucionario.net
    • De donde:sen (arco sen m) = m ⇔ arco sen (sen A) = Acos (arco cos n) = n ⇔ arco cos (cos A) = Atg (arco tg p) = p ⇔ arco tg (tg A) = A- 148 -FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASSon expresiones que dan el valor del ángulo “en forma indicada”.Sea “A” un arco ó ángulo: denotación inglesa denotación francesasen A = m ⇒ A = arco sen m A = sen-1mcos A = n ⇒ A = arco cos n A = cos-1ntg A = p ⇒ A = arco tg p A = tg-1pctg A = q ⇒ A = arco ctg q A = ctg-1qsec A = r ⇒ A = arco sec r A = sec-1rcosec A = s ⇒ A = arco cosec s A = cosec-1sSUMA Y DIFERENCIA DE COSENOSA + B A - Bcos A + cos B = 2 cos ––––– sen –––––2 2A + B A - Bcos A - cos B = -2 sen ––––– sen –––––2 2LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS1. En el primer cuadrante se cumple que el arco esmayor que el seno pero menor que su tangente.sen a < a < tg ao:π0 < a < ––22. Cuando el arco es muy pequeño; es decir, cerca-no a cero, el seno, el arco y la tangente tienden aconfundirse.alim ––––– = 1a → 0 sen ay:alim ––––– = 1a → 0 tg aDe donde:sen a = a = tg a ⇔ a → 0Ejemplo:3x¿Cuál es el límite de –––––– , cuando x tiendexa cero? (x → 0) sen ––22x x3 ––– 6 ––3x 2 2lim –––––– = lim ––––– = lim –––––x x xx → 0 sen –– x → 0 sen –– x → 0 sen ––2 2 2x––2= 6 . lim –––––– = 6 . 1xx → 0 sen ––23x∴ lim –––––– = 6xx → 0 sen ––2www.elsolucionario.net
    • Ejemplo: Calcular__ ___√3 1 √10y=arcosen–––– + arcotg––+ arcosec––––– (1)2 2 3Procedimiento. Llamando:__ __√3 √3A = arco sen –––– ⇒ sen A = –––– ⇒ A = 60º2 21 1B = arco tg –– ⇒ tg B = ––2 2___ ___√10 √10 1C = arco sec ––––– ⇒ sec C = ––––– ⇒ tg C = ––3 3 3Sustituyendo en (1):y = A + B + Co sea:y = 60 + B + Cy – 60 = B + Ctomando tangente:tg (y - 60) = tg (B + C)tg B + tg Ctg (y – 60) = ––––––––––––1 – tg B . tg Csustituyendo valores de tg B y tg C:1 1 5–– + –– ––2 3 6tg (y – 60 ) = ––––––––– = –– = 11 1 51 - –– . –– ––2 3 6tg (y – 60) = 1y – 60 = 45ºy = 105ºF O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 149 -DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES INVERSASEn las funciones inversas, como su nombre lo indica, el DOMINIO de una función es el RANGO de la inver-sa y viceversa, consideradas dentro de un INTERVALO.FUNCIÓN INVERSA DOMINIO RANGOπ πarco sen x [- 1 ; + 1 ][- –– ; ––]2 2πarco cos x [- 1 ; + 1 ][0 ; ––]2π πarco tg x ‫ޒ‬ o 〈 - ∞ ; + ∞ 〉[- –– ; ––]2 2arco ctg x ‫ޒ‬ o 〈 - ∞ ; + ∞ 〉 〈 0; π 〉π πarco sec x 〈 - ∞ ; -1] ∪ [ 1 ; + ∞ 〉[0 ; ––〉∪〈–– ; π]2 2π πarco cosec x 〈 - ∞ ; - 1] ∪ [ 1 ; + ∞ 〉[- –– ; 0〉∪〈0 ; ––]2 2www.elsolucionario.net
    • - 150 -SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONESPara resolver ecuaciones debe tenerse presente que:sen x = a ⇒ x = sen-1a ∧ X = kπ + (-1)Ksen-1acos x = b ⇒ x = cos-1b ∧ X = 2kπ ± cos-1btg x = c ⇒ x = tg-1c ∧ X = kπ + tg-1cctg x = d ⇒ x = ctg-1d ∧ X = kπ + ctg-1dsec x = e ⇒ x = sec-1e ∧ X = 2kπ ± sec-1ecosec x = f ⇒ x = cosec-1f ∧ X = kπ + (-1)Kcosec-1fDonde: K ε ‫ޚ‬ ; x = solución principal y X = solución generalECUACIONES TRIGONOMÉTRICASLa solución puede ser la más pequeña de todas (solu-ción principal) o puede ser una expresión algebraicaque incluya todos los arcos que satisfagan la ecuacióndada (solución general).Expresión de todos los arcos que tienen lamisma función trigonométrica.Que tienen el mismo seno:X = Kπ + (-1)kαα = solución principalQue tiene el mismo coseno:X = 2Kπ ± ββ = solución principalQue tienen la misma tangente:X = Kπ + θθ = solución principalRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSPara resolver triángulos que equivale a calcular suslados o sus ángulos, debe conocerse las siguientesleyes o propiedades:TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS1. Ley de los senos: En todo triángulo, los lados sondirectamente proporcionales a sus ladosopuestos.Ac bB Caa b c––––– = ––––– = –––––sen A sen B sen C2. Corolario: En todo triángulo inscrito en una cir-cunferencia, la relación de la Ley de los senos esconstante e igual al diámetro de la circunferenciacircunscrita.AcbRB OaCa b c––––– = ––––– = ––––– = 2Rsen A sen B sen Cwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 151 -3. Ley de cosenos (Carnot).- Para todo triángulo:Ab aB CcCb aA Bca2= b2+ c2- 2 . b . c cos Ab2= a2+ c2- 2 . a . c cos Bc2= a2+ b2- 2. a . b cos C4. Ley de las tangentes (Nepper).- Para todotriángulo:Ab aB CcA + Btg –––––a + b 2––––– = ––––––––a - b A - Btg –––––25. Ley de las proyecciones.- Para todo triángulo:Ab aB Cca = b . cos C + c . cos Bb = a . cos C + c. cos Ac = a . cos B + b . cos CCÁLCULO DE ÁNGULOS(Fórmula de Briggs)Si:a + b + cp = –––––––––2_______A p(p - a)cos –– = ––––––––2 √ bc___________A (p - b)(p - c)sen –– = ––––––––––––2 √ 2___________A p(p - a)tg –– = –––––––––––2 √(p - b)(p - c)CÁLCULO DE SUPERFICIESFórmula TrigonométricasCb aA Bca . bS = ––––– sen C2b . cS = ––––– sen A (I)2a . cS = ––––– sen B2Fórmulas Geométricasa . b . cS = p . r S = –––––––4R__________________S = √p(p - a)(p - b)(p - c) (II)S = ρa (p - a)www.elsolucionario.net
    • - 152 -Donde:p = semiperímetror = radio círculo inscritoR = radio círculo circunscritoρa = radio del círculo exinscrito al lado aELEMENTOS SECUNDARIOS EN LASOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSPara calcular los elementos secundarios, lo aconse-jable es despejar las fórmulas conocidas, tales comolas siguientes:RADIOSRADIO CIRCUNSCRITO:Es el radio “R” de la circunferencia circunscrita altriángulo.AcbRB OaCa1.- De: 2R = –––––sen Aa⇒ R = –––––2senAabc2.- De: –––– = S4Ra . b . c⇒ R = –––––––4 . SRADIO INSCRITO O INRADIO:Es el radio “r” de la circunferencia inscrita en eltriángulo.Bc aOrA Cb1.- De: pr = SS⇒ r = ––pr A2.- De: ––––– = tg ––p - a 2A⇒ r = (p - a)tg ––2B C3.- De: a = r(ctg –– + ctg ––)2 2a⇒ r = –––––––––––––B Cctg –– + ctg ––2 2RADIO EX-INSCRITO:Es el radio “ρ” de la circunferencia, ex-inscrito a unode los lados del triángulo.TBOA/2 aρA/2A b C PDe la propiedad:a + b + cAP = AT = –––––––– , se demuestra:2a + b + c A1.- –––––––– . tg ––2 2o :Aρ = p . tg ––22.- De: S = ρ (p - a)o:Sρ = –––––p - awww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 153 -B C3.- De: a = ρ(tg –– + tg ––)2 2a⇒ ρ = –––––––––––B Ctg –– + tg ––2 2CEVIANASSon rectas que partiendo de un vértice tocan unpunto del lado opuesto. Las principales son: altura,mediana, bisectriz interna y bisectriz externa.ALTURAEs la perpendicular trazada de un vértice al ladoopuesto.Ac bhaB Ca1.- ha = b . sen Co:ha = c . sen B2.- ha = 2 . R . sen b . sen C2 . S3.- ha = –––––aha = altura con respecto al lado “a”MEDIANAEs la recta trazada de un vértice al punto medio dellado opuesto.a21.- De: b2+ c2= 2 . m2+ –––a2a2b2+ c2- –––2m2= –––––––––––a2Ac bmaB CMa/2 a/2a22.- m2= ––– + c2– a . c . cos Bb 4a2m2= ––– + b2– a . b . cos Cc 44m2= b2+ c2+ 2 . b . c . cos AaLa intersección de las tres medianas se denominaCENTRO DE GRAVEDAD o BARICENTRO.Bc ambT MGmamcA Cb NBISECTRIZ INTERIOREs la recta que divide a un ángulo interior en dosángulos iguales.Aα αb ctaS1S2m nC BDaFórmulas Geométricas:b c1.- –– = ––n mwww.elsolucionario.net
    • - 154 -2.- t2= b . c – m . naFórmula Trigonométrica:2 . b . c Ata= ––––––– cos ––b + c 2La intersección de las tres bisectrices interiores sellama INCENTRO.BISECTRIZ EXTERIOREs la recta que divide a un ángulo exterior en dosángulos iguales.Fórmulas Geométricas:b c1.- –– = ––n m2.- t2= m . n – b . caFórmula Trigonométrica:2 . b . c Ata= ––––––– sen ––b - c 2La intersección de las tres bisectrices interiores sellama EXCENTRO.A90 - ––A α 2αtabcS1S2C a BnmCUADRILÁTEROS CONVEXOSSon cuadriláteros cuyos ángulos son menores que180º.BaAα bdD CcSUPERFICIESAC . BD1.- S = ––––––– . sen α2__________________________________2.- S = √(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) – a.b.c.d.cos αdonde:p = semiperímetroˆA + ˆCα = ––––––2o :ˆB + ˆDα = ––––––2CUADRILÁTERO INSCRITO O CICLÍCOˆA + ˆC = ˆB + ˆD = 180ºCBAD________________________S = √(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)Fórmula de Brahma-Guptawww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 155 -CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITObB Ca cA DdPropiedad de Pitot:a + b = c + d = pPOLÍGONOS REGULARESCIRCUNSCRITOS:Valor del lado “l” y la del área “S”π πl = 2r . tg –– S = n . r2. tg ––n nl/2r π/nOINSCRITOS:l/2Pπ/nROCálculo del lado “l”, apotema “Ap” y área “S”πl = 2r . sen ––nπAp = R . cos ––nR2. n 2πS = –––––– . sen –––2 nOP = Apn = número de ladosR = radio circunscritoS = áreaPROBLEMA DE POTHENOT-SNELLIUSConocido también como problema de los cuatropuntos o problema de la carta (geográfica):Dados tres puntos no colineales: A, B y C, calcu-lar sus distancias a un cuarto punto D (situado enel plano ABC, interno al ángulo convexo ACB),desde el cual se vean las distancias AC y BC bajoángulos dados. Se supone como incógnitas losángulos x e y.Por ley de senos en los triángulos (1) Y (2):___sen x DC––––– = –––sen α a___sen y DC––––– = –––sen β bsen x b sen α∴ ––––– = –––––––– (1)sen y a sen βx + y = 360º - (α + β + C) (2)Dβα1 2x ya bCComo a, b, α, β, y ˆC se conoce, se tiene un sis-tema de ecuaciones trigonométricas cuyas incóg-nitas son “x” e “y”. Hallando “x” e “y” el proble-ma queda resuelto, al conocer todos los ángulos yun lado de cada uno de los triángulos (1) y (2).www.elsolucionario.net
    • - 156 -Es la ciencia que tiene por objeto el estudio de loscuerpos, sus leyes y propiedades mientras no cambiesu composición, así como el de los agentes naturalescon los fenómenos que en los cuerpos producen suinfluencia.La física puede dividirse de un modo general en dos:Física Experimental y Física Matemática. En la pri-mera, la labor de investigación tiene a obtener sólodatos y axiomas de la Física matemática. Esta últimaa su vez, partiendo de esos datos experimentales, es-tablece principios de los cuales se deduce, mediantelos recursos del cálculo, fórmulas generales.DEFINICIONESFENÓMENOToda apariencia o manifestación del orden material oespiritual.ENERGÍACausa capaz de transformarse en trabajo mecánico.MAGNITUDTamaño o cantidad de un cuerpo.MEDIDAExpresión comparativa de las dimensiones o cantidades.DIMENSIÓNLongitud, extensión o volumen de una línea, de unasuperficie o de un cuerpo, respectivamente. A partirde Einstein, se considera la cuarta dimensión: “eltiempo”.CANTIDADTodo lo que es capaz de un aumento o disminucióny puede, por consiguientes, medirse o contarse.ECUACIONES DIMENSIONALESSon expresiones de la forma algebraica que, valién-dose de las unidades fundamentales representadaspor las letras M, F, L, T, se usa para probar fórmulas,equivalencias o para dar unidades a una respuesta(M: masa; F: fuerza; L: longitud; T: tiempo).SISTEMAS DE UNIDADESUNIDADES DEL SISTEMA ABSOLUTOSub-sistema L M TCGS cm g sMKS m kg sFPS pie lb sUNIDADES DEL SISTEMA TÉCNICO,GRAVITACIONAL O PRÁCTICOSub-sistema L F TCGS cm g sMKS m kg sFPS pie lb sFÍSICAFÍSICAwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 157 -UNIDADES SUMPLEMENTARIASMAGNITUD NOMBRE SÍMBOLOÁngulo radián radÁngulo sólido estereo radián srUNIDADES DERIVADASMAGNITUD NOMBRE SÍMBOLOÁrea metro cuadrado m2Volumen metro cúbico m3kilogramo porDensidad kg/m3Metro cúbicoVelocidad metro por segundo m/sFuerza y peso newton NPresión pascal PaEjemplo:Determinar la ecuación dimensional del pesoespecífico.Procedimiento:WSabiendo que: Pe = ––VPero:d LW = F = m . a = M . –– = M –– = MLT-2t2T2y : V = L3Sustituyendo en la primera ecuación:MLT-2Pe = –––––L3Pe = ML-2T-2UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDA “SI”UNIDADES DE BASEMAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO DIMENSIÓNLongitud metro m LTiempo segundo s TMasa kilogramo kg MIntensidad deamperio A lcorriente EléctricaTemperatura kelvin K θIntensidadcandela ca JLuminosaCantidad demol mol Nsustanciawww.elsolucionario.net
    • - 158 -CONVENCIONES BÁSICASa) La suma o resta de unidades iguales produce la mis-ma unidad:6T + 8T - T - 7T = Tb Las constantes y los coeficientes numéricos sereemplaza por 1:5M - 6,5M + 9,8M = Mπ + 10L = 1 + L = Lc) Se escriben en forma de enteros, si hay denomina-dos se escribe con potencia de signo negativo paradarle la forma de entero.LMEjemplo: ––– = LMT-2T2d) El signo | | significa “ecuación dimensional de”.e) La dimensión de un ángulo o función trigono-métrica es un número, como tal dimensional-mente es 1.⏐60º⏐ = 1⏐cosec 45º⏐ = 1f) Dimensionalmente los logaritmos valen 1.| log 8⏐ = 1| logn17⏐ = 1VECTORESVector significa “que conduce”. Los vectores sirvenpara representar: fuerza, velocidad, aceleración, etc.MAGNITUDLa magnitud expresa el tamaño de un cuerpo o ladimensión de algún fenómeno. Puede ser escalar ovectorial.MAGNITUD ESCALAR O MODULOEs aquella que está plenamente determinada por unnúmero y una unidad de medida o especie.Ejemplos:i) L = 18 yardasii) m = 14 lbiii) t = 6 semanasMAGNITUD VECTORIALEs aquella que además de tener “un número y unaespecie” tiene dirección y sentido:Ejemplos:→i) a = 9,8m/s2→ii) F = 15 newton→iii) V = 30 km/hREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNVECTORSe representa por un segmento de una recta orienta-da. Se utiliza para representar fuerzas, pesos, acelera-ciones, etc.Dirección SentidoMagnitudSUMA Y RESTA DE VECTORESA.- MÉTODOS GEOMÉTRICOS• MÉTODO POLÍGONAL O POLÍGONOFUNICULARSUMA.- Para sumar vectores:Se traza, en un mismo plano, los vectores uno acontinuación del otro, respetando su magnitud,dirección y sentido se une el origen del primerocon el extremo del último y este trazo es la resul-tante con su magnitud, dirección y sentido.Ejemplos: Sumar los vectores:_ _ _i) a , b y c_ _a c_bwww.elsolucionario.net
    • _b_ _a c_ _ _R = a + b + cResultante_ _ _ _ii) a, b, c, d_ _a c_ _b d_c_d_b_a_ _ _ _R = a + b + c + dDIFERENCIASe traza el vector minuendo y a continuación elsustraendo pero en sentido contrario. Se une elorigen del primero con el extremo del segundo yse obtiene la resultante con su magnitud, direc-ción y sentido._ _Ejemplo: Restar a - b_b_a_-b_a_ _ _R = a - b• MÉTODO DEL PARALELOGRAMOSUMASe traza los dos vectores que se va a sumar, par-tiendo de un mismo punto, luego se completa elparalelogramo; la diagonal es la resultante.Ejemplo:_ _Sumar los vectores a, b_ _a b_ _a R_b_ _ _R = a + bRESTASe traza el vector minuendo y luego el vector sus-traendo partiendo de ambos del mismo origenpero el sustraendo con sentido contrario. La diag-onal del paralelogramo formado es la resultante.Ejemplo:_ _Restar: a - b_ _a b_a_-bF O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 159 -ResultanteResultanteResultanteResultanteR Dwww.elsolucionario.net
    • - 160 -B.- MÉTODOS ANALITICOSConsiste en calcular algebraicamente la resul-tante.• MÉTODO DEL PARALELOGRAMOSUMA→ →Resultante de la suma a + b_______________________RS= √ a2+ b2+ 2 . a . b . cos αRS_aαα_bRESTA→ →Resultante de la diferencia a - b_______________________RS= √ a2+ b2- 2 . a . b . cos α_R_a180º- αα_ _b b• RESULTANTE POR LEY DE SENOS_ _SUMA: Sumar a + bR a b––––– = ––––– = –––––sen λ sen α sen β_bαλ_a_RβDIFERENCIA: Restar a - bR a b––––– = ––––– = –––––sen λ sen α sen β_-b λ_aα_R βDIRECCIÓN DE LA RESULTANTEEstá dada por el ángulo que forma la resultante conuno de los vectores.Q_ _a Rθ α_O b S Ta . sen αsen θ = ––––––––––––––––––––––____________________√ a2+ b2+ 2 . a . b sen αa . sen θtg θ = –––––––––––b + a . cos θDESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN SUSELEMENTOS RECTANGULARES_Por el origen del vector ( a ) que se quiere descom-poner, se traza un sistema de ejes perpendiculares(eje rectangulares), sobre estos ejes . Se proyecta elvector, la proyección sobre el eje “x”, se llama “com-ponente horizontal ax”, la proyección sobre el “eje y”se llama “componente vertical ay”.Ejemplo:y_a_ayα_axxwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 161 -ax: componente hortizontal.ay: componente vertical.Donde: ax= a cos αay= a sen αOtro ejemplo:ybxx_β_b byRESULTANTE POR DESCOMPOSICIÓNRECTANGULAR_ _Hallar la resultante de a + bSe descompone a y b en el sistema de ejes rectan-gulares.Rx= suma de componentes horizontales.Ry= suma de componentes verticales._______R =√R2+ R2x y_ _R = resultante final o suma de a + by_a_ay_bxx_ax_ _b by_ _Para hallar Rx y Ry, se suma algebraicamente los vec-tores que están sobre los ejes x e y:_ _ _ax + bx = Rx_ _ _ay + by = RyyRxxθRRyFinalmente:_ _ _ _______Rx + Ry = R ⇒√R2+ R2= Rx yDIRECCIÓN DE LA RESULTANTERytg θ = –––RxMECÁNICAMecánica es la parte de la Física que trata del movi-miento y de las fuerzas que pueden producirlo, con-sideradas con toda generalidad, así como del efectoque producen en las máquinas. Tienen tres partes:1.- Mecánica de sólidos:a) Cinemáticab) Estáticac) Dinámica2.- Mecánica de los líquidos:a) Hidrostáticab) Hidrodinámica3.- Mecánica de los gases:a) Neumostáticab) NeumodinámicaA. CINEMÁTICAEs el estudio del movimiento de los sólidos, inde-pendientemente de las causas que lo originan.www.elsolucionario.net
    • - 162 -CONCEPTOSMOVIMIENTOAcción o efecto del desplazamiento de un cuerpo en unlapso de tiempo con respeto a otro que se supone fijo.TRAYECTORIAEs la línea geométrica descrita por las distintas posi-ciones que va ocupando un punto o cuerpo, que semueve en un lapso de tiempo.Según la trayectoria del movimiento puede ser:a) Rectilíneo b) Curvilíneoc) Circuferencial d) ParabólicoCLASES DE MOVIMIENTOa) Uniforme b) Variadoc) Uniformemente variadoMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME(M.R.U.)e mV = –– Unidades SI: ––t sDonde:V = velocidad o rapidez.e = distancia recorrida en el timpo “t”.t = tiempo que dura el movimiento.MOVIMIENTO VARIADOCuando su velocidad o rapidez varía desordenada-mente.VELOCIDAD O RAPIDEZ MEDIAEs un promedio de las rapideses de un móvil.etVm= ––tTo:e1+ e2+ …Vm= ––––––––––t1+ t2+ …V1+ V2Vm= –––––––2MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTEVARIADO (M.R.U.V.)∆V = Vf- Vi∆V = variación de la rapidez o velocidad.Vf= velocidad o rapidez final.Vi= velocidad o rapidez inicial.ACELERACIÓN∆Va = –––to:Vf- Via = ––––––tmUnidades SI: ––s2RAPIDEZ FINAL CON VELOCIDAD INICIALVf= Vi+ a . tm mUnidades: V = –– ; a = –– ; t = ss s2ESPACIO “e” RECORRIDO CON ACELERACIÓNY VELOCIDAD INICIAL1e = Vi. t ± –– . a . t221cuando Vi= 0: e = –– . a . t22www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 163 -PRINCIPIO DE LA INDEPENDENCIA DE LOSMOVIMIENTOS (Principios de Galileo)“Si un cuerpo tiene movimiento compuesto, cadauno de los movimientos se cumple como si los demásno existieran”.MOVIMIENTO PARABÓLICO (Introducción a labalística)El movimiento de un proyectil en el vacío resulta dela composición de un movimiento horizontal rectilí-neo y uniforme, y un movimiento vertical uniforme-mente variado por la acción de la aceleración de lagravedad.CARACTERÍSTISTICAS DEL MOVIMIENTOPARABÓLICOyVyVxVxH VxViyαVix-Vy xDVELOCIDAD FINAL “Vf” EN FUNCIÓN DEVi, a, eV2= V2± 2 . a . ef iMOVIMIENTO VERTICALEs el movimiento de un cuerpo que sigue la direc-cion radial de la Tierra. El movimiento es uniforme-mente variado, la aceleración es la aceleración de lagravedad (g = 9,8 m/s2). Cuando el movimiento es“hacia arriba”, la aceleración “g” es negativa, cuandoel movimiento es “hacia abajo”, la aceleración “g” espositiva.h = Vi. t ± gt2Vf= Vi± gtV2= V2+ 2ghf iDonde:h: altura de subida o de caídag: aceleración de la gravedad (9,8 m/s2o 32pies/s2). De subida (-), de bajada (+).MOVIMIENTO COMPUESTOEs aquel en el cual existen simultáneamente 2 o más tipos de movimiento. Por ejemplo: movimiento hori-zontal y vertical a la vez.yhD xewww.elsolucionario.net
    • - 164 -a) Forma de la trayectoria: “parabola”.b) Velocidad del movimiento horizontal Vx:CONSTANTEVx= Vi. cos αc)Velocidad vertical Vy: UNIFORMEMENTEVARIADA1) Rapidez vertical inicial:Vi y= Vi. sen α2)Rapidez vertical en un punto cualquiera de latrayectoria, de acuerdo al tiempo.Vy= Visen α ϯ g . td)Tiempo “t” de vuelo cuando “H” decrece hastacero.1H = Vi. sen α - –– . g . t22Entonces, cuando H = 0:2Vi. sen αt = –––––––––ge) Tiempo para alcanzar su máxima altura “H”.La altura es máxima cuando Vy= 0⇒ Vy= Vi. sen α - gtde donde y considerando Vy= 0Vi. sen αt = –––––––––gf) Alcance vertical “H”:V2. sen2αiH = ––––––––––2gEl alcance vertical es máximo cuando α = 90ºg) Alcance horizontal “D”V2. sen2 αiH = –––––––––––2gEl alcance horizontal es máximo cuando α = 45ºMOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME(M.C.U.)Es aquel en el cúal la trayectoria es una circunferen-cia; barre arcos y barre ángulos iguales en tiemposiguales.PERÍODOEs el tiempo “t” que tarda un móvil en dar una vueltaa una revolución a la circunferencia.Velocidad lineal “V”:arco “L”V = –––––––tVelocidad angular “ω”ángulo “α”ω = –––––––––tradUnidades SI: –––sVα LVELOCIDAD O RAPIDEZ ANGULAR YPERÍODOSiendo “T” el período o tiempo empleado por unmóvil en dar una vuelta(2π radianes), la velocidadangular es:2πω = –––Twww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 165 -RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR YLA VELOCIDAD TANGENCIALV = ω . RFRECUENCIA “f”Es la inversa del periodo “t”.1f = ––TACELERACIÓN CENTRÍPETA, RELACIÓN CONLA VELOCIDAD TANGENCIAL Y LA VELOCI-DAD ANGULARV2ac= ––Rac= ω2. RMOVIMIENTO CIRCUNFERENCIALUNIFORMEMENTE VARIADO(M.C.U.V.)Es el movimiento circunferencial que tiene acel-eración. Su rapidez varía con el tiempo.ACELERACIÓN ANGULAR “γ”∆wγ = –––tωf- ω1γ = –––––––tradUnidades SI: –––s2RELACIONES DE VELOCIDAD ORAPIDEZ FINAL, ÁNGULO RECORRIDOωf= ω1+ γ t1α = ω1. t ± –– γ t222 2ωf= ω1± 2γ αB. ESTÁTICAEstudia las condiciones que debe cumplirse para queun cuerpo indeformable, sobre el que actúan fuerzasy/o cuplas, se mantenga en equilibrio; es decir paraque las fuerzas o cuplas se anulen entre sí.FUERZAEs una magnitud vectorial que modifica la situaciónde los cuerpos, variando su estado de reposo omovimiento, variando la velocidad de los cuerpos,aumentando, disminuyendo o variando su dirección.TODA FUERZA APARECE COMO RESULTADO DELA INTERACCIÓN DE LOS CUERPOS.RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZASTambién se llama composición de fuerzas. Hay varioscasos:1) CUANDO ESTAN EN UN MISMA LINEA DEACCIÓN y tienen el mismo sentido, la resultantees la diferencia de las fuerzas._ _F1F2_ _ _R = F1+ F22) CUANDO ESTAN EN UNA MISMA LINEA DEACCION y tienen sentido contrarios, la resul-tante es la diferencia de las fuerzas._ _F1F2_ _ _R = F1- F23) CUANDO FORMAN CUPLA con respecto a unmismo eje. Cupla es una par de fuerzas paralelasde igual módulo pero de sentidos opuestos.La resultante tiene las siguientes características:a) Su eje de rotación es el mismo que el de loscomponentes.b) Su sentido, es el de la cupla mayor.www.elsolucionario.net
    • - 166 -c) Su medida, la diferencia de las cuplas.d) Su punto de aplicación es cualquiera, es unvector libre.El equilibrio se consigue aplicando una cuplaigual y de sentido contrario.→ → →R = F2. d2- F1. d1como F1= F2= F, entonces:→ →R = F (d2- d1)Unidades SI: N . md1Fd2F4) CUANDO LAS FUERZAS SON CONCURREN-TES, las resultantes se halla por el “polígono defuerzas”, por el “paralelogramo”, o por el “siste-ma de ejes cartesianos”.Ejemplo: Hallar la resultante de las fuerzas de lafigura:_F1_F2_F3a) Por el método del polígono de fuerzas:_ _F1F2_ _R F3b) Método del Paralelogramo.(Paso 1)_F1_R1_F2(Paso 2)_R1_ _F3R______________________ _2_2_ _R1= √F1+ F2+ 2 F1F2cos α______________________ _2_2_ _R1= √R1+ F3+ 2 R1F3cos βc) Método del sistema de ejes coordenados:y_F1F1yF3xF1xxF2xF3yF2y_ _F3F21) Σ Fx= F1x+ F2x- F3x2) Σ Fy= F1y- F2y- F3y__________________ _ 2_ 2R = √( Σ Fx ) + ( Σ Fy)www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 167 -5) CUANDO SON PARALELAS Y DEL MISMO SEN-TIDO, las características del a resultante son:A O B_F2_F1_RSu recta de acción es paralela a las fuerzas.Su sentido, el sentido de las fuerzas.Su medida, la suma.Su punto de aplicación está situado en un puntoque divide a la barra que une las fuerzas en seg-mentos inversamente proporcionales a las fuerzas(Relación de Stevin).Sea O el punto de aplicación de la resultante,entonces:F1F2 R––– = ––– = –––BO AO AB6) CUANDO SON PARALELAS Y DE SENTIDOCONTRARIO, las características de la resultanteson:_F1B OA _R_F2Su recta de acción paralela a las fuerzas.Su sentido es el de la fuerza mayor.Su medida, la diferencia.Su punto de aplicación está situado en un puntoque divide a la barra que une las fuerzas en seg-mentos inversamente proporcionales a las fuerzas(Relación de Stevin).Sea O el punto de aplicación de la resultante,entonces:F1F2R––– = ––– = –––BO AO ABCONDICIONES DE EQUILIBRIO EN UNCUERPO• PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO OEQUILIBRIO DE TRASLACIÓNCuando un cuerpo está en reposo o en movimien-to rectilíneo uniforme, la suma de todas lasfuerzas ejercidas sobre él debe ser igual a cero.Σ F = 0Cuando la fuerzas se descomponen en sus com-ponentes rectangulares se debe tener que:Σ Fx= 0Σ Fy= 0NOTA IMPORTANTEUn cuerpo está en reposo cuando soporta lasacciones de tres fuerzas concurrentes que seanulan.TEOREMA DE LAMYO LEY DE LOS SENOS“En un triángulo funicular. los lados que repre-sentan las fuerzas son proporcionaleas a los senosde los ángulos opuestos”._F3β _F1α γ_F2F1F2F3––––– = ––––– = –––––sen α sen β sen γwww.elsolucionario.net
    • - 168 -MOMENTO DE FUERZACon respecto a un punto O con respecto a un eje,se calcula así:Mo= F . dUnidades SI: n . mO: punto de giro( o apoyo)F: fuerzad: distancia del punto de giro a la fuerzaFdO• SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO OEQUILIBRIO DE ROTACIÓNCuando un cuerpo permanece en reposo o, cuan-do rota con velocidad uniforme, la suma de todoslos momentos debe ser cero:Σ M = 0DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) O DIA-GRAMA LIBREEs un gráfico donde se indica TODAS LAS FUERZASque se actúan sobre el cuerpo. Precisamente, las car-acterísticas del D.C.L. es que todas las fuerzas queactúan sobre el cuerpo concurren a un punto común.Ejemplo: Sea el sistema:T45º ORWDiagrama del cuerpo libre:T45º O RWDonde:T = tensión del cable que “soporta” la barra.R = reacción de la pared “sobre” la barra.W = peso de la barra,“atracción” que la Tierraejerce sobre la barra.O= punto de concurrencia de las fuerzas.DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS EN SUSCOMPONENTES RECTANGULARESEl procedimiento indica que las fuerzas de un sis-tema en equilibrio se grafique en un DIAGRAMA deCUERPO LIBRE. El punto de concurrencia de estasfuerzas se hace coincidir con el punto de intersecciónde un Sistema de ejes rectangulares. Cada una de lasfuerzas se proyecta sobre los ejes “x” e “y” del sis-tema rectangular, hallando las componentes de lasfuerzas sobre los ejes “x” e “y”.Ejemplo:C30º TRTA OR30ºP BPSistema Diagrama librewww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 169 -yTR60º 30ºO xPDescomposición sobre los ejes x e yT T sen 60º60ºT cos 60º ODescomposición de TR sen 30º R30ºO R cos 30ºDescomposición de RMÁQUINAS SIMPLESUna máquina simple es un mecanismo o conjunto demecanismos que mediante fuerzas mecánicas, trans-forma un trabajo motor en trabajo útil.Hay dos tipos: máquinas simple tipo palanca ymáquinas simples tipo plano inclinado.PalancaTipo palanca{PoleasTornosPlano inclinadoTipo plano inclinado{CuñaTornilloA) TIPO PALANCAPALANCAEs una barra rígida sometida a dos esfuerzos(Resistencia “R” y fuerza “F”) y apoyada en unpunto.Según la posición de la resistencia “R”, fuerza “F”y punto de apoyo “A”, puede ser: inter-apoyantes,inter-resistentes e interpotentes.r fO FARfO rA FRrO fA FRwww.elsolucionario.net
    • - 170 -Donde:R = resistenciaA = apoyoF = fuerza de acciónCONDICIONES DE EQUILIBRIO DE LAPALANCAΣ Mo= 0 que es lo misom que:R . r = F . fDonde:r = brazo de resistenciaf = brazo de fuerzaTORNO O CABRESTANTEEs una palanca inter-apoyante.R . r = F . ffRr fAFRPOLEA FIJAEs una palanca inter-apoyante. No ahorra fuerza.R = Fr rAFRPOLEA MÓVILEs una palanca inter-resistente.AFRF = ––2r rRPOLEA MÓVIL DE FUERZAS NOPARALELASEs una palanca inter-resistente.F1F1AFα/2 a/2r rαRF = –––––––α2 cos ––R 2www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 171 -POLIPASTOSon de tres clases: Aparejo potencial o trocla,aparejo factorial o motón y aparejo diferencial otecle.a) APAREJO POTENCIAL O TROCLAEs un conjunto de poleas móviles con una fija.RF = ––23R––8R––4R––2RF = ––R 2nb) APAREJO FACTORIAL O MOTÓNEs un conjunto de poleas móviles y un con-junto de poleas fijas.RF = ––6d1RF = ––nn = número total de poleas entremóviles y fijas.d2Rc) APAREJO DIFERENCIAL O TECLEConsta de una polea con 2 diámetros distintosy con periferias dentadas y una polea fija tam-bién con perímetro dentado, la cual lleva lacarga.rFRW W__ __2 2W (R - r)F = ––––––––2RWB) TIPO PLANO INCLINADO:1. PLANO INCLINADOComo su nombre lo indica es un plano incli-nado que forma un ángulo α con la horizontal.F h–– = ––P dBFdα hP cos αPαA CP sen αwww.elsolucionario.net
    • - 172 -2.- TORNILLO, GATO O CRICdPF h–– = ––––P 2πdFh3.- CUÑAEs una pieza mécanica que puede tener laforma de un cono o una cuña propiamentedicha.d/2 d/2αh R cos α R cos αR Rl2RdF = –––––––––_______√d2+ 4h2VENTAJA Y RENDIMIENTO MECÁNICOa) Ventaja mecánica actual o real “VA”WVA= –––FW = peso o resistencia que vencerF = fuerza real empleada para vencer “W”b) Ventaja mecánica ideal “Vi”fVi= –––rf = desplazamiento de la máquina en vacio.r = desplazamiento de la máquina en carga.c) Rendimiento mecánico.-TuRe = –––TmVARe = –––ViTu = trabajo útil realizado por la máquina.Tm = trabajo motor o trabajo recibido por lamáquina.C) DINÁMICAParte de la mecánica que trata de las leyes del mo-vimiento en relación con las fuerzas que lo pro-ducen. Se divide en Hidrodinámica, que se ocupade la mecánica de los liquidos, Aerodinámica odinámica de los gases y Dinámica de los puntos ode los cuerpos rígidos.PRINCIPALES CONCEPTOSFUERZAEs un concepto matemático, que se puede definircomo todo aquello que modifica el estado demovimiento de un cuerpo. TODA FUERZAAPARECE COMO RESULTADO DE LAINTERACCIÓN DE LOS CUERPOS.MASAEs la cantidad de materia que hay en un cuerpo.Un concepto más cabal: masa es la medida de lainercia de un cuerpo, a mayor masa mayor inercia.PESOEs la “fuerza” que hace la Tierra para atraer lamasa de un cuerpo hacia su centro.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 173 -RELACIÓN ENTRE PESO Y MASAPm = ––gNUnidades SI: –––– = kgm/s2m = masa, en kgP = peso de la masa “m”, en Ng = aceleración de la gravedad terrestre; en m/s2La unidad de masa del SI es el KILOGRAMO“kg”:N mkg = –– ⇒ N = kg . ––m S2––s2∴ 1 KILOGRAMO “kg”.- Es la masa que hay en1 dm3de agua pura a 4 ºC.SEGUNDA LEY DE NEWTONLa aceleración que adquiere un cuerpo de masa “m”,bajo la acción de una fuerza “F”, es directamenteproporcional a la fuerza “F” e inversamente propor-cional a la masa “m”.Fa = –––mUNIDADES DE FUERZA1 NEWTON:(unidad de fuerza del SI):Es la fuerza que se aplica a 1 kg para provocarlela aceleración de 1m/s2.m1N = 1kg . ––S21 DINA:Es la fuerza que se aplica a 1 g para provocarle laaceleración de 1 cm/s2.cm1 dina = 1 g . –––S21 POUNDAL:Es la fuerza que se aplica a 1 lib-masa para provo-carle la aceleración de 1pie/s2.pie1 Poundal = 1 lib - m . –––s21 LIBRA- FUERZA:Es la fuerza que se aplica a 1 slug para provocar-le la aceleración del pie/s2.pie1lib - f = 1 slug . –––s21 slug = 32,2 lib - masaRESUMENEl sistema oficial es SI, los demás son sólo referen-ciales:SISTEMA MASA FUERZAmSI kg N = kg . ––s2cmaceptadas g dina = g . –––por SI s2pieF.P.S. lib-m poundal = lib-m . –––s2pieTec. Inglés slug lib-f = slug . –––s2EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE MEDIDA DEMASA Y FUERZA1 kg = 1 000 g 1N = 105dinas1 slug = 32,2 lib-m 1N = 0,224 lib-f1 lib-f = 32,2 poundalwww.elsolucionario.net
    • - 174 -ROZAMIENTO, FUERZA DE ROZAMIENTO OFRICCIÓNEs una fuerza tangencial que está presente entre dossuperficies en contacto y que se opone al movimien-to relativo (desplazamiento) de uno con respecto alotro. Puede ser rozamiento estático o cinético.FeRµe = ––– o µe = –––N NFcµe = ––– NNFeRPµe= coeficiente de rozamiento estático (cuandoestán en reposo).µc= coeficiente de rozamiento cinético (cuandoestán en movimiento).Fe= R = fuerza mínima para romper el estado dereposo.Fc= Fuerza necesaria para mantener un cuerpoen movimiento.N = fuerza perpendicular al plano de apoyo deun cuerpo.P = peso de un cuerpo, el vector que lo repre-senta siempre está dirigido al centro de laTierra. (Es vertical).NOTA: Con freceuncia se usa µ por µeDINÁMICA DE LA ROTACIÓN O ROTACIÓNDINÁMICAEs el estudio de la rotación o giro de una masa mate-rial “m” alrededor de un punto.DINÁMICA CIRCUNFERENCIALUn cuerpo en rotación siempre tiene una aceleracióncentrípeta “ac”. La fuerza centrípeta “Fc” ocasiona lapresencia de la aceleración centrípeta.La fuerza centrípeta nunca es una fuerza independi-ente aplicada a un cuerpo, es la resultante de todas lafuerzas radiales aplicadas al cuerpo.V2Vac= –––R acRLa TENSIÓN de una cuerda que sirve de radio degiro en un movimiento circuferencial de un plano,varía con la posición del cuerpo que gira. Así:AE TATEmgmg sen ββmg cos βTBBmgθTDD TCmgmg cos θmg sen θ CmgmgEn A : TA= Fc- m . gEn B : TB= FcEn C : TC= Fc+ m . gEn D : TD= Fc+ m . g . cos θEn E : TE= Fc- m . g . cos βwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 175 -MOMENTOS DE INERCIA DE ALGUNOS SOLIDOSm . R2m . R2m . h2I = –––––– I = –––––– + –––––2 4 12EjeEjem mRhCilindro macizo con respecto a su eje. Cilindro macizo cos respecto a un diámetro central.2 2I = –– m . R2I = –– m . R25 3Ejem 2R m 2RREjeEsfera maciza con respecto a un Cascarón esférico muy delgado con respecto a undiámetro cualquiera (eje). diámetro cualquiera (eje).m . h2m . h2I = –––––– I = ––––––12 3Eje Ejeh hVarilla delgada respecto a un eje que pasa por el Varilla delgada respecto a un eje que pasa por uncentro y perpendicular a la longitud. extremo perpendicular a la longitiud.Donde:V2Fc= FRAD- m . ac= m . –––RMOMENTO DINÁMICO DE ROTACIÓN: “M”FM = m . γ . R2(I)Rmm = masa que rota, en kgγ = aceleración angular, en s-2R = radio rotación, en mMOMENTO DE INERCIA: “I”Es la resistencia que ofrece a la rotación de un cuerpo.I = m . R2(II)Comparando (I) con (II):M = γ . Iwww.elsolucionario.net
    • CENTRO DE GRAVEDADEs el punto donde se supone está concentrado todo el peso de un cuerpo.TEOREMA DE VARIGNON“En cualquier sistema de fuerzas se cumple que, la suma de todos los momentos producidos por las fuerzascomponentes, con respecto a un punto, es igual al momento producido por la fuerza resultante con respec-to al mismo punto”.Tomando momentos con respecto al punto “A”:x1xx2x3AF3F2F1R- 176 -m . R23I = –––––– I = –– m . R2I = m . R22 2Eje EjeEjeAro con respecto a cualquier Aro con respecto a cualquier Aro con respecto a su ejediámetro (eje). línea tangente (eje).m a2+ b2I = –– (R2+ r2) I = m . ––––––2 12cam Eje EjebCilindro anular (o anillo) con respecto Paralelepípedo con respecto al eje central.al eje del cilindro.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 177 -Expresión que sirve para calcular el punto deaplicación de las resultantes.F1. x1+ F2. x2+ F3. x3= RxF1. x1+ F2. x2+ F3. x3∴ x = ––––––––––––––––––––––RPOSICIÓN DEL CENTRO DE GRAVEDADSe determina con respecto a un sistema de ejes coor-denados ( xg,yg) mediante la relación: C.G. (x, y)F1. x1+ F2. x2+ …xg= ––––––––––––––––––F1+ F2+ …F1. y1+ F2. y2+ …yg= ––––––––––––––––––F1+ F2+ …Ejemplo:Hallar las coordenadas del centro de gravedad dela figura:y8A2108 A3A12 5xLos pesos o fuerzas “F” son perpendiculares a lasáreas “A”:A1= 2 . 2 = 4 ; x1= -5 , y1= 0A2= 10 . 8 = 80 ; x2= 0 , y2= 4A3= 8 . 5 = 40 ; x3= 8 , y3= 1,5A1. x1+ A2. x2+ A3. x3xg= –––––––––––––––––––––––A1+ A2+ A3A1. y1+ A2. y2+ A3. y3yg= ––––––––––––––––––––––A1+ A2+ A3Sustituyendo valores numéricos:4(-5) + 80 . 0 + 40 . 8∴ xg= ––––––––––––––––––– = 2,424 + 80 + 404 . 0 + 80 . 4 + 40 . 1,5yg= –––––––––––––––––––– = 3,064 + 80 + 40CENTROS DE GRAVEDAD DE FIGURASGEOMÉTRICASDE PERÍMETROS:De una línea: es el punto medio.C.G.Del perímetro de un triángulo: es la intersecciónde las bisectrices del triángulo formado al unir lospuntos medios de los lados.C.G.De un paralelogramo: es la intersección de lasdiagonales.C.G.www.elsolucionario.net
    • - 178 -De un rectángulo: es la intersección de las dia-gonales.C.G.De una circunferencia: es su centro.C.G.De una semicircunferencia: está a 2r/π de la base.2ry = ––πC.GyDe un arco de circunferencia:cuerdaestá a r . –––––– ; del centro.arcoArC.G.OxrBAB (cuerda)x = ––––––––––°AB (arco)DE ÁREAS:De un triángulo: es la intersección de las medi-anas, a 1/3 de la base.C.G.De un paralelogramo: rombo, rectángulo ycuadrado, es la intersección de las diagonales.C.G.C.GC.G.C.GTrapecio:B + 2b hy = –––––– . ––B + b 3De la base mayor.bC.G.hyBwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 179 -De un semicírculo:4ry = –––3πDe la baseC.G.yr rDe un cuadrante de círculo:4rx = y = –––3πr C.G.yxDe un sector circular:2 cuerda ABx = –––––––––– . r3 arco ABDel centroArC.G.xOrBDE VOLUMENES:De un prisma o cilindro, en eje:hy = ––2De la baseC.G h C.G.y yPirámide o cono, en el eje:hy = ––4De la basehC.G.hC.G.yDe una esfera, es el centro de la figura.R C.G.De una semiesfera:3Ry = –––8De la base.C.G.yRwww.elsolucionario.net
    • - 180 -TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍAA) TRABAJOEs lo realizado por una fuerza, aplicada sobre unamasa, cuando la desplaza una distancia. El traba-jo es una magnitud escalar.T = F . d Unidades SI: N.m.dFEn general:T = f . d . cos αdFαUNIDADES DE TRABAJOLa unidad SI de trabajo es el JOULE “J”. Un sub-múltiplo es el ERGIO “erg”.1 JOULE (Unidad SI)Es el trabajo realizado por la fuerza de 1 newtonque, aplicado sobre un cuerpo lo desplaza unadistancia de 1 m.1 J = 1 N . 1 m1 ERGIO “erg” (No es unidad SI)Es el trabajo realizado por la fuerza de 1 dina, queaplicada a un cuerpo lo desplaza una distancia de1 cm.1 erg = 1 dina . 1 cmEQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE TRABAJO1 J = 107ergB) POTENCIAEs el trabajo realizado en un tiempo determinado:TP = ––tDonde:P = potencia media.T = trabajo realizado por una fuerza, en J.t = intervalo de tiempo empleado, en s.UNIDADES DE POTENCIALa unidad de potencia es el watt “W”1 WATT “W”Es el trabajo realizado por 1 joulio en 1 segundo.1 J1 W = ––––1 s1kW . h = 3,6 . 106J1 H.P. (Horse Power)Es el trabajo realizaco por 735 N.m en 1 segundo.735 N . m1 H.P. = –––––––––so:735 J1 H.P. = ––––––sC) ENERGÍAEs la capacidad que tiene todo cuerpo pararealizar un trabajo. Puede ser: Energía Potencial yEnergía Cinética.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 181 -ENERGÍA POTENCIAL (Ep)Es la capacidad almacenda para realizar un trabajoque tiene un cuerpo en reposo, en virtud a su peso ya su altura, con respecto a un nivel de referencia.Ep = P . hP hNivel de ReferenciaENERGÍA CINÉTICA (Ec)Es la capacidad que tiene un cuerpo, en movimiento,para realizar un trabajo en virtud a su masa “m” y asu velocidad “V”.1Ec = –– m . V22VP = m . gNOTA.-Las unidades de medida son iguales a las detrabajo.TRABAJO TRANSFORMADO O ENERGÍATRANSFORMADA. CONSERVACIÓN DE LAENERGÍAEs el trabajo realizado o energía desarrollada por uncuerpo en movimiento al pasar de una posición “A”a una posición “B”.TA - B= Ecf– EciTA - B= Trabajo realizado por una fuerza “F” de Ahasta B.Ecf= Energía cinética final.Eci= Energía cinética inicial.FA d BTRABAJO EN LAS ROTACIONEST = M . αT = Trabajo, en JM = Momento aplicado al cilindro (F.R), en N . mα = Angulo girado por el cilindroRFwww.elsolucionario.net
    • - 182 -ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN1Ec= –– . I . ω22I = momento de inercia (m . R2)ω = velocidad angular (γ . t)UNIDADES DE TRABAJO Y ENERGÍAJ erg kW . h1 J 1 1072,78 . 10 -71 erg 10-101 2,78 . 10 -141 kW . h 0,36 . 1070,36 . 10141UNIDADES DE POTENCIAW kW erg/s HP1W 1 0,001 107136 . 10 -51 kW 1000 1 10101361 erg/s 10 -710 -101 136 . 10 -101 HP 735 0,735 735 . 1071IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTOIMPULSO es el esfuerzo “F” que se hace durante untiempo muy pequeño “∆t” sobre una masa, paradarle un movimiento.→ →I = F . ∆t Unidades SI: N . sCANTIDAD DE MOVIMIENTOEs la velocidad “V” impresa a una masa “m” con unafuerza determinada.→ →C = m . VEL MOVIMIENTO OSCILATORIO Y ELPÉNDULOA) PÉNDULO SIMPLEPéndulo, es un objeto cualquiera que está sus-pendido de un punto fijo, mediante una cuerda.ELEMENTOS DE UN PÉNDULO SIMPLEα αLhA B1) LONGITUD “L”, de la cuerda, desde el punto desuspensión hasta el centro de gravedad del objetosuspendido, medido en m.2) OSCILACIÖN “2AB”, es el arco recorrido en ida yvuelta por el objeto suspendido desde una de lasposiciones extremas a la otra, medido en rad.3) PERÍODO “T”, tiempo que demora en una oscila-ción, medido en s.4) AMPLITUD “α”, ángulo barrido por la cuerda delpéndulo con una de sus posiciones extremas y lavertical, medido en rad.5) FRECUENCIA “f”, es el número de oscilacionesen cada unidad de tiempo, medido en hertz; secalcula así:1 1f = –– Unidades SI: –– = hertT sLEYES DEL PÉNDULO1ra. Ley:El período “T” de un péndulo, es independientede su oscilación “2AB”.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 183 -2da. Ley:El período “T” de un péndulo, es independientede su masa “m”.3ra. Ley:El período “T” de un péndulo es directamente pro-porcional a la raíz cuadrada de la longitud de “L”.T T1–––– = ––––__ __√L √L14ta. Ley:El período “T” de un péndulo es inversamente pro-porcional a la raíz cuadrada de la gravedad “g”.T T1–––– = ––––__ __√g1√gPÉNDULO QUE BATE SEGUNDOSEs aquel péndulo cuyo período dura 2 segundos.T = 2sFÓRMULA GENERAL DEL PÉNDULO:–––LT = 2π –––√ gMOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE OMOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICOEs un movimiento periódico y lineal, cuya acel-eración “a” es directamente proporcional a sudesplazamiento “x” pero con sentido contrario:a = - K . xELEMENTOS DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICOSIMPLEEl movimiento armónico simple es el movimientolineal que realiza la proyección “P”, sobre undiámetro, de un punto “M” que se desplaza sobreuna circunferencia con velocidad circunferencialuniforme.QVt= w RS MO α V PxR RLos elementos son:→ELONGACIÓN “x”.- Es una magnitud vectorialcuyo valor se mide desde el centro de la circun-ferencia o desde el centro de vibración, hasta “P”.Se calcula asi:x = R . cos (ω t)2π . tx = R . cos ––––– unidades SI: mTx = R . cos 2π . f . tAMPLITUD “R”.- Es la elongación máxima.PERÍODO “T”.- Tiempo que demora el punto “P”en hacer una vibración; es decir, una “ida yvuelta”. Se calcula así:Tiempo transcurridoT = ––––––––––––––––––––Número de vibracionesFRECUENCIA “f”.- Es el número de vibracionespor unidad de tiempo, se mide en ciclos porsegundo (c.p.s) y se denomina “hertz”. Se calcu-la así:Número de vibracionesf = ––––––––––––––––––––Tiempo transcurridoo:1f = ––Twww.elsolucionario.net
    • - 184 -RESORTESFUERZA DEFORMADORA: LEY DE HOOKEPara cambiar la forma de un cuerpos se requiere laacción de una fuerza que se llama “fuerza defor-madora”, la cual es proporcional a la deformación,siempre que no se pase del límite de elasticidad delcuerpo deformado.La ley de Hooke se expresa así:F = K . xK = constante elástica, propia de cada materialx = deformación o elongaciónFxFUERZA RECUPERADORA:F = -K . xVELOCIDAD, ACELERACIÓN, PERÍODO YFRECUENCIACÁLCULO DE LA VELOCIDAD “V”V = Vt. sen ω tα = ω tV = -2π . f . R . sen 2π . f . t2 π. R 2πV = –––––– . sen ––– . tT T_______V = ± 2π . f √ R2– x2CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN4π2a = - –––– . xT2o:a = - ω2. xo:a = - 4π2. f2. xVELOCIDAD Y ACELERACIÓN MÁXIMAS______Si V = ± 2 π . f √R2– x2; V es máxima cuando x = 0∴ Vmáx= ± 2π . f . RLa aceleración máxima se obtiene en los extremos; esdecir, en la elongación máxima cuando x = ± R.Si a = - ω2x, aceleración es máxima cuando x = ± R∴ amáx= ϯ ω2. Ro:amáx= ϯ 4π2. f2. Ro:4π2amáx= ϯ –––– . RT2PERÍODO Y FRECUENCIA_____mT = 2π –––√ K____1 Kf = ––– –––2π √mdonde:m = masa del cuerpo que tiene movimientoarmónico, medido en kg.K = constante de elasticidad del resorte o elástico.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 185 -DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICOLa densidad “δ” es el resultado de comparar, por divi-sión, la masa “m” de un cuerpo con su volumen “V”.mδ = ––VPeso específico “ρ” es el resultado de comparar, pordivisión, el peso “W” de un cuerpo entre su volu-men “V”.Wρ = ––VRELACIÓN ENTRE DENSIDAD Y PESOESPECÍFICOSu deducción:Wρ = ––VPero: W = m . gm . g⇒ ρ = –––––VmPero: –– = δVFinalmente:ρ = δ . gESTÁTICA DE LOS FLUÍDOSEs el estudio de los líquidos en reposo. También se ledenomina HIDROSTÁTICA que es sólo el estudiodel agua en reposo.CONCEPTOS Y DEFINICIONESPRESIÓN (P)Es una magnitud tensorial. La unidad SI de presiónes el PASCAL “Pa”.NPa = –––m2La presión es la acción de una fuerza “F” repartida enun área “A”.FAFP = ––APRINCIPIO DE PASCALLa presión que soporta un líquido lo transmite entodas direcciones y en la misma magnitud.Ejemplo:La fuerza “F” sobre el émbolo es 60 N, área delémbolo 0,2 m2. Cada orificio tiene 1 cm2, la pre-sión con que sale el agua por cada orificio es:F 60NP = –– = ––––– = 300 PaA 0,2m2o:NP = 300 –––m2PRENSA HIDRÁULICAEn una prensa hidráulica, la fuerza se multiplica aúncuando la presión por unidad de área es la misma.F1A1h1h2A2F2www.elsolucionario.net
    • - 186 -Multiplicación de fuerzaF1F2––– = –––A1A2Carrera o desplazamiento (h1, h2) de los émboloso pistones.h1h2––– = –––A1A2PRINCIPIO DE LA HIDROSTÁTICALa presión que soporta un cuerpo que está sumergidoen un liquido se distribuye en toda la superficie delcuerpo y en forma perpendicular a esta superficie.PRESIÓN HIDROSTÁTICASea un cuerpo A sumergido.P = h . ρh = produndidad a la que está sumergido el cuer-po, en m.ρ = peso específico del líquido, n N/m3PhAVASOS COMUNICANTESSon un conjunto formado por dos o más recipientesconectados entre sí. Cuando al sistema se le llena unmismo líquido, el nivel superior en todos los recipi-entes alcanza el mismo nivel horizontal.LEY FUNDAMENTAL DE LAHIDROSTÁTICA“La diferencia de presiones entre dos puntos, en unmismo líquido, es igual al peso específico del líqui-do por la diferencia de profundidades”.∆P = ρ (hA- hB)hBhABAE→EMPUJE HIDROSTÁTICO: E1) Todo cuerpo sumergido en un fluído soporta unafuerza de abajo hacia arriba, perdiendo aparente-mente una parte de su peso, esa fuerza se llamaempuje “E”.2) El volumen “V” de un líquido que es desalojadopor un cuerpo cuando se sumerge en un líquido,es igual al volumen del cuerpo.3) La aparente pérdida de peso, cuya magnitud esigual a la del empuje que experimenta un cuerposumergido en un líquido, es igual al peso del vol-umen del líquido desalojado.PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES“El empuje “E”, o aparente pérdida de peso queexperimenta un cuerpo sumergido en un líquido, esigual al peso del volumen del líquido desalojado”.→E = V . ρwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 187 -E = empuje del líquido = pérdida aparente depeso del cuerpo.V . ρ = peso del líquido desalojadoV = volumen del cuerpo = volumen del líqui-do desalojado.ρ = peso específico del líquidoPBERELACIÓN ENTRE EL EMPUJE Y EL PESOESPECÍFICO DE LÍQUIDOS“El empuje que soporta un cuerpo sumergido en unlíquido, es directamente proporcional al pesoespecífico del líquido”.E1E2––– = –––ρ1ρ2NEUMOLOGÍAEs el estudio de los gases. Los gases son fluidos aero-formes.Los principios de Pascal y Arquímides tratados eneste capítulo se cumple también para los gases.Principio de Pascal“La presión externa ejercida sobre un gas se trans-mite íntegramente a toda la masa gaseosa”.Principios de Arquímides“Todo cuerpo sumergido en un gas, experimenta laacción de una fuerza vertical de abajo hacia arribaque es igual al peso del volumen del gas desaloja-do”. Esta la razón por la que algunos cuerpos muylivianos, como un globo lleno de Helio, se elevanen la atmósfera.FUERZA ASCENSIONAL (Fas).-Es una fuerza vertical de abajo hacia arriba que ejerceun gas sobre un cuerpo sumergido en su masa.Fas= E – wE = empuje del gas, hacia arribaW = peso del cuerpoEL CALOREs una forma de energía de los cuerpos como conse-cuencia de la vibración molecular. El calor tambiénse define como “energia de transito”.La unidad de calor SI es el JOULE “J”. Tasmbiénpuede usarse la CALORIA “cal”.A) DILATACIÓNEs el aumento que experimenta un cuerpo en susdimensiones.A.1) DILATACIÓN LINEAL “∆L”Es el aumento en su longitud (una dimensión)que experimenta una barra.∆L = λ . L . ∆tDonde:∆L = dilatación lineal, en m.λ = coeficiente de dilatación lineal propio decada cuerpo.L = longitud de la barra, en m.∆t = variacíon de la temperatura, en Cº.LONGITUD FINAL “Lf”Es la longitud al final de la elevación de la tem-peratura.Lf= L (1 + λ . ∆t )www.elsolucionario.net
    • - 188 -A.2) DILATACIÓN SUPERFICIAL “∆AÁREA FINAL “Af”Dilatación superficial, es el aumento que exper-imenta un cuerpo en sus DOS dimensiones.∆A = β . A . ∆tAf= A(1 + β . ∆t)A.3) DILATACIÓN VOLUMÉTRICA “∆V”VOLUMEN FINAL VfDilatación volumétrica es el aumento queexperimenta un cuerpo en sus TRES dimen-siones.∆V = γ . V . ∆tVf= V (1 + γ . ∆t)VARIACIÓN DEL PESO ESPECÍFICO “ρ” CON LATEMPERATURA.-ρiρf= ––––––––1 + γ . ∆tρf= peso específico final.ρi= peso específico inicial.γ = coeficiente de dilatación volumétrica.B. CALORIMETRÍAEs el estudio de la medida del calor.UNIDADES PARA MEDIR EL CALOR1) JOULE “J”.- Es la unidad SI para medir el calor.2)CALORÍA “cal” (no es sistema SI).- Es otra unidadpara medir el calor. Se define así:“Es la cantidad de calor que necesita la masa de 1gramo de agua pura para elevar su temperaturaen 1 °C (de 14,5 °C a 15,5 °C).1 cal = 4,186 J3) B.T.U. (British Termical United)(No es unidad SI).-Es la unidad inglesa para medir el calor, se defineasí: “Cantidad de calor que necesita 1 libra-masade agua pura para subir su temperatura en 1 °F.EQUIVALENCIA DE 1 B.T.U. EN CALORÍAS1 B.T.U. = 252 caloríasCALOR ESPECÍFICO “C.e.”Es la cantidad de calor que gana o pierde la masa de1 g de una sustancia para subir o bajar 1 °C su tem-peratura.ALGUNOS CALORES ESPECÍFICOScal(en ––––––)g . °CLíquidosAgua 1,00Agua de mar 0,95Alcohol 0,60Mercurio 0,033SólidosAluminio 0,212Cobre 0,093Fierro 0,11Hielo 0,53Plomo 0,031Zinc 0,093www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 189 -LEY DE DULONG Y PETITMa . Ce = 6,22Ma = masa atómica de un elemento, en gCe = calor específico del elemento, en cal/g . °CCALOR SENSIBLE “Q” (CALOR GANADO OPERDIDO)Es la cantidad de calor que un cuerpo gana o pierdeal variar su temperatura.Q = Ce . m . ∆tQ = cantidad de calor ganado o perdido, en calC.e. = calor específico, en cal/g . °Cm = masa del cuerpo, en g∆t = variación de la temperatura, en °CEQUIVALENCIA EN AGUA DE UNCALORÍMETROEs una porción de masa de agua “M” que absorbe lamisma cantidad de calor que la masa “m” de uncalorímetro.MH2O. CeH2O= mcal. CecalTEOREMA FUNDAMENTAL DE LACALORIMETRÍAAl ponerse en contacto 2 cuerpos, hay una trans-misión de calor y “el calor ganado por uno de elloses igual al calor perdido por el otro”.Q calor ganado por= Q calor perdidouno de ellos por el otroCAPACIDAD CALORÍFICA “Cc”Es la cantidad de calor que absorve cierta masa de uncuerpo para elevar su temperatura en 1 °C.CC= m . CeTEMPERATURA DE EQUILIBRIO DE UNAMEZCLA.- TEMPERATURA FINAL “tf”Está dada bajo el principio fundamental de que enuna mezcla de cuerpos de temperaturas diferentes, elcalor entregado por uno de los cuerpos es igual alcalor absorbido por el otro, lo que origina una tem-peratura intermedia de la mezcla, llmada tambiéntemperatura final “tf” o temperatura de equilibrio.Q1= Q2Ce1. m1. t1+ Ce2. m2. t2+ ...tf= ––––––––––––––––––––––––––––Ce1. m1+ Ce2. m2+ ...C. CAMBIO DE FASEPor acción del calor todos los cuerpos cambian defase o de estado. Mientras dura el cambio de fase,la temperatura no varía.CALORES LATENTESEs la cantidad de calor que gana o pierde una unidadde masa durante el cambio de estado.QCf= ––MDe fusión, si ganaDe solidificación, si pierdeQCv= ––mDe vaporización, si ganaDe condensación, si pierdeD. TRANSMISIÓN DE CALOREl calor se transmite por CONVECCIÓN en loslíquidos y gases, por CONDUCCIÓN en los sóli-dos y por RADICACIÓN. En este libro se tratasólo la transmisión del calor por conducción.www.elsolucionario.net
    • - 190 -TRANSMISIÓN DEL CALOR PORCONDUCCIÓNEs el calor que pasa a través de la masa de un cuerpo.sCANTIDAD DE CALOR TRANSMITIDO “Q”Es la cantidad de calor que pasa de un punto a otro através de un conductor.Q = KSGτQ = cantidad de calor transmitido a través delconductor.K = coeficiente de conductibilidad térmicapropia de cada sustancia.S = sección del conductor.G = gradiente o caída de la temperatura (t1- t2).τ = tiempo durante el cual se ha transmitido elcalor.t1- t2G = ––––––ee = espesor del conductor o longitud segúnsea el caso.t1- t2= diferencia de temperaturas en las caras deun cuerpo.TRABAJO MECÁNICO DEL CALORExperimentalmente, Joule encontró el equivalentemecánico del calor:1 cal = 4,186 J1 J = 0,24 calTERMODINÁMICA“Es el estudio de la fuerza mecánica del calor” o tam-bién “el estudio de la relación que existe entre elcalor y el trabajo”.TRABAJO REALIZADO POR UN GAS: “W”Cuando se calienta un gas a presión “P” constante, serealiza un trabajo (Ley de Charles).W = P . ∆V Unidades SI: JP = presión que soporta el gas constante∆V = variación de volumen∆V = V2– V1PP∆hV1V21 atm . L = 101,3 N . mo:1 atm . L = 101,3 Jo:1 atm . L = 24,15 calwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 191 -CALOR ABSORBIDO POR UN GAS: “Q”Es la cantidad de calor que absorbe una masa gaseosa“m” para aumentar su temperatura “∆t”, mantenien-do su presión o su volumen constante.QQ = Ce . m . ∆t ⇒ Ce = –––––––m . ∆tQ = calor absorbido por un gas en “J”M = masa del gas que absorbe calor en “g”∆t = variación de la temperatura en “°C”calCe = calor específico del gas en –––––g . °CPRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA“En toda transformación entre calor y trabajo la can-tidad de calor entregado a un sistema es igual al tra-bajo realizado “W”, más el aumento de su energíainterna “∆E”.Q = W + ∆EQ = calor entregadoW = trabajo realizado∆E = variación de energía internaRENDIMIENTO “R” O EFICIENCIA EN UNAMÁQUINA TÉRMICAEl rendimiento de una máquina térmica que absorbecalor para transformarlo en trabajo, depende delcalor entregado “Q” y el trabajo realizado “W”:W% = –– . 100Qo:Q1– Q2R = –––––––Q1o:T1– T2R = –––––––T1Q1= calor entregado en “J”.Q2= calor absorbido por la fuente fría o calor noaprovechado en realizar trabajo, en “J”.T1= temperatura absoluta mayor en “K”.T2= temperatura absoluta menor en “K”.SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA(Rudolf Clausius 1850)“En una máquina térmica es imposible el movimien-to continuo que, sin recibir calor del exterior, puedatransferir calor un foco frío a otro foco caliente”.ELECTROSTÁTICAEstudia las cargas eléctricas en reposo.PRIMERA LEY DE LA ELECTROSTÁTICAEs una ley CUANTITATIVA: “Los cuerpos cargadoscon el mismo signo de electricidad se repelen, loscuerpos cargados con signos contrarios se atraen”.TABLA TRIBOELÉCTRICALa tabla indica que: una sustancia frotada con la quele precede en el orden de la tabla, se carga negativa-mente; frotada con la que le sigue se carga positiva-mente.1. Piel de gato 5. Marfil2. Vidrio 6. Seda3. Mica 7. Algodón4. Lana 8. PlatinoSEGUNDA LEY DE LA ELECTROSTÁTICA:LEY DE COULOMBEs una ley CUANTITATIVA: “La fuerza de atraccióno repulsión en la línea que une los centros entre doscargas electrostáticas, es directamente proporcionalal producto de sus masas eléctricas, e inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia que separasus centros”.www.elsolucionario.net
    • - 192 -Se atraen:dF F+ -Q qSe repelen:dF F+ +Q qQ . qF = K –––––d21 Q . qF = –––– . –––––4πε d2F = fuerza de atracción o repulsión, en newtons(N).Q,q = masas eléctricas que pueden ser positivas y/onegativas, en coulombios (C).d = distancia entre los centros de masa eléctrica,en metros “m”.K = coeficiente de proporcionalidad que dependedel medio ambiente y de las unidades de F,Q, q, d.ε = coeficiente de permitividad del medio, enC/N . m2.UNIDADES ELÉCTRICASUNIDADES SIF, en newton “N”Q y q, en coulombio “C”d, en metro “m”N . m2K = 9 . 109––––––C2(en el vacío o en aire)PERMITIVIDAD “ε”Es el grado de dificultad que ofrece una medio alpaso de la corriente eléctrica.El valor de K depende de la permitividad.La permitividad en el aire o en el vacío se denota “εo”1K = –––––– (I)4π . εO1 CεO= ––––––––––– . –––––– (α)4π . 9 . 109N . m2CεO= 8,85 . 10 -12–––––– (β)N . m2Sustituyendo (α) en (I):N . m2K = 9 . 109––––––C2En un medio distinto al aire o vacìo la permitivi-dad es siempre mayor.ε > εOo:ε = γ . εOγ = constante adimensional, llamada constantedieléctrica relativa o capacidad inductivaespecífica.En el vacío o en el aire: γ = 1UNIDADES ELÉCTRICAS COULOMB “C”Es la unidad SI de masa eléctrica, se define como:“una carga eléctrica situada frente a otra igual, a 1 mde distancia y en el vacío, que se repelen o se atraencon una fuerza de 9 . 109N.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 193 -EQUIVALENCIAS (e = carga de un electrón)1 C = 8,25 . 1018e1 C = 3 . 109u.e.q.1 (-e) = 1,6 . 10-19C1 (+e) = 1,6 . 10 -19C1 u.e.q. = 0,33 . 10-9C1 u.e.q. = 2,72 . 109e1 e = 0,48 . 10-9u.e.q.Masa 1 e = 9,11 . 10-31RgMasa 1 protón = 1,67 . 10 -27Rg1 u.e.q. = 1 stc = 1 franklinCAMPO ELÉCTRICOEs un “ambiente” que rodea a una masa eléctrica yque está sometido a la influencia de esta carga o masaeléctrica. (Es como la atmósfera que rodea a laTierra).Los campos eléctricos se representan por líneasimaginarias que se llaman líneas de fuerza.Convencionalmente, se acepta que las líneas deacción, o de fuerza de un campo eléctrico “nacen” enuna carga positiva y se “dirigen hacia” una carganegativa.+ -Campo de una carga (+) Campo de una carga (-)(nacen las líneas (llegan las líneasde acción) de acción)CAMPOS DE CARGAS IGUALESLas líneas de acción se rechazan, en ambos casos.+ +Ambas positivas- -Ambas negativasCAMPO DE CARGAS DISTINTASLas líneas de acción se complementan.+ -Carga Cargapositiva negativa→INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO “E”→“Es una magnitud vectorial “E” que representa la→fuerza “F”, de atracción o repulsión, ejercida sobrecada unidad de carga “q” en un punto del campoeléctrico”.→→ FE = ––qwww.elsolucionario.net
    • - 194 -UNIDADES SIF = fuerza, en newton “N”q = carga puntual, en coulomb “C”NE = intensidad de campo, en ––CFFq - + q+INTENSIDAD “E” DEL CAMPO, A UNA DISTAN-CIA “r” DE LA MASA CREADORA DEL CAMPOQE = K ––r2N . m2K = constante = 9 . 109––––––C2NE = intensidad de campo, en ––CQ = masa eléctrica, creadora del campo, encoulombios “C”.r = distancia del “punto”, en el campo, a la car-ga “Q”, en metros “m”.Q+ qr+POTENCIAL ELÉCTRICOPotencial eléctrico de un punto en un campo eléctri-co, es el trabajo que se realiza para trasladar launidad de carga eléctrica ubicada en el infinito, hastael punto P ubicado dentro del campo.W∞→PVP= –––––––qUNIDADES SIVP= potencial en el punto P, en voltios “V”.W∞→P= trabajo realizado para llevar q desde elinfinito hasta P, en joules “J”.q = carga puntual, en coulombios “C”.DIFERENCIA DE POTENCIALEs el trabajo que se realiza para trasladar una cargapuntual desde un punto A hasta un punto B, ambosubicados en el mismo campo.VABJVB- VA= –––– ⇒ V = ––q CB+Q++AEl trabajo “W” puede ser:a) Positivo, si:Potencial de B > Potencial de Ab) Negativo, si:Potencial de B < Potencial de Ac) Nulo, si:Potencial de B = Potencial de Awww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 195 -Comúnmente, se supone A en el infinito, en con-secuencia VA= 0.WB∴ VB= ––––qPOTENCIAL “W” DE UN PUNTO EN FUNCIÓNDE “E” Y “r”V = E . rPOTENCIAL “V” DE UN PUNTO EN LASPROXIMIDADES DE LA CARGA “Q”QV = K ––r1 QV = –––– . ––4πεOrUNIDADES SI:N . m2K = 9 . 109–––––– joulioC2V = –––––––––} coulombioQ = coulombio “C”= voltio “V”r = metro “m”Q BrTRABAJO ELÉCTRICOWAB= q (VB– VA)o:W = q . VW = trabajo, en joules “J”Q = carga trasladada, en coulombios “C”VA= potencial en el punto A, en voltios “V”VB= potencial en el punto B, en voltios “V”1 Q . qW = –––– . –––––4πεOrEsta fórmula permite calcular el trabajo que deberealizarse para separar 2 cargas eléctricas Q y q,una distancia “r” o para juntarlas.CAPACIDAD ELÉCTRICAEs la cantidad de carga eléctrica almacenada por unconductor o por un condensador por unidad dediferencias de potencial.A) CAPACIDAD DE LOS CONDUCTORESAISLADOSQC = ––VUNIDADES SI:C = capacidad, en faradios “F”Q = carga almacenada, en coulombios “C”V = diferencia de potencial, en voltios “V”1 coulombio1 faradio = –––––––––––1 voltioo:CF = ––VEQUIVALENCIA DE 1 FARADIO EN u.e.c.-1 faradio = 9 . 1011u.e.c.OTRAS EQUIVALENCIAS(en micro y pico faradios).-El prefijo SI para 10-12es pico “p”, que sustituye a mm.1 faradio = 106µfwww.elsolucionario.net
    • - 196 -1 µf = 106pf1 faradio = 1012pf1 µf = 9 . 105u.e.c.1 pc = 0,9 u.e.c.B) CAPACIDAD DE UNA ESFERA AISLADASi se considera el potencial “V” en la superficie:QR RC = ––K1Como K = –––– ; se tiene:4πεOC = 4πεORCONDENSADORESSon aparatos o dispositivos que sirven para guardar oalmacenar cargas eléctricas, pero por poco tiempo.Un condensador lo forman dos cuerpos, y entreellos existe un campo eléctrico y una diferencia depotencial.CAPACIDAD DE UN CONDENSADORQC = –––V- +Colector Condensador- +GGenerador TierraDieléctricoCampo eléctricoDiferencia de potencialUnidades que se emplea:u.e.q.c.g.s. : u.e.c. = –––––u.e.v.coulombioUnidades SI: faradio = –––––––––Voltio1 microfaradio “µf” = 10-6faradios1 picofaradio “pf” = 10-12faradiosCAPACIDAD DE UN CONDENSADOR PLANOAC = ––dC = capacidad, en metros “m”.A = área del condensador, en m2.d = distancia entre placas, en m.PARA CALCULAR EN FARADIOS.-AC = τ . εO––dC = capacidad, en faradios “F”τ = constante del dieléctqrico, en el aire y vacío = 1faradiosεO= 8,85 . 10-12––––––––metroG- - - - -- - - - -- - - - -+ ++ + + + + DieléctricoTierraG- +- - + +- - - + +- - - - + +- - - + +- - + +- +Dieléctrico Tierrawww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 197 -CONSTANTES DIELÉCTRICAS “τ”Vacío 1 Ebonita 2,5Aire 1 Gutapercha 4,5Agua 81 Mármol 8,0Alcohol 27 Mica 5,0Bakelita 5,0 Resina 2,5Azufre 3,5 Madera seca 4,5Vidrio 5,5CAPACIDAD DE CONDENSADOR ESFÉRICO YCILÍNDRICOEsfera:RrC = τεO––––R - rRDieléctricorRDieléctricorCilindro:hC = τεO––––––R2 In ––rhC = τεO––––––––R4,6 log ––rASOCIACIÓN DE CONDENSADORESA. EN SERIE O CASCADAC1C2C3-Q -Q -Q+Q +Q +QV1V2V3VA BSUS CARACTERÍSTICAS:1) V = V1+ V2+ V3+ …2) Q = Q1+ Q2+ Q3+ …1 1 1 13) –– = –– + –– + –– + ….C C1C2C3B. EN PARALELOAQ1Q2Q3VC1C2C3BSUS CARACTERÍSTICAS:1) V = V1= V2= V3= …2) Q = Q1+ Q2+ Q3+ …3) C = C1+ C2+ C3+ …www.elsolucionario.net
    • - 198 -C. EN BATERÍA O MIXTO- + - + - +A- + - + - +BG- + - + - +CSUS CARÁCTERÍSTICAS:C1C = N –––nLa capacidad de cada uno de los condensadoreses igual a C1.N = número de conexiones en serien = número de condensadores en cada serieENERGÍA DE UN CONDENSADORCuando un condensador se carga, empieza con Q = 0y por consiguiente la diferencia de potencial tambiénes 0: V = 0, a medida que se va cargando, la diferen-cia de potencial subre de 0 a “V” y el valor medio esla diferencia, entre dos: “V/2”.El trabajo necesario para trasladar una carga “Q” através de una diferencia de potencial “V/2” es:1W = –– VQ2o:1W = –– CV22o:1 Q2W = –– . –––2 CUnidades SI:W en joules “J”.Q en coulombios “C”.V en voltios “V”.C en faradios “F”.ELECTRODINÁMICAEs el estudio de partículas eléctricas en movimientoa través de conductores.CORRIENTE ELÉCTRICAEs el flujo de electrones a través de un conductor.PARTES DE UN CIRCUITO ELÉCTRICOGENERADORConductorInterruptorReceptorUNIDADES SI PARA MEDIR LA CORRIENTEELÉCTRICAINTENSIDADQi = ––ti= intensidad, en amperios: “A”.Q = masa eléctrica, en coulombios: “C”.T = tiempo, en segundos: “s”.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 199 -DIFERENCIA DE POTENCIALWE = ––QE = fuerza electromotriz, (f.e.m.) en voltios“V”.W = energía desplazada, en joulios: “J”.Q = carga eléctrica desplazada, en coulom-bios: “C”.RESISTENCIA ELÉCTRICAER = ––iR = resistencia del conductor o aparato recep-tos, en ohmios: “Ω”.E = f.e.m. en voltios “V”.i = intensidad, en amperios “A”.NOTA.-1) La letra que se usa como símbolo del ohmioes “Ω”.2)Al voltaje o diferencia de potencial tam-bién se le llama “caída de potencial”.3)El “ohmio patrón” es la resistencia queofrece un alambre de mercurio (Hg) de1,063 m de longitud, de 1 mm de diáme-tro de sección, a 0°C, al paso de un am-perio de corriente eléctrica cuando la di-ferencia de potencial es de 1 voltio.RESISTENCIA DE LOS CONDUCTORESLa resistencia, es la dificultad que ofrece un conduc-tor al paso de la corriente.LEY DE POUILLET“La resistencia de un conductor homogéneo, de sec-ción recta constante, es directamente proporcionala su longitud “L” e inversamente proporcional a susección recta “A”.LR = ρ ––AR = resistencia del conductor, en ohmio “Ω”ρ = resistividad, o resistencia específica propia decada material, en ohmios . cmL = longitud del conductor, en metros: “m”A = área de la sección del conductor, en “m2”CONDUCTANCIAEs la inversa de la resistencia.1G = ––RG = conductancia, en ohms: “Ω”R = resistencia, en ohms: “Ω”ASOCIACIÓN DE RESISTENCIASR(a)(b)Representación de una resistencia(a) americana (b) alemanaE+-Representación de un generadorA. EN SERIEEi - + ii iR1R2R3SUS CARACTERÍSTICAS:1) i = i1= i2= ...2) R = R1+ R2+ R3+ …3) E = E1+ E2+ E3+ …www.elsolucionario.net
    • - 200 -B. EN PARALELOi - + iR1i1i1R2i2i2i iR3i3i3SUS CARACTERÍSTICAS:1) i = i1+ i2+ i3+ …i i i i2) –– = –– + –– + –– + …R R1R2R33) E = E1= E2= E3= …Las intensidades en cada ramal son inversamenteproporcionales a sus resistencias:i1i2i2i3–– = –– ; –– = ––R2R1R3R2i1i3–– = ––R3R1FUERZA ELECTROMOTRIZ Y RESISTENCIATOTAL EN UN CIRCUITOCaída de tensión externaEe= i . ReCaída de tensión internaEi= i . riCaída de tensión totalET= Ee+ EiCORRIENTES DERIVADASLEYES DE KIRCHOFFLa dirección que se les asigna a la corriente en cadanudo es arbitraria. Si ha sido equivocada, el procesode solución matemático lo indicará.A i1R3i1B i3Ci2i3R2R4- +r’ir”1E1E2F i1R1i1E D1ra. LEY: DE LOS NUDOS“La suma algebraica de las intensidades de las corri-entes que llegan a un nudo es cero” o “La suma delas intensidades que llegan a un nudo es igual a lasuma de las intensidades que salen del nudo”.∑i = 0Ejemplo:Nudo B : i2+ i3= i12da. LEY: DE LAS MALLAS“La suma algebraica de las fuerzas electromotrices deuna malla cualquiera es igual a la suma algebraicade los productos de las intensidades por las respec-tivas resistencias”.∑E = ∑i . REjemplo:Para la malla ABEFE1+ E2= i1. R1+ i2. r”1+ i2. R2+ i1. R3+ i1. r’1PUENTE DE WHEATSTONE“Si el puente de Wheatstone se halla en equilibrio, elproducto de las resistencias opuestas, son iguales”.R1. R3= R2. R4www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 201 -i1i1R1R2i1i1A Bi2i2R4R3i2i2i+ -EENERGÍA Y POTENCIA DE LACORRIENTE ELÉCTRICAENERGÍA ELÉCTRICAEs la capacidad de la corriente eléctrica para realizarun trabajo. Puede ser: a) Energía consumida poraparatos eléctricos; b) Energía producida por un ge-nerador.a) ENERGÍA CONSUMIDA O DISIPADAW = V . Q (I)UNIDADES SIW = energía consumida, en joules “J”.V = diferencia de potencial, en volts: “V”.Q = carga eléctrica consumida, en coulombios“C”.La fórmula (I) puede tomar otras formas:Si: Q = i . t∴ W = V . i . tVSi: i = ––RV2. t∴ W = –––––RSi : V = i . R∴ W = i2. R . tb) ENERGÍA PRODUCIDA POR UNGENERADORW = E . Q (II)W = energía del generador, en joules “J”.E = f.e.m. del generador, en volts: “V”.Q = carga suministrada por el generador, encoulombs “C”.POTENCIA DE LA CORRIENTE ELÉCTRICAW jouleP = –– (I) watt = –––––t sJW = ––sLa fómurla (I) puede tomar otras formas en fun-ción de otras mediciones de corrientes, así:Si: W = E . QE . Q∴ P = –––––tSi: Q = i . t∴ P = i . EESi: i = ––RE2∴ P = –––RSi: E = i . R∴ P = i2. REQUIVALENCIAS:1 k . W = 103W1kW . h = 3,6 . 106Jwww.elsolucionario.net
    • - 202 -EFECTO JOULE o LEY DE JOULE“El calor “Q” disipado por un conductor al pasar lacorriente a través de él, es directamente propor-cional a la energía eléctrica “W” gastada para vencerla resistencia del conductor”.Q = 0,24 . WSi: W = i2. R . t∴ Q = 0,24 . i2. R . tDonde:0,24 = factor de conversión de joules a calorías(0,24 cal/J).Q = calor producido, en calorías: “cal”.i = intensidad de la corriente, en amperes:“A”.R = resistencia del conductor, en ohms: “Ω”.t = tiempo que circula la corriente, en segun-dos: “s”.1 J = 0,24 calRENDIMIENTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICAPu(I) ρ = –––Ptρ = rendimiento adimensional.Pu= potencia utilizada en watts “W” o “kW”.Pt= potencia suministrada, en watts “W” o “kW”.Pu= Pt- Potencia perdida en el generador.Pu= E . i – i2. R.Sustituyendo en (I) y efectuando:i . Rρ = 1 - ––––Eamperio . ohmio A . Ωρ = 1 - ––––––––––––––– = 1 - –––––voltio VMAGNETISMO YELECTROMAGNETISMOA) MAGNETISMOPropiedad que tienen algunos cuerpos de atraer elhierro, de acuerdo a ciertas leyes físicas.LÍNEAS DE FUERZA DE UN CAMPOMAGNÉTICOSon líneas imaginarias que van de un polo a otro polode un imán.S NLíneas de fuerzas magnéticas en un campo creadopor polos diferentes:N SLíneas de fuerza magnéticas en un campo creado porpolos diferentes:N NLEYES MAGNÉTICAS1ra. LEY CUALITATIVA“Polos iguales se repelen, polos contrarios se atraen”.2da. LEY CUANTITATIVA (Coulomb Magnética)“La fuerza de atracciòn o repulsiòn entre dos polosmagnéticos es directamente proporcional a las ma-sas magnéticas de los polos, e inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia que las separa”.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 203 -m1. m2F = KM. ––––––––d2UNIDADES SI:F = fuerza de atracción o repulsión, en“N”.m1. m2= masas magnéticas de los polos, enamperio . metro “A . m”.d = distancia entre polos, en metros “m”.KM= constante magnética.N . m2= 10 -7–––––––(A . m)2m1m2F FdDEFINICIÓN DE “A . m”“La unidad de masa magnética “A . m” es la que escapaz de rechazar o atraer a otra masa magnéticaigual y que esté a 1 m de distancia, en el vacío, conuna fuerza de 10 -7N”.INTENSIDAD “B” DE UN PUNTO DEL CAMPOMAGNÉTICOEs el poder magnético de un punto en las cercanías deun imán. Sea “mO” una masa magnética de polo en unpunto de un campo, la intensidad se expresa así:→→ FB = –––mO→B = intensidad del campo magnético, medido enteslas “T”.Un submúltiplo de tesla es el gauss1 T = 104G ⇒ 1 G = 10-4T→F = fuerza, en “N”.mO= masa magnética, en “A . m”.mOBPFdINTENSIDAD DE CAMPO MAGNÉTICOPRODUCIDA POR UN POLO→ MB = KM––d2→B = intensidad del campo magnético a la distan-cia “d”, en tesla “T”.M = masa magnética del polo, en “A . m”.d = distancia del polo a un punto del campo, enmetros “m”.KM= constante de permeabilidad magnética, en:N . m2KM= 10 -7––––––(A .m)2FLUJO MAGNÉTICO “φ”Se llama flujo magnético “φ” al número total delíneas magnéticas que atraviesan perpendicular-mente una sección “S” determinada.φ = B . SNorte S SurSecciónSi el plano atravesado forma un ángulo “α” con laslíneas magnéticas, el valor del flujo es:φ = B . S cos αNorte S Surαwww.elsolucionario.net
    • - 204 -DENSIDAD MAGNÉTICA “B”Está dada por el número de líneas magnéticas queatraviesan una unidad de área.φB = ––SNOTA.-Convencionalmente la intensidad de flujomagnético y la densidad de flujo magnéticoson iguales.φ = flujo magnético en weber “Wb”1 Wb = 1T . m2.B = densidad del flujo magnético, en T/m2.S = área en m2.B) ELECTROMAGNETISMOEs el estudio de la relación que hay entre la corri-ente eléctrica y el magnetismo.EFECTO OERSTED“Siempre que por un conductor pasa corriente eléctri-ca, alrededor suyo se crea un campo magnético cuyaslíneas de fuerza la envuelven, su sentido u orienta-ción depende de la dirección de la corriente”.Al campo magnético creado por la corriente que cir-cula se le llama campo magnético inducido.REGLA DE LA MANO DERECHA (de Ampere)Poniendo la palma de la mano estirada sobre el con-ductor, con el pulgar apuntando el sentido de la cor-riente, los demás dedos indican hacia donde apuntanlas líneas de fuerza del campo magnético.iLEY DE BIOY Y SAVART“La intensidad magnética inducida en un punto cer-cano a un conductor recto y largo, por donde cir-cula corriente eléctrica, es directamente propor-cional a la intensidad de la corriente e inversamenteproporcional a la distancia del punto considerado alconductor”.µO iB = ––– . ––2π RB = intensidad del campo, en teslas “T”.i = intensidad de la corriente eléctrica, en am-peres “A”.R = distancia del punto en el campo al conduc-tor en “m”.KM= constante magnética.N . m2= 10-7–––––––(A . m)2INTENSIDAD DE CAMPO CREADA POR UNCONDUCTOR CIRCULARa) En el centro:µOiBc= ––– . ––2 Rb) En un punto del eje:µOiR2Bp= ––– . –––––––––2 (x2+ R2)3/2R SN- +i iwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 205 -LEY DE LA CIRCULACIÓN DE AMPEREINTENSIDAD DE CAMPO EN EL INTERIOR DEUN SOLENOIDE:Solenoide es un alambre enrollado, por donde circu-la la corriente, y que tienen la forma de un resorte.LN S+ -Es un espiral de un alambre conductor de corrienteeléctrica.N . iB = µO–––––Lo:B = µO. n . iB = intensidad del campo magnético, en teslas“T”.N = números de espiras.i = intensidad de la corriente, en “A”.L = longitud del solenoide, en “m”.µ0= permeabilidad del espacio libre .T . m= 4 . 10 -7–––––ANSi: ––– = n, se tiene la segunda fórmulaLBOBINA, SOLENOIDE ANULAR O TOROIDALDE ROWLANDCuando se junta los extremos de un solenoide,arqueándolo, para hacer una corona o anillo,ocurre que:1) En el extremo, el campo magnético es cero.2) En el interior, el valor de “H” es igual en cual-quier punto.3) El radio para el cálculo es el radio medio.INTENSIDAD DEL CAMPO EN EL INTERIOR DEUN TOROIDER1+ RERa= –––––––2RER1- +iB = µO. ––––– . N2πRao:iB = 2 KM. ––– . NRaFLUJO “φ” A TRAVÉS DE UN SOLENOIDE:(Cuando el núcleo es aire)Nφ = µO. ––– . iLFLUJO “φ” A TRAVÉS DE UN SOLENOIDE:(Cuando el núcleo no es aire)Nφ = 4 KM. µr. ––– . i . SLo:Nφ = µO. µr. ––– . i . SLo:Nφ = µ . ––– . i . SLwww.elsolucionario.net
    • - 206 -φ = flujo, en webers (1 Wb = 1 T . m2)i = intensidad de corriente, en amperios “A”.Nn = ––– , número de espiras por unidadL de longitud ( # espiras/m).S = área circular de la bobina, en m2.µ = permeabilidad magnética del material.µO= permeabilidad magnética del espacio libre ovacío.µOKM= –––4πPERMEABILIDAD MAGNÉTICA RELATIVA “µr”BNµO= –––Bo:φmµO= –––φo:µµr= –––µOµr= permeabilidad relativa de una material.φm= flujo magnético en un material.φ = flujo magnético en el espacio libre o vacío.DENSIDAD DEL FLUJO INDUCIDO “B” ATRAVÉS DEL NÚCLEOφB = ––SB = densidad magnética de flujo inducido, en tes-las “T”.φ = flujo magnético, en webers “Wb”.S = sección del solenoide, en m2.NOTA:La densidad magnética con la intensidadmagnética o inducción magnética se igualan(es el mismo concepto).EFECTO FARADAYEs un efecto contrario al de Oersted, es decir que elmagnetismo produce corriente eléctrica.Cuando se acerca y se aleja un imán a un solenoide,se crea en el solenoide una corriente que Faraday lallamó “corriente inducida”.Sea un imán “A” con sus líneas de fuerza y un sole-noide “S”:1) Si el imán no se mueve, el número de líneas queatraviesa el solenoide no varía. No hay corrien-te inducida.SA2) Si el imán se acerca, el número de líneas queatraviesa el solenoide aumenta. Hay corrienteinducida.S→ A3) Si el imán se aleja, el número de líneas queatraviesa el solenoide disminuye. Hay corrientede sentido contrario al anterior.S← Awww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 207 -VioleVioleVioleViolePlatinofundente4) Si el imán se acerca y se aleja repetida y rápida-mente, el número de líneas que atraviesa elsolenoide también aumenta rápidamente ycomo consecuencia la intensidad de la corrienteinducida aumenta. La corriente que circula porel solenoide es CORRIENTE ALTERNA.Sea φ1el flujo inicial y sea φ2el flujo final de mayorvalor, la variación del flujo es:∆φ = φ2- φ1La velocidad o rapidez de variación del flujo será:∆φv = –––tLEY DE FARADAY“La fuerza electromotriz inducida en un solenoide esdirectamente proporcional, pero de signo contrario,al número de espiras del solenoide y a la rapidezcon que cambia el flujo magnético que encierra”.N . ∆φF = - ––––––∆tF = fuerza electromotriz, en voltios “V”.N = número de espiras.∆φ = variación del flujo magnético, en “Wb”.∆t = período de tiempo en “s”.ÓPTICAEs el estudio de la luz, así como de todos los fenó-menos relacionados con ella.Según Newton, la luz es una emisión corpuscular delos cuerpos.Según Huygens, la luz es un fenómeno ondulatorio.Maxwell sostenía que la luz está constituída porondas transversales de naturaleza electromagnética.Plank postula la teoría de los “quanta”. Según estateoría la energía de un haz luminoso está concentra-da en paquetes constituyendo corpúsculos energéti-cos o fotones.Actualmente se cree en la doble naturaleza de la luz:corpuscular y ondulatoria.VELOCIDAD DE LA LUZ300 000 km/sUNIDAD DE INTENSIDAD DE LA LUZ“Viole es la intensidad de la luz emitida por unaplancha de platino de 1cm2en estado fundente”.11 candela = ––– Viole2011 bujía = ––– Viole20∴ 1 cad = 1 bujíaA) ILUMINACIÓNEs la incidencia de los rayos luminosos sobre unasuperficie.UNIDAD DE ILUMINACIÓN “E”I cos α 1 bujíaE = ––––––– 1 lux = –––––––d21 cm2E = iluminación, en lux.I = intensidad luminosa, en bujías.d = distancia del foco a la zona iluminada, en cmwww.elsolucionario.net
    • - 208 -FocoPantalladαFLUJO LUMINOSO “f”Es la intensidad de carga luminosa recibida por unasuperficie.f = E . Af = flujo luminoso, en lúmenes.E = iluminación, en lux.A = área iluminada, en m2.1 lumen = 1 lux . 1 m2PantallaDiaframaINTENSIDAD LUMINOSA “I”Es la cantidad de flujo emitido por un manantial porcada unidad de ángulo sólido.FocofI = –––ωI = intensidad luminosa, en bujías.f = flujo luminoso, en lúmenes.ω = ángulo sólido, en estereoradianes o radianes.FLUJO TOTAL DE INTENSIDAD “fT”fT= 4π . IfT= flujo total de iluminación, en lúmenes.π = en radianes.I = intensidad luminosa, en bujías.UNIDADES FOTOMÉTRICAS S.I.(S.I. = Systeme International d´Unites)Propiedad que se mide Unidad S.I. SímboloIntensidad luminosa (I) Candela cdFlujo luminoso (φ) Lumen ImIluminación (E) Lux (1m/m2) IxLuminancia (L) cd/m2cd/m2REFLEXIÓN DE LA LUZEs el rebote que experimentan los rayos luminosos alincidir sobre una superficie, cambiando de dirección.La superficie puede ser rugosa o pulimentada, dandoorigen reflexión “difusa” y reflexión “regular”,respectivamente.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 209 -LEYES DE LA REFLEXIÓN REGULAR“El ángulo “i” de incidencia es igual al ángulo “r” dereflexión”.“El rayo de incidencia, el rayo de reflexión y la nor-mal están en un mismo plano perpendicular alplano de incidencia”.ÁNGULO DE INCIDENCIA “i” y ÁNGULO DEREFLEXIÓN “r”NORMAL “N” es una recta perpendicular al plano enel punto de incidencia del rayo luminoso.Nˆi = de incidenciaˆr = de reflexióni rESPEJOSSon superficies pulimentadas que sirven para pro-ducir reflexión regular y producir imágenes. Losespejos pueden ser planos o esféricos.ESPEJOS PLANOSSon superficies pulimentadas planas que al incidirlos rayos luminosos proporcionan una imagen de lassiguientes características:a) Derecha.b) Virtual, es decir detrás del espejo.d) Del mismo tamaño del objeto.e) Simétrico con respecto al espejo.objeto: OirEspejoimagen: IESPEJOS ESFÉRICOSSon casquetes esféricos pulidos. Si está pulido pordentro el espejo es cóncavo o convergente; si estápulido por fuera el espejo es convexo o divergente.Cóncavo Convexo oconvergente divergenteELEMENTOS DE UN ESPEJO ESFÉRICORV F α Cf1) CENTRO DE CURVATURA, es el centro “C” de laesfera.2) POLO DEL CASQUETE, es el vértice “V”.3) EJE PRINCIPAL, es la recta que une el vértice “V”y el centro de curvatura “C”.4) ABERTURA, es el ángulo “α” formado por el ejeprincipal y el radio que pasa por el borde del es-pejo.Normalmente los espejos esféricos no tienenmás de 10º de abertura, lo que significa que su ra-dio siempre es muy grande.5) FOCO PRINCIPAL, es el punto “F” del eje principalpor donde pasan los rayos reflejados del espejo.6) DISTANCIA FOCAL, es la distancia “f” del focoprincipal al vértice “V” del espejo, su valor: f = R/2.7) EJE SECUNDARIO, es cualquier eje que no sea elprincipal y que pasa por el centro “C” del espejo.www.elsolucionario.net
    • - 210 -RAYOS PRINCIPALES1. Todo rayo paralelo al eje principal, se reflejapasando por el foco “F”.V OF C2. Todo rayo que pasa por el foco “F”, se reflejaparalelo al eje principal.V OF C3. Todo rayo que pasa por el centro de curvatu-ra “C”, se refleja sobre sí mismo.V OF CPOSICIÓN DEL OBJETO Y LA IMAGENEN UN ESPEJO CONCÁVOCuando el objeto está más allá del centro decurvatura.F CV OIImagen:Real Invertida de menor tamañoEl objeto está sobre el centro de curvatura:OV F CIImagen:Real Invertida del mismo tamaño del objetoEl objeto esté entre el foco y el centro de cur-vatura:OFV CIImagen:Real Invertida de mayor tamañowww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 211 -El objeto está sobre el foco:O CFImagen:Los rayos reflejados no se cortan, luego no hayimagen, o la imagen está en el infinito.El objeto está entre el foco y el vérticeIO F CImagen:Virtual, porque se cortan en la prolongacióndel rayo reflejado.Derecha de mayor tamaño que el objeto.Cuando se trata de punto que está en el ejeprincipal:IF C OImagen:En el eje principal.IMAGEN DE UN ESPEJO CÓNCAVOOI CFImagen:Virtual derecha más chica que el objeto.POSICIÓN DE LA IMAGEN (Fórmula de Descartes):1 1 1–– = –– + ––f i of = distancia del foco al vértice.i = distancia de la imagen al vértice.o = distancia del objeto al vértice.F C Ofi2foNOTA:1) Esta fórmula es válida para espejos cóncavosy convexos.2) Signos de las imágenes: imagen real + i, ima-gen virtual: -i.3) Signos de las magnitudes:Para espejos cóncavos:R y F son positivos (+)Para espejos convexos:R y F son negativos (-)www.elsolucionario.net
    • - 212 -TAMAÑO DE LA IMAGEN “I”(“O” tamaño del objeto)iI = O –––oC) REFRACCIÓN DE LA LUZEs el fenómeno físico que consiste en el cambióde dirección que experimenta un rayo luminososal incidir en la superficie de separación entre dosmedios de distinta densidad,debido a que el rayoluminoso cambia su velocidad.La refracción se produce cuando el rayo luminosoincide en forma oblícua a la superficie de sepa-ración entre dos medios distintos.R.iSuperficiede separaciónˆiAireˆrAguaÍNDICES DE REFRACCIÓNÍNDICE DE REfRACCIÓN ABSOLUTO “n”Cn = ––Vn = índice de refracción.C = velocidad de la luz en el vacío 300 000 km/sV = velocidad de la luz en el otro medio.ÍNDICE DE REFRACCIÓN RELATIVO “nA – B”VAnA – B= –––VBVA= velocidad de la luz en el medio A.VB= velocidad de la luz en el medio B.LEYES DE LA REFRACCIÓN1ra. LEY: Es cualitativa:“El rayo incidente, la normal y el rayo refractado estánen un mismo plano, llamado plano de incidencia”.2da. LEY: Es cuantitativa:“La relación del seno del ángulo de incidencia y elseno del ángulo de refracción es constante e igual alíndice de refracción”.sen ˆi––––– = nA – Bsen ˆrnA – B= índice de refracción del medio B con respec-to al medio A.iABrÁNGULO LÍMITE Y REFLEXIÓN TOTAL : “L”Cuando la luz va del agua al aire:N N NAire 1 2 3 4LAgua• El rayo 1 pasa de frente, no refracta ni refleja.• El rayo 2 refracta y refleja.• El rayo 3 refracta a 90º y refleja.• El rayo 4 todo refleja porque el ángulo de inci-dencia es mayor que el ángulo límite “L”.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 213 -1SenL = ––nn = índice de refracción del agua con respecto alaire.L = ángulo límite de refracción.LÁMINA DE CARAS PARALELAS.DESPLAZAMIENTO “d” DEL RAYOSea por ejemplo el vidrio de una ventana de espesor“h”, a través del cual pasa un rayo de luz.hd = ––––– . sen ( ˆi - ˆr )cos ˆrN NRayoiAire n Arhi’α CVidrioAire n BeRayoPRISMA ÓPTICO. CALCULO “D” DEDESVIACIÓNsen ˆi sen ˆe––––– = ––––– = nsen ˆr sen ˆi’D = ˆi + ˆe - ÂADN NˆI = ˆi - r ˆI’ = e- i’i er i’DESVIACIÓN MÍNIMA DE PRISMA:Sucede cuando ˆe = ˆi∴ Dm= 2i – AÍNDICE DE REFRACCIÓN CON DESVIACIÓNMÍNIMA:Dm+ Asen –––––––2n = ––––––––––––Asen ––2IMÁGENES POR REFRACCIÓNCuando un cuerpo está sumergidoDeterminación de profundiad aparente “pa” o pro-fundidad aparente “pa” o profundidad real “pr”.Pan2––– = –––Prn1N N’n2rA Bpan1rI prObjetoluminoso iN N’n2A Bpan1iI prObjetoluminoso rwww.elsolucionario.net
    • - 214 -LENTESSon cuerpos refractantes, refrigerantes, limitados pordos superficies o ambas esféricas, o una esférica y laotra plana.CONVERGENTESCóncavo cónvexaBiconvexa Plano cónvexa oMeniscoconvergenteDIVERGENTESConvexo concávaBiocóncava Plano cóncava oMeniscodivergenteELEMENTOS DE LAS LENTES1) Eje principal “CC1”2) Centro de curvatura “CC” y C1”3) Centro óptico4) Foco principal “F”5) Distancia focal “OF” = f = R/2CF = FO’ ’ ’y OF1= F1C1C F F’1C’1C F F’1C’1O Of f1f f1RAYOS PRINCIPALES EN LAS LENTESCONVERGENTES Y DIVERGENTESI)F’ F’ F’FTodo rayo paralelo al eje principal, en una lenteconvergente, se refracta pasando por el foco. Si lalente es divergente, la prolongación del rayorefractado es la que pasa por el foco.II)C F F1C1F F1C1Todo rayo que pasa por el centro óptico no sedesvía, sea la lente cóncava o convergente.III)C F F1C1F F1C1Todo rayo que pasa por el foco de una lente con-vergente, que incide en una lente, se refracta pa-ralelo al eje principal. Todo rayo que incide enuna lente divergente, cuya prolongación pasa porel foco se refracta paralelo al eje principal.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 215 -CONSTRUCCIÓN Y POSICIÓN DE IMÁGENESDE LENTES CONVERGENTES1) Objeto más allá del centro de curvatura, es decir:p > 2fO F1C1C F IpqImagen:Real invertida de menor tamaño que el objeto.2) Objeto en el centro de curvatura; es decir: p = 2fO F1C1C F IpqImagen:Real invertida de igual tamaño que el objeto.3) Objeto entre el centro de curvatura y el foco:2f > p > fO F1C1C F Ip qImagen:Real invertida de mayor tamaño que el objeto.4) Objeto en el foco principal: p = fO F1C1C FpImagen:No hay imagen, o la imagen está en el infinito.5) Objeto entre el foco principal y el centro óptico:f > pI O F1C1C FPqImagen:Virtual derecha de mayor tamaño que el objeto.FÓRMULA DE DESCARTES PARA LAS LENTES1 1 1–– = –– + ––f q pf = distancia focal = R/2.q = distancia de la imagen a la lente.p = distancia del objeto a la lente.CONSTRUCCIÓN DE LA IMAGEN DE UNALENTE DIVERGENTE1 1 1–– = –– + ––f q pwww.elsolucionario.net
    • NOTA:En el caso de las lentes divergentes, téngasepresente que:a) Siempre: f < 0, es decir negativo.b) La distancia “p” del objeto a la lente,siempre es de signo contrario al de la dis-tancia “q”.OIF1C F- 216 -OI F1FCPOTENCIA DE UNA LENTE1P = ––f1Unidades SI: Dioptría = –––––metroAUMENTO DE LA LENTEEl aumento tiene signo negativo por estar la imageninvertida.qA = - ––pLENTES GRUESAS DE DOS CARAS DECURVATURA“ECUACIÓN DEL FABRICANTE DE LENTES”,Potencia:1 1P = (n - 1)(––– + –––)R1R2R1R2ioO InLPOTENCIA DE LENTES DE CONTACTOP = P1+ P21 1∴ P = ––– + –––f1f2F CR1R2www.elsolucionario.net
    • Sublimación oVolatilizaciónLicuefacciónCondensaciónVaporizaciónSolidificación oCristalizaciónLicuaciónSÓLIDOSÓLIDOLÍQUIDOLÍQUIDOGASEOSOGASEOSOESTADOS O FASES DE LA MATERIAESTADOS O FASES DE LA MATERIASólido, Líquido y GaseosoF O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 217 -DEFINICIONESQUÍMICAEs la ciencia que estudia las modificaciones otransformaciones que experimenta la molécula.Referidas también como transformación íntima dela materia.MASAEs el contenido material y energético que tiene uncuerpo.MATERIAEs todo lo ponderable (pesable) e indestructible, queocupa un lugar en el espacio.QUÍMICAQUÍMICAwww.elsolucionario.net
    • CUERPOEs una porción limitada de materia.SUSTANCIAEs la parte constitutiva del cuerpo, en la que todaporción de ella posee las mismas propiedades especí-ficas.SISTEMAEs el conjunto de dos o más sustancias o cuerpos.FASEEs cada porción homogénea de una mezcla.ENERGÍAEs la capacidad de un cuerpo para realizar un trabajo.La relación cuantitativa entre la masa y la energíadada por Einstein es:- 218 -UNIDADES DE MEDIDAUNIDADES DE LONGITUDSISTEMA INTERNACIONAL SILa unidade de longitud es el metro “m”1 kilómetro (km) = 1 000 metros (m)1 metro (m) = 100 centim. (cm)1 centímetro (cm) = 10 milím. (mm)1 milímetro (mm) = 1 000 000 micras (µ)1 micra (µ) = 10 Amstron (A°)1 metro (m) = 1010Amstronkilo = milcenti = centésimamili = milésimamicro = millonésimaSISTEMA INGLÉS1 milla (mill) = 1760 yardas (yd)1 Yarda (yd) = 3 pies (ft)1 Pie (ft) = 12 pulgadas (ps)UNIDADES DE SUPERFICIESISTEMA INTERNACIONAL “SI”La unidad SI de superficie es el “m2”1 m2= 100 dm21 dm2= 100 cm21 cm2= 100 mm2SISTEMA INGLÉS1 yd2= 9 pie21 pie2= 144 pulg2UNIDADES DE VOLUMENLa unidad SI de volumen es el “m3”SISTEMA INTERNACIONAL “SI”1 m3= 1 000 dm3o litros1 L = 1 000 cm3o cc o mL1 cm3= 1 000 mm3SISTEMA INGLÉS:1 galón = 4 cuartos = 3,785 L1 cuarto = 2 pintas1 pinta = 16 onzas líquidasE = mc2E = energíam = masac = velocidad d la luzwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 219 -EQUIVALENCIAS DE UNIDADES SI E INGLESASUNIDADES DE MASALa unidad SI de masa es el KILOGRAMO “kg”SISTEMA MÉTRICO DECIMAL:1 Tonelada Métrica (Tm) = 1 000 kg1 kilograma (kg) = 1 000 g1 gramo (gr) = 1 000 mg1 miligramo (mg) = 1000 µgSISTEMA INGLÉS:1 libra (lib) = 16 onzas (oz)1 tonelada corta = 2 000 librasUNIDADES DE TIEMPOLa unidad SI de tiempo es el segundo1 siglo = 100 años1 año = 12 meses1 mes = 30 días1 día = 24 horas1 hora = 60 minutos1 minuto = 60 segundosDE LONGITUD1 km = 0,539 mill. Marítimas1 m = 1,094 yd.1 m = 3,281 pies1 m = 39,372 pulg.1 mill. Marina = 1 852 m1 yd = 0,914 m1 pie = 0,3048 m1 pulgada = 0,0254 mDE SUPERFICIE1 m2= 1,196 yd21 m2= 10,76 pies21 m2= 1 550 pulg21 yd2= 8 361 . 10-4m21 pie2= 929 . 10-4m21 pulg2= 6,452 . 10-4m2DE VOLUMEN1 m3= 1,309 yd31 dm3= 0,035 pie31 cm3= 0,061 pulg31 yd3= 764,6 . 10-3m31 pie3= 28,32 . 10-3m31 pulg3= 16,39 . 10-3m3DE MASA1 kg = 2,202 lib.1 kg = 35,232 onz.1 lib = 0,454 kg1 lib = 454 g1 onz = 28,38 gUnidad de peso SI : newton « N »m1 N = 1 kg . –––s2www.elsolucionario.net
    • - 220 -UNIDADES DE TEMPERATURAºC K ºF R100 373 212 672 Ebullición del Agua100 560 Temperatura promedio del Hombre0 273 32 492 Fusión del Hielo0 460 Temperatura de mezcla de salescon hielo-273 0 -460 0 Cero absolutoLas unidades de medida de temperatura son:• grado celcius ºC • kelvin K• rankine R • grado farenheit º FEQUIVALENCIA DE TODAS LAS ESCALASºC ºF - 32 K - 273 R - 492––– = –––––– = –––––––– = –––––––5 9 5 9Ejemplo: Transformar -60º F a KºF - 32 K - 273–––––– = –––––––9 5de donde:5(ºF - 32)K = –––––––– + 2739sustituyendo el valor de ºF:5(-60 - 32)K= ––––––––– + 273 = 221,9K9DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICODENSIDAD ABSOLUTA O DENSIDADEs la masa de una sustancia presente en una unidadde volumen. La unidad SI de densidad es kg/m3.Ejemplo:δ = 8 . 103kg/m3δ = 8 g/cm3δ = 62,4 lib/pie3(Sist. Inglés)Se calcula así:Mδ = –––Vδ = densidad absolutaM = masa del cuerpoV = volumen que ocupaDENSIDAD RELATIVAEs el resultado de la comparación, por división, dedos densidades absolutas:δaδa/b= –––δbδa= densidad de la sustancia “a”δb= densidad de la sustancia “b”www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 221 -También es el resultado de la comparación, por divi-sión, de las masas de volúmenes iguales.Maδa/b= ––––MbMa = masa de “a”Mb = masa de “b” de igual volumen que “Ma”Tratandose sólo de gases y únicamente de gases, ladensidad relativa es el resultado de comparar, pordivisión, los pesos moleculares.Pmg1δg1/g2= –––––Pmg2Pm g1= peso molecular de gas 1Pm g2= peso molecular del gas 2PESO ESPECÍFICO (ρe)Es el resultado de la comparación, por división, delpeso de un sólido o líquido con su volumen.Peso del cuerpoρe= –––––––––––––––––Volumen del cuerpoGRAVEDAD ESPECÍFICA (G.e ó Sp - gr)Para sólidos y líquidos:Peso del cuerpoSp - gr = –––––––––––––––––––––––––––––Peso de un volumen igual de aguaPara gases:Peso del gasSp - gr = ––––––––––––––––––––––––––––Peso de un volumen igual de aireDENSIDAD DE LA MEZCLAEs el promedio ponderado de las densidades de lassustancias que intervienen en la mezcla, se calcula así:M1+ M2+ M3+ ….m = ––––––––––––––––– (I)V1+ V2+ V3+ …Donde M1, M2, etc., son las masas de los cuerpos queentran en la mezcla.Donde V1, V2, etc., son los volúmenes de esos cuerpos.Como M = V . δ, también se tiene, sustituyendo en (I):V1. δ1+ V2+ δ2+ V3. δ3+ …m = –––––––––––––––––––––––––V1+ V2+ V3+ …MTambién, como V = ––– , sustituyendo En (I):δM1+ M2+ M3+ ….δm = –––––––––––––––––––M1M2M3––– + ––– + ––– + ….δ1δ2δ3RELACIÓN ENTRE DENSIDAD Y PESOESPECÍFICOρ = δ . gPRESIONESPRESIÓNEfecto de la fuerza que se aplica sobre una superficiedeterminada. Esa fuerza puede ser instantánea(golpe) o permanente.FP = –––AP = presión, en pascal “Pa”F = fuerza, en newton, “N”A = área sobre la que actúa la fuerza, en m2.La unidad SI de presión es el PASCAL “Pa”:1N1 Pa = ––––1 m2www.elsolucionario.net
    • - 222 -PRESIÓN HIDROSTÁTICAO PRESIÓN DE LÍQUIDOS EN REPOSOEs la presión que soporta un punto sumergido en unlíquido en reposo.P = h . δP = presiónh = profundidad a la que está en el líquido elpunto considerado.δ = densidad del líquido.hEjemplo:Un cuerpo está sumergido, en mercurio, a 0,60cm de profundidad. La densidad del Hg es 13,6g/cm3, ¿Cuál es la presión que soporta el cuerpo?gP = h . δ = 0,60 cm . 13,6 –––cm2NP = 800,5 –––m2P = 800,5 PaPRESIÓN NEUMÁTICA O PRESIÓN DE GASESSe debe a la colisión o golpeteo de las moléculasgaseosas entre sí y a la colisión o golpeteo de lasmoléculas con las paredes de recipiente que los con-tiene. Es de tres clases:1.- Presión atmósferica o barométrica (Pb).-Es la presión que ejerce la masa gaseosa que rodeala Tierra sobre todo el cuerpo que está en ella.(Presión del aire).2.- Presión relativa o manométrica (Pm).-Es la diferencia de presión que existe entre lapresión de un gas encerrado en un recipiente yla presión atmosférica que la rodea (presión at-mosférica).3.- Presión absoluta (Pa).-Es la presión total que soporta un gas dentro deun recipiente, tomando como referencia el vacíoabsoluto.Pa = Pm + PbNOTAS:1.- Cuando el recipiente de gas está abierto, laPm es cero y la Pa = Pb.2.- La presión a nivel del mar es la “unidad”para medir las presiones y se llama “Unaatmósfera”.3.- Sus equivalencias son:1 atm = 760 mm Hg = 14,7 psiN= 1,033 kg/cm2= 10,13 . 104–––m2= 10,13 . 104Pa1 atm = 10,33 m H2O = 29,9 pulg Hg.4.- P.s.i. son las iniciales de “pound squareinch” que quiere decir en inglés “libras porpulgada cuadrada”.P.s.i.g. (pound square inch gauge) quequiere decir “libra por pulgada cuadradamanométrica”; y P.s.i.a., quiere decir “li-bras por pulgada cuadrada absoluta”.P.s.i.a. = P.s.i.g + P.s.iwww.elsolucionario.net
    • PROTON "p"masa: 1u.m.a. o 1,67252 . 10-24 g ;(carga + 1)NEUTRON "n"masa: 1u.m.a. o 1,67282 . 10-24 g ;(carga 0)ELECTRON "e"masa: 1u.m.a. / 1 874 o0,91091 . 10-27 g ; (carga -1)NÚCLEOTEORÍA ATÓMICO MOLECULARHay muchas teorías que han intentado explicar ydescribir la arquitectura, estructura y característicasdel átomo y de la molécula. Es decir han imaginadoal átomo en formas o modelos diferentes; sin embar-go, el modelo de Bohr-Sommerfeld mejorado con elaporte científico de Dirac, Jordán, Schrodinger,Pauling, Heissemberg y otros, es el modelo actual.La teoría actual sostiene que “el electrón puede estarubicado en cualquier parte del átomo, pero existemayor probabilidad de encontrarse en su correspon-diente nivel de energía”.PRINCIPALES CONCEPTOSREGLA DE HUNDLos electrones tratar de ocupar el mayor número deorbitales en determinado subnivel.Por ejemplo: si en el subnivel “p” hay por ejemplo 3electrones, (el cual tiene 3 orbitales), los electronesno se distribuyen así:Si no de esta otra manera, guardando la máxima dis-tribución.TENDENCIA A LA MÁXIMA SIMETRÍALos electrones de un subnivel se distribuyen en losorbitales guardando la mayor simetría.Por ejemplo: El subnivel “d” tiene 5 orbitales, supón-gase que es un átomo que tiene sólo 4 electrones eneste subnivel; su distribución no es así:Si no de esta otra manera, guardando la máximasimetría:El concepto actual del átomo afirma que, es un sis-tema energético en equilibrio, constituido por “cás-caras energéticas”, configuradas por la nube de elec-trones que giran alrededor del núcleo.El diámetro del núcleo, en promedio, es de 10-12cm.el diámetro del átomo, en promedio, es 10-8cm. Lamasa está prácticamente concentrada en el núcleo yvaría entre 2 . 10-22g y 4 . 10-24g.ESTRUCTURA PARTICULAR DEL ÁTOMOF O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 223 -www.elsolucionario.net
    • - 224 -NÚCLEOQPONMLK7165432CROQUIS DE UN ÁTOMOLos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 indican los niveles, sellaman también números cuánticos principales.Nótese que los niveles se van acercando a medidaque se alejan del núcleo.NÚCLEOParte central del átomo, formado por el conjunto deprotones y neutrones.ISÓTOPOSSon elementos químicamente iguales por tener el mis-mo número de protones en su núcleo, pero físicamen-te diferentes por tener masas distintas debido a que ensu núcleo tienen distintos número de neutrones.Ejemplo: Los 3 isótopos de hidrógeno:p p+n p+2nProtio Deuterio TritioISÓBAROS.-Son elementos químicamente diferentes, por tenerdiferente número de protones, pero físicamenteiguales por tener igual masa en su núcleo.Ejemplo: los isóbaros de Na y Mg. Aquí sus núcleos.11p 12p12n 11nNa MgDISTRIBUCIÓN ELECTRÓNICA DE LOSELEMENTOSNÍVELES DE ENERGÍASon zonas, como cáscaras esféricas, que rodean alnúcleo, configuradas por la presencia de un ciertonúmero de electrones que circulan alrededor delnúcleo. El número máximo de niveles que puedetener un átomo es 7, se le nombra con los nùmerocuánticos, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 o las letras K, L, M, M,O, P, Q. El número máximo de electrones en cadauno de estos niveles es de 2, 8, 18, 32, 32, 18, 8,repetidamente.SUB-NIVELESSon zonas en las que se subdivide los niveles. El númeromáximo de subniveles que puede tener un nivel es 4, seles nombra con las letras “s”, “p”, “d”, “f”.El número máximo de electrones en cada uno deestos subniveles es de 2, 6, 10, 14, respectivamente.NÚMEROS CUÁNTICOSPara conocer la distribución y posición de los elec-trones en los niveles, subniveles y orbitales se lespresenta por 3 números cuánticos.nlxn = número cuántico principal, indica el nivel(puede ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)l = número cuántico azimuta o subnivel (puedeser 0, 1, 2, 3 o s, p, d, f, respectivamente y suvariación es de 0 a (n-1)).x = número de electrones en el sub-nivel.M = Momento Magnético. Y su variación es de-L a + L.UNA REGLA PARA LA DISTRIBUCIÓNELECTRÓNICAS = Nº cuántico por spin y sus valores1 1son + –– y - ––2 2www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 225 -1231s242s22p6 563s23p63d10 784s24p64d104f145s25p65d105f146s26p66d107s27p6En los rellenados de las diagonales (7) y (8), se ha-ce saltar un electrón y luego se prosigue de maneranormal.Ejemplo:1) Indicar la estructura electrónica del elementoz = 28.1s22s22p63s23p64s23d8Ejemplo:2) z = 57, utilizando el paso del salto del electrón.1s22s22p63s23p64s23d104p65s24d105p66s25d1CONCEPTO ADICIONALESELECTRONEGATIVIDADEs una medida de la fuerza con que un átomo atraelos electones de otros, en un enlace químico. La elec-tronegatividad de los elementos, en la tabla periódi-ca, aumenta de abajo hacia arriba en cada grupo y deizquieda a derecha en cada período.AFINIDADEnergía que atrae y une a los átomos para formarmoléculas o compuestos químicos.VALENCIAEs la “fuerza” con la que un átomo “retiene” los elec-trones que “gana” o también “fuerza” con la que tratade “recuperar” electrones que haya “perdido”.KERNELEs la parte de un átomo sin considerar la última capa.Ejemplo:--- -8 + 8 +- -8 n 8 n-- --Átomo de 0 Kernel de 0NOMENCLATURA LEWIS1) El Kernel del átomo se representa por el símbolodel átomo.2) Los elementos de la última capa se distribuye pororbitales.3) Alrededor del Kernel (símbolo), se traza uncuadrado imaginario, haciendo corresponder cadalado del cuadrado a un orbital de la última capa.4) Los electrones de la última capa se representaalrededor del Kernel sobre los lados del cuadra-do imaginario, mediante cualquiera de estossímbolos: x, o, *, ∆, etc.S ArNaSalta unelectrónwww.elsolucionario.net
    • ENLACE IÓNICOEs el que se forma por la atracción electrostática dedos iones, de carga contraria.ENLACE COVALENTESe origina por la coparticipación de pares de electro-nes entre dos átomos. Puede ser puro o polar.ENLACE COVALENTE PUROEs el que se produce entre dos átomos del mismo ele-mento.Ejemplo:H2H HO2O OENLACE COVALENTE POLAREntre átomos pertenecientes a elementos diferentes,creándose una polaridad electrostática.CH4H C HH HH2O- 226 -A continuación, la tabla más usada, es la tabla larga,diseñada por Werner.Está dividida en zonas s, p, d, f.Las zonas s, p, d, f, son los lugares donde están loselementos cuyo sunivel más externo es esa letra.Las columnas verticales se denomina grupos, se de-signa con números romanos y una letra A o B. Si elgrupo está conformado por elementos típicos la letraes “A”, si está conformado por elementos de transi-ción la letra es “B”.La relación o semejanza de las propiedades químicases vertical, a excepción del grupo VIII, que no llevaletra, donde la relación de propiedades químicas eshorizontal.Zona “s”Elementostípicosrepresentativos Zona “d”Elementos de transmisionZona “p”ElementostípicosrepresentativosZona 4f Elementos de transiciónZona 5f InternaGasesNobleswww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 227 -PERÍODOSg1H11,0081s1s3Li16,9391s22s1s4Be29,0121s22s1s11Na122,9993s1s12Mg224,3123s2s19K139,1024s1s20Ca240,884s2s37Rb185,475s1s38Sr287,625s2s55Cs1132,9056s1s56Ba2137,346s2s87Fr1(223)7s1s88Ra2(226)7s2s21Sc344,9563d14s2s22Ti4,347,903d24s2s23V5,4,3,250,9423d34s2s24Cr6,3,251,9963d54s2s25Mn7,6,4,2,354,9383d54s2s26Fe2,355,8473d64s2s27Co2,358,9333d74s2s28Ni2,358,713d84s2s29Cu2,163,543d104s1s30Zn265,373d104s2s39Y388,9054d15s2s40Zr491,224d15s2s41Nb5,392,9064d45s1s42Mo6,5,4,3,295,944d55s1s43Tc7(99)4d55s1s44Ru2,3,4,6,8101,074d75s1s45Rh2,3,6102,9054d85s1s46Pd2,4106,44d105s0s47Ag1107,8704d105s1s48Cd2112,404d105s2s57La3138,915d16s2s72Hf4178,494f145d26s2s73Ta5180,9484f145d36s2s74W6,5,4,3,2180,9484f145d46s2s75Re7,6,4,3,2180,854f145d56s2s76Os2,3,4,6,8190,24f145d66s2s77Ir2,3,4,6192,24f145d76s2s78Pt2,4195,094f145d96s1s79Au3,1196,9674f145d106s1s81Ti3,1204,374f145d106p1s82Pb4,2207,194f145d106p2s83Bi3,5208,9804f145d106p3s84Po4,2(209)4f145d106p4s85At4,2(210)4f145d106p5g86Rn0(222)4f145d106p6s49In3114,824d105s25p1s50Sn4,2118,694d105s25p2s51Sb2,3,5121,754d105s25p3s52Te6,4,2127,604d105s25p4s53I2,1,3,5,7126.9044d105s25p5g54Xe0131,304d105s25p6s31Ga369,723d104s24p1s32Ge472,993d104s24p2s33As3,574,9223d104s24p3s34Se8,4,278,963d104s24p4l35Br1,3,5126,9043d104s24p5g36Kr083,803d104s24p5s13Al326,9823s23p1s14Si428,0863s23p2s15P2,3,5,130,9743s23p3s16S6,3,4,232,0643s23p4g17Cl6,3,4,232,0643s23p5g18Ar039,9483s23p6s5B310,8111s22s22p1s6C2,4,312,0111s22s22p2g7N2,3,5,4,2,112,0111s22s22p3g8O215,9991s22s22p4g9F118,9981s22s22p5g10Ne020,1831s22s22p6g2He04,0031s2s89Ac3(227)6d17s2s104Rf(261)5f146d27s2s105Db(262)5f146d37s2s106Sg(263)5f146d47s2s107Bh(264)5f146d57s2s108Hs(265)5f146d67s2s109Mt(266)5f146d77s2s110Uun(269)5f146d97s1s111Uuu(272)5f146d107s1s112Uub(277)5f146d107s2s114Uuq(285)5f146d107s27p2s116Uuh(289)5f146d107s27p4s118Uuo(293)5f146d107s27p6123(Ne)4(Ar)5(Kr)6(Xe)7(Rn)TABLAPERIÓDICADELOSELEMENTOSs58Ce3,4140,124f15d16s2s59Pr3,4140,9074f35d06s2s60Nd3144,244f45d06s2s61Pm3(147)4f55d06s2s62Sm3,2150,354f65d06s2s63Eu3,2151,964f75d16s2s64Gd3157,254f75d16s2s65Tb3,4158,9244f85d16s2s66Dy3162,504f95d16s2s67Ho3164,9304f105d16s2s68Er3,2167,264f115d16s2s69Tm3,2168,9344f135d16s2s70Yb3,2173,044f145d06s2s71Lu3174,974f145d16s2s90Th4232,0386s27s2s91Pa5,4(231)5f26d07s2s92U8,5,4,3238,035f36d17s2s93Np6,5,4,3(237)5f56d07s2s94Pu6,5,4,3(242)5f66d07s2s95Am6,5,4,3(243)5f76d07s2s96Cm3(247)5f76d17s2s97Bk4,3(247)5f86d17s2s98Cf3(249)5f96d17s2s99Es3(254)5f106d17s2s100Fm3(253)5f116d17s2s101Md3(256)5f126d17s2s102No3(254)5f136d17s2s103Lw3(257)5f146d17s267s79Au3,1196,9674f145d106s1EstadoFísicoNºAtómicoSímboloEstadodeoxidación(Valencia)PesoAtómicoDistribuciónElectrónical80Hg2,1200,594f145d106s21A2A3B4B5B6B7B8881B2B3A4A5A6A7A0GRUPOSwww.elsolucionario.net
    • - 228 -GRUPOS PRINCIPALES DE LA TABLAI A : Metales alcalinosII A : Metales alcalinos térreosIV A : Carbonoides o familia del CarbonoV A : Nitrogenoides o familia del NitrógenoVI A : Anfígenos o familia del OxígenoVII A : HalógenosO : Gases noblesNOMENCLATURAEs el estudio de los “nombres de los elementos y de los compuestos” y es también el estudio de la “escriturade las fórmulas”.+ Metal = AleaciónOxído uMetal{+ Oxigeno = + Agua = HidróxidosOxído básico+ Hidrógeno = Hidruro+ Metal = Sal haloideaAnhidrido uMetaloide{+ Oxigeno = + Agua = OxiácidosOxído básicoAcido+ Hidrógeno = hidrácidoELEMENTOOXiSALESwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 229 -NOMENCLATURA QUÍMICANOMBRE DE LOS ÁTOMOS EN SUESTADO IÓNICOANIONESSon elementos que han generado electrones, por esosu valencia es negativa. Tienen una sola valencianegativa, se les nombra haciendo terminar en UROsu nombre genitivo.HALÓGENOSGrupo VII-A en la Tabla PeriódicaFlúor : Fº + 1e = F-1FluorUROCloro : Clº + 1e = Cl-1clorUROBromo: Brº + 1e = Br-1BromUROLodo : Iº + 1e = l-YodUROANFÍGENOSGrupo VI-A en la Tabla PeriódicaOxígeno : Oº + 2e = O-2OxígenoAzufre : Sº + 2e = S-2SulfUROSelenio : Seº + 2e = Se-2SeleniUROTeluro : Teº + 2e = Te-2TelorURONITRÓGENOIDESGrupo V-A en la Tabla PeriódicaNitrógeno : Nº + 3e = N-3NitrUROFósforo : Pº + 3e = P-3FosfUROArsénico : Asº + 3e = As-3ArseniUROCARBONOIDESGrupo IV-A en la Tabla PeriódicaCarbono : Cº + 4e = C-4CarbUROSilicio : Siº + 4e = C-4SiliciUROCATIONESSon elementos que han perdido electrones, por esosu valencia es positiva. Pueden ser con una solavalencia positiva, son los UNIVALENTES y los POLI-VALENTES que pueden ser con dos, con tres, concuatro y hasta con 5 valencias positivas distintas.A) UNIVALENTESMONOVALENTESLitio : Liº - 1e = li+1Litio o LíticoSodio : Naº - 1e = Na+1Sodio o SódicoPotasio : Kº - 1e = K+1Potasio o PotásicoCesio : CSº - 1e = Ce+1Cesio o CésicoPlata : Agº - 1e = Ag+1Plata o ArgénticoDIVALENTESCalcio : Caº - 2e = Ca+2Calcio oCálcicoMagnesio : Mgº - 2e = Mg+2Magnesio oMagnésicoEstroncio : Srº - 2e = Sr+2Estroncio oEstróncicoBario : Baº - 2e = Ba+2Bario o BáricoZinc : Znº - 2e = Zn+2Zinc o ZínicoTRIVALENTESAluminio : Alº - 3e = Al+3Aluminio oAlumínicoBismuto : Biº - 3e = Bi+3Bismuto oBismúticoBoro : Boº - 3e = Bo+3Boro o Bóricowww.elsolucionario.net
    • - 230 -B) POLIVANTESQue tienen “dos valencias positivas distintas”Cuando está con su MENOR valencia se le ha-ce terminar en OSO y cuando con su MAYORvalencia, en ICO.Fierro: Feº - 2e = Fe+2FerrOSOFeº - 3e = Fe+3FérrICOCobre: Cuº - 1e = Cu+1CuprOSOCuº - 2e = Cu+2CúpriCOMercurio: Hgº - 1e = Hg+1MercuriOSOHgº - 2e = Hg+2MercúrICOOro: Auº - 1e = Au+1AurOSOAuº - 3e = Au+3AurICOCobalto: Coº - 2e = Co+2CobaltOSOCoº - 3e = Co+3CobáltICONíquel: Niº - 2e = Ni+2NiquelOSONiº - 3e = Ni+3NiquélICOPlatino: Ptº - 2e = Pt+2PlatinOSOPtº - 3e = Pt+3PlatínICOQue tienen “tres valencias positivas distintas”Cuando está con su MENOR valencia se le an-tepone HIPO y se le hace terminar en OSO ylos otros dos igual que el caso anterior.Azufre: Sº - 2e = S+2HIPO SulfurOSOSº - 4e = S+4SulfurOSOSº - 6e = S+6SulfúrICOSelenio: Seº - 2e = Se+2HIPO SeleniOSOSeº - 4e = Se+4SeleniOSOSeº - 6e = Se+6SelénICOTitanio: Tiº - 2e = Ti+2HIPO TitanOSOTiº - 3e = Ti+3TitanOSOTiº - 4e = Ti+4TitanICOQue tienen “cuatro valencias positivas distintas”Cuando está con su MAYOR valencia se le ante-pone el prefijo PER y se hace terminar en ICO, ulos otros tres igual que el caso anterior.Cloro: Clº - 1e = Cl+1HIPO clorOSOClº - 3e = Cl+3clorOSOClº - 5e = Cl+5clórICOClº - 7e = Cl+7PER clórICOBromo: Brº - 1e = Br+1HIPO bromOSOBrº - 3e = Br+3bromOSOBrº - 5e = Br+5bromICOBrº - 7e = Br+7PER brómICOUranio: Uº - 3e = U+3HIPO uranOSOUº - 4e = U+4uranOSOUº - 5e = U+5uránICOUº - 6e = U+6PER uránICONOMBRE DE LOS COMPUESTOSFUNCIÓN QUÍMICAEs una serie de características que le son comunes aciertos cuerpos y que por esta razón se agrupan enuna “Función Química”.Existen las siguientes funciones:ELEMENTOSFUNCIÓN QUE LO COMPUESTOIDENTIFICAI Anhídrido m + O BII Oxido m + O BIII Acidoa) Hidrácido H + m Bb) Oxácido H + m + O TIV Base M + (OH) TV Sala) HidrácidaAcida M + m + H TBásica M + m +(OH) CNeutra M + m Bb) OxácidaAcida M + m + O + H CBásica M + m + O + (OH) CNeutra M + m + O Twww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 231 -LEYENDA:m = metaloide B = binarioM = metal T = ternarioH = hidrógeno C = cuaternarioO = oxígenoNOMBRE DE LOS ANHÍDRIDOSCompuestos por metaloide y oxígeno, se les llamatambién “óxidos ácidos”, porque con agua dan ácidooxácido.METALOIDE + OXÍGENO = ANHÍDRIDOUn anhídrido se le nombra con la palabra “anhídri-do”, seguido del nombre iónico del metaloide.Ejemplos:SO o S+2O-2anhídrido HIPO sulfurOSOSO2o S+4O-2anhídrido sulfurOSOSO3o S+6O-2anhídrido sulfúrICOCl2O o Cl+1O-2anhídrido HIPO clorOSO2Cl2O3o Cl+3O-2anhídrido clorOSO2 3Cl2O5o Cl+5O-2anhídrido clórICO2 5Cl2O7o Cl+7O-2anhídrido PER clórICO2 7N2O3o N+3O-2anhídrido nítrOSO2 3N2O5o N+5O-2anhídrido nítrICO2 5NOMBRE DE LOS ÓXIDOSCompuestos de metal y oxígeno, se les llama también“óxidos básicos” porque con el agua dan bases.METAL + OXÍGENO = ÓXIDOUn óxido se le nombra con la palabra “óxido”seguido del nombre iónico del metal.Ejemplos:FeO o Fe+2O-2óxido ferrOSOFe2O3o Fe+3O-2óxido férrICO2 3Na2O o Na+1O-2óxido de Sodio2Cu2O o Cu+1O-2óxido cúprOSO2Cl2O3o Al+3O-2óxido de aluminio2 3NOMBRE DE LOS PEROXIDOSPeróxidos, son óxidos que tienen más oxígeno de loque permite la valencia máxima del metal. Se formaagregando un átomo de oxígeno al óxido que formael metal con su máxima valencia.Se les nombra con la palabra PERÓXIDO,seguido del nombre iónico del metal.BaO + O = BaO2PERÓXIDO de barioH2O + O = H2O2PERÓXIDO de hidrógeno(agua oxigenada)CuO + O = CuO2PERÓXIDO cúpricoPbO2+ O = PbO3PERÓXIDO plúbicoMn2O3+ O = Mn2O4PERÓXIDO mangánicoNOMBRE DE LOS ÁCIDOSSon compuestos que al disolverse en agua siempreproducen iones H o H3O+. Son de sabor agrio, enro-jecen el papel de tornasol, decoloran la fenolftaleína.Son de dos clases: Hidrácidos y Oxácidos.A) ÁCIDOS HIDRÁCIDOSSon compuestos binarios constituidos por “H” ymetaloide (especialmente halógeno).ÁCIDOHIDROGENO + METALOIDE =HIDRÁCIDOCuando estos compuestos están libres son gaseo-sos y se acostumbra a nombrarlos con el “nombreiónico del metaloide”, seguido de la palabra “dewww.elsolucionario.net
    • - 232 -hidrógeno”. Cuando están disueltos en agua seprefiere llamarlos con la palabra “ácido” seguidodel nombre del metaloide terminado en hídrico.Ejemplos:HCI clorURO de hidrógeno oácido clorHÍDRICOHI YodURO de hidrógeno oácido yodHÍDRICOHBr BromURO de hidrógeno oácido bromHÍDRICOB) ÁCIDOS OXÁCIDOSSon compuestos ternarios de hidrógeno, oxígenoy metaloide; resultan de la combinación de un an-hídrido con el agua.ANHÍDRIDO + AGUA = ÁCIDO OXÁCIDOSe les nombra con la palabra “ácido” seguidodel “nombre iónico del metaloide”.Ejemplos:H2SO4o H+1S+6O-2ácido sulfúrICO (S+6)2 4H2SO3o H+1S+4O-2ácido sulfúrOSO (S+4)2 3HNO2o H+1N+3O-2ácido nitrOSO (N+3)2HNO3o H+1N+5O-2ácido nítrICO (N+5)2HCIO o H+1CI+1O-2ácido HIPOclorOSO (Cl+1)HCIO2o H+1CI+3O-2ácido clorOSO (CI+3)2HCIO3o H+1CI+5O-2ácido clórICO (CI+5)3HCIO4o H+1CI+7O-2ácido PERclórICO (CI-7)4H3PO3o H+1P+3O-2ácido fosforOSO (P+3)3H3PO5o H+1P+5O-2ácido fosfórICO (P+5)3 3H2CrO o H+1Cr+6O-2ácido crómICO (Cr+6)3 2 3H2Cr2O o H+1Cr+6O-2ácido dicrómICO (Cr+6)7 2 2 7H2MnO4o H+1Mn+6O-2ácido mangánICO (Mn+6)2 4HMnO4o H+1Mn+7O-2ácido PERmangánICO4(Mn+7)C) ÁCIDOS ESPECIALES• ÁCIDO POLIHÍDRATADOSSon aquellos que se combinan con cantidades vari-ables de agua.Cuando el metaloide es de “valencia impar”Se les nombra anteponiendo la palabra META,PIRO y ORTO, al nombre iónico del metaloide,según que la combinación del anhídrido se hayahecho en 1, 2 o 3 moléculas de agua.Ejemplo: Fósforo con valencia +3:P2O3+ H2O = 2HPO2ácido METAfosforOSOP2O3+ 2H2O = H4P2O5ácido PIROfosforOSOP2O3+ 2H2O = 2H3PO3ácido ORTOfosforOSOCuando el metaloide es de “valencia par”Ejemplo: Carbono con valencia + 4:CO2+ H2O = H2CO3ácido METAcarbónICO2CO2+ H2O = H2C2O5ácido PIROcarbónICOCO2+ 2H2O = H4CO4ácido ORTOcarbónICOSe les nombra de la siguiente manera:1 anhídrido + 1 agua = META2 anhídridos + 1 agua = PIRO1 anhídrido + 2 aguas = ORTOwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 233 -• POLIÁCIDOSSon aquellos que tienen más de dos átomos de me-taloide en su molécula.Se les nombra con la palabra ácido, seguido delnombre iónico del metaloide al cual se le anteponeBI, TRI, TETRA, etc., según indique el subíndicedel metaloiede en la fórmula.NOTATodos los “piro-ácidos”, además de ser tales, per-tenecen también al grupo de los “poliácidos”porque tienen 2 metaloides en su molécula.Ejemplos:H4P2O7ácido DI fosfóricoo pirofosfóricoH4B2O5ácido DI bóricoo pirobóricoH4N2O5ácido DI nitrosoo piro nitrosoH4N2O7ácido DI nítricoo piro nítricoOtros ejemplos:H2B4O7ácido TETRAbóricoH2C3O7ácido TRIcarbónicoH2S4O13ácido TETRAsulfúricoH2Si3O7ácido TRIsilícico• THIOÁCIDOSSon ácidos que resultan de sustituir uno o más oxí-genos del ácido oxácido, por azufre S-2Se les nombra con el prefijo THIO, anteponiendoDI, TRI, etc., según el número de O-2que hayan si-do sustituidos por S-2. Si la sustitución es total, sele antepone SULFO al nombre del ácido.Ejemplos:HNSO ácido THIOnitroso (del HNO2)H2CSO ácido THIOcarbonoso (del H2CO2)HCIOS ácido THIOcloroso (del HCIO)H2CSO2ácido DI THIOcarbónico (del H2CO3)HCISO2ácido DI THIOclórico (del HCIO3)HCIS2O2ácido DI THIOperclórico (del HCIO4)HCIS3O ácido TRI THIOperclórico (del HCIO4)H2S3O2ácido DI THIO SULFÚRICO (delH2SO4)H2S4O ácido TRI THIOsulfúrico (del H2SO4)H2S5ácido TETRA THIOsulfúricoSULFOsulfúrico (del H2SO4)HCIS4ácido TETRA THIOperclóricoSULFOperclórico (del HCIO4)• PEROXÁCIDOSSon aquellos ácidos que se forma reaccionando elanhídrido de mayor valencia del metaloide, conagua oxigenada, H2O2.Se les nombra con la palabra “ácido” seguida del“nombre iónico del metaloide” anteponiendo la pa-labra PER o PEROXI.Ejemplos:P2O5+ 3H2O2= H6P2O11ácidoPEROXIortofosfóricoSO3+ H2O2= H2SO5ácido PEROXIsulfúricoN2O5+ H2O2= H2N2O7ácido PEROXInítricoCl2O7+ H2O2= H2Cl2O9ácido PEROXIperclóricoCO2+ H2O2= H2CO4ácido PEROXIcarbónico2SO3+ H2O2= H2S2O8ácido PEROXIdisulfúricowww.elsolucionario.net
    • - 234 -RADICALES HALOGÉNICOSSon restos de la molécula de un ácido al cual de le haquitado uno o más H+. Puede ser Radical halogénicohidrácido o Radical halogénico oxácido.A) RADICAL HALOGÉNICO HIDRÁCIDOEs el residuo del ácido halogénico al que se le haquitado uno o más H+.Se le nombra haciendo terminar en URO elnombre genérico del ácido; anterior poniendoBI, o posponiendo la palabra ÁCIDO si quedatodavía H+.Ejemplos:Cl-1Cloruro (del HCI)l-1Yoduro (del HI)S-2Sulfuro (del H2S)F-1Fluoruro (del HF)(SH)-1Sulfuro ácido o BI sulfuro (del H2S)(TeH)-1Teloruro ácido o BI teloruro (del H2Te)B) RADICAL HALOGÉNICO OXÁCIDOEs el que resulta de quitarle 1 o más H+a la mo-lécula del ácido oxácido.Se les nombra cambiando la terminación OSOpor ITO la terminación ICO por ATO, al nombredel ácido del que deriva; seguido de la palabraÁCIDO, o anteponiendo el prefijo BI siempre ycuando haya restos de H+en el radical, sin cam-biar ningún prefijo al nombre del ácido.Ejemplos:(CIO2)-1ClorITO (del HCIO2)(CIO3)-1ClorATO (del HCIO3)(CIO4)-1PlerclorATO (del HCIO4)(NO2)-1NitrITO (del HNO2)(NO3)-1NitrATO (del HNO3)(HSO4)-1SulfATO ÁCIDOo BI sulfato (del H2SO4)(SO4)-2SulfATO (del H2SO4)(CO3)-2CarbonATO (del H2CO3)(S2O8)-2PEROXI disulfATO (del H2S2O8)(HCO3)-1CarbonATO ÁCIDOo BI carbonATO (del H2CO3)(H2PO4)-1FosfATO DI ÁCIDOo BI DI fosfATO (del H3PO4)(H2P2O7)-2PIRO fosfATO DI ÁCIDO (delH4P2O7)(CSO2)-2THIO carbonATO (del H2CO3)(HCS2O)-1DI THIO bicarbonATO (delH2CO3)(Cl2O9)-2PEROXI perclorATO (del H2Cl2O9)NOMBRE DE LAS BASE o HIDRÓCIDOSSon compuestos que resultan de la combinación deun óxido con el agua. Se caracterizan por la presen-cia del grupo (OH)-. Colorea de violeta el papel detornasol y de rojo la fenolftaleína.ÓXIDO + AGUA = BASE o HIDRÓXIDOSe les nombra con la palabra “hidróxido” segui-do del “nombre iónico” del metal.Ejemplos:Hg(OH)2o Hg+2(OH)-1hidróxido mercúrico2Pb(OH)2o Pb+2(OH)-1hidróxido plumboso2Pb(OH)4o Pb+4(OH)-1hidróxido plúmbico4www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 235 -Ni(OH)2o Nl+2(OH)-1hidróxido hiponiqueloso2Ni(OH)3o Ni+2(OH)-1hidróxido niqueloso3Ni(OH)4o Ni+4(OH)-1hidróxido niquélico4NOMBRE DE LAS SALESResultan de la combinación de un ácido (hidrácido uoxácido) con una base, por consiguiente siempre es-tán conformadas por un “catión” que es metal de labase y el “anión” que es el “radical halogénico” delácido. Puede ser sal hidrácida u oxácida.Neutras:No tienen ni H+ni (OH)-Hidrácidas{Ácidas: Tienen H+Básicas: Tienen (OH)-{ Neutras:No tienen ni H+ni (OH)-Oxácidas{Ácidas: Tienen H+Básicas: Tienen (OH)-A) SALES HIDRÁCIDASResultan de la combinación de un ácido hidráci-do con una baseÁCIDO HIDRÁCIDO + BASE = SAL HIDRÁCIDASe les nombra con el nombre iónico del radicalhalogénico (seguido de la palabra “ácido” si tie-nen H+) seguido del nombre iónico del metal (an-teponiéndole la palabra “básico” si tiene (OH)-).Ejemplos:CINa Cloruro de sodioCl2Cu Cloruro cúprico(HS)2Fe Sulfuro ácido ferrosoo bilsulfuro de fierroICa(OH) Yoduro básico de calcio(HS)4Pb Sulfuro ácido plúmbicoo bisulfuro plúmbicoS3[(OH)Pb]2Sulfuro básico plúmbicoCl (OH)Au Cloruro básico áuricoI(OH)2Mn Yoduro DI básico mangánicoS[(OH)3Pb]2Sulfuro TRI básico plúmbicoB) SALES OXÁCIDASResultan de la combinación de un ácido oxácidocon una base.ÁCIDO OXÁCIDO + BASE = SAL OXÁCIDASe les nombra con el nombre iónico de radicalhalogénico (seguido de la palabra “ácido” si hayH+) seguido del nombre iónico del metal (ante-poniendo la palabra “básico” si hay (OH)-).Ejemplos:(CIO)2Pb hipoclorito plumboso(CIO)4Pb hipoclorito plúmbico(NO3)3Fe nitrato férrico(NO3)2(OH)Fe nitrato básico férrico(Cr2O7)3Au dicromato áurico(MnO4)(OH)2Mn Permanganato dibásicomangánico(HBO3)Hg2Borato ácido mercurioso oborato mercurioso.(HCO3)2Ca Carbonato ácido de calcioo bicarbonato de calcio.(SO5)2Pb PEROXIsulfato plúmbicoSALESwww.elsolucionario.net
    • (HCSO2)2Ca THIOcarbonato ácido de calcioo BI THIOcarbonato de calcio(HCO4)2Ca Bi PEROXIcarbonato de calcio oPEROXIcarbonato ácido de calcioSALES DOBLESSon las sales que tienen dos metales.Se les nombra igual que cualquiera de las sales sóloque antes de nombrar los iones metálicos se escribela palabra “doble”.(SO4)2AlK Sulfato doble de aluminio ypotasio(HSO4)KNa Sulfato ácido doble de potasioy sodioPO4Na(OH)Mg Fosfato doble de sodio básicode Magnesio(HCO3)6AlFe Bicarbonato doble de aluminioférricoPECULIARIDADES DE LOS ÁCIDOS DELFÓSFORO1.- El ácido con P de Val + 1 da sólo el ácido ORTO:H3PO2ácido ORTO fosforoso oHIPOFOSFOROSO2.- En el ácido hipofosoforoso sólo un hidrógeno essustituido por metal, los otros dos son insustitui-bles, de manera que las sales son siempre DI-ÁCI-DAS y cuando se lee la fórmula casi siempre seprescinde la mención de esta di-acidez.Ejemplo:(H2PO2)Pb Hiposulfito plumboso(H2PO2)6CaPb Hiposulfito doble decalcio plúmbico3.- En los ácidos formados con el fósforo Val +2,siempre hay un HIDRÓGENO INSUSTITUIBLE,de manera que sus sales son “mono ácidas” y/o“di-ácidas”.a) Por ejemplo en el HPO2, el fósforo es de valen-cia +3, el ácido tiene un solo H+que es insusti-tuible, luego este ácido no da sales.b) El ácido PIRO FOSFOROSO, H4P2O5, puede darsales mono, di y tri ácidas.Ejemplos:AIHP2O5PIRO fosfito de aluminioAI2(H2P2O5) PIRO fosfito DI ácido de aluminioFe3(HP2O5)2PIRO fosfito ácidoferrosoFe(H3P2O5)3PIRO fosfito TRI ácido férricoÓXIDOS DOBLESResultan de escribir en una sola forma las fórmulasde los óxidos terminados en OSO e ICO.Se les nombra con la palabra ÓXIDO seguida de los“nombres iónicos” de los metales.FeO + Fe2O3= Fe3O4óxido ferroso férrico2SnO + SnO = Sn3O4óxido estañosoestánico2PbO + Pb2O3= Pb3O4óxido plumbosoplúmbicoMnO + Mn2O3= Mn3O4óxido manganosomangánicoRADICALES CATIONES COMPUESTOSSon derivados de algunos HIDRUROS a los cuales seles agrega un H+, dando origen a un radical positivomonovalente.Se les nombra haciendo terminar en ONIO el nom-bre del hidruro que lo origina.Ejemplos:NH3+ H+= (NH4)+AnONIOPH3+ H+= (PH4)+FosfONIO+AsH3+ H+= (AsH)4ArsONIOH2O + H+= (H3O)+HidONIOH2S + H+= (H3S)+SulfONIO- 236 -www.elsolucionario.net
    • ANFOTERISMO DEL CROMO, NITROGENO Y MANGANESOSegún la valencia, estos elementos pueden funcionar como metales o como metaloides, por consiguiente conel oxígeno pueden formar óxidos o anhídridos, y éstos con el agua a su vez forman BASES ó ÁCIDOS respec-tivamente. Ver el siguiente cuadro.F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 237 -ELEMENTO VALENCIAMÁS NOMBRE DEL MÁS NOMBRE DELOXÍGENO COMPUESTO AGUA COMPUESTOCr +2 CrO óxido cromoso Cr(OH)2hidróxido cromosoCr +3 Cr2O3óxido crómico Cr(OH)3hidróxido crómicoCr +6 CrO3anhidrido crómico H2CrO4ácido crómicoN +1 N2O óxido nitroso N(OH) hidróxido nitrosoN +2 NO óxido nítrico N(OH)2hidróxido nítricoo monoxido denitrógenoN +4 NO2óxido de nitrógeno N(OH)4hidróxido nitrógenoo bioxído denitrógenoN +3 N2O3anhidrido nitroso HNO2ácido nitrosoN +5 N2O5anhidrido nítrico HNO3ácido nítricoMn +2 MnO óxido manganoso Mn(OH)2hidróxido manganosoMn +3 Mn2O3óxido mangánico Mn(OH)3hidróxido mangánicoMn +4 MnO2óxido de manganeso Mn(OH)4hidroxído de manganesoo dióxidode manganesoMn +6 MnO3anhidrido mangánico H2MnO4ácido mangánicoMn +7 Mn2O7anhidrido permangánico HMnO4ácido permangánicowww.elsolucionario.net
    • - 238 -UNIDADES QUÍMICAS DE MEDIDAÁTOMO-GRAMO Y MOLÉCULA-GRAMOÁTOMOEs un corpúsculo elemental de extremada pequeñez,constituido por un “núcleo” que contiene protones yneutrones y una población de electrones que giranalrededor del núcleo, formando lo que se llama“envoltura” y que es un verdadero conjunto de cás-caras esféricas energéticas.MOLÉCULAEs la mínima porción de una sustancia, conformadapor un átomo o un grupo de átomos, que puede exi-stir en estado de libertad, sin tendencia a la combi-nación.NÚMERO DE AVOGRADO6,023. 1023indica:a) El número de átomos que hay en una porciónde elemento que se llama “átomo-gramo”.b) También el número de moléculas de una sus-tancia que hay en una porción de sustancia quese llama “molécula-gramo”.ÁTOMO-GRAMOEs una porción de elemento donde hay 6,023 . 1023átomos y cuyo peso en gramos numéricamente esigual a su peso atómico.Ejemplo:P.a. Au = 197Luego una barrita de 197 g Au se llama átomo-gra-mo y en esta barrita hay 6,023 . 1023átomos de Au.El número de “átomo-gramos” que hay en unpeso cualquiera de elemento se calcula así:W# At – g = –––AW = peso de una porción de elemento, en gA = peso atómico expresado en gramos.# At-g = número de at-gMOLÉCULA-GRAMO o MOLEs una porción de una sustancia donde hay 6,023 . 1023moléculas, cuyo peso en gramos es numéricamenteigual a su peso molecular.Ejemplo:P.m. H2O = 18Luego: 18 g H2O se llama “molécula-gramo” o“mol” y en él hay 6,023 . 1023moléculas de H2O.El número de moles que hay en un pesocualquiera de sustancia se calcula así:Wn = –––MW = peso cualquiera de sustancia, en “g”M = peso molecular expresado en gramos, sellama mol.n = número de molesEjemplo:¿Cuántas moles de NaOH hay en 70 g?Dato: P.m. de NaOH = 40Luego: MNaOH= 40 g/mol70 g∴ n = –––––––– = 1,75 mol de NaOH40 g/molEL ESTADO GASEOSOGASEs un estado de la materia en la que las moléculasgozan de movimiento libre e independiente, aleján-dose y acercándose entre sí en forma desordenada.Sus movimientos son rectilìneos, caóticos y elásticos.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 239 -El volumen “V” que ocupa, la temperatura “T” y lapresión “P” que ejerce, son variables en los gases, ysegún como varían se relacionan como leyes perma-nentes.SÓLIDO LÍQUIDOForma y volumen Sólo volumenDefinido definidoGASNi forma ni volumen definidoLEY GENERAL DE LOS GASES“En todo gas ideal el producto de la presión absolu-ta por el volumen, dividido entre la temperaturaabsoluta es constante”.P1. V1P2. V2–––––– = ––––––T1T2LEY DE BOYLE Y MARIOTTE“A temperatura constante, los volúmenes de ungas varía en forma inversamente proporcionales alas presiones absolutas”.El proceso se llama “isotérmico”.P1V1= P2V2P1P2V1{ V2{T TLEY DE CHARLES“A presión constante, los volúmenes de un gas varíanen forma directamente proporcionales a las tempe-raturas absolutas”.El proceso se llama “isobárico”.V1V2––– = –––T1T2P PV2{V1{T1T2LEY DE GAY-LUSSAC“A volúmenes constantes, las presiones absolutas va-rían en forma directamente proporcional a las tem-peraturas absolutas”. El proceso se llama “isométri-co” o “isócoro”.P1P2––– = –––T1T2P PV1{ V2{T1T2www.elsolucionario.net
    • - 240 -DENSIDAD DE UN GASLa densidad de un gas es variable y depende de lascondiciones, es decir depende de la temperatura quetiene y del volumen que está ocupando, en todocaso, la densidad es:Wδ = –––VNUnidades SI: –––m3Pero que está sometida a una variación que dependede la presión y temperatura, según la siguiente ley:δ1P1T2––– = ––– . –––δ2P2T1P = kT = kEsta ley dice:“La densidad de un gas varía en forma directa-mente proporcional a su presión absoluta y enforma inversamente proporcional a su tempera-tura absoluta”.LEY DE DIFUSIÓN o LEY DE GRAHAM“La velocidad de difusión de los gases es inversamen-te proporcional a la raíz cuadrada de sus masas mo-leculares o de sus densidades”.____ ___V1√Pm2V1√D2––– = –––––– ––– = –––––____ ___V2√Pm1V2√D1NH4CL (Blanco)Vapor Vaporde deHCL NH3HCL P.m. 36,5 P.m.17NH3(Verdoso) (Incoloro)ECUACIÓN UNIVERSAL DE LOS GASESP . V = n . R . TP = presión de un gas en reposoV = volumen que ocupa ese gas en reposo.N = número de moles que contieneR =constante general de los gases, cuyo valordepende de las unidades que se usan.T = temperatura absoluta del gas.Valores que se emplea para R, según las unidades quese usa en el problema;atm . LR = 0,082 –––––––mol . KmmHg . LR = 62,4 –––––––––mol . Kpsia . ft3R = 10,7 –––––––––Mol-lib . Rwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 241 -Ejemplo:Calcular el peso de CO2encerrado en un reci-piente y que está a 800 mmHg de presión, a 67ºCy ocupa un volumen de 84,96 litros.Cálculo de la masa:De: P . V = n . R . Tm R⇒ P . V = –– . ––M TP . V . M∴ m = –––––––– (I)R . TAdecuando los datos:P = 800 mmHgT = 67ºC + 273 = 340 KV = 84,96 LgM = 44 –––molmmHg . LR = 62,4 –––––––––mol . KSustituyendo en (I) los datos adecuados:800 . 84,96 L . 44 g/molm = ––––––––––––––––––––– = 140 gmmHg . L62,4 ––––––––– . 340 Kmol . KPero: w = m . gLuego:m mw = 140 g . 9,8 –– = 1,37 kg . ––s2s2Por lo tanto: w = 1,37 N de CO2HIPÓTESIS DE AVOGRADO Y AMPERE“En volúmenes iguales de gases distintos que estén ala misma presión y a la misma temperatura existe elmismo número de moléculas”.MEZCLA DE GASESEs la reunión de dos o más gases en la que cada unoconserva sus características.LEYES DE DALTÓN1.- “En una mezcla de gases que ocupa un volumen,la presión total es igual a la suma de las presio-nes parciales”.PT= p1+ p2+ p3+ …PT= presión de la mezclap = presión parcial de cada gas2.- “En una mezcla de gases, las presiones parcialesson directamente proporcionales al número demoles o número de moléculas”.PTp1p2p3––– = ––– + ––– + ––– + …nTn1n 2n3PT= presión total de la mezclap = presiones parcialesnT= total de moles de la mezclan = moles de cada gas en la mezclaEjemplo:Se mezcla 3 moles de O2y 2 moles de CO2. Lapresión total es de 1000 mm de Hg. Calcular lapresión parcial de cada gas.PTp1––– = –––nTn1de donde:PTp1= n1–––nTSustituyendo los datos:Para el O2:1000 mmpO2= 3 mol ––––––––– = 600 mm Hg5 molwww.elsolucionario.net
    • - 242 -Para el CO2:1000 mmpCO2= 2 mol ––––––––– = 400 mm Hg5 molLEY DE AMAGAT“Cuando se mezcla gases distintos, todos a la mismapresión y a la misma temperatura, manteniendo esamisma presión y temperatura al ser mezclados, elvolumen de la mezcla es igual a la suma de los vo-lúmenes parciales”.VT= v1+ v2+ v3+ …NÚMERO DE MOLES, VOLUMEN YPRESIÓN PARCIALES RELACIONADO ENPORCENTAJE% n1= % v1= % p1n1= número de moles de uno de los gases en lamezcla.v1= volumen parcial que ocupa uno de los gases.p1= presión parcial que ejerce uno de los gases.FRACCIÓN MOLAREs la relación entre las moles de uno de los gases quehay en la mezcla y el total de moles de la mezcla degases.n1fm1= –––nTfm1= fracción molar.n1= número de moles de uno de los gases en lamezcla.nT= número total de las moles que hay en lamezcla.PESO MOLECULAR DE UNA MEZCLA DEGASESPara calcular en Pm, se calcula el peso promedio deuna mol de mezcla, ya que numéricamente el Pm, yla mol de un gas son iguales.Mm= fm1. M1+ fm2. M2+ …Mm= peso promedio de una mol de la mezcla.fm1, fm2= fracción molar de cada gas.M1, M2= valor de la mol de cada gas.Ejemplo:Se mezcla 2 mol de He con 5 mol de CH4. Calcu-lar el Pm promedio.Mm = fmHe. MHe+ fmCH4. MCH4(I)Cálculo de las fracciones molares:nHe= 2 molnCH4= 5 mol–––––––––––––Sumando: nT= 7 molesn1Sabiendo que: fm1= –––nT2 molfmHe= ––––– = 0,28577 mol5 molfmCH4= ––––– = 0,71437 molAdemás: MHe= 4g /mol y MCH4= 16gr /molSustituyendo en (I)Mm = 0,2857 . 4 g/mol + 0,7143 . 16g /molg= 12,6716 –––molnuméricamente Mm = Pm∴ Pm = 12,6716GASES HÚMEDOSGAS HÚMEDOEs aquel gas que está mezclado con algún vapor (deagua, de gasolina, de éter, de alcohol, etc.). Para cal-cular la presión del gas húmedo, se aplica la Ley deDaltón:www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 243 -PH= Pv + PgPor consiguiente:Pg = PH- PvDonde:Pg = presión del gas (seco).PH= presión total del gas húmedo.Pv= presión del vapor.HUMEDAD RELATIVASe denomina Humedad Relativa al porcentaje de va-por de agua que tiene un gas con respecto a su pun-to de saturación de vapor.Cuando el gas está totalmente saturado de vapor deagua la humedad relativa es 100%pvHr = ––– . 100pso:w1Hr = ––– . 100wTHr = humedad relativa.pv = presión parcial del vapor de agua a determi-nada temperatura.ps = presión parcial del vapor de agua, cuando lamezcla está saturada de vapor, a la mismatemperatura.w1= peso de vapor de agua presente en un deter-minado volumen (llamado también hume-dad absoluta).wT= peso total de vapor de agua necesario paraque el volumen de gas anterior llegue a sutotal saturación.Ejemplo:A 20º C la presión de saturación de humedad deun gas es 17.5 mm (este dato está tabulado en loslibros), pero al momento de la medida, la presiónparcial del vapor es 14 mm. ¿Cuál es la humedadrelativa?pv 14 mmH.r. = ––– . 100 = –––––––– . 100 = 80%ps 17,5 mmDETERMINACIÓN DE PESOSATÓMICOS1.- Peso atómico aproximado:MÉTODO DEL M.C.D. o de CANIZZAROSe determina los pesos del elemento en el peso mole-cular de dos o más compuestos que contengan dichoelemento; el M.C.D. de estos pesos es el P.a. aproxi-mado del elemento cuyo peso atómico se busca.2.- Peso atómico exacto:MÉTODO EL CALOR ESPECÍFICOSe necesitan conocer las siguientes proposiciones:a) LEY DE DULONG Y PETITPa . Ce = 6,4Pa = Peso atómico.Ce = Calor específico.b)PESO EQUIVALENTE o EQUIVALENTEGRAMOEs una porción del elemento, en gramos, que secombina o desplaza 8 g de oxígeno, 1,008 g de hi-drógeno, o 35,46 g de cloro. Matemáticamente secalcula así:AEq - g = ––VEq - g = equivalente-gramo.A = átomo-gramo del elemento o P.a. expresadoen gramos.V = valencia del elemento.www.elsolucionario.net
    • - 244 -NOTA.-Un elemento tiene tantos equivalentes comovalencias tenga.Ejemplo:56 gEq-g Fe+2= –––– = 28 g Fe (del ferroso)256 gEq-g Fe+3= –––– = 28 g Fe (del férrico)3LEY DE LA COMBINACIÓNEQUIVALENTE DE LOS ELEMENTOS“Los pesos de dos elementos que se combina, o sonsus equivalentes los que se combina o son propor-cionales a estos pesos equivalentes”.W1Eq1––– = –––W2Eq2W1= peso de un elemento que se combina con elpeso W2de otro elemento.W2= peso del otro elemento que se combina conel peso de W1del elemento anterior.Eq1= peso equivalente del elemento 1.Eq2= peso equivalente del elemento 2.Ejemplo:5 gramos de un metal se oxida con 1,2 g de oxí-geno. ¿Cuál es el equivalente del metal?PROCEDIMIENTO:WM= 5 gWO2= 1,2 gEq-g M = ?Eq-gO2= 8 g5g Eq-g M∴ –––– = ––––––1,2 g 8 gde donde:Eq M = 33,3 gLEYES DE LAS COMBINACIONESQUÍMICASLEYES PONDERALESSon las que gobiernan las masas (o los pesos) de loscuerpos que reaccionan y de los cuerpos que resul-tan. Son 4:1.- LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MATERIA oDE LAVOISIER“La masa de un sistema permanece invariable,cualquiera que sea la transformación que ocurradentro de él”.2.- LEY DE LAS PROPORCIONES DEFINIDAS oDE PROUST“Cuando dos o más sustancias se combinan paraformar un cuerpo determiando, lo hacen siem-pre en una proporción fija y constante”.3.- LEY DE LAS PROPORCIONES MÚLTIPLES oDE DALTÓN“Lo pesos de un elemento, que se combinan conun mismo peso de otro para formar compuestosdistintos varían según una relación muy sencilla”.4.- LEY DE LAS PROPORCIONES RECÍPROCASo DE WENZEL-RITCHER“Los pesos de dos o más cuerpos que reaccionancon un mismo peso de otro, son los mismos, osus múltiplos, los que reaccionan entre sí, el ca-so de ser suceptibles de reaccionar”.LEYES VOLUMÉTRICASSon las que regulan o gobiernan los volúmenes de losgases que reaccionan y los volúmenes de los gasesproducidos.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 245 -1.- LEYES VOLUMÉTRICAS o DE GAY-LUSSAC“En cualquier reacción química, los volúmenesde las sustancias gaseosas que reaccionan y losvolúmenes de las sustancias gaseosas produci-das, están relacionados por números enterossencillos y constantes”.CONTRACCIÓNEn una reacción química, es la disminución que ex-perimentan los volúmenes de las sustancias gaseosasque reaccionan”.N2+ 3H3 ¸ 2 NH3(1)1 vol 3 vol 2 vols - vC = –––––sC = contracción.s = suma de volúmenes gaseosos reactantes.v = suma de volúmenes gaseosos que resultan.Ejemplo:Para la ecuación (1):4 - 2 1C = ––––– = ––4 2EL ESTADO LÍQUIDOSOLUCIONESSOLUCIÓNMezcla homogénea de dos sustancias, en la que unaes el “solvente” y la otra es el “soluto”.SOLVENTESustancia en la cual se disuelve otra sustancia (gene-ralmente es el agua).SOLUTOSustancia que se disuelve en el solvente.Solución = solvente + solutoCONCENTRACIÓNLa concentración de una solución es la que indica la“cantidad relativa” de soluto que hay en una solución.FORMAS DE EXPRESAR LACONCENTRACIÓNFORMAS FÍSICAS1.- EL PORCENTAJE POR PESO:peso soluto% de soluto = ––––––––––––– . 100peso soluciónEjemplo:Se disuelve 3 gramos de sal en 12 g de agua.¿Cuál es la composición porcentual?3 g% de sal por peso = –––––––– . 100 = 20%3 g + 12 g2.- GRADOS BAUMEEs una forma de medir las concentraciones de lassoluciones líquidas de acuerdo a su densidad.La escala de Baumé es una escala de densidadesque toma como puntos de referencia la densidadde agua pura y la densidad de una solución deNaCl al 10%.Para líquidos más densos que el agua, la densidaddel agua es 0º Bé y la densidad de la solución deNaCl al 10% corresponde a 10º Bé.Para líquidos menos densos que el agua, porejemplo: soluciones de gases en agua, la densidadde la solución de NaCl al 10% corresponde a 0º Béy la del agua pura corresponde a 10º Be.Por eso, hay densímetros Bé para líquidos másdensos que el agua y otros para líquidos menosdensos.Para líquidos más densos que el agua:145n = 145 - ––––p . ewww.elsolucionario.net
    • - 246 -Para líquidos menos densos que el agua:140n = –––– - 130p . en = ºBép.e. = peso específico de la solución.EQUIVALENTE-GRAMO (Eq-g)DE COMPUESTOSa.- De un ácido:MEq - gA = ––––#H+#H+= número de hidrógenos iónicos que con-tiene la molécula de ácido.b.- De una base:MEq - gB = ––––––#(OH)-(OH)-= número de grupos oxhidrilo iónico quecontiene la molécula de la base.NOTA.-La equivalencia se manifiesta en una reaccióny está dada por el número de H+o OH-de unamolécula que han sido sustituídos, según seaácido o base.c.- De una sal:Se da con respecto a uno de los elementos o a unode los iones que constituyen la sal.MEq - g S = –––––––––––––––––––––––––––––––número Eq - g del elemento o radicalEjemplo:Calcular el equivalente del KAI (SO4)2Con respecto al K+, Al+3y (SO4)-22258 gEq - gK+= ––––– = 258 g de KAI(SO4)21258 gEq - gAl+3= ––––– = 86 g de KAI(SO4)23258 g(SO4)-2= ––––– = 64,5 g de (SO4)224MILI-VALENTEEs la milésima parte de un equivalente.FRACCIÓN MOLAR EN UNA SOLUCIÓNEs la proporción de moles de soluto o solvente quehay en una solución, o en otras palabras es el “tantopor uno” de soluto o solvente en la solución.n1fm1= –––nTfm1= fracción molar del soluto o solvente (según)n1= número de moles de soluto o solvente (según)nT= número total de moles de la solución.FORMAS QUÍMICAS PARA MEDIR LACONCENTRACIÓN DE LAS SOLUCIONES1.- MOLARIDADEstá dada por el número que indica el número demoles de soluto que habría en 1 litro de solución.#Moles solutoMolaridad = ––––––––––––––#Litros solucióno:nCM= –––VEjemplo:Se disuelve 20 gramos de NaCl en 110 cm3de so-lución. ¿Cuál es la concentración molar de la so-lución?Se sabe que:nCM= ––– (I)Vwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 247 -Donde:w 20 gn = ––– = –––––––––– = 0,341 molM 58,5 g/molV = 110 cm3= 0,110 LSustituyendo en (I):0,341 mol molCM= ––––––––– = 3,1 ––––0,110 L L∴ Concentración Molar = 3,1 M2.- MOLARIDADEstá dada por un número que indica el número demoles de soluto que habría en 1 kg de solvente.#Moles solutoMolalidad = –––––––––––––#Kg solventeo:nCM= –––WEjemplo:Se disuelve 20 g de NaCL en 100 g de agua.Calcular la concentración molal de la solución.Donde:w 20 gn = ––– = –––––––––– = 0,341 molM 58,5 g/molw = 100 g = 0,100 kgSustituyendo en la fórmula:0,341 mol molCm= –––––––––– = 3,41 ––––0,100 kg kg∴ Concentración Molal = 3,41 m3.- NORMALIDADEstá dada por un número que indica el númerode equivalentes gramo del soluto que habría en1 litro de solución.#Eq - g solutoNormalidad = ––––––––––––#lit solucióno:# Eq-gCN= –––––––VEjemplo:Se disuelve 30 gramos de Ca(OH)2en 120 cm3desolución. Calcular la concentración normal de lasolución.w 30 g# Eq - g = –––––– = –––––––––– = 0,81 eq - gEq - g 37 g/eq-gV = 120 cm3= 0,120 LSustituyendo en la fórmula:0,81 eq - g eq - g–––––––––– = 6,75 ––––––0,120 L LConcentración Normal = 6,75 NDILUCIÓN Y AUMENTO DE LACONCENTRACIÖNCuando a una solución se añade solvente la soluciónse diluye, es decir baja la concentración.Cuando de alguna manera se le extrae solvente; esdecir, se le disminuye el solvente, la solución se con-centra, sube su concentración.En todo caso, se cumple la siguiente propiedad:C1V1= C2V2C1= concentración de la solución al principio.V1= volumen de la solución al principio.C2= concentración de la solución al final.V2= volumen de la solución final.www.elsolucionario.net
    • - 248 -DETERMINACIÓN DE PESOSMOLECULARESMÉTODO GASOMÉTRICOEste método se usa para sustancias gaseosas, y si nolo es, previamente se transforma en gas.Como la “mol” de cualquier sustancia, y el “peso mo-lecular” son numéricamente iguales, lo que se deter-mina es el peso de la mol y de ahí se infiere el P.m.Puede calcularse de las siguientes maneras:a) Basado en la ecuación general de los gases:m . R . TM = ––––––––– (I)P . Vb) Conociendo la densidad relativa del gas con res-pecto al aire (Dr):P.m. = 28,96 . Dr (II)c) Conociendo la densidad del gas en C.N. (Dn):LM = 22,4 –––– . Dn (III)MolMÉTODO OSMÓTICOSe funda en el fenómeno de la ósmosis y se usa pa-ra calcular pesos moleculares de sólidos y líquidosdisolviendo en un disolvente líquido.P = π atmhmπ . V = ––– . R . TMm . R . TM = ––––––––– (I)π . VM = masa de una mol de soluto, en “g/mol”.M = masa de soluto disuelto, en “g”.R = constante de los gases 0,082.T = temperatura absoluta de la solución, en “K”.π = presión en atmósfera, ejercido por la columnade altura “h”, en “atm”.V = volumen de la solución en litros.Ejemplo:Se disuelve 3 gramos de una sustancia en 150 cm3de una solución, se deposita en un tubo de prue-ba de base semipermeable y se introduce dentrode otro recipiente mayor que contiene el disol-vente; después de unos minutos el nivel de la so-lución, en el tubo, sube 2 cm. Si la temperaturadel sistema es 27°C y la densidad de la solución alfinal 2,1 g/cm3, calcular el P.m. del soluto.Adecuando los datos:m = 3 gAtm . LR = 0,082 –––––––mol . KT = 27° + 173 = 300 Kg gπ = H . δ = 2 cm . 2,1 –––– = 4,2 ––––cm3cm2kg= 4,2 . 10-3––––cm21π = 4,2 . 10-3 . –––––– atm = 4,066 atm1,033V = 150 cm3= 0,150 Lwww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 249 -Sustituyendo en la fórmula (I):Atm . L3g . 0,082 ––––––––– . 300°Kmol . K gM = ––––––––––––––––––––––––––– = 121 ––––4,066 atm . 0,150 atm mol∴ P.m. = 121MÉTODO EBULLOSCÓPICOSe funda en el aumento que experimenta el punto deebullición de un líquido cuando contiene alguna sus-tancia en solución. Sirve para calcular pesos molecula-res de sólidos y líquidos disolviéndolos en un líquido.m . 100M = Ke––––––––W . EM = masa de una mol de soluto, en “g/mol”.Ke= constante ebulloscópica propia de cada disol-vente.m = masa del soluto, en gramos, disuelto.W= masa del solvente, en gramos.E = ascenso ebulloscópico, es decir diferencia en-tre el punto de ebullición de la solución y elsolvente puro.Ejemplo:Se disuelve 3 gramos de un cuerpo en 30 gramosde agua. Si la constante ebulloscópica del agua es0,52 y el ascenso ebulloscópico de la solución es0,78. ¿Cuál es el peso molecular del cuerpo di-suelto?3 g . 100M = 0,52 °C ––––––––––––– = 66,67 g/mol30 g . 0,78 °C∴ P.m. = 66,67MÉTODO CRIOSCÓPICOSe basa en el descenso que experimenta el punto decongelación de una solución comparado con el pun-to de congelación del solvente puro:m . 100M = Kc–––––––W . CM = masa de una mol del soluto.Ke= constante crioscópica propia de cada líquido.m = masa disuelta de soluto, en gramos.W= masa del disolvente, en gramos.C = descenso del punto de cristalización del sol-vente.Ejemplo:Se disuelve 4 gramos de una sustancia en 40 gra-mos de benceno y el punto de congelación de es-ta solución es 5,2 °C menor que el punto de con-gelación del benceno puro. Si la constante crios-cópica del benceno es 4,9°C, calcular el P.m. delsoluto.m . 100 4 g . 1000M = Ke––––––– = 4,9 °C –––––––––––W . C 40 g . 5,2°C= 94,23 g/mol∴ P.m. = 94,23TERMOQUÍMICADEFINICIÓN Y CONCEPTOSEs la parte de la química que estudia la energía calo-rífica (producida o consumida) que acompaña a todoproceso químico.La cantidad de calor que produce o consume un pro-ceso químico se mide en calorías o joule, muy pocoen Btu.CALOR DE REACCIÓNEs el calor que entra en juego en una reacción cuan-do la transformación se hace a temperatura y presiónconstantes.CALOR DE FORMACIÓNEs la cantidad de calor que absorbe o exhala en laformación de una mol de sustancia, por síntesis.CALOR DE COMBUSTIÓNEs el calor desprendido en la combustión total deuna mol de una sustancia cualquiera.www.elsolucionario.net
    • - 250 -LEY DE HESS“La cantidad de calor que intervienen en una reacciónquímica, es la misma, así la reacción se realice en unao varias etapas”.EQUIVALENCIA DE UNIDADES1 caloría = 0,00396 B.t.u.1 B.t.u. = 252 calorías1 kilo cal = 1000 calorías1 joule = 0,24 cal1 cal = 4,186 JDEFINICIÓN DE LAS UNIDADESCALORIMÉTRICASCALORÍAEs una unidad para medir la cantidad de calor: “Es lacantidad de calor que absorve o que necesita 1 gramode agua líquida pura, para subir su temperatura en1°C (de 15°C a 16°C)”.B.T.U. (British Terminal United)Es una unidad inglesa para medir la cantidad de ca-lor: “Es la cantidad de calor que absorbe o que nece-sita 1 libra de agua líquida pura para subir su tempe-ratura en 1°F.CALOR GANADO O PERDIDO “q” CUANDOVARÍA LA TEMPERATURA1.- Cuando la temperatura aumenta (gana):g = m . C.E. . (tf - ti)2.- Cuando su temperatura disminuye (pierde):q = m . C.e. . (ti - tf)q = cantidad de calor ganado o perdido.m = masa del cuerpo que modifica su tempera-tura.C.e. = calor específico del cuerpo.Ti = temperatura inicial.Tf = temperatura al final.EQUILIBRIO QUÍMICOEs un estado en el cual la velocidad de reacción delos cuerpos reactantes es igual a la velocidad de reac-ción de los productos para reproducir los reactantes.Sea la reacción:A + B » C + DEl equilibrio químico en una reacción se produce apartir del momento en que las concentraciones de losreactantes y de los productos se mantiene constante.[A], [B] : concentraciones de A y B al momentodel equilibrio.[C], [D] : concentraciones de C y D al momentodel equilibrio.Equilibrio Químico[A][B][C][D]TiempoFACTORES QUE AFECTAN LA VELOCIDAD DELA REACCIÓN PARA LLEGAR AL EQUILIBRIOQUÍMICOa.- Naturaleza de las sustancias que reaccionan.b.- Temperatura.c.- Agentes catalizadores.d.- Concentración y presión.REACCIONES REVERSIBLESSon aquellos en las que los productos originadospueden reaccionar entre sí, para regenerar los pro-ductos primitivos.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 251 -REACCIONES IRREVERSIBLESSon aquellas en las que los productos originados noreaccionan entre sí para regenerar los primitivos.LEY DE GULBERG Y WAAGE O DE LA ACCIÓNDE LAS MASAS“La velocidad de reacción es proporcional a la con-centración de los reactantes”.Constante de concentración Kc:[C]c[D]dKc = –––––––––[A]a[B]bKc = constante de equilibrio por concentración.a, b, c, d, coeficientes de las sustancias A, B, C, D. enuna reacción química así:aA + bB » cC + dDCONSTANTE DE EQUILIBRIO DEIONIZACIÓN KiLos ácidos disueltos en agua se ionizan en iones H+yradicales halogénicos A-. La constante Ki de ioniza-ción se calcula igual que Kc.Ejemplo: H2SO4 » 2H++ SO=4[H+]2[SO4=]Ki = ––––––––––[H2SO4]CONSTANTE DE EQUILIBRO DE PRESIÓNPARCIAL KpEn la mayor parte de sistemas gasesoso es convenien-tes expresar la concentración de los gases en térmi-nos de la presión parcial.Ejemplo: nA + mB » sC + qD[PC]s[PD]qKp = ––––––––––[PA]n[PB]mpA, pB, pC, pD, presiones parciales de los gases A, B,C, D.RELACIÓN ENTRE Kpy KcSea la reacción gaseosa:aA + bB » cC + dDKp = Kc (RT)∆nDonde: ∆n = (c + d) - (a + b)LEY DE VAN´T HOFF“Cuando se aumenta la temperatura de un sistema enequilibrio, éste se desplaza en el sentido en que ab-sorbe calor”.LEY DE CHATELIEREs más general que la de Van´t Hoff: “Los sistemas enequilibrio reaccionan tendiendo a reducir al mínimoel efecto de un cambio externo impuesto al sistema”.ÁCIDOS Y BASESÁCIDOSSon aquellas sustancias que al disolverse en agua seionizan, uno de cuyos iones siempre es el ión H+o“protio”, el cual enrojece al papel tornasol.Agua Purapapel tornasolRojoH+(SO4)=H+Solución de H2SO4www.elsolucionario.net
    • - 252 -BASESSon aquellas sustancias que al disolverse en agua seionizan, uno de cuyos iones es el ión (OH)- llama-do ixhidrilo, que colorea de azul violeta al papeltornasol.Agua purapapel tornasolvioleta(OH)Ca+2(OH)Soluución de Ca(OH)2ÁCIDOS Y BASES FUERTESSon aquellos ácidos o bases que al disolverse en aguase ionizan en un alto porcentaje.ÁCIDOS Y BASES DÉBILESSon aquellos ácidos o bases que al disolverse en aguase ionizan en un bajo porcentaje.Así, por ejemplo:HCI (ácido clorhídrico) es un ácido fuerte por-que al disolverse en agua, un alto porcentaje es-tá disociado en iones H+y Cl-; mientras que CH3–– COOH (ácido acético) es un ácido débil por-que sólo un bajo porcentaje del CH3–– COOHse ha disociado en iones H+y CH3COO-.CONSTANTE DE IONIZACIÓN DEL AGUA (Kw)El agua es el más débil de los ácidos y el más fuertede las bases.Se ioniza así:H2O → H++ OH-La concentración de:[H+] = 1,0 . 10-7ión-g/LLa concentración de:[ OH-] = 1,0 . 10-7ión-g/L∴ Kw = 1,0 . 10-14ión-g/LTIPOS DE SOLUCIONESSOLUCIÓN NEUTRA:[H+] = [OH-] = 1,0 . 10-7ión-g/LSOLUCIÓN ÁCIDA:Cuando:[H+] > [OH-]SOLUCIÓN BÁSICA:Cuando:[H+] < [OH-]CONCEPTO DE “pH”El “pH” es una manera de expresar la concentración delos iones H+en una solución. Se expresa por el logarit-mo vulgar de la inversa de la concentración del H+.La concentración [H+] del H+se expresa en ión-g/L oátomo-g/L:1pH = log ––––[H+]www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 253 -ELECTRO-QUÍMICAEs el estudio de las reacciones químicas producidaspor la acción de la corriente eléctrica y también es elestudio de las reacciones químicas que producen co-rriente eléctrica.Algunas unidades eléctricas.UNIDAD DE MASACOULOMBEs la cantidad de masa eléctrica que se necesita para de-positar 0,00118 gr de Ag en un proceso electrolítico.1 coulombio <> 6,25 . 1018electronesFARADAYEs una unidad mayor de masa eléctrica, equivale a 96500 coulombs, es la cantidad de masa eléctrica que alcircular en un proceso electrolítico, deposita 1 Equi-valente gramo de sustancia en los electrodos.1 faraday <> 0,623 . 1023electrones1 faraday <> 9,65 . 104coulombioELECTRO-EQUIVALENTEEs la cantidad de sustancia depositada en un electro-do por un coulomb de corriente, en un proceso elec-trolítico.Por ejemplo:0,00118 g Aag es el electroequivalente de la plataporque es depositado por un coulomb.UNIDADES DE INTENSIDADAMPEREEs una unidad para medir la frecuencia o intensidadcon que se desplaza la corriente, equivale al despla-zamiento de 1 coulombio en 1 segundo.1 coulombAmpere = ––––––––––1 segundoo:qI = ––tELECTRÓLISISEs el fenómeno de la descomposición química de unasustancia disuelta (electrolito), generalmente en elagua, por la acción del paso de la corriente eléctrica.Fuente de energia+ -Anodo CátodoCeldaelectrolíticaCl-H+ElectrolitoSolución electrolíticaLEYES DE FARADAY1.- “La cantidad de sustancia depositada en un elec-trodo es proporcional a la cantidad de corrienteque circula por una solución”.W = α qW = peso de sustancia que se libera o que se de-posita en los electrodos.α = constante propia de cada sustancia que se vaa descomponer y que depende de su equiva-lente-gramo.q = cantidad de corriente que circula.www.elsolucionario.net
    • - 254 -2.- “Las cantidades de sustancias distintas deposita-das en los electrodos, de procesos distintos, por lamisma cantidad de corriente, son proporcionalesa sus pesos equivalentes”.Wa Eq a––– = –––––Wb Eq bnq+ -- +nq- ++ -QUÍMICA ORGÁNICABREVES NOCIONES y NOMENCLATURAOBJETIVO DE LA QUÍMICA ORGÁNICAEs estudiar los derivados del carbono.CARÁCTERÍSTICAS RESALTANTES DELCARBONO1.- El carbono es tetravalente. Se le representa por untetraedro regular.2.- Los átomos de carbono pueden unirse entre ellospor enlace simple, doble y triple.CEl carbono y sus cuatro valencias= C - C =enlace simple= C =C =enlace doble–– C ≡ C ––enlace simplewww.elsolucionario.net
    • DIVISIÓN DE LA QUÍMICA ORGÁNICALa función orgánica que se estudia en Química Orgánica se divide en dos grandes series: ACICLÍCA yCICLÍCA.F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 255 -SERIE ACÍCLICASon compuestos orgánicos de cadena abierta. Se cla-sifican en SATURADOS y NO SATURADOS.FUNCIONES QUÍMICASSe llama así a un conjunto de propiedades análogas aun grupo de compuestos.En la Química Orgánica se puede definir y clasificarlas siguientes funciones:FUNCIÓN PRINCIPALConstituída por H y C; de ésta, derivan otras.1) Saturadas•Enlace doble2) No saturadas•Enlace tripleFUNCIONES FUNDAMENTALESAlcoholAldehíbidoCetonaÄcidoFUNCIONES ESPECIALESEter NitritoEster CianuroSal orgánicaAminaAmidaACICLÍCAo grasa, o alifáticao forménica(cadena abierta)CICLÍCAo aromática(cadena abierta)No saturadosCarbocíclicasSaturados:enlace simple entre carbonosEtilenos:olefinos o alquenos;enlace doble entre carbonosAcetilenos o alquinos:enlace triple entre carbonosAlicíclica:cadena hasta d 5 carbonosBencénica:El benceno y sus derivadosHeterocíclicas:Cuando algunos vertices de la cadena cerradason distintos del Cwww.elsolucionario.net
    • - 256 -FUNCIÓN HIDROCARBUROSon compuestos que constan sólo de C e H. Es lafunción más sencilla pero a la vez la más importante.Los grupos característicos son:-CH3= CH2Grupo funcional Grupo funcionalPrimario secundarioMonovalente divalente≡ CHGrupo funcional terciario, trivalente.A) FUNCIONES PRINCIPALESConstituídos sólo por Carbonos e Hidrógenos.1.- SERIE SATURADA O ALKANASon hidrocarburos de cadena abierta con un soloenlace entre carbonos.Ejemplo:H H H HH C C C C HH H H Ho:CH3– CH2– CH2- CH3NOMENCLATURA“Se les nombra con la palabra griega que indica elnúmero de carbonos de la cadena principal y se lehace terminar en ANO”.Los 4 primeros componentes de esta serie tie-nen nombres especiales, con los cuales son másconocidos:CH4: Metano o protanoCH3– CH3: Etano o deutanoCH3– CH2– CH3: Propano o tritanoCH3– CH2– CH2– CH3: Butano o tetranoCH3– CH2– CH2– CH2– CH3: pentanoCH3– (CH2)4– CH3: exanoCH3– (CH2)5– CH3: heptanoEtc.Los 4 primeros hidrocarburos; es decir, hasta el C4,son gaseoso. Del C5al C17son líquidos, del C18enadelante son sólidos.Fórmula general:CnH2n+2n: 1, 2, 3, …RADICALES HIDROCARBUROS O RADICALESALCOHÓLICOSSon aquellos que resultan al quitarle un “H” a un hi-drocarburo saturado (o quitar un “OH” a un alcoholmono alcohol, lo que se verá más adelante).Ejemplo:CH3– CH3Si se quita H resulta en:CH3– CH2–NOMENCLATURA“Se les nombra cambiando la terminación ANO delhidrocarburo (o la terminación OL del alcohol), porla terminación IL o ILO”.www.elsolucionario.net
    • Ejemplos:HCH3origina el CH3– metlLCH3– CH3origina el CH3– CH2– etlLCH3– CH2– CH3origina el CH3– CH2– CH2– proplLCH3– CH2– CH2– CH3origina el CH3– CH2– CH2– CH2– butlLCH3– CH2– CH2– CH2– CH3origina el CH3– CH2– CH2– CH2– CH2– pentlLF O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 257 -HIDROCARBUROS SATURADOS CONRAMIFICACIONESSon aquellos que tienen cadenas laterales conforma-das por radicales hidrocarburos.NOMENCLATURA“Se numera el hidrocarburo, eligiendo como cadenaprincipal la cadena más larga, la cual puede ser to-da horizontal, toda vertical o quebrada, empezandopor el lado más cercano a la cadena lateral; luego,se nombra los radicales, indicando el número decarbonos donde están enlazados, luego se lee elnombre del hidrocarburo principal”.Ejemplos:i)1 2 3 4 5CH3– CH – CH – CH2– CH2– CH2– CH3CH3CH36 CH27 CH28 CH3Dimetil – 2 . 3 – etil – 5 – octanoii)5 4 3 2 1CH3– CH2– CH – CH – CH3CH3Metil – 2 – pentano2.- SERIE NO SATURADASon aquellos hidrocarburos cuyos carbones estánunidos por dos o tres enlaces.ALQUENOS O HIDROCARBUROS CON ENLACEDOBLELlamados también etilénicos, olefinos o alquenos.Son aquellos en cuya cadena principal hay uno o máscarbonos unidos por enlaces dobles.NOMENCLATURA“Se les nombra con la palabra griega que indica elnúmero de carbonos que tiene la cadena principal,haciendo terminar en ENO, precedida esta termina-ción por di, tri, etc., según el número de enlaces do-bles que tenga la cadena principal, ubicando conuna numeración adecuada que empiece por el extre-mo más cercano al enlace doble”.Ejemplos:i)5 4 3 2 1CH3– CH2– CH = CH – CH3Pent – ENO – 2ii)1 2 3 4 5 6 7 8 9CH3– CH = CH – CH = CH – CH = CH – CH2– CH3Nona – TRI – ENO – 2 . 4 . 6Fórmula general cuando el hidrocarburo tiene un so-lo enlace doble:CnH2nwww.elsolucionario.net
    • - 258 -ALQUINOS O HIDROCARBURO DE ENLACETRIPLELlamados también acetilénicos o alquinos. Sonaquellos hidrocarburos en los cuales algunos de suscarbonos, de la cadena principal, están unidos porenlaces triples.NOMENCLATURA“Se les nombra con la palabra griega que indica elnúmero de carbonos de la cadena principal seguidode la terminación INO, interponiendo la palabra di,tri, etc., para indicar el número de veces que se re-pite el enlace triple; finalmente, se ubica los enlacestriples con números de los carbonos de menor nu-meración de la cadena principal”.Ejemplos:i)7 6 5 4 3 2 1CH3– CH2– C ≡ C = CH2– C ≡ CHHepta di – INO – 1.4ii)5 4 3 2 1CH3– CH2– C ≡ C – CH3Penta – INO – 2Fórmula general válida cuando hay un solo enlacetriple:CnH2n-2HIDROCARBUROS NO SATURADOS CONCADENAS LATERALESSon aquellos que tienen cadena lateral, designán-dose como cadena principal la que tiene enlace do-ble o triple.NOMENCLATURA“Primero se elige la cadena principal, se numera suscarbonos. Luego, se nombra los radicales empezan-do por los más simples, indicando su ubicación conla numeración de la cadena principal, finalmente selee la cadena principal”.Ejemplo:i)1 2 3 4 5 6 7 8CH ≡ CH – CH – CH2– CH – CH = CH – CH3CH3CH3Di – metil – 3.5 – octa – eno.6 – ino. 1ii)9 8 7 6 5 4 3 2 1CH – CH – CH − CH – C ≡ C – C = C = CH2CH2CH2CH2CH2CH3CH2CH3Propil. 8 – butil.3 – Nona – di – eno. 1.2 – ino.4B) FUNCIONES FUNDAMENTALESFUNCIÓN ALCOHOLResulta de la sustitución, en la función hidrocarburo,de un H por un radical OH. Como la sustitución pue-de hacerse en un grupo hidrocarburo primario, secun-dario o terciario, el alcohol resultante será primario,secundario o terciario, cuyos grupos funcionales son;- CH2OH= CHOH ≡ COHNOMENCLATURA“Se les nombra con el nombre del hidrocarburo quelo origina, haciendo terminar el OL, precedida estaterminación de di, tri, etc., según las veces que serepite el grupo OH”.www.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 259 -Ejemplos:i) CH3– CH2OHetanolii) CH3– CHOH – CH3Propanol – 2iii) CH2OH – CH2- CHOHPropano – di – ol – 1 . 3iv) CH2OH – CHOH - CH2OHPropano – tri – ol o glicerinav)8 7 6 5 4 3 2 1CH ≡ C – CHOH − CH - CH = C – COH = CH2C2H5C2H5Di – etil.3.5-OL.2.6 – Octa – di – eno.1.3 – ino.7FUNCIÓN ALDEHÍDOResulta de la sustitución de 2H de un hidrocarburodel grupo funcional primario (-CH3) por un O. Elgrupo carácterístico es:-CHOo:O– CHNOTA:No confundir con el alcohol terciario (≡ COH)NOMENCLATURA“Se le nombra con el nombre del hidrocarburo que loorigina, haciendo terminar en AL”.Ejemplo:i) CHO – CH2– CH3Propan – alii) CHO – CH3Etan – aliii)1 2 3 4 5 6 7CHO - C ≡ C - CH – CH = CH – CHOCH3Metil.4 – hepta – eno.5 – ino.2 – di – al.1.7FUNCIÓN CETONAResulta de sustituir 2H del grupo funcional secun-dario (=CH2) por un O. El grupo funcional carácte-rístico es:= CONOMENCLATURA“Se les nombra con el nombre del hidrocarburo quelo origina, haciendo terminar en ONA”.i) CH3– CO – CH3Propan - onaii) CH3– CO – CO – CH3Buta – di – onaiii)7 6 5 4 3 2 1CH3– CO – CH − CH2– CO – CH = CH2CH2CH3Etil 5 – hepta – eno.1 – di-ona.3.6www.elsolucionario.net
    • - 260 -FUNCIÓN ÁCIDOResulta de la sustitución del grupo funcional prima-rio (-CH3), 2H por un O y otro H por un OH. El gru-po funcional carácterístico se llama carboxílico y es:– COOHNOMENCLATURA“Se les nombra con el nombre del hidrocarburo quelo origina, haciendo terminar en OICO”.Ejemplos:i) HCOOHMetan - oicoii) COOH – CH3Etan-oicoiii) COOH – CH2- COOHPropano – di - oicoiv) COOH – CH2– CH2– CH3Butan – oicov)8 7 6 5 4 3 2 1CH3− CH2– CH – CH2− C ≡ C – CH – COOHCH2CH3CH3Metil.2 – etil.6 – octa – ino.3-oico.1www.elsolucionario.net
    • RADICAL ALCOHOLICO O RADICALDE HIDROCARBURO SATURADOEs aquel que resulta al quitarle el grupo OH al al-cohol o el H a un hidrocarburo saturado.NOMENCLATURA.-“Se les nombra con el nombre del hidrocarburoque lo origina, cambiando la terminación ONAdel hidrocarburo, u OL del alcohol, por la termi-nación IL o ILO”.Ejemplos:i) HCH3original el – CH3met-il.ii) CH3– CH2– CH2-Propiliii) CH3– CH2– CH2– CH2ButilFórmula general:CnH2n+1RADICALES DE HIDROCARBUROSNO SATURADOSResultan de quitarle 1 H al hidrocarburoNOMENCLATURA.-“Se les nombra con el nombre del hidrocarburoque lo origina haciendo terminar en ILO”.Ejemplos:i) CH2= CH2origina el CH2– CH – etenilo.ii)4 3 2 1CH3– CH2– CH = CH -Buteno.1 – il -1iii)1 2 3 4 5 6CH ≡ C – CH = C = CH – CH2–Exa – di – eno.3.4 – ino.1-il.6Es necesario indicar la posición del enlace libre,porque con los ejemplos anteriores puede suce-der lo siguiente:[(de ii)]4 3 2 1– CH2– CH2– CH = CH2Buteno.1 – il – 4[(de iii)]1 2 3 4 5 6– C ≡ C – CH = C = CH – CH3Exa – di – eno.3.4 – ino.1-il.1RADICALES ÁCIDOSResulta de quitarle un OH al grupo carboxílico(-COOH) del ácido orgánico.NOMENCLATURA.-“Se les nombra con el nombre del hidrocarburoque lo origina, añadiendo la terminaciòn ILO”.Ejemplos:i) CH3– CO –Etano-iloii) CH3– CH2– CH2– CO –Butano-iloiii)1 2 3 4 5 6CH2= CH – CH - CH = CH – CO -CH2CH3Etil.3 – exa – di – eno.1.4 – ilo.6F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 261 -RADICALES ORGÁNICOSwww.elsolucionario.net
    • C) FUNCIONES ESPECIALESFUNCIÓN ÉTERResulta de quitar (deshidratar) una molécula deagua a dos moléculas de alcohol.2(CH3– CH2OH) – H2O C2H5– O – C2H5NOMENCLATURA“Se les nombra interponiendo la palabra OXI alos nombres de los hidrocarburos que originanlos alcoholes”.Ejemplos:i) CH3– CH2– O – CH3Etano oxi-metanoii) CH3– CH2– CH2– CH2– O – CH2– CH3Butano-oxi-etanoNOMENCLATURA ESPECIALCuando el grupo funcional éter (–O–) une los áto-mos de carbono de una misma cadena, se le antepo-ne el prefijo EPOXI, indicando con numeración loscarbonos donde está injertado el radical –O–, segui-do del nombre el hidrocarburo.Ejemplos:i) 5 4 3 2 1CH3– CH2– CH – CH - CH3OEpoxi.2.3 - pentanoii) CH3– C = C – CH3OEpoxi.2.3 – buteno.2iii)9 8 7 6 5 4 3 2 1CH3– C ≡ C − CH − CH − C ≡ C – CH = CH2OEpoxi.5.6 – nona - eno - 1 – di – ino.3.7FUNCIÓN ÉSTERResulta de sustituir el (H+) del ácido orgánico o mi-neral por un radical alcohólico.Ejemplo:(CH3– COOH) + (CH2OH – CH3)CH3– COO.C2H5+ H2OH.NO3+ (CH2OH – CH3) NO3C2H5+H2ONOMENCLATURA“Se le nombra con el nombre del radical halogénicodel ácido (el nombre del ácido se hace terminar enATO), seguido del nombre del radical alcohólico”.Ejemplos:i) CH3– (CH2)4– COO.C2H5Exanoato de etiloii) CH4– COO.C4H9Etanoato de butiloiv) SO4(C3H7)2Sulfato de propilov) SO3.(C6H13)2Sulfito de exilovi) NO3.C2H5Nitrato de etilovii) CIO4. C3C7Perclorato de propiloFUNCIÓN SAL ORGÁNICAResulta de sustituir el hidrógeno H+del ácido orgáni-co por metales o radicales positivos de Química Inor-gánica.Ejemplo:CH3– COO.H + NaOH CH3– COO.Na + H2O- 262 -www.elsolucionario.net
    • NOMENCLATURA“Se les nombra con el nombre halogénico del ácido,seguido del nombre iónico del metal”.Ejemplos:i) (C3H7– COO)2CuButanato cúpricoii) (CH3– COO)3AlEtanoato de aluminioFUNCIÓN AMINAResulta de la sustitución parcial o total de los H delamoníaco por radicales alcohólicos.H C2H5N H N HH HNOMENCLATURA“Se les nombra con los nombres de los radicales alco-hòlicos, seguido de la palabra AMINA”.Ejemplos:CH3i) N CH3HDi-metil – aminaCH2H5ii) N HHEtil – aminaC2H5iii) N C2H5C3H7Di – etil – propil – aminaFUNCIÓN AMIDAResulta de la sustitución parcial o total de los hidróge-nos del amoníaco por radicales ácidos. (Radical ácidoes lo que queda del ácido al quitarle el grupo OH).H CO–C2H5N H N HH Hamoníaco propano amidaNOMENCLATURA“Se les nombra con el nombre del hidrocarburo queorigina el radical ácido, seguido de la palabraAMIDA”.Ejemplos:CO–C2H5i) N HHPropano - amidaCO–CH3ii) N CO–CH3CO–C5H11Di - etano - exano - amidaF O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 263 -www.elsolucionario.net
    • - 264 -FUNCIÓN NITRILOResulta de la unión del CN–, monovalente del ácidocianhíldrico, con los radicales alcohólicos.CN – C2H5NOMENCALTURA“Se les nombra con el nombre del hidrocarburo detantos carbonos como haya en total, seguido de lapalabra NITRILO”.Ejemplos:i) CN – C3H7Butano – nitriloii) CN – C5H11Exano – nitriloFUNCIÓN CIANUROResulta de la unión del radical CN – monovalentecon un metal:CN – KNOMENCLATURA“Se les nombra con la palabra CIANURO, seguidodel nombre iónico del metal”.Ejemplos:i) CN – Kcianuro de potasioii) (CN)3FeCianuro férricowww.elsolucionario.net
    • F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 265 -CUADRO DE LOS GRUPOS FUNCIONALESGRUPO FUNCIONALNOMBRE DE LA FUNCIÓNNOMENCLATURAHIDROCARBURO TERMINA EN– CH3Primaria … ano= CH2Secundaria}HIDROCARBUROS … eno≡ CH Terciaria … inoGRUPO FUNCIONALFUNCIÓN NOMENCLATURAALCOHOL– CH2OH Primaria … ol= CHOH Secundaria} ALCOHOL … ol≡ CH Terciaria … ol– CHO ALDEHÍDO … al= CO CETONA … ona– COOH ÁCIDO … oico– O – ÉTER … oxi …– COO – R ESTER … ato de …ilo– COO – R’ SAL ORGÁNICA … ato de …www.elsolucionario.net
    • - 266 -R = radical alcholR´ = radical mineral o positivoR” = radical ácidoR – NH2PrimariaR}NH SecundariaRAMINA … aminaRR NH TerciariaRR” – NH2PrimariaR”}NH SecundariaR” AMIDA … amidaR”R” NH TerciariaR”R – CN NITRILO …nitritoR’ – CN CIANURO cianuro de …AMINAAMIDAwww.elsolucionario.net
    • SERIE CÍCLICASon aquellos que tienen alguna cadena cerrada, for-mando anillo. Son de tres clases: alicíclica, bencéni-ca y heterocíclica.SERIE ALICÍCLICAEs una serie cíclica de enlaces simples o a lo más do-bles. No incluye el benceno, el cual forma una serieespecial.NOMENCLATURA“Se les nombra anteponiendo la palabra CICLO alnombre del hidrocarburo de cadena abierta que laorigina”.Ejemplos:i)CH2CH2CH2Ciclo.propapanoii)CH CH2CH CH2Ciclo- butenoiii)3C – CH2– CH32 CH CH 41 CH CH25Etil.3 – ciclo – di – penteno.1.3iv)2CH1 CH CHCI 36 CH2CH24CH25Clor.3 – ciclo – exeno. 1SERIE HETEROCÍCLICAPoseen uno o más elementos diferentes del C en losnudos de la cadena cerrada. Reciben distintos nom-bres de acuerdo con el elemento distinto de C que loha sustituído en la cadena.Estos son los núcleos más importantes de esta serie:S O FTiofenos Furanos PirrólicosBENCENOSERIE BENCÉNICA O AROMÁTICAPosee como base el núcleo bencénico o llamado ani-llo de kekulé.C6H6o :o:F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 267 -www.elsolucionario.net
    • o:CHCH CHCH CHCHRADICAL FENILOResulta al quitarle un H al benceno.C6H5- o:Este radical sustituye a los hidrógenos de los hidro-carburos o de los ácidos. Se les nombra así:i) NO3o: NO3.(C6H5)nitrato de feniloii) SO4(C6H5)2sulfato de feniloiii) 4 3 2 1CH3– CH = C – CH3Fenil.2 – but – eno.2iv) 2 3CH CH.(C6H5)1 CH CH24Fenil.3 – ciclo – buteno.1DERIVADOS DEL BENCENOResultan de sustituir uno o más H del benceno porradicales alcohólicos monovalentes o por metales.Pueden ser derivados mono, di y tri – sustituídos.A) DERIVADOS MONOSUSTITUÍDOSSe les nombra con el nombre de radical que sus-tituye al H, seguido de la palabra “benceno”.Ejemplos:i) CH2– CH3ii) ClEtil – benceno Cloro-bencenoiii) IIodo bencenoB) DERIVADOS BISUSTITUÍDOSPueden ser ORTO, META o PARA, según la posi-ción de los hidrógenos sustituídos.R R RRRRORTO META PARA- 268 -www.elsolucionario.net
    • Se les nombra con los prefijos ORTO, META oPARA, luego el nombre del radical seguido de lapalabra “benceno”.Ejemplos:i)CH2– CH3CH2– CH3Orto – di – etil – bencenoii)ClCIMeta – cloro – bencenoiii)C4H9C5H11Para – butil – pentil – bencenoC) DERIVADOS TRISUSTITUÍDOSPueden ser: VECINAL, ASIMÉTRICO O SIMÉ-TRICO según la posición de los hidrógenos susti-tuídos.R R RR RR R RRVECINAL ASIMÉTRICO SIMÉTRICOSe les nombra con los nombres de los radicalesque sustituyen los hidrógenos, luego, según loque convenga, la palabra vecinal, asimétrico o si-métrico, seguido de la palabra “benceno”.Ejemplos:i) C2H5C2H5CH3Metil . di – etil – vecinal – bencenoii) CICICITri – cloro – asimétrico – bencenoiii) CH3CH3CH3Tri – metil –simétrico – bencenoNAFTALENOResulta del acoplamiento de 2 bencenos:8α 1αCH CH7β CH CH 2βCC6β CH CH 3βCH CH5α 4αSe le numera como se indica; hay 4 carbonos α, 4carbonos β.F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 269 -www.elsolucionario.net
    • RADICAL NAFTILResulta de quitarle 1H al naftaleno, según de dondesale el hidrógeno, el naftaleno puede llamarse α-naf-til o β-naftil.Ejemplos:i) 4 3 2 1CH3– CH – CH2= CH2β-naftil.3-buteno.1ii) 1 2 3C ≡ C – CH3α-naftil-propino.1DERIVADOS DEL NAFTALENOResultan de sustituir un H α o β de naftaleno por unradical alcohòlico o metales.Se les nombra, anteponiendo la letra α o β que co-rresponde al H sustituído, luego el nombre del radi-cal, o mejor, si son varias las sustituciones con unanumeración como la que se ha indicado, seguido dela palabra “naftaleno”.Ejemplos:i) C2H5C2H5α etil, β etilii) CH3CH3CH3C3H7CH3Tetra-metil 1.2.4.8-propil.5 naftalenoANTRACENOResulta del acoplamiento de 3 bencenos8α 9γ 1αCH CH CHC C7β CH CH 2β6β CH CH 3βC CCH CH CH5α 10γ 4αRADICAL ANTRACILResulta de quitarle un H, sea α, o β o α o γ al antra-ceno; según esto, puede llamarse α naftil, β naftil oγ naftil.Ejemplos:i) CH2– CH3α - naftil.2 – etanoii) 6 5 4 3 2 1CH3- CH – CH – CH – C ≡ Cγ naftil.5 – exa – eno.3 – ino. 1- 270 -www.elsolucionario.net
    • i) CH2- CH3CH2– CH3etil – g etil – antacenoii) Cl Na CH3C7H13C5H11Metil.1 – pentil.5 – heptil.3– cloro.8 – sodio.9 - antracenoDERIVADOS DEL ANTRACENOResultan de sustituir un hidrógeno α, β o γ del antraceno por un radical alcohòlico o metal.Cuando son uno o dos los hidrógenos sustituídos se les nombra indicando la letra griega del H sustituído,luego el nombre del radical y finalmente la palabra “antraceno”. Sin embargo, cuando son varias las sustitu-ciones se señala con los números indicados en la figura anterior.Ejemplos:F O R M U L A R I O M A T E M Á T I C O- 271 -www.elsolucionario.net