Fisica III (santillana)

SANTIAGO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID
MÉXICO • NUEVA YORK • SAN JUAN •SANTA FE DE BOGOTÁ • SÂO PAULO
AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI
SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TORONTO
TEXTO PARA EL ESTUDIANTE
año
medio
Autores
L.A. Pavez F.
Profesor de Física
Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación
J. E. Jiménez C.
Licenciado en Física
Pontiﬁcia Universidad Católica de Chile
E. Ramos M.
Doctor en Física
Pontiﬁcia Universidad Católica de Chile
Preliminares Fisica 3M_OK.indd 1 21/7/10 16:59:46

Física 3° año medio
TEXTO PARA EL ESTUDIANTE
Autores
Luis A. Pavez F.
Javier E. Jiménez C.
Esteban Ramos M.
Editora
Paola González
Diseño y diagramación
Pamela Madrid
Corrección de prueba
Patricia Romero
Ilustraciones
Faviel Ferrada
Jacob Bustamante
Archivo gráﬁco
Banco imágenes McGraw-Hill
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión
de ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otro
método sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.
DERECHOS RESERVADOS © 2009
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE CHILE LTDA.
Carmencita 25, oﬁcina 51, Las Condes
Teléfono 56-2-6613000
Santiago de Chile
La materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM – Universidad de Chile.
ISBN: 978-956-278-220-3
N˚ de Inscripción: 186.064
Impreso en Chile por: RR Donnelley Chile.
Se terminó de imprimir esta primera edición de 137.162 ejemplares, en el mes de diciembre de 2009.

Presentación
La Física va más allá de las ecuaciones y los números. Muchas cosas
que suceden en nuestro alrededor tienen relación con ella: los colores
del arco iris, el brillo, la dureza del diamante son temas de la Física,
asimismo, acciones como caminar, correr o andar en bicicleta invo-
lucran los principios de esta ciencia. Por ello, se ha tenido especial
cuidado en establecer la relación entre los contenidos y aspectos de la
vida diaria, como la tecnología de uso común, la salud, etc.
Este libro pretende ser una herramienta útil para todos los estudiantes
que cursan el tercer año medio. El objetivo es que, leyendo con aten-
ción cada una de las secciones, puedas obtener en forma paulatina,
progresiva y ordenada los conceptos básicos necesarios para su forma-
ción cientíﬁca.
Los contenidos se han estructurado en dos grandes unidades didácti-
cas: Mecánica y Fluidos, las que a su vez se han separado en capítulos
y secciones para entregarte una estructura más dinámica y didáctica.
Todas las secciones te presentarán actividades de indagación, ejemplos,
contexto histórico, actividades de profundización, síntesis, preguntas y
ejercicios propuestos y evaluaciones.
La Física es una actividad humana, una aventura excitante y en este
curso conocerás el fruto de muchos hombres y mujeres que dedicaron
su vida a la investigación para comprender nuestro mundo.
3

Física 3° Año Medio4
Estructura gráfica
El texto para el estudiante está ordenado siguiendo el siguiente esquema:
Unidad 1. Mecánica
Capítulo 1: Movimiento circular Sección 1: Movimiento circular uniforme
Sección 2: Momento angular y su conservación
Capítulo 2: Energía mecánica Sección 3: Energía y movimiento
Sección 4: Conservación de la energía mecánica
Unidad 2. Fluidos
Capítulo 3: Hidrostática Sección 5: Presión y principio de Pascal
Sección 6: El principio de Arquímedes
Capítulo 4: Hidrodinámica Sección 7: Fluidos en movimiento
Entrada de Unidad presenta los aprendizajes
esperados y las primeras interrogantes
motivadoras respecto a los temas a trabajar.
Entrada de capítulo con preguntas
motivadoras iniciales. Estas preguntas
tienen un sentido diagnóstico, ya que,
por una parte, aluden a conocimientos
que se espera sean de dominio del
estudiante y, por otra parte, aluden a
conceptos relacionados con el contenido
del capítulo.

5
Preguntas y ejercicios:
batería de ejercicios
propuestos que tienen
por objetivo que el
estudiante aplique los
contenidos desarrollados
en la sección.
Indagación, actividades que permiten
a los estudiantes incentivar la
curiosidad y desarrollar habilidades de
investigación científica.
Contexto histórico de la física
da referencias de las personas
que contribuyeron al desarrollo
del conocimiento en el área
de la física relacionada con la
sección.
Actividad de profundización sirve
para consolidar el aprendizaje de la
primera parte de la sección y desafía a
los estudiantes a enfrentar un problema
en base al método científico.
Evaluación
intermedia permite
evaluar el grado
de avance en la
comprensión de los
contenidos.
Síntesis, muestra un
mapa conceptual que
lleva a los estudiantes
a ordenar y jerarquizar
los contenidos de la
sección.
Evaluación final,
pone a prueba los
aprendizajes logrados
en la sección.

Índice
Unidad 1. Mecánica
CAPÍTULO 1: MOVIMIENTO CIRCULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 CAPÍTULO 2: ENERGÍA MECÁNICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Indagación 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Indagación 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Indagación 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Indagación 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Sección 1: Movimiento circular uniforme. . . . . . . . . . . 15 Sección 3: Energía y movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Trayectoria circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Sistema y entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
El período.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Trabajo mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
La frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Indagación 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Indagación 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
La aceleración centrípeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Energía cinética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
La fuerza centrípeta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Energía potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Algunos casos de la fuerza centrípeta. . . . . . . . . . . . . 25 Energía mecánica total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Contexto histórico de la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Contexto histórico de la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . 32 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . 81
Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Indagación 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Indagación 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Sección 2: Momento angular y su conservación . . . . . . 37 Sección 4: Conservación de la energía mecánica . . . . . 86
El momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Fuerzas conservativas y fuerzas disipativas . . . . . . . . 86
La inercia rotacional o momento de inercia . . . . . . . . 40 El principio de conservación de la energía mecánica. 88
Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Conservación de la energía y roce . . . . . . . . . . . . . . 101
Inercia y conservación del momento angular. . . . . . . 48 Contexto histórico de la física . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . 53 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 109
Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7
Unidad 2. Fluidos
CAPÍTULO 3: HIDROSTÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 CAPÍTULO 4: HIDRODINÁMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Indagación 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Indagación 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Indagación 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Indagación 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Sección 5: Presión y principio de Pascal . . . . . . . . . . . 117 Sección 7: Fluidos en movimento . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Líquidos y gases en el Universo . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Conceptos preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Líneas de flujo y ecuación de continuidad . . . . . . . . 162
Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 La ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Indagación 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Presión hidrostática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Indagación 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. . . . . . . . . 176
Presión atmosférica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Viscosidad y velocidad límite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 El flujo sanguíneo en el cuerpo humano. . . . . . . . . . 182
Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 136 Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 185
Indagación 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Sección 6: El principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . 140
¿Por qué un objeto se hunde o flota? . . . . . . . . . . . . 142 Solucionario 188
Actividad de profundización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Indagación 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Tensión superficial y capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . 147
Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Preguntas y ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . 155
Evaluación final de la sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Seguridad en el laboratorio
El laboratorio de ciencias es un lugar seguro para trabajar si eres cuidadoso y estás atento a las normas de seguridad.
Debes ser responsable de tu seguridad y de la de los demás. Las reglas que aquí se proporcionan te protegerán a ti y
a los otros de sufrir daños. Mientras realices procedimientos en cualquiera de las actividades, presta atención en los
enunciados de precaución.
1 Siempre obtén el permiso de tu profesor o profesora
para comenzar la práctica.
2 Estudia el procedimiento. Si tienes preguntas, plan-
téaselas a tu profesor(a). Asegúrate de entender todas
las normas de seguridad sugeridas.
3 Usaelequipodeseguridadqueseteproporcione.Cuando
cualquier práctica requiera usar sustancias químicas,
debes usar lentes, delantal y guantes de seguridad.
4 Cuando calientes un tubo de ensayo, siempre ladéalo de
modo que la boca apunte lejos de ti y de los demás.
5 Nunca comas o bebas en el laboratorio. Nunca inhales
químicos. No pruebes sustancias o introduzcas algún
material en tu boca.
6 Si derramas algún químico, reporta el derrame a tu
profesor(a) sin pérdida de tiempo.
7 Aprende la ubicación y el uso adecuado del extintor de
incendios, el botiquín de primeros auxilios y cualquier
equipo de seguridad complementario.
8 Mantén todos los materiales lejos de ﬂamas abiertas.
Amárrate el cabello si lo tienes largo.
Primeros auxilios en el laboratorio
Lesión Respuesta segura
Quemaduras Aplicar agua fría. Llamar de inmediato al profesor o profesora.
Cortaduras y raspones
Detener cualquier sangrado mediante la aplicación de presión directa. Cubrir los cortes con un
paño limpio. Aplicar compresas frías a los raspones. Llamar de inmediato al profesor(a).
Desmayo
Dejar que la persona se recueste. Aﬂojar cualquier ropa apretada y alejar a las personas. Llamar
de inmediato al profesor(a).
Materia extraña en el ojo Lavar con mucha agua. Usar lavado ocular con botella o directamente bajo la llave.
Envenenamiento Anotar el agente venenoso sospechoso y llamar de inmediato al profesor(a).
Cualquier derrame en la piel Lavar con mucha agua. Llamar de inmediato al profesor(a).
9 Si en el salón de clase se inicia un fuego o si tu ropa
se incendia, sofócalo con un abrigo o ponte bajo la
llave del agua. NUNCA CORRAS.
10 Reporta a tu profesor o profesora cualquier accidente
o lesión, sin importar lo pequeño que éste sea.
Sigue estos procedimientos mientras limpias tu área de
trabajo.
1 Cierra el agua y el gas. Desconecta los dispositivos
eléctricos.
2 Regresa los materiales a sus lugares.
3 Desecha las sustancias químicas y otros materiales
de acuerdo con las indicaciones de tu profesor(a).
Coloca los vidrios rotos y las sustancias sólidas en los
contenedores adecuados. Nunca deseches materiales
en la cañería.
4 Limpia tu área de trabajo.
5 Lávate las manos a conciencia después de trabajar en
el laboratorio.

9
Símbolos de las medidas de seguridad
SÍMBOLOS
PELIGRO
BIOLÓGICO
PRECAUCIÓN,
SUSTANCIA
INFLAMABLE
PELIGRO
DE INCENDIO
RIESGO DE
QUEMADURAS
PRECAUCIÓN,
OBJETOS
PUNZOCORTANTES
PRECAUCIÓN,
VAPORES
PELIGROSOS
PRECAUCIÓN,
ELECTRICIDAD
SUSTANCIAS
IRRITANTES
PRECAUCIÓN,
VENENO
PRODUCTOS
QUÍMICOS
PELIGROSOS
DESECHAR CON
PRECAUCIÓN
EJEMPLOS PRECAUCIÓN REMEDIO
Se debe seguir un
procedimiento especial para
desechar los materiales.
Algunos productos químicos y
organismos vivos.
No deseches estos materiales en el
drenaje o basurero.
Desecha los residuos como lo
indique tu profesor(a).
Organismos o material
biológico que puede causar
daño a los humanos.
Bacterias, hongos, sangre,
tejidos no conservados,
materiales vegetales.
Evita el contacto de estos materiales
con tu piel. Utiliza una mascarilla y
guantes.
Avisa a tu profesor(a) si
entras en contacto con
material biológico. Lávate las
manos minuciosamente.
Objetos que pueden quemar
la piel por estar muy fríos o
muy calientes.
Líquidos hirviendo, parrillas
de calentamiento, hielo seco,
nitrógeno líquido.
Utiliza protección indicada cuando
trabajes con estos objetos.
Pide a tu profesor(a) ayuda
de primeros auxilios.
Uso de herramientas o
material de vidrio que
fácilmente pueden perforar o
cortar la piel.
Cuchillos cartoneros,
herramientas con punta,
agujas de disección, vidrio
roto.
Utiliza tu sentido común cuando
trabajes con objetos punzocortantes
y sigue las indicaciones pertinentes
cuando utilices herramientas.
Posible daño al tracto
respiratorio por exposición
directa a los vapores.
Amoniaco, acetona,
quitaesmalte, azufre caliente,
pastillas contra las polillas.
Asegúrate de que haya una buena
ventilación. Nunca aspires los
vapores directamente. Utiliza una
mascarilla.
Aléjate del área y avisa a tu
profesor(A) inmediatamente.
Posible daño por choque
eléctrico o quemadura.
Conexiones mal hechas,
derrame de líquidos,
cortocircuitos, cables
expuestos.
Revisa dos veces el circuito con tu
profesor(a). Revisa las condiciones de
los cables y los aparatos.
No intentes arreglar los
problemas eléctricos.
Avisa a tu profesor(a)
inmediatamente.
Sustancias que pueden irritar
la piel o las membranas
mucosas del tracto
respiratorio.
Polen, pastillas contra las
polillas, lima de acero, fibra
de vidrio, permanganato de
potasio.
Utiliza una mascarilla para polvo
y guantes. Toma precauciones
extras cuando trabajes con estos
materiales.
Productos químicos que
pueden reaccionar y destruir
tejido y otros materiales.
Blanqueadores, como el
peróxido de hidrógeno; ácidos
como el ácido clorhídrico;
bases como el amoniaco y el
hidróxido de sodio.
Utiliza lentes de protección, guantes
y un delantal.
Enjuaga inmediatamente el
área con agua y avisa a tu
profesor(a).
Sustancias que resultan
venenosas cuando se tocan,
se inhalan o se ingieren.
Mercurio, muchos
compuestos metálicos, yodo,
algunas partes de la flor de
nochebuena.
Sigue las instrucciones que te indique
tu profesor(a).
Lava bien tus manos después
de utilizar estas sustancias.
Productos químicos inflama-
bles que pueden encenderse
debido a la presencia de
fuego, chispas o calor.
Alcohol, queroseno,
permanganato de potasio.
Cuando trabajes con sustancias
químicas inflamables, evita utilizar
mecheros y fuentes de calor.
inmediatamente. Si es
posible, usa equipo de
seguridad contra fuego.
Los mecheros en uso pueden
ocasionar incendios.
Cabello, ropa, papel,
materiales sintéticos.
Amarra tu cabello y ropa holgada.
Sigue las instrucciones que te
indique tu profesor sobre incendios
y extintores.
inmediatamente. Si es
posible, usa equipo de
seguridad contra fuego.
PELIGRO

Aprendizajes esperados
Al completar la Unidad, alumnos y alumnas:
• reconocen la utilidad del lenguaje vectorial en la descripción del movimiento;
• deducen y aplican con soltura las relaciones del movimiento circular uniforme
a una variada gama de situaciones (por ejemplo, la de un planeta que orbita en
torno al Sol);
• reconocen experimentalmente la existencia de la fuerza centrípeta y explican su
origen en diferentes y variadas situaciones en que objetos se mueven en trayec-
torias circulares y con rapidez constante;
• aplican la deﬁnición de momento angular a objetos de formas simples que rotan
en relación a un eje y reconocen la conservación de esta magnitud física tanto
en valor como en dirección y las condiciones bajo las cuales ella se conserva;
• aprecian la utilidad predictiva de las leyes de conservación del momento angular
y de la energía mecánica;
• construyen y analizan gráﬁcos de las distintas energías mecánicas;
• reconocen en el roce cinético una forma en que habitualmente se disipa la energía
mecánica;
• conocen las situaciones en que es adecuado emplear la ley de conservación de
la energía mecánica y usan procedimientos adecuados en su aplicación;
• reconocen en los fenómenos con movimiento circular y aquellos debidos a la acción
de la fuerza de gravedad que suelen ocurrir en el entorno cotidiano, los conceptos
más relevantes con los que se les describe y las leyes físicas que los rigen;
• son capaces de argumentar en base a los conceptos básicos de la física la expli-
cación de algún fenómeno físico;
• pueden comunicar las ideas y principios físicos que explican un determinado
fenómeno de la naturaleza.
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11
En la competición de atletismo conocida como lanzamiento del martillo, “el martillo”
es en realidad una bola de metal (una masa de 4 kg para las mujeres o de 7,26 kg para
los hombres) unida a un cable que tiene un asa en el otro extremo. El atleta gira varias
veces para impulsar la bola, cuidando de no salir de un círculo de 2,1 m de diámetro, y
después la suelta. El ganador es el atleta que lanza la bola a mayor distancia. ¿Cuánta
fuerza debe ejercer el atleta sobre el asa para hacer que el martillo gire en trayectoria
circular? ¿Qué tipo de trayectoria sigue el martillo después de ser lanzado?
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Mecánica
Antes de empezar...
1 ¿Dónde puedes apreciar movi-
mientos circulares en tu vida
cotidiana?
2 ¿Cómo se calcula el área y el
perímetro de un círculo cuyo
radio es R?
3 ¿En qué unidad se miden los
ángulos?
4 Suponiendo que la Tierra orbita
al Sol en una órbita circular de
radio R, ¿cuál es la relación entre
la rapidez angular (ω) y la rapidez
tangencial (v) de la Tierra?
5 Si un automóvil realiza un mo-
vimiento circular uniforme al
doblar en una curva, ¿cambia su
velocidad?
6 ¿Cuál crees que es la diferencia
entre el momento lineal y el mo-
mento angular?
7 ¿Por qué una gimnasta de patinaje
artístico gira más rápido cuando
junta sus brazos al cuerpo?
8 ¿Cómo dos personas de distinto
peso pueden mantener en equi-
librio un balancín?
9 ¿Por qué crees que la mayoría de
las puertas tienen la manilla en
el extremo y no en el medio?
10 ¿Qué duración tendría el año solar
si la distancia Tierra-Sol fuera la
mitad de lo que es?
11 Imagina dos cilindros de igual
forma y masa, pero uno hueco
y el otro macizo. ¿Cuál de los
cilindros rueda más rápido por
un plano inclinado? ¿Por qué?
“Con ninguna disposición he encontrado simetría tan maravillosa,
conexión tan armónica de los astros, como colocando la antorcha
del mundo, el Sol, que gobierna las revoluciones circulares de
toda la familia de los astros, sobre el trono en el magníﬁco templo
de la naturaleza”.
Nicolás Copérnico (1473 – 1543), sacerdote y astrónomo polaco.
Capítulo 1
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13
Capítulo 1: Movimiento Circular
Indagación N°1
¿Cómosehaceunacurva?
PARTE I: Trabajo personal
Seguramente te has dado cuenta que muchos de los movimientos que
observamos a diario no son siempre rectilíneos. Por ejemplo, el movi-
miento de un automóvil en una curva o el movimiento del té al revolverlo
con una cuchara. Reflexiona sobre las siguientes preguntas y responde
en tu cuaderno.
a) ¿Qué características tiene el movimiento circular uniforme? ¿Qué
magnitudes cambian en el tiempo y qué magnitudes se mantienen
constantes?
b) ¿Cómo es que los automóviles pueden doblar en las curvas sin seguir
de largo por el camino?
PARTE II: Trabajo en equipo
Junto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas dadas
a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas.
A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que dé respuesta a
la segunda pregunta.
a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles son las
variables observables que pueden medir y/o controlar.
b) Una vez planteada su hipótesis, diseñen un procedimiento experimental
que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicación
aceptable o debe ser descartada. Dibujen su montaje experimental
y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que
sugieren.
Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de
realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales
de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la obser-
vación y el análisis de sus resultados.
c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indica-
ciones que les dé su profesor(a).
Recuerden que una hipótesis
es una explicación posible
que se supone cierta hasta
que pueda ser contrastada
empíricamente. Por esta
razón, es fundamental que
la hipótesis se refiera a un
número reducido de variables
observables y de algún modo
medibles, que eventualmente
pueden ser controladas en un
experimento.
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Mecánica
PARTE I: Trabajo personal
Cuando un objeto se deja caer libremente sobre la superficie terrestre, sigue una trayectoria
rectilínea dirigida hacia el centro de la Tierra. En cambio, un objeto que es lanzado como
un proyectil con cierta velocidad inicial, realiza una trayectoria curva, pero igualmente
cae al suelo.
Sinembargo,laLunanocaeverticalmente.¿Porquénosecomportacomoelrestodelosobjetos
que se mueven sobre la superficie de la Tierra? ¿Cómo puedes explicar esta diferencia?
Plantea una hipótesis que dé respuesta a estas preguntas y regístrala en tu cuaderno.
PARTE II: Observación compartida
Reúnete con un compañero o compañera para compartir sus hipótesis obtenidas en la parte I.
Comenten y argumenten a favor o en contra de ellas. Luego, sigan con atención la demos-
tración que dirigirá su profesor(a) y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas.
a) ¿Cómo es la trayectoria de la silla cuando se le da un tirón con el cordel?
b) ¿Cómo es la trayectoria de la silla cuando se le da un empujón y el cordel se tensa?
c) ¿Cuál es la diferencia que define las trayectorias que observaron?
PARTE III: Trabajo en equipo
En esta parte de la actividad, junto a tu compañero(a) realizarán un sencillo experimento,
para el cual solo necesitan una goma de borrar.
Primero, uno(a) de ustedes deja caer libremente la goma de borrar desde la altura de su ca-
beza, aproximadamente. El compañero o la compañera observa la trayectoria del objeto y la
dibuja de manera aproximada en la imagen 1.1 (la del lanzador parado sobre la Tierra).
A continuación, realizan un nuevo lanzamiento, pero dando a la goma de borrar un pe-
queño impulso horizontal. En el mismo esquema, dibujen la trayectoria del objeto.
Repitan el experimento varias veces, pero con un impulso horizontal cada vez mayor,
hasta que no puedan lanzar la goma más lejos. En cada lanzamiento, dibujen aproxima-
damente la trayectoria que sigue el objeto en el mismo esquema. Para finalizar, analicen
sus observaciones y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas:
a) ¿Cómo cambia la trayectoria de la goma de borrar cuando se lanza con más impulso
horizontal?
b) ¿Cómo se relacionan los movimientos de la silla en la segunda parte de la actividad,
y de la goma de borrar en la tercera parte?
c) De acuerdo a su análisis anterior, ¿cómo se relacionan los movimientos de la goma
de borrar y de la Luna alrededor de la Tierra? Comparen su respuesta con la hipótesis
inicial que cada uno planteó.
Indagación N°2
¿PorquélaLunanocaedirectamentealaTierra?
Tierra
Tú
proyectil
Imagen 1.1
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15
Movimiento circular uniforme (M.C.U.)
La trayectoria circular
Un móvil puede moverse describiendo cualquier tipo de trayectoria.
Por ejemplo, en una carretera un automóvil puede moverse descri-
biendo una línea recta, pero cuando llega a una curva pronunciada,
generalmente su trayectoria es un arco de circunferencia.
Para describir la distancia, la posición o el desplazamiento en
un movimiento rectilíneo, utilizamos como unidad de medida el
metro [m]; en cambio, en la descripción del movimiento circular
usamos el metro como unidad de distancia o arco recorrido, y
para determinar la posición y el desplazamiento utilizamos también
una unidad angular, conocida como radián [rad].
Lo anterior se debe a que en el movimiento circular es fundamental
la relación entre los tres elementos que se muestran en la Figura 1.1:
el arco recorrido (∆s), el radio de curvatura (r) y el ángulo des-
crito (∆θ).
Figura 1.2. La trayectoria de un planeta
en torno al Sol puede ser considerada
como una trayectoria circular.
Figura 1.3. Representación geométrica
de 1 rad.
Un radián (1 rad) es la unidad para medir
ángulos o desplazamiento angular en el
Sistema Internacional de Unidades (S.I.).
Corresponde al cuociente entre un arco
de circunferencia (∆s), cuya longitud
es igual al radio (∆s = r), y el valor del
radio r:
∆θ = ∆ = =s
r
r
r
rad1 (1.1)
1 radián mide, aproximadamente, 57,3°
y una vuelta o revolución mide
360° = 6,28 rad = 2π rad.
El radián, al no tener dimensión, opera
como neutro multiplicativo, es decir:
1rad · 1m = 1m (1.2)
1 rad
r
longitud = r
r
∆θ
s∆
móvil
eje de referencia
Figura 1.1. Movimiento circular de un automóvil en una pista de carre-
ras, r es el radio de curvatura, ∆s es el arco recorrido y ∆θ es el ángulo
descrito.
La posición de un móvil en movimiento circular queda deﬁnida
por el ángulo descrito respecto a un eje de referencia. Este ángulo
se mide en radianes.
1
Sección 1: Movimiento circular uniforme
Sección
∆ es la letra griega “delta” que utiliza-
mos en física para indicar diferencia
o cambio. θ es la letra griega “theta”
que utilizamos para indicar una medida
angular. Por lo tanto, ∆θ indica una
diferencia angular.
FISICA_2010_OK.indd 15 21/7/10 17:02:51

Física 3° Año Medio
Mecánica
16
Cuando cambia la posición del móvil, decimos que realiza un
desplazamiento angular ∆θ, desde un ángulo inicial θi hasta un
ángulo final θf:
∆θ = θf − θi (1.3)
Como se muestra en la Figura 1.4, si el objeto en movimiento
describe un desplazamiento angular ∆θ, expresado en radianes,
hay un arco de circunferencia ∆s asociado a este desplazamiento.
Estos elementos se relacionan a través del radio de curvatura, de
la siguiente manera:
∆ = ∆θ s
r (1.4)
De la ecuación (1.4) se puede despejar el arco de circunferencia,
quedando la relación como sigue:
∆ ⋅ = ∆θ r s (1.5)
La ecuación (1.5) muestra que la distancia recorrida es direc-
tamente proporcional al ángulo descrito por el móvil. Si ahora
relacionamos el cambio de posición con el intervalo de tiempo
(∆t) en que este cambio ocurre, obtenemos la siguiente relación
fundamental:
∆
∆
⋅ = ∆
∆
⋅ =
θ
ω
t
r s
t
r vm m (1.6)
En la ecuación (1.6), ω θ
m t
= ∆
∆
es la rapidez angular media y
v s
tm = ∆
∆
es la rapidez tangencial media. Es decir, la rapidez
tangencial media es directamente proporcional a la rapidez
angular media.
Cuando el movimiento del móvil es uniforme, entonces su rapidez
angular y su rapidez tangencial permanecen constantes durante todo
el proceso de movimiento. En este caso, se trata de un movimiento
circular uniforme (M.C.U.).
¿Cuál es el desplazamiento angular del minutero de un
reloj analógico cuando se mueve desde los 15 a los 45
minutos?
Figura 1.4. Cambio de posición de un
móvil en movimiento circular. La posición
inicial del móvil es θi y su posición final
es θf, de modo que el desplazamiento
angular es ∆θ = θf – θi.
Los conceptos de rapidez angular media
y rapidez tangencial media se pueden
expresar, en el límite, como medidas
instantáneas de la rapidez angular y la
rapidez tangencial.
Lo anterior se puede hacer considerando
que el intervalo de tiempo que transcurre
entre dos posiciones sucesivas es muy
cercano a cero. Esta condición se expresa
a través del concepto de límite, de la
siguiente forma:
ω θ= ∆
∆∆ →
lim
t t0
(1.7)
v s
tt
= ∆
∆∆ →
lim
0
(1.8)
Las ecuaciones (1.7) y (1.8) definen la
rapidez angular instantánea y la rapidez
tangencial instantánea, respectivamente.
Con esta definición, la ecuación (1.6) se
puede expresar como:
ω ⋅ =r v (1.9)
r
Δθ
θi
θf
Δs
ω es la letra griega “omega”.
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17
Ejemplo 1
Elsegunderodeunrelojanalógicotieneunalongitudradialde20cm
y describe un ángulo de 90° en un tiempo de 15 s.
a) ¿Cuál es la medida del ángulo expresada en radianes?
b) ¿Cuál es el valor de la rapidez angular media?
c) ¿Cuál es el valor de la rapidez tangencial media?
a: Una vuelta o revolución corresponde a un ángulo de 360°.
Expresado en radianes, este ángulo corresponde a 2π rad,
entonces podemos establecer la siguiente proporción:
360
90
2
2
°
°
=
∆
∆ =
π
θ
θ π
rad
rad
b: La rapidez angular media es, entonces:
ω θ
ω
π
ω π
= ∆
∆
=
= =
t
rad
s
rad
s
rad
s
2
15
30
0 1,
c: De acuerdo al resultado anterior, y sabiendo que el radio
del segundero es 20 cm, la rapidez tangencial media es:
v r
v rad
s
m
v m
s
= ⋅
= ⋅
=
ω
0 1 0 2
0 02
, ,
,
Donde hemos expresado el radio en metros.
¿Cuánto tiempo, expresado en segundos, se demora
el puntero del horario de un reloj analógico en dar
una vuelta?
En la cinemática del movimiento recti-
líneo, aprendimos que la rapidez es el
módulo del vector velocidad.
En el movimiento circular, también po-
demos hablar de velocidad tangencial y
velocidad angular, que deﬁnen el sentido
y el plano de giro, respectivamente.
De acuerdo a lo anterior, la rapidez
tangencial y la rapidez angular son los
módulos de los correspondientes vectores
velocidad:
v v


=
=ω ω
(1.10)
De acuerdo a esto, la ecuación (1.9) se
puede expresar vectorialmente como
un producto vectorial de la siguiente
forma:
v r
  
= ×ω (1.11)
En esta expresión, r

es el vector posi-
ción del móvil.
Figura 1.5. ω

es perpendicular al
plano del movimiento. v

es siempre
tangencial a la trayectoria. La dirección
de ambos vectores se relaciona a través
de la regla de la mano derecha: cuando
el pulgar se apunta en la dirección de
ω

, la mano, extendida tangencial-
mente a la trayectoria, apunta en la
dirección de v

.
r

ω

v

trayectoria
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Mecánica
18
El período
Cuando un movimiento es repetitivo, emplea un tiempo determi-
nado para completar una vuelta o ciclo. Este tiempo se denomina
período (T) y su unidad de medida es el segundo [s], en el S.I.
Así, cualquier objeto que se mueva en trayectoria circular realiza
una vuelta o una revolución en un tiempo T. Desde el punto de
vista de las unidades angulares, se puede decir también que en un
período, el móvil describe un ángulo de 360° ó 2π rad.
Por otra parte, si un objeto realiza un movimiento circular uniforme,
entonces su período de revolución es constante, es decir, demora
lo mismo en dar cada vuelta.
Ejemplo 2
Supongamos que nuestro planeta describe una órbita circular
en torno al Sol, con movimiento circular uniforme.
a) ¿Cuánto demora nuestro planeta en realizar una vuelta en
torno al Sol? Expresa el resultado en segundos.
a: Tenemos que calcular el período de revolución de la Tierra
en torno al Sol. Como sabemos, nuestro planeta demora un
año en completar una traslación, lo cual equivale a 365,25
días. De esta manera:
T = 365,25 días
T = 365,25 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60s
T = 3,16 ⋅ 107s
La frecuencia
El concepto de frecuencia es una idea muy intuitiva y de sentido
común. Por ejemplo, cuando preguntamos: “¿Con qué frecuencia
pasan los trenes?”, una posible respuesta sería: “Pasan 3 trenes
cada diez minutos”. Otro ejemplo se da cuando preguntamos:
“¿Cuántas veces has ido al estadio este año?”. En este caso, la
respuesta puede ser: “4 veces en el año”.
En los ejemplos anteriores, se indica una cierta cantidad respecto
a un intervalo de tiempo. En casos como estos usamos el concepto
de frecuencia.
Figura 1.6. El reloj analógico indica
10 h: 15 min: 37 s. Cuando el mi-
nutero avance hasta 45 min, ha-
brá efectuado un desplazamien-
to angular ∆θ = −180°=−πrad.
El valor negativo del desplazamiento
aparece por la convención de medir los
ángulos positivos en sentido antihorario
a partir de un eje de referencia. Esta
convención permite distinguir hacia
dónde apunta el vector velocidad an-
gular. En el caso del reloj analógico,
el giro se realiza en sentido horario,
por lo que ω

apunta hacia dentro
(entrando a la página). Esto lo pode-
mos corroborar aplicando la regla de
la mano derecha.
La característica más importante del
movimiento circular uniforme es que el
vector velocidad angular ω

es constante.
Esto quiere decir que tanto su magnitud
o módulo, como su dirección y sentido
permanecen invariantes. En consecuencia,
el plano de giro es siempre el mismo.
En particular, en un movimiento cir-
cular uniforme, como definimos en
las ecuaciones (1.10), el módulo de la
velocidad angular, es siempre positivo
y constante:
ω θ
ω π

= ∆
∆
=
t
rad
T
2
(1.12)
h
m
s
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19
Para el caso del movimiento circular, no utilizaremos las expre-
siones comunes como “veces de ida al estadio” o “trenes que
pasan por la estación”, sino que prestaremos nuestra atención
al número de vueltas o revoluciones que realizan los objetos en
movimiento.
La frecuencia se puede obtener de dos maneras: 1) contando el
número de vueltas en un determinado tiempo, ó 2) calculando el re-
cíproco del periodo, ya que en un periodo se efectúa una vuelta:
f
T
= 1 (1.13)
La unidad de medida de la frecuencia en el sistema internacional
es el hertz [Hz], cuyo signiﬁcado operacional es el siguiente:
Hz vueltas
s
revoluciones
s s
[ ]= 



= 



= 1



(1.14)
Ejemplo 3
Nuevamente, supongamos que la Tierra describe una órbita
circular en torno al Sol, con movimiento uniforme.
a) ¿Cuál es la frecuencia de revolución de nuestro planeta en
torno al Sol?
a: De acuerdo a nuestra respuesta en el Ejemplo 2, el periodo
de traslación de la Tierra alrededor del Sol es T = 3,16 ·107s.
Entonces:
f
T
f
s
f vueltas
s
=
=
⋅
= ⋅ = ⋅−
1
1
3 16 10
3 16 10 3 16 10
7
8
,
, , −−8
Hz
En conclusión, cuando preguntamos por la frecuencia, esta-
mos preguntando por el número de vueltas en una unidad de
tiempo.
Una unidad de uso común en máquinas eléctricas y mo-
tores de todo tipo es rpm, que signiﬁca revoluciones por
minuto. ¿Qué concepto de los que has aprendido mide
esta unidad? ¿Por qué?
Otra característica del M.C.U. es que el
módulo de la velocidad tangencial v

es
constante. Es decir, la rapidez instantánea
es constante.
De acuerdo a esto, no tiene sentido hablar
de la rapidez tangencial media, ya que
la rapidez es la misma en todo instante
de tiempo.
Por lo tanto, en el M.C.U. el módulo de
la velocidad instantánea coincide con la
rapidez tangencial media y no hacemos
distinción entre ellas. Por esta razón, en
el ejemplo 1 usamos los símbolos ω y v,
en vez de escribir ωm y vm.
Figura 1.7. Obsérvese que si bien la
velocidad tangencial tiene siempre el
mismo módulo o magnitud, su sentido y
dirección cambian en todos los puntos
de la trayectoria.
Frecuencia y rapidez angular son con-
ceptos totalmente distintos. De acuerdo
a las ecuaciones (1.12), se relacionan
entre sí de la siguiente manera:
ω π= 2 f (1.15)
vʼʼ
vʼ
v
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Mecánica
Actividad de profundización
¿Cómoserelacionalafrecuenciadepedaleodeunciclistacon
larapidezmediadesumovimiento?
Para realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una bicicleta,
una huincha de medir de al menos 1 metro y un reloj.
Según la disponibilidad de bicicletas en el curso, reúnete con algu-
nos compañeros y compañeras (entre 2 y 5, idealmente) y formen
un equipo de trabajo.
a) Reﬂexionen sobre esta pregunta: ¿Cómo se relaciona la fre-
cuencia de pedaleo de un ciclista con la rapidez media de
su movimiento? Como equipo, planteen una hipótesis para
responder.
A continuación, realicen el siguiente experimento: un estudiante re-
corre en bicicleta una trayectoria rectilínea de largo conocido. Pueden
marcar dos puntos en el patio del colegio y medir la distancia entre
ellos. Es muy importante que el ciclista no pase cambios, que realice
un pedaleo constante y que cuente el número de veces que pedaleó.
El resto del equipo mide el tiempo que su compañero demora en ir
de un punto a otro y se asegura de que siga una trayectoria rectilínea
con rapidez aproximadamente constante.
Analicen el funcionamiento del sistema de transmisión de la bicicleta,
que se puede observar en la imagen 1.2, y respondan:
b) ¿Cómo se relaciona la rapidez tangencial del plato (vplato) con la
rapidez tangencial del piñón (vpiñón)? Expresen esta relación mate-
máticamente.
c) ¿Cómo se relaciona la rapidez angular del plato (ωplato) con la rapidez
angular del pedaleo (ωpedaleo)? Expresen esta relación matemática-
mente.
d) ¿Cómo se relaciona la rapidez angular del piñón (ωpiñón) con la
rapidez angular de la rueda (ωrueda)? Expresen esta relación mate-
máticamente.
e) Considerando estas relaciones y a partir de las medidas de los radios
del piñón (Rpiñón), del plato (Rplato) y de la rueda (Rrueda), usen la fre-
cuencia de pedaleo medida para calcular la rapidez tangencial de la
rueda trasera de la bicicleta.
f) ¿Cómo se relaciona la rapidez tangencial de la rueda con la ra-
pidez del ciclista? A partir de su respuesta, evalúen la validez de
su hipótesis.
Rplato
Rpiñón
Imagen 1.2
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21
Evaluación intermedia
PARTE I: Problema de planteamiento
1 Apartir de la imagen de la actividad de profundización, determina la relación matemática entre la rapidez
angular del pedaleo y la rapidez angular de las ruedas, en función de los radios del piñón (Rpiñón) y del
plato (Rplato).
PARTE II: Análisis
2 A partir del problema anterior:
a) Expresa la distancia recorrida en función del número de vueltas, Rplato, Rrueda y Rpiñón.
b) Si el radio Rrueda = 6 Rplato y Rplato = 3 Rpiñón ¿Qué distancia medida en unidades Rrueda recorre la bici-
cleta en 20 pedaleos?
Indagación N°3
¿CómoseríalatrayectoriadelaTierrasielSoldesapa-
recierarepentinamente?
Para responder la pregunta planteada en el título de esta actividad,
se propone la siguiente hipótesis:
La trayectoria de la Tierra no cambia, sino que mantiene su
movimiento, aproximadamente, circular y uniforme.
¿Cómo podemos poner a prueba esta hipótesis?
a) Junto a un compañero o una compañera, diseñen un procedi-
miento experimental que les permita, a través de un modelo,
poner a prueba la hipótesis para evaluar si es una explicación
y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento
que sugieren.
Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea
factible de realizar en una hora de clases; es decir, que inclu-
ya el uso de materiales de fácil adquisición o construcción y
tiempos razonables para la observación y el análisis de sus
resultados.
b) Para ﬁnalizar, elaboren un informe de dos páginas según las
indicaciones que les dé su profesor(a).
Imagen 1.3
Recuerda que un modelo es una representación
simpliﬁcadadelfenómenoqueseintentaexplicar,
que incorpora sus principales características y,
en especial, las variables medibles.
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Mecánica
22
La aceleración centrípeta
En un movimiento circular cualquiera, la aceleración puede tener
una componente en dirección tangencial a la circunferencia y otra
componente en dirección radial y dirigida hacia el centro de la
trayectoria. A la primera se le llama aceleración tangencial y a
la segunda, aceleración centrípeta.
La aceleración tangencial se maniﬁesta como un cambio en el
módulo de la velocidad tangencial, mientras que la aceleración
centrípeta aparece como un cambio en la dirección y sentido de
la velocidad.
En un movimiento circular uniforme, debido a que el módulo de
la velocidad tangencial es constante, solo existe una aceleración
que cambia la dirección y el sentido de la velocidad, es decir, la
aceleración centrípeta.
El cambio del vector velocidad tangencial apunta hacia el centro
de curvatura, al igual que la aceleración centrípeta ac

( ).
El vector aceleración centrípeta y el
cambio del vector velocidad tangencial
se relacionan de la siguiente forma:
a v
tc
 
= ∆
∆
(1.16)
La ecuación (1.16) implica que el vector
aceleración centrípeta tiene la misma
dirección y el mismo sentido que el
cambio de velocidad.
Figura 1.9. ∆r

es el cambio de po-
sición de un móvil en M.C.U. en un
intervalo de tiempo muy pequeño. ∆v

corresponde al cambio de velocidad
en el mismo intervalo.
De acuerdo a la Figura 1.9, en el M.C.U.
se cumplen las siguientes condiciones:
r r r
v v v
i f
i f
 
 
= =
= =
(1.17)
Además, r v
 
⊥ en todo momento, por lo
tanto:  ∼AOB A O B′ ′ ′ (son triángulos
semejantes).
(Continúa en la página 23)
Figura 1.8. Si se considera el cambio de velocidad, ∆ = −v v vf i
  
, que
experimenta un móvil en un pequeño intervalo de tiempo ∆( )t , se ve que
∆v

es radial y está dirigido hacia el centro curvatura. La aceleración, por
lo tanto, también tiene esa dirección y sentido, y por eso se denomina
aceleración centrípeta.
rf
ri
vi
vf
-vi
vf
Δv
fv
iv
�
�
�
�
��
��
fv
iv
�
v�
ir
�
�
�
r�
�
��
fr
FISICA_2010_OK.indd 22 21/7/10 17:04:45

23
De acuerdo a la ecuación (1.26), para determinar la aceleración
centrípeta se puede utilizar la siguiente relación:
a v
rc =
2
(1.18)
Ahora, si recordamos que (1.9), podemos deducir que la aceleración
centrípeta también puede ser determinada como:
a rc = ⋅ω2 (1.19)
La fuerza centrípeta
En la mecánica de Newton, los cambios en el movimiento son
explicados por medio de fuerzas de interacción. En particular,
la segunda ley establece que la fuerza neta, es decir, la suma de
todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, es proporcional a la
aceleración del cuerpo:
F F maneta
  
= =∑ (1.20)
Considerando solo el módulo de los vectores, también podemos
escribir la ecuación (1.20) como:
F maneta = (1.21)
En un movimiento circular, la fuerza que permite este tipo de
trayectoria es la fuerza que apunta hacia el centro de curvatura y
la denominamos fuerza centrípeta.
De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza centrípeta
provoca una aceleración centrípeta y, por lo tanto, en términos de
sus módulos, la ley se puede expresar de la siguiente forma:
F mac c= (1.22)
Ejemplo 4
En el contenido de física de 2º medio, aprendimos que el radio
orbital medio de la Tierra alrededor del Sol es de 1,49 · 1011 m
y su masa es de 5,98 · 1024 Kg.
a) ¿Cuál es la aceleración centrípeta y la fuerza centrípeta
que ejerce el Sol sobre la Tierra?
b) De acuerdo a este resultado, ¿nuestro planeta puede ser
considerado como un sistema inercial?
(Continuación)
Dadas las condiciones geométricas de
las ecuaciones (1.17) en la Figura 1.9
y la relación de semejanza entre los
triángulos AOB y  ′ ′ ′A O B , pode-
mos ver que:
∆
=
∆v
v
r
r
 
(1.23)
Al sustituir a v
tc
 
= ∆
∆
, en la ecuación
(1.23), se obtiene:
a t
v
r
r
a r v
r t
a r
t
v
r
a v v
r
v
r
c
c
c
c
⋅ ∆
= ∆
= ∆ ⋅
⋅ ∆
= ∆
∆
⋅
= ⋅ =
2
(1.24)
Donde hemos simpliﬁcado la notación,
ya que:
a a
r r
c c


=
∆ = ∆
(1.25)
Es decir, en términos de magnitudes
podemos escribir el módulo de la ace-
leración centrípeta como:
a v
rc
=
2
(1.26)
Por lo tanto, la magnitud o módulo de
la aceleración centrípeta es constante
en un M.C.U.
∑ es la letra griega “sigma” y se usa
para representar una sumatoria.
FISICA_2010_OK.indd 23 21/7/10 17:05:02

Mecánica
24
a: Para determinar la aceleración centrípeta, necesitamos saber
la rapidez angular o la rapidez tangencial de la Tierra con
respecto al Sol.
Usando el resultado del Ejemplo 2 para el periodo de
traslación de nuestro planeta, se obtiene lo siguiente:
ω θ
ω π
ω π
= ∆
∆
=
=
⋅
= ⋅ −
t
rad
T
rad
s
rad
2
2
3 16 10
1 99 107
7
,
,
ss
De acuerdo a la ecuación (1.19), la aceleración centrípeta
es:
a r
a rad
s
m
a
c
c
c
= ⋅
= ⋅( ) ⋅ ⋅
=
−
ω2
7
2
11
1 99 10 1 49 10
5 9
, ,
, ⋅⋅ −
10 3
2
m
s
Con este resultado podemos determinar el módulo de la
fuerza centrípeta:
F ma
F kg m
s
F
c c
c
c
=
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
−
5 98 10 5 9 10
3 53 10
24 3
2
2
, ,
, 22
N
b: Observamos en el resultado anterior que la aceleración
centrípeta tiene un valor muy bajo con respecto a la ace-
leración de gravedad (9,8 m/s2) por ejemplo, de modo que
la aceleración experimentada por la Tierra en su traslación
es prácticamente cero. Esta es la razón por la que nuestro
planeta puede ser considerado un sistema aproximadamente
inercial.
En cambio, la fuerza centrípeta alcanza un valor muy
grande, ya que se necesita una gran fuerza para mantener
el planeta en órbita.
Si la fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra es tan grande,
¿por qué nuestro planeta se acelera tan poco?
Figura 1.10. La fuerza de gravitación
actúa sobre la Tierra como una fuerza
centrípeta y provoca su órbita alrededor
del Sol. La intensidad de la fuerza es
relativamente grande, en cambio, la
aceleración que experimenta el planeta
es pequeña. La explicación de esta
diferencia se relaciona con la gran
magnitud de la masa de la Tierra.
FcFcF
ac
Aunque comúnmente se menciona la
fuerza centrífuga, en el contexto de
la mecánica newtoniana esta fuerza
no existe, ya que solo se trata de un
efecto inercial.
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25
Algunos casos de fuerza centrípeta
UNA CURVA CON ROCE
Cuando un automovilista se encuentra en la carretera con una
curva, señales reflectantes en la orilla del camino le advierten
sobre el peligro que significa exceder la velocidad límite impuesta
por las leyes del tránsito. Exceder la velocidad límite significaría
salir derrapando en la dirección tangente al camino, ya que hay
una velocidad sobre la cual se pierde el soporte físico que genera
el rozamiento entre los neumáticos y la carretera.
Como se muestra en la Figura 1.12, en este tipo de curvas la fuer-
za de roce actúa como fuerza centrípeta, es decir, F Fc r
 
= , por lo
que de acuerdo a la 2a ley de Newton, la ecuación (1.22) se puede
escribir como:
F ma
F m v
r
r c
r
=
=
2 (1.27)
Por otra parte, sabemos que el módulo de la fuerza de roce máxima
es proporcional a la fuerza normal:
F Nr = µ (1.28)
Donde μ es el coeficiente de roce estático entre los neumáticos y
el suelo. Relacionando las ecuaciones (1.27) y (1.28), tenemos:
m v
r
N
m v
r
mg
v gr
2
2
=
=
=
µ
µ
µ
(1.29)
Para obtener las ecuaciones (1.29), hemos usado N = mg, dado el
equilibrio en la dirección vertical de las fuerzas que actúan sobre
el automóvil, el peso y la fuerza normal.
El resultado anterior corresponde a una velocidad límite a la cual el
vehículo puede efectuar el movimiento circular, para un coeficiente
de roce dado, y que depende del radio de curvatura. Mientras más
cerrada es la curva (menor radio) menor será la velocidad límite
permitida y mayor el riesgo.
Figura 1.11. El peligro de superar
la velocidad máxima permitida en
una curva se relaciona con la fuerza
de roce necesaria para realizar la
trayectoria.
Figura 1.12. En la curva, la fuerza de
roce actúa como fuerza centrípeta y
mantiene al vehículo en movimiento
circular. En la dirección vertical, actúan
sobre el automóvil el peso P

( ) y la
fuerza normal N

( ). En la dirección
horizontal, actúa la fuerza de roce Fr

( )
entre los neumáticos y el suelo.
−
v
P
N
Fr
r
vʼ
vʼʼ
50
μ es la letra griega “mi” o “mu”.
Fr
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Mecánica
26
Ejemplo 5
Un automóvil tiene una masa de 1 600 kg y toma una curva en
una pista plana y sin pendiente de 40 m de radio. El coeﬁciente
de roce estático entre los neumáticos y la pista es μ = 0,5
a) ¿Cuál es la velocidad máxima permitida que debería apa-
recer en la señalización de advertencia?
a: Para resolver, simplemente evaluamos la última de las
ecuaciones (1.29)
v gr
v m
s
m m
s
=
= ⋅ ⋅ =
µ
0 5 10 40 14 142
, ,
Donde hemos usado g m
s
= 10 2 para simpliﬁcar el cálculo.
El resultado indica que la velocidad máxima permitida debe
ser de 14 m/s (50,4 km/h), aproximadamente. Cualquier
velocidad superior a esta causaría un deslizamiento o de-
rrapamiento del vehículo, por lo que saldría “patinando”
en dirección tangente a la trayectoria.
FUERZA CENTRÍPETA EN EL SISTEMA PLANETARIO
Una manera interesante de relacionar la fuerza centrípeta con el
Sistema Solar es a partir de la ley de gravitación universal, en la
cual se establece que el módulo de la fuerza con la que se atraen
dos objetos de masas m1 y m2 es directamente proporcional al
producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia que las separa, r. Es decir:
F G
m m
r
G =
⋅1 2
2
(1.30)
Donde G es la constante de gravitación universal cuyo valor es
de G x Nm
Kg
= −
6 67 10 11
2
2
,
En el caso de los planetas, la fuerza de gravitación actúa sobre
ellos como una fuerza centrípeta y provoca su órbita alrededor
del Sol. Por ahora, de manera aproximada podemos suponer que
el movimiento planetario es circular y uniforme.
FISICA_2010_OK.indd 26 21/7/10 17:05:47

27
Figura 1.13. Al igual que los planetas interactúan gravitacionalmente
con el Sol, la Luna también experimenta la atracción gravitacional de la
Tierra. Sin embargo, de acuerdo con la ley de acción y reacción, si la
Tierra atrae a la Luna con una fuerza FG
 
, el satélite también atrae al
planeta con una fuerza igual, pero de sentido opuesto, −FG
 
.
En el caso del sistema Tierra-Luna, la fuerza de gravitación actúa
como fuerza centrípeta sobre la Luna debido a la acción a distancia
de la Tierra.
En el caso de un planeta cualquiera y el Sol, suponiendo una órbita
circular, podemos establecer la siguiente relación, de acuerdo a
las ecuaciones (1.22) y (1.30)
G
m m
r
m v
r
G
m
r
v
m
sol planeta planeta
sol
sol
⋅
=
⋅
=
=
2
2
2
vv
G
r
2
⋅
(1.31)
Este resultado implica que podemos conocer la masa del Sol co-
nociendo la velocidad tangencial del planeta y su radio orbital.
Por ejemplo, ya que sabemos la velocidad angular de la Tierra y
el radio de su órbita, podemos obtener su velocidad tangencial de
un modo muy sencillo, haciendo uso de la ecuación (1.9) y con
ese resultado, usar las ecuaciones (1.31) para calcular la masa
del Sol.
Si el radio medio de la órbita terrestre es de 1,49 · 1011 m,
¿cuál es la masa del Sol?
Figura 1.14. Masas y radios orbitales
medios de los planetas del Sistema
Solar, relativos a los valores de la
Tierra. La masa de la Tierra es de
5,9736 · 1024 kg y una UnidadAstronó-
mica (UA) corresponde aproximada-
mente a su distancia media al Sol, es
decir, 1UA = 149 597 870 km.
Figura 1.15. La atracción gravitacional
del Sol sobre la Tierra actúa como una
fuerza centrípeta y provoca la órbita
curvilínea del planeta.
FG
FcFcF
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
-FG
v
Planeta Masa
Radio
orbital
(UA)
0,06 0,38
0,82 0,72
1,00 1,00
0,11 1,52
318 5,20
95 9,54
14,6 19,22
17,2 30,06
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Mecánica
28
LAS BOLEADORAS
Una boleadora es un arma manual muy antigua que consiste en un
proyectil sujeto en el extremo de una bolsa atada a una cuerda, la
que se hace girar en torno a la cabeza con el ﬁn de provocar una
gran velocidad tangencial para el lanzamiento del proyectil.
En este caso, la fuerza mecánica que opera sobre el proyectil es
la fuerza de tensión de la cuerda y una de sus componentes actúa
como fuerza centrípeta.
Figura 1.17. Ejemplo de boleadora
usada por habitantes de pueblos
sudamericanos originarios.
Figura 1.18. Un antiguo habitante de
la Patagonia usa una boleadora para
atacar un puma.
masa
trayectoria circular
FC
P
r
T
Figura 1.16. En la ﬁgura se muestra esquematizado el movimiento de
una boleadora y las fuerzas que actúan sobre la masa en el extremo
del cordel. La imagen muestra que una parte de la tensión actúa como
fuerza centrípeta.
En la Figura 1.16, se puede observar que la componente de la
tensión que actúa como fuerza centrípeta es:
F Tc
 
= ⋅senθ (1.32)
Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (1.22), en términos del
módulo de la tensión, podemos escribir:
T m
v
r
⋅ =senθ
2
(1.33)
Por otra parte, el equilibrio de las fuerzas que actúan sobre la masa
en la dirección vertical implica que:
T mg⋅ =cosθ (1.34)
θ
FISICA_2010_OK.indd 28 21/7/10 17:06:18

29
Dividiendo entre sí las ecuaciones (1.33) y (1.34), se puede obtener
lo siguiente:
tanθ =
⋅
v
r g
2
(1.35)
Este resultado indica que mientras más grande es el ángulo de
la fuerza de tensión respecto a la vertical, mayor es la velocidad
tangencial con la que puede ser liberado el proyectil.
De manera inversa, se puede ver que la velocidad de lanzamien-
to del proyectil depende de la fuerza de tensión que ejerza la
persona que hace girar la boleadora. Así, mientras mayor es la
fuerza, mayor es el ángulo de elevación mencionado y mayor es
la velocidad de disparo.
Ejemplo 6
Un estudiante hace girar una goma de borrar atada al extremo
de un hilo. La masa de la goma es de 0,03 kg. Mientras la goma
gira con M.C.U., el estudiante mide un ángulo de 60° del hilo
con respecto a la vertical, y un radio de giro de 0,5 m.
a) Cuando el estudiante suelta el hilo, ¿cuál es la velocidad
tangencial de salida del proyectil?
b) ¿Cuál es la tensión ejercida sobre el proyectil a través de
la cuerda?
a: Para determinar la velocidad, utilizamos la ecuación
(1.35):
tan
tan
, , tan º ,
θ
θ
=
⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ =
v
r g
v r g
v m
m
s
2
2
0 5 9 8 60 2 991
m
s
b: Para obtener la fuerza de tensión, podemos reemplazar el
resultado anterior en la ecuación (1.33) o usar la ecuación
(1.35):
T mg
T
mg
kg
m
s
⋅ =
= =
⋅
=
cos
cos
, ,
cos
,
θ
θ
0 03 9 8
60
0 588
2

NN
Para dividir las ecuaciones 1.33 y 1.34
procedemos de la siguiente manera:
T m
v
r
T m g
⋅ =
⋅ = ⋅
senθ
θ
2
cos
Dividiendo miembro a miembro este
sistema de ecuaciones, tenemos:
T
T
m
v
r
m g
v
r g
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
sen
sen
θ
θ
θ
θ
cos
cos
2
2
(1.36)
La razón
senθ
θcos
corresponde a la
función tangente del ángulo:
tanθ =
⋅
v
r g
2
FISICA_2010_OK.indd 29 21/7/10 17:06:44

Mecánica
Contexto histórico de la física
Hasta Copérnico el movimiento de los cuerpos celestes
se explicaba mediante el sistema de Ptolomeo. Se su-
ponía que los cuerpos celestes se encontraban situados
en esferas huecas concéntricas a la Tierra, que giraban
con distintas velocidades alrededor de la Tierra.
Copérnico se planteó que, en vez de ser las esferas
las que giraban alrededor de la Tierra, podría ocurrir
que la Tierra girara alrededor de su eje una vez al día.
Sin embargo, el verdadero aporte de Copérnico fue
el proponer que la Tierra no era el centro del mun-
do, sino que la Tierra y todos los demás planetas se
movían describiendo círculos alrededor del Sol. Este
nuevo modelo permitía explicar fácilmente el aparente
movimiento de avance y retroceso que describen los
planetas en el firmamento.
Aunque en nuestros días se acepta la tesis copernicana,
ésta ha sido corregida. Las órbitas de los planetas no son
circulares, sino elípticas, como mostró Johannes Kepler
(1571 – 1630), gracias al enorme y riguroso trabajo de
observación que había realizado Tycho Brahe (1546
– 1601). Asimismo, el Sol, como los demás astros del
firmamento, también se mueve.
Este hombre fue un revolu-
cionario. Nació en Torun,
Polonia, el 19 de febrero de
1473 y murió el día 24 de
mayo de 1543. En el año
1507, presentó su primera
exposición de un sistema
astronómico donde ubicaba
al Sol en su centro y la
Tierra y los demás planetas
girando en torno a él.
Fue criticado por filósofos y parte de la Iglesia, debido
a que negar que nuestro planeta fuera el centro del
Sistema Solar tenía consecuencias no solo científi-
cas, sino también sociales y teológicas. Antes, el ser
humano era el centro del Universo, de la creación.
La teoría de Copérnico desechaba esta opinión, por
lo menos desde un punto de vista astronómico.
Muy pocos creyeron en sus teorías, pero quienes
lo siguieron fueron los fundadores de la ciencia
moderna: Johannes Kepler, Galileo Galilei e Isaac
Newton, entre otros.
La historia de las ideas es imbricada y compleja. El
24 de febrero de 1616, una comisión de teólogos
consultores de la Inquisición censuró la teoría helio-
céntrica de Copérnico, reafirmando la inmovilidad
de la Tierra.
El proceso empezó el 19 de febrero con la propuesta
de censura de una comisión de expertos, entre quienes
no había ningún astrónomo. Luego, en una reunión
de la Congregación del Santo Oficio y por orden del
papa Paulo V, se inició la amonestación a Galileo
(1564 – 1642), por la que se le exige que abandone
la opinión de que la Tierra se mueve.
En marzo del mismo año, la Congregación del Ín-
dice prohíbe una serie de libros relacionados con el
heliocentrismo y su validez desde un punto de vista
teológico, y se suspende la obra copernicana Sobre
el movimiento de las esferas celestiales hasta que
sea “corregida”. Así, la obra maestra de Copérni-
co permanecería en el índice de libros prohibidos
hasta 1835.
Años más tarde, el 22 de junio de 1633, a pesar de la
protección de la poderosa familia Medici, Galileo será
formalmente condenado por la Inquisición y forzado
a abjurar, de rodillas y bajo amenaza de torturas, de
la teoría de Copérnico, calificada de herética.
Así le decía Kepler a Galileo: “... Dadme las naves
y adaptadme las velas al viento celeste; habrá gente
que no tendrá miedo ni siquiera de cara a aquella
inmensidad. Y para estos descendientes que ya den-
tro de muy poco se aventurarán por estos caminos
preparemos, oh Galileo, yo una astronomía lunar y
tú una joviana”.
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31
Apartir de la lista de conceptos relevantes (CR) y frases conectoras (FC), completa en tu cuaderno el mapa
conceptual de la figura.
Conceptos Relevantes (CR) Frases Conectoras (FC)
A Radio I Mantiene constante su
B Círculo II Se realiza en una trayectoria
C Frecuencia III Definen
D Velocidad Tangencial IV Que corresponde al módulo
del vector
E Fuerza Centrípeta V Y en cada punto de ella existe
una
F Aceleración Centrípeta VI Que, junto a un
Síntesis
Rapidez Tangencial Rapidez Angular
Periodo de revolución
5
El cual define una
Ángulo de 2π
7
Velocidad Angular
8
Que corresponde al
módulo del vector
3
Cuya variación en el
tiempo define
11
Que corresponde al
efecto de la 4
Circunferencial
9
10
Tangente
Que es
perpendicular al
2
La cual define un
1
6
Movimiento Circular
Uniforme
Desafío
Cuando hayas terminado esta
actividad, vuelve a leer el texto
de la sección, con mucha aten-
ción, y genera tu propio mapa
conceptual.
12

Mecánica
Preguntas y ejercicios propuestos
1 En tus palabras, ¿qué relación se puede hacer entre
el movimiento circular, Copérnico y la posición
del ser humano en el Universo?
2 Desde un punto de vista físico, ¿cuál es la prin-
cipal característica de un movimiento circular?
3 ¿Existe más de un tipo de velocidad en el movi-
miento circular uniforme? ¿Por qué?
4 ¿Qué son período y frecuencia en el movimiento
circular?
5 ¿Por qué una piedra que gira atada a una cuerda
sale disparada tangencialmente y no radialmente
al soltarse la cuerda?
6 Si un automóvil realiza un movimiento circular
uniforme al doblar en una curva, ¿cambia su
velocidad? Explica.
7 El segundero de un reloj analógico tiene una
longitud radial de 10 cm y describe un ángulo de
45° en un tiempo de 7,5 s. (a) ¿Cuál es la medida
del ángulo expresada en radianes? (b) ¿Cuál es
la rapidez angular del segundero? (c) ¿Cuál es
la rapidez lineal de su extremo?
8 ¿Cuál es la frecuencia de rotación de la Tierra
sobre su propio eje?
9 El ventilador de un secador de pelo gira a
3 000 rpm. (a) ¿Cuál es la frecuencia de rotación,
expresada en Hz? (b) ¿Cuál es su rapidez angular?
(c) ¿Cuál es el periodo de giro del ventilador?
10 Un satélite gira en una órbita circular alrededor
de la Tierra a una altitud de 600 km sobre el ni-
vel del mar, completando una vuelta respecto al
centro de la tierra en 70 minutos. ¿Cuánto vale la
aceleración del satélite? (considera que el radio
de la Tierra es de 6 400 km).
11 Un planeta orbita según la trayectoria punteada
en la Figura 1.19 y en el sentido de la velocidad
angular indicado. Dibuja la dirección y el sentido
de los siguientes vectores, suponiendo que el
movimiento es uniforme: (a) Velocidad tangen-
cial y aceleración centrípeta en A. (b) Velocidad
tangencial y aceleración centrípeta en B.
A
B
ω
12 En un movimiento circular uniforme, ¿cómo se
relaciona la frecuencia (f) con la rapidez angular
(ω) del movimiento?
13 El reloj de la Figura 1.20 muestra tres punteros
que corresponden a la hora (H), los minutos (M)
y los segundos (S). ¿Cuál es la rapidez angular
de cada uno de estos elementos?
�
�
�
�
�
�
Figura 1.20
14 Una matraca gira con un movimiento uniforme,
alrededor de un eje que pasa por el punto O,
como se muestra en la Figura 1.21. Efectúa dos
revoluciones por segundo. Para los puntosAy B
de la barra, situados a las distancias rA = 0,2 m y
rB = 0,3 m del eje de rotación, calcula las siguientes
magnitudes (considera π = 3,14): (a) El período
de revolución. (b) La rapidez angular de cada uno
Figura 1.19
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33
(ωA y ωB). (c) La rapidez tangencial de cada uno
(vA y vB). (d) La aceleración centrípeta de cada
uno (acA
y acB
).
B
A
0 ω
vA
vB
15 De acuerdo al esquema de la Figura 1.22, donde
se muestra el sistema de transmisión de una
bicicleta, Rpiñón < Rplato. ¿Es correcto decir que
la velocidad angular del plato es igual a la del
piñón? ¿Por qué?
Figura 1.22
16 Si el sistema de transmisión de la bicicleta que
se muestra en la Figura 1.22 es impulsado por un
ciclista que pedalea con rapidez angular constan-
te y a una frecuencia de 3 vueltas por segundo.
Considerando que Rplato = 10 cm y Rpiñón = 4 cm,
(a) ¿cuál es la rapidez tangencial del piñón? (b)
¿Cuál es la rapidez angular del piñón? (c) Si el
radio de las ruedas es de 50 cm, ¿cuál es la rapidez
del ciclista?
17 ¿Cuál es la velocidad tangencial de una persona
parada sobre el ecuador de la Tierra a nivel del
mar?
18 Suponiendo que la trayectoria de la Tierra alrede-
dor del Sol es circunferencial, demuestra que el
módulo de la velocidad tangencial de traslación del
planeta es: v G
M
Rr
s
= . Donde G es la constante
de gravitación universal, Ms es la masa del Sol y
R es la distancia entre la Tierra y el Sol.
19 Una bola de 0,5 kg. de masa unida al extremo
de una cuerda cuya longitud es de 1 m se hace
girar cada vez más rápido, como una boleadora.
Si la cuerda puede soportar una tensión máxima
de 50 newton, ¿cuál es la máxima rápidez que
puede alcanzar la bola antes de que la cuerda se
rompa?
20 Un automóvil de 1 000 kg, da vuelta en una es-
quina circular, a 25 km/h. Si el radio de giro es
de 10 m, (a) ¿cuál es el valor de la aceleración
centrípeta? (b) ¿Qué fuerza horizontal debe ejercer
el roce del pavimento con los neumáticos para
mantener el vehículo en trayectoria circunferen-
cial? (c) ¿Cuál es el coeﬁciente de roce mínimo
entre las ruedas y el pavimento necesario para
que el auto no se deslice?
21 Una camioneta cargada tiene una masa de 2 500 kg
y toma una curva circular en una pista plana y
sin pendiente de 50 m de radio. El coeﬁciente de
roce entre los neumáticos y la pista es μ = 0,5.
¿Cuál es la máxima rapidez a la que la camioneta
podría dar el giro sin resbalar?
22 Un estudiante hace girar una goma de borrar atada
al extremo de un hilo. La masa de la goma es de
0,02 kg. Mientras la goma gira con movimiento
circular uniforme, el estudiante mide un ángulo
de 60° del hilo con respecto a la vertical y un
radio de giro de 0,4 m. (a) En estas condiciones,
¿cuál es la tensión ejercida sobre la goma a través
de la cuerda? (b) Si el estudiante suelta el hilo,
¿cuál es la velocidad tangencial con que la goma
de borrar sale disparada?
Figura 1.21
Rpiñón
Rplato
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Mecánica
Evaluación final de la sección
PARTE I: Anota en el recuadro el número de la magnitud que corresponde a la descripción o definición
dada.
Magnitud Descripción o definición
1 Ángulo descrito Cambio angular en el transcurso del tiempo.
2 Arco recorrido Se mide en radianes en el S.I.
3 Período de revolución Tiempo empleado en realizar una vuelta.
4 Frecuencia Se mide en m en el S.I.
5 Rapidez angular Es el recíproco del período.
PARTE II: Indica si el enunciado es verdadero o falso. Expresa en tu cuaderno la justificación de tus
respuestas.
V o F
1 Si un auto recorre una curva pronunciada de la carretera a una velocidad superior a la máxima
permitida, entonces derrapará.
2 Un movimiento circular es uniforme si su aceleración y fuerza centrípetas permanecen cons-
tantes.
3 El planeta Tierra puede ser considerado un sistema inercial debido a que no acelera.
4 Si el Sol desapareciera la Tierra continuaría con movimiento circular y uniforme por siempre.
5 La dirección de la aceleración en un movimiento circular uniforme es siempre paralela a la
fuerza centrípeta.
PARTE III: Responde las siguientes preguntas, marcando la alternativa correcta.
1 Un aspa se mueve con M.C.U., una aceleración
centrípeta a0 y un período T0. Si se cambia el
motor al ventilador, aumentando su período a 2T0,
¿Cómo cambia su aceleración centrípeta?
a) Aumenta al doble de su magnitud.
b) Disminuye a un medio de su magnitud.
c) Aumenta al cuádruple de su magnitud.
d) Disminuye a un cuarto de su magnitud.
2 ¿Cuál de los siguientes movimientos puede ser
modelado como movimiento circular?
a) Traslación de un planeta en torno al Sol.
b) Una piedra que se lanzó horizontalmente
desde la cima de un cerro.
c) Un atleta corriendo los 100 m planos.
d) El aterrizaje de un avión.
3 ¿En cuál de los siguientes movimientos la
aceleración es constante?
a) Movimiento circular uniforme (M.C.U.).
b) Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.).
c) Movimiento uniformemente acelerado
(M.U.A.).
d) Movimiento circular acelerado (M.C.A.).
4 Un automóvil está diseñado para moverse a
una rapidez fija v0. Si cambia de una curva
circular de radio R a una de radio 2R, ¿Cómo
se ha modificado su aceleración centrípeta al
pasar de una curva a la otra?
a) Aumenta al doble.
b) Disminuye a la mitad.
c) Aumenta al cuádruple.
d) Disminuye a la cuarta parte.
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35
Indagación N°4
¿Cómogirarmásrápido?
PARTE I. Trabajo personal
En las fotografías del movimiento de la patinadora (imagen 2.1), se puede
ver una secuencia de varios giros en los cuales ella mueve continuamente
partes de su cuerpo y adopta diferentes formas. Seguramente has obser-
vado secuencias como esta, y has notado que la bailarina puede alcanzar
una alta rapidez de rotación.
a) ¿Qué magnitud física aumenta durante su movimiento y qué magnitud
disminuye?
b) ¿Qué hace la bailarina para girar más rápido?
PARTE II. Trabajo en equipo
Junto a un compañero o una compañera, contrasten las respuestas dadas
a las preguntas de la parte I y argumenten a favor o en contra de ellas.
A continuación, elaboren una hipótesis en conjunto que dé respuesta a
la segunda pregunta.
Recuerden que una hipótesis es una explicación posible que se supone
cierta hasta que pueda ser contrastada empíricamente. Por esta razón, es
fundamental que la hipótesis se refiera a un número reducido de variables
observables y de algún modo medibles, que eventualmente pueden ser
controladas en un experimento.
a) Registren la hipótesis en sus cuadernos e identifiquen cuáles son las
variables observables que pueden medir y/o controlar.
b) Una vez planteada su hipótesis, diseñen un procedimiento experimental
que les permita ponerla a prueba, para evaluar si es una explicación
y describan brevemente, pero con precisión, el procedimiento que
sugieren.
Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible de
realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de materiales
de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables para la obser-
vación y el análisis de sus resultados.
c) Para finalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indica-
Imagen 2.1
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Mecánica
Indagación N°5
¿Ruedahuecaoruedamaciza?¿Cuálganalacarrera?
PARTE I. Trabajo personal
Imagina dos cilindros de igual forma y masa, pero uno es hueco y el otro es macizo (es
decir, relleno) como en la imagen 2.2. ¿Cuál de los cilindros rueda más rápido por un
plano inclinado?
a) Responde la pregunta anterior y plantea una hipótesis que explique el resultado de
una carrera entre los dos cilindros.
PARTE II. Diálogo con argumentos
a) Reúnete con un compañero o compañera para compartir sus hipótesis obtenidas en la parte I. Idealmente,
procura que tu compañero(a) haya respondido a la pregunta al contrario que tú. Comenten sus hipótesis y
argumenten a favor o en contra de ellas.
A continuación, necesitan los siguientes materiales: un cilindro de cartón, como el tubo vacío de un rollo de
papel higiénico; 6 barras de plasticina; un trozo rectangular de cartón rígido o de madera (1 m de largo y por 10
cm de ancho, aproximadamente) que servirá como plano inclinado; una regla de 30 cm; 2,5 m de hilo y un reloj
con cronómetro.
PARTE III. Trabajo en equipo
Corten el tubo de cartón en tres cilindros iguales. Luego, usen el hilo para confeccionar un “riel” por el cual se
puedan desplazar los cilindros por el plano inclinado. El hilo debe evitar que al rodar, los cilindros se desvíen.
Para esto, ajusten dos líneas de hilo paralelas al plano inclinado a unos 2 cm de altura y separadas por una
distancia igual al ancho de los cilindros, de manera que estos rueden entre ellas.
A continuación, distribuyan equitativamente las 6 barras de plasticina adhieriéndola en las dos bases de uno de
los cilindros por el interior, como en el caso 1 de la imagen 2.2. No deben quedar restos sueltos de plasticina.
Luego, dejen rodar el cilindro por el plano inclinado y midan la distancia que recorre. Realicen 5 lanzamientos,
registrando el tiempo que demora en recorrer la distancia medida y contando el número de vueltas que ejecuta
durante el movimiento. Para poder contar las vueltas del cilindro es imprescindible que la inclinación del plano
sea mínima (ajusten la pendiente hasta que puedan realizar la observación). Anoten estos datos en una tabla y
calculen un promedio para el tiempo y el número de vueltas.
Repitan exactamente el mismo procedimiento anterior, pero cambiando la distribución de la plasticina en el interior
del cilindro de manera que ahora la plasticina se adhiera a la pared, es decir, a su manto como en el caso 2 de la
imagen 2.2. En esta parte, es importante reutilizar la misma plasticina para no cambiar la masa del objeto.
Para ﬁnalizar, analicen sus mediciones y respondan en su cuaderno las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la diferencia de tiempo en el recorrido del cilindro entre los dos casos?
b) ¿Cuál es la diferencia en el número de vueltas?
c) ¿Cómo inﬂuye la distribución de masa del cilindro en su comportamiento rotacional?
d) Comparen su respuesta anterior con sus hipótesis iniciales. ¿Con cuál de los dos casos se puede comparar
el movimiento de un cilindro macizo y el de un cilindro hueco? ¿Cuál rodaría más rápido?
Caso 1 Caso 2
plasticina
Imagen 2.2
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37
Momento angular y su conservación
El momento angular
En cursos anteriores ya has estudiado el concepto de momento
lineal ( p

), expresión latina que en español signiﬁca cantidad de
movimiento lineal.
El momento lineal de un objeto es una medida de su “inercia de
movimiento”, que es la propiedad que lo mantiene en movimiento
hasta que algo lo detiene o cambia su velocidad, y se puede calcular
como el producto de la masa del objeto y su velocidad.
Los objetos que giran también experimentan una “inercia de
rotación” que los mantiene girando hasta que algo los detiene
o cambia su velocidad. Una medida de esta propiedad es lo que
llamamos cantidad de movimiento angular o, simplemente, mo-
mento angular ( L

).
Por ejemplo, una lata de bebida que rueda por una calle con pen-
diente, la rueda de una bicicleta o una estrella alrededor del centro
de la galaxia siguen girando hasta que algo las detenga. En este
sentido, todos estos objetos tienen momento angular.
El módulo del momento angular de un objeto en movimiento
circular se relaciona con los módulos de su momento lineal y del
radio de curvatura r de la trayectoria, de la siguiente forma:
L r p= ⋅ (2.1)
Sin embargo, considerando el módulo del momento lineal:
p m v= ⋅ (2.2)
De acuerdo a las ecuaciones (2.1) y (2.2), tenemos:
L r m v= ⋅ ⋅ (2.3)
La ecuación (2.3) también se puede escribir en términos de la
rapidez angular:
L m r= ⋅ ⋅2
ω (2.4)
Es decir, el momento angular depende directamente de la masa del
objeto que gira, de su radio de giro y de su velocidad angular.
Figura 2.1. Una lata de bebida que
rueda por una calle con pendiente, gira
y aumenta su momento angular.
Figura 2.2. Las estrellas se mantienen
en órbita alrededor del centro galáctico
y tienen momento angular.
2
Sección
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Mecánica
38
Dos ventiladores idénticos se hacen girar simultáneamente.
Si la rapidez angular que uno de ellos alcanza es el doble
que la del otro, ¿cuál tiene mayor momento angular?
Es necesario destacar que las cantidades
involucradas en la deﬁnición del momento
angular tienen naturaleza vectorial.
Es decir, el momento angular se puede
expresar como un producto vectorial de
la siguiente forma:
L r p
  
= × (2.5)
Como se muestra en la Figura 2.4, el
momento angular de un objeto es un
vector perpendicular al plano de la
trayectoria.
Figura 2.3. Al girar, un CD tiene momento angular, al igual que las aspas
que rotan en un ventilador. La dirección y sentido del vector momento
angular se puede determinar por medio de la regla de la mano derecha:
el pulgar apunta en la dirección de L

(ó de ω

), cuando los dedos de
la mano apuntan en el sentido de giro. Aquí se muestran los vectores r

y p

de un punto de masa en el borde del CD y de otro punto de masa
casi en el extremo de las aspas del ventilador.
Ejemplo 7
Una piedra de 0,2 kg gira en una boleadora con un radio de
50 cm y una velocidad angular de 2 rad/s.
a) ¿Cuál es el módulo del momento angular de la piedra?
a: Para resolver usamos la ecuación (2.4):
L m r
L kg m
rad
s
L
kg m
s
= ⋅ ⋅
= ⋅( ) ⋅
=
2
2
2
0 2 0 5 2
0 1
ω
, ,
,
Apartir de este resultado, vemos que el momento angular se mide
en unidades de
kg m
s
2





 en el Sistema Internacional de Unidades.
Esta unidad de medida no recibe un nombre especial.
L
p
r
trayectoriaL
v
r
ω
Figura 2.4. L

es perpendicular al
plano del movimiento, por lo tanto,
mantiene la misma dirección que la
velocidad angular ω

. La dirección de
ambos vectores se obtiene usando la
regla de la mano derecha.
L
p
r
r
A Sentido del giro
p
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39
Ejemplo 8
En el ensayo de su baile, una bailarina hace girar dos boleadoras
simultáneamente, como se muestra en la Figura 2.5. Ambas
boleadoras giran con igual velocidad angular, cuyo módulo es
ω = 2
rad
s
, constante.
a) ¿Cuál es el módulo del momento angular del sistema de
boleadoras?
Figura 2.5. La bailarina hace girar simultáneamente dos bole-
doras. Las líneas punteadas representan las trayectorias de las
masas. El plano del movimiento de ambas masas es el mismo y
se ha pintado para evitar la ambigüedad debida a la perspectiva.
En un sistema de varias masas en rotación, se puede calcular
el momento angular total, sumando los momentos angulares
individuales.
a: Como se trata de dos masas que rotan con igual velocidad
angular, podemos calcular el módulo del momento angu-
lar total del sistema compuesto por las dos masas, de la
siguiente forma:
L L L
L m r m r
L
total
total
total
= +
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
1 2
1 1
2
2 2
2
ω ω
(( )
, , ,
m r m r
L kg m ktotal
1 1
2
2 2
2
2
0 2 0 5 0 3
⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅( ) +
ω
gg m
rad
s
L
kg m
stotal
⋅( )( )⋅
=
0 6 2
0 3156
2
2
,
,
Este desarrollo permite observar la aparición de una cantidad
importante en el estudio de las rotaciones, el producto de la masa
de un objeto en rotación y el cuadrado de su radio de giro. Esta
cantidad se denomina momento de inercia.
El ejemplo 8 sirve para deﬁnir el momento
angular de un conjunto de partículas que
giran con igual velocidad angular.
La generalización de L para n partículas
que cumplen esa condición, se expresa
así:
L m r m r m rn n
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅1 1
2
2 2
2 2
ω ω ω
Escrita con la simbología de sumatoria,
esta expresión queda así
L m ri i
i
n
= ⋅( )



 ⋅
=
∑ 2
1
ω (2.6)
L I= ⋅ω (2.7)
El término I m ri i
i
n
= ⋅( )=
∑ 2
1
se denomina
inercia rotacional o momento de inercia
de un sistema de n partículas.
0,6 m
0,3 kg
0,5 m 0,2 kg
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Mecánica
40
Recuerda el modelo atómico de Bohr, en el que los electrones
giran en órbitas alrededor del núcleo. De acuerdo a este
modelo, ¿tienen momento angular los electrones en un
átomo? ¿Por qué?
La inercia rotacional o momento
de inercia
Cuando se analiza un movimiento traslacional y rectilíneo se
considera a la masa del objeto como una medida de su inercia.
Como ejemplo, si se aplica la misma fuerza a un camión y luego
a un auto, observamos que el auto acelera más que el camión. En
este caso, decimos que el auto cambia su estado de movimiento
con mayor facilidad ante la fuerza aplicada. En términos técnicos,
el auto tiene menos inercia que el camión.
Por lo tanto, la masa es una medida de la inercia de un cuerpo y es en
este sentido, una medida de su resistencia al cambio de velocidad.
Análogamente, al hacer que un objeto sólido rote o se mueva en
trayectoria curva, se observa una resistencia al cambio del movimiento
rotacional. Esta oposición del objeto al cambio de su rotación se
conoce como inercia rotacional o momento de inercia. En otras
palabras, en el movimiento circular el momento de inercia cumple
el mismo rol que la masa juega en el movimiento rectilíneo.
El momento de inercia lo encontramos en dos tipos posibles de
sistemas:
SISTEMAS DE OBJETOS
Se trata de objetos físicos que modelamos como si se tratara de
partículas que tienen toda su masa concentrada en un punto y que
giran con la misma velocidad angular a cierta distancia de un eje
de giro. Este es el tipo de sistema que consideramos cuando el eje
de giro no atraviesa el objeto.
Por ejemplo, aunque para nosotros los planetas son enormes cuerpos
masivos, su tamaño en relación al tamaño del Sistema Solar es
en la práctica muy pequeño y por esta razón podemos modelar el
movimiento de los planetas como si se tratara de partículas cuya
masa se concentra en un punto.
Modelar a los planetas como partículas es una simpliﬁcación física
importante, pero podemos lograr una muy buena aproximación a
sus movimientos de esta manera.
Figura 2.6. Un equilibrista utiliza una
varilla de masa m para equilibrarse.
Mientras más longitud tiene la varilla,
mayor es su inercia rotacional y más
cuesta hacerla rotar.
Figura 2.7. En un móvil giratorio de
bebé podemos modelar el giro de
los objetos alrededor del eje central
como si se tratara de partículas. Sin
embargo, los objetos también giran
sobre sí mismos, alrededor de un eje
que los atraviesa. En esta rotación no
podemos considerarlos como partículas,
sino como cuerpos extensos.
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41
Para este tipo de sistema usamos la ecuación (2.7), que deﬁne el
momento de inercia de un sistema de n partículas como:
I m ri
i
n
= ⋅
=
∑ 1
2
1
(2.8)
Donde mi son las masas de las diferentes partículas que forman el
sistema y ri son sus radios de giro alrededor de un eje común. Esta
relación indica que si varios objetos puntuales componen un sistema,
el momento de inercia del sistema es la suma de los momentos de
inercia de cada partícula respecto al mismo eje de rotación:
I m r m r m r m r= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +1 1
2
2 2
2
3 3
2
4 4
2
... (2.9)
Si el sistema está compuesto de una única partícula que gira
alrededor de un eje externo, entonces su momento de inercia se
reduce a:
I m r= ⋅ 2 (2.10)
La ecuación (2.10) indica que el momento de inercia de un objeto
puntual de masa m depende directamente del cuadrado de su radio
de giro r. De esta manera, mientras más alejada del eje está la
masa, más esfuerzo se requiere para hacerla girar con la misma
rapidez angular.
En la Figura 2.8 se muestran dos sistemas de masas
unidas a los extremos de fósforos de distinto largo. Si
las cuatro pequeñas esferas de plasticina tienen igual
masa, ¿qué sistema tiene mayor inercia rotacional? ¿Por
qué? ¿De qué depende esto?
Figura 2.8. Las esferas de plasticina tienen la misma masa. Se usan
dos fósforos de distinto tamaño para confeccionar los sistemas con dos
masas. Los posibles ejes de rotación de cada sistema son inﬁnitos.
Figura 2.9. Las masas en este meca-
nismo pueden ser modeladas como
partículas que giran alrededor de
un eje común. ¿En cuál de las dos
situaciones el momento de inercia del
sistema compuesto por las dos masas
es mayor? ¿Por qué?
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Mecánica
42
OBJETOS EXTENSOS
Se trata de objetos sólidos y rígidos que giran sobre un eje que
atraviesa sus contornos. Son objetos rígidos aquellos que no ex-
perimentan deformaciones.
Ejemplos de objetos extensos en rotación hay muchos a nuestro
alrededor. El caso más directo, aunque tal vez no el más evidente,
es la propia rotación de la Tierra alrededor del eje imaginario que
la atraviesa de polo a polo. Si lanzas un martillo al aire o haces
girar un trompo, verás también cuerpos rígidos en rotación.
Para calcular el momento de inercia de un objeto rígido no es
posible usar la ecuación (2.8) directamente, ya que este tipo de
cuerpo distribuye su masa en toda su extensión de distinta manera,
de acuerdo a la geometría que posee.
Así, por ejemplo, un cilindro sólido tiene mayor momento de inercia
que una esfera sólida del mismo radio y de igual masa.
En general, cada cuerpo geométrico, regular o irregular, tiene su
propia inercia rotacional. La técnica matemática para calcular la
inercia de objetos sólidos y extensos pertenece al área del cálculo
diferencial e integral. Para evitar este tipo cálculos, tenemos la
Figura 2.11, que muestra algunos cuerpos geométricos comunes
y sus respectivos momentos de inercia.
Figura 2.10. Un gato es deformable,
y por lo tanto, no es un cuerpo rígido.
Cuando cae de espalda realiza con-
torsiones en el aire modiﬁcando la
inercia rotacional de su cuerpo hasta
alcanzar una posición cómoda y segura
de caída.
Eje
Eje
Eje
Eje
Eje
Eje
Eje Eje
Figura 2.11. Momentos de inercia de algunos cuerpos geométricos
respecto a diferentes ejes de rotación.
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43
Actividad de profundización
¿Qué sucede con el momento angular si hay varios
cuerposquerotanjuntos?
Para realizar esta actividad, se necesita lo siguiente: una rueda
de bicicleta y una silla que pueda rotar sobre su eje.
Según la disponibilidad de sillas giratorias y ruedas de bicicleta
en el curso, reúnete con algunos compañeros y compañeras (entre
4 y 6, idealmente) y formen un equipo de trabajo.
a) Reﬂexionen sobre esta pregunta: ¿Qué sucede con el mo-
mento angular si hay varios cuerpos que rotan juntos? Como
equipo, planteen una hipótesis para responder.
A continuación, realicen el siguiente experimento: el estudiante
más liviano se sienta en la silla y sostiene la rueda de la bicicleta
verticalmente, con ambas manos puestas en el eje de la rueda
(imagen 2.3). Dos compañeros(as) pueden sujetar la base de la
silla para que no se traslade, mientras otro estudiante da impulso
a la rueda para que gire. Luego, respondan:
b) ¿En qué dirección y sentido está dirigido el momento angular
de la rueda? Dibuja en tu cuaderno un esquema del movi-
miento, indicando el vector momento angular de la rueda.
A continuación, con la rueda en movimiento, el estudiante
que está sentado debe inclinar el eje de rotación de la rueda,
lentamente hasta que quede horizontal.
c) Describe en tu cuaderno qué observas.
d) ¿En qué dirección y sentido está dirigido el momento an-
gular de la rueda? ¿En qué dirección y sentido está dirigido
el momento angular de la silla? Dibuja un esquema de la
situación.
e) ¿Qué ocurre si la rueda se inclina hacia el otro lado? Dibuja
un esquema de la situación.
f) Exploren las posibilidades del experimento. ¿Qué ocurre si
en vez de hacer girar la rueda, se empieza por hacer girar la
silla?
g) Discutan sus respuestas y compárenlas con la hipótesis que
plantearon.
Para ﬁnalizar la actividad, preparen un informe sobre su trabajo
según las indicaciones de su profesor(a) y luego presenten a sus
compañeros(as) cuáles fueron sus hallazgos.
Imagen 2.3
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Mecánica
Evaluación intermedia
Indagación N°6
¿Por qué las manillas de las puertas están ubicadas en
elextremo?
Para responder la pregunta planteada en el título de esta actividad, se
propone la siguiente hipótesis:
Para abrir las puertas, se necesita menos fuerza cuando esta se aplica
más lejos del eje de rotación.
¿Cómo podemos poner a prueba esta hipótesis?
a) Junto a un compañero o una compañera, diseñen un procedimiento
experimental que les permita, a través de un modelo, poner a prueba
la hipótesis para evaluar si es una explicación aceptable o debe ser
descartada. Dibujen su montaje experimental y describan brevemente,
pero con precisión, el procedimiento que sugieren.
Procuren que el procedimiento experimental propuesto sea factible
de realizar en una hora de clases; es decir, que incluya el uso de
materiales de fácil adquisición o construcción y tiempos razonables
para la observación y el análisis de sus resultados.
b) Para ﬁnalizar, elaboren un informe de dos páginas según las indica-
2 m 1,5 m
Niño A: 30 kg Niño B: 40 kg
Recuerda que un modelo es una
representación simplificada del
fenómeno que se intenta explicar,
que incorpora sus principales
características y, en especial, las
variables medibles.
PARTE I. Problema de planteamiento
1 Observa la siguiente imagen. Ella corresponde a
un balancín giratorio.
a) Encuentra los momentos de inercia de cada
niño y compáralos entre sí.
b) Si el niño B gira con una rapidez tangencial
de 4,5 m/s ¿Cuál es la rapidez angular del
niño A?
c) Considerando los valores obtenidos anterior-
mente, ¿cuál es el módulo del momento an-
gular total? (Sin considerar el travesaño)
PARTE II. Análisis
2 ¿De qué manera inﬂuye el largo distinto de cada
brazo del balancín en el equilibrio rotacional de
los niños de distinta masa?
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45
Torque
El torque mecánico (τ) es un concepto físico muy simple con el que
nos encontramos frecuentemente en la vida diaria. Por ejemplo,
al abrir una puerta, usar las pinzas, cortar con una tijera o usar
un alicate, al mover los pedales de la bicicleta, y en cualquier
movimiento de nuestros brazos, ya que nuestro propio sistema
locomotor hace uso de variadas aplicaciones de torque.
El concepto de torque se compone de las tres magnitudes que se
muestran en la Figura 2.12: la fuerza aplicada ( F

), el radio vector
( r

) y el ángulo entre estos vectores (φ ).
Figura 2.13. Las aplicaciones del
torque en la vida cotidiana son muy
frecuentes.
r
Línea de acción
Figura 2.12. La fuerza F

aplica un torque sobre la llave inglesa y provoca
la rotación que permite soltar la tuerca. Solo la componente perpendicular
al radio (F F seny
= ⋅ φ) hace que el sistema gire, la componente paralela
no contribuye al torque.
Cuando se ejerce fuerza sobre un cuerpo rígido que puede girar
alrededor de un cierto eje gracias a un “pivote” o punto de rotación,
y siempre que la línea de acción de la fuerza no pase por el pivote,
entonces el cuerpo tiende a girar alrededor de ese eje. El torque es una
medida de la capacidad de una fuerza para provocar esta rotación.
Si la fuerza y el radio vector son perpendiculares entre sí (φ = 90°),
entonces se aplica un torque máximo. Este es el caso cuando se
abre una puerta aplicando una fuerza perpendicular al plano de la
puerta.Además, este ejemplo es útil para comprender la inﬂuencia
del radio vector en el torque. ¿A qué distancia del eje de rotación
de la puerta conviene aplicar la fuerza para realizar el menor
esfuerzo al abrirla?
Fx
Fy
F
φ
τ es la letra griega “tau”.
El ángulo φ entre r

y F

se mide desde
la dirección de r

hasta F

, en sentido
positivo según la convención matemática:
los ángulos son positivos al medirlos en
sentido anti-horario.
r
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Mecánica
46
De acuerdo a nuestra experiencia, mientras más lejos del eje de
rotación se aplica la fuerza, menor es el esfuerzo que implica abrir
una puerta. Por eso, en general, las manillas se colocan en el lado
opuesto a las bisagras, para que el módulo del radio vector sea
máximo y, de esta manera, aumentar el torque.
El módulo del torque de una fuerza (F) se puede determinar por
la siguiente relación:
τ φ= ⋅ ⋅r F sen (2.11)
De acuerdo a la ecuación (2.11) el torque se expresa en la uni-
dad [N m].
TORQUEY MOMENTO ANGULAR
Como aprendiste en segundo medio, la fuerza neta que actúa sobre un
cuerpo es equivalente al cambio de momento lineal en un intervalo
de tiempo. En términos de los módulos de los vectores involucrados,
podemos expresar esta relación del siguiente modo:
F
p
t
=
∆
∆
(2.12)
Si reemplazamos esta deﬁnición en la ecuación (2.11), tenemos:
τ φ
τ φ
τ
φ
= ⋅ ⋅
= ⋅
−( )⋅
=
⋅ ⋅ −
r
p
t
r
p p
t
r p
f i
f
∆
∆
∆
sen
sen
sen r
r p
t
i
⋅ ⋅sen φ
∆
(2.13)
Pero, al considerar la ecuación 2.5, el módulo del momento angular
se puede expresar como:
L r p= ⋅ ⋅sen φ (2.14)
De modo que las ecuaciones (2.13) indican que:
τ =
−
=
L L
t
L
t
f i
∆
∆
∆
(2.15)
Es decir, el torque produce un cambio o variación en el momento
angular del sistema mecánico, sea este un conjunto de partículas
o un objeto rígido.
Es necesario considerar que las cantidades
involucradas en la deﬁnición del torque
tienen naturaleza vectorial. Es decir,
en la ecuación (2.11) hemos usado los
módulos del radio vector ( r

) y de la
fuerza ( F

), de modo que:
r r
F F


=
=
De acuerdo esto, la ecuación (2.11) expre-
sa el módulo del torque, cuya expresión
vectorial corresponde a un producto de
la siguiente forma:
τ
  
= ×r F (2.16)
Como se muestra en la Figura 2.14, el
torque aplicado a un objeto es un vector
perpendicular al plano formado por el
radio vector y la fuerza.
τ
F
r
Figura 2.14.Al abrir o cerrar una puerta,
τ

está orientado en la dirección del eje
de rotación. En general τ

es perpendi-
cular al plano formado por r

y F

. La
dirección del torque se obtiene usando
la regla de la mano derecha: primero
se apunta la mano en la dirección del
radio vector y luego se dobla, cerrando
la palma, para apuntar en la dirección
de la fuerza. El torque apunta en la
dirección del dedo pulgar.
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47
Ejemplo 9
Consideremos una piedra de 400 g atada a una cuerda de 80 cm
que se hace girar desde el reposo hasta alcanzar una rapidez
tangencial de 2 m/s.
a) ¿Cuál es el módulo del momento angular de la piedra en
reposo?
b) Cuando la piedra alcanza la rapidez de 2 m/s, ¿cuál es el
módulo de su momento angular ?
c) ¿Cuál es la variación del momento angular de la piedra?
d) ¿Cuál fue el torque aplicado sobre la piedra si demora 0,32 s
en alcanzar los 2 m/s?
a: El momento angular inicial es cero, ya que la piedra no se
mueve.
b: En este caso, de acuerdo a la ecuación (2.3):
L r m v
L m kg
m
s
L
kg m
s
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
0 8 0 4 2
0 64
2
, ,
,
c: La variación del momento angular corresponde a la dife-
rencia entre el momento angular ﬁnal y el inicial:
∆
∆
L L L
L
kg m
s
kg m
s
kg m
s
f i
= −
= − =0 64 0 0 64
2 2 2
, ,
d: De acuerdo a la ecuación (2.15), tenemos:
τ
τ
τ
=
=
=
∆
∆
L
t
kg m
s
s
N m
0 64
0 32
2
2
,
,
Figura 2.15. Para hacer rotar un siste-
ma, a partir del reposo, se requiere de
un torque externo. El torque produce
un aumento en el momento angular a
partir de cero.
Figura 2.16. El sistema de pedales,
biela y eje del pedalier de una bicicleta,
es un buen ejemplo de cómo al aplicar
un torque se produce el cambio del
momento angular del sistema.
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Fisica III (santillana)

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