E.D.OEcuaciones Diferenciales OrdinariasProf. Jorge Enrique Trivi˜noFacultad de Matem´aticas Y FisicaUniversidad De La Ama...
TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones di...
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TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:Prof. Jo...
TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:1 Las t´...
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TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:1 Las t´...
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobr...
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:Prof. Jorg...
Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:y(t) = −12...
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Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
2) Determinar la velocidad de una part´ıcula proyectada en direcci´on ra-dial fuera de la Tierra, cuando sobre ´esta act´u...
2) Determinar la velocidad de una part´ıcula proyectada en direcci´on ra-dial fuera de la Tierra, cuando sobre ´esta act´u...
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıculaser´a inversamente proporcional al cuadrado de la ...
La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıculaser´a inversamente proporcional al cuadrado de la ...
La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıculaser´a inversamente proporcional al cuadrado de la ...
La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıculaser´a inversamente proporcional al cuadrado de la ...
La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıculaser´a inversamente proporcional al cuadrado de la ...
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
y de (2) K = gR2(4)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
y de (2) K = gR2(4)De (3) y (4): a = −gR2r2(4)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
y de (2) K = gR2(4)De (3) y (4): a = −gR2r2(4)Ahora, como a =dvdty V =drdt, entoncesProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Univers...
y de (2) K = gR2(4)De (3) y (4): a = −gR2r2(4)Ahora, como a =dvdty V =drdt, entoncesa =dvdt=drdt.dvdr= vdvdr, 0 , a = vdvd...
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Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Separando variables en (6) e integrando obtenemosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Separando variables en (6) e integrando obtenemosv22=gR2r+ c1, 0 , v2=2gR2r+ C, donde C = 2c (7)Prof. Jorge Enrique Trivi˜...
Separando variables en (6) e integrando obtenemosv22=gR2r+ c1, 0 , v2=2gR2r+ C, donde C = 2c (7)Supongamos que v(0) = v0 c...
Separando variables en (6) e integrando obtenemosv22=gR2r+ c1, 0 , v2=2gR2r+ C, donde C = 2c (7)Supongamos que v(0) = v0 c...
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.Si v20 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual e...
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOSProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
ENFRIAMIENTO DE CUERPOSLa ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´onde cambio de la temperat...
ENFRIAMIENTO DE CUERPOSLa ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´onde cambio de la temperat...
ENFRIAMIENTO DE CUERPOSLa ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´onde cambio de la temperat...
ENFRIAMIENTO DE CUERPOSLa ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´onde cambio de la temperat...
ENFRIAMIENTO DE CUERPOSProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
ENFRIAMIENTO DE CUERPOSEjemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocad...
ENFRIAMIENTO DE CUERPOSEjemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocad...
ENFRIAMIENTO DE CUERPOSEjemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocad...
ENFRIAMIENTO DE CUERPOSEjemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocad...
ENFRIAMIENTO DE CUERPOSEjemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocad...
CONVERSION QUIMICA SIMPLEProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
CONVERSION QUIMICA SIMPLELa conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´onquimica una sustancia A se ...
CONVERSION QUIMICA SIMPLELa conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´onquimica una sustancia A se ...
CONVERSION QUIMICA SIMPLELa conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´onquimica una sustancia A se ...
CONVERSION QUIMICA SIMPLELa conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´onquimica una sustancia A se ...
CONVERSION QUIMICA SIMPLEProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
CONVERSION QUIMICA SIMPLELa gr´afica de la soluci´on es de la forma:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazon...
CONVERSION QUIMICA SIMPLELa gr´afica de la soluci´on es de la forma:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazon...
CONVERSION QUIMICA SIMPLEProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
CONVERSION QUIMICA SIMPLEEjemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dosterceras partes de la cantidad ori...
CONVERSION QUIMICA SIMPLEEjemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dosterceras partes de la cantidad ori...
CRECIMIENTO POBLACIONALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
CRECIMIENTO POBLACIONALHallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de unpais en funci´on del ti...
CRECIMIENTO POBLACIONALHallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de unpais en funci´on del ti...
CRECIMIENTO POBLACIONALHallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de unpais en funci´on del ti...
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CRECIMIENTO POBLACIONALHallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de unpais en funci´on del ti...
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CRECIMIENTO POBLACIONALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
CRECIMIENTO POBLACIONALSeparando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es dela forma:Prof. Jorge Enriq...
CRECIMIENTO POBLACIONALSeparando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es dela forma:y(t) = ceat−ba.Pr...
CRECIMIENTO POBLACIONALSeparando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es dela forma:y(t) = ceat−ba.De...
CRECIMIENTO POBLACIONALSeparando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es dela forma:y(t) = ceat−ba.De...
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CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleSe sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmentea l...
CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleSe sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmentea l...
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CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleCuya soluci´on general es P(t) = Poekt. Utilizando los datos del problemao...
CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleCuya soluci´on general es P(t) = Poekt. Utilizando los datos del problemao...
CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleCuya soluci´on general es P(t) = Poekt. Utilizando los datos del problemao...
ACUMULACION DE CAPITALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
ACUMULACION DE CAPITALConsideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´ony = f(t) representa el capital...
ACUMULACION DE CAPITALConsideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´ony = f(t) representa el capital...
ACUMULACION DE CAPITALConsideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´ony = f(t) representa el capital...
ACUMULACION DE CAPITALConsideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´ony = f(t) representa el capital...
ACUMULACION DE CAPITALConsideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´ony = f(t) representa el capital...
ACUMULACION DE CAPITALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
ACUMULACION DE CAPITALN´otese que si:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
ACUMULACION DE CAPITALN´otese que si:si yo >bkel capital y(t) crece.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazo...
ACUMULACION DE CAPITALN´otese que si:si yo >bkel capital y(t) crece.si yo <bkel capital y(t) decrece.Prof. Jorge Enrique T...
ACUMULACION DE CAPITALN´otese que si:si yo >bkel capital y(t) crece.si yo <bkel capital y(t) decrece.si yo =bkel capital y...
ACUMULACION DE CAPITALN´otese que si:si yo >bkel capital y(t) crece.si yo <bkel capital y(t) decrece.si yo =bkel capital y...
ACUMULACION DE CAPITALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
ACUMULACION DE CAPITALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesProf. Jorge Enrique Trivi˜no - ...
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaProf. J...
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaay + by...
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaay + by...
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaay + by...
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaay + by...
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaay + by...
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesProf. Jorge Enrique Trivi˜no - ...
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesa) Si b2− 4ac > 0, o λ1, λ2 son...
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesa) Si b2− 4ac > 0, o λ1, λ2 son...
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Vibraciones en sistemas mec´anicosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mec´anicos¿Cuando se producen vibraciones?Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazoni...
Vibraciones en sistemas mec´anicos¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico...
Vibraciones en sistemas mec´anicos¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico...
Vibraciones en sistemas mec´anicos¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico...
Vibraciones en sistemas mec´anicos¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico...
Vibraciones en sistemas mec´anicosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mec´anicosLa carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-raci´on FR =...
Vibraciones en sistemas mec´anicosLa carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-raci´on FR =...
Vibraciones en sistemas mec´anicosLa carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-raci´on FR =...
Vibraciones en sistemas mec´anicosLa carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-raci´on FR =...
Vibraciones en sistemas mec´anicosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mec´anicosEcuaci´on auxiliar: λ2+km= 0 ⇐⇒ λ = ±kmiProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La...
Vibraciones en sistemas mec´anicosEcuaci´on auxiliar: λ2+km= 0 ⇐⇒ λ = ±kmix1t = coskmt = cos(at)x2t = sinkmt = sin(at)...
Vibraciones en sistemas mec´anicosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mec´anicosSi la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad ini...
Vibraciones en sistemas mec´anicosSi la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad ini...
Vibraciones en sistemas mec´anicosSi la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad ini...
Vibraciones en sistemas mec´anicosSi la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad ini...
Vibraciones en sistemas mec´anicosSi la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad ini...
Vibraciones en sistemas mec´anicosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mec´anicosaT = 2π ; T =2πa=2πkm= 2πmkProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mec´anicosaT = 2π ; T =2πa=2πkm= 2πmkTambien f =1T=a2π=12πkmProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Univers...
Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido...
Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido...
Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido...
Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido...
Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido...
Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido...
Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadasLa ecuaci´on auxiliar: λ2+ 2bλ + a2= 0Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E....
Vibraciones amortiguadasLa ecuaci´on auxiliar: λ2+ 2bλ + a2= 0λ1,2 =−2b ±√4b2 − 4a22=−2b ± 2√b2 − a22= −b ± b2 − a2Prof. J...
Vibraciones amortiguadasLa ecuaci´on auxiliar: λ2+ 2bλ + a2= 0λ1,2 =−2b ±√4b2 − 4a22=−2b ± 2√b2 − a22= −b ± b2 − a2La natu...
Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De ...
Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2ty x (t) = c1λ1eλ1t+ c2λ2e...
Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2ty x (t) = c1λ1eλ1t+ c2λ2e...
Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2ty x (t) = c1λ1eλ1t+ c2λ2e...
Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2ty x (t) = c1λ1eλ1t+ c2λ2e...
Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2ty x (t) = c1λ1eλ1t+ c2λ2e...
Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadasReemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:x(t) =−λ2xoλ1 − λ2eλ1t+λ1xoλ...
Vibraciones amortiguadasReemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:x(t) =−λ2xoλ1 − λ2eλ1t+λ1xoλ...
Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadasb) Si b2− a2= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at...
Vibraciones amortiguadasb) Si b2− a2= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at...
Vibraciones amortiguadasb) Si b2− a2= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at...
Vibraciones amortiguadasb) Si b2− a2= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at...
Vibraciones amortiguadasb) Si b2− a2= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at...
Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadasx(t) = xoe−at+ axote−at= xoe−at[1 + at]Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E...
Vibraciones amortiguadasx(t) = xoe−at+ axote−at= xoe−at[1 + at]c) Si b2− a2< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la...
Vibraciones amortiguadasx(t) = xoe−at+ axote−at= xoe−at[1 + at]c) Si b2− a2< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la...
Vibraciones amortiguadasx(t) = xoe−at+ axote−at= xoe−at[1 + at]c) Si b2− a2< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la...
Vibraciones amortiguadasx(t) = xoe−at+ axote−at= xoe−at[1 + at]c) Si b2− a2< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la...
Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0Prof. Jorge Enrique Trivi˜no -...
Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−bts...
Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−bts...
Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−bts...
Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−bts...
Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−bts...
Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−bts...
Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−bts...
Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadasAhora:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadasAhora:α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θProf. Jorge Enrique Tr...
Vibraciones amortiguadasAhora:α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θLa igualdad anterior e...
Vibraciones amortiguadasAhora:α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θLa igualdad anterior e...
Vibraciones amortiguadasAhora:α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θLa igualdad anterior e...
Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadasComo αT = 2π, T =2πα=2πa2 − b2=2πkm−c24m2, yProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazo...
Vibraciones amortiguadasComo αT = 2π, T =2πα=2πa2 − b2=2πkm−c24m2, yf =1T=α2π=12πa2 − b2 =12πkm−c24m2Prof. Jorge Enrique T...
Bibliografia• Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modela-do. Editorial Thomson. Sexta Edici´on.• R...
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E.D.O - Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  1. 1. E.D.OEcuaciones Diferenciales OrdinariasProf. Jorge Enrique Trivi˜noFacultad de Matem´aticas Y FisicaUniversidad De La AmazoniaFecha: 30, 31 De MayoProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  2. 2. TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen-ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-enciales tratan de c´omo predecir el futuro.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  3. 3. TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen-ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-enciales tratan de c´omo predecir el futuro.• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como sonlas cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-rir´an. Del c´alculo sabemos que el cambio es medido por las derivadasy usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo quetratan las ecuaciones diferenciales.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  4. 4. TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• El taller est´a orientado hacia la construcci´on de ecuaciones diferen-ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-enciales tratan de c´omo predecir el futuro.• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como sonlas cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-rir´an. Del c´alculo sabemos que el cambio es medido por las derivadasy usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo quetratan las ecuaciones diferenciales.• Convertir las reglas que gobiernan la evoluci´on de una cantidad esuna ecuaci´on diferencial se llama una modelaci´on y en este tallerconstruiremos algunos modelos. Nuestra meta es que a traves de lasecuaciones diferenciales podamos predecir el futuro de la cantidad quese est´a modelando.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  5. 5. TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  6. 6. TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futurosde la cantidad.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  7. 7. TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futurosde la cantidad.2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de lagr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en ladescripci´on del comportamiento a largo plazo.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  8. 8. TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futurosde la cantidad.2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de lagr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en ladescripci´on del comportamiento a largo plazo.3 Las t´ecnicas num´ericas que requieren c´alculos aritm´eticos que denaproximaciones de los valores futuros de la cantidad.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  9. 9. TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES• Existen tres t´ecnicas para efectuar dichas predicciones:1 Las t´ecnicas anal´ıticas implican hallar m´etodos para valores futurosde la cantidad.2 Las t´ecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de lagr´afica de la cantidad de como funci´on del tiempo, y en ladescripci´on del comportamiento a largo plazo.3 Las t´ecnicas num´ericas que requieren c´alculos aritm´eticos que denaproximaciones de los valores futuros de la cantidad.• Se requiere que el asistente al taller tenga una idea m´ınima del c´alculode derivadas y de la teoria de integraci´on.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  10. 10. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  11. 11. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre´el actua la fuerza de gravedad.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  12. 12. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre´el actua la fuerza de gravedad.De la segunda ley de Newton tenemos que:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  13. 13. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre´el actua la fuerza de gravedad.De la segunda ley de Newton tenemos que:ma = F ⇐⇒ md2ydt2= −mg ⇐⇒ a(t) =d2ydt2= −g (1)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  14. 14. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre´el actua la fuerza de gravedad.De la segunda ley de Newton tenemos que:ma = F ⇐⇒ md2ydt2= −mg ⇐⇒ a(t) =d2ydt2= −g (1)Que representa la aceleraci´on con que cae el cuerpo. Integrando una vezla ecuaci´on (1), obtenemos que:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  15. 15. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que ´unicamente sobre´el actua la fuerza de gravedad.De la segunda ley de Newton tenemos que:ma = F ⇐⇒ md2ydt2= −mg ⇐⇒ a(t) =d2ydt2= −g (1)Que representa la aceleraci´on con que cae el cuerpo. Integrando una vezla ecuaci´on (1), obtenemos que:v(t) =dydt= −gt + c1 (2)Que representa la velocidad con que cae el cuerpo.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  16. 16. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  17. 17. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  18. 18. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:y(t) = −12gt2+ c1t + c2 (3)Es la posici´on del cuerpo en el tiempo t.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  19. 19. Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:Integrando una vez mas la ecuaci´on (2) obtenemos que:y(t) = −12gt2+ c1t + c2 (3)Es la posici´on del cuerpo en el tiempo t.¿C´omo hallar las contantes c1 y c2?¿C´omo podemos llamar la ecuacion (3)?Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  20. 20. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  21. 21. 2) Determinar la velocidad de una part´ıcula proyectada en direcci´on ra-dial fuera de la Tierra, cuando sobre ´esta act´ua unicamente la fuerzade gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direcci´onradial de modo que el movimiento de la part´ıcula se lleve a efectopor completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. Lagr´afica ilustra la situaci´on:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  22. 22. 2) Determinar la velocidad de una part´ıcula proyectada en direcci´on ra-dial fuera de la Tierra, cuando sobre ´esta act´ua unicamente la fuerzade gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direcci´onradial de modo que el movimiento de la part´ıcula se lleve a efectopor completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. Lagr´afica ilustra la situaci´on:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  23. 23. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  24. 24. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıculaser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapart´ıcula y el centro de la Tierra.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  25. 25. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıculaser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapart´ıcula y el centro de la Tierra.La aceleraci´on es:a =dvdt= −Kr2(1)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  26. 26. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıculaser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapart´ıcula y el centro de la Tierra.La aceleraci´on es:a =dvdt= −Kr2(1)N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en lasuperficie de la Tierra.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  27. 27. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıculaser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapart´ıcula y el centro de la Tierra.La aceleraci´on es:a =dvdt= −Kr2(1)N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en lasuperficie de la Tierra.Luego, − g = −Ka(2)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  28. 28. La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleraci´on de una part´ıculaser´a inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapart´ıcula y el centro de la Tierra.La aceleraci´on es:a =dvdt= −Kr2(1)N´otese que la aceleraci´on es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.Si r = R entonces a = −g −→ aceleraci´on devida a la gravedad en lasuperficie de la Tierra.Luego, − g = −Ka(2)De (1) K = −ar2(3)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  29. 29. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  30. 30. y de (2) K = gR2(4)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  31. 31. y de (2) K = gR2(4)De (3) y (4): a = −gR2r2(4)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  32. 32. y de (2) K = gR2(4)De (3) y (4): a = −gR2r2(4)Ahora, como a =dvdty V =drdt, entoncesProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  33. 33. y de (2) K = gR2(4)De (3) y (4): a = −gR2r2(4)Ahora, como a =dvdty V =drdt, entoncesa =dvdt=drdt.dvdr= vdvdr, 0 , a = vdvdr(5)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  34. 34. y de (2) K = gR2(4)De (3) y (4): a = −gR2r2(4)Ahora, como a =dvdty V =drdt, entoncesa =dvdt=drdt.dvdr= vdvdr, 0 , a = vdvdr(5)Reemplazando (5) en (4) tenemos que:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  35. 35. y de (2) K = gR2(4)De (3) y (4): a = −gR2r2(4)Ahora, como a =dvdty V =drdt, entoncesa =dvdt=drdt.dvdr= vdvdr, 0 , a = vdvdr(5)Reemplazando (5) en (4) tenemos que:vdvdr=−gR2r2(6)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  36. 36. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  37. 37. Separando variables en (6) e integrando obtenemosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  38. 38. Separando variables en (6) e integrando obtenemosv22=gR2r+ c1, 0 , v2=2gR2r+ C, donde C = 2c (7)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  39. 39. Separando variables en (6) e integrando obtenemosv22=gR2r+ c1, 0 , v2=2gR2r+ C, donde C = 2c (7)Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuaci´on (7) toma laformaProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  40. 40. Separando variables en (6) e integrando obtenemosv22=gR2r+ c1, 0 , v2=2gR2r+ C, donde C = 2c (7)Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuaci´on (7) toma laformav2=2gR2r+ v20 − 2gR (5)Que es la velocidad con que viaja la particulaProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  41. 41. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  42. 42. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  43. 43. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.Si v20 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembroderecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, lavelocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a laTierra.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  44. 44. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.Si v20 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembroderecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, lavelocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a laTierra.Luego, si v0 ≥ 2gR = V e, la part´ıcula escapar´a de la Tierra.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  45. 45. La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.Si v20 − 2gR ≤ 0, habr´a un punto cr´ıtico de r para el cual el miembroderecho de la ecuaci´on (5) es cero. Es decir la part´ıcula se detendr´a, lavelocidad cambiar´a de positiva a negativa y la particula regresaria a laTierra.Luego, si v0 ≥ 2gR = V e, la part´ıcula escapar´a de la Tierra.Ejemplo: Hallar la velocidad de escape de la Tierra. Considerarg = 9,81m/seg2y R = 6370KmProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  46. 46. ENFRIAMIENTO DE CUERPOSProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  47. 47. ENFRIAMIENTO DE CUERPOSLa ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´onde cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferenciaentre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es latemperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, setiene entoncesProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  48. 48. ENFRIAMIENTO DE CUERPOSLa ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´onde cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferenciaentre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es latemperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, setiene entoncesdTdt= K(T − Tm)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  49. 49. ENFRIAMIENTO DE CUERPOSLa ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´onde cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferenciaentre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es latemperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, setiene entoncesdTdt= K(T − Tm)donde K < 0. La ecuaci´on se puede resolver por el m´etodo de separaci´onde variables, para obtener la soluci´on general:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  50. 50. ENFRIAMIENTO DE CUERPOSLa ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la raz´onde cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferenciaentre la temperatura de ´este y la del medio ambiente. Esto es si T es latemperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, setiene entoncesdTdt= K(T − Tm)donde K < 0. La ecuaci´on se puede resolver por el m´etodo de separaci´onde variables, para obtener la soluci´on general:T(t) = Tm + (T0 − Tm)ektProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  51. 51. ENFRIAMIENTO DE CUERPOSProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  52. 52. ENFRIAMIENTO DE CUERPOSEjemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro esde 25◦F.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  53. 53. ENFRIAMIENTO DE CUERPOSEjemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro esde 25◦F.¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  54. 54. ENFRIAMIENTO DE CUERPOSEjemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro esde 25◦F.¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.Soluci´on:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  55. 55. ENFRIAMIENTO DE CUERPOSEjemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro esde 25◦F.¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.Soluci´on:Sea T(t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos queT(0) = T0 = 70◦F, Tm = 10◦F, T(3) = 25◦F y al aplicarlos en lasoluci´on general obtenemos queProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  56. 56. ENFRIAMIENTO DE CUERPOSEjemplo: Un term´ometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F. Tres minutos despu´es se descubre que la lectura del term´ometro esde 25◦F.¿Cu´al es la temperatura en el tiempo t ?.Soluci´on:Sea T(t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos queT(0) = T0 = 70◦F, Tm = 10◦F, T(3) = 25◦F y al aplicarlos en lasoluci´on general obtenemos queT(t) = 10 + 60e−0,46tProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  57. 57. CONVERSION QUIMICA SIMPLEProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  58. 58. CONVERSION QUIMICA SIMPLELa conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´onquimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es lacantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad dex de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustanciapresente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencialProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  59. 59. CONVERSION QUIMICA SIMPLELa conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´onquimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es lacantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad dex de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustanciapresente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencialdxdt= −kx, donde k > 0Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  60. 60. CONVERSION QUIMICA SIMPLELa conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´onquimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es lacantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad dex de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustanciapresente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencialdxdt= −kx, donde k > 0y cuya soluci´on es de la forma:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  61. 61. CONVERSION QUIMICA SIMPLELa conversi´on quimica simple se utiliza cuando mediante una reacci´onquimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es lacantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad dex de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustanciapresente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuaci´on diferencialdxdt= −kx, donde k > 0y cuya soluci´on es de la forma:x(t) = x0e−ktProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  62. 62. CONVERSION QUIMICA SIMPLEProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  63. 63. CONVERSION QUIMICA SIMPLELa gr´afica de la soluci´on es de la forma:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  64. 64. CONVERSION QUIMICA SIMPLELa gr´afica de la soluci´on es de la forma:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  65. 65. CONVERSION QUIMICA SIMPLEProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  66. 66. CONVERSION QUIMICA SIMPLEEjemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dosterceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinarla cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  67. 67. CONVERSION QUIMICA SIMPLEEjemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dosterceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinarla cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.Del x(30) = x0e−30K=x03, obtenemos que K =Ln330yx(t) = x0e− Ln330 t, luego x(60) =x09Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  68. 68. CRECIMIENTO POBLACIONALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  69. 69. CRECIMIENTO POBLACIONALHallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de unpais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dadapor:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  70. 70. CRECIMIENTO POBLACIONALHallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de unpais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dadapor:dydt= ky − hy = (k − h)y,Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  71. 71. CRECIMIENTO POBLACIONALHallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de unpais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dadapor:dydt= ky − hy = (k − h)y,donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  72. 72. CRECIMIENTO POBLACIONALHallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de unpais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dadapor:dydt= ky − hy = (k − h)y,donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuaci´on anterior se puede escribir como:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  73. 73. CRECIMIENTO POBLACIONALHallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de unpais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dadapor:dydt= ky − hy = (k − h)y,donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuaci´on anterior se puede escribir como:dydt= ay donde a = k − hProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  74. 74. CRECIMIENTO POBLACIONALHallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de unpais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dadapor:dydt= ky − hy = (k − h)y,donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuaci´on anterior se puede escribir como:dydt= ay donde a = k − hSi hay inmigraci´on, la nueva ecuaci´on es:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  75. 75. CRECIMIENTO POBLACIONALHallar la ecuaci´on diferencial que expresa el n´umero de habitantes y de unpais en funci´on del tiempo. Como el aumento de la poblaci´on se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas est´a dadapor:dydt= ky − hy = (k − h)y,donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuaci´on anterior se puede escribir como:dydt= ay donde a = k − hSi hay inmigraci´on, la nueva ecuaci´on es:dydt= ay + b,donde b representa el n´umero de inmigrantes.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  76. 76. CRECIMIENTO POBLACIONALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  77. 77. CRECIMIENTO POBLACIONALSeparando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es dela forma:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  78. 78. CRECIMIENTO POBLACIONALSeparando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es dela forma:y(t) = ceat−ba.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  79. 79. CRECIMIENTO POBLACIONALSeparando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es dela forma:y(t) = ceat−ba.De la condici´on inicial y(0) = c −ba= y0, obtenemos que c = y0 +baypor lo tanto una soluci´on particular esProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  80. 80. CRECIMIENTO POBLACIONALSeparando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es dela forma:y(t) = ceat−ba.De la condici´on inicial y(0) = c −ba= y0, obtenemos que c = y0 +baypor lo tanto una soluci´on particular esy(t) = y0 +baeat−ba.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  81. 81. CRECIMIENTO POBLACIONALSeparando variables e integrando obtenemos que la soluci´on general es dela forma:y(t) = ceat−ba.De la condici´on inicial y(0) = c −ba= y0, obtenemos que c = y0 +baypor lo tanto una soluci´on particular esy(t) = y0 +baeat−ba.¿C´omo es la gr´afica de y(t)?Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  82. 82. CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  83. 83. CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleSe sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmentea la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´antotiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a?Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  84. 84. CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleSe sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmentea la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´antotiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a?Si P(t) es el m´ınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema devalor inicial asociado es:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  85. 85. CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleSe sabe que la poblaci´on de cierta comunidad aumenta proporcionalmentea la cantidad presente. Si la poblaci´on se duplic´o en cinco a˜nos. ¿En cu´antotiempo se triplicar´a y cuadruplicar´a?Si P(t) es el m´ınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema devalor inicial asociado es:dPdt= kPP(0) = PoProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  86. 86. CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  87. 87. CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleCuya soluci´on general es P(t) = Poekt. Utilizando los datos del problemaobtenemos que la poblaci´on es:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  88. 88. CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleCuya soluci´on general es P(t) = Poekt. Utilizando los datos del problemaobtenemos que la poblaci´on es:P(t) = Poe0,138629tProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  89. 89. CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simpleCuya soluci´on general es P(t) = Poekt. Utilizando los datos del problemaobtenemos que la poblaci´on es:P(t) = Poe0,138629tN´otese que P(3) = 7,92 a˜nos y P(4) = 10 a˜nos.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  90. 90. ACUMULACION DE CAPITALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  91. 91. ACUMULACION DE CAPITALConsideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´ony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´esaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  92. 92. ACUMULACION DE CAPITALConsideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´ony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´esaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  93. 93. ACUMULACION DE CAPITALConsideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´ony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´esaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,dydt= ky − b,Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  94. 94. ACUMULACION DE CAPITALConsideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´ony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´esaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,dydt= ky − b,Donde k > 0 y la soluci´on general de la ecuaci´on es de la forma y(t) =cekt+ b. Al analizar la condici´on inicial y(0) = ce0t+ b = yo, obtenemosque c = y − b y la soluci´on particular toma la forma:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  95. 95. ACUMULACION DE CAPITALConsideremos el problema sobre la acumulaci´on de capital. La funci´ony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el inter´esaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:(incremento de capital) = (inter´es) - (consumo) , o,dydt= ky − b,Donde k > 0 y la soluci´on general de la ecuaci´on es de la forma y(t) =cekt+ b. Al analizar la condici´on inicial y(0) = ce0t+ b = yo, obtenemosque c = y − b y la soluci´on particular toma la forma:y(t) = yo −kbekt+bkProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  96. 96. ACUMULACION DE CAPITALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  97. 97. ACUMULACION DE CAPITALN´otese que si:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  98. 98. ACUMULACION DE CAPITALN´otese que si:si yo >bkel capital y(t) crece.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  99. 99. ACUMULACION DE CAPITALN´otese que si:si yo >bkel capital y(t) crece.si yo <bkel capital y(t) decrece.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  100. 100. ACUMULACION DE CAPITALN´otese que si:si yo >bkel capital y(t) crece.si yo <bkel capital y(t) decrece.si yo =bkel capital y(t) permanece constante.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  101. 101. ACUMULACION DE CAPITALN´otese que si:si yo >bkel capital y(t) crece.si yo <bkel capital y(t) decrece.si yo =bkel capital y(t) permanece constante.La siguiente gr´afica ilustra la situaci´on anterior.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  102. 102. ACUMULACION DE CAPITALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  103. 103. ACUMULACION DE CAPITALProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  104. 104. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  105. 105. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  106. 106. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaay + by + cy = 0 (1)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  107. 107. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaay + by + cy = 0 (1)Si y(x) = eλxes soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλxy y (x) = λ2eλx.Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  108. 108. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaay + by + cy = 0 (1)Si y(x) = eλxes soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλxy y (x) = λ2eλx.Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:(λ2+ bλ + c)eλx= 0Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  109. 109. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaay + by + cy = 0 (1)Si y(x) = eλxes soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλxy y (x) = λ2eλx.Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:(λ2+ bλ + c)eλx= 0Como eλx= 0, λ2+ bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  110. 110. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaay + by + cy = 0 (1)Si y(x) = eλxes soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλxy y (x) = λ2eλx.Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:(λ2+ bλ + c)eλx= 0Como eλx= 0, λ2+ bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar.Las raices de la ecuaci´on auxiliar son λ1, λ2 =−b ±√b2 − 4ac2aProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  111. 111. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesLa ecuaci´on de la formaay + by + cy = 0 (1)Si y(x) = eλxes soluci´on de (1), entonces y (x) = λeλxy y (x) = λ2eλx.Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:(λ2+ bλ + c)eλx= 0Como eλx= 0, λ2+ bλ + c = 0 se llama ecuaci´on auxiliar.Las raices de la ecuaci´on auxiliar son λ1, λ2 =−b ±√b2 − 4ac2aLa naturaleza de las raices depende del discriminante√b2 − 4ac. Consid-eremos tres casos:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  112. 112. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  113. 113. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesa) Si b2− 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En estecaso y1(x) = eλ1x, y2(x) = eλ2xy la soluci´on general es:y(x) = c1eλ1x+ c2eλ2xProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  114. 114. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesa) Si b2− 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En estecaso y1(x) = eλ1x, y2(x) = eλ2xy la soluci´on general es:y(x) = c1eλ1x+ c2eλ2xb) Si b2− 4ac = 0, λ1 = λ2 = −b2a= λ. En ´este caso y1(x) = eλxyy2(x) = xeλxy la soluci´on general es:y(x) = c1eλx+ c2xeλxProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  115. 115. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuaci´on diferencial homog´enea con coeficientes constantesa) Si b2− 4ac > 0, o λ1, λ2 son n´umeros reales y λ1, = λ2. En estecaso y1(x) = eλ1x, y2(x) = eλ2xy la soluci´on general es:y(x) = c1eλ1x+ c2eλ2xb) Si b2− 4ac = 0, λ1 = λ2 = −b2a= λ. En ´este caso y1(x) = eλxyy2(x) = xeλxy la soluci´on general es:y(x) = c1eλx+ c2xeλxc) Si b2− 4ac < 0, λ1 = a + bi y λ2 = a − bi. En ´este caso y1(x) =eaxcos(bx); y2(x) = eaxsin(bx) y la soluci´on general es:y(x) = c1eaxcos(bx) + c2 sin(bx)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  116. 116. Vibraciones en sistemas mec´anicosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  117. 117. Vibraciones en sistemas mec´anicos¿Cuando se producen vibraciones?Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  118. 118. Vibraciones en sistemas mec´anicos¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  119. 119. Vibraciones en sistemas mec´anicos¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:d2xdt2+ P(t)dxdt+ Q(t)x = R(t)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  120. 120. Vibraciones en sistemas mec´anicos¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:d2xdt2+ P(t)dxdt+ Q(t)x = R(t)Tipo 1: Vibraciones arm´onicas no amortiguadas.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  121. 121. Vibraciones en sistemas mec´anicos¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema f´ısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendr´an que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:d2xdt2+ P(t)dxdt+ Q(t)x = R(t)Tipo 1: Vibraciones arm´onicas no amortiguadas.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  122. 122. Vibraciones en sistemas mec´anicosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  123. 123. Vibraciones en sistemas mec´anicosLa carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de larigid´ez del resorte.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  124. 124. Vibraciones en sistemas mec´anicosLa carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de larigid´ez del resorte.Segunda Ley De Newton:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  125. 125. Vibraciones en sistemas mec´anicosLa carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de larigid´ez del resorte.Segunda Ley De Newton:FR = -kx = ma = md2xdt2Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  126. 126. Vibraciones en sistemas mec´anicosLa carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-raci´on FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de larigid´ez del resorte.Segunda Ley De Newton:FR = -kx = ma = md2xdt2d2xdt2+kmx = 0, o,d2xdt2+ a2x = 0 ; a2=kmProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  127. 127. Vibraciones en sistemas mec´anicosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  128. 128. Vibraciones en sistemas mec´anicosEcuaci´on auxiliar: λ2+km= 0 ⇐⇒ λ = ±kmiProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  129. 129. Vibraciones en sistemas mec´anicosEcuaci´on auxiliar: λ2+km= 0 ⇐⇒ λ = ±kmix1t = coskmt = cos(at)x2t = sinkmt = sin(at)x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at)Soluci´on GeneralProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  130. 130. Vibraciones en sistemas mec´anicosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  131. 131. Vibraciones en sistemas mec´anicosSi la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  132. 132. Vibraciones en sistemas mec´anicosSi la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  133. 133. Vibraciones en sistemas mec´anicosSi la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xoProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  134. 134. Vibraciones en sistemas mec´anicosSi la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox (0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  135. 135. Vibraciones en sistemas mec´anicosSi la carreta se lleva a la posici´on inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x (t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox (0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0La soluci´on particular es:x(t) = xo cos(at)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  136. 136. Vibraciones en sistemas mec´anicosProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  137. 137. Vibraciones en sistemas mec´anicosaT = 2π ; T =2πa=2πkm= 2πmkProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  138. 138. Vibraciones en sistemas mec´anicosaT = 2π ; T =2πa=2πkm= 2πmkTambien f =1T=a2π=12πkmProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  139. 139. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  140. 140. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  141. 141. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  142. 142. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.Luego, la nueva ecuaci´on es:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  143. 143. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.Luego, la nueva ecuaci´on es:md2xdt2= FR + Fa ⇐⇒ md2xdt2+ kx + cdxdt= 0Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  144. 144. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.Luego, la nueva ecuaci´on es:md2xdt2= FR + Fa ⇐⇒ md2xdt2+ kx + cdxdt= 0⇐⇒ md2xdt2+ cdxdt+ kx = 0 ⇐⇒d2xdt2+cmdxdt+kmx = 0Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  145. 145. Tipo 2 : Vibraciones amortiguadasOcurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguaci´on. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.Luego, la nueva ecuaci´on es:md2xdt2= FR + Fa ⇐⇒ md2xdt2+ kx + cdxdt= 0⇐⇒ md2xdt2+ cdxdt+ kx = 0 ⇐⇒d2xdt2+cmdxdt+kmx = 0⇐⇒d2xdt2+ 2bdxdt+ a2x = 0, donde 2b =cm⇐⇒ b =c2my a2=kmProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  146. 146. Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  147. 147. Vibraciones amortiguadasLa ecuaci´on auxiliar: λ2+ 2bλ + a2= 0Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  148. 148. Vibraciones amortiguadasLa ecuaci´on auxiliar: λ2+ 2bλ + a2= 0λ1,2 =−2b ±√4b2 − 4a22=−2b ± 2√b2 − a22= −b ± b2 − a2Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  149. 149. Vibraciones amortiguadasLa ecuaci´on auxiliar: λ2+ 2bλ + a2= 0λ1,2 =−2b ±√4b2 − 4a22=−2b ± 2√b2 − a22= −b ± b2 − a2La naturaleza de las raices dependen del discriminante√b2 − a2. Consid-eremos los siguientes casos:a) Si b2−a2> 0 ⇐⇒ b > a: La fuerza de fricci´on debida a la viscocidades grande en comparaci´on con la rapid´ez del resorte. En este casoλ1, λ2 ∈ R y λ1 = λ2.x1(t) = eλ1t, x2(t) = eλ2t, y, x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2tProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  150. 150. Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  151. 151. Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  152. 152. Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2ty x (t) = c1λ1eλ1t+ c2λ2eλ2tProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  153. 153. Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2ty x (t) = c1λ1eλ1t+ c2λ2eλ2tx(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  154. 154. Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2ty x (t) = c1λ1eλ1t+ c2λ2eλ2tx(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xoc1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  155. 155. Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2ty x (t) = c1λ1eλ1t+ c2λ2eλ2tx(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xoc1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1=λ1xoλ1 − λ2Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  156. 156. Vibraciones amortiguadasComo x(0) = xo y x (0) = v(0) = vo = 0, entonces de:x(t) = c1eλ1t+ c2eλ2ty x (t) = c1λ1eλ1t+ c2λ2eλ2tx(0) = c1 + c2 = xo y x (0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xoc1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1=λ1xoλ1 − λ2c1 = xo − c2 =xo1+λ1xoλ1 − λ2=λ1xo − λ2xo + λ1xoλ1 − λ2=−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  157. 157. Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  158. 158. Vibraciones amortiguadasReemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:x(t) =−λ2xoλ1 − λ2eλ1t+λ1xoλ1 − λ2eλ2tProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  159. 159. Vibraciones amortiguadasReemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:x(t) =−λ2xoλ1 − λ2eλ1t+λ1xoλ1 − λ2eλ2tx(t) =xoλ1 − λ2λ1eλ2t− λ2eλ1t, λ1 = λ2Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  160. 160. Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  161. 161. Vibraciones amortiguadasb) Si b2− a2= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e−at+ c2te−atProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  162. 162. Vibraciones amortiguadasb) Si b2− a2= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e−at+ c2te−atx (t) = −ac1e−at+ c2e−at− ac2te−at= −ac1e−at+ c2e−at(1 − at)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  163. 163. Vibraciones amortiguadasb) Si b2− a2= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e−at+ c2te−atx (t) = −ac1e−at+ c2e−at− ac2te−at= −ac1e−at+ c2e−at(1 − at)Aplicando las condiciones iniciales:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  164. 164. Vibraciones amortiguadasb) Si b2− a2= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e−at+ c2te−atx (t) = −ac1e−at+ c2e−at− ac2te−at= −ac1e−at+ c2e−at(1 − at)Aplicando las condiciones iniciales:x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xoProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  165. 165. Vibraciones amortiguadasb) Si b2− a2= 0 ⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e−at+ c2te−atx (t) = −ac1e−at+ c2e−at− ac2te−at= −ac1e−at+ c2e−at(1 − at)Aplicando las condiciones iniciales:x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xox (0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axoProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  166. 166. Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  167. 167. Vibraciones amortiguadasx(t) = xoe−at+ axote−at= xoe−at[1 + at]Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  168. 168. Vibraciones amortiguadasx(t) = xoe−at+ axote−at= xoe−at[1 + at]c) Si b2− a2< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento esvibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  169. 169. Vibraciones amortiguadasx(t) = xoe−at+ axote−at= xoe−at[1 + at]c) Si b2− a2< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento esvibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  170. 170. Vibraciones amortiguadasx(t) = xoe−at+ axote−at= xoe−at[1 + at]c) Si b2− a2< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento esvibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2x1(t) = e−btcos(αt), x2(t) = e−btsin(αt)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  171. 171. Vibraciones amortiguadasx(t) = xoe−at+ axote−at= xoe−at[1 + at]c) Si b2− a2< 0 ⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-dad para cualquier cantidad por peque˜na que sea. El movimiento esvibratorio y decimos que est´a sub-amortiguado.λ1 = −b ± a2 − b2i = −b ± αi, α = a2 − b2x1(t) = e−btcos(αt), x2(t) = e−btsin(αt)x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−btsin(αt)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  172. 172. Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  173. 173. Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  174. 174. Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−btsin(αt) yProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  175. 175. Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−btsin(αt) yx (t) = −bc1e−btcos(αt)−αc1e−btsin(αt)−bc2e−btsin(αt)+αc2e−btcos(αt)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  176. 176. Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−btsin(αt) yx (t) = −bc1e−btcos(αt)−αc1e−btsin(αt)−bc2e−btsin(αt)+αc2e−btcos(αt)x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xoProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  177. 177. Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−btsin(αt) yx (t) = −bc1e−btcos(αt)−αc1e−btsin(αt)−bc2e−btsin(αt)+αc2e−btcos(αt)x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xox (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =bαxoProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  178. 178. Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−btsin(αt) yx (t) = −bc1e−btcos(αt)−αc1e−btsin(αt)−bc2e−btsin(αt)+αc2e−btcos(αt)x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xox (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =bαxoLa soluci´on particular es de la forma:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  179. 179. Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−btsin(αt) yx (t) = −bc1e−btcos(αt)−αc1e−btsin(αt)−bc2e−btsin(αt)+αc2e−btcos(αt)x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xox (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =bαxoLa soluci´on particular es de la forma:x(t) = xoe−btcos(αt) +bαxoe−btsin(αt)Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  180. 180. Vibraciones amortiguadasAplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x (0) = v(0) = vo = 0x(t) = c1e−btcos(αt) + c2e−btsin(αt) yx (t) = −bc1e−btcos(αt)−αc1e−btsin(αt)−bc2e−btsin(αt)+αc2e−btcos(αt)x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xox (0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =bαxoLa soluci´on particular es de la forma:x(t) = xoe−btcos(αt) +bαxoe−btsin(αt)x(t) =xoαe−bt[α cos(αt) + b sin(αt)]Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  181. 181. Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  182. 182. Vibraciones amortiguadasAhora:Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  183. 183. Vibraciones amortiguadasAhora:α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  184. 184. Vibraciones amortiguadasAhora:α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θLa igualdad anterior es cierta si y solo siα = cos θ; sin θ = −b | α2= cos2θ; sin2θ = b2, α2+ b2= 12Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  185. 185. Vibraciones amortiguadasAhora:α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θLa igualdad anterior es cierta si y solo siα = cos θ; sin θ = −b | α2= cos2θ; sin2θ = b2, α2+ b2= 12−bα=sin θcos θ= tan θ | θ = tan−1−bαProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  186. 186. Vibraciones amortiguadasAhora:α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt − θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θLa igualdad anterior es cierta si y solo siα = cos θ; sin θ = −b | α2= cos2θ; sin2θ = b2, α2+ b2= 12−bα=sin θcos θ= tan θ | θ = tan−1−bαx(t) =xoαe−bt[cos(αt − θ)] | x(t) =xo√a2 + b2αe−bt[cos(αt − θ)]x(t) =xo√a2 + b2αe−bt[cos(αt − θ)]x(t) =xo√a2 + b2αe−bt[cos(αt − θ)]Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  187. 187. Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  188. 188. Vibraciones amortiguadasProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  189. 189. Vibraciones amortiguadasComo αT = 2π, T =2πα=2πa2 − b2=2πkm−c24m2, yProf. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  190. 190. Vibraciones amortiguadasComo αT = 2π, T =2πα=2πa2 − b2=2πkm−c24m2, yf =1T=α2π=12πa2 − b2 =12πkm−c24m2Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
  191. 191. Bibliografia• Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modela-do. Editorial Thomson. Sexta Edici´on.• Rainville - Bedien. Ecuaciones Diferenciales. Ed. Prentice Hill. OctaveEdici´on 1998.• R. Kent Nagle, Eduard B. Saff. Fundamentos de Ecuaciones Diferen-ciales. Ed. Addison Wesley. Iberoamericana 1998.• J. E. Trivi˜no M. Ecuaciones Diferenciales. Libro en proceso de edici´on.Prof. Jorge Enrique Trivi˜no - Universidad De La Amazonia E.D.O
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