Ecuaciones Diferenciales - Rainville & Bedient - Octave Edición

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Les comparto un excelente libro de ecuaciones diferenciales de dos grandes autores, se lo recomiendo para el que quiera
aprender un poco mas de las ecuaciones.

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Ecuaciones Diferenciales - Rainville & Bedient - Octave Edición

  1. 1. QA371 R293 1998 RAINVILLE V EARL D. 11111111111111111111111111111111111111111111111111 LB004503 ECUACIONES DIFERENCIALES http://gratislibrospdf.com/
  2. 2. http://gratislibrospdf.com/
  3. 3. Ecuaciones diferenciales OCTAVA EDICIÓN Earl D. Rainville V Late Professor of Mathematics University of Michigan Phillip E. Bedient Professor Emertius of Mathematics Franklin and Marshall College Richard E. Bedient Professor of Mathematics Hamilton College Traducción: Víctor HU~Ibarra Mercado Lic. en Físi y Matemáticas ESFM, Instit to Politécnico Nacional Revisión Técnica: Oscar Alfredo Palmas Velasco Matemático Facultad de Ciencias, UNAM PRBNTICE HALL MÉXICO· NUEVA YORK· BOGOTÁ· LONDRES· MADRID MUNICH • NUEVA DELHI • PARÍS· RÍo DE JANEIRO • SIDNEY SINGAPUR • TOKIO· TORONTO • ZURlCH http://gratislibrospdf.com/
  4. 4. EDICIÓN EN ESPAÑOL: DIRECTOR DE MERCADOTECNIA: GERENTE DIVISIÓN COLLEGE: GERENTE EDITORIAL: EDITOR: DIRECTOR DE EDICIONES: GERENTE DE EDICIONES: GERENTE DE TRADUCCIÓN: GERENTE DE PRODUCCIÓN: SUPERVISOR DE TRADUCCIÓN: SUPERVISORA DE PRODUCCIÓN: MOISÉS PÉREZ ZAVALA JOSÉ TOMÁS PÉREZ BONILLA LUIS CEDEÑO PLASCENCIA PABLO EDUARDO ROIG V ÁZQUEZ ALBERTO SIERRA OCHOA JUAN ANTONIO RODRÍGUEZ MORENO JORGE BONILLA TALAVERA JULIÁN ESCAMILLA LIQUIDANO JOSÉ LUIS NÚÑEz HERREJÓN OLGA ADRIANA sÁNCHEZ NAVARRETE EDICIÓN EN INGLÉS: Acquisitions Editor: George Lobell Editorial Assistant: Gale Epps Editorial Director: Tim Bozik Editor-in-Chief: Jerome Grant Assistant Vice President of Production and Manufacturing: David R. Riccardi EditoriallProduction Supervisor: Robert C. Walters Managing Editor: Linda Mihatov Behrens Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Manufacturing Buyer: Alan Fischer Manufacturing Buyer: Trudy Pisciotti Marketing Manager: John Tweeddale Marketing Assistant: Diana Penha Creative Director: Paula Maylahn Art Manager: Gus Vibal Art Director: Maureen Eide Cover and Interior Designer: Jill Little Cover Photo: Spinning Schaft, by Alejandro and Moira Siña Supplements Editor: Audra Walsh RAINVILLE: ECUACIONES DIFERENCIALES, Octava Edición Traducido del inglés de la obra: ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS, 8a. Ed. AIl rights reserved. Authorized translation from English language edition published by Prentice-Hall, Inc. '------ Todos los derechos reservados. Traducción autorizada de la edición en inglés publicada por Prentice-Hall, Inc. Al! rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the publisher. Prohibida la reoroducción total o oarcial de esta obra, por cualquier medio o método sin autorización por escrito del editor. Derechos reservados © 1998 respecto a la primera edición en español publicada por: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. Calle 4 N9 25-2 9 piso Fracc. Ind. Alce Blanco, Naucalpan de Juárez, Edo. de México, c.P. 53370 ISBN 970-17-0069-4 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg . Núm. 1524. Original English Language Edition Published by Prentice-Hall, Inc . A Simon & Schuster Company Copyright © MCMXCVII Al! rights reserved ISBN 0-13-508011-8 IMPRESO EN MÉXICOIPRINTED IN MEXICO http://gratislibrospdf.com/ • JUL UTOGRAFICA INGRAMEX, SA DE C.V. CENTENO NO. 162-1 MEXICD,OJ. C.P. 09810 • 3000 • 1998
  5. 5. Para Esther, Marie, Betsy Katey Adam http://gratislibrospdf.com/
  6. 6. http://gratislibrospdf.com/
  7. 7. Contenido Prefacio / 1 Definiciones; familias de curvas 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2 1 1 18 Separación de variables / 18 Funciones homogéneas / 24 Ecuaciones con coeficientes homogéneos / 25 Ecuaciones exactas / 29 La ecuación lineal de orden uno / 35 La solución general de una ecuación lineal / 38 Suplemento para computadora / 43 Métodos numéricos / 3.1 3.2 3.3 / Ejemplos de ecuaciones diferenciales / Definiciones / 2 Familias de soluciones / 5 Interpretación geométrica / 10 Las isoc1inas de una ecuación / 12 Un teorema de existencia / 14 Suplemento para computadora / 15 Ecuaciones de orden uno / 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3 Xl1l 45 Observaciones generales / 45 · Método de Euler / 45 Una modificación al método de Euler http://gratislibrospdf.com/ / 48 v
  8. 8. vi Contenido 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 6 Velocidad de escape desde la Tierra / 62 Ley del enfriamiento de Newton / 64 Conversión química simple / 65 Crecimiento logístico y precio de mercancías Suplemento para computadora / 73 / 69 Temas adicionales sobre ecuaciones de orden uno / 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 49 Aplicaciones elementales / 62 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5 Un método de aproximación sucesiva / Una mejora en el método de aproximación sucesiva / 51 Uso del teorema de Taylor / 52 Método de Runge-Kutta / 54 Un método de continuación / 58 Suplemento para computadora / 60 Factores integrantes determinados por inspección / 75 Determinación de factores integrantes / 79 Sustitución sugerida por la ecuación / 83 Ecuación de Bernoulli / 86 Coeficientes lineales en dos variables / 89 Soluciones que involucran integrales no elementales / 94 Suplemento para computadora / 97 Ecuaciones diferenciales lineales / 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 75 99 La ecuación lineal general / 99 Un teorema de existencia y unicidad / 100 Independencia lineal / 102 El Wronskiano / 103 Solución general de una ecuación homogénea / 106 Solución general de una ecuación no homogénea / 107 Operadores diferenciales / 109 Leyes fundamentales de operación / 111 Algunas propiedades de los operadores diferenciales / 113 Suplemento para computadora / 115 http://gratislibrospdf.com/
  9. 9. Contenido vii 7 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes / 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 8 Introducción / 117 La ecuación auxiliar: raíces distintas / 117 La ecuación auxiliar: raíces repetidas / 120 Una definición de exp z para valores complejos de z La ecuación auxiliar: raíces complejas / 125 Una observación acerca de las funciones hiperbólicas Suplemento para computadora / 132 Ecuaciones no homogéneas: coeficientes indeterminados 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 / 134 Construcción de una ecuación homogénea a partir de una solución específica / 134 Solución de una ecuación no homogénea / 137 Método de coeficientes indeterminados / 139 Solución por inspección / 144 Suplemento para computadora / . 150 / 9 Variación de parámetros / 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 10 Introducción / 152 Reducción de orden / 152 Variación de parámetros / 156 Solución de yl! + Y =¡ex) / 161 Suplemento para computadora / Aplicaciones / 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 152 164 165 Vibración de un resorte / 165 Vibraciones no amortiguadas / 167 Resonancia / 169 Vibraciones amortiguadas / 172 El péndulo simple / 177 Leyes de Newton y movimiento planetario / 178 Fuerza central y la segunda ley de Kepler / 179 Primera ley de Kepler / 180 http://gratislibrospdf.com/ 117 / 123 / 127
  10. 10. viii Contenido 10.9 Tercera ley de Kepler / 182 10.10 Suplemento para computadora / 11 Sistemas de ecuaciones lineales / 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12 Introducción / 186 Sistemas de primer orden con coeficientes constantes Solución de un sistema de primer orden / 187 Repaso de álgebra matricial / 189 Revisión de sistemas de primer orden / 195 Valores propios complejos / 204 Valores propios repetidos / 208 · Plano fase / 216 Suplemento para computadora / 222 243 Observaciones preliminares / 243 Un teorema de existencia y unicidad / 243 Condición de Lipschitz / 246 Demostración del teorema de existencia / 250 Demostración del teorema de unicidad / 250 Otros teoremas de existencia / 251 La transformada de Laplace / 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 224 Sistemas no homogéneos / 224 Carrera armamentista / 228 Circuitos eléctricos / 232 Redes sencillas / 235 Existencia y unicidad de soluciones / 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 14 186 Sistemas no homogéneos de ecuaciones / 12.1 12.2 12.3 12.4 13 184 252 El concepto de transformación / 252 Definición de la transformada de Laplace / 253 Transformadas de funciones elementales / 253 Funciones continuas por secciones / 257 Funciones de orden exponencial / 258 Funciones de clase A / 261 http://gratislibrospdf.com/ / 186
  11. 11. Contenido ix 14.7 14.8 14.9 14.10 15 Transformadas inversas 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 , 15.7 15.8 15.9 15.10 16 17 / 274 Definición de una transformada inversa / 274 Fracciones parciales / 277 Problemas de valor inicial / 280 Función escalón / 286 Un teorema de convolución / 294 Ecuaciones integrales especiales / 298 Métodos de transformación y vibración de resortes Deflexión de vigas / 307 Sistemas de ecuaciones .. / 310 Suplemento para computadora / 316 Ecuaciones no lineales / 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 Transformada de derivadas / 263 Derivadas de transformadas / 266 La función gamma / 267 Funciones periódicas / 269 320 Observaciones preliminares / 320 Factorización del miembro izquierdo / 320 Soluciones singulares / 323 Ecuación con discriminante e / 325 La ecuación con discriminante p / 326 Eliminación de la variable dependiente / 328 Ecuación de Clairaut / 330 Ecuaciones sin variable dependiente explícita / 334 Ecuaciones sin variabl~ independiente explícita / 335 La catenaria / 338 Soluciones en series de potencias / 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 303 / 342 Ecuaciones lineales y series de potencias / 342 Convergencia de series de potencias / 343 V Puntos ordinarios y puntos singulares / 345 Validez de las soluciones cerca de un punto ordinario Soluciones cerca de un punto ordinario / 347 Suplemento para computadora / 256 http://gratislibrospdf.com/ / 347
  12. 12. Contenido x 18 Soluciones cerca de puntos singulares regulares / 358 18.1 18.2 18.3 Puntos singulares regulares / 358 Ecuación indicatriz / 360 Forma y validez de soluciones cerca de un punto singular regular / 362 18.4 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre las raíces no es un entero / 363 18.5 Diferenciación de un producto de funciones / 367 18.6 Ecuación indicatriz con raíces iguales / 368 18.7 Ecuación indicatriz con raíces iguales: una alternativa / 374 18.8 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso no logarítmico / 377 18.9 Ecuación indicatriz cuya diferencia entre raíces es un entero positivo: caso logarítmico / 381 18.10 La solución para valores grandes de x / 385 18.11 Relaciones de recurrencia que dependen de varios términos / 388 18.12 Resumen / 392 19 Ecuaciones de tipo hipergeométrico / 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 20 Ecuaciones que se tratarán en este capítulo / 396 Función factorial / 396 Función hipergeométrica / 397 Polinomios de Laguerre / 399 Ecuación de Bessel con índice no entero / 400 Ecuación de Bessel con índice entero / 401 Polinomios de Hermite / 402 Polinomios de Legendre / 403 , Ecuaciones diferenciales parciales / 20.1 20.2 20.3 396 404 Observaciones sobre ecuaciones diferenciales parciales / 404 Algunas ecuaciones diferenciales parciales de matemáticas aplicadas / 404 Método de separación de variables / 406 http://gratislibrospdf.com/
  13. 13. xi Contenido 20.4 20.5 21 Conjuntos de funciones ortogonales / 21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 22 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 24 411 418 425 Ortogonalidad de un conjunto de senos y cosenos / Series de Fourier: un teorema de desarrollo / 427 Ejemplos numéricos de series de Fourier / 431 >Series de Fourier en términos de senos / 438 Series de Fourier en términos de cosenos / 441 Análisis numérico de Fourier / 443 Cómo mejorar la rapidez de convergencia / 444 Suplemento para computadora / 445 Problemas con valores en la frontera 23.1 23.2 / Ortogonalidad / 418 Conjuntos simples de polinomios / 419 Polinomios ortogonales / 419 Ceros (raíces) de polinomios ortogonales / 421 Ortogonalidad de los polinomios de Legendre / 422 Otros conjuntos ortogonales Series de Fourier / 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8 23 Un problema de conducción de calor en una lámina Suplemento para computadora / 416 / 425 447 La ecuación del calor en una dimensión / 447 Verificación experimental de la validez de la ecuación del calor / 453 Temperatura superficial que varía con el tiempo / 455 Conducción del calor en una esfera / 457 La ecuación de onda simple / 458 La ecuación de Laplace en ocho dimensiones / 461 Suplemento para computadora / 464 Propiedades adicionales de la transformada de Laplace / 467 24.1 24.2 Series de potencias y transformadas inversas Función error / 471 http://gratislibrospdf.com/ / 467 /
  14. 14. Contenido xii 24.3 24.4 25 Funciones de Besse1 / 478 Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables Ecuaciones diferenciales parciales: métodos de transformación / 481 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6 Problemas con valores en la frontera / 481 Ecuación de onda / 485 Difusión en un sólido semiinfinito / 488 Variables canónicas / 491 Difusión en una lámina de ancho finito / 493 Difusión en un octante infinito / 496 Respuestas a los ejercicios / Índice / 527 http://gratislibrospdf.com/ 500 / 480
  15. 15. Prefacio Al preparar esta nueva edición de Ecuaciones diferenciales elementales, nos propusimos alcanzar dos objetivos de importancia primordial: primero, mantener el estilo directo que los estudiantes y maestros de las ediciones anteriores han aceptado tan bien. Segundo, como una respuesta a los cambios en la naturaleza de muchos cursos de ecuaciones diferenciales, agregamos material geométrico nuevo, reorganizamos algunas secciones y añadimos un componente computacional al texto. El nuevo material geométrico aparece principalmente en las secciones 1.4 y 11.8. En la primera, introducimos el concepto de una familia de curvas como solución para una ecuación diferencial; en la sección 11.8 presentamos el concepto de plano fase de un sistema de ecuaciones. También, el tratamiento de sistemas de ecuaciones lo veremos con más anticipación en el presente libro. De todas las áreas de las matemáticas que se cubren en un plan de estudios universitario tradicional, el campo de las ecuaciones diferenciales es tal vez sobre el que más influencia tiene el uso de la computadora. Se han producido numerosos programas que están diseñados específicamente para ecuaciones diferenciales o que tienen sub aplicaciones para ese tipo de material. En este libro tomamos la decisión, algo arbitraria, de presentar nuestros ejemplos para computadora utilizando el programa denominado Maple. Pudimos haber elegido igualmente cualquiera de los otros sistemas de álgebra computacional, como Mathematica, Matlah o Derive. Hay también varios programas muy eficaces para trazar gráficas numéricas y los cuales producen resultados geométricos excelentes. Entre los más comúnmente disponibles se encuentran MacMath y Phaser. Cada suplemento para computadora contiene un ejemplo del capítulo correspondiente y está resuelto con ayuda de Maple. Posteriormente, se presenta un conjunto de ejercicios que el estudiante puede resolver por medio de cualquiera de los programas disponibles en el mercado. Nuestro deseo es que estas introducciones, aunque breves, alienten a los lectores a ir más allá del texto y a emprender exploraciones adicionales con la computadora. Queremos expresar asimismo nuestro agradecimiento a los revisores siguientes por sus comentarios al manuscrito de la octava edición: Ebrahim Salchi, University ofNevada-Las Vegas; J. P. Mokanski, University ofGuelph; Thomas G. Berry, University ofManitoba; Giles Wilson Maloof, Boise State University; John H. Ellison, Grove City College; James L. Handley, Montana Tech; Baigiao Deng, Columbus College y Jay Delkin, University of Western Ontario. Phillip. E. Bedient Richard E. Bedient xiii http://gratislibrospdf.com/
  16. 16. http://gratislibrospdf.com/
  17. 17. 11 Definiciones; familias de curvas I 1.1 I ) Ejemplos de ecuaciones diferenciales La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como en la ecuación (3), una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. Nuestra meta es encontrar métodos para resolver tales ecuaciones; esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales: dy = cosx, dx (1) d2y -2 +k2y =0, dx (2) - (x2 + l)dx - 2xydy = O, 2 au = h2 (a u at ax2 d2i Ldt? di dt 2 + a u) , (4) = Eto cos cot; (5) 1 + R- + -i e a-v ay2 a2v -+--0 ay2 ax2 2 (d--2 wy dx - (3) xy- dw dx http://gratislibrospdf.com/ (6) , +w = O, (7) 1
  18. 18. 2 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas d 3x dx +x- - 4xy = 0, dy3 dy 2 dy + 7 (d y )3- dx 2 dx 8y = 0 , (8) (9) (10) af af x - +y- =nf. ax ay (11) Cuando una ecuación involucra a una o más derivadas con respecto a una variable en particular, tal variable es llamada independiente. Una variable es dependiente si aparece una derivada de esa variable. En la ecuación: d 2i L dt 2 di l + R dt + C i = Ewcoswt (5) i es la variable dependiente, t la variable independiente y L, R, e, E y ro son llamados parámetros. La ecuación: a2 v a2 v (6) -+-=0 ax2 ay2 tiene una variable dependiente Vy dos variables independientes. Puesto que la ecuación: (x 2 + i)dx - 2x y dy = O puede ser escrita: o dy x 2 + i - 2xy- = dx (3) ° ¡ dx (x 2 + i) - - 2x y = 0, dy podemos considerar a cualquiera de las variables como la variable dependiente y la otra será la independiente . • Ejercicios ldentitique las variables independientes, las dependientes y los parámetros que existan en las ecuaciones dadas como ejemplos en esta sección. 1 .2 Definiciones El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de orden más alto que aparezca en la ecuación. Por ejemplo, http://gratislibrospdf.com/
  19. 19. 3 1.2 Definiciones (1) es una ecuación de "orden dos". También se le denomina "ecuación de segundo orden". En general, la ecuación: F( x , y,y / , oO . ,y (n)) - O (2) es llamada ecuación diferencial ordinaria de "orden-n". Bajo restricciones adecuadas sobre la función F, en la ecuación (2) podemos despejar explícitamente yen) en términos de las otras n + 1 variables x, y, y', ... , yen-l), para obtener: _ , y (n) - f( x,y,y,oO.,y (n - l)) . (3) Para los propósitos de este libro supondremos que esto siempre es posible. En caso contrario, una ecuación como la (2) se puede representar en la práctica por más de una ecuación de la forma de la ecuación (3) . Por ejemplo, la ecuación: X(y')2 + 4y' - 6x 2 = O puede representarse por dos ecuaciones diferentes, , -2+J4+6x 3 y ,= -----------x o -2-J4+6x 3 y' = -----------x Una función <jJ, definida en un intervalo a < x < b, es llamada solución de la ecuación diferencial (3), a condición de que las n derivadas de la función existan en el intervalo a<x<b y: c/>(n)(x) = f(x, c/>(x), c/>/(x), ... , c/>(n-l)(x)), para toda x en a < x < b. Por ejemplo, verifiquemos que: es una solución de la ecuación: d 2y dy -+-- -6y=0. dx2 dx (4) Sustituimos nuestra solución tentativa en el miembro izquierdo de la ecuación (4) Yencontramos que para todos los valores de x: d 2y dy - + -- - 6y = 4e 2x + 2e 2x - 6e 2x == O, dx2 dx lo cual completa la verificación deseada. http://gratislibrospdf.com/
  20. 20. 4 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas Todas las ecuaciones que consideraremos en el capítulo 2 son de orden uno y, por lo tanto, pueden escribirse: dy dx = ¡(x, y). En tales ecuaciones, a veces es conveniente usar las definiciones de cálculo elemental para escribirlas en la forma: . M(x, y) dx + N(x, y) dy = O. (5) Un concepto muy importante en el estudio de ecuaciones diferenciales es el de linealidad. Una ecuación dife rencial ordinaria de orden n es llamada lineal si puede ser escrita en la forma: . dn y bo(x)dxn dn - ¡y dy + b¡ (x)--¡ + ... + bn- I (x) - x + bn(x) y = d dx n- R(x). Por ejemplo, la ecuación (1) es no lineal, y la ecuación (4) es lineal. La ecuación: x2y" + xy' + (x 2 - n 2)y = 4x 3 también es lineal. La noción de linealidad puede ser aplicada también a ecuaciones diferenciales parciales. Por ejemplo, bo(x, aw y)~ aw + b¡ (x, Y)ay = R(x, y) es la forma general de la ecuación diferencial parci al lineal de primer orden con dos variables independientes, y a2w bo(x, y) ax2 a2w + b l (x, y) axay a2w + b2(x, y) ay2 aw ax + b3 (x, y) - + b4 (x, aw y)ay + bs(x, y)w = R(x , y) es la forma general de la ecuación diferencial parcial Iinéal de segundo orden con dos variables independientes . • Ejercicios Del ejercicio I al 16, establezca si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal , y dé su orden. 1. 2. http://gratislibrospdf.com/
  21. 21. 1.3 Familias de soluciones (x 2 + y2) dx + 2xy dy = O. 4. y' + P(x)y = Q(x) . 5. ylll - 3y' + 2y = O. 3. 6. 7. 8. 9. 10. 1l. 12. yy" = x. a2u a 2u a2u - +-+-=0. ax2 ay2 az 2 d 4y - 4 = w(x) . dx d 2y d 2x x -2 y - = c , . dt dt 2 13. di L - + Ri = E. dt (x + y)dx + (3x 2 -l)dy =O . x(y") 3 + (y' )4 - Y = O . 3 - 3 (d wy -2 (dWy +yw = Ü. dx dx 15 . dy 2 = 1-xy + y . dx y" + 2y' - 8y = x2 16. ada 14. 5 - + cos x. + bdb = O. 17. Verifique si sen kt es una solución para la ecuación del ejercicio ,l . 18. Verifique si e- 2x es una solución para la ecuación del ejercicio 5. 19. Verifique si 3e- 2x 20. La función de Bessel de índice cero está definida por la serie de potencias: + 4e' es una solución para la ecuación del ejercicio 5. 00 Jo(x) = ~ (_1)" x2n (n!) 2221l Verifique si Jo(x) es una solución para la ecuación diferencial: xy" 21. 1 .3 Verifique si para x ejercicio 6. + y' + x y = ü. > O, (2 / -f3)x3/2 es una solución para la ecuación del Familias de soluciones Todo estudiante de cálculo ha invertido una cantidad considerable de tiempo en encontrarle soluciones a las ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma: dy - = f(x). dx (1) Este problema de antiderivada con frecuencia es escrito: y = f f( x )dx +C (2) y al estudiante se le pide encontrar una sola función de x cuya derivada sea idéntica af(x) en algún intervalo. Una vez determinada tal función, se demuestra que cualquier otra función que satisface la ecuación diferencial (1) difiere de la primera función por una constante para toda x en el intervalo. Este importante teorema establece el hecho de que las so- http://gratislibrospdf.com/
  22. 22. 6 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas luciones de la ecuación (1) no ocurren aisladas, sino como un a fam ili a de soluc iones con un parámetro, la ll amada constante arbitraria e de la ecuación (2) . Si consideramos la ecuación diferencial general de primer orden: dy dx = f(x, y), (3) el problema de encontrar las soluciones, esto es; funciones qy(x) que sati sfagan la ecuaci ón cuando se sustituya por la variable dependiente y, en general es más difícil, si no imposible. Sin embargo, como veremos , estas soluciones, c uando ex isten, aparecen como fam ili as de soluciones con un parámetro. En el capítu lo 2 estudi aremos varios métodos para encontrar fam ili as de so luciones de algunos tipos particulares de ecuaciones de primer orden; pero, en general, no ex iste un a fórm ul a universal que resuelva todas las ecuaciones. Por el momento nos conformaremos con ilustrar lo que sucede en algunos ejemplos senci llos . EJEMPLO 1.1 La ecuación diferenci al: dy - dx = 8sen 4x (4) tiene la fam ili a de so luciones: + e, y = -2cos4x (5) un a senci lla antideriv ac ión ha producido este resultado. Si deseamos encontrar un miembro de la familia (5) que sati sfaga la condición adici onal y = 6 cuando x = O, estaremos obli gados a e leg ir e = 8. Ento nces decimos que: y = - 2cos4x +8 es la solución al problema de valor inicial: dy - = 8sen 4x , y = 6, cuando x = O. dx • EJEMPLO 1.2 Del cálculo, aprendimos que la derivada de la Funciónf(x) = ce2.x esj'(x) = 2 ce2.x. Expresado en el lenguaje de ecuaciones diferenciales, decimos que la ec uación diferenc ial: dy - =2y dx http://gratislibrospdf.com/ (6)
  23. 23. 1.3 Familias de soluciones 7 tiene la familia de soluciones: y = ee2x . (7) Si buscamos una solución de la ecuación (6) que satisfaga: dy dx = 2y , y = 4, cuando x = 0, (8) entonces, de la ecuación (7) vemos que e = 4 Y la solución de (8) es: y = 4e 2x . • EJEMPLO 1.3 Considere la ecuación de segundo orden: 2 Y1/ = 12x. (9) Al integrar ambos miembros de esta ecuación con respecto a x se obtiene: y' = 4x 3 + el. (lO) Una segunda integración produce: Y= x 4 + el x + e2· (11) En este ejemplo hay dos constantes arbitrarias, de modo que tenemos una familia de soluciones con dos parámetros. Esto significa que para aislar a un miembro de esta familia necesitamos proporcionar dos partes de información. Por lo común éstas son dadas especificando los valores de y y y '_ para el mismo valor de x. Por ejemplo, suponga que queremos encontrar la solución de (9) que también satisfaga y (O) = 1 Y y'(O) = 2. Sustituyendo x = y y' = 2 en (10) vemos que el = 2, de modo que: ° y = x Por último, sustituyendo x rida es: = 0, y = 4 + 2x + e2. 1, vemos que e2 = 1, de modo que la solución reque- • EJEMPLO 1.4 Considere la familia de curvas con un parámetro: (12) http://gratislibrospdf.com/
  24. 24. 8 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas Una diferenciación de ambos miembros de esta ecuación con respecto ax produce: 2 2dy 3x - 3x - - 6xy = O dx o dy x - 2y dx x cuando x =f- O. (13) De haber iniciado este ejemplo con la ecuación (13) y tratando de encontrar la familia de curvas dadas por la ecuación (12), nos habríamos enfrentado a un problema mucho más desafiante que los de los ejemplos anteriores. Aprenderemos cómo resolver la ecuación (13) en el capítulo 2. Aquísólo indicaremos que el valor x = O crea cierta dificultad tanto para la ecuación diferencial (13) como para su familia de soluciones: obtenida de la ecuación (12). • EJEMPLO 1.5 Considere la familia de círculos: + (y + 1)2 = e2 . (x - 2)2 Una sencilla diferenciación con respecto a x produce: dy 2(x - 2) + 2(y + 1)- = dx (14) O o dy -(x - 2) (15) cuando y =f- -1 . ' Aquí estamos obligados a pensar en la familia de círculos como en dos familias de semicírculos, una familia: dx = y +1 y = -1 + J e2 - (x - 2)2 (16) (x - 2)2 . (1 7) y la otra: y = -1 - J e2 - En la ecuación (16) tenemos una familia de soluciones de la ecuación diferencial para > -1, mientras que en la ecuación (17) tenemos una familia de soluciones de (15) para y < - 1. Para resolver el problema de valor inicial: y dy dx - (x - 2) y +1 ' y = 2, cuando x = - 1, http://gratislibrospdf.com/ (18)
  25. 25. 1.3 Familias de soluciones e: debemos elegir el parámetro e de la ecuación (16), ya que 2 -1 + ~e2 - 9 o e = Por lo tanto, la función: m. > -1. Tenemos 9 2 = y = -1 + J18 - (x - 2)2 (13) a familia chomás ecuación tad tanto es la solución que buscamos. • m. • Resuelva las ecuaciones diferenciales de los ejercicios 1 al 6. 2. • de radio Ejercicios 1. Su gráfica es la de un semicírculo 3. dy -=x3+2x. dx dy 3 dx x dy - = 4cos6x. dx 4. 5. 6. dy dx dy dx dy dx - 4 x 2 - 1 2 x2 +4 3 2 x +x Resuelva los problemas de valor inicial de los ejercicios 7 al 12. 7. dy - = 3ex dx ' 8. ~~ = 4e-3x, 9. dy dx = 4y, 10. dy dx = -5y, 11. - (14) (15) de semi- 12. (16) 13. (17) cial para de (15) (18) y = 6, cuando x = O. y = 2, cuando x = O. Y = 3, cuando x = O. Y = 7, cuando x = O. dy = 4 sen 2x, y dx dy dx = x2 + 3 + e2x, = 2, cuando x = tt /2. y = -1, cuando x = O. Demuestre que la familia de círculos (x + 1)2 + (y - 3)2 = e2 puede ser interpretada como dos familias de soluciones para la ecuación diferencial: dy dx 14. -(x + 1) y - 3 Demuestre que la familia de parábolas y = ax2 puede ser interpretada familias de soluciones para la ecuación diferencial: dy dx 2y x http://gratislibrospdf.com/ como dos
  26. 26. 10 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas después encuentre la solución al problema de valor inicial: dy 2y dx x y = 2, cuando x = - l. ¿Para qué valores de x es válida la solución? También observe que no hay solución de esta ecuación diferencial que satisfagll¡ la condición inicial y = 2 cuando x = O. 1.4 Interpretación geométrica En la sección 1.3 vimos que por lo común una ecuación de primer orden tiene una familia de soluciones. Una técnica útil para entender la naturaleza de estas soluciones es trazar las gráficas de las soluciones representativas de esta familia. EJEMPLO 1.6 Trace la gráfica de varios miembros de la familia de sol uciones para la ecuación: dy -=8sen4x. dx (1) Recuerde de la sección 1.3 que la familia de soluciones es: y = -2cos4x + c. (2) Al trazar la gráfica de las soluciones correspondientes a e = 2, 1, 0, -1 obtenemos la figura 1.1. No es difícil imaginar cómo se verá el resto. • y Figura 1.1 http://gratislibrospdf.com/
  27. 27. 1.4 Interpretación geométrica 11 La familia de curvas solución con un parámetro del ejemplo 1.6 satisface una propiedad importante, a saber: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de la familia de soluciones. Formalizaremos este hecho en la sección 1.6; por ahora sólo afirmamos que esto es verdadero para las soluciones de cualquier ecuación diferencial de primer orden con las restricciones adecuadas. Si especificamos un punto en el plano, por la propiedad mencionada tendremos exactamente una solución que pase por ese punto. La única curva que resulta es la curva solución del problema con valor inicial. Esta es la versión geométrica del proceso descrito en la sección 1.3. Si ampliamos el sentido de estas ideas y las aplicamos en ecuaciones de orden más alto, encontraremos que sólo se puede conservar parte de la interpretación geométrica. EJEMPLO 1.7 Trace la gráfica de varios miembros de la familia de soluciones de la ecuación: d 2y - dx2 = 12x2 (3) Como vimos en la sección 1.3, la familia de soluciones es: y = x 4 + C¡X + C2. (4) Al trazar las gráficas de las soluciones correspondientes a las parejas de constantes c ¡ = 2, c2 = 1; c¡ = 0, c 2 = y c l = 0, c 2 = 1 obtenemos la figura 1.2. Puede apreciarse claramente que estas soluciones no satisfacen la propiedad de unicidad del caso de primer orden. Hayal menos dos soluciones que pasan por los puntos (0, 1) Y por un punto cercano ( - 112, O). Sin embargo, observemos que este par de soluciones no tiene la misma pendiente en su punto de intersección. Esto es, al especificar una solución particular para una ecuación de segundo orden, podríamos especificar tanto el punto por ° y ----~~~~--~----~----~--- x Figura 1.2 http://gratislibrospdf.com/
  28. 28. 12 Capítulo J Definiciones; familias de curvas donde pasa la solución como la pendiente en dicho punto. En este caso, dada esta información, concluimos que hay una solución única. • Entonces, la versión de segundo orden de la propiedad geométrica establecida anteriormente se transforma en: por cada punto en el plano pasa exclusivamente un miembro de la familia de soluciones que tiene una pendiente dada. Esta propiedad será analizada con detalle en el capítulo 6 . • l. 2. 1 .5 Ejercicios Para los ejercicios 1 al6 de la sección 1.3, dibujar una muestra representativa de curvas solución. En los ejercicios 7 al 10 de la sección 1.3, dibujar la gráfica de la solución para el problema de valor inicial. Las isoclinas de una ecuación En la sección 1.4 conocimos algunas propiedades geométricas de las familias de soluciones que habíamos encontrado por los métodos analíticos de la sección 1.3. En esta sección veremos que podemos usar métodos geométricos para encontrar curvas solución. Considere la ecuación de orden uno: dy dx = f(x, y). (1) Podemos pensar en la ecuación (1) como una máquina que asigna a cada punto (a, b) en el dominio def, alguna dirección con pendientef(a, b). Así, podemos hablar del campo de direcciones de la ecuación diferencial. En un senlido real , cualquier solución de la ecuación (1) debe tener una gráfica, la cual presentará en cada punto la dirección que la ecuación (1) requiere. Una manera de visualizar esta idea básica es dibujar una pequeña marca en varios puntos para indicar la dirección asociada con cada uno de esos puntos. Esto puede hacerse un poco sistemáticamente dibujando primero curvas llamadas isoclinas, esto es, curvas en las que la dirección indicada por la ecuación (1) es fija. EJEMPLO 1.8 Considere la ecuación: dy --y. dx - (2) Las isoclinas son líneas rectasf(x, y) = y = c. Para cada valor de c obtenemos una recta en la que, en cada punto, la dirección impuesta por la ecuación diferencial es el número c. Por ejemplo, en cada punto de la recta y = 1, la ecuación (2) determina una dirección con pendiente 1. En la figura 1.3 hemos dibujado varias curvas isoclinas, indicando las direcciones http://gratislibrospdf.com/
  29. 29. 1.5 Las isoclinas de una ecuación a- 13 y • or- la de- ~~~----~~----~~~----~~---------x -----" .•...... ..•.•.. ~-+--~.......>'r_---~~~- -112 e = ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~c=-I ur- roFigura 1.3 i'n asociadas con cada isoclina mediante pequeñas marcas. Si empezamos en cualquier punto en el plano y nos movemos a lo largo de una curva cuya dirección sea siempre la de las marcas de dirección, entonces obtendremos una curva solución. En la figura 1.3 podemos apreciar varias curvas solución. • el di- EJEMPLO 1.9 Use el método de isoclinas para bosquejar algunas de las curvas solución para la ecuación: ión dy = x2 dx (1) n- un las +l Aquí las isoclinas serán los círculos x2 + l = e, con e> O. Cuando e = 1, la isoclina tiene radio 1; para e = 4 el radio es 2. En la figura 1.4 hemos dibujado estas isoclinas, marcando cada una con el indicador de dirección apropiado y, por último, bosquejando varias curvas que representan soluciones para la ecuación (3). • • Ejercicios (2) Para cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes, dibuje varias isoclinas con los indicadores de dirección apropiados y bosqueje varias curvas solución. l. Il- es (3) 2. dy -=2x. dx dy Y x dx 3. 4. dy 2y dx x dy - = y-x. dx - http://gratislibrospdf.com/
  30. 30. 14 Capítulo J Definiciones; familias de curvas y ----~----~~~--r-~~~----_+----x Figura 1.4 5. dy -- =y-x dx dy --=x-y-l. dx 9. dy -dx x 7. 1.61 8. 6. I dy --=x+y+l. dx dy -- = 2x - y. dx 10. dy -dx -x 2 y y Un teorema de existencia Debe ser claro, aún para el lector casual, que dibujar isoclinas no es una herramienta práctica para encontrar soluciones a cualquier ecuación diferencial distinta de aquellas que involucren las funciones más simples. Antes de estudiar algunas de las técnicas analíticas para determinar soluciones, estableceremos un teorema importante en lo que concierne a la existencia y unicidad de tales soluciones. En el capítulo 13 estudiaremos con detalle dicho teorema. Considere la ecuación de orden uno: dy dx = f(x, Sea T la región rectangular (1) y). definida por: Ix -xol::: a y Iy - yol :::b, una región con el punto (xo' Yo) en su centro. Suponga quef nuas de x y y en T. http://gratislibrospdf.com/ y af/ay son funciones conti-
  31. 31. 1.7 Suplemento para computadora 15 Bajo las condiciones impuestas sobref(x, y) anteriormente, existe un intervalo alrededor de x o' Ix - xol ::; h, Y una función y(x) que tiene las propiedades: = y (x) es una solución de la ecuación (1) en el intervalo Ix - (a) y (b) En el intervalo Ix - xo l <: h, y (x) satisface la desigualdad xo l ::; h. Iy(x) - yol ::; b. (c) (d) En x = x o' y = y(xo) = Yo' y (x) es única en el intervalo Ix - xo l ::; h en el sentido de que es la única función que tiene todas las propiedades (a), (b) y (e). El intervalo Ix - xol ::; h puede o no ser más pequeño que el intervalo Ix - xol ::; a en el cual se impusieron las condiciones sobref(x, y). En un lenguaje aproximado, el teorema establece que sif(x, y) "se comporta bien" cerca del punto (x o' Yo)' entonces la ecuación diferencial: dy dx = f(x , y ) (1) tiene una solución que pasa por el punto (xo' Yo) y esa solución es única cerca de (x o' Yo)' En el ejemplo 1.8 de la sección 1.5 podemos considerar a (xo' Yo) como cualquier punto en el plano, ya quef(x, y) = y y su derivada parcial af/ay = 1 son continuas en cualquier rectángulo. Por 10 tanto, nuestro teorema de existencia nos asegura que para cualquier punto (xo' Yo) existe exactamente una solución, situación que supusimos cuando bosquejamos las curvas solución en la figura 1.3. Volvamos al ejemplo 1.9 de la sección 1.5, donde la funciónf(x, y) =X2 + y2 Y su derivada parcial af/ay = 2y son continuas en cualquier rectángulo. De ahí se deduce que para cualquier punto (xo' Yo) en el plano existe exactamente una curva solución, un hecho que está sugerido por las curvas solución en la figura 1.4. 1 .7 Suplemento para computadora En la sección 1.5 estudiamos cómo dibujar el campo de pendientes para la ecuación diferencial: dy - dx = f(x, y). (1) El método utilizado consistió en encontrar un conjunto de isoclinas haciendof(x, y) = e para diferentes valores del parámetro e. Luego se trazaron las curvas y se agregaron los indicadores de dirección de las pendientes. Esta técnica está limitada sólo por nuestra habi lidad para trazar la gráfica de las ecuacionesf(x, y) = c. Los ejemplos y ejercicios han sido seleccionados con cuidado para hacer posible 10 anterior. http://gratislibrospdf.com/
  32. 32. 16 Capítulo 1 Definiciones; familias de curvas ! ~ /~ j~i/~/~/~/~ iii ~~ /~ / / III I / / / 1//// II / / / / . . - ///---/ I //..-----..--/ /1 ---- / / / 1 ..--///// / / / / I / / / / I / / ¡¡¡¡ ji Figura 1.5 Un enfoque más directo se da al considerar un conjunto de puntos {Xi} sobre el eje X y un conjunto de puntos {Yj } sobre el eje y. Esto da lugar a una cuadrícula de puntos {(Xi' y)} en el, plano xy. Después cada una de estas parejas puede ser sustituida en (1) para determinar la pendiente en ese punto, dibujando luego la dirección apropiada de la pendiente. La cantidad de trabajo necesario para producir un solo indicador de pendiente no es mucho, pero encontrar indicadores de pendiente para una cuadrícula de 10 por 10 constituye una tarea considerable. Una vez que el campo de pendientes haya sido dibujado deberemos bosquejar varias curvas solución que sean representativas. La facilidad con que podamos hacerlo estará en ' proporción directa con el número y densidad de los indicadores de pendiente que dibujemos. Esta clase de cálculos repetitivos es muy adecuada para implementarla en computadora. Programas como MacMath (Macintosh) y Phaser (DOS) están diseñados específicamente para realizar un proceso de este tipo, y programas más generales como Maple, Mathematica y Matlab tienen comandos para dibujar campos de pendientes y curvas solución. Por ejemplo, en la sección 1.5 dibujamos un campo de pendientes para la ecuación: dy dx -=x 2 +y 2 (2) usando el método de las isoclinas. Podemos lograr el mismo objetivo con el programa Maple , donde el comando: > DEplotl ( diff(y(x) ,x)=x A 2+y A 2 , y(x), x=-2 . . 2, y=-2 .. 2 ); producirá la figura 1.5. Para trazar las curvas solución agregamos selectivamente varios puntos a partir de los cuales podamos eTi;pezar. El comando: > DEplotl (diff(y(x) ,x)=x A 2 +y A 2 , y(x) , x=-2 .. 2 , {[O,2],[O,O],[O,1]L y=-2 .. 2 ); produce la figura 1.6. http://gratislibrospdf.com/
  33. 33. 1.7 Suplemento para computadora I I I I I I / / / / I I I I I / I I I / I I I I I I / / / / / / / / ,/ ,/ / ,/ ---- ,/ ,/ / / I I / / I / I I --- I I ,/ ,/ / I / ,/ / / / / / / / / I I / / / I I I I I I I I I / / /- / / ,/ ,/ / / / / ,/ ~,/ 17 / I / / / I / I I I I I / / / / / / / / / I I I I I I I I I I I Figura 1.6 y un fnel, ¡lfrla • 1. tidad 2. 3. Ejercicios En los ejercicios 1 a 10 de la sección 1.5, utilice el programa de computación de su preferencia para trazar los campos de pendientes y las curvas solución representativas. Considere el problema de dibujar isoclinas para la ecuación dyldx = y sen(y + x). Éste es un problema muy difícil. Luego utilice la computadora para dibujar el campo de pendientes y las curvas solución representativas. ¿Qué puede decir acerca de las curvas dibujadas en el ejercicio 2 cuando x ~ 00 y cuando x ~ -oo? ¿Sus respuestas dependen de las condiciones iniciales? (2) ama e los http://gratislibrospdf.com/
  34. 34. Ecuaciones de orden uno 2.1 2 11 Separación de variables En este capítulo estudiaremos varios métodos elementales para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Empecemos con una ecuación de la forma: Mdx+ Ndy = 0, donde M YN pueden ser funciones de x y y. Algunas ecuaciones de este tipo son tan sencillas que pueden ser puestas en la forma: A(x) dx + B(y) dy = O; (1) esto es, las variables pueden separarse. En este caso, una solución puede ser escrita casi de inmediato. Para ello sólo tenemos que encontrar una función F cuya diferencial total sea el miembro izquierdo de (1). Por lo tanto, F = e, donde e es una constante arbitraria, es el resultado deseado. EJEMPLO 2.1 Resuelva la ecuación dy 2y dx x para x > O Y Y > O. (2) Advertimos que para la función de la ecuación (2) es aplicable el teorema de la sección 1.6, lo que asegura la existencia de una solución continua única que pasa por cada punto en el primer cuadrante. Separando las variables podemos escribir: dy 2dx y x De aquí obtenemos una familia de soluciones: Inlyl=2Inlxl+c (3) o, ya que estamos en el primer cuadrante, (4) 18 http://gratislibrospdf.com/
  35. 35. 2.1 Separación de variables Ahora, si ponemos el 19 =é, podemos escribir: y=e¡x 2 , (5) c»O. • EJEMPLO 2.2 Resuelva la ecuación (2) del ejemplo 2.1 para x 4= O. Aquí el argumento debe ser hecho en dos partes. Primero, si y 4= 0, podemos proceder como antes en la ecuación (3). Sin embargo, la ecuación (5) debe ser escrita como: Iyl = c)x 2 , e) > O. ° (6) Segundo, si y = 0, de inmediato vemos que como x 4= 0, Y = es una solución válida para la ecuación diferencial (2). Por convención, las soluciones encontradas mediante la ecuación (6) se escriben generalmente como: Y= 2 (7) e2 X , donde e 2 es un número real arbitrario. Esta forma de expresar las soluciones incluye el caso especial y = O. Varias curvas solución representativas son mostradas en la figura 2.3. Sin embargo, debemos ser cautelosos. La función definida por: g(x)=x 2 , x>O x:::: 0, y representada con una línea más oscura en la figura 2.1, obtenida al juntar dos arcos parabólicos diferentes, también podría ser considerada solución de la ecuación diferencial, auny --------------~~~~~-------------- x Figura 2.1 http://gratislibrospdf.com/
  36. 36. 20 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno que dicha función no esté incluida en la familia de la ecuación (7). El enunciado de unicidad en el teorema de la sección 1.6 nos indica que, en tanto restrinjamos nuestra atención a un punto (xo' Y~ con X o =1= O, Y considerando un rectángulo con centro en (xo' Yo) que no contenga puntos en los que x = O, entonces en ese rectángulo existe una solución única que pasa por (xo' Yo) y es continua dentro del rectángulo. • EJEMPLO 2.3 Resuelva la ecuación: (8) con la "condición inicial" de que cuando x = O, Y = -1. Si escribimos esta ecuación en la forma: dy dx -(1 + y2) 1 + x2 ' observamos que el miembro derecho y su derivada parcial con respecto a y son continuas cerca de (O, -1). Deducimos entonces que existe una solución única para la ecuación (8) que pasa por el punto (O, -1). De la ecuación diferencial obtenemos: ~+~-O , 1 + x2 1 + y2 de la cual se concluye inmediatamente que: arctan x + arctan y = c. (9) En el conjunto de soluciones (9), cada "arctan" representa el valor principal de la inversa de la tang·e nte y está sujeta a la restricción: 1 1 -2 7l" < arctan x < 27l" · La condición inicial de que y = -} cuando x = O nos permite determinar el valor de e que debe ser usado para obtener la solución particular deseada. Ya que arctan O = O Y arctan( -1) = 7T, la solución al problema de valor inicial es: t arctan x + arctan y = - i 7l". (10) Ahora suponga que deseamos bosquejar la gráfica de (10). Mediante un recurso de trigonometría, tomamos la tangente de cada lado de (10). Como: =x tan(arctan x) y tan (A + B) = tanA+tanB ----1 - tan A tan B http://gratislibrospdf.com/
  37. 37. 2.1 Separación de variables 21 obtenemos la ecuación: x + y - -- = - 1, 1 - xy o xy - x - y - 1 = O. (11) Ahora (11) es la ecuación de una hipérbola equilátera con asíntotas x = 1 YY = l. Pero si regresamos a (10), vemos de: arctan x = - ~ 7r que, como ( - arctan y) - arctan y < ! 7T, arctan x < ~7r. Concluimos que x < 1, Y que la ecuación (10) sólo representa una rama de la hipérbola (11). En la figura 2.2, la curva trazada con una línea continua es la gráfica de la ecuación (10); dicha curva junto con la trazada en línea discontinua forman la gráfica de la ecuación (l1). Cada rama de la hipérbola (11) representa una solución de la ecuación diferencial; una rama para x < 1 Y la otra para x > 1. En este ejemplo nos vimos forzados a circunscribirnos a la rama izquierda, ecuación (10), por la condición inicial de que y = - 1 cuando x = O. Puede advertirse una distinción entre las ecuaciones (10) y (11) observando que una computadora, dada la ecuación diferencial (8) y buscando una solución que pase por el punto (O, -1), estaría condicionada a prolongar la rama izquierda de la curva en la figura 2.2. La barrera (asíntota) en x = 1 impediría a la computadora detectar la existencia de la otra rama de la hipérbola (11). • y I ... _ _ I _ _ _ L __ _ _______ _ I o -----~~-+_-~------x Figura 2.2 http://gratislibrospdf.com/
  38. 38. 22 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno EJEMPLO 2.4 Resuelva el problema de valor inicial: ° 2x(y + l)dx - ydy = 0, (12) donde x = y y = - 2. Al separar las variables en la ecuación (12), obtenemos: (1 -_1_) 2xdx = y+1 dy, y:j:.-l. Una vez integrado conseguimos una familia de soluciones dada implícitamente por: x2 = y - In Iy + 11 + c. (13) Ya que buscamos un rruembro de esta farrulia que pase por el punto (0, - 2), debemos tener: ° = -2 - In I - 11 + c, o c = 2. Así, la solución al problema está dada implícitamente por: x2 = y -In Iy + 11 + 2. Debe usted observar cómo se aplica el teorema de la sección 1.6 a este problema para indicar que hemos encontrado implícitamente la solución única al problema de valor inicial, solución que es continua para y < -l. Podemos apreciar una muestra representativa de curvas solución en la figura 2.3, donde la solución particular fue trazada con una línea más oscura. Observe que algunas de estas curvas no son gráficas de funciones y deben dividirse en arcos separados en el punto donde crucen a la recta y = 0, como se hizo en el ejemplo 2.2. y ----~~_+------+-----_+--~----- x Figura 2.3 http://gratislibrospdf.com/ •
  39. 39. 2.1 Separación de variables • 23 Ejercicios En los ejercicios 1 al6 obtenga la solución particular que satisfaga la condición inicial dada. En cada ejercicio interprete su respuesta a la luz del teorema de existencia de la sección 1.6 y dibuje una gráfica de la solución. -- = -4rt; cuando t = O, r = ro . 2xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. xyy' = 1 + y2; cuando x = 2, Y = 3. 2ydx = 3xdy; cuando x = 2, Y = 1. 2y dx = 3x dy; cuando x = - 2, Y = l. 2ydx = 3x dy; cuando x = 2, Y = -1. 1. dr/dt 2. 3. 4. 5. 6. En los ejercicios 7 al 10 obtenga la solución particular que satisfaga la condición inicial dada. = X exp (y - X2); cuandox = O, Y = O. 7. y' 8. xy2 dx + eX dy = O; .cuando x --+ 00, y --+ (2a 2 - r 2) dr = r 3sene de; cuando e = O, r 9. 10. v(dv/dx) = g; cuando x 4. = a. = xo, v = Vo· En los ejercicios 11 al 37 obtenga la solución general. 11. (1 - X)y' = y2. 24. 12. sen x seny dx+cos x cos y dy = O. x2 13. xy3 dx + e dy = O. 14. 2ydx = 3xdy . 15. 16. mydx = nxdy. y' = xy2. 17. 18. dV/dP = -V/P. ye 2x dx = (4 + e 2x ) dy. 19. dr = b(cose dr + rsene de). 20. xy dx - (x + 2) dy = O. 2l. x 2 dx + y(x -l)dy = O. 22. X cos 2 y dx + tan y dy = O. 23. xy3 dx + (y + l)e- X dy = O. 37. (xy +x)dx = (x2y2 +x2 + y2 25. 26. 27. 28. 29. 30. 3l. 32. 33. 34. 35. 36. + l)dy. http://gratislibrospdf.com/ = x2. = eY. tan 2 ydy = sen 3 x dx. y' = cos 2 X cos y. y' = Y secx. dx = t(1 + t 2) sec 2 x dt. (e 2x + 4)y' = y. (1 - y)y' x2yy' a df3+f3 da+af3(3 da+d(3) = O. O+lnx)dx+(1+1ny)dy =0. x dx - J a 2 - x2 dy = O. xdx + Ja 2 - x 2 dy = O. a 2 dx = xJx 2 - a 2 dy . ylnxlnydx + dy = O.
  40. 40. 24 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno 2.2 Funciones homogéneas Los polinomios en los que todos los términos son del mi smo grado, como: x 2 -3x y +4l , x3 + i, 4 x y (1) + 7i, son llamados homogéneos. Ahora deseamos ampli ar el concepto de homogeneidad y aplicarlo a otras funciones más que a polinomios. Si asignamos una dimensión física, digamos una longitud, a cada variable x y y en los polinomios dados en (1), entonces cada po linomio tendrá también una dimensión fís ica, un a longitud a :!lguna potencia. Esto sugiere la generalización deseada. Si, cuando ciertas variables son conceptualizadas como longitudes, una función tiene la dimensión física longitud elevada a la k-ésima potencia, entonces decimos que la función es homogénea de grado k en esas variables. Por ejemplo, la función: (Y) -x- + 3y f(x, y )=2i exp x X4 (2) es de dimensión (longitud)3 cuando x y Y son longitudes. Por lo tanto, se dice que esa función es homogénea de grado 3 en x y y . Permitimos que el grado k sea cualquier número. La función -V x +4 Y es llamada homogénea de grado en x y y. La función: t x es homogénea de grado cero en x y y. Una definición formal de homogeneidad es: lafunciónf(x, y) es homogénea de grado k en x y Y si, y sólo si, f(h , Ay ) = Ak f(x , y ). (3) Puede extenderse fácilmente el sentido de esta definición y aplicarse a funciones de más de dos variables. Para la funciónf(x, y) de la ecuación (2), la definición formal de homogeneidad nos lleva a considerar: Pero vemos de inmediato que: fCh , Ay) = A3 f(x, y); en consecuencia f( x, y) es homogénea de grado 3 en x y y, como se estableció antes. Los teoremas siguientes demostrarán su utilidad en la próxima sección. http://gratislibrospdf.com/
  41. 41. 2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos Teorema 2.1 Si M(x, y) y Nix, y) son homogéneas génea de grado cero. ydel mismo grado, lafunciónM(x, 25 y)lN(x, y) es homo- La demostración del teorema 2.1 se deja al estudiante. (1) Teorema 2.2 Si f( x, y) es homogénea de grado cero en x y y, entonces f( y) es solamente unafunción de x/y. Demostración. Supongamos que y = vx. El teorema 2.2 establece que sif(x, y) es homogénea de grado cero, entonces f(x, y) será sólo una función de v. Ahora.: y apli- los física, ciertas calongrado X, f(x, en y) = f(x, vx) = xo fO, v) = f(1, ue esa l. 4x2 - 3xy + y2. 1l. x2 + 3xy x -2y 2. x3_xy+y3. 2y+Jx2+y2. 12. 4. rx=y. 13. 5. radok eX. 14. (u2 _ 4v2)-1/2. 6. tanx. 15. ltan- (3) os lle- 16. 3y 8. 9. x2 + 2y2· (u2 + v2)3/2. X (x2 _ y2) 1/2 . a +4b tan-o (x2 x5 y (x2+y2)1/2 7. exp (~). ásde • Determine en cada ejercicio si la función es o no homogénea. Si es homogénea establezca el grado de la función. 3. horno- (4) en la que la x está desempeñando el papel tomado por A. en la definición (3). Por (4), f(x, y) sólo depende de v, como se establece en el teorema 2.2. • Ejercicios (2) v), 17. --- x + y2) exp (2;) y x x y 10. x sen - - y sen -. + 4xy. a -4b x 18. In-. y 19. x Inx - 20. In y. x Inx - x Iny. y 12.3 1 Ecuaciones con coeficientes homogéneos Suponga que los coeficientes M y N en la ecuación de orden uno, M(x, y) dx + N(x, http://gratislibrospdf.com/ y) dy = O, (1)
  42. 42. 26 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno son ambas funciones homogéneas y del mismo grado en x y y. Por los teoremas 2.1 y 2.2 de la sección 2.2, el cociente M/N sólo es una función de y Ix. De aquí que la ecuación (1) pueda expresarse en la forma: dy dx + g ( ~) x = O. (2) Esto sugiere la introducción de una nueva variable v haciendo y = vx. Entonces (2) se transforma en: dv xdx + v + g(v) = (3) 0, donde las variables son separables. Podemos obtener la solución de (3) por el método de la sección 2.1, introduciendo y Ix por v, y llegar así a la solución de (l). De esta manera demostramos que la sustitución y = vx transformará la ecuación (1) en una ecuación en v y x donde las variables son separables. El método anterior habría sido igualmente útil si se usara x = vy para obtener, a partir de (1), una ecuación en y y v. Véase el ejemplo 2.6. . EJEMPLO 2.5 Resuelva la ecuación: (x 2 - xy + l) dx - xy dy = O. (4) Ya que los coeficientes en (4) son homogéneos y de grado dos en x y y, hacemos y = vx. Entonces (4) se transforma en: (x 2 - x 2v + x 2 v 2 ) dx - x 2 v(v dx + x dv) = 0, de la cual el factor x? será eliminado de inmediato. Hecho eso, tenemos que resolver: (1- v + v 2 )dx - v(vdx + xdv) = 0, o (l-v)dx-xvdv=O. Por lo que separamos las variables para obtener: dx x + vdv = O. v-I Entonces de: dx 1 -x + [ 1+--] v- 1 http://gratislibrospdf.com/ dv=O
  43. 43. 2.3 Ecuaciones con coeficientes homogéneos 27 una familia de soluciones será: In Ixl + v + In Iv - 11 = In lel, o x(v - 1)e v = e. En términos de las variables originales, estas soluciones están dadas por: x (~ - 1) exp (~) = e, o (y - x) exp (~) = c. • EJEMPLO 2.6 Resuelva la ecuación xydx + (x 2 + l)dy = O. (5) donde los coeficientes son de nuevo homogéneos y de grado dos. Podríamos usar y = vx, pero la simplicidad relativa del término dx en (5) sugiere que hagamos x = vy. Entonces dx = v dy + y dv, y la ecuación (5) es remplazada por: vl(v dy + Y dv) + (v 2l + y2) dy = 0, ·0 v(v dy + Y dv) + (v 2 + 1) dy = O. De aquí que necesitemos resolver: vy dv + (2v 2 + 1) dy = 0, lo cual nos conduce de inmediato a: In (2v 2 + 1) +4lnlyl = lne, o y2v 2 + 1) = c. Así, las soluciones deseadas están dadas por: http://gratislibrospdf.com/ (6)
  44. 44. 28 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno esto es, (7) Ya que el miembro izquierdo de la ecuación (7) no puede ser negativo, podemos, por simetría, cambiar la constante arbitraria a e 14 , escribiendo: Es útil, principalmente para el estudiante, resolver la ecuación (5) usando y método conduce directamente a la ecuación: (v 3 + 2v) dx + x(v 2 + 1) dv = = vx. Ese O. En las ecuaciones con coeficientes homogéneos, a menudo es por completo irrelevante si se utiliza y = vx o x = vy. Sin embargo, algunas veces es más fácil sustituir la variable cuya diferencial tenga el coeficiente más sencillo. • • Ejercicios En los ejercicios 1 al 21 obtenga una familia de soluciones. '- 13. + y2) dx - 2xy dy = O. (x - 2y)dx + (2x + y)dy = O. 2(2x 2 + y2) dx - xy dy = O. xy dx - (x 2 + 3y2) dy = O. x2y' = 4x2 + 7xy + 2y 2. 3xy dx + (x 2 + y2) dy = O. (x - y)(4x + y)dx +x(5x - y)dy = O. (5v - u)du + (3v -7u)dv = O. (x 2 + 2xy - 4y2) dx - (x 2 - 8xy - 4l) dy = o. x(x 2 + y2)2(y dx - x dy) + y6 dy = O. (x 2 + y2) dx + xy dy = O. xydx - (x + 2y)2dy = O. v 2 dx +x(x + v)dv = O. 14. [x csc (ylx) - y]dx +xdy 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. lI. 12. 3(3x 2 + sen 15. x dx 16. 18. [x y 2 dy 19. t(s2 = O. = O. (x - ylny l7 . 2 (ylx)[y dx - x dy] + ylnx)dx +x(1ny -ln x)dy = O. y arctan (y Ix)) dx + x arctan (y Ix) dy = O. = x(xdy + - ydx)e x / y • t 2) ds - s(s2 - t 2) dt = O. http://gratislibrospdf.com/
  45. 45. 2.4 Ecuaciones exactas 20. 21. 22. 29 ydx=(x+Jy2-x 2)dy. (3x 2 - 2xy + 3y2) dx = 4xy dy. Demuestre que con ayuda de la sustitución y = vx, puede resolverse cualquier ecuación de la forma y" f(x) dx + H(x, y)(y dx - x dy) = O, donde H (x, y) es homogénea en x y y. En los ejercicios 23 al 35 encuentre la solución particular indicada. 25. + (3x + y)dy = O; cuando x = 3, Y = -2. (y - Jx 2 + y2)dx - xdy = O; cuando x = O, y = l. (y + Jx2 + y2) dx - x d y = O; cuando x = .)3, y = l. 26. [x cos 2 (y/x) - y] dx 27. + 7xy + + (x 2 + 3xy + 4 y2) dy = O; cuando x = 2, y = l. xy dx + 2(x 2 + 2y2) d y = O; cuando x = O, Y = l. y(2x 2 - xy + y2) dx - x2(2x - y) dy = O; cuando x = 1, 23. 24. 28. 29. 30. 3l. 32. 33. 34. 35. 36. (x - y)dx (y2 + x dy = O; cuando x = 1, y = 71:/ 4. 16x2) dx + x2 dy = O; cuando x = 1, y = 1. y2 d x y = ~. y(9x - 2y)dx - x(6x - y)dy = O; cuando x = 1, y = 1. y(x 2 + y2) dx + x(3x 2 - 5y2) d y = O; cuando x = 2, y = l. (16x + 5y) dx + (3x + y)dy = O; la curva pasa por el punto (1, -3). v(3x + 2v) dx - x 2dv = O; cuando x = 1, v = 2. (3x2 - 2y2) YI = 2xy; cuando x = O, y = -1 . De los teoremas 2.1 y 2.2 de la sección 2.2, se deduce que si F es homogénea de grado k en x y y, F puede ser escrita en la forma : (A) Utilice la ecuación (A) para demostrar el teorema de Euler: si F es una función homogénea de grado k en x y y, entonces: aF aF ax ay x-+y-=kF. 2.4 Ecuaciones exactas En la sección 2.1 se hizo notar que cuando una ecuación puede ser puesta en la forma: A(x) dx + B( y) d y http://gratislibrospdf.com/ = O,
  46. 46. 30 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno siempre será posible determinarle un conjunto de soluciones por medio de integración, esto es, encontrando una función cuya diferencial sea A (x) dx + B (y) dy. Esa idea puede ampliarse y ser aplicada en algunas ecuaciones de la forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1) en las que la separación de variables no es posible. Suponga que se puede encontrar una función F(x, y) en la que su diferencial tenga la expresión M dx + N dy; esto es, dF = M dx + N dy. (2) Entonces, naturalmente, F(x, y) = c (3) defina de manera implícita un conjunto de soluciones para la ecuación (1). De (3) se deduce que: dF=O, o, en vista de (2), Mdx+ Ndy = 0, como se deseaba. En este punto son necesarias dos cosas: (1) encontrar bajo qué condiciones impuestas a M y N tiene lugar una función F tal que su diferencial total sea exactamente M dx + N dy; Y (2), si dichas condiciones son satisfechas, determinar realmente la función F. Si existe una función F tal que: Mdx +Ndy sea precisamente la diferencial total de F, decimos que la ecuación (1) es una ecuación exacta. Si la ecuación: Mdx+Ndy=O (1) es exacta, entonces, por definición, existirá una F donde: dF= Mdx + Ndy. Pero, por razones de cálculo, se tiene: aF ax dF = -dx aF + -dy, ay de modo que: aF ax' M=- http://gratislibrospdf.com/ aF ay N=-.
  47. 47. 2.4 Ecuaciones exactas 31 Estas dos ecuaciones nos conducen a: aM ay Y, de nuevo por cálculo, tenemos: aN = ax axay y a2 F a2 F ayax - axay' a condición de que estas derivadas parciales sean continuas. Por lo tanto, si (1) es una ecuación exacta, entonces: aM ay aN ax (4) Así, para que (1) sea exacta es necesario que (4) sea satisfecha. Ahora mostraremos que si la condición (4) se satisface, entonces (1) es una ecuación exacta. Sea cP(x, y) una función para la cual: acP = M. ax La función cP es el resultado de integrar M dx con respecto a x mientras y se mantiene constante. Luego, a2cP ayax aM ay , en consecuencia, si (4) se satisface, también: a2cP aN = axay ax (5) Integramos ambos miembros de la ecuación (5) con respecto a x, manteniendo fija a y. En la integración con respecto a x, la "constante arbitraria" puede ser cualquier función de y. Le llamamos B 'ey), por comodidad al indicar su integral. Entonces la integración de (5) con respecto a x produce: acP = N ay + B'(y). Ahora puede ser representada una función F, a saber, F = cP(x, y) - B(y), para la cual: dF = acP dx + acP dy - B'(y) dy ax ay = M dx + [N + B'(y)] dy - B'(y) dy =Mdx+Ndy. http://gratislibrospdf.com/ (6)
  48. 48. 32 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno De aquí concluimos que la ecuación (1) es exacta. Así terminamos una demostración del teorema establecido a continuación. Teorema 2.3 Si M, N, aM / ay y aN / ax son funciones continuas de x y y, entonces una condición necesaria y suficiente para que: Mdx +Ndy = O (1) sea una ecuación exacta es que: ay (4) ax Además, la demostración contiene el principio del método que utilizaremos para obtener un conjunto de soluciones en los ejemplos 2.7 y 2.8. EJEMPLO 2.7 Resuelva la ecuación: 3x(xy - 2) dx + (x 3 + 2y) dy = O. (7) Primero, como: y concluimos que la ecuación (7) es exacta. Por lo tanto, su solución es F = c, donde: aF 2 = M = 3x y - 6x - ax (8) y, aF 3 ay=N=x +2y. (9) Tratemos de determinar F a partir de la ecuación (8). Al integrar ambos miembros de (8) con respecto a x, manteniendo constante a y, se obtiene: (10) donde la constante arbitraria usual en la integración indefinida ahora es necesariamente una función T (y), hasta ahora desconocida. Para determinar T (y), usamos el hecho de que la función F de la ecuación (10) debe satisfacer la ecuación (9). De aquí que: x3 + T'(y) = x3 + 2y, T'(y) = 2y. http://gratislibrospdf.com/
  49. 49. 2.4 Ecuaciones exactas 33 No se necesita una constante arbitraria en la obtención de T (y), puesto que será introducida una en el lado derecho en la solución F = c. Entonces: y de (10) Por último, un conjunto de soluciones para la ecuación (7) está definido por: x3 y - 3X2 + y2 = c. • EJEMPLO 2.8 Resuelva la ecuación: (2x 3 - x l - 2y + 3) dx - (x 2y + 2x) dy = O. (11) Aquí, aM aN - = -2xy-2 = ay ax' de modo que la ecuación (11) es exacta. Un conjunto de soluciones para (11) es F = c, donde: aF - ax 3 2 = 2x - xy - 2y +3 (12) y aF - ay 2 (13) = -x y-2x. Ya que (13) es más sencilla que (12), y para variar un poco, iniciamos la determinación de F a partir de la ecuación (13). Veamos, F = -4x2l- 2xy + Q(x), donde Q (x) será d@terminadade(12). De la última se obtiene: - x l - 2y + Q'(x) = 2x 3 - xl - 2y Q' (x) = 2x 3 + 3. Por lo tanto, http://gratislibrospdf.com/ + 3,
  50. 50. 34 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno y el conjunto de soluciones deseado para (11) está definido de manera implícita por: o • • Ejercicios Analice cada una de las ecuaciones siguientes para saber si son exactas y resuélvalas. Las que no lo sean podrán resolverse con los métodos estudiados en las secciones anteriores. + y) dx + (x - y) dy = O. + y) dx + (x 2 - x) dy = O. 1. (x 2. (6x+y2) dx+y(2x-3y) dy = O. 5. (x-2y)dx+2(y-x)dy=0. 2) dx+(x 2+y) dy = O. (2xy-3x 6. (2x-3y)dx+(2y-3x)dy = o. Resuelva el ejercicio 5 con otro método. 3. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 4. (2xy Resuelva el ejercicio 6 con otro método. (y2 _ 2xy + 6x) dx - (x 2 - 2xy + 2) dy = O. v(2uv 2 - 3) du + (3u 2v 2 - 3u + 4v) dv = O. (cos 2y - 3x2y2) dx + (cos 2y - 2x sen 2y - 2x 3 y) dy (1 + y2) dx + (x 2y + y) dy = O. + l + xy2) dx + (x 2y + y + 2xy) dy = (w 3 + wz 2 - z) dw + (Z3 + w 2 z - w) dz = (2xy - tan y) dx + (x 2 - x sec2 y) dy = O. (1 = O. O. O. (cosx cos y - cotx)dx - sen x senydy = O. (r + sen e - cos e) dr + r(sen e + cos e) de = O. x(3xy - 4 y 3 + 6) dx + (x 3 - 6x2y2 - 1) dy = O. + r cos e(2r sen e + 1) de = o. + y cos (xy)] dx + x cos (xy) dy = O. 2xydx + (y2 +x 2)dy = O. 2xy dx + (l - x2) dy = O. (xy2 + y - x) dx + x(xy + 1) dy = O. 3y(x 2 - 1) dx + (x 3 + 8y - 3x) dy = O; cuando x = O, Y = 1. (1 - xy)-2 dx + [y2 + x2(1 - xy)-2] dy = O; cuando x = 2, Y = 1. (3 + Y + 2l sen 2 x)dx + (x + 2xy - y sen 2x) dy = O. 2x[3x + y - y exp (_x2)] dx + [x 2 + 3y2 + exp (_x2)] dy = O. (xy2 +x - 2y + 3)dx +x 2ydy = 2(x + y)dy; cuando x = 1, Y = 1. (sen e - 2r cos 2 e) dr [2x http://gratislibrospdf.com/
  51. 51. 2.5 La ecuación lineal de orden uno 35 I 2.5 I La ecuación lineal de orden uno En la sección 2.4 estudiamos las ecuaciones diferenc!ales de primer orden que eran exactas. Si una ecuación no es exacta, es natural que se intente hacerla exacta introduciendo un factor adecuado, el cual es llamado factor de integración. En la sección 2.1 multiplicamos por un factor de integración para separar las variables y con eso obtuvimos una ecuación exacta. En general, es muy poco lo que se puede decir acerca de la teoría de factores de integración para ecuaciones de primer orden. En el capítulo 5 probaremos algunos teoremas que nos ayudarán en ciertas situaciones aisladas. Sin embargo, hay una clase importante de ecuaciones en las que la existencia de un factor de integración sí puede ser demostrada. Esta clase es la de las ecuaciones lineales de orden uno. Una ecuación que es lineal y de orden uno en la variable dependiente y por definición (sección 1.2) debe ser de la forma: dy A(x) dx + B(x)y = C(x). (1) Al dividir cada miembro de la ecuación (1) entreA(x), obtenemos: dy - + P(x)y = dx Q(x), (2) a la que elegimos como la forma canónica para la ecuación lineal de orden uno. Por el momento suponga que para la ecuación (2) existe un factor de integración positivo v (x) > 0, una función que es solamente de x. Entonces, v(x) [~~ + P(X)Y] = v(x) Q(x) debe ser una ecuación exacta. Pero (3) se puede anotar fácilmente en la forma: Mdx+Ndy = ° con, M = vPy - vQ y N= v, en las que v, P y Q son funciones exclusivas de x . Por lo tanto, si la ecuación (3) es exacta, el requisito: aM ay aN ax http://gratislibrospdf.com/ (3)
  52. 52. 36 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno implica que v debe satisfacer la ecuación: dv vP=-. dx (4) De la ecuación (4), v puede ser obtenida fácilmente, ya que: dv Pdx = - , v de modo que, Inv=fPdx, o v = exp (f (5) P dx ) . Esto es, si la ecuación (2) tiene un factor de integración independiente de y, entonces ese factor debe estar dado por la ecuación (5). Nos falta demostrar que la v dada por la ecuación (5) es en realidad un factor de integración de: dy (2) dx + P(x)y = Q(x). Multiplicamos (2) por el factor de integración, obteniendo: exp ( f P dx ) ~~ + P exp ( f P dX) y = Q exp ( f P dX) . (6) El miembro izquierdo de (6) es la derivada del producto: el miembro derecho de (6) es una función exclusiva dex. De aquí que (6) sea exacta, lo cual queríamos demostrar. Por supuesto, es suficiente un solo factor de integración. En consecuencia, podemos utilizar en el exponente (f P d x) cualquier función cuya deri vada sea P. Debido a la gran importancia de las ideas que acabamos de analizar, y como es frecuente la presencia de ecuaciones lineales de primer orden, a continuación resumimos los pasos involucrados en la solución de tales ecuaciones: a) Escribir la ecuación en forma canónica: dy dx + Py = http://gratislibrospdf.com/ Q.
  53. 53. 2.5 La ecuación lineal de orden uno b) c) d) 37 Obtener el factor de integración exp (f P d x). Multiplicar ambos miembros de la ecuación (escrita en forma canónica) por el factor de integración. Resolver la ecuación exacta resultante. Observe que en la integración de la ecuación exacta la integral del lado izquierdo siempre es el producto de la variable dependiente multiplicada por elfactor de integración utilizado. EJEMPLO 2.9 Resuelva la ecuación: 2(y - 4x 2) dx + x dy = O. La ecuación es lineal en y . Al escribirla en forma canónica se transforma en: dy 2 dx x - +- y = 8x x =f. O. cuando (7) Entonces un factor integrante es: exp (1 2 :x) = exp (21n Ix 1) = exp (In x2) = x 2. Ahora se aplica el factor de integración a (7), así se obtiene la ecuación exacta: x2 dy dx + 2xy = 8x 3 (8) ' que de inmediato se puede escribir como: (9) Al integrar (9) encontramos que: (lO) Esto puede ser verificado. De (10) obtenemos (8) por diferenciación. Luego la ecuación diferencial original se deduce de (8) por un ajuste sencillo. De aquí concluimos que (10) define un conjunto de soluciones para la ecuación original. • EJEMPLO 2.10 Resuelva la ecuación: y dx + (3x - xy http://gratislibrospdf.com/ + 2) dy = O.
  54. 54. 38 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno Ya que el producto y dy aparece aquí, deducimos que la ecuación no es lineal en y. Pero sí es lineal en x. Por lo tanto, reacomodando los términos como en: ydx + (3 - y)xdy = - 2dy y pasando a la forma canónica, ~: + (~ Ahora, f (~ - 1) x = ~2 para y 1) dy = 31n Iyl - y # O. (11) + Cl, de modo que un factor de integración para la ecuación (1) es: exp (3 In Iyl - y) = exp (3 In Iyl)e - Y = exp (In IY I3)e- Y = IYI3 e- y • Se deduce que cuando y> O, y3 e- Y es un factor de integración para la ecuación (11), Ycuando y < O, _y3e- Y sirve como factor de integración. Cualquiera de estos casos nos conduce a la ecuación exacta: de la cual obtenemos: xie - Y = -2 f le - Y dy = 2le- Y + 4ye- Y + 4e- Y + c. Así que una familia de soluciones queda definida de manera implícita por: xi =2l+4y+4+ce Y • 2.6 • La solución general de una ecuación lineal En la sección 1.6 establecimos un teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden. Si sucede que la ecuación diferencial en ese teorema sea una ecuación lineal, podemos demostrar un teorema un poco más difícil. Considere la ecuación diferencial lineal: dy - + P(x)y = dx http://gratislibrospdf.com/ Q(x). (1)
  55. 55. 2.6 La solución general de una ecuación lineal 39 Suponga que P y Q son funciones continuas en el intervalo a < x < b, Y que x = X oes cualquier número en ese intervalo. Si Yo es un número real arbitrario, existe una solución única y = y (x) de la ecuación diferencial (1) que también satisface la condición inicial: Además, esta solución satisface la ecuación (1) en todo el intervalo a < x < b. En esencia, la demostración de este teorema fue hecha en la sección 2.5 . Al multiplicar la ecuación (1) por el factor de integración v = exp (f P dx) e integrando se obtiene: yv = vQdx + c. y = v- 1 Ya que v f f vQdx+cv- 1 • * O, podemos escribir: (2) * Es muy sencillo demostrar que como v O y continúa en a < x < b, (2) es una familia de soluciones para la ecuación (1) . . También es fácil advertir que dada una X o en el intervalo a < x < b junto con cualquier número Yo' podemos seleccionar la constante c de modo que y = Yo cuando x = xo· El resultado de nuestro argumento es que toda ecuación con la forma de la ecuación (1), para la cual P y Q tengan algún intervalo común de continuidad, tendrá un conjunto único de soluciones, el cual poseerá una constante de integración que puede ser obtenida introduciendo el f~ctor de integración apropiado. Como estamos seguros de la unicidad de estas soluciones, debemos esperar que cualquier solución obtenida por otro método sea una de las funciones contenidas en nuestra familia de soluciones con un parámetro. Es por esta razón que a este conjunto de soluciones se le llama solución general de la ecuación (1). La palabra "general" quiere decir que se han encontrado todas las posibles soluciones que satisfacen la ecuación diferencial en el intervalo a < x < b . • Ejercicios En los ejercicios l al 24 encuentre la solución general. (x 5 + 3y) dx - x dy = O. 2. y' = X - 2y . 3. (y + 1) dx + (4x - y) dy = O. 4. u dx+(1-3u)x du = 3u 2 e3u duo 5. udx + (1 - 3u)xdu = 3udu . l. 6. y'=x - 4xy. 7. y' = cscx + y cotx. 8. y' = cscx - Y cotx . 9. (y - cos 2 x) dx + cos x dy 10. y' = x - 2y cot2x. http://gratislibrospdf.com/ = O.
  56. 56. 40 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno 11. (y - x +xy cotx)dx +xdy = O. 12. 2(2xy +4y - 3)dx 13. 14. 15. + (x + 2fdy = O. 4 (2xy + X2 + x ) dx - (1 + x2 ) dy = O. y ,_ my = CIen ..", donde c l y m son constantes. y ,_ m 2y = cIen/Ix, donde c l ' mI' m 2 son constantes y mI =1= m 2· 19. 17. v dx + (2x + 1 - vx) dv = O. x(x 2 + 1)y' +2y = (x 2 + 1)3 . 2y dx = (x 2 - l)(dx - dy). 20. dx - (1 +2xtany)dy = O. 18. 2y(y2_X)dy =dx. 21. y'=1+3ytanx. 22. (1 + cos x) y' = sen x (sen x + sen x cos x - y). 23. 24. 25 . (x 2 + a2) dy = 2x[(x2 + a 2)2 + 3y] dx; a es una constante. (x + a)y ,= bx - ny; a, b, n son constantes con n =1= O, n =1= -1. Resuelva la ecuación del ejercicio 24 para los casos excepcionales donde n = O Y n = -1. En la forma canónica dy + Pydx = Qdx, haga y = VW, para obtener: 16. 26. w(dv + Pvdx) + vdw = Qdx. Luego, seleccionando primero v de modo que: dv + Pvdx = O y determinando después w, demuestre cómo completar la solución de: dy + Pydx = Qdx. En los ejercicios 27 al 33 encuentre la solución particular indicada. + 3)y = Y + (2x + 3) 112; cuando x = - 1, y = O. 27. (2x 28. Y = .x3 - 2xy; cuando x = 1, y = 1. 29. 31. L di + Ri = E ; donde L, R YE son constantes, cuando t = O, i = O. dt di L- + Ri = E senwt; cuando t = O, i = O. dt Encuentre la solución de y ,= 2(2x - y) que pase por el punto (O, -1). 32. Encuentre la solución de y I = 2(2x - y) que pase por el punto (O, 1). 33 . (1 30. • I I + t 2) ds + 2t [st 2 - 3(1 + t 2 )2] dt = O; cuando t = O, s = 2. Ejercicios diversos En cada ejercicio encuentre el conjunto de soluciones, a menos que el enunciado del ejercicio indique otra cosa. 1. y' = exp (2x - y). 2. (x 4 http://gratislibrospdf.com/ + 2y) dx - x dy = O.
  57. 57. 2.6 La solución general de una ecuación lineal 3. 4. 5. 6. 7. 4) dx + (x + 1)2 dy = O. (x + y)dx +xdy = O. y 2 dx -x(2x +3y)dy = O. (x 2 + l)dx +x2y 2 dy = O. y' = x 3 - 2xy; cuandox = 1,y = 2. (3xy + 3y - 8. senedrjde = -1-2rcose. 13. + 3y) dx + x2 dy 14. 9. 41 y(x = O. 18. = y. 2)y' = x 4y4. O+x (2x 2 -2xy _ y2)dx + xydy =0. (2xy - 3x 2) dx + (x 2 + 2y) dy = 19. 20. dxjdt=cosxcos 2 t. 3x 3y' = 2y(y - 3). 16. xy(dx - dy) = x2 dy + y2 dx. (y-sen 2 x)dx+senxdy = 0. 17. (x+2y)dx+(2x+y)dy = 0. (x 3 + l) dx y(2x 3 - x2y 10. 11. 12. dyjdx sec 2 x sec3 15. O. 22. + y2(3x + ky) dy = O; k es una constante. + y3) dx - x(2x 3 + y3) dy = O. y(3 + 2xy2) dx + 3(x2y2 + X - 1) dy = O. y(x 2 + y2) dx + x(3x 2 - 5y2) dy = O; cuando x = 2, y = 23. y '+ ay = b; a y b son constantes. Resuélvala con dos métodos. 24. (x - y) dx - (x 25. (sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y) d y = O. 0+ 4xy - 4x 2y) dx + (x 2 - x 3) dy = O; cuando x 21. 26. 27. 28. + y) dy = 1. O. Resuélvala con dos métodos. = 2, y = = !Jr, Y = 1. ~. (2y cosx + sen x) dx = sen x dy; cuando x a 2(dy - dx) = x2 dy + y2 dx; a es una constante. 4 Al resolver los ejercicios 29 al 33 recuerde que el valor principal arcsen x de la función inversa del seno, está restringido como sigue: -! 7T::S arcsen x ::S! 7T. Los ejercicios 30, 31 Y 32 se refieren a los segmentos de arco de la figura 2.4 que muestra la gráfica de la elipse: + vT=X2dy = O. 29. JI=Yidx 30. Resuelva la ecuación del ejercicio 29 con la condición adicional de que cuando x = O, 31. Resuelva la ecuación del ejercicio 29 con la condición adicional de que cuando x 32. Demuestre que después de eliminar las respuestas a los ejercicios 30 y 31, los arcos restantes de la elipse http://gratislibrospdf.com/ = O,
  58. 58. 42 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno y ------~------~------~------ x Figura 2.4 no son soluciones de la ecuación diferencial: JI"=Y2dx + ~dy = O. Para lograr este objetivo tome en consideración el signo de la pendiente de la curva. 33. Para la ecuación JI"=Y2dx - ~dy =0 plantee y resuelva cuatro problemas análogos a los ejercicios 29 al 32. = (e + 2uu V + x 3 dy = O. u du 35. 38. y 2 dx-(xy+2)dy=0. 37. y'=ytanx +cos x. (x 3 - 3xy2) dx + (y3 - 3x 2y) dy = O. (l-x 2)y' =1 -xy-3x 2 +2x 4 . 42. x 2y' = y(1 - x) . (y3 _x 3 ) dx = xy(x dx + ydy). 43. xy' = x - y +xy tanx. y' = secx - y tanx. 44. y2 dx + x2 dy = 2xy dy. ydx = (3x + y3 - y2)dy; cuandox = 1, Y =-1. (x 2 - 2xy - y2) dx - (x 2 + 2xy - y2) dy = O. y 2 dx + (xy + y2 -l)dy = O; cuando x = -1, Y = l. 39. 40. 41. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 2u) du. y(y2 - 3x 2) dx 34. 36. y' = cosx - ysecx; cuando x = O, Y = l. , Encuentre la solución de y ,= 3x + y que pase por el punto (-1, O) . . Encuentre la solución de y I = 3x + y que pase por el punto ( -1, 1). http://gratislibrospdf.com/
  59. 59. 2.7 Suplemento para computadora 51. 52. 53 . 54. 55. I 2.7 I 43 (x 2 - 1 + 2y) dx + (1 - x2) dy = O; cuando x = 2, Y = 1. (y2 + y) dx - (y2 + 2x y + x) d Y = O; cuando x = 3, Y = 1. (3x 4 y - 1) dx + x 5 dy = O; cuando x = 1, Y = 1. (sen x sen y + tan x) dx - cos x cos y dy = O. (3xy - 4y - 1) dx + x(x - 2) dy = O; cuando x = 1, Y = 2. Suplemento para computadora En este capítulo iniciamos el proceso para resolver ecuaciones diferenciales de manera analítica. La mayor parte de los métodos descritos involucra la integración de alguna manera y, por lo tanto, están sujetos a resolverse utilizando los Sistemas de Álgebra Computacional (SAC) que pueden integrar de manera simbólica. Como una sencilla muestra considere la ecuación diferencial separable del ejemplo 2.1 en la sección 2.1 : dy dx = 2y x La solución dada en el texto implica la separación de las variables y la integración inmediata de ambos miembros de la ecuación resultante. Las integraciones pueden ser realizadas en Maple por medio del siguiente comando: >int(1/y,y) = int(2/x,x)+C; ln(y) = 2 ln(x) +e Esta solución implícita puede ser resuelta para y y simplificada por: >so l ve(" , y); e 21n (x)+C >s implify ( " ) ; Consideremos también la ecuación (7) dada en el ejemplo 2.7 de la sección 2.4, 3x(xy - 2) dx + (x 3 + 2y) dy = O. Aquí el primer paso es verificar si la ecuación es exacta. Maple puede hacer esto como sigue: >M: = 3*x* (x*y- 2) ; M := 3 x (xy - 2) >N: = (x"3+2*y) ; N: = x 3 +2y >di ff (M, y) ; >di f f (N, x) ; http://gratislibrospdf.com/
  60. 60. 44 Capítulo 2 Ecuaciones de orden uno La ecuación resulta ser exacta. Podríamos usar la computadora para completar los pasos restantes del proceso. Afortunadamente, los programas que trabajan con expresiones simbólicas, en su mayor parte, están diseñados para encargarse de todos los pasos de una sola vez. Primero, regrese al primer ejemplo citado anteriormente. Podemos introducir la ecuación diferencial como >diff(y(x) , x) =2*y / x; d 2y -y(x) = dx x Esta ecuación puede ser resuelta en un comando: >dsolve ( " ,y(x )); y(x) = X 2 _el El segundo ejemplo es casi igual de fácil: >(3*x*(x*y- 2) )+(x A3+2*y)*diff(y(x) , x)=O ; 3x (xy - 2) d dx + (x3 + 2 y ) - y (x) = ° >dsolve ( " ,y(x)); Por último, la computadora también puede resolver problemas de valor inicial. Veamos, considere la ecuación (8) en el ejemplo 2.3 de la sección 2.1 : 2 (1 + l) dx + (1 +x ) d y = 0, con la "condición inicial" de que cuando x = 0, y = - l . La ecuación es introducida como: >diff(y(x) , x) =-(l+y(x)A2) / (l+x A2 ) ; d 1 + (y(x»2 dx Y(x) = 1 +x2 y luego resuelta mediante: >dsolve({" , y(O) =-l } ,y (x)) ; y(x) = tan ( - arctan (x) - • 1. ¡) . Ejercicios Utilice un Sistema de Álgebra Computacional para resolver una muestra representativa de los problemas trabajados en el presente capítulo. Asegúrese de incluir algunos con condiciones iniciales y otros sin éstas. Es probable que se encuentre con algunos problemas que el SAC no podrá resolver usando técnicas básicas. Verifique si su sistema tiene técnicas más avanzadas para resolverlos. 2.. Un SAC es capaz de resolver aún ecuaciones tan generales como dy/dx Q(x). Inténtelo en su sistema. http://gratislibrospdf.com/ + P(x)y =
  61. 61. Métodos ,/ nUmerlCOS 3. 1 Observaciones generales No existe un método general que nos dé una forma explícita para encontrar la solución de una ecuación diferencial. En la práctica, nos encontramos con ecuaciones específicas para las que no se conoce un método de resolución o para las cuales las formas explícitas de solución no son las adecuadas para los cálculos. Por estas razones, son tan importantes métodos sistemáticos y eficaces que nos lleven a una aproximación numérica de las soluciones. Desafortunadamente, el dominio de buenos métodos numéricos exige mucho tiempo de práctica y la disponibilidad de una computadora adecuada. Este capítulo está restringido a un estudio parcial de algunos de los métodos más sencillos y útiles. Aquí el propósito es dar al estudiante un concepto de los principios fundamentales para obtener aproximaciones numéricas a las soluciones. Considerarem0s un problema que no es posible resolver con los métodos desarrollados hasta el momento y le aplicaremos varios procesos numéricos. 3.2 Método de Euler Buscamos obtener la solución de la ecuación diferencial: y'=y-xl (1) para la cual y = 1 cuando x = O. Deseamos aproximar la solución y = y (x) en el intervalo o:::;x:::;l La ecuación (1) puede ser escrita en forma diferencial como: (2) La figura 3.1 muestra el significado geométrico de la diferencial dy y de ~y, el cambio real en y, inducido por un incremento dx (o ~) aplicado a x. En cálculo se muestra que cerca de un punto donde exista la derivada, dy puede hacerse tan aproximado a ~y como se desee tomando un ~ x lo suficientemente pequeño. Digamos que, conociendo el valor de y en x = O, deseamos calcular y para O :::; x :::; -±. Suponga que elegimos ~ = 0.1; entonces dy puede ser calculado de: dx = cY - X2) ~. 45 http://gratislibrospdf.com/
  62. 62. 46 Capítulo 3 Métodos numéricos A saber, dy = (1 - 0)(0.1) = 0.1. Así, para x = O + 0.1, el valor aproximado de y es 1 + 0.1. Ahora tenemos x = 0.1, Y = 1.1. Otra vez elegimos Llx = 0.1. Entonces: de modo que dy = 0.12. De aquí que en x = 0.2, el valor aproximado de y sea 1.22. El cálculo completo usando Llx = 0.1 se muestra en la tabla 3.1. Los cálculos se realizaron con seis cifras decimales y después el resultado se redondeó a tres cifras decimales. El incremento Llx no necesita ser constante a lo largo de todo el intervalo. Donde la pendiente sea grande, se toma un incremento pequeño. Por simplicidad en los cálculos, aquí se usarán incrementos iguales. Es útil repetir los cálculos con un incremento más pequeño y notar los cambios que resultan en los valores aproximados de y . La tabla 3.2 muestra un cálculo con Llx = 0.05. En la tabla 3.3 tenemos los valores de y que se obtuvieron de los cálculos en las tablas 3.1 y 3.2, Ylos valores de y obtenidos usando Llx = 0.01 (no se muestran los cálculos), además de los valores correctos de y redondeados a tres cifras decimales. y http://gratislibrospdf.com/
  63. 63. 3.2 Método de Euler TABLA 3.2 de y es x 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 con seis elapens, aquí se bios que ulo con y 1.000 1.050 1.105 1.166 1.232 1.306 1.388 1.480 1.584 1.701 1.836 (y2 _ X2) dy 0.000 0.002 0.010 0.022 0.040 0.06~ 0.090 0.122 0.160 0.202 1.000 1.102 1.221 1.359 1.519 1.706 1.928 2.192 2.508 2.894 as tablas os), ade- ~x = 0.05 x2 y2 47 1.000 1.100 1.211 1.336 1.479 1.644 1.838 0.050 0.055 0.061 0.067 0.074 0.082 0.092 0.103 0.117 0.135 r 2.069 2.348 2.692 TABLA 3.3 Cuando = 0.1 ~x x y 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 1.000 1.100 1.220 1.365 1.542 1.764 = 0.05 ~x 0.5 Sx = 0.01 Correcta y y y 1.000 1.105 1.232 1.388 1.584 1.836 1.000 1.l10 1.244 1.411 1.625 1.911 1.000 1.l11 1.247 1.417 1.637 1.934 Los valores correctos fueron obtenidos mediante el método que veremos en la sección 3.7. Su disponibilidad en cierto sentido es accidental. Con frecuencia no sabemos de qué forma obtener el valor correcto de y con un grado específico de exactitud. En tales casos es costumbre recurrir a la disminución del tamaño del incremento hasta que los valores de y muestren cambios no mayores que los errores que estamos dispuestos a permitir. Entonces se espera que el cambio constante de los valores de y se deba a que nos encontramos cerca de la solución correcta, en lugar de atribuido a la lentitud de convergencia del proceso utilizado (lo cual también es posible). Para el problema más general de valor inicial: dy - dx la sucesión de aproximaciones relaciones de recurrencia: = f(x, y); cuandox = Xo, y = yo, (3) descritas anteriormente puede ser expresada en términos de las http://gratislibrospdf.com/
  64. 64. 48 Capítulo 3 Métodos numéricos Xk+ 1 = Xk Yk+1 +h = Yk + hf(xk, Yd, (4) para k = O, 1, 2, ... . Aquí hemos usado h para el valor de ru:. La técnica descrita líneas arriba es conocida como el método de Euler, aunque no involucra nada más que la aproximación lineal de cálculo elemental. • Ejercicios En cada uno de los ejercicios siguientes, utilice el método de Euler con el Dx indicado para aproximar la solución al problema de valor inicial en el intervalo dado. En los ejercicios 1 al 6, resuel va el problema por métodos elementales y compare los valores aproximados de y con los valores correctos. y' = x + y; cuando x = O, Y = 1; box = 0.1 Y O ::: x ::: 1. Utilice ru: = 0.05 en el ejercicio l. 3. y' = x + y; cuando x = O, Y = 2; box = 0.1 Y O ::: x ::: 1. 4. y' =x +y; box=0.lyl:::x :::2. 5. y' = x 1. 2. cuandox = l,y=l; + y; cuando x = 2, y = -1 ; 6. y' = 2x - 3y; 7. box = 0.1 Y 2::: x::: 3. cuando x = O, y = 2; ;0.x = 0.1 Y O::: x::: 1. y' = e- xy ; 8. cuando x = O, Y = O; Utilice ru: = 0.1 en el ejercicio 7. 9. y' = (1 +x2 + /)-1; cuando x = O, y = O; 10. Utilice ru: ] 1. y' = (cosx 12. box = 0.2 Y O::: x::: 2. Utilice ru: = O.] en el ejercicio] 1. 13. 3.3 box = 0.2 Y O::: x ::: 2. = 0.1 en el ejercicio 9. + seny)1 /2; cuando x = O, y = 1; box = 0 .2 Y O::: x::: 2. cuando x = O, y = O; box = 0.2 Y O ::: x ::: 2. Una modificación al método de Euler En cada paso del método de Euler, como se describió en las ecuaciones (4) de la sección 3.2, la nueva aproximación Yk+1 utiliza la pendientef(xk , Yk). Esta pendiente es calculada en (x k' yk ), un punto que está en el extremo izquierdo del intervalo x k :::; x :::; x k + h. Es razonable suponer que se obtendría una mejor aproximación para el valor de Yk+1 si la pendiente fuera calculada en el punto medio del intervalo en lugar de usar el extremo. izquierdo. Una modificación en el método de Euler hace uso de esta observación. Procedemos de la siguiente manera: a partir del punto inicial (x o' Yo) y mediante el método de Euler determinamos el punto (XI' y), luego repetimos este paso empezando otra http://gratislibrospdf.com/
  65. 65. 3.4 Un método de aproximación sucesiva 49 vez en el punto inicial (xo' Yo)' Sin embargo, en la segunda ocasión usamos el método de Euler con un tamaño de incremento de 2h y tomando el valor de la pendiente en el punto (xl' y,), un punto que está a la mitad del nuevo intervalo (4) Xo ::::x :::: o X no invo- + 2h. Por lo tanto, las fórmulas para el método modificado de Euler son: Xl = Xo Yl = yo xirnar la lema por + h, + hf(xo, yo) y Xk+2 = Xk Yk+2 = Yk + 2h, + 2hf k ::::0, (Xk+ 1, «> Yk+l), O. Al aplicar el método modificado de Euler al problema: Xo = 0, Yo = 1, se obtienen los resultados de la tabla 3.4. Por comparación con la tabla 3.3 vemos que hay una mejora considerable en la precisión de los valores calculados de y. TABLA 3.4 Cuando h = 0.1 X y 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 1.000 l.l00 1.240 1.400 1.614 1.888 0.5 h = 0.05 h = 0.01 Correcta Y 1.000 l.l11 1.247 1.417 1.637 1.933 Y 1.000 l.l11 1.247 1.417 1.637 1.934 Y 1.000 l.l00 1.245 1.414 1.631 1.922 • Ejercicios sección alculada h. Es rai la pen- extremo eel mé- do otra En cada uno de los ejercicios de la sección 3.2, utilice el método modificado de Euler para aproximar la solución del problema de valor inicial en el intervalo dado. Compare estos resultados con los obtenidos por el método de Euler. I 3.4 I Un método de aproximación sucesiva Ahora abordaremos nuevamente el problema anterior, X http://gratislibrospdf.com/ = 0, y = 1, (1)
  66. 66. 50 Capítulo 3 Métodos numéricos con la y requerida en el intervalo O ::5 x ::5 ~, por el método sugerido en el análisis del teorema de existencia del capítulo 13. Una vez aplicados los enunciados hechos en ese análisis, concluimos que la solución deseada es y = y(x), donde: = n->oo Yn(x) lim y(x) y la sucesión de funciones ylI(x) está dada por Yo(x) = 1, Ypara n 2: 1, l x Yn(X) = 1 + 2 [Y~_I (t) - t ] dt. (2) Para el problema en cuestión, l X YI(X) = 1+ 2 O-t )dt, =1+x-tx3. Ahora obtenemos la segunda aproximación, encontrando dio de (2). Así tenemos que: l x Y2(X) = 1 + = 1+x [O + t + x2 - y/x) a partir de yl(x) por me- - tt3)2 - t2] dt, !x4 6 - 1..x5 15 + 63' 7 ..!..x Entonces Ylx), Ylx), ... , pueden ser obtenidas de manera análoga, cada una a partir del elemento precedente en la sucesión YII(X). En la tabla 3.5 se muestran los valores tomados por yl(x), y/x) y ylx) a intervalos de 0.1 en x, junto con los valores correspondientes de y(x) redondeados a dos decimales, como se obtuvieron en la sección 3.7. Debe tomarse en cuenta que la utilidad de este método no depende de nuestra habilidad para realizar las integraciones en un sentido formal. Puede ser mejor realizar las integraciones por medio de algún proceso numérico, como la regla de Simpson. TABLA 3.5 x YI (x) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.00 1.10 1.20 1.29 1.38 1.46 Y2(X) 1.00 1.11 1.24 1.39 1.56 1.74 http://gratislibrospdf.com/ Y3(X) y(x) 1.00 1.00 1.11 1.11 1.25 1.25 1.41 1.42 1.62 1.64 1.87 1.93 [
  67. 67. 3.5 Una mejora en el método de aproximación sucesiva • 1. 51 Ejercicios Aplique el método estudiado en esta sección para resolver el problema (ejercicio 1, sección 3.2) y' = x + y; cuando x = 0, y = l. Obtenga y¡(x), Yix ) y Y3(x). 2. Calcule una tabla de valores con dos decimales de Yl' Y2' Y3 en el ejercicio 1 para x = a x = 1 a intervalos de 0.1. También tabule los valores correctos de y obtenidos a partir de la solución elemental del problema. 3. Obtenga y¡(x), yix) y Y3(x) para el problema de valor inicial (ejercicio 4, sección 3.2) ° y' = x 4. 3.5 + y; cuando x = 1, Y = l. Sugerencia : exprese el integrando de la integral en la ecuación (2) en potencias de t - 1 antes de integrar. Calcule una tabla de valores con dos decimales de las y ¡, Y2' Y3 en el ejercicio 3 para x = 1 a x = 2 a intervalos de 0.1. También tabule los valores correctos de y obtenidos a partir de la solución elemental del problema. Una mejora en el método de aproximación sucesiva En el método utilizado en la sección 3.4, cada una de las y/x), donde n = 0, 1,2, ... , produce una aproximación a la solución y = y (x). Por lo regular es factible que, mientras una aproximación en particular Yk(X) sea más correcta, su sucesora Yk+' (x) sea mejor. El problema de valor inicial que estamos tratando es: x = O,y = 1 el cual nos indica de inmediato que en x = 0, la pendiente es y ' = l. Pero en la sección 3.4, siguiendo a ciegas una sugerencia dada en el capítulo 13, iniciamos con yo<x) = 1, una recta que no tiene la pendiente correcta en x = O. Por lo tanto, es razonable cambiar nuestra aproximación inicial, seleccionando Yo(x) para que tenga la pendiente correcta en x = 0, y = l. De aquí que escojamos: Yo(x) = 1 +x y procedamos a calcular y,(x), Yix), ... , como antes. Ahora las etapas sucesivas de aproxi- mación ay (x) serán: y, (x) = 1 + fax [(1 + t)2 - =1+ x +x2; http://gratislibrospdf.com/ t 2 ] dt
  68. 68. 52 Capítulo 3 Métodos numéricos TABLA 3.6 x YI (x) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.00 1.11 1.24 1.39 1.56 1.75 Y2(X) Y3(X) y(X) 1.00 1.00 1.00 1.11 1.11 1.11 1.25 1.25 1.25 1.42 1.41 1.42 1.62 1.64 1.64 1.87 1.92 1.93 fox[(1+t+t2)2-t2]dt Y2(x)=1+ = 1+x + X2 + ~X3 + ~X4 + ~X5; y así por el estilo. En la tabla 3.6 se muestran los valores obtenidos, Yl' Y2' Y3junto con los valores correctos de y . por este método, de • Ejercicios l. Aplique el método estudiado en esta sección para obtener las aproximaciones para el problema del ejercicio 1 en la sección 3.2. 2. Tabule con dos decimales YI' Y2, Y3 del ejercicio 1junto con los valores correspondientes de la solución exactay(x) = 2e'" - 1 - x. 3. Aplique el método visto en esta sección al obtener las aproximaciones problema del ejercicio 3 en la sección 3.4. 4. Compare las YI' Y2' Y3 del ejercicio 3 con la serie de Taylor en potencias de x - 1 para la solución exacta: y(x) y l' Y2' Y3' Yl' Y2, Y3 para el = 3 exp (x - 1) - (x - 1) - 2. I 3.6 I Uso del teorema de Taylor Para los estudiantes familiarizados con el cálculo elemental, el enfoque más natural al calcular la aproximación de soluciones es por medio del teorema de Taylor. Si consideramos el problema de valor inicial: y' = F(x, y); podemos calcular las derivadas sucesivas de la solución y Adoptamos la notación: yb = y'(xo), y~ = y"(xo), http://gratislibrospdf.com/ (1) x = Xo, y = yo, =y (x) en x = Xo utilizando (1) ..
  69. 69. 3.6 Uso de/teorema de Tay/or 53 y recordando que el teorema de Taylor sugiere la fórmula de aproximación: (n) 11 "-' Y "-' Yo + Yo, (x Yo - Xo ) + - (x - Xo )2 2! Yo + ... + -n! (x - Xo )n . . (2) Una ventaja de usar la aproximación en (2) es que podemos estimar el error en nuestro cálculo examinando el valor del término del residuo en el teorema de Taylor. Para la relación (2) este residuo toma la forma: y(Il+I)(C) - ' - - - - (x - XO),,+I (n+l)! (3) ' donde e es algún número entre x y x o' Debe quedar claro que la factibilidad de esta técnica para aproximar soluciones dependerá en gran medida de lo difícil que nos resulte obtener los valores de las derivadas involucradas . Si la función F(x, y) es muy complicada, puede volverse necesaria una gran cantidad de cálculos para producir una aproximación razonable utilizando el teorema de Taylor. Para el ejemplo: (4) xo=O,yo=l, es relativamente fácil demostrar que: y" = 2yy' - 2x, + 2(y')2 - 2, 2yy"' + 6y' y", 2yy<4) + 8y'y"' + 6(y")2. y"' = 2yy" /4) = y(5) = (5) Así podemos obtener los valores: Yo = 1, yb = 1, y~ = 2, y~' = 4, Y64) = 20, 5 Y Y6 ) = 96. Por lo tanto, la ecuación (2) se transforma en: (6) En la tabla 3.7 se da un indicio de la precisión de la ecuación (6). Los valores de y obtenidos a partir de la ecuación (6) para varios valores de x son mostrados junto con los valores de Y redondeados a dos decimales. Otro indicio de error al utilizar la ecuación (6) para la estimación del valor de Y cuando x = 0.5 puede apreciarse si se examina el término subsecuente en el desarrollo de la serie de Taylor. Esto es, podemos calcular el valor de (96/5 !)x5 en x = 0.5 Yencontrar que el error es al menos tan grande como 0.02. Un estudio más cuidadoso del término del residuo dado en la ecuación (3) podría ser utilizado para obtener una mejor estimación del error en nuestros resultados. Sin embargo, en http://gratislibrospdf.com/
  70. 70. 54 Capítulo 3 Métodos numéricos TABLA 3.7 x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y y Correcta 1.00 1.00 1.11 1.11 1.25 1.25 1.41 1.42 1.62 1.64 1.89 1.93 la práctica es muy difícil hacer dicha estimación a causa de la complejidad de las deri vadas involucradas y el hecho de que no conocemos el valor de e. • Ejercicios En cada uno de los siguientes problemas de valor inicial utilice el teorema de Taylor; conserve potencias de x - Xo lo suficientemente altas como para aproximar los valores de y con una precisión de dos decimales en el intervalo dado mediante los incrementos preescritos en x. En los ejercicios 1 al 6, compare los valores estimados con los valores correctos obtenidos al resolver el problema de manera exacta usando métodos elementales. l. Ejercicio 1, sección 3.2. 4. Ejercicio 6, sección 3.2. 2. 3. Ejercicio 3, sección 3.2. Ejercicio 4, sección 3.2. 5. Ejercicio 5, sección 3.2. 6. y' 7. y' 8. Utilice series de Taylor para redondear a tres decimales el valor de la solución al problema: = y2 + x2; = y2 - x2; cuando x cuando x y'= = O, y = = O, Y = _xy2; 1; /';.x 1; S» cuando x = 0.1 = 0.1 = O,y Y OS x S 0.5. Y O S x S 0.5. = 1, para x = 0.1,0.2 Y0.3. Compare sus resultados con los valores obtenidos al resolver el problema por medios elementales. I 3.7 I Método de Runge-Kutta Desde un punto de vista computacional, la mayor desventaja con que nos topamos al usar la serie de Taylor para estimar los valores de las soluciones de ecuaciones diferenciales es que cada coeficiente presente en la serie involucra una función derivada diferente, de modo que cada aproximación requiere el cálculo de los valores de varias funciones diferentes. Ahora consideraremos una técnica muy utilizada que requiere el cálculo de una sola función en varios puntos en lugar del cálculo de varias funciones diferentes en un solo punto. http://gratislibrospdf.com/
  71. 71. 3.7 Método de Runge-Kutta 55 Consideremos el problema de valor inicial: y' = F(x, y); cuando x = x n' y ·= Yn ' (1) y por conveniencia adoptemos la notación: (2) Fn = F(xn, yn)· Empezamos por considerar la recta tangente a la curva solución en el punto (xn ' yn ). La ecuación de esta recta está dada por: (3) Por lo tanto, el valor de y para esta recta tangente en x = x n + h es y = Yn + hFn. Si definimosK¡ = Fn y calculamos Fenel punto(xn + h'Yn + hK¡), obtenemos K2 = F(xn + h'Yn + hK¡). Así K¡ y K2 representan los valores de y' en dos puntos que resultan ser los dos extremos del segmento de una recta tangente. Si consideramos la media aritmética de estos valores de y', es decir, t(K¡ + K2), Y remplazamos la tangente con una nueva recta que pase por (xn' yn) y tenga esta pendiente, obtendremos: y = Yn Para x = x n + ~(K¡ + K2)(X - x n). + h, esta recta tiene un punto cuya coordenada y es: y = Yn h + 2(K¡ + K2), (4) donde, K ¡ =Fn (5) y (6) Las generalizaciones de la idea anterior son la base del método de Runge-Kutta. En lugar de escoger la recta tangente como medio para aproximar el valor de y en x = x n + h, elegimos una recta cuya pendiente es un promedio de los valores de y' en varios puntos cuidadosamente seleccionados. Cuando se utilizan sólo dos puntos, como se acaba de mostrar, la idea puede ser representada como en la figura 3.2. Ahora describiremos la idea intuitiva subyacente al esquema más elaborado. De nuevo definimos a K¡ = Fn como la pendiente en el punto P. Esta vez, definimos K2 como la pendiente en el punto medio M del segmento de recta de la tangente PQ. A partir de la ecuación (3) encontramos que M es (xn + ~ h, Yn + ~ h K 1) y, por lo tanto, K 2 = F(x l1 + ~h, YI1 + ~hKI). La recta que pasa por P con pendiente K2 tiene ecuación: y = Yn + Kz<x - x n), http://gratislibrospdf.com/

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