• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Derivada de las funciones trigonometricas inversas
 

Derivada de las funciones trigonometricas inversas

on

  • 71,778 views

 

Statistics

Views

Total Views
71,778
Views on SlideShare
71,777
Embed Views
1

Actions

Likes
17
Downloads
0
Comments
8

1 Embed 1

http://www.slideshare.net 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

18 of 8 previous next Post a comment

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Derivada de las funciones trigonometricas inversas Derivada de las funciones trigonometricas inversas Document Transcript

    • DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSASPara poder derivar las funciones trigonométricas inversas, es necesario tener encuenta alguna de los principales aspectos que dará a entender más fácil eldesarrollo de cada una de estas funciones.• Si una función es continua y estrictamente creciente o decreciente en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente o decreciente.• Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno".• Tener en cuenta las identidades y ecuaciones trigonométricas.De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función,es una relación.Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se estableceuna relación biunívoca y la inversa de la función trigonométrica sí es una función. 5
    • FUNCION SENO INVERSO O ARCOSENOEl arcoseno está definido como la función inversa del seno de un ángulo.Tomando como base la grafica de la función seno:Se observa que en varios intervalos, por ejemplo ,etc. La función seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podríaescogerse alguno de ellos para definir la función inversa de la función seno.Usualmente se toma el intervaloLuego, se define la función seno como: 6
    • La función así definida es continua y estrictamente creciente en elintervalo , por lo que existe una única función, definida en elintervalo , llamada función seno inverso.Esta función, denotada arcsen, se define como sigue:Se tiene entonces que:La representación gráfica de la función seno y de la función arco seno es lasiguiente: 7
    • Posteriormente, después de saber como se define la función seno inverso o arcoseno y su respectivo desarrollo, mostraremos la demostración de la derivada de lafunción seno inverso.Derivada Del Seno Inverso O Arco SenoComo aplicando el teoremade la derivada de una función inversa se tiene que:Como y entonces Pues,Luego:En generalComo podemos ver, hicimos la demostración de la derivada de la función senoinverso teniendo en cuenta lo que hemos visto anteriormente sobre función delseno inverso o arco seno. 8
    • Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas (Seno Inverso)    9
    • FUNCION COSENO O ARCO COSENOEl arco coseno es la función inversa del coseno. • y = arccos x x = cos y; y es el arco cuyo coseno es el ángulo x.El arco coseno y el coseno son funciones inversas, por tanto su composiciónes la función identidad. • arccos (cos x) = xComo en la función seno, la función coseno es continua y estrictamentedecreciente en varios intervalos por ejemplo: , etc.Por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea función inversa.Sea entonces la función tal que:La función así definida es continua y estrictamente decreciente en elintervalo , por lo que posee función inversa.Esta recibe el nombre de arco coseno, (o función coseno inverso), y sedenota . 10
    • Se define de la siguiente forma:Se tiene queLa representación gráfica de la función coseno y la de la función arco coseno es lasiguiente:Posteriormente, después de saber como se define la función coseno inverso oarco coseno y su respectivo desarrollo, mostraremos la demostración de laderivada de la función coseno inverso. 11
    • Derivada de la función coseno inversoComo, aplicando elteorema de la derivada de la función inversa se tiene que:Como, y entonces PuesLuego:En generalComo podemos ver, hicimos la demostración de la derivada de la función cosenoinverso teniendo en cuenta lo que hemos visto anteriormente sobre función delcoseno inverso o arco coseno. 12
    • Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas (Coseno Inverso) 1. 2. 3.  13
    • FUNCION TANGENTE INVERSA O ARCO TANGENTEEl arco tangente es la función inversa de la tangente. • y = arctg x x = tg y; y es el arco cuya tangente es el ángulo x.El arco tangente y la tangente son funciones inversas, por tanto su composición esla función identidad. • arctg (tg x) = x.Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la funcióntangente al intervalo , en el que es continua y estrictamente creciente, porlo que posee función inversa.Luego se define la función tangente como:Se define la función tangente inversa, también llamada arco tangente, ydenotada , como: 14
    • Se tiene que ,La representación gráfica de la función tangente y la de la función arco tangentees la siguiente:Posteriormente, después de saber como se define la función seno inverso o arcoseno y su respectivo desarrollo, mostraremos la demostración de la derivada de lafunción seno inverso. 15
    • Derivada de la función arco tangente.Como , aplicando el teorema de laderivada de la función inversa se tiene que:Como,YEntoncesPor lo que:En generalComo podemos ver, hicimos la demostración de la derivada de la función tangenteinverso teniendo en cuenta lo que hemos visto anteriormente sobre función deltangente inverso o arco tangente. 16
    • Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas (Tangente Inverso) 1. 2. 3.   17
    • FUNCION COTANGENTE INVERSA O ARCO COTANGENTEPara definir la función inversa de la función cotangente, vamos a restringir eldominio de ésta al intervalo , en el que es continua y estrictamentedecreciente, por lo que posee función inversa.Se define función cotangente como:La función cotangente inversa, llamada también arco cotangente y denotada, se define como:Por la definición de la función arco cotangente se tiene que .Además 18
    • La representación gráfica de la función cotangente y la de la función arcocotangente es la siguiente:Posteriormente, después de saber como se define la función cotangente inversa oarco cotangente y su respectivo desarrollo, mostraremos la demostración de laderivada de la función seno inverso.Derivada de la función cotangente inversaComo , aplicando el teorema de laderivada de la función inversa se tiene que: 19
    • Como,YEntoncesPor lo que:En generalComo podemos ver, hicimos la demostración de la derivada de la funcióncotangente inversa teniendo en cuenta lo que hemos visto anteriormente sobrefunción de la cotangente inversa o arco cotangente.Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas (Cotangente Inverso) 20
    • FUNCION SECANTE INVERSO O ARCO SECANTEDefiniciónEn la función secante, es necesario elegir como dominio de la función secante elintervalo de donde , ya que en la función secante esbiunívoca y la derivada de la función inversa puede expresarse por medio de unasola fórmula.La representación gráfica de la función secante en el intervalo señalado es elsiguiente:Como puede observarse, la función secante es continua en , siendoestrictamente decreciente en y estrictamente creciente en .Existe por tanto la función secante inversa, llamada también arco secante y sedenota definida por: 21
    • Por la definición de función arco secante se tiene que:Posteriormente, después de saber como se define la función secante inversa oarco secante y su respectivo desarrollo, mostraremos la demostración de laderivada de la función seno inverso.Derivada de la función secante inversaComo ,utilizando el teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:Como,YCuando, 22
    • EntoncesPuesLuegoEn general, siEntoncesComo podemos ver, hicimos la demostración de la derivada de la función secanteinversa teniendo en cuenta lo que hemos visto anteriormente sobre función de lasecante inversa o arco secante.Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas (Secante Inversa) 23
    • FUNCION COSECANTE INVERSA O ARCO COSECANTEDefiniciónTomaremos como dominio de la función cosecante elintervalo , en el que la función cosecante es biunívoca.La representación gráfica de la función cosecante en el intervalo señalado es lasiguiente: 24
    • Como puede observarse, la función cosecante es continua en , siendoestrictamente creciente en y estrictamente decreciente en .Existe por tanto la función cosecante inversa, llamada también arco cosecante yque se denota definida por:Por la definición de función arco cosecante se tiene que:La representación gráfica de la función arco cosecante es la siguiente: 25
    • Posteriormente, después de saber como se define la función cosecante inversa oarco cosecante y su respectivo desarrollo, mostraremos la demostración de laderivada de la función seno inverso.Derivada de la función cosecante inversaComo ,utilizando el teorema de la derivada de la función inversa se obtiene que:Como,Y, ParaEntoncesPuesLuegoEn general, si entoncesComo podemos ver, hicimos la demostración de la derivada de la funcióncosecante inversa teniendo en cuenta lo que hemos visto anteriormente sobrefunción de la cosecante inversa o arco cosecante. 26
    • Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas (Cosecante Inversa) 27