Análise combinatória

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Análise combinatória

  1. 1. Prof. Michele Boulanger
  2. 2. Prof. Michele Boulanger Usamos combinações simples para formar subconjuntos, ou seja, escolher elementos. Assim, o número de subconjuntos é também o número de combinações simples. Um grupo formado por 5 pessoas resolve formar uma comissão com 2 pessoas que ficarão encarregadas de organizar um almoço de confraternização. Qual o número total de possíveis comissões? Vamos representar as cinco pessoas por símbolos: a, b, c, d, e. Formar comissões de duas pessoas constitui-se na tarefa de escolher 2 pessoas entre as 5.
  3. 3. Prof. Michele Boulanger {a; b} {a; c} {a; d} {a; e} { b; c } { b; d} {b; e} {c; d} {c; e} {d; e} Portanto são 10 comissões no total. C 2 5= 10 Número de elementos escolhidos Número de elementos disponíveis Número de combinações simples ou de comissões possíveis
  4. 4. Prof. Michele Boulanger Como obter a quantidade de combinações simples? •Temos que dividir o conjunto das 5 pessoas em dois outros conjuntos: um grupo de 2 pessoas que formará a comissão e outro de 3 pessoas restantes que não formará a comissão. Formam comissões: a b – c d e Não formam comissões Observe que existem divisões idênticas formadas pelas mesmas pessoas. a b – c d e e b a – e c d Desta forma, o número de combinações simples de 5 elementos tomados 2 a 2 é dado por: C2 5= 5! = 10 2! 3! 2! 3!
  5. 5. Prof. Michele Boulanger Distinguindo Permutações, arranjos e combinações simples Nome do AGRUPAMENTO Critério de Formação Permutação Só ordenar os elementos(todos) Combinação Só escolher os elementos Arranjo Escolher e ordenar os elementos escolhidos
  6. 6. Prof. Michele Boulanger Situação 1 Se uma turma de 10 pessoas, 3 delas são selecionadas para um mesmo roteiro de viagem. De quantas maneiras pode ocorrer a seleção? C3 10 = 10! = 10.9.8.7! = 10.9.8 = 720 = 120 3! 7! 3.2.1.7! 3.2.1 6 A seleção das três pessoas pode ser realizada de 120 maneiras.
  7. 7. Prof. Michele Boulanger Situação 2 Três pessoas desejam viajar, cada uma delas em um roteiro diferente. Se existem ao todo 3 roteiros distintos, de quantas maneiras pode ocorrer a distribuição entre as pessoas? P3 = 3! = 3.2.1 = 6 Existem 6 maneiras de distribuir os 3 roteiros para as 3 pessoas. Roteiro 1 Roteiro 2 Roteiro 3 A B C A C B B A C B C A C A B C B A 6 MANEIRAS
  8. 8. Prof. Michele Boulanger Na resolução de problemas de combinatória é importantíssimo identificar se é preciso apenas ordenar, apenas escolher, ou escolher e ordenar.
  9. 9. Prof. Michele Boulanger Situação 3 Em uma turma de 10 pessoas, 3 delas serão selecionadas para roteiros diferentes de viagens. Se existem 3 roteiros distintos e cada pessoa selecionada escolhe um único roteiro distinto de outra pessoa, então de quantas maneiras pode ocorrer a seleção? C310 . P3 = 120. 6 = 720 Existem 720 maneiras de ocorrer a seleção. Como os roteiros eram distintos, foi necessário escolher as 3 pessoas e, em seguida, ordenar os 3 roteiros para essas pessoas. Começamos usando combinações para escolher e terminamos usando permutações para ordenar.
  10. 10. Prof. Michele Boulanger As ideias presentes na situação 3 constituem o que chamamos arranjos simples. C3 10 . P3 = 10.9.8.7! . 3.2.1 = 10.9.8 = 720 3.2.1. 7! Fazendo C3 10 . P3 = A3 10 em que A3 10 é o número de arranjos simples de 10 elementos tomados 3 a 3. A3 10 = C3 10 . P3 A3 10 = 10. 9. 8 Multiplicando e dividindo por 7! A3 10 = 10.9.8.7! A3 10 = 10! 7! (10 – 3)!
  11. 11. Prof. Michele Boulanger A palavra simples é utilizada para indicar que os elementos ordenados são distintos. An p = n ! (n - p)!
  12. 12. Prof. Michele Boulanger Em um grupo de oito pessoas, quatro serão sorteadas para receber, cada uma, um mesmo prêmio. De quantas maneiras pode ocorrer a premiação? C4 8 = 8! = 8.7.6.5.4! = 70 4! (8-4)! 4! 4.3.2.1 Em um grupo de oito pessoas, quatro serão sorteadas para receber, cada uma, prêmio distinto. De quantas maneiras pode ocorrer a premiação? C4 8 . P4 = 8! . 4! = 8.7.6.5.4! . 4.3.2.1 = 1680 4! (8-4)! 4! 4.3.2.1 A4 8 = 8! = 8.7.6.5 = 1680 (8-4)!
  13. 13. Prof. Michele Boulanger Um clube de tênis da capital deseja inscrever alguns jogadores para participarem de um campeonato importante no próximo mês. Existem 10 jogadores do clube interessados em participar do torneio. Se exatamente dois jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o clube pode participar do torneio? Se exatamente cinco jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o clube pode participar do torneio? Se exatamente oito jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o clube pode participar do torneio? C2 10 = 10! = 10.9.8! = 45 maneiras de inscrever dois jogadores 2! (10-2)! 2.1. 8! C5 10 = 10! = 10.9.8.7.6.5! = 252 maneiras de inscrever cinco jogadores 5! (10-5)! 5.4.3.2.1.5! C8 10 = 10! = 10.9.8! = 45 8! (10-8)! 8! .2.1
  14. 14. Prof. Michele Boulanger Em um grupo de sete pessoas, três serão sorteadas para receber, cada uma, um único prêmio. De quantas maneiras pode ocorrer a premiação? Se os prêmios são iguais? Se os prêmios são distintos? C3 7 = 7! = 7.6.5.4! = 35 maneiras 3! (7-3)! 3.2.1.4! A3 7 = C3 7 . P3 = 7! . 3! = 7.6.5.4! . 3.2.1 = 210 maneiras 3! (7-3)! 3.2.1.4!

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