Integral lipat dua dalam koordinat cartecius

14,764 views

Published on

Published in: Education
3 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
14,764
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
550
Comments
3
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Integral lipat dua dalam koordinat cartecius

  1. 1. INTEGRAL LIPAT DUA DAN PENERAPAN FISISNYA PADA PERHITUNGAN MOMEN INERSIA Rachmawati1) 1) Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo ABSTRAK In this papers, generally of speaking will discussion about definition of double integrals and form the application as used in of the physical property in case of moment of inertia and as well as the some examples.. This papers will discussion and showing how to make arrangements for integrals in calculation the moment of inertia, in particular of double integrals. Keyword : integral, integral lipat dua, moment of inertia.1. PENDAHULUAN Usaha pemecahan tentang luas telah menuju ke pendefinisian integral tentu. Dalam berbagai cara yang sama, sekarang kita mencoba mencari volume benda pejal dan dalam prosesnya kita sampai pada definisi integral lipat dua. Telaah kembali tentang materi dasar yang berkenaan dengan integral tentu dari fungsi peubah tunggal. Jika f(x) didefinisikan sebagai a , artinya kita membagi selang menjadi menjadi n selang bagian berlebar sama x = (b - a)/n dan kita pilih titik-titik sampel x, dalam selang bagian ini. Kemudian kita bentuk jumlah Riemann: Dan mengambil limit jumlah tersebut seraya n untuk mendapatkan integral tentu f dari a ke b :
  2. 2. Dalam kasus khusus dengan 0, jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai jumlah luas segiempat penghampir dalam gambar di bawah dan menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.2. INTEGRAL LIPAT DUA Dalam cara yang serupa, kita tinjau fungsi dua peubah f yang didefinisikan pada segiempat tertutup. Untuk integral lipat dua dari fungsi dengan dua peubah pembatasannya adalah bahwa fungsi dua peubah tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Yang dimaksud daerah tertutup disini adalah daerah beserta dengan batas- batasnya. Apabila dikatakan daerah, maka yang dimaksud adalah daerah tertutup. Kita tinjau fungsi dua peubah f yang didefinisikan pada segiempat tertutup. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Dan mula-mula kita misalkan f(x, y) 0. Grafik f adalah permukaan dengan persamaan . Misalkan S adalah benda pejal yang terletak di atas R dan di bawah grafik f, yakni: (Lihat gambar di samping) tujuan kita adalah mencari volume S. Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi beberapa bagian. Kita lakukan ini dengan membagi selang menjadi m selang bagian berlebar sama dan dengan membagi menjadi n selang bagian berlebar sama .
  3. 3. Dengan menarik garis-garis sejajar terhadap sumbu koordinat melalui titik ujung selangbagian dalam bentuk segiempat bagian. =masing- masing dengan luas Jika kita pilih salah satu titik sampel dalam masing- masing maka kita dapat menghampiri bagian S yang terletak di atas masing- masing menggunakan kotak segiempat tipis (atau kolom) dengan alas dan tinggi . Maka voleme kotak adalah tinggi kotak kali luas segiempat alas : =Dapat dilihat maka untuk semua segiempat jika ditambahkan volume kotak yangberkaitan , maka volume total S hampir diperoleh. Intuisi kita memberitahu bahwa hampiran yang diberikan menjadi lebih baik begitu m dan n menjadi lebih besar, sehingga diharapkan menjadi : Jika maka volume V dari benda pejal yang terletak di atas segiempat R dan di bawah permukaan adalah
  4. 4.  Sifat - sifat Int egralLipat Dua : 1. f ( x, y ) g ( x, y ) dA f ( x, y )dA g ( x, y )dA R R R 2. cf ( x, y )dA c f ( x, y )dA , dengan c konst ant a. R R 3. Jika f ( x, y ) g ( x, y ) unt uk ( x, y ) R, maka f ( x,y)dA g ( x, y )dA R R Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk : b y f2 ( y) f ( x, y )dA f ( x, y )dxdy f ( x, y ) dx dy a. R R a y f1 ( y ) dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y. b y f 2 ( y) f ( x, y ) dA f ( x, y ) dydx f ( x, y ) dy dx b. R R a y f1 ( y ) dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x. Jika integral lipat dua di atas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama. Contoh :1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y Penyelesaian : 2 2- y 2 2- y A dA dxdy x dt R 0 2y - 4 0 2y - 4 2 2 (2 y 2y 4) dy (6 3 y ) dy 0 0 2 3 2 (6y - y ) (12 6) 6 2 0
  5. 5. 2. Tentukan volume V suatu benda padat di bawah permukaan dan di atas persegi panjang Penyelesaian :3. Carilah volume benda pejal yang terletak di bawah paraboloid dan di atas daerah D di bidang –xy yang dibatasi oleh garis y = 2x serta parabola y = x2. Penyelesaian : Karena itu, volume di bawah dan di atas D adalah4. PENERAPAN INTEGRAL LIPAT DUA PADA MOMEN INERSIA Pada saat mempelajari hukum Newton, diketahui bahwa ukuran kelembaban benda pada gerak translasi adalah massa. Perhatikan pergerakan planet pada porosnya. Planet-planet terus berputar pada sumbunya tanpa berhenti akan selalu mempertahankan keadaan untuk terus berotasi. Dengan demikian, pada gerak rotasi dikenal istilah kelembaban.
  6. 6. Besaran pada gerak rotasi yang analog dengan massa pada gerak translasi dikenaldengan momen inersia(I). Perbedaan nilai antara massa dan momen inersia adalah besarmassa suatu benda hanya bergantung pada kandungan zat dalam benda tersebut,sedangkan besar momen inersia tidak hanya bergantung pada jumlah zat tetapi jugadipengaruhi oleh bagaimana zat tersebut terdistribusi pada benda tersebut. Materitentang energi kinetik (kinetic energy), dari sebuah partikel dengan massa m dankecepatan v yang bergerak dalam sebuah garis lurus dirumuskan dengan :Jika sebagai pengganti bergerak sepanjang suatu garis lurus,partikel berputar terhadapsuatu sumbu dengan suatu kecepatan sudut (angular velocity) sebesar , maka kecepatanliniernya adalah v = r , dengan r merupakan radius lintasan yang berbentuk lingkaran.Ketika disubtitusikan ke persamaan energi kinetik, maka:Maka, dari sebuah pertikel yang berputar dapat dituliskan:Momen inersia (moment of inertia) dari partikel bermassa m terhadap sumbudidefinisikan sebagai mr2 , dengan r adalah jarak deri partikel ke sumbu. Dari persamaantersebut dapat disimpulkan bahwa momen inersia dari benda dalam gerak berputarmemiliki peranan yang serupa dengan massa benda dalam gerak linear.Kita perluas konsep ini terhadap lamina dengan fungsi kerapatan dan menempatidaerah D denagn cara melanjutkan prosesnya seperti yang kita lakukan pada mmomenbiasa. Kita membagi D menjadi segiempat-segiempat kecil, menghampiri momen inersiamasing-masing segiempat bagian terhadap sumbu –x dan mengambil limit jumlah padasaat banyaknya segiempat bagian menjadi besar. Hasilnya adalah momen inersia laminaterhadap sumbu –x :Secara serupa, momen inersia terhadap sumbu –y adalah
  7. 7. Untuk suatu sistem n partikel pada suatu bidang yangbermassa m1, m2,…..,mn dan yang berjarak r1, r2,….,rn dari garis L, makamomen inersia sistem itu terhadap L didefinisikan sebagai:Dengan kata lain kita tambahkan momen – momen inersia dari setiap partikel. Sekarangkita perhatikan lamina dengan kerapatan yang mencakup suatu daerah S daribidang xy. Jika kita partisikan S, aproksimasi momen inersia tiap keping Rk, tambahkandan ambil limit maka rumus momen inersia lamina terhadap sumbu – sumbu x,y dan zdinyatakan dengan:Perhatikan masalah penggantian suatu sistem massa umum yang massa totalnya m olehsebuah titik tunggal bermassa m dengan momen inersia I yang sama terhadap suatu garisL, sehingga didapat rumus sebagai berikut :
  8. 8. Sebuah jari-jari perputaran (radius of gyration) dari suatu sistem. Jadi energi kinetik darisistem yang berputar mengelilingi L dengan kecepatan sudut adalah :Contoh :1. Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z untuk lamina dengan kerapatan yang dibatasi oleh sumbu x, garis x = 8 dan kurvaPenyelesaian S Material tak homogenPenyelesaian :2. Diketahui kurva dari x = 0 sampai x = 1, hitunglah momen inersia terhadap sumbu x, y dan z dengan kerapatan = xy. Penyelesaian : Kita peroleh dM = xy dydx. Jarak dari dM ke sumbu x adalah y (Lihat gambar). Demikian pula, jarak dM ke sumbu y adalah x. Jarak dM ke sumbu -z (sumbu z tegak lurus kertas pada gambar) adalah
  9. 9. Elemen dari suatu luasan, seperti metode integral lipat dA = dy dx. Karena kerapatan = xy, massa elemen adalah dM = xy dy dx. Maka ketiga momen inersia terhadap ketiga sumbu koordinat :5. KESIMPULAN Integral lipat dua merupakan integral dari fungsi dengan dua peubah , dengan batasan bahwa fungsi dua peubah tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk : b y f2 ( y) f ( x, y )dA f ( x, y )dxdy f ( x, y ) dx dy R R a y f1 ( y ) f ( x, y ) dA f ( x, y ) dydx b y f 2 ( y) R R f ( x, y ) dy dx a y f1 ( y )
  10. 10.  Besaran pada gerak rotasi yang analog dengan massa pada gerak translasi dikenal dengan momen inersia(I). Momen inersia (moment of inertia) dari partikel bermassa m terhadap sumbu yang diberikan didefinisikan sebagai mr2 , dengan r adalah jarak deri partikel ke sumbu. Rumus momen inersia lamina terhadap sumbu – sumbu x, y dan z dinyatakan dengan:6. DAFTAR PUSTAKA http://ocw.mit.edu/terms. MIT18_02SC notes_23. Diakses tanggal 01/29/2011 : 03.37 pm http://id.wikipedia.wiki/org/integral-lipat-dua Diakses tanggal 01/29/2011 Purcell, Verberg, Rigdon. 2004. Kalkulus Edisi Kedelapan Jilid 2. Jakarta : Erlangga Stewart, James. 2003. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 2. Jakarta : Erlangga Umar, Efrizon. 2007. Fisika dan Kecakapan Hidup. Jakarta : Ganeca

×