Clase 2,  exponentes y_radicales
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Propiedad de exponentes para aplicación de ejercicios con radicales y racionalización

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Clase 2,  exponentes y_radicales Clase 2, exponentes y_radicales Presentation Transcript

  • Universidad de Managua
  • • • • • • Objetivo General Objetivos Específicos Ejemplos Ejercicios Resueltos Problemas Propuestos y soluciones a los problem
  • Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las leyes de los exponentes y de los radicales.
  • Objetivos específicos: 1. 2. 3. 4. 5. Recordarás la notación exponencial, el concepto de Recordarás la ley para multiplicar factores con la m Recordarás el significado de los exponentes negati Recordarás la ley para dividir factores con la misma Recordarás la ley para elevar una potencia a otra p
  • Objetivos específicos: 6. Recordarás las leyes para elevar un producto o un cociente a 7. Recordarás la notación de radicales. 8. Recordarás el significado de los exponentes fraccionarios . 9. Recordarás las leyes para multiplicar y dividir factores con ex 10. Racionalizarás expresiones algebraicas con radicales en el d 11. Simplificarás expresiones algebraicas aplicando las leyes de los exponentes y los radicales.
  • Objetivo 1. • En la notación exponencial un número cualquiera se descompone en dos factores: • Un número decimal cuyo valor generalmente está entre 1 y 10, y • Una potencia de 10, es decir 10 elevado a la n (o sea, 10n). • El número final es el producto de ambos factores.
  • En general, el número b a la n-ésima potencia, lo que se escribe como bn, y se lee b elevado a la n, donde n es un número natural, significa: b n = b ∗ b ∗ b ∗ ... ∗ b (n factores) En esta expresión, al número b se le conoce como la base y al número n como el exponente. Así, en la expresión 32, el 3 es la base y el 2 es el exponente. La expresión 32 se lee tres elevado a la dos, o tres al cuadrado, y significa: 32 = 3 ∗ 3 ( 2 factores )
  • Un signo negativo que precede directamente a una expresión que está elevada a una potencia tiene el efecto de hacer negativa a toda la expresión. Entonces, −x 2 significa − ( x ∗ x) ( −x) ( −x) y no Conviene observar que, de acuerdo con las Reglas de los Signos que se expusieron en la Unidad 1, cuando x ≠ 0 ( −x) −x 2 2 siempre será una cantidad positiva mientras que siempre será una cantidad negativa.
  • OBJETIVO 1
  • 1.) Para escribir en notación exponencial el número 1,322, se observa que 1,322 = 1.322 ×1, 000 , de modo que 1,322 = 1.322 ×10 2.) Para escribir en notación exponencial el número 7,500,000,000, se observa que 7,500, 000, 000 = 7.5 ×1, 000, 000, 000 , por lo que 7,500, 000, 000 = 7.5 ×109 3.) Para escribir en notación exponencial el número 64,100, se observa que 64,100 = 6.41×10, 000 , así que 64,100 = 6.41×10 4 3
  • 1.) 2.) 5 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 3 ( −2 ) 5 (3 factores) = ( −2 ) ( −2 ) ( −2 ) ( −2 ) ( −2 ) = −32 (5 factores) 3.) 1 = 1 ∗1 ∗1 ∗ ... ∗1 20 2 4.)  −3   −3  −3   ÷ =  ÷ ÷  4   4  4  =1 9 = 16 (20 factores) (2 factores)
  • −x 1.) Para evaluar 2 x=3 si =9 x = 3∗3 2 − x = −9 2 y luego se tiene 2.) Para evaluar , se calcula: −x 2 si x = −3 x = ( −3 ) ( −3 ) 2 , se calcula: =9 y luego se tiene − x = −9 2
  • Objetivo 2. • Ley I.- Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la suma de las potencias de los factores. a m ) ( a n ) = a m+n ( • En otra palabras, para multiplicar expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se suman los exponentes.
  • OBJETIVO 2 ejemplos
  • 1.) x ∗x = x 3 5 3+ 5 =3 6 2+4 2.) 3 ×3 = 3 3.) ( 3a ) ∗ ( 3a ) 2 4 2 5 = ( 3a ) =x 2 +5 = ( 3a ) 7 8
  • Objetivo 3. • Para cualquier número real, a, distinto de cero, y cualquier número natural m: a −m 1 = m a • Si a es cualquier número distinto de cero, entonces: a =1 0 OBJETIVOS
  • OBJETIVO 3 ejemplos
  • 1.) 1 2 = 3 2 −3 2.) 1 x = 4 x 3.) 1 = 2∗2∗2 1 = 8 1 = xgxgxgx 3 =1 4.) −4 0 1 1 = −3 1 x 3 x =x 3
  • Para entender mejor está última expresión, es conveniente recordar que para dividir dos números basta con multiplicar al dividendo por el inverso del divisor, de modo que 1 1 = 1÷ 3 1 x 3 x 3 x = 1g 1 =x 3
  • −2 5.) x 1 = −3 y 2 1 x 3 y Como en el ejemplo anterior, esta expresión se puede simplificar para dejar 3 1 y = 2 x 1 1 1 1 = 2÷ 3 x y 2 1 x 3 y 6.) y −3 ( 3x ) 0 = 1 ( 3x ) 0 y 3 1 = 1) y 3 ( 3 y = 2 x 1 = 3 y
  • Objetivo 4. • Ley II.- Cuando se dividen dos potencias de la misma base, su cociente es la misma base elevada a una potencia igual a la diferencia entre la potencia del dividendo y la del divisor. am = a m−n n a • Es decir, para dividir expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se resta al exponente del dividendo el exponente del divisor.
  • OBJETIVO 4 ejemplos
  • 7 1.) x 7−4 =x 4 x 2.) 5 ÷5 = 5 3.) 2 7 −3 =x 2−7 3 =5 −4 −3 − ( −4) a ÷a = a =a 1 =a −5 1 = 5 5 =a −3 + 4
  • Objetivo 5. • Ley III.- Cuando una potencia de una base se eleva a otra potencia, el resultado es un término de la misma base con un exponente igual al producto de las dos potencias. m n m gn (a ) =a • Lo anterior indica que para elevar una potencia de una base a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los dos exponentes.
  • OBJETIVO 5 ejemplos
  • 1.) (2 ) 2.) (x ) 3.) (5 ) 3 2 =2 −3 3 −2 −6 3 g2 =x =2 ( −3) ( 3) 6 =x = 64 −9 ( −2 ) ( −6 ) =5 =5 12 = 244,140, 625 1 = 9 x
  • Objetivo 6. • Ley IV.- Cuando un producto de dos o más factores se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo producto pero con cada factor elevado a la potencia dada. m m m ( ab ) = a b • Ley V.- Cuando un cociente se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo cociente pero con el dividendo y el divisor m elevados a la potencia dada. m a a  ÷ = m b b OBJETIVOS
  • OBJETIVO 6 ejemplos
  • 1.) Para elevar el producto 3xy a la cuarta potencia, es decir para obtener ( 3xy ) se eleva a la cuarta potencia cada uno de los factores y se tiene ( 3xy ) 4 = 3 gx gy 4 4 4 = 81x y 4 4 2 2.) Para elevar el cociente 5 2 2 al cuadrado, es decir para obtener  5 ÷   se elevan al cuadrado el dividendo y el divisor y queda 2 2 2 2  ÷ = 2 5 5 4 = 25 4
  • 3.) Para elevar el cociente al cubo, es decir para obtener ,  2a 3  ÷  3b  2a 3b se elevan al cubo el dividendo y el 3 3 divisor para obtener  2a  ( 2a )  ÷ = 3b  ( 3b ) 3  y, como tanto en el numerador como en el denominador se tienen productos, se aplica la ley para elevar un producto a una potencia y queda 3 ( 2a ) = 23 a3 = 8a3 3 3 3 27b3 ( 3b ) 3 b
  • Objetivo 7. La raíz cuadrada principal o positiva de un número positivo n, que se escribe , n es el número positivo que al multiplicarse por sí mismo da como resultado n. Si en lugar de buscar un número que al multiplicarse por sí mismo dé como resultado n, se busca un número que elevado a la tercera, cuarta o quinta potencia dé como resultado n, se dice que dicho número es la raíz tercera (o cúbica), cuarta o quinta de n, y así sucesivamente.
  • Objetivo 7. En la notación de radicales lo anterior se escribe como , 3 n , 4 n , 5 n etcétera. En otras palabras, 2 x = n significa que n = x y = 3 n significa que n = y 3 y, en general, m a = b significa que b =a m
  • Objetivo 7. • Al símbolo que sirve para indicar una raíz, se le llama signo radical. • El número o expresión dentro del signo radical es el radicando y al número que sirve para indicar la raíz se leSigno radicalíndice. llama m índice n radicando OBJETIVOS
  • OBJETIVO 7 ejemplos
  • 1.) En la expresión 3 8 el radicando es 8 y el índice es 3. 3 8 =3 significa que 2.) En la expresión 4 8=2 3 81 el radicando es 81 y el índice es 4. 3 = 4 81 significa que . 3.) En la expresión 3 = 81 4 49 el radicando es 49 y el índice, que en este caso no se escribe, es 2. 49 = 7 significa que 49 = 7 2
  • Objetivo 8. Si n ≠ 0 , se define: n a =a 1 n De este modo, una base elevada a un exponente fraccionario en el que el numerador es 1, es equivalente a una expresión en notación radical, en la que la base es el radicando y el denominador del exponente es el índice.
  • Objetivo 8. • Las leyes enunciadas anteriormente para exponentes enteros, son también válidas para exponentes fraccionarios. Por tanto, de acuerdo con la ley para elevar una potencia a otra potencia, se tiene: , n a =(a m m puesto que ) 1 n =a m n ( a) n m ( ) = a 1 n m =a m n m 1 1 m  ÷=  ÷m = n n n OBJETIVOS
  • OBJETIVO 8 ejemplos
  • 1.) 2.) 3.) 3 1 x 4 2 1 = 3 5 = x 5 a =a 1 4
  • 1.) 2.) 62 = ( 62 3 2 y =( y ) 2 n 3 3.) ( 8) 4.) ( ) 3 4 7 6 3 ( ) = 8 5 1 ) = 62 1 1 3 =y n 6 =8 3 ( ) = 7 1 4 5 6 3 3 2 3 n =8 =7 5 2 4
  • Objetivo 9. • Como ya se indicó, las leyes expuestas para exponentes enteros son ciertas cualesquiera que sean la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos como negativos o nulos, enteros o fraccionarios. • Para el caso de los exponentes fraccionarios, las leyes quedan así: ,
  • Objetivo 9. ( )( ) Ley I.- a 1 a m 1 n =a 1 +1 m n =a n+m mn puesto que, al 1 1 n+m tomar común denominador, + = m n mn , Ley II.- a a Ley III.- 1 m 1 n =a (a ) 1 m 1 n 1 −1 m n =a 1 =a mn n−m mn puesto que 1  1  = 1  ÷ ÷  m  n  mn
  • Objetivo 9. Ley IV.- ( a gb ) 1 m =a , Ley V.- 1 a  ÷ b m = a b 1 1 m m 1 m gb 1 m
  • Objetivo 9. • Para el caso de los radicales es necesario tener en cuenta que el índice del radical es el denominador de un exponente fraccionario. Por , ello, las leyes de exponentes cuando se enuncian y escriben para la notación radical son: • Ley I.- Cuando se multiplican dos raíces del mismo radicando, su resultado es una raíz con el índice igual al producto de los índices de los factores, y el mismo radicando elevado a la suma de los índices originales. m n mn n + m a a= a
  • Objetivo 9. • Ley II.- Cuando se dividen dos raíces del mismo radicando, su cociente es una raíz con el índice igual al producto de los índices de los factores, y el mismo radicando elevado a la diferencia del índice del divisor menos el del dividendo. m n a mn n − m = a a
  • Objetivo 9. • Ley III.- Cuando a una raíz de un radicando se le toma otra raíz, su resultado es una raíz del mismo radicando y un índice igual al producto de los dos índices de los radicales aplicados. a = nm a • Ley IV.- Cuando se toma una raíz de un producto de uno o más factores, su resultado es el producto de las raíces de cada factor. n m m ab = a b m m
  • Objetivo 9. • Ley V.- Cuando se toma una raíz de un cociente, su resultado es el cociente de la raíz del dividendo entre la raíz del divisor. m m a a =n b a
  • OBJETIVO 9 ejemplos
  • 1.)  27     4  2.) 3.) 1 2 6 2      1 y y 1 3 1 4 2 =y 4.) a a 3 a 5 5 7 5 = 1 4 27 4 1 a 2 2 =6 1 −1 3 4 = 1 1 8 =y 2 +7 5 5 a 3 5 4− 3 12 =a =y 1 12 2 +7 −3 5 5 5 =a 2 + 7 −3 5 =a 6 5
  • 27 = 4 1.) 2.) 6= 6 4 3 3.) 4 5 4.) a 5 27 4 8 y 12 4−3 12 = y = y y 25 a a 3 7 = 5 a ∗a 2 5 a 3 7 = 5 5 a 9 a 3 9 a = a3 5 = a 5 6
  • Objetivo 10. n m En la expresión a , se dice que el radicando contiene una raíz n-ésima perfecta si se puede encontrar en él algún factor que contenga una potencia igual o múltiplo del índice n del radical. ,
  • Objetivo 10. Es claro que cuando el radicando contiene una raíz n-ésima perfecta, la expresión radical puede simplificarse extrayendo del , mismo la raíz exacta correspondiente, puesto que de acuerdo con las leyes de exponentes y radicales n a k ( n) ( a = a m k ( n) a m ) 1 n =a a k m n =(a k ) n a m
  • Objetivo 10. Una expresión que incluya algún radical se encuentra en forma simple si: , a.) El radicando no tiene factores con una raíz nésima perfecta. b.) El radicando no incluye fracciones. c) No existen radicales en el denominador de una fracción.
  • Objetivo 10. • Racionalizar una fracción es eliminar los radicales que existan en su denominador. Para racionalizar una fracción se multiplican el numerador y el denominador por un radical que al multiplicarse con el del denominador lo convierta en una raíz perfecta, y simplificar ésta por tener raíz exacta. OBJETIVOS
  • OBJETIVO 10 ejemplos
  • 1.)  27     4  2.)  6 1  2 1    1 3 1 y 3.) 1 = y y 4 4.) 2 a a 5 a 3 5 7 5 2 4 = 27 4 =6 1 −1 3 4 = a 1 2 2 1 8 =y 2 +7 5 5 a 1 3 5 4− 3 12 =a =y 2 +7 − 3 5 5 5 1 12 =a 2 + 7 −3 5 =a 6 5
  • 7 x 22 contiene una raíz 1.)La expresión séptima perfecta puesto que se puede escribir 7 x = x x = x 7 22 7 21 3 3( 7 ) x = 7 (x ) a 5b 7 3 7 x 2.)La expresión contiene una raíz tercera (o cúbica) perfecta puesto que se puede escribir 3 3 3 2 6 = 3 3 2( 3) = ab 3 ab = aabb 5 7 ( ab ) 2 3 a 2b a 2b
  • 16x 2 4 y9 3.)La expresión contiene una raíz cuarta perfecta puesto que se puede escribir 24 x 2 = 4 2( 4 ) 16 x 2 24 x 2 4 =4 8 y y 9 y y y  24 = 4  2( 4 ) y   x2  ÷ ÷  y  4  2   x2  =4 2÷  ÷ y   y 
  • 1.) Como , x == exacta y queda 7 22 7 7 3 ab = 5 7 3 ( ab 2.) exacta y queda ) (x ) 3 7 x 2 3 se extrae la raíz = ( x3 ) 7 x 22 a 2b 3 x , se extrae la raíz 5 7 ab = ( ab 2 ) 3 a 2b 4 4  2   x2  16 x 2 =4  2 ÷ ÷ 9 y y   y   3.) exacta y queda 16x 2 4 y9 , se extrae la raíz  2  x2 =  2 ÷4 y  y
  • 3 5 7 1.) La expresión: a b no está en forma simple, porque el radicando incluye una raíz cúbica perfecta: a 5b7 = ab 2 3 a 2b 2 34 3 2 x xy z 2.) La expresión: 3 está en forma simple. 3.) 2 3 La expresión: 6 x y está en forma simple. 5z ( )
  • 4.)La expresión: 16x 2 4 y9 no está en forma simple, porque el radicando contiene una fracción y, además, contiene 4una raíz cuarta 16 x 2  2  x 2 perfecta: 9 =  2 ÷ y y  y 3a b 5.)La expresión: no está en forma simple, porque aparece un radical en el denominador.
  • 3a b 1.)Para racionalizar la expresión se multiplican el numerador y el denominador por b para obtener 3a b 3a b = 3a b 3a  3a   b  = =  ÷ = ÷ ÷ b2 b b  b  b  b b
  • 2 18 2.)Para racionalizar la expresión conviene observar que 18 = 2 ∗ 9 = 2 ∗ 32 de modo que ya incluye una raíz cuadrada perfecta (la correspondiente a 32 ), por lo que basta con multiplicar el numerador y el denominador por 2 para obtener: 2 2 = 18 2 ∗ 32 =  2  2  = ÷  2÷ ÷ 2  2∗3   2 2 2 2 = 2∗3 2 ∗3 2 2 = 2 2 2 ∗ 32 2 2 = 3 = 2 2 22 ∗ 32
  • 3.) Para racionalizar la expresión x2 3 y 3 4 5 xz 2 w3 es importante notar que en el radicando existen factores elevados a diferentes potencias, por lo que es necesario buscar para cada uno la potencia que hace falta multiplicar para obtener la raíz cuarta perfecta que se necesita.
  • Como 5x está elevado a la primera potencia, debe multiplicarse por 53 x 3 ; 2 z se multiplicará por sí misma; 3 y w por w Por tanto, para racionalizar la expresión dada se multiplican el numerador y el denominador por 4 53 x 3 z 2 w para obtener:
  • 2  x x = 3 y 3 4 5 xz 2 w3  3 y 3 4 5 xz 2 w3  2 = x 24 3 3 2 5 xz w 3 y 3 4 5 xz 2 w3 4 53 x 3 z 2 w x 2 4 53 x 3 z 2 w = 3 y 3 ( 5 xzw ) = x 24 3 = 3 2   4 53 x 3 z 2 w  ÷ 4 3 3 2 ÷ ÷ 5 x z w ÷   x 24 3y 34 5 x z w 3 15 y xzw 3 3 2 4 4 4 5 x z w 5 x z w 4 4 3 2 x 125 x z w = 3 15 y zw
  • Objetivo 11. Muchas expresiones algebraicas se pueden simplificar aplicando las leyes de los exponentes y los radicales. En general, la simplificación consiste en efectuar las operaciones que estén indicadas y escribir los resultados con potencias que no incluyan exponentes negativos ni fraccionarios y con los radicales en la forma simple que se definió anteriormente. Para ello, los factores que tengan exponentes negativos se trasladan del numerador al denominador de la expresión y los exponentes fraccionarios se convierten en expresiones escritas en forma de radicales. En caso de necesidad, se racionalizan las expresiones resultantes como se ha indicado antes. OBJETIVOS
  • OBJETIVO 11 ejemplos
  • 1.) Para simplificar la expresión −3 x y 2 2 −3 basta con tomar en cuenta que 32 = 9 y trasladar el factor y −3 al denominador para dejar −9 x 2 −3 x y = 3 y 2 2 −3 −2  y  2.) Para simplificar la expresión  3z 2 ÷   primero se elimina el exponente negativo −2 y  1  después, se toma en cuenta la ley  2÷ = 2 3z    y   2÷  3z  para elevar un cociente a una potencia para que 1 1 1 9z4 quede = = 2  y   2÷  3z  y2 32 z 4 y2 32 z 4 y2
  • 3.) Para simplificar la expresión 3 4  x  y x ÷  ÷  y  z  2 se eleva cada factor a la potencia 4 3 2 correspondiente  x   y x   x3  y 8 x 4  ÷ =  3 ÷ 4 ÷  ÷  y   z   y  z  y luego se efectúan las operaciones indicadas para obtener 7 5 7 8 3 8 4 3 4 8 x y x y  x  y x  x x y  3 ÷ 4 ÷ = 3 4 = 3 4 = 4 y  z  y z y z z 
  • 3 4.)Para simplificar la expresión 27 wy 3 8w4 y 7 3 w2 y −1 en primer lugar se identifica que todas las raíces que aparecen son cúbicas, de modo que se puede incorporar toda la expresión en un solo radical 3 4 27 wy 8w y 3 3 2 w y −1 7 = ( 27 wy ) ( 8w4 y 7 ) 3 w2 y −1 luego se efectúan las operaciones indicadas en el radicando y queda 3 3 5 9 2 ∗3 w y 3 3 9 3 3 3 = w 2 = 2 ∗3 w y como el radicando es una raíz cúbica perfecta se obtiene 3 23 ∗ 33 w3 y 9 = 2 ∗ 3wy 3 = 6wy 3
  • 2 −3 4 5.) Para simplificar la expresión 2 x 3y x 3y 5 5 primero se efectúan las operaciones con los exponentes 2 x y 3 4 −3 x y 3 2 5 5 = x y 2 −4 3 3 2 +3 5 5 = x −2 y 3 = 1 2 x 3y luego, se convierte el exponente fraccionario a la forma de radicales 1 1  =  ÷ 2 3 y  3 x2  x y 1 y se racionaliza 1 1 3 2 y x  1  1  3 x  ÷ =  3 2 ÷ 3 ÷ = y  x  x ÷    1 3 x  1 3 x 3 3÷ =  ÷ y x ÷ y x ÷     3 x = xy
  • Racionalización de denominadores • Racionalizar una expresión es transformarla en otra equivalente que no tenga radicales en el numerador. CASO 1 • Hay raíces cuadradas en el denominador. • Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por dicha raíz cuadrada. • Ejemplo: • 3 3. √2 3. √2 3. √2 • ----- = --------- = -------- = ------• √2 √2. √2 (√2)2 2 • Ejemplo: • 6.√2 6.√2.√3 6.√6 6.√6 • -------- = ----------- = -------- = --------- = 2. √6 • √3 √3.√3 (√3)2 3
  • • • • • • • • • • • • • CASO 2 Hay raíces de índice n > 2 en el denominador. Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por la raíz de índice n elevada a la potencia complementaria. Ejemplo: 3 3 3 3 5 5. √ 22 5. √ 22 5. √ 22 5. √22 3 ----- = --------- = -------------- = --------- = --------- = 2,5. √2 2 3 3 3 3 3 √2 √2. √22 √(2.22) √23 2 Ejemplo: 5 5 5 6.√2 6.√2.√33 6.√2. √33 6.√2. √33 5 -------- = ------------- = ----------- = ------------- = 2.√2.√3 3 5 5 5 5 √32 √32 √33 √ 35 3
  • CASO 3 • Hay sumas o diferencias en el denominador en las cuales intervienen raíces cuadradas. • Procedimiento: Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. • Ejemplo: • 5 5. (3 + √2) 5.(3 +√2) 15 + 5.√2 • -------- = ----------------------- = -------------- = -------------• 3 - √2 (3 - √2).(3 + √2) 9-2 7 • Ejemplo: • • √2 √2.(√3 - √2) √6 - 2 √6 - 2 • ----------- = ------------------------- = ----------- = ------------√3 + √2 (√3 + √2).(√3 - √2) 3–2 1