Variabla e rastësishme dhe    distribucionet diskrete të probabilitetit                       Ligjërata e pestë           ...
Variablat e rastësishme    Variabla e rastësishme është përshkrimi me    numra i rezultateve të një eksperimenti .   SHEM...
Shembull 1             vazhdim   Rezultati zero “numër” ndodh një herë.   Rezultati një herë “numri” ndodh tri herë.   ...
Karakteristikat e distribucionit të                 probabilitetit   Probabiliteti i një rezultati duhet gjithmonë    të ...
Variabla e rastësishme diskrete/e                ndërprerë   Variabla e rastësishme diskrete/ e ndërpreë është    variabl...
Modelet teorike të shpërndarjes së            probabiliteve                            Modelet e                     shpër...
Distribucionet diskrete të probabilitetit     Distribucioni i probabilitetit definohet përmes     funksionit të probabilit...
Distribucionet diskrete të probabilitetit   Paraqitja grafike e distribucionit diskret të probabiliteteve                ...
Mesatarja , Varianca dhe Devijimi standard te distribucionet                 disktrete të probabiliteteve    Sikurse dist...
Vlera e pritur dhe varianca   Vlera e pritur- mesatarja aritmetike                   x       P(x)       xP(x)            ...
Distribucioni binomial   Shpërndarja binomiale e probabilitetit është një    shpërndarje e ndërprerë që gjen përdorim të ...
Distribucioni Binomial     Ne jemi të interesuar për numrin e sukseseve     që ndodhin në n prova.     Le te shenojmë me x...
Distribucioni Binomial      Funksioni i probabilitetit binomial                                 n!                  P( x ...
Distribucioni Binomial   Shembull: Firma “Electronics”         “Electronics” është e shqetësuar rreth largimit    të punë...
Distribucioni Binomial   Përdorimi i Tabelave të Probabilitetit Binomial                                                p...
Distribucioni Binomial    Vlera e pritur/ mesatarja aritmetike          E(x) =  = 3(.1) = 0.3 të punësuar prej 3    Var...
Shembull – tri mënyrat e llogaritjes së             probabilitetit binomial …Anisa nuk ka arritur që të mësoj në lendën e ...
Shembull- vazhdim…                 n=10, dhe P(sukses) = 0.20  Sa është probabiliteti që Anisa të ketë dy përgjigje të  sa...
Shembull-vazhdim…Llogariten probabilitet indiviuale dhe mblidhen !P(X ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)Ne veç e dime...
Tabela binomiale kumulative…“Sa është probabiliteti që Anisa të mos e qëllojë asnjëpërgjigje?” P(X = 0), duke ditur se P(s...
Funkcioni në Excel …=BINOMDIST()  Në Excel gjindet funksioni i probabilitetit binomial që mund të  shfrytëzohet për të llo...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Distribucionet diskrete te probabilitetit

2,608 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,608
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
30
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Distribucionet diskrete te probabilitetit

  1. 1. Variabla e rastësishme dhe distribucionet diskrete të probabilitetit Ligjërata e pestë Variabla e rastësishme dhe distribucionet diskrete të probabilitetitQëllimet:Pas përfundimit të ligjëratës ju duhet të jeni në gjendje që të : Definoni termet: variabël e rastësishme dhe distribucioni i probabilitetit.Të bëni dallimet në mes distribucionene diskrete dhekontinuale të probabilitetit.Kalkuloni mesataren aritmetike, variancën dhe devijiminstandard të distribucioneve diskrete të probabilitetit.Përshkruani karakteristikat dhe të llogaritni probabilitetetduke shfrytëzar Distribucionin Binomial të probabilitetit. 1
  2. 2. Variablat e rastësishme Variabla e rastësishme është përshkrimi me numra i rezultateve të një eksperimenti . SHEMBULL 1: Marrim në konsiderim eksperimentin në të cilin monedha hudhet tri herë. Le të jetë X numri i rënjes së numrit. Me “N” do të evidentojmë rënjen e numrit kurse me “S” rënjen e stemës.. SHEMBULL 1 vazhdim Hapësira e mostrës, gjegjësisht numri i rasteve të tërësishme për këtë eksperiment do të jetë: SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN. Kështu vlerat e mundshme për X ( numri i N) janë : X = 0,1,2,3. 2
  3. 3. Shembull 1 vazhdim Rezultati zero “numër” ndodh një herë. Rezultati një herë “numri” ndodh tri herë. Rezultati dy herë “numri” ndodh tri herë. Rezultati tri herë numri ndodhë një herë. Nga definimi i variablës së rastësishme , X i definuar në këtë eksperiment, është variabël e rastësishme. Distribucionet e probabilitetit X Rezultat Probabilitet (numri i et et e N) rezultateve Distribucioni i 0 1 1/8=0,12 probabilitetit është 5 numrimi i të gjitha 1 3 3/8=0,37 rezultateve të 5 mundshme të një 2 3 3/8=0,37 eksperimenti dhe 5 probalilitetet e 3 1 1/8=0,12 lidhura me to. Për 5 SHEMBULLIN 1, Gjithsej 8 8/8=1 : 3
  4. 4. Karakteristikat e distribucionit të probabilitetit Probabiliteti i një rezultati duhet gjithmonë të jetë në mes të 0 dhe 1. Shuma e të gjitha rezultateve reciprokisht përjashtuese është gjithmonë e babrabartë me një (1) Llojet e variablave të rastësishme Variablat e rastësishmeVariabla të rastësishme Variabla të rastësishme diskrete/ e ndërpreë kontinuale/ e vazhdueshme 4
  5. 5. Variabla e rastësishme diskrete/e ndërprerë Variabla e rastësishme diskrete/ e ndërpreë është variabla e cila mund të marr vetëm disa vlera të caktuara qartë që rezultojnë nga numërimi i disa njësive që janë me interes. P.sh.- Numri i SMS në telefonin tuaj gjatë ditës,- Numri i aksidenteve në komunikacion gjatë muajit prill,- Numri i MP3 të shitur në një shitore,- Numri i produkteve me defekt gjatë një dite pune, etj Shembull: Le të jetë X numri i rënjes së “numri” kur monedha hudhet tri herë. Këtu vlerat për X janë: X = 0,1,2,3. Variablat e rastësishme kontinuale/e vazhdueshme Variabël e rastësishme kontinuale /e vazhdueshme është variabla e cila mund të marr në infinit numër të madh të vlerave. Shembuj:- Gjatësia dhe pesha e studentëve,- Koha e nevojshme që me taksi të vihet në fakultet nga shtëpia,- Kohëzgjatja e një dremitje (gjumi) etj. 5
  6. 6. Modelet teorike të shpërndarjes së probabiliteve Modelet e shpërndarjes/distribucionitDistribucioni diskret i Distribucioni kontinual i probabiliteve probabiliteteve Distribucioni Binomial Distribucioni normal Distribucioni i Distribucioni hipergjeometrik “Studentit “  2 Distribucioni i Poisson-it Distribucioni (hi në katror) 2 Distribucioni uniformues Distribucioni i Fisherit (Snedecor) Distribucioni diskret i probabiliteteveDistribucioni i probabilitetit për variablën erastësishme përshkruan se si probabilitetet janë tëshpërndara rreth vlerës së variablës së rastësishme. Distribucionin diskret të probabilitetetve mund ta përshkruajmë me tabelë , grafik apo ekuacion. 6
  7. 7. Distribucionet diskrete të probabilitetit Distribucioni i probabilitetit definohet përmes funksionit të probabilitetit, i shënuar me P(x), i cili siguron probabilitet për çdo vlerë të varablës së rastësishme. Kushtet e kërkuara për funksionin e probabilitetit diskret janë: P(x) > 0 P(x) = 1 Distribucionet diskrete të probabilitetit  Përdorimi i të dhënave për shitjen e TV në të kaluarën. … Prezantimi tabelar i distribucionit të probabilitetit  për shitjen e TV. . Numri i 80/200 Nj. e shitura ditëve x P(x) 0 80 0 .40 1 50 1 .25 2 40 2 .20 3 10 3 .05 4 20 4 .10 200 1.00 7
  8. 8. Distribucionet diskrete të probabilitetit Paraqitja grafike e distribucionit diskret të probabiliteteve .50 Probabiliteti .40 .30 .20 .10 0 1 2 3 4 Vlerat e variablës së rastësishme x (Shitjet e TV) Distribucioni i probabilitetit diskret uniform/ i njëtrajtshëm Distribucioni i probabilitetit diskret uniform është shembulli më i thjeshtë i distribucioneve diskrete të probabilitetit i dhënë me formulën vijuese: Funksioni i distribucionit uniform të probabilitetit është: P(x) = 1/n Vlerat e variablës së rastësishme kanë gjasa të barbarta ku: n = numri i vlerave të variablës së rastësishme që mund të ndodhin 8
  9. 9. Mesatarja , Varianca dhe Devijimi standard te distribucionet disktrete të probabiliteteve  Sikurse distribucioni i frekuencave që karakterizohet me mesataren , variancën dhe devijimin standard, ashtu edhe distribucioni i shpërndarjes së probabiliteve përmblidhet me mesataren e tij dhe variancën.  Mesatarja e distribucioneve të probabilitetit shënohet me shkronjën greke “mi”μ  Devijimi sandard i distribucionit të probabiliteteve shënohet me shkronjën greke „sigma”σ Vlera e pritur dhe varianca Vlera e pritur, ose mesatarja, e variablës së rastësishme është matës i tendencës qendrore. E(x) =  = xP(x) Varianca përmbledh variabilitetin e vlerave të variablës së rastësishme. Var(x) =  2 = (x - )2P(x) Devijimi standard, , definohet si rrënja katrore e Variancës. 9
  10. 10. Vlera e pritur dhe varianca Vlera e pritur- mesatarja aritmetike x P(x) xP(x) 0 .40 .00 1 .25 .25 2 .20 .40 3 .05 .15 4 .10 .40 E(x) = 1.20 Numri i pritur i TVs të shitur brenda ditës Vlera e pritur dhe Varianca Varianca dhe Devijimi Standard E(x) = 1.20 x x- (x - )2 P(x) (x - )2P(x) 0 -1.2 1.44 .40 .576 1 -0.2 0.04 .25 .010 2 0.8 0.64 .20 .128 3 1.8 3.24 .05 .162 TVs 4 2.8 7.84 .10 .784 Në katror Varianca e shitjeve ditore=  2 = 1.660 Devijimi standard për shitjet ditore= 1.2884 TVs 10
  11. 11. Distribucioni binomial Shpërndarja binomiale e probabilitetit është një shpërndarje e ndërprerë që gjen përdorim të madh në praktikë Shpërndarja binomiale është e lidhur me eksperimentin shumëshkallësh të cilin e quajmë eksperiment binomial. Një prej karakteristikave të shpërndarjes binomiale është se lidhet me eksperimentet ku çdo rezultat mund të marr vetëm dy forma. P.sh qëndrimi i saktë dhe i pasaktë. Çdo rezultat është i papajtueshëm që do të thotë se diçka nuk mund të jetë e saktë dhe e pasaktë në të njejtën kohë. Distribucioni Binomial Katër karakteristikat e Eksperimentit Binomial 1. Eksperimenti përbëhet nga provat identike të njëpasnjëshme. 2. Dy rezultate , suksesi dhe dështimi, janë të mundshme në çdo provë. 3. Probabiliteti për sukses i shënuar me p nuk ndryshon prej një eksperimenti në një tjetër Supozimi i 4. Eksperimentet janë të pavarura. përhershëm 11
  12. 12. Distribucioni Binomial Ne jemi të interesuar për numrin e sukseseve që ndodhin në n prova. Le te shenojmë me x numrin e sukseseve që ndodhin në n prova. Distribucioni binomial - shembull Eksperimenti i gjuajtjes së monedhës 10 herë. A është eksperiment binomial apo jo?Zgjidhje: Eksperimenti i hudhjes së monedhës 10 herë i plotëson të katër kushtet e distribucionit binomial.1. Ka gjithsej 10 gjuajtje dhe të gjitha janë identike dhe kryhen në kushte të njejta, n=102. Çdo gjuajtje ka vetëm dy rezultate të mudshme: stema dhe numri. Le të shënojmë rënjen e stemës si “sukses” dhe rënjen e numrit si “mossukses”3. Probabiliteti i rënjes së stemës është ½ (suksesit) , gjtithashtu edhe rënja e numrit e ka probabilitetin ½. p(S) =1/2 dhe q(N) =1/24. Gjuajtjet janë të pavarura. Rezultatet e gjuajtjes së parë nuk kanë ndikim në rezultatet e gjuajtjes së dytë. 12
  13. 13. Distribucioni Binomial  Funksioni i probabilitetit binomial n! P( x )  px (1  p)( nx ) x !(n  x )! Ku: P(x) = Probabiliteti i suksesit x në n prova n- numri i eksperimenteve/provave x- numri i rasteve të suksesshme të vrojtuara p - probabiliteti i “suksesit” në cdo eksperiment/prove q - probabiliteti i “mossuksesit” në cdo eksperiment/prove (q = 1-p) Distribucioni Binomial  Funksioni i Probabilitetit Binomial n! P( x )  px (1  p)( n x ) x !(n  x )! n! px (1  p)( n  x ) x !(n  x )! Probabiliteti i një pjese Numri i rezultateve të të veçantë të rezultateve eksperimentit që sigurojnë me x suksesesaktësisht x suksese në n prova. në n prova 13
  14. 14. Distribucioni Binomial Shembull: Firma “Electronics” “Electronics” është e shqetësuar rreth largimit të punëtorëve nga firma. Në vitet e fundit , menaxhmenti i firmës ka vlerësuar se për çdo punëtor të zgjedhur rastësisht, probabiliteti se ai nuk do të jetë në kompani vitin e ardhsëm është 0.1 Distribucioni Binomial Përdorimi i funksionit të probabilitetit binomial Zgjedhim 3 të punësuar rastësisht, sa është probabiliteti që 1 nga ata ta lëshoj kompaninë këtë vit? Le te jete: p = 0.10, n = 3, x = 1 n! P( x)  p x (1  p)( n  x ) x !(n  x)! 3! P(1)  (0.1)1 (0.9)2  3(.1)(.81)  0.243 1!(3  1)! 14
  15. 15. Distribucioni Binomial Përdorimi i Tabelave të Probabilitetit Binomial pn x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .503 0 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .1250 1 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .3750 2 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .3750 3 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250 Shih tabelen e shpërndarjes binomiale ne librin “Bazat e Statistikës, fq.355 Distribucioni Binomial Vlera e pritur E(x) =  = np Varianca Var(x) =  2 = np(1  p) Devijimi standard   np(1  p) 15
  16. 16. Distribucioni Binomial Vlera e pritur/ mesatarja aritmetike E(x) =  = 3(.1) = 0.3 të punësuar prej 3 Varianca Var(x) =  2 = 3(.1)(.9) = 0.27 StandaDevijimi standard   3(.1)(.9)  0 .52 tepunesuar Mënyrat për të llogaritur probabilitetet binomiale1. Përdorimi i formulës binomiale është e përshtatshme kur numri i provave është relativisht i vogël.2. Përdorimi i tabelave binomiale që gjinden në fund të cdo libri të statistikës.3. Përdorimi i funksionit të Excel-it =BINOMDIST(x, n, p, false)” për të llogaritur probabilitet individuale . Zëvendësoni false me true për të fituar shumën e probabiliteteve binomiale prej 0 deri te x , gjegjësisht probabilitetet kumulative . 16
  17. 17. Shembull – tri mënyrat e llogaritjes së probabilitetit binomial …Anisa nuk ka arritur që të mësoj në lendën e statistikës.Strategjia e Anisës është që të bazohet në fat për afatin eardhshëm. Provimi përfshin 10 pyetje me shumë zgjedhje(n=10). Çdo pyetje ka nga 5 përgjigje ku vetëm njëra është esaktë. (p=0.2). Anisa planifikon që tia qëlloj secilës përgjigje.Sa është probabiliteti që Anisa të mos e qëlloj asnjë përgjigje? P(X=0) = P(0) =Sa është probabiliteti që Anisa të ketë dy përgjigje të sakta? P(X=2) = P(2) = Shembull- vazhdim n=10, dhe P(sukses) = 0.20 Sa është probabiliteti që Anisa të mos ketë qëlluar asnjë përgjigje? Shenojme me x-suksesin, x, = 0; prej këtu ne dëshirojmë të dimë P(x=0) Anisa ka afër 11% shanse që të mos e qëlloj asnjë përgjigje . 17
  18. 18. Shembull- vazhdim… n=10, dhe P(sukses) = 0.20 Sa është probabiliteti që Anisa të ketë dy përgjigje të sakta? Le të jetë suksesi, x, = 2; prej këtu ne dëshirojmë të dimë P(x=2) Anisa ka 30 % shansë që të ketë dy përgjigje të sakta. Probabiliteti kumulativ…“Gjej probabilitetin se Anisa “ka dështuar në provim”Nëse shkalla e rënjes në provim është më pak se 50% ( p.sh 5pyetje nga 10 sa janë gjithësej) kjo konsiderohet se proviminuk është kaluar.P( nuk e ka dhënë provimin) = P(X < 4) =P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)Kjo quhet probabiliteti kumulativ, ashtu që , P(X ≤ x)Vërejtje: Llogaritja e të gjitha probabiliteteve individualekërkon shumë punë dhe shumë kohë, megjithatë , Tabela eShpërndarjes Binomiale në fund të librit ju jep probabilitetetkumulative për n=10, p=0.2, x=4] 18
  19. 19. Shembull-vazhdim…Llogariten probabilitet indiviuale dhe mblidhen !P(X ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)Ne veç e dime se P(0) = 0.1074 dhe P(2) = 0.3020. Përdorimformulën binomiale për të llogaritur edhe të tjerat:P(1) = 0.2684 , P(3) = 0.2013, adhe P(4) = 0.0881Prej këtu P(X ≤ 4) = .1074 + .2684 + … + .0881 =0.9672OSEPërdorimi i Tabelës Binomiale në fund të librit për n=10,p=0.2, dhe x=4 “Sllajdi në vijim” (Kujdes, tabela është përprobabilitete kumulative)Tabela binomiale e probabiliteteve kumulative… “Sa është probabiliteti se Anisa do të dështojë në provim”? Gjegjësihst sa është P(X ≤ 4), duke ditur se P(sukses) = 0.20 dhe n=10 ? P(X ≤ 4) = 0.967 19
  20. 20. Tabela binomiale kumulative…“Sa është probabiliteti që Anisa të mos e qëllojë asnjëpërgjigje?” P(X = 0), duke ditur se P(sukses) = 0.20 and n=10 ? P(X = 0) = P(X ≤ 0) = 0.107 Funksioni i Excel-it… =BINOMDIST() Në Excel gjindet funksioni i probabilitetit binomial që mund të shfrytëzohet për të llogaritur këto probabilitete. Për shembull : Sa është probabiliteti që Anisa të ketë qëlluar dy përgjigje të sakta? # suksesi # provat P(sukses) True: Prob. kumulativ. False: Prob. individuale. P(X=2)=.3020 20
  21. 21. Funkcioni në Excel …=BINOMDIST() Në Excel gjindet funksioni i probabilitetit binomial që mund të shfrytëzohet për të llogaritur këto probabilitete. Për shembull :Sa është probabiliteti që Anisa të mos e kaloj provimin? # suksesi # provat P(sukses) Pr. Kumulativ- true P(X≤x)?) P(X≤4)=.9672 KONCEPTET KYÇEVariabla e rastësishme Distribucioni binomial iVariabla diskrete probabilitetitVariabla diskrete Tabela e DistribucionitDistribucioni i Binomialprobabilitetit Vlera e pritur eDistribucioni diskret i distribucionit binomialprobabiliteteve Devijimi standard iDistribucioni i distibucionit binomialvariablave kontinuale FunksioniVlera e pritur- “…=BINOMDIST() “ nëmesatarja aritmetike Excel……………Devijimi standard dhevarianca. 21

×