Distribucionet diskrete te probabilitetit
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Distribucionet diskrete te probabilitetit

on

  • 1,724 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,724
Views on SlideShare
1,724
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
20
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

CC Attribution-NonCommercial LicenseCC Attribution-NonCommercial License

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Distribucionet diskrete te probabilitetit Distribucionet diskrete te probabilitetit Document Transcript

    • Variabla e rastësishme dhe distribucionet diskrete të probabilitetit Ligjërata e pestë Variabla e rastësishme dhe distribucionet diskrete të probabilitetitQëllimet:Pas përfundimit të ligjëratës ju duhet të jeni në gjendje që të : Definoni termet: variabël e rastësishme dhe distribucioni i probabilitetit.Të bëni dallimet në mes distribucionene diskrete dhekontinuale të probabilitetit.Kalkuloni mesataren aritmetike, variancën dhe devijiminstandard të distribucioneve diskrete të probabilitetit.Përshkruani karakteristikat dhe të llogaritni probabilitetetduke shfrytëzar Distribucionin Binomial të probabilitetit. 1
    • Variablat e rastësishme Variabla e rastësishme është përshkrimi me numra i rezultateve të një eksperimenti . SHEMBULL 1: Marrim në konsiderim eksperimentin në të cilin monedha hudhet tri herë. Le të jetë X numri i rënjes së numrit. Me “N” do të evidentojmë rënjen e numrit kurse me “S” rënjen e stemës.. SHEMBULL 1 vazhdim Hapësira e mostrës, gjegjësisht numri i rasteve të tërësishme për këtë eksperiment do të jetë: SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN. Kështu vlerat e mundshme për X ( numri i N) janë : X = 0,1,2,3. 2
    • Shembull 1 vazhdim Rezultati zero “numër” ndodh një herë. Rezultati një herë “numri” ndodh tri herë. Rezultati dy herë “numri” ndodh tri herë. Rezultati tri herë numri ndodhë një herë. Nga definimi i variablës së rastësishme , X i definuar në këtë eksperiment, është variabël e rastësishme. Distribucionet e probabilitetit X Rezultat Probabilitet (numri i et et e N) rezultateve Distribucioni i 0 1 1/8=0,12 probabilitetit është 5 numrimi i të gjitha 1 3 3/8=0,37 rezultateve të 5 mundshme të një 2 3 3/8=0,37 eksperimenti dhe 5 probalilitetet e 3 1 1/8=0,12 lidhura me to. Për 5 SHEMBULLIN 1, Gjithsej 8 8/8=1 : 3
    • Karakteristikat e distribucionit të probabilitetit Probabiliteti i një rezultati duhet gjithmonë të jetë në mes të 0 dhe 1. Shuma e të gjitha rezultateve reciprokisht përjashtuese është gjithmonë e babrabartë me një (1) Llojet e variablave të rastësishme Variablat e rastësishmeVariabla të rastësishme Variabla të rastësishme diskrete/ e ndërpreë kontinuale/ e vazhdueshme 4
    • Variabla e rastësishme diskrete/e ndërprerë Variabla e rastësishme diskrete/ e ndërpreë është variabla e cila mund të marr vetëm disa vlera të caktuara qartë që rezultojnë nga numërimi i disa njësive që janë me interes. P.sh.- Numri i SMS në telefonin tuaj gjatë ditës,- Numri i aksidenteve në komunikacion gjatë muajit prill,- Numri i MP3 të shitur në një shitore,- Numri i produkteve me defekt gjatë një dite pune, etj Shembull: Le të jetë X numri i rënjes së “numri” kur monedha hudhet tri herë. Këtu vlerat për X janë: X = 0,1,2,3. Variablat e rastësishme kontinuale/e vazhdueshme Variabël e rastësishme kontinuale /e vazhdueshme është variabla e cila mund të marr në infinit numër të madh të vlerave. Shembuj:- Gjatësia dhe pesha e studentëve,- Koha e nevojshme që me taksi të vihet në fakultet nga shtëpia,- Kohëzgjatja e një dremitje (gjumi) etj. 5
    • Modelet teorike të shpërndarjes së probabiliteve Modelet e shpërndarjes/distribucionitDistribucioni diskret i Distribucioni kontinual i probabiliteve probabiliteteve Distribucioni Binomial Distribucioni normal Distribucioni i Distribucioni hipergjeometrik “Studentit “  2 Distribucioni i Poisson-it Distribucioni (hi në katror) 2 Distribucioni uniformues Distribucioni i Fisherit (Snedecor) Distribucioni diskret i probabiliteteveDistribucioni i probabilitetit për variablën erastësishme përshkruan se si probabilitetet janë tëshpërndara rreth vlerës së variablës së rastësishme. Distribucionin diskret të probabilitetetve mund ta përshkruajmë me tabelë , grafik apo ekuacion. 6
    • Distribucionet diskrete të probabilitetit Distribucioni i probabilitetit definohet përmes funksionit të probabilitetit, i shënuar me P(x), i cili siguron probabilitet për çdo vlerë të varablës së rastësishme. Kushtet e kërkuara për funksionin e probabilitetit diskret janë: P(x) > 0 P(x) = 1 Distribucionet diskrete të probabilitetit  Përdorimi i të dhënave për shitjen e TV në të kaluarën. … Prezantimi tabelar i distribucionit të probabilitetit  për shitjen e TV. . Numri i 80/200 Nj. e shitura ditëve x P(x) 0 80 0 .40 1 50 1 .25 2 40 2 .20 3 10 3 .05 4 20 4 .10 200 1.00 7
    • Distribucionet diskrete të probabilitetit Paraqitja grafike e distribucionit diskret të probabiliteteve .50 Probabiliteti .40 .30 .20 .10 0 1 2 3 4 Vlerat e variablës së rastësishme x (Shitjet e TV) Distribucioni i probabilitetit diskret uniform/ i njëtrajtshëm Distribucioni i probabilitetit diskret uniform është shembulli më i thjeshtë i distribucioneve diskrete të probabilitetit i dhënë me formulën vijuese: Funksioni i distribucionit uniform të probabilitetit është: P(x) = 1/n Vlerat e variablës së rastësishme kanë gjasa të barbarta ku: n = numri i vlerave të variablës së rastësishme që mund të ndodhin 8
    • Mesatarja , Varianca dhe Devijimi standard te distribucionet disktrete të probabiliteteve  Sikurse distribucioni i frekuencave që karakterizohet me mesataren , variancën dhe devijimin standard, ashtu edhe distribucioni i shpërndarjes së probabiliteve përmblidhet me mesataren e tij dhe variancën.  Mesatarja e distribucioneve të probabilitetit shënohet me shkronjën greke “mi”μ  Devijimi sandard i distribucionit të probabiliteteve shënohet me shkronjën greke „sigma”σ Vlera e pritur dhe varianca Vlera e pritur, ose mesatarja, e variablës së rastësishme është matës i tendencës qendrore. E(x) =  = xP(x) Varianca përmbledh variabilitetin e vlerave të variablës së rastësishme. Var(x) =  2 = (x - )2P(x) Devijimi standard, , definohet si rrënja katrore e Variancës. 9
    • Vlera e pritur dhe varianca Vlera e pritur- mesatarja aritmetike x P(x) xP(x) 0 .40 .00 1 .25 .25 2 .20 .40 3 .05 .15 4 .10 .40 E(x) = 1.20 Numri i pritur i TVs të shitur brenda ditës Vlera e pritur dhe Varianca Varianca dhe Devijimi Standard E(x) = 1.20 x x- (x - )2 P(x) (x - )2P(x) 0 -1.2 1.44 .40 .576 1 -0.2 0.04 .25 .010 2 0.8 0.64 .20 .128 3 1.8 3.24 .05 .162 TVs 4 2.8 7.84 .10 .784 Në katror Varianca e shitjeve ditore=  2 = 1.660 Devijimi standard për shitjet ditore= 1.2884 TVs 10
    • Distribucioni binomial Shpërndarja binomiale e probabilitetit është një shpërndarje e ndërprerë që gjen përdorim të madh në praktikë Shpërndarja binomiale është e lidhur me eksperimentin shumëshkallësh të cilin e quajmë eksperiment binomial. Një prej karakteristikave të shpërndarjes binomiale është se lidhet me eksperimentet ku çdo rezultat mund të marr vetëm dy forma. P.sh qëndrimi i saktë dhe i pasaktë. Çdo rezultat është i papajtueshëm që do të thotë se diçka nuk mund të jetë e saktë dhe e pasaktë në të njejtën kohë. Distribucioni Binomial Katër karakteristikat e Eksperimentit Binomial 1. Eksperimenti përbëhet nga provat identike të njëpasnjëshme. 2. Dy rezultate , suksesi dhe dështimi, janë të mundshme në çdo provë. 3. Probabiliteti për sukses i shënuar me p nuk ndryshon prej një eksperimenti në një tjetër Supozimi i 4. Eksperimentet janë të pavarura. përhershëm 11
    • Distribucioni Binomial Ne jemi të interesuar për numrin e sukseseve që ndodhin në n prova. Le te shenojmë me x numrin e sukseseve që ndodhin në n prova. Distribucioni binomial - shembull Eksperimenti i gjuajtjes së monedhës 10 herë. A është eksperiment binomial apo jo?Zgjidhje: Eksperimenti i hudhjes së monedhës 10 herë i plotëson të katër kushtet e distribucionit binomial.1. Ka gjithsej 10 gjuajtje dhe të gjitha janë identike dhe kryhen në kushte të njejta, n=102. Çdo gjuajtje ka vetëm dy rezultate të mudshme: stema dhe numri. Le të shënojmë rënjen e stemës si “sukses” dhe rënjen e numrit si “mossukses”3. Probabiliteti i rënjes së stemës është ½ (suksesit) , gjtithashtu edhe rënja e numrit e ka probabilitetin ½. p(S) =1/2 dhe q(N) =1/24. Gjuajtjet janë të pavarura. Rezultatet e gjuajtjes së parë nuk kanë ndikim në rezultatet e gjuajtjes së dytë. 12
    • Distribucioni Binomial  Funksioni i probabilitetit binomial n! P( x )  px (1  p)( nx ) x !(n  x )! Ku: P(x) = Probabiliteti i suksesit x në n prova n- numri i eksperimenteve/provave x- numri i rasteve të suksesshme të vrojtuara p - probabiliteti i “suksesit” në cdo eksperiment/prove q - probabiliteti i “mossuksesit” në cdo eksperiment/prove (q = 1-p) Distribucioni Binomial  Funksioni i Probabilitetit Binomial n! P( x )  px (1  p)( n x ) x !(n  x )! n! px (1  p)( n  x ) x !(n  x )! Probabiliteti i një pjese Numri i rezultateve të të veçantë të rezultateve eksperimentit që sigurojnë me x suksesesaktësisht x suksese në n prova. në n prova 13
    • Distribucioni Binomial Shembull: Firma “Electronics” “Electronics” është e shqetësuar rreth largimit të punëtorëve nga firma. Në vitet e fundit , menaxhmenti i firmës ka vlerësuar se për çdo punëtor të zgjedhur rastësisht, probabiliteti se ai nuk do të jetë në kompani vitin e ardhsëm është 0.1 Distribucioni Binomial Përdorimi i funksionit të probabilitetit binomial Zgjedhim 3 të punësuar rastësisht, sa është probabiliteti që 1 nga ata ta lëshoj kompaninë këtë vit? Le te jete: p = 0.10, n = 3, x = 1 n! P( x)  p x (1  p)( n  x ) x !(n  x)! 3! P(1)  (0.1)1 (0.9)2  3(.1)(.81)  0.243 1!(3  1)! 14
    • Distribucioni Binomial Përdorimi i Tabelave të Probabilitetit Binomial pn x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .503 0 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .1250 1 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .3750 2 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .3750 3 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250 Shih tabelen e shpërndarjes binomiale ne librin “Bazat e Statistikës, fq.355 Distribucioni Binomial Vlera e pritur E(x) =  = np Varianca Var(x) =  2 = np(1  p) Devijimi standard   np(1  p) 15
    • Distribucioni Binomial Vlera e pritur/ mesatarja aritmetike E(x) =  = 3(.1) = 0.3 të punësuar prej 3 Varianca Var(x) =  2 = 3(.1)(.9) = 0.27 StandaDevijimi standard   3(.1)(.9)  0 .52 tepunesuar Mënyrat për të llogaritur probabilitetet binomiale1. Përdorimi i formulës binomiale është e përshtatshme kur numri i provave është relativisht i vogël.2. Përdorimi i tabelave binomiale që gjinden në fund të cdo libri të statistikës.3. Përdorimi i funksionit të Excel-it =BINOMDIST(x, n, p, false)” për të llogaritur probabilitet individuale . Zëvendësoni false me true për të fituar shumën e probabiliteteve binomiale prej 0 deri te x , gjegjësisht probabilitetet kumulative . 16
    • Shembull – tri mënyrat e llogaritjes së probabilitetit binomial …Anisa nuk ka arritur që të mësoj në lendën e statistikës.Strategjia e Anisës është që të bazohet në fat për afatin eardhshëm. Provimi përfshin 10 pyetje me shumë zgjedhje(n=10). Çdo pyetje ka nga 5 përgjigje ku vetëm njëra është esaktë. (p=0.2). Anisa planifikon që tia qëlloj secilës përgjigje.Sa është probabiliteti që Anisa të mos e qëlloj asnjë përgjigje? P(X=0) = P(0) =Sa është probabiliteti që Anisa të ketë dy përgjigje të sakta? P(X=2) = P(2) = Shembull- vazhdim n=10, dhe P(sukses) = 0.20 Sa është probabiliteti që Anisa të mos ketë qëlluar asnjë përgjigje? Shenojme me x-suksesin, x, = 0; prej këtu ne dëshirojmë të dimë P(x=0) Anisa ka afër 11% shanse që të mos e qëlloj asnjë përgjigje . 17
    • Shembull- vazhdim… n=10, dhe P(sukses) = 0.20 Sa është probabiliteti që Anisa të ketë dy përgjigje të sakta? Le të jetë suksesi, x, = 2; prej këtu ne dëshirojmë të dimë P(x=2) Anisa ka 30 % shansë që të ketë dy përgjigje të sakta. Probabiliteti kumulativ…“Gjej probabilitetin se Anisa “ka dështuar në provim”Nëse shkalla e rënjes në provim është më pak se 50% ( p.sh 5pyetje nga 10 sa janë gjithësej) kjo konsiderohet se proviminuk është kaluar.P( nuk e ka dhënë provimin) = P(X < 4) =P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)Kjo quhet probabiliteti kumulativ, ashtu që , P(X ≤ x)Vërejtje: Llogaritja e të gjitha probabiliteteve individualekërkon shumë punë dhe shumë kohë, megjithatë , Tabela eShpërndarjes Binomiale në fund të librit ju jep probabilitetetkumulative për n=10, p=0.2, x=4] 18
    • Shembull-vazhdim…Llogariten probabilitet indiviuale dhe mblidhen !P(X ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)Ne veç e dime se P(0) = 0.1074 dhe P(2) = 0.3020. Përdorimformulën binomiale për të llogaritur edhe të tjerat:P(1) = 0.2684 , P(3) = 0.2013, adhe P(4) = 0.0881Prej këtu P(X ≤ 4) = .1074 + .2684 + … + .0881 =0.9672OSEPërdorimi i Tabelës Binomiale në fund të librit për n=10,p=0.2, dhe x=4 “Sllajdi në vijim” (Kujdes, tabela është përprobabilitete kumulative)Tabela binomiale e probabiliteteve kumulative… “Sa është probabiliteti se Anisa do të dështojë në provim”? Gjegjësihst sa është P(X ≤ 4), duke ditur se P(sukses) = 0.20 dhe n=10 ? P(X ≤ 4) = 0.967 19
    • Tabela binomiale kumulative…“Sa është probabiliteti që Anisa të mos e qëllojë asnjëpërgjigje?” P(X = 0), duke ditur se P(sukses) = 0.20 and n=10 ? P(X = 0) = P(X ≤ 0) = 0.107 Funksioni i Excel-it… =BINOMDIST() Në Excel gjindet funksioni i probabilitetit binomial që mund të shfrytëzohet për të llogaritur këto probabilitete. Për shembull : Sa është probabiliteti që Anisa të ketë qëlluar dy përgjigje të sakta? # suksesi # provat P(sukses) True: Prob. kumulativ. False: Prob. individuale. P(X=2)=.3020 20
    • Funkcioni në Excel …=BINOMDIST() Në Excel gjindet funksioni i probabilitetit binomial që mund të shfrytëzohet për të llogaritur këto probabilitete. Për shembull :Sa është probabiliteti që Anisa të mos e kaloj provimin? # suksesi # provat P(sukses) Pr. Kumulativ- true P(X≤x)?) P(X≤4)=.9672 KONCEPTET KYÇEVariabla e rastësishme Distribucioni binomial iVariabla diskrete probabilitetitVariabla diskrete Tabela e DistribucionitDistribucioni i Binomialprobabilitetit Vlera e pritur eDistribucioni diskret i distribucionit binomialprobabiliteteve Devijimi standard iDistribucioni i distibucionit binomialvariablave kontinuale FunksioniVlera e pritur- “…=BINOMDIST() “ nëmesatarja aritmetike Excel……………Devijimi standard dhevarianca. 21