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5   variáveis aleatórias contínuas
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5 variáveis aleatórias contínuas

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  • 1. Variáveis Aleatórias ContínuasProfª. JanineDisciplina: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
  • 2. Seja X uma v.a. contínua.Uma variável aleatória pode assumir qualquer valorfracionário dentro de um intervalo definido de valores.A proporção da área incluída ou frequência relativa entredois pontos quaisquer, abaixo da curva de probabilidade,identifica a probabilidade de que a v.a. selecionadaassuma um valor entre tais pontos.VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
  • 3. Ou seja:∫=≤≤badxxfbXaP )()(VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
  • 4. Para que f(x) seja uma função de distribuição deprobabilidade (fdp) legítima, deve satisfazer às duascondições a seguir:a)b)f(x)degráficodoabaixoáreaaéque1,dxf(x)∫∞∞=xostodospara,0≥f(x)VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
  • 5. Proposição: Seja X uma variável contínua X com f.d.p.f(x) então, definimos:Valor Esperado:Variância:Desvio Padrão:dxxfxXEX ∫∞∞−⋅== )()(µ222))(()()( XEXEXVX −==σ2Xσσ =dxxfxXE ∫∞∞−⋅= )()( 22VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
  • 6. Principais Características:1)Para cada média e desvio padrão existe umacurva diferente.2)O ponto mais alto da curva está na média.3)A curva é simétrica em relação a média: o ladoesquerdo é igual ao lado direito.4)O desvio padrão determina a largura da curva.5)A área total abaixo da curva é igual a 1 ou 100%.DISTRIBUIÇÃO NORMAL
  • 7. O gráfico de f(x) é:DISTRIBUIÇÃO NORMAL
  • 8. Se quisermos calcular a probabilidade indicada nafigura, devemos fazer:Que representa um relativo grau de dificuldade.Usaremos então a notação:Seja X~N, definimos:e2π1=b)≤X≤P(a ∫ba-21-dxσσμx²)²(²),(N: σµX-X:σμZDISTRIBUIÇÃO NORMAL
  • 9. A vantagem dessa curva padronizada consiste em definirparâmetros para qualquer escala de medida que vocêutilizar.Z é chamada de variável normal reduzida, NormalPadronizada ou Variável Normalizada.Z tem E(Z)=0 e VAR(Z)=1.Assim, podemos usar:(0,1)N:Z²),(N: ⇒σµX( )∞-∞e2π1=f(z) 21-<<²zzDISTRIBUIÇÃO NORMAL
  • 10. A variável Z indica quantos desvios padrões a variávelX está afastada da média. Como as curvas sãosimétricas em relação a média.Como para X dado a área a ser encontrada depende deμ e δ². Então é vantagem usar a variável Normalizada eencontrar essas as probabilidades por meio de valorestabelados.DISTRIBUIÇÃO NORMAL
  • 11. Tabela: Área sob a curva normal padronizadaDISTRIBUIÇÃO NORMAL
  • 12. Exemplo 1: (Como usar a tabela).Seja X: N(100, 25). Calcule:a) P(100 ≤ X ≤ 106);b) P(89 ≤ X ≤ 107);c) P(112 ≤ X ≤ 116);d) P(X ≥ 108);DISTRIBUIÇÃO NORMAL
  • 13. Exemplo 2:O tempo que um motorista leva para reagir às luzes defreio em um veículo em desaceleração é crucial paraevitar colisões traseiras. O artigo “Fast-Rise Brake Lampas a Collision-Prevention Device ” (Ergonomics, 1993, p.391-395) sugere que o tempo de reação de umarespostas no trânsito a um sinal de frenagem com luzesde freio convencionais pode ser modelado com umadistribuição normal de média 1,25 segundo e desviopadrão de 0,46 segundo. Qual é a probabilidade de que otempo de reação esteja entre 1,00 e 1,75 segundos?DISTRIBUIÇÃO NORMAL
  • 14. forneceãopadronizaçAxPporbuscamosreaçãodetempooxpormosrepresentaSe).75,100,1(,≤≤460251751460251001751001,,,,,,,,,−≤≤−≤≤Zsesomenteesex( ) ( ) )54,0()09,1(09,154,075,100,1:09,154,0−Φ−Φ=≤≤−=≤≤≤≤−ZPxPAssimZsejaOu( ) 5675,02946,08621,075,100,1 =−=≤≤= xPDISTRIBUIÇÃO NORMAL
  • 15. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUAOutras distribuições contínuas:Distribuição Uniforme Contínua: é aquela em quetodos os elementos têm a mesma probabilidade deocorrer.Distribuição Exponencial: é frequentemente usada paramodelar a distribuição dos tempos entre a ocorrência deeventos sucessivos, tais como clientes chegando em umaunidade de atendimento, chamadas em uma centraltelefônica (X: tempo decorrido até que o 1º evento ocorra).

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