• Like
  • Save
Pd linier tak homogen dengan Koef Konstan
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Pd linier tak homogen dengan Koef Konstan

on

  • 1,827 views

Mata Kuliah Persamaan Diferensial 2

Mata Kuliah Persamaan Diferensial 2

Statistics

Views

Total Views
1,827
Views on SlideShare
1,825
Embed Views
2

Actions

Likes
0
Downloads
82
Comments
3

1 Embed 2

http://www.docseek.net 2

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

13 of 3 Post a comment

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Pd linier tak homogen dengan Koef Konstan Pd linier tak homogen dengan Koef Konstan Document Transcript

    • PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-N TAK HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTANBentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut : 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯)Solusi umum 𝑦(π‘₯) akan didapatkan bila solusi umum 𝑦 𝑕 π‘₯ dari Persamaan DiferensialHomogen diketahui, dimanaBentuk umum persamaan diferensial homogeny orde-n adalah sebagai berikut : 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = 0Kemudian 𝑦(π‘₯) dibentuk dengan penambahan 𝑦 𝑕 π‘₯ sembarang solusi 𝑦 termasuk konstantatak tetapnya.Sehingga, 𝑦 π‘₯ = 𝑦 𝑕 (π‘₯) + α»Ή(π‘₯)Theorema 1:𝑓 π‘₯ , 𝑔 π‘₯ dan π‘Ÿ π‘₯ merupakan fungsi kontinu pada interval l. 𝑦 π‘₯ merupakan solusi dariPersamaan Diferensial di atas yang berisikan konstanta yang tetap. 𝑦 π‘₯ dibentuk oleh 2konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogeny) 𝑦 𝑕 (π‘₯).Konstanta kedua, tetap, terdapat pada fungsi α»Ή(π‘₯), yaitu sembarang solusi PersamaanDiferensial pada interval l.Theorema 2:Solusi umum dari Persamaan Diferensial seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaanhomogeny 𝑦 𝑕 (π‘₯) dengan solusi particular yang tetap (tak berubah-ubah) 𝑦 𝑝 (π‘₯).Sehingga,𝑦 π‘₯ = 𝑦 𝑕 π‘₯ + 𝑦 𝑝 (π‘₯) 1
    • Mengingat teorema solusi umum persamaan diferensial tak homogeny, tugas kita disinihanyalah mencari satu solusi particular dari persamaan diferensial tak homogeny.Terdapat tiga metode: 1. Metode koefisien tak tentu Ide dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi 𝑦 𝑝 (solusi ansatz) berdasarkan bentuk fungsi π‘Ÿ π‘₯ di ruas kanan. Bentuk persamaan umum: 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯) οƒ˜ Fungsi π‘Ÿ(π‘₯) yang merupakan bentuk solusi pertikular 𝑦 𝑝 (π‘₯) diperoleh dengan cara menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah dari beberpa fungsi οƒ˜ π‘Ÿ(π‘₯) berisikan koefisien tak tentu οƒ˜ Turunkan 𝑦 𝑝 sesuai persamaan umum di atas οƒ˜ Subtitusikan 𝑦 𝑝 dan seluruh turunannya ke dalam persamaan Tabel Metode Koefisian Tak Tentu Aturan: οƒ˜ Bila π‘Ÿ(π‘₯) meupakan salah satu fungsi seperti dalam table, maka pilih bentuk 𝑦 𝑝 yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tantu. Turunan π‘Ÿ(π‘₯) harus bebas linier pula. οƒ˜ Bila π‘Ÿ(π‘₯) merupakan penjumlahan, maka pilih𝑦 𝑝 yang merupakan penjumlahan fungsi yang sesuai. 2
    • οƒ˜ Bila π‘Ÿ(π‘₯) adalah solusi dari persamaan homogeny, maka pilihan dapat dimodifikasi seperti berikutAturan ModifikasiKalikan pilihan pada kolom 2 dengan π‘₯ atau π‘₯ 2 tergantung dari apakah pada kolom 3berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogeny.Contoh Soal1) Selesaikan persamaan berikut: 𝑦 β€²β€² βˆ’ 4𝑦 β€² + 3𝑦 = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ Jawab: οƒž Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 β€²β€² βˆ’ 4𝑦 β€² + 3𝑦 = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ πœ†2 βˆ’ 4πœ† + 3 = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ πœ†βˆ’3 πœ†βˆ’1 πœ† 1 = 3 dan πœ† 2 = 1 Maka, 2 𝑦𝑕 = 𝐢𝑖𝑒 π‘Ÿπ‘–π‘₯ 𝑖=1 𝑦 𝑕 = 𝐢1 𝑒 3π‘₯ + 𝐢2 𝑒 π‘₯ οƒž Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 Turunan 𝑒 βˆ’2π‘₯ adalah 𝐢𝑒 βˆ’2π‘₯ Maka, 𝑦 𝑝 = C𝑒 βˆ’2π‘₯ 𝑦 𝑝 β€² = βˆ’2C𝑒 βˆ’2π‘₯ dan 𝑦 𝑝 β€²β€² = 4C𝑒 βˆ’2π‘₯ 4C𝑒 βˆ’2π‘₯ βˆ’ 4(βˆ’2C𝑒 βˆ’2π‘₯ ) + 3(C𝑒 βˆ’2π‘₯ ) = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ C𝑒 βˆ’2π‘₯ 4 + 8 + 3 = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ 15 C𝑒 βˆ’2π‘₯ = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ 10𝑒 βˆ’2π‘₯ C= 15𝑒 βˆ’2π‘₯ 2 C= 3 2 Maka, 𝑦 𝑝 = 𝑒 βˆ’2π‘₯ 3 3
    • οƒž Solusi Umum 𝑦 = 𝑦 𝑕 + 𝑦𝑝 2 βˆ’2π‘₯ 𝑦 = 𝐢1 𝑒 3π‘₯ + 𝐢2 𝑒 π‘₯ + 𝑒 32) Selesaikan 𝑦 β€²β€² + 4𝑦 = 8π‘₯ 2 Jawab: οƒž Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 β€²β€² + 4𝑦 = 8π‘₯ 2 πœ†2 + 4 = 0 πœ† 1 = 𝑝 + π‘—π‘ž = +𝑗2 ; πœ† 2 = 𝑝 βˆ’ π‘—π‘ž = βˆ’π‘—2; 𝑝 = 0 Maka, solusi homogeny untuk D<0: 𝑦 𝑕 = 𝑒 𝑝π‘₯ [𝐴 cos π‘žπ‘₯ + 𝐡 sin π‘žπ‘₯] 𝑦 𝑕 = [𝐴 cos 2π‘₯ + 𝐡 sin 2π‘₯ οƒž Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 Misal 1 : 𝑦 = 𝐢π‘₯ 2 ; 𝑦′′ = 2𝐢 2𝐢 + 4𝐢π‘₯ 2 = 8π‘₯ 2 ; 2𝐢 = 0 ; 4𝐢 = 8 Gagal, tidak konsisten. Misal 2 : 𝑦 𝑝 = 𝐢π‘₯ 2 + 𝐿π‘₯ + π‘š ; 𝑦′′ = 2𝐢 2𝐢 + 4(𝐢π‘₯ 2 + 𝐿π‘₯ + π‘š) = 8π‘₯ 2 4𝐢π‘₯ 2 + 4𝐿π‘₯ + (2𝐢 + 4π‘š) = 8π‘₯ 2 Dengan metode identifikasi: 𝐢 =2; 𝐿 =0; 𝑀 =1 Maka, 𝑦 𝑝 = 2π‘₯ 2 + 1 οƒž Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 𝑦 = 𝐴 π‘π‘œπ‘  2π‘₯ + 𝐡 sin 2π‘₯ + 2π‘₯ 2 + 13) Selesaikan 𝑦 β€²β€² βˆ’ 𝑦 β€² βˆ’ 2𝑦 = 10 cos π‘₯ Jawab: οƒž Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 β€²β€² βˆ’ 𝑦 β€² βˆ’ 2𝑦 = 10 cos π‘₯ πœ†2 βˆ’ 𝑦 βˆ’ 2 = 0 4
    • πœ†βˆ’1 πœ†+1 = 0 πœ† 1 = 1 dan πœ† 2 = βˆ’1 Maka, 2 𝑦𝑕 = 𝐢𝑖𝑒 π‘Ÿπ‘–π‘₯ 𝑖=1 𝑦 𝑕 = 𝐢1 𝑒 π‘₯ + 𝐢2 𝑒 βˆ’π‘₯ οƒž Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 𝑦 𝑝 = π‘˜ cos π‘₯ + π‘š sin π‘₯ 𝑦 ′𝑝 = βˆ’π‘˜ sin π‘₯ + π‘š cos π‘₯ 𝑦 β€²β€² = βˆ’π‘˜ cos π‘₯ βˆ’ π‘š sin π‘₯ 𝑝 Masukan ke persamaan: 𝑦 β€²β€² βˆ’ 𝑦 β€² βˆ’ 2𝑦 = 10 cos π‘₯ βˆ’π‘˜ cos π‘₯ βˆ’ π‘š sin π‘₯ βˆ’ βˆ’π‘˜ sin π‘₯ + π‘š cos π‘₯ βˆ’ 2 π‘˜ cos π‘₯ + π‘š sin π‘₯ = 10 cos π‘₯ βˆ’3π‘š βˆ’ π‘š π‘π‘œπ‘ π‘₯ + π‘˜ βˆ’ 3π‘š 𝑠𝑖𝑛π‘₯ = 10 π‘π‘œπ‘ π‘₯ βˆ’3π‘š βˆ’ π‘š = 10 ; π‘˜ βˆ’ 3π‘š = 0 π‘˜ = βˆ’3 ; π‘š = βˆ’1 𝑦 𝑝 = βˆ’3π‘π‘œπ‘ π‘₯ βˆ’ 𝑠𝑖𝑛π‘₯ οƒž Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 𝑦 = βˆ’3π‘π‘œπ‘ π‘₯ βˆ’ 𝑠𝑖𝑛π‘₯ + 𝐢1 𝑒 π‘₯ + 𝐢2 𝑒 βˆ’π‘₯4) Selesaikan: 𝑦 β€²β€² βˆ’ 3𝑦 β€² + 2𝑦 = 4π‘₯ + 𝑒 3π‘₯ Jawab: οƒž Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 β€²β€² βˆ’ 3𝑦 β€² + 2𝑦 = 4π‘₯ + 𝑒 3π‘₯ πœ†2 βˆ’ 3𝑦 + 2 = 0 πœ†βˆ’2 πœ†βˆ’1 = 0 πœ† 1 = 2 dan πœ† 2 = 1 Maka, 2 𝑦𝑕 = 𝐢𝑖𝑒 π‘Ÿπ‘–π‘₯ 𝑖=1 5
    • 𝑦 𝑕 = 𝐢1 𝑒 2π‘₯ + 𝐢2 𝑒 π‘₯ οƒž Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 𝑦 𝑝 = π‘˜1 π‘₯ + π‘˜0 + 𝐢𝑒 3π‘₯ 𝑦 ′𝑝 = π‘˜1 + 3𝐢𝑒 3π‘₯ 𝑦 β€²β€² = 9𝐢𝑒 3π‘₯ 𝑝 Masukan ke persamaan: 𝑦 β€²β€² βˆ’ 3𝑦 β€² + 2𝑦 = 4π‘₯ + 𝑒 3π‘₯ 9𝐢𝑒 3π‘₯ βˆ’ 3 π‘˜1 + 3𝐢𝑒 3π‘₯ + 2 π‘˜1 π‘₯ + π‘˜0 + 𝐢𝑒 3π‘₯ = 4π‘₯ + 𝑒 3π‘₯ 1 π‘˜1 = 2 ; π‘˜0 = 3 ; 𝐢 = (2) 1 𝑦 𝑝 = 2π‘₯ + 3 + ( )𝐢𝑒 3π‘₯ 2 οƒž Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 1 𝑦 = 2π‘₯ + 3 + ( )𝐢𝑒 3π‘₯ + 𝐢1 𝑒 2π‘₯ + 𝐢2 𝑒 π‘₯ 22. Metode Kompleks Bentuk umumnya seperti persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯). Contoh: Ξͺ + Δ° + 2I = 6 cos 𝑑 Dengan metode koefisien tak tentu akan diperoleh: 𝐼 𝑃 𝑑 = 3 cos 𝑑 + 3 sin 𝑑 Menurut hokum Euler, ruas kanan persamaan Ξͺ + Δ° + 2I = 6 cos 𝑑, 6 cos 𝑑 adalah komponen nyata (real) karena: 6𝑒 𝑖𝑑 = 6 (cos 𝑑 + 𝑖 sin 𝑑) 6
    • Sehingga persamaan Ξͺ + Δ° + 2I = 6 cos 𝑑 dapat ditulis dengan: Ξͺ + Δ° + 2I = 6𝑒 𝑖𝑑 Solusi particular kompleks dapat di buat dalam bentuk: πΌπ‘βˆ— (𝑑) = π‘˜π‘’ 𝑖𝑑 dan Δ° π‘βˆ— = π‘–π‘˜π‘’ 𝑖𝑑 Ξͺ π‘βˆ— = βˆ’π‘–π‘˜π‘’ 𝑖𝑑 bila disubtitusikan ke dalam persamaan Ξͺ + Δ° + 2I = 6𝑒 𝑖𝑑 : (βˆ’1 + 𝐼 + 2)π‘˜π‘’ 𝑖𝑑 = 6𝑒 𝑖𝑑 6 π‘˜= = 3 βˆ’ 𝑖3 1+ 𝑖 Sehingga solusi umum persamaan Ξͺ + Δ° + 2I = 6𝑒 𝑖𝑑 adalah: Δ° π‘βˆ— (𝑑) = 3 βˆ’ 𝑖3 𝑒𝑖𝑑 = 3 βˆ’ 𝑖3 (cos 𝑑 + 𝑖 sin 𝑑) Dan komponen nyatanya adalah: Δ° 𝑝 𝑑 = 3 cos 𝑑 + 3 sin 𝑑3. Metode Umum Bentuk umum Persamaan Diferensial Tak Homogen 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯) Sedangkan bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen : 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = 0 7
    • Maka solusi umumnya 𝑦 𝑕 (π‘₯) pada interval terbuka I berbentuk: 𝑦 𝑕 π‘₯ = 𝑐1 𝑦1 π‘₯ + 𝑐2 𝑦2 π‘₯Bila 𝑐1 dan 𝑐2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi pertikular padainterval terbuka I, sbb: 𝑦 𝑝 π‘₯ = 𝑒 π‘₯ 𝑦1 π‘₯ + 𝑣(π‘₯)𝑦2 π‘₯Jika persamaan di atas diturunkan, hasilnya: β€² 𝑦 ′𝑝 = 𝑒′ 𝑦1 + 𝑒𝑦1 + 𝑣 β€² 𝑦2 + 𝑣𝑦2 β€²Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti 𝑐1 dan 𝑐2 , maka: 𝑒′ 𝑦1 + 𝑣 β€² 𝑦2 = 0Sehingga 𝑦 ′𝑝 menjadi: 𝑦 ′𝑝 = 𝑒𝑦1 β€² + 𝑣𝑦2 β€²Bila persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯)diturunkan hasilnya: β€² β€²β€² 𝑦 ′𝑝 = 𝑒′ 𝑦1 + 𝑒𝑦1 + 𝑣 β€² 𝑦2 β€² + 𝑣𝑦2 β€²β€² β€²Persamaan 𝑦 𝑝 π‘₯ = 𝑒 π‘₯ 𝑦1 π‘₯ + 𝑣 π‘₯ 𝑦2 (π‘₯), 𝑦 ′𝑝 = 𝑒𝑦1 β€² + 𝑣𝑦2 β€², dan 𝑦 ′𝑝 = 𝑒′ 𝑦1 + ′′𝑒𝑦1 + 𝑣 β€² 𝑦2 β€² + 𝑣𝑦2 β€²β€² disubtitusikan ke dalam persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 π‘›βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯), dan mengumpulkan komponen yangmengandung u dan v: 8
    • Bila 𝑦1 dan 𝑦2 merupakan solusi homogeny dari persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 π‘›βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = 0, sehingga terjadi penyederhanaan persamaan,menjadi: Persamaan 𝑒′ 𝑦1 + 𝑣 β€² 𝑦2 = 0Sebuah system dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi u’ dan v’ yang takdiketahui.Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga:W = Bilangan Wronskian dari 𝑦1 dan 𝑦2Dengan integrasi diperoleh:Subtitusikan hasil ini ke dalam persamaan 𝑦 𝑝 π‘₯ = 𝑒 π‘₯ 𝑦1 π‘₯ + 𝑣 π‘₯ 𝑦2 (π‘₯),sehingga didapatkan : 9
    • Contoh:Selesaikan Persamaan Diferensial berikut ini: 𝑦 β€²β€² + 𝑦 = sec π‘₯Jawab:Misalkan 𝑦1 = cos π‘₯ π‘‘π‘Žπ‘› 𝑦2 = sin xοƒž Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 Bilangan Wronskian: π‘Š 𝑦1 , 𝑦2 = cos π‘₯ cos π‘₯ βˆ’ (βˆ’ sin π‘₯) sin π‘₯ = 1οƒž Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 𝑦 𝑝 = cos π‘₯ 𝐿𝑛 | cos π‘₯| + π‘₯ sin π‘₯οƒž Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 10