Pd linier tak homogen dengan Koef Konstan

2,520 views
2,379 views

Published on

Mata Kuliah Persamaan Diferensial 2

Published in: Education
3 Comments
1 Like
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
2,520
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
4
Actions
Shares
0
Downloads
111
Comments
3
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Pd linier tak homogen dengan Koef Konstan

  1. 1. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-N TAK HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTANBentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut : 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯)Solusi umum 𝑦(π‘₯) akan didapatkan bila solusi umum 𝑦 𝑕 π‘₯ dari Persamaan DiferensialHomogen diketahui, dimanaBentuk umum persamaan diferensial homogeny orde-n adalah sebagai berikut : 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = 0Kemudian 𝑦(π‘₯) dibentuk dengan penambahan 𝑦 𝑕 π‘₯ sembarang solusi 𝑦 termasuk konstantatak tetapnya.Sehingga, 𝑦 π‘₯ = 𝑦 𝑕 (π‘₯) + α»Ή(π‘₯)Theorema 1:𝑓 π‘₯ , 𝑔 π‘₯ dan π‘Ÿ π‘₯ merupakan fungsi kontinu pada interval l. 𝑦 π‘₯ merupakan solusi dariPersamaan Diferensial di atas yang berisikan konstanta yang tetap. 𝑦 π‘₯ dibentuk oleh 2konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogeny) 𝑦 𝑕 (π‘₯).Konstanta kedua, tetap, terdapat pada fungsi α»Ή(π‘₯), yaitu sembarang solusi PersamaanDiferensial pada interval l.Theorema 2:Solusi umum dari Persamaan Diferensial seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaanhomogeny 𝑦 𝑕 (π‘₯) dengan solusi particular yang tetap (tak berubah-ubah) 𝑦 𝑝 (π‘₯).Sehingga,𝑦 π‘₯ = 𝑦 𝑕 π‘₯ + 𝑦 𝑝 (π‘₯) 1
  2. 2. Mengingat teorema solusi umum persamaan diferensial tak homogeny, tugas kita disinihanyalah mencari satu solusi particular dari persamaan diferensial tak homogeny.Terdapat tiga metode: 1. Metode koefisien tak tentu Ide dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi 𝑦 𝑝 (solusi ansatz) berdasarkan bentuk fungsi π‘Ÿ π‘₯ di ruas kanan. Bentuk persamaan umum: 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯) οƒ˜ Fungsi π‘Ÿ(π‘₯) yang merupakan bentuk solusi pertikular 𝑦 𝑝 (π‘₯) diperoleh dengan cara menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah dari beberpa fungsi οƒ˜ π‘Ÿ(π‘₯) berisikan koefisien tak tentu οƒ˜ Turunkan 𝑦 𝑝 sesuai persamaan umum di atas οƒ˜ Subtitusikan 𝑦 𝑝 dan seluruh turunannya ke dalam persamaan Tabel Metode Koefisian Tak Tentu Aturan: οƒ˜ Bila π‘Ÿ(π‘₯) meupakan salah satu fungsi seperti dalam table, maka pilih bentuk 𝑦 𝑝 yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tantu. Turunan π‘Ÿ(π‘₯) harus bebas linier pula. οƒ˜ Bila π‘Ÿ(π‘₯) merupakan penjumlahan, maka pilih𝑦 𝑝 yang merupakan penjumlahan fungsi yang sesuai. 2
  3. 3. οƒ˜ Bila π‘Ÿ(π‘₯) adalah solusi dari persamaan homogeny, maka pilihan dapat dimodifikasi seperti berikutAturan ModifikasiKalikan pilihan pada kolom 2 dengan π‘₯ atau π‘₯ 2 tergantung dari apakah pada kolom 3berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogeny.Contoh Soal1) Selesaikan persamaan berikut: 𝑦 β€²β€² βˆ’ 4𝑦 β€² + 3𝑦 = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ Jawab: οƒž Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 β€²β€² βˆ’ 4𝑦 β€² + 3𝑦 = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ πœ†2 βˆ’ 4πœ† + 3 = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ πœ†βˆ’3 πœ†βˆ’1 πœ† 1 = 3 dan πœ† 2 = 1 Maka, 2 𝑦𝑕 = 𝐢𝑖𝑒 π‘Ÿπ‘–π‘₯ 𝑖=1 𝑦 𝑕 = 𝐢1 𝑒 3π‘₯ + 𝐢2 𝑒 π‘₯ οƒž Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 Turunan 𝑒 βˆ’2π‘₯ adalah 𝐢𝑒 βˆ’2π‘₯ Maka, 𝑦 𝑝 = C𝑒 βˆ’2π‘₯ 𝑦 𝑝 β€² = βˆ’2C𝑒 βˆ’2π‘₯ dan 𝑦 𝑝 β€²β€² = 4C𝑒 βˆ’2π‘₯ 4C𝑒 βˆ’2π‘₯ βˆ’ 4(βˆ’2C𝑒 βˆ’2π‘₯ ) + 3(C𝑒 βˆ’2π‘₯ ) = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ C𝑒 βˆ’2π‘₯ 4 + 8 + 3 = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ 15 C𝑒 βˆ’2π‘₯ = 10𝑒 βˆ’2π‘₯ 10𝑒 βˆ’2π‘₯ C= 15𝑒 βˆ’2π‘₯ 2 C= 3 2 Maka, 𝑦 𝑝 = 𝑒 βˆ’2π‘₯ 3 3
  4. 4. οƒž Solusi Umum 𝑦 = 𝑦 𝑕 + 𝑦𝑝 2 βˆ’2π‘₯ 𝑦 = 𝐢1 𝑒 3π‘₯ + 𝐢2 𝑒 π‘₯ + 𝑒 32) Selesaikan 𝑦 β€²β€² + 4𝑦 = 8π‘₯ 2 Jawab: οƒž Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 β€²β€² + 4𝑦 = 8π‘₯ 2 πœ†2 + 4 = 0 πœ† 1 = 𝑝 + π‘—π‘ž = +𝑗2 ; πœ† 2 = 𝑝 βˆ’ π‘—π‘ž = βˆ’π‘—2; 𝑝 = 0 Maka, solusi homogeny untuk D<0: 𝑦 𝑕 = 𝑒 𝑝π‘₯ [𝐴 cos π‘žπ‘₯ + 𝐡 sin π‘žπ‘₯] 𝑦 𝑕 = [𝐴 cos 2π‘₯ + 𝐡 sin 2π‘₯ οƒž Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 Misal 1 : 𝑦 = 𝐢π‘₯ 2 ; 𝑦′′ = 2𝐢 2𝐢 + 4𝐢π‘₯ 2 = 8π‘₯ 2 ; 2𝐢 = 0 ; 4𝐢 = 8 Gagal, tidak konsisten. Misal 2 : 𝑦 𝑝 = 𝐢π‘₯ 2 + 𝐿π‘₯ + π‘š ; 𝑦′′ = 2𝐢 2𝐢 + 4(𝐢π‘₯ 2 + 𝐿π‘₯ + π‘š) = 8π‘₯ 2 4𝐢π‘₯ 2 + 4𝐿π‘₯ + (2𝐢 + 4π‘š) = 8π‘₯ 2 Dengan metode identifikasi: 𝐢 =2; 𝐿 =0; 𝑀 =1 Maka, 𝑦 𝑝 = 2π‘₯ 2 + 1 οƒž Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 𝑦 = 𝐴 π‘π‘œπ‘  2π‘₯ + 𝐡 sin 2π‘₯ + 2π‘₯ 2 + 13) Selesaikan 𝑦 β€²β€² βˆ’ 𝑦 β€² βˆ’ 2𝑦 = 10 cos π‘₯ Jawab: οƒž Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 β€²β€² βˆ’ 𝑦 β€² βˆ’ 2𝑦 = 10 cos π‘₯ πœ†2 βˆ’ 𝑦 βˆ’ 2 = 0 4
  5. 5. πœ†βˆ’1 πœ†+1 = 0 πœ† 1 = 1 dan πœ† 2 = βˆ’1 Maka, 2 𝑦𝑕 = 𝐢𝑖𝑒 π‘Ÿπ‘–π‘₯ 𝑖=1 𝑦 𝑕 = 𝐢1 𝑒 π‘₯ + 𝐢2 𝑒 βˆ’π‘₯ οƒž Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 𝑦 𝑝 = π‘˜ cos π‘₯ + π‘š sin π‘₯ 𝑦 ′𝑝 = βˆ’π‘˜ sin π‘₯ + π‘š cos π‘₯ 𝑦 β€²β€² = βˆ’π‘˜ cos π‘₯ βˆ’ π‘š sin π‘₯ 𝑝 Masukan ke persamaan: 𝑦 β€²β€² βˆ’ 𝑦 β€² βˆ’ 2𝑦 = 10 cos π‘₯ βˆ’π‘˜ cos π‘₯ βˆ’ π‘š sin π‘₯ βˆ’ βˆ’π‘˜ sin π‘₯ + π‘š cos π‘₯ βˆ’ 2 π‘˜ cos π‘₯ + π‘š sin π‘₯ = 10 cos π‘₯ βˆ’3π‘š βˆ’ π‘š π‘π‘œπ‘ π‘₯ + π‘˜ βˆ’ 3π‘š 𝑠𝑖𝑛π‘₯ = 10 π‘π‘œπ‘ π‘₯ βˆ’3π‘š βˆ’ π‘š = 10 ; π‘˜ βˆ’ 3π‘š = 0 π‘˜ = βˆ’3 ; π‘š = βˆ’1 𝑦 𝑝 = βˆ’3π‘π‘œπ‘ π‘₯ βˆ’ 𝑠𝑖𝑛π‘₯ οƒž Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 𝑦 = βˆ’3π‘π‘œπ‘ π‘₯ βˆ’ 𝑠𝑖𝑛π‘₯ + 𝐢1 𝑒 π‘₯ + 𝐢2 𝑒 βˆ’π‘₯4) Selesaikan: 𝑦 β€²β€² βˆ’ 3𝑦 β€² + 2𝑦 = 4π‘₯ + 𝑒 3π‘₯ Jawab: οƒž Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 𝑦 β€²β€² βˆ’ 3𝑦 β€² + 2𝑦 = 4π‘₯ + 𝑒 3π‘₯ πœ†2 βˆ’ 3𝑦 + 2 = 0 πœ†βˆ’2 πœ†βˆ’1 = 0 πœ† 1 = 2 dan πœ† 2 = 1 Maka, 2 𝑦𝑕 = 𝐢𝑖𝑒 π‘Ÿπ‘–π‘₯ 𝑖=1 5
  6. 6. 𝑦 𝑕 = 𝐢1 𝑒 2π‘₯ + 𝐢2 𝑒 π‘₯ οƒž Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 𝑦 𝑝 = π‘˜1 π‘₯ + π‘˜0 + 𝐢𝑒 3π‘₯ 𝑦 ′𝑝 = π‘˜1 + 3𝐢𝑒 3π‘₯ 𝑦 β€²β€² = 9𝐢𝑒 3π‘₯ 𝑝 Masukan ke persamaan: 𝑦 β€²β€² βˆ’ 3𝑦 β€² + 2𝑦 = 4π‘₯ + 𝑒 3π‘₯ 9𝐢𝑒 3π‘₯ βˆ’ 3 π‘˜1 + 3𝐢𝑒 3π‘₯ + 2 π‘˜1 π‘₯ + π‘˜0 + 𝐢𝑒 3π‘₯ = 4π‘₯ + 𝑒 3π‘₯ 1 π‘˜1 = 2 ; π‘˜0 = 3 ; 𝐢 = (2) 1 𝑦 𝑝 = 2π‘₯ + 3 + ( )𝐢𝑒 3π‘₯ 2 οƒž Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 1 𝑦 = 2π‘₯ + 3 + ( )𝐢𝑒 3π‘₯ + 𝐢1 𝑒 2π‘₯ + 𝐢2 𝑒 π‘₯ 22. Metode Kompleks Bentuk umumnya seperti persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯). Contoh: Ξͺ + Δ° + 2I = 6 cos 𝑑 Dengan metode koefisien tak tentu akan diperoleh: 𝐼 𝑃 𝑑 = 3 cos 𝑑 + 3 sin 𝑑 Menurut hokum Euler, ruas kanan persamaan Ξͺ + Δ° + 2I = 6 cos 𝑑, 6 cos 𝑑 adalah komponen nyata (real) karena: 6𝑒 𝑖𝑑 = 6 (cos 𝑑 + 𝑖 sin 𝑑) 6
  7. 7. Sehingga persamaan Ξͺ + Δ° + 2I = 6 cos 𝑑 dapat ditulis dengan: Ξͺ + Δ° + 2I = 6𝑒 𝑖𝑑 Solusi particular kompleks dapat di buat dalam bentuk: πΌπ‘βˆ— (𝑑) = π‘˜π‘’ 𝑖𝑑 dan Δ° π‘βˆ— = π‘–π‘˜π‘’ 𝑖𝑑 Ξͺ π‘βˆ— = βˆ’π‘–π‘˜π‘’ 𝑖𝑑 bila disubtitusikan ke dalam persamaan Ξͺ + Δ° + 2I = 6𝑒 𝑖𝑑 : (βˆ’1 + 𝐼 + 2)π‘˜π‘’ 𝑖𝑑 = 6𝑒 𝑖𝑑 6 π‘˜= = 3 βˆ’ 𝑖3 1+ 𝑖 Sehingga solusi umum persamaan Ξͺ + Δ° + 2I = 6𝑒 𝑖𝑑 adalah: Δ° π‘βˆ— (𝑑) = 3 βˆ’ 𝑖3 𝑒𝑖𝑑 = 3 βˆ’ 𝑖3 (cos 𝑑 + 𝑖 sin 𝑑) Dan komponen nyatanya adalah: Δ° 𝑝 𝑑 = 3 cos 𝑑 + 3 sin 𝑑3. Metode Umum Bentuk umum Persamaan Diferensial Tak Homogen 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯) Sedangkan bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen : 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = 0 7
  8. 8. Maka solusi umumnya 𝑦 𝑕 (π‘₯) pada interval terbuka I berbentuk: 𝑦 𝑕 π‘₯ = 𝑐1 𝑦1 π‘₯ + 𝑐2 𝑦2 π‘₯Bila 𝑐1 dan 𝑐2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi pertikular padainterval terbuka I, sbb: 𝑦 𝑝 π‘₯ = 𝑒 π‘₯ 𝑦1 π‘₯ + 𝑣(π‘₯)𝑦2 π‘₯Jika persamaan di atas diturunkan, hasilnya: β€² 𝑦 ′𝑝 = 𝑒′ 𝑦1 + 𝑒𝑦1 + 𝑣 β€² 𝑦2 + 𝑣𝑦2 β€²Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti 𝑐1 dan 𝑐2 , maka: 𝑒′ 𝑦1 + 𝑣 β€² 𝑦2 = 0Sehingga 𝑦 ′𝑝 menjadi: 𝑦 ′𝑝 = 𝑒𝑦1 β€² + 𝑣𝑦2 β€²Bila persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 𝑛 βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯)diturunkan hasilnya: β€² β€²β€² 𝑦 ′𝑝 = 𝑒′ 𝑦1 + 𝑒𝑦1 + 𝑣 β€² 𝑦2 β€² + 𝑣𝑦2 β€²β€² β€²Persamaan 𝑦 𝑝 π‘₯ = 𝑒 π‘₯ 𝑦1 π‘₯ + 𝑣 π‘₯ 𝑦2 (π‘₯), 𝑦 ′𝑝 = 𝑒𝑦1 β€² + 𝑣𝑦2 β€², dan 𝑦 ′𝑝 = 𝑒′ 𝑦1 + ′′𝑒𝑦1 + 𝑣 β€² 𝑦2 β€² + 𝑣𝑦2 β€²β€² disubtitusikan ke dalam persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 π‘›βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = π‘Ÿ(π‘₯), dan mengumpulkan komponen yangmengandung u dan v: 8
  9. 9. Bila 𝑦1 dan 𝑦2 merupakan solusi homogeny dari persamaan 𝐴 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝐴 π‘›βˆ’1 𝑦 π‘›βˆ’1 + 𝐴 𝑛 βˆ’2 𝑦 π‘›βˆ’2 + β‹― + 𝐴1 𝑦 β€² + 𝐴0 𝑦 = 0, sehingga terjadi penyederhanaan persamaan,menjadi: Persamaan 𝑒′ 𝑦1 + 𝑣 β€² 𝑦2 = 0Sebuah system dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi u’ dan v’ yang takdiketahui.Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga:W = Bilangan Wronskian dari 𝑦1 dan 𝑦2Dengan integrasi diperoleh:Subtitusikan hasil ini ke dalam persamaan 𝑦 𝑝 π‘₯ = 𝑒 π‘₯ 𝑦1 π‘₯ + 𝑣 π‘₯ 𝑦2 (π‘₯),sehingga didapatkan : 9
  10. 10. Contoh:Selesaikan Persamaan Diferensial berikut ini: 𝑦 β€²β€² + 𝑦 = sec π‘₯Jawab:Misalkan 𝑦1 = cos π‘₯ π‘‘π‘Žπ‘› 𝑦2 = sin xοƒž Mencari jawaban homogeny 𝑦 𝑕 Bilangan Wronskian: π‘Š 𝑦1 , 𝑦2 = cos π‘₯ cos π‘₯ βˆ’ (βˆ’ sin π‘₯) sin π‘₯ = 1οƒž Mencari jawaban particular 𝑦 𝑝 𝑦 𝑝 = cos π‘₯ 𝐿𝑛 | cos π‘₯| + π‘₯ sin π‘₯οƒž Solusi Umum 𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦 𝑕 10

Γ—