Vandermonde  Matrix
    จัดทำโดย   นางสาว   สิริรัตน์   ตุ้นสกุล รหัสประจำตัว   43040989     อาจารย์ที่ปรึกษา อาจารย์   กรรณิกา   คงสาคร   เสน...
เมื่อเราเรียนพีชคณิตเชิงเส้น   (linear algebra)  เรามักจะพบเอกลักษณ์ที่เรียกว่า   Vandermonde determinant  ในรูป = Vanderm...
   Vandermonde Matrix ตัวอย่าง    det   =  (4-2)(4-3)(3-2) = (2)(1)(1) =  2    det  = (-1-(-4))(-1-(-3))(-1-(-2)) (-2-(...
ในกรณีทั่วไปนิยามเมทริกซ์ที่เรียก   Vandermonde matrix  เป็น …  (1) เมื่อ   n  เป็นจำนวนเต็มบวกและ   n  2 … (2)
พิสูจน์ กรณี   n = 2  เห็นได้ชัดเจนว่า     … .(3) สมมติให้   เมื่อ   k  เป็นจำนวนเต็มบวกใด   ๆ   ต้องการแสดงว่า   det V (x...
det V (x,…x k ,x k+1 ) = det   พิจารณา … (4)
เมื่อกระจายตามหลักที่   1   ค่าของ   det V(x,…,x k ,x k+1 )  จะเป็นพหุนามดีกรี   k  ใน   x  และถ้าแทน   x  ด้วย   จะเห็นว่...
เมื่อ   A  เป็นค่าคงที่   จาก   (5)  จะเห็นว่า   A  เป็นสัมประสิทธิ์ของ   x k  ดังนั้นจาก   (4)  ได้ว่า   A = = det V(x 2 ...
เมื่อแทน   x   ด้วย   x 1   det V (x 1 ,…x k ,x k+1 ) =  (x 1 -x 2 ) (x 1 -x 3 )…(x 1 -x k ) (x 1 -x k+1 ) = = โดยหลักการอ...
เรามักจะพบ   Vandermonde matrix  ในปัญหาดังต่อไปนี้ 1.  การสร้างพหุนามค่าสอดแทรก   (polynomial interpolation)  2 .  ปัญหาค...
1.  พหุนามค่าสอดแทรก   (Polynomial interpolation) กำหนดให้พหุนามดีกรี   n-1   ผ่านจุด   (x 1 , y 1 ), (x 2 ,y 2 ),….,(x n ...
เมื่อแทนค่า   j = 1, 2,…,n  ในพหุนาม   q(x)  จะได้ระบบสมการดังนี้ . . . . . .   = y n = y 1   =  y 2 … (7)
จากระบบสมการ   สามารถนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์   ดังนี้ = …  (8) สังเกตว่า   เมทริกซ์   สัมประสิทธิ์   จะเป็นตัวสลับเปลี่ยน  ...
q(x)  จะสามารถหาได้โดยการปฏิบัติดังต่อไปนี้ กำหนดให้ Q(x)  =  det  … (9)
เมื่อแทน   x   ใน   หลักสุดท้ายด้วย   x i   จะได้ Q( x i )  = det
นำหลักสูตรท้ายลบด้วย   หลักที่   i  จะได้ว่าสมาชิกในหลักสุดท้าย   เป็น   0   ยกเว้น   สมาชิกตัวสุดท้าย   มีค่าเป็น   -y i ...
สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุก   i  =  1, 2, 3…,n   และเพราะว่า   q(x i ) = y i ดังนั้นจะได้ว่า   q(x) =   ….(11) ในที่นี้   Van...
กำหนดให้พหุนามกำลัง   2   ที่ผ่านจุด   (-3, 4), (0, 1),  (2, 9)  ตัวอย่าง คือ   q(x)  =  เมื่อแทนค่า   (x 1 , y 1 ) =(-3,4...
จากระบบสมการ   สามารถเขียนในรูปเมทริกซ์   ดังนี้ V T   C   =  Y = det  V(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = det  =  (2-(-3)) (0-(-3)) (2-0)...
Q(x) = det =  -   จะได้   Q(x)  =  -30 + (-60)x -30 x 2   จาก   (11)  ;  q(x) =    ดังนั้น   q(x)  =  1 + 2x  +  x 2   จาก...
2.  ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equation initial value problems) พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ … .(12)  ...
จากสมการ   (12)   จะมีผลเฉลย   y i  =  ;  i  =  1, 2,…,n  และเมื่อ   ผลเฉลยทั้ง   n  ผลเฉลย   จะเป็นอิสระเชิงเส้น   ดังนั้...
ระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่   ในรูปเมทริกซ์   ได้เป็น =   V C   =  Y   …(14)   เมื่อ   V =   ,  C  =  ,  Y  =  ถ้า   x i ต...
ตัวอย่าง = 0  ;  y 0 = 1,y 1  = 9, y 2 = 17   ( D 3  - 3D 2  – D + 3 )y = 0   พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ p(D) = D 3  - 3...
จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์   ได้เป็น = V  C   =  C   =  #
3. ลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด   (Recursively  defined sequences ) ให้   เป็น   n  พจน์แรกของลำดับที่มีความสั...
ในอีกทางหนึ่ง   เรากำหนดให้   {y j }  เป็นลำดับที่มี   n + 1  พจน์   ซึ่งสอดคล้องกับสมการในรูปแบบข้างต้นเป็น … . (16)   ซึ...
สมการ   ( 16 )   หาคำตอบได้โดยการให้   y j   อยู่ในรูปฟังก์ชันของ   j  ซึ่งเหมือนกับที่กล่าวมาในสมการเชิงอนุพันธ์ กำหนดตัว...
ซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ     p(L)  =  L n +a n-1 L n-1 +…+  a 0     =  (L-x 1 )(L-x 2 )…(L-x n )   ถ้า   x 1 , x 2...
เมื่อใช้ค่าเริ่มต้นพบว่าสัมประสิทธิ์   c j   จะสอดคล้องกับ   (14)   คือ
จะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น   เมื่อ   V  =  V(x 1 ,…,x n )  ,  C   =  [c 1 c 2 …c n ] T   ,  Y...
ตัวอย่าง   พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง   y n+2   - 5y n+1 + 6 y n   =  0  ;  y 0   =   9 ,  y 1   =  23 เขียนในรูปตัวดำเนิ...
จากระบบสมการ   นำมาเขียนในรูปเมทริกซ์   ได้เป็น     C  = V -1 Y 0   เห็นได้ชัดว่า   Vandermonde  determinant  จะครอบคลุมกา...
แต่ละกรณีข้างต้น   Vandermonde  matrix  เกี่ยวข้องกับปัญหาของการหาค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้น   ในปัญหาพหุนามค่าสอดแทร...
พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์   (12) หรือ   มีพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ
เมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดย   กำหนด
เขียนในรูปเมทริกซ์   ได้เป็น   … .(18)   หรือ D Y   =  A Y   ….(19) เมื่อ   Y   เป็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยสมาชิก     A   เป...
ผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง   (18)   ทำได้โดยหาค่าเจาะจง   จากสมการ กระจายตัวกำหนดตามแถวที่   n  จะได้สมการ
สำหรับ   หาเวกเตอร์เจาะจง   C 1   จาก ดังนั้น
เลือก   c 1   =  1 จะได้   และ
ทำนองเดียวกัน 
ผลเฉลยทั่วไป   คือ
จัดเป็น …  (20) เมื่อ   =
เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น   D j y(0)  =  y j   ;  j  = 0,1,2,…,n -1   จะแทนด้วย   Y (0) =  Y 0     ….(21)   ทำให้ได้ว่า ...
สังเกตว่า   ถ้า แล้ว ดังนั้น   … .(23)
ในทำนองเดียวกัน   จาก   (22 )   กำหนดเมทริกซ์   exponential      ดังนั้น   ผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์  ...
ตัวอย่าง   จงหาผลเฉลยของสมการ   วิธีทำ   พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ ดังนั้น     กำหนดให้   และ
ผลเฉลยของสมการคือ   นั่นคือ  และ   #
พิจารณาสมการเชิงผลต่าง   (17) L n {y j }+a n-1 L n-1 {y j }+….+a 1 L{y j }+a 0 {y j }= {0} จะเปลี่ยนรูปเป็นระบบสมการในวิธี...
ในทำนองเดียวกัน   เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น   (0)  =  0   สุดท้ายผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ   (26)   จะอยู่ในรูปประยุกต์ใช...
ตัวอย่าง   พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง   y n+2   - 5y n+1  + 6 y n  =  0 ;  y 0   =   9  ,  y 1  = 2 วิธีทำ   พหุนามลักษณะ...
ผลเฉลยของสมการคือ   นั่นคือ   y n  =  และ   y n+ 1  =   #
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Dk

744 views
657 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
744
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
1
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide
  • 12
  • Dk

    1. 1. Vandermonde Matrix
    2. 2.     จัดทำโดย   นางสาว สิริรัตน์ ตุ้นสกุล รหัสประจำตัว 43040989     อาจารย์ที่ปรึกษา อาจารย์ กรรณิกา คงสาคร   เสนอ อาจารย์ พัชรี เลิศวิจิตรศิลป์
    3. 3. เมื่อเราเรียนพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) เรามักจะพบเอกลักษณ์ที่เรียกว่า Vandermonde determinant ในรูป = Vandermonde Matrix  
    4. 4.  Vandermonde Matrix ตัวอย่าง  det = (4-2)(4-3)(3-2) = (2)(1)(1) = 2  det = (-1-(-4))(-1-(-3))(-1-(-2)) (-2-(-4))(-2-(-3))(-3-(-4)) = (3)(2)(1)(2)(1)(1) = 12
    5. 5. ในกรณีทั่วไปนิยามเมทริกซ์ที่เรียก Vandermonde matrix เป็น … (1) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกและ n 2 … (2)
    6. 6. พิสูจน์ กรณี n = 2 เห็นได้ชัดเจนว่า … .(3) สมมติให้ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ ต้องการแสดงว่า det V (x 1 ,…x k ,x k+1 ) เป็นจริง เป็นจริง
    7. 7. det V (x,…x k ,x k+1 ) = det พิจารณา … (4)
    8. 8. เมื่อกระจายตามหลักที่ 1 ค่าของ det V(x,…,x k ,x k+1 ) จะเป็นพหุนามดีกรี k ใน x และถ้าแทน x ด้วย จะเห็นว่า ค่าของตัวกำหนด (determinant) เป็นศูนย์ ดังนั้นสามารถ เขียนได้ว่า det V(x,…,x k ,x k+1 ) = A(x-x 2 ) (x-x 3 )…(x-x k ) (x-x k+1 ) ….(5)
    9. 9. เมื่อ A เป็นค่าคงที่ จาก (5) จะเห็นว่า A เป็นสัมประสิทธิ์ของ x k ดังนั้นจาก (4) ได้ว่า A = = det V(x 2 ,…,x k+1 ) = (-1) k สรุปว่า detV= (x-x 2 )(x-x 3 )…(x-x k )(x-x k+1 ) =
    10. 10. เมื่อแทน x ด้วย x 1 det V (x 1 ,…x k ,x k+1 ) = (x 1 -x 2 ) (x 1 -x 3 )…(x 1 -x k ) (x 1 -x k+1 ) = = โดยหลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ได้ว่า (2) เป็นจริงทุก ๆ n ที่เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มบวกใด ๆ
    11. 11. เรามักจะพบ Vandermonde matrix ในปัญหาดังต่อไปนี้ 1. การสร้างพหุนามค่าสอดแทรก (polynomial interpolation) 2 . ปัญหาค่าเริ่มต้นของ สมการเชิงอนุพันธ์ (differential equation initial value problem) และ 3. การสร้างลำดับโดยกำหนดจากความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (recursively defined sequences) ในที่นี้จะกล่าวถึงเพียงปัญหาทั้ง 3 อย่างที่กล่าวไว้แล้ว ข้างต้น และบทบาทของ Vandermonde matrix และเพื่อไม่ให้เกิดความสับสน จะเขียน V แทน V
    12. 12. 1. พหุนามค่าสอดแทรก (Polynomial interpolation) กำหนดให้พหุนามดีกรี n-1 ผ่านจุด (x 1 , y 1 ), (x 2 ,y 2 ),….,(x n ,y n ) ต่างกัน n จุด เขียนในรูป q(x) = ….(6) สัมประสิทธิ์ c i หาได้จากระบบสมการ q(x j ) = y j ; j = 1, 2 ,…,n
    13. 13. เมื่อแทนค่า j = 1, 2,…,n ในพหุนาม q(x) จะได้ระบบสมการดังนี้ . . . . . . = y n = y 1 = y 2 … (7)
    14. 14. จากระบบสมการ สามารถนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ ดังนี้ = … (8) สังเกตว่า เมทริกซ์ สัมประสิทธิ์ จะเป็นตัวสลับเปลี่ยน (transposed) ของ Vandermonde matrix และ ตัวกำหนด (determinant) ของเมทริกซ์ สัมประสิทธิ์ของ (7) จะเกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์ (2) เห็นได้ชัดว่าเมื่อ x i ต่างกันหมด ตัวกำหนด (determinant) จะไม่เท่ากับศูนย์ สัมประสิทธิ์ของ q มีเพียงหนึ่งเดียว
    15. 15. q(x) จะสามารถหาได้โดยการปฏิบัติดังต่อไปนี้ กำหนดให้ Q(x) = det … (9)
    16. 16. เมื่อแทน x ใน หลักสุดท้ายด้วย x i จะได้ Q( x i ) = det
    17. 17. นำหลักสูตรท้ายลบด้วย หลักที่ i จะได้ว่าสมาชิกในหลักสุดท้าย เป็น 0 ยกเว้น สมาชิกตัวสุดท้าย มีค่าเป็น -y i และ Q( x i ) = det = -y i det V(x 1 ,…,x n ) หรือ y i = - ….(10)
    18. 18. สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุก i = 1, 2, 3…,n และเพราะว่า q(x i ) = y i ดังนั้นจะได้ว่า q(x) = ….(11) ในที่นี้ Vandermonde determinant มีความสำคัญอย่างเห็นได้ชัด ในการสร้างพหุนามค่าสอดแทรก (polynomial interpolation) ผ่านจุดต่างกัน n จุด
    19. 19. กำหนดให้พหุนามกำลัง 2 ที่ผ่านจุด (-3, 4), (0, 1), (2, 9) ตัวอย่าง คือ q(x) = เมื่อแทนค่า (x 1 , y 1 ) =(-3,4) , (x 2 y 2 ) = (0,1) และ (x 3 , y 3 ) = (2,9) ลงในสมการ จะได้ = 4 = 1 = 9
    20. 20. จากระบบสมการ สามารถเขียนในรูปเมทริกซ์ ดังนี้ V T C = Y = det V(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = det = (2-(-3)) (0-(-3)) (2-0) = (5) (3) (2) = 30
    21. 21. Q(x) = det = - จะได้ Q(x) = -30 + (-60)x -30 x 2   จาก (11) ; q(x) =   ดังนั้น q(x) = 1 + 2x + x 2 จาก (9) ; กำหนดให้ #
    22. 22. 2. ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equation initial value problems) พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ … .(12) เมื่อ a 0 ,a 1 ,…a n เป็นค่าคงที่ และ D แทนการหาอนุพันธุ์เทียบกับ t พร้อมด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น D j y(0) = y j ; j = 0, 1, 2,…,n-1 ….(13) สมการ (12) มีพหุนามลักษณะเฉพาะ ( characteristic polynomial)
    23. 23. จากสมการ (12) จะมีผลเฉลย y i = ; i = 1, 2,…,n และเมื่อ ผลเฉลยทั้ง n ผลเฉลย จะเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น ผลรวมเชิงเส้น (linear combinations) ของ y i = คือ y = เป็นผลเฉลยของ (12) ด้วย Dy เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้นจาก (13) จะได้ระบบสมการ = y j ; j = 0,1,2,…,n-1 และ …
    24. 24. ระบบสมการนี้สามารถเขียนใหม่ ในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น = V C = Y …(14) เมื่อ V = , C = , Y = ถ้า x i ต่างกัน ผลเฉลยของ (14) มีหนึ่งเดียว จะเห็นว่า Vandermonde matrix มีบทบาทในการหาค่าคงที่ C ของผลเฉลยของปัญหา
    25. 25. ตัวอย่าง = 0 ; y 0 = 1,y 1 = 9, y 2 = 17 ( D 3 - 3D 2 – D + 3 )y = 0 พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ p(D) = D 3 - 3D 2 – D + 3 = (D + 1)(D – 1)(D – 3) วิธีทำ เมื่อแทนเงื่อนไข เริ่มต้น (13) จะได้ ผลเฉลย คือ = 1 = 9 =17
    26. 26. จากระบบสมการนำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น = V C = C = #
    27. 27. 3. ลำดับที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (Recursively defined sequences ) ให้ เป็น n พจน์แรกของลำดับที่มีความสัมพันธ์กันตามสมการ … . (15) เมื่อ a i ไม่ขึ้นกับ k จะเรียกลำดับนี้ว่า recurrent sequence ตัวอย่างของลำดับนี้ที่รู้จักกันดี คือ Fibonaci sequence ซึ่งเริ่มจาก 0,1,1,2,3,… และแต่ละพจน์จะเป็นผลรวมของ 2 พจน์ ที่อยู่ข้างหน้า
    28. 28. ในอีกทางหนึ่ง เรากำหนดให้ {y j } เป็นลำดับที่มี n + 1 พจน์ ซึ่งสอดคล้องกับสมการในรูปแบบข้างต้นเป็น … . (16) ซึ่ง y 0 , y 1 ,y 2 , …, y n-1 เป็นค่าเริ่มต้นที่กำหนดไว้แน่นอน สมการที่ (16) จะเรียกว่าสมการเชิงผลต่าง (difference equations) และสมการนี้เป็นสมการที่สำคัญในการสร้างแบบจำลองปัญหาต่าง ๆ
    29. 29. สมการ ( 16 ) หาคำตอบได้โดยการให้ y j อยู่ในรูปฟังก์ชันของ j ซึ่งเหมือนกับที่กล่าวมาในสมการเชิงอนุพันธ์ กำหนดตัวดำเนินการ L โดยที่ L {y j } = {y j+1 } , j=0,1,2,…   เรียกตัวดำเนินการนี้ว่า ตัวดำเนินการเลื่อน (Shifting Operator) ซึ่งเลื่อนลำดับ y 0 , y 1 , y 2 ,… ไปทางซ้ายเป็นลำดับ y 1 , y 2 , y 3 ,… สมการ (16) เขียนใหม่ได้เป็น   L n {y j }+ a n-1 L n-1 {y j }+…+a 1 L{y j }+a 0 L{y j }={0}   ….(17)
    30. 30. ซึ่งพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ   p(L) = L n +a n-1 L n-1 +…+ a 0   = (L-x 1 )(L-x 2 )…(L-x n )   ถ้า x 1 , x 2 ,…, x n ต่างกันหมด ผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของลำดับนี้ จะเป็นผลเฉลยของสมการ (17) ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของ (17) คือ    
    31. 31. เมื่อใช้ค่าเริ่มต้นพบว่าสัมประสิทธิ์ c j จะสอดคล้องกับ (14) คือ
    32. 32. จะได้ระบบสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ได้เป็น   เมื่อ V = V(x 1 ,…,x n ) , C = [c 1 c 2 …c n ] T , Y = [y 0 y 1 …y n-1 ] T
    33. 33. ตัวอย่าง พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง y n+2 - 5y n+1 + 6 y n = 0 ; y 0 = 9 , y 1 = 23 เขียนในรูปตัวดำเนินการ L ได้เป็น (L 2 – 5L + 6)y n = 0 พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ คือ p(L) = L 2 + 5L+6 = (L-2)(L-3) ดังนั้นผลเฉลย คือ y n = c 1 2 n + c 2 3 n เมื่อแทนเงื่อนไขเริ่มต้น จะได้ c 1 + c 2 = 9 2c 1 +3c 2 = 23
    34. 34. จากระบบสมการ นำมาเขียนในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น   C = V -1 Y 0 เห็นได้ชัดว่า Vandermonde determinant จะครอบคลุมการแก้ของปัญหาต่างๆ ตามที่กล่าวมา #
    35. 35. แต่ละกรณีข้างต้น Vandermonde matrix เกี่ยวข้องกับปัญหาของการหาค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้น ในปัญหาพหุนามค่าสอดแทรก ปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ และของสมการเชิงผลต่าง สามารถหาสูตรของผลเฉลยที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ V(x 1 ,…,x n ) โดยตรง โดยหลีกเลี่ยงการเกี่ยวข้องกับการใช้ผลรวมเชิงเส้น (linear combinations)
    36. 36. พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ (12) หรือ มีพหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ
    37. 37. เมื่อแปลงเป็นระบบสมการอันดับหนึ่งโดย กำหนด
    38. 38. เขียนในรูปเมทริกซ์ ได้เป็น   … .(18)   หรือ D Y = A Y ….(19) เมื่อ Y เป็นเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยสมาชิก A เป็นเมทริกซ์ขนาด n x n ซึ่งอยู่ทางขวาของสมการ (18)
    39. 39. ผลเฉลยของรากบนสมการอันดับหนึ่ง (18) ทำได้โดยหาค่าเจาะจง จากสมการ กระจายตัวกำหนดตามแถวที่ n จะได้สมการ
    40. 40. สำหรับ หาเวกเตอร์เจาะจง C 1 จาก ดังนั้น
    41. 41. เลือก c 1 = 1 จะได้ และ
    42. 42. ทำนองเดียวกัน 
    43. 43. ผลเฉลยทั่วไป คือ
    44. 44. จัดเป็น … (20) เมื่อ =
    45. 45. เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น D j y(0) = y j ; j = 0,1,2,…,n -1 จะแทนด้วย   Y (0) = Y 0 ….(21)   ทำให้ได้ว่า Y 0 = VI C = V C หรือ C = V -1 Y 0   สุดท้ายจะได้ผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ (19) และ (21) จะอยู่ในรูป   … . (22)
    46. 46. สังเกตว่า ถ้า แล้ว ดังนั้น … .(23)
    47. 47. ในทำนองเดียวกัน จาก (22 ) กำหนดเมทริกซ์ exponential     ดังนั้น ผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงอนุพันธ์ คือ   … . (24)
    48. 48. ตัวอย่าง จงหาผลเฉลยของสมการ วิธีทำ พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการคือ ดังนั้น   กำหนดให้ และ
    49. 49. ผลเฉลยของสมการคือ นั่นคือ และ #
    50. 50. พิจารณาสมการเชิงผลต่าง (17) L n {y j }+a n-1 L n-1 {y j }+….+a 1 L{y j }+a 0 {y j }= {0} จะเปลี่ยนรูปเป็นระบบสมการในวิธีทำนองเดียวกัน โดยเราจะพิจารณาลำดับของเวกเตอร์ {y j } สมการ ( 17) จะกลายเป็น L{ Y j } = {A Y j } ….(25) เมื่อ A คือ เมทริกซ์ที่เคยกล่าวถึง เมื่อ L{ Y j } = { Y j+1 } แล้วสมการ (25) จะสมมูลกับ Y j+1 = A Y j ….(26)
    51. 51. ในทำนองเดียวกัน เมื่อใช้เงื่อนไขค่าเริ่มต้น (0) = 0 สุดท้ายผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ (26) จะอยู่ในรูปประยุกต์ใช้ (23) ได้ว่าผลเฉลยของปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงผลต่างคือ     เมื่อ
    52. 52. ตัวอย่าง พิจารณาสมการผลต่างสืบเนื่อง y n+2 - 5y n+1 + 6 y n = 0 ; y 0 = 9 , y 1 = 2 วิธีทำ พหุนามลักษณะเฉพาะของสมการ คือ p(L) = L 2 + 5L+6 = (L-2)(L-3) ดังนั้น   กำหนดให้ และ
    53. 53. ผลเฉลยของสมการคือ นั่นคือ y n = และ y n+ 1 = #

    ×