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Gravitacion universal

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Gravitación Universal - Mecánica I

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  • 1. 1 GRAVITACIÓN UNIVERSAL1.1 Evolución históricaLa gravitación da cuenta de la fuerza de interacción entre las masas deluniverso. Su conocimiento ha permitido entre otras aplicaciones, ladescripción del movimiento de los astros en el espacio, lo que preocupó alos hombres del mundo antiguo, desde los babilonios, hasta egipcios ygriegos.El primer análisis riguroso, del movimiento de los planetas en el SistemaSolar fue realizado por Tolomeo en Alejandría, situando a la Tierra en elcentro del Universo, (Teoría Geocéntrica), pero sin ofrecer ningunaexplicación física, su auge alcanzó hasta el siglo XVI. Sin embargo, en 1543surgió una nueva teoría debida a Nicolás Copérnico (astrónomo polaco) quecolocaba al Sol en el centro del Universo y a los planetas describiendoórbitas circulares a su alrededor, (Teoría Heliocéntrica), fig.3.1. Imagen del sistema solar con las trayectorias elípticas de los planetas.Fig.3.1. Modelo copernicano del sistema solarMás tarde Kepler mostró que las órbitas de los planeta eran elípticas y quecumplían tres leyes que expresó en dos libros, Astronomía nova (1609) yHarmonices mundi, Libri (1619).Avanzado el siglo XVII, Newton descubrió la razón física que explicaba elmovimiento de los planetas, era una fuerza atractiva que sobre ellos ejercíael Sol y lo expresó en una ecuación matemática, conocida como Ley deGravitación Universal. Fue su firme creencia de que las fuerzas que muevenlos astros en el Universo, son de la misma naturaleza que las que muevena los cuerpos en la Tierra y obedecen, por tanto, a sus mismas leyes la quele llevó a tan importante descubrimiento.La tradición habla de la caída de una manzana que estimuló la imaginaciónde Newton, llevándole a pensar que la Luna debería caer sobre la Tierrasiguiendo la misma ley, pero sigamos el razonamiento de Newton. Estedeterminó –ver apéndice de esta unidad- que en un segundo la Luna caíahacia la Tierra una distancia de hL= 1,3 mm, mientras que un objeto situadoen la superficie terrestre en el mismo tiempo, caería hT = 4,9 m. Newtonobservó : que la relación entre estas dos longitudes era: 1
  • 2. hL 1,3.10 −3 m 1 = ≈ hT 4,9 m 3700y sabía además que la distancia desde la Luna al centro de la Tierra rL ; eraunas 60 veces el radio terrestre: rL ≈ 60 RT .La relación entre sus cuadrados 2 RT R2 1 2 = 2T 2 = rL 60 RT 3600Que es un valor muy próximo al anterior. Como el movimiento de caída de 2estos cuerpos es uniformemente acelerado, resulta que h = ½ gt , y de aquíconcluyó que la aceleración de caída que sufría cada uno, debería serinversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro de la Tierra. 2 g L RT = 2 [3.1] Johannes Kepler (1571-1630) astrónomo gT rL alemán formuló tres famosas leyes sobre el movimiento de los planetas en el sis- tema solar. Newton basándose en ellas EJERCICIO RESUELTO formuló la ley de gravitación universal. 2La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra vale 9,8 m/s . Sabiendoque la distancia de la Luna al centro de la Tierra es 60 veces el radio terrestre,determina la aceleración de la gravedad debida a la Tierra, a la distancia a que seencuentra la Luna del centro de nuestro planeta. gL RT2 9,8 m s 2 P = ; gL = ≈ 2,7.10 −3 m / s 2 9,8 m / s 2 ( 60 RT )2 60 2 r r S a1.1 Leyes de KeplerHasta el Renacimiento, las teorías que explicaban el movimiento de losastros se basaron en procedimientos de observación poco precisos. En elsiglo XVI el astrónomo Tycho Brahe, (1546-1601), realizó una serie de Fig.3.2 Los planetas describen órbitasmedidas de las posiciones de los cuerpos celestes, extraordinariamente elípticas alrededor del Solprecisas, y las dispuso en tablas de datos que fueron utilizadas mas tardepor su discípulo Johannes Kepler Con estos datos pudo establecer lasecuaciones matemáticas que describen el movimiento de los planetas,tomando el sistema de referencia en el Sol. Estas leyes son tres:• Primera ley : Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que se encuentra en uno de los focos, fig.3.2. r r r1 v2 r• Segunda ley : Los radios vectores de las órbitas r que van del Sol al S planeta barren áreas iguales en tiempos iguales. En la fig.3.3, el radio r r r vector r1 cubre en el mismo tiempo, igual superficie que el radio r2 y r2 como consecuencia la velocidad del planeta en su órbita es mayor r r r cuando está más cerca del Sol, que cuando está más alejado, v1 > v2 v1 .• Tercera ley : Establece la relación entre los semiejes mayores de las órbitas “a “ fig.3.2 y los periodos T de los planetas. Su enunciado es el Fig.3.3 En igual tiempo, el radio vector siguiente: El cociente entre los cubos de los semiejes mayores de las cubre la misma área, con independencia órbitas de los planetas y los cuadrados de sus periodos, es el mismo de la distancia del planeta al Sol. En la figura, las dos áreas han sido barridas para todos los planetas que giran alrededor del astro central. por el radio vector en tiempos iguales. a3 = C = Cons tante T2 Estos cocientes con proporcionales a la masa del astro central. C = k·M [3.2] 2
  • 3. 1.2 Ley de Gravitación Universal 6El Sol tiene un diámetro dS = 1,39.10 km. El planeta Júpiter que es el mayor 3del Sistema Solar, tiene un diámetro dJ = 142,7. 10 km, siendo el semieje 6mayor de su órbita aJ = 777,4.10 km. Comparando los diámetros del Sol yJúpiter, con el semieje aJ, es como tener una esfera de 1 m de diámetro auna distancia de 800 m de otra esfera de diámetro 0,1 m. Resulta razonablepor lo tanto para estudiar el movimiento de los astros, considerarlos como rpartículas materiales moviéndose en el espacio. vEl camino que se va a seguir para determinar a partir de las leyes de Keplerla Ley de Gravitación Universal, es suponer que las órbitas son circulares de r Fradio r = a. Sea un planeta de masa m, que con velocidad v, describe una rcircunferencia de radio r alrededor del Sol, el cual supondremos fijo y −Fsituado en el centro del circulo. Como el planeta cambia la dirección de suvector velocidad, sobre él tiene que actuar una fuerza centrípeta FC queapuntará hacia el Sol en todos los puntos de la trayectoria, fig.3.4. Estafuerza es proporcionada precisamente por la atracción solar.Si el periodo del planeta es T (tiempo que emplea en dar una vuelta alrede-dor del Sol), la velocidad del planeta se puede determinar como el cocienteentre la longitud de la órbita recorrida en una vuelta y el tiempo empleado T. 2π r v= Fig.3.4 Sobre el planeta debido a la T atracción gravitatoria, aparece una fuerza rY el valor de la fuerza centrípeta: F siempre dirigida hacia el Sol y r  2π r  1 2 v2 r perpendicular a su vector velocidad v , F =m = m  = 4π 2 m 2 r  T  r T por lo que actúa como una fuerza centrípeta. Sobre el Sol actúa la pareja r rPara relacionarla con la tercera ley de Kepler [3.2] vamos a multiplicar y de reacción − F − F , en la misma 2dividir por r ; considerando a r como si fuera el semieje mayor de la órbita. dirección, con el mismo módulo y de sentido contrario. 1  r3  4π 2 m 4π 2 m m· M S F = 4π 2 m 2  2  = 2 ·C= 2 · k M S = 4π 2 k [3.4] r T  r r r2El primer factor que figura en [3.4] es un producto de constantesindependiente de las masas de los cuerpos, se designa como G, constantede Gravitación Universal. G=4π k 2 [3.5]El valor de G fue medido experimentalmente por primera vez, por HenryCavendish (1731- 1810) en 1798 usando una balanza de torsión, dispositivoinventado por John Michell,(1724 - 1793) y que también utilizó Coulomb en1784 para determinar la ley de las fuerzas eléctricas. Cavendish obtuvo el En Astronomía se suele tomar comovalor: unidad de distancia, la separación G =6,67.10 –11 2 N . m / kg 2 media de la Tierra al Sol, conocida como una unidad astronómica (UA).Medidas muy recientes han confirmado el valor, con una aproximación quealcanza hasta la décimo sexta cifra decimal. 1 UA = 150.106 kmSustituyendo [3.5] en [3.4] se obtiene finalmente el módulo de esta fuerza: m · MS F =G [3.6] r2 3
  • 4. Se ha obtenido la ley de Gravitación Universal considerando el sistemaformado por el Sol en reposo y un planeta girando a su alrededor, sinembargo, sabemos por la experiencia que esta ley determina la interaccióngravitatoria entre dos masas cualesquiera del universo.La ley de Gravitación Universal se enuncia: La fuerza de gravitaciónuniversal entre dos masas es siempre atractiva, proporcional al producto delas masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. Laconstante de gravitación universal G, es independiente del medio materialque separa las masas.De un modo general se puede escribir una expresión vectorial para la fuerzade gravitación universal entre dos masas M y m, utilizando un vector runitario ur con origen en la masa M, fig.3.5. r mM r F= −G ur [3.7] r2 Fotografía de una balanza de torsión para la determinación de la constante deDeterminación de la constante de la tercera ley de Kepler gravitación universal. La atracción gravitatoria entre las esferas grandes deDespejando k de [3.5] y llevándola a [3.2], teniendo en cuenta que la masa plomo y las otras más pequeñascentral es la del Sol, MS, se obtiene el valor de la constante C que figura en suspendidas de la barra horizontal,la tercera ley de Kepler. produce una torsión del hilo de acero, debido al par de fuerzas que aparece G MS C = k· M S = sobre estas últimas. Con un espejito 4π 2 situado en el hilo que es iluminado por un haz de luz, se determina el ángulo girado por el hilo y en función de este dato y de ciertas constantes del hilo, se calcula la EJERCICIO RESUELTO constante de gravitación universal G.*Determina el valor de la constante C, para todos los planetas del Sistema Solar. La 30masa del Sol es de 1,98.10 kg. G · M S 6 ,67.10 −11 N · m 2 · kg −2 · 1,98.10 30 kg N · m2 m3C= = = 3,35.1018 = 3,35.1018 2 4π 2 4π 2 kg s m r M r r*Determina el valor de la constante C, para todos los satélites que giran alrededor de urla Tierra, con independencia de que sean artificiales lanzados por el hombre o lapropia Luna. r −11 −2 F G · MT 6 ,67.10 " N· m · kg 24 · 5,98.10 kg m3 r C= = = 1,01.1013 v −F 4π 2 4π 2 s2 r Fig.3.5 Vector unitario ur y fuerza1.3 El peso en la superficie de la Tierra de interacción gravitatoria entre dos masas.La ley de gravitación universal explica porque cuando un cuerpo se dejalibre en la Tierra, aparece sobre él una fuerza atractiva que lo lleva hacia lamisma, generalmente lo designamos como peso del cuerpo. Sin embargo,vivimos en un planeta que está girando alrededor de su eje, y estacircunstancia tiene su influencia en la medida experimental que hacemosdel peso de un cuerpo, considerando que está en reposo en la Tierra.Para avanzar en estas cuestiones consideraremos como primera hipótesis,que la Tierra es perfectamente esférica y que no gira alrededor de su eje, 4
  • 5. constituyendo un sistema inercial. Después, valoraremos el efecto queproduce la rotación alrededor de su eje, en la medida del peso.• Considerando una Tierra esférica y sin rotación, constituiría un sistema inercial de referencia. Si su masa es MT y su radio RT , sobre un cuerpo de masa m situado en su superficie, es decir a la distancia RT de su centro, la fuerza de atracción gravitatoria es: m r F MT m F =G 2 RT O Este valor de la fuerza atractiva sobre la masa m, es el mismo en cualquier lugar de la superficie terrestre, ver fig.3.6• Si tenemos ahora en cuenta, que la Tierra gira alrededor de su eje dando una vuelta por día, tiene una velocidad angular ωT y los ejes situados en el centro de la Tierra al giran con ella, constituyen un sistema no-inercial, de modo que sobre el cuerpo m que consideramos r en reposo, actúan dos fuerzas, la fuerza de gravitación F y una fuerza Fig.3.6. En una Tierra que no estuviese r girando alrededor de su eje de rotación, centrífuga de inercia FCT ; que depende de la latitud λ del lugar en que los objetos libres solo estarían sometidos se encuentra el cuerpo, fig.3.7. r a la fuerza de gravitación F , que es una fuerza radial hacia O. Z´ r ωT r rλ FCT r F r FCT r λ P Y´Plano del Ecuador O r F X´ λ r P Fig.3.8. Fuerzas que actúan sobre un cuerpo en reposo situado en la TierraFig.3.7. La Tierra gira alrededor de su eje de rotación y con ella los ejes situados con girando. Por acción de la atracción rorigen en el centro de la Tierra O. Constituye un sistema no-inercial. gravitatoria aparece F y por la rotación r de la Tierra actúa la fuerza centrífuga rEl peso P de un cuerpo que determinamos mediante una pesada FCT . Su suma proporciona el valor del(dinamómetro), es el vector suma o resultante, de las dos citadas fuerzas, r peso P .de modo que la vertical de un lugar no coincide exactamente con ladirección del radio de la Tierra. r r r P = F + FCT [3.8]En la fig.3.8 se han dibujado y aumentado el tamaño de las dos fuerzas y seha señalado el ángulo de la latitud λ. Para hallar el módulo del peso P,aplicaremos a los triángulos de la figura el teorema del coseno resultando: P 2 = F 2 + FCT − 2 F · FCT · cos λ 2 [3.9] 5
  • 6. El peso de un cuerpo depende de la latitud. Ahora estamos endisposición de calcular el peso de un cuerpo en distintos sitios de la Tierra.Cada emplazamiento se caracteriza por su latitud λ, que es ángulo que SOBRE LA FUERZA CENTRÍFUGAforma el radio de la Tierra RT del lugar, con el Ecuador terrestre, fig.3.7Como ejemplo vamos a considerar un cuerpo en tres lugares distintos, como En el tema de Dinámica estudiamosel Ecuador terrestre, Mallorca y el Polo Norte. que la fuerza centrífuga se calcula con la ecuación:• En el Ecuador la latitud es λ = 0 así que sustituyendo en [3.9]: FCT = m ω r 2 P 2 = F 2 + FCT − 2 F · FCT · cos 0 = F 2 + FCT − 2 F · FCT = ( F − FCT ) 2 2 2 Donde ω es la velocidad de rotación y r la distancia desde el lugar donde se Resultando para el peso: P = F - FCT . En el Ecuador el peso es encuentra la masa, hasta el eje de menor que la fuerza de atracción gravitatoria. giro. Con ayuda de la figura vamos a expresar la distancia r, en función del• En Mallorca cuya latitud es λ = 39º 33´ el peso es: radio terrestre RT y de la latitud λ. ω P = F 2 + FCT − 2 F · FCT · cos 39º 33´ 2• En el Polo Norte la latitud vale λ = 90º y la fuerza centrífuga es nula porque al estar el cuerpo sobre el eje terrestre su distancia al mismo es r m cero y de [3.9] resulta que el peso es igual a la fuerza de la gravedad: RT M m λ P = F = G T2 RT RT cos λ EJEMPLO RESUELTO 3Considerando a la Tierra como una esfera, de radio medio RT = 6371.10 m y masaMT = 5,98.10 kg, que tiene una velocidad angular ω = 2π rad/día. Determina el 24 r = RT cos λpeso de un cuerpo de masa 25 kg cuando se traslada desde el Ecuador, hasta -11 2 -2Mallorca y después al Polo Norte. G = 6,67.10 N·m ·kg . Sustituyendo r resulta para la fuerza centrífuga la expresión:a) El cuerpo está en el Ecuador de latitud λ = 0 : FCT = m ω r = m ω RT cos λ 2 2 2 MT m 5,98.10 · 2524  2π P =G 2 − m ω 2 RT cos 0 = 6,67.10 −11 3 2 − 25   6371.10 3 RT ( 6371.10 )  24· 3600  P = 245,67 – 0,84 = 244,83 Nb) El cuerpo está en Mallorca de latitud λ = 39º 33´ = 39,55º P = 245,67 2 + ( 0,84· cos 39,55º ) − 2· 245,67 · 0,84 · cos 2 39,55º 2 = 245,17 Nc) En el Polo Norte es la latitud λ = 90º y la FCT = 0 MT m P =G 2 = 245,67 N RTRESUMIENDO: Aunque la masa de un cuerpo es la misma en cualquierlugar de la Tierra, sin embargo, su peso varía con la latitud del lugar dondese encuentra y va aumentando al desplazarlo desde el Ecuador a los Polos.También disminuye el peso de un cuerpo al subirlo por encima de lasuperficie terrestre, pues la distancia al centro de la Tierra es mayor que elvalor del radio terrestre RT ... 6
  • 7. 2 EL CAMPO GRAVITATORIOLas masas de los cuerpos presentan una propiedad que se extiende por elespacio modificando sus características, y haciendo que sobre otras masasallí situadas aparezca una interacción (fuerza atractiva). El campogravitatorio se propaga sin límites.En adelante solo consideraremos masas puntuales o masas esféricas, puesentonces todo sucede como si toda la masa de la esfera estuvieseconcentrada en su centro.2.1 Intensidad del campo gravitatorio r gPara determinar el valor del campo gravitatorio creado por una masa M enun punto exterior, es decir la perturbación que ésta ha producido, se define run vector llamado intensidad del campo gravitatorio g , como el valor dela fuerza que actúa sobre la masa unidad, situada en este punto del campo.Si en lugar de la unidad de masa se sitúa cualquier masa m, la intensidad rdel campo gravitatorio g es de acuerdo con la definición, el cociente entrela fuerza gravitatoria y la masa m. r −G M m u r F r2 r M r g= = = − G 2 ur [3.10] Fig.3.10. La líneas de fuerza del campo m m r gravitatorio son tangentes en cada punto r N al vector campo gravitatorio g ySus unidades son: g≡ entrantes hacia la masa creadora del kg campo.Observa que son equivalentes a las de una aceleración. En efecto: N kg · m s 2 m = = 2 kg kg sLa intensidad del campo gravitatorio, que en adelante llamaremos porbrevedad “campo gravitatorio”, es una propiedad que en cada punto solodepende de la masa creadora del campo M y de la distancia r de la masa al rpunto. Como g es una magnitud vectorial fig.3.9, su dirección, es la de larecta que va de la masa al punto y su sentido entrante hacia la masa. r r r Masa creadora ur r g P rFig.3.9. El campo gravitatorio g en un punto P, es un vector de dirección radial yentrante hacia la masa creadora del campo.Líneas de fuerza del campo gravitatorio. Para visualizar el aspecto delcampo gravitatorio, se representan las líneas de campo o de fuerza. Estaslíneas se trazan de modo que sean tangentes en todos los puntos, al vector rcampo gravitatorio g , fig.3.10.La fuerza gravitatoria sobre una masa testigo m, situada en el campo de r r rotra M, donde la intensidad vale g , se deduce de [3.10]. Resulta F = m· g . 7
  • 8. 2.1 Trabajo de la fuerza gravitatoriaConsideremos una masa M que crea un campo gravitatorio, si dentro del (2)mismo situamos otra masa testigo m, se encontrará sometida a una fuerza r rgravitatoria cuya dirección es radial F ( r ) , que hace trabajo sobre ella. Si el P r (1)desplazamiento realizado es dl el trabajo elemental efectuado por la fuerza. r r r r dl r r dW = F ( r ) · dl F (r ) rEn la fig.3.11 el vector desplazamiento dl se ha descompuesto en la suma Q r rde dos vectores, uno en la dirección radial dr ur y otro en la dirección rP r rperpendicular a la radial dn . rQ M P r dr ur r r F (r ) m r r r r dn dl Fig.3.12. El trabajo de la fuerza r gravitatoria entre dos puntos P y Q, es el M ur Q mismo por cualquiera de los caminos que llevan de P a Q. En la figura el trabajo por el camino (1) en línea continua, vale r igual que el trabajo por el camino (2) enFig.3.11. El desplazamiento dl se puede descomponer en dos componentes, una línea discontinua. r rradial dr ur y otra transversal dn . Esta última no efectúa trabajo sobre m por ser r rperpendicular a la fuerza gravitatoria F ( r ) .La ecuación del trabajo elemental resulta: r r r r r r r r r r r r r r r r dW = F( r ) · dl = F ( r ) · ( dr ur + dn ) = F ( r ) · dr ur + F ( r ) · dn = F ( r )· dr ur Si el trabajo realizado por la fuerza del r rEn consecuencia, solamente efectúa trabajo la fuerza gravitatoria F ( r ) , campo se efectúa a lo largo de una r curva cerrada, entonces la masa mcuando el desplazamiento dl de la masa m, tiene alguna componente en la sale de un punto P y regresa al mismo punto P. Aplicando la ecuacióndirección radial. [3.11] queda:El trabajo realizado por la fuerza del campo, entre dos puntos P y Q se 1 1determina sumando todos los trabajos elementales y matemáticamente se WP → P = G Mm  −  =0calcula mediante una integral definida desde P hasta Q.  rP rP  Q − dr Q r r r Mmr r 1 El trabajo realizado por la fuerza del WP →Q = ∫ F ( r ) · dr ur = ∫ − G Q Q 2 ur · dr ur = G Mm ∫ = G Mm   campo gravitatorio que es P r2 P P r  r P conservativa, a lo largo de una línea cerrada es nulo. 1 1 WP → Q = G Mm  −  [3.11] r  rP   QObserva, que en la ecuación [3.11] del trabajo realizado por la fuerzaaparecen solamente las posiciones final e inicial, representadas por losmódulos de los vectores de posición de los puntos P y Q, fig.3.12. Enconsecuencia el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria entre dos puntos,no depende del camino seguido entre ellos, solamente de la posición inicialy final. Se dice que es una fuerza conservativa. 8
  • 9. 2.2 Potencial gravitatorio Superficies equipotencialesCuando una masa M, se encuentra en el espacio modifica sus propiedadesy otro modo de asignar un valor a la perturbación en cada punto, es El lugar geométrico de aquellosmediante una magnitud escalar llamada potencial. puntos del campo gravitatorio, en los que el potencial gravitatorio r tiene el mismo valor, constituyeSea un punto P, definido por un vector de posición r respecto de la masa M una superficie equipotencial.creadora del campo. Se define el potencial gravitatorio en un punto, como Expresaremos está propiedadel valor del trabajo que efectúa la fuerza del campo para trasladar a la diciendo que todos los puntos de launidad de masa, desde el citado punto hasta el infinito, al que se le asigna superficie verifican.un valor nulo al potencial. VG(x,y,x) = CteEn realidad, si en lugar de la unidad de masa se traslada otra masa mcualquiera, desde el punto al infinito, el potencial gravitatorio se puede Considerando que la masa tienedeterminar de acuerdo con la definición anterior, como la razón: forma esférica y se encuentra aislada, entonces las superficies Wr →∞ ( sobre la masa ) VG ( r ) = equipotenciales son superficies m esféricas con centro en la masa.Sus unidades en el Sistema Internacional son: J/kg VG3 = C3Para calcular el trabajo que hace la fuerza del campo gravitatorio entre dospuntos, podemos aplicar la ecuación [3.11] considerando que el segundo VG2= C2punto está en el infinito. 1 1 G Mm  −  WP →∞ ∞ rP  M VG ( r ) = = =−G m m r MObserva que el potencial gravitatorio es una propiedad que solo depende dela masa M creadora del campo y de la distancia r del punto a la masa VG,1= C1creadora. Además, varía con el inverso de la distancia al punto, tomando suvalor máximo en el infinito y haciéndose cada vez más negativo (menor), amedida que disminuye la distancia r a la masa creadora del campo.La diferencia de potencial entre dos puntos del campo gravitatorio P y En la figura se han representadoQ, es igual al trabajo que efectúa la fuerza del campo, para llevar a la tres superficies equipotenciales, enunidad de masa desde el primer punto al segundo. Para calcularla, basta cada una de las cuales el potencialcon restar los potenciales de los dos puntos, aplicando la ecuación anterior. vale lo mismo, pero es distinto del valor que toma en las demás. M  M  1 1 VG ,Q − VG ,P = − G −  −G  = − GM  −  rQ  rP   rQ rP  Ecuación más general del   potencial gravitatorio Ejercicio Resuelto Sustituyendo la ecuación del trabajo de la fuerza gravitatoria y de (3.10). r ra) Determina el potencial gravitatorio que crea la Tierra en los puntos de laórbita lunar, situados a una distancia media del centro de nuestro planeta VG = ∫F G · dl = ∫ g · (dr + dn ) r r rde 380.000 km. b) Diferencia de potencial entre el punto anterior y otro de la m r r r s r rsuperficie terrestre situado a 6371 km del centro de la Tierra. VG = ∫ g · dr + ∫ g · dn = ∫ g · dr Porque el producto escalar del N 5,98.10 24 kg Ja) El potencial: VG,P = − 6 ,67.10 −11 2 2 3 = − 1,05.106 segundo sumando es nulo. m kg 380 000.10 m kg Tomando diferenciales de la ecuación anterior, resulta en formab) La diferencia de potencial: diferencial la relación siguiente: N  1 1  6 JVG,Q −VG ,P = − 6 ,67.10 −11 5,98.10 24 kg  −  = 61,6.10 v r 2 m kg 2 3 3  380 000.10 m 6371.10 m  kg dVG = g · dr 9
  • 10. 2.3. Relación entre el campo gravitatorio y el potencialEl campo gravitatorio es un vector y para determinarlo es necesario conocersu módulo, dirección y sentido. El potencial gravitatorio VG es una funciónescalar por lo que queda identificado mediante un valor numérico, sinembargo, estas dos magnitudes del campo gravitatorio están relacionadasentre sí, mediante un operador llamado “gradiente”.Consideremos el campo gravitatorio creado por una masa M y en él dossuperficies equipotenciales muy próximas, de radios r y r+dr; que estánrespectivamente a potenciales gravitatorios VG ,y VG + dVG véase fig. 3.?. uuuuuu rSe define el gradiente del potencial, grad VG , como un vector perpendiculara las superficies equipotenciales, cuyo sentido es hacia los valorescrecientes del potencial.Físicamente, el gradiente del potencial en un punto, proporciona la máximavariación que experimenta el potencial gravitatorio por unidad de longitud VG+dVGrecorrida. Si la diferencia de potencial entre las dos superficies es: uuuuu r(VG + dVG) – VG = dVG ; y dr su distancia, el módulo del gradiente es el VG grad VG r rcociente dVG /dr. Si ur es un vector unitario en la dirección radial, el vector ur rgradiente del potencial gravitatorio se puede expresar: dr rM uuuuu r dVG r r grad VG = ur [3. ¿?] dr r r r dr r + drDonde el signo del gradiente viene determinado por la derivada dVG/dr . rPor otra parte, el campo gravitatorio g producido por una masa es radial yentrante, fig.3.??, de modo tiene sentido contrario al vector gradiente. De la Fig.3.? El gradiente del potencialdefinición de diferencia de potencial se deduce que va en el sentido de los potenciales crecientes. r r dVdVG = g · dr = g dr cos 180 = − g dr y de aquí g = − G - dr r v dVG rMultiplicando los dos miembros por el unitario u r resulta: g u r = − ur drObservando la ecuación del gradiente, se acostumbra a escribir: r uuuuu r g = − grad VG VG+dVGEl campo gravitatorio es igual al gradiente del potencial gravitatorio grad VGcambiado de signo. El signo menos indica que el campo gravitatorio va en el r VG dr rsentido de los potenciales decrecientes, es decir, en sentido contrario al del rgradiente del potencial gravitatorio.· ur g r M r r r Ejercicio resuelto r + dr MSabiendo que el potencial gravitatorio es: VG = − G determina el vector campo rgravitatorio. Fig.3.??. El campo gravitatorio va r uuuuu r dV r d  M r d 1 r GM r en el sentido de los potenciales g = − grad VG = − G ur = −  −G  ur = GM   ur = − 2 ur decrecientes, es decir, en sentido dr dr  r  dr  r  r opuesto al gradiente del potencial. 10
  • 11. 2.4 Energía potencial gravitatoriaCuando una masa m, se encuentra en el campo gravitatoria de otra masaM, posee una energía que depende de la posición que ocupa en el campo.Se designa como energía potencial gravitatoria y se define como el trabajorealizado por la fuerza del campo para trasladar a la masa m desde el lugarque ocupa hasta el infinito, donde se le asigna una energía potencial cero. ∞ ∞ r r ∞ Mmr r ∞ dr 1U =Wr →∞ = ∫ FG · dr = ∫ −G 2 ur · dr = G M m ∫ − 2 = G M m   U(energía potencial) r r r r r  r r  1 1 GM m U =G M m −  = − [3.12]  ∞ r r r1 r2 r 0La energía potencial gravitatoria de m, es nula en el infinito y decrece (esmás negativa) al disminuir su distancia r a la masa creadora del campo M. -U2La representación gráfica de la energía potencial de m, en función de ladistancia r a la masa creadora M, es una hipérbola equilátera, fig.3.13. -U1Variación de la energía potencial. En la práctica los cuerpos se van amover entre dos puntos del campo gravitatorio y lo que vamos a considerares la variación de la energía potencial que experimentan.Consideremos una masa m, que se mueve desde un punto P hasta otro Q,en el campo gravitatorio de una masa M. La variación de la energíapotencial gravitatoria se acostumbra a escribir señalando la diferencia entrela energía potencial que tiene en el último punto Q, menos la que tenía en el -Uprimero P. De acuerdo con la ecuación [3.12] resulta: Fig.3.13. Representación de la energía GM m  GM m GM m GM m 1 1 potencial gravitatoria U, de una masa m ∆U =U Q − U P = − − − =− −  = −G M m −  rQ  rP   rQ   rP  r r   Q P en función de su distancia r a la masa creadora del campo M que está situada en O. Puedes observar que cuando rSi se compara esta última ecuación, con la [3.11], que determina el trabajo aumenta, r1 < r2 también lo hace larealizado por la fuerza gravitatoria para trasladar a la masa m, desde un energía potencial U, que resulta menospunto P → Q, se verifica que ∆U = −WP →Q . Esta importante ecuación se negativa.escribe: La energía potencial gravitatoria de m es WP→Q = - ∆U [3.13] siempre negativa, tomando su valor máximo que es cero, cuando seEl trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre una masa m, es igual a encuentra en el infinito r = ∞. Observa enmenos el incremento de su energía potencial. la figura, como los ejes r y -U, son asíntotas de la hipérbola equilátera.Si una masa m se deja libre en un campo gravitatorio, se pondrá enmovimiento de forma espontánea en el sentido de disminuir su energíapotencial, es decir, tratando de acercarse a la masa creadora del campo. EJERCICIO RESUELTO 22 6La masa de la Luna es 7,34.10 kg y su distancia media a la Tierra de 384.10 m. 24La masa de la Tierra es 5,98.10 kg y la constante de gravitación universal -11 2 -2G = 6,67,10 N·m ·kg . Determina con estos datos la energía potencialgravitatoria de la Luna en el campo de la gravedad terrestre. GM m 6 ,67.10 −11 · 5,98.10 24 · 7,34.10 22 U =− =− = − 7,62.10 28 J r 384.106 11
  • 12. EJERCICIO RESUELTOUn satélite artificial de masa 1000 kg, gira en una órbita ecuatorial geoestacionaria a Muna distancia del centro de la Tierra de 42 250 km. Si llegase a caer sobre el mar, r urdetermina su variación de energía potencial. El radio de la Tierra es de 6 371 km.  1 1   1 1 ∆U = − G M m  − −11  = − 6 ,67.10 · 5,98.10 · 1000  24 3 − 3   RT rorbita   6371.10 42250.10  ∆U = − 5,31.10 10 J r r EJERCICIO RESUELTODetermina el trabajo realizado por la fuerza del campo gravitatorio sobre el satélite,en su aproximación a la superficie de la Tierra. r F WP→Q = - ∆U = - (-5,31.10 10 10 J) = 5,31.10 J m2.5 Relación entre la fuerza gravitatoria y la energía potencial Fig.3.14 La fuerza gravitatoria sobre una masa m, tiene dirección radial yLa fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa y por este motivo en el únicamente varía con el inverso delcampo gravitatorio de una masa M, se puede definir la energía potencial de cuadrado de la distancia. Así mismo, lacualquier otra masa testigo m. energía potencial de m solo depende del inverso de la distancia a la masa M.La fuerza del campo gravitatorio sobre la masa testigo m está dirigidaradialmente hacia la masa creadora del campo M, fig.3.14 y varía con el 2inverso de r . También, la energía potencial de m cambia únicamente en ladirección radial, dependiendo en este caso del inverso de r, ec [3.12]. U(energía potencial)Si calculamos la derivada de la energía potencial respecto de r; se obtienela variación de la energía potencial por unidad de longitud recorrida en ladirección radial, resultando: r r dU d  GMm  d  −1  Mm 0 = −  = GMm   = G 2 dr dr  r  dr  r  rEl valor obtenido es el módulo de la fuerza gravitatoria FG .Reemplazando este valor en la ecuación vectorial de la fuerza gravitatoriaec. [3.7] resulta: α r Mmr dU r F = −G 2 ur = − ur [3.14] r dr dU -U tg α = drLa fuerza gravitatoria es la derivada cambiada de signo, de la energíapotencial respecto de la distancia, medida en la dirección radial. Esta Fig.3.15. La pendiente de la tangente a lapropiedad es exclusiva de las fuerzas conservativas. dU curva en un punto r, vale .En el gráfico de la fig.3.15, la pendiente de la recta tangente trazada en un drpunto de la curva de la energía potencial en función de r, es justamente dU , es decir, el módulo de la fuerza del campo gravitatorio en el punto drcorrespondiente. 12
  • 13. 2.7 Energía mecánica de un cuerpo en un campo gravitatorio Pequeños desplazamientos en la superficie terrestre Calcular la variación de energía potencial de una masa m, que se desplaza verticalmente una distancia h pequeña, entre dos puntos P y Q, situados en la superficie de la Tierra. Consideremos que el punto P, se encuentra respecto del centro del planeta justo en la superficie a una distancia RT ; mientras que el punto Q está por encima a una distancia RT + h , fig.3.16. La variación de energía potencial: GMm  GMm   1 1  ∆U = U Q − U P = − − −  = GMm  −  RT + h  RT   RT RT + h   RT + h − RT   h  ∆U = GMm   = GMm  2   RT + RT · h   RT + RT · h  2 Q Ahora bien, si h es una distancia pequeña frente al radio terrestre por ejemplo 100 m, comparando con el radio de la Tierra, RT = 6 371 000 m. Entonces es 2 h RT + h h RT y RT · h RT por lo que resulta despreciable. Considerando estos argumentos resulta: P h M ∆U = GMm 2 = G 2 m h RT RT M r Donde G 2 = g = g ; es el módulo de la intensidad del campo gravitatorio, RT ec.[3.10]. Resulta finalmente para la variación de la energía potencial: RT ∆U = m g h La aplicación de esta ecuación queda limitada a pequeños desplazamientos verticales, frente al valor del radio de la Tierra. Resulta de gran utilidad en la Mecánica, como hemos visto en unidades anteriores. O Fig.3.16. Al desplazar un cuerpo unaPor simple observación del cielo comprobamos que los planetas modifican distancia h, pequeña frente al valor delsu posición respecto de las estrellas, lo que nos induce a pensar que éstos radio de la Tierra, la variación de laestán en movimiento y que tienen energía cinética. Además, como se energía potencial es puede expresarmueven en el campo gravitatorio del Sol y de los demás cuerpos del como: ∆U = m g huniverso, tienen energía potencial gravitatoria. En consecuencia, cualquiercuerpo que está en el espacio tiene también energía mecánica, que es lasuma de la energía cinética respecto de un sistema de referencia, más lapotencial gravitatoria.Ya hemos estudiado en lecciones anteriores el principio de conservación dela energía mecánica, que afirma: cuando un cuerpo se mueve bajo la acciónde fuerzas conservativas, su energía mecánica permanece constante,ecuación [1.29]. Ahora puede escribirse para el movimiento planetario delmodo siguiente: GMm 1 2 U + Ec = − + mv = Cte [3.15] r 2Como aplicación se van a analizar varios casos posibles: 13
  • 14. • Satélite que gira en una órbita elíptica alrededor de la Tierra. Cuando éste se aleja, fig.3.17, la energía potencial gravitatoria ec.[3.12] aumenta con la distancia r al planeta, de modo que al ser la energía mecánica constante, deberá disminuir la energía cinética y por tanto su velocidad, cuanto más se aleja de la Tierra más lento se mueve. r v3 r r F v r r r1 r3 r Fig.3.18. Si la órbita es una circunferen- r2 cia, la fuerza gravitatoria siempre apunta r v1 hacia el centro de la Tierra y actúa como r una fuerza centrípeta. v2 Fig.3.17 A medida que aumenta la distancia r del satélite menor es su velocidad• Em<0. Consideremos el caso particular de que la órbita del satélite sea una circunferencia de radio r, fig.3.18, y vamos a calcular sus energías, cinética y potencial gravitatoria. Haremos la aproximación de suponer unos ejes fijos en el centro de la Tierra que no giran y de este modo solo es necesario considerar sobre el satélite la fuerza gravitatoria F. Como la fuerza gravitatoria actúa de fuerza centrípeta, podemos expresarla como F = FC . Igualando los módulos es posible despejar la velocidad v del satélite, en su órbita alrededor de la Tierra . MT m v2 G MT G 2 =m ; v= r r r 1 1 G MT 1 MT m La energía cinética: EC = m v2 = m = G 2 2 r 2 r MT m La energía potencial gravitatoria: U = − G r MT m 1 MT m 1 M m La energía mecánica: U + EC = − G + G =− G T r 2 r 2 r Las órbitas de los planetas son cerradas, El satélite que está “atrapado” y girando en el campo gravitatorio pero los demás cuerpos celestes pueden terrestre tiene una energía total (mecánica), menor que cero. Esta es la tener órbitas cerradas o abiertas, alrededor de un astro central, como los condición que debe satisfacer cualquier cuerpo celeste para girar en cometas o las sondas espaciales. una órbita cerrada sea elíptica o circular, alrededor de otro astro.• Si consideramos ahora un cuerpo libre, no estará sometido a la acción de ningún otro cuerpo y su energía potencial gravitatoria será cero. Como además puede tener velocidad, poseerá energía cinética que siempre es positiva, resultando su energía mecánica mayor que cero.• Si un astro se encuentra en un momento determinado en el campo gravitatorio de otro, siendo su energía cinética mayor que el valor abso- luto de su energía potencial, entonces puede más la primera que la segunda y se escapa de la atracción gravitatoria. Si la energía mecánica es positiva la órbita es abierta (parábola Em=0 o hipérbola Em>0). Sucede con algunos cometas que entran en el sistema solar, teniendo una fase de aproximación al Sol y luego alejándose de él indefinidamente, o con los sondas espaciales que desde la Tierra enviamos a otros planetas. 14
  • 15. EJERCICIO RESUELTODetermina la velocidad de escape necesaria para que una sonda espacial salga de 24 -11 2 -2la Tierra. Datos: MT = 5,98.10 kg ; RT = 6 371 km ; G = 6,67.10 N · m · kgSe conoce como velocidad de escape la velocidad mínima con que se debe lanzarun satélite desde una cierta posición en la Tierra, para que salga de su campogravitatorio. Consideramos que el lanzamiento se hace desde el suelo, es decir auna distancia del centro de la Tierra igual a su radio RT .Las condiciones necesarias para proporcionar a la sonda la menor energía posible,son aquellas que la permiten llegar al infinito y además alcanzarlo con velocidadnula. Entonces se cumple que por estar en el infinito la energía potencial es cero U= 0 y por llegar parada también la energía cinética EC = 0, y consecuentemente laenergía mecánica: U + EC = 0.Como la energía mecánica de la sonda se conserva, también debe valer cero antesdel lanzamiento en la superficie terrestre. Así que llamando v a la velocidad delanzamiento se verifica: Mt m 1 2G M T −G + m v2 = 0 ; ⇒ v= RT 2 RT 2· 6 ,67.10 −11 · 5,98.10 24Sustituyendo los datos: v = = 11190 m / s = 11,2 km / s 6371.10 3La velocidad de escape lanzando la sonda desde la superficie de la Tierra es de r S11,2 km/s . r g3 Campo gravitatorio dentro de una esferaHasta ahora hemos determinado la perturbación que produce una masa resférica en los puntos del espacio exteriores a ella, mediante el vector ur r Mintensidad del campo gravitatorio g , sin embargo todavía no nos hemos r rplanteado cuanto vale el campo gravitatorio en puntos interiores a la propia g gesfera. Para responder con sencillez a esta cuestión hemos de estudiarpreviamente la ley de Gauss. r r3.1 Ley de Gauss para el campo gravitatorio gConsideremos una masa puntual M. El módulo del campo gravitatorio en Fig.3.19. Todos los puntos situadospuntos situados a la misma distancia r, debe tener el mismo valor, debido a sobre la esfera de radio r, se encuentranla simetría del espacio alrededor de la masa puntual, fig.3.19. Es decir, en a la misma distancia de M , con lo que elaquellos puntos situados sobre la superficie de una esfera de radio r, con campo gravitatorio en todos ellos, tomacentro en M. igual valor en módulo.La superficie de la esfera de radio r cuya área vale 4π r vamos a convenir 2, rrepresentarla por un vector S perpendicular ella, con sentido positivo haciafuera, fig.3.19, y cuyo módulo es igual al valor del área. rSi ahora multiplicamos escalarmente los vectores campo gravitatorio g y el rvector superficie S , se obtiene una nueva magnitud conocida como flujo delcampo gravitatorio Φ a través de la superficie de la esfera. r r M r r Φ = g · S = − G 2 ur · 4π r 2 ur = − 4 π G M [3.16] r 15
  • 16. La ecuación es conocida como la Ley de Gauss para el campo gravitatorio,donde M es solamente la masa contenida dentro de la esfera Observa queel resultado es independiente del radio de la esfera y si en lugar de hallar elflujo a través de esta esfera se hubiera calculado a través de otra cualquiera rde radio mayor o menor, el valor obtenido sería el mismo. SEl resultado obtenido para el flujo es de aplicación para cualquier masa seao no puntual, que este situada dentro de la esfera. La ventaja de la Ley de r P gGauss es que permite determinar el valor del vector intensidad del campocon mucha facilidad, en aquellos casos en los que la masa creadora delcampo presenta mucha simetría como es el caso de las masas esféricas. O r R3.1 Campo gravitatorio de una esfera homogéneaConsideremos una esfera homogénea de densidad ρ, masa M y radio R.Vamos a determinar el campo gravitatorio en un punto interior P, situado adistancia r del centro, tal que r < R y después en el exterior para r ≥ R. Fig.3.20. Para determinar el campoTomaremos una superficie esférica concéntrica con la esfera homogénea gravitatorio en un punto P del interior deque pasa por el punto P, fig.3.20, y le aplicaremos la ley de Gauss, teniendo una esfera homogénea, se traza unaen cuanta que la masa m que debemos considerar, es únicamente la que superficie esférica de radio r, (de puntosestá dentro de la esfera de radio r, cuyo valor será: en la figura), concéntrica con la anterior y que pase por el punto P. Luego se aplica la ley de Gauss. masa totalm = densidad x V ( esfera de radio r ) = x V ( esfera de radio r ) volumen total M 4 r3 m= x π r3 = M 3 4 3 R π R3 3Aplicando la ley de Gauss resulta: r r r r Φ = g · S = g S cos180 = − 4π G m r g r 4π G m 4π G M r 3 R 3 M g= r = =G 3 r [3.17] S 4π r 2 RLas magnitudes G, M y R son constantes para una determinada masaesférica, sin embargo r varía a medida que cambia la distancia del punto alcentro de la esfera. En definitiva, el campo gravitatorio en puntos interioresde una esfera homogénea varía linealmente con la distancia la centro.En puntos situados desde la superficie r = R, hasta el infinito, para calcularel flujo se toma una superficie de radio r ≥ R; que contiene por tanto la masa O R rtotal M. El flujo a través de esta esfera exterior vale: Fig.3.21. Variación de la intensidad del r r r r r 4π G M MΦ = g · S = g S cos 180 = − 4π G M ; g= =G 2 Para r≥ R campo gravitatorio, con la distancia al 4π r 2 r centro de una esfera homogénea. r Observa que g toma su valor máximoEl resultado es el mismo que si toda la masa de la esfera M, estuviese en la superficie de la propia esfera deconcentrada en su centro, como una masa puntual. radio R.Si se representa el campo gravitatorio de una esfera homogénea de radio R,en función de la distancia a su centro O , se obtiene una recta para puntossituados entre 0 < r ≤ R y una curva para valores de r ≥ R, véase la fig.3.21 16
  • 17. EJEMPLO RESUELTODetermina la intensidad del campo gravitatorio terrestre en el interior de nuestroplaneta, en función de la distancia a su centro.Considerando a la Tierra como una esfera homogénea podemos aplicar la ecuación[3.17] y resulta: r MT N m 2 5,98.10 24 kg N g =G r = 6,67.10 −11 r = 1,54.10 −6 · r 3 RT kg 2 ( 6 371.10 3 )3 m 3 kg · ma) Valor del campo gravitatorio a una profundidad de 100 km. r gLa distancia al centro del planeta es r = 6371 km – 100 km = 6271 km. r N N m g = 1,54.10 −6 6271.10 3 m = 9,67 ≈ 9,67 2 kg · m kg s rb) ¿A qué profundidad la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la mitad de g r N su valor en la superficie?. Valor estándar de g = 9,81 . kg r Centro ur de la O 1 N r r · 9,81 Tierra ur g 2 kg r= = = 3185 .10 3 m = 3185 km −6 N −6 N 1,54.10 1,54.10 kg· m kg · m r g La profundidad se mide desde la superficie terrestre y por lo tanto es: h = RT - r = 6371 km – 3185 km = 3186 km . r Lo que era de esperar pues al variar el campo gravitatorio g proporcionalmente a la distancia al centro de la Tierra, tomará la mitad de su valor en la superficie, aproximadamente a la mitad del valor del radio terrestre. Fig.3.21. En un hipotético túnel que EJEMPLO RESUELTO atravesara la Tierra desde un lugar hasta las antípodas, la aceleración de laConsiderando hipotéticamente que fuera posible realizar un túnel que atravesara el gravedad apuntaría siempre hacia elplaneta Tierra pasando por su centro, desde un lugar de la superficie hasta otro centro de la Tierra O.situado en las antípodas, escribe una expresión vectorial para la aceleración decaída para un móvil que se abandonase en la superficie del túnel. rConsiderando un vector unitario ur con origen en el centro de la Tierra, el vector raceleración de la gravedad g tiene sentido opuesto y como en el ejemplo anteriorhemos deducido su módulo resulta: r r g = − 1,54 .10 −6 r urEs un vector que varía proporcionalmente con la distancia r al centro de la Tierra yque su sentido siempre va hacia el centro del planeta. En la fig.3.22 se representa el rvector g en distintos puntos a lo largo del túnel, observa que hasta el centro de laTierra tiene un sentido, pero al otro lado del centro el sentido es el opuesto. Si selanzara un objeto, ganaría velocidad hasta el centro O y después disminuiría hastaalcanzar la superficie por el otro lado, con la misma velocidad de lanzamiento. 17
  • 18. 4 El péndulo simple OPara la medida experimental de la intensidad del campo gravitatorio sepuede utilizar un péndulo. Vamos a describir el llamado péndulo simple. θConsiste en una masa m de pequeñas dimensiones, suspendida de un hilo Linextensible de longitud L y de masa despreciable frente a la anterior. Sise desplaza la masa m de la posición de equilibrio, fig.3.22; aumenta suenergía potencial y al dejarla libre tiende espontáneamente a disminuirlatransformándola en cinética y de este modo se pone en movimiento. Comola única fuerza que efectúa trabajo sobre el péndulo es su peso, que esconservativo, su energía mecánica se conserva y en consecuencia oscilara Euna y otra vez transformando su energía potencial en cinética, ésta enpotencial y así sucesivamente. Fig.3.22. Al separar el péndulo de la posición de equilibrio, aumenta suUn análisis dinámico del péndulo cuando está en oscilación indica que las energía potencial, a costa de la cual al r r dejarlo libre puede oscilar a uno y otrofuerzas que actúan son la tensión de la cuerda T y su peso P . En este lado de la posición de equilibrio OE,.estudio consideramos despreciable la resistencia del aire. rSe descompone el peso P en dos componentes, fig.3.23, una en la Odirección del hilo y otra en la dirección perpendicular P sen θ ; tangente a latrayectoria. Después se aplica la ecuación de la dinámica [1.9],obteniéndose que la resultante de las fuerzas hacia O proporcionan a lamasa oscilante la fuerza centrípeta para cambiar la dirección del vector θ(+) Lvelocidad, mientras que la componente tangencial P sen θ proporciona unaaceleración tangencial aT. r TT − P cos θ = FC T − P cos θ = m· aCm · aT = − P sen θ = − m · g sen θ m· aT = − m· g senθ aT = − g senθ P senθ θ P cosθAhora bien, en la fig.3.23, observamos que P sen θ tiene un sentido que es E rcontrario al positivo de θ, (a la derecha de OE). Para tener en consideración Pesta circunstancia, se debe escribir en la ecuación un signo menos delante. Fig.3.23. El péndulo oscila bajo lasLa aceleración tangencial es proporcional al sen θ, sin embargo si se hace r roscilar al péndulo con pequeñas oscilaciones y θ se expresa en radianes, fuerzas T y P . La componente del peso P sen θ actúa tangencialmente a lase puede hacer la aproximación: sen θ ≈ θ y resulta simplificada la trayectoria y proporciona la aceleraciónexpresión de la aceleración. Si además se pone θ en función de la longitud tangencial aT = - g sen θ.del arco x ; y de la longitud del hilo L, fig.3.24, resulta: x g aT = − g · θ = − g · = − x L L OLa razón g/L es constante, pero la aceleración que sufre la masa m esvariable con la distancia x al punto de equilibrio E. Se dice que efectúa unmovimiento vibratorio armónico, véase la unidad 4. En este movimiento la L 4π 2aceleración vale a = − 2 x ; siendo T el periodo de oscilación, o tiempo θ Tque emplea el péndulo en dar una oscilación de ida y vuelta completas.Igualando: g 4 π2 L − x=− 2 x; T = 2π [3.18] L T gPara pequeñas oscilaciones, el periodo T del péndulo solo depende de la E x=θ·Llongitud del hilo y de la intensidad del campo gravitatorio. Si se midenexperimentalmente L y T aplicando [3.18] se pude despejar el valor de g. Fig.3.24. Relación arco-ángulo. 18
  • 19. APÉNDICE 2 g L RTAceleración de caída de un cuerpo en el campo gravitatorio terrestre = 2 gT rLConsiderando a la Luna en un punto P de la órbita que describe alrededorde la Tierra, si estuviese libre recorrería la línea recta PM tangente a latrayectoria en P, pero sin embargo debido a la atracción terrestre sigue elarco PN. Si en O se encuentra situado el centro de la Tierra alrededor delcual gira, cuando alcanza el punto N, la Luna ha caído la distancia h,aunque su distancia r al centro O no varía. Está distancia es la que vamos atratar de calcular en la fig. 3.25, siendo las distancias PM = QN = d; yOQ = r – h. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OQN resulta: (r − h) + d 2 = r2 ; 2 2 2 2 2 2 2 r –2rh + h + d = r ; - 2 rh + h + d = 0Siempre que el ángulo θ sea pequeño, sucede que h 2 r y el sumando hse puede despreciar frente a los demás, con lo que resulta h = d 2 / 2r .Además, la longitud de trayectoria recorrida por la Luna s, entre los puntos P Py N, no es muy distinta de la distancia d, así que sustituyendo d por s : M h = s2 2 r Q d hEn la época de Newton ya se conocían el radio de la órbita lunar medida N 8con relación al centro de la Tierra, rL = 3,8.10 m y el periodo del satélite 6T = 27,3 días = 2,4.10 s. Considerando que la órbita de la Luna es circular rresulta para su velocidad: r-h longitud de la orbita 2π rL 2 π · 3,8.10 8 m m v= = = ≈ 1000 periodo T 2,4.106 s s θAhora podemos preguntarnos por la distancia recorrida por la Luna en unsegundo de tiempo y resulta: s = v· t = 1000 m s · 1s ≈ 1000 m . ONewton pensaba que del mismo modo que una manzana cae hacia la Tierra Fig.3.25 La Luna sigue la trayectoria PN,en un segundo una distancia hm = 2 9,8 m s 2 · 1s 2 = 4,9 m ; la Luna debe caer 1 con relación al centro de la Tierra O. Launa distancia: distancia OP = ON = r. ( 1000 m ) 2 s2 hL = = = 1,3.10 −3 m = 1,3 mm 2 r 2· 3,8.10 8 mNewton observó que la relación entre estas dos longitudes era: hL 1,3.10 −3 m 1 = ≈ hT 4,9 m 3700y sabía además que la distancia desde la Luna al centro de la Tierra rL ; eraunas 60 veces el radio terrestre: rL ≈ 60 RT .La relación entre sus cuadrados RT2 R2 1 2 = 2T 2 = rL 60 RT 3600Que es un valor muy próximo al anterior. Como el movimiento de caída de 2estos cuerpos es uniformemente acelerado, resulta que h = ½ gt , y de aquíconcluyó que la aceleración de caída que sufría cada uno, debería serinversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro de la Tierra. 2 g L RT = 2 [3.1] gT rL 19
  • 20. Planetas principalesNotas: Una distancia de 1 unidad astronómica (UA) equivale aunos 150 millones de km. Un círculo tiene una excentricidad de0,0 y una parábola 1,0. La inclinación de una órbita planetariase mide con respecto al plano de la órbita de la Tierra. La masade la Tierra es de 5,98 x 1024 kg, su radio medio es de 6.371km y su campo magnético es de 0,31 gauss. La rotación deVenus (*) es retrógrada; los periodos de rotación de Júpiter (†)y Saturno (**) varían con la latitud, pero la rotación del interiorse puede medir observando la radioemisión y se refleja aquí. 20

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