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Funciones trascendentales
 

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    Funciones trascendentales Funciones trascendentales Presentation Transcript

    • MATEMATICAS 1º Bachillerato MaTEX r=A+lu Proyecto A d B Funciones s=B+mv SOCIALES Trascendentes MaTEX Fco Javier Gonz´lez Ortiz a Trascendentes Funciones 2Directorio -2 0 • Tabla de Contenido • Inicio Art´ ıculo c 2004 Doc Doc31 de Mayo de 2004 Versin 1.00 Volver Cerrar
    • MATEMATICAS 1º Bachillerato Tabla de Contenido A r=A+lu d1. Introducci´no B s=B+mv2. Funciones circulares SOCIALES 2.1. Funci´n seno o 2.2. Funci´n coseno o 2.3. Funci´n tangente o MaTEX 2.4. Funciones del tipo y = A sen[ω (x + φ)] + D Trascendentes • An´lisis gr´fico Funciones a a3. Funciones exponenciales • An´lisis gr´fico a a4. Funciones logar´ ıtmicas 4.1. Las funciones ex y ln x 4.2. Algunas aplicaciones • El enfriamiento de un cuerpo • Crecimiento de poblaciones • Desintegraci´n radioactiva o5. Apendice.El n´ mero e u Soluciones a los Ejercicios Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 1: Introducci´n o o 3 1º Bachillerato r=A+lu1. Introducci´n o ALa mayor´ de las operaciones algebraicas que encontraremos involucran las ıa doperaciones m´s usuales: suma, resta, multiplicaci´n, divisi´n, exponentes y a o o B s=B+mvra´ ıces. SOCIALES Sin embargo tambi´n nos encontraremos a menudo con algunas funciones eespeciales que denominaremos funciones trascendentes y que son el seno, el MaTEXcoseno, la tangente -es decir, las funciones trigonom´tricas-; y el logaritmo y e Trascendentes Funcionesla exponencial. En esta secci´n presentaremos cada una de ellas. o Es conveniente haber estudiado ya el cap´ ıtulo de los logaritmos y expo-nenciales para entender este cap´ ıtulo Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 4 1º Bachillerato r=A+lu2. Funciones circulares ALas funciones circulares se originan a partir de la circunferencia unidad de dradio 1. Como recuerdas para un ´ngulo dado α el segmento azul del gr´fico a a B s=B+mves el sen α y el segmento rojo del gr´fico es el cos α. a SOCIALES A medida que el punto P recorre la circunferencia cambia α y por tantoel sen α y el cos α MaTEX π y 2 Trascendentes Funciones senα P π α 0 cosα x 3π 2 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 5 1º Bachillerato r=A+lu2.1. Funci´n seno o AA continuaci´n mostramos una tabla de valores para la funci´n o o d B y = sen x s=B+mv SOCIALES x 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π MaTEX Trascendentes sen x 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 Funciones y su representaci´n gr´fica donde x var´ entre 0 y 4π o a ıa y = sen x 2 1 0 2π 3π 4π π π 3π 2 2 -1 -2 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 6 1º Bachillerato r=A+lu2.2. Funci´n coseno o AA continuaci´n mostramos una tabla de valores para la funci´n o o d B y = cos x s=B+mv SOCIALES x 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π MaTEX Trascendentes cos x 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 Funciones y su representaci´n gr´fica donde x var´ entre 0 y 4π o a ıa y = cos x 2 1 0 2π 3π 4π π π 3π 2 2 -1 -2 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 7 1º Bachillerato r=A+lu2.3. Funci´n tangente o ASi utilizas la calculadora y realizas una tabla se puede representar d sen x B y = tan x = s=B+mv cos x SOCIALES 4 MaTEX Trascendentes 3 Funciones y = tan x 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 8 1º Bachillerato r=A+luEjemplo 2.1. Representar juntas la funciones trigonom´tricas e A y = sen x y = cos x y = tan x d BSoluci´n: o s=B+mv SOCIALES tan 4 MaTEX 3 Trascendentes Funciones 2 1 cos -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 sin -2 -3 -4 -5 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 9 1º Bachillerato r=A+lu2.4. Funciones del tipo y = A sen[ω (x + φ)] + D AA partir de la funci´n y = sen x multiplic´ndola y sumando n´meros se puede o a u dconstruir un amplia familia de funciones. Veremos el efecto que produce cada B s=B+mvuno de los par´metros A, ω, φ y D sobre la funci´n sen x. a o SOCIALES • El par´metro ω se llama en f´ a ısica la velocidad angular. Si la funci´n o sen x da una vuelta completa desde 0 a 2π al multiplicar la variable x MaTEX por ω, la funci´n sen ω x da ω vueltas en el mismo intervalo o Trascendentes Funciones • Al par´metro A se le llama amplitud y dilata la curva por A. a • Al par´metro φ se le llama en f´ a ısica la fase. Produce un desplazamiento horizontal, a la derecha cuando φ se resta y a la izquierda cuando φ se suma • A D se le llama desplazamiento. Produce un desplazamiento vertical, hacia arriba si D es positivo y hacia abajo cuando D es negativo A continuaci´n analizamos cada una de ellas. o Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 10 1º Bachillerato r=A+luEjemplo 2.2. Comparar la funciones y = sen x con y = sen 2 x. ASoluci´n: Si la funci´n sen x da una vuelta completa desde 0 a 2π al multi- o o dplicar la variable x por 2, da dos vueltas completas en el mismo intervalo B s=B+mv SOCIALES y = sen x MaTEX 2 Trascendentes Funciones 1 2π 0 π π 3π 2 2 -1 y = sen 2x -2 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 11 1º Bachillerato r=A+luEjemplo 2.3. Comparar la funciones y = sen x con y = 2 sen x. ASoluci´n: Si la funci´n sen x var´ entre −1 a 1 al multiplicar la funci´n por 2, o o ıa o dvar´ entre −2 a 2 en el mismo intervalo. Lo que ha cambiado es la amplitud ıa B s=B+mv SOCIALES y = sen x MaTEX 2 Trascendentes Funciones 1 2π 0 π π 3π 2 2 -1 y = 2 sen x -2 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 12 1º Bachillerato r=A+luEjemplo 2.4. Comparar la funciones y = sen x con y = sen (x − π/4). ASoluci´n: al restar a la variable x por π/4, la funci´n se desplaza a la derecha o o dπ/4 = 45o B s=B+mv SOCIALES y = sen x MaTEX 2 Trascendentes Funciones 1 2π 0 π π 3π 2 2 -1 π y = sen (x− 4 ) -2 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 13 1º Bachillerato r=A+luEjemplo 2.5. Comparar la funciones y = sen x con y = sen x + 1. ASoluci´n: Si la funci´n sen x var´ entre −1 a 1 al sumarla 1 , ahora var´ o o ıa ıa dentre 0 a 2 en el mismo intervalo. La hemos desplazado verticalmente. B s=B+mv SOCIALES y = sen x MaTEX 2 Trascendentes Funciones 1 2π 0 π π 3π 2 2 -1 y = 1 + sen x -2 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 14 1º Bachillerato r=A+luEjemplo 2.6. Representar y = sen x y y = | sen x| ASoluci´n: o d y = sen x B s=B+mv 2 SOCIALES 1 0 2π 3π 4π MaTEX π π 3π 2 2 Trascendentes Funciones -1 -2 y = |sen x| 2 1 0 π π 3π 2π 3π 4π 2 2 -1 -2 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 15 1º Bachillerato r=A+luTest. Considera el gr´fico inferior y responde: a A 1. La funci´n y = 3 sen x es la o d B s=B+mv (a) azul (b) verde (c) roja SOCIALES 2. La funci´n y = 0.5 sen x es la o (a) azul (b) verde (c) roja MaTEX 3. La funci´n y = sen (x − π/2) es la o Trascendentes Funciones (a) azul (b) verde (c) roja 3 2 1 2π 0 π π 3π 2 2 -1 -2 Doc Doc -3 Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 2: Funciones circulares o 16 1º Bachillerato r=A+lu• An´lisis gr´fico a a A Funciones: y = A sen[ω (x + φ)] + D d BPulsando los botones, estudia el efecto de los par´metros sobre la funci´n a o s=B+mv SOCIALESseno dibujada entre [0, 2 π] - A= 1 + MaTEX - ω= 1 + Trascendentes Funciones - φ= 0 + - D= 0 + Doc Doc Grafico Borrar Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 3: Funciones exponenciales o 17 1º Bachillerato r=A+lu3. Funciones exponenciales ALas funciones exponenciales son las que tienen la variable como exponente. dPara hacernos una idea clara vamos a analizar por ejemplo, la funci´n o B s=B+mv y = 2x SOCIALESLa exponencial est´ bien definida para cualquier valor de x. Recuerda que a20 = 1 y como funcionan los exponentes negativos. MaTEX Trascendentes Funciones x>0 x<0 1 21 = 2 2−1 = 2 −2 1 22 = 4 2 = 4 −5 1 25 = 32 2 = 32 −10 1 210 = 1024 2 = 1024Observa que cualquier potencia de 2 es siempre positiva. A continuaci´n orealizamos una tabla de valores y mostramos la gr´fica de y = 2x . a Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 3: Funciones exponenciales o 18 1º Bachillerato r=A+lu A 6 x y = 2x d B −20 0, 00000095367 5 s=B+mv SOCIALES −10 0, 0009765625 4 −5 0, 03125 MaTEX 3 −3 Trascendentes 0, 125 Funciones −1 0, 5 2 0 1 1 1 2 0 2 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 5 32 -1 10 1024 • D=R 20 1048576 • x → −∞ =⇒ 2x → 0 30 1073741824 • x → +∞ =⇒ 2x → +∞ Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 3: Funciones exponenciales o 19 1º Bachillerato r=A+lu Podemos generalizar a cualquier base a que sea positiva, distinguiendo Aseg´n el valor de a sea menor o mayor que 1. u dEjemplo 3.1. Estudiar y representar la funci´n o B s=B+mv y = ax SOCIALESSoluci´n: o 6 MaTEX Trascendentes Funciones y = ax 5 y = ax 0<a<1 4 a>1 3 2 1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 3: Funciones exponenciales o 20 1º Bachillerato r=A+lu• An´lisis gr´fico a a A Funciones: y = ax d BEstudia el efecto al cambiar el valor de la base exponencial,pulsando sobre s=B+mv SOCIALESlos botones. - a= 1 + MaTEX Trascendentes Funciones Doc Doc Grafico Borrar Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 4: Funciones logar´ o ıtmicas 21 1º Bachillerato r=A+lu4. Funciones logar´ ıtmicas AEstudiar y representar la funci´n o d B y = log10 x s=B+mv SOCIALES 3 x y = log10 x 2 MaTEX −100 10 −100 Trascendentes Funciones 1 10−10 −10 0 10−1 −1 -1 0 1 2 3 4 5 6 1 0 -1 101 1 -2 y = ln x 102 2 -3 5 10 5 • D = (0; +∞) 100 10 100 • x → 0+ =⇒ log10 x → −∞ 101000 1000 • x → +∞ =⇒ log10 x → +∞ Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 4: Funciones logar´ o ıtmicas 22 1º Bachillerato r=A+lu Podemos generalizar a cualquier base a que sea positiva, distinguiendo Aseg´n el valor de a sea menor o mayor que 1. u dEjemplo 4.1. Estudiar y representar la funci´n o B s=B+mv SOCIALES y = loga xSoluci´n: o MaTEX Trascendentes 3 Funciones y = lga x 2 a>1 1 0 -1 0 1 -1 -2 y = lga x 0<a<1 -3 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 4: Funciones logar´ o ıtmicas 23 1º Bachillerato r=A+lu4.1. Las funciones ex y ln x ALa base m´s importante en matem´ticas tanto en exponenciales como en a a dlogaritmos es el n´mero e. En el ap´ndice El n´mero e damos una explicaci´n u e u o B s=B+mvde este n´mero. u SOCIALES xEjemplo 4.2. Representar las funciones y = ln x y y = eSoluci´n: o MaTEX Trascendentes y = ex Funciones 8 6 4 y = ln x 2 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 -10 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 4: Funciones logar´ o ıtmicas 24 1º Bachillerato r=A+lu4.2. Algunas aplicaciones A• El enfriamiento de un cuerpo dLa ley del enfriamiento de los cuerpos de Newton establece que el enfri- B s=B+mvamiento de un cuerpo es proporcional, en cada instante, a la diferencia con SOCIALESla temperatura ambiente. La ley dice que si T0 es la temperatura inicial con que introducimos uncuerpo en un ambiente con una temperatura de Ta grados, al cabo de un MaTEXtiempo t la temperatura del cuerpo es Trascendentes Funciones T (t) = Ta + (T0 − Ta ) e−α tdonde α es una constante, llamada la constante de enfriamiento, y que esparticular de cada cuerpo.Ejemplo 4.3. En nuestra cocina hace 20o C y sacamos de la cazuela unterm´metro que est´ a 60o C. Pasados 15 minutos, el term´metro desciende o a ohasta los 25o C. Hallar la constante de enfriamiento del term´metro. oSoluci´n: o 25 = 20 + (60 − 20) e−α 0.25 =⇒ e−α 0.25 = 0.125 −0.25 α = ln 0.125 =⇒ α ≈ 8, 318 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 4: Funciones logar´ o ıtmicas 25 1º Bachillerato r=A+lu Una aplicaci´n interesante de esta ley consiste en determinar el instante o Ade fallecimiento de una persona, despu´s de algunas horas de muerta. Esta e dinformaci´n es de crucial importancia en criminolog´ y en estudios forenses. o ıa B s=B+mv SOCIALES El escenario de un crimen puede variar de manera muy importante seg´nuque un crimen haya ocurrido a una hora u otra. La idea se basa en que losmam´ ıferos, cuando estamos vivos, tenemos una temperatura muy estable e MaTEXigual a T0 = 37o C. Al morir, la temperatura corporal comienza a descender Trascendenteshasta alcanzar la temperatura ambiente Ta . FuncionesEjercicio 1. Un polic´ tom´ nota de que la temperatura ambiente era de ıa o20o C y la del cad´ver de 29,5o C. Dos horas m´s tarde, se volvi´ a tomar la a a otemperatura del cad´ver, que hab´ descendido hasta los 23,4o C. Averigua, a ıacon los datos anteriores, a) la constante de enfriamiento del fallecido, b) y la hora de su fallecimiento. Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 4: Funciones logar´ o ıtmicas 26 1º Bachillerato r=A+lu• Crecimiento de poblaciones AEl economista brit´nico Thomas Malthus propuso en 1798 que la velocidad a dde crecimiento de una poblaci´n de individuos es proporcional a la poblaci´n o o B s=B+mvya existente. SOCIALES Si P0 es la poblaci´n inicial (es decir, la existente cuando comenzamos a ocontar), existe una constante de crecimiento k en cada poblaci´n, de manera oque el n´mero de individuos al cabo de un tiempo t, viene expresado por una u MaTEXley del tipo Trascendentes P (t) = P0 ekt FuncionesEjemplo 4.4. Una poblaci´n de insectos crece de acuerdo a la funci´n o o y = 1 + 2 exdonde x es el tiempo en meses e y es el n´mero de insectos en miles. u a) ¿Cu´ntos insectos hay inicialmente? a b) ¿Cu´ntos insectos hay al cabo del primer mes? aSoluci´n: o a) Inicialmente, cuando x = 0, hab´ y(0) = 1 + 2 e0 = 3 mil insectos ıa Doc Doc b) Al cabo del primer mes, y(1) = 1 + 2 e1 ≈ 6436 insectos Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 4: Funciones logar´ o ıtmicas 27 1º Bachillerato r=A+lu AEjercicio 2. La cantidad de bacterias en un cultivo fue de 400 despu´s de 2 e dhoras y de 25.600 despu´s de 6 horas. (Se supone crecimiento exponencial.) e B s=B+mvSe pide: SOCIALES a) ¿Cu´l era el tama˜o de la poblaci´n inicial? a n o b) Encontrar una expresi´n para la poblaci´n despu´s de t horas. o o e MaTEX Trascendentes FuncionesEjercicio 3. El coste de una barra de chocolate “Xokolat” en 1982 era 5c´ntimos. La funci´n exponencial que describe el crecimiento del coste de la e obarra de chocolate es: C(t) = 0.05 e0.097 t a) ¿Cu´l es ahora el coste de la barra de “Xokolat”? a b) ¿Cu´l ser´ el coste en el a˜o 2100? a a nEjercicio 4. El n´mero de discos compactos producidos cada a˜o crece ex- u nponencialmente. El n´mero N , en millones, producidos es: u N (t) = 7.5 e0.5 t donde t es el tiempo en a˜os y t = 0 corresponde al a˜o 1990. ¿Cuanto n ntiempo pasar´ hasta que 1 bill´n de discos compactos sean vendidos en un a o Doc Doca˜o? n Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 4: Funciones logar´ o ıtmicas 28 1º Bachillerato r=A+lu• Desintegraci´n radioactiva o AAlgunos ´tomos son inestables y se desintegran espont´neamente emitiendo a a dradiaciones. Se ha observado que el tiempo en que determinada substancia B s=B+mvse reduce a la mitad, llamado vida media, es una constante caracter´ ıstica de SOCIALESella e independiente de la cantidad que haya. La ley de Rutherford sobre la desintegraci´n radiactiva dice que el n´mero o u MaTEXde ´tomos de un elemento radiactivo transformados en un tiempo determi- a Trascendentesnado es proporcional al n´mero de ´tomos de ese elemento que est´n presentes u a e Funcionesen la substancia, en particular, la f´rmula que describe la desintegraci´n es o ode la forma: N (t) = N0 e−k t donde N0 es la poblaci´n inicial, y k es la constante de desintegraci´n o oradiactiva. La vida media de los elementos radiactivos puede utilizarse a veces paradeterminar la fecha de sucesos del pasado de la Tierra. Las edades de lasrocas de m´s de 2000 millones de a˜os pueden establecerse mediante la desin- a ntegraci´n radiactiva del uranio (de 4500 millones de a˜os de vida media). o n En un organismo vivo, cada gramo de carbono contiene 10−6 gramos deC 14 . Tras su muerte, el organismo deja de absorber carbono y la proporci´n ode C 14 decrece a medida que se va desintegrando. Su vida media es de unos Doc Doc5730 a˜os, de modo que es posible estimar la edad de restos org´nicos: los n a Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 4: Funciones logar´ o ıtmicas 29 1º Bachillerato r=A+luarque´logos han fechado as´ conchas, semillas, objetos de madera, o la fecha o ı Aen que se realizaron pinturas rupestres. dEjemplo 4.5. Hallar k en la f´rmula de desintegraci´n del C 14 o o B s=B+mvSoluci´n: o SOCIALESUn gramo N0 = 1 se reduce a la mitad N = 0.5 en un periodo de 5730 a˜os, nluego con la expresi´n o MaTEX N (t) = N0 e−k t Trascendentes Funciones ln 0.5 0.5 = 1 e−k 5730 =⇒ k = − ≈ 1, 21 × 10−4 5730Ejercicio 5. El carb´n de un ´rbol muerto en la erupci´n volc´nica que dio o a o aorigen al Lago Cr´ter, en Oreg´n, conten´ el 44, 5% del C 14 que se halla en a o ıala materia viva. ¿Qu´ antig¨edad aproximada tiene el lago? e uEjercicio 6. En el a˜o 2000 se encuentra, en el centro de Illinois, un hueso nfosilizado con el 17% de su contenido original de C 14 . ¿En qu´ a˜o muri´ e n oel animal? Cont´stese en el caso de que las proporciones fuesen 16% y 18% erespectivamente para ver las consecuencias de un peque˜o error en la medida ndel carbono. Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 5: Apendice.El n´mero e o u 30 1º Bachillerato r=A+lu5. Apendice.El n´ mero e u AEn Matem´ticas existen algunos n´meros que son muy famosos. Vamos a a u dhablar del n´mero e, que debe su nombre al matem´tico alem´n Leonard u a a B s=B+mvEuler. El n´mero e es un n´mero irracional, y se obtiene como l´ u u ımite de la SOCIALESsucesi´n o 1 lim (1 + )n = e n→∞ n MaTEX Durante el siglo XVI, antes de la invenci´n de las calculadoras y los com- o Trascendentes Funcionesputadores, ¿c´mo actuaban los t´cnicos y cient´ o e ıficos cuando ten´ la necesi- ıandad de realizar c´lculos numerosos y complejos ?: a lo hac´ utilizando las tablas de logaritmos. ıan La invenci´n de los logaritmos la dio a conocer el escoc´s Juan Neper, o ebar´n de Merchiston, que los public´ por primera vez en 1614. o o De manera paralela a Neper, tambi´n los descubr´ el suizo B¨rgi. Su e ıa uidea se basaba en la observaci´n, ya realizada por Arqu´ o ımedes, de ciertaspropiedades de las progresiones geom´tricas. e Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 5: Apendice.El n´mero e o u 31 1º Bachillerato r=A+lu A Observa la tabla de la izquierda. Con la regla de n y = 2n las potencias d 2a · 2b = 2a+b B 1 2 s=B+mv SOCIALES si queremos calcular 2 4 8 · 128 = 23 · 27 = 210 3 8 ir´ ıamos en la tabla a la fila (3 + 7 = 10) y ob- MaTEX tendr´ıamos a la derecha el valor 1024, es decir con Trascendentes 4 16 Funciones los logaritmos hemos logrado evitar el c´lculo de a 5 32 productos por sumas. ¡Todo un chollo! Pero si queremos calcular 12 · 37 necesitamos en la 6 64 columna de la derecha estos n´meros, sin embargo u 7 128 las potencias de 2 dejan muchos huecos, por ello una idea v´lida puede ser la de considerar, en lu- a 8 256 gar de las potencias de 2, potencias de un n´mero u 9 512 cercano a 1, que dejan menos huecos. Esta es la idea que tuvieron Neper y B¨rgi (aunque sigu- u 10 1024 iendo m´todos diferentes). e B¨rgi consider´ la base 1’0001. u o 11 2048 Realicemos una tabla de valores de 1 0001n : Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 5: Apendice.El n´mero e o u 32 1º Bachillerato r=A+lu A n 1 0001n d 0 1 B s=B+mv SOCIALES 1 1 0001 2 1 00020001 MaTEX 3 1 000300030001 Trascendentes Funciones 4 1 0004000600040001 5 1 00050010001000050001 6 1 000600150020001500060001 Vemos que se avanza muy poco (nos interesa que vayan apareciendo losn´meros naturales y con 6 pasos a´n estamos muy lejos de 2). Adem´s u u alos c´lculos son tan complicados que parece imposible obtener una potencia aelevada de 1 0001. Se observ´ que los n´meros en negrita son los del tri´ngulo de Tartaglia o u a Observamos que la segunda columna en negrita es la serie de los n´meros u n n nnaturales , la tercera columna , la cuarta ,etc. 1 2 3 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 5: Apendice.El n´mero e o u 33 1º Bachillerato r=A+lu Para las primeras cifras de por ejemplo 1 000150 calculamos A 50 50 50 50 d = 50 = 1225 = 19600 = 230300 1 2 3 4 B s=B+mvcoloc´ndolas adecuadamente se obtiene a SOCIALES 1 000150 = 1 0050122696230300..... En definitiva, aunque muy laborioso, hemos comprobado que es posible MaTEXconstruir la tabla de logaritmos de base 1 0001. El inconveniente que sigue Trascendentes Funcionespresentando es que el avance es muy lento: elevando esta base a 50 s´lo vamos opor 1 005 · · · ; para obtener 2 hemos de elevar la base a 6931, 1, 00016931 = 1 99983634 Tambi´n se nos presenta el problema de que los logaritmos en esta base eresultan n´meros muy grandes: hay que elevar 1 0001 a 16095 para estar ucerca de 5. La soluci´n que encontr´ B¨rgi fue considerar la base 1.000110000 , cuya o o utabla es muy f´cil de construir a partir de la anterior: se comprueba sin difi- acultad que si el logaritmo de 2 es 6931 81183, en la nueva base es 0 69314 · · ·S´lo hay que dividir por 10000, con lo que el tama˜o de los nuevos logaritmos o nresulta m´s razonable. a Siendo exagerados, podr´ ıamos pensar que ser´ mejor base todav´ ıa ıa 1.000000110000000 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSecci´n 5: Apendice.El n´mero e o u 34 1º Bachillerato r=A+luque es justamente A 10000000 1 1+ d 10000000 B s=B+mvpuesto que 1 0000001 a´n est´ m´s cerca de la unidad, y ¿por qu´ no seguir? u a a e SOCIALES n 1 lim n→∞ 1+ n =e MaTEXEsta ha sido algo de la historia del n´mero e y de los logaritmos en base e, u Trascendentesque escribimos como ln x, y llamamos logaritmos naturales o neperianos. Funciones Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 35 1º Bachillerato r=A+luSoluciones a los Ejercicios AEjercicio 1. Con T0 = 37o C, se tiene d   B s=B+mv 29.5 = 20 + (37 − 20) e−α t 9.5 = 17 e−α t     SOCIALES 23.4 = 20 + (37 − 20) e−α (t+2)  3.4 = 17 e−α (t+2)   MaTEX Dividiendo miembro a miembro, se tiene 9.5 e−α t e−α t Trascendentes Funciones = −α (t+2) == −α t −2 α 3.4 e e esimplificando e2 α = 2.8 =⇒ 2 α = ln 2.8 ≈ 1.03 =⇒ α = 0.51sustituyendo em la primera ecuaci´n o 9.5 = 17 e−0.51 t =⇒ e−0.51 t = 0.56 =⇒ t = 1.14Luego hab´ pasado 1.14 horas desde que falleci´ hasta que el polic´ en- ıan o ıacontr´ el cadaver. o Ejercicio 1 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 36 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 2. Sea la poblaci´n de bacterias en funci´n del tiempo en horas, o o Ala funci´n o d P (t) = P0 ekt B s=B+mv a) Siendo P0 la poblaci´n inicial, P (2) = 400 y P (6) = 25.600. Planteamos o SOCIALES un sistema y dividimos miembro a miembro 400 = P0 e2 k 25.600 = P0 e6 k MaTEX e4 k = 64 =⇒ 4 k = ln 64 =⇒ k ≈ 1.04 Trascendentes Funciones Sustituyendo en una de las ecuaciones anteriores 400 = P0 e2 1.04 =⇒ P0 ≈ 50 b) Encontrar una expresi´n para la poblaci´n despu´s de t horas. o o e P (t) = 50 e1.04 t Ejercicio 2 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 37 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 3. A a) ¿Cu´l es ahora el coste de la barra de “Xokolat”? Si estamos en el a˜o a n d 2004, y han pasado 22 a˜os n B s=B+mv SOCIALES C(t) = 0.05 e0.097 22 ≈ 0, 42 c´ntimos e b) ¿Cu´l ser´ el coste en el a˜o 2100? Para el 2100 habr´n pasado 118 a a n a MaTEX a˜os, luego n C(t) = 0.05 e0.097 118 ≈ 4676 c´ntimos e Trascendentes Funciones Ejercicio 3 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 38 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 4. 1 bill´n de discos corresponde a N = 1000, luego o A ln 133.33 1000 = 7.5 e0.5 t =⇒ e0.5 t = 133.33 =⇒ t = ≈ 9.8 d 0.5 B s=B+mv Ejercicio 4 SOCIALES MaTEX Trascendentes Funciones Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 39 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 5. AUna cantidad inicial de N0 = 1 se redujo a N = 0.445, siendo la constante dde desintegraci´n k = 1, 21 × 10−4 , con la expresi´n o o B s=B+mv SOCIALES N (t) = N0 e−k t −4 0.445 = 1 e−1,21×10 t =⇒aplicando logaritmos y despejando t MaTEX ln 0.445 Trascendentes Funciones t=− ≈ 6693 a˜os n 1, 21 × 10−4 Ejercicio 5 Doc Doc Volver Cerrar
    • MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 40 1º Bachillerato r=A+luEjercicio 6. AUna cantidad inicial de N0 = 1 se redujo a: d • al 16%, N = 0.16 B s=B+mv SOCIALES −4 ln 0.16 0.16 = 1 e−1,21×10 t =⇒ t = − ≈ 15145 a˜os n 1, 21 × 10−4 • al 17%, N = 0.17 MaTEX ln 0.17 Trascendentes −4 0.17 = 1 e−1,21×10 t Funciones =⇒ t = − ≈ 14644 a˜os n 1, 21 × 10−4 • al 18%, N = 0.18 −4 ln 0.18 0.18 = 1 e−1,21×10 t =⇒ t = − ≈ 14171 a˜os n 1, 21 × 10−4Se observa que un 1% de error supone unos 500 a˜os de diferencia en la nestimaci´n o Ejercicio 6 Doc Doc Volver Cerrar