Your SlideShare is downloading. ×
ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

ระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์

38,276
views

Published on


3 Comments
8 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
38,276
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
560
Comments
3
Likes
8
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. ระบบสมการเชิงเส้ นและเมทริกซ์  a11 a13  มิติ i  j a12 เช่น A = a เมทริกซ์ A มีมิติ 23  21 a 22 a 23     a13 คือ สมาชิกของเมทริ กซ์ A 13 แถว หลัก หมายถึง สมาชิกของเมทริกซ์ A 1 3  x a  1 3  A=B เช่น ถ้ า  y b    2 4    ต้ องมี  มิติ เท่ ากัน จะได้ x = 1 , y = 2 , a = 3 และ b = 4 สมาชิกในตําแหน่ ง  x a  1  เดียวกันเท่ ากัน แต่  y b    2     A+B เช่น 1 3 5 7  1  5 3  7  6 10 2 4  6 8   2  6 4  8  8 12ต้ องมี          ดําเนินการกับสมาชิก 1 3  5 7   1  5 3  7    4  4  2 4  6 8   2  6 4  8   4  4ในตําแหน่ งเดียวกัน         เช่น Aab  Bbc  AB c AB a ถ้ า A  B แล้ ว AB  BAใช้  แถว  หลัก 7  1 3 5    (1  7)  (3  8)  (5  9)   76  นําผลคูณมาบวกกัน 2 4 6  8   (2  7)  (4  8)  (6  9)  100   9      ต้ องมี   มิติ แถวของตัวคูณ    23 31 2 1
  • 2. (2) t เช่น ถ้ า A = a  b c  เมทริกซ์ A มีมิติ 23 A x y z a xสลับ แถว กับ หลัก t แล้ ว A = b y เมทริกซ์ At มีมิติ 32   c  z AA-1 = A-1A = In ถ้า AB = In แล้ ว B = A-1 A  a  ij 1 1 det( A )  a ij ad – bc  0 ได้ det( A )  ad  bc a b A    1  d b c d และ A1  adbc c a   a x p a x det(A)  b y q b y a x p A  b y q c z r c z    (ayr)  (xqc)  ( pbz)  (cyp)  (zqa)  (rbx) c z r    คูณทแยงลงมีค่าเป็ นบวก คูณ ค่าเป็ นลบ det( A )  a ij  C ij ( A ) ผลบวกของผลคูณระหว่างสมาชิกกับค่าโคเฟกเตอร์A  a  ij mm m>2 1 และ A1  adj ( A) det ( A) det(A)  0  det(A) = det(At)  det(kA) = kmdet(A) A  a  ij m m  det(AB) = det(A) det(B)  det(A-1) = 1 det( A)
  • 3. (3) เมทริกซ์ เอกฐาน ถ้ าเมทริกซ์ A มี det(A) = 0 (Sigolar Matrix) แล้ ว A จะเป็ นเมทริกซ์เอกฐาน (ไม่มี A-1) เมทริกซ์ ไม่ เอกฐาน ถ้ าเมทริกซ์ A มี det(A)  0 (Non-Sigolar Matrix) แล้ ว A จะเป็ นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน(มี A-1)  det( A )   a  C ( A) ij ij   C ( A )  t 1 1 adj ( A )  ijA adj ( A) i j det ( A) C ij ( A)  (1)  M ij ( A) det(A)  0 และ M ij ( A)  det( Aij ) det( Aij ) เป็ นค่าดีเทอร์ i j 1 2 6 1 2 1 2 6 det( A)  3 5 7 3 5 A  3 5 7   4 8 9 4 8 4 8 9    (1  5  9)  (2  7  4)  (6  3  8)  (4  5  6)  (8  7  1)  (9  3  2) 1  45  56  144  120  56  54  15det(A) = 1C11(A)  5 7 3 7  3 5 t    + 2C12(A)   8 2 9 6 4 1 9 6   4 1 8 2 adj ( A)      + 6C13(A)  8 9 4 9  4 8  2 6 1 6  1 2= 1M11(A)  5 7  3 7  3 5   + 2(-1)M12(A)   11 1 4 t  11 30  16  30  15      1  15 11  + 6M13(A) 0    16  11  1   4  0 1  = -11 + (21) + (64)  11 16   15 2  = -11 + 2 + 24  11 30  16  15 1 1     1 1 11  A  1  15 11  = 15 15   15 15   4  0 1   4 0   1  15  15  
  • 4. (4) การแก้ ระบบสมการ เช่น x – 3z = -2 3x + y – 2z = 5ใช้ ตัวผกผันการคูณA เป็ นเมทริกซ์ สัมประสิทธ์ 2x + 2y + z = 4X เป็ นเมทริกซ์ ตัวแปรB 1 0  3  x    2 3 1  2  y    5 AX = B      2  2 1 z    4   X = A-1B ใช้ ตัวผกผันการคูณ 1  x 1 0  3   2  y   3 1  2  5        z   2  2 1  4    1 0  3 ให้ 3 A   1  2  det( A)  7  2  2 1 t  1 2 3 2 3 1      2 1 2 1 2 2   0 3 1 3 1 0  adj ( A)       2 1 2 1 2 2   0 3 1 3 1 0      1 2 3 2 3 1   5 7  5 6 t 4 3  6   7  2   7 7  7     3 7  1   4 2  1  5 6 3 1  A 1   7 7  7 7  4 2  1   x  5 6 3   2     y   1  7  7  7   5   7 z    4 2  1  4    x  4  y    3     z    2   ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )
  • 5. (5)A  a  ij m m ถ้ า det(A)  0 แล้ ว det(adj(A)) = det(A)m-1 การแก้ ระบบสมการ เช่น x – 3z = -2 3x + y – 2z = 5ใช้ กฎของคราเมอร์ 2x + 2y + z = 4 det(A)  0A เป็ นเมทริกซ์ สัมประสิทธ์ จากระAx 1 0  3  x   2 3 1  2  y   5  1 ของ      เมทริกซ์ A 2  2 1  z    4  Ay เกิดจาก ใช้ กฎของคราเมอร์ 2 ของเมทริกซ์ A 1 0  3Az ให้ A  3  1  2  det( A)  7  3 ของ 2  2 1 เมทริกซ์ A  2 0  3 Ax   5 1  2  det( Ax )  28 det( Ax )  X  det( A)  4  2 1 det( Ay )  28 y   x   4 det( A) 7 det( Az ) z  1  2  3  det( A) Ay  3  5  2  det( Ay )  21  2  4 1  21  y   3 7 1 0  2 Az  3  1 5   det( Az )  14  2  2 4  14  z   2 7 ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )
  • 6. (6) การแก้ ระบบสมการ เช่น x – 3z = -2ใช้ เมทริกซ์ แต่ งเติม 3x + y – 2z = 5A เป็ นเมทริกซ์ สัมประสิทธ์ 2x + 2y + z = 4X เป็ นเมทริกซ์ คาตอบ ํ จากระบบสมการเขียนB 1 0  3  x   2 3 1  2  y   5 In เป็ นเมทริกซ์ เอกลักษณ์       2  2 1  z    4   A  B   In  X ใช้ เมทริกซ์ แต่ งเติม 1 0  3   2 3 1 2  5   2  2 1  4  1 0  3   2  0  1 7  11 R2  3R1  0  2 7  8  R3  2 R1  1 0 3  2  0  1 7  11  0  0  7   14 R3  2 R2  1 0  3   2  0  1 7  11 0  0 1  2  1 R  3 7 1 0 0  4  R1  3R3  0  1 0   3 R2  7 R3  0  0 1  2 1 ได้ x = 4 2 ได้ y = -3 3 ได้ z = 2 ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 ) A  In   In  A-1 ใช้ เมทริกซ์แต่งเติม ดําเนินการตามแถวหา A-1
  • 7. (7) แนวข้ อสอบปลายภาค x  y 5   2 x  31. ถ้ า  5   2 y  7 14  4. เมทริกซ์ในข้ อใดเป็ นตัวผกผันการคูณ  x  y    2  6 แล้ ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับข้ อใด ของเมทริกซ์  1  4  ก. -2 ข. 0 1 3 ก. 1  ค. 2 ง. 34  2 2   2 3  2 52. กําหนดให้ A    ข. 1   4  1  1 2   4 3  2  3 และ B    1 2 ค.  1   1 แล้ ว ค่าของ 2A – Bt เท่ากับข้ อใด  2   1  3 ก.  5 8 ง.  1   11  4  2    2   8 11  ข.  5  4 x2 4 4 8   5. ถ้ า = x 1 2 3  8 5 ค.  11   4  แล้ ว ค่าของ x เท่ากับข้ อใด  11  8 ก. 0 ง.  4  5  ข. -2 2  1 43. กําหนดให้ A   ค. 2 3 0 5   1 0 ง. 4 และ  1 B   2   4  3    2 1  3 6. กําหนดให้  1 A   0 2   3 2  5   19  14 ก. AB    แล้ ว C ( A)  M ( A) เท่ากับข้ อใด  23 15  23 32 ข. BA    19  23 ก. 6  14 15   ข. 7  19 23 ค. ( AB) t    ค. 8  14  15 ง. ( AB) t  BA ง. 14
  • 8. (8) 1 1 2   3 4 37. กําหนดให้ A    9. ถ้ า A   1  3   2 5 0 2 4    4  1 และ B   แล้ ว det(A) มีค่าเท่ากับข้ อใด  0 3 ก. -125 ก. det( A  B)  2 ข. -29 ข. det( AB)   276 ค. -5 ค. det( A  B)t  2 ง. 25 7 ง. det( A  B) 1  10. จากระบบสมการ 2 x  3z   2  0 1 28. ถ้ า A   3 0 3 3x  y  2 z  5    0 2 4 2x  2 y  z  4   แล้ ว det(A) มีค่าเท่ากับข้ อใด ค่าของ x + y + z เท่ากับข้ อใด ก. 0 ก. 7 ข. 12 ข. 5 ค. 24 ค. 4 ง. -24 ง. 3
  • 9. (9) เฉลย แนวข้ อสอบปลายภาค x  y 5   2 x  31. ถ้ า  5   2 y  7 14  แล้ ว ค่าของ 2x – 3y เท่ากับข้ อใด  x  y  แนวคิด x + y = 2 และ 5=x–3 x=5+3 = 8 แทนค่า x = 8 ใน x + y = 2 8+y=2 y = 2 – 8 = -6 2x – 3y = 2(8) – 3(-6) = 16 + 18 = 34 ตอบ ง. 34 (หรื ออาจจะหาค่า x และ y จาก -5 = 2y+7 และ x – y = 14)  2 5  4 32. ให้ A    และ B   แล้ ว 2A – Bt มีค่าเท่าใด  4  1  1 2 แนวคิด 1) หาค่า 2A จาก A   2  4 5 ได้ 2A    4 10   1    8  2 4  1 2) หาค่า Bt จาก B   4  1 3 ได้ Bt    2 3 2  3) หาค่า 2A – Bt 2A – Bt =  4  10 4  1  –   8  2  3 2   4  4 10  1 =  8  3  2  2    8 11 =  5  4    8 11  ตอบ ข.  5  4  
  • 10. (10)  1 0 2  1 4  13. ให้ A   และ B   2 ถูกต้ อง 3 0 5    4  3    19  14แนวคิด ก. AB     23 15  A มีมิติ 23 B มีมิติ 32 ฉะ AB มีมิติ 22  2  1  (1)(1)  4  4 2  0  (1)2  4(3)  AB    3  1  0(1)  5  4 3  0  0  2  5(3)   2  1  16 0  (2)  (12)  3  0  20 0  0  (15)   19  14   23  15 ก. ผิด  19  23 ข. BA    14 15   B มีมิติ 32 A มีมิติ 23 ฉะ BA มีมิติ 33 แต่ ข. มีมิติ 22 ข. ผิด  19 23 ค. ( AB)   t   14  15 เพราะว่า AB  19  14 23  15 ( AB) t  19   23     14  15 ค. ถูกต้ อง ง. ( AB) t  BA เพราะว่า ( AB) t  BA ง. ผิด  19 23 ตอบ ค. ( AB) t     14  15
  • 11. (11)  2  64. เมทริกซ์ในข้ อใดเป็ นตัวผกผันการคูณของเมทริ กซ์  1  4 แนวคิด ad – bc  0 ได้ det( A )  ad  bc a b A    1  d b c d และ A1  adbc c a    2  6 1  4 (6) น ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ์  1 คือ 24(6)(1 (1 ) ) 2   4   1 3 1 4 6 ก.  1  = 86 1 2  2   2  2 3 1 4 6 ข. 1  = 2 1 2  1   2   2  3 2 3 ค.  1 1  = 1  1   2    2   1  3 2 3 ง.  1 2  ตอบ ข. 1     1  2  2  x2 4 4 85. ถ้ า = แล้ ว ค่าของ x เท่ากับข้ อใด x 1 2 3แนวคิด x2 4 = x 2 1  x  4 = x 2  4x x 1 4 8 = 43  8 2 = 12  16 = 4 2 3 x2 4 4 8แต่ = x 2  4x = 4 x 1 2 3 x 2  4x +4 = 0 (x – 2)(x – 2) = 0 x=2 ตอบ ค. 2
  • 12. (12)  2 1  36. กําหนดให้  1 A   0 2 แล้ ว C ( A)  M 32 ( A) เท่ากับข้ อใด  23  3 2  5 แนวคิด C 23 ( A)  (1) 23 M 23 ( A) 2 1  (1) 3 2  (1)[2(2)  3  1] = (–1)( –4 – 3) = (–1)( –7) = 7 2 3 M 32 ( A)  1 2  2  2  (1)(3) = 4–3 = 1 C 23 ( A)  M 32 ( A) = 7 + 1 = 8 ตอบ ค. 8
  • 13. (13)   3 4  4  17. ให้ A    และ B   ไม่ถกต้ อง ู  2 5  0 3แนวคิด ก. det( A  B)  2  3  4 4  (1) 1 3 A B      2 8  20 53    det( A  B)  1 8  3  2  8  6  2 ก. det( A  B)  2 ถูกต้ อง ข. det( AB)   276   3 4 A     det( A)  (3)  5  4  2   15  8   23  2 5 4  1 B    det( B)  4  3  (1)0  12  0  12 0 3  เพราะว่า det(AB) = det(A) det(B) = –23 12 = –276 ข. det( AB)   276 ถูกต้ อง ค. det( A  B)t  2 เพราะว่า det(A) = det(At) det(A+B) = det(A+B)t จาก ก. det( A  B)  2 det( A  B) t  2 . det( A  B)t  2 ถูกต้ อง 7 ง. det( A  B) 1  2 เพราะว่า det(A-1) = 1 det( A) จาก ก. det( A  B)  2 1 det( A  B) 1  2 7 . det( A  B) 1  ไม่ถกต้ อง ู 2 7 ตอบ ง. det( A  B) 1  2
  • 14. (14)  0 1 28. ถ้ า A   3  0 3  แล้ ว det(A) มีค่าเท่ากับข้ อใด  0 2  4  0 1 2 0 1แนวคิด det(A) = 3 0 3 3 0 0 2 4 0 2= [004]+[(-1)30]+[2(-3)(-2)]–[002]–[(-2)30]–[4(-3)(-1)]= 0 + 0 + 12 – 0 – 0 – 12= 0 1 0 , -3 , 0 det(A) = 0 C ( A) + (-3)  C ( A) + 0 C ( A) 11 21 31 = 0 + (-3)  C ( A) + 0 21 = (1) M ( A) 2 1 21 1 2 = (1) 2 4 = (1)[(2)  4  2  (2)] = (-1)[(-8) + 8] = (-1) 0 = 0 ตอบ ก. 0
  • 15. (15) 1 1 29. ถ้ า A  3 1  3 แล้ ว det(adj( A)) มีค่าเท่ากับข้ อใด   0  2 4 แนวคิด A  aij   m m ถ้ า det(A)  0 แล้ ว det(adj(A)) = det(A)m-1 1 1 2 1 1 det(A) = 3 1 3 3 1 0 2 4 0 2= [114]+[(-1)(-3)0]+[23(-2)]–[012]–[(-2)(-3)1]–[43(-1)]= 1 + 0 + (-12) – 0 – 6 – (-12)= -5 det(adj( A)) = det(A) 3-1 = (-5) 3-1 = (-5)2 = 25 ตอบ ง. 25
  • 16. (16)10. จากระบบสมการ ค่าของ x + y + z เท่ากับข้ อใด x  3z   2 3x  y  2 z  5 2x  2 y  z  4แนวคิด 1 0  3  x   2 3 1  2  y   5        2  2 1  z    4  ใช้ กฎของคราเมอร์ 1 0  3ให้ A  3  1  2  det( A)  7  2  2 1   2 0  3 Ax   5 1  2  det( Ax )  28   4  2 1  28  x   4 7 1  2  3  Ay  3  5  2  det( Ay )  21  2  4 1  21  y   3 7 1 0  2 Az  3  1 5   det( Az )  14  2  2 4  14  z   2 7 x + y + z = 4 + (-3) + 2 = 3 ตอบ ง. 3
  • 17. (17) ตัวอย่ างข้ อสอบ Entrant  1  11) กําหนดให้ A 3   2  2   1 2 และ B   1 1  แล้ ว det [5(A-1 + Bt)] มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 45 คณิต 2)2) ให้ x เป็ นจํานวนจริงบวก 1  x 1  และ A เป็ นเมตริกซ์ A   1 1  x ถ้ า det [ 1 A2] = 16 2 แล้ ว det [8A + 2At] มีค่า -1 1. 40 2. 72 3. 80 4. 82 (Ent. 46 คณิต 2)  x  13) กําหนดเมตริกซ์ A  1  x  ถ้ า a, b เป็ นคําตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3 det(A-1) = 45 โดย a > b แล้ ว 2a – b มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)  3 a 2 4) ถ้ า A   a 1  4  1 B 0 3  และ det (ABt) = -132 แล้ ว det (A + B) มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)
  • 18. (18)5) กําหนดให้ x เป็ นจํานวนเต็ม x  1 2  และ A  9 2 x  3  2  x 3x  B    2 5  3x ถ้ า det (A – B) = 44 แล้ ว det( A B) เท่ากับเท่าใด 1 (Ent. 47 คณิต 2)6) ถ้ า x และ y เป็ นจํานวนจริง  9 8   3x   5   6 4   y   3    2    แล้ ว y2 – 2x 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 (Ent. 48 คณิต 2)7) ถ้ า A เป็ น 22 เมตริกซ์ 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0 และ det (A) เป็ นจํา 1. det (A)  10 2. 10  det (A)  20 3. 20  det (A)  30 4. det (A)  30 (Ent. 48 คณิต 2)  x 2 18) กําหนดให้ A   1 x  x 1  x  และ B  x x  1  ถ้ า det (2A) = 28 แล้ ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด (Ent. 48 คณิต 2)
  • 19. (19) เฉลย ตัวอย่ างข้ อสอบ Entrant  1  1  1 2 1) กําหนดให้ A 3  และ B  2  1 1   2  แล้ ว det [5(A-1 + Bt)] มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 45 คณิต 2)แนวคิด  1  1 จาก A 3   2  2  1 2 1 ได้ A 1  3  3  1 ……..  2 2  2 1 2 1  3  1  1 2  2 2 1  2 3  2 1   4 2  3 2    1 2 และ B   1 1  1 1 ได้ Bt    ……..  2 1 41 21 5 1+  A 1 B t     5 3 2 21  3  25 5  5(A 1 B t)    25 15 det [5(A-1 + Bt)] = 2515 – 255 = 375 – 125 = 250 ตอบ 250
  • 20. (20) 1  x 1  2) ให้ x เป็ นจํานวนจริงบวก และ A เป็ นเมตริกซ์ A   1 1  x ถ้ า det [ 1 A2] = 16 แล้ ว det [8A-1 + 2At] 2 (Ent. 46 คณิต 2) 1. 40 2. 72 3. 80 4. 82 1  x 1 แนวคิด จาก A   1 1  x det(A) = (1+x) (1+x) – 11 = 1 + 2x + x2 – 1 = x2 + 2xเพราะว่า det[ 1 A2] = ( 1 )2det(A2) = [ 1 det(A)]2 2 2 2 = [ 1 (x2 + 2x)]2 2แต่โจทย์กําหนดให้ det[ 1 A2] = 16 =4 2 [ 1 (x2 + 2x)] = 4 2 2 1 2 (x + 2x) =4 หรื อ 1 (x2 + 2x) = -4 2 2 x2 + 2x = 8 หรื อ x2 + 2x = -8 x2 + 2x – 8 = 0 หรื อ x2 + 2x + 8 = 0 เป็ นไปไม่ได้ (x – 2)(x + 4) = 0 ได้ x = 2 , -4แต่โจทย์กําหนดให้ x เป็ นจํานวนจริงบวก x คือ 2 1  x 1  1  2 1  3 1 A   A   1 1  2  1 3  1 1  x     1  3 1 1  3 1 A1  1 3  8 1 3 91     1  3 1  3 1 8A1  8    1 3 8 1 3    3  1  6  2 At     2 A   2 t  1 3   6  36 12  9 3 8A1  2A t       12 36 3 9 det (8A-1 + 2At) = (99) – [(-3)(-3)] = 81 – 9 = 72 ตอบ 2. 72
  • 21. (21)  x  1 3) กําหนดเมตริกซ์ A  1  x  ถ้ า a, b เป็ นคําตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45 โดย a > b แล้ ว 2a – b มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)  x  1 2แนวคิด จาก A  ได้ det (A) = x(-x) – 1(-1) = -x + 1 1  x   x  1   x  1   x  x  (1)  1 x(1)  (1)( x)  x 2  1 0 AA  A 2    1  x   1  x  ( x)  1 1(1)  ( x)( x)     1  x       0 1 x2 det (A2) = (x2 – 1)(-1 + x2) = -x2 + 1 + x4- x2 = x4– 2x2 + 1เพราะว่า det (2A2) = 22det (A2) = 4(x4– 2x2 + 1) = 4x4– 8x2 + 4 1 1 1และ det(A-1) = = = det( A)  x2 1 1 x2แทนค่าใน det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45 1 (4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)3( ) = 45 1 x2 (4x4– 8x2 + 4) + (1 – x2)2 = 45 (4x4– 8x2 + 4) + (1 – 2x2+x4) = 45 5x4– 10x2 + 5 = 45 x4– 2x2 + 1 =9 x4– 2x2 – 8 =0 (x2– 4)(x2+ 2) = 0 แต่ (x2+ 2)  0 (x2– 4) = 0 (x – 2)(x + 2) = 0  x = 2 , -2แต่โจทย์กําหนดให้ a, b เป็ นคําตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3det(A-1) = 45 a>b a คือ 2 และ b คือ -2 แล้ ว 2a – b = 22 – (-2) = 4 + 2 = 6 ตอบ 6
  • 22. (22)  3 a2  4  1 4) ถ้ า A  , B และ det (ABt) = -132  a 1  0 3 แล้ ว det (A + B) มีค่าเท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2)แนวคิด  3 a2  จาก A   a 1  ได้ det (A) = -31 – aa2 = -3 – a3 4  1 และ B 0 3 ได้ det (B) = 43 – 0(-1) = 12 เพราะว่า det (ABt) = det (A) det (Bt) และ det(Bt) = det (B) ได้ det (ABt) = (-3 – a3) 12 แต่โจทย์กําหนดให้ det (ABt) = -132 (-3 – a3) 12 = -132 (-3 – a3) = -11 – a3 = -8 a3 = 8 a=2  3 a 2  4  1จาก A    และ B    a 1  0 3 ได้ A  B   3  4 a  1 = 1 a  1 2 2      a  0 1 3  a 4  1 2 2  1 1 3 แต่ a = 2 det (A + B) =   =  2 4 2 4    = 14 – 23 = 4 – 6 = -2 ตอบ -2
  • 23. (23) x  1 2  2  x 3x  5) กําหนดให้ x เป็ นจํานวนเต็ม และ A  , B    2 5  3x  9 2 x  3   ถ้ า det (A – B) = 44 แล้ ว det( A 1 B ) เท่ากับเท่าใด (Ent. 47 คณิต 2) x  1 2  2  x 3x แนวคิด จาก A และ B  9 2 x  3     2 5  3x ได้ det (A) = (x+1)(2x+3) ได้ det (B) = (2 – x)(5 – 3x) = x2 + 5x + 3 = 10 – 11x + 3x2 x  1  2  x 2  3x  2 x  1 2  3 x  A B   =  9  (2) 2 x  3  5  3x   11  5 x  2 ได้ det (A – B) = (2x–1)(5x–2) – 11(2 – 3x) = 10x2– 9x + 2 – 22 + 33x = 10x2+ 24x – 20แต่โจทย์กําหนดให้ det (A – B) = 44 10x2+ 24x – 20 = 44 10x2+ 24x – 20 – 44 = 0 10x2+ 24x – 64 =0 5x2+ 12x – 32 =0 (5x – 8)(x + 4) = 0 8 x = -4 , 5แต่โจทย์กําหนดให้ x x = -4 det (A) = x2 + 5x + 3 = (-4)2 + 5(-4) + 3 = 16 – 20 + 3 = -1 และ det (B) = 10 – 11x + 3x2 = 10 – 11(-4) + 3(-4)2 = 10 + 44 + 48 = 102เพราะว่า det (A-1B) = det (A-1) det (B) และ det(A-1) = 1 det( A)แทนค่า หา det (A-1B) ได้ det (A-1B) = 1  102 = -102 1 det( A 1 B ) =  102 = 102 ตอบ 102
  • 24. (24) 6) ถ้ า x และ y บสมการ  9 8   3x   5   6 4   y   3    2    แล้ ว y2 – 2x (Ent. 48 คณิต 2) 1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 9 8   3x   5 แนวคิด จาก 6    4   2y   3     9  3 x  8 2   5  y     6  3  4 2y   3  x ได้ 93x + 82y = 5 ……..  63x + 42y = 3 ……..   2, 123x + 82y = 6 …….. –, 33x = 1 1 3x = 3 3x = 3-1 x = -1 1 1แทนค่า 3x = 3 ใน  ได้ 6 3 + 42y = 3 2 + 42y = 3 42y = 1 1 2y = 4 2y = 2-2 y = -2 y2 – 2x = (-2)2 – 2(-1) = 4 + 2 = 6 ตอบ 2. 6
  • 25. (25)7) ถ้ า A เป็ น 22 เมตริกซ์ 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0 และ det (A) เป็ นจํานวนเต็ม แล้ วข้ อใด (Ent. 48 คณิต 2) 1. det (A)  10 2. 10  det (A)  20 3. 20  det (A)  30 4. det (A)  30แนวคิดจาก 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0 ( det(A) = det(At) det( (A-1)t = det( (A-1) ) 1 9 det(3(A-1)t) = 32det( (A-1)t) = 9det(A-1) = 9  det( A) = det( A) 9 2det (A) + 3  det( A) – 55 = 0 9 2det (A) det (A) + 3  det( A) det (A) – 55 det (A) = 0det (A) 2det2(A) + 27 – 55det (A) =0 2det2(A) – 55det (A) + 27 =0 (2det(A) – 1)(det(A) – 27) =0 1 ได้ det(A) = 2 , 27 แต่กําหนดให้ det (A) เป็ นจํานวนเต็ม det(A) = 27 9 แต่ det(3(A-1)t) = det( A) แสดงว่า det (A)  0 1. det (A)  10 ตัวเลือก 2. 10  det (A)  20 และ ตัวเลือก 4. det (A)  30 ผิด ตอบ 3. 20  det (A)  30
  • 26. (26)  x2 1  x 1 x9) กําหนดให้ A  และ B  1 x  x x  1  ถ้ า det (2A) = 28 แล้ ว det (AB-1) เท่ากับเท่าใด (Ent. 48 คณิต 2)แนวคิด det(kA) = kmdet(A) det(AB) = det(A) det(B) 1 det(A-1) = det( A)จากกําหนดให้ det (2A) = 28 ได้ 22det (A) = 28 det (A) = 7  x2 1 แต่จาก A  ได้ det(A) = x3 – 1  1 x x3 – 1 = 7 x3 = 8 x=2  x 1 x แต่จาก B  x x  1  ได้ det(B) = (x-1)(x-1) – (-x2) = x2 – 2x + 1 + x2 = 2x2 – 2x + 1 แทน x = 2 ใน det(B) = 2x2 – 2x + 1 ได้ det(B) = 2(2)2 – 2(2) + 1 = 8 – 4 + 1 = 5เพราะว่า det (AB-1) = det (A) det (B-1) 1 = det (A) det( B ) 1 = 75 7 7 = 5 ตอบ 5 ……The End……

×