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  • 1. Segunda ediciónhttp://gratislibrospdf.com/
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  • 3. Transferencia de calor T f "] 6 ] )13 ,"¿(JO 2,. ( http://gratislibrospdf.com/
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  • 5. Transferencia de calor Segunda edición José Ángel Manrique Valadez TP 368 M8 2002 JOSE ANGEL MANRIQUE VALADEZ 1111111 1111111111 11111 11111 11111 11111111111111 l1li 1 111111 111 0233002790 TRANSFERENCIA DE CALOR. OXFORD UNIV E R SI TY P R ESS f1. Alfaomegad http://gratislibrospdf.com/
  • 6. OXFORD UNIVERSITY PRESS Antonio Caso 142, San Rafael, Delegación Cuauhtémoc, c.P. 06470, México, D.F. Tel. : 5592 4277, Fax: 5705 3738, e-mail: oxford@oupmex.com.mx Oxford University Press es un departamento de la Universidad de Oxford. Promueve el objetivo de la Universidad relativo a la excelencia en la in vestigac ión , erudición y educación mediante publicaciones en todo el mundo en Oxford New York Auckland Cape Town Dar es Salaam Hong Kong Karachi Kuala Lumpur Madrid Melboume Mexico City Nairobi New Delhi Shanghai Taip.ei Toronto Con oficinas en Argentina Austria Brazil Chile Czec h Republic France Greece Guatemala Hungary Italy Japan Poland Portugal .Singapore South Korea Switzerland Thailand Turkey Ukraine Vietnam Oxford es una marca registrada de Oxford University Press en el Reino Unido y Olros paises. Publicado en México por Oxford University Press Mé xico, S.A. de c. v. División : Universitaria Área: Ingeniería Sponsor editor: Jorge Alberto Ruiz González Edición : Ester Alizeri Femández Sergio Gerardo López Hemández Producción: Jorge A. Martínez Jiménez TRANSFERENCIA DE CALOR Todos ios derechos reservados © 2002, respecto a la segunda edición por Oxford University Press México , S.A. de c.v. Ninguna parte de esta publicación puede reproducirse, almacenarse en un sistema de recuperación o transmitirse, en ninguna forma ni por ningún medio,l sin la autorización previa y por escrito deIt Oxford University Press Méxi co, S,A. de C.v.1: Las consultas relativas a la reproducción deben enviarse al Departamento de Derechos de Autor de Oxford University Press México, S,A. de C.v., al domicilio que se señala en la parte superior de esta página. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, registro número 723. ISBN 970-613-671-1 A/faomega Grupo Editor es distribuidor exclusivo para todos los países de habla hispana de es/a coedición realizada entre Oxford University Press México, S.A. de C. V y A/faomega Grupo Edito,; S.A . de C. V ISBN 970-15-1161-1 Alfaomega Grupo Editor, S,A. de c.v. Pitágoras 1139, Col. Del Valle, 03100, México, D.F. Impreso en México P.;mera reimpresión: octubre de 2005 Esta obra se lemlinó de imprimir en OClubre de 2005 en Jmpresos 2000, S. A. de C. v., f Callejón de San Amonio Núm, 69, Col. Tránsito, México, D.F., sobre papel Bond Editor Alta Opacidad de 75 g. Elliraje fue de 2 000 ejemplares. http://gratislibrospdf.com/
  • 7. índice de contenidoPrólogo ................................................. ix1. Introducción 1 1.1. Conducción .... ......... ........ .. .. .. .. .... ... ... . 2 1.2. Convección ... . ... ...... ...... ....... ........ .. ... . 7 1.3. Radiación .. . .. .... ..... .... ..... .. ... .... .. . ... .. .. 10 1.4. Transferencia simultánea de calor. ... ...... ........... . .. 12 1.5. Resumen . .. ....... .. .............. ... ......... .. .. 15 Problemas ......................................... 15 Bibliografía ........................................ 222. Conducción unidimensional en estado estable. . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Placa .................... ... ..... ..... ... . . . .... .. 23 2.2. Cilindro hueco .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3. Radio crítico . . . .... ......... .. .......... .... ....... 37 2.4. Esfera .... . .... .. ......... .... . .... ............... 40 2.5. Placa con generación uniforme de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6. Cilindro CaD generación uniforme de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7. Superficies extendidas . .. . .. ... ... ... ........ . ........ 54 2.7.1. Ecuación general para una superficie extendida ... . . . .. 55 2.7.2. Superficies extendidas de sección transversal constante .. 56 2.7.3. Aletas circulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.7.4. Aletas rectangulares de perfil triangular . . . . . . . . . . . . . . 65 2.7.5. Eficiencia de las aletas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Problemas ..................... .. ...... .... .... . ... 69 Bibliografía ........ .. ....... . . ................ .. ... 773. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones. . . . . . 79 3.1 . Método analítico .. ............... .... ........... . ... 79 3.2. Diferencias finitas ............ ... . .. .. ............... 86 http://gratislibrospdf.com/
  • 8. vi Índice de contenido 3.3. Método de relajación . ... .. ..... . .......... . .......... 90 3.4. Condiciones de frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.5. Formulación en diferencias finitas para problemas unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.6. Método gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.7 . Método analógico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Problemas . . .............. .. ...... :..... . .......... 105 Bibliografía ... .. . . ........ ... ........... ... ....... . 114 4. Conducción de calor en estado transitorio ................... 115 4.1. Análisis de parámetros concentrados . ...... .. .... . ....... 115 4.2. Placa infinita .. .. ........ . .. . ....................... 126 4.3. Cilindro infinito y esfera ... . .. .. ........ .. . .. ....... . . 139 4.4. Sólido semiinfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.5. Conducción transitoria en más de una dimensión . . . . . . . . . . . . 150 4.6. Diferencias finitas. Método explícito ...... . ..... . . . ...... 157 4.7. Método gráfico de Schmidt . . .. . ............. . ......... 163 Problemas .................. . ...................... 164 . Bibliografía .. . . . ............. . . . .... .. .. ... ....... . 169 5. Fundamentos de convección forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar ................. . ........ 171 5.2. Analogía entre la transferencia de calor y la fricción . ........ 187 S3. Transferencia de calor en una placa con convección . forzada en régimen turbulento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.4 . Transferencia de calor en un ducto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante. ...... . . . ....... 193 5.5 Fórmulas empíricas para convección forzada en tubos ...... . . 200 5.6 Fórmulas empíricas para convección forzada sobre tubos. . . . . . 203 Problemas .. ... .... . . ... .. . ... . ..... ... .... . . ... . . . 205 Bibliografía . . . .. .. .. ..... .. .... .. .. . ............ ... 206 6. Convección natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.1 Parámetros adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.2. Fórmulas para la transferencia de calor por convección natural en una placa vertical. ...... . ... .. ............ . ..... . 213 6.3. Fórmulas para convección natural en otras geometrías. ...... . 214 Problemas ..... .. ............ . ........ .. .. . ....... . 217 Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 http://gratislibrospdf.com/
  • 9. Índice de contenido VÜ 7. Transferencia de calor con cambio de fase ................... 219 7.1. Condensación...... ....... .......... .. ... .. ... . . .... 219 7.2. Condensación en fonna de película sobre cilindros hOlizontales 225 7.3. Ebullición .. .... ......... .... ............... ... .... 225 Problemas ..... ..... ............ ... ..... .. ......... 230 Bibliografía . . . .. .. . . ... .. .......................... 230 8. Intercambiadores de calor. . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.1. La diferencia media logarítmica de temperaturas ............ 232 8.2. El método efectividad-número de unidades de transferencia. . . . 242 8.3. Diseño o selección de un intercambiador de calor ........... 250 Problemas ......... ... ............. .. ......... .. ... 251 Bibliografía ........................................ 252 9. Principios de radiación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.1. Radiación de un cuerpo negro ... .... ... . ........ .. .. . .. 253 9.2. Intensidad de la radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 9.3. Emitancia y absortancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 9.4. Reflactancia y transmitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 9.5. El factor de fonna para radiación. ........... . .... ... .... 270 9.6. Intercambio de calor por radiación entre cuerpos negros ..... . 277 9.7. Intercambio de radiación entre cuerpos grises .. .. . .. ... . .. . 280 9.8. Radiación solar .......... .. ......... .. .. . ..... . .... . 284 Problemas . .... ................. . ...... ......... .. . 285 Bibliografía ... ... ... .... ... . ...... . .. .......... . ... 286 Apéndice Tabla A.l . Propiedades de algunos fluidos en estado saturado . . . . . . 287 Tabla A 2. Propiedades de gases a presión atmosférica . .......... 290 Tabla A3. Propiedades de algunos metales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Tabla A.4. Propiedades de los no metales ..................... 296 Tabla A.5 . Vapor de agua saturado ... .... ..... ... ........ .. . 297 Tabla A6. Vapor de agua saturado ........... .. .. .... ....... 298 Tabla A7. Vapor de agua sobrecalentado ..................... 299 Figura Al. Conductividad térmica del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Figura A2. Número de Prandtl del agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Índice analítico ...................................... . .... 305 http://gratislibrospdf.com/
  • 10. http://gratislibrospdf.com/
  • 11. .,. Prólogo Las técnicas para la solución de problemas de transferencia de calor han experi- mentado un desarrollo sorprendente durante los últimos años y por ello su conocimiento es imprescindible en la actuación profesional del ingeniero. En este texto se presentan en forma elemental los principios básicos de trans- ferencia de calor, los cuales se complementan con numerosos ejercicios resueltos que adoptan el Sistema Internacional de unidades en toda la obra. Cada capítulo termina con una sección de problemas a fin de que el estudiante pueda comprobar los conocimientos adquiridos. Los principales temas de la materia pueden estudiarse en un curso semestral con duración de tres sesiones de una hora por semana. Los temas cubiertos en la obra están destinados a estudiantes de ingeniería de licenciatura y de pos grado du- rante los primeros semestres. Desde luego, es recomendable que posean ciertos conocimientos sobre termodinámica, mecánica de fluidos y ecuaciones diferencia- les ordinarias y parciales para entender mejor la materia. El autor ha tenido el privilegio de enseñar el material de este texto a sus estu- diantes de ingeniería del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey durante varios años, y su paciencia, sugerencias y comentarios han contribuido de manera especial y significativa a la presentación del material, por lo que espera que la obra refleje sus inquietudes y estimule aún más su interés por la disciplina. Muchas personas han sido muy generosas con sus comentarios, sugerencias y estímulo, por lo que el autor desea hacer patente su agradecimiento a todas ellas . También quiere dejar constancia de su agradecimiento a Karla Lucía Salinas, ... quien con todo esmero participó en la realización del manuscrito de la obra . Finalmente, también desea reconocer la importante cooperación y apoyo recibidos de los editores de Oxford University Press. José A. Manrique http://gratislibrospdf.com/
  • 12. http://gratislibrospdf.com/
  • 13. Transferencia de calor,. http://gratislibrospdf.com/
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  • 15. 1. Introducción Participar en la construcción y mejoramiento de la Patria: he ahí la tarea más noble de un ciudadano. CARLOS PRIETO La alimentación, la salud y la generación de potencia han sido una preocupación vital de la humanidad a lo largo de la historia. El progreso en estas áreas ha lleva- do al desarrollo conjunto de la transferencia de calor como una ciencia, por lo que su estudio es de capital importancia para el ingeniero. Esta disciplina de transporte tiene aplicaciones de suma relevancia en casi cualquier campo de la ingeniería. Así, se utiliza prácticamente en todos los proce- sos de la industria del vidrio; interviene en el diseño de los hornos, los regenera- dores de calor, el enfriamiento de los moldes, el templado de los cristales, el flo- tado de los vidrios, etc. En el área del acondicionamiento del aire ambiental es imprescindible para evaluar con precisión las cargas térmicas de enfriamiento y calefacción que tiene un edificio. También forma parte del diseño de ciertos com- ponentes de un sistema de refrigeración, como el evaporador, el condensador y las líneas de transmisión de agua helada, entre otros. En el ámbito de los combustibles fósiles se requiere un análisis de la transfe- rencia de calor en presencia de reacciones químicas para mejorar la eficiencia de la combustión en hornos y calderas. La investigación de la energía solar en los últimos años ha aportado conoci- mientos muy promisorios para el acondicionamiento del aire para edificios me- diante sistemas de absorción. Cabe mencionar que en varios países el aire acondi- cionado precisa una fracción significativa de la producción primaria de energía, por lo que el uso de la energía solar en este campo podría tener repercusiones sig- nificativas. El diseño de esos sistemas supone un amplio conocimiento de la trans- ferencia de calor. Casi todos los alimentos en el curso de su preservación y preparación requie- ren tratamientos en los que la transferencia de calor juega también un papel impor- tante. Debido a las condiciones adversas en algunas regiones agrícolas del mundo se pierden considerables cantidades de grano por falta de secado inmediato después de la cosecha; por ello, el uso de la energía solar u otros mecanismos de secado 1 http://gratislibrospdf.com/
  • 16. 2 1. Introducción apropiados podrían ser ventajosos. El congelamiento, la deshidratación y la coc- ción de alimentos exigen asimismo un conocimiento cabal de esta materia. En el diseño actual de edificios se requiere cada vez más un análisis de la transferencia de calor a fin de promover el ahorro de energía. A medida que surgen ideas novedosas y cada vez más refinadas en la tecnolo- gía moderna, la teoría de la transferencia de calor debe resolver problemas nuevos y cada vez más complejos. Así, desempeña igualmente un papel de gran relevancia en el enfriamiento de equipo eléctrico y electrónico; por ejemplo, en motores y ge- neradores eléctricos, transformadores, transistores y conductores, entre otros. Con la termodinámica se predice el intercambio de calor en un sistema al rea- lizar un proceso, pero no puede preverse el tipo de mecanismo por el cual se lle- va a cabo tal transferencia. Así, al aplicar la primera y la segunda leyes de la ter- modinámica en un intercambiador de calor se obtiene información relacionada con el flujo de calor que debe transferirse del fluido caliente al frío. No obstante, la ter- modinámica no suministra datos con respecto al diámetro, longitud, material o arreglo geométrico de los tubos que deben emplearse. Estas características de di- seño se obtienen mediante un análisis detallado de la transferencia de calor. De manera análoga, el estudio termodinámico de un motor de combustión in- terna brinda información relativa a sus requisitos de enfriamiento. Sin embargo, la transferencia de calor contempla la posibilidad de enfriarlo con aire o con agua, así como las dimensiones físicas que deben tener los conductos por donde circula el agua en caso de emplearla como refrigerante, o bien, las dimensiones de las ale- tas de enfriamiento para lograr la refrigeración con aire. De lo anterior se desprende que la termodinámica y la transferencia de calor son dos ciencias afines que se complementan. La primera predice los requisitos de trans- ferencia de calor de un sistema; la segunda, cómo se lleva a cabo tal transferencia. A fin de que el lector tenga un panorama general de las distintas formas bási- cas de transferencia de calor, en este capítulo se describen en forma sucinta y cua- litativa sus tres mecanismos básicos: • conducción o convección • radiación En los capítulos siguientes nos ocuparemos detenidamente de cada uno de estos me- canismos. 1.1. Conducción El fenómeno de transferencia de calor por conducción constituye un proceso de propagación de energía en un medio sólido, líquido o gaseoso mediante la comu- nicación molecular directa cuando existe un gradiente de temperatura. http://gratislibrospdf.com/
  • 17. 1.1. Conducción 3 En el caso de líquidos y gases, tal transferencia es importante siempre que se tomen las precauciones debidas para eliminar las corrientes naturales del flujo que pueden presentarse como consecuencia de las diferencias de densidad que presen- tan ambos fluidos. De aquí que la transferencia de calor por conducción sea de particular importancia en sólidos sujetos a una variación de temperaturas. Al haber un gradiente de temperatura en el medio, la segunda ley de la termo- dinámica establece que la transferencia de calor se lleva a cabo de la región de ma- yor temperatura a la de menor, como s~ muestra en la figura 1.1. En tales circunstancias, se dice que el flujo de calor por unidad de área es pro- porcional al gradiente de temperatura. Es decir, q" = -k dT ( 1.1 ) dX donde q" denota el flujo de calor por unidad de área o densidad de calor en la di- rección x, y k es la conductividad térmica del material. Sus unidades son W/mK (watt por metro kelvin) en el Sistema Internacional (SI) de unidades. También se emplean de manera indistinta las unidades W/m°C. A la ecuación 1.1 se le agrega un signo negativo para que cumpla la segunda ley de la termodinámica, es decir, que el calor debe fluir de mayor a menor temperatura. Esta ecuación se conoce como la ley de Fourier y --cabe destacar- define la conductividad térmica k. Aun cuan- do esta propiedad de transporte varía con la temperatura, en numerosas aplicacio- nes puede suponerse constante. En la tabla 1.1 se presentan algunos valores de la conductividad térmica, y en la figura 1.2, la variación con respecto a la tempera- tura de la conductividad térmica de algunos sólidos, líquidos y gases. T Perfil de temperatura x Figura 1.1. Temperatura como función de la distancia. * Cuando la transferencia de calor se Ueve a cabo en más de una dirección, la ley de Fourier puede escribirse como q"=-k"ílT donde q" es el vector correspondiente a la densidad de calor y "ílT el gradiente de temperatura con dirección opuesta. http://gratislibrospdf.com/
  • 18. 4 l. Introducción Tabla 1.1. Conductividad térmica de algunos materiales o sustancias a 300 K. Material k, W/moC Poliestireno rígido 0.027 Fibra de vidrio 0.036 Aire 0.0263 Agua 0.613 Ladrillo común 0.72 Refractario 1.0 Acero AISI 302 15.1 Acero AISI 1010 63.9 Aluminio puro 237 Cobre puro 401 Fuente: F. P. Incropera y D. P. DeWitt, Introduction lO Heal Transfer, 3a. ed., Jolm Wiley, 1996. Cuando los materiales tienen una alta conductividad térmica se denominan con- ductores; los que la tienen baja se llaman aislantes. Cabe agregar que las conduc- tividades térmica y eléctrica de los metales puros están relacionadas entre sí. Sin embargo, a temperaturas muy bajas los metales se toman superconductores de la electricidad, pero no del calor. En los datos de la tabla 1.1 puede observarse que los aislantes tienen una conductividad térmica entre 0.03 y 0.04 W/moC; en tanto, la del cobre es del orden de 400 W /moC. En esa tabla también se aprecia que el aire tiene una conductividad térmica muy baja, como la de los aislantes. No obs- tante, es difícil tener conducción solamente por él, ya que hay gradientes de den- sidad y, por tanto, movimiento en presencia de un campo gravitacional cuando el aire está expuesto a una diferencia de temperaturas. Para que se comporte como un verdadero aislante debe encontrarse estático aun en presencia de un gradiente de temperaturas. Hay algunas aplicaciones de aislantes donde el aire prácticamen- te está estático y se comporta como aislante; por ejemplo, el aire atrapado en un aislante de fibra de vidrio o en las pequeñas burbujas del material plástico que se utiliza para los empaques. Con la ecuación 1.1 puede determinarse la transferencia de calor por conduc- ción en un sistema siempre que se conozcan la conductividad térmica y el gradien- te de temperatura. En la circunstancia de que el flujo de calor sea constante puede determinarse mediante una integración directa de la ley de Fourier. Así, si se con- sidera una pared de espesor L cuyas superficies están expuestas a dos temperatu- ras constantes TI y Tb como se muestra en la figura 1.3, y se supone además que la conducti vidad térmica k es constante, http://gratislibrospdf.com/
  • 19. 1.1. COMucción s Temperatura, cC o 100 200 300 400 500 600 1000 I I I I I I I 1000 500 Plata Cobre 200 Oro Magnesio Aluminio 100 Cinc 100 50 SOd,! líquido "Estaño Hierro (puro) 20 Plomo Hierro fOrjad, (C < 0.5%) Acero Inoxidable tioo 430 -- 1- 10 6. ID ~ Mercurio ~ 1O 5 E <E ::J U02 (denso) ~ f- en oí u oí u 2 E E ZrOz (denso) ~ :ffi 1J ro 1J 1J ro .:; 1J .:; 1 n :::J ti :::J 0 .5 1J e 1J Agua (lIqUida) Ladrillo de alto contenido O e de alúmina a 3000 cF Ü O Ü 0.2 . 2800 cF Ladrillo de alto contenido de alumlna a I Asbesto (26 Ib)Pie2) -- 0.1 Querosina o petróleo Aceite lubricante SAE 10 Ide rOca ,g~~~ . ra - ,.- 0.1 r 0.05 ~ ~-I3 g~ 0.02 _ --~ ~ -¡:- -- Aire (gas) rgon (gas)- ~ 0.01 0.005 - Crr:eb( 9"1 ::- :;;;: ~ - Vapor (H 2 0 vapor) 0.01 0.002 O 200 400 600 800 1000 1200 Temperatura, cF Figura 1.2. Conductividad térmica de algunos materiales. (Fuente: M. N. Ozisik, Basic Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1977.) http://gratislibrospdf.com/
  • 20. 6 l. Introducción k = constante"¡I T, A L Figura 1.3. Pared de espesor L con conducción de calor en estado estable. En la tabla 1.2 se muestran algunos factores de conversión para la conductividad térmica expresada en otras unidades. Tabla 1.2. Factores de conversión para la conductividad térmica k. 1 cal/s cmoC 1 BTU/h 1 BTU/h 1 W/cmK pieoF pie2 °F/pu1g 1 cal/s cmoC 241.9 2903 4.186 1 BTU/h pieoF 4.134 x 10-3 1 12 0.0173 1 BTU/h pie2 °F/pu1g 3.445 x 10-4 0.08333 1 1.442 x 10-3 1 W/cmK 0.2389 57.793 693.5 1 Fuente: W. M. Rohsenow y J. P. Hartnett, Handbook of Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1973. Ejemplo 1.1. Considérese una pared plana con una conductividad térmica k constante. En la figura E.1.1 se observa la distribución de temperatura en cierto instante. Indi- que si la pared opera en condiciones de estado estable, si está enfriándose o ca- lentándose. k = constante Temperatura como función de la distancia -L- Figura E.l.1. http://gratislibrospdf.com/
  • 21. 1.2. Convección 7 Solución Con base en el diagrama, el calor que entra en la superficie del lado izquierdo es -kAfJTj fJxt=o el calor que sale por la superficie del lado derecho es -kAfJTj fJxt=L ° Con el análisis de los gradientes de temperatura en x = y en x = L se observa que entra más calor que el que sale. Si recurrimos ahora a la primera ley de la termodinámica, qneto = dU/dT > 0, por lo que se deduce que la pared está ca- lentándose. 1.2. Convección El fenómeno de transferencia de calor por convección es un proceso de transpor- te de energía que se lleva a cabo como consecuencia del movimiento de un fluido (líquido o gas) en la vecindad de una superficie, y está íntimamente relacionado con su movimiento. Para explicar esto, considérese una placa cuya superficie se mantiene a una temperatura Ts (fig. 1.4) Y que disipa el calor hacia un fluido cuya temperatura es T=. La experiencia indica que el siste1na disipa más calor cuando se le hace pasar aire proveniente de un ventilador que cuando sólo está expues- to al aire ambiente; de ello se desprende que la velocidad del fluido tiene un efec- to importante sobre la transferencia de calor a lo largo de la superficie. De mane- ra similar, la experiencia indica que el flujo de calor e~ diferente si la placa se enfría en agua o en aceite en vez de aire. De aquí que las propiedades del fluido deben tener también una influencia importante en la transferencia de calor. Puesto que la velocidad relativa del fluido con respecto a la placa es, en gene- ral, igual a cero en la interfase sólido-fluido (y = 0),* el calor se transfiere total- mente por conducción sólo en este plano del fluido. Sin embargo, <tun cuando el" . calor disipado por la placa puede calcularse con la ecuación 1.1, el gradiente de - - temperatura en el fluido depende de las características, a menudo compléjas1 del flujo de éste. Por tanto, es más conveniente estimar el flujo de calor disipado por el sistema en términos de la diferencia total de temperaturas entre su superficie y el fluido . Es decir, ( 1.2) • Esta suposición es válid a excepto para gases muy diluidos, donde la trayectoria media libre de las moléculas es comparable con las dimensiones del sistema (flujo deslizante) o mucho mayor (flujo Knudsen). http://gratislibrospdf.com/
  • 22. 8 l. Introducción Perfil de velocidad ~erl;lde temperatura I K L )1 Figura 1.4. Placa expuesta a enfriamiento convectivo. donde h es el coeficiente local de transferencia de calor o coeficiente de película. Sus unidades en el SI son W/m2K (watt por metro cuadrado kelvin). También se emplean de manera indistinta las unidades W/m 2 °C. La ecuación 1.2 se conoce co- mo la ley de Newton de enfriamiento. Cabe precisar que esta expresión, más que una ley fenomenológica, define el coeficiente local de transferencia de calor 11. Como su nombre lo indica, varía a lo largo de toda la superficie. En la figura 1.5 se muestra la variación del coeficiente local de transferencia de calor a lo largo del eje x . Perfil de velocidad ~Perl"de ~mperatura I I( L --------------~)I h hl----------~~------------------- x Figura 1.5. Variación del coeficiente local de transferencia de calor a lo largo de la coordenada x. http://gratislibrospdf.com/
  • 23. 1.2. Convección 9 Más importante que el coeficiente local es el coeficiente promedio -ambos- de transferencia de calor, o simplemente coeficiente de transferencia de calor. Si se com- binan las ecuaciones 1.1 y 1.2, tal coeficiente puede determinarse con la expresión _ h = r o _k aT ay ) -o y- dx (1 .3) (r, - Too ) Así, con esta definición nueva, (l A) donde A es el área de transferencia de calor por convección. El fenómeno de transferencia de calor por convección suele clasificarse en dos categorías:. convección forzada y convección libre o natural. En la primera se ha- ce pasar el fluido por el sistema mediante la acción de algún agente externo, diga- mos un ventilador, una bomba o agentes meteorológicos. Por su pru;te, en el segun- do caso el movimiento del fluido es resultado de los gradientes en densidad que experimenta éste, al estar en contacto con una superficie a mayor temperatura y en presencia de un campo gravitacional (o centrífugo). Un caso típico de convección forzada es el radiador en el sistema de enfda- miento del motor de un automóvil u otro intercambiador de calor. De igual mane- ra, ejemplos clásicos de convección libre son el calentamiento de agua en un reci- piente antes de sufrir ebullición o el enfriamiento de equipo eléctrico (algunos transformadores, transistores, etcétera). El coeficiente de transferencia de calor en algunas geometrías sencillas puede determinarse con la ecuación 1.3 , la cual presupone que se conoce el perfil de la temperatura en el fluido, que puede obtenerse analíticamente mediante la aplica- ción de las ecuaciones de cambio, esto es, continuidad, movimiento y energía. En el caso de geometrías más complejas, el coeficiente de transferencia de calor pue- de evaluarse mediante correlaciones empídcas o recurriendo a la expedmentación. El coeficiente de transferencia de calor (de aquí en adelante se le designará con la letra h, a menos que se especifique lo contrario) para la convección forza- da depende de vados parámetros; por ejemplo, h = h(L, k, uoo , 11, p, cp ... ) (l .5) y, para el caso de convección natural, h = h[L, k, p, g, f3 (Ts - Too), 11, cp ... ] (1.6) donde L es una dimensión característica del sistema; por ejemplo, L es la longitud en la placa de la figura lA, k la conductividad térmica del fluido, Uoo la velocidad http://gratislibrospdf.com/
  • 24. 10 l. Introducción con la que se aproxima el fluido al sistema, J.L la viscosidad del fluido , p la densidad del fluido, cp el calor específico a presión constante del fluido , f3 el coeficiente de expansión volumétrica del fluido y g la aceleración de la gravedad u otra acelera- ción externa. Todas estas variables pueden reducirse a dos grandes parámetros: la geometría del sistema y las propiedades físicas y características del flujo de fluido. De lo anterior se desprende que incluso cuando la apariencia de la ecuación 1.4 es muy sencilla, el proceso de transferencia de calor por convección es muy complejo. En la tabla 1.3 se muestran algunos valores del orden de magnitud del coeficiente de transferencia de calor h, y en la 1.4 algunos factores de conversión para las unidades empleadas con más frecuencia. Tabla 1.3. Valores típicos del coeficiente de transferencia de calor h. Proceso h, W/m2 K Convección libre Gases 2-25 Líquidos 50-1000 Convección forzada Gases 25-250 Líquidos 50-20000,~.¡ Convección con cambio de fase Ebullición o condensación 2500-100 000 Fuenle: F. P. IncTopera y D. P. DeWitt, lntroduc tion lo Heat Transfer, 3a. ed. , John Wiley, 1996. Tabla 1.4. Factores de conversión para el coeficiente de transferencia de calor h. caUs cm2 0C 1 BTU/h pie2°F 1 kcaUh m2 0C 1 W/cm2 K 1 caUs cm2 °C 7376 36000 4.186 1 BTU/h pie 2 °F 1.356 x 10-4 1 4.8826 5.6785 x 10-4 1 kcaUh m2 °C 2.778 x 10-5 0.20489 1 1.163 x 10-4 1 W/cm 2 K 0.2391 1761 8600 1 Fuente: W. M. Rohsenow y J. P. Hartnett, Handbook of Heal Transf er, McGraw-Hill, Nueva York, 1973. 1.3. Radiación Tanto los mecanismos de transferencia de calor por conducción como por convec- ción requieren un medio para propagar la energía. Sin embargo, el calor puede http://gratislibrospdf.com/
  • 25. 1.3. Radiación 11 también propagarse en el vaCÍo absoluto mediante radiación. A una temperatura dada todos los cuerpos emiten radiación en diferentes longitudes de onda, pero la magnitud de ésta depende de la temperatura absoluta y de las características su- perficiales de dichos cuerpos. Por otra parte, sólo se considera radicación térmica la que se ubica en el ran- . go de longitudes de onda entre 0.1 y 100 micrones, aproximadamente. Dentro de ese intervalo del espectro electromagnético se ubican el rango ultravioleta, el in- frarrojo y el visible. Este último comprende nada más entre 0.38 y 0.78 micrones. Un radiador perfecto o cuerpo negro es el que emite la máxima cantidad de energía radiante desde su supeIficie a una razón proporcional a su temperatura ab- soluta elevada a la cuarta potencia, es decir, ( 1.7) Esta ecuación se conoce como ley de Stefan-Boltzmann, donde (Y es una constan- te que adquiere un valor igual a 5.67 x 10-8 W/m2K4 en el SI y que recibe el nombre de constante de Stefan-Boltzmann. De la ecuación 1.7 se deduce que la superfi- cie de todo cuerpo negro emite radiación si se encuentra a una temperatura diferen- te del cero absoluto, independientemente de las condiciones de los alrededores. Por otra parte, un cuerpo real no satisface las características de un cuerpo ne- gro, ya que emite una menor cantidad de radiación. ASÍ, el flujo de calor por uni- dad de área que emite una superficie real está dado por la expresión (1.8) donde E es una propiedad de la superficie y se denomina emisividad; numérica- mente es igual al cociente de la emisión de radiación del cuerpo en estudio con respecto a la de uno negro. Esta propiedad superficial adquiere valores entre cero y la unidad,-y constituye una medida para evaluar cuán efectivamente emite radia- ción un cuerpo real con respecto a uno negro. El calor por radiación neto intercambiado por un cuerpo negro a una tempera- tura absoluta T¡, como se muestra en el esquema de la figura 1.6, hacia una envol- vente a una temperatura T2 que lo rodea por completo y que se comporta también como cuerpo negro puede evaluarse con la expresión q= (YA¡ (Ti - Ti) (1.9) Por otra parte, la radiación emitida por un cuerpo real a una temperatura absoluta TI hacia una envolvente de área A 2 » A I Ya temperatura T b puede calcularse aho- ra con la expresión (1.1 O) http://gratislibrospdf.com/
  • 26. 12 l. Introducción.1 Figura 1.6. Intercambio de calor por radiación entre dos cuerpos negros. Esta ecuación se conoce como ley de Prevost. Si se consideran ahora dos cuerpos reales a temperaturas absolutas TI T2 , y respectivamente, como se muestra en la figura 1.7, el flujo neto de energía radian- te entre ellos puede calcularse con (1.11 ) donde F es una función que no sólo depende de las características superficiales de ambos cuerpos, sino también del arreglo geométrico que guardan entre sí. En otras palabras, la función F depende de las emisividades de ambos cuerpos y de la frac- ción de energía radiante emitida por el cuerpo 1 que intercepta el cuerpo 2. 1.4. Transferencia simultánea de calor. Hasta ahora hemos visto en forma independiente los tres principales mecanismos;i de transferencia de calor; no obstante, en la mayoría de las aplicaciones de interés para los ingenieros se presentan en forma simultánea, aunque también puede su- ceder que uno o más de ellos sean prácticamente insignificantes con relación a los demás. A continuación se describen distintas situaciones que muestran lo anterior. Considérese el intercambiador de calor de doble tubo que se observa en la fi- gura 1.8. En este caso el calor se transfiere por convección del fluido caliente a la Figura 1.7. Transferencia de calor por radiación entre dos cuerpos. http://gratislibrospdf.com/
  • 27. 1.4. Transferencia simultánea de calor 13 Fluido caliente I Ir Fluido frío Figura 1.8. Esquema de un intercambiador de calor de doble tubo. superficie interior del tubo; luego pasa por conducción a través de su pared y por último se transfiere por convección de la pared del tubo al fluido frío. En el cilindro de un motor de combustión interna como el del esquema de la figura 1.9, el calor se transfiere de forma simultánea por radiación y convección de los gases de combustión al cilindro, atraviesa sus paredes por conducción y al final llega al agua de enfriamiento por convección. Si por último pensamos en un con vector para la calefacción donde el fluido caliente es vapor húmedo, la transferencia de calor desde el con vector al ambien- te ocurre, en esencia, por convección libre. o -- Figura 1.9. Esquema de un cilindro de un motor de combustión interna. Ejemplo 1.2. Considérese un recipiente aislado térmicamente que contiene una pequeña can- tidad de agua. Si la superficie libre de líquido queda expuesta al aire libre du- rante la noche (fig. E.1.2.) Y la temperatura ambiente es de 40 oC, calcule la temperatura de equilibrio que alcanza el agua en el recipiente. Supóngase que el coeficiente de transferencia de calor en la superficie del agua es de 5 W/m2 K, que la temperatura efectiva del firmamento es del rango de O K Y que tanto el agua como el firmamento se comportan como cuerpos negros. http://gratislibrospdf.com/
  • 28. 14 l. Introducción Solución Mediante un balance de energía, el calor por convección que se transfiere del aire ambiente al agua debe ser igual en magnitud al calor por radiación emitido por ésta hacia el firmamento en condiciones de equilibrio. Es decir, h( T= - ~gua ) = 0"( ~:ua - Tr:!m ) Agua Figura E.l.2. Sustituyendo valores, 5( 313 - ~gua) = 5.67 X 10- ~:ua 8 1565 - 5~gua = 5.67 X 10-8 ~:ua Al resolver la expresión se obtiene ~gua = 260 K = -13 oC Si bien esta solución sólo representa una primera aproximación al problema, los resultados anteriores indican que es posible congelar agua en condiciones de tiempo cálido si se expone al firmamento despejado. Ejemplo 1.3. Calcule el flujo neto de calor por unidad de área y por radiación entre dos pla- cas paralelas e infinitamente grandes, con un espacio muy pequeño entre ellas. Ambas se comportan corno cuerpos negros y se mantienen a 1000 K Y 500 K, respectivamente. Solución Según la ecuación 1.9, q" = 0"( Ti - Ti) =5.67 X 10-8 (1000 4 - 500 4 ) q" = 53 156 W/m2 http://gratislibrospdf.com/
  • 29. 1.5. Resumen 15 1.5. Resumen El fenómeno de transferencia de calor por conducción es un proceso de propaga- ción de energía en un medio por difusión o comunicación molecular directa como consecuencia de un gradiente de temperatura. La ley de Fourier establece que el flujo de calor por unidad de área es propor- cional al gradiente de temperatura, es decir, q" = -k dT dX La transferencia de calor por convección es un proceso de transpOlte de energía que resulta del movimiento de un fluido . La ley de Newton del enfriamiento establece que el flujo de calor por unidad de área es proporcional a la diferencia total de temperaturas entre la de la superfi- cie del sistema y la del fluido, esto es, Todos los cuerpos emiten radiación en forma de energía electromagnética con dife- rentes longitudes de onda de acuerdo con su temperatura y sus características super- ficiales. Un emisor de radiación perfecto, o cuerpo negro, es el que emite energía radiante de su superficie a una razón proporcional a su temperatura absoluta ele- vada a la cualta potencia, o sea, q" = ar 4 Esta relación se conoce como ley de Stefan-Boltvnann, donde (J es la constante de Stefan-Boltzmann, la cual adquiere un valor de 5.67 x 10-8 W/m2 K4 en el SI. Problemas 1. Considérese una pared de espesor L cuyas superficies se mantienen a tempe- raturas TI y Tb respectivamente. Si el material de la pared tiene una conduc- tividad térmica k constante y el área perpendicular al flujo de calor es A, calcu- le el flujo de calor mediante la integración directa de la ley de Fourier. 2. Cuando la transferencia de calor se lleva a cabo en más de una dirección, la ley de Fourier puede escribirse como q" = -kílT http://gratislibrospdf.com/
  • 30. 16 l . Introducción Con los vectores unitarios i, j Y k, escriba la ley de Fourier en coordenadas cartesianas. Respuesta: q 11 =- k( -I+-J+- k) aT. aT. aT ax ay ax 3. Imagine una esfera de 1 cm de diámetro a una temperatura de 1000 K Y ence- rrada en otra esfera de 10 cm de diámetro a una temperatura de 400 K. Calcu- le el flujo neto de calor por radiación que va de la esfera pequeña a la grande. Supóngase que ambas esferas se comportan como cuerpos negros. Respuesta: 17.36 W 4. Un tubo desnudo que transporta,.vapor húmedo a una presión absoluta de 10 bar se encuentra en una habitación cuya temperatura ambiente es de 20 oc. Si el coeficiente de transferencia de calor entre el tubo y el ambiente es de 10 W/m2 K, calcule las pérdidas de calor por metro de longitud. El diámetro exterior del tubo es igual a 10 cm. Respuesta: 502.37 W/m 5. Considérese un cuerpo negro de masa m, calor específico e y área A a una tem- peratura uniforme To, que se deja caer en un recipiente muy grande cuyas pa- redes se encuentran a una temperatura de O K. Si el recipiente está al vacío, determine la temperatura del cuerpo como función del tiempo. Establezca cla- ramente las suposiciones necesarias. Respuesta: T = 3 )1/3 Tome ( me + 30ATot 3 6. El coeficiente de transferencia de calor en convección libre depende, entre otras propiedades, del coeficiente de expansión volumétrica del fluido, defi- nido como Demuestre que el coeficiente de expansión volumétrica de un gas ideal es di- rectamente proporcional al recíproco de la temperatura. 7. ¿Por qué los metales cambian de color mientras cambia su temperatura? 8. Piense en una placa de espesor L cuyas superficies están sujetas a las tempera- turas T¡ y T2 , respectivamente. Si la conductividad térmica del material varía http://gratislibrospdf.com/
  • 31. Problemas 17 con la temperatura de acuerdo con la relación k = küO + aT), donde kü Y a son constantes, determine el flujo de calor por unidad de área a través de la placa. 9. Un cono truncado de aluminio mide 2 cm de diámetro en su parte más peque- ña, 3 cm en su parte más ancha y 10 cm de altura. Si la superficie lateral se encuentra aislada, la temperatura en el diámetro menor es igual a 300 oC y la del mayor a 100 oc. Calcule el calor que se transfiere por conducción a tra- vés del cono. Supóngase que la conductividad térmica del aluminio es igual a 215 W/mK. 10. Indique los principales mecanismos de transferencia de calor en una aleta de enfriamiento como las empleadas en un motor de combustión interna. 11. Imagine un tubo de cobre desnudo de 70 mm de diámetro exterior que trans- porta vapor. Su superficie se encuentra a 200 oC y tiene una emisividad igual a 0.8 . El aire y las paredes del CUalto en donde se encuentra el tubo están a 25 oc. Se estima que el coeftciente de transferencia de calor por convección natural es igual a 15 W/m2K. Calcule el calor disipado por unidad de longitud. 12. Un flujo de aire circula por la superficie de una pared. Para el instante que se muestra abajo (fig. P.l.12) indique las respuestas: a) ¿Es T ambiente <, > o = T2 ? Explique su respuesta. b) ¿Qué condición de frontera emplearía para la transferencia de calor en x = O? h Tambienle L I O I )1 X Figura P.l.12. 13. Considérese una esfera de 1 cm de diámetro que se mantiene a 60 oc. Se en- cuentra en un cuarto cuyas paredes se hallan a 35 oc. El aire que rodea la esfe- ra está a 40 oC y el coeficiente de transferencia de calor es igual a 11 W/m2o C. Calcule las pérdidas de calor que experimenta la esfera si su emisividad es igual a 0.85. http://gratislibrospdf.com/
  • 32. 18 1. Introducción 14. El techo horizontal de una casa está cubierto con un asfalto cuya emisividad es igual a 0.94. En una noche de cielo nublado puede decirse que la tempera- tura efectiva del firmamento es igual a -10 oC y la del aire ambiente a 5 oc. El coeficiente de transferencia de calor entre el techo y el aire ambiente es igual a 4 W/m 20 C. Detennine la temperatura de la superficie del techo en condicio- nes de estado estable. Supóngase que la superficie del techo que da hacia el interior de la casa se encuentra perfectamente aislada. 15. Imagine una placa negra muy delgada de 20 x 20 cm de área sobre la que se hace pasar aire a una temperatura de O oC y una velocidad de 2 mis, lo cual da por resultado un coeficiente de transferencia de calor de 12 W/m 20 C. La pla- ca está aislada por uno de sus dos lados y se halla en un cuarto cuyas paredes se mantienen a 30 oC. Supóngase que la emisividad de la placa es igual a 1.0; calcule su temperatura. 16. El elemento térmico en un calefactor eléctrico consiste en una tira metálica de un espesor muy delgado, de 6 mm de ancho y 3 m de largo. La emisividad del material es igual a 1.0 y opera a una temperatura de 800 K. El coeficiente de transferencia de calor alrededor de la tira puede estimarse en 10 W/m 20 C. Si la temperatura del ambiente y los alrededores es de 25 oC, calcule el calor di- sipado por el elemento ténnico. 17. Clasifique los materiales siguientes de acuerdo con su capacidad para condu- cir el calor: aluminio, cobre, acero inoxidable, poliestireno, acero al carbón, ladrillo común. 18. Considérese un horno hemisférico de 5 m de diámetro (fig. P.1.18). El domo se comporta como cuerpo negro, mientras que la base tiene una emisividad igual a 0.7. La base y el domo se encuentran a 400 y 1000 K, respectivamen- te. Determine el flujo neto de calor por radiación entre ambos elementos. I +E- - 5 m--~)I Figura P.I .1S. 19. A juzgar por las unidades de W/moC, ¿podría definirse la conductividad tér- mica de un material como el flujo de calor a través del material, por unidad de espesor y por unidad de diferencia de temperaturas? Justifique plenamente su respuesta. 20. Imagine dos paredes de una casa habitación idénticas en todo, excepto que una es de madera (k = 0.12 W/mK) y tiene un espesor de 10 cm, en tanto que la http://gratislibrospdf.com/
  • 33. Problemas 19 otra es de ladrillo (k = 0.72 W/mK) y tiene un espesor de 25 cm. ¿Mediante cuál pared perderá más calor la casa? 21. Piense en una pared que opera en estado estable y sin generación de calor en su interior. En la figura P.1.21 se muestra la distribución de temperatura como función de la distancia. Indique si la conductividad térmica del material es constante, si aumenta o disminuye con la temperatura. Explique su respuesta. lE- L -~ Figura P.l .21. 22. Algunas secciones de una tubena que transporta combustóleo están soportadas por barras de acero (k = 61 W/m°C) de 0.005 m2 de sección transversal (fig. P.1.22) . En general, la distribución de temperatura a lo largo de las barras es de la forma : T(x) = 100 - 150x + lOx2 donde T está en grados Celsius y x en metros. Calcule el calor que pierde la tubena a través de cada barra. Respuesta: 45.75 W Tubería x Suelo =====-======~ Figura P.1.22. http://gratislibrospdf.com/
  • 34. 20 l. Introducción 23. Imagine un calefactor de gas. Indique los mecanismos por los que disipa calor. 24. Se utiliza un termómetro de mercurio para medir la temperatura del aire en un recipiente metálico muy grande. Se registra una temperatura de 20 oC (fig. P.1.24). Se sabe que las paredes del recipiente se encuentran a 5 oC, el coefi- ciente de transferencia de calor entre el termómetro y el aire es de 8.3 W/m2 oC y la emisividad del termómetro es igual a 0.9. Calcule la temperatura efectiva del aire en el recipiente. Respuesta: Tambiente = 28.6 oC Tambren!e T. -5 0C 11 ~aredes - UTI = 20 oC Figura P.l.24. 25. Una superficie de 0.5 m2 , con emisividad de 0.8 y a una temperatura de 150 oC, se coloca en una cámara al vacío muy grande, cuyas paredes se encuentran a 25 oc. Calcule el calor neto entre la superficie y las paredes de la cámara. 26. Un gabinete de aluminio anodizado se enfría mediante convección natural y1: radiación. El área de la superficie del gabinete mide 0.368 m 2 , la temperaturaI ! del aire y alrededores que lo rodean es de 25 oC y el coeficiente de transferen-j! cia de calor por convección se estima en 6.8 W/m2 K. La temperatura en la su-f i I perficie del gabinete es igual a 125 oc. a) Obtenga el flujo de calor disipado por el gabinete suponiendo que se com- pOlta como cuerpo negro. b) Si el gabinete se enfría forzando aire con un coeficiente de transferencia del calor por convección igual a 150 W /m2K, calcule la temperatura de la su- perficie si la disipación de energía se mantiene constante. ¿Es importante la radiación en este último caso? 27. Un lado de una lámina muy delgada se expone al Sol y el otro está aislado tér- micamente. La lámina absorbe la energía solar a razón de 500 W/m2 . El aire ambiente que la rodea se encuentra a 27 oC, mientras que la temperatura efec- tiva del firmamento es de 7 oc. El coeficiente de transferencia de calor por con- vección es igual a 20 W/m2 °C, y la emisividad de la superficie expuesta al Sol es de 0.9. Calcule la temperatura de equilibrio de la lámina. 28. El operador de máquinas en un taller se queja de que el sistema de calefacción no mantiene la temperatura del aire a un valor mínimo de 20 oC, como debiera. http://gratislibrospdf.com/
  • 35. Problemas 21 Para fundamentar su queja, demuestra que un termómetro de mercurio muy preciso suspendido en el aire ambiente registra sólo 17 oc. Cuando coloca el termómetro contra las paredes registra 5 oc. El techo y las paredes del taller son de lámina acanalada. Se sabe además que la emisividad del termómetro es igual a 0.8. ¿Está en 10 conecto el operador? Justifique su respuesta estableciendo con claridad sus suposiciones. 29. Imagine la pared de un horno construida con ladrillo refractario (k = 1.2 W/mK) de 20 cm de espesor. La superficie exterior del horno se encuentra a 300 oC y tiene una emisividad de 0.9. El coeficiente de transferencia de calor por convección natural es igual a 8 W/m 2 K. La temperatura del aire ambien- te, así como la de los alrededores, es igual a 25 oc. Calcule la temperatura de la superficie interior. Respuesta: T = 1516.4 oC " ,~ 30. Ciertas pruebas experimentales en el álabe de una turbina de gas indican que éste toma 95 kW/m2 de calor cuando su superficie está a 800 oC, la tempera- tura del aire que 10 rodea es de 1150 oC y la velocidad es de 160 mis. La super- ficie del álabe se mantiene a temperatura constante durante los experimentos mediante enfriamiento interno. Calcule el flujo de calor que tomará al álabe si su temperatura se reduce a 700 oC, y no se alteran en 10 absoluto las condicio- nes del aire que se hace pasar a través de él. Supóngase que las propiedades del aire también permanecen constantes. Respuesta: q" = 122.14 kW 31. Una bana cilíndrica de 3 cm de diámetro contiene un calentador eléctrico de resistencia. Al pasar agua sobre el calentador a una temperatura de 25 O Yuna C velocidad de 1 mis, disipa 6.3 kW/m. En estas condiciones la temperatura en su superficie es de 90 oc. Cuando se hace circular aire a una temperatura de 25 OC Y una velocidad de 10 mis , el calentador sólo disipa 570 W/m. Calcule y compare los coeficientes de transferencia de calor en ambas situaciones. 32. Se desea enfriar el agua de refrigeración de un motor de combustión interna de 150 kW de potencia al freno de 90 a 80 oC en un radiador que está por eva- luarse. El flujo de masa de agua que circula por el motor es de 3.6 kg/s. El ra- diador que se propone colocar al motor para enfriarlo tiene un área total de transferencia de calor igual a 0.8 m2 . Puede suponerse que la temperatura pro- medio del aire ambiente que se haría circular con el abanico a través del ra- diador se encuentra a 40 oC, y el calor específico del agua es de 4186 J/kg0c. Indique si es posible o no enfriar el agua del motor con el radiador propuesto. http://gratislibrospdf.com/
  • 36. .......... · "l .22 l. Introducción Bibliografía Incropera, F. P. Y D. P. DeWitt, Tntroduction to Heat Transfer, 3a. ed., John Wiley, 1996. Ozisik, M. N., Basic Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1977. Rohsenow, W. M. y J. P. Hartnett, Handbook of Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1973. http://gratislibrospdf.com/
  • 37. 2. Conducción unidimensional e es ad estable La senda de la virtud es muy estrecha y el camino del vicio, ancho y espacioso. CERVANTES La conducción unidimensional en estado estable encuentra múltiples aplicaciones en sistemas de interés para el ingeniero: paredes de hornos, aislamiento de ductos para transportar vapor, aislamiento de conductores eléctricos, aletas de enfria- miento, etcétera. En ciertas aplicaciones, los efectos de la transferencia de calor en más de una dirección son tan pequeños que pueden despreciarse sin sacrificar la exactitud de los resultados. En este capítulo se describen algunas de esas aplicaciones; por supuesto, no se pretende cubrir de manera exhaustiva todas las aplicaciones de la conducción unidi- mensional en estado estable. Nuestro propósito sólo consiste en ilustrar el método o la técnica de análisis para resolver los diferentes problemas que se le presentan al in- geniero.2.1. Placa Considérese una placa plana de espesor L cuya conductividad térmica k es cons- tante. Supóngase que sus dos superficies se mantienen a temperaturas TI y T2 , res- pectivamente, como se muestra en la figura 2.1. Si se analiza un volumen de control de espesor Llx dentro del material, la pri- mera ley de la termodinámica establece que el calor que entra en el sistema por conducción es igual al que sale de él. Analíticamente, q" A Ix- q" A Ix+ tu = O (2.1 ) Al notar que el área A perpendicular al flujo de calor es constante en la placa, la expresión anterior puede dividirse entre ALlx, esto es, q "1 x+tu - q"1 = O x (2.2) Llx 23 http://gratislibrospdf.com/
  • 38. 24 2. Conducción wlidimensional en estado estable TI q"Alx q"Alx+dX o L x Figura 2.1. Placa plana y volumen de control. En el límite, cuando & -7 O se obtiene, por el teorema del valor medio, d " .-!L = O (2.3) dx Al integrar esta expresión con respecto a x se obtiene q" = el (2.4) donde el es una constante de integración. Esta expresión ratifica analíticamente que el flujo de calor por unidad de área en la placa es constante. Sustituyendo la ley de Fourier en la ecuación 2.4 se tiene o dT =_ el (2.5) dx k Sise supone que la conductividad térmica del material es constante, una integra- ción de la ecuación anteIior da como resultado el T= __ x+e2 (2.6) k por lo que se concluye que el perfil de temperatura a través de la placa es lineal. Lo anteIior es cierto siempre que --como se supuso con anteIiOlidad- la conductivi- http://gratislibrospdf.com/
  • 39. 2.1. Placa 25 dad térmica del material sea constante. Las constantes de integración C l y C2 pueden evaluarse mediante dos condiciones de frontera que correspondan a la situación físi- ca del problema y que pueden determinarse recurriendo a las temperaturas en ambas superficies de la placa, es decir, T= TI en x = O y T= T2 en x =L Sustituyendo estas condiciones de frontera en la distribución de temperatura (ecua- ción 2.6) se obtiene y Por consiguiente, (2.7) El esquema de la figura 2.2 muestra la variación de la temperatura en la placa co- mo función de la distancia. Cabe observar de nuevo que esta distribución es lineal sólo cuando la conductividad térmica del material es constante. T T, ~ L- __________ ~ ____ o L x Figura 2.2. Distribución de temperatura en una placa con conductividad térmica constante. http://gratislibrospdf.com/
  • 40. 26 2. Conducción unidimensional en estado estable A menudo conviene normalizar o adimensionar los resultados de la transfe- rencia de calor para que sean generales e independientes de las dimensiones físi- cas del sistema. La normalización reduce el número de parámetros, por lo que la gráfica e interpretación de éstos es aún más sencilla. En ciertas circunstancias, una mera normalización podrá sugerir las aproximaciones necesarias para simplificar un problema concreto. La ecuación 2.7 puede normalizarse definiendo una tempe- ratura y una distancia adimensionales como T* = T- Ti T¡ -T2 y x * =- x L Al introducir estas variables adimensionales en la distribución de temperatura de la ecuación 2.7 se tiene T* =1 - x* (2. 8) obteniéndose así una línea única cuya pendiente es de 135° para todas las placas. Una vez que se calcula la distribución de temperatura en la placa, el flujo de calor que se transfiere a través de ella puede evaluarse con facilidad, una vez más, mediante la ley de Fourier. Ya que ésta es constante, dT q=-kA-=AC¡ dx Por tanto, (2.9) Esta ecuación indica que el flujo de calor es proporcional al área, a la conductivi- dad térmica del material y a la diferencia de temperaturas. Por otra parte, el flujo de calor es inversamente proporcional al espesor de la placaJ La forma de la ecuación 2.9 sugiere una analogía eléctrica con la ley de Ohm de circuitos eléctricos: si el flujo de calor se visualiza como una corriente y la di- " Si la conductividad térmica del material varía con la temperatura de acuerdo con una relación de la forma k = "00 + an , donde "o y a son constantes, el flujo de calor a través de la placa puede calcularse con la ecua- ción 2.9, siempre que la conductividad térmica se calcule a la temperatura promedio (TI + T 2 )/2. La demos- tración se deja al lector como ejercicio. http://gratislibrospdf.com/
  • 41. 2.1. Placa 27 ferencia de temperaturas como una diferencia de potenciales eléctricos, el equiva- lente de la resistencia eléctrica es una resistencia térmica definida como R¡=~ (2. 10) kA El uso de esta ecuación permite evaluar sin mayor problema el flujo de calor en paredes de distintos materiales en contacto íntimo, como se ilustra en la figura 2.3 con sólo dos. En estas condiciones, (2. 11) La expresión 2.11 indica que el flujo de calor a través de la pared compuesta por dos materiales es igual a la diferencia total de temperaturas entre la suma de las dos resistencias térmicas en serie. La analogía eléctrica antes descrita también puede emplearse con eficacia pa- ra resolver problemas más complejos relacionados con resistencias en serie y en paralelo. En la figura 2.4 se muestra un problema típico y su correspondiente cir- cuito térmico. Cabe notar, sin embargo, que las conductividades térmicas de los materiales en paralelo no deben ser sustancialmente distintas, de lo contrario ha- bría una transferencia de calor bidimensional. Hasta ahora se ha supuesto que se conocen las temperaturas en las superficies exteriores de la pared. No obstante, por lo general se encuentran en medios líqui- dos o gaseosos a diferentes temperaturas, y la transferencia de calor con los fluidos Ti LA LB Figura 2.30 Pared compuesta por dos materiales y su correspondiente circuito térmico. http://gratislibrospdf.com/
  • 42. 28 2. Conducción unidimensional en estado estable La B ka Aa T1 - 2 Tl--,//,-Il ... T A O ~Lf~:~ kAAA Le koAo e kcAc Figura 2.4. Pared compuesta por distlntos materiales. se lleva a cabo por convección. El uso de la resistencia térmica puede extenderse también a la ley de Newton de enfriamiento. Al analizar esta ley se deduce que la1" resistencia térmica para convección, o resistencia de película, está dada por la ex- presión R =_1 (2.1 2) I hA Si se considera ahora la misma pared construida con dos materiales, pero en con- tacto con dos fluidos como se muestra en el esquema de la figura 2.5, la transfe- rencia de calor puede evaluarse con la expresión 2.13. (2.13) A La Figura 2.5. Pared compuesta por dos materiales expuesta a convección por ambos lados. http://gratislibrospdf.com/
  • 43. 2.1. Placa 29 En esta expresión se observan las diferentes resistencias térmicas implicadas. En ca- so de que uno de los fluidos sea, digamos, agua y el otro aire, la resistencia de pe- lícula más grande se encuentra en el lado del aire. En estas circunstancias, la transferencia de calor puede incrementarse o la resistencia disminuirse mediante aletas de enfriamiento o superficies extendidas en el lado del aire a fin de aumen- tar el área. Otro caso que puede interesar a los ingenieros es cuando la pared que se anali- zó está constituida por un material aislante. Entonces se define el valor R del aislan- te como la resistencia térmica del material por unidad de área, es decir, R = L/k, donde L es el espesor y k la conductividad térmica. Obsérvese que al duplicar el espesor L también se duplica el valor R del aislante. En Estados Unidos de Améri- ca los valores de R se expresan sin unidades; por ejemplo, R-20, R-30. Estos valores se obtienen dividiendo el espesor del material dado en pies entre su conductividad térmica en BTU/h pieop, de tal forma que las urüdades de R están en h pie2o p/ BTU. Así, 6 pulgadas de aislante de fibra de vidrio (k =0.025 BTUIh pie°F) tienen un valor igual a R-20, esto es, R = 0.5/0.026 = 20 h pie2°PIBTU (en el SI 1 m2°C/W = 5.678 h pie2°PIBTU). Este concepto de resistencia por unidad de área R también se emplea cuando la pared se compone de materiales heterogéneos, como los bloques de concreto. De este modo se dice que un bloque de concreto con dos cavidades tiene una re- sistencia térmica por unidad de área R igual a 0.37 m2°C/W. La resistencia R = l/h a la convección para una pared expuesta a un viento de 24 km/h es igual a 0.03 m2°C/W. Algunos valores de la resistencia térmica R se indican en J 997 ASHRAE Fundamentals Handbook (American Society of Heating, Refrigerating and Air- Conditioning Engineers, Inc., 1977). Ejemplo 2.1. Imagine una pared constituida por los elementos siguientes: Concepto Resistencia exterior a la convección (viento a 24 km/h) 0.03 Bloque de concreto de 20 cm de espesor 0.37 90 mm de aislante de fibra mineral 2.3 13 mm de yeso 0.08 Resistencia interior a la convección (aire estático) 0.12 El aire ambiente que rodea la pared se encuentra a 40 oC en el exterior y 22 en el interior. Si la pared mide 5 m de largo por 2.5 m de altura, calcule el calor transferido. http://gratislibrospdf.com/
  • 44. 30 2. Conducción unidimensional en estado estable Solución,l Sumando todas las resistencias térITÚcas,., I 40 - 22 " q = 0.03 + 0.37 + 2.3 + 0.08 + 0.12 q" = 6.21 W/m2 En consecuencia, q = (12.5)(6.21) = 77.6 W Ejemplo 2.2. Considérese una pared de cobre (k = 375 W/mK) de 1 cm de espesor de la que una de sus superficies está expuesta a vapor de agua condensándose (h = 10 000 W/m 2K) a una temperatura de 200 o La otra superficie está en contacto con c. aire ambiente (h = 5 W/m 2 K) a una temperatúra de 25 oc. a) Calcule el calor por unidad de área transferido a través de la placa. b) Determine las temperaturas en ambas superficies de la pared. Solución a) Según la ecuación 2.13, 200 - 25 175 q" = 874.45 W/m 2 1 0.01,,. - -- +--+ 1 0.20 10000 375 5 b) Puesto que el calor transferido por convección del vapor a la placa es igual al calor por conducción que pasa a través de ella y, al ITÚsmo tiempo, igual al calor por convección de la placa al aire, 874.45 = 10000(200 - TI) TI = 199.91 oC y 874.45 = 5(T2 - 25) T2 = 199.89 oC http://gratislibrospdf.com/
  • 45. 2.1. Placa 31 Obsérvese que la mayor caída de temperatura ocurre a través de la interfase co- bre-aire. Esto es, - Ejemplo 2.3. Considérese la pared de un horno de estufa formada por dos placas delgadas de acero, con aislante de fibra de vidrio (k = 0.035 W/m°C) en el interior de ellas. La temperatura máxima de operación del horno puede suponerse en 250 oC, mien- tras la temperatura ambiente en la cocina puede variar entre 20 y 35 oc. Calcule el espesor de aislante que deben tener las paredes para eyitaJ:" que la temperatu- ra en la superficie exterior exceda 60 oc. El coeficief!.te de transferencia de ca- lor para convección en ambas superficies puede suponerse igual a 10 W/m20 C. Solución Como la conductividad térmica del acero es mucho mayor que la de la fibra de vidrio, el efecto de las láminas en las paredes puede despreciarse sin perder exactitud en los cálculos. El calor disipado hacia el ambiente puede evaluarse con la expresión q" = h2(T2 - T2=) q" = 10(60 - 35) q" = 250W/m2 Este flujo de calor debe ser igual al transferido por convección del aire en el horno hacia la pared y al que se transfiere por conducción a través de ella. Por tanto, de donde L = 0.035( 250 - 60 -~) = 0.023 m = 2.31 cm 250 10 En ciertas circunstancias, la superficie de una pared no sólo disipa calor por con- vección hacia el aire ambiente que la rodea, sino también a los alrededores. En ta- http://gratislibrospdf.com/
  • 46. 32 2. Conducción unidimensional en estado estable les condiciones, el calor por unidad de área que disipa una pared puede calcularse fácilmente con la expresión conocida como ecuación de Langmuir: q "=0.548E[(~)4 -(~)4l+1.957(T.-T.= )5/4~!196.85V+68.9 55.55 55.55 s 68.9 (2. 14) donde q" es el calor por unidad de área en W/m2 , Ts la temperatura en la superfi- cie de la pared, en K; Ta la temperatura de los alrededores, en K; Too la temperatu- ra del aire ambiente que rodea la pared, en K, y V la velocidad del aire en mis, que está en movimiento en la vecindad de la superficie. Obsérvese que el primer término del miembro derecho de la expresión con- templa la radiación, en tanto que el segundo contiene las aportaciones de la convec- ción natural y forzada. El término de radiación no es más que CJE(Ts4 - Ta4). Si la velocidad Ves igual a cero, de la ecuación de Langmuir se precisa que, para una pared, h = 1.958(Ts - Too )1/4. Ejemplo 2.4. Considérese una pared vertical de 3 m de altura por 10 de largo con un espesor de 0.20 m (fig. E.2.4). La conductividad térmica del refractario es de 1.1 W/mK. Una de las superficies de la pared, la exterior, se encuentra a 300 oC y tiene una emisividad igual a 0.8. Esa superficie está expuesta al aire ambiente y alrededores a 27 oC. Calcule la temperatura de la otra superficie de la pared -la interior. T 3m 300 oC 1 27 oC 20 cm v Figura E.2.4. http://gratislibrospdf.com/
  • 47. 2.2. Cilindro hueco 33 Solución Con la ecuación de Langmuir se tiene q "=(0.548)(0.8)[( 573 55.55 )4 _( 55.55 )4]+1.957(300-27)5/4 300 q" = 4590.17 + 2171.67 = 6761.84 W/m 2 Por tanto, T . = 300 (6761.84)(0.20) = 1529 43 °e interIor + 0.1 . 2.2. Cilindro hueco Imaginemos ahora un cilindro hueco de radio exterior R2 , radio interior R¡ y un material cuya conductividad térrrtica k es constante, como se muestra en la figura 2.6. Supóngase que la superficie interior se mantiene a una temperatura T¡, mien- tras que la exterior se mantiene a una temperatura T2 y que el flujo de calor es con- ducido en la dirección radial solamente, esto es, L> > R ¡ o R 2 . Mediante un balance de energía en el volumen de control mostrado se obtiene q"2nr&1 r - q"2nr&1 r+ I1r =O Al dividir entre 2nl1r& y hacer que I1r tienda a O se obtiene, por el teorema del valor medio, ~(rq") = O (2.15) dr Integrando esta expresión con respecto al radio, rq" = e¡ (2.16) donde el es una constante de integración. Al aplicar la ley de Fourier de conduc- ción de calor se obtiene (2.17) http://gratislibrospdf.com/
  • 48. 34 2. Conducción unidimensional en estado estable I I ! I IR, r L ~ I l1z T, I q"2n:rl1z r+ M 1 T2 M +---> r Figura 2.6. Cilindro hueco. Integrando de nuevo esta expresión C T=-_1Inr+C2 (2.1 8) k Las constantes de integración C 1 y C2 pueden determinarse mediante condiciones de frontera apropiadas. En este caso, T=T¡ en r=R¡ y T= T2 en r = R2 Sustituyendo estas condiciones de frontera en la ecuación 2.18 se obtienen las constantes de integración C 1 y C2 • Esto es, y http://gratislibrospdf.com/
  • 49. 2.2. Cilindro hueco 35 Por consiguiente, T = T2 - Ji - T2 In ~ (2. 19) In R2 R2 R¡ En la figura 2.7 se muestra de manera esquemática la distribución de la tempera- tura en el material del cilindro. Obsérvese que, en contraste con el perfil lineal de una placa, el de la temperatura en un cilindro es logarítmico aun cuando la con- ductividad térmica es constante en ambos casos. Ahora puede calcularse el flujo de calor mediante la ley de Fourier. Debido a que el flujo es constante en cualquier sección del cilindro, dT q = -k(2rcrL) - dr q = -k(2 rcrL{ - ~~ ) (2.20) Nótese que la ecuación 2.20 también tiene la forma de la ley de Ohm. Por consi- guiente, en este caso la resistencia térmica a la conducción puede expresarse como: (2.2 1) Figura 2.7. Distribución de temperatura en un cilindro hueco. http://gratislibrospdf.com/
  • 50. 36 2. Conducción unidimensional en estado estable El análisis de cilindros constnüdos con distintos materiales en contacto Íntimo y cilindros con condiciones de frontera convectivas, o ambos casos, puede hacerse con facilidad mediante un circuito térmico. Para ilustrarlo, imagine un tubo cu- bierto con un aislante y con convección, tanto por el interior como por el exterior. En la figura 2.8 se muestra un esquema de esta situación. El flujo de calor en ta- les circunstancias queda determinado mediante la relación (2.22) donde kr es la conductividad térmica del tubo y ka la del aislante. Ejemplo 2.5. Un tubo de cobre BWG 16 (k = 379 W/m°C) transporta vapor húmedo a 100 oC y tiene un diámetro exterior de 5.08 cm, mientras que el diámetro interior es de 4.75 cm. El tubo se encuentra en un cuarto cuya temperatura ambiente es de 25 oc. Para disminuir las pérdidas de calor en 60%, se desea aislar el tubo con fibra de vidrio (k = 0.04 W/m°C). Calcule el espesor de aislante que se requiere, supo- niendo que los coeficientes de transferencia de calor interior y exterior son iguales a 5600 y 5 W/m2 °C, respectivamente. I ¡ ¡ h, i i, R, ~ ¡ ¡ R2 L !T I ,- Ra j T, ! T2 i TJ<,o Figura 2.8. Cilindro aislado con convección en sus superficies. http://gratislibrospdf.com/
  • 51. 2.3. Radio crítico 37 Solución Primero se calculará el calor disipado por unidad de longitud cuando el tubo se encuentra desnudo. Según la ecuación 2.22, 100-25 q 1 ln(5.08/4.75) 1 - - -- - - + + - - --- n(0.0475)(5600) 2n(379) n(0.0508)(5) 75 75 q= 3 5 :-- 1.20 x 10- + 2.82 X 10- + 1.25 1.25 q = 60 W/m Nótese que las caídas de temperatura en la interfase vapor-tubo de cobre y en el material del tubo mismo son insignificantes. Por tanto, se supondrá que la temperatura en la superficie exterior del tubo es igual a 100 o Si las pérdidas c. de calor se reducen en 60%, q = 0.4(60) = 24 W/m Teniendo en cuenta únicamente las resistencias térmicas del aislante y de la pe- lícula exterior, 24 = 100-25 ln(Da / 5 .08 ) 1 ----------- + ----:---~- 2n(0.04) n(Da / 100)(5) Resolviendo la expresión anterior, Da = 9.4 cm En consecuencia, el espesor de aislante requerido es 2.2 cm 2.3. Radio crítico En apariencia, agregar material aislante a un cilindro o tubo siempre reduce las pérdidas de calor que experimenta. Sin embargo, al analizar de manera detallada la ecuación 2.22 se observa que el efecto del material aislante sobre la transferen- cia de calor en el cilindro es doble. Dicho de otro modo, añadir material aislante de baja conductividad térmica a un cilindro incrementa la resistencia a la conduc- ción, pero también el área convectiva de transferencia de calor, con lo cual se re- http://gratislibrospdf.com/
  • 52. 38 2. Conducción unidimensional en estado estable duce la resistencia exterior de la película. Con este doble efecto en mente, a con- tinuación se analizan las consecuencias sobre la transferencia de calor al variar el radio exterior del aislante. Si se supone que la temperatura en la superficie exterior del cilindro desnudo es en esencia igual a la temperatura del fluido en el interior, o que h 1 y kl tienen valores relativamente altos, (2.23) Diferenciando esta expresión con respecto a Ra e igualando a cero se obtiene _ _ ka Ra - Rcrítico - ~ (2.24) donde Rcrítico se denomina radio crítico de aislamiento. La expresión anterior in- dica que en Ra = Rcrftico el flujo de calor es máximo o la resistencia térmica al flu- jo de calor es mínima. La diferencia Rcrítico - R 2 recibe el nombre de espesor crítico de aislamiento, ya que el flujo de calor se incrementa al añadir material aislante cuando R 2 es me- nor que Rcrítico En la figura 2.9 se muestra en forma esquemática la variación de las resistencias de conducción y convección en un cilindro. Para un aislante típico (k "" 0.03 W/m°C) en condiciones de convección natu- ral (h "" 1O W/m 20 C) se obtiene que Rcrítico "" 0.003 m = 3 mm. A primera vista es- te resultado podría indicar que el radio crítico de aislamiento no tiene relevancia en las aplicaciones ingenieriles por su valor tan pequeño -para los valores aquí asignados de ka y h3 Sin embargo, este resultado es muy importante en el análisis y diseño de conductores eléctricos, pues la disipación de calor aumenta al añadir un aislante a un alambre que transporta cierta corriente eléctrica. Por otra parte, si el radio crítico de aislamiento, Rcrítico, es de menor magnitud que R 2 , cualquier cantidad de aislante disminuirá las pérdidas de calor. Este hecho es de suma rele- vancia en tuberías que transportan agua caliente o helada y donde se desea dismi- nuir la transferencia de calor desde o hacia la tubería en un cilindro. Ejemplo 2.6. Considérese una resistencia eléctrica de grafito de 1 W, 2 Mn, 2 mm de diáme- tro y 3 cm de longitud. Se desea aislar eléctricamente la resistencia con micanita (k = 0.1 W/mK). Se supone que 40% del calor generado se disipa por convec- ción al medio ambiente, cuya temperatura es de 40 oC, y el resto se conduce por las terminales de la resistencia hacia otros componentes del circuito. http://gratislibrospdf.com/
  • 53. 2.3. Radio crítico 39 Resistencia térmica Resistencia total I Resistencia de convección Espesorcrítico de aislamiento Figura 2.9. Variación de las resistencias de conducción y convección en un tubo. Calcule el espesor de aislante eléctrico necesario para tener una disipación de calor máxima, así como la temperatura en el interior del aislante. Solución Con la ecuación 2.24, Rcrítico = ka = 0.1 =0.0067 m =6.7 mm ~ 15 En consecuencia, el espesor de aislante es igual 6.7 - 1 = 5.7 mm. Por otra parte, -40+( In6.70 + 1 ) 2n(0.1)(0.03) 2n(0.0067)(0.03)(15) = 40 + 0.4 (100.91 + 52.79) Por otra parte, si la resistencia no se aislara, q 0.4 T. = T. + = 4 O+ =181.47 oC 2 2~ 2nR2 L~ 2n(0.001)(0.03)(15) Ejemplo 2.7. Un alambre de cobre (k = 401 W/m°C) de 2 mm de diámetro y 10 m de longitud está forrado con una cubierta de plástico (k = 0.15 W/m°C) de 1 mm de espe- sor. Algunas mediciones eléctricas indican que una corriente eléctrica directa http://gratislibrospdf.com/
  • 54. 40 2. Conducción unidimensional en estado estable de lOA causa una caída de voltaje igual a 8 V. Todo el conductor está expues- to al aire ambiente cuya temperatura es de 30 oC a través de un coeficiente de transferencia de calor igual a 18 W/m2K. a) Determine la temperatura de la interfase entre el alambre y el plástico. b) Si se duplica el espesor de la cubierta de plástico, indique si la temperatu- ra en la interfase aumenta, disminuye o pelmanece constante. Solución a) El calor que disipa el conductor puede calcularse con la expresión q = VI = (8)(10) = 80 W Por otra parte, T2 -30 T2 30 - _ T2 - 30 80=--I-n(~4- /2~)~-----1---- 0.0l35 + 0.44 0.52 - -------,----+ - ----,----- 2n(0 .15)(10) 18n(0.004)(19) Por tanto, T2 = 71.25 oC b) El radio crítico de aislamiento es Rcrítico = 0.15 = 0.00833 m = 8.33 mm 18 En consecuencia, al duplicar el espesor de la cubierta de plástico disminuye la temperatura. 2.4. Esfera El análisis de esferas es de gran trascendencia por las aplicaciones que éstas tienen en distintos procesos, como el caso de recipientes esféricos para almacenar flui- dos a bajas temperaturas. Considérese una esfera hueca de radio interior R 1, radio exterior R2 y cuya conductividad télmica es constante. Supóngase que las tempe- raturas en sus superficies interior y exterior son TI y T2 , respectivamente. Después de seleccionar un cascarón esférico de espesor I1r dentro del material y hacer un balance de energía se obtiene q"(4n r 2 )1 - r q"(4n r 2 )1 r+Ór =O (2.25) http://gratislibrospdf.com/
  • 55. 2.4. Esfera 41 Al dividir entre 4n~r y hacer que ~r tienda a cero se obtiene, por el teorema del valor medio, Integrando esta expresión con respecto al radio se tiene que o "_ el q-z (2.26) r donde el es una constante de integración. Si introducimos la ley de Fourier de conducción de calor, dT el dr =- kr 2 (2.27) Al integrar de nuevo con respecto al radio tenemos e T=_l +e2 (2.28) kr Las constantes de integración el y e2pueden obtenerse a través de las condicio- nes de frontera siguientes: T= TI en r = Rl y Si sustituimos estas condiciones en la ecuación 2.28, y http://gratislibrospdf.com/
  • 56. 42 2. Conducción unidimensional en estado estable Por tanto, T = T2 _ R¡ (T¡ - 12 ) (1 _R2 ) (2.29) R2 - R¡ r El flujo de calor transferido a través del cascarón puede calcularse con la ley de Fourier. Como es constante, q = -k( 4nr 2 ) dT = -k( 4nr2 )(_ C~) dr kr (2.30) Si comparamos esta ecuación con la ley de Ohm vemos que la resistencia térmica a la conducción está dada por la expresión R = R2 -R¡ (2. 31) I 4nkR¡R2 Obsérvese que en el límite, cuando R2 tiende a infinito, la ecuación 2.30 se trans- forma en Con esta expresión puede calcularse el calor por conducción que disipa o absorbe una pequeña partícula esférica o gota de líquido dentro de un fluido estático. Así, si comparamos esta expresión con la ley de Newton de enfriamiento se obtiene que, para estas condiciones en particular, o hD =2.0 k donde D = 2R¡. El análisis de una esfera construida con distintos materiales en contacto direc- to y con resistencias de película puede hacerse con facilidad mediante un circuito http://gratislibrospdf.com/
  • 57. 2.4. Esfera 43 ténnico. En la figura 2.10 se muestra un esquema que ilustra el caso de una esfe- ra cubierta con material aislante y dos resistencias de convección. En tales cir- cunstancias, (2.32) A semejanza del radio crítico que se calculó para el cilindro, el radio crítico en una esfera resulta ser el doble, es decir, (2.33) Ejemplo 2.8. La superficie interior de una bomba calorimétrica en forma de esfera está ex- puesta a un flujo de calor q" s resultante de una reacción química exoténnica. Los radios interior y exterior del calorímetro son R¡ y R2> respectivamente. El coeficiente exterior de transferencia de calor es h, la conductividad ténnica del material es k y la temperatura ambiente es TOO a) Determine la temperatura en la superficie interior del calorímetro. b) Calcule la temperatura en la superficie exterior. ¿Es posible disminuir esa temperatura sin alterar q" s R ¡, R2 , k o Too? Figura 2.10. Esfera cubierta con material aislante. http://gratislibrospdf.com/
  • 58. 44 2. Conducción unidimensional en estado estable Solución a) Mediante un balance de energía en el material del calorímetro se obtiene que, según la ecuación 2.28, Ahora las constantes e ¡ y e2 pueden determinarse con las condiciones de fron- tera apropiadas para el problema. En este caso, -k dT = q" en r = R¡ dr s y Sustituyendo estas condiciones de frontera en la distribución de temperatura se obtiene e¡ = qs ¡ "R2 y e2 = q;Ri (~-l)+T kR hR 00 2 2 Por tanto, T=Too +~+~ ---1 "R kr 2 "R (hR ) kR 2 k (a) 2 2 La temperatura en la superficie interior puede calcularse ahora sustituyendo r =R ¡ en la expresión anterior, es decir, T. =T + q;R¡ + q;R~ (~-1) ¡ 00 k kR2 hR2 b) La temperatura en la superficie exterior puede calcularse sustituyendo r = R2 en la ecuación (a), esto es, T 2 =T00 + q;(!l)2 h R 2 http://gratislibrospdf.com/
  • 59. 2.5. Placa con generación unifonne de calor 45 La expresión anterior ratifica que el calor liberado por la reacción exotérmica debe disiparse por convección hacia los alrededores, esto es, De la expresión para la temperatura en la superficie exterior se observa que és- ta puede disminuirse incrementando el coeficiente de transferencia de calor h. 2.5. Placa con generación uniforme de calor Hay una gran variedad de problemas en los que existe generación de calor: calen- tadores de resistencia, conductores eléctricos, ánodos, cátodos, elementos com- bustibles en reactores nucleares, etcétera. Imagine ahora una placa de espesor 2L en la que OCUlTe una generación uni- forme y constante de calor por unidad de volumen q, W/m 3 , como se muestra en la figura 2.11. Supóngase que la placa se halla expuesta por ambos lados a un flui- do cuya temperatura es T= y el coeficiente de transferencia de calor por ambos lados es h. Para determinar la distribución de la temperatura en la placa, considérese un volumen de control de dimensiones L1xL1y& dentro del material. Un mero balance de energía indica que (2.34) Al dividir esta expresión entre L1xL1y& y hacer que L1x tienda a cero se obtiene, por el teorema del valor medio, d " ~=q" (2.35) dx Integrando esta expresión con respecto a la distancia x, q" = qx + el donde el es una constante de integración. Si introducimos la ley de Fourier de conducción de calor, dT 111 _~ _ _l e (2.36) dx k k http://gratislibrospdf.com/
  • 60. 46 2. Conducción unidimensional en estado estable h Too x Figura 2.11. Placa con generación de calor. Al integrar de nuevo, y suponiendo que la conductividad ténnica del material es constante, (2.37) Las constantes de integración el y e2 pueden evaluarse con dos condiciones de frontera. Dada la simetría del problema, el flujo de calor es igual a cero en el pla- no central de la placa, esto es, dT =0 en x= O dx De manera análoga, el calor transfelido por conducción es igual al de convección en la interfase sólido-fluido, esto es, dT -k dx =h(T-Too ) en x=L Con estas dos condiciones de frontera se obtiene el =0 y "L "L2 e2 =T 00 +-q- h +-q- 2k http://gratislibrospdf.com/
  • 61. 2.5. Placa con generación unifonne de calor 47 En consecuencia, T= T +_q_+CL __ [ 1- ( ~ ~ "L h "/3 2k L )2] (2.38) La expresión anterior permite calcular la temperatura en cualquier posición x de la placa. Por tanto, la temperatura en las superficies de ésta puede calcularse con fa- cilidad al sustituir x = L en la expresión anterior. Así, q"L ~up =T~ + - h- (2.39) Obsérvese que la ecuación indica que todo el calor generado se disipa por convec- ción hacia el fluido. Como la temperatura máxima ocurre en el centro de la placa, puede calcu- larse sustituyendo x = O en la ecuación 2.38, es decir, _ q"/3 Tmáx - ~up +2k (2.40) La distribución de la temperatura dada por la ecuación 2.38 puede normalizarse si se define una temperatura y una distancia adimensionales como * T- ~up T = ----;,.....,-"- q" /3 /2k y x x =- L Con estas variables el perfil de temperatura queda expresado como (2.41 ) T* = 1-x*2 Ejemplo 2.9. Una placa de espesor L separa dos fluidos cuyas temperaturas son Tl~ y T2~, respectivamente. Se desea eliminar por completo las pérdidas de calor del flui- do que tiene mayor temperatura, es decir, Tl~, mediante una generación de ca- lor q" en la placa. Determine la generación de calor necesaria. Solución Aun cuando las pérdidas de calor pueden disminuirse agregando aislante térmi- co a una o a las dos superficies de la placa, no pueden eliminarse en su totali- http://gratislibrospdf.com/
  • 62. 48 2. Conducci6n unidimensional en estado estable dad. Por otra parte, como se muestra en la figura E.2.9, las pérdidas de calor pueden eliminarse en absoluto mediante una generación de calor apropiada; por ejemplo, una coniente eléctrica. De acuerdo con la ecuación 2.38, la cual supo- ne que el flujo de calor es igual a cero en x = 0, _ _ q"L q"L2 Tmáx - T¡oo - T200 + - - + - - h 2K Por tanto, q" C a) En caso de emplear una corriente eléctrica, .2 l Re q I! = - LA donde Re se refiere a la resistencia eléctrica. Así, . l= ff - " Re q - y q" puede sustituirse con la ecuación Ca). T, _ ----r~ L h Figura E.2.9. http://gratislibrospdf.com/
  • 63. 2.6. Cilindro con generación uniforme de calor 49 2.6. Cilindro con generación uniforme de calor Considérese ahora un cilindro sólido de radio R, con una generación uniforme de calor q/", como se muestra en la figura 2.12. Supóngase que la conductividad tér- mica del material es constante y que la longitud del cilindro es muy grande con respecto a su radio, de manera que la transferencia de calor se lleva a cabo sólo en la dirección radial. Un balance de energía en un volumen de control en forma de arandela de espesor !1r y altura Llz indica que q"2nrLlz I r - q"2nrLlz I r + 6..r + q"/2nr!1rLlz =O (2.42) Al dividir la ecuación entre 2n!1rLlz y hacer que !1r tienda a cero se obtiene ~ (rq/l) = q" r (2.43) dr Integrando esta expresión con respecto al radio, /1 q"r el q =- +- (2.44) 2 r donde el es una constante de integración. Puesto que el flujo de calor debe ser una cantidad finita en todo el cilindro, incluido r = O, de la ecuación 2.44 se despren- de que el debe ser igual a cero. Así, /1 q " r q =- (2.44a) 2 Si sustituimos la ley de Fourier en la expresión anterior se obtiene dT = _ q"r (2.45) dr 2k Al integrar de nuevo esta expresión, q" r 2 T=---+e2 (2.46) 4k La constante de integración e2 puede evaluarse a partir de un balance de energía en la superficie, es decir, http://gratislibrospdf.com/
  • 64. 50 2. Conducción unidimensional en estado estable T~ R ~r Figura 2.12. Cilindro sólido con generación unifonne de calor. Con esta expresión se obtiene e2 =T. 00 +2hR +4kR -- -- q q 111 111 2 Por tanto, T=T. 00 q"R q1llR2 (r)2] 2h 4k [ R +- - +- - 1- - (2.47) Del mismo modo, T = T.sup + -q- - 1- (!..- IIIR2[ 4k R )2] (2.47a ) donde Tsup es la temperatura en la superficie del cilindro. Esta distribución de la temperatura puede normalizarse al definir las variables " T- :Z;up T =-----;~- qlll R2/2k y * r r =R http://gratislibrospdf.com/
  • 65. 2.6. Cilindro con generación uniforme de calor 51 Así, la ecuación 2.47a se transforma en ,. , (2.48) Nótese que la expresión anterior es en esencia igual a la distribución adimensio- nal de temperatura para una placa con generación de calor, excepto por el coefi- ciente (1/2) en la ecuación 2.48. En la figura 2.13 se muestra un esquema de la dis- tribución adimensional de la temperatura en una placa plana y en un cilindro con generación uniforme de calor. Determine una expresión para calcular la diferencia entre la temperatura máxi- ma y la temperatura ambiente como función de la corriente eléctrica en un con- ductor de cobre calibre 14 (1.626 mm de diámetro). Supóngase que la resistivi- dad eléctrica del cobre es de 1.73 x 10-8 nm, la conductividad térmica de 380 W/mK y el coeficiente de transferencia de calor igual a 10 W/m 20 C. Solución Según la ecuación 2.47, pero donde Pe es la resistividad eléctrica, nm, y Re la resistencia eléctrica, n. T 1.0 Placa Cilindro 0.5 o-;------------~-- 1.0 x*, r" o Figura 2.13. Distribución adimensional de la temperatura en una placa plana y en un ci- lindro con generación uniforme de calor. http://gratislibrospdf.com/
  • 66. S2 2. Conducción unidimensional en estado estable Con estas expresiones se obtiene 2 Tmáx - T~ = !1T = i 2Pe2 ( 1 + - 2k) 4n- R k hR Sustituyendo valores !1T = 0.163 i2 En la figura E.2.1O se presenta en forma cualitativa la variación de !1T como función de i. tlT 36.68 oC r---~ 15 A Figura E.2.10. Ejemplo 2.11. Supóngase que el conductor desnudo del ejemplo anterior se aísla con hule (k = 0.15 W/m°C). a) Calcule el espesor cótico de aislamiento. b) Para las mismas condiciones ambientales, y suponiendo que se emplean 2 mm de aislante, determine una nueva expresión para calcular la diferen- cia entre la temperatura máxima y la temperatura ambiente como función de la corriente eléctrica. Solución a) Según la ecuación 2.24, ka 0.15 00 R crírico = - = - - = . 15m = 15mm h:3 10 http://gratislibrospdf.com/
  • 67. 2. 6. Cilindro en generación uniforme de calor 53 b) Por otra parte, donde ·2 Pe T 12 = Tmáx - l 2 4n R2 k 2 y Ra se refiere al radio exterior del conductor aislado, R2 es el radio exterior del conductor desnudo y h) el coeficiente de transferencia de calor. Ordenando la expresión anterior, Sustituyendo valores se obtiene !1T= 0.058 P Obsérvese que el incremento de temperatura es menor que cuando el conductor se encontraba desnudo. En este caso, Ra < R crítico !::J.T 13.05 oC 1 - - - - -7 15 A Figura E.2.ll. http://gratislibrospdf.com/
  • 68. 54 2. Conducción unidimensional en estado estable 2.7. Superficies extendidas El uso de superficies extendidas es de especial importancia en aplicaciones donde se desea incrementar el flujo de calor y no se di pone del área suficiente, o porque el coeficiente de transferencia de calor es relativamente bajo. Para ilustrar esto, considérese la superficie vertical de un dispositivo electrónico que mide 0.1 m por 0.1 m, el cual se encuentra a 50 oC y se localiza en aire ambiente a 25 oc. Supón- gase que el coeficiente de transferencia de calor es igual a 10 W/m20 C. La mera aplicación de la ley de Newton del enfriamiento indica que esta superficie puede disipar por convección q = hA~T= (10)(0.1 X 0.1)(50 - 25) = 2.5 W ¿ Qué podría hacerse para incrementar la transferencia de calor por un factor de 10, es decir, a 25 W? Hay varias posibilidades para incrementar el flujo de calor disi- pado por convección: aumentar la diferencia de temperaturas entre la superficie y el fluido; incrementar el coeficiente de transferencia de calor, o aumentar el área. Quizá ninguna de estas tres opciones sea factible. Esto es, la temperatura de la su- perficie no puede incrementarse por las condiciones de operación del dispositivo electrónico; el coeficiente de transferencia de calor tal vez podría incrementarse mediante un abanico pero no es práctico, y la superficie no puede cambiarse de ta- maño (0.1 x 0.1 m) por condiciones de diseño. Sin embargo, utilizar superficies extendidas o aletas de enfriamiento como la que se muestra en la figura 2.14 pue- de hacer que el área de transferencia de calor y, en consecuencia, el calor disipa- do se incrementen de manera significativa. Estas superficies pueden ser parte in- tegral del material de la base o pueden adherirse a ella. En la figura 2.14 se muestra el esquema de una superficie extendida de sección transversal rectangular constante, la cual está adherida a otra superficie cuya tem- peratura es To. En esta aleta de enfriamiento horizontal el aire debe circular por las . x Figura 2.14. Supetficie extendida de sección transversal rectangular constante. http://gratislibrospdf.com/
  • 69. 2.7. Superficies extendidas 55 superficies superior e inferior. Por otra parte, si la aplicación disipa calor por con- vección natural, el aire debe también circular por las dos superficies de área L por W, por lo que la superficie extendida que se ilustra en la figura 2.14 debe girarse 90 grados. Las superficies extendidas tienen varias aplicaciones. Cabe mencionar su uso en los radiadores de automóvil, en el enfriamiento de equipo eléctrico o electróni- co, en motores de combustión interna enfriados por aire, en intercambiadores de calor líquido a gas, etcétera. Antes de discutir cualquier geometría concreta, se desarrollará una ecuación general que permita establecer la distribución de la temperatura en una superficie extendida. 2.7.1. Ecuación general para una superficie extendida Se tiene una superficie extendida cuya sección transversal es variable, como se muestra en la figura 2.15. Supóngase que el espesor de la aleta es muy pequeño, de manera que el gradiente de temperatura en la dirección transversal no es signi- ficativo, así que la conducción sólo es relevante en la dirección x. Digamos ade- más que la conductividad térmica del material y el coeficiente de transferencia de calor son constantes. Mediante un balance de energía en el sistema de la figura 2.15 tenemos que q"AI x - q"AI x+ Ax - hPtu(T - T~) =O (2.49) donde A(x) es el área transversal al flujo de calor por conducción y P(x) el perí- metro de la superficie extendida por donde se disipa calor por convección. Dividiendo la expresión anterior entre tu y por el teorema del valor medio, cuando tu tiende a cero, se obtiene - ~(q"A)-hP(T-T~)=O o q" : + Ad:; + hP(T - T~ ) = O (2.50) Si introducimos la ley de Fourier de conducción de calor y suponemos que la con- ductividad térmica es constante, dT dA d2T -k---kA-+hP(T-T )=0 d.x dx dx2 ~ http://gratislibrospdf.com/
  • 70. 56 2. Conducción unidimensional en estado estable Figura 2.15. Superficie extendida de sección transversal variable. Reacomodando la expresión, (2.51) La ecuación anterior es una expresión general para determinar la distribución de la temperatura en una superficie extendida en la que no hay generación interna de calor ni radiación. En esta expresión tanto el área A como el perímetro P suelen ser funciones de la variable independiente x. Las condiciones de frontera necesa- rias para evaluar de una manera única el perfil de temperatura dependen de las con- diciones físicas del problema. Normalmente deben especificarse los valores de las condiciones de frontera en dos puntos, a menos que se conozcan la temperatura y su gradiente. 2.7.2. Superficies extendidas de sección transversal constante Imagine una superficie extendida como la de la figura 2.14. En estas circunstan- cias y definiendo la diferencia de temperaturas () =T - Too, la ecuación 2.51 se sim- plifica a (2 .52) La solución general de la ecuación diferencial anterior es de la forma () = C l cosh mx + C2 senh mx (2.53) http://gratislibrospdf.com/
  • 71. 2.7. Superficies extendidas 57 donde, por conveniencia, En el caso de una superficie extendida de sección transversal rectangular de di- mensiones W por t como la que se muestra en la figura 2.14 y t « W, el paráme- tro m2 adquiere un valor aproximado de 2h/kt. De forma similar, cuando la sección transversal sea circular de radio R , el parámetro m2 adquiere un valor de 2h/kR. Puesto que la temperatura en la base de la superficie extendida es igual a la temperatura To de la superficie a la que está adherida -suponiendo desde luego que la resistencia de contacto es igual a cero- , una de las condiciones de fronte- ra puede escribirse como T = To o e= eo en x =O (2.54) La otra condición de frontera puede establecerse suponiendo que las pérdidas de calor por la superficie libre de la aleta o superficie extendida son despreciables, o que el extremo libre se encuentra aislado, esto es, dT =0 o de =0 en x =L (2.55) dx dx Al sustituir las condiciones de frontera 2.54 y 2.55 en la solución general 2.53 tenemos y C2 = -ea tanh mL En consecuencia, e = eo cosh mx - eo tanh mL senh mx Reacomodando la expresión, e coshm( L -x) (2.56) eo coshmL http://gratislibrospdf.com/
  • 72. 58 2. Conducción unidimensional en estado estable Si recurrimos a las variables originales, T-Too _ coshm(L-x) _ cosh[mL(l-x/ L)] (2.57) coshmL coshmL En la figura 2.16 se muestra la variación de la temperatura adimensional (T - Too)/(To - Too) a través de la superficie extendida como función de la distancia adimensional x/L para diferentes valores del parámetro mL. Obsérvese que la temperatura en el extremo libre de la superficie extendida difiere de la temperatura ambiente y se aproxima a ella para valores muy grandes de mL, esto es, cuando h o L son relativamente grandes o cuando k o t (o R) son relativamente pequeños. Nótese que la ecuación 2.57 también es válida para una superficie extendida de longitud 2L, empotrada entre dos superficies cuyas tempe- raturas son iguales aTo. El flujo de calor disipado a través de la superficie extendida puede calcularse después que se ha determinado la distribución de la temperatura. Como el calor entra en la base de la aleta por conducción para luego disiparse por convección, dTI q = -kA- r L = JI hP(T - Too )dx (2.58) dx x =o o Al emplear el concepto de derivada, - I dT =-meTo - Too) tanhmL dx x= o - - - - - - - - - - - - - _1- _ O 1 x/L Figura 2.16. Variación de temperatura a través de una superficie extendida de sección transversal constante. http://gratislibrospdf.com/
  • 73. 2.7. Superficies extendidas 59 Si utilizamos la ecuación 2.58 y reordenamos, q = -JhPkA(To - T=) tanhmL (2.59) En ciertas circunstancias el calor que disipa el extremo libre de la aleta o superfi- cie extendida no es insignificante y, en consecuencia, no todo el calor conducido a través de la base se disipa por la superficie convectiva comprendida entre x = O Yx = L. En esas circunstancias la ecuación 2.59 puede modificarse ligeramente pa- ra que tome en cuenta las posibles pérdidas de calor por el extremo libre, agregan- do a la longitud física L un incremento de longitud M = t/2. Es decir, con una lon- gitud conegida Le = L + t/2 en la ecuación 2.59. Por tanto, (2.60) Sin embargo, cabe señalar que la desviación en el flujo de calor calculado con la ecuación 2.60 en vez de la 2.59 es menor de 7.6%, siempre que el parámetro ht/k adquiera un valor menor a 0.5. Por otra parte, dada un área de perfil Ap = Lt en una aleta de sección transver- / sal rectangular, la dimensión óptima del espesor t puede determinarse como se muestra a continuación. En términos del área de perfil Ap , el calor disipado puede establecerse mediante la ecuación 2.59 como q = -J2hkt(To - T=)tanh( Ap~t-3/2 J Derivando esta expresión con respecto al espesor t e igualando a cero se obtiene 3~sech2~ = tanh~ donde ~ = Ap~ t- 3/ 2 . Puesto que 2 tanh~ = senh2~ sech2~ se tiene que 1 ~ = -senh2~ 6 Al resolver esta última relación se obtiene http://gratislibrospdf.com/
  • 74. 60 2. Conducción unidimensional en estado estable Por consiguiente, el espesor óptimo t de la superficie extendida de área de perfil Ap es" t=0 .79P ~ 2hA2 T (2.61) I" en consecuencia, L= 1.262 ~ kAp 21t (2.62)l , Ejemplo 2.12. Imagínese una superficie extendida de sección transversal rectangular con las. dimensiones siguientes: altura, 3.5 cm; profundidad, 3.0 cm, y espesor, 0.2 cm. Si la aleta es de aluminio (k = 205 W /m°C), el coeficiente promedio de trans- ferencia de calor es igual a 600 W/m 2 K, la temperatura en la base es de 135 oC y la del aire ambiente de 40 oC, calcule el calor disipado por la aleta. Solución." Según la ecuación 2.59, q = .) hPkA (Tú - Too ) tanh mL ¡I <! donde "I P = 2W = (2)(0.03) = 0.06 m A = Wt = (0.03)(0.002) = 6 x 10-5 m2 1 m = [2hkt = (2)(600) = 54.lOm- 1 f kt (205)(0.002) L = 0.035 m Sustituyendo valores se obtiene q = ~( 600)(0.06)(205)( 6 x 10-5 )(135 - 40)tanh[ (54.10)(0.035)] q = 60.41 W Obsérvese que el área de la base que ocupa la superficie extendida (2 mm x 30 mm) sólo disiparía (600)(60 x 10-6)(135 - 40) = 3.42 W si no se tuviera la aleta. http://gratislibrospdf.com/
  • 75. 2. 7. Superficies exterufidas 61 Figura 2.17. Aleta circular. 2.7.3. Aletas circulares Considérese ahora una aleta circular como la que se muestra en la figura 2.17, donde el espesor t de la aleta es relativamente pequeño, de manera que la transfe- rencia de calor por conducción se produce sólo en la dirección radial. Mediante la e ecuación 2.51 y definiendo la diferencia de temperaturas = T - Too se obtiene (2.63) donde A = 2nrt y P = (2 )(2nr) = 4nr Sustituyendo estas expresiones para el área A( r) y el perímetro P( r) en la ecuación 2.63 , o (2.64) donde 2h kt http://gratislibrospdf.com/
  • 76. 62 2. Coruiucción unidimensional en estado estable 14..----------,.....-. 12 10 8 2 3 4 5 Figura 2.18. Funciones de Bessel. La ecuación diferencial 2.64 necesita dos condiciones de frontera para detenninar de manera única el perfil de temperatura en la aleta. Como se mostró con anterio- ridad, T= To o 8= 80 en r=R¡ (2.65) De manera similar, dT =0 o d8 =0 en r=R2 (2.66) dr dr La solución general de la ecuación de Bessel modificada (ecuación 2.64) es de la fonna (2.67) donde lo se conoce como función de Bessel modificada de primera clase y de or- den cero, y Ko como la función de Bessel modificada de segunda clase y de orden cero. La fonna de estas funciones se ilustra en la figura 2.18; en la tabla 2.1 se muestran algunos valores. http://gratislibrospdf.com/
  • 77. 2.7. Superficies extendidas 63 Las constantes Cl y C2 pueden determinarse mediante las condiciones de frontera 2.65 y 2.66. Con la primera de ellas, (2.68) Tabla 2.1. Valores selectos de funciones de Bessel. x Io(x) I¡(x) 2/¡¡; Ko(x) 2/¡¡; K¡(x) 0.0 1.0000 0.0000 Infinito Infinito 0.2 1.0100 0.1005 1.116 3.040 0.4 1.0404 0.2040 0.7095 0.8294 0.6 1.0920 0.1337 0.4950 0.8294 0.8 1.1665 0.4329 0.3599 0.5486 1.0 1.2661 0.5652 0.2680 0.3832 1.2 1.3937 0.7147 0.2028 0.2767 1.4 1.5534 0.8861 0.15512 0.2043 1.6 1.7500 1.0848 0.11966 0.15319 1.8 1.9869 1.3172 0.09290 0.11626 2.0 2.2796 1.5906 0.07251 0.08904 2.2 2.6291 1.9141 0.05683 0.06869 2.4 3.0493 2.2981 0.04470 0.05330 2.6 3.5533 2.7554 0.03527 0.04156 2.8 4.1573 3.3011 0.02790 0.03254 3.0 4.8808 3.9534 0.02212 0.02556 3.2 5.7472 4.7343 0.017568 0.02014 3.4 6.7848 5.6701 0.013979 0.015915 3.6 8.0277 6.7927 0.011141 0.012602 3.8 9.5169 8.1404 0.028891* 0.029999* 4.0 11.3019 9.7595 0.027105 0.027947 4.2 13.4425 11.7056 0.025684 0.026327 4.4 16.0104 14.0462 0.024551 0.025044 4.6 19.0926 16.8626 0.023648 0.024027 4.8 22.7937 20.2528 0.022927 0.023218 5.0 27.2399 24.3356 0.022350 0.022575 5.2 32.5836 29.2543 0.021888 0.022062 5.4 39.0088 35.1821 0.021518 0.021653 5.6 46.7376 42.3283 0.021221 0.021326 5.8 56.0381 50.9462 0.039832 0.021065 6.0 67.2344 61.3419 0.037920 0.038556 http://gratislibrospdf.com/
  • 78. 64 2. Conducción unidimensional en estado estable Tabla 2.1. Valores selectos de funciones de Bessel (continuación). x l o(x) l¡(x) 2/n Ko(x) 2/n K¡ (x) 6.2 80.72 73.89 0.036382 0.036879 6.4 96.98 89.03 0.035156 0.035534 6.6 116.54 107.30 0.034151 0.034455 6.8 140.14 129.38 0.033350 0.0335 88 7.0 168.6 156.04 0.032704 0.032891 7.2 202.9 188.3 0.032184 0.032331 7.4 244.3 227.2 0.031765 0.031880 7.6 294.3 274.2 0.031426 0.031517 7.8 354.7 331.1 0.031153 0.031225 8.0 427 .6 399.9 0.049325 0.049891 8.2 515 .6 483 .0 0.047543 0.047991 8.4 621.9 583 .7 0.046104 0.04645 8 8.6 750.5 705.4 0.044941 0.045220 8.8 905.8 852.7 0.044000 0.044221 9.0 1093.6 1030.9 0.043239 0.043415 9.2 1320.7 1246.7 0.042324 0.042763 9.4 1595.3 1507.9 0.042126 0.042236 9.6 1927.0 1824.0 0.0417226 0.041810 9.8 2329.0 2207.0 0.0413962 0.041466 10.0 0.0411319 0.041187 *A partir de este punto en las columnas para Ko(x) Y K ,(x), el primer entero indica el número de ceros; por ejem- plo, 0.02889 1 = 0.00889 1. Para aplicar la condición de frontera 2.66 debe diferenciarse primero la ecua- ción 2.67. Puesto que dlo(x) = I¡(x) dx y se obtiene que http://gratislibrospdf.com/
  • 79. 2.7. Superficies extendidas 65 En consecuencia, (2.69) Las ecuaciones 2.68 y 2.69 deben resolverse ahora en forma simultánea pa- ra determinar las constantes Cl y C2 . Ambas pueden solucionarse con facilidad reescribiéndolas como 10(mR¡)C¡ + Ko (mR¡)C2 = 80 (2.70) 1¡(mR2)C¡ - K¡(mR 2)C2 = O (2.71) Al resolver las expresiones 2.70 y 2.71 se obtiene y Sustituyendo estas constantes en la ecuación 2.68 se obtiene el perfil de tempera- tura como ~ _ K¡(mR2)/o(mr) + I¡ (mR2)Ko (mr) (2.72) 80 lo (mR¡ )K¡ (mR2 ) + I¡ (mR2 )Ko (mR¡) El calor que disipa la aleta puede determinarse mediante la ley de Fourier de con- ducción de calor y la ecuación 2.72 para el perfil de temperatura; es decir, q = -k(2nR¡t)- d8 ] dr RI ~( q = 2nR¡ I 2nkt To - T= )[ 1¡(mR2)K¡(mR¡) - 1¡(mR¡)K¡(mR2 ) 1 (2.73) 10(mR¡)K¡ (mR2 ) + I¡ (mR2)Ko(mR¡) 2.7.4. Aletas rectangulares de perfil triangular Como segundo ejemplo de superficies extendidas con sección transversal variable, considérese ahora una aleta de perfil triangular cuyas dimensiones se muestran en la figura 2.19. Este tipo de aleta disipa más calor por unidad de peso que la de sección transversal constante. En este caso, como se observa en la figura, es más conve- niente colocar el origen de la coordenada x en el extremo libre de la aleta. La dis- http://gratislibrospdf.com/
  • 80. 66 2. Conducción unidimensional en estado estable Figura 2.19. Aleta de perfil triangular. tribución de temperatura puede obtenerse utilizando de nuevo la expresión gene- ral de la ecuación 2.51 definiendo e = T - T=" Esto es, (2.74) Si analizamos la geometría de la aleta, vemos que el área A(x) de conducción de calor está dada por la expresión De manera semejante, si se supone que el espesor es muy pequeño en compara- ción con el ancho de la aleta, P:=2W Al sustituir estas relaciones en la ecuación diferencial 2.74 se obtiene (2.75) donde 2 2h m =- kt Puede demostrarse que la solución general de esta ecuación diferencial es de la forma (2.76) Se deja al lector esta demostración. Puesto que la función de Bessel modificada de . segunda clase y de orden cero Ka tiende a infinito cuando su argumento tiende a http://gratislibrospdf.com/
  • 81. 2.7. Superficies extendidas 67 cero, la constante e2 debe ser idénticamente igual a cero, ya que la temperatura debe ser finita en toda la aleta, incluido x = O. Por tanto, Debido a que en la base de la aleta (x = L) la temperatura es igual aTo, ~ _ lo (2mxlf2 ) (2.77) eo - I o(2mL1/ 2 ) El calor que se disipa puede evaluarse una vez que se ha determinado el perfil de temperatura. Mediante la ley de Fourier y la ecuación 2.77, (2.78) Las geometrías que se han explicado hasta ahora son sólo algunos ejemplos de la variedad de formas que pueden tener las superficies extendidas. Otros tipos de for- mas geométricas se presentan en algunos de los libros que se citan al final del ca- pítulo. La selección de una forma particular por parte del ingeniero no sólo requiere un análisis detallado de la transferencia de calor, sino también la evaluación del costo, espacio disponible, factibilidad de manufactura, materiales, etcétera. 2.7.5. Eficiencia de las aletas Cabe recordar que la resistencia térmica a la convección en una superficie de área A disipando calor hacia un fluido es igual a llhA. Sin embargo, al agregar una su- perficie extendida no sólo se incrementa la superficie de transferencia de calor, si- no que también introduce una resistencia a su conducción mediante el material que se aumentó. Para evaluar el comportamiento de una superficie extendida es necesa- rio tener en cuenta la caída inherente de temperatura a lo largo de la aleta, puesto que no toda la superficie se encuentra a la temperatura de la base y, por consiguien- te, no toda tiene la misma capacidad de transferencia de calor por convección. Para realizar esta evaluación se define la eficiencia de una aleta como el co- ciente del calor disipado en realidad, sobre el calor que la misma aleta podría di- sipar si toda su superficie estuviera a la temperatura de la base; esto es, ry= - q- qmáx (2.79) http://gratislibrospdf.com/
  • 82. 68 2. Conducción unidimensional en estado estable.. ,ti En el caso particular de una aleta de sección transversal constante como la de la figura 2.14, donde las pérdidas de calor por el extremo libre son despreciables, (2.59) y (2.80) Sustituyendo las ecuaciones 2.59 y 2.80 en la 2.79 se tiene que tanhmL 77 = - - - (2.81) mL Debe observarse que la eficiencia de la aleta alcanza su valor máximo en el caso tri- vial en que su longitud es igual a cero, es decir, cuando no existe; o, en general, cuando mL es igual a cero. En las figuras 2.20 y 2.21 se muestra la variación de la efi- ciencia de una aleta para varias geometrías. Con estas gráficas puede calcul~se fácil- mente el calor que se disipa una vez que se conoce la configuración geométrica., Otras gráficas para determinar la eficiencia de aletas con geometrías distintas se•,.~ muestran con detalle en Ozisik (1993) . 1.0 0.9 0.8 0.7;1 ¡::- 0.6 "r 0 ~ 0.5.1 0.~I~I tu 0.4 0.3 0.2 0.1 o o 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 L.J2fifki Figura 2.20. Eficiencia de aletas para varias geometrías. (Fuente: M. N. Ozisik, Heat Transfer: A Basic Approach, McGraw-Hill, Nueva York, 1985.) http://gratislibrospdf.com/
  • 83. Problemas 69 1.0 0.9 0.8 0.7 ¡::- 0.6 ro (3 e 0.5 Q) (3 Lñ 0.4 0.3 0.2 0.1 O O 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 L.-./2fiikt Figura 2.21. Eficiencia de una aleta circular. (Fuente: M. N. Ozisik, Heat Transfer: A Ba- sic Approach, McGraw-Hill, Nueva York, 1985.) Problemas 1. Imagine dos varillas muy largas y muy delgadas del mismo diámetro y ex- puestas al mismo medio ambiente. Ambas están adheridas por uno de sus extre- mos a una superficie metálica muy caliente. Una es de una aleación de aluminio (k = 177 W/mK) y la otra de un material desconocido. Se sabe que la varilla de aleación de aluminio, a 40 cm de su base, registra una temperatura igual a la del material desconocido a 20 cm de su base. Determine la conductividad térmica del material desconocido. T Aluminio 40 cm T Material desconocido 20 cm Figura P.2.l. http://gratislibrospdf.com/
  • 84. 70 2. Conducción unidimensional en estado estable 2. Una pared de concreto (k = 1 W/mK) de 10 cm de espesor tiene sus respecti- vas superficies a 80 y 20 oc. Calcule el flujo de calor por unidad de área a tra- vés de la pared. Respuesta: 600 W/m2 3. Por el interior de una tubería de acero (k = 40 W/m°C), cuyos diámetros exte- rior e interior son de 2.667 cm y 2.093 cm, respectivamente, fluye vapor de agua húmedo a una presión de 2 bar y con un título de 0.98. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie interior por donde pasa el vapor es igual a 600 W/m20 C. Si el coeficiente de transferencia de calor por el lado ex- terior es igual a 10 W/m2 °C y la temperatura del aire ambiente exterior es igual a 25 oC, calcule las pérdidas de calor por unidad de longitud cuando, a) El tubo se encuentra desnudo. b) Se aísla con 3 cm de asbesto (k = 0.15 W/m°C). 4. Calcule el espesor óptimo de aislamiento en un alambre núm. 10 (0.259 cm de diámetro) si éste se cubre con hule. Supóngase que el coeficiente de transfe- rencia de calor es igual a 15 W/m2°C y que la conductividad térmica del hule es de 0.15 W/moC.,l. Respuesta: 0.871 cmlII 5. Se desea mantener a 5 oC el interior de un refrigerador cuyas dimensiones eni: la base son de 45 x 45 cm y la altura de 1.2 m. Las paredes del refrigerador están constituidas por dos láminas de acero, de 0.318 cm de espesor con 5 cm de aislante de fibra de vidrio. Los coeficientes interior y exterior son, respec- tivamente, 10 W/m 2 °C y 15 W/m2 °C. Si la temperatura ambiente en la cocina" es de 30 oC, estime el flujo de calor que debe extraerse para mantener las con- diciones especificadas. 6. Una barra delgada de longitud L tiene sus extremos conectados a dos paredes cuyas temperaturas son TI y T2 , respectivamente. La barra disipa calor por con-,." vección hacia un fluido cuya temperatura es Too- Si el área de sección transver-"11 sal de la barra es A, el perímetro P y el coeficiente de transferencia de calor h, a) Determine la distribución de temperatura en la barra. b) Calcule el calor disipado. 7. Una barra de hierro (k = 57 W/m°C) de 1 cm de diámetro y 20 cm de longi- tud está sujeta en uno de sus extremos a una superficie cuya temperatura es de 120 oc. La barra se encuentra expuesta al aire ambiente cuya temperatura es de 25 oC y el coeficiente de transferencia de calor es igual a 9 W/m20 C. http://gratislibrospdf.com/
  • 85. Problemas 71 a) Calcule el calor que disipa la barra. b) Determine la temperatura en el extremo libre. 8. Demuestre que la distribución de la temperatura y el calor disipado por una superficie extendida de sección transversal constante cuya longitud L es muy grande, es decir, L -7 00, pueden determinarse mediante las relaciones: y donde m = ~: 9. Una aleta circular cuyo espesor es de 2 mm tiene 10 cm de radio exterior y 6 cm de interior. El material de la aleta tiene una conductividad térmica de 45 W/m°C. La temperatura en la base es igual a 200 oC, el fluido que la rodea se encuentra a 50 oC y el coeficiente promedio de transferencia de calor es igual a 50 W/m2 °C. Calcule el calor disipado por la aleta. 10. Determine la temperatura en el extremo libre de una aleta rectangular de per- fil triangular como la que se muestra en la figura 2.19. 11. Considérese una aleta cónica de sección transversal circular cuyo radio en la base es R y longitud L, de tal manera que R « L. Si la base se mantiene a una temperatura To, la conductividad térmica del material es k, la temperatura del fluido que la rodea es Too Y el coeficiente de transferencia de calor es h, a) Determine el perfil de temperatura, colocando el eje x en el extremo libre. b) Calcule el calor disipado. e) Determine la temperatura en el extremo puntiforme. ~ _ L12/ 1( 2mx 12 ) / / Respuestas: a) 80 - x 1/2/1 (2mL1/2 ) 2 2hL donde m = - - kR b) http://gratislibrospdf.com/
  • 86. 72 2. Conducción unidimensional en estado estable e) 12. Determine la eficiencia de la aleta del problema 11. 13. Considérese una superficie extendida como la de la figura 2.14. Si disipa calor por convección por el extremo libre con un coeficiente de trans- ferencia de calor he calcule la distribución de temperatura a través de la su- perficie extendida y el calor disipado. T - T~ _ coshm{L - x) + (he/ mk)senhm{L - x) Respuesta: To - T~ coshmL + (he / mk)senhmL _ ~( )[ senhmL + (he / mk)coshmL ] q - " hPkA To - T ~ coshmL + (he / mL)senhmL donde m = ~: 14. Una placa de teflón (k = 0.35 W /m°C) de 1 cm de espesor y 1 m2 de área de sección transversal (fig. P.2.14) se expone a un flujo de calor igual a 500 W1m2 mediante una lámina muy delgada adherida a la placa y que transporta una co- rriente eléctrica. Esta lámina tiene aislada una de sus superficies para evitar pérdidas de calor. La otra superficie se mantiene a 100 oc. Calcule la tempe- ratura de la superficie de la placa de teflón donde está adherida la lámina. 100 oC Aislante Placa de tellón Figura P.2.14. 15. Se tiene un tubo de acero (k = 60.7 W /mK) de 48 mm de diámetro exterior y 34 mm de interior que transporta un refrigerante. La temperatura en la pared interior del tubo es de - 15 oc. Se desea que la ganancia de calor que tiene el refrigerante a través del tubo desnudo se reduzca en 25 % forrando la tubería con un material cuya conductividad térmica es de 0.74 W/mK. La temperatu- http://gratislibrospdf.com/
  • 87. Problemas 73 ra del aire ambiente que rodea la tubería es de 21°C y el coeficiente exterior de transferencia de calor es de 20 W /m2K. a) Calcule el espesor de material aislante requerido. b) ¿Qué sugeriría para que el espesor del aislante fuera más pequeño? r?Xm m ~/mm - 15 oC -~ "., 21 °C Aislante Figura P.2.15. 16. Con relación al problema 2.15, un ingeniero de proyecto propone emplear un espesor de aislante igual a 13 mm para reducir en 25% la ganancia de calor con respecto al tubo desnudo. ¿Está de acuerdo con la sugerencia? Si no, ¿qué razón daría al ingeniero para hacerle ver su error (si en efecto es un error)? 17. El vapor húmedo a 40 oC y 10% de humedad que se descarga por una turbina de vapor entra en un condensador constituido por tubos de cobre (k = 401 W/m°C), cuyo diámetro exterior es de 15.3 mm e interior de 10.2 mm. El agua que pa- sa por dentro de los tubos tiene una temperatura promedio de 25 oC. El calor la- tente de vaporización del agua a 40 oC es igual a 2406.7 kJ/kg. Los coeficien- tes de transferencia de calor son 18500 W/m2K por el lado del vapor y 1200 W/m2K por el del agua. Determine la longitud de tubo que se requiere para condensar 200 kg/h de vapor hasta líquido saturado. 18. En la información de una placa de fibra de vidrio (k = 0.036 W/mK) se dice que R = 2 m2°C/W. ¿Qué espesor tiene la placa de aislante? 19. Dos tubos de hierro vaciado de 3 m de longitud cada uno, 10 cm de diámetro exterior y 0.4 cm de espesor en sus paredes (k = 52 W/m°C) se unen con dos bridas del mismo material que tienen un espesor de 1 cm cada una y un diá- metro exterior de 20 cm (fig. P.2.19). La tubería transporta vapor a una tem- peratura promedio de 300 oC con un coeficiente de transferencia de calor de 180 W/m2 K. La superficie exterior del tubo está expuesta al aire ambiente, cu- ya temperatura es pe 20 oC y coeficiente de transferencia de calor de 25 W/m2K. a) Desprecie las bridas y determine la temperatura en la superficie exterior de los tubos. , b) Con este valor de temperatura, calcule el calor que se disipa a través de las bridas. http://gratislibrospdf.com/
  • 88. 74 2. Conducción unidimensional en estado estable e) ¿A qué longitud de tubo, en metros, equivale el calor que disipan las bri- das? ¿Es significativo este valor con relación a la longitud total de 6 m? Figura P.2.19. 20. Imagínese un dispositivo electrónico que disipa 15 W de calor de manera uni- forme. Para enfriar este equipo se piensa adherir 20 superficies extendidas de aluminio (k = 237 W/m°C) de 2 cm de largo, 0.2 de espesor y 15 de profun- didad o ancho (fig. P.2.20) en la dirección del flujo de aire que se hará circu- lar. La superficie del dispositivo donde se instalarán las superficies extendidas mide 10 cm de altura por 15 de ancho. La temperatura del aire ambiente que rodea al equipo es de 37 oC y se estima que el coeficiente de transferencia de calor es de 45 W/m20 C. a) Calcule la temperatura del dispositivo electrónico sin superficies extendidas. b) Determine la temperatura del dispositivo electrónico con las superficies ex- tendidas. 7/ 15cm Gi 10cm --...L --¡- O.2cm l:cm~ Figura P.2.20. 21. Considérese un tubo de hierro de 2 pulg de diámetro nominal NPS (De = 60.33 mm, Di = 52.50 mm) que transporta agua fría a 5 oC. Las condiciones del aire ambiente que rodea la tubería son: temperatura de bulbo seco de 35 oC y humedad relativa de 50%. El coeficiente interior de transferencia de calor se estima en 950 W/m20 C. La conductividad térmica del tubo es de 52 W/moC. Para evitar la posible condensación del agua del aire ambiente - si es que http://gratislibrospdf.com/
  • 89. Problemas 75 hay- se pretende aislar la tubería con neopreno (k = 0.04 W/m°C). Uno de los ingenieros de proyecto sugiere emplear 1 pulg de espesor. a) Indique si ocurre o no condensación de agua en el exterior del tubo desnudo. b) De presentarse la condensación, indique si el espesor de aislante propuesto es adecuado. Respuestas: a) Sí ocurre, puesto que T sup = 5.6 oc < Tpunto de rocío b) T sup . aisl. = 33.1 oC 22. Considérese la adhesión de una película de material totalmente transparente a una lámina de 1 mm de espesor, como se muestra en la figura P.2.22. El pro- ceso requiere aplicar un flujo de radiación tal que la superficie entre ambos materiales sea de 60 oc. Para las condiciones mostradas en la figura, calcule el flujo de calor q" que deben absorber los dos materiales. h = 50W/m 2K k = 0.025 W/mK q ~20 ~ k=0.5W/mK ----> 1:: 0.25 mm l mm T = 30 C superficie Figura P.2.22. Respuesta: q" = 16 333.33 W/m 2 23. Piense en la pared de una casa formada por 20 cm de ladrillo común (k = 0.72 W/mK) y 5 cm de poliuretano (k = 0.023 W/mK) por la parte exterior. La tem- peratura ambiente en el exterior es de 35 oC (h = 22 W/m 2 K) y en el interior de 25 oC (h = 6 W/m 2 K). La superficie exterior de la pared recibe un flujo ne- to de radiación igual a 400 W/m2 . a) Calcule la temperatura en la superficie exterior de la pared. b) Estime el flujo de calor por unidad de área que penetra en el interior de la casa. e) Calcule la temperatura en la superficie de la pared que da hacia el interior de la casa. d) Dibuje un esquema del perfil de temperatura. Respuestas: a) 52.71 oC b) 10.57 W/m 2 e) 26.76 oC http://gratislibrospdf.com/
  • 90. 76 2. Conducción unidimensional en estado estable 24. ¿Cuánto aislante de fibra de vidrio (k = 0.04 W/mK) se requiere poner en el hor- no de una estufa para garantizar que la superficie exterior no alcance los 50 OC?." La temperatura máxima del horno es de 300 oC, y la temperatura ambiente en la cocina fluctúa entre 15 y 35 oc. Supóngase que los coeficientes de la pe- lícula son de 10 W/m2 °C pór ambos lados y que el aislante está cubierto por dos láminas de acero porcelanizado de 1.25 mm de espesor (k = 54 W/m°C). Respuesta: 6.3 cm 25. Considérese una pared como la de la figura P.2.25. Las superficies exteriores están expuestas a un fluido de 25 oC de temperatura y un coeficiente de trans- ferencia de calor de 100 W/m20 C. La placa interna B experimenta una gene- ración uniforme de calor qB" mientras que las placas A y e no presentan ge- 1 , neración. Las temperaturas en las interfases son T¡ = 260 oC y T2 = 210 oc. a) Trace el esquema de la distribución de temperatura en la pared. b) Calcule la generación de calor qB" 1 en la placa B.," ~ kA = 25W/mKil· k a = 15W/mK A B e kc =50W/mK 25 o 100 W/m2°C c, 60 mm l 1 .¡. 1 30 mm 20mmI tl Figura P.2.25.flll 26. Se colocan dos barras del mismo tamaño entre dos superficies cuyas tempera-., turas son de 100 oc. El aire ambiente que las rodea está a 25 oc. Se sabe que1"~fII una de las barras es de un material cuya conductividad térmica es del iD 43 W/moC, y que registra una temperatura de 49 oC en el punto medio de las dos superficies. Si la otra barra registra una temperatura de 75 oC en el mis- mo punto, ¿cuál es su conductividad térmica? 27. El rotor de una turbina de gas tiene en una sección dada 54 álabes de acero inoxidable AISI 302 (k = 15 W/mK). Los álabes tienen una longitud de 6 cm, un área de sección transversal de 4 X 10-4 m2 y un perímetro de 0.1 m. En esa sección los gases de combustión tienen una temperatura de 900 oC, y la tem- peratura en la base de los álabes es de 500 oc. El coeficiente de transferencia http://gratislibrospdf.com/
  • 91. Bibliografía 77 de calor se estima en 440 W/m 2 °C. Calcule el calor que se transmite al siste- ma de enfriamiento del rotor a través de los álabes. Respuesta: 11 098 W 28. El vidrio trasero de un automóvil puede desempañarse adhiriendo una pelícu- la transparente muy delgada que conduzca corriente eléctrica. Supóngase un cristal de 4 mm de espesor (k = 1.4 W /m°C) donde la temperatura ambiente es de - 10 oC y el coeficiente de transferencia de calor es de 65 W/m 2K. En el in- terior del vehículo la temperatura ambiente es de 25 oC y el coeficiente inte- rior de transferencia de calor es de 10 W/m 2K. a) ¿Qué potencia eléctrica por unidad de área (W/m 2) debe aplicarse a la pe- lícula para mantener la superficie interior del cristal a 15 OC? b) ¿ Qué temperatura tendría la superficie interior del cristal si no se aplica co- rriente eléctrica? Respuestas: a) 1270.48 W/m 2 b) -4.6 oC 1 Corriente eléctrica Temperatura en la superficie interior del cristal = 15 oC h=65W/m2 K h = 10W/ m2 K Figura P.2.28. Bibliografía Kays, William M. yA. L. London, Compact Heat Exchangers, McGraw-Hill, Nueva York, 3a. ed., 1984. Mills, Anthony F., Heat Transfer, Irwin, 1992. Ozisik, M. N., Heat Transfer: A Basic Approach, McGraw-Hill, Nueva York, 1985. - -, Heat Conduction, John Wiley & Sons, Nueva York, 2a. ed., 1993. http://gratislibrospdf.com/
  • 92. http://gratislibrospdf.com/
  • 93. 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones _ _ _ __ Todo el oro del mundo no significa nada. Lo que perdura son las buenas acciones que hacemos para nuestros semejantes. ADOLFO PRIETO Existe una gran variedad de problemas de conducción en estado estable donde la transferencia de calor se lleva a cabo en más de una dimensión. Tal es el caso de gasoducto s u oleoductos cuyas líneas de transmisión están enterradas, en superfi- cies extendidas de espesor considerable, en la intersección de paredes de hornos y chimeneas, etc. En todos esos casos la temperatura depende de más de una coor- denada. Hay en general varias técnicas o métodos para resolver un problema de con- ducción en estado estable donde la temperatura es función de dos y hasta de tres coordenadas. Normalmente estos métodos se clasifican, de acuerdo con su natu- raleza, en analíticos, numéricos, gráficos y analógicos. De esta clasificación, los métodos numéricos son los de más amplia aplicación cuando se tienen geometrías o condiciones de frontera irregulares, y ello gracias a los sorprendentes progresos en la computación. En este capítulo se describen esos métodos y se presta especial atención a los problemas en los que la conducción de calor se realiza en dos dimensiones, es decir, evitaremos las complejidades inherentes e innecesarias a que dan lugar los casos tridi- mensionales. Sin embargo, la metodología que se presenta puede extenderse a éstos.3.1 . Método analítico El método analítico para resolver problemas de conducción de calor en dos y tres dimensiones se limita en la práctica a geometrías relativamente sencillas y es, en esencia, igual al descrito ántes con relación a la transferencia de calor en una sola dimensión. Empero, la temperatura en tales circunstancias depende de más de una variable independiente, por lo que la distribución de ésta ahora se especifica con 79 http://gratislibrospdf.com/
  • 94. 80 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones una ecuación diferencial parcial y sus condiciones de frontera. Aquélla y éstas constituyen el modelo matemático para predecir la distribución de la temperatura en el material, así como los diferentes flujos de calor en el sistema. Para desarrollar esta ecuación considérese un volumen de control de dimen- siones Llx, Lly Y .& dentro de un material como se muestra en el esquema de la figura 3.1. Puesto que la temperatura puede variar en las tres direcciones, deben tenerse en cuenta todos los posibles flujos de calor mediante un balance de ener- gía. En estas condiciones, "1 q" xLly.&1 X q" xLly.&1 X + tu + q" y&.&1 y - q" y&.&1 y + Ily + ~i¡ - + q" zLlxLlyl z - q" zLlx.&1z + Ilz + q" Llx Lly.& =O (3.1) Al dividir entre Llx, Lly Y.& y hacer que Llx, Lly Y.& tiendan a cero, se obtiene, por el teorema del valor medio, a" a" a" - ~ - ~ - ~ + q" = O (3.2) ax ay az, . " Con la ley de Fourier de conducción de calor se tiene que q~= - kaTlax, q; = - kaT/dy, y q" z = -kaTlaz, y si se supone que la generación de calor q" y la con- ductividad térmica del material son constantes,tl1¡ie (3.3) La anterior se denomina ecuación de Poisson, la cual, en caso de que la generación interna de calor q" sea igual a cero, se reduce a la ecuación de Laplace; es decir, 6z Figura 3.1. Volumen de control. http://gratislibrospdf.com/
  • 95. 3.1. Método analítico 81 (3.4) Esta ecuación, con sus seis condiciones de frontera, constituye el modelo matemá- tico para determinar la distribución de temperatura T(x, y, z) en un sistema sin ge- neración interna de calor. Para ilustrar la aplicación del método analítico, considérese una barra de sec- ción transversal rectangular como la del esquema de la figura 3.2, donde se desea obtener una solución para la distribución de temperatura T(x, y). Las condiciones de frontera, isotérmicas en este caso, se especifican en la misma figura. Para obtener la solución analítica, defínase por conveniencia una temperatura adimensional como (3.5) Por tanto, el modelo matemático queda definido por la ecuación diferencial (3.6) y sus condiciones de frontera 8(O, y) = O (3.7) y x T 1 Iif--- E - W - --- -71)1 Figura 3.2. Sección transversal de una barra. http://gratislibrospdf.com/
  • 96. 82 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones 8(w, y) =o (3 .8) 8(x, O) =O (3.9) y 8(x, L) =1 (3.10) Obsérvese que la definición de 8 ha dado como resultado que tres de las condiciones de frontera sean homogéneas. Aun cuando la solución analítica de este conjunto de ecuaciones (de la 3.6 a la 3.10) puede obtenerse por medio de varias técnicas matemáticas, aquí se empleará el método de separación de variables por su amplio uso no sólo en el área de transferencia de calor. Esta separación de vari- ables se logra si suponemos que la solución 8(x, y) puede expresarse como el pro- ducto de dos funciones X(x) y Y(y), cada una de las cuales depende solamente de una variable independiente. Dicho con otras palabras, supóngase una solución de la forma 8(x, y) = X(x)Y(y) (3.11) Al diferenciar y sustituir esta expresión en la ecuación 3.6 se obtiene 1 d 2X 2 (3.12) X dX2 - - Y-dy- En virtud de que cada miembro de la expresión puede variarse independiente- mente, la igualdad sólo será válida para todos los valores de x y de y si ambos" miembros son equivalentes a la misma constante; por ejemplo, a 2 (al cuadrado porjli conveniencia), con lo que ahora se tienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Una de ellas es (3.13) Si la constante a 2 es positiva, la solución general de la ecuación 3.13 es de la forma X(x) = C¡cosh ax + C2senh ax Aplicando las condiciones de frontera se obtiene que C I = C2 = O, por lo que la constante a 2 no puede ser mayor que cero. http://gratislibrospdf.com/
  • 97. 3.1. Método analítico 83 Considérese ahora el caso en que la constante a 2 sea igual a cero. Entonces la solución general de la ecuación 3.13 es de la forma X(x) = C ¡x + C2 Al aplicar de nuevo las condiciones de frontera se obtiene que C¡ = C2 = 0, por lo que la constante a 2 no puede ser igual a cero y se concluye entonces que debe ser negativa. Para simplificar el análisis, supóngase ahora que a 2 = _ A,2 < O. La solu- ción general de la ecuación diferencial es x = CICOSA,X + C2 senA,x Aplicando las condiciones de frontera se obtiene CI = ° y, como C2senA,w debe ser cero, 1 1. = nn., n = 123, ... " (3.14) w Con lo anterior se determina un conjunto infinito de valores discretos de A, para los que la ecuación 3.13 ofrece solución. Esos valores (3.14) se conocen como valores característicos del problema y las funciones nn Xn(x) = C2 sen-x; n = 1,2,3, ... (3.15) w como las correspondientes funciones características. Una vez determinada la secuencia de valores de A, y de las funciones Xn(x) , ahora pueden determinarse las correspondientes funciones Yn(y). Recurriendo a las ecuaciones 3.12 y 3.9, (3 .16) Puede observarse con facilidad que las soluciones de la ecuación 3.16 deben ser de la forma nn nn Yn( y ) = C3 cosh - y + C4 senh - y; n = 1,2,3, ... w w http://gratislibrospdf.com/
  • 98. 84 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones Puesto que Y(O) = 0, se obtiene que C3 = 0, es decir,"¡ Como se desconocen las constantes C2 y C4 pueden sustituirse por otra constante, Cs, al multiplicar las funciones X por y, es decir (3.17)1. Es evidente que la ecuación 3.17 no satisface la condición de frontera no homogé- nea, 3.10. Sin embargo, ahora intentaremos representar la solución ecomo una se- rie infinita de las funciones en> puesto que la suma de soluciones también es una solu- ción de acuerdD con el principio de superposición; esto es, e(x,y) = ~ n1CX nny ~Cssen-senh- (3.18) n=l W W donde los coeficientes Cs pueden determinarse de tal modo que 8(x, L) = 1, es decir, ~ nnL n1CX 1= ~Cssenh-- sen -- (3.19) n=l W W Si ahora se defineill nnL bn = Cs senh - - W el problema es determinar b¡, b2 , ... , de manera que..111111 1 = ~ n1CX 1= ~bnsen-- n=l W Al aplicar las series de Fourier puede demostrarse que 2 fW n1CX bn = - (l)sen - dx W W o http://gratislibrospdf.com/
  • 99. 3.1. Método analítico 85 Integrando 2 bn = - (- cosnn +l) nn n = 1,2,3, ... (3.20) En consecuencia, 1 e5 - -2 -----------,;- - nn (- lr+ + 1 hnnL (3.21) sen - - w La solución analítica final para la distribución bidimensional de la temperatura en la barra es, por consiguiente, nny T - T. 2 ~ (_I)n+l + 1 n1lX senh - _ _ = _ "" 1 sen - w (3 .22) T2 - T1 n k.J . nnL 1 n=1 n W senh - - W La temperatura en cualquier punto (xo, Yo) de la barra ahora puede determinarse mediante la ecuación 3.22. En forma similar, mediante una diferenciación apropia- da pueden obtenerse los componentes q"x Y q" y del flujo de calor en cualquier punto del sistema. De lo anterior se desprende que por la complejidad de las soluciones analíti- cas y sus problemas de convergencia inherentes, el método analítico está limitado a geometrías y condiciones de frontera relativamente simples. No obstante, cuan- do es posible obtener las soluciones analíticas, resultan muy útiles como situa- ciones límite para verificar los resultados de otros tipos de soluciones, como las numéricas. Cabe señalar también que la separación de variables puede extenderse a problemas de conducción en tres dimensiones. Ejemplo 3.1. Considérese una barra de sección transversal cuadrada como la que se muestra en el esquema de la figura E.3.1. Debe determinarse la temperatura en el pun- to x = 0.15 m, Y = 0.3 m. lE-- 0.3 m --?i Figura E.3.t. http://gratislibrospdf.com/
  • 100. 86 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones Solución I Según la ecuación 3.22,d i 8(0.150.3) = -2 [2 , nI 2 23252 n 2 3n -sen- + - sen - + - sen - + .. . 5n ] 8(0.15,0.3) = -2 ( 2 - - + - - ... ) = 1.1039 2 2 n 3 5li:! En consecuencia, T = 110.39 oC."1/ Obsérvese que la respuesta correcta debe ser 100 oc. Evidentemente, el número de términos considerados en este ejemplo es muy bajo y la serie está lejos de alcanzar convergencia. Considerando hasta n = 25 se obtiene una temperatura de 102.44 oC. Ejemplo 3.2. Calcule el flujo de calor por unidad de profundidad que se transfiere a través de la cara derecha de la barra mostrada en la figura 3.2.~¡ Solución¡¡~¡ Mediante la ley de Fourier de conducción de calor, y aplicando la ecuación 3.22,li se obtiene,. nnL) = rL _kdT l = 2k(T._T)~(-lr+l + l(_I)n cosh(-;- q Jo ax x =w d y n 1 2 ~ n=! n (nnL)- 1 senh -;-",1 3.2. Diferencias finitas"1~I Como se dijo antes, varios problemas complejos de conducción no son suscepti- bles de una solución analítica. Sin embargo, el uso cada vez más generalizado de computadoras ha dado como resultado que los métodos de diferencias finitas sean muy importantes para resolver este tipo de problemas. Contrario a la formulación analítica, en el análisis de diferencias finitas se considera que el sistema en estudio está compuesto por elementos de volumen muy pequeño pero finitos. Es decir, los componentes finitos empleados para obtener el modelo matemático son una aproximación de los elementos diferen- http://gratislibrospdf.com/
  • 101. 3.2. Diferencias finitas 87 ciales usados en la formulación analítica. Al hacer el tamaño de estos compo- nentes cada vez más pequeño, disminuye la diferencia en los resultados que se obtienen mediante el modelo de diferencias finitas y el modelo diferencial. En el análisis de conducción bidimensional por diferencias finitas, el principio de con- servación de energía se aplica a un elemento de profundidad unitaria, de ancho i1x y altura ~y . El conjunto de todos estos volúmenes conforma una red como se muestra en la figura 3.3. El centro de cada volumen finito se conoce como nodo y se supone en el análi- sis que su temperatura representa la de todo elemento. Por el momento sólo se con- siderarán los nodos interiores del sistema dejando para después los que se localizan en las fronteras. Un balance de energía en cualquier nodo i, j del sistema indica que la suma de flujos de calor en ese nodo es igual a cero. Si usamos el concepto de resistencia térmica, y con relación a la figura 3.3, se obtiene que, en ausencia de generación de calor, qi-l,} --7 i,} + qi,} + 1 --7 i,} + qi + l,} --7 i,} + qi,} - 1 --7 i,} = O Tl·-T1,). + T)+ - T1,) 1- , ) 1, ¡ . + T¡. - T1, ) + T1, ).- ¡-T. = O 1+ ,) 1, ) (3 .23) i1x ~y i1x ~y k(~y)(l) k(i1x)(l) k(~y)(l) k(i1x)(l) Si i1x = ~y, la ecuación anterior se simplifica a Ti - l,} + Ti , } + 1 + Ti + l,} + Ti,} - 1 - 4T i , } =O (3 .24) puesto que la conductividad térmica es constante. ;!)+1 O O O ;-1, j ;, j ;+1, j O O O ;, j-1 ~y O O O ~x Figura 3.3. Red de análisis de diferencias finitas. http://gratislibrospdf.com/
  • 102. 88 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones Ésta es la ecuación en diferencias finitas para todos los nodos interiores de un sistema con conducción bidimensional en estado estable con conductividad térmi- ca constante y sin generación de calor. Si el sistema en estudio está constituido por n nodos interiores cuyas temperaturas se desconocen, n ecuaciones como la 3.24 especificarán la distribución de la temperatura. Cabe apuntar que la ecuación 3.24 só- lo es válida si Llx = ~y. En algunas geometrías no conviene hacer esta simplifi- cación, por lo que ha de usarse la ecuación general 3.23. Desde luego, la ecuación en diferencias finitas (3.24) también puede obtenerse de manera distinta a partir de la ecuación de Laplace. Si analizamos la figura 3.4, una expresión aproximada para la derivada dT/dX en un punto intermedio entre i, j e i + 1, j es ()TI : : T¡+I ,j - 7;, j dX i+l/2, j Llx De manera similar, la pendiente en un punto intermedio entre i - 1, j e i, j puede escribirse como - dTI _ - T¡,j - T¡-I,j dx i-l/2,j Llx Por tanto, 2 d TI (3.25) dX 2 1, . . ./ Mediante un razonamiento análogo, 2 d TI _ T¡,j+l - 2T¡,j + T¡ ,j-l (3.26) di i, j (~y)2 Al sustituir las ecuaciones 3.25 y 3.26 en la ecuación de Laplace se obtiene T¡+I,j - 2T¡,j + T¡-I,j + T¡,j+l - 2T¡,j + T¡,j-l = O (Llx)2 (~y)2 Puesto que Llx = ~y en la ecuación 3.24, T i - 1,j+ Ti,j+ 1 + T i +l,j + Ti,j-l - 4T i,j = O (3.24) Esta ecuación es exactamente igual a la desarrollada previamente. De lo anterior se concluye que ahora el problema de conducción de calor se ha reducido ala solu- ción de un conjunto de ecuaciones algebraicas, en vez de la ecuación diferencial http://gratislibrospdf.com/
  • 103. 3.2. Diferencias finitas 89 T T.1-1, 1 . T.. 1, 1 T i+1, j i - 1,j i,j i+1,j x Figura 3.4. Perfil de temperatura. parcial. Esas ecuaciones pueden resolverse con distintas técnicas. Por supuesto, las ecuaciones 3.23 o 3.24 deben acompañarse de las condiciones de frontera apropiadas al problema, como se verá más adelante. Para ilustrar la aplicación de la ecuación 3.24 considérese la barra de sección transversal cuadrada de la figura 3.5. En este caso se requieren cuatro ecuaciones para determinar las cuatro temperaturas desconocidas T¡, T2 , T3 Y T4 . Las rela- ciones necesarias para determinarlas pueden obtenerse con la ecuación en dife- rencias finitas 3.24, es decir, Nodo 1: -4T¡ + T2 + T3 + 100 = O (3.25) Nodo 2: TI - 4T2 + T4 + 100 = O (3 .26) Nodo 3: TI - 4T3 + T4 = O (3.27) Nodo 4: T2 + T3 - 4T4 = O (3.28) De la ecuación 3.25 a la 3.28 permiten determinar las cuatro temperaturas desco- nocidas. Al resolver ese sistema de cuatro ecuaciones, TI = 37.5 oC T2 = 37.5 oC o 1 o 2 T 3 4 o o 1 if--- 0. 3 m----1 Figura 3.5. Barra de sección transversal cuadrada. http://gratislibrospdf.com/
  • 104. 90 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones T 3 = 12.5 oC T4 = 12.5 oC Aun cuando en este ejemplo sólo. se consideraron cuatro nodos interiores, puede decirse que el número de nodos y sus correspondientes ecuaciones se incrementan al emplear divisiones más pequeñas, con el resultado de que la solución es cada vez más precisa pero embarazosa. De aquí se desprende la necesidad de contar con técnicas numéricas que permitan agilizar las soluciones. 3.3. Método de relajación Uno de los métodos más prácticos para resolver un conjunto no muy grande de ecuaciones sin tener que recurrir necesariamente a la computadora es el método de relajación. Desde luego, también permite resolver un gran conjunto de ecuaciones, si se dispone de una de estas máquinas. En este procedimiento el miembro derecho de las ecuaciones en diferencias para cada nodo i,j cuya temperatura se desconoce se iguala a algún residuo t¡,j el cual se desea "relajar" a cero. Para ilustrar el mé- todo de relajación piense en las ecuaciones 3.25 a 3.28 del ejemplo anterior (fig. 3.5); se tiene entonces que Nodo 1: -4TI + T 2 + T 3 + 100 = tI (3.29) Nodo 2: TI - 4T2 + T4 + 100 = t2 (3.30) Nodo 3: TI - 4T3 + T4 = t3 (3.31) Nodo 4: T 2 + T 3 - 4T4 = t4 (3.32) Cuando los residuos t b t2 , t3 Y t4 sean todos iguales a cero, las temperaturas Tb Tz, T 3 Y T4 determinarán de manera única la distribución de la temperatura en la barra. El proceso de relajación puede describirse básicamente de la manera siguiente: 1. Se establece un patrón de relajación para cada uno de los nodos cuyas tem- peraturas se desconocen. Este patrón constituye una guía para determinar el efecto que tiene sobre los residuos un cambio en cada una de las temperaturas. Así, al analizar las ecuaciones 3.29 a 3.32 se observa que un cambio en la tem- peratura TI afecta al residuo tI por un múltiplo de -4; en forma simultánea afecta al residuo t2 por un múltiplo de + 1; al residuo t 3, por un múltiplo de + 1, Y no tiene ningún efecto sobre el residuo t4 Por consiguiente, el patrón de rela- jación correspondiente al nodo 1 es el que se muestra enseguida: L1t l L1t2 L1TI = l -4 +1 http://gratislibrospdf.com/
  • 105. 3.3. Método de relajación 91 donde ~ denota un cambio incremental. De modo semejante, para los otros nodos 2, 3 Y 4, respectivamente, los patrones de relajación son: ~tl ~t2 ~t3 ~T2= 1+1 -4 O +1 ~T3 =1 +1 O -4 +1 ~T4 =1 O +1 +1 -4 2. Una vez establecidos los diferentes patrones de relajación, se suponen valores para las temperaturas de los distintos nodos que se constituyen en el sistema. Estos valores iniciales pueden estimarse con base en la experiencia o a partir de la información física que se tiene sobre el problema. Desde luego, cuanto más próximos sean esos valores a la solución que se busca, tanto más expedi- to será el proceso de relajación. Una vez fijados los valores iniciales se calculan los diferentes residuos mediante las ecuaciones del problema (de la 3.29 a la 3.32, en este caso). En la tabla 3.1 se proporcionan (aunque de forma arbi- traria) los valores de temperatura TI = 50 oC, T2 = 50 oC, T3 = 25 oC, y T4 = 25 oc. Los correspondientes residuos obtenidos son tI = -25, t 2 = -25, t 3 =-25 Y t4 = -:25. El hecho de que todos los residuos tengan la misma magnitud en este problema es completamente fortuito. 3. Se relajan a cero o a un valor próximo los residuos más grandes cambiando la temperatura del nodo correspondiente por una cantidad apropiada, de acuerdo con los patrones de relajación. Un valor positivo en el residuo requiere que se incremente la temperatura en el nodo correspondiente para eliminar el residuo y viceversa. A fin de acelerar la convergencia suele ser conveniente "sobrerrelajar" los residuos. Así, un cambio de _6° en la temperatura del nodo 1 en el primer ajuste altera su residuo por +24, dando un nuevo valor de-1. Del mismo modo, el residuo del nodo 2 se reduce en - 6 produciendo un nuevo valor de -31; el nodo 3 afecta también su residuo en -6, resultando así un valor de -31 ; el nodo 4 no afecta su residuo. Tras realizar este ajuste las nuevas temperaturas son TI = 44 oC, T2 = 50 oC, T3 = 25 oC, T4 = 25 oC y sus respectivos residuos son -1, -31 , -31 Y-25 . Puesto que los residuos de mayor magnitud son los correspondientes a los nodos 2 y 3, ahora se procede a rela- jar el del nodo 2 en forma arbitraria. Así, un cambio de _8° en la temperatura del nodo 2 altera su residuo por +32, dando un nuevo valor de + 1. Al mismo tiempo, el residuo del nodo 1 se reduce en -8, produciendo un nuevo valor de - 9; el nodo 4 afecta también su residuo en -8, dando así un valor de -33. El residuo del nodo 3 no se ve afectado. 4. Se continúa el proceso de relajación hasta que todos los residuos sean iguales a cero o tan próximos a este valor como se desee. Si en algún punto del proce- http://gratislibrospdf.com/
  • 106. 92 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones Tabla 3.1. Tabla de relajación para el sistema de la figura 3.5. Nodo 1 2 3 4 Patrón de relajación -4 +1 +1 O +1 -4 O +1 +1 O -4 +1 O +1 +1 -4 . TI ti T2 t2 T3 t3 T4 t4 Estimación inicial, oC 50 -25 50 -25 25 -25 25 -25 Ajuste núm. 1 --6 -1 -31 -31 Ajuste núm. 2 -9 -8 1 -33 Ajuste núm. 3 -7 -39 -8 -1 Aj uste núm. 4 -19 -10 1 -11 Ajuste núm. 5 -5 1 - 12 -4 Ajuste núm. 6 -2 -3 O -14 Ajuste núm. 7 -3 -7 -3 -2 Ajuste núm. 8 -4 -2 1 -4 Ajuste núm. 9 -1 O -4 O Ajuste núm. 10 -5 -1 -1 O Ajuste núm. 11 -1.5 -1.5 1 -1.5 Ajuste núm. 12 -0.5 0.5 0.5 -1.5 Ajuste núm. 13 O -2 -0.5 0.5 Ajuste núm. 14 O -0.5 O O Respuesta: 37.5 O 37.5 O 12.5 O 12.5 O so se descubre un error algebraico se sigue adelante, empleando los residuos correctos determinados por las ecuaciones en diferencias. Ejemplo 3.3. Las superficies interior y exterior de una chimenea cuya sección transversal se muestra en el esquema de la figura E.3.3 se encuentran a 100 y O oC, respecti- vamente. El cociente entre los lados exterior e interior es igual a 2. Determine el patrón de relajación para cada uno de los nodos que se muestran en el esquema. Solución Dada la simetría del problema, sólo es necesario analizar una octava parte de la sección transversal. Las ecuaciones en diferencias para los nodos mostrados modificadas por los residuos son Nodo 1: 2T2 + 100 - 4TI = ti Nodo 2: TI + T 3 + 100 - 4T2 = t2 http://gratislibrospdf.com/
  • 107. 3.4. Condiciones de frontera 93 Nodo 3: T2 + T4 + 100 - 4 T3 = t 3 Nodo 4: 2T3 - 4T4 = t4 En consecuencia, los patrones de relajación para los nodos 1, 2, 3 Y 4 son, respecti vamente, ~tl ~t2 ~t3 ~t4 ~TI = 1 -4 +1 O O ~T2 = 1 +2 -4 +1 O ~T3 = 1 O +1 -4 +2 ~T4 = 1 O O +1 -4 Como ejercicio, el lector puede demostrar que TI = 48.89 oC, T2 = 47.78 oC, T3 = 42.22 oC y T4 = 21.11 oc. Los residuos correspondientes son: t[ = O, t2 = - 0.01, t3 = +0.01 Y t4 = O. Figura E.3.3. 3.4. Condiciones de frontera Hasta ahora se han considerado solamente los nodos interiores del sistema y sus correspondientes ecuaciones en diferencias sin contemplar las condiciones de fron- tera que deben acompañar al conjunto de ecuaciones. Puesto que las temperaturas en los límites del sistema se han supuesto conocidas, las ecuaciones de los nodos in- teriores, junto con esas temperaturas, son suficientes y especifican completamente la distribución de temperatura. Sin embargo, en numerosas aplicaciones las tempe- raturas en las fronteras también se desconocen y deben obtenerse las correspondien- tes ecuaciones en diferencias para esos nodos. Tales expresiones pueden obtenerse mediante balances de energí~ apropiados. Para ilustrar la metodología que se usará para determinar las condiciones de frontera, considérese el nodo i, j localizado sobre una superficie plana que intercambia calor por convección con un medio cuya temperatura es T= y que se muestra en el esquema de la figura 3.6. Con un balance de energía en el nodo i, j se tiene qi - l.} -? i,} + qi,} + 1 -?i,} + qi,} - 1 -? i,} = qconvección http://gratislibrospdf.com/
  • 108. 94 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones I i, j+1 i-1,j O " i, j h, Too ~x ~y i, j-1 ~-- Figura 3.6. Superficie plana que intercambia calor por convección. Recurriendo al concepto de resistencias térmicas se obtiene T¡.-T. l- , J I,J + T.]-T. + TI ,J- ]-T. =h(i1 )(1) ( T . -T ) I,J+ I, J . I, J L1x i1y i1y Y 1J , = k(i1y)(l) k(L1x/ 2)(1) k(L1x/ 2)(1) Puesto que en este caso L1x = i1y, la expresión anterior se simplifica a (3.33) La ecuación 3.33 permite determinar la temperatura de cualquier nodo i, j locali- zado sobre una superficie plana que intercambia calor por convección con un medio. Las temperaturas en los nodos i, j + 1 e i, j - 1 se determinan mediante la aplicación simultánea de la misma ecuación; la temperatura del nodo i - 1, j se determina, a su vez, aplicando la ecuación 3.24 para nodos interiores. Otra forma de exponer este método para obtener las condiciones de frontera estriba en considerar el nodo i, j que se localiza en la esquina formada por la inter- sección de dos superficies planas que intercambian calor por convección con un medio a temperatura T= como se ve en el esquema de la figura 3.7. Con un balan- ce de energía en el nodo i, j mostrado, qi - ], j -7 i, j + qi, j - ] -7 i, j = qconvecci6n http://gratislibrospdf.com/
  • 109. 3.4. Condiciones de frontera 95 j-1 , j j, j ~ ( L.yo j, j-1 "-. L.x ~"-- Figura 3.7. Esquina que intercambia calor por convección. Mediante el concepto de resistencias térmicas, T;-l, j-T;, j + T;, j-l-T;, j =h(Ax)(l)(T . -T )+h(~Y)(l)(T . -T Ax ~Y 2 1, ] = 2 1, ] = k(~y/2)(1) k(Ax/2)(1) Al simplificar la expresión anterior se obtiene que, para Ax = ~Y, 2 hAx T= + (T k 1 .+ T . 1) - (2 hAx + l)T 1- , ] 1, J- k 1, ] =O (3.34) En la tabla 3.2 se muestra un resumen de algunas ecuaciones en diferencias para distintas condiciones de frontera. Tabla 3.2. Ecuaciones en diferencias para distintas condiciones de frontera. a) Esquina interior intercambiando calor por convección. j, j+1 q j-1, j J O j, j .1 1+ , j <;> j, j - 1 h, http://gratislibrospdf.com/
  • 110. 96 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones b) Superficie plana aislada. Aislante O i,j+1 j li-b q i,j e> i,j-1 T1, J+ ¡ + T1, J- ¡+2T ¡ , J· -4T1, J· = 0 . . 1- e) Esquina interior aislada. i,J+1 o i-1,j i,j i+1,j o Aislante i, j-1 Ejemplo 3.4. Determine la ecuación en diferencias para el nodo i, j de la figura E.3.4 a par- tir de principios básicos. Aislante i,j i+1 , j tj-1 Aislante o ~/ l/ Figura E.3.4. http://gratislibrospdf.com/
  • 111. 3.4. Condiciones de frontera 97 Solución Mediante un balance de energía en el nodo i, j se obtiene qi,j - I -t i, j = q ¡,j -t i+l , j 1f, j - I - 1f, j _ 1f, j - 1f+I , j Lly Llx k(Llx/2)(1) k(Lly/2)(1) Puesto que Llx = Lly, 1f, j-I + 1f+I, j T . = ---"-------"-- 1 J , 2 Ejemplo 3.5. Considérese la barra de sección transversal cuadrada que se muestra en la figura E.3.5 . El material tiene una conductividad térmica de 3 W/mK y el coeficiente de transferencia de calor es de 10 W /m 2K. Determine las ecuaciones en diferen- cias para los distintos nodos de la figura. 500 °C 7 8 k---O.3 m ~ Figura E.3.5. Solución Las expresiones para los nodos 1, 2, 4 Y 5 pueden obtenerse mediante la ecuación 3.24. De manera similar, las de los nodos 3, 6, 7 Y 8 se obtienen con la ecuación 3.33. La ecuáción en diferencias correspondiente al nodo 9 se obtiene a partir de la ecuación 3.34. El resultado es: Nodo 1: 600 + T2 + T4 - 4 TI = O Nodo 2: TI + 500 + T3 + Ts - 4T2 = O Nodo 3: 2T2 + T6 + 567 - 4.67T3 = O http://gratislibrospdf.com/
  • 112. 98 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones Nodo 4: 100 + TI + T 5 + T7 - 4 T 4 = O Nodo 5: T 4 + T 2 + T6 + Ts - 4T5 = O Nodo 6: 2T5 + T 3 + T 9 + 67 - 4.67T6 = O Nodo 7: 2T4 + Ts + 167 - 4.67 T7 = O Nodo 8: 2T5 + T7 + T9 + 61 - 4.67Ts = O Nodo 9: T6 + Ts - 67 - 2.67T9 = O Mediante este conjunto de ecuaciones pueden determinarse las temperaturas T¡, T2>"" T9· Con el método de relajación se obtiene la distribución de temperaturas si- guiente: TI = 280.7 oC T2 = 330.3 oC T3 = 309.4 oC T4 = 192.4 oC T5 = 231.1 oC T6 = 217.2 oC T7 = 157.7 oC Ts = 184.7 oC T 9 = 175.6 oC Ejemplo 3.6. Considérese una barra de sección transversal rectangular que mide 2 cm de altu- ra por 3 en la base. El material de la barra tiene una conductividad térmica de 20 W/moC y no hay generación de calor. En la figura E.3.6, donde se muestra la barra, hay cuatro temperaturas CC) con valores desconocidos. Determine su valor. 120 120 100 100 1 2 120 120 3 4 140 140 Aislante Figura E.3.6. http://gratislibrospdf.com/
  • 113. 3.4. Condiciones de frontera 99 Solución Como las temperaturas en los nodos 1 y 2 son iguales, así como las de los nodos 3 y 4, Nodo 1: 240 + T3 - 3TI = O Nodo 3: 140 + 2TI - 3T3 = O Al resolver ambas ecuaciones se obtiene TI = T2 = 122.86 oC T3 = T4 = 128.57 oC Ejemplo 3.7. Se tiene una barra de sección transversal cuadrada que mide 2 cm por lado. Su material tiene una conductividad térmica de 20 W/m°C. En el esquema de la ba- rra hay cuatro temperaturas CC) con valores desconocidos. Determine su valor. Trate de simplificar el problema analizando la geometría antes de resolverlo. k=20W/m oC 50 180 200 / 180 1 2 E u ~ 200 3 4 1 cm Figura E.3.7. Solución Nótese que T2 = T3 = T4 . Así, para el nodo 1, 360 + 2T2 - 4T¡ =O De manera similar, para el nodo 2, Al resolver ambas expresiones se obtiene T¡ = 185 oC y http://gratislibrospdf.com/
  • 114. 100 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones 3.5. Formulación en diferencias finitas para problemas unidimensionales El uso de las ecuaciones en diferencias finitas no se limita a la solución de proble- mas bidimensionales; de hecho, también pueden usarse con gran ventaja en la solución de problemas de conducción en una y tres dimensiones, como se ilustra en el sencillo ejemplo que se presenta a continuación. Ejemplo 3.8. Considérese una placa plana de 4 cm de espesor como la que se muestra en el esquema de la figura E.3.8 . Supóngase que el calor generado en su interior es de 106 W/m 3 . La conductividad térmica del material es de 10 W/mK. Las tem- peraturas en las superficies de la placa se mantienen a 50 y 100 oC, respectiva- mente. Determine la distribución de las temperaturas en la placa. 50 100 oc fE-- 4 cm ----1 Figura E.3.8. Solución Al aplicar la primera ley de la termodinámica a un volumen de control de espe- sor Ax en donde se localiza cualquier nodo (1, 2 o 3) se obtiene T¡- l - T¡ T¡+l - T¡ "AAx - O Ax + Ax +q - kA kA q"(Axf T1- 1 + T1+ 1 - 2T1 + k =O http://gratislibrospdf.com/
  • 115. 3.6. Método gráfico 101 Aplicando esta expresión a los nodos 1, 2 Y 3 tenemos que Nodo 1: T2 - 2TI + 60 = O Nodo 2: TI + T3 - 2T2 + 10 = O Nodo 3: T2 - 2T3 + 110 = O Resolviendo el conjunto de ecuaciones resulta lo siguiente: TI = 77.5 oC T2 = 95.0 oC T3 = 102.5 oC 3.6. Método gráfico En varias circunstancias sólo se requiere calcular la distribución de la temperatu- ra y el flujo de calor en un sistema donde las condiciones de frontera son isotér- micas o adiabáticas. Tal estimación puede incluso ser útil para empezar la solución numérica de un conjunto de ecuaciones en diferencias finitas donde se requiere una solución más precisa. Puesto que el flujo de calor en cualquier punto de un sistema es perpendicular a las líneas isotermas, como se muestra en la figura 3.8, el método gráfico consiste básicamente en construir una red formada por líneas isotermas y líneas de flujo de calor constante que se intersecan en ángulos rectos. El sistema que se muestra en la figura 3.9 con dos superficies isotérmicas y dos adiabáticas sirve para ilustrar esto. El flujo de calor a través del elemento mostrado es Il.T qelemento = - kll.x(l)- Il.y q T - 6. T Figura 3.8. Flujo de calor en un punto. http://gratislibrospdf.com/
  • 116. 102 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones (a) Figura 3.9. Red de isotermas y líneas de calor constante. Este flujo es el mismo a lo largo del dueto formado por las líneas de calor cons- tante en donde se localiza el elemento. Si por construcción Llx = ~y, tal flujo de calor es proporcional a la diferencia de temperatura ~T a través del elemento. Por otra parte, en términos de la diferencia total de temperaturas en el sistema, ~T = Sf¡otal N donde N es el número de incrementos de temperatura entre las superficies isotermas interior y exterior del sistema. Si en la red existen M duetos por donde fluye el calor, M M q = -k~I;otal =- k(T¡ - T2 ) N N La expresión anterior permite calcular el calor total transferido por unidad de pro- fundidad entre las superficies isotermas TI y T2 siempre que se conozca el cociente M/N. Este cociente se denota con la letra S y se conoce como el facto r de forma de conducción. En términos de este parámetro la expresión anterior puede escri- birse como (3 .35) http://gratislibrospdf.com/
  • 117. 3.6. Método gráfico 103 La exactitud del método gráfico depende por completo de la habilidad que se tenga para construir la red formada por las líneas isotermas y las de calor constante, cuidando que se corten en forma perpendicular y que Ax "" Lly. Algunos valores del factor de forma se muestran en la tabla 3.4. Tabla 3.4. Algunos factores de forma. a) Cilindro isotérmico de radio r y longitud L enterrado en un medio semiinfinito. Isoterma s= 2rrL L» r cosh-l(D/ r) s= 2rrL L» r, D > 3r In(2D/ r) b) Esfera de radio r enterrada en un medio semiinfinito. Isoterma T s= 2rrD z>D/2 l-D/4z e) Conducción entre dos cilindros de longitud L enterrados en un medio infinito. d) Cilindro de longitud L y diámetro D centrado en una barra sólida de sección transversal cuadrada. s= 2rrL w > D, L » w In(l.08w/ D) http://gratislibrospdf.com/
  • 118. 104 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones Ejemplo 3.9. Un tubo de 6 cm de diámetro se encuentra enterrado a una profundidad de 30 cm. La conductividad térmica de la tierra puede suponerse de 0.35 W/moC. Si la temperatura en la superficie exterior del tubo es igual a 200 oC y la de la tierra es de 40 oC, determine el. calor disipado por el tubo. Solución En la figura E.3.9 se muestran las diferentes líneas isotermas y de calor cons- tante. De esa figura se obtiene que S=~=2.25 8 En consecuencia, q = kS(T1 - T 2) = (0.35)(2.25)(200 - 40) = 126 W/m 40 oc 1 / / Io cm 60 oc SO oc rt- I-l / r--, 100 oc N 1 / f.-- 120 oc -/.. J fi 7i-. / ~ -:t: ./ /1. ,/ ~ 140 160 200 :g ~ 160 ~ VI V 30 cm :¡::;:L v d=6cm ~ ~ )- 1 - - -- - / ./ " t-... / Ocm P / - ,/ 90 cm Figura E.3.9. 3.7. Método analógico El fenómeno de conducción de calor es análogo al de la conducción eléctrica en un material homogéneo de resistividad constante, por lo que la ecuación de Laplace tam- bién es aplicable. En términos del potencial eléctrico E, la ecuación de Laplace para conducción eléctrica en dos dimensiones puede escribirse como http://gratislibrospdf.com/
  • 119. Problemas 105 (3 .36) Mediante una analogía eléctrica es posible determinar experimentalmente el fac- tor de forma de conducción de calor. Cabe apuntar que existen varios programas comerciales para computadora con los que se resuelven problemas bidimensionales de conducción de calor. Por lo general utilizan la técnica de elementos finitos . Problemas 1. Supóngase que la distribución de temperatura en la superficie superior de la barra mostrada·en la figura 3.2 está dada por la expresión 1CX T(x,L) = Ti + Tmsen- w Determine la distribución de temperatura T(x, y) en el interior de la barra. senh rey W 1CX Respuesta: T = Ti + Tm nL sen- senh - W W 2. Imagínese una placa de espesor 2L, conductividad térmica k, densidad p y ca- lor específico e, la cual es muy grande en la dirección perpendicular al papel. Es extruida por dos rodillos cuya temperatura es To (fig. P.3.2). La placa se desplaza hacia la derecha con una velocidad V. La temperatura del medio que la rodea es de T= El coeficiente de transferencia de calor entre la placa y el ambiente es muy grande. Determine la distribución de la temperatura T(x, y) . 2L -7V Figura P.3.2. http://gratislibrospdf.com/
  • 120. 106 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones T - T. 2 (_l)n =_ L - - 00 -A!X Respuesta: _ _ _ 00_ e s cos AnY 10 - Too L n=O An donde A = (2n+1)n n = 0,1,2, ... n 2L y pcV s=-- k 3. Considérese una superficie extendida de espesor 2L y profundidad muy grande que se halla adherida a una pared vertical cuya temperatura es To (fig. P.3.3). La conductividad térmica del material es k, y el coeficiente de trans- ferencia de calor h. La superficie es muy grande en la dirección x. Determine la distribución de temperatura T(x, y). T O T~ h¡ Y 2L x x~oo JI Figura P.3.3. 4. Un circuito integrado de silicio se inserta en un sustrato dieléctrico como se muestra en el esquema de la figura P.3.4. La superficie superior se enfría de forma convectiva, mientras que las otras tres superficies están aisladas térmi- q" = 107 W/m 3 k c = 50W/moc T E E ~ k s =5W/moC 1 lE 27 mm JI Figura P.3.4. http://gratislibrospdf.com/
  • 121. Problemas 107 camente. Puede suponer que el sistema es muy grande en la dirección per- pendicular al papel. Para las condiciones mostradas en el esquema, a) Determine si la temperatura en el circuito excede el valor máximo permitido de 85 oc. b) ¿Dónde se presenta la temperatura máxima? Se sugiere resolver el proble- ma mediante diferencias finitas con un espaciamiento entre nodos de 3 mm. 5. Un tubo de 20 mm de diámetro exterior que transporta un fluido caliente está inmerso en un sólido cilíndrico cuya conductividad térmica es de 0.5 W/moC, como se muestra en la figura P.3.5. El diámetro exterior del sólido cilíndrico es de 80 mm. La temperatura en la superficie exterior del tubo es de 150 oC, mientras que la de la exterior es de 30 oc. Determine el calor por unidad de longitud que disipa el tubo interior. Se sugiere usar el método gráfico para resolver el problema. 20 mm Figura P.3.5. 6. Considérese el cuadrante de un ducto de radio interior de 10 cm y exterior de 20 cm (fig. P.3.6). Las superficies interior y exterior del ducto se encuentran aisladas térmicamente. La superficie vertical se mantiene a 100 oC, en tanto que la horizontal se mantiene a O oc. Determine el factor de forma y el calor por unidad de profundidad que se conduce en dirección angular. 100 oc + o oC I 1- 10 cm-71 ~20cm~ Figura P.3.6. http://gratislibrospdf.com/
  • 122. 108 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones 7. Se tiene una superficie extendida como la que se ilustra en la figura P.3.7. Demuestre que la ecuación en diferencias finitas para cualquier nodo i es hP(Ax )2 2]T _ hP(Ax )2 T _ (T T) = O [ kA + l kA = 1- 1 + 1+1 ;-1 ;+ 1 k, A, P Figura P.3.7. 8. Piense en una barra de hierro (k = 57 W/mK) de 1.25 cm de diámetro y 30 cm de longitud, la cual se encuentra adherida a una superficie cuya temperatura es de 120 oC (fig. P.3.8). La barra disipa calor hacia el aire ambiente cuya tem- peratura es de 20 oC a través de un coeficiente de transferencia de calor de 9.0 W/m20 C. Puede suponerse que el extremo libre de la barra está esencialmente aislado. a) Determine la distribución de temperatura a través de la barra resolviendo las temperaturas en los nodos mostrados. b) Compare sus respuestas con una solución analítica. 120 oc h = 9W/m2 °C T~ = 20 oc Figura P.3.8. Respuesta: T2 = 91.22 oC T3 = 71.46 oC T4 = 58.20 oC Ts = 49.77 oC T6 = 45.10 oC T7 = 43.61 oC http://gratislibrospdf.com/
  • 123. Problemas 109 9. Considérese una barra de sección transversal cuadrada como la que se mues- tra en la figura P.3.9. La barra es de cobre (k = 401 W/m°C), su generación de calor por unidad de volumen es igual a 8 x 106 W/m 3 y mide 10 cm por lado. Determine la ecuación diferencial y sus condiciones de frontera. h= 10W/m2 K Tambiente;::; 20 oc h= 10W/m 2 K ¡¡ Aislante Tambiente;::; 20 oC ~ y X 10cm h=10W/m 2K Tambiente ::;; 20 oC Figura P.3.9. 10. Escriba los patrones de relajación para las dos siguientes ecuaciones que se obtuvieron de un análisis de diferencias finitas: -4T1 + 2T2 + 360 = O 2T¡ - 3T2 + 200 = O 11. Un ángulo estándar de acero de 5 pulg (k = 42.9 W/m°C) se encuentra adheri- do a una superficie cuya temperatura es de 300 oC (fig. P.3.11). Este ángulo sirve de apoyo a una vigueta de concreto de 4 3/8 pulg. La conductividad tér- mica del concreto puede suponerse de 0.66 W/moC, el coeficiente de transfe- rencia de calor que rodea las superficies de 45 W/m2 °C y la temperatura ambien- te de 25 oc. a) Determine el calor total disipado hacia el aire ambiente. b) Calcule la localización y el valor de la temperatura más baja en la vigueta. 300 oc - ~5pulg~ Figura P.3.11. Respuesta: T mínima"" 31.5 oC http://gratislibrospdf.com/
  • 124. 110 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones 12. Considérese la transferencia de calor bidimensional en un sólido compuesto por dos materiales A y B, como se muestra en la figura P.3.12. Calcule por diferencias finitas el calor por unidad de profundidad que fluye del nodo 1 al 3. La distancia entre nodos es de 0.1 m. T = 294.2 1 oc = 253.9 oc T = 275.1 °C s Figura P.3.12. Respuesta: q = 344.12 W/m 13. Piense en una barra de sección transversal rectangular muy grande en su direc- ción axial. Una de sus superficies está aislada térmicamente, otra recibe un flujo de calor constante por unidad de área, mientras que las dos restantes disi- pan calor por convección (fig. P.3.13). Establezca la ecuación diferencial y sus condiciones de frontera sin resolver el problema. q" = s e h hT L T~ y x T~1 Aislante lE W )1 Figura P.3.13. 14. Se tiene una barra muy larga de sección transversal cuadrada de 2L metros por lado (fig. P.3 .14). Dos de sus superficies opuestas se encuentran a una tem- peratura To, mientras que las otras dos opuestas están expuestas a un medio refrigerante cuya temperatura es Toc y un coeficiente de transferencia de calor muy grande. http://gratislibrospdf.com/
  • 125. Problemas 111 Determine la temperatura de la barra como función de x y de y, y calcule la temperatura en el centro de la barra, es decir, (T - Too)/(To - Too) en x = 0, y = O. T~ y~ T~ x To ---.J lE-- 2L ------J Figura P.3.14. Respuesta: T - Too To - Too =2 f (-Ir n=O AL COsAx coshAy coshAL donde AL= 2n+l n; n = 0, 1,2, ... 2 T(O,O)- Too = 0.5 To -Too 15. Imagínese una viga 1 de duraluminio (k = 164 W/m°C) como se muestra en la fi- gura P.3 .15. Todas sus superficies, con excepción de la superior y la inferior, están perfectamente aisladas. La superficie de arriba se mantiene a 40 oC, mientras que la de abajo se conserva a 15 oc. Determine el flujo de calor por unidad de pro- fundidad que se transmite a lo largo de la viga. Observe que debe cumplirse la primera ley de la termodinámica al seleccionar el espaciamiento entre los nodos . .Figura P.3.15. http://gratislibrospdf.com/
  • 126. 112 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones 16. Se tiene una pieza como la que se muestra en la figura P.3.16. Calcule el calor en W1m que se transfiere desde su interior hacia el exterior. T 0.20 m 1,------ ~ 0.20 m---7j Figura P.3.16. 17. ¿Cuántas condiciones de frontera para x y para y requiere la ecuación diferen- cial siguiente, donde a, b y e son constantes? 18. Un fabricante de chimeneas de ladrillo desea predecir las pérdidas de calor a través de las paredes de una chimenea cuya sección transversal se muestra en la figura P.3.18. El coeficiente de transferencia de calor por el interior se esti- ma en 116 W /m 20 C. Debido a la posibilidad de tener vientos con distintas velocidades, se calcula que el coeficiente de transferencia de calor por el exte- rior puede variar entre 15 y 285 W /m 20 C. Los gases de combustión al entrar en la chimenea se encuentran a 350 OC Y 1.05 bar. El flujo de masa es de 0.6 kg/min. Así, el análisis volumétrico de los gases de combustión es: CO 2 : 9.51 %, H 20: 19.01% Y N 2 : 71.48%. Se sabe además que la conductividad térmica del ladrillo es de 0.72 W /moC, el área de sección transversal de la chimenea por donde pasan los gases de combustión es de 0.2 x 0.2 m, y la temperatura del aire ambiente exterior es de 25 oc. Como una primera aproximación, se estima que la altura de la chimenea es de5m. a) Calcule las pérdidas de calor en la chimenea, en W. b) Mencione si hay condensación de agua en algún punto del interior de la chimenea. e) Indique dónde se presenta la temperatura mínima y cuánto vale. http://gratislibrospdf.com/
  • 127. Problemas 113 ti) Trace la variación de la temperatura de los gases de combustión como fun- ción de la altura de la chimenea. Viento ~ ~ D T O.6m ------11 ~O .6 m-----7 Figura P.3.18. 19. Considérese una barra de sección transversal rectangular de dos materiales A y B. La sección A es de 300 mm de ancho por 50 mm de alto, y tiene una con- ductividad térmica de 15 W/m°C. La sección B mide también 300 mm de ancho, 100 mm de alto, y tiene una conductividad térmica de 1 W/moC (fig. P.3 .19). Toda la barra está expuesta a aire caliente a 100 oC con un coeficiente de transferencia de calor de 30 W/m2 °C, con excepción de la base que se desea mantener a O oC mediante un refrigerante que se hace circular a través de un serpentín. a) Calcule el calor por unidad de profundidad que debe disiparse a través de la base de la barra. b) Determine los valores para la temperatura máxima en la sección A y la míni- ma en la sección B. Aire a 100 oC lE 300 mm--~)I A 50 mm Aire a 100 oC Aire a 100 oC B Superficie a O oC ~~ 1 100mm Figura P.3.19. Respuestas: a) Tmáxima"" 90.6 oC b) Tmínima "" 17.4 oC http://gratislibrospdf.com/
  • 128. 114 3. Conducción de calor en estado estable, varias dimensiones 20. Determine el flujo de calor por unidad de profundidad en el segmento circu- lar de la figura P.3.20. Supóngase que la conductividad térmica del material es de 0.7 W/m°C. Una de las superficies isotérmicas se encuentra a 100 oC y la otra a 25 oC. Diámetro interior = 18 cm Diámetro exterior = 54 cm Figura P.3.20. Bibliografía Alan J. Chapman, Heat Transfer, Macmillan Publishing, 4a. ed., 1984. H. S. Carslaw y J. C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, Oxford University Press, 2a. ed.,1986. Lindon C. Thomas, Heat Transfer, PTR Prentice Hall, 1993. M. Necati Ozisik, Heat Conduction, John Wiley & Sons, Nueva York, 2a. ed., 1993. Tien-Mo Shih, Numerical Heat Transfer, Hemisphere Publishing Corporation, 1984. http://gratislibrospdf.com/
  • 129. 4. Conducción de calor en estado transitorio Al rey la hacienda y la vida se ha de dar; pero el honor es patrimonio del alma, y el alma sólo es de Dios. PEDRO CALDERÓN DE LA BARCA En diferentes procesos de la transferencia de calor, la temperatura del sistema depende del tiempo. Es el caso del calentamiento y enfriamiento del techo de una casa expuesta a la radiación solar; de los refractarios que componen la matriz de un regenerador, durante el proceso de templado de un cristal para automóvil o de una pieza de acero; en el proceso de cocción de un pastel; en fin , hay un sinnúmero de situaciones de este tipo. En todos esos casos la temperatura no sólo está condi- cionada por la distancia, sino también por el tiempo. A diferencia de los procesos de conducción de calor en estado estable, en los de tipo transitorio hay un aumento o una disminución en la energía interna del sistema mientras ocurre el proceso. El tratamiento analítico de los procesos transitorios ha encontrado distintas aplicaciones mediante la simulación de sistemas por computadora. Con un análi- sis de este tipo puede predecirse su comportamiento sin necesidad de recurrir a la experimentación, que con frecuencia es muy costosa. En este capítulo se describen algunas de las técnicas más comunes para resolver una amplia variedad de problemas transitorios.4.1. Análisis de parámetros concentrados En diversas circunstancias la temperatura de un sistema durante un proceso de calentamiento o enfriamiento está sujeta casi de manera exclusiva al tiempo, no a la distancia. Podría suponerse que en estos casos la conductividad térmica del material que compone el sistema es suficientemente alta para que los gradientes de temperatura en su interior resulten insignificantes. Del mismo modo podría pensarse que el sistema es lo suficientemente pequeño para que las diferencias de temperatura en su interior no sean considerables. Por último, también podría con- jeturarse que el coeficiente de transferencia de calor en la interfase sistema-fluido 115 http://gratislibrospdf.com/
  • 130. 116 4. Conducción de calor en estado transitorio es lo suficientemente pequeño, y que la diferencia de temperaturas entre el fluido y el sistema es relevante en dicha interfase y no en el interior del sistema. Con la intención de cuantificar esas ideas, imagínese un sistema que experi- menta un proceso de enfriamiento o calentamiento en presencia de un fluido. El cociente de la resistencia térmica por conducción a la de convección puede escribirse como L Rconducción k hL R convección "" _ 1 =T h El parámetro adimensional hL/k se conoce como número de Biot. En este número adimensional, h es el coeficiente de transferencia de calor en la interfase, k la con- ductividad térmica del sistema y L una longitud característica para la conducción de calor. A guisa de ejemplo, L es igual al radio de una esfera; como también es el radio en el caso de una barra cilíndrica de gran longitud. De manera análoga, la lon- gitud característica L es igual al semiespesor en una placa plana expuesta a un flui- do que disipa o toma calor por ambas superficies, etcétera. De lo anterior se desprende que las diferencias de temperatura en el interior de un sistema son pequeñas en relación con la caída de la temperatura en la interfase cuando el número de Biot es pequeño. Por el momento, baste decir que si el número de Biot es menor a 0.1, aproximadamente, la temperatura en el interior de un cuerpo depende fundamentalmente del tiempo. Más adelante se justificará tal afirmación. El análisis de la transferencia de calor en estado transitorio en estos sistemas es muy sencillo y se conoce como análisis de pa,:ámetros concentrados. Considérese un sistema como el que se muestra en la figura 4.1, el cual se encuentra inicialmente a una temperatura uniforme To. Supóngase que de pronto se sumerge el cuerpo en un fluido a una temperatura Too que es constante. Si pen- samos que la resistencia interna a la conducción es insignificante respecto a la externa de convección, la temperatura del cuerpo está determinada sólo por el tiempo, es decir, T = T(t). Si aplicamos la primera ley de la termodinámica a todo el cuerpo, el calor disi- pado por convección en cualquier instante se refleja en una disminución de su energía interna. En forma analítica, (4.1) donde h = coeficiente promedio de transferencia de calor A = área del cuerpo donde intercambia calor por convección http://gratislibrospdf.com/
  • 131. 4.1. Análisis de parámetros concentrados 117 T To 1-- - - - 1= 0 1 - - - - 1, - 1 - -- - - 12 T_ I- - - - - Distancia Figura 4.1. Sistema con parámetros concentrados. p = densidad del material que constituye el sistema V = volumen del sistema e = calor específico del material que constituye el sistema Nótese que el producto pVes igual a la masa del sistema. La expresión anterior puede también escribirse como dT hA - +- (T-Too ) = O (4.2) dt peV Para hacer homogénea esta ecuación diferencial puede definirse la diferencia de temperaturas como 8 = T - Too, que constituye la diferencia de potencial para trans- ferencia de calor por convección. En términos de esta nueva variable, d8 + hA 8=0 (4.3) dt peV Esta ecuación diferencial homogénea de primer orden requiere una condición ini- cial para obtener su solución particular. Puesto que la temperatura inicial del cuer- po es igual aTo, T = To en t =O o 8 = 80 en t = O (4.4) De las ecuaciones 4.3 y 4.4 puede determinarse la temperatura como función del tiempo. La solución general de la ecuación 4.3 es de la forma hA - -1 8 = C1e pcV http://gratislibrospdf.com/
  • 132. 118 4. Conducción de calor en estado transitorio En virtud de que 8 = 80 en t = 0, se tiene que el = 80, En consecuencia, hA --t 8 =80 e pcV o hA 7 -- t T- = e pcV .L oo (4.5) To - T oo La ecuación anterior permite determinar la temperatura T del cuerpo en cualquier instante t. Esta variación de temperatura se ilustra en el diagrama de la figura 4.2. Como cabía esperar, la temperatura del sistema disminuye aproximándose a la del medio ambiente a medida que transcurre el tiempo. Obtendremos mayor in- formación de este proceso transitorio si definimos las variables adimensionales si- guientes: y t t t* (pcV/hA) r Así, en forma adimensional, la ecuación 4.5 puede escribirse como 8* = e -t (4.6) En la figura 4.3 se muestra esta respuesta de temperatura en coordenadas adimen- sionales. T To T Figura 4.2. Variación de la temperatura de un cuerpo como función del tiempo cuando Bi ~ O . http://gratislibrospdf.com/
  • 133. 4.1. Análisis de parámetros concentrados 119 O 0.368 ~---~~ OL-_-~----=~----­ O t Figura 4.3. Respuesta adimensional de temperatura. Obsérvese que cuando t* = 1, e* = 0.368; Y cuando t* = 4, e* = 0.018 . Dicho de otro modo, cuando t = r, la temperatura del sistema ha alcanzado 63.2% de su valor de estado estable. De forma semejante, cuando t = 4r, la temperatura del sis- tema ha alcanzado 98.2% de su valor de estado estable. El parámetro r se conoce como constante de tiempo del sistema y constituye un índice de la rapidez con que varía la temperatura de éste al someterse a una per- turbación. Es, pues, interesante analizar las diferentes propiedades que componen la constante de tiempo, la cual puede expresarse como 1 r = -pcV = RC (4.7) hA t t donde Rt es una resistencia térmica a la convección y Ct una capacitancia térmica. Es decir, el sistema que se muestra en la figura 4.1 también tiene una analogía eléctrica, como se aprecia en el esquema de la figura 4.4. T~ L -______-,~____~ Figura 4.4. Analogía eléctrica de un análisis de parámetros concentrados. http://gratislibrospdf.com/
  • 134. 120 4. Conducción de calor en estado transitorio ~-% . ~ r: Figura 4.5. Respuesta de temperatura en coordenadas semilogarítmicas. El análisis de parámetros concentrados también es útil para la determinación experimental del coeficiente de transferencia de calor en un cuerpo de geometría dada en condiciones específicas de temperatura. Si la ecuación 4.5 se grafica en coordenadas semilogarítmicas, como se observa en la figura 4.5, se obtiene una línea recta cuya pendiente es proporcional al recíproco de la constante de tiempo. Con una medición experimental de la temperatura del cuerpo como función del tiempo puede determinarse el coeficiente promedio de transferencia de calor h a través de la pendiente de la recta. Desde luego, esta determinación experimental supone que se conocen las otras variables del sistema (A, p, Vy e). Ejemplo 4.1. Una esfera de aluminio de 3 cm de diámetro se encuentra inicialmente a una temperatura de 200 oC y de repente se expone al aire a una temperatura de 100 oC. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor es de 20 W/m2 oC, calcule el tiempo necesario para que el interior de la esfera alcance una temperatura de 150 oc. Supóngase las propiedades del aluminio siguientes: k = 210 W/moC, e = 0.895 kJ/kgOC y P = 2720 kg/m 3 . Solución Antes de intentar el análisis de parámetros concentrados se determina si es váli- do en estas condiciones. A partir de las propiedades que se dan, Bi = hR = (20)(0.015) = 1.43 x 10-3 k 210 Puesto que el número de Biot es mucho menor que 0.1, la temperatura en el in- terior de la esfera es uniforme y sí se apega a la ecuación 4.5. Por consiguiente, hA 3h (3)(29) = 16.43 X 10-4 s-l pcV pcR (2720)(895)(0.015) http://gratislibrospdf.com/
  • 135. 4.1. Análisis de parámetros concentrados 121 y T - Too = 150 - 100 =0.5 To - Too 200 - 100 Sustituyendo en la ecuación 4.5 se deduce que Por tanto, t = 419.96, s = 7 minutos Ejemplo 4.2. Una esfera de cobre inicialmente a una temperatura To se sumerge en un fluido. Mediante calentadores eléctricos colocados en este último se modifica en forma periódica su temperatura de acuerdo con la relación Too = Tm + Ta sencot donde Tm es la temperatura media del fluido, Ta la amplitud de la onda de tem- peratura y co la frecuencia. Si el coeficiente promedio de transferencia de calor es h, determine la his- toria de temperatura de la esfera de cobre suponiendo que se cumple con el análisis de parámetros concentrados. Solución Según la ecuación 4.3, - + - hA[ T - (Tm +Tasencot) ] =0 dT dt pcV o dT 1 1 - +-T= - (Tm + Tasencot) (a) . d t 1" 1" La solución general de la ecuación homogénea es de la forma (h) http://gratislibrospdf.com/
  • 136. 122 4. Conducción de calor en estado transitorio Por otra parte, si recurrimos al método de variación de parámetros, (e) Al sustituir esta solución particular en la ecuación (a) se deduce que Igualando términos semejantes, Por consiguiente, T Tp = Tm + a 2 (senrot -rol"cosrol") 1+ro 2 l" y -~ T T = ele 1" + Tm + a 2 (senrot -rol"cosrol") 1+ro 2l" Como T = To en t = 0, y t T =( .lo - Tm + Tarol") e --;;; + rr 2 2 Ta2 2 (senrot-rol"Cosrol") 1+ro l" 1+ro l" http://gratislibrospdf.com/
  • 137. 4.1. Análisis de parámetros concentrados 123 Ejemplo 4.3. Una corriente eléctrica de 100 A se pasa repentinamente a través de un alambre de cobre (k = 386 W/mK, p = 8950 kg/m3 , Pe = 1.8 X 10-8 Qm, e = 0.383 kJ/ kg°C) de 1 mm de diámetro a 25 oC (fig. E.4.3). Determine la temperatura del alambre después de 100 s. Supóngase que la temperatura del ambiente es de 25 oC y el coeficiente de transferencia de calor es de 25 W/m2 °C. D = 1 mm T = 25 oC en t = O s Figura E.4.3. Solución Antes de intentar el análisis de parámetros concentrados se determina si es váli- do en las condiciones mencionadas. A partir de las propiedades descritas, Bi = hR = (25)(0.0005) = 3.24 x 10- 5 k 386 Puesto que Bi « 0.1 se concluye que la temperatura del alambre sólo depende del tiempo, no del radio. Así, mediante un balance de energía, q " V - hA ( T - T~ ) = pVe dT dT Al definir e= T - T~ se obtiene -dt +-hA e- -pe =o de peV q" (a) La condición inicial es eco) = o. La solución general de la ecuación homogénea es de la forma hA - - / a Uh = ele pcV http://gratislibrospdf.com/
  • 138. 124 4. Conducción de calor en estado transitorio Para obtener la solución particular se supone que Si sustituimos esta expresión en la ecuación (a) se obtiene C4 = O Y C3 = q/I V/hA, por lo que "V eP =-q- hA Así, hA - -1 "V e= C¡e Pcv +-q- hA Al recurrir a la condición inicial se encuentra que C¡ = - q/l V/hA. Por tanto, Sustituyendo valores, y 3 q"V = 730 X 10- 0.001 = 7.3 oC hA 25 41, hA 25 4 = 0.0292 S-1 pcV (8950)(383) 0.001 De este modo, la temperatura instantánea del alambre es T = 25 + 7.3[1- e -O.0292/ ] http://gratislibrospdf.com/
  • 139. 4.1. Análisis de parámetros concentrados 125 Para t = 100 s se tiene que T = 31.9 oc. La temperatura del alambre alcanza un I valor de estado estable de 32.2 oC después de 160 s, aproximadamente. Ejemplo 4.4. Una plancha eléctrica tiene base de acero (k = 70 W/moC, p = 7840 kg/m 3 y e =450 J/kg0C) Y pesa 1 kg (fig. EAA). La base tiene una superficie de 0.025 m2 y se calienta internamente con una resistencia que toma 250 W. Inicialmente la plancha se encuentra a 20 oC. Cuando comienza a calentarse disipa calor hacia el medio ambiente con un coeficiente de transferencia de calor de 50 W/m 20 C. a) Calcule la temperatura de la plancha después de 5 minutos. b) ¿Qué temperatura alcanzará la plancha si no se tiene ningún control? 20 oC 2 A = 0.025 m Figura E.4.4. Solución a) El espesor de la base puede determinarse como m 1 L=- = = 0.0051 m pA (7840)(0.025) En este caso, el número de Biot es Bi = hL = (50)(0.0051) = 0.0036 k . 70 por lo que el análisis de parámetros concentrados sí es aplicable. Un balance de energía en la base de acero de la plancha indica que (a) http://gratislibrospdf.com/
  • 140. 126 4. Conducción de calor en estado transitorio con la condición inicial en t =O (b) Al resolver las ecuaciones (a) y (b) se obtiene T = T. + !L = hA (1 _e- P~L t] Sustituyendo valores, para t = 300 s, 50 300] T = 20 + 250 [ 1- e (7840)(450)(0.0051) = 133 oC (50)(0.025) y, en equilibrio, cuando t ~ 00, q 250 ° T = T= + hA = 20 + (50)(0.025) = 220 C 4.2. Placa infinita En varios problemas de tipo transitorio no puede despreciarse la resistencia inter- na a la conducción, ya que la temperatura del sistema no sólo depende del tiempo sino también de la distancia. A diferencia del análisis de parámetros concentrados recién descrito, la solu- ción de problemas relacionados con la conductividad térmica finita es más com- pleja, pues implica el análisis de ecuaciones diferenciales parciales. Considérese como ejemplo el caso de una placa infinita de espesor 2L, la cual se encuentra a una temperatura inicial uniforme Ti, como se observa en el esque- ma de la figura 4.6a. Supóngase que de pronto se pone en contacto con un fluido a una temperatura constante T= Y se desea conocer la historia de temperatura de la placa como función de la distancia y el tiempo. El problema descrito es equiva- lente, por simetría, al de una placa de espesor L perfectamente aislada en una de sus superficies, como se ilustra en la figura 4.6b. Con el fin de obtener la historia de temperatura en la placa considérese un volu- men de control de dimensiones Lh, ~y Y & dentro del material. Al aplicar la primera http://gratislibrospdf.com/
  • 141. 4.2. Placa infinita 127 Flu ido a T= Fluido a T= Fluido a T= h h h 2L L (a) (b) Figura 4.6. (a) Placa infinita de espesor 2L, y (h) placa infinita de espesor L aislada por uno de sus lados. ley de la termodinámica a este sistema se obtiene que el flujo neto de calor por conducción es igual al incremento de energía interna que experimenta. Analíticamente, q"i1y& I - q"i1y& I L . = pci1xi1y& dT x X+ Lli dt Dividiendo esta expresión entre &i1y& y haciendo que & tienda a cero, se obtiene dq" _ dT -- - pc - dX . dt Al introducir la ley de Fourier de conducción de calor y suponiendo que la con- ductividad térmica es constante, Definiendo la difusividad térmica como a = k/ pc se obtiene (4.8) De esta expresión se observa que la difusividad térmica afecta la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo. Así, dicha razón es más rápida si el mate- rial tiene una gran difusividad térmica, y viceversa. Nótese que a diferencia de la conductividad térmica k de un material, que permite o no el paso del calor por con- ducción, la difusividad térmica consta de tres propiedades físicas , una de trans- porte y dos termodinámicas: la conductividad térmica k, la densidad del material http://gratislibrospdf.com/
  • 142. 128 4. Conducción de calor en estado transitorio p y el calor específico e. El producto pe (J/m3 K) es un indicador de la capacidad del material para almacenar energía. Por consiguiente, las sustancias con gran den- sidad como los sólidos y los líquidos suelen constituir excelentes medios para almacenar energía (pe> 1 MJ/m:K), en tanto que los gases (pe"" 1 kJ/m3K) prác- ticamente no tienen capacidad para ello. De lo anterior se desprende que la difusividad térmica (m2/s) es un indicador de la capacidad que tiene un material para conducir el calor con respecto a su capacidad para almacenar energía interna. A guisa de ejemplo, la difusividad tér- mica del aluminio a 300 K es de 9.71 x 10-5 m2/s, mientras que la parafina tiene una difusividad térmica de 7.7 x 10-9 m2/s a la misma temperatura. Estos dos valo- res numéricos concuerdan perfectamente con la experiencia diaria. La ecuación 4.8 requiere tres condiciones, dos de frontera y una inicial, para especificar por completo la variación de la temperatura con respecto a la distancia y al tiempo. Si se supone que la placa está sujeta a un proceso de enfriamiento (o calentamiento), la condición inicial puede establecerse fácilmente a partir de la uniformidad inicial de la temperatura en la placa. Es decir, T(x, O) = Ti (4.9) Una de las condiciones de frontera se establece muy pronto mediante la condición de simetría en la placa de espesor 2L de la figura 4.6a. Puesto que ésta pierde (o gana) calor por ambas superficies, el máximo (o mínimo) de temperatura durante el enfriamiento (o calentamiento) debe ocurrir en el centro mismo de la placa, esto es, ~: (O,t) = O (4.10) Por último, la segunda y última condición de frontera puede obtenerse notando que el calor transportado por conducción en la interfase debe ser igual al que se cede (o gana) de forma convectiva al fluido. Analíticamente, ()T - k- (L,t) = h[T(L,t) - T=] (4.11) ()x De la ecuación 4.8 a la 4.11 describen por completo el problema de transferencia de calor en la placa. De esas mismas expresiones se observa que la temperatura de la placa en cualquier posición y en cualquier instante depende de varios parámetros, en particular de T= T(x, t, Ti, T=, L, k, a, h) http://gratislibrospdf.com/
  • 143. 14.2. Placa infinita 129 Para resolver el problema en forma general se definirán las variables adimen- sionales siguientes: (4.12) x* x (4.13) L y t * =Fo= - 2 al (4.14) L El tiempo adimensional t* se denomina número de Fourier, Fo. Sustituyendo estas nuevas variables en la ecuación diferencial 4.8 y sus condiciones inicial y de fron- tera 4.9 a 4.11 se deduce que (4.15) T *(x*, O) =1 (4.16) a;*(O,t*)=O (4.17) a;;** (1, r*) = - BiT*(l, t) (4.18) Ahora, en forma adimensional, T = T (x , Fo, Bi) (4.19) es decir, la distribución adirnensional de temperatura para una placa plana es una función universal de x*, Fo y Bi, Y no depende de los valores particulares de TiJ T~, L, k, a o h. Para obtener la relación funciona14 .19 supóngase que la solución es de la forma T* = X(x*)l(t*) Así, la ecuación 4.15 se convierte en Xi = rX" http://gratislibrospdf.com/
  • 144. 130 4. Conducción de calor en estado transitorio donde el apóstrofo, " denota la derivada total. Separando variables se tiene r X" r X La única manera de que una función de t* sea siempre igual a una función de x * es que cada función sea equivalente a la misma constante, es decir, r X" 2 - = - =-A: r X La selección de una constante positiva con signo negativo en esta expresión es evi- dente: para que la solución tienda a cero conforme transcurre el tiempo se requiere que la constante A:2 tenga un signo positivo en la ecuación diferencial ordinaria l + A:2 r = O. El que A: esté elevada al cuadrado es por mera conveniencia algebraica. A la luz del razonamiento anterior se tienen ahora las dos ecuaciones diferen- ciales ordinarias siguientes: (4.20) con las condiciones de frontera homogéneas X (O) =O (4.21) y X (1) = -BiX(1) (4.22) y (4.23) La solución general de la ecuación 4.20 es de la forma X = Cl COSAx* + C2 senAx* Al aplicar la condición de frontera 4.21 se obtiene En forma similar, al aplicar ahora la condición 4.22, A: senA: = Bi cosA: o A: cotA: = - (4.24) Bi http://gratislibrospdf.com/
  • 145. 4.2. Placa infinita 131 En la figura 4.7 se muestra esta expresión de forma gráfica. Los valores de A, que satisfacen la relación 4.24 están indicados por las intersecciones de las curvas de cotA, y AlBi. Obsérvese que existe un número infinito de valores de A,n (valores ca- racterísticos) que satisfacen la ecuación 4.24. Para el caso en que Bi ~ 0, los valo- res de A,n que satisfacen dicha relación son: 0, n, 2n, 3n, ... como puede observarse en la figura 4.7. Del mismo modo, para el caso en que Bi ~ 00, los valores de An que satisfacen la ecuación 4.24 son: (ll2)n, (3 /2)n, (512)n, ... En la tabla 4.1 se muestran las primeras cinco raíces de la ecuación trascendental A,ntanA,n = e, donde e es una constante. Así, para un valor del número de Biot igual a la unidad se tiene: A,l = 0.8603, ~ = 3.4256, As = 6.4373, etcétera. Una vez determinados los valores de A,no la solución a las ecuaciones 4.20 a 4.22 es Xn(X *) = e In COSA,nX* (4.25) Del mismo modo, para la ecuación 4.23, (4.26) Al combinar las expresiones 4.25 y 4.26 de acuerdo con la solución producto propuesta y observar que la suma de soluciones es también una solución, (4.27) Figura 4.7. Representación gráfica de la ecuación cotAn = A.,,/Bi. http://gratislibrospdf.com/
  • 146. 132 4. Conducción de calor en estado transitorio Las constantes en en esta serie infinita pueden obtenerse sustituyendo la condición inicial 4.16, es decir, = 1= ¿enCOSAnX* n=l Además, por la teoría de series de Fourier, 4senAn En consecuencia, T * =~ -;¡?"Fo ~e 4senAn ~ COSA X * (4.28) n=l 2An + sen 2An n donde los valores característicos An satisfacen la ecuación 4.24. De la ecuación 4.28 se observa que la temperatura adimensional en la placa depende de las varia- bles x , Fo y Bi. Para valores del número de Fourier mayores o iguales a 0.2, es decir, Fo 2: 0.2, la serie infinita de la ecuación 4.28 puede aproximarse con el primer término. De este modo, T * = ele -;¡?I Fo cosA¡x * (4.29) o (4.30) * donde To representa la temperatura en el plano central de la placa, esto es, 1" * - LO - ele -ATFo (4.31) De la ecuación 4.30 se observa que la dependencia de la temperatura en cualquier posición de la placa es la misma que la del plano central. En la tabla 4.2 se pre- sentan los valores de el y Al para distintos valores del número de Biot. http://gratislibrospdf.com/
  • 147. 4.2. Placa infinita 133 Tabla 4.1. Primeras cinco raÍCes de la ecuación AntanAn = C. e Al A2 A3 A4 A5 0.000 0.0000 3.1416 6.2832 9.4248 12.5664 0.002 0.0447 3.1422 6.2835 9.4250 12.5665 . 0.004 0.0632 3.1429 6.2838 9.4252 12.5667 0.006 0.0774 3.1435 6.2841 9.4254 12.5668 0.008 0.0893 3.1441 6.2845 9.4256 12.5670 0.010 0.998 3.1448 6.2848 9.4258 12.5672 0.020 0.1410 3.1479 6.2864 9.4269 12.5680 0.040 0.1987 3.1543 6.2895 9.4290 12.5696 0.060 0.2425 3.1606 6.2927 9.4311 12.5711 0.080 0.2791 3.1668 6.2959 9.4333 12.5727 0.100 0.3111 3.1731 6.2991 9.4354 12.5743 0.200 0.4328 3.2039 6.3148 9.4459 12.5823 0.300 0.5218 3.2341 6.3305 9.4565 12.5902 0.400 0.5932 3.2636 6.3461 9.4670 12.5981 0.500 0.6533 3.2923 6.3616 9.4775 12.6060 0.600 0.7051 3.3204 6.3770 9.4979 12.6139 0.700 0.7506 3.3477 6.3923 9.4983 12.6218 0.800 0.7910 3.3744 6.4074 9.5087 12.6296 0.900 0.8274 3.4003 6.4224 9.5190 12.6375 1.000 0.8603 3.4256 6.4373 9.5293 12.6453 1.500 0.9882 3.5422 6.5097 9.5801 12.6841 2.000 1.0769 3.6436 6.5783 9.6296 12.7223 3.000 1.1925 3.8088 6.7040 9.7240 12.7966 4.000 1.2646 3.9352 6.8140 9.8119 12.8678 5.000 1.3138 4.0336 6.9096 9.8928 12.9352 6.000 1.3496 4.1116 6.9924 9.9667 12.9988 7.000 1.3766 4.1746 7.0640 10.0339 13.0584 8.000 1.3978 4.2264 7.1263 10.0949 13.1141 9.000 1.4149 4.2694 7.1806 10.1502 13.1660 10.000 1.4289 4.3058 7.2281 10.2003 13.3142 15.000 1.4729 4.4255 7.3959 10.3898 13.4078 20.000 1.4961 4.4915 7.4954 10.5117 13.5420 30.000 1.5202 4.5615 7.6057 10.6543 13.7085 40.000 1.5325 4.5979 7.6647 10.7334 13.8048 50.000 1.5400 4.6202 7.7012 10.7832 13.8666 10.000 1.5552 4.6659 7.7764 10.8871 13.9981 http://gratislibrospdf.com/
  • 148. 134 4. Conducción de calor en estado transitorio Tabla 4.2. Constantes empleadas en las ecuaciones 4.30 y 4.31 ¡zara una Elaca. Bi = hLlk (rad) Al el 0.01 0.0998 1.0017 0.02 0.1410 1.0033 0.03 0.1732 1.0049 0.04 0.1987 1.0066 0.05 0.221 7 1.0082 0.06 0.2425 1.0098 0.07 0.2615 1.0114 0.08 0.2791 1.0130 0.09 0.2956 1.0145 0.10 0.3111 1.0160 0.15 0.3779 1.0237 0.20 0.4328 1.0311 0.25 0.4801 1.0382 0.30 0.5218 1.0450 0.40 0.5932 1.0580 0.50 0.6533 1.0701 0.60 0.7051 1.0814 0.70 0.7506 1.0919 0.80 0.7910 1.1016 0.90 0.8274 1.1107 1.00 0.8603 1.1191 2.00 1.0769 1.1795 3.00 1.1925 1.2102 4.00 1.2646 1.2287 5.00 1.3138 1.2402 6.00 1.3496 1.2479 7.00 1.3766 1.2532 8.00 1.3978 1.2570 9.00 1.4149 1.2598 10.00 1.4289 1.2620 20.00 1.4961 1.2699 30.00 1.5202 1.2717 40.00 1.5325 1.2723 50.00 1.5400 1.2727 100.00 1.5552 1.2731 http://gratislibrospdf.com/
  • 149. 4.2. Placa infinita 13S Una vez que se conoce la historia de la temperatura en una placa es conve- niente conocer el calor que disipa entre t = O Y cualquier instante t. Aplicando la primera ley de la termodinámica para el proceso de enfriamiento supuesto, Q = U(O) - U(t) o Q = - 2foL pc[T(x,t) - :Z;]Adx Obsérvese que Q representa la magnitud del calor disipado, en joules. Para nor- malizar esta expresión se definirá ahora el parámetro Qo = 2pcAL(Ti - T~) que representa la energía interna inicial de la placa con respecto a la temperatura i del fluido o la transferencia máxima de energía que puede ocurrir en el proceso desde t = O hasta t = oo . En forma adimensional, I I ¡, " Con la ecuación 4.30 para la solución aproximada se obtiene -Q - 1 - - -.Lo _ senA¡ 7* (4.32) Qo Al Las gráficas de Heisler constituyen una representación gráfica de la solución aproximada para la distribución de la temperatura en una placa y su calor disipado. Estas gráficas se han empleado por mucho tiempo y aquí se presentan de la figura 4.8 a la 4.10. En la figura 4.8 se presenta la variación de la temperatura adimen- sional en el centro de la .placa (To - T~)/(Ti - T~) como función del número de Fourier, para distintos valores del recíproco del número de Biot. To representa la temperatura T(O, t). Por otra parte, en la figura 4.9 se muestra la temperatura en cualquier plano de la placa con respecto a la del centro (T - T~)/(To - T~), para diferentes valores del recíproco del número de Biot. De la figura se desprende que para valores de 1IEi > 10 (Bi < 0.1) la diferencia de temperaturas en cualquier http://gratislibrospdf.com/
  • 150. 136 4. Conducción de calor en estado transitorio plano de la placa es menor a 5%. Es decir, la temperatura depende fundamental- mente del tiempo como se supuso en el análisis de parámetros concentrados. La figura 4.10 corresponde al calor transferido en la placa. El cociente Q/Qo está expresado en términos de Bi y Fa. Figura 4.8. Gráfica de Heisler para la historia temperatura-tiempo en el centro de una placa de espesor 2L a una temperatura inicial Ti, que intercambia calor con un medio a temperatura T=- (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating, Trans. ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.) 0.9 H-HttHtttttt-H+rtI;Il-lTIttIt::K~ffiH1t+tttltItH.¡¡j 0.8 0.7 f-+HttHtttltt-f-:Pf 004 f-+Htttlltlllf-/--II.-HIHI-IttIttt++ttH1ttH1I1t+++t1f1tH1fttl 0.3 0.8 02 0.1 H-H+l+ll-J,tffi-H+HIHl-I++Hl-l++++I+H-H+Il+++f+flH+fjjj o 1.0 0.010.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1. 2 3 5 10 20 50 100 Bi - 1 Figura 4.9. Gráfica de Heisler para determinar la temperatura en cualquier punto de una placa. (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Chartsfor Induction and Constant Temperature Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.) http://gratislibrospdf.com/
  • 151. 4.2. Placa infinita 137 1.0 / / I 0.9 0.8 1 / 1 / / 1 / ~ 0.7 cs. . "j1 " / / / / / Q 0.6 a;; 0.5 iS o 01 ~ ~ , ¡Ir >-J $1 P, O·J lO ," <("/ r "; , f o Iot ::? ~"- & 0.4 .~ / 1 1 1 0.3 <iS I~ / / 0.2 / 0.1 / } / / / J: / / / ....-: --- o 10-5 10-4 10-3 10- 2 10- 1 10 103 10 Bi 2 Fo Figura 4.10. Calor adimensional disipado por una placa como función de los números de Biot y de Fourier. (Fuente: H. Grober, S. Erk y U. Grigull, Fundamentals of Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1961.) Ejemplo 4.5. Se desea construir una caja fuerte a prueba de incendios. Las paredes estarán construidas por dos placas de acero de 2 mm de espesor y una capa de asbesto en su interior. Estime el espesor de asbesto necesario para dar protección contra el fuego durante una hora, suponiendo que para una temperatura exterior de 800 oC la del interior no debe exceder los 100 oc. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie exterior puede tomarse como 30 W/m 2K. La temperatura ambiente antes del incendio puede estimarse en 25 oc. Las propiedades del asbesto son: k = 0.223 W/mK, e = 816 J/kgK Y P = 576.7 kg/m 3 . Solución Puesto que la conductividad térmica del acero es mucho mayor que la del asbesto, y además el espesor de las placas de acero es muy pequeño, su efecto térmico es esencialmente insignificante. Por otra parte, las pérdidas de calor también son insignificantes por la parte interior de las paredes durante este pro- ceso transitorio. En consecuencia, el problema puede resolverse mediante los resultados obtenidos para una placa infinita. Con estas suposiciones en mente, To - Too = 100 - 800 = 0.90 T¡-- Too 25 - 800 El número de Fourier y el recíproco del de Biot son, respectivamente, Fo = at =~ = (0.223)(3600) = 0.00171 L2 pcL2 (576.7)(816)L2 L2 http://gratislibrospdf.com/
  • 152. 138 4. Conducción de calor en estado transitorio y 1 k 0.223 0.00743 Bi hL 30L L Si suponemos un espesor de 0.10 m se tiene que Fo = 0.171 Y l/Bi = 0.0743 . Como estos valores coinciden aproximadamente con los datos de la figura 4.9, aun cuando Fo < 0.2, se estima que el espesor necesario es de aproximadamente 10 cm. Obsérvese la dificultad en la lectura de las gráficas de Heisler en este ran- go de valores. Ejemplo 4.6. Considérese una placa de acero de 20 cm de espesor a una temperatura inicial de 500 oC, como se muestra en el esquema de la figura E.4.6. La placa se ex- pone repentinamente al aire ambiente, cuya temperatura es de 30 oC. Si el coe- ficiente de transferencia de calor por ambos lados de la placa es de 100 W/m 2K , calcule la temperatura a 2 cm de profundidad después de que transcurre una hora. Supóngase las propiedades físicas del acero siguientes: a = 1.5 x 10- 5 m2/s, k = 54 W/m°C. -l E- 2 cm 20 cm Figura E.4.6. Solución El número de Fourier está dado por la relación at (1.5 x 10-5 )(3600) FO = 2 = 2 = 5.4 L 0.1 http://gratislibrospdf.com/
  • 153. 4.3. Cilindro infinito y esfera 139 De modo semejante, el recíproco del número de Biot es igual a 1 k 54 = 5.4 Bi hL (100)(0.1) Recurriendo a la figura 4.8 se obtiene Así, de la figura 4.9 en x/L = 0.8 resulta( Por tanto, al combinar los resultados de las figuras 4.8 y 4.9 obtenemos Por último, T = 30 + 0.38( 500 - 30) = 208.60 oC 4.3. Cilindro infinito y esfera El análisis del proceso transitorio para el caso de un cilindro infinito o una esfera de radio ro con una temperatura inicial uniforme Ti, que se exponen a un medio convectivo cuya temperatura es T=, a través de un coeficiente de transferencia de calor h, es muy similar al que se presentó con anterioridad para el caso de una placa infinita. La suposición de cilindro infinito, es decir, un cilindro con conduc- ción radial solamente, es válida para cilindros en donde Llro ~ 10, aproximada- mente. De la figura 4.11 a la 4.16 se muestran las soluciones gráficas para el análisis de un cilindro infinito y una esfera de radio ro. http://gratislibrospdf.com/
  • 154. 140 4. Conducción de calor en estado transitorio 01 1 1;;11111111111;11;1111 111 0.007 0.005 0.004 0.003 0. 0.002 Figura 4.11. Gráfica de Heisler para la historia temperatura-tiempo en el centro de un ci- lindro infinito de radio ro con una temperatura inicial Ti que intercambia calor con un medio a temperatura T=- (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.) 1.0 1 02 0.9 ¡..-- 0.8 O.~ 0.7 r V r/rO f-.!j f-.! 0.6 0.6 I I 1- ¡..!: 0.5 0.4 V 0.3 0.8 0.2 1 .l Or ,/- -- 0.1 1 O 1.0 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 2 35 10 20 50 100 Bi- 1 Figura 4.12. Gráfica de Heisler para determinar la temperatura en cualquier punto de un cilindro infinito. (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.) http://gratislibrospdf.com/
  • 155. 4.3. Cilindro infinito y esfera 141 1.0 / /) / 0.9 0.8 / ,j 1 / V 0.7 I / I / , 0.6 g / ~o o ~¿g & ¿g "- ~W~ :¡jo (J (j c::i 0 0.5 // . <:V ~ c1 &/ 0 0.4 ~ O· 11 " 0.3 - ~ /; 1 / 0.2 ~J / / 0.1 []4/ V / ,/ ./ U-11/ ./ V O 10-5 10 -4 10-3 10 72 10 - 1 10 102 Si Fo Figura 4.13. Calor adimensional disipado por un cilindro infinito como función de losI números de Biot y de Fourier. (Fuente: H. Grober, S. Erk y U. Grigull, Fundamentals of Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1961.) Figura 4.14. Gráfica de Heisler para la historia temperatura-tiempo en el centro de una e fera de radio ro..S:Qn una temperatura inicial Ti que intercambia calor con un medio a tem- peratura T=. (Fuente: M. P. Heisler, Temperature Charts for Induction and Constant Temperature Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.) http://gratislibrospdf.com/
  • 156. 142 4. Conducción de calor en estado transitorio 1.0 1 y ;;;;; 02 0.9 I V 0.8 1 0.4 V [)( 0.7 / 8 0.6 r/rO hr- I I h~ 0.5 0.6 0.4 0.3 o.? 0.2 obI 1 / V 0.1 1 o 1.0 H1 1 11 1 1 111 1 1 111 11 1 0.010.02 0.050.1 0.2 0.5 1.0 2 3 5 10 20 50 100 8i- Figura 4.15. Gráfica de Heisler para determinar la temperatura en cualquier punto de una esfera. (Fuente: M . P. Heisler, Temperature Charts for Induction and Constant Tempera- ture Heating, Trans., ASME, 69, pp. 227-236, abril de 1947.) 10-5 10-4 10-3 10-2 10- 1 10 Figura 4.16. Calor adimensional disipado por una esfera como función de los números de Biot y de Fourier. (Fuente: H. Grober, S. Erk y U. Grigull, Fundamentals of Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1961.) Ejemplo 4.7. Una barra cilíndrica de acero inoxidable muy larga y de 20 cm de diámetro se encuentra a una temperatura de 980 oC y se sumerge repentinamente en un baño de aceite cuya temperatura es de 40 oc. Se estima que el coeficiente promedio de transferencia de calor es de 565 W/m 2 oc. Calcule el tiempo necesario para http://gratislibrospdf.com/
  • 157. 4.4. Sólido semiinfinito 143 ,,, que el centro de la barra alcance una temperatura de 260 oc. Las propiedades 1 11 del acero inoxidable son: p = 7817 kg/m 3 , e = 0.46 kJ/kgOC, k = 16.3 W/moC y I ~ a = 0.444 x 10-5 m 2/s. ¡I .:~ Solución El número de Biot en este caso es Bi = hro = (565)(0.10) = 3.47 k 16.3 La temperatura adimensional en el centro de la barra es To - Too = 260 - 40 = 0.234 Ti - Too 980 - 40 Si recurrimos a la figura 4.11 se obtiene que el número de Fourier es de 0.53. En consecuencia, t= For~ = (0.53)(0.10)2 = 1194s = 0.332h a 0.444 x 10-5 4.4. Sólido semiinfinito En numerosas aplicaciones la temperatura de un cuerpo sólo varía en la vecindad de su superficie. En otras, la distribución de la temperatura y el flujo de calor son sólo de interés durante la parte inicial del proceso transitorio en que la temperatu- ra en el interior del cuerpo no ha tenido prácticamente oportunidad de afectarse. Para ilustrar estos casos, considérese un sólido semiinfinito como el que se mues- tra en la figura 4.17. Supóngase que todo el sólido está a una temperatura inicial constante Ti y de pronto su superficie plana experimenta un cambio de temperatu- ra, de manera tal que ésta adquiere un valor constante To. A primera vista esta situación no tiene aplicación práctica. Sin embargo, gran importancia en el análisis de cuerpos con dimensiones finitas en donde, para tiem- pos "relativamente" pequeños, los efectos de calentamiento o enfriamiento no tienen oportunidad de entrar profundamente en el material. De manera análoga, la 1111 penetración del calor o los efectos de enfriamiento en la superficie de la Tierra obedecen también al análisis de un sólido semiinfinito. Otra aplicación interesante reside en la estimación de la temperatura de contacto que se experimenta al tocar un material. Esta temperatura indica cuán caliente o frío se siente un objeto al http://gratislibrospdf.com/
  • 158. 144 4. Conducción de calor en estado transitorio 8 i T(x,~ TI Ti --_-=::".--===-_ x Figura 4.17. Sólido semiinfinito. tocarlo. Así, si se mantienen dos cuerpos, por ejemplo, uno de cobre y otro de asbesto a 45 oC, por decir un número, la experiencia indica que el de cobre se siente más caliente que el de asbesto al contacto con la mano. El análisis del sólido semiinfinito precisa un conocimiento de la distribución de la temperatura y el flujo de calor, Puesto que la temperatura en su interior de- pende del tiempo t y de la distancia x, un balance de energía en un volumen de control indica que (4.33) Esta ecuación diferencial parcial requiere una condición inicial y dos de frontera para determinar de manera única la distribución de temperatura T(x, t) en el sóli- do. Inicialmente la temperatura del cuerpo es uniforme y constante, de modo que T(x, O) = Ti (4.34) Por otra parte, puesto que la temperatura en la superficie del sólido se mantiene constante durante todo el proceso, T(O, t) = To (4.35) Al ser el sólido infinitamente grande en la dirección x, T(oo, t) = Ti (4.36) http://gratislibrospdf.com/
  • 159. 4.4. Sólido semiinfinito 145 Dada la forma de las ecuaciones 4.34 y 4.36, el problema puede resolverse sin mayor dificultad definiendo las variables adimensionales siguientes: y x 1]=-- .,}4at donde se ha anticipado la existencia de una solución de la forma T* = T* (1]). En tér- minos de estas variables, la ecuación 4.33 queda: aT* dT* a1] dT* 1 ax = d1] ax - d1] -J(ii a2T* _ d (aT* 1a1] _ d 2T* 1 ax 2 - dn l ax J ax - dn 2 at Sustituyendo estas expresiones en la ecuación 4.33 se obtiene d 2T* dT* - - + 2 1 ] - =0 (4.37) d1]2 d1] con las condiciones de frontera siguientes: de la ecuación 4.35, (4.38) y de las ecuaciones 4.34 y 4.36, T*(oo) =1 (4.39) Si dT*/d1] se sustituye por la variable p, la ecuación 4.37 queda como p + 21]p =O (4.40) Al integrar esta expresión, dT* p=-- = ele _u 2 dn http://gratislibrospdf.com/
  • 160. 146 4. Conducción de calor en estado transitorio Una segunda integración da como resultado 2 T* = el So17 e _u du + e2 (4.41) donde se ha seleccionado un valor de cero para el límite inferior de la integral indefinida, la cual no puede evaluarse en forma cerrada. La elección de este valor carece de trascendencia en el resultado, ya que la constante e 2 está aún indeter- minada. Al aplicar ahora las condiciones de frontera 4.38 y 4.39 se obtiene T* r e- du = --0----_ " u2 _ S: e- u2 du T " = 1- S17 e- u du 2 2 (4.42) j 7r ° T* = erf(r¡) (4.43) donde erf(r¡) es la función error de la variable r¡, y se muestra tabulada en la tabla 4.3. En términos de las variables originales, la distribución de la temperatura es T-To =erf(-X ) (4.44) T¡ - To 2-J(ii X) = -fii Jo /2 e 2 rx .foi 2 Tabla 4.3. La función error erf 2-J(ii ( -u du r¡ erf(r¡) r¡ erf(r¡) O O 0.9 0.79691 0.01 0.01128 1.0 0.8427 0.1 0.11246 1.2 0.91031 0.2 0.2227 1.4 0.95229 0.3 0.32863 1.6 0.97635 0.4 0.42839 1.8 0.98909 0.5 0.5205 2.0 0.99532 0.6 0.60386 2.5 0.99959 0.7 0.6778 3.0 0.99998 0.8 0.74210 00 1 En forma aproximada (con una exactitud dentro de 0.42%): erf(1]) = 1 - Aexp[-B(1] + C)2] donde A = 1.5577, B = 0.7182 Y e = 0.7856. http://gratislibrospdf.com/
  • 161. 4.4. Sólido semiinfinito 147 En la figura 4.18 se describe esta distribución de temperatura. Debe notarse que la función error es una función monotónica que varía entre O y 1, como se obser- va en la tabla 4.3, y alcanza un valor de 0.99532 cuando 17 es igual a 2.0. Con este valor puede definirse la distancia de penetración 8 como la distancia x para la que la temperatura en el sólido ha variado menos de 1%, aproximadamente, de la dife- rencia (Ti - To). Por tanto, 8=4~ (4.45) Nótese que tal distancia es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo. El flujo de calor en cualquier posición x puede determinarse mediante la ley de Fourier; es decir, (4.46) En la superficie del sólido, esto es, en x = O, (4.47) 1.0 0.8 / ---- / / 0.2 / o / O 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 x 2-va:t Figura 4.18. Distribución de temperatura en un sólido semiinfinito. http://gratislibrospdf.com/
  • 162. 148 4. Conducción de calor en estado transitorio Ejemplo 4.5. Considérese el problema de enterrar tuberías para distribuir agua en un lugar geográfico donde la temperatura media del suelo es de 20 oC, pero la tempera- tura de la superficie puede disminuir repentinamente hasta - 15 oC por un perio- do máximo de 60 días. Calcule la profundidad mínima a la que deben enterrarse las tuberías para prevenir que se congele el agua. Supóngase que la difusividad térmica del suelo es de 0.138 x 10-6 m2/s. Solución Según la ecuación 4.44, T* = 0-(-15) = 0.429 = erf(~) 20-(-15) 2)(ii En la tabla 4.3 se muestra que r¡ = 0.40. Por tanto, Xm = 2 [(0.138 x 10-6 ) (60) (24) (3600)]112 (0.40) = 0.68 m 1,= 20 oc 0.68 m Figura E.4.8. En el análisis anterior se ha supuesto que la temperatura de la superficie del sóli- do repentinamente adquiere un valor constante de To. Sin embargo, en otras cir- cunstancias la superficie se expone a un fluido cuya temperatura es T= o está suje- ta a un flujo de calor por unidad de área constante. En ambos casos la temperatura en la superficie del sólido semiinfinito también es variable. Puede demostrarse que ahora la condición de frontera en la superficie cuando se presenta la convección ese. -k ar¡ = h[T= - T(O, t)] éJx x=o (4.48) http://gratislibrospdf.com/
  • 163. 4.4. Sólido semiinfinito 149 y la distribución de la temperatura 2 ---,- = erfc(_X ) _ [exp(_hX + _h ) ][erfc(- X + _-Jai )] T- T¡ at h (4.49) T - T¡ = 2-Jai k k2 2-Jai k donde erfc(r]) constituye la función error complementaria de 1], es decir, erfc(r]) = 1 - erf(r]). Del mismo modo, puede demostrarse que ahora la condición de frontera en la superficie, cuando el flujo de calor por unidad de área es constante, puede escribirse como qo - - kdT l "_ - (4.50) dx x=o y la distribución de la temperatura como T- T = 2q;(at/rc)1/2 exp(- ~) - q;x erfc(_ X ) - (4.51) 1 k 4at k 2-Jai En la figura 4.19 se muestran en un esquema los perfiles de temperatura de un sóli- do semiinfinto cuando hay convección en la superficie y cuando el flujo de calor por unidad de área es constante. h T~ q~ -----> (a) (b) Figura 4.19. (a) Distribución de la temperatura en un sólido serniinfinito con convección en su superficie, y (h) con un flujo de calor por unidad de área constante en la superficie. http://gratislibrospdf.com/
  • 164. 150 4. Conducción de calor en estado transitorio 1.0 ....... 1 "- "-"- """- -........;" ""- ",,-" ~"" """"~ ~ " " - "" ",,? " ~ c:>0 qó .:A f- " ~ ". "- " CJ? ". ". f- .". ~oó "- . .. .. . 0.01 "" """.~ ". O 0.5 x / 2{(rt "" Figura 4.20. Distribución de la temperatura en un sólido semiin:finito con frontera convectiva. 1.0 1.5 En la figura 4.20 se presenta una gráfica de distribución de la temperatura para el caso de un sólido semiinfinito con convección en la superficie. Cabe apuntar que este análisis es muy útil en el estudio de una placa infinita cuando los tiempos de exposición son relativamente pequeños. 4.5. Conducción transitoria en más de una dimensión En ciertas situaciones de interés práctico la transferencia de calor se lleva a cabo en varias direcciones y además depende del tiempo. La distribución de la temper- atura en estos casos puede obtenerse sin dificultad mediante el producto de las soluciones para los problemas unidimensionales descritos previamente. Para ilus- trar este método de análisis considérese la barra de sección transversal rectangu- lar que se muestra en el esquema de la figura 4.21. Supóngase que es infinitamente grande en la dirección axial, de manera tal que T = T(x, y, t) . La barra tiene una temperatura inicial constante Ti y súbitamente se coloca en un medio cuya tem- peratura es T=-" La ecuación diferencial que gobierna este proceso transitorio es ¡;2T ¡;2T 1 aT - - + -- = - - (4.52) Jx 2 Jy2 a at http://gratislibrospdf.com/
  • 165. 4.5. Conducción transitoria en más de una dimensión 151 2W 2H 1 00 Figura 4.21. Barra infinita. con las siguientes condiciones inicial y de frontera: T(x, y, O) = Ti (4.53) aT ax (O,y,t)=O (4.54) aT - k-(W, y, t) = h[T(W, y, t) - T~ ] (4.55) ax aT ay (x,O,t) = o (4.56) -k - aT (x, H, t) = h[ T(x, H, t) - T~ ] (4.57) ay En términos de la temperatura adimensional T* = (T - T~)I(Ti - T~), las expre- siones anteriores adquieren la forma siguiente: 2 aT* 2 a T* 1 aT* --+-- = - - (4 .52a) ax2 ay2 a at T* (x, y, O) =1 (4.53a) aT* - (O,y,t) = O (4.54a) ax aT* h * - (w,y,t)=- - T (W,y,t) (4.55a) ax k http://gratislibrospdf.com/
  • 166. 152 4. Conducción de calor en estado transitorio aT* - (x,O,t)=o (4.56a) ay aT* . h * - (x,H,t) =- -T (x,H,t) (4.57a) ay k Supóngase ahora que T*(x, y, t) = TxCx, t)Ty(y, t) (4.58) es la solución de la ecuación diferencial. Al sustituir esta expresión en la ecuación 4.52 se obtiene (4.59) Del mismo modo, al sustituir la solución 4.58 propuesta en las condiciones inicial 4.53a y de frontera 4.54a a 4.57a se obtiene (4.60) aa; (O, t) = ° (4.61) aTx(W t) =- ~T(W t) (4.62) ax k x aT (4.63) a; (O,t)=o y aT (H ay t) =- ~Ty (H , t) k (4.64) Al examinar de la ecuación 4.59 a la 4.64 se observa con claridad que serán satis- fechas si, a su vez, las funciones TxCx, t) y Ty(y, t) satisfacen los dos problemas adi- mensionales siguientes: i) Placa infinita de espesor 2W J 2 Tx _ 1 aTx ax2 - a Tt http://gratislibrospdf.com/
  • 167. 4.5. Conducción transitoria en más de una dimensión 153 Il a:; (o, t) =° ~ !. 1~ aTx (W t) =-2T (W t) d ax k x ~ ii) Placa infinita de espesor 2H j I ¡PTy _! aTy al - a at aT a; (o, t) =° aTy (H t) = - 2 T (H t) ay k y , De lo anterior se desprende que la solución del problema transitorio bidimensional de conducción de la barra de la figura 4.21 puede obtenerse mediante el produc- to de las soluciones de dos placas infinitas, una de espesor 2W y otra de 2H. La for- ma de estas soluciones Tx Y Ty coincide precisamente con la de la ecuación 4.28. Es decir, para la barra de nuestro ejemplo, --=-?=-I ~ 1 00 Barra2Wx2H = ~=? I 1 00 Placa2W x ~=? I 1 00 Placa 2H (4.65) Aun cuando el desarrollo anterior sólo contempló la transferencia de calor bidimen- sional en estado transitorio, el producto de soluciones también puede aplicarse a problemas tridimensionales. En consecuencia, la solución de un paralelepípedo de dimensiones 2W x 2H x 2L puede obtenerse mediante el producto de las solu- ciones de tres placas infinitas, cada una de espesor 2W, 2H y 2L, respectivamente. El análisis transitorio de un cilindro finito de radio ro y altura 2L puede obtenerse con el producto de las soluciones de una placa infinita de espesor 2L y de un cilin- dro infinito de radio ro. En la figura 4.22 se muestra un esquema de tal solución. http://gratislibrospdf.com/
  • 168. 154 4. Conducción de calor en estado transitorio Figura 4.22. Cilindro finito. Ejemplo 4.9. En un horno cuya temperatura es de 400 oC se introduce un paralelepípedo de 0.61 X 0.61 X 1.22 m, como se muestra en la figura E.4.9. El cuerpo tiene una temperatura inicial de 20 oC, y es menester que todo el cuerpo alcance una tem- peratura por lo menos de 370 oc. La circulación de gas inerte en el horno es tal que el coeficiente de transferencia de calor es de 565 W/m2 K. Determine el tiem- po mínimo que debe permanecer el paralelepípedo en el horno. Supónganse las siguientes propiedades físicas para el material: k = 43 W/moC ya = 0.053 m 2/h. Solución Para el centro del paralelepípedo, T - T= I = 370 - 400 = 0.079 = T¡ - T= Paralelepípedo 20 - 400 T-TI - -= - X T-T= X T-T= T-T= Placa 0.61 m T-T= 1 1 Placa 0.61 m T-T= 1 Placa 1.22 m T 1.22 m 1 L r S·61 0.61 m- T ~ m Figura E.4.9. http://gratislibrospdf.com/
  • 169. 4.5. Conducción transitoria en más de una dimensión 155 Puesto que se desconoce el tiempo que debe permanecer el cuerpo en el horno, el problema requiere varios tanteos. Para las placas de 0.61 m de espesor, 1 k 43 = 0.25 Biw hW (565)(0.305) Del mismo modo, para la placa de 1.22 m de espesor, 1 k 43 = 0.125 (565)(0.61) Después de algunos cálculos, supóngase un tiempo de permanencia de 1.53 h: Fo = at = (0.053)(1.53) = 0.872 w W2 (0.305)2 y Fo = at = (0.053)(1.53) = 0.218 L L2 (0 .61)2 Con estos parámetros se deduce de la figura 4.8 que T-Tool = 0.315 T. - T. , 00 Placa2W y T- TI oo = 0.80 T. - T. , 00 Placa 2L Por consiguiente, (0.315)2 (0.80) = 0.079 De lo anterior se deduce que el tiempo mínimo de permanencia en el horno para que el paralelepípedo alcance una temperatura de 370 oC en su centro es igual a 1.53 horas. Ejemplo 4.10. Un pequeño cilindro de latón de 10 cm de diámetro y 12 cm de altura tiene una temperatura inicial de 120 oC y expone al aire ambiente a 25 oC. El coeficiente de transferencia de calor entre el cilindro y el aire se estima en 60 W/m20 C. http://gratislibrospdf.com/
  • 170. 156 4. Conducción de calor en estado transitorio Calcule la temperatura (supónganse las propiedades siguientes para el latón: k = 110 W/moC y a = 33.9 x 10-6 m 2/s). a) En el centro del cilindro. b) En el centro de las superfiéies planas después de 15 minutos. Solución a) Es posible analizar el cilindro mediante la intersección de una placa infinita con un cilindro infinito. Para la placa, at (3.39 x 10-6)(900) Fo=- = 2 = 8.48 L (0.06)2 ~ _ ~= 110 = 30.6 Bi kL (60)(0.06) Al recurrir a la figura 4.8 se obtiene T(O,t) - T~1 = 0.8 T- T 1 ~ Placa 12 cm De forma similar, para el centro del cilindro, at (3 .39 x 10-6)(900) Fo= 2 = 2 =12.2 ro (0.05) _1 _ _k = 110 = 36.7 Bi hrO (60)(0.05) Si nos apoyamos en la figura 4.11 obtenemos T( O, t) - T~ I = 0.5 ~ - T~ Cilindro de 10 rnm En consecuencia, T(O, O~t)- T~ I = (0.8)(0.5) = 0.40 ~ T 00 CI d 11nro Por tanto, la temperatura en el centro del cilindro es T(O, O, t) = 25 + 0.40 (120 - 25) = 63 oC http://gratislibrospdf.com/
  • 171. 4.6. Diferencias finitas. Método explícito 157 b) Para evaluar la temperatura en las superficies planas del cilindro se requiere corregir la temperatura de la placa infinita. Con base en la figura 4.9, para x/L = 1 Y l/Bi = 30.6, se obtiene T - T~ I = 0.98 T, o - T~ Placa 12 cm Por consiguiente, para la placa infinita T(L, t) - T~ = (0.98)(0.8) = 0.784 Ti - T~ Por último, T(L, O~t) - T~ I = (0.784)(0.5) = 0.392 Ti T~ Cilindro y T(L, O, t) = 25 + 0.392 (120 - 25) = 62.2 oC 4.6. Diferencias finitas. Método explícito Aun cuando las técnicas analíticas descritas son muy útiles en el estudio de sis- temas cuya configuración geométrica es relativamente sencilla, no siempre resul- tan prácticas al analizar sistemas de geometría compleja o cuando las condiciones de frontera dependen del tiempo. El método numérico de solución con diferencias finitas es aún más útil en tales casos. Como el tema va más allá del propósito de esta obra, considérese a guisa de ejemplo el planteamiento en diferencias finitas de un c alentador eléctrico de placa de espesor 2L, como se muestra en la figura 4.23. Supóngase que se desea conocer la distribución de temperatura después de que se interrumpe la énergía eléctrica. Medi<kJ.te un balance de energía en el sistema de la misma figura se obtiene k T1- l ,}· - Tl , }. + k T1+ ¡ , } -Tl , }· = c( &) T · ¡ - T. l,}+ l ,} & & P t!..t http://gratislibrospdf.com/
  • 172. 158 4. Conducción de calor en estado transitorio donde el subíndice i se refiere a una posición x y el subíndice j a un instante t. Al acomodar la expresión anterior ahora obtenemos (4.66) donde ~o = a!1t/(tuYes el número de Fourier basado en las diferencias D.t y D.x. De forma optativa, la expresión anterior puede escribirse como T¡,j+l = L:lFo (T¡+l,j + T¡_l) + (1 - 2D.Fo) T¡,j (4.66a) Se dice que la ecuación 4.66a es explícita, pues las temperaturas desconocidas de los nodos interiores pueden determinarse mediante los valores de temperatura ya conocidos en un intervalo de tiempo anterior. La condición inicial del problema ° determina las temperaturas en todos los nodos interiores para t = (o j = O), por lo que la aplicación sucesiva de la ecuación 4.66a permite calcular las temperatu- ras en t = M, t = 2M, etc. El valor de D.x suele seleccionarse teniendo en cuenta la exactitud requerida en la solución y el equipo de cómputo disponible. Sin embar- go, cabe apuntar que el valor de M no puede fijarse de manera arbitraria, sino por requerimientos de estabilidad. El criterio de estabilidad, sin demostrarlo aquí, pre- cisa que el coeficiente asociado con el nodo en estudio (i, j) sea mayor o igual a cero. Así, al analizar la ecuación 4.66a se observa que (1 - 2~0) ~ 0, o ~o ~ 1/2 (4.67) -.. r-- !1x .. . ;-1 ; ;+1 Figura 4.23. Placa infinita de espesor 2L y volumen de control en el instante t. http://gratislibrospdf.com/
  • 173. 4.6. Diferencias finitas. Método explícito 159 La ecuación 4.66a necesita complementarse con dos condiciones de frontera adi- cionales a la inicial. Combinando las ecuaciones 2.38 y 2.39 se obtiene la con- dición inicial, esto es, T( X, O) = ~up + q "L2 [ 1 - ( 2k ~ )2] Al hacer un balance de energía en el nodo de la superficie como el que se mues- tra en la figura 4.24, kA ( ) & T¡,j+l -T¡,j hA ( T -T· ) + - l, j & 00 Tl- 1,j -T· =pcA --..::..--:e... l,j 2 f...t Al acomodar la expresión, T¡ j+l , = pc& (Too - 2hf...t T¡ j)+ 2af...2 (T¡ -l j - T¡ j)+ T¡ j (&) t , , , Reconociendo que 2hM/ pc& = 2f...Bif...Po y f...Bi = h&/k, T¡,j+l = 2f...Fo[ T¡-l,j + (f...Bi )Too ] + (1- 2f...Fo - 2f...Bif...Fo )T¡,j (4.68) T~ i -1 Figura 4.24. Nodo sobre una superficie que intercambia calor por convección. http://gratislibrospdf.com/
  • 174. 160 4. Conducción de calor en estado transitorio • • O 1 !1.x 2 2 Figura 4.25. Nodo sobre una superficie aislada. De acuerdo con el criterio de estabilidad antes enunciado, 1- 2&0 - 2Lilli&0 ¿ O o &0(1 + Lilli) S .!. (4.69) 2 Al comparar las ecuaciones 4.67 y 4.69 se observa que el valor de !1.Fo que establece la ecuación 4.69 es menor (ya que Lilli ¿ O), por lo que debe emplearse en la solución del problema. La ecuación 4.66a también puede aplicarse al nodo O que está en el plano cen- tral haciendo que T i- b j = Ti+1 , j- Ejemplo 4.11. Considérese una placa plana de 20 mm de espesor como la que se muestra en la figura 4.24, la cual disipa calor por ambos lados hacia un medio cuya tempe- ratura es de 250 oc. La placa opera en estado estable con una generación de calor por unidad de volumen q" = 107 W/m3. Repentinamente la generación de ca- lor cambia a q" = 2 X 107 W/m 3 . Determine la distribución de la temperatura después de 1.5 s de que se modificó la generación de calor. Las propiedades del material de la placa son: k = 30 W/moC y a = 5 x 10-6 m2/s. http://gratislibrospdf.com/
  • 175. 4.6. Diferencias finitas. Método explícito 161 Solución Supondremos en el análisis que Llx = 2 mm y sólo se analizará la mitad del espe- sor de la placa. Un balance de energía en cualquier nodo i indica que kA T1- l· - ,} T, } + kA T1+ l· - T, }. + "ALlx = >AcLlx Tl ,}+ I-Tl,}. l ,} l · Llx Llx q P I1t Al reacomodar la expresión, T¡,j+1 = I1Fo[ T¡-I,j + T¡+I,j + q"(Llx)2 ] + (1- 211Fo )T¡,j k (a) Como se dijo con anterioridad, esta expresión puede emplearse para el nodo O con Ti-l> j = T i+ l , j así como para los nodos 1, 2, 3 Y 4. Con un balance de energía en el nodo 5, ubicado sobre la superficie, T4 · -F.S· Llx hA (T - F. . ) + kA ,} ,} + "A - Llx = p>A - c F.S·I-F.S,}· ,}+ = S,} Llx q 2 2 I1t Acomodando la expresión, (h) o 1 2 3 4 5 T = 250 o ~ c h = 1100 W/m 2 °C 1+--10 mm ~ Figura E.4.11. http://gratislibrospdf.com/
  • 176. 162 4. Conducción de calor en estado transitorio Al analizar las ecuaciones (a) y (b) se desprende que es la última la que deter- mina el criterio de estabilidad, esto es, L1Fo(1 + ilBi) :::; . ! 2 Así, ilBi = hL1x = (1100)(0.002) = 0.073 k 30 y L1Fo:::; 0.466 o ilt = ilFo(L1x)2 :::; (0.466)(0.002)2 :::; 0.373s a 5xlO-6 Para simplificar el análisis numérico se seleccionará ilt = 0.3 s, valor que satis- face el criterio de estabilidad. De este modo, (5 X 10-6 )(0.3) L1Fo = 2 = 0.375 (2 x 10-3 ) Sustituyendo valores numéricos en las ecuaciones (a) y (b) con q" =2 X 10-7 W/m3 se obtienen las expresiones siguientes: TO,j+l = 0.375(2T1,j + 2.67) + 0.250TO,j T1,j+l = 0.375(To,j + T 2 ,j + 2.67) + 0.250Tl,j T2 ,j+l = 0.375(T1,j + T 3,j + 2.67) + 0.250T2 ,j T 3 ,j+l = 0.375(T2 ,j + T 4 ,j + 2.67) + 0.250T3 ,j T4 ,j+l = 0.375(T3 ,j + TS ,j + 2.67) + 0.250T4 ,j TS ,j+l = 0.750(T4 ,j + 19.67) + 0.195Ts,j Además, para q" = 107 W/m 3 , 7 "L (10 )(0.01) T.s,o = T.= + L- = 250 + h 1100 = 340 Por tanto, T(x, O) = 340.91 + 16.67[1- ~:) http://gratislibrospdf.com/
  • 177. 4.7. Método gráfico de Schmidt 163 A continuación se presentan las temperaturas en los distintos nodos como fun- ción del tiempo: j t, s To TI T2 T3 T4 Ts O O 357.58 356.91 354.91 351.58 346.91 340.91 1 0.3 358.08 357.41 355.41 352.08 347.41 341.41 2 0.6 358.58 357.91 355.91 352.58 347.91 341.88 3 0.9 359.08 358.41 356.41 353.08 348.41 342.35 4 1.2 359.58 358.91 356.91 353.58 348.89 342.82 5 1.5 360.08 359.41 357.41 354.07 349.37 343.27 00 00 465 .15 463.82 459.82 453.15 443.82 431.82 Para obtener mayor información sobre los métodos numéricos el lector debe remitirse a la obra de Minkowycz (véase la bibliografía más adelante). 4.7. Método gráfico de Schmidt La solución rápida de un cuerpo semiinfinito o una placa infinita puede lograrse con el método gráfico propuesto por Schmidt. Si LlFo = 1/2, la ecuación 4.66a se reduce a Ti+I , j + Ti-I , j (4.70) Ti , j+1 = 2 De esta expresión se observa que la distribución de la temperatura en cualquier instante puede obtenerse mediante el trazo de líneas rectas entre los nodos cuyas temperaturas son Ti _ 1, j Y Ti + 1, j. La intersección de tales rectas con el nodo i, j determina el valor de la temperatura buscado Ti, j + l después de un intervalo I1t = (/u)2/2a, como se ilustra en el esquema de la figura 4.26. Distribución inicial de temperatura T1 = constante Figura 4.26. Construcción del método de Schmidt para un incremento de tiempo. http://gratislibrospdf.com/
  • 178. 164 4. Conducción de calor en estado transitorio Problemas 1. Considérese el proceso de calentamiento de unas placas planas de bronce de 4 cm de espesor que originalmente se encuentran a una temperatura uniforme de 20 oC y que se introducen verticalmente a un horno cuya temperatura es de 500 oC, permanecen dentro por 7 minutos y luego se extraen. El coeficiente de transferencia de calor se estima en 120 W/m2o C. Determine la temperatu- ra en la superficie de las placas cuando están a punto de salir del horno. Supónganse las propiedades siguientes para el bronce: k = 110 W/moC, p = 8530 kg/m3 , cp = 380 J/kg0c. Placa de bronce 4 cm I Figura P.4.1. 2. Considérese el enfriamiento de trozos de carne en una planta procesadora de alimentos, los cuales tienen un espesor promedio de 2 cm (k = 0.45 W/inK y a = 1.28 x 10-7 m2/s). Originalmente se encuentran a 25 oC y se enfriarán en un cuarto frío cuya temperatura ambiente es de -10 oC hasta que sus superfi- cies alcancen los 3 oC. Se estima que el coeficiente de transferencia de calor por ambos lados de la carne es de 9 W/m2 oc. Calcule en minutos el tiempo de enfriamiento en el cuarto frío. 3. Una flecha cilíndrica muy larga de 20 cm de diámetro y de acero inoxidable AISI 304 se extrae de un horno cuya temperatura es de 600 oc. La flecha se coloca -inmediatamente después de extraerla del horno- en otra cámara con una temperatura de 200 oC para permitirle tener un enfriamiento gradual. El coeficiente de transferencia de calor es igual a 80 W/m2°C en estas condi- ciones. Determine la temperatura en el centro de la flecha luego de 45 minu- tos de que empezó el enfriamiento. Las propiedades del acero inoxidable son: k = 14.9 W/mK, P = 7900 kg/m 3, cp = 477 J/kgOC, a = 3.95 x 10- 6 m2/s. 4. Para calentar la leche del biberón que necesita un bebé, la mamá vierte la que extrae del refrigerador en un vaso de vidrio de 6 cm de diámetro y de pared muy delgada. El nivel del contenido es de 7 cm. Después, la señora sumerge http://gratislibrospdf.com/
  • 179. Problemas 165 el vaso en un recipiente con agua caliente a 60 oc y mueve constantemente la leche para que su temperatura sea uniforme. Si el coeficiente de transferencia de calor entre el agua y el vidrio es de 120 W/m 2°C, determine cuánto tiempo se precisa para entibiar la leche de 3 a 38 oc. Supónganse las propiedades si- guientes para la leche: k = 0.598 W/mK, p = 998.0 kg/m 3 , cp = 4182 J/kgOC, ,~ a = 1.43 x 10-7 m2/s. 5. La unión de un termopar - la cual puede aproximarse a una esfera de 0.71 mm de diámetro- va a colocarse en un gas a 200 oC para registrar su temperatura. La temperatura inicial del termopar es de 25 oc. Calcule el tiempo que demora en alcanzar 199 oC en su centro. Se estima que el coeficiente de transferencia de calor es de 400 W/m20 C. Supónganse las propiedades siguientes de la unión: k = 20 W/mK, cp = 400 J/kgOC, P = 8500 kg/m 3 . Respuesta: 5.19 s 6. Se tiene un plato de acero inoxidable de 3 mm de espesor que se desea enfriar suspendiéndolo en forma vertical en el aire ambiente después de haber estado en un horno a 152 oc. El plato tiene una superficie de 40 cm2 por ambos lados. Se sabe que el coeficiente de transferencia de calor -según la ecuación de Langmuir- es variable y obedece a la expresión donde T es la temperatura instantánea en la superficie del plato, y Too la tem- peratura ambiente, que en este caso es de 25 oc. Calcule el tiempo que ha de transcurrir desde que el plato se extrae del horno para que la temperatura en la superficie alcance los 40 oc. Supónganse las propiedades siguientes para el acero: k = 14.9 W/mK, p = 7900 kg/m 3 y cp = 477 J/kgK. Respuesta:· 0.67 h 7. U na placa de aluminio de 3 cm de espesor tiene una temperatura uniforme de 225 oC. Repentinamente se sumerge en un baño de aceite a 25 oC, con un coefi- ciente de transferencia de calor de 320 W/m2 K. Determine el tiempo necesario para que la temperatura en el centro de la placa alcance los 50 oC. Supónganse las propiedades siguientes para el aluminio: k = 160 W/moC, p = 2790 kg/m3 y cp = 0.88 kJ/kgK. Respuesta: 4 min http://gratislibrospdf.com/
  • 180. 166 4. Conducción de calor en estado transitorio 8. Considérese una flecha cilíndrica de transmisión de 10 cm de diámetro y muy larga en la dirección axial, construida de acero AISI 1010 (k = 64 W/moC, cp = 434 J/kgK Y P = 7832 kg/m 3) . La flecha se introduce en un horno con una temperatura de 925 oc. El coeficiente de transferencia de calor se estima en 100 W/m 2 °C. Si la temperatura inicial de la flecha es de 25 oC, calcule el tiem- po que es menester para que su centro alcance una temperatura de 525 oc. Respuesta: t = 11 .5 min 9. Se tiene una tubería de acero de 2 m de diámetro exterior cuyas paredes son de 40 mm de espesor y se encuentra perfectamente aislada en el exterior. Toda la tubería se encuentra a - 20 oc. De pronto se inicia un flujo de aceite caliente por el interior a una temperatura de 60 oc. Se estima que el coeficiente de transferencia de calor es de 500 W/m 2 K. Calcule la temperatura en la superfi- cie exterior a los 8 minutos de comenzado el flujo de aceite. Supónganse las propiedades siguientes para el acero: k = 63.9 W/moC, cp = 434 J/kgK y P = 7824 kg/m 3 . 10. Se desea determinar el coeficiente de transferencia de calor alrededor de una esfera en el aire. Para tal fin se construye una de cobre de 12.7 mm de diámetro. Antes de introducirla en la corriente de aire, cuya temperatura es de 27 oC, la temperatura en el centro de la esfera era de 66 oc. A los 69 segun- dos de comenzado el proceso de enfriamiento en el aire el termopar registró 55 oc. Las propiedades del cobre son: k = 401 W/moC, cp = 385 J/kgK Y P = 8933 kg/m 3 . . Respuesta: 33.14 W/m 2K 11. Considérese un refresco en lata (8 cm de diámetro por 12 de alto) a 27 oc. Se introduce en un refrigerador con una temperatura ambiente de 4 oc. El coefi- ciente de transferencia de calor entre la lata y el aire ambiente se estima en 5 W/m 2K. Tras seis horas se saca del refrigerador y se vierte en un vaso. Estime la temperatura del refresco. Supónganse las propiedades siguientes para éste: k = 0.6 W/m oC, cp = 4178 J/kgK Y P = 996 kg/m 3 . Respuesta: 8.1 oC 12. Una caja fuerte rectangular de gran tamaño tiene un aislamiento de asbesto (k = 0.07 W/moC, a = 0.4 x 10--6 m 2/s) de 10 cm de espesor. Se estima que en un incendio la temperatura en la superficie exterior del asbesto se mantiene a 800 oC, aproximadamente. Si antes de ocurrir el siniestro la temperatura de la http://gratislibrospdf.com/
  • 181. Problemas 167 caja era de 20 oC, calcule el tiempo que puede durar el incendio sin que se dañen los documentos que se encuentran en el interior. 13. Considérese el proceso de refrigeración de la carne en una planta procesadora. Los cortes tienen 2.5 cm de espesor y van a refrigerarse en los anaqueles de un cuarto frío donde se les hará pasar aire a una temperatura de - 15 oc. Los trozos se hallan juntos uno con otro, de manera tal que la transferencia de calor por sus cantos es despreciable. La carne se enfriará de tal modo que debe estar a 7 oC o menos, pero en ningún momento la temperatura podrá ser infe- rior a 1.5 oC para evitar que se congele. El coeficiente de transferencia de calor y, por consiguiente, la razón de enfria- miento puede modificarse ajustando la velocidad del aire que pasa por los cortes de carne durante el enfriamiento. Determine el coeficiente de transfe- rencia de calor que satisfaga tales restricciones de temperatura y al mismo tiempo permita que el tiempo de enfriamiento sea mínimo. Supónganse las propiedades siguientes para la carne: k = 0.471 W/moC, cp = 3540 J/kgK Y P = 1090 kg/m 3 . 14. Se desea analizar el proceso de horneado del esmalte de unos platos de porce- lana fina en un horno. Se encuentran suspendidos dentro del horno en posi- ción horizontal mediante unos pequeños amarres. Por la cara superior de cada uno se hace incidir un flujo de radiación infrarroja de 5000 W/m 2 . El coefi- ciente de transferencia de calor para ambos lados - superior e inferior- es de 25 W/m 2 °C (fig. P.4.14). Se desea conocer: a) La variación de temperatura en los platos con relación al tiempo en ambas superficies para evaluar los parámetros de diseño y determinar la velocidad con la que se desplazarán. b) La temperatura de estado estable en ambas superficies. c) El tiempo que debe transcurrir para alcanzar el estado estable. Los platos tienen una temperatura ambiente inicial de 25 oc. El aire que los rodea se encuentra a la misma temperatura. Radiación infrarroja 111111 1111111 h 5 mm Aire a 25 °C ====h ===============~i ~ = ~--------30 cm--------~~ Figura P.4.14. http://gratislibrospdf.com/
  • 182. 168 4. Conducción de calor en estado transitorio Supóngase que los platos miden 30 cm de diámetro y 0.5 cm de espesor. Las pro- piedades de la porcelana son: k = 0.35 W/moC, e = 1250 J/kgOC y P = 1900 kg/m 3 . 15. En un día muy soleado una carretera de concreto alcanza temperaturas del orden de 45 oc. Por otra parte1 una tormenta reduce la temperatura de la super- ficie a 17 oc. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que el concreto alcance una temperatura de 28 oC a 2 cm de profundidad? Las propiedades del con- creto pueden suponerse como: k = 1.04 W/moC, e = 880 J/kgOC y P = 2500 kg/m 3 . 16. Se desea evaluar un tratamiento térmico para un material especial. Para tal fin se tiene una esfera de 5 mm de radio en un horno a 400 oc. Repentinamente se extrae la esfera y se somete a dos procesos de enfriamiento: i) Se enfría en aire a 20 oC por un periodo ta hasta que el centro alcanza una temperatura crítica de 335 oC. En este caso, el coeficiente de transferencia de calor es igual a 10 W/m 2 °C. ii) Después de que la esfera logra esta temperatura crítica, se enfría en agua a 20 oC con un coeficiente de transferencia de calor igual a 2000 W/m 2 °C, hasta que su centro alcanza 50 oc. Las propiedades del material son: k = 20 W/moC, e = 1000 J/kgOC Y P = 3000 kg/m 3 . a) Calcule el tiempo que debe permanecer la esfera en el aire. b) Estime el tiempo que debe permanecer la esfera en el agua. 17. Se hace pasar repentinamente una corriente eléctrica de 5 A por un conductor eléctrico de cobre de 1 mm de diámetro con una temperatura ambiente de 25 oC. Calcule la temperatura en la superficie del conductor a los 40 s, suponiendo que el coeficiente de transferencia de calor es de 25 W/m 2 °C. Las propiedades del conductor son: k = 386 W/moC, e = 383 J/kgOC Y P = 8950 kg/m 3 , Pe = 1.8 X 10- 8 Qm. 18. Se desea templar un cristal de 4 mm de espesor y 0.5 m 2 de superficie. Este material tiene una temperatura inicial de 650 oc. Para templarlo es preciso que su plano central se encuentre a 425 oC y su superficie a 300. El aire para el templado se halla a 50 oc. a) Calcule el coeficiente de transferencia de calor requerido para lograr el templado. b) Estime el tiempo para lograrlo. Supónganse las propiedades siguientes para el vidrio: k = 1.326 W/moC, e = 1100 J/kgO Y P = 2500 kg/m 3 . C http://gratislibrospdf.com/
  • 183. Bibliografía 169 Bibliografía Bejan, Adrian, Heat Transfer, John Wiley & Sons, 1993. Minkowycz, W. J., E. M. Sparrow, G. E. Schneider y R. H. Pletcher, Handbook of Numerical Heat Transfer, John Wiley & Sons, 1988. http://gratislibrospdf.com/
  • 184. http://gratislibrospdf.com/
  • 185. 5. Fundamentos de convección forzada Nunca están solos aquellos a quienes acompañan pensamientos nobles. PHILLlP SIDNEY Hasta ahora se ha supuesto conocido el coeficiente de transferencia de calor h en todos los análisis que hemos realizado. Sin embargo, con frecuencia la mera deter- minación de tal coeficiente implica un problema complejo. Por ello en este capí- tulo se examinan algunos métodos para predecir en una situación concreta el valor del coeficiente de transferencia de calor en convección forzada. En primer lugar, se destacará la relación física que hay entre el proceso de transferencia de energía y el movimiento del fluido. Como resultado de este análisis de tipo fundamental podremos desarrollar correlaciones analíticas para la determinación del coefi- ciente h. No obstante, posteriormente será obvio que, dada la complejidad que implican los procesos, no siempre pueden obtenerse soluciones analíticas para numerosos problemas de interés práctico. Por consiguiente, en estos casos es me- nester recurrir a diferentes correlaciones experimentales para obtener la informa- ción necesaria. Tales correlaciones empíricas se expresan en forma de gráficas o de expresiones matemáticas. Aquí sólo presentaremos algunas de las correlaciones más comunes; sin embargo, para una mayor información el lector podrá acudir a bibliografía especializada.5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar Considérese el flujo de un fluido sobre una placa plana como se muestra en el esquema de la figura 5.1 . Ahí se observa que, como resultado de los efectos vis- cosos, la velocidad relativa del fluido en la interfase es igual a cero. Por otra parte, esta velocidad aumenta én forma progresiva conforme se incrementa la distancia y, hasta un punto en que las fuerzas viscosas de corte son prácticamente insigni- ficantes. La región próxima a la placa en donde se experimentan los efectos vis- cosos se conoce como capa límite hidrodinámica. Por lo general, su espesor, que 171 http://gratislibrospdf.com/
  • 186. 172 5. Fundamentos de convección forzada es muy pequeño, lo especifica la coordenada y, donde la velocidad del fluido alcanza 99% de la velocidad de corriente libre U ooo Este concepto de capa límite fue una aportación de Prandtl y en esencia divide el campo de flujo en dos regiones: una capa muy delgada en donde las fuerzas vis- cosas de corte son significativas y úna región exterior donde los efectos viscosos son prácticamente despreciables. Como en el caso de la capa límite hidrodinámica, los gradientes de tempe- ratura en el fluido también se hallan confinados a una región próxima a la super- ficie de la placa, por lo que puede definirse en forma análoga una capa límite tér- mica como se muestra en la figura 5.2. Inicialmente, el desarrollo de la capa límite a lo largo de la placa es laminar, es decir, el fluido se desplaza a lo largo de láminas y sus partículas siguen una sucesión ordenada y continua sin cruzarse unas con otras. Sin embargo, a cierta distancia crítica Xc> que depende del campo de flujo y de las propiedades del fluido , empiezan a experimentarse pequeñas perturbaciones que se amplifican a medida que aumenta la distancia. Como consecuencia, se presenta un proceso de transi- ción hasta que el flujo se toma completamente turbulento. Esta transición de régimen laminar a turbulento no es abrupta y depende de las condiciones de rugosidad de la superficie y del nivel de turbulencia en la corriente libre del fluido. Por lo general, para una placa plana se establece como criterio de transición para propósitos de análisis el que xcu~ pi J1 sea aproximadamente igual a 5 x lOs. Este grupo adimensional de variables que constituye un cociente de fuerzas inerciales a fuerzas viscosas recibe el nombre de número de Reynolds. Esto es, (5.1) u (x, y) Figura 5.1. Capa límite hidrodinámica. http://gratislibrospdf.com/
  • 187. -" --- -- - --- ~-~~- -~~- 5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar 173 T~ Figura 5.2. Capa límite térmica. Debe hacerse hincapié en que la transición de régimen laminar a turbulento se lleva físicamente a cabo en un amplio rango del número de Reynolds y no de mane- ra drástica. En contraste con el flujo laminar que nos ocupa por el momento, donde la transferencia de calor y la cantidad de movimiento se realizan por difusión molecular entre láminas, en el régimen turbulento se presenta en forma irregular a través de elementos macroscópicos de fluido que se desplazan de manera errátifa. En virtud de la relación física tan estrecha que guardan el movimiento del fluido y la transferencia de energía que ocurre, la determinación analítica del coeficiente de transferencia de calor en régimen laminar implica conocimiento pleno de la dis- tribución de la velocidad y de la temperatura en el fluido que rodea al sistema. Con este fin, a continuación se desarrollan las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía para una placa plana con régimen laminar. 5.1.1. Ecuación de continuidad Considérese un volumen de control dentro de la capa límite como se muestra en la figura 5.3. Un balance de materia indica que, en estado estable, el flujo de masa que entra en el sistema es igual al que se sale de él. Si se denota con u y v las componentes horizontal y vertical de la velocidad, respectivamente, se obtiene Al dividir esta expresiól! entre fu:i1y&, hacer que fu: y i1y tiendan a cero y suponiendo que la densidad del fluido es constante se obtiene (5.2) La anterior constituye la ecuación de continuidad. http://gratislibrospdf.com/
  • 188. 174 5. Fundamentos de convección forzada pt3.xt3. zV ly + t.y Mul pt3.y x . pt3.yt3.z t3.y t3.x pt3.Xt3.ZVly Figura 5.3. Balance de materia en un volumen de control. 5.1.2. Ecuación de movimiento Considérese ahora el mismo volumen de control como se muestra en el esquema de la figura 5.4. Para obtener la ecuación de movimiento en la dirección x debe- mos recurrir a la segunda ley de Newton, que establece que la suma de fuerzas que actúa sobre el sistema debe ser igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento. Es decir, donde los primeros dos términos del miembro izquierdo de la ecuación se refieren a la cantidad de movimiento en la dirección x que entra y sale del sistema por las superficies izquierda y derecha, respectivamente. Los términos tercero y cuarto denotan la cantidad de movimiento que entra y sale del sistema por las superficies inferior y superior correspondiente. De forma similar, los dos últimos términos denotan las fuerzas viscosas de corte que actúan sobre el sistema, en donde r yx se refiere al esfuerzo viscoso de corte que actúa sobre el sistema en la dirección x y en un plano perpendicular a la coordenada y . Si dividimos la expresión anterior entre LULly& y hacemos que LU y Lly tien- dan a cero se obtiene au 2 auv ar p-ax +p-ay +-- =ü yX ay Reordenando la expresión anterior y sustituyendo la ecuación de continuidad 5.2 tenemos que p(u au +vau) =_ ar yx ax ay ay http://gratislibrospdf.com/
  • 189. 5.1. Transferencia de calor en una p laca plana con convección fo rzada en régimen laminar 175 El esfuerzo de corte fyx puede relacionarse con el gradiente de velocidad dU/dy mediante la ley de Newton de viscosidad, esto es, para un fluido newtoniano,* (5.3) donde f.1 es la viscosidad del fluido . Si suponemos que es constante, dU dU d2 U u- + v - = v - - (5.4) dX dy dY 2 donde v = J.1Ip es la viscosidad cinemática del fluido . La ecuación anterior consti- tuye la ecuación de movimiento. Las ecuaciones 5.2 y 5.4 representan dos expresiones que permiten determi- nar las incógnitas u(x, y) y v(x, y). Las condiciones de frontera correspondientes a estas ecuaciones de cambio pueden escribirse como: U(x, O) =O (5.5) u(x, 00)= u"" . (5.6) v(x, O)=O (5.7) u(O, y) = u"" (5.8) Antes de intentar resolver este conjunto de ecuaciones es oportuno examinar las expresiones para familiarizarse con el fenómeno físico . Aun cuando las fuerzas de fricción pueden despreciarse con respecto a las inerciales fuera de la capa límite, son del mismo orden de magnitud en el interior. Al analizar la ecuación de movimiento se observa que la fuerza inercial por unidad de volumen es igual a pUdU/dX, y para una placa de longitud L el gradiente dU/dX es proporcional a uJL. En consecuencia, la fuerza inercial es proporcional a pu",,2/L. Por otra parte, la fuerza de fricción es igual a f.1d 2U/dy2. Como el gradiente de velocidad dU/dY en la dirección perpendicular a la placa es del orden de uJ 8, donde 8 es el espesor de la capa límite hidrodinámica, la fuerza de fricción es del orden de f.1uJ8 2 . Puesto que ambas fuerzas, la de inercia y la de fricción, son del mismo orden de magnitud, 2 u"" u"" p - - f.1 - L 8 o, resolviendo para el espe§or de la capa límite hidrodinámica, 8- ~ ~ u"" (5.9) * Un fluido newtoniano es el que cumple con la ley de Newton de viscosidad. Todos los gases y la mayor parte de los líquidos obedecen a la ecuación 5.3. Sin embargo, fluidos como pastas, polímeros, etc., son no-newtonianos. http://gratislibrospdf.com/
  • 190. 176 5. Fundamentos de convección forzada pAxAzuVl y+",y /I.x /1. Y f-------+ pAx AZUVly+ "y Figura 5.4. Balance de cantidad de movimiento en un volumen de control. En forma adimensional, (5.10) donde ReL se refiere al número de Reynolds basado en la longitud L de la placa. Si en vez de la longitud L se usa la distancia x, se observa que el espesor de la capa límite hidrodinámica 8 es proporcional a x l /2 • Por otra parte, al examinar la ecuación de continuidad se obtiene v 8 (5 .11) Uoo L 5.1.3. Ecuación de energía Consideremos el volumen de control que se muestra en el esquema de la figura 5.5. Para simplificar el análisis supóngase que la conducción de calor en la direc- ción x y la disipación viscosa son despreciables. Por la primera ley de la termo- dinámica se obtiene donde H es la entalpía del fluido. Los primeros cuatro términos corresponden a la energía acarreada por el fluido al entrar y salir del sistema. Del mismo modo, los dos últimos términos se refieren al calor conducido a través del fluido en la direc- ción perpendicular a la placa. Si dividimos la expresión entre LUL1y& y hacemos que LU y L1y tiendan a cero se obtiene a a aqN p - (uH) + p - (vH)+ -Y =0 ax ay ay http://gratislibrospdf.com/
  • 191. 5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar 177 Con la ecuación de continuidad 5.2 y notando que dH/dX = cpdT/dX y dH/dy = cpdT/dy, dT dT d2 T u- +v- - a - - (5 .12) dX dy - di La expresión anterior constituye la ecuación de energía. Sus condiciones de fron- tera correspondientes son: T(x, O) = Ts (5.13) T(x,~) = T~ (5.14) T(O , y ) = T~ (5.15) Conocer la distribución de la temperatura en el fluido es de suma importancia para determinar el coeficiente de transferencia de calor, ya que h = - kdTjdy ly=ü x (5.16) Cabe destacar la semejanza entre las ecuaciones de movimiento y energía. Al com- parar las ecuaciones 5.4 y 5.12 se observa que la solución de ambas debe ser de la misma forma cuando la viscosidad cinemática es igual a la difusividad térmica, por lo que se espera que estas propiedades de transporte tengan gran influencia en las magnitudes relativas de la transferencia de calor y de la cantidad de movimiento. xóz y+ll.y pvHÓXÓZly +Il.y p uH óyózl x puHóy ~y • ~x q " óxózl y y pvHÓXÓZl y Figura 5.5. Balance de energía en un volumen de control. http://gratislibrospdf.com/
  • 192. 178 5. Fundamentos de convección forzada 5.1.4. Método integral Hay numerosas técnicas matemáticas para resolver las ecuaciones de cambio descritas, por lo que se recomienda al lector la obra de Schi1cting para ampliar la información. Sin embargo, las soluciones exactas presentan una dificultad ma- temática considerable aun en el caso de geometrías sencillas, como la de la placa plana que estamos analizando. En consecuencia, a menudo hemos de utilizar métodos aproximados que nos llevan cuanto antes a una solución, pese a que su exactitud sea inferior. A continuación se describe el método integral de Von Karman. Considérese ahora el sistema que se muestra en la figura 5.6. Un balance de materia indica que JI pu( X, y)&dy I - JI x ) pu( X, y)&dy I ro(x) ro( + meo = o (5 .17) o x o x +Ax donde meo denota el flujo de masa que entra por la parte superior del sistema. Del mismo modo, un balance de cantidad de movimiento en el volumen de control que se ilustra en la figura 5.7 nos dice que ro(x) JI 2 I pU &dy - JI rO(x) 2 pU &dy I + meoueo + r sAx& = O (5 .18) O x O x+Ax Al combinar las ecuaciones 5.17 y 5.18, dividir entre Ax& y hacer que Ax tienda a cero se obtiene (5.19) m~ j!-- - I:!x- ---li Figura 5.6. Balance de materia en un volumen de control. http://gratislibrospdf.com/
  • 193. 5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar 179 ó Tsl!.xl!.z IE--- - l!.x-- ------>I Figura 5.7. Balance de cantidad de movimiento en un volumen de control. La expresión anterior constituye la ecuación integral de movimiento. Al examinar esa relación se deduce que, si se conociera el perfil adimensional de velocidad u/u=, la relación funcional para este perfil podría sustituirse en la ecuación 5.19, con el resultado de que podría determinarse el espesor de la capa límite hidrodinámica. Para el análisis aproximado en estudio supóngase el perfil de velocidad siguiente: (5.20) donde a, b, c y d son constantes desconocidas por el momento. No obstante, este perfil de velocidad debe satisfacer ciertas condiciones físicas. Por ejemplo, puesto que la velocidad relativa del fluido es igual a cero en la interfase, u=O en y =O (5.21) Por otra parte, la condición de continuidad en la velocidad al pasar del perfil den- tro de la capa límite a la velocidad de corriente libre requiere que u = u= en (5.22) Otra condición podría incluir la continuidad de la tangente en el extremo de la capa límite, es decir, au = 0 en (5 .23) ay Es posible obtener otra condición de importancia al analizar la ecuación de movimiento 5.4. Puesto que u = v = O en y = O, en y =O (5.24) http://gratislibrospdf.com/
  • 194. 180 5. Fundamentos de convección forzada Al sustituir las condiciones 5.21 a 5.24 en el perfil de velocidad supuesto (ecuación 5.20) se obtiene que a = O, b = 3/2, e = O Y d = -112. Por tanto, (5 .25) Si introducimos esta relación funcional en la ecuación integral de movimiento se obtiene que, tras realizar la integración, Separando variables, Integrando, Puesto que 8 = O cuando x = O, se obtiene que el = O. Por tanto, 8=4.64~ VX (5 .26) u"" o, en términos del número de Reynolds local, 8 4.64 (5 .27) x ~Rex donde Rex = u""x/ v. Cabe apuntar que las ecuaciones 5.25 y 5.26 especifican por completo la distribución de velocidad u(x, y). Por otra parte, la relación funcional de la ecuación 5.27 es de la misma forma que la de la ecuación 5.10 que se obtu- vo antes con el análisis de orden de magnitud. Como referencia histórica resulta interesante mencionar la solución numérica~ que desarrolló Blasius a principios del siglo XX para su tesis doctoral en Gotinga y que se muestra en la figura 5.8. En ella se observa que la velocidad adimensional u/uoo alcanza un valor de 0.99 cuando la variable y(uoo /VX)1I2 es equivalente a 5.0. Por consiguiente, el valor de la constante en la ecuación 5.27 que se obtiene mediante http://gratislibrospdf.com/
  • 195. 5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar 181 " 1.0 • ..... o.,.(j ~ 1.4- x.dl ~+ r ... . / ~vv ~x=1cm_ ~ ....!!... u~ x:J- + x 2 2.5 lJ [l/-o 0+ • • 4.0- 5.0 ~ ir: I O 7.5 - O 10.0 . 0.5 ~~. I + + • .... O 12.5 - 15.0 17.5- " 0.332 x" ~B~asius u~ = 8 mis r 1.~ lit ~¡oo oV o 2 3 4 5 6 7 r ~ puooX X J1. Figura 5.8. Distribución de velocidad en la capa límite. (Fuente: A. J. Chapman, Heat Transfer, Macmillan, 1984.) una solución exacta es de 5.0. Pese a que el perfil de velocidad propuesto en la ecuación 5.25 es hasta cierto punto arbitrario, el espesor de la capa límite obtenido difiere en magnitud con el resultado exacto sólo por 7%. Gracias a la extraordi- naria simplicidad del método integral respecto a la complejidad del método exac- to, el resultado es satisfactorio. Una vez calculada la distribución de la velocidad u(x, y) en el fluido, ahora podemos determinar el perfil de la temperatura T(x, y). A fin de hacer más sencillo el estudio, supondremos que /) > ~. Mediante un balance de energía en el volumen de control de la figura 5.9 se obtiene r o PUH&dY ! x - r o PUH&dY ! x+~ + mTH= + q;fu& = O (5.28) donde mT = ro PU&dY ! x +~ - r o PU&dY ! x (5 .29) Al combinar las ecuaciones 5.28 y 5.29, dividir entre && y hacer que & tienda a cero se obtiene ~ r~ pu(H= -H)dy = _q;l = kaT I dxJo ay y=o http://gratislibrospdf.com/
  • 196. 182 5. Fundamentos de convección forzada.I~!.,jil1, nnnnnjij," Figura 5.9. Balance de energía en un volumen de control. Puesto que H~ - H = cp(T~ - T), -d iD. u(T~ - T)dy = a - aTI (5.30) dx o ay y=o La expresión anterior constituye la ecuación integral de energía. Ahora, para el análisis térmico aproximado supóngase la distribución de la temperatura siguiente en la capa límite térmica: T__T;; = + L1 L1 + L1 T~ T;; A B(L)+c(L)2 D(L)3 (5.31)~I:l.I donde A, B, C y D son constantes. El perfil supuesto debe satisfacer ciertas condi-~i ciones coherentes con el problema físico; por ejemplo, T = Ts en y= O (5 .32) T = T~ en y = L1 (5.33) aT = 0 ay en y = L1 z34) y si recurrimos a la ecuación 5.12, aT =0 2 -2 en y=O (5.35) ay Al sustituir las ecuaciones 5.32 a 5.35 en el perfil 5.31 se obtiene que A = O, B = 3/2, C = O Y D = - 112. Por consiguiente, (5 .36) http://gratislibrospdf.com/
  • 197. 5.1 . Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar 183 Tal distribución de temperatura adimensional se muestra en el esquema de la figura 5.10. Para calcular el espesor de la capa límite térmica ahora debemos remplazar las distribuciones de velocidad y temperatura en la ecuación integral de energía. Sustituyendo entonces las ecuaciones 5.25 y 5.36 en la 5.30 y realizar la inte- gración se obtiene U ~ [8(~~2 ~~4)] ~ ~ dx 20 _ 280 - 2~8 (5.37) donde ~ = I:!J 8. Puesto que ~ < 8, el término que contiene ~ es insignificante en comparación con el que contiene f . Por tanto, Al hacer la diferenciación, ~u (28~d~ + ~2 d8) = ~ 10 ~ dx dx ~8 o Al sustituir el valor de 8 suministrado por la ecuación 5.26, ~3 + 4X~2 d~ =.!.i a (5.38) dx 14 v Pr> 1 u* = u Figura 5.10. Distribuciones adimensionales de temperatura y velocidad en la capa límite. http://gratislibrospdf.com/
  • 198. 184 5. Fundamentos de convección forzada Si observamos que la ecuación anterior se simplifiéa a (5.39) Si empleamos el factor de integración 1 = x - 3/4, (5040) Como la placa en cuestión no necesariamente se encuentra a una temperatura Ts a lo largo de toda su superficie, supóngase que el calentamiento no principia sino hasta una distancia Xo, como se muestra en la figura 5.11. Entonces, al integrar la ecuación 5040 en estas condiciones se obtiene (5041) En caso de que Xo = 0, (5042) donde v Pr=-= - P a - cJl k (5043) ( ~---=~ L2: ~~ Superficie a Ts • Figura 5.11. Placa plana en la que el calentamiento principia a una distancia xo. http://gratislibrospdf.com/
  • 199. 5.1. Transferencia de calor en una placa plana con convección forzada en régimen laminar 185 se conoce como el número de Prandtl. Este parámetro relaciona las magnitudes relativas de la transferencia de cantidad de movimiento y de calor en el fluido. Es decir, asocia los espesores relativos de las capas límite hidrodinámica y térmica. Así, para Pr ::::: 1 se obtiene que 8 ::::: Ll. Por otra parte, para Pr > 1 se tiene que 8 > Ll, Y para Pr < 1, 8 < Ll. Cabe mencionar que un análisis exacto de la capa límite da como resultado un valor de 1 en la constante de la ecuación 5.42. El coeficiente de transferencia de calor h puede obtenerse a partir de la ecua- ción 5.16 después de que se conoce la distribución de la temperatura en el fluido, esto es, h = - kdT/ dy! y =0 3k --- - 3k - (5.44) x ~ _ T~ 2Ll 2~8 donde hx denota el coeficiente local de transferencia de calor. Sustituyendo las ecuaciones 5.42 y 5.27 en la expresión anterior tenemos que hx = 0.332~ Re~2 Prl/3 (5.45) x o, en forma adimensional, (5.46) donde Nu x = hxxlk se conoce como el número de Nusselt. Para obtener el coefi- ciente promedio de transferencia de calor (5.47) y por consiguiente, (5.48) Aun cuando la expresión anterior se dedujo para Pr > 1 (o 8> Ll), satisface para cualquier fluido cuyo número de Prandtl sea aproximadamente mayor a 0.7. Por fortuna, la mayor parte de los gases y líquidos pertenece a esta categoría, excepto los metales líquidos, que tienen números de Prandtl del orden de 0.01. En la figu- ra 5.12 se ilustra una comparación de la ecuación 5.48 con datos experimentales El valor exacto de la constante en la ecuación 5.45 es 0.3312. Sin embargo, el análisis exacto de la capa límite aporta un valor de 0.332, el cual es esencialmente igual. http://gratislibrospdf.com/
  • 200. 186 5. Fundamentos de convección forzada . ... 1000 . ,/ . / icuación 5.48 100 v ..... Pr == 0.73 10 •Dat!" exrrrrn 10 10 Figura 5.12. Comparación de la ecuación 5.48 con datos experimentales. (Fuente: A. J. Chapman, Heat Transfer, Macmillan, 1984.) obtenidos con aire para Pr = 0.73 . En virtud de que el análisis anterior supuso propiedades constantes, es recomendable que estas últimas se evalúen a la tem- peratura de película Tf , definida como el promedio aritmético de la temperatura de la superficie y del fluido. Es decir, (5.49) Ejemplo 5.1. Imagínese una placa de 0.1 m de longitud por 0.1 m de ancho a una temperatu- ra de 80 oc. Se hace pasar agua sobre su superficie a una velocidad de 0.1 mis y 40 oC. Calcule el calor disipado por la placa. Supónganse las propiedades del agua siguientes a 60 oC: k = 0.651 W/mK, Pr = 3.02 Y v = 0.478 X 10-6 m2/s. Solución ( Con objeto de determinar si el régimen es laminar, Re = u=L = (0.1)(0.1) = 2.09 X 10 4 L v 0.478 X 10-6 Puesto que el régimen es laminar, ahora puede emplearse la ecuación 5.48. Según esta relación, NUL =138.70 http://gratislibrospdf.com/
  • 201. 5.2. Analogía entre la transferencia de calor y la fricción 187 Por consiguiente, hL = NULk = (138.70)(0.651) = 902.94 W/ m 2 K L (0.1) y q = hA(Ts - T~) = (902.94)(0.01)(80 - 40) q = 361.18 W Ejemplo 5.2. Calcule el espesor de la capa límite hidrodinámica en x = 0.1 m para la placa del ejemplo anterior. Solución Según la ecuación 5.27, 5.2. Analogía entre la transferencia de calor y la fricción El análisis anterior demuestra con claridad la estrecha relación física entre el pro- ceso de transferencia de energía y el movimiento del fluido, por lo que puede intuirse que la transferencia de calor también se relaciona con la fricción de éste. Con el propósito de determinar esta posible relación física es conveniente definir el coeficiente local de fricción fx como fx = r02 (5.50) pu~ 2 . donde ro es el esfuerzo viscoso de corte sobre la superficie de la placa. Al insertar la ley de Newton de viscosidad en la expresión anterior tenemos que f = ,udujayly=o x pu;, 2 http://gratislibrospdf.com/
  • 202. 188 5. Fundamentos de convección forzada Por otra parte, si usamos la expresión para la distribución de la velocidad (ecuación 5.25) en combinación con la del espesor de la capa límite hidrodinámi- ca (ecuación 5.26) se obtiene Ix = 0.647Re~1/2 o, por conveniencia, Ix = 0.323Re~1/2 (5 .51) 2 Definiendo ahora el número de Stanton como (5.52) la ecuación 5.46 puede escribirse como (5.53) Si se compara el miembro derecho de las ecuaciones 5.51 y 5.53, se observa la gran similitud que existe. Nótese que las constantes difieren entre sí por menos de 3%, una pequeña diferencia que obedece a la naturaleza aproximada del método integral. Ante este hecho, ambas expresiones pueden igualarse, lo cual da como resultado St Pr 2/ 3 = Ix (5 .54) x 2 ~ Esta relación entre la transferencia de calor y la fricción del fluido se conoce como analogía de Reynolds. Al examinar la ecuación 5.54, se observa que el coeficiente de película en una placa también puede determinarse en forma experimental sin que haya transferencia de calor mediante una medición de la fuerza de arrastre. Cabe apuntar que la analogía de Reynolds también es válida para el régimen turbulento en una placa. Ejemplo 5.3. Calcule la fuerza de arrastre en la placa del ejemplo 5.1 mediante la analogía de Reynolds. Supóngase que la densidad del agua es de 985.46 kg/m 3 y el calor específico de 4.1843 x 103 JlkgK. http://gratislibrospdf.com/
  • 203. 5.3. Transferencia de calor en una placa con convección forzada en régimen turbulento 189 Solución Según los resultados del ejemplo 5.1 StL = ~ = 902.94 = 2.2 x 10-3 pCpu= (985.46)(4184.3)(0 .1) u opcionalmente, Por otra parte, = 9.19xlO-3 En consecuencia, 3 F = fLApU: = (9.19 x 10- )(0.01)(985.46)(0.1)2 2 2 F = 4.53xlO-4 N 5.3. Transferencia de calor en una placa con convección forzada en régimen turbulento Como ya se dijo, el flujo dentro de la capa límite permanece laminar por una cier- ta distancia que depende de las propiedades y la velocidad del fluido. Sin embar- go, el cociente de fuerzas viscosas a fuerzas inerciales disminuye conforme aumenta el espesor de la capa límite y el campo de flujo se hace turbulento. Aun en esas condiciones persiste un movimiento casi laminar en la vecindad inmedia- http://gratislibrospdf.com/
  • 204. 190 5. Fundamentos de convección forzada ta de la superficie, como se observa en la figura 5.13. Esta porción de la capa límite turbulenta se conoce como subcapa laminar. Por otra parte, adentrándose más en el campo del flujo, se observa una capa de transición entre la subcapa lami- nar y la región turbulenta ~n donde se experimenta cierta turbulencia, pero la transferencia de calor y cantidad de movimiento en el nivel molecular aún son importantes. Aunque varias investigaciones han contribuido de manera considerable a un entendimiento fundamental del fluido turbulento, no han tenido éxito en la predic- ción analítica de los coeficientes de transferencia de calor y de fricción sin recurrir a la experimentación. Esta incapacidad estriba en la enorme complejidad del flujo turbulento, pues las fluctuaciones irregulares de velocidad sobrepuestas al movi- miento principal del fluido no pueden describirse en forma analítica; precisamente estas fluctuaciones son las principales responsables de la transferencia de calor y de la cantidad de movimiento en este régimen. El coeficiente local de fricción para flujo turbulento en una placa plana está dado por la expresión empírica siguiente: Ix = O.0592Re ~J/5 (5.55) que concuerda con los resultados experimentales en el rango de números de Reynolds de 5 x 105 a 5 x 107.* El coeficiente de transferencia de calor puede calcularse Subcapa laminar (a) Id = c:=Jc=2 ==:;~~~~00~t§capa Régión turbulenta de transición Subcapa laminar (b) Figura 5.13. Ca) Distintos regímenes de flujo en la capa límite de una placa plana. Ch) Perfil de velocidad en la capa límite turbulenta. * Una ecuación más complicada propuesta por Schultz-Grunow que cubre todos los números Reynolds es de la forma: f = 0.370 x (loglO Re x )2.584 http://gratislibrospdf.com/
  • 205. 5.3. Transferencia de calor en una placa con convección forzada en régimen turbulento 191 con facilidad mediante la analogía de Reynolds. Si se supone que la capa límite turbulenta empieza en el extremo de la placa por donde el fluido incide u, opcionalmente, se desprecia la existencia de la capa límite laminar, es decir, L» XC mediante la ecuación 5.54 se obtiene Nu x = Ix 2 Re Pr 1/ 3 x (5.56) (5.57) En la ecuación 5.56 se observa que el coeficiente local de transferencia de calor en régimen turbulento disminuye proporcionalmente a lIxO. 2 con la distancia X, mientras que en el régimen laminar disminuye proporcionalmente a lIx°.5. Esto es, el coeficiente de transferencia de calor disminuye más rápido en el flujo laminar. Por otra parte, para un valor determinado del número de Reynolds, el coeficiente de transferencia de calor en régimen turbulento es mayor que en régimen laminar. Cabe recordar que las ecuaciones 5.56 y 5.57 ignoran la existencia de la capa límite laminar. Empero, ésta puede incluirse combinando las expresiones 5.51 y 5.55 en la analogía de Reynolds, es decir, Al sustituir el valor de Xc =5 x 105 v/u= y hacer la integración se obtiene (5.58) Esta expresión es válida para 0.6 < Pr < 60, 5 X 105 < ReL < 108 . Debe apuntarse que las propiedades físicas del fluido en las ecuaciones 5.56 a 5.58 se evalúan a la temperatura de película T¡- El espesor de la capa límite hidrodinámica puede calcularse fácilmente median- te la ecuación integral de movimiento (5.19). Si se supone que la porción laminar es insignificante, el perfil de velocidad (véase Shubauer, en la sección de bibliografía) http://gratislibrospdf.com/
  • 206. 192 5. Fundamentos de convección forzada es de la forma u/uoo = (y/8)ln y el esfuerzo viscoso de corte en la interfase es de 0.0233puoo2 (v/uoo 8)114. El resultado que se obtiene es (5 .59) Queda como ejercicio que el lector demuestre esta expresión. Ejemplo 5.4. Imagínese una placa de 1 m de longitud por 1 m de ancho a una temperatura de 80 oc. Se pasa agua sobre su superficie a una velocidad de 1 mis con una tempe- ratura de 40 oc. Calcule el calor que disipa por la placa. Supónganse las propieda- des siguientes del agua a 60 oC: k = 0.651 W/mK, Pr = 3.02, v = 0.478 x 1(Yí m2/s. Solución La expresión siguiente determina el número de Reynolds Re = uoo L = (1)(1) = 2.09 x 106 V 0.478 X 10-6 Puesto que el régimen es turbulento, NUL = 4825.08 Por tanto, h L = NuLk = (4825 .08)(0.651) = 3141.13 W/m2 K L 1 Por último, q = hA (Ts - Too) = (3141.13)(1)(80 - 40) q = 126 kW http://gratislibrospdf.com/
  • 207. 5.4. Transferencia de calor en un dueto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante 193 5.4. Transferencia de calor en un dudo circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante El calentamiento o enfriamiento de un fluido al circular por el interior de un tubo constituye uno de los procesos de transferencia de calor más importantes. Normal- mente los tubos se emplean en intercambiadores de calor, condensadores, evaporadores, colectores de energía solar, etcétera. Como se ilustra en la figura 5.14, el problema consiste en determinar mediante un análisis el coeficiente de transferencia de calor en un tubo de sección transver- sal circular donde el régimen es laminar y el campo de velocidad se ha desarrolla- do por completo, es decir, el perfil de velocidad u(x, r) que se establece de manera gradual a partir de la entrada del dueto como consecuencia de la capa límite, ya ha alcanzado una forma tal u(r) que no varía con la distancia axial x . Por otra parte, se supondrá que el flujo de calor por unidad de área en la superficie del tubo es constante y el perfil de temperatura también se ha desarrollado en su totalidad. En tales condiciones, un balance de cantidad de movimiento en el volumen de con- trol que se muestra en la figura 5.15 indica que, en estado estable, Al dividir esta expresión entre 2nl1rl1x y hacer que I1r y l1x tiendan a cero, se obtiene .!!..-(rr ) = -r dp (5.60) dr rx dx Integrando esta expresión con respecto al radio, dp r el r = --+- rx dx2 r q~ = constante 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 rhx ¡R 1 1 111 I 1 III I Figura ?14. Ducto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante. http://gratislibrospdf.com/
  • 208. 194 5. Fundamentos de convección forzada /).x Figura 5.15. Balance de cantidad de movimiento en un volumen de control. Puesto que el esfuerzo viscoso de corte es de cero en el centro del tubo, o análoga- mente la velocidad es máxima, la constante el debe ser igual a cero. Por tanto, dp r r =- - - (5.61) rx dx 2 En la figura 5.16 se muestra un esquema de la variación del esfuerzo viscoso de corte como función de la distancia radial. En esa figura se observa que el esfuer- zo es máximo en la interfase sólido-fluido. La variación de la velocidad u con respecto al radio puede obtenerse susti- tuyendo la ley de Newton de viscosidad en la ecuación 5.61, esto es du dp r - J.l- =- - - dr dx 2 Al integrar esta expresión con respecto al radio, dp r 2 u= - -+C dx 4J.l 2 Puesto que u = O en r = R se obtiene __ dp R 2 C2 - dx 4J.l http://gratislibrospdf.com/
  • 209. 5.4. Transferencia de calor en un ducto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante 195 tmáx = _ dp!i dx 2 Figura 5.16. Variación del esfuerzo viscoso de corte como función de la distancia radial. En consecuencia, (5.62) Como la velocidad del fluido es máxima en el centro del tubo, (5.63) Una expresión para la velocidad promedio del fluido u puede obtenerse con senci- llez mediante un balance macroscópico de materia en el tubo. Puesto que la den- sidad del fluido es constante, 2 rR nR U = Jo u2nrdr Al hacer la integración y simplificar se obtiene - Umáx u = ~- (5 .64) 2 http://gratislibrospdf.com/
  • 210. 196 5. Fundamentos de convección forzada Figura 5.17. Perfil de velocidad del fluido en el interior de un tubo. En la figura 5.17 se muestra un diagrama del perfil de velocidad del fluido en el interior del tubo. Hay que señalar que para tubos largos, donde los efectos de la entrada no son importantes, el flujo es laminar cuando el número de Reynolds es in- ferior a 2100, aproximadamente, esto es, Re = Dlil v < 2100 Y D es el diámetro interior del tubo. Una vez que se ha determinado la distribución de la velocidad, se procede a realizar un balance de energía en el volumen de control que se ve en el esquema de la figura 5.18. Recurriendo a la primera ley de la termodinámica, A~ p2rc!1ruH Ix - p2rcr!1ruH IX+UA + q;2rcr!1x 1 - q;2rcr!1x 1+ur r r A =O donde H es la entalpía del fluido y q ~ el calor por unidad de área conducido en la dirección radial. En este balance de energía se ha supuesto que la conducción de calor en la dirección axial, q~, es insignificante en comparación con la energía acarreada por el fluido como consecuencia de su velocidad, puB. Esta suposición no es cierta en el caso de fluidos lentos, cuando la conductividad térmica del fluido es muy alta o cuando se presentan ambas condiciones, como en el caso de los metales líquidos. Al dividir la expresión de arriba entre 2rc!1r!1x y hacer que !1r y !1x tiendan a cero, se obtiene - pru -aH - -a (rqr") =O ax ar Puesto que aHlax = cpaTlax y q; = - kaT/ ar , (5 .65) http://gratislibrospdf.com/
  • 211. 5.4. Transferencia de calor en un dueto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante 197 ., qbrrllxl r+D.r r p2:rr.rll ruH lx Ilx Figura 5.18. Balance de energía en un volumen de control. Puesto que el flujo de calor por unidad de área en la superficie del tubo q ~ es cons- tante y se ha supuesto que el perfil de temperatura está desarrollado por completo, dI dx = constante (5.66) lo que indica que laforma del perfil radial de temperatura no experimenta ningún cambio a medida que se incrementa la distancia axial. Integrando la ecuación 5.65 con respecto al radio se obtiene dT = umáx R dT dr 2a dX [(!.-) _!2 (!.-)3]+ Cl R R R Puesto que dT/dr = ° en r = 0, la constante Cl debe ser igual a cero. Así, dT dr = umáx R 2a dT dX [(!.R-)_!2 (!.-)3] R (5.67) Al integrar de nuevo con respecto al radio, (5.68) La ecuación anterior expresa la variación de la temperatura del fluido como fun- ción de la distancia radial r, en una posición x dada. Aun cuando se desconocen http://gratislibrospdf.com/
  • 212. 198 5. Fundamentos de convección forzada las constantes aTlax y C2 , el coeficiente de transferencia de calor puede determi- narse mediante la relación (5.69) donde Ts es la temperatura del fluido en la superficie interior del tubo y Tm es una temperatura media definida con la expresión T iR uTrdr =-,-,0"--;0-_ _ (5.70) m SOR urdr Esta temperatura media corresponde físicamente al valor de la temperatura que se obtendría en un recipiente si se encontrara el tubo en una posición x y el fluido que saliera se almacenara y mezclara perfectamente. Obsérvese que este valor de tem- peratura difiere del valor promedio en cualquier sección transversal del tubo. Al sustituir las ecuaciones 5.63 y 5.68 en la 5.70 y hacer las integraciones requeri- das, se obtiene que la temperatura promedio está dada por la expresión siguiente: R2 T = 7 um áx aT + C (5.71) m 96 a ax 2 Por otra parte, al sustituir r = R en la ecuación 5.68 se obtiene R2 T = 3 um áx aT +c (5.72) s 16 a ax 2 De manera similar, si sustituimos r = R en la ecuación 5.67 tenemos aT) _ - - aT - umáxR - (5.73) ( ar R 4a ax Por último, al sustituir las ecuaciones 5.71, 5.72 Y 5.73 en la 5.69 obtenemos h=24 ~ 11R o, en función del diámetro D del tubo, Nu = hD = 48 =4.364 (5.74) k 11 http://gratislibrospdf.com/
  • 213. 5.4. Transferencia de calor en un dueto circular con régimen laminar donde la densidad de calor es constante 199 Cabe recordar que la expresión anterior implica que el régimen es laminar y que tanto el perfil de velocidad como el de temperatura se encuentran completamente desarro- llados. Por otra parte, y como se mostró antes, el desarrollo de la capa límite térmica es muy diferente del de la hidrodinámica en el caso de fluidos cuyo número de Prandtl difiere de manera considerable de la unidad. Así, en el caso de fluidos vis- cosos en los que dicho número es muy superior a 1.0, la capa límite térmica se desa- rrolla lentamente con la distancia x del tubo, lo cual da como resultado que el perfil de temperatura se establezca en forma completa sólo a través de una parte significa- tiva de la longitud total del ducto. En consecuencia, la ecuación 5.74 no concuerda de forma apropiada con los resultados experimentales en estas circunstancias. Un análi- sis detallado de la transferencia de calor en un tubo (véase Sellars, en la sección de bibliografía) indica que la solución asintótica 5.74 es válida para valores de xlRPe mayores o iguales a 0.25, donde la coordenada x se mide a partir del punto en que se aplica el flujo de calor y Pe = RePr es el número de Pedet. En la tabla 5.1 se mues- tran diferentes valores del número de Nusselt local para un ducto circular. Para valores pequeños de x/RPe, Knudsen y Katz (véase Knudsen, en la sec- ción de bibliografía) sugieren la aproximación para el número de Nusselt local que se presenta en seguida: Nu x =1.639(~)-1/3, ~ < 0.01 (5.75) RPe RPe Del análisis anterior se desprende que la determinación analítica del coeficiente de transferencia de calor en un sistema dado constituye una tarea compleja en extremo. Tabla 5.1. Números de Nusselt para un tubo circular (q~ = C). x/RPe Nux = hxD/k O 00 0.002 12.00 0.004 9.93 0.010 7.49 0.020 6.14 0.040 5.19 0.100 4.51 00 4.36 (Fuente: W. M. Kays y M. E. Crawford, Convective heat and mass transfer, 3a. ed., McGraw-HiJl, Nueva York, 1993). http://gratislibrospdf.com/
  • 214. 200 5. Fundamentos de convección forzada En virtud de que ya se tienen los fundamentos para determinar mediante análi- sis el coeficiente de transferencia de calor en geometrías relativamente sencillas, a continuación se presenta una síntesis de fórmulas prácticas de trabajo para el cálculo del coeficiente de película, las s;uales se basan primordialmente en observaciones experimentales. 5.5. Fórmulas empíricas para convección forzada en tubos 5.5.1. Régimen laminar En el caso de un tubo circular donde la temperatura de la pared es constante, Hausen (véase sección de bibliografía) recomienda la expresión empírica sigu- iente para calcular el valor promedio del número de Nusselt: Nu = hD = 3.66 + 0.0668(DIL)Pe (5.76) k 1 + 0.04[( DI L )Pe ]2 /3 donde D es el diámetro interior del tubo y L su longitud. Obsérvese que la solu- ción asintótica para longitudes suficientemente grandes es igual a 3.66. Las pro- piedades físicas en la ecuación 5.76 se evalúan a la temperatura media del fluido. 5.5.2. Régimen turbulento Para un flujo turbulento desarrollado por completo en tubos lisos, Dittus y Boelter (véase sección de bibliografía) sugieren la correlación siguiente: - hD 08 Nu = - = 0.023Re . Pr n (5.77) k Las propiedades en esta expresión se evalúan a la temperatura media del fluido y el exponente n adquiere un valor de 0.4 para calentamiento o 0.3 para enfriamien- to. De la ecuación 5.77 se observa que el coeficiente de transferencia de calor es directamente proporcional a la velocidad pr.omedio del fluido elevada a la poten- cia 0.8, e inversamente proporcional al diámetro del tubo elevado a la 0.2. De aquí que para un flujo de masa dado, un incremento en el diámetro del tubo reduce el coeficiente de transferencia de calor proporcionalmente a l/D1.8. De lo anterior se concluye que el uso de tubos de diámetro pequeño conduce a valores altos del coe- ficiente de transferencia de calor. Sin embargo, los costos de bombeo también son elevados en tales circunstancias. http://gratislibrospdf.com/
  • 215. 5.5. Fórmulas empíricas para convección forzada en tubos 201 La ecuación 5.77 es aplicable a fluidos cuyos números de Prandtl varían entre . 0.6 y 160, aproximadamente, yen situaciones donde la diferencia de temperaturas entre la pared del tubo y el fluido es moderada. En la figura 5.19 se muestra una com- paración de datos experimentales con los resultados aportados por la ecuación 5.77. Para tener en cuenta las variaciones en las propiedades físicas del fluido cuan- do la diferencia de temperaturas entre la pared del tubo y el fluido es grande, Sieder y Tate (véase sección de bibliografía) recomiendan la expresión siguiente: (5.78) donde todas las propiedades se evalúan a la temperatura media del fluido, con excepción de la viscosidad Jis la cual se evalúa a la temperatura del tubo. Esta relación es válida para ReD> 10 000 Y 0.7 < Pr < 16700. En el rango de números de Prandtl para gases, 0.5 a 1.0, Rohsenow y Hartnett (véase sección de bibliografía) presentan las dos expresiones siguientes para situa- ciones donde el flujo de calor por unidad de área o la temperatura de la superficie del tubo son constantes. Respectivamente, (5.79) (5.80) 10 ~. o t)tO >8" 0" - " ---tI 0~ Í", r;~ <:>,,"V. 10 2 ~v~ , 09 o 10 , 10 3 10 10S 10· Re Figura 5.19. Correlación de datos experimentales para convección forzada en tubos lisos y con régimen turbulento. (Fuente: J. P. Holman, Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1986.) http://gratislibrospdf.com/
  • 216. 202 5. Fundamentos de convección forzada Obsérvese que en este rango de números de Prandtl empieza a experimentarse una diferencia susceptible de medir entre las dos condiciones de frontera, esto es, qs "= e o Ts = C. Por otra parte, para metales líquidos (números de Prandtl muy pequeños), dos expresiones muy populares so~ la ecuación de Lyon paraflujo de calor cons- tante y la de Seban-Shimazaki para temperatura constante en la superficie del tubo. Éstas son, respectivamente, - 08 Nu q;= e = 7.0 + 0.025Pe . (5.81) - 08 NuT, = e = 4.8 + 0.025Pe . (5.82). / En esas expresiones se evalúan las propiedades físicas del fluido a la temperatura media. Cabe mencionar que si el fluido fluye por un ducto de sección transversal no circular, las correlaciones de transferencia de calor para un ducto circular de diámetro interior D pueden extenderse con frecuencia a tales ductos si se emplea el diámetro hidráulico D h , definido como _ 4A Dh - (5.83) P don de A es el área de sección transversal al flujo y P es perímetro mojado por el fluido. Ejemplo 5.5. Haciendo circular agua por el interior de un tubo de cobre de 5 cm de diámetro interior se desean calentar 100 kg/min de agua hasta 60 oc. El agua tiene una temperatura de 20 oc. La superficie del tubo se mantiene a 100 oC condensando vapor por el exterior. Determine la longitud necesaria del tubo. Las propiedades del agua a 40 oC son: p = 994.59 kg/m 3, cp = 4.1784 X 103 J/kg K, V = 0.658 X 10-6 m2/s, k = 0.628 W/mK y Pr = 4.34. Solución Aplicando la primera ley de la termodinámica a todo el tubo, Despejando la longitud L , (a) http://gratislibrospdf.com/
  • 217. 5.6. Fórmulas empíricas para convección forzada sobre tubos 203 Para determinar si el régimen es laminar o turbulento, Re = Dii = 4m = (4)(100/ 60) v nDpv (n)(0.05)(994.59)( 0.658 x 10-6 ) Re = 64851.33 Según la ecuación 5.77, = 0.023(64851.33 )0.8(4.34 )0.4 Nu=292.59 Por tanto, h = Nuk = (292.59)(0.628) = 3674.93 W/m2 K D 0.05 Al sustituir valores en la expresión (a) , (100/ 60)(4.1784 x 103 )(60 - 20) L = - - -------------- - (n)(0.05)(3674.93)(100 - 40) L = 8.04 m 5.6. Fórmulas empíricas para convección forzada sobre tubos En el caso de gases y líquidos que fluyen en forma transversal por un cilindro de diámetro exterior D, Hólman (véase sección de bibliografía) indica que el coefi- ciente promedio de transferencia de calor puede determinarse mediante la relación siguiente: (5.84) http://gratislibrospdf.com/
  • 218. 204 5. Fundamentos de convección forzada donde Re = uooD/v; las constantes e y n aparecen tabuladas en la tabla 5.2. Las propiedades físicas del fluido se evalúan a la temperatura de película. En la figu- ra 5.20 se muestra la variación del número de Nusselt como función del número de Reynolds para el aire. Tabla 5.2. Constantes para usarse con la ecuación 5.84. Re e n 0.4 - 4 0.989 0.330 4 40 0.911 0.385 40 - 4000 0.683 0.466 4000 40000 0.193 0.618 40000 400000 0.0266 0.805 Debido a la enorme cantidad de fórmulas empíricas de las que dispone el inge- niero para calcular el coeficiente de transferencia de calor en una situación con- creta, se sugiere consultar las referencias que aparecen al final del capítulo para obtener una información detallada. En particular se recomiendan las obras de 600 400 ,,9" 300 ,<" o 200 100 o o o 00 ~~~ ~ 80 60 40 ," 20 J/& ~ bb i&~I~ 1& 10 8 o 6 4 <><JI> fI.2{!I ~~ 2 0<1 o .Ji) .~ 1 0.8 0.6 0.4 0.3 0.1 2 3 4 6 8 1.0 2 3 4 6 8 10 2 3 4 6 8 102 2 3 4 6 8 103 2 3 4 6 8 104 2 3 4 6 8 105 2 3 Re Figura 5.20. Correlación de datos experimentales para aire sobre tubos. http://gratislibrospdf.com/
  • 219. Problemas 205 Rohsenow y Hartnett, Kays y Crawford y Kern, así como las revistas Joumal of Reat and Mass Transfer e International Communications in Reat and Mass Transfer. Problemas 1. Mediante las ecuaciones 5.2, 5.25 Y 5.27 obtenga una expresión para la dis- tribución de la velocidad v(x, y) en una placa plana. Además, determine el valor del componente de velocidad v en y = 8. 2. Con la ecuación integral de movimiento, determine el espesor de la capa lími- te hidrodinámica en una placa plana suponiendo una distribución de velocidad de la forma Respuesta: 8 = 3.46x/ (Re x) 1/2 .1 3. Utilizando la ecuación integral de energía y los datos del problema anterior, . determine una expresión para el número de Nusselt local en una placa plana, suponiendo que la distribución de temperatura es de la forma siguiente: T-~ - 2. "I Too -~ ~ 1I Respuesta: Nux = O.289Re12Pr1l3 .,. . 4. Imagine una placa plana porosa sobre la que pasa un fluido a una velocidad UOO" Por la superficie de la placa se succiona fluido a una velocidad constante V. Determine la ecuación integral de movimiento. 5. Dada la distribución de velocidad u ny - = sen - U oo 28 establezca el espesor de la capa límite hidrodinámica en una placa plana. 6. Considérense dos placas paralelas espaciadas a una distancia 2L entre las que pasa un fluido . Sup.oniendo que los perfiles de velocidad y temperatura están desarrollados por completo, que las placas están sujetas a un flujo de calor q; constante y que el régimen es laminar, a) Determine el perfil de velocidad. b) Establezca el valor de la velocidad promedio. e) Calcule el número de Nusselt para esta geometría. http://gratislibrospdf.com/
  • 220. 206 5. Fundamentos de convección forzada 7. Considérese la convección forzada laminar en estado transitorio en una placa plana. A partir de principios básicos establezca las ecuaciones de cambio. 8. Richardson* sugiere la expresión que se presenta en seguida para la convec- ción forzada laminar en una placa isotérmica: Nu x _ -----y¡2 - Pr 1/ 3 ( 0.3386 - 0.0062 --;¡¡3 + 0.00007 ~ - 0.0000002 -1 ... 1 1 2+ ) Re x Pr Pr Pr Compare los resultados de esta sugerencia con la ecuación 5.46 cuando Rex = 10 000 Y Pr = 0.7. 9. Haciendo circular agua por el interior de un tubo de aluminio de 5 cm de diámetro interior se desea enfriar 100 kg/min de agua desde una temperatura de 60 OC a una de 20°C. La superficie del tubo se mantiene a -20 oC. Deter- mine la longitud que ha de tener el tubo. 10. Supóngase una placa de 0.5 m de longitud por 0.5 m de ancho a una tempe- ratura de 400 K. Sobre su superficie se hace pasar aire a una velocidad de 5 mis a una temperatura de 300 K. Calcule el calor que disipa la placa. 11. El número de Nusselt promedio para el flujo a través de una esfera de diámetro D puede calcularse mediante la expresión siguiente: Nu = 2.0 + 0.236Reo. 606 Pr 1/ 3 Demuestre a partir de principios básicos de conducción de calor que, en ellími- te, cuando el número de Reynolds tiende a cero, el número de Nusselt tiende a 2.0. Bibliografía Chapman, A. J., Heat transfer, Macmillan, 1984. Dittus, F. W. y L. M. K. Boelter, Pub. Eng. 2, University of California, 1930. Hausen, H., Darstellung des warmeuberganges in rohren durch verallgemeinerte potenzbeziehungen, VDI Z, 4, 1943. Holman, J. P., Heat transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1986. Kays, W. M. y A. L. London, Compact heat exchangers, McGraw-Hill, Nueva York, 1993. - - Y M. E. Crawford, Convective heat and mass transfer; McGraw-Hill, Nueva York, 1993. Kern, D., Process heat transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1950. * P. D. Richardson, "Simple and Short Series for Laminar Forced Convection", Letters in Heat and Mass Transf er, vol. 2, pp. 5-8, 1975. http://gratislibrospdf.com/
  • 221. Bibliografía 207 Knudsen, J. G. Y D. L. Katz, Fluid Dynamics and Reat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1958. Kreith, F., PrincipIes of heat transfer, Intext, 1973. McAdams, W. H., Reat transmission, McGraw-Hill, Nueva York, 1954. Rohsenow, W. M. y J. P. Hartnett, Randbook of heat transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1973. Schilcting, H., Boundary layer theory, McGraw-Hill, Nueva York, 1979. Schubauer, G. B. Y C. M. Tchen, Turbulentflow, Princeton University Press, 1961. Schultz-Grounow F., New frictional resistence law for smooth plates, NACA Tech. Mem 968, 1941. Sellars, J. R., M. Tribus, J. S. K1ein, Trans. ASME, 78, 441, 1956. Sider, E. N. Y C. E. Tate, Reat transfer and pressure drop of liquids in tubes, Ind. & Eng. Chem., 28, 1936. http://gratislibrospdf.com/
  • 222. http://gratislibrospdf.com/
  • 223. 6. Convección natural Si fallamos en prepararnos, nos estamos preparando para fallar. B. FRANKLIN En el capítulo anterior se describió el fenómeno de la convección forzada, donde el fluido se hace pasar por la superficie de transferencia de calor mediante la ac- ción de algún agente externo al sistema. Sin embargo, a diferencia de la convección forzada, el movimiento del fluido en la convección natural es consecuencia de las fuerzas de empuje que se ejercen sobre él cuando disminuye su densidad, al en- contrarse en la vecindad de la superficie de transferencia de calor y en presencia de un campo gravitacional (o centrífugo en el caso de una máquina rotatoria). Pese a que el coeficiente de transferencia de calor en convección natural es relativamente bajo si lo comparamos con el de la convección forzada, varios dispositivos dependen por completo de este modo de transferencia de calor para funcionar correctamente. Tal es el caso de algunos transformadores eléctricos, radiadores para la calefacción de edificios residenciales o transistores en equipos electrónicos. Aun cuando el coeficiente de transferencia de calor en convección natural puede obtenerse de forma analítica mediant~ la solución simultánea de las ecuacio- nes de cambio -continuidad, movimiento y energía- en geometrías relativamente sencillas, la tarea es muy compleja. Esta dificultad estriba en que las distribu- ciones de velocidad y temperatura están íntimamente relacionadas entre sí y son interdependientes. Como este tipo de análisis rebasa el alcance de nuestro texto, sólo determinaremos los parámetros adimensionales significativos que intervienen en la convección natural y más adelante se presentará una síntesis de las correla- ciones prácticas más comunes.6.1. Parámetros adimensionales Considérese una plaea vertical a una temperatura Ts Y expuesta a un fluido de menor temperatura cuyo valor es T=- A diferencia de la convección forzada, la velocidad del fluido es igual a cero en la interfase, aumenta hasta cierto valor máximo y luego disminuye a cero en el extremo de la capa límite, como se mues- 209 http://gratislibrospdf.com/
  • 224. 210 6. Convección natural tra en el esquema de la figura 6.1. Por otra parte, ha de mencionarse que el desarrollo de la capa límite es inicialmente laminar, pero a medida que el fluido progresa a lo largo de la placa empiezan a experimentarse perturbaciones y el flujo sufre una transición al régimen turbuh~nto. Un balance de materia en la capa límite laminar indica que si la densidad del fluido se supone constante, (6.1) donde u es el componente de velocidad en la dirección del flujo y v el componente perpendicular a la placa. De manera análoga, un balance de cantidad de movimiento en la capa límite indica que 2 du dU) dp du P( u-+v - =---pg+/l- (6.2) ~ ~ ~ ~2 donde el término pg representa la fuerza por unidad de volumen que ejerce el campo gravitacional sobre el fluido y dp/dx se refiere al cambio de presión causa- do por la diferencia en la altura a lo largo de la placa. Es decir, (6.3) q 1 T, y Figura 6.1. Límite en convección natural. http://gratislibrospdf.com/
  • 225. 6.1. Parámetros adimensionales 211 Al sustituir esta relación en la ecuación 6.2, au au 8( ~u u- +v - = - P - P) +v - (6.4) ax ay p ai 00 La relación de densidades (Poo - p)/ p puede expresarse en términos del coefi- ciente de expansión volumétrica 13. Utilizando su definición, Por consiguiente, (6.5) La expresión anterior constituye la ecuación de movimiento para la capa límite la- minar en convección natural. Por último, un balance de energía en la capa límite indica que (6.6) Nótese que esta ecuación de energía, así como la de continuidad 6.1, tienen la misma forma que las correspondientes a la convección forzada. A fin de obtener los parámetros adimensionales significativos a la convección natural, definiremos las variables siguientes: u* u v * v http://gratislibrospdf.com/
  • 226. 212 6. Convección natural * X X L y y* L donde Uo es una velocidad de referencia a la que no puede dársele una inter- pretación física. En términos de estas variables adimensionales, la ecuación de continuidad 6.1 queda au* av* (6.7) --* + -* =0 ax ay Del mismo modo, la ecuación de movimiento 6.2 se transforma en Puesto que no se tiene una velocidad de referencia Uo significativa en el problema, el último término del miembro derecho de la ecuación diferencial sugiere que v U o = -L Así, al introducir este parámetro en la ecuación de movimiento se obtiene * * au * au * = GrLT* + - -u2 a2 * u - - +v - * - * (6.8) ax ay ay* donde GrL es el número de Grashof, definido como (6.9) Este número adimensional puede interpretarse físicamente como el cociente de fuerzas de empuje entre fuerzas viscosas en la convección natural. http://gratislibrospdf.com/
  • 227. 6.2. Fórmulas para la transferencia de calor por convección natural en una placa vertical 213 Por último, la ecuación de energía 6.6 en forma adimensional puede escribirse como * aT* * aT* 1 a2 T* u - - + v -- = - - - * * (6.10) ax ay Pr ay*2 Al analizar las ecuaciones 6.7, 6.8 Y 6.10 se observa que T* = T*(x*, y*, GrL Pr) (6.11) Por otra parte, hL - - -k il(aT* I - - - -* ] dx * (6.12) L o ay y =o Al combinar esta expresión con la relación 6.11 se obtiene (6.13) Es decir, el número de Nusselt es una función de los números de Grashof y Prandtl. Es conveniente mencionar ahora otro parámetro adimensional muy usado en los textos que se conoce como número de Rayleigh, el cual se define como gf3(~ - Too )L 3 Ra L = GrL Pr = ----- - --- (6.14) va 6.2. Fórmulas para la transferencia de calor por convección natural en una placa vertical 6.2.1. Régimen laminar Squire y colaboradores (véase la sección de bibliografía) obtuvieron una solución aproximada de las ecuaciones que describen la convección natural en, una placa vertical isotérmica, suponiendo perfiles apropiados de velocidad y temperatura en las ecuaciones integrales de movimiento y de energía. El resultado de su análisis es el siguiente: 14 / _ Pr 1/ 4 Nu x - 0.508 1/ 4 Ra x (6.15) (0.592 + Pr) http://gratislibrospdf.com/
  • 228. 214 6. Convección natural Tal expresión concuerda con los resultados experimentales que se han obtenido. Obsérvese que para valores grandes del número de Prandtl, el número de Nusselt es sólo una función del número de Rayleigh. Por otra parte, debe señalarse que la transición a régimen turbulento suele establecerse en Ra = 109 . La misma ecuación 6.15 puede emplearse para calcular el coeficiente de transfe- rencia de calor en la superficie que da hacia abajo en una placa con una inclina- ción arbitraria con relación a la vertical, siempre que se remplace la aceleración gravitacional g por su componente en la dirección paralela a la superficie de la placa. 6.2.2. Régimen turbulento Rohsenow y Hartnett (véase la sección de bibliografía) presentan la correlación si- guiente para determinar el número de Nusselt local en una placa vertical isotérmica: Nu x = 0.0295Pr 7/15 Gr;/5( 1+ 0.49 4 Pr 2/3 r 25 / (6.16) Esta expresión es inválida para fluidos cuyos números de Prandtl son muy grandes o muy pequeños, por lo que su principal aplicación se efectúa en gases. Así, para el aire (Pr = 0.72) la expresión anterior da (6.17) Para el caso de placas verticales también puede emplearse la correlación de Churchill y Chu (véase la sección de bibliografía) para cualquier valor de Rai:.: ¡ ) 2 - 0.825 + 0.387Ra~6 827 Nu¿ = [1 (o;:2)"T + (6.18) 6.3. Fórmulas para convección natural en otras geometrías Rehsenow y Hartnett (véase la sección de bibliografía) presentan la correlación siguiente para calcular el número de Nusselt promedio en diferentes geometrías y en el intervalo 104 < RaL < 109 : Nu lf CRa 1/ 4 - 1 L (6.19) http://gratislibrospdf.com/
  • 229. 6.3 Fórmulas para convección natural en otras geometrías 215 donde el es una función de la geometría y del número de Prandtl. En la tabla 6.1 se muestran algunos valores. Los mismos autores presentan la correlación siguiente aplicable para valores de RaL > 109 . (6.20) En el caso de gases, e 2 también es independiente del número de Prandtl. En la misma tabla 6.1 se muestran algunos valores. Las propiedades del fluido en las relaciones anteriores se evalúan a la tempera- tura de película. Tabla 6.1. Constantes para usarse con las ecuaciones 6.18 y 6.19. Geometría el e2 Cilindro horizontal 0.47 0.10 L = diámetro Esfera 0.49 L = diámetro Placa horizontal Supeificie superior 0.54 0.14 si se calienta la placa (superficie inferior si se le enfría) L = lado de la placa si es cuadrada o el lado más grande si es rectangular Supeificie inferior 0.27 si se calienta la placa 0.27 (superficie superior si se le enfría) L = lado de la placa si es cuadrada o el lado más grande si es rectangular Superficie vertical 0.59 0.13 L = altura de la superficie http://gratislibrospdf.com/
  • 230. 216 6. Convección natural Ejemplo 6.1. Calcule las pérdidas de calor por unidad de longitud en un tubo horizontal de 15 cm de diámetro exterior, si su superficie se mantiene a 400 K Y el aire que lo rodea tiene una temperatura de 300 K Y una presión de 1 bar. Solución Las propiedades del aire a una presión de 1 bar y una temperatura de película de 350 K son: v = 20.76 X 10-6 m2/s a = 0.2983 x 10-4 m2/s k = 0.03003 W/mK Pr = 0.697 f3 = 2.86 X 10-3 K-1 En este caso, gf3(~ - T~)L3 Ra L = GrL Pr = --------~----­ va _ (9.8)(2.86 x 10-3)(400 - 300)(0.15)3 - (20.76xlO- 6 )(0.2983xlO- 4 ) Por consiguiente, según la ecuación 6.18 y los datos de la tabla 6.1, - NU L = 0.47Ra 1/ 4 L = 29.39 En consecuencia, h = NU L ~ = (29.39) 0.03003 = 5.88 Wj m 2 K D 0.15 Por último, = (5.88)(n)(0 .15)(400 - 300) q = 227.27 W/m http://gratislibrospdf.com/
  • 231. Bibliografía 217 Problemas 1. A partir de la ecuación 6.15 para una placa vertical isoténnica, muestre que si Pr es mucho mayor que la unidad, y cuando Pr es mucho menor que la unidad (digamos, metales líquidos), 2. Demuestre que para un gas ideal el coeficiente de expansión volumétrica f3 es igual al recíproco de la temperatura absoluta, es decir, 3. Calcule el calor disipado por una piedra aproximadamente esférica de 15 cm de diámetro que se mantiene a una temperatura de 127 oc. Supóngase que la temperatura del aire ambiente que la rodea es de 27 oc. 4. Estime el calor que disipa una placa horizontal de 0.3 m de largo por 0.15 m de ancho que se mantiene a una temperatura de 127 oc. El aire ambiente que la rodea se encuentra a 27 oc. 5. Si se cambian las dimensiones a la placa del problema anterior a 0.6 m de largo por 0.3 de ancho, a) ¿En qué proporción se incrementa el número de Nusselt promedio? b) Calcule el calor total que disipa la placa. Bibliografía Churchill, S. W. y H. H. S. Chu, Correlating equations for laminar and turbulent free con- vectionfrom a vertical plate, lnt. J. Heat Mass Transfer, 18, 1323, 1975. Rehsenow, W. M. y J. O. Hartnett, Handbook of heat transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1973. Squire, H. B. Y S. Goldstein, Modern developments influid dynamics, Oxford University Press, 1938. http://gratislibrospdf.com/
  • 232. http://gratislibrospdf.com/
  • 233. 7. Transferencia de calor con cambio de fase _____________ Lo que más se necesita para aprender es un espíritu humilde. CONFUCIO En numerosos procesos de transferencia de calor en los que interviene un vapor saturado se experimenta un cambio de fase al estado líquido mediante el mecanis- mo de condensación. Este fenómeno ocurre cuando el vapor entra en contacto con una superficie a menor temperatura. Por otra parte, en otros procesos se experi- menta un cambio de fase inverso, es decir, del estado líquido al vapor mediante el mecanismo de ebullición. Los problemas de transferencia de calor en estas condiciones de condensación y ebullición son considerablemente más complejos que los de convección sin cam- bio de fase, por lo que aquí se dará prelación a la compresión física del mecanis- mo, limitándose el estudio a sustancias puras.7.1. Condensación Considérese una placa vertical, como la que se muestra en la figura 7.1, la cual se mantiene a una temperatura Ts inferior a la de saturación del vapor que la rodea. Como consecuencia de la condensación suele formarse una película de líquido sobre la superficie que fluye hacia abajo debido a la atracción gravitacional, e incrementa su espesor conforme se condensa más vapor en la interfase. A menos de que la velocidad del vapor sea muy alta o el espesor de la pelícu- la sea grande, el flujo de condensado es laminar y el calor se transfiere hacia la superficie sólo por conducción. Este fenómeno de transferencia de calor se conoce como condensación en forma de película. En otras circunstancias menos comunes, cuando la superficie de la transferen- cia de calor está contaminada con alguna sustancia que evita que el líquido se adhiera a la superficie, el vapor se condensa en gotas en vez de formar una pelícu- la continua. Tal fenómeno se denomina condensación enforma de gotas. 219 http://gratislibrospdf.com/
  • 234. 220 7. Transferencia de calor con cambio de fas e En el caso de la condensación en forma de película el coeficiente de transfe- rencia de calor puede determinarse en forma analítica mediante la metodología propuesta por Nusselt a principios del siglo xx. En el volumen de control que se muestra en el esquema de la figurl! 7.2 se observa que el peso del líquido es de (8 - y)t:.x&.Peg. Por otra parte, si se supone que el vapor adyacente a la película de condensado se encuentra en equilibrio hidrostático (dp/dx = Pvg), el elemento de líquido está también sujeto a una fuerza ascendente de (8 - y) t:.x&.Pvg. En conse- cuencia, un balance de fuerzas en el volumen de control indica que (8 - y)(pJI - Pv)g-J1J1 ~; = 0 (7 .1) Al integrar esta expresión con respecto a y y notando que u = O en y = O se obtiene (7 .2) Una vez conocida la distribución de la velocidad en cualquier posición x, puede de- terminarse la velocidad promedio u a través de la película de condensado, es decir, Figura 7.1. Condensación sobre una placa vertical. http://gratislibrospdf.com/
  • 235. 7.1. Condensación 221 Figura 7.2. Balance de fuerzas en un volumen de control. Sustituyendo la ecuación 7.2 en la expresión anterior se obtiene 2 _ Pv )g8 U = (Pt - ----~----------- 3J1t Puesto que la densidad del líquido suele ser muy superior a la del vapor saturado, (7.3) Como el calor que disipa el vapor en el proceso de condensación se transfiere a través de la película sólo por conducción, puede suponerse que la distribución de la temperatura en el líquido es lineal. Analíticamente, (7.4) Por otra parte, se agrega una cantidad adicional de condensado a la película a medida que ésta desciende sobre la placa. Por tanto, un balance de energía en el líquido indica que hfg- - hfgPt -d (- ~) - kt Tv - dI _ Uu _ T,; (7.5) dx dx 8 donde hfg es el calor latente de vaporización disipado por el vapor al condensarse y r el flujo de condensado por unidad de profundidad de la placa. http://gratislibrospdf.com/
  • 236. 222 7. Transferencia de calor con cambio de fase Al sustituir la ecuación 7.3 en la expresión anterior e integrar la ecuación resultante entre x = O Y cualquier posición x, se obtiene (7.6) Obsérvese que el espesor de la película de condensado aumenta proporcional- mente a la raíz cuarta de la distancia. Ahora puede determinarse el coeficiente local de transferencia de calor me- diante la relación siguiente: o h = ke x 8 Al sustituir la ecuación 7.6 en la expresión anterior se obtiene (7 .7) En consecuencia, (7.8) Por otra parte, (7.9) y (7.10) Las expresiones anteriores también pueden aplicarse en el caso de una placa ver- tical inclinada a un ángulo e con respecto a un plano horizontal, siempre que la aceleración de la gravedad g se sustituya por gsene. Desde luego, el resultado será incorrecto para valores de e pequeños, como e = O. Cabe también mencionar que http://gratislibrospdf.com/
  • 237. 7. 1. Condensación 223 las expresiones desarrolladas pueden utilizarse para la condensación sobre tubos verticales, siempre que su curvatura no sea demasiado grande. Las propiedades físicas del líquido condensado se evalúan a la temperatura de película. Si se define el número de Reynolds como Re = rlJ1b el flujo empieza a volver- se turbulento para valores de Re del orden de 350. En el caso de tubos verticales, r = ,n/mi. Para números de Reynolds mayores en los que el régimen es turbulento se ha propuesto la expresión empírica siguiente (véase Bird et al en la sección de bibliografía): - h = 0.003 [kip¡gh¡g(Tv - T;;)L ]1 --~3~-~ /2 L (7 .11) J1eh¡g En la figura 7.3 se ilustra la comparación entre los resultados experimentales y los que proporcionan las ecuaciones 7.9 y 7.11. 10 4 9 8 . X L 7 . .. :r . ~ . .. :j . .. . 4 3 . ..~~ ~V Turbulento ••~ i7 . 2 . . . .: :)~~ -~; ::t 10 3 ~ .. f· ·:f.. . . . . .z, . . 9 k 8 7 ~ 11 6 .. . if· : ~ 5 . . :1: 4 3 ... :1 [J. :t.~ / .~.,; ~ Laminar 7 102 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 10 104 kep j/3g l/3(Tv -TJL 5/ 3 J1 e h fg Figura 7.3. Condensación en forma de película de vapores puros sobre superficies verticales. (Fuente: R. B. Bird, W. E. Stewart y E. N. Lightfoot, Transport Phenomena, Wiley, 1960.) http://gratislibrospdf.com/
  • 238. 224 7. Transferencia de calor con cambio de fase Ejemplo 7.1. Se condensa vapor saturado seco a una presión de 1 bar sobre una placa vertical de 0.5 m de altura. La placa tiene una temperatura uniforme de 60 oc. Deter- mine el coeficiente promedio de transferencia de calor. Solución Las tablas de vapor de agua indican que para una presión de 1 bar: T v = 99.63 oC h¡g = 2258.0 X 103 J/kg Por otra parte, las propiedades del condensado a una temperatura de 80 oC son: p = 974.08 kg/m 3 k = 0.668 W/mK f.1 = 3.546 X 10-4 kg/ms Para determinar si él régimen es laminar o turbulento primero debe calcularse el espesor máximo de la película de condensado. Según la ecuación 7.6, 4 4 8 = [ (4 )(0.668)( 3.546 x 10- )(99.63 - 60)(0.5)]1f (974.08)2(9.8)( 2258.0 x 10 3 ) 8 = 1.73 X10- 4 m = 0.173mm Por otra parte, la velocidad promedio en la parte inferior de la placa puede esti- marse mediante la ecuación 7.3, esto es, _ (974.08)(9.8)(1.73 X10- 4 )2 U = - - -.,-----------,----- 4 (3)( 3.546 x 10- ) u = 0.27 mi s Con los datos anteriores, 4 Re = pfu8 = (974.08)(0.27)(1.73XlO- ) 4 f.1 f 3.546 X 10- Re = 128.31 http://gratislibrospdf.com/
  • 239. 7.3. Ebullición 225 Como el régimen es laminar, ahora aplicaremos la ecuación 7.9, esto es, _ h = 0.943 ---,-------:-o--------~ )]1 [ (0.668)3 (974.08)2(9.8)( 2258 x 10 3 /4 4 L (3.546 X 10- )(99.63 - 60)(0.5) 7.2. Condensación en forma de película sobre cilindros horizontales Chapman (véase la sección de bibliografía) presenta la expresión siguiente para evaluar el número de Nusselt promedio basado en el diámetro exterior de un cilindro horizontal: (7.12) donde las propiedades del líquido condensado se evalúan a la temperatura de película TI y el calor latente de vaporización a la temperatura de saturación Tv. En gran parte de las aplicaciones prácticas los tubos son de un diámetro tal que el espesor de la película de condensado nunca se hace lo suficientemente grande para que el régimen deje de ser laminar. En el caso de una columna de N tubos horizontales como la que se muestra en el esquema de la figura 7 Aa, el coeficiente promedio de transferencia de calor puede calcularse con la expresión (7 .13) Si comparamos las ecuaciones 7.12 y 7.13 podemos ver que ofrece más ventajas colocar tubos horizontales siguiendo, cuando sea posible, el arreglo que se mues- tra en la figura 7Ab. 7.3. Ebullición El proceso de transformación de un líquido en vapor también reviste gran impor- tancia. Imagínese ahora la ebullición de un líquido saturado en un recipiente cuando entra en contacto con una superficie caliente. La experiencia indica que, en cier- http://gratislibrospdf.com/
  • 240. 226 7. Transferencia de calor con cambio de fase tas condiciones donde el calor suministrado al líquido es relativamente pequeño, el intercambio de calor lo realiza este último sólo por convección natural y el vapor que se produce se disipa a través de la superficie libre del líquido. Sin embargo, conforme se incr~menta el flujo de calor se forman burbujas de vapor sobre la superficie caliente. Estas burbujas se crean en ciertos núcleos favora- bles de la superficie, aumentan de tamaño y se desprenden llevando a la superficie libre del líquido el vapor producido. En este régimen de ebullición, denominado ebullición nucleada, el fluido próximo a la superficie caliente se encuentra en un estado de agitación muy grande y el proceso de transferencia de calor a través del líquido es muy intenso. En la figura 7.5 se observa la dependencia del flujo de calor por unidad de área como función de la diferencia de temperaturas I!T = Ts - T sat para el agua en ebullición mediante un alambre caliente. Nótese que en este régimen de ebullición nuc1eada la densidad del flujo de calor q" varía con la diferencia de temperaturas I!T de acuerdo con la tercera o cuarta potencia. En la misma figura se observa que al seguir aumentando la diferencia I!T más allá del punto a, conocido como punto de Leidenfrost, la transferencia de calor disminuye de nuevo. Tal disminución se debe a que la formación de burbuja es tan rápida que prácticamente toda la superficie caliente se cubre con una película de vapor. En esas circunstancias la transferen- cia de calor, en vez de llevarse a cabo mediante el líquido en contacto con la super- ficie, se lleva a cabo a través de la película de vapor. Por último, la transferencia de calor se estabiliza en un mínimo con esta resistencia térmica y el fenómeno de ebullición se conoce como ebullición pelicular. t " t " (a) Figura 7.4. Condensación en forma de película sobre cilindros horizontales. http://gratislibrospdf.com/
  • 241. 7.3 Ebullición 227 I t q I I T Figura 7.5. Curva de ebullición. Obsérvese que la curva de ebullición en este régimen de ebullición pelicular aumenta de nuevo al incrementarse la diferencia de temperaturas f).T, como una consecuencia de la radiación térmica. Cabe mencionar que la operación de un conductor eléctrico es inestable en el punto de Leidenfrost, ya que un pequeño aumento en f).T disminuye la transferen- cia de calor. Puesto que este conductor debe seguir disipando la misma energía eléctrica en forma de calor o acrecentar su temperatura de operación, esta última aumentará de acuerdo con la curva de ebullición hasta el punto b. Por lo general, esta temperatura de equilibrio es tan alta que antes se funde el conductor. Recurriendo a numerosos datos experimentales, Rohsenow (véase la sección de bibliografía) obtuvo la expresión siguiente para correlacionar los diferentes parámetros significativos en la ebullición nuc1eada del agua en un recipiente (7.14) donde cp" es el calor específico del líquido saturado, f).T es la diferencia de tempe- raturas Ts - Tsat q" la densidad del flujo de calor, hfg el calor latente de vaporiza- ción, g la aceleración de la gravedad, Pv la densidad del vapor saturado seco, p" la densidad del líquido saturado, (j la tensión superficial de la interfase líquido- vapor, j1" la viscosidad del líquido saturado, Pr" el número de Prandtl del líquido saturado y e una constante empírica. Esta constante depende primordialmente de la rugosidad de la superficie caliente y de cómo la moja el fluido en particular, esto http://gratislibrospdf.com/
  • 242. 228 7. Transferencia de calor con cambio de fase es, depende fundamentalmente de la combinación superficie-fluido. En la tabla 7.1 se muestran algunos valores de la constante C. Tabla 7.1. Valores para la constant~ C de la ecuación 7.14. Combinación C Agua-cobre 0.013 Agua-platino 0.013 Agua-acero inoxidable 0.013 Agua-bronce 0.006 En la tabla 7.2 se presentan algunos valores de la tensión superficial líquido- vapor para el agua. La densidad máxima de calor en el punto de Leidenfrost puede determinarse con la siguiente expresión propuesta por Zuber (véase la sección de bibliografía): (7.15) Tabla 7.2. Tensión superficial vapor-líguido para el agua. Temperatura de Tensión superficial saturación, oC crx 103 , N/m 0.0 75.6 15.6 73.3 37.8 69.8 60 66.0 93.3 60.1 100 58.8 160 46.1 226.7 32.0 293.3 16.2 360 1.5 374.1 O http://gratislibrospdf.com/
  • 243. 7.3 Ebullición 229 En la figura 7.6 aparece una comparación de resultados experimentales con los que se obtuvieron mediante la ecuación 7.15. En el caso de ebullición pelicular la superficie de transferencia de calor se encuentra completamente cubierta por una película de vapor. Chapman (véase sección de bibliografía) presenta la expresión siguiente para calcular el coeficiente promedio de transferencia de calor en un cilindro horizontal de diámetro d: (7.16) o = - v x Etano , Cichell i y Bon illa n-Pentano, O O I - v Benzeno, O O 5 - a Metanol , Westwater y Santangelo - - ó Agua , Addoms • 3 - a Agua , Day / 2 / P V 1 ./ L o.5 Xo Y ~ 0,( o.3 o.2 ~:/ / o.1 , IX:~ 7A 0.05 0.5 2 3 5 10 20 3J ~ Pi + Pv Pi Figura 7.6. Comparación de datos experimentales con la correlación de Zuber. (Fuente: N. Zuber, On the Stability of Boiling R eat Transfer, Trans. ASME, vol. 80, 1958.) http://gratislibrospdf.com/
  • 244. 230 7. Transfe rencia de calor con cambio de fase Esta correlación sólo tiene en cuenta la transferencia de calor a través de la pelícu- la de vapor, y no incluye los efectos de radiación. Las propiedades físicas del vapor en la ecuación 7.16 se evalúan a la temperatura de película, basada en la temperatu- ra de la superficie y en la de saturaciqn, mientras que hfg se evalúa a la temperatura de saturación. Problemas 1. Una placa vertical de 0.5 m de altura y 0.5 m de ancho se mantiene a una tempe- ratura de 60 oc y se expone a vapor de agua saturado seco con una presión de 1 bar. Calcule la transferencia de calor del vapor a la placa y el flujo de con- densado. 2. Calcule el flujo de calor máximo para el agua en ebullición a una presión de 1 bar. 3. Con los resultados del problema anterior, estime el valor de la diferencia de temperaturas Ts - Tsat 4. Demuestre a partir de principios básicos que para una burbuja esférica de radio r: 20" Pv - Pe = - r donde Pv es la presión del vapor dentro de la burbuja y Pe es la presión del líquido que lo rodeno Bibliografía Bird, R. B., W. E. Stewart y E. N. Lightfoot, Transport Phenomena, Wiley, 1960. Chapman, A. J., Heat Transfer, The Macmillan Company, 1984. Rohsenow, W. M., A Method of Correlating Heat Transfer Data for Surface Boiling Liquids, Trans. ASME, vol. 74, 1952. Zuber, N. , On the Stability of Boiling Heat Transfer, Trans. ASME, vol. 80, 1958. Zyszkowski, W., On the transplosion phenomenon and the Leidenfrost temperature for the molten copper-water thermal interaction, Int. J. Reat Mass Transfer, vol. 19, núm. 6, 1976. http://gratislibrospdf.com/
  • 245. 8. Intercambiadores de calor _ _ _ __ La verdadera libertad consiste en el dominio absoluto de sí mismo. MONTAIGNE Quizá una de las aplicaciones más comunes del fenómeno que estudiamos se encuentra en el diseño y selección de intercambiadores de calor. Aun cuando los problemas que abarca el diseño de un intercambiador de calor son múltiples y de carácter muy diverso, la metodología para predecir el comportamiento térmico es relativamente sencilla. Entre los distintos aspectos que han de considerarse en el diseño de un inter- cambiador de calor cabe enumerar los siguientes: esfuerzos mecánicos y dilata- ciones térmicas en las tuberías, problemas de corrosión, depósito de sólidos en las líneas de flujo, caídas de presión, peso y tamaño del intercambiador y, desde luego, costo. Este último factor suele jugar un papel muy importante en el diseño o selección de un tipo de intercambiador de calor y debe tenerse siempre en mente. Actualmente se utilizan distintas geometrías de intercambiadores de calor. En la figura 8.1 se muestra el esquema de uno del tipo de doble tubo y con flujos en paralelo. En caso de que los fluidos circulen en direcciones opuestas, el intercam- biador viene a ser de flujos opuestos o en contracorriente. En cualquiera de estos casos, uno de los fluidos, el caliente o el frío, ocupa el espacio anular y el otro circu- la dentro del tubo interior. De manera similar, en la figura 8.2 se ilustra un intercambiador de calor del tipo de coraza y tubo con dos pasos de tubos. En este caso, uno de los fluidos circu- la por el interior de los tubos, mientras que el otro lo hace por el espacio que hay entre ambos y la coraza del intercambiador. De acuerdo con el arreglo geométrico que se tenga en los cabezales del intercambiador puede tenerse uno o más pasos de tubos con el fin de incrementar el área de la superficie efectiva de la transferen- cia de calor por unidad de volumen. El fluido que circula por el exterior de los tubos es conducido mediante desviadores o mamparas. Otro tipo de intercambiador muy usado es el de flujos transversales o cruza- dos, con ambos fluidos sin mezclar, como el que se muestra en el esquema de la figura 8.3. Por otra parte, los flujos pueden conducirse de tal forma que uno de ellos se encuentra mezclado y el otro no. Un ejemplo de este arreglo se ilustra en 231 http://gratislibrospdf.com/
  • 246. 232 8. Intercambiadores de calor el esquema de la figura 8.4, donde el gas se halla mezclado, en tanto que el otro fluido, el caliente o el frío que circula por los tubos, permanece sin mezclarse. En ciertas aplicaciones especiales (es el caso de regeneradores para turbinas de gas), la transferencia de calor por .unidad de peso y unidad de volumen es de gran importancia. Kays y London (véase sección de bibliografía) han investigado modelos compactos propios para este tipo de servicio. Otros regeneradores indus- triales que operan en forma periódica han sido investigados por Manrique y Cárdenas (véase sección de bibliografía). 8.1. La diferencia media logarítmica de temperaturas Considérese de nuevo, para análisis, un intercambiador de calor de doble tubo y flujos en paralelo como el que se muestra en la figura 8.1. Sus perfiles de tempera- tura correspondientes, para el fluido caliente y para el frío, se presentan en forma general en el esquema de la figura 8.5. Para efectuar el análisis térmico del inter- cambiador de calor conviene usar una expresión similar a la ley de Newton de enfriamiento en la forma: q = UAI1T (8 .1) donde q es el flujo total de calor que transfiere por el fluido caliente al frío , U el coeficiente total de transferencia de calor que se supone constante a lo largo de todo el intercambiador, A el área de transferencia de calor consistente con la defi- nición de U y I1T es una diferencia promedio de temperaturas a través del intercam- biador de calor. Si comparamos la ecuación 8.1 con la 2.22 para la transferencia o "O ·S u::: I rl - I 1--- -~~d.Q r - - A -- -- -- ----- -- --- -~ I I 1 2 U Figura 8.1. Intercambiador de calor de doble tubo con flujos en paralelo. http://gratislibrospdf.com/
  • 247. 8.1. La diferencia media logarítmica de temperaturas 233 Figura 8.2. Intercambiador de calor de tipo de coraza*y de tubo con dos pasos de tubos, un paso en la coraza. de calor en un tubo (fig. 2.6) se observa que el coeficiente total de transferencia de calor queda definido mediante las expresiones siguientes, según el área exterior o interior que se seleccione. Si se basa en el área exterior del tubo que transfiere el calor, (8 .2) Por otra parte, si se emplea el área interior del tubo que transfiere el calor en su definición, (8.3) De lo anterior se desprende que el producto UA es constante en cualquiera de las dos definiciones, es decir, UIAI = U2A 2 = UA. Una inspección de la figura 8.5 revela que las temperaturas de los fluidos por lo general no son constantes, sino que varían de un punto a otro a medida que el calor pasa del fluido caliente al frío , e incluso para una resistencia térmica cons- tante, el flujo de calor por unidad de área varía a lo largo del intercambiador. En consecuencia, para que la ecuación 8.1 sea válida debe determinarse un valor apropiado de /),.T consistente con el funcionamiento real del intercambiador. A la luz del razonamiento anterior, el flujo de calor dq transferido mediante un elemento diferencial de área dA está dado por la expresión siguiente: dq = UdA(Tc - T¡) (8.4) http://gratislibrospdf.com/
  • 248. 234 8. Intercambiado res de calor Flujo de gas ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ i-!Iuido caliente o frío Figura 8.3. Intercambiador de calor de flujos transversales, con ambos fluidos sin mezclar. pero, a su vez, un balance de energía en los fluidos caliente y frío a través de este diferencial de área indica que (8.5) y (8.6) donde C se refiere a la capacidad calorífica del fluido (W/K) y los subíndices e y f a los fluidos caliente y frío, respectivamente. Al combinar las ecuaciones 8.5 y 8.6 se obtiene dI;; - dT¡ = d(I;; - T¡ ) = _dq (_l + _1 J Ce C¡ y, al sustituir la ecuación 8.4, (8.7) Separando ahora las variables tenemos que http://gratislibrospdf.com/
  • 249. 8.1. La diferencia media logarítmica de temperaturas 235 Flujo de gas Figura 8.4. Intercambiador de calor de flujos transversales, con un fluido mezclado y otro sin mezclar. En consecuencia, .enTe2 -T12 =-UA [ _1 +_J 1 (8.8) ~! -TI! ee el Por otra parte, un balance de energía a lo largo de todo el intercambiador de calor indica que o (8.9) _1 _ TI2 - TI! _ (8.10) el q Al sustituir las ecuaciones 8.9 y 8.10 en la 8.8 se obtiene (8.11) http://gratislibrospdf.com/
  • 250. 236 8. Intercambiadores de calor T Tc1 dq = UdA(Tc - Tf ) TC2 Tf1 ~-- dA- Tf2 L-----r-------------------~~A 2 Figura 8.5. Perfiles de temperatura en un intercambiador de calor de doble tubo con flu- jos en paralelo. Comparando esta expresión con la ecuación 8.1 propuesta, resulta (8 .12) . Tal diferencia de temperaturas consistente con el funcionamiento real del inter- cambiador de calor se denomina diferencia media logarítmica de temperaturas. La ecuación 8.12 establece que la diferencia promedio de temperaturas a lo largo de todo el intercambiador de calor con flujos en paralelo puede calcularse como la diferencia de temperaturas en uno de los extremos siguientes: 1. menos la diferen- cia en el otro, 2. dividiendo el resultado entre el logaritmo natural del cociente de estas diferencias. Desde luego, puede emplearse la misma expresión cuando la temperatura en uno de los fluidos es constante en todo el intercambiador, como en el caso de un condensador o un evaporador. Cabe mencionar que si la diferencia de temperaturas (Tc! - Tf ¡) no es más grande que (Tc2 - Tf2) por más de 50%, la diferencia media logarítmica no difiere de la diferencia aritmética promedio por más de 1%. Por otra parte, es posible demostrar que la ecuación 8.12 también es aplicable a intercambiadores de calor de doble tubo operando con flujos opuestos. http://gratislibrospdf.com/
  • 251. 8.1. La diferencia media logarítmica de temperaturas 237 T ~----r---------------------------~----------~A 1 2 Figura 8.6. Perfiles de temperatura en un intercambiador de calor de doble tubo con flu- jos opuestos. La distribución de temperaturas a lo largo de este tipo de intercambiadores de calor se muestra en el esquema de la figura 8.6. En intercambiadores de calor más complejos como los de coraza y tubo con varios pasos de tubos, o del tipo transversal, la derivación matemática de una expresión para la diferencia promedio de temperaturas es muy difícil. Por con- siguiente, una práctica común es modificar la ecuación 8.12 para el caso de un intercambiador de calor de doble tubo con flujos opuestos mediante un factor de corrección. Esto es, f..T = F f..T log (8 .13) donde f..T es la diferencia promedio de temperaturas en esa geometría de intercam- biador de calor, F un factor de corrección, y f..Tl og está dada por la ecuación 8.12. Algunos factores de corrección para distintas geometrías pueden calcularse mediante las figuras 8.7 a 8.10. En estas circunstancias la ecuación 8.1 puede escribirse como q = UAFf..Tl og (8.14) http://gratislibrospdf.com/
  • 252. 238 8. Intercambiado res de calor "," 1.0 ~ :::::- ¡-...... r- r-=- r-. -..: ~ $ 0. 9 "- "- :--- ....... r--.... "" " 1-- r "- 0.8 .." ~ o ~ ~ Vc " ~ ~ Í " " 1 o Í" F 0.7 0 1 1 0.6 I-- R= T1 T2 · 1 1- 1 2 1 0.5 1 O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Figura 8.7. Factor de corrección para un intercambiador de calor de coraza y tubo con 2, 4, etc. , pasos de tubos. 1.0 "1 1 .......... t-..... r----- - -:::: c--: :::- r-. r-- -....., - r--.. r----- 0.9 0.8 P " 1 -.... f., " ....... 1-. f " F f> " <:> ;, i o c<> j ... o 0.7 1 0.6 -R= T, T2 1 - 2 1, 0.5 o 0 .1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 p= 1- 1 2 , T, -I, Figura 8.8. Factor de corrección para un intercambiador de calor con dos pasos de coraza y 4, 8, etc., pasos de tubos. http://gratislibrospdf.com/
  • 253. 8.1. La diferencia media logarítmica de temperaturas 239 T, 1.0 0.9 ,"1" " :-.... -.....; r-.::: ~ ::::;: c-:::: :- - - ""-. ¡-.;:::: ::::::: -::::: r-- r- r--- f".- 1 " "- " <J "" "" 1--- "-., 0.8 :1: 1-.. ~ "- "- . ~6 ./ ~~ 0> 1, F "o Y r":o "c ¡;> 0.7 1 1 0.6 f-- = T1 - T2 . ~ R 1 11 1 I 1 11 2 r- 0.5 1 O 0.1 0.2 0.3 0.4 0 .5 0.6 0.7 0 .8 0.9 1.0 p= 1 - 1 2 1 T1 -I, Figura 8.9. Factor de corrección para un intercambiador de calor de flujos transversales y ambos fluidos sin mezclar. -- - 1.0 ~ p:s f"= :::-= :::- i--.. ¡- ;---r-- r. ~ ........ 1., ~ -.... r--.., -.... 0.9 0.8 1 ¡ " . ~ "- 1 :tl "- " o . ~ 0 o qól l é 10 F 0.7 1 " 1 0 .6 -R= T1 -T2 - _ 12 -11 _ 1 0.5 I I I I 1 o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 .8 0.9 1.0 p_ 12 - 1, - T, - 1, Figura 8.10. Factor de corrección para un intercambiador de calor de flujos transversales con un fluido mezclado y otro sin mezclar. Ejemplo 8.1. Determine el área de transferencia de calor necesaria en un intercambiador de calor de flujos en paralelo y un paso de tubos de cobre de 2.54 cm de diámetro exterior y calibre 18 BWG, si se desea enfriar 1000 kg/h de aceite (cp = 2 J/gK) de 80 a 60 oc. Para lograr el enfriamiento se dispone de 1 000 kg/h de agua (cp = 4.18 J/gK) a 25 oC. Supóngase que el coeficiente total de transferencia de calor basado en el área exterior de los tubos es de 500 W/m2K. http://gratislibrospdf.com/
  • 254. 240 8. Intercambiadores de calor Solución Según los datos del problema, q=11111.1W Por otra parte, puesto que el calor que cede el aceite se transfiere al agua de enfriamiento, y Sustituyendo valores, T = 25+ (1000)(2) (80 - 60) = 34.57 0 C f2 (1000)(4.18) Según la ecuación 8.12, ¡}.T = (60 - 34.57) - (80 - 25) = 38 33 oC Rn (60 - 34.57) . (80 - 25) Por tanto, al aplicar la ecuación 8.1, A= q = 11111.11 = 0.58 m 2 U¡}.T (500)(38.33) Ejemplo 8.2. Supóngase que en vez de emplear el intercambiador de calor del ejemplo 8.1 se emplea uno de: a) Flujos opuestos. b) Tipo de coraza y tubo con dos pasos de tubos por donde circula el agua. http://gratislibrospdf.com/
  • 255. 8.1. La diferencia media logarítmica de temperaturas 241 Si el coeficiente de transferencia de calor se mantiene en 500 W/m2K, deter- mine el área de transferencia de calor necesaria en ambas geometrías. Solución a) Si el intercambiador de calor es de flujos opuestos la ecuación 8.12 indica que I1T = (60 - 25) - (80 - 34.57) = 40 12 oC log (60 - 25) . .en..,---_-"--:- (80 - 34.57) Por tanto, de acuerdo con la ecuación 8.1, A= q = 11111.11 = 0.55m 2 U I1Tl og (500)( 40.12) b) Ahora el problema puede resolverse mediante la ecuación 8.14 determinan- do el factor de corrección F apropiado. Según los parámetros de la figura 8.7 se tiene que: TI = 80 oC T2 = 60 oC ti = 25 oC t2 = 34.57 oC p = 34.57- 25 = 0.17 80 - 25 R = 80 - 60 = 2.09 34.57 - 25 Por consiguiente, de la figura citada se obtiene que F = 0.99, Y al aplicar la ecuación 8.14, A= q = 11111.11 = 0.56m 2 UFI1Tl og (500)(0 .99)(40.12) http://gratislibrospdf.com/
  • 256. 242 8. Intercambiadores de calor 8.2. El método efectividad-número de unidades de transferencia El método de análisis térmico recién descrito, con frecuencia conocido sencilla- mente como método de la diferencia media logarítmica de temperaturas, es de suma utilidad cuando se conocen todas las temperaturas de los fluidos en las entradas y salidas del intercambiador de calor o cuando pueden calcularse sin problema con un balance de energía. En estas condiciones la diferencia media loga- rítmica de temperaturas puede evaluarse sin ninguna dificultad, pudiéndose así determinar fácilmente el área de transferencia de calor que se requiere, el flujo de calor transferido, o el coeficiente total de transferencia de calor. Sin embargo, en ciertas circunstancias las temperaturas de los fluidos en las salidas constituyen las incógnitas en un intercambiador de calor determinado, por lo que el análisis térmico mediante la diferencia media logarítmica de tempera- turas es de naturaleza repetitiva y requiere tanteos. En estos casos es más conve- niente emplear un niétodo de análisis térmico basado en la efectividad que tiene un intercambiador de calor para transferir energía. Tal método se conoce como el método efectividad-número de unidades de transferencia y se describe a conti- nuación. Para este fm debemos defmir la efectividad de un intercambiador de calor como: Flujo real de calor transferido Efectividad = - -- - -=------ - -- - - - - - Máximo flujo de calor que podría transferirse o E= - q- (8.15) qmáx El flujo real de calor transferido en el intercambiador puede calcularse con facili- dad mediante balances de energía en los fluidos caliente y frío. Así, para un inter- cambiador de calor conflujos en paralelo: (8.16) Del mismo modo, para el de flujos opuestos: (8.17) Con objeto de determinar el máximo flujo de calor que podría transferirse, con- sidérese el intercambiador de calor de flujos opuestos cuyos perfiles de temperatu- http://gratislibrospdf.com/
  • 257. 8.2 El método efectividad-número de unidades de transferencia 243 ra se muestran en el esquema de la figura 8.6, donde la producción de entropía puede hacerse mínima (véase sección de bibliografía). Una inspección de la figu- ra citada revela que el máximo flujo de calor podría transferirse si uno de los dos fluidos, el caliente o el frío, sufriera un cambio de temperatura igual a la máxima diferencia de temperaturas presente en el intercambiador de calor. Esa diferencia máxima corresponde justamente a la diferencia de temperaturas con que entran ambos fluidos en el intercambiador de calor. Por otra parte, el fluido que podría experimentar tal diferencia máxima de temperaturas sería el que tuviera la capaci- dad calorífica C mínima entre los dos. Este valor debe ser el mínimo, puesto que un balance de energía precisa que el flujo cedido por uno de los fluidos sea absorbido por el otro. Por consiguiente, el máximo flujo de calor que podría trans- ferirse en un intercambiador está dado por la expresión siguiente: qmáx = Cmin (I;;,ent - T¡ ,en!) (8.18) Así, para un intercambiador de calor con fluidos en paralelo donde el fluido caliente o frío tiene la capacidad calorífica mínima, (8.19) (8 .20) En forma semejante, para un intercambiador de calor conflujos opuestos donde el fluido caliente o frío tiene capacidad calorífica mínima, (8 .21) (8 .22) Nótese que las efectividades E e y E ¡ se relacionan entre sí a través del cociente de capacidades caloríficas C* = Cmín/Cmáx. Por otra parte, la efectividad de un inter- cambiador de calor no es efectividad de temperaturas sino para transferir calor. Este parámetro depende del tamaño del intercambiador de calor o de su área de transferencia, de la resistencia térmica entre ambos fluidos y de las capacidades http://gratislibrospdf.com/
  • 258. 244 8. Intercambiadores de calor caloríficas de éstos. Estas variables pueden agruparse en forma adimensional me- diante el número de unidades de transferencia de calor en el intercambiador, esto es, N :!: UA (8.23) ut C. mm A la luz de las variables anteriores conviene ahora establecer una relación entre la efectividad E, el número de unidades de transferencia N ut Y el cociente de capaci- dades caloríficas C*. Una ventaja de una correlación de este tipo se evidenciaría en el hecho de que, para una geometría determinada de intercambiador de calor en la que se conocieran los flujos de masa de cada uno de los fluidos y sus capaci- dades caloríficas correspondientes, área y coeficiente total de transferencia de calor, las temperaturas de los fluidos a su descarga podrían obtenerse fácilmente con sólo conocer las de entrada, sin tener que recurrir a ningún proceso de cálcu- lo tedioso. Si se toma como referencia un intercambiador de calor de flujos en paralelo donde arbitrariamente Ce = Cmín (suposición carente de trascendencia en la gene- ralización de los resultados), la ecuación 8.8 puede rescribirse como o ~2 - Tf2 = e -NuJl+C ) (8.24) ~l - Tfl Por otra parte, al combinar las ecuaciones 8.16 y 8.19 se obtiene __ - ~ 2__T-,-f_2 = 1- E (1 + C* ) (8.25) ~l - Tfl Al sustituir esta última expresión en la ecuación 8.24 vemos que, para un inter- cambiador de calor conflujos en paralelo, -Nu,(l+C ) E = 1-e - - -- : ¡ ; - - - (8.26) l+C* http://gratislibrospdf.com/
  • 259. 8.2 El método efectividad-número de unidades de transferencia 245 En la figura 8.11 se muestra en forma gráfica la ecuación 8.26. En el caso en que C* = O, que corresponde físicamente a un condensador o un evaporador, el valor asintónico de la efectividad máxima es de 100%. En estas circunstancias la ecuación 8.26 se reduce a: E=l-e- Nu,, C* =0 (8.27) Por otra parte, cuando ambos fluidos tengan la misma capacidad calorífica, es decir, C* = 1, la efectividad máxima del intercambiador de calor tiene como límite máximo un valor de 50%. En este caso la ecuación 8.26 se reduce a: 1- e-2Nu , E= , C* = 1 (8.28) 2 ~ "a",lB~no;a I l S,pertio;e de :e oalm 100 ~/ /" V - 1-- - .,¡¿ o 80 / / // ..,- -:;, ~ 0 .0 - 60 -o ro "O .;:; /; v:: .- ....- 1.0 t5 ~ 40 I~V UJ /V 20 ji J- o O 2 3 4 5 Figura 8.11. Efectividad para un intercambiador de calor con flujos en paralelo. http://gratislibrospdf.com/
  • 260. 246 8. Intercambiadores de calor Mediante un análisis similar al antes descrito puede mostrarse que, para un inter- cambiador de calor conflujos opuestos, -Nu,(l-C*) 1- e E= -· - -------,---,-,-- (8.29) 1- C* e- N u, (l-C) En la figura 8.12 se muestra en forma gráfica la ecuación 8.29. Obsérvese que para todos los valores del cociente C* la efectividad tiende a la unidad (o 100%) cuan- do el número de unidades de transferencia es grande. Ésta es una consecuencia directa, por supuesto, de la definición de la efectividad. Cuando C* = O, la ecuación 8.29 se reduce a E= l - e- Nu , , C* = 0 (8 .30) Del mismo modo, cuando C* = 1, la ecuación 8.29 se simplifica a N E= ut C* =1 (8.31) l + N ut ~ ~ ~I" I Cope.", d t,"moda 100 f---:: k===-- e-::::: 1--1- p ~~V ): 1-- e--1- 80 ~ - h VV V ,g o ,j 60 ~V ro "O :; /#;V t5 .lE 40 !/I/ lJ.J / 20 f I I o o 2 3 4 5 Figura 8.12. Efectividad para un intercambiador de calor con flujos opuestos. http://gratislibrospdf.com/
  • 261. 8.2 El método ef ectividad-número de unidades de transferencia 247 /1"" ~ Fluido (m) ~ ~¡/ mezclado Fluido sin mezclar (s) -- 100 ~ f-- -- " -:;::::: -::- - 1--- - 0.5 / 0.25 4 ( ~ ¿ ..-- 80 IV! / ~ -::::::: -- - 1- -- 0.75 2 t:::- - ~~ ~ o -O 60 al "O "> t5 !t ~V Vfj ~ - 1 2 40 UJ ir 20 f ! I o o 2 3 4 5 Figura 8.13. Efectividad para un intercambiador de calor de flujos transversales con un fluido mezclado y el otro sin mezclar. Nótese que, como era de esperarse, las ecuaciones 8.27 y 8.30 son idénticas. Pueden desarrollarse expresiones similares a las ecuaciones 8.26 y 8.29 para otras geometrías de intercambiadores de calor (véase la sección de referencias más adelante). En las figuras 8.13 a 8.16 se muestran ejemplos típicos de la variación de la efectividad como función del número de unidades de transferencia para dis- tintos valores del cociente de capacidades caloríficas en diferentes intercam- biadores de calor. Ejemplo 8.3. Considérese un intercambiador de calor del tipo de coraza y tubo donde se tienen dos pasos de tuDOS. El área de transferencia de calor es de 5 m2 y se sabe que el coeficiente total de transferencia de calor es de 1200 W/m2 K. Si entran por los tubos 10 000 kg/h de agua a 25 oC, mientras por la parte de la coraza entran 5000 kg/h de agua a 90 oC, determine las temperaturas del agua a la sa- lida del intercambiador de calor. Supóngase que el calor específico del agua es de 4.18 J/gK. http://gratislibrospdf.com/
  • 262. 248 8. Intercambiadores de calor /J ~,V- .1ft V- I : ~ fiJ/ " t/ 100 80 L..-- (, j/ ~ V - - 1- f-- - ;,r¿ o -c C1l 60 I V ~ ......- ......- ~ V )J9.:..-- 1- - 1-- 1-- "O .;; /) ~ U VIf .l!! 40 W ! 20 f I o o 2 3 4 5 Figura 8.14. Efectividad para un intercambiador de calor de flujos transversales con flui- dos sin mezclar. ti ( - - r 1 --- Una coraza 2. 4.6 etc., pasos de tubos ul 100 .--- f-- ~); 035 --- ~? :-- 80 / / ;,r¿ o -c 60 V- , / ~ " ./" 11- f%: --- 1- . C1l "O .;; t5 .l!! 40 ~ w /1 20 ¡ 1 1 / / O O 2 3 4 5 Figura 8.15. Efectividad para un intercambiador de calor de coraza y tubo. http://gratislibrospdf.com/
  • 263. - - -----8.2 El método efectividad-número de unidades de transferencia 249 100 =];-> = Dos pasos de coraza 4, 8, 12, etc., pasos de tubos V ~ f-- r--- ~~ ~ ..-- f.- 1- f-- 80 ~ ~ f-) ~ f-- ~ o -O ro 60 W V p v:. "O .S; //; ~ ~ (fI J!! 40 UJ 11/ 20 f 1 1 / O O 2 3 4 5 Figura 8.16. Efectividad para un intercambiador de calor de coraza y tubo. Solución Según los datos del problema, Crnín = (5 000/3 600)(4.18 x 103) = 5 805.56 W/K Cmáx = (10 000/3600)(4.18 x 103) = 11 511.11 W/K C* = 0.5 Por otra parte, N ut = VA = (1 200)(5) = 1.03 Crnín 5 805.56 De acuerdo con la figura 8.15 se obtiene que E = 0.54 (54%). Por tanto, 90-T 0.54 = c,sal 90-25 http://gratislibrospdf.com/
  • 264. 250 8. Intercambiadores de calor o ~ sal = 54.9 oC Mediante un balance de energía, c* = TI, sal - TI,ent ~, ent - ~,sal Sustituyendo valores, TI 25 sal - 0.5 = --"-...~- 90-54.9 o TI , sal = 42.55 oC 8.3. Diseño o selección de un intercambiador de calor La decisión sobre la selección o diseño de un intercambiador de calor es particular- mente compleja al haber distintas opciones. Las soluciones de los ejemplos 8.1 y 8.2 evidencian el hecho de que diferentes geometrías de intercambiadores de calor pue- den realizar la misma función térmica específica. Por otro lado, y como se comen- tó antes, la decisión final depende de numerosos factores ajenos a la transferencia de calor en sí, por ejemplo, el costo, el espacio, las caídas de presión, etcétera. Con objeto de que el ingeniero pueda tener acceso a todas estas variantes y factores, la simulación por computadora del comportamiento de un intercam- biador de calor es muy atractiva. Mediante una simulación matemática de tal natu- raleza puede predecirse un sinnúmero de opciones, sin necesidad de recurrir a la experimentación, lo cual proporciona la selección más apropiada. Sin embargo, sólo es posible predecir con exactitud el comportamiento de un intercambiador libre de depósitos o suciedad, ya que estas variables hacen que la resistencia tér- mica entre los fluidos o el coeficiente total de transferencia de calor varíe con el tiempo. La resistencia térmica que originan estos depósitos sólo puede determi- narse de forma experimental mediante pruebas específicas. En ausencia de estos datos experimentales puede estimarse la resistencia a través de datos aproximados. En la tabla 8.1 se enumeran algunos factores de suciedad para fines de estimación. http://gratislibrospdf.com/
  • 265. Problemas 251 Tabla 8.1. Factores de suciedad. Tipo de fluido Factores de suciedad x ]04, m2KJW Agua de mar por debajo de 52 oC 0.88 Agua de mar por encima de 52 oC 1.76 Agua tratada de alimentación a una caldera por encima de 52 oc 1.76 Aceite combustible 8.81 Aire industrial 3.52 Líquido refrigerante 1.76 Problemas 1. Se desea calentar 75 kg/min de agua de 50 a 80 oc mediante un aceite con un calor específico de 1.9 J/gK. El intercambiador de calor que va a usarse es de doble tubo con flujos opuestos. El aceite debe entrar a 110 oC y salir a 70 oc. Se estima que el coeficiente total de transferencia de calor es de 350 W/m2 K. Calcule el área de transferencia de calor. 2. Se calienta agua a razón de 15000 kg/h de 38 a 55 oC en un intercambiador de calor de coraza y tubo. El fluido caliente que circula por la coraza es agua que entra en el intercambiador a una temperatura de 94 oC y a una razón de 7500 kg/h. El coeficiente total de transferencia de calor basado en el diámetro interior de los tubos se estima en 1400 W/m2K y la velocidad promedio del agua en el interior de los tubos de 1.91 cm de diámetro interior es de 0.37 mis. Debido a limitaciones de espacio el intercambiador de calor no debe tener una longitud superior a 2.5 m. Calcule el número de pasos de tubos, el número de tubos por paso y la longitud de los tubos. 3. Se desea calentar 250 kg/h de agua de 50 a 90 oC con aceite (cp = 2 J/gK). Para este proceso se dispone de aceite a 180 oC con un flujo de masa de 250 kg/h, así como de dos intercambiadores de calor de doble tubo: a) A = 0.50 m2 u= 570W/m2K b) A = 1.00 m2 U= 370W/m2K ¿Qué intercambiador de calor seleccionaría? 4. Derive la ecuación 8.12 suponiendo que el intercambiador de calor es de doble tubo con flujos opuestos. http://gratislibrospdf.com/
  • 266. 252 8. Intercambiadores de calor 5. A partir de principios básicos obtenga la ecuación 8.29. 6. Se diseña un condensador de vapor con las especificaciones siguientes: a) Tipo de coraza y tubo. b) Dos pasos de tubos. c) Tubos de cobre, calibre 18 BWG de 19 mm de diámetro exterior. á) Longitud = 2.5 m. e) 220 tubos/paso. 1) Velocidad promedio del agua = 1.5 mis. g) Temperatura del agua a la entrada = 22 oc. ¿Cuántos kilogramos por hora de vapor saturado seco a 0.05 bar se conden- sarán? 7. Se desea calentar 4500 kg/h de benzeno (cp = 1.78 J/gK) de 27 a 50 oC con tolueno (cp = 1.84 J/gK), que se enfría de 71 a 38 oc. Si se emplea un inter- cambiador de calor de doble tubo con flujos opuestos, a) Determine la diferencia media logarítmica de temperaturas. b) ¿Es posible usar el intercambiador con flujos en paralelo? Bibliografía Jakob, M., Heat Transfer, vol. 2, Wiley, Nueva York, 1957. Kays, W. M. y A. L. London, Compact Heat Exchangers, McGraw-Hill, Nueva York, 1984. Kem, D. Q., Process Heat Transfer, McGraw-Hill, Nueva York, 1950. Manrique, J. A. Y R. S. Cárdenas, Digital Simulation of a Regenerator, Proceedings of the Fifth International Heat Transfer Conference, Tokyo, 1974. - -, Termodinámica, Oxford University Press, México, 2000. http://gratislibrospdf.com/
  • 267. 9. Principios de radiación _ _ _ _ __ El calor del universo es producido por el Sol. LEONARDO D A V INe! A diferencia de los mecanismos de transferencia de calor por conducción y con- vección en los que el transporte de energía requiere de un medio para llevarse a cabo, el calor puede propagarse por radiación incluso en el vacío. Aun cuando no se entiende por completo el mecanismo físico de la radiación en cuanto a si ésta es transportada por ondas electromagnéticas o por fotones, sí se sabe que viaja en el vacío a la velocidad de la luz. La radiación térmica se define como la energía radiante emitida por un medio como consecuencia de su temperatura, y la escala de longitudes de onda, como se muestra en el espectro de la figura 9.1, usualmente está comprendida entre 0.1 y 100 11m. En esta escala se encuentra parte del ultravioleta (A, < 0.38), la región visible (0.38 < A, < 0.78) Y parte del infrarrojo (A, > 0.78).9.1. Radiación de un cuerpo negro Un cuerpo negro es el que emite y absorbe la máxima cantidad posible de radia- ción a cualquier temperatura y en cualquier longitud de onda. Dicho de otro modo, es un estándar con el que pueden compararse las características de radiación de otros cuerpos. Puesto que un cuerpo negro es por definición un absorbedor per- fecto, toda la radiación que incide sobre él es absorbida sin importar la longitud de onda. En consecuencia, ninguna fracción de tal radiación se refleja o transmite a través del cuerpo negro. Precisamente esta ausencia de reflexión es la que da ori- gen a su nombre de cuerpo negro, pues aunque es un estándar teórico, el ojo hu- mano lo percibiría como tal. Sin embargo, debe hacerse hincapié en que el ojo humano no es de ninguna manera un indicador confiable de la capacidad de absor- ción de radiación que tiene un medio; por ejemplo, la pintura blanca es un buen reflector de la radiación en la escala visible, pero también un buen absorbedor de la radiación en el infrarroj(), y el ojo humano, debido a sus limitaciones, es inca- paz de identificar ese fenómeno. A mayor abundamiento sobre las propiedades del cuerpo negro, Max Planck desarrolló en 1900, mediante principios de teoría cuántica, una relación para la 253 http://gratislibrospdf.com/
  • 268. 254 9. Principios de radiación 10-7 10--6 10-5 10"" 10- 3 10-2 10-1 10 I I I I I I Ultra-I I violeta I Infrarrojo Microondas I Rayos y Visible 1--1 Rayos X I Radiación térmica I Figura 9.1. Espectro de radiación. potencia emisiva espectral, o monocromática, de un cuerpo negro como función de la longitud de onda para distintas temperaturas. Según la ley de Planck, (9.1) donde ebJe = potencia emisiva monocromática de un cuerpo negro a una temperatura T, en W/m 2J.Lm A = longitud de onda, en J.Lm T = temperatura absoluta del cuerpo negro, en K C l = 3.742 X 108 WJ.Lm4/m 2 C2 = 1.439 X 104 J.LmK En la figura 9.2 se muestra la variación de la potencia emisiva monocromática de un cuerpo negro como función de la longitud de onda para distintas temperaturas. A partir de la distribución de Planck puede determinarse a cada temperatura la lon- gitud de onda donde la potencia emisiva monocromática es máxima. Según la ley de desplazamiento de Wien, Amáx T = 2897.8 J.LmK (9.2) En la figura 9.3 se ilustra la misma distribución espectral de la figura 9.2, excep- to que la ordenada se encuentra normalizada. Obsérvese que a una temperatura de 6000 K, la cual representa una aproximación de la temperatura de la superficie del Sol, alrededor de 47% de la energía radiante se ubica en el rango visible (0.38 a 0.78 J.Lm). Por otra parte, a bajas temperaturas prácticamente toda la radiación cae dentro del infrarrojo. En las figuras 9.2 y 9.3 se muestra claramente la sensación óptica de diferentes colores producida por los metales en tratamientos térmicos. http://gratislibrospdf.com/
  • 269. 9.1. Radiación de un cuerpo negro 255 10 E ::t E ~ <i Q) Lug ar geométrico "§ de máximos Ü Q) o- CJ) Q) 10 - " > :~ 1- 6 - 0001( E Q) " ·ü e Q) 10 "O o.. O 4 8 12 16 20 24 Longitud de onda, ,um Figura 9.2. Potencia emisiva espectral de un cuerpo negro como función de la longitud de onda para distintas temperaturas. Así, a temperaturas del orden de 1000 K, la cantidad de radiación emitida es sufi- ciente para que a la vista el color del metal aparezca rojizo. Por otra parte, a medida que la temperatura aumenta, cae más radiación en el rango visible y el metal cam- bia su color, tomándose cada vez más brillante. La potencia emisiva total emitida por un cuerpo negro a lo largo de todo el es- pectro de longitudes de onda puede calcularse integrando la ley de Planck, es decir, oo eh = fo eh;" dA (9.3) eh = CJT 4 1.0 .>- 0.8 ~ x 510. .E " 0.6 01- <i ~ 0.4 <i Q) 14 16 18 20 22 24 Lon gitud de onda , ,um Figura 9.3. Potencia emisiva espectral de un cuerpo negro en forma normalizada. http://gratislibrospdf.com/
  • 270. 256 9. Principios de radiación donde (J es la constante de Stefan-Boltzmann y es igual a 5.67 x 10-8 W/m2K4 en el sistema internacional de unidades. La ecuación 9.3 se conoce como ley de Stefan-Boltzmann. Obsérvese que la potencia emisiva total de un cuerpo negro representa el área bajo la curva que ~e muestra en la figura 9.2. En ciertas circunstancias es necesario calcular la energía emitida en una banda específica de longitudes de onda; entonces la ecuación 9.1 puede integrarse entre cualquier límite de longitudes de onda, es decir, eb, O A = lA ebA dA - o (9.4) Al dividir la ecuación 9.4 entre la 9.3 se obtiene una expresión que depende sólo de AT. Realizando esta operación, eb,o-A fT C¡d(AT) (9.5) d[4 = o (J(AT)5(e c2 / AT -1) Los resultados de esta integral han sido calculados (referencia 1) y algunos valores se muestran en la tabla 9.1. Tabla 9.1. Función de relación para un cuerpo negro. AT, ¡mzK Fracción de energía radiante entre O y AT .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 500. .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 600. .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000000 .000001 .000001 .000001 .000001 700. .000002 .000002 .000003 .000004 .000005 .000006 .000007 .000009 .000011 .000014 800. .000016 .000020 .000024 .000028 .000034 .000040 .000047 .000055 .000065 .000075 900. .000087 .000101 .000116 .000133 .000152 .000174 .000197 .000224 .000253 .000285 1000. .000321 .000360 .000403 .000450 .000501 .000556 .000617 .000682 .000753 .000829 1100. .000912 .001001 .001096 .001198 .001308 .001425 .001550 .001683 .001825 .001976 1200. .002136 .002305 .002485 .002674 .002875 .003086 .003309 .003543 .003789 .004048 1300. .004319 .004603 .004900 .005211 .005536 .005875 .006229 .006597 .006981 .007380 1400. .007794 .008225 .008671 .009135 .009614 .010111 .010625 .011156 .011705 .012271 1500. .012856 .013459 .014080 .014720 .015378 .016055 .016751 .017466 .018201 .018954 1600. .019728 .020520 .021333 .022165 .023017 .023888 .024780 .025691 .026623 .027574 1700. .028545 .029537 .030548 .031580 .032631 .033702 .034793 .035904 .037035 .038186 1800. .039356 .040546 .041756 .042985 .044234 .045501 .046788 .048094 .049419 .050763 1900. .052126 .053507 .054907 .056325 .057761 .059215 .060687 .062177 .063684 .065209 2000. .066751 .068310 .089885 .071478 .073087 .074713 .076354 .078011 .079685 .081373 2100. .083077 .084797 .086531 .088280 .090043 .091821 .093613 .095418 .097238 .099071 2200. .100917 .102776 .104648 .106533 .108430 .110339 .112260 .114193 .116138 .118094 2300. .120060 .122038 .124026 .126025 .128034 .130053 .132082 .134120 .136168 .138225 2400, .140290 .142365 .144448 .146539 .148638 .150746 .152860 .154983 .157112 .159249 2500. .161392 .163542 .165699 .167861 .170030 .172205 .174385 .176571 .178762 .180958 2600. .183159 .185364 .187575 .189789 .192008 .194230 .196457 .198687 .200920 .203157 (continúa) http://gratislibrospdf.com/
  • 271. 9.1. Radiación de un cuerpo negro 257 Tabla 9.1. Función de relación para un cuerpo negro (continuación). AY, }.lmK Fracción de energía radiante entre O y AT .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 2700. .205397 .207640 .209886 .212134 .214385 .216638 .218893 .221150 .223409 .225669 2800. .227932 .230195 .232460 .234725 .236992 .239260 .241528 .243795 .206065 .248334 2900. .250804 .252873 .255142 .257411 .259679 .261947 .264214 .266481 .268746 .271011 3000. .273274 .275536 .277797 .280056 .282314 .284570 .286824 .289077 .291327 .293576 3100. .295822 .298066 .300307 .302546 .304783 .307017 .309248 .311476 .313702 .315924 3200. .318144 .320360 .322573 .324783 .326989 .329192 .331391 .333587 .335779 .337968 3300. .340152 .342333 .344510 .346683 .348852 .351016 .353177 .355333 .357485 .359833 3400. .361776 .363915 .366049 .368179 .370304 .372425 .374541 .376652 .378758 .380860 3500. .382956 .385048 .387135 .389216 .391293 .393365 .395431 .397493 .399549 .401600 3600. .403646 .405686 .407722 .409752 .411776 .413795 .415809 .417817 .419820 .421817 3700. .423809 .425795 .427776 .429751 .431721 .433685 .435643 .437596 .439543 .441484 3800. .443419 .445349 .447273 .449191 .451104 .453011 .454912 .456807 .458696 .460579 3900. .462457 .464329 .466195 .468055 .469909 .471757 .473600 .475436 .477267 .479092 4000. .482911 .482724 .484531 .486332 .488127 .489916 .491700 .493477 .495248 .497014 4100. .498774 .500527 .502275 .504017 .505753 .507483 .509207 .510925 .512637 .514344 4200. .516044 .517739 .519427 .521110 .522787 .524458 .526123 .527783 .529436 .531084 4300. .532725 .534361 .535991 .537615 .539234 .540846 .542453 .544054 .545650 .547239 4400. .548823 .550401 .551973 .553539 .555100 .556655 .558204 .559748 .561286 .562818 4500. .564345 .565866 .567381 .568891 .570395 .571894 .573387 .574874 .576356 .577832 4600. .579303 .580758 .582228 .583682 .585131 .586574 .588012 .589445 .590872 .592293 4700. .593709 .595120 .596526 .597926 .599321 .600710 .602094 .603473 .604847 .606215 4800. .607578 .608936 .610288 .611636 .612978 .614315 .615647 .61 6974 .618296 .619612 4900. .620924 .622230 .623531 .624828 .626119 .627405 .628686 .629963 .631234 .632500 5000. .633762 .635018 .636270 .637517 .638759 .639996 .641228 .642455 .643678 .644896 5100. .646109 .647317 .648521 .649720 .650914 .652103 .653288 .654468 .655644 .656815 5200. .657981 .659143 .650300 .661452 .662600 .663744 .664883 .666018 .667148 .668273 5300. .669395 .670511 .671624 .672732 .673835 .674935 .676030 .677120 .678207 .679289 5400. .680366 .681440 .682509 .683574 .684535 .685692 .686744 .687792 .688837 .689877 5500. .690913 .691944 .692972 .693996 .695016 .696031 .697043 .698050 .699054 .700054 5600. .701049 .702041 .703029 .704013 .704993 .705969 .706942 .707910 .708875 .709836 5700. .710793 .711746 .712695 .713641 .714583 .715521 .716456 .717387 .718314 .719238 5800. .720158 .721074 .721987 .722896 .723801 .724703 .725601 .726496 .727388 .728275 5900. .729160 .730041 .730918 .731792 .732362 .733529 .734393 .735253 .736110 .736963 6000. .737813 .738660 .739504 .740344 .741181 .742014 .742844 .743671 .744495 .745316 6100. .746133 .746947 .747758 .748566 .749370 .750172 .750970 .751765 .752557 .753346 6200. .754132 .754915 .755695 .756472 .757245 .758016 .758784 .759548 .760310 .761069 6300. .761825 .762577 .763327 .764074 .764818 .765560 .766298 .767033 .767766 .768496 6400. .769222 .769947 .770668 .771396 .772102 .772815 .773525 .774233 .774937 .775639 6500. .776338 .777035 .777729 .778420 .779109 .779794 .780478 .781158 .781836 .782512 6600. .783184 .783855 .784522 .785187 .785850 .786510 .787167 .787822 .788474 .789124 6700. .789772 .790417 .791059 .791699 .792337 .792972 .793604 .794235 .794863 .95488 6800. .796111 .796732 .797350 .797966 .798580 .799191 .799800 .800407 .801011 .801613 6900. .802213 .802811 .803406 .803999 .804590 .805178 .805765 .806349 .806931 .807511 7000. .808088 .808663 .809237 .809808 .810377 .810943 .811508 .812070 .812631 .813189 7100. .813745 .814299 .814851 .815401 .815949 .816495 .817039 .817581 .818120 .818658 7200. .819194 .819728 .820259 .820789 .821317 .821843 .822367 .822889 .823409 .823927 7300. .824443 .824957 .825469 .825980 .826488 .826995 .827500 .828003 .828504 .829003 (continúa) http://gratislibrospdf.com/
  • 272. 258 - 9. Pri1cipios de radiación Tabla 9.1. Función de relación para un cuerpo negro (continuación). AT, ¡.1mK Fracción de energía radiante entre Oy AT .0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 7400. .829500 .829996 .830490 .830982 .831472 .831970 .832447 .832931 .833414 .833895 7500. .834375 .834852 .835328 .835803 .836275 .836746 .837215 .837682 .838147 .838611 7600. .839074 .839534 .839993 .840450 .840906 .841359 .841812 .842262 .842711 .843158 7700. .843604 .844048 .844491 .844931 .845371 .845808 .846244 .846679 .847112 .847543 7800. .847973 .848402 .848828 .849254 .849677 .850100 .850520 .850939 .851357 .851773 7900. .852188 .852601 .853013 .853423 .853832 .854239 .854645 .855050 .855453 .855854 8000. .856254 .856653 .857050 .857446 .857841 .858234 .858626 .859016 .859405 .859793 8100. .860179 .860564 .860947 .861329 .861710 .862090 .862468 .862844 .863220 .863594 8200. .863961 .864338 .864709 .865078 .865445 .865812 .866177 .866541 .866903 .867264 8300. .867624 .8G7983 .868341 .868697 .869052 .869406 .859758 .870110 .870460 .870809 8400. .871156 .871503 .871848 .872192 .872535 .872877 .873218 .873557 .873895 .874232 8500. .874568 .874903 .875237 .875569 .875900 .876231 .876560 .876888 .877214 .877540 8600. .877865 .878188 .878510 .878832 .879152 .879471 .879789 .880106 .880422 .880736 8700. .881050 .881363 .881674 .881985 .882294 .882603 .882910 .883216 .883522 .883826 8800. .884129 .884431 .884733 .885033 .885332 .885630 .8815927 .886224 .886519 .886813 8900. .887106 .887398 .887690 .887980 .888269 .888558 .888845 .889131 .889417 .889701 9000. .889985 .890268 .890549 .890830 .891110 .891389 .891667 .891944 .892220 .892495 9100. .892770 .893043 .893315 .893587 .893858 .894128 .894397 .894665 .894932 .895198 9200. .895463 .895728 .895992 .896255 .896516 .896778 .897038 .897297 .897556 .897813 9300. .898070 .898326 .898582 .898836 .899089 .899342 .899594 .899845 .900095 .900345 9400. .900594 .900841 .901088 .901335 .901580 .901825 .902069 .902312 .902554 .902795 9500. .903036 .903276 .903515 .903754 .903991 .904228 .904464 .904700 .904935 .905168 9600. .905402 .905634 .905866 .906097 .906327 .906556 .906785 .907013 .907240 .907467 9700 .907692 .907918 .908142 .908366 .908589 .908811 .909032 .909253 .909473 .909693 9800. .909912 .910130 .910397 .910564 .910780 .910995 .911210 .911424 .911637 .911850 9900. .912062 .912273 .912484 .912694 .912903 .913112 .913320 .913527 .913734 .913940 10000. .914146 .916166 .918125 .920024 .921867 .923654 .925388 .927071 .928705 .930292 11000. .931632 .933328 .934781 .936194 .937566 .938900 .940197 .941458 .942684 .943876 12000. .945037 .946166 .947264 .948334 .949375 .950388 .951376 .952337 .953273 .954186 13000. .955075 .955942 .956786 .957610 .958412 .959195 .959959 .960704 .961430 .962139 14000. .962831 .963507 .964166 .964809 .965438 .966051 .966651 .967236 .967808 .968367 15000. .968913 .969446 .969968 .970478 .970976 .971464 .971940 .972406 .972862 .973308 16000. .973745 .974172 .974589 .974998 .975398 .975790 .976174 .976549 .976917 .977277 17000. .977630 .977975 .978314 .978645 .978970 .979288 .979600 .979906 .980206 .980500 18000. .980788 .981070 .981347 .981619 .981885 .982146 .982403 .982654 .982901 .983143 19000. .983380 .983613 .983842 .984067 .984287 .984503 .984716 .984924 .985129 .985330 20000. .985528 .987322 .988831 .990111 .991202 .992138 .992946 .993647 .994258 .994793 30000. .995263 .995678 .996045 .996372 .996664 .996925 .997159 .997370 .997560 .997733 40000. .997889 .998031 .998160 .998278 .998386 .998485 .998576 .998660 .998737 .998808 50000. .998874 .998935 .998991 .999044 .999093 .999138 .999180 .999220 .999257 .999291 60000. .999324 .999354 .999382 .999409 .999434 .999458 .999480 .999501 .999621 .999539 70000. .999552 .999574 .999590 .999604 .999619 .999632 .999645 .999657 .999669 .999680 80000. .999690 .999700 .999709 .999718 .999727 .999735 .999743 .999751 .999758 .999765 90000. .999771 .999777 .999783 .999789 .999795 .999800 .999805 .999810 .999815 .999819 100000.. 999823 .999827 .999831 .999835 .999839 .999843 .999846 .999849 .999852 .999855 http://gratislibrospdf.com/
  • 273. 9.2. Intensidad de la radiación 259 Ejemplo 9.1. Supóngase que el Sol es un cuerpo negro cuya temperatura es de 6000 K. Determine la longitud de onda donde se alcanza la máxima potencia emisiva espectral, y la fracción de la energía emitida que se encuentra en el rango visi- ble (0.38 - 0.78 Jim). Solución Según la ley de desplazamiento de Wien (ecuación 9.2), A = 2897.8 = 0.483 m máx 6000 Ji Por otro lado, según los datos de la tabla 9.1, para A1T = (0.38)(6000) = 2280 JimK se obtiene eb ,0-0.38 = 11.61 % eb De manera análoga, para Jv¡T = (0.78)(6000) = 4680 JimK se obtiene eb, o- 0.78 = 59.09% eb Por tanto, la fracción de energía emitida que se encuentra en el rango visible es 59.09 - 11.61 = 47.48%. 9.2. Intensidad de la radiación La ley de Stefan-Boltzmann permite determinar la potencia emisiva total de un cuerpo negro en todas direcciones. Sin embargo, en algunas circunstancias se necesita calcular la cantidad de radiación que emite en cierta dirección y que poste- riormente es interceptada por otro cuerpo. La cantidad de energía radiante que se propaga en una dirección se determina mediante la intensidad de la radiación l. Si nos remitimos a la figura 9.4, la intensidad de la radiación se define como el flujo de energía que se emite dentro de un ángulo sólido centrado alrededor de la direc- ción del haz y por la unidád de área proyectada de la superficie emisora normal a la dirección e. Al observar la figura 9.5 se aprecia que el hemisferio que se muestra intercepta toda la radiación emitida por un elemento de superficie, es decir, toda la potencia emisiva. Por otra parte, la intensidad 1 en general es una función del ángulo e con la normal y del ángulo azimutal ljI. Según la definición de la intensidad de la http://gratislibrospdf.com/
  • 274. 260 9. Principios de radiación Rad iac ión en el áng ulo sólido w Superficie del cuerpo radiante Figura 9.4. Intensidad de radiación. radiación, y refiriéndonos a las figuras 9.5 y 9.6, la energía por unidad de tiempo que emite el elemento de área dA y que es interceptada por dAs es igual a: de = IdAcosedm (9.6) donde el área de la superficie emisora se ha multiplicado por cose y puesto que es el área que se observaría desde un punto del hemisferio situado a un ángulo e de Fig