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Mathematica transformada laplace

  1. 1. Transformada de LaplaceProf. Andrés Roldán Arandaamroldan ugr.eshttp : electronica.ugr.es amroldan15 03 2009Estudio de la transformada de Laplace para su uso en el cálculo de las señales de salida de circuitos electrónicos.El usuario debe ser capaz de calcula la Función de Transferencia en el Dominio de Laplace del circuito en cuestión. Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace Ejemplos de funciones La función de Heaviside |
  2. 2. 2 Transformada_Laplace.nbTransformada de LaplaceSi estás utilizando Mathematica 3.0 debes cargar el módulo LaplaceTransform . No es necesario en Mathematica 4.0 ysuperiores Solo si es necesario Calculus`LaplaceTransform`La función LaplaceTransform devuelve la transformada de Laplace de la señal f t , pasando del dominio del tiempo aldominio transformado de LAPLACE. [t s] [Para abrir el editor CTRL+9: Cerrar CTRL+0] st f t F s f t t con s Σ Ω 0Verifica las siguientes propiedades: af t bg t aF s bG s . tf t F s f t F Σ Σ. t s f t sF s f 0 f t s2 F s sf 0 f 0 . at f t F s a ? LaplaceTransform LaplaceTransform expr , t , s gives the Laplace transform of expr . LaplaceTransform expr , t1 , t2 , , s1 , s2 , gives the multidimensional Laplace transform of expr .La transformada de Laplace no solo se aplica a IMPEDANCIAS sino también a señales, en este caso vamos a calcular latransformada de: t t LaplaceTransform t Exp t , t, s 1 2 1 sLa transformada de Laplace de la DERIVADA f t de una señal también se puede calcular: LaplaceTransform f t , t, s f 0 s LaplaceTransform f t , t, sdonde f 0 representa el valor de la función justo antes de llegar al valor t 0.Esto es muy interesante porque sabemos que para un condensador iC C vc t ; IC LaplaceTransform iC , t, s C s LaplaceTransform vc t , t, s vc 0en el caso del condensador V c 0 representa la tensión de carga inicial del condensador.Si Vc t A0 Sin 2 Π f t
  3. 3. Transformada_Laplace.nb 3 vc t A0 Sin 2 Π f t Sin 2 f Π t A0 iC C vc t 2 C f Π Cos 2 f Π t A0 IC LaplaceTransform iC , t, s 2 C f Π s A0 4 f2 Π2 s2Calcular: t Cos b t F s d s ds s2 b2 1 s2 b2 2s 0 s 2 b2 s2 s2 b2 2 b2 s2Calcular: sin t 1 Σ t s Σ2 1 1 Σ Arctan Σ Σ s 1 Arctan 0 Arctan s 1 Arctan s |
  4. 4. 4 Transformada_Laplace.nbTransformada Inversa de LaplaceLa función InverseLaplaceTransform calcula la Transformada Inversa de Laplace, trayendo la señal del dominio transfor-mado de LAPLACE al dominio del tiempo otra vez. [s t 1 Σ Ω 1 st F s f t F s s. 2Π Σ ΩMathematica puede calcular directamente la transformada inversa de la funcióna function for doing inverse Laplacetransforms. ? InverseLaplaceTransform InverseLaplaceTransform expr , s , t gives the inverse Laplace transform of expr . InverseLaplaceTransform expr , s1 , s2 , , t1 , t2 , gives the multidimensional inverse Laplace transform of expr .IMPORTANTE: Los valores devuelto por InverseLaplaceTransform[] únicamente son válidos para t 0. 1 señalDominioTiempo InverseLaplaceTransform , s, t s2 tEste valor es válido únicamente para t 0. 1 2s 3 y1 t s2 1 1 2s 3 s2 1 s2 1 1 2s 1 3 s2 1 s2 1 1 s 1 1 2 3 s2 12 s2 12 2 cos t 3 sin t 1 s 5 y2 t s 1 s 2 1 2 1 s 1 s 2 1 2 1 1 s 1 s 2 1 1 1 1 2 s 1 s 2 t 2t 2 |
  5. 5. Transformada_Laplace.nb 5 |Ejemplos de Transformadas aDemostrar que sinh a t s2 a2 . 1 at 1 a t, Dado que sinh a t 2 2 we obtain 1 at 1 at sinh a t 2 2 1 at 1 at 2 2 1 1 1 1 2 s a 2 s a a s2 a2Calcular la Transformada de Laplace de f t eat usando la definición. Integrate Exp s t Exp a t , t, 0, 1 a s t If Re a Re s , , Integrate , t, 0, , Assumptions Re a s 0 a sCalcular la Transformada de Laplace de f t eat usando la definición. Integrate Exp s t Exp a t , t, 0, , Assumptions a Reals, s Reals 1 a s t If a s, , Integrate , t, 0, , Assumptions s Reals && a s a sCalcular la Transformada de Laplace de f t sin t usando la definición. Integrate Exp s t Sin t , t, 0, 1 st If Re s 0, , Integrate Sin t , t, 0, , Assumptions Re s 0 1 s2Calcular la Transformada de Laplace de f t sinh t usando la definición. Integrate Exp s t Sinh a t , t, 0, a If Re a Re s 0 && Re a Re s , , a2 s2 st Integrate Sinh a t , t, 0, , Assumptions Re a Re s Re a Re s 0Calcular la Transformada Inversa de Laplace de f s 1 usando la librería de conversión. a s 1 InverseLaplaceTransform , s, t a s at Ejemplo : f t sin t
  6. 6. 6 Transformada_Laplace.nbCalcular la Transformada de Laplace de f(t)=sin t LaplaceTransform Sin t , t, s 1 1 s2 1Calcular la Transformada Inversa de Laplace de F s 1 s2 1 InverseLaplaceTransform , s, t 1 s2 Sin tCalcular las Transformadas de Laplace de cos(bt) y Exp[at]cos(bt) LaplaceTransform Cos b t , t, s s b2 s2 LaplaceTransform Exp a t Cos b t , t, s a s 2 b2 a s 4Calcular las Transformada Inversa de Laplace de s^2 4 s 20 InverseLaplaceTransform 4 s^2 4 s 20 , s, t 1 2 4 t 8 t 1 2 ix Interesante aplicar la Fórmula de EULER e cos x i sin x FullSimplify Sin 4 t Cosh 2 t Sinh 2 t
  7. 7. Transformada_Laplace.nb 7 LaplaceTransform 1, t, s LaplaceTransform Exp a t , t, s LaplaceTransform Cosh a t , t, s LaplaceTransform Sin w t , t, s LaplaceTransform Exp a t Sin w t , t, s LaplaceTransform t ^ 6, t, s LaplaceTransform t Sin w t , t, s 1 s 1 a s s a2 s2 w s2 w2 w 2 a s w2 720 s7 2sw 2 s2 w2 LaplaceTransform DiracDelta t 2 , t, s LaplaceTransform DiracDelta t a , t, s LaplaceTransform Exp t 1 t, t, s 2s as HeavisideTheta a Log s Log 1 s |La Función de HeavisideLa función escalón o función de Heaviside se representa mediante UnitStep u x UnitStep x ;
  8. 8. 8 Transformada_Laplace.nb Plot u x , x, 5, 5 , PlotRange 1, 2 , AxesOrigin 0.5`, 0.5` 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 4 2 0 2 4 1.0 Representar la siguente función en el dominio del tiempo : H t Pi cos t : Plot u x Π Cos x , x, 3, 15 , PlotRange 1, 1.5` , AxesOrigin 0, 0.5` 1.5 1.0 0.5 0.0 5 10 15 1.0Calcular la Transformada Inversa de Laplace de esta función y representarla gráficamentecon 1 t 4 3s 1 3s salidaSistema t InverseLaplaceTransform , s, t s2 4 s2 1 HeavisideTheta 3 t 2t 6 Cos 6 2t Sin 6 2t 8Representar salidaSistema t con 1 t 4
  9. 9. Transformada_Laplace.nb 9Plot salidaSistema t , t, 0, 10 , PlotRange 1, 4 , AxesOrigin 0, 0.5`43210 2 4 6 8 101 |

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