Álgebra Linear

1. CLASIFICACI´ON DE GRUPOS FINITOS
Proposici´on
Sea G un grupo de orden pq con p y q primos, p > q. Entonces
(i) G ∼= Zpq ´o
(ii) G es no-abeliano y se tiene que
G = Gpq := a, b | ap = 1, bq = 1, b a b−1 = ak con k ≡
1 (mod p) y kq ≡ 1(mod p), p ≡ 1 (mod q) .
Demostraci´on G contiene al menos un subgrupo de Sylow H = a
de orden p y un subgrupo de Sylow K = b de orden q,
ap = 1 bq = 1
np = # subgr. Sylow de orden p. ⇒ np = kp + 1, y np | pq
nq = # subgr. Sylow de orden q ⇒ np = 1 ´o np = p + 1
NO
Como p > q, entonces np = 1. ⇒ H G.
nq = kq+1 ⇒ nq = 1 ´o nq = p porque nq | pq.

2. Caso 1 nq = 1. Solo hay un q-subgrupo de Sylow.
Entonces K G y
a b a−1
∈K
b−1
∈K
∈ H ∩ K = 1,
luego ab = ba ⇒ G ∼= Zpq.
Caso 2 nq = p. En G hay p subgrupos de Sylow de orden q. Esto
implica que p ≡ 1 (mod q). Veamos que se tiene (ii)
G no es abeliano; pues en caso contrario nq = 1, como H G
existe 1 < k < p tal que
b a b−1
∈H⇒ es una potencia de a
= ak
b H b−1
= H.
y k ≡ 1(mod p), pues si k ≡ 1 (mod p) entonces p | (k − 1)
⇒ ak−1 = 1
⇒ ak = a ⇒ ab = ba ⇒ G ∼= Zpq y G ser´ıa abeliano (→←).

3. Note que escogiendo k entre 1 y p tal k es ´unico.
Observe que b2a b−2 = ak2
. En efecto:
(ak
)k
= ak2
= (b a b−1
)k
= b ak
b−1
= b(b a b−1
) = b2
a b−2
.
Esta relaci´on puede generalizarse × inducci´on:
(∗) bn
a b−n
= akn
, n ≥ 0
en particular para n = q
a = bq
a b−q
= akq
⇒ p | (kq − 1) porque a es de orden p.
⇒ kq ≡ 1 (mod p).

4. Falta ver que G = a, b
Sea W = a, b ≤ G y sea x ∈ W .
Entonces x = ar1 bl1 · · · arm blm , 0 ≤ ri ≤ p − 1, 0 ≤ li ≤ q − 1
i = 1, · · · , m.
Consideremos el producto bl ar con 0 ≤ r ≤ p − 1, 0 ≤ l ≤ q − 1
de (∗)
bn
ar
b−n
= arkn
bn
ar
= arkn
bn
entonces cada elemento x ∈ G toma la forma x = ar bl ¿Cu´antos
hay?

5. Tenemos m´aximo pq de tales x. Veamos que son exactamente pq.
Sean 0 ≤ r, s ≤ p − 1 tal que ar
bl
= as
bm
0 ≤ l, m ≤ q − 1 ⇒ bm−l
= ar−s
∈ a ∩ b
⇒|bm−l
| | p,
|bm−l
| | q ⇒ bm−l
= 1 ⇒ m = l
an´alogamente r = s.
⇒ |W | = pq, ∴ G = W .
Hemos probado que G cumple todas las condiciones de (ii).

6. Proposici´on
Sea p primo impar y G un grupo de orden 2p. Entonces G ∼= Z2p
´o G ∼= Dp.
Demostraci´on Si G no es abeliano ⇒ G ∼= Z2p.
Si G no es abeliano, existen a, b ∈ G tales que
|a| = p, |b| = 2, b a b−1 = ak con k ≡ 1 (mod p), k2 ≡ 1
(mod p), p ≡ 1 (mod 2) ← por la proposici´on anterior
2 ≤ k ≤ p − 1.
Suponga k ≤ p − 2. Como p | k2 − 1 ⇒ p | k − 1 ´o p | k + 1
pero 2 ≤ k ≤ p − 2 (→←)
⇒ k = p − 1
⇒ b a b = ap−1 = a−1.
⇒ G ∼= Dp.

7. Corolario
Los grupos de orden 6 son Z6 y D3
∼= S3.
Proposici´on
Los grupos no abelianos de orden 8 son D4 y Q8. Ejercicio!

8. p-grupos abelianos finitos
Todo grupo finito G de orden n = pr1
1 · · · prk
k es suma directa de
sus subgrupos de Sylow ⇔ ´estos son normales.
Teorema
Sea G un grupo finito de orden n, |G| = n = pr1
1 · · · prk
k , p primos
diferentes, r1, · · · , rk ≥ 1. Entonces G es suma directa de sus
subgrupos de Sylow, sii estos son normales en G.
G = P1 ⊕ · · · ⊕ Pk
donde Pi el pi -subgrupo de Sylow de G, 1 ≤ i ≤ k. En particular,
si G es abeliano, entonces G es suma directa interna de sus
subgrupos de Sylow.

9. Demostraci´on (⇒) Si G es suma directa de sus subgrupos Sylow,
entonces por definici´on cada sumando es necesariamente normal.
(⇐) Sea Pi un pi -subgrupo de Sylow de G tal que Pi es un
subgrupo normal en G. Entonces Pi es ´unico. Veamos que cada
elemento x ∈ G tiene una representaci´on ´unica en la forma
x = x1 · · · xk con xi ∈ Pi , 1 ≤ i ≤ k.
xi xj
?
= xj xi (xi xj )(xj xi )−1 = xi xj x−1
i · x−1
j ∈ Pi ∩ Pj
(a) Pi ∩ Pj = 1 porque los eltos de Pi tienen orden pi y los de Pj
orden pj .
(b) Para i = j los eltos de Pi conmutan con los Pj .
(c) El neutro tiene representaci´on ´unica: sean xi ∈ Pi , i ≤ i ≤ k
tal que 1 = x1 · · · xk. Sea si = |xi |, entonces
si = pαi
i , 0 ≤ αi ≤ ri . Sea s = s1 · · · si−1si+1 · · · sk, entonces
1s = (x1 · · · xi · · · xk)s = xs
i , luego si | s y
pαi
i | pα1
i · · · p
αi−1
i−1 p
αi+1
i+1 · · · pαk
k esto implica que αi = 0, luego
si = 1, i.e. xi = 1 para cada 1 ≤ i ≤ k.

10. (d) Cada elto x de G se puede representar de manera ´unica como
x = xi · · · xk.
Sea x ∈ G de orden r tq r | n y r = ps1
1 · · · psk
k , donde
0 ≤ si ≤ ri con 1 ≤ i ≤ k.
Sea ui = r
p
si
i
, entonces m.c.d {u1, . . . , uk} = 1, entonces
existen enteros t1, . . . , tk t.q. 1 = t1 u1 + · · · + tkuk, sea
xi = xti ui , 1 ≤ i ≤ k.
Note que x
p
si
i
i = (xti ui )p
si
i = xti ui p
si
i = xti r = 1, luego xi ∈ pi y
adem´as
x1 · · · xk = xt1u1
· · · xtk uk
= xt1u1+···+tk uk
= x1
= x
a partir de (b) y (c) se obtiene que esta representaci´on es
´unica.

11. Corolario
Sea n = pr1
1 · · · prk
k , entonces Zn
∼= Zp
r1
1
× · · · × Zp
rk
k
El objetivo central en la descipci´on de los grupos abelianos finitos
consiste en expresar G como suma directa de subgrupos de
estructura simple y conocida, como por ejemplo a trav´es de
subgrupos c´ıclicos.
Proposici´on
Si G es un grupo c´ıclico de orden pn, entonces G NO se puede
descomponer en suma directa de subgrupos c´ıclicos de orden
menor, i.e. G es irreducible.
Sabemos que G ∼= Zpn ∼= Cpn = {z ∈ C : zpn=1}.
Primero sabemos que los ´unicos subgrupos de Cpn son los grupos
de la cadena
{1} = Cp0 ⊂ Cp1 ⊂ Cp2 ⊂ · · · ⊂ Cpn−1 ⊂ Cpn
Sea K ≤ Cpn ⇒ |K| | pn ⇒ |K| = pα, 0 ≤ α ≤ n.
Sea x ∈ K ⇒ xpα
= 1 ⇒ K ≤ Cpα ⇒ K = Cpα .

12. Ahora si existiera H, K en Cpn tal que Cpn = H ⊕ K entonces
H = Cpα , K = Cpβ , H ∩ K = {1}.
Si α ≤ β entonces H ≤ K y H ∩ K = H = {1} ⇒ α = 0,
β = n.
Si β ≤ α al rev´es.
Entonces la ´unica descomposici´on de Cpn es la trivial
Cpn = {1} ⊕ Cpn .
Ejemplo
Z4 y Z2 ⊕ Z2 no son isomorfos.
Z9 y Z3 ⊕ Z3 no son isomorfos.

13. Teorema
Cada p-grupo abeliano finito G es suma directa de subgrupos
c´ıclicos.
En la prueba se muestra que si |G| = pn, entonces
G = G1 ⊕ G2 ⊕ · · · ⊕ Gr ,
donde |Gi | = pmi , 1 ≤ mi ≤ n, 1 ≤ i ≤ r, m1 + · · · + mr = n
¿es ´esta descomposici´on ´unica? Si
Supongamos G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr = H1 ⊕ · · · ⊕ Hs
entonces r = s y los ´ordenes |Gi | coinciden con los ´ordenes |Hj |
despu´es de una reordenaci´on.

14. Dado G, |G| = pn p-grupo abeliano finito, G determina un vector
´unico (pm1 , · · · , pmr ) conformada por los ´ordenes de los subgrupos
c´ıclicos de su descomposici´on. Se puede ordenar de manera que
m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ m1 ≥ 1
Definici´on
Sea G un p-grupo abeliano finito, |G| = pn. Se dice que G es del
tipo (pm1 , · · · , pmi ) si G es suma directa de subgrupo c´ıclicos de
´ordenes pmi , 1 ≤ i ≤ r. m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr , 1 ≤ r ≤ n con
m1 + · · · + mr = n, los componentes pm1 , . . . , pmr de la r-pla se
denominan divisores elementales del grupo G.

15. Sean A y B dos p-grupos abelianos finitos con el mismo sistema de
divisores elementales (pm1 , . . . , pmr ).
Entonces A = A1 × · · · × Ar , B = B1 × · · · × Br con
Ai
∼= Zpmi
∼= Bi . El sistema de isomorfismos ϕi induce el
isomorfismo ϕ : A −→ B
ϕ(a1, · · · , ar ) := (ϕ1(a1), · · · , ϕr (ar )).
Hemos probado:
Proposici´on
Con sus divisores elementales cada p-grupo abeliano finito se
determina un´ıvocamente salvo isomorfismo.

16. Ejemplo
p primo, n = 4. Determine todos los posibles grupos abelianos de
orden p4.
Divisores elementales:
(p4), (p3, p), (p2, p2), (p2, p, p), (p, p, p, p)
Grupos abelianos de orden p4:
Zp4 ,
Zp3 ⊕ Zp,
Zp2 ⊕ Zp2 ,
Zp2 ⊕ Zp ⊕ Zp,
Zp ⊕ Zp ⊕ Zp ⊕ Zp
Este ejemplo permite la siguiente generalizaci´on.

17. Definici´on
Sea n un entero positivo. Una sucesi´on de enteros positivos
(m1, · · · , mr ) con m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr y m1 + · · · + mr = n se
denomina una partici´on de n. Denotamos por p(n) al n´umero de
particiones de n.
Ejemplo
n = 4,
(4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1),
p(4) = 5

18. Proposici´on
Sea F la clase de todos los grupos abelianos no isomorfos de orden
pn, n ≥ 1 y sea P el conjunto de todas las particiones de n. Existe
una correspondencia bi-un´ıvoca entre F y P, es decir, el n´umero de
grupos abelianos no isomorfos de orden pn es finito e igual a p(n).
Demostraci´on
Sea G de tipo (pmi , . . . , pmi )
F −→ P
G −→ (m1, . . . , mi ).
Definici´on
Un grupo abeliano de orden pn con sistema de divisores
elementales (p, . . . , p) (i.e. isomorfo a Zp ⊕ · · · ⊕ Zp) se denomina
grupo abeliano elemental.