¿Qué es una Raíz?
                      RAICES
La Definición de Raíz como Potencia
Raíz Cuadrada
Raíz Cúbica
El Indice Igu...
¿Qué es una Raíz?
Una Raíz es una expresión que consta de un
INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.

          ¿Indic...
Elementos de una Raíz


                                  Exponente del
INDICE                             Subradical




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¿Qué significa la Raíz?
Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.


     Raíz    =       Potencia
                 ...
Transforma las siguientes raíces a Potencia
                                                                    3         ...
En General
            a            b
                         _
                b=       a       a≥2
                n   ...
Raíz Cuadrada

  4    2   ya que   2 2      4
  9    3   ya que   33       9

16    4    ya que   4 4     16
25     5   ya...
Raíz Cúbica

        3
             8    2   ya que   2 2 2       8
    3
        27        3   ya que   3 3 3 27
    3
  ...
1 - Propiedad:
El Indice Igual al Exponente.
                                            3
                               ...
2 - Propiedad:
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
                                         3
                      ...
2 - Propiedad:
 Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
 Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
         3           ...
3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
                                             3
                        ...
3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
             8               ...
4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
                                             3
                                          ...
4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:

                                      8     4 ...
Descomponer una Raíz

   Sabiendo que:             m n        m       n

 Resolver lo siguiente

          50x 7          ...
Descomponer una Raíz
Otro ejemplo

         45           20                80              125
         9 5          4 5  ...
Racionalización
              Racionalizar es amplificar una fracción donde el
               denominador presenta una Raí...
p
              Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma
                                                        ...
Racionaliza las siguientes Expresiones

          7        7                          7             7
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                                                 ...
Racionaliza las siguientes Expresiones


                 7               7                                      7        ...
Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradas
                  e Indice Par

            Como, por ejemplo,      4   2   ...
Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas e
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Ecuaciones con Irracionales.
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                la incógnita q...
Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:


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Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:


                                                Paso i) Aislar una de ...
Curiosidades
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Raices

  1. 1. ¿Qué es una Raíz? RAICES La Definición de Raíz como Potencia Raíz Cuadrada Raíz Cúbica El Indice Igual al Exponente Multiplicación de Raíces de Igual Indice División de Raíces de Igual Indice Raíz de una Raíz. Descomponer una Raíz Racionalización Condiciones de Existencia para las Raíces de Indice Par Condiciones de Existencia para las Raíces de Indice Impar Ecuaciones Irracionales Curiosidades Lugares en donde buscar más Información H.L.M.
  2. 2. ¿Qué es una Raíz? Una Raíz es una expresión que consta de un INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL. ¿Indice, raíz, cantidad subradical? Símbolo Cantidad Indice de Raíz Subradical 4 4 2 8 (-5,3) 4 2 5
  3. 3. Elementos de una Raíz Exponente del INDICE Subradical m n a Símbolo de Raíz SUBRADICAL
  4. 4. ¿Qué significa la Raíz? Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción. Raíz = Potencia 5 _ 3 _ 4 5 4 2 2 = 2 2 = (-0,6) 3 _ 3 2 Ojo: El Indice 2 (-5,3) = (-5,3) no se escribe. 7 _ _ 6 4 7 2 6 = = 5 7
  5. 5. Transforma las siguientes raíces a Potencia 3 2 2 1 4 3 4 2 3 5 5 3 4 2 4 3 3 7 7 3 73 7 2 1 5 1 3 5 5 3 m5 m 2 3 3 2 4 n 5 5 3 7 4 7 3 m dn d m Transforma las siguientes Potencia a Raíces 9 1 9 6 6 1 2 2 2 7 7 7 6 2 6 7 5 5 53 53 5 2 c 5 0,3 2 0,3 4 3 3 42 a b b ac
  6. 6. En General a b _ b= a a≥2 n n Importante: a b a b 0 =0 1 = 1 Lectura de una Raíz. 5 -Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej. 6 3 7 -Indice 3, Raíz Cúbica. Ej. 6 4 7 -Indice 4, Raíz Cuarta. Ej. 6
  7. 7. Raíz Cuadrada 4 2 ya que 2 2 4 9 3 ya que 33 9 16 4 ya que 4 4 16 25 5 ya que 5 5 25 2 1,4142135623730950488016887242... Pero es solo una aproximación decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representar a 2 es como 2 . Esto sucede con muchas raíces cuadradas que no entregan un resultado exacto
  8. 8. Raíz Cúbica 3 8 2 ya que 2 2 2 8 3 27 3 ya que 3 3 3 27 3 64 4 ya que 4 4 4 64 3 125 5 ya que 5 5 5 125 3 3 1,4422495703074083823216383107796... Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor forma de representar a 3 3 es como 3 3 . Esto sucede con muchas raíces Cúbicas que no entregan un resultado exacto.
  9. 9. 1 - Propiedad: El Indice Igual al Exponente. 3 _ 7 3 7 Sabiendo que: 2 = 2 ¿Cuál será el resultado de? 5 _ 5 5 5 1 2 = 2 = 2 =2 a a _ a a En General: n = n =n
  10. 10. 2 - Propiedad: Multiplicación de Raíces de Igual Indice. 3 _ 7 Sabiendo que: 2 = 2 3 7 ¿Cuál será el resultado de? 9 2 • 7 9 7 5 = 2 •5 9 _ 7 _ 1 _ 1 _ 1 _ 9 7 2 9 7 2 • 5 = (2 ) • (5 ) = (2 • 5 ) 2 2 2 2 a x a y a x y En General: n • m = n •m
  11. 11. 2 - Propiedad: Multiplicación de Raíces de Igual Indice. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 3 3 5 3 a) 6 36 6 f) 1,2 1,2 1,2 24 22 4 b) 8 2 4 g) 3 3 35 3 9 3 9 3 c) 3 3 h) 3 m5 3 m4 m3 4 16 4 d) 3 5 3 3 6 5 3 30 15 i) n 7 n 5 n6 e) 3 3 3 4 3 2 3 9 6 j) a 3n 3 b 2n a 5n 3 b 7n a 2 n b 3n
  12. 12. 3 - Propiedad: División de Raíces de Igual Indice. 3 _ 7 Sabiendo que: 2 = 2 3 7 ¿Cuál será el resultado de? 75 5 = 7 7 5 5 7 5 _ 7 _ 1 _ 1 _ 1 _ 2 2 5 7 2 5 7 2 2 7 5 = (7 ) (5 ) = (7 5 ) a x a y a x y En General: n m = n m
  13. 13. 3 - Propiedad: División de Raíces de Igual Indice. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 8 0,08 a) 4 e) 0,2 2 0,02 3 4 b) 81 3 f) 3 256 3 4 3 3 3 81 3 3 5 7 3 m5 3 n8 c) 5 g) mn3 3 5 4 3 m2 3 n2 3 3 b d4 a5 a d) 81 2 h) 3 3 3 8 2 3 a2 b3 d6 b
  14. 14. 4 - Propiedad: Raíz de una Raíz. 3 _ 2 3 6 Sabiendo que: 7 3 2 = 2 7 y (3 ) 3 = ¿Cuál será el resultado de? 75 = 4 7 5 3 75 = 6 75 5 1 _ _ 5 1 _ _ 5 _ 5 1 _ _ 5 1 _ _ 5 _ (7 )2 2 2 2 • 4 (7 )3 2 • 3 2 6 = 7 = 7 = 7 = 7 b a n b•a n En General: m = m
  15. 15. 4 - Propiedad: Raíz de una Raíz. Resuelve usando la Propiedad de Potencia: 8 4 2 4 a) 16 2 d) mn mn e) x12 x2 3 b) 3 7 6 7 y6 y 12 3 c) 3 4 5 5 x 24 f) x2 3 3 x18
  16. 16. Descomponer una Raíz Sabiendo que: m n m n Resolver lo siguiente 50x 7 32x 7 25 2 x x6 16 2 x x6 25 2 x x 6 16 2 x x6 5 2 x x3 4 2 x x 3 3 5x 2 x 4 x3 2 x Son términos semejantes 3 9x 2x
  17. 17. Descomponer una Raíz Otro ejemplo 45 20 80 125 9 5 4 5 4 4 5 5 25 9 5 4 5 4 4 5 5 25 3 5 2 5 2 2 5 5 5 3 5 2 5 4 5 5 5 Son términos semejantes 4 5
  18. 18. Racionalización Racionalizar es amplificar una fracción donde el denominador presenta una Raíz, con el fin de que ésta no aparezca. Ejemplos: 1 2 a n 3 9n 3 a 2 2 a 3 3n 2 3 ¿Qué es lo que hay que saber? 7 4 28 n n n n Amplificar: Propiedad de Raíces: x x x 2 4 8 Multiplicar Raíces 2 8 2 8 16 4 Raíz como Potencia Potencias x3 x5 x3 x5 x8 x4
  19. 19. p Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma q a 1) 7 7 3 7 3 7 3 7 3 3 3 3 3 3 32 3 n n x n x n x n x 2) m x m x x m x x m x2 mx 2 5 2 5 7 2 5 7 2 7 5 7 2 7 35 3) 7 7 7 7 7 72 7 7 7 7 7 n 7 n 7 n 4) n 5 n 4 n1 n4 n n2 n n n2n n3 p p a p a p a p a En General q a q a a q a a q a2 qa
  20. 20. Racionaliza las siguientes Expresiones 7 7 7 7 i) v) 11 11 49 49 15ax 15ax ab ii) vi) 2 5a 2 5a b a 40a 2b 40a 2b 8 2 iii) vii) 10a 10a 2 a a a a y x x y iv) viii) a3 a3 xy xy
  21. 21. p Racionalizar Raíces Cuadradas de la Forma q n ak 3 1) 7 7 42 73 4 73 4 74 4 3 3 4 4 3 42 3 4 42 3 43 4 n n 4 x n 4 x n 4 x n4 x 2) 4 mx m4 x3 m 4 x 3 x m 4 x3 x m 4 x4 3 a a 3 a a 3 a 3 a a 3 a 3 a2 a 3 a 3 a a3 a 3) 3 3 a2 33 a 2 a 33 a 2 a 33 a 3 3a 3 4) 7 7 7 7 7 42 3 7 3 6 3 6 3 2 3 2 3 ..... 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 42 p p n an k p n an k p n an k p n an k En General q n ak q n ak n an k q n ak an k q n an q a
  22. 22. Racionaliza las siguientes Expresiones 7 7 7 7 i) v) 3 3 3 11 3 11 49 49 15ax 15ax ab ii) vi) 2 5a3 2 3 2 5a 2 b3 a 5 40a b 2 40a b 2 4 211 4 27 iii) vii) 3 10 a 2 3 10 a 2 4 23 ab a 3 ab a 3 3 x 7 x2 y6 iv) viii) 3 ab 2 3 ab 2 7 x9 y 6
  23. 23. Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradas e Indice Par Como, por ejemplo, 4 2 ya que 2 2 4 y así para todas las Raíces Cuadradas de Números Positivos entonces NO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS Es decir: En General, Esta condición es propia de todas las Raíces de INDICE PAR. 4 No Existe 4 0,2 No Existe 0,12 No Existe 25 No Existe 8 25 No Existe 36 36
  24. 24. Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas e Indice Impar Las Raíces que tienen INDICE IMPAR NO tienen restricción Es decir: 3 8 2 ya que 2 2 2 8 3 27 3 ya que 3 3 3 27 8 2 2 2 2 8 3 ya que 27 3 3 3 3 27 7 128 2 ya que 2 2 2 2 2 2 2 128
  25. 25. Ecuaciones con Irracionales. Una Ecuación Irracional es determinar el valor de la incógnita que se encuentra bajo raíces. Ejemplo de Ecuaciones Irracionales: Para resolverlas hay que seguir x 3 7 dos pasos muy sencillos: i) Si hay más de una raíz, se x 3 1 2x debe aislar en uno de los lados de la ecuación. ii) Elevar al cuadrado ambos x 3 4 x 7 3x 1 lados de la ecuación. 3 2 x 1 5 7 3x 1
  26. 26. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales: Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada 2x 4 6 en uno de los dos lados de la ecuación. 2 2x 4 6 / Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos lados de la igualdad a 2. 2 2 2x 4 6 El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y el exponente se simplifiquen. Se resuelve como una ecuación de primer 2x 4 36 grado con una incógnita. x 20 OJO. En estricto rigor la solución de la ecuación debe estar en el siguiente conjunto: 2,
  27. 27. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales: Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos x 8 3 x 1 lados de la ecuación. 2 Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos x 8 1 3 x / lados de la igualdad a 2. 2 2 x 8 1 3 x El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y el exponente se simplifiquen y en el otro lado de la igualdad tengamos que realizar el x 8 1 2 3 x 3 x cuadrado de un binomio. 2 4 2 3 x / Debemos volver al paso i), raíz aislada y elevamos al cuadrado ambos lados de la 2 2 4 2 3 x igualdad. Aquí en adelante la Ecuación Irracional se 16 43 x transforma en una Ecuación de Primer Grado con una Incógnita 16 12 4x 1 x
  28. 28. Curiosidades 2) Algoritmo para determinar una raíz. 1) 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 ...
  29. 29. Links http://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htm http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.php http://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327
  30. 30. RAICES Harold Leiva Miranda Harold.leiva@sekmail.com Colegio Sek – Pacífico Con - Con

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