Propiedades funciones trigonométricas

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Unas pocas páginas de la presentación final. Espero le ayude a entender y aplicar la propiedades trigonometricas. si desea la presentación completa la pueden obtener en Http://www.matematicaspr.com.

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Propiedades funciones trigonométricas

  1. 1. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Trigonometría 1
  2. 2. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas • Conocer el periodo de las funciones trigonométricas • Conocer el dominio y el alcance de las funciones seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo. • Derivar algunas identidades trigonométricas. • Conocer las identidades trigonométricas fundamentales, pares impares, de ángulos complementarios y de ángulos suplementarios. • Aplicar las identidades trigonométricas fundamentales, pares impares, de ángulos complementarios y de ángulos suplementarios. Objetivos 2
  3. 3. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Una función es periódica si existe un numero real tal que + = ( ) para toda en el dominio de . El menor número real positivo , si existe, es el periodo de . Las funciones trigonométricas son funciones periódicas Las funciones seno, coseno, cosecante y secante del ángulo tienen período igual a . + 2 = + 2 = + 2 = + 2 = Las funciones tangente del ángulo y cotangente del ángulo tienen periodo igual a . + = + = Funciones Periódicas 3
  4. 4. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Funciones Periódicas 4 Buscar el exceso a veces el período de la función coseno del ángulo. Solución: = ( ) = ( ) = ( ) = El ángulo tiene un giro mayor al período de la función coseno del ángulo que es 2 . EL exceso a veces 2 es , por lo tanto se busca el coseno de que es equivalente a buscar el coseno de . Ejemplo 1: Hallar el valor exacto de la siguiente expresión ( ).
  5. 5. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Funciones Periódicas 5 Buscar el exceso a veces el período de la función cosecante del ángulo. Solución: !" # = ( $ # ! # ) = ( $ # ) = ( $ # ) = 2 El ángulo %&' ( tiene un giro mayor al período de la función cosecante del ángulo que es 2 . EL exceso a veces 2 es %) ( , por lo tanto se busca la cosecante de %) ( que es equivalente a buscar la cosecante de %&' ( . Ejemplo 2: Hallar el valor exacto de la siguiente expresión (%&' ( ) .
  6. 6. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Funciones Periódicas 7 Buscar el exceso a veces el período de la función cotangente del ángulo. Solución: " # = (# # # ) = (# ) = (# ) El ángulo ' ( tiene un giro mayor al período de la función cotangente del ángulo que es . EL exceso a veces es ( , por lo tanto se busca la cotangente de ( que es equivalente a buscar la cotangente de ' ( . = 3 Ejemplo 4: Hallar el valor exacto de la siguiente expresión (' ( ).
  7. 7. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 1 8
  8. 8. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas a) csc(%&. ) = b) %' ( = c) cos(&& . ) = Práctica: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones d) 600° = e) tan(−930°) = f) 675° = Funciones trigonométricas 9
  9. 9. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Las funciones seno y coseno del ángulo Tienen el mismo dominio (todos los números reales). Tienen el mismo alcance ( desde −1 hasta 1 incluidos). Dominio y alcance funciones trigonométricas 10 0 >? 2 @ A 1 −1
  10. 10. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas La función tangente del ángulo El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los múltiplos impares de B . El alcance es el conjunto de los números reales La función cosecante del ángulo Tiene dominio igual a todos los números reales excepto los múltiplos enteros de . El alcance es el conjunto de los números reales menores o iguales que −1 y el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que 1. Dominio y alcance funciones trigonométricas 11
  11. 11. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas La función cotangente del ángulo El dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los múltiplos enteros de π. El alcance es el conjunto de los números reales. La función secante del ángulo Tiene dominio igual a todos los números reales excepto los múltiplos impares de . El alcance es el conjunto de los números reales menores o iguales que −1 y el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que 1. Dominio y alcance funciones trigonométricas 12
  12. 12. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas13 Al sustituir cualquier número real en @ siempre obtenemos un valor del coseno. D EF F = −∞, ∞ IJ = −1, 1 Solución: Al buscar el alcance de la función coseno a la constante se suma y resta el coeficiente del coseno. 0 ± 1 = 0 + 1 = 0 − 1 = 1 −1 Después se escribe el conjunto alcance. Dominio y alcance funciones trigonométricas Ejemplo 1: Hallar el dominio y el alcance de @ = cos(@ + B ).
  13. 13. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas15 Al buscar el dominio de la función tangente se iguala el argumento a múltiplos impares de . D EF F = Todos los números reales excepto los múltiplos enteros de π. Los valores de la función que se obtienen al sustituir cualquier número real en @ siempre son números reales. IJ = −∞, ∞ Solución: @ + 2 = − 2 @ + 2 = 2 @ = − 2 − 2 @ = 2 − 2 @ = @ = 0 Luego se busca el patrón si alguno. Estos valores tienen una diferencia de Dominio y alcance funciones trigonométricas Ejemplo 3: Hallar el dominio y el alcance de @ = (@ + B ).
  14. 14. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas16 Al buscar el dominio de la función secante se iguala el argumento a múltiplos impares de . D EF F = Todos los números reales excepto los múltiplos enteros de π. Solución: @ − 2 = − 2 @ − 2 = 2 @ = − 2 + 2 @ = 2 + 2 @ = 0 @ = Luego se busca el patrón si alguno. Estos valores tienen una diferencia de Al buscar el alcance de la función secante a la constante se suma y resta el coeficiente de la secante. 1 ± 3 = 1 + 3 = 1 − 3 = 4 −2 IJ = (−∞, −2M ∪ O4,∞) El alcance de la función es de 4 hacia arriba y de −2 hacia abajo. Dominio y alcance funciones trigonométricas Ejemplo 4: Hallar el dominio y el alcance de @ = 3 @ − B + 1.
  15. 15. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 1 17
  16. 16. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas a) @ = 2 cos 2@ − + 1 b) @ = sen(@ + ) c) @ = 3tan(2@ + ) 18 Práctica: Hallar el dominio y el alcance de los siguientes funciones. d) @ = csc @ − B − 1 e) @ = 2sec(@ − ) f) @ = cot(2@ + B ) Dominio y alcance funciones trigonométricas
  17. 17. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Identidades recíprocas Identidades cociente Identidades pitagóricas θ θ sen 1 csc = θ θ cos 1 sec = θ θ tan 1 cot = θ θ θ cos tan sen = θ θ θ sen cos cot = 1cos22 =+ θθsen θθ 22 sec1tan =+ θθ 22 csccot1 =+ θ P = (@, A) A @ A @ Q Las identidades se derivan utilizando la circunferencia unitaria. 19 Identidades Fundamentales
  18. 18. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas 222 ryx =+ 2 2 2 2 2 2 x r x y x x =+ ( ) 22 2 1       =      + x r x y Por el Teorema de Pitágoras Se divide por @ Por definición = R S y = T S . Se sustituyen las expresiones T S y R S por y respectivamente.θθ 22 sectan1 =+ Derivar la identidad = 1 + Identidades Pitagóricas 20 Ejemplo Demostración
  19. 19. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Ejemplo 1: Simplifica la siguiente expresión: cos sec 21 Solución: 1 Utilizar una identidad reciproca para la secante del ángulo y sustituir secante del ángulo por uno sobre coseno del ángulo.1 Simplificar los cosenos del ángulo Recordar que al simplificar todos los factores el resultado es uno. Identidades Fundamentales
  20. 20. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Ejemplo 2: Simplifica la siguiente expresión: ( )csc( ) − ( ) ( )csc( ) − ( ) − 1 − ( + ) − Solución: Se utiliza una identidad de recíproco para sustituir la cosecante del ángulo. Simplificar la expresión seno del ángulo. Utilizar una identidad pitagórica para transformar el 1 en otra cantidad. Los cosenos cuadrados del ángulo suman cero. 1 22 Identidades Fundamentales
  21. 21. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 2 26
  22. 22. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Práctica: Simplificar las siguientes expresiones. c) 1 − UVWB X ! YZ[ X b) sin ] cot ] + ] a) csc θ ∗ d) UVWB X ! UVWB X UVW X Identidades Fundamentales 27
  23. 23. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Práctica: Si = $ !> y θ está en el cuadrante tres. Halle las razones trigonométricas tangente y secante del ángulo θ utilizando identidades. 28 Identidades Fundamentales
  24. 24. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Identidades pares − = − = Identidades impares − = − − = − − = − − = − θ A @ (@, A) (@, −A) − Q Identidades Pares e Impares 29 Por definición: El = @ y el − = @. Luego se iguala la variable @ de cada ecuación y se obtiene que − = .
  25. 25. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Ejemplo 1: Hallar el valor exacto de la expresión: tan 15° + UVW( !$°) YZ[ !$° 30 Identidades Pares e Impares Utilizar una identidad impar para transformar (−15°) en − 15° . Solución: 15° + (−15°) 15° 15° − 15° 15° Utilizar una identidad de cociente para la expresión seno de 15 grados sobre coseno de 15 grados. 15° − 15° Sumar las tangentes de 15 grados de forma algebraica.0 Luego se sustituye esta expresión por tangente de 15 grados.
  26. 26. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Ejemplo 2: Hallar el valor exacto de la expresión: sec 20° − ! YZ[( i°) 31 Identidades Pares e Impares Utilizar una identidad par para transformar co (−20°) en cos 20° . Solución: 20° − 1 (−20°) 20° − 1 20° Utilizar una identidad de reciproco para la expresión uno sobre coseno de 20 grados. Luego se sustituye esta expresión por secante de 20 grados. Sumar las secantes de 20 grados de forma algebraica.0 20° − 20°
  27. 27. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 2 32
  28. 28. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Práctica: Simplificar las siguientes expresiones. c) (15°) + (−15°) b) sec − cos a) csc (70°) ∗ (−70°) Identidades Pares e Impares 33 d) cot(65°) + jkU(#$°) UVW #$°
  29. 29. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas 90° − = 90° − = 90° − = 90° + = 90° + = − 90° + = − Por definición: = @ y 90° − = @ = A y 90° − = A = T S y 90° − = T S = @ y 90° + = @ = A y 90° + = −A = T S y 90° + = − T S Identidades de Ángulos Complementarios 34 Demostración = @ y 90° − = @ Se igualan las @ 90° − = A @ (@, A) (−A, @) 90° + 90° − Q θ
  30. 30. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Solución: 15° − 75° 7 5° 15° − 15° − 0 Utilizar una identidad de cociente para la expresión coseno de 75 grados sobre seno de 75 grados. 75° 35 Ejemplo 1: Hallar el valor exacto de la expresión: tan 15° − jkU"$° [mn "$° Luego se sustituye esta expresión por cotangente de 75 grados. Utilizar una identidad de ángulos complementarios para transformar la cotangente de 75 grados. 15° Luego se sustituye esta expresión por tangente de 15 grados. Sumar las tangentes de 15 grados de forma algebraica. Identidades de Ángulos Complementarios
  31. 31. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas36 Solución: −! $ ! − ! ! − &B −1 Se utiliza una identidad de recíproco para sustituir la csc ! por ! UVW &B . Simplificar los senos de &B radianes. Después de simplificar se multiplican y dividen los factores que no simplificaron. 1 ! Se utiliza una identidad impar para lograr ángulos positivos. Luego se usa la identidad de ángulos complementarios para transformar la sec $ ! en csc ! . Ejemplo 2: Hallar el valor exacto de la expresión: ! $ ! Identidades de Ángulos Complementarios
  32. 32. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 3 37
  33. 33. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Práctica: Simplificar las siguientes expresiones. d) tan(25°) − jkU(#$°) UVW (#$°) 38 a) sec (20°) ∗ (70°) c) (75°) + (15°) b) csc − # cos > Identidades de Ángulos Complementarios
  34. 34. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas 180° − = 180° − = − 180° − = − 180° + = − 180° + = − 180° + = Demostración = @ y 180° − = −@ Se igualan las @ 180° − = − . Por definición: = @ y 180° − = −@ = A y 180° − = A = T S y 180° − = T S = @ y 180° + = −@ = A y 180° + = −A = T S y 180° + = T S θ A @ (@, A)(−@, A) (−@, −A) 180° − 180° + Q Identidades de Ángulos Suplementarios 39
  35. 35. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Ejemplo 1: Hallar el valor exacto de la expresión: && &B B) &B Solución: !! ! $ ! ! ! &B 1 Se utiliza una identidad de recíproco para sustituir la cosecante del ángulo por uno sobre el seno del ángulo. Simplificar los senos de &B radianes. Después de simplificar se multiplican y dividen los factores que no simplificaron. 1 ! Se utiliza una identidad de ángulos suplementarios para la expresión (&& &B ). También se utiliza el concepto de ángulos coterminales para lograr ángulos menores de una revolución. 40 Identidades de Ángulos Suplementarios
  36. 36. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Ejemplo 2: Hallar el valor exacto de la expresión: cot 15° + jkU!#$° [mn !#$° Solución: 15° + 165° 165° 15° + 15° + 0 Utilizar una identidad de cociente para la expresión coseno de 165 grados sobre seno de 165 grados. 165° Sumar las cotangentes de 15 grados de forma algebraica. 41 Sustituir utilizando una identidad de ángulos suplementarios para la expresión cotangente de 165 grados. − 15° Luego se sustituye esta expresión por cotangente de 165 grados. Identidades de Ángulos Suplementarios
  37. 37. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Ejemplo 3: Hallar el valor exacto de la expresión: 35° + ! jUjB! $° Solución: 35° + 1 145° 35° + 1 35° + 145° 35° + 1 Se utiliza una identidad de recíproco para sustituir la cosecante cuadrado del ángulo por uno sobre el seno cuadrado del ángulo. Efectuar la división (aplicar el reciproco). Aplicar una identidad Pitagórica que relaciona el seno cuadrado del ángulo y el coseno cuadrado del ángulo. 42 35° Se utiliza una identidad de ángulos suplementarios para sustituir el seno cuadrado de 145 grados . 1 145° Identidades de Ángulos Suplementarios
  38. 38. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Ejemplo 4: Hallar el valor exacto de la expresión: cot 200° − YZ[ i° UVW> i° Solución: cot 200° − cos 20° 380° cot 20° − cot 20° − cot 20° 0 Se utiliza el concepto de funciones periódicas para transformar la expresión cot 200° en cot 20° y 380° en 20° Utilizar una identidad de cociente para sustituir YZ[ i° UVW i° por cot 20° Sumar algebraicamente las cotangentes de 20 grados. cos 20° 20° 43 Identidades Trigonométricas
  39. 39. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 1 44
  40. 40. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Práctica: Simplificar las siguientes expresiones. c) (165°) + (15°) b) sec − cos a) csc (70°) ∗ (110°) d) tan(115°) − UVW(#$°) jkU (#$°) 45 Identidades de Ángulos Suplementarios
  41. 41. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas46 Mapa Propiedades Funciones Trigonométricas Características Identidades Propiedades Funciones Trigonométricas • Fundamentales • Reciproco • Cociente • Pitagóricas • Ángulos • Complementarios • Suplementarios • Pares e impares • Periodicidad • Dominio • Alcance

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