Funciones Trigonométricas

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Muetra de la presentación final Funciones Trigogometricas. Espero que estas pocas páginas les ayude con sus dudas. Si deseas la presentación completa la puesdes obtener en www.matematicaspr.com. El producto incluye la presentación y ejercicios de práctica en su manual. En el siguiente enlace puedes ver algunas partes de la presentación en forma interactiva.

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Funciones Trigonométricas

  1. 1. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Funciones Trigonométricas Trigonometría 1
  2. 2. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Objetivos 2 • Definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. • Hallar la razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. • Identificar la circunferencia unitaria y su relación con los números reales. • Evaluar las funciones seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente de números reales. • Definir las funciones trigonométricas de arcos comunes. • Evaluar expresiones trigonométricas utilizando la circunferencia unitaria. • Evaluar expresiones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia.
  3. 3. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Las funciones trigonométricas se pueden dividir en dos maneras distintas pero equivalentes; como funciones de números reales o como funciones de ángulos. Funciones Trigonométricas 3 es cualquier número real es cualquier ángulo θ 1 1
  4. 4. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Trigonometría del Triángulo Rectángulo 4 Razones trigonométricas del ángulo seno = = coseno = = tangente = = cosecante = = secante = = cotangente = = θ Los triángulos rectángulos son aquellos que tienen un ángulo de 90°. El teorema de Pitágoras aplica, la suma de los cuadrados de los catetos es igual que el cuadrado de la hipotenusa. Cateto opuesto al ángulo (b) Cateto adyacente al ángulo (a)
  5. 5. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Trigonometría del Triángulo Rectángulo 5 Ejemplo: Encuentre el valor de cada una de las seis razones trigonométricas del ángulo en el triángulo de la derecha. θ 24
  6. 6. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Trigonometría del Triángulo Rectángulo 5 Solución: Ejemplo: Encuentre el valor de cada una de las seis razones trigonométricas del ángulo en el triángulo de la derecha. = 24 θ = = 24 26 = 12 13 = = 10 26 = 5 13 = = 24 10= 12 5 Nota: Los valores del numerador y denominador son pares por lo tanto ambos son divisibles por 2. = = 26 24 = 13 12 = = 26 10 = 13 5 = = 10 24 = 5 12 Identificar la hipotenusa, el lado opuesto y el lado adyacente al ángulo. La relación de Pitágoras + = se utiliza para hallar la medida del lado desconocido en el triángulo. Utilizar la definición de las razones trigonométricas del ángulo para hallar el valor de estas. Si es posible simplificar. = (10) +(24)= + c = 100 + 576 = 676 = 26
  7. 7. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 6 Buscar el Manual de práctica Hacer el ejercicio 1 de la página 1
  8. 8. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Trigonometría del Triángulo Rectángulo 7 θ Práctica: Encuentre el valor de cada una de las seis razones trigonométricas del ángulo en el triángulo de la derecha.
  9. 9. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas 8 El número real , que es la longitud del arco $% de la circunferencia unitaria U, es la medida en radianes del ángulo . Se puede asociar a cada ∈ ', un punto único %( ) de la circunferencia unitaria U. Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenadas , de %( ) . = = = = 1 = 1 = + = 1 $ 1, 0 ) % = ( , ) θ Si es un numero real y %( , ) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a entonces: de números reales
  10. 10. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*+ , , - , ) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a . Funciones Trigonométricas 9 de números reales
  11. 11. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Nota: Se aplica la definición de las razones trigonométricas y luego se simplifica si es posible. Ejemplo: Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*+ , , - , ) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a . = = = = 4 5 = −3 5 = / 0 12 0 = 4 5 · −5 3 = −4 3 = 1 = 1 = = 1 / 0 = 1 12 0 = 12 0 / 0 = −3 5 · 5 4 = −3 4 = 5 4 = −5 3 Funciones Trigonométricas 9 Solución: ) = 1 t (12 0 , / 0 ) de números reales
  12. 12. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 10 Buscar el Manual de práctica Hacer el ejercicio 3 de la página 2
  13. 13. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas 11 Práctica: Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*4 5 , *4 5 ) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a . de números reales
  14. 14. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 12 Buscar el Manual de práctica Hacer la actividad de la página 3 y 4
  15. 15. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas 6 = 7: Busca las seis funciones trigonométricas del arco = 0. El punto en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como se muestra en la figura. Funciones Trigonométricas 13 para arcos comunes 0 = co 0 = tan 0 = csc 0 = 0 = cot 0 = % 1, 0 ) 0= 1
  16. 16. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas 6 = = > : Busca las seis funciones trigonométricas del arco = = > . El punto en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como se muestra en la figura. Funciones Trigonométricas 14 para arcos comunes = > = co = > = tan = > = csc = > = = > = cot = > = ? ) %( 2 , @ )
  17. 17. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas 6 = = A : Busca las seis funciones trigonométricas del arco = = A . El punto en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como se muestra en la figura. Funciones Trigonométricas 15 para arcos comunes ? ) %( , ) = A = co = A = tan = A = csc = A = = A = cot = A == 1 = 1 @ = 1 ∗ = 2 @ = 1 ∗ = 2
  18. 18. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas 6 = = C : Busca las seis funciones trigonométricas del arco = = C . El punto en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como se muestra en la figura. Funciones Trigonométricas 16 para arcos comunes = C = co = C = tan = C = csc = C = = C = cot = C = 2 @ @ 2 = 3 3 2 @ @ 2 2 = 1 ∗ @ @ @ = 1 ∗ = 2 = 3 ? ) %(@ , 2 ) D @ ∗ 2 = 2 3 3
  19. 19. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas 6 = = E : Busca las seis funciones trigonométricas del arco = = E . El punto en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como se muestra en la figura. Funciones Trigonométricas 17 para arcos comunes = E = co = E = tan = E = %(0, 1) ? ) csc = E = = E = cot = E =
  20. 20. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas 18 Valores de las funciones trigonométricas para arcos comunes t θ (x, y) sen t cos t tan t csc t sec t cot t 0 6 π 4 π 3 π 2 π para arcos comunes Llena la tabla utilizando las coordenadas de los arcos comunes, el valor de las funciones trigonométricas de estos arcos y la conversión de ángulos medidos en radianes a grados.
  21. 21. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos F + + F G 2. F + + 2 F G 3. sec F + + 2 F - 4. F G + 2 3 F G Evaluar Funciones Trigonométricas 19
  22. 22. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos F + + F G 2. F + + 2 F G 3. sec F + + 2 F - 4. F G + 2 3 F G Evaluar Funciones Trigonométricas 19 @ @ + 1
  23. 23. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos F + + F G 2. F + + 2 F G 3. sec F + + 2 F - 4. F G + 2 3 F G Evaluar Funciones Trigonométricas 19 @ @ + 1 3 + 2 2 3 + 3 2 3
  24. 24. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos F + + F G 2. F + + 2 F G 3. sec F + + 2 F - 4. F G + 2 3 F G Evaluar Funciones Trigonométricas 19 @ @ + 1 3 + 2 2 3 + 3 2 3 2 + 12 2 + 2 4
  25. 25. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos F + + F G 2. F + + 2 F G 3. sec F + + 2 F - 4. F G + 2 3 F G Evaluar Funciones Trigonométricas 19 @ @ + 1 3 + 2 2 3 + 3 2 3 2 + 12 2 + 2 4 2 + 3 2 + 2 2 3 5
  26. 26. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 20 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la parte VI en la página 4
  27. 27. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos 0 + F 5 2. F + − 2 F + 3. sec F G + 2 F + 4. F G + 2 F + Evaluar Funciones Trigonométricas 21
  28. 28. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 22 Buscar el Manual de práctica Hacer la actividad de la página 5
  29. 29. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Actividad Círculo Unitario Primer cuadrante Segundo cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante ? I 12 I 6 I 4 I 3 5I 12 I 2 7I 122I 3 3I 4 5I 6 11I 12 I 0 13I 12 7I 6 5I 4 4I 3 17I 12 3I 2 19I 12 5I 3 7I 4 11I 6 23I 12 2I Llena los blancos para completar el círculo unitario. Utiliza las coordenadas de los arcos comunes para llenar los blancos del primer cuadrante y los conceptos simetría y ángulo de referencia para llenar los blancos de los otros cuadrantes. 23 , , , , , , , , , , , , , , , ,
  30. 30. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión cos -F + Evaluar Funciones Trigonométricas 24 Circunferencia Unitaria
  31. 31. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión cos -F + Evaluar Funciones Trigonométricas 24 Solución: cos -F + = Circunferencia Unitaria 1 2 , 3 2 I 3 4I 3 −1 2 , − 3 2 Primeramente se localiza el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El ángulo /K 2 es un múltiplo de K 2 por lo tanto las coordenadas del punto en la circunferencia unitaria del ángulo /K 2 se obtienen por simetría con el origen. Luego se utiliza la definición de la función trigonométrica cos = en la circunferencia unitaria. Finalmente cos /K 2 = 1@ porque la simetría con el origen implica signos opuesto de y . = −1 2
  32. 32. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión +F - Evaluar Funciones Trigonométricas 25 Circunferencia Unitaria
  33. 33. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión +F - Evaluar Funciones Trigonométricas 25 Circunferencia Unitaria 2 2 , 2 2 − 2 2 , 2 2 Solución: +F - = 3I 4 I 4 Primeramente se localiza el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El ángulo 2K / es un múltiplo de K / por lo tanto las coordenadas del punto en la circunferencia unitaria del ángulo 2K / se obtienen por simetría con el eje de . Luego se utiliza la definición de la función trigonométrica s = en la circunferencia unitaria. Finalmente s 2K / = porque la simetría con el eje de implica signo opuesto de y el mismo signo de . = 2 2
  34. 34. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión *4+F G Evaluar Funciones Trigonométricas 26 Circunferencia Unitaria
  35. 35. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión *4+F G Evaluar Funciones Trigonométricas 26 Circunferencia Unitaria 3 2 , 1 2 3 2 , −1 2 Solución: *4+F G = I 6 −13I 6 Primeramente se localiza el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El ángulo 1@2K L es un múltiplo de K L por lo tanto las coordenadas del punto en la circunferencia unitaria del ángulo 1@2K L se obtienen por simetría con el eje de . Luego se utiliza la definición de la función trigonométrica = M N en la circunferencia unitaria. Finalmente 1@2K L = 1 2 2 porque la simetría con el eje de implica signos opuesto de . O P = −@ 2 = − 3 3
  36. 36. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 27 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la parte VIII en la página 6
  37. 37. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Evaluar Funciones Trigonométricas 28 1. csc(,F - ) = 2. RF G = 3. cos(4SF + ) = Práctica: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones 4. 44F G = 5. (4TF G ) = 6. ,F - =
  38. 38. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones trigonométricas 29 Sea el ángulo en posición estándar cuyo lado terminal contiene un punto P = ( , ) cualquiera. La medida del segmento que forma el lado terminal del ángulo siempre corresponde al radio de una circunferencia cualquiera. La ecuación de una circunferencia cualquiera con centro en el origen es + = = = = = = = Definición: θ % = ( , ) para un ángulo cualquiera
  39. 39. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones trigonométricas 30 Ejemplo: Hallar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (−5, −12). para un ángulo cualquiera
  40. 40. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones trigonométricas 30 Ejemplo: Hallar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (−5, −12). = = = = −12 13 = −5 13 = −12 −5 (10,1@ ) = 12 5 + = (−5) +(−12) = 169 = = 169 = 13 Solución: Se localiza el punto y se identifica el lado terminal del ángulo en el sistema rectangular. Después se busca el radio de la circunferencia para aplicar la definición y obtener el valor de las funciones trigonométricas del ángulo . Nota: El signo de cada función trigonométrica depende del signo de la y la del punto dado. = 13 para un ángulo cualquiera
  41. 41. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar la cotangente del ángulo si, cos( ) = 10 @2 y csc( ) > 0. Funciones trigonométricas 31 para un ángulo cualquiera
  42. 42. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar la cotangente del ángulo si, cos( ) = 10 @2 y csc( ) > 0. + = (−5) + = (13) = 169 − 25 = 144 = ± 144 = 12 13 Primeramente se localiza el lado terminal del ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares que cumple con los signos de las funciones presentadas. Después se construye el triángulo trazando un segmento desde el punto en la circunferencia que está en el lado terminal del ángulo hasta el eje horizontal. Luego se utiliza la definición de la función trigonométrica para identificar los valores de , ó . Después se busca el lado que falta del triángulo. Finalmente se buscan las funciones trigonométricas indicadas. cos = P X < 0 cos = P X < 0 csc = O X > 0 csc = O X > 0 = −5 13 = Funciones trigonométricas 31 Solución: −5 12 para un ángulo cualquiera = ?= = −5 12
  43. 43. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 32 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de las páginas 7 y 8
  44. 44. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones trigonométricas 33 para un ángulo cualquiera Práctica: Hallar las funciones trigonométricas seno, secante y tangente del ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (3, − 4).
  45. 45. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones trigonométricas 34 para un ángulo cualquiera Práctica: Hallar el seno del ángulo si, sec( ) = @2 @ y tan < 0.
  46. 46. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante 35 1 0 1−1 −1 ∝ Algunas funciones tienen signos diferentes es negativo es negativo es positivo es negativo es negativo es positivo Algunas funciones tienen signos diferentes es positivo es negativo es negativo es positivo es negativo es negativo Las seis funciones tienen signo positivo es positivo es positivo es positivo es positivo es positivo es positivo Algunas funciones tienen signos diferentes es negativo es positivo es negativo es negativo es positivo es negativo
  47. 47. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión 135° Evaluar Funciones Trigonométricas 36 para un ángulo cualquiera
  48. 48. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión 135° Evaluar Funciones Trigonométricas 36 para un ángulo cualquiera Solución: 135° = 45° 135° = − 2 2 − 45° Primeramente se dibuja el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El lado terminal del ángulo 135° esta en el segundo cuadrante, por lo tanto el coseno del ángulo tiene signo negativo. El ángulo de referencia de 135° es 45°, por lo tanto el valor numérico del coseno de 135° es opuesto al valor del coseno de 45°.
  49. 49. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Evaluar Funciones Trigonométricas 37 para un ángulo cualquiera Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión 390°
  50. 50. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión 390° Evaluar Funciones Trigonométricas 37 para un ángulo cualquiera Solución: 390° = 30° 390° = 3 3 30° Primeramente se dibuja el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El lado terminal del ángulo 390° esta en el primer cuadrante, por lo tanto la tangente del ángulo tiene signo positivo. El ángulo de referencia de 390° es 30°, por lo tanto el valor numérico de la tangente de 390° es igual al valor de la tangente de 30°.
  51. 51. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión −600° Evaluar Funciones Trigonométricas 38 para un ángulo cualquiera
  52. 52. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión −600° Evaluar Funciones Trigonométricas 38 para un ángulo cualquiera Solución: −600° = 60° −600° = 2 3 3 60° Primeramente se dibuja el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El lado terminal del ángulo −600° esta en el segundo cuadrante, por lo tanto la cosecante del ángulo tiene signo positivo. El ángulo de referencia de −600° es 60°, por lo tanto el valor numérico de la cosecante de −600° es igual al valor de la cosecante de 60°.
  53. 53. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 9 39
  54. 54. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones d) 600° = e) tan(−930°) = f) 315° = Evaluar Funciones Trigonométricas 40 a) csc(−225°) = b) −210° = c) cos(660°) =
  55. 55. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Mapa Funciones Trigonométricas 41 Números Reales Arcos Comunes Cualquier Ángulo Ángulos Agudos Triángulos

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