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Muestra de la presentación completa de angulos y sus medidas. Es una presentación interactiva que contiene teoría y práctica.

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Angulos y sus medidas Angulos y sus medidas Presentation Transcript

  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ángulos y sus medidas Trigonometría 1
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Objetivos 2 Identificar ángulos en posición estándar y cuadrantales. Dibujar ángulos mediados en grados y radianes. Aplicar la fórmula del largo del arco en una circunferencia. Aplicar la fórmula para el área de un sector circular. Aplicar la relación entre grados y radianes. Hallar ángulos coterminales de un ángulo particular. Hallar ángulos de referencia de un ángulo particular.
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Ángulo Es la abertura formada por dos rayos que tienen un extremo común llamado vértice. 3 vértice Uno de los rayos es el lado inicial que permanece fijo y el otro es el lado terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del vértice en un plano hasta que alcanza su posición terminal. Generalmente se utilizan letras griegas para nombrar los ángulos. Medida del ángulo convexoMedida del ángulo cóncavo Elementos de un ángulo
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo de . Ángulos en posición estándar 4 Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) Figura 1 x y θ Lado terminal Lado inicial positivoánguloθ x y y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). Figura 2 θ Lado terminal Lado inicial negativoánguloθ Ambos ángulos están en posición normal o estándar
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Medición de ángulos 5 Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Medición en radianes Medición en grados Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados. Los grados se subdividen en minutos y los minutos en segundos, de tal modo que un grado tiene sesenta minutos y un minuto sesenta segundos. Los símbolos utilizados para representar los grados, los minutos y los segundos son, respectivamente: °, ', ''. La medida en radianes es un escalar (número sin unidades), en otras palabras un valor constante. Una rotación completa tiene una medida de 2 radianes. Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además, se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo. r θ s
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Un ángulo cuadrantal es un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal yace sobre un eje coordenado. Ángulos cuadrantales 6 Nota: Los ángulos que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos en posición estándar que su lado terminal yace sobre los ejes ó ). x y Lado inicial Lado terminal θ ángulo cuadrantal x y ángulo cuadrantal θ Lado terminal Lado inicial
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Dibujar Ángulos 7 Ejemplo: Determine el cuadrante en el plano cartesiano que ubica el ángulo . Solución: Divida el primer y segundo cuadrante en partes iguales que indique el denominador del ángulo a dibujar ( ) . x y Extienda las líneas divisorias a los otros dos cuadrantes de forma tal que tengamos en partes divididos todos los cuadrantes o sea la revolución completa. Comenzando desde el eje positivo de , recorra en contra de las manecillas del reloj seleccionando las partes de . Esta es la ubicación del ángulo, cuadrante cuatro. Nota: El denominador es un número impar.
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Dibujar Ángulos 8 Ejemplo: ¿En qué cuadrante del plano rectangular se ubica el ángulo ? Solución: Divida el primer y segundo cuadrante en partes iguales que indique el denominador del ángulo a dibujar ( ) . x y Extienda las líneas divisorias a los otros dos cuadrantes de forma tal que tengamos en partes divididos todos los cuadrantes o sea la revolución completa. Comenzando desde el eje positivo de , recorra en favor de las manecillas del reloj seleccionando las partes de . Esta es la ubicación del ángulo, cuadrante tercero. Nota: El denominador es un número par.
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica 9 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 1
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica: Dibuje los siguientes ángulos medidos en radianes. Dibujar Ángulos a) b) c) d) a) θ = b) = c) = d) = x y 10 x y x y x y Recuerde : El denominador indica en cuantos pedazos se divide cada . Cuando el denominador es impar el eje de no coincide con las divisiones.
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Dibujar Ángulos 11 Ejemplo: ¿En qué cuadrante del plano rectangular se ubica el ángulo 610°? Solución: Nota: Una revolución completa mide 360°. Comenzamos determinando la cantidad de revoluciones completas que hace el ángulo. El ángulo 610° hace una revolución completa y 250° adicionales. Dibujar desde el eje positivo de las revoluciones en la dirección correspondiente (a favor o en contra del movimiento de las manecillas del reloj). x y Luego se ubica el ángulo en el lugar correspondiente. ° El ángulo esta ubicado en el tercer cuadrante.
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica 12 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 1
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica: Dibuje los siguientes ángulos medidos en grados. Dibujar Ángulos a) b) c) d) a) θ = 210° b) = −540° c) = 1090° d) = −300° x y 13 x y x y x y Recuerde: Una revolución completa mide 360° y media revolución mide 180°.
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Nota: Una revolución completa es igual a & radianes r θ s Ángulo central Si el vértice de un ángulo está en el centro de una circunferencia de radio ( > 0, y la longitud del arco opuesto a + en la circunferencia es s, entonces + medido en radianes está dado por: + = , - ./01/234 Área de un sector circular Si + es la medida en radianes de un ángulo central de una circunferencia de radio (, y si 5 es el área de un sector circular determinado por +, entonces: 5 = 6 7 879. r θ s Área sector Largo del Arco y Área del Sector 14
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Ejemplo: En la figura tenemos un ángulo central + opuesto a un arco de 24 cm en una circunferencia de radio igual a 6 cm. 1. Calcular el ángulo + en radianes 2. Hallar el área del sector determinado por + Inicialmente se escribe la fórmula del ángulo central, luego se sustituye el valor del largo del arco y del radio. Después se simplifica la expresión que resulta. Al buscar el área del sector determinado por el ángulo central se escribe la fórmula y se sustituyen las cantidades conocidas. Luego se efectúan las operaciones y se simplifica la expresión que resulta. θ : = 24 Solución: = ;< ;< = ./01/234+ = : ( = 7 = ;<7A = 1 2 ( + Largo del Arco y Área del Sector 15
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica 16 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 2
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica: Para una circunferencia con un radio de 6 pies. El arco opuesto al ángulo + mide 14 pies. Encuentre el ángulo opuesto al arco de la circunferencia y el área del sector determinado por +. θ =? : = 14 Largo del Arco y Área del Sector 18
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica: Si una circunferencia de radio ( tiene un arco de 9 pies opuesto al ángulo + = 6 radianes. Encuentre el área del sector determinado por +. θ = 6 : = 9 Largo del Arco y Área del Sector 19
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Conversión de Ángulos La conversión de grados a radianes y de radianes a grados se basa en que: 180° = radianes 20 x y FGH° & Para cambiar ángulos de radianes a grados y de grados a radianes usamos los siguientes factores: ° I o ° Si el ángulo está en radianes se multiplica por ° I para cambiarlo a grados. Si el ángulo está en grados se multiplica por ° para cambiarlo a radianes.
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Ejemplo: Cambiar el ángulo de grados a radianes 1. 210° Cambiar el ángulo de radianes a grados 2. Solución: 210° 1 180° = 7 ∙ 30° 1 6 ∙ 30° = 7 6 4 3 180° = 4 ∙ 60° 1 = 240° Solución: 4 3 3 ∙ 60° = Conversión de Ángulos 21
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica 22 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 3
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica: Cambiar los siguientes ángulos de radianes a grados. Conversión de Ángulos a) b) c) d) 23 Recuerde : La relación de grados y radianes es 180° = . a) b) c) d)
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica: Cambiar los siguientes ángulos de grados a radianes. Conversión de Ángulos a) 310° b) −160° c) −1220° d) 1080° 24 Recuerde : La relación de grados y radianes es 180° = . a) b) c) d)
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iníciales y terminales, estos ángulos se llaman ángulos coterminales. Ángulos coterminales 25 x y + x y + Para encontrar ángulos coterminales se utiliza la siguiente fórmula: esrevoluciondenúmeroeleskdonde; radianesenángulospara,2 gradosenángulospara,360 coterminal    ± °± = k k πθ θ θ
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Ángulos coterminales 27 θ;MN = + ± 2 P = − 5 6 ± 2 1 = Q − 5 6 + 2 − 5 6 − 2 = Solución: Ejemplo: Hallar dos ángulos coterminales con − 7 6 − 17 6 x y − Luego sustituye el ángulo + ( − ) y selecciona cualquier cantidad de k revoluciones. Escribe la fórmula de calcular ángulos coterminales en radianes. Si los ángulos coterminales deben ser positivos se utilizan cantidades de revoluciones k que permitan obtener resultados positivos. Si los ángulos coterminales deben ser negativos se utilizan cantidades de revoluciones k que permitan obtener resultados negativos. Generalmente se busca un ángulo coterminal positivo y otro negativo.
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Ángulos coterminales 28 θ;MN = + ± 360°P = −170° ± 360° 1 =S−170° + 360° = 190° Ejemplo: Hallar dos ángulos coterminales positivos con −170° Solución: θ;MN = + ± 360°P = −170° ± 360° 2 =S−170° + 720° = 550° x y −170° 190° Nota: K es cualquier cantidad de revoluciones. La cantidad de revoluciones más utilizada es una o dos. La cantidad de revoluciones depende del valor del ángulo conocido y los ángulos coterminales a buscar (un ángulo positivo y otro negativo, dos ángulos negativos o dos ángulos positivos).
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica 29 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 4
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Ángulos coterminales 30 Práctica: Hallar dos ángulos coterminales con 170° Hallar dos ángulos coterminales con
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Ángulos coterminales 31 Práctica: Hallar dos ángulos coterminales positivos con −240° Hallar dos ángulos coterminales positivos con
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Un ángulo de referencia es la medida del ángulo que se forma entre el lado más cercano del eje horizontal y el lado terminal de un ángulo en posición estándar. Ángulos de referencia 32 En el cuadrante I +8 = + En el cuadrante II +8 = 180° − + En el cuadrante III +8 = + − 180° En el cuadrante IV +8 = 360° − + Nota: Los ángulos de referencias siempre son positivos porque representan una medida. El ángulo de referencia siempre está entre 0° o 0 y 90° o T 7 . + + x y +8 + x y +8 x y +8 + x y +8
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Ángulos de referencia 33 Ejemplo: Encuentre el ángulo de referencia para 3 5 2 π πθ −=r 3 π θ =r 3 5 ) π θ =a 6 17 ) π θ =b El ángulo de referencia es el ángulo agudo formado por el lado terminal de UT V que esta en el cuadrante IV y la parte positiva del eje de . W-X 6 5π πθ −=r 6 π θ =r Los ángulos y UT Y son coterminales [porque – ( ) = UT Y ]. Por lo tanto, el ángulo de referencia es el ángulo agudo formado por lado terminal de UT Y que esta en el cuadrante II y la parte negativa del eje de . W-X x y x y 5 6
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Ángulos de referencia 34 °−°= 180225rθ °= 45rθ °= 225) θa °= 870)θb El ángulo de referencia es el ángulo agudo formado por el lado terminal de 225° que esta en el cuadrante III y la parte negativa del eje de . Los ángulos 870° y 150° son coterminales [ 870°– 2(360°) = 150° ]. Por lo tanto, el ángulo de referencia es el ángulo agudo formado por el lado terminal de 150° que esta en el cuadrante II y la parte negativa del eje de . Ejemplo: Encuentre el ángulo de referencia para °−°= 150180rθ °= 30rθ θ8 = 30° +8 = 45° x y 225° x y 870o 150o
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica 35 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 5
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Práctica: Dibuje los siguientes ángulos medidos en radianes. Ángulos de Referencia b) c) d) a) θ = b) = c) = 300° d) = −410° 36 Recuerde : El ángulo de referencia es el ángulo formado por el lado terminal de un ángulo y la parte más cercana del eje horizontal. x y x y x y x y a)
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Mapa Ángulos y sus Medidas 38 Radianes Relación Medidas Medidas Ángulos Ángulo Çentral Largo Arco Ángulo Posición Estándar Ángulo Cuadrantal Dibujar Ángulo Ángulo Coterminal Ángulo Referencia Área Sector Circular Grados
  • www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Ángulos y Medidas Ángulo Central 5 + Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo y cuyos lados pasan por un par de puntos en el círculo. Todo ángulo central corta a la circunferencia en dos puntos que determinan un arco comprendido.