Hiperbola
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Descripción de los elementos de la Hipérbola y su ecuación

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  • 1. Hipérbola
  • 2. Índice  La hipérbola.  La hipérbola como lugar geométrico.  Elementos de la hipérbola.  Ecuación analítica de la hipérbola.  Ecuación analítica de la hipérbola con centro en (  Asíntotas.  Ejemplo.  Propiedad de reflexión de la hipérbola.
  • 3. Hipérbola  La hipérbola, se origina al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y cuyo ángulo de inclinación respecto aleje del cono es menor que el de la generatriz del cono. Eje Plano Vértice Generatriz
  • 4. La Hipérbola como Lugar Geométrico:  Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
  • 5. Elementos de la hipérbola  Y En toda hipérbola conviene considerar: Y: Es el eje secundario de la hipérbola y es la mediatriz del eje focal. P X: Es el eje focal de la hipérbola. F´ A´ O A F X F y F´: Son los focos de la hipérbola. A y A´: Son los vértices de la hipérbola. O: Es el centro de la hipérbola. P: Es un punto de la hipérbola. PF y PF´: Son los radio vectores de la hipérbola.
  • 6. Elementos de la hipérbola Y P 2c: Se le llama distancia focal. 2a: Es la resta de los radio vectores PF y PF´ de un punto. F´ AA´: A este segmento se le denomina eje real. O A´ 2a 2c A F
  • 7. Ecuación analítica de la hipérbola:  Ubiquemos los focos sobre el eje x, F = ( c, 0 ) y F' = ( -c, 0 ), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola.  En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x.  Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a
  • 8. Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión: (c2 – a2)x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0 Nota: Los cálculos los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse.  Nuevamente a partir del dibujo anterior y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2. Dividiendo cada término por a2b2 obtenemos:
  • 9. Ecuación analítica de la hipérbola con centro en (p, q):  Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0 Si hacemos: A = b2 B = – a2 C = – 2pb2 D = 2qa2 E = p2b2 – q2a2 – a2b2 Tendremos la ecuación: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia, o una elipse, excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.
  • 10. Asíntotas:  Son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" (p, q)  Las ecuaciones de las asíntotas son:
  • 11. Ejemplo  Esbócese la curva 36x2 - 64y2 = 2304 x2 y2 − =1 Si divide entre 2304 y se reduce la ecuación a: 64 36 La gráfica es una hipérbola en la cual a = 8, b =6 y c = 10. Por lo tanto los vértices son ( ±8, 0) y los focos ( ±10, 0). Las ecuaciones de las asíntotas son: 3x -4y = 0 y 3x + 4y = 0 Haz click y observa la gráfica
  • 12. Propiedad de reflexión de la Hipérbola:  La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse. Si se dirige un haz de luz en dirección de un foco, por ejemplo de f, se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en dirección del foco f '.