Elipse

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Descripción de los elementos de la Elipse y su ecuación

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Elipse

  1. 1. Elipse
  2. 2. Índice       La Elipse. La Elipse como lugar geométrico. Elementos de la elipse. Ecuación analítica de la elipse. Ejemplo. Propiedades de reflexión de la elipse.
  3. 3. Elipse  La elipse, se origina al cortar un cono con un plano que no pase por el vértice del cono y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es mayor que el de la generatriz del cono. Eje Elipse Plano Generatriz Vértice
  4. 4. La Elipse como lugar Geométrico  Elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
  5. 5. Elementos de la Elipse  B P En toda elipse convine considerar: F y F´: Son los puntos fijos llamados focos. A´ F´ F B´ 2c 2a A 2c: Se le llama distancia focal y es la distancia que hay entre los dos focos. P: Cualquier punto de la elipse. PF y PF´: Son los radio vectores de la elipse. 2a: Es la suma de los radio vectores.
  6. 6. Elementos de la Elipse Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. B P Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF´. C: Es el centro de la Elipse. B y B’ A y A’ : Son los vértices de la elipse. AA’: Es el eje mayor de la elipse y su longitud es 2a. BB’: Es el eje menor de la elipse y su longitud es 2b. 2b A´ F´ C B´ 2c 2a F A
  7. 7. Ecuación Analítica de la Elipse • Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). • Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). • En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. • Entonces: PF + PF' = 2a. • Aplicando Pitágoras tenemos que:
  8. 8. • Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados
  9. 9. •A partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que: a2 = b2 + c2 b2 = a2 – c2 •Piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c •Reemplazando en la ecuación tenemos que: b2x2 + a2y2 – a2b2 = 0 •Dividiendo entre a b 2 2 b2x2 + a2y2 = a2b2 obtenemos que:
  10. 10. • Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 • Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0 • Si hacemos: A = b2 B = a2 C = – 2pb2 D = – 2qa2 E = p2b2 + q2a2 – a2b2 • Tendremos la ecuación: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no necesitan ser iguales.
  11. 11. Ejemplo  Esbócese la elipse 9x2 + 25y2 = 225. y2 x2 Al dividir entre 225 se obtiene: + =1 25 9 Como el denominador de x2 es mayor que y2, el eje mayor esta a lo largo de el eje x. Además a2 = 25, b2 = 9 y c2 = 16 por consiguiente los vértices están en ( ±5, 0), los extremos del eje menor en ( 0, ±3) y los focos en ( ±4, 0). Haz click y observa la gráfica
  12. 12. Propiedad de reflexión de la elipse:  Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco.

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