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Ângulos triângulos
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Ângulos triângulos

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  • 1. Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 2. Ângulo: é o conjunto de pontos do plano delimitadopor duas semi-retas com origem comum. A medida daamplitude do ângulo é dada em graus.Neste caso, o ângulo AOB tem origem em O e édelimitado pelas semi-retas OA e OB. CLASSIFICAÇÃO DE ÂNGULOS QUANTO À AMPLITUDE Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 3. Ângulos adjacentesConsideremos dois ângulos com uma semi-retacomum, por exemplo a semi-reta OC:• Os ângulos AOC e COB são adjacentes, porque têmum lado comum que os separa.• Os ângulos AOB e COB não são adjacentes, porque,apesar de terem um lado comum, este não os separa. Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 4. Ângulos suplementares ecomplementaresÂngulos suplementares são suplementares, porqueOs ângulos AOC e COBquando adjacentes, formam um ângulo raso, ou seja de180°.Ângulos AOC + COB = 180°Ângulos complementaresOs ângulos AOC e COB são complementares porque,quando adjacentes, formam um ângulo reto.Ângulos AOC + COB = 90°. Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 5. Ângulos verticalmente opostosAs semi-retas que constituem o ângulo a são as semi-retasopostas àquelas que constituem o ângulo d (verificando-se omesmo c e b);a diz-se verticalmente oposto a d (e vice e versa) e c diz-se verticalmente oposto a b (e vice versa).Quaisquer dois ângulos verticalmente opostos sãocongruentes (geometricamente iguais). Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 6. Ângulos de lados paralelosAos pares de ângulos assinalados chama-se ângulosde lados paralelos – são ângulos cujas semi-retasque os definem são paralelas (em sentido estrito oucoincidentes). Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 7. • Na figura, os ângulos a e b têm os lados paralelos e são ambos agudos, pelo que são congruentes. •Na figura, os ângulos c e d têm os lados paralelos e são ambos obtusos, pelo que são congruentes. • Na figura, os ângulos a e d têm os lados paralelos. No entanto, a é agudo e d é obtuso, pelo que são ângulos suplementares .Em particular, se ambos fossem retos, então seriam congruentes esuplementares. Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 8. Ângulos alternos – externosDadas duas retas paralelas intersectadaspor uma terceira, concorrente, chama-seângulos alternos – externos aos pares a ec (são congruentes) e b e d (tambémcongruentes),assinalados na figura. Ângulos alternos – internosDadas duas retas paralelas intersectadaspor uma terceira, concorrente, chama-seângulos alternos – internos aos pares e eg (são congruentes) e f e h (tambémcongruentes),assinalados na figura. Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 9. Posição relativa de duas retas no planoParalelas:Na figura a e b são retas paralelas: a//bAs retas paralelas podem ser:• Estritamente paralelas (quando não seintersectam);• Coincidentes (quando se intersectamem todos os seus pontos)Concorrentes:PerpendicularesNa figura a e c são retasperpendiculares (intersectam-se,formando ângulos retos):OblíquasNa figura, a e d são retas oblíquas (intersectam-se, mas não formamângulos retos ): Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 10. •A soma das amplitudes dos ângulos internosde um qualquer triângulo é 180°•A amplitude de um ângulo externo de umtriângulo é igual à soma das amplitudes dosângulos internos não adjacentes•A soma das amplitudes dos ângulos externosde um qualquer triângulo é 360°• Diz-se que dois triângulos (ou quaisquerduas figuras) são congruentes se puderemser sobrepostos ponto por ponto.Se assim for, têm lados correspondentes como mesmo comprimento e ânguloscorrespondentes com a mesma amplitude. Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 11. Critério de congruência LAL (lado – ângulo – lado)Se dois lados de um triângulo e o ângulo por eles formado foremcongruentes com os elementos correspondentes de um outrotriângulo, os triângulos são congruentes. Critério de congruência ALA (ângulo – lado – ângulo)Se um dos lados de um triângulo e os ângulos adjacentes a esselado forem congruentes aos elementos correspondentes de umoutro triângulo, os triângulos são congruentes. Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 12. Critério de congruência LLL (lado – lado – lado)Se os três lados de um triângulo forem congruentes aos ladoscorrespondentes de um outro triângulo, os triângulos são congruentes.Em geral:Num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo (e vice versa) e aomenor lado opõe-se o menor ângulo (e vice versa).Num triângulo, a ângulos congruentes opõem-se lados congruentes (evice – versa). Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 13. Eixos de Simetria de umtriângulo Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 14. Quadriláteros Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 15. A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquerquadrilátero é 360°. Diagonais e eixos de simetria de um paralelogramo Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 16. Figuras semelhantes Duas figuras são semelhantes se têm a mesma forma. Duas figuras têm a mesma forma se são congruentes ou se uma delas é ampliação da outra. Figuras ampliadas, reduzidas ou congruentes sãoDois polígonos são semelhantes se têm os ângulos correspondentes iguais semelhantes.e os lados correspondentes proporcionais.Razão de semelhançar > 1 – ampliação 0 < r < 1 – redução r = 1 – igualdade geométrica Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 17. Critérios de semelhança de triângulosCritério de semelhança AA(ângulo – ângulo): se dois triângulos tiverem dois ângulos correspondentescongruentes, então são semelhantes. Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 18. Critério de semelhança LLL(lado – lado- lado): se dois triângulos tiverem as medidas dos três ladoscorrespondentes proporcionais, então são semelhantes. Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 19. Critério de semelhança LAL(lado – ângulo – lado): se dois triângulos tiverem as medidas de dois ladoscorrespondentes proporcionais e os ângulos entre esses lados congruentes,então são semelhantes. Matemática - 9º Ano 2011-2012
  • 20. Relação entre os perímetros e áreas de triângulossemelhantes Em geral verifica-se que: A razão entre os perímetros de dois triângulos semelhantes é igual à razão de semelhança. A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Matemática - 9º Ano 2011-2012