Análise da convergência de séries telescópicas

Análise Matemática I

Séries de Números Reais

Joana Peres

MIEQ – 2009/2010

FEUP / MIEQ Joana Peres / Análise Matemática I 1

Introdução às séries de números reais
Uma série (infinita) de números reais é a soma de todos os (infinitos) termos
de uma sucessão (ou sequência) de números reais, de termo geral {an}:
def ∞
Definição a1 + a2 + a3 + ≡ ∑ ar
r =1

Será que esta série infinita tem um valor numérico?
sucessão das somas parciais {Sn}, associada à sucessão de números reais
{an}, definida através de:

def def n
Definição S n ≡ a1 + a2 + + an ≡ ∑ ar
r =1

Algumas das somas parciais associadas à sucessão {an}:
S1 = a1
S 2 = a1 + a2
S 3 = a1 + a2 + a3

S n = a1 + a2 + + an

Séries convergentes e divergentes

A sucessão de termo geral {an} diz-se somável se e só se a correspondente
sucessão das somas parciais {Sn} for convergente para um número real qualquer
S quando n tender para infinito:

Definição
def n def ∞
{an }somável ⇔ ∃S ∈ IR : lim S n = lim ∑ ar ≡ ∑ ar = S
n→∞ n→∞
r =1 r =1

∞
Se o limite existir a série ∑ ar é convergente para S
r =1

∞
Se o limite não existir a série ∑ ar é divergente
r =1


Propriedades mais importantes das séries de números reais
∞ ∞ ∞
Teorema ∑ ar = S∧ ∑ br = T ⇒ ∑ ( ar + br ) = S + T
r =1 r =1 r =1
∞ ∞
∑ ar = S ⇒ ∑ c ar = c S , ∀c ∈ IR
r =1 r =1

O 2º teorema é um teste de divergência que deve sempre ser aplicado a
qualquer série antes de utilizar qualquer outro teste de convergência:

Teorema (Condição necessária de convergência, ou teste de divergência)
∞
∑ ar converge ⇒ lim an = 0
n →∞
r =1

∞
Demonstração: ∑ ar = S ⇒ lim an = lim ( S n − S n −1 ) =
n →∞ n →∞
r =1
= lim S n − lim S n −1 = S − S = 0
n→∞ n→∞

∞
Conclui-se do Teorema que: lim an ≠ 0 ⇒
n→∞
∑ ar diverge
r =1



Exemplos de aplicação do teste de divergência
∞ ∞
r
∑ r +1 ∑ ( −1) r r 2
r =1 r =1

Observação importante: ∞
Se lim an = 0 então a série
n →∞
∑ ar pode convergir ou divergir
r =1

Exemplo: A série chamada série harmónica

∞ 1
1 1 1 1
∑ r
=1+
2
+
3
+
4
+ é uma série divergente, embora o lim
n→∞ n
=0
r =1

Contudo, a série harmónica diverge com extrema lentidão:
Sn ≥ 5 ⇒ n = 83
Sn ≥ 10 ⇒ n = 12 367
Sn ≥ 100 ⇒ n ≈ 1043

∞ ∞
Teorema ∑ ar = S ⇔ ∑ ar = S + a0 , desde que a0 ∈ IR
r =1 r =0

Redefinição da soma parcial Sn de forma a incluir o termo a0

def def n
Definição S n ≡ a0 + a1 + + an ≡ ∑ ar
r =0

A soma parcial Sn é sempre definida como sendo a soma de todos os termos da
sucessão {an} até ao termo an
independentemente de o 1º termo da sucessão ser a0, a1, a2 ou outro
termo qualquer.
Generalização do teorema:
Inserir ou remover um número finito de termos numa série convergente não
altera a convergência da nova série assim obtida
que convergirá para um valor diferente daquele para que converge a
série original.
Inserir ou remover um número finito de termos numa série divergente
não altera a divergência da nova série assim obtida.

Estudo de séries directamente a partir da definição
A aplicação directa da definição de série convergente Exprimir Sn sob a “forma fechada”
Séries telescópicas (ou de Mengoli)
são séries cujo termo geral ar pode ser escrito como uma diferença
de dois termos de outra sucessão {br}, em que a “distância” entre esses
dois termos (isto é, a diferença dos seus índices) é constante, ou seja:
ar = br + k − br ou ar = br − br + k com k ∈ IN

Exemplo em q a r = b r +1 − b r e a série “começa em r = 1”
p que ç
def n n n n
Sn ≡ ∑ ar = ∑ (br +1 − br ) = ∑ br +1 − ∑ br =
r =1 r =1 r =1 r =1

= ( b2 + b3 + + bn −1 + bn + bn +1 ) − ( b1 + b2 + b3 + + bn −1 + bn ) =
= bn +1 − b1
def
então S ≡ lim S n = ( lim bn +1 ) − b1 = ( lim bn ) − b1
n →∞ n →∞ n →∞

Portanto esta série convergirá se e só se existir lim bn
n →∞

Séries telescópicas (ou de Mengoli)

Exemplo em que ar = br − br + 2 e a série “começa em r = 0”
def n n n n
Sn ≡ ∑ ar = ∑ (br − br + 2 ) = ∑ br − ∑ br + 2 =
r =0 r =0 r =0 r =0

= ( b0 + b1 + b2 + b3 + + bn ) − ( b2 + b3 + + bn + bn +1 + bn + 2 ) =

= b0 + b1 − (bn +1 + bn + 2 )

então
tã
def
S ≡ lim S n = b0 + b1 − lim (bn +1 + bn + 2 ) = b0 + b1 − 2 lim bn
n →∞ n →∞ n →∞

Portanto esta série convergirá se e só se existir lim bn
n→∞

Exemplo ∞
Estudar a convergência da série ∑ ( 21 r +1
− 21 r
)
telescópica r =1



Séries geométricas

Uma série é uma série geométrica se cada termo depois do
primeiro for um múltiplo fixo do termo precedente, isto é, se

ar +1 = k ar , ∀r ≥ 0

O número k chama-se razão da série geométrica.

Uma série geométrica é a série que está associada a uma
“progressão” geométrica do tipo:
progressão

a 0 , a0 k , a0 k 2 , a0 k 3 ,

Representando o termo inicial da série geométrica por a0, vem que:
∞
∑ a 0 k r = a0 + a 0 k + a 0 k 2 + a0 k 3 + , com a0 , k ∈ IR
r =0


Obtenção da “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n:

Caso em que k = 1

k = 1 ⇒ S n = a0 + a0 + a 0 + + a0 = ( n + 1) a0 ⇒

⇒ lim S n = lim ( n + 1) a0 = ± ∞ ⇒ a série é divergente
n→∞ n→∞

k = −1 ⇒ {S n } = {a0 , 0, a0 , 0, a0 , }⇒
⇒ lim S n não existe e portanto a série é divergente
existe,
n →∞

Caso em que k ≠ 1
n
S n = ∑ a 0 k r = a 0 + a0 k + + a0 k n
r =0

kS n = a0 k + a0 k 2 + + a0 k n + a0 k n +1

a0
S n − k S n = a 0 − a0 k n +1
⇒ S n (1 − k ) = a0 (1 − k n +1
) ⇒ Sn = (1 − k n +1 )
1− k


A “fórmula fechada” para a soma parcial de ordem n quando k ≠ 1
a0
Sn = (1 − k n +1 )
1− k

Aplicando a definição de série convergente, conclui-se o seguinte:

Se k > 1, lim k n +1 não existe ⇒ lim S n não existe, e a série é divergente
n →∞ n →∞

S k < 1, lim k n +1 = 0 ⇒ lim S n = a0 , e a série converge:
Se éi
n→∞ n→∞ 1− k

∞
a0
∑ a0 k r =
1− k
, sse k < 1
r =0

∞ r ∞ r ∞ r
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛ e⎞
Exemplos ∑ ⎜ ⎟
⎝π ⎠
∑ ⎜ ⎟
⎝π ⎠
∑ ⎜− ⎟
⎝ 2⎠
r =0 r =1 r =0


Exemplo de aplicação:
Racionalizar na forma irredutível a dízima periódica infinita 0.33333 ......

Exemplo de aplicação:

Diz-se que uma bola elástica tem um coeficiente de restituição r, com
0 < r < 1, se a bola ressaltar até à altura rh depois de ter sido deixada
cair da altura h.

Supondo que a b l é d i d cair d
S d bola deixada i de
uma altura inicial a (ver figura junta) e
depois ressalta infinitas vezes até parar,
mostre que a distância total percorrida
pela bola é finita, sendo dada por:
1+ r
D=a
1− r


Séries de termos não-negativos
Se o termo geral de uma série for não-negativo, a correspondente
sucessão das somas parciais é obrigatoriamente crescente:

an ≥ 0, ∀n ∈ IN ⇔ S n − S n −1 ≡ an ≥ 0 ⇔ S n ≥ S n −1 ⇔ {S n } é crescente

Existem apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber:

1ª hipótese: {Sn} é crescente e limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar converge para sup {Sn}
r =1

2ª hipótese: {Sn} é crescente mas não-limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar diverge para ∞
r =1



Não existe nenhum teste universal de convergência para séries de termos
não-negativos;
No entanto existem vários testes de convergência que, sem serem
universais, permitem resolver o problema da convergência das séries de
termos não-negativos na maior parte dos casos de interesse prático.

Desses testes, vamos estudar apenas os cinco mais importantes:

1. Teste de comparação directa

2. Forma limite do teste de comparação

3. Teste da razão (ou de d'Alembert)

4. Teste da raíz

5. Teste do integral (ou de Cauchy)


O teste de comparação directa pode ser utilizado para mostrar a
convergência ou a divergência de séries de termos não-negativos:
Teorema (Teste de comparação directa)
Suponhamos que 0 ≤ ar ≤ br , ∀r ≥ r * então:
∞ ∞
∑ br converge ⇒ ∑ ar também converge
r =1 r =1

∞ ∞
∑ ar diverge ⇒ ∑ br também diverge
r =1 r =1

Estes resultados são igualmente válidos se as duas séries “começarem
em r = 0”, ou em qualquer número inteiro positivo.
Se se pretender testar convergência utiliza-se br (o termo “maior”) como
termo de comparação
Se se pretender testar divergência utiliza-se ar (o termo “menor”) como
termo de comparação
∞ ∞
Se 0 ≤ ar ≤ br e ∑ br divergir ou ∑ ar convergir
r =1 r =1
nada se pode concluir acerca da outra série

Teste de comparação directa
Exemplo

Utilize o teste de comparação directa para mostrar que a série
∞
sen 2 r
∑ 2r + r 2
r =1

é convergente.


Forma limite do teste de comparação
Teorema (Forma limite do teste de comparação)
ar
Suponhamos que ar > 0 e br > 0, ∀r ≥ r * e seja L = lim então:
r →∞ br
∞ ∞
L>0 ⇒ ∑ br e ∑ ar convergem ambas ou
divergem ambas
r =1 r =1
∞ ∞
L=0 e ∑ br convergir ⇒ ∑ ar também converge
r =1 r =1
∞ ∞
L=0 e ∑ br d eg
divergir ⇒ ∑ ar também diverge
r =1 r =1

Neste caso fazemos uma comparação indirecta entre duas séries, isto é,
utilizamos o cálculo do limite L para fazer a comparação entre duas séries.

A série de termo geral ar é aquela cuja convergência estamos a estudar, e
a série de termo geral br é uma série conhecida, que é usada como termo de
comparação
Escolha de br : inspeccionar o termo geral ar da série que estamos a estudar,
e verificar qual é a “parte dominante” de ar quando r se torna muito grande.

Forma limite do teste de comparação
Exemplo

Utilize a forma limite do teste de comparação para mostrar que a série
∞
5
∑ 3r − 1
r =1

é convergente.


Teste da razão (ou de D’Alembert)
Teorema (Teste da razão, ou de D’Alembert)

Suponhamos que ar > 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim ar +1 então:
r →∞ a
r
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge
r =1

∞
ρ >1 ∨ ρ = ∞ ⇒ ∑ ar diverge
r =1

ρ = 1 este teste é inconclusivo, excepto se ar +1 > ar , ∀r ≥ r
**

caso em que a série diverge, pois rlim ar ≠ 0
→∞

O teste da razão é, em geral, o teste mais indicado para séries cujo termo
geral inclua factoriais.

Definição de factorial
def
+
( r + 1)! ≡ ( r + 1) r! , ∀r ∈ Z 0
def
0! ≡ 1

Teste da razão (ou de D’Alembert)
Exemplo

Utilize o teste da razão para estudar a convergência da série
∞
rr
∑ r!
r =1


Teste da raiz
Teorema (Teste da raiz)

Suponhamos que ar > 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim r ar então:
r →∞
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge
r =1

∞
r =1

ρ = 1 este teste é i
t t t inconclusivo, excepto se
l i t r ar > 1 , ∀r ≥ r **
caso em que a série diverge, pois rlim ar ≠ 0
→∞

O teste da razão e o teste da raiz estão intimamente relacionados, como
se pode concluir do seguinte teorema:

Teorema ar +1
lim = ρ ⇒ lim r ar = ρ
r →∞ ar r →∞

É aconselhável começar por tentar utilizar o teste da razão, por ser o mais
fácil de aplicar.


Exemplo

Estude a convergência da série
∞
r
∑ 5r
r =1

pelo teste da razão e pelo teste da raiz.


Teste do integral (ou de Cauchy)

O teste do integral permite relacionar a convergência de séries de termos
positivos com a convergência de integrais impróprios do 1º tipo:

Teorema (Teste do integral, ou de Cauchy)
Suponhamos que ar > 0 e ar +1 < ar , ∀r ≥ r * e seja, f (x) uma função positiva,
decrescente e integrável em [1, ∞ [, tal que f ( x) = ar , ∀r ∈ IN então:
∞ ∞
∑ ar converge sse ∫1 f ( x) dx convergir
r =1

Generalizando, se a série não “começar em r = 1”, vem:
∞ ∞
∑ ar converge sse ∫k f ( x) dx convergir +
∀k ∈ Z 0
r =k


Para demonstrar este teorema, comecemos por mostrar que o integral
impróprio do 1º tipo pode sempre ser escrito como uma série infinita de
números reais:
∞
= ∑⎛∫ f ( x ) dx ⎞
∞ 2 3 r +1
∫1 f ( x ) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx +
1 2
⎜ r
r =1 ⎝
⎟
⎠
r +1 r +1
f ( r + 1) < ∫ f ( x) dx < f ( r ) ⇔ ar +1 < ∫ f ( x ) dx < ar
r r

Aplicando o teste de comparação àquela
dupla desigualdade, conclui-se que
∞
a série ∑ ar e o integral
∞

r =1
∫1 f ( x ) dx

ou convergem ambos ou divergem ambos


Exemplo

Utilize o teste do integral para estudar a convergência das séries

∞ ∞
1 1
∑ r
∑ r2
r =1 r =1


As séries dos “pp” (ou de Riemann) são frequentemente utilizadas como
termo de comparação ao estudar a convergência de outras séries.
∞
1 1 1
Definição ∑ rp
=1+ p + p +
2 3
, com p ∈ IR
r =1

1
Se p ≤ 0 ⇒ lim p
≠ 0 ⇒ que a série diverge
r →∞ r
1
Se p > 0 ⇒ lim p
= 0 ⇒ que a série pode convergir ou
r →∞ r divergir
1
Aplicando directamente o teste do integral, com f ( x) = definida em [1, ∞ [:
rp
∞
Como o ∫1 f ( x) dx converge sse p > 1, concluímos pelo teste do integral que:

A série dos “pp” (ou de Riemann) converge sse p > 1

∞
1 1 1 1
Se p = 1, temos a série harmónica ∑ r
=1+
2
+
3
+
4
+ que diverge.
r =1


Estimativa do resto a partir do teste do integral
Definição de resto de ordem n duma série convergente para S
def ∞
Rn ≡ S − S n = an +1 + an+ 2 + = ∑ ar
r = n +1

Se o teste do integral puder ser aplicado a esta série convergente, não
é difícil obter uma estimativa do resto Rn. De facto, como vimos acima:

r +1 r
ar +1 < ∫ f ( x) dx < ar ∧ ar < ∫ f ( x) dx < ar −1 ⇒
r r −1

r +1 ∞ r +1 ∞ ∞
∑ ∫r ∑ ar < ∑ ∫r −1 f ( x)
r r
∫r f ( x) dx < ar < ∫r −1 f ( x) dx ⇒
r = n +1
f ( x ) dx <
r = n +1 r = n +1
dx ⇒

∞ ∞
∫n+1 f ( x) dx < Rn < ∫n f ( x) dx estimativa do resto Rn

∞ ∞
Sn + ∫n+1 f ( x) dx < S < S n + ∫n f ( x ) dx estimativa da soma da série


Estimativa do resto a partir do teste do integral
Exemplo

Calcular a soma da série dos “pp”
∞
1
∑ r3
r =1

com erro inferior a 0.005.


Séries de termos não-positivos
Se o termo geral de uma série for não-positivo, a correspondente
sucessão das somas parciais é obrigatoriamente decrescente:

an ≤ 0, ∀n ∈ IN ⇔ S n − S n −1 ≡ an ≤ 0 ⇔ S n ≤ S n −1 ⇔ {S n } é decrescente

Temos então apenas duas possibilidades para este tipo de séries, a saber:

1ª hipótese: {Sn} é decrescente e limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar converge para inf {Sn}
r =1

2ª hipótese: {Sn} é decrescente mas não-limitada ⇒
∞
⇒ ∑ ar diverge para -∞
r =1

∞ ∞
Como ∑ ar ≡ − ∑ ( − ar ) , se a série de termos não-negativos convergir
r =1 r =1 para S, a correspondente série de termos não-
positivos (isto é, a série simétrica da série
dada) converge obrigatoriamente para - S

Séries alternadas
Séries alternadas são séries cujos termos são alternadamente positivos e negativos
são particularmente importantes nas aplicações práticas.
Os testes de convergência que estudámos atrás para séries de termos não-negativos não
podem ser aplicados directamente a estas séries
é necessário recorrer a outro teorema para estudar a convergência destas séries.
Teorema (Teste das séries alternadas, ou de Leibniz)
Seja { ar } uma sucessão de termos positivos tais que:
( i ) ar +1 < ar , ∀r ≥ r *
( ii ) lim ar = 0
r →∞
então as duas séries alternadas associadas a { ar }
∞
∑ (−1) r +1 ar = a1 − a2 + a3 −
r =1
∞
e
∑ (−1) r ar = −a1 + a2 − a3 +
r =1
são ambas convergentes.

Se a 1ª condição não for satisfeita, a série alternada pode convergir ou divergir.
Se a 2ª condição não for satisfeita, podemos concluir que a série alternada
em causa é obrigatoriamente divergente.

Séries alternadas

Exemplo

Estude a convergência da série harmónica alternada

∞
( −1) r +1
∑ r
r =1

e da série alternada

∞
( −1) r +1 ( r + 3)
∑ r +1
r =1


Estimativa do resto de séries alternadas convergentes

Resto de ordem n
def ∞ def ∞
Rn ≡ S − S n = ∑ (−1) r +1
ar ou Rn ≡ S − S n = ∑ (−1) r ar
r = n +1 r = n +1

Para uma série alternada convergente
é sempre possível obter uma estimativa tão precisa quanto se quiser
do valor absoluto de Rn e/ou da soma da série:

Teorema
O valor absoluto do resto de ordem n de uma série alternada convergente é
menor do que o valor absoluto do primeiro termo “desprezado” no cálculo
de Sn :
0 < Rn < an +1


Séries alternadas

r ar Sn
Exemplo
1 1 1
2 0.5 0.5
Calcular a soma da série harmónica alternada
3 0.333333 0.83333333
∞
( −1) r +1
4 0.25 0.58333333

∑ r
5 0.2 0.78333333
r =1 6 0.166667 0.61666667
7 0.142857 0.75952381
com erro inferior a 0.1.
8 0.125 0.63452381
9 0.111111 0.74563492
10 0.1 0.64563492

Quando estudarmos a representação
de funções por meio de séries de
potências:

∞
( −1) r +1
∑ r
= ln 2 = 0.6931471805 .....
r =1


Séries de termos positivos e negativos
∞ ∞
∑ ar ∑ ar
r =1 r =1

série dos valores
absolutos
Se ar ≥ 0, as duas séries são coincidentes.
Se ar ≤ 0, as duas séries são simétricas.
∞
Se ∑ ar for uma série de termos positivos e negativos, a
correspondente série dos valores absolutos será uma
r =1
série completamente distinta da série original.

Convergência absoluta e convergência condicional

Como |ar |≥ 0, ∀r, a convergência da série dos valores absolutos pode sempre
ser analisada recorrendo aos cinco testes de convergência atrás estudados.

Teorema (Teste da convergência absoluta)
∞ ∞
Se ∑ ar converge ⇒ ∑ ar converge
r =1 r =1


Podemos classificar as séries de termos positivos e negativos da
seguinte forma:
∞ ∞
∑ ar ∑ ar Tipo de convergência
r =1 r =1
absolutamente
convergente convergente
convergente
condicionalmente
convergente divergente
convergente

divergente divergente divergente

Para séries de termos positivos e negativos, os conceitos de “absolutamente
convergente”, “condicionalmente convergente” e “divergente”, são mutuamente
exclusivos: apenas uma destas três possibilidades poderá ser verdadeira.

Qualquer série convergente de termos não-negativos pode gerar infinitas
séries de termos positivos e negativos que são absolutamente convergentes:
basta para tal inserir sinais “menos” à sorte em qualquer ponto da série dada.


Testes de convergência absoluta
Teorema (Teste da razão para convergência absoluta)

Suponhamos que ar ≠ 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim ar +1 então:
r →∞ ar
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge absolutamente
r =1
∞
r =1

ρ = 1 este teste é inconclusivo

Teorema (Teste da raiz para convergência absoluta)

Suponhamos que ar ≠ 0 , ∀r ≥ r * e seja ρ = lim r ar então:
r →∞
∞
0 ≤ ρ <1 ⇒ ∑ ar converge absolutamente
r =1
∞
r =1

ρ = 1 este teste é inconclusivo



Exemplo

Analise a convergência da série

∞
( −1) r 2 r
∑ r!
r =1


Rearranjo dos termos de uma série

Definição
Uma sucessão de números reais {bn} diz-se um rearranjo de uma outra
sucessão {an}, quando a sucessão {bn} contiver todos os termos da sucessão
original {an}, mas colocados por uma ordem diferente.

Ao rearranjarmos a sucessão {an}, transformando-a na sucessão {bn},
∞
também a correspondente série ∑ ar será rearranjada, transformando-se
∞
numa nova série ∑ br r =1

r =1

Em princípio, se as duas séries forem ambas convergentes, elas poderão
convergir para valores diferentes, pois por definição tem-se que:

∞ def def ∞ def def
∑ ar ≡ lim S n ≡ lim ( a1 + a2 +
n →∞ n →∞
+ an ) ∑ br ≡ lim S n ≡ lim ( b1 + b2 +
n→∞ n→∞
+ bn )
r =1 r =1

Nada nos garante que estes dois limites sejam iguais.


Testes de convergência absoluta
As séries absolutamente convergentes e as condicionalmente convergentes têm
um comportamento distinto no que concerne ao rearranjo dos seus termos:

Teorema (Rearranjo das séries absolutamente convergentes)
∞
Se série ∑ ar for absolutamente convergente para S, e se {bn} for um rearranjo
r =1
∞
qualquer de {an}, a série ∑ br também é absolutamente convergente para S.
r =1

Ou seja, podemos alterar à vontade a ordem dos termos de uma série
absolutamente convergente, pois este t
b l t t t i t teorema garante-nos que ela continua a
t l ti
ser absolutamente convergente para o mesmo número.

Teorema (Rearranjo das séries condicionalmente convergentes)
∞
Se série ∑ ar for condicionalmente convergente para S, existe um rearranjo
r =1 ∞
{bn} de {an}, tal que a série ∑ br converge para T, ∀T ∈ IR.
r =1

Neste caso, portanto, já não é válido alterar a ordem dos termos da série,
pois se o fizermos ela poderá convergir para um valor diferente (ou até divergir!).

Análise da convergência de séries telescópicas

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Análise da convergência de séries telescópicas

Similar to Análise da convergência de séries telescópicas (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Análise da convergência de séries telescópicas