Colegio                        María Teresa                       Cancino Aguilar                   Geometría AnalíticaLa ...
Presentación:  El libro de geometría analítica “La recta como lugar geométrico” ha sido creado con el objetivo de profundi...
Introducción  Antes de comenzar a resolver ejercicios debemos recordar algunos conceptos básicos         sobre el tema que...
b) La recta:   La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una unica direccion. Vista en u...
d) Ecuación de la recta:     Nombre que recibe la expresión algebraica que determine a una recta, esta corresponde a      ...
• Distancia entre dos puntos    Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (abscisas) o en una recta paralela...
Ejercicios  1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,3) y tenga pendiente ½.  2) Hallar la pendiente “m...
Marco Teórico: • Ejercicio 1:                                                                            Desarrollo matemá...
Desarrollo matemático     • Ejercicio 3:                                                                                  ...
Desarrollo matemático                                         • Ejercicio 5:y +3 −3−2                              En esta...
Ejercicio 7: Para realizar esta clase de ejercicios, lo mejor escomenzar ubicando los puntos dentro del plano, paraapoyarn...
c) Al trasladar el punto C(-6,5) en (0,2) obtenemos el punto (-6,3).                               ● Como el punto no se h...
2-. Calcularemos la distancia entre los puntos que conforman cada lado para saber susmedidas.           |AB|              ...
Como no conocemos las coordenadas del punto E, no podemos utilizar la fórmula de distanciaentre dos puntos para saber su m...
Ejercicio 9:  Sabemos que la figura formada será un triángulo de vértices A(-4,-8), B(5,4) y C(5,y), paracalcular su perím...
Ejercicios de práctica1. El punto (-5, 8) pertenece a    a) el primer cuadrante.    b) el segundo cuadrante.    c) el terc...
6. En la figura, la ecuación de la recta L es:    a) x/4 + y/7= 1    b) x/4 + y/7 = -1    c) x/7 + y/4 = 1    d) x/4 - y/7...
Conclusión       En conclusión, podemos decir que La recta es un conjunto infinito de puntos   alineados en una misma dire...
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  1. 1. Colegio María Teresa Cancino Aguilar Geometría AnalíticaLa recta como lugar geométrico LIBRO DE EJERCICIOS • Vaitiare Araneda Zúñiga • Daniela Díaz Bustos AÑO 2011 • Shlomit Mancilla Rojas Trabajo escolar Plan diferenciado de Álgebra • María Teresa Medel Betancour • Javiera Ovalle Toledo • Marión Pinto Reveco
  2. 2. Presentación: El libro de geometría analítica “La recta como lugar geométrico” ha sido creado con el objetivo de profundizar los conocimientos sobre la recta; sus características, funciones y propiedades. En este capítulo encontrarás diversos ejercicios de aplicación, conocimiento y análisis en los cuales aprenderás a poner en práctica todos aquellos conocimientos adquiridos sobre el tema de la recta. Cada ejercicio consta con su respectivo desarrollo y análisis explicando paso a paso como realizarlo para que no te quede duda alguna en el cómo se hace, llegando a su resultado final. Además, encontrarás una serie de ejercicios tipo para que puedas realizar, aplicando lo enseñado previamente.Índice • Introducción al tema………………………………………………. 3 - Plano cartesiano………………………………………….3 - La recta ………………………………………………….. 4 - Pendiente de una recta…………………………………. 4 - Ecuación de la recta……………………………………. 5 - Paralelismo y perpendicularidad entre rectas…………6 • Ejercicios…………………………………………………………… 7 • Marco teórico………………………………………………………. 15 - Desarrollo y explicación de cada ejercicio……………..15 • Ejercicios de práctica………………………………………...……..16 • Solucionarlo……………………………………………………...…. 17 • Conclusión…………………………………………………….......... 18 2
  3. 3. Introducción Antes de comenzar a resolver ejercicios debemos recordar algunos conceptos básicos sobre el tema que estamos tratando. Así que Recordemos un poco…a) Plano cartesiano: Es la intersección de dos rectas, una horizontal y otra Vertical, que se cortan en un punto (origen). La recta Horizontal se denomina “eje de las abscisas” (X) y la Vertical “eje de las ordenadas” (Y). Tiene como finalidad describir la posición de los Puntos, los cuales son representados pos coordenadas o pares ordenados (x,y); donde X representa la distancia entre el origen (0) y el punto, en el eje horizontal, e Y la distancia entre el origen y el punto en el eje vertical. Ejemplo: Ubica en el plano cartesiano el punto A(3,4) Para localizar el punto A en el plano, lo primero es ubicar el centro del plano, desde ahí avanzamos 3 espacios a la derecha en el eje de las x y desde ahí, 4 lugares hacia arriba en el eje de la Y 3
  4. 4. b) La recta: La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una unica direccion. Vista en un plano cartesiano, una recta puede ser de forma vertical, horizontal o diagonal (aludiendo a la inclinacion de uno de sus lados, ya sea derecho o izquierdo). Ademas se dice que es infinita, es decir, su prolongacion no tiene final en ninguno de sus extremos (en caso de que la “recta” tenga un punto final o un punto de inicio, hablamos de un segmento de recta). La recta posee ademas ciertas caracteristicas: estas son la pendiente denominada con la letra “m” y el termino independiente u ordenado en el origen denotado con la letra “n”.c) Coeficiente angular o pendiente de una recta: La pendiente, corresponde al grado de inclinacion de una recta. esta puede ser creciente o decresciente y se calcula conosiendo dos puntos, en el plano cartesiano, por los cuales pasa una recta.Esta se puede calcular mediante la siguiente formula: ( y 2 − y1 ) m= ( x2 − x1 ) ○ Según el valor de la pendiente, la recta puede ser del tipo: Pendiente Tipo de recta Positiva Recta ascendente Negativa Recta descendente Cero Recta horizontal paralela al eje x No definida Recta vertical paralela al eje y Ejemplo: ( − 3 − 4) Hallar la pendiente que pasa por los m= puntos (2,4) y (,-3). ( 2 − 2) −6 Aplicando la formula, se obtiene el siguiente m= desarrollo: 0 m =∉ 4
  5. 5. d) Ecuación de la recta: Nombre que recibe la expresión algebraica que determine a una recta, esta corresponde a una ecuación lineal o de primer grado en dos variables (x,y). Existen varias formas de representar la ecuación de la recta y estas varían según la recta que se desee presentar algebraicamente. Estas son: • Ecuación general de la recta Para determinar la línea recta en la forma general, solo es necesario conocer dos puntos (A,B) de un plano cartesiano con abscisas (x) y ordenadas (y). Conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano quedan en la siguiente ecuación: Ax + By + C = 0 • Pendiente ordenada en el origen o ecuación principal La ecuación de la recta de pendiente “m” y que corta al eje Y en el punto (0,n) siendo “n” ordenada en el origen (coeficiente de posición), se denota de la siguiente forma: Y = mx + n • Ecuación de la recta dado un punto P(x,y) y la pendiente “m” Se expresa mediante la siguiente ecuación: y − y1 = m( x − x1 ) • Cartesiana Dado dos puntos P₁ (x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂), se denota de la siguiente forma: y − y1 y1 − y2 = x − x1 x1 − x2 • Reducida o abscisa y ordenada en el origen Se llama así al valor que corresponde a cada una de las coordenadas cuando la otra es nula. Se expresa de la siguiente forma: x y + =1 y n 5
  6. 6. • Distancia entre dos puntos Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia de los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas. La distancia se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras, los tríos pitagóricos o la siguiente formula: | AB |= ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 Ejemplo: Calcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3x+4y = 0. | 3 • 2 + 4 • ( − 1) | 2 d ( P , r ) =| = 32 + 4 2 5 • Distancia entre un punto y una recta Corresponde a la longitud del segmento perpendicular de la recta, trazada desde el punto. Se expresa de la siguiente forma: d ( P , r ) =| PM | Ax + By + C d ( p, r ) = A2 + B 2e) paralelismo entre rectas: Se entiende por rectas paralelas aquellas que mantienen una distancia constante, es decir, no se interceptan en ningún punto. De a cuerdo al análisis de la ecuación de la recta, dos o mas rectas son paralelas si tienen la misma pendiente L1 // L2 ⇔ m1 = m2f) Perpendicularidad entre rectas: Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo recto (90º). Analíticamente, dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes resulta -1 L1 ⊥ L2 ⇔ m1·m2 = −1 6
  7. 7. Ejercicios 1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-4,3) y tenga pendiente ½. 2) Hallar la pendiente “m” y el coeficiente de posición “n” de la recta 2y + 3x = 7. 3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,1) y es paralela a la rectadeterminada por los dos puntos (0,-2) y (5,2). 4) Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa (x) y ordenada (y) en el origen son 5 y -3respectivamente. 5) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2,-3) y (4,2). 6) Hallar la distancia del punto Q(-3,4) a la recta 2x + 3y = 4. 7) A partir de la figura formada por los puntos A(-3,1) B(-3,5), C(-6,5) y D(-6,1)Determina: a) Diagonal del rectángulo b) Área y perímetro del rectángulo c) Si el punto C sufre una translación de (0,-2) ¿Cuál es la nueva figura formada y cuál es su perímetro? 8) Indica el tipo de figura formado por los puntos A(2,2) B(9,2) C(7,4) D(4,4)Ademásdetermina a) Distancia de la diagonal AC b) Altura del triángulo ADE formado por los puntos A, D y la recta perpendicular a AB trazada desde el punto D. c) Área de la figura formada por los puntos ABCD d) Perímetro de la figura formada por los puntos ABCD 9) Si el segmento de recta comienza en el punto A(-4,-8) y termina en B(5,4), seencuentra a una distancia 6 del punto C(5,y). Encuentra el perímetro de la figura. 7
  8. 8. Marco Teórico: • Ejercicio 1: Desarrollo matemático Si analizan el ejercicio, se puede apreciar que este entrega dos datos: un punto (x,y) y la pendiente. Para encontrar la y − y1 = m( x − x1 ) ecuación de la recta, tomando en cuenta los datos que 1 entrega el problema, se puede hacer uso de la formula punto y −3= ( x + 4) /·2 2 pendiente y-y1= m(x-x1) 2( y − 3) = x + 4 2y − 6 = x + 4 De esta manera, al reemplazar los valores en la formula se 2 y − 6 = x + 4 /− 2 y + 6 obtiene el siguiente desarrollo: 0 = x + 4 + 6 − 2y Y - 3= 1/2 (x+4), es decir, 2y - 6 = x + 4, o bien 0 = x + 10 − 2 y x - 2y + 10 = 0 si se escribe en la forma general de la ecuación de la recta. x − 2 y + 10 = 0 Desarrollo matemático • Ejercicio 2: 2 y + 3x = 7 En este caso se entrega una recta escrita algebraicamente 2 y + 3x = 7 / − 7 − 2 y (2y + 3x = 7), y se pide calcular su pendiente y coeficiente de 3 x − 7 = −2 y / : −2 posición. Escribiendo la ecuación de la forma principal − 3x 7 Y = mx + n, y reemplazando los valores que entrega el + =y n = coeficiente 2 2 de posición ejercicio, se obtendría lo siguiente: y = -3/2 + 7/2. m = pendiente Ahora que se ha obtenido la ecuación escrita en su forma 2 y + 3x = 7 principal, se puede determinar que la pendiente “m” 2 y + 3x = 7 / − 7 corresponde a -3/2 y su coeficiente de posición “n” a 7/2. 2 y + 3x − 7 = 0 3x + 2 y − 7 = 0 Forma general Otra manera de resolver este ejercicio es escribiendo la recta como ecuación general en la forma Ax + By + C = 0, de modo −A −C que al reemplazar los valores que se entregan se obtenga lo m= n= B B siguiente: 3x + 2y – 7 = 0. De este modo, la pendiente −3 −7 m= n= correspondería resultaría: m = -A/B = -3/2 y el coeficiente de 2 2 posición n = -C/B = -7/2 = 7/2. 8
  9. 9. Desarrollo matemático • Ejercicio 3: ( y − y) Si se analiza el planteamiento dado, nos damos cuenta que m= ( x − x)se conoce el punto de la recta requerida, por lo tanto solo es 2 − (−2)necesario obtener su pendiente que, según sabemos, es la m= 5−0misma que la de la recta paralela L1 que pasa por los dos puntos 4 Inserto pendiente en(0,-2) y (5,2). m= formula de punto- 5 pendiente Para obtener la pendiente de L1 se puede utilizar la formula de ( y − y) y − y1 =, ( x − x1 )pendiente m = Reemplazando valores obtenemos el ( x − x) 4 y −1 = ( x + 3)siguiente resultado: 5 4 2 − ( − 2) 4 y − 1 = ( x + 3) / − 5 m= = 5 5−0 5 5 ( y − 1) = 4 ( x + 3 ) Luego reemplazo el valor de la pendiente en la formula 5 y − 5 = 4 x + 12 / − 4 x − 12“ecuación de la recta dado un punto y la pendiente” 5 y − 5 − 12 − 4 x = 0Y- Y1 = m (X – X1) para así obtener la ecuación que solicita el 5 y − 17 − 4 x = 0 / 4 x − 5 y + 17 = 0planteamiento. 4 y − 1 = ( x + 3) = 4 x − 5 y + 17 = 0 5 Forma general Ejercicio 4: Desarrollo matemático x y Si analizamos este ejercicio podemos darnos cuenta que + =1 a n tenemos de igual forma dos puntos, ya que cuando se dice x y + = 1 /·−15 “que están en el origen” se refiere a que tengo un punto 5 −3 − 3 x + 5 y = −15 / + 15 denominado (5,0) y otro (0,-3). − 3 x + 5 y + 15 = 0 / . − 1 Aplicando la formula abscisa y ordenada en el origen 3 x − 5 y − 15 = 0 x/a + y/n =1, al reemplazar los valores que entrega el ejercicio, se obtiene la ecuación: x/5 + y/-3 = 1, o bien, 3x - 5y – 15 = 0, si Forma general se escribe de la forma general. 9
  10. 10. Desarrollo matemático • Ejercicio 5:y +3 −3−2 En esta ocasión, se entrega la información de dos puntos en =x+2 −2−4 el plano. Para hallar la ecuación de la recta que solicita ely +3 −5 = ejercicio, haciendo uso de los datos que se entregan, se puedex+2 −6 aplicar la formula cartesiana reemplazando los valores dentro− 6( y + 3) = −5( x + 2)− 6 y − 18 = −5 x − 10 / + 5 x + 10 de esta5 x + 10 − 18 − 6 y = 0 y − y1 y − y2 = 15x − 8 − 6 y = 0 x − x1 x1 − x 2 5x − 6 y − 8 = 0 Forma general Desarrollo matemático• Ejercicio 6: 2x + 3 y = 4 /− 4 Igualo a 0 e Lo primero que se debe realizar es igualar la ecuación ,que inserto en la 2x + 3 y − 4 = 0 formula deentrega el planteamiento, a cero de modo que esta quede distancia entreexpresada en su forma general para luego aplicar la formula un punto y una A • p1 + n • p2 + c rectaya conocida de distancia entre un punto y una recta. =d(Recordar que se entrega el dato de un punto Q(-3,4) A2 + n 2 Igualar a cero la ecuación 2x + 3y = 4 2x + 3y - 4 = 0 2·(−3) + (−4)·4 + (−4) 2 =d 2 + ( − 4) 2 Aplicar formula distancia entre un punto y una recta: − 6 − 16 − 4 Ax + By + C =d 4 + 16 A2 + B 2 − 26 =d Al reemplazar los valores y desarrollar se obtiene que la 20 − 26distancia entre el punto Q (-3,4) y la recta 2x + 3y = 4 es =d− 13 5 4·5 aproximadamente. − 26 5 = d /·2 5 Simplificado: 2 5 − 52 5 − 13 5 =d =d 20 5 10
  11. 11. Ejercicio 7: Para realizar esta clase de ejercicios, lo mejor escomenzar ubicando los puntos dentro del plano, paraapoyarnos en una imagen visual. Dentro del problema se nos da como dato que a figuraformada por los puntos ABCD es un rectángulo, por tantohay algunas características de este que nos ayudarán enel desarrollo del ejercicio. |DB| a) diagonal del rectángulo: esta corresponde a la distancia DB = ( y 2 − y1 ) + ( x2 − x1 ) 2 2 entre DB o CA, pero como sabemos que es un rectángulo, DB = (5 − 1) 2 + ( − 3 − −6) 2 ambas diagonales serán iguales, por tanto basta con calcular solo una utilizando la formula de Distancia entre dos puntos. D B = 4 2 + 32 D B = 16 + 9 DB = ( y 2 − y1 ) 2 + ( x 2 − x1 ) 2 D B = 25 DB = 5 ► Diagonal = 5 b) Área y perímetro: Para calcular el |DA| |AB|perímetro y el área del rectángulo necesitamossaber el valor de dos de sus lados D A = ( y2 − y1)2 + (x2 − x2 )2 AB = ( y2 − y1 )2 + (x2 − x2 )2correspondientes al largo y ancho (puesto que D A = (1−1)2 + (−3 − −6)2 AB = (5 −1)2 + (−3 − −3)2lo otros dos serán iguales no es necesariocalcularlos) D A = 02 + 32 AB = 42 − 0 2 DA = 3 AB = 42 Los lados de nuestro rectángulo están DA = 3 AB = 4formados por las rectas AB = CD y DA = BC,por lo que solamente calcularemos AB y DA Ancho: 3 Alto: 4 Teniendo los valores de |AB|=4 y |DA|=3 Calcularemos Área y perímetro. Obteniedo: ► Á=12 y P=14. Área Perímetro Á = Alto· Ancho P = 2·lado + 2·ancho Á =| AB |·| CD | P = 2·4 + 2·3 Á = 4·3 P = 8+6 Á = 12 P = 14 11
  12. 12. c) Al trasladar el punto C(-6,5) en (0,2) obtenemos el punto (-6,3). ● Como el punto no se ha movido dentro del eje de las r absisas (x), la recta DC sigue v = (0,−2) siendo paralela a BA. Sin C = (−6,5) embargo se ha movido en el eje r C= C + v Y, por tanto deja de ser paralela a DA, cambiando su pendiente C = (−6,5) + (0,−2) como muestra el dibujo. C = (−6,3) Como DA sigue teniendo m=0, sin importar la nueva pendientede CB, no serán paralelas, puesto que CB ≠ 0 y para quedos rectas sean paralelas debe cumplirse que: m1=m2 ► La nueva figura es un trapecio Rectangular, con doslados paralelos CD//BA y dos ángulos rectos DAB y CDA (que sabemos son rectángulosporque se mantuvieron de la figura anterior) Ejercicio 8: Igual que en el ejercicio anterior comenzaremos ubicando nuestros puntos A(2,2) B(9,2) C(7,4) D(4,4) y sobre el plano cartesiano. En la primera pregunta se nos pide identificar el tipo de figura formada por estos puntos, pero para comprobarlo no basta solo con el dibujo, es necesario saber la medida de los lados y sus pendientes. Sabemos que nuestra figura es un cuadrilátero, porque esta formada por 4 puntos (A,B,C,D), portanto, tiene cuatro lados: AB, BC, CD y DA. Ahora, es preciso conocer que clase de cuadrilátero es, para lo que: 1-. Identificaremos la pendiente de cada recta para saber si los lados son paralelos. |AB| |BC| |CD| |DA| y2 − y 1 y2 − y1 y 2 − y1 y2 − y1 m = m = y 2 − y1 m= m= m = y 2 − y1 m= x 2 − x1 − 1 xx22 − xx 1 x 2 − x1 2 − x 2 − x1x 1 2 − 2 4−4 2 − 4 − 22 m = 2−2 m = 4−2 m= m= m = m 9−2 9 −9 7 2 4−7 4 − 9 − 22 0 02 0 0 2 m = m = m= m= m = m 7 − 7 2 −3 2 7 m = 0 m =∉−1 m= m=0 m =1 m =∉ 12
  13. 13. 2-. Calcularemos la distancia entre los puntos que conforman cada lado para saber susmedidas. |AB| |BC| |CD| |DA|AB = ( y2 − y1 ) 2 + ( x2 − x2 ) 2 BC = ( y2 − y1 )2 + ( x2 − x2 )2 CD = ( y2 − y1 )2 + (x2 − x2 )2 D A = ( y2 − y1 )2 + ( x2 − x2 )2AB = (2 − 2)2 + (2 − 9) 2 BC = (2 − 4)2 + (9 − 7)2 C A = (4 − 4)2 + (7 − 4)2 D A = (4 − 2)2 + (4 − 2)2AB = 0 + (−7) 2 BC = (−2)2 + 22 CD = 0 + 32 D A = 22 + 22AB = (−7) 2 BC = 4 + 4 CD = 32 DA = 4 + 4 ■ El valorAB = −7 absoluto será BC = 8 CD = 3 DA = 8 siempreAB = 7 positivo BC = 2 2 DA = 2 2 En base a los datos anteriores se deduce lo siguiente: - las rectas AB y CD son paralelas, puesto que ambas tienen pendiente 0 (son paralelas al eje x y perpendiculares a y) - Las pendientes de BC y DA son opuestos aditivos. - BC y DA miden lo mismo (2√2) - Los lados paralelos de la figura no miden lo mismo. - Los lados no paralelos miden lo mismo ► Se concluye entonces que la figura es un cuadrilátero (por que tiene cuatro lados),Trapecio (un par de lados paralelos entre sí) isósceles (el par de lados no paralelos miden lomismo). a) La distancia de la diagonal AC: Para calcularlo |AC| utilizaremos la fórmula de distancia entre dos puntos. AC = ( y 2 − y1 ) 2 + ( x 2 − x1 ) 2 AC = (2 − 2 ) 2 + (7 − 2 ) 2 AC = 0 + 52 AC = 52 AC = 5 b) Altura del triángulo ADE formado por lospuntos A, D y la recta perpendicular a ABtrazada desde el punto D: Dentro del mismo plano, ya antes dibujado, trazaremos una recta desde D que caigaperpendicular en la recta horizontal AB La altura en este caso correspondería a la medida del la recta DE, puesto que se trata de untriángulo rectángulo (ángulo de 90º en E, formado por la perpendicular.) 13
  14. 14. Como no conocemos las coordenadas del punto E, no podemos utilizar la fórmula de distanciaentre dos puntos para saber su medida, sin embargo, se nos da como dato que la recta formada cae perpendicularmente sobre Ecuación de la Recta Distancia entre un AB, por tanto, podemos calcularlo punto y una recta mediante la fórmula de distancia entre y − y1 y1 − y2 = un punto y una recta, ya que la mínima x − x1 x1 − x2 Ax + By + c distancia entre estos formará una d= y−2 2−2 A2 + B 2 perpendicular. Para esto, primero = debemos conocer la ecuación de la recta x−2 2−9 (0·4) + (1·4) + (−2) d= que pasa por los puntos A y B y−2 0 0 2 + 12 = x−2 −7 0+4−2 Teniendo ya la ecuación de la recta (y- d= y−2 2=0), podemos calcular la distancia = 0 /·( x − 2) 1 x−2 2 entre esta y el punto D. d= y − 2 = 0( x − 2) 1 d =2 ► La Altura del triángulo ADE es 2. y−2 = 0 c) Área de la figura: Como en la pregunta anterior ya habíamos calculado los lados de nuestrafigura, ya tenemos los valores correspondientes a las bases del trapecio (B y b). Ahora esnecesario calcular la altura del trapecio, pero si nos damos cuenta, en el ejercicio anteriorcalculamos la altura del triángulo AED, la cual correspondería también a la altura del trapecio.Ahora, teniendo todos los datos necesarios, los ingresaremos en la fórmula. Área → Fórmula Área: ( B + b)·h ( B + b)·h A= 10·2 A= 2 A= 2 2 ( AB + CD )· DE → Datos: A= A= 20 2 B=|AB|=7 2 (7 + 3)·2 A = 10 b=|CD|=3 A= h=2 2 Área del trapecio Perímetro d) perímetro: Nuevamente utilizaremos los valores de los P = a+b+c+dlados previamente obtenidos. En este caso, el perímetro P =| AB | + | BC | + | CD | + | DA |corresponde a la suma de todos los lados del trapecio. P = 7 + 2 2 +3+ 2 2 Como la “raíz de dos” no es un número exacto, el valor del P = 10 + 4 2perímetro de nuestro cuadrilatero será aproximadamente P = 10 + 5,66 Raíz aproximada15,66. P = 15,66 Aprox. 14
  15. 15. Ejercicio 9: Sabemos que la figura formada será un triángulo de vértices A(-4,-8), B(5,4) y C(5,y), paracalcular su perímetro necesitamos saber la medida de todos los lados, es decir, la distanciaentre AB, BC y CA. Con los datos que tenemos podemos calcular la distancia entre el punto Ay B, pero, como no tenemos el valor de “y” en la coordenada del punto C, no es posible calcularlos otros dos lados. Distancia entre un punto y una recta Así que, lo primero, será encontrar el valor de “y” en el punto C. Ax + By + cPara ello se nos da otro dato: La distancia entre el punto C y la d=recta AB es 6. Con eso, y la ecuación de la recta que pasa por el A2 + B 2punto A y B, podremos calcular “y”. ( 4·5) + ( −3· y ) + ( −8) 6= 4 2 + ( −3) 2 Ecuación de la Recta 1-. Ecuación de la recta que pasa por los 20 − 3 y − 8puntos A(-4,-8) y B(5,4) y − y1 y − y2 6= = 1 16 + 9 ► 4x-3y-8=0 x − x1 x1 − x 2 12 − 3 y y − −8 − 8 − 4 = 6= x − −4 − 4 − 5 25 2-. Distancia entre el punto C y la recta 12 − 3 y y + 8 − 124x-3y-8=0 = 6= /·5 x+4 −9 5 ►Y=-6 y+8 4 30 = 12 − 3 y / − 2 = x+4 3 30 − 12 = −3 y Entonces, las coordenadas del punto C 3( y + 8 ) = 4 ( x + 4 ) 3 y + 24 = 4 x + 16 18 = −3 y / : −3son (5,-6). Con este dato podremos 3 y − 4 x + 24 − 16 = 0 18calcular la distancia entre los puntos y =ysaber la medida de los lados. 3 y − 4 x + 8 = 0 /· − 1 −3 4x − 3y − 8 = 0 −6 = y ● Distancia entre dos puntos (|AB|, |BC| y |CA|) |AB| |BC| |CA| AB = ( y 2 − y1 ) 2 + ( x 2 − x 2 ) 2 B D = ( y2 − y1 ) 2 + ( x2 − x2 ) 2 C A = ( y2 − y1 ) 2 + ( x2 − x2 ) 2 AB = ( 4 − −8) 2 + (5 − −4) 2 B D = (−6 − 4) 2 + (5 − 5) 2 C A = (−8 − −6) 2 + (−4 − 5) 2 AB = 12 2 + 9 2 BD = (−10) 2 + 02 CA = (−2) 2 + (−9) 2 AB = 144 + 81 CA = 4 + 81 BD = 100 AB = 225 BD = 10 CA = 85 AB = 15 CA = 85 Perímetro ● Perímetro del triángulo: ■ 85 no tiene raíz exacta, Finalmente, teniendo la distancia entre los por tanto tendremos un número aproximado.puntos, obtenemos que el perímetro denuestro triángulo es aproximadamente 34,2. 15
  16. 16. Ejercicios de práctica1. El punto (-5, 8) pertenece a a) el primer cuadrante. b) el segundo cuadrante. c) el tercer cuadrante. d) el cuarto cuadrante. e) el origen.2. La distancia entre los puntos A(-2, 4) y B(-5, 1) es a) √2 b) 2 √2 c) 3 √2 d) 4 √2 e) 183. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-1, -2) y B(5, 2) es a) -1 b) -2/3 c) 0 d) 1 e) 2/34.Dados los puntos A(2, 5), B(-1, -4), C(3, -1) y D(k, -3), ¿cuál debe ser el valor de k paraque las pendientes de AB y CD sean iguales? a) -7/3 b) -5/3 c)5/3 d)7/3 e) Ninguno de los valores anteriores5. ¿Cuáles son, respectivamente, los valores de la pendiente y del coeficiente de posición de larecta 2y = 3x – 8? a) 3 y -8 b) 3/2 y -8 c)3/2 x y -4 d) 3/2 y 4 e) 3/2 y -4 16
  17. 17. 6. En la figura, la ecuación de la recta L es: a) x/4 + y/7= 1 b) x/4 + y/7 = -1 c) x/7 + y/4 = 1 d) x/4 - y/7 = -1 e) 7x + 4y = 17. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta?2y – 5x – 1 = 0? a) 5x – 2y – 16 = 0 b) 5x + 2y – 16 = 0 c) 5x – 2y + 16 = 0 d) 2x – 5y – 16 = 0 e) x – 5y + 16 = 08. ¿Para qué valor de a las rectas cuyas ecuaciones son 3x + y – 15 = 0 y 4x + ay + 1 = 0 son perpendiculares entre sí? a) -12 b) -11/3 c) -3 d) 11/3 e) 129. Con respecto a las rectas L1, L2 y L3 de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La pendiente de L1 no existe. II) La pendiente de L2 es positiva. III) La pendiente de L3 es negativa. a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) Ninguna de ellasSoluciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b c e d e c a a b 17
  18. 18. Conclusión En conclusión, podemos decir que La recta es un conjunto infinito de puntos alineados en una misma dirección, que tiene distintas características, como es la pendiente, que se compone por un coeficiente de posición (el valor que no es acompañado por la “X”) y por una pendiente (Valor que acompaña la “X”). También, se dieron a conocer las distintas ecuaciones de la recta y la forma en que éstas se pueden aplicar y desarrollar correctamente; desarrollando la capacidad de realizar ejercicios de manera práctica y analítica, relacionados con el tema y a graficarlos en un plano cartesiano. 18

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