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  • 1. Universidad Privada del Guairá Cátedra: Geometría Descriptiva. Profesora : María Diana Chaparro García.
  • 2. Alumnos: Mariana Troller Mello Claudio
  • 3. Apuntes:
    • Sistemas de Proyección.
    • Punto y Recta en el Plano.
    • Posiciones Relativas en una Recta y un Plano.
    • Características del Plano.
    • Traza del Plano.
    • Posiciones Particulares del Plano.
  • 4. Punto y Recta en el Plano
    • El punto es una « figura geométrica » adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
    • En geometría , el punto es uno de los entes fundamentales , junto con la recta y el plano . Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos , que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
  • 5. Representación gráfica
    • En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta , semirrecta o segmento .
    • A los puntos se les suele nombrar con una letra minúscula: a, b, c, etc. (a las rectas con letras mayúsculas, y a los ángulos con letras griegas)
    • La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo , circunferencia , u otra figura geométrica , presupone que el punto es su centro.
  • 6. Determinación geométrica
    • Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:
  • 7. SISTEMAS DE REFERENCIA
    • coordenadas cartesianas , se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).
    • En coordenadas polares , mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ).
    • En coordenadas esféricas , mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ)
    • En coordenadas cilíndricas , mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z).
    • También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas , parabólicas, esferoidales, toridales, etc.
  • 8. Algunos postulados y teoremas relacionados con el punto Postulados en geometría euclidiana
    • Por un punto pasan infinitas rectas y planos.
    • Dos puntos determinan una recta y sólo una.
    • Una recta contiene infinitos puntos.
    • Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.
    • El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.
    • Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n dimensiones.
    • Teoremas en geometría euclidiana
    • Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno.
  • 9. RECTA
  • 10. Recta
    • En geometría euclidiana , la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos ; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos).
    • Es uno de los entes geométricos fundamentales , junto al punto y el Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula .
  • 11. Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta
    • Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1).
    • Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto postulado ).
  • 12.
    • PLANO
  • 13. PLANO
    • En geometría , un plano es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas ; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta
  • 14.
    • Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares
    • Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro.
  • 15. Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:
    • Tres puntos no alineados.
    • Una recta y un punto exterior a ella.
    • Dos rectas paralelas .
    • Dos rectas que se cortan.
    Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
  • 16. Posiciones Particulares del Plano
    • Plano Horizontal
  • 17. Plano Horizontal
    • es un Plano paralelo al Plano Horizontal de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Horizontal, se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Horizontal del Plano y en su Proyección Vertical se ve como una sucesión de puntos sobre la traza del Plano α. En este Plano α sólo distinguimos una Traza Vertical (TV α), la cual es paralela a la Línea de Tierra y cuyo ángulo α= 0º con el Plano Horizontal de Proyección. El ángulo β= 90º La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa la Cota del Plano Horizontal α.
  • 18. PLANO FRONTAL
  • 19.
    • es un Plano paralelo al Plano Vertical de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Vertical, se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Vertical del Plano y en su Proyección Horizontal se ve como una sucesión de puntos sobre la traza del Plano β. En este Plano β sólo distinguimos una Traza Horizontal (TH β), la cual es paralela a la Línea de Tierra y cuyo ángulo β = 0º con el Plano Vertical de Proyección. El ángulo α = 90º La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa el Vuelo del Plano Vertical β.
  • 20. Plano de Perfil
  • 21.
    • es un Plano perpendicular a los Planos Vertical y Horizontal de Proyección. Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano de Perfil, se verá confundido sobre las líneas de las Trazas Vertical y Horizontal del Plano ε. se verá en Verdadero Tamaño en la Proyección Lateral del Plano. En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε), las cuales son perpendiculares a la Línea de Tierra y cuyos ángulos α = 90º y β = 90º. La distancia de dicha Traza con la Línea de Tierra, representa el Vuelo del Plano Vertical β.
  • 22. Plano Proyectante Vertical (de Canto
  • 23.
    • Plano perpendicular al Plano Vertical de Proyección. El valor del ángulo α oscila entre 0º y 90º. El ángulo β = 90º.
    • En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε). Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Vertical, se verá en confundidos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos y los elemento dibujado sobre el Plano Horizontal se ven pero no están en Verdadero Tamaño.
  • 24. Plano Proyectante Horizontal (de pie)
  • 25.
    • es un Plano perpendicular al Plano Horizontal de Proyección. El valor del ángulo β oscila entre 0º y 90º. El ángulo α= 90º. En este Plano ε distinguimos dos Trazas una Horizontal y otra Vertical (TV ε y TH ε). Como consecuencia de esto todo elemento dibujado sobre el Plano Horizontal, se verá en confundidos sobre la misma Traza como una sucesión de puntos y los elemento dibujado sobre el Plano Vertical se ven pero no están en Verdadero Tamaño.
  • 26. Plano Paralelo a la Línea de Tierra
  • 27.
    • se reconoce como su nombre lo indica por ser paralelo a la Línea de Tierra. Sus Trazas siempre son paralelas a la Línea de Tierra (TV ε y TH ε).
  • 28. Plano Cualquiera (Oblicuo):
  • 29.
    • es aquel cuya posición en el espacio no se someta a ninguna relación notable con los Planos de Proyección. Las magnitudes de los ángulos α y β alcanzan valores cualquiera, la posición con respecto a la LT es siempre oblicua, por lo que debe cumplir la relación 180º > α + β <>90.
  • 30. Posición relativa entre dos planos
    • Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.
    • Sus posiciones relativas pueden ser:
  • 31.
    • Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
    • Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2
    • Planos secantes : si los vectores normales no tienen la misma dirección.
  • 32. TRAZA EN EL PLANO
    • Son las rectas donde el plano se intercepta con los planos principales de proyección. Se denominan Fig.11:
  • 33. a)      Traza vertical de un plano . Es la intersección (f) del plano (a) con el plano vertical de proyecciónFig.11a .   b)    Traza horizontal de un plano . Es la intersección (h) del plano (a) con el plano horizontal de proyección Fig.11b
  • 34. DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UN PLANO
    • Si una recta (r) está contenida en un plano (a); las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la recta (r), están contenidas en las trazas vertical (f) y horizontal (h) del plano (a), respectivamente (fig.12). Además, como ya se mencionó, las trazas de un plano se cortan en la línea de tierra (Excepto si el plano es paralelo a ella)
  • 35. Por lo tanto, pueden definirse las trazas de un plano (a), definiendo previamente las trazas de dos rectas (a y b) contenidas en el, como se muestra en los ejemplos (a) y (b) de la fig.13
  • 36.  
  • 37. PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR TRAZAS
    • En la figura siguiente, se ilustra como hacer pertenecer un punto (P) a un plano (a) definido por trazas (f y h) (fig.a), utilizando para ello:
    • una recta: (r) cualquiera (fig.b1);
    • una recta (f1) frontal (fig.b2);
    • una recta (h1) horizontal (fig.b3).
  • 38.  
  • 39. Características del Plano
    • CARTESIANO
  • 40.
    • El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
    • El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las &quot;X&quot; y uno de las &quot;Y&quot;, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
  • 41. P (x, y)
  • 42. SISTEMAS DE PROYECCION O SISTEMA DE REPRESENTACION
    • Un sistema de proyección permite la representación de una superficie curva sobre un plano.Se aplica para representar un objeto.
    • Entonces, dependiendo de la figura sobre la cual se realiza la proyección se tienen:
  • 43.
    • Proyecciones Cilíndricas
    • Proyecciones Cónicas
    • Proyecciones Azimutales (sobre un plano).
  • 44. Sin embargo hay proyecciones que conservan alguna de estas características.
    • Proyecciones equidistantes conservan las distancias.
    • Proyecciones conformes conservan los ángulos
    • Proyecciones equiáreas conservan las áreas.
  • 45. Sistemas de Representación SISTEMA AXONOMÉTRICO
  • 46. Los principales sistemas de representación son:
      • Planos acotados.
      • Sistema diédrico.
      • Sistema axonométrico.
      • Sistema cónico.
  • 47.
      • Los objetos se representan por medio de proyecciones.
        • Proyectar es lanzar en línea recta (denominada rayo proyectante) un punto o la imagen de un objeto sobre una superficie (plano de proyección).
        • Clases de proyecciones; Dependiendo de donde esté colocado el centro de proyección pueden ser de dos clases:
          • Proyección cilíndrica
            • Foco en el infinito
          • Proyección cónica F oco en un punto
    • Ortogonal
    • Oblicua
    Cilíndrica ortogonal Cilíndrica oblicua Cónica
  • 48. Sistema Axonométrico
    • El Sistema Axonométrico es un sistema de representación que utiliza la proyección cilíndrica ortogonal en las que las rectas proyectantes son paralelas entre sí y perpendiculares al plano de proyección.
  • 49.
    • El Sistema Axonométrico permite dibujar un objeto tridimensional sobre un único plano, tomando como referencia tres ejes (Z, Y y X ) que pueden formar ángulos diferentes entre ellos.
    Y X Altura Z Anchura Profundidad
  • 50. Representación de sólidos a partir de sus vistas.
    • Para representar un objeto en sistema axonométrico se parte de las vistas diédricas de la pieza; Alzado, planta y perfil.
  • 51. Perspectiva caballera
    • Se considera un caso particular de la axonometría, ya que su proyección es cilíndrica en vez de ortogonal.
    Cilíndrica oblicua Cilíndrica ortogonal
  • 52.
    • En este sistema de representación los ejes X y Z (alzado) forman siempre un ángulo de 90º y el otro (Z-Y) es libre (normalmente 135º).
    Altura Z Anchura X Profundidad Y 90º http://www.educacionplastica.net/zirkel/caballera1.html
  • 53.
    • Al realizar una figura en perspectiva caballera las medidas de altura y profundidad son reales pero a la anchura se le aplica un coeficiente de reducción.
  • 54.
    • Para representar sólidos en perspectiva caballera se procede de manera similar a la representación en isométrica, teniendo en cuenta el valor de reducción.
  • 55.
    • MUCHAS GRACIAS