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  • 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTE CONSTANTE NO HOMOGÉNEAS 1. INTRODUCCIÓN:El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibniz en el siglo 17 proporcionó elímpetu para los grandes avances que siguieron en las matemáticas, ciencias, e ingeniería. Una delas más importantes y fascinantes ramas de las matemáticas que proporcionó el medio para lasformulaciones matemáticas y soluciones de variados problemas en estas áreas se llamaEcuaciones Diferenciales, las cuales estudiaremos.Es indispensable que el estudiante de ingeniería entienda que la matemática es una herramientamuy útil no ajena a su desarrollo como y esto solo se logra vinculando la realidad con la misma.Una Ecuación Diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida deuna o más variables. Dentro de ellas encontramos las Ecuaciones Diferenciales no Homogéneasque veremos y analizaremos en el siguiente informe. 2. OBJETIVOS: o El presente trabajo tiene el objetivo de proponer definiciones y ejercicios que supla las deficiencias acerca del tema. o Enriquecer al alumno con ejercicios y algo de teoría, enfatizando en el uso exclusivo de algunos métodos. o Practicar y analizar la serie de ejercicios presentados en el informe.
  • 2. 3. ECUACIÓN DIFERENCIAL:Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes conrespecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial. Seclasifican de acuerdo con las tres propiedades siguientes.Se obtiene f(x)=0, a este tipo de ecuaciones se llama ecuación homogénea.Si la función f(x) no es idénticamente nula, entonces la ecuación recibe el nombre de ecuación nohomogénea.Para halla la solución de la ecuación es necesario resolver la ecuación homogénea asociada. 4. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO: a) Ecuación Diferencial Ordinaria:Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo b) Ecuación Diferencial Parcial: las ecuaciones que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP). Por ejemplo 5. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN:
  • 3. El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Porejemplo:Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Puesto que la ecuación diferencialx2dy+ydx=0 puede llevarse a la forma:Dividiendo entre dx, es un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria de primer orden. La ecuaciónEs una ecuación diferencial de cuarto orden.Aunque las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes, su estudio exige una buenabase en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación diferencial ordinariageneral de orden n se representa a menudo mediante el símbolo 6. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD O NO LINEALIDAD:Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma:Debe hacerse notar que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades: a) La variable dependiente y junto con todas sus derivadas son de primer grado, esto es, la potencia de cada termino en y es 1. b) Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x. 7. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN HOMOGÉNEA:
  • 4. a) 1° TEOREMASi son solución de la ecuación diferencial, entonces la combinación lineal también es solución de cualquier ecuación diferencial homogénea donde son números reales o complejos cualquiera. a) 2° TEOREMA: Supongamos que son funciones continuas en un intervalo I y que paratoda x ϵ I . Entonces la ecuación diferencial homogénea:Tiene dos soluciones que son linealmente independientes en I .Además paracualquier otra solución de en I se pueden encontrar constantes tales que: 8. ECUACIÓN NO HOMOGENEA:Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficiente constante y término g(x) variable es dela forma: ay’’ + by’ +cy = g(x)La Solución General es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solucióncomplementaria yc y una solución particular yp. y(x) = yc(x) + yp(x)La cual es la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea asociada, se le llamafunción complementaria de la ecuación. En otras palabras, la solución general de la ecuacióndiferencial lineal no homogénea es y=función complementaria + cualquier solución particularLa diferencia de dos soluciones cualesquiera de la ecuación diferencial no homogénea es unasolución de la correspondiente a la ecuación homogénea.
  • 5. La solución General de la ecuación diferencial lineal no homogénea se define como:La Solución complementaria yc satisface la ecuación homogénea: ayc’’ +byc’ +cyc = 0Por tanto, para determinarla se debe resolver de acuerdo a lo mencionado anteriormente.La solución particular yp, satisface la ecuación no homogénea: ayp’’ + byp’ + cyp = g(x)Esta solución, si es de forma polinómica o exponencial o trigonométrica de senos y cosenos, se lapuede determinar empleando el llamado Método de los coeficientes indeterminados.En estos casos, de acuerdo ala forma de g(x), la solución particular yp (x) es deducible. Observe elsiguiente cuadro. Si g(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 entonces yp(x) = x5[Anxn + An-1xn-1 + … + A1x +A0] Si g(x) = aeαx entonces yp(x) = x5[Aeαx]Note que la solución particular aparece multiplicada por x, esto es para el caso de existansoluciones particulares que no sean linealmente independientes de las solucionescomplementarias. Es decir, a necesidad se puede utilizar S = 0, 1, 2Ejemplo 1:Sea y’’ + 4y’ + 9y = x2 + 3x Hallar la solución general  Solución:La solución general es de la forma y(t) =yc + yp Primero hallemos yc.La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y’’c + 4y’c + 9yc = 0La ecuación auxiliar es r2 + 4r + 9 = 0. Hallando las raíces tenemos
  • 6. Por lo tanto: yc(x) = e-2x[k1sen( ) + k2cos( )] Segundo hallemos ypComo g(x) = x2 + 3x (polinomio de grado 2) entonces la solución particular es de la forma:yp(x) = Ax2 + Bx + C (polinomio generalizado de segundo grado), luego debemos determinar loscoeficientes A, B, C.La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir, yp’’ + 4yp’ + 9yp = x2 + 3xHallemos la primera y segunda derivada para yp(x) = Ax2 + Bx + C yp’ = 2Ax + B yp’’ = 2ARemplazando y agrupando: 2A + 8Ax + 4b + 9Ax2 + bx + c = x2 + 3x 9Ax2 + (8A + 9b)x + (2A + 4b + 9c) = x2 +3x + 0Si dos polinomios son iguales, sus coeficientes son iguales.Entonces: 9A = 1
  • 7. 8A + 9B = 3 2A + 4B + 9C = 0Resolviendo el sistema simultáneo tenemos: A = 1/9 B = 19/81 C = -94/729Por tanto yp(x)Finalmente la solución sería: y(x) = e-2x[k1sen( ) + k2cos( )] +Ejemplo 2:Sea y’’ + 4y = 6sen3x Hallar la solución general  Solución Primero hallemos yc.La solución complementaria satisface la ecuación homogénea y’’c + 4yc = 0La ecuación auxiliar es r2 + 4 = 0. Hallando las raíces tenemos: r= r= r1 = 2i r2 = -2i Por tanto:
  • 8. yc(x) = e0[k1sen(2x) + k2cos(2x)] yc(x) = k1sen(2x) + k2cos(2x) Segundo, hallemos ypComo g(x) = 6sen3x entonces la solución particular es de la forma yp(x) = Asen3x + Bcos3x. Luegodebemos determinar los coeficientes A y B.La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir y’’p + 4yp = 6sen3xHallemos la primera y la segunda derivada yp’ = 3Acos3x – 3Bsen3x yp’’= - 9Asen3x – 9Bcos3xRemplazando y agrupando: yp’’ + 4yp = 6sen3x (-9Asen3x – 9Bcos3x) + 4(Asen3x + Bcos3x) = 6sen3x + 0cos3x (-5A)sen3x +(-5B)cos3x = 6sen3x +0cos3xIgualando coeficiente tenemos: 5A = 6 5B= 0Resolviendo el sistema simultáneo tenemos A= B=0Por tanto: yp(x) = sen3x + 0cos3xFinalmente la solución general sería: y(x) = k1sen2x + k2cos2x sen3x
  • 9. Ejemplo 3:Hallar la solución para y’’ + 4y = x2 +3ex; y(0) = 0, y’(0) = 2  Solución Primero hallemos ycLa solución complementaria satisface la ecuación homogénea y’’c + 4yc = 0La ecuación auxiliar es r2 + 4= 0. Hallando las raíces tenemos: r= r= r1 = 2i r2 = -2iPor tanto: yc(x) = e0[k1sen(2x) + k2cos(2x)] yc(x) = k1sen(2x) + k2cos(2x) Segundo, hallemos ypComo g(x) = x2 + 3ex (combinación lineal de polinomio con exponencial) entonces la soluciónparticular es de la forma yp(x) = Ax2 + Bx +C + Dex. Luego debemos determinar los coeficientes A, B,C, D.La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea; es decir yp’’ + 4yp = x2 + 3exHallamos la primera y segunda derivada: yp’ = 2Ax + B + Dex yp’’ = 2A + DexRemplazando y agrupando: 2A +Dex +4Ax2 +4Bx +4C +4Dex = x2 +3ex
  • 10. 4Ax2 + 4Bx + (2A +4C) + 5Dex = x2 + 0x + 0 +3exIgualando coeficientes, tenemos 4A = 1 4B = 0 2A + 4C = 0 5D = 3Resolviendo el sistema simultáneo tenemos A= B= 0 C= D=Por tanto: yp(x) = x2 - + exFinalmente la solución general sería: y(x) = k1sen2x + k2cos2x + x2 - + ex
  • 11. 9. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea: Debemos pasar por dos etapas: Determinar la función complementaria YC Establecer cualquier solución particular YP de la ecuación no Homogénea Algunos métodos para resolver este tipo de ecuaciones son: Operadores diferencialesEl símbolo Dn se usa frecuentemente en cálculo para designar la derivada enésima de una función: Por lo tanto, una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes: Se llama operador diferencial lineal de orden n, puesto que es un polinomio P(D). Por ejemplo, el operador D anula a una función constante k ya que Dk = 0. El operador D² anulaa la función y = x puesto que D2 x = 0. De forma similar D3 x2 = 0, D4 X3, y así sucesivamente. 9.1 COEFICIENTES INDETERMINADOS: Este método se basa en transformar a la ecuación lineal no homogénea en una homogénea. Esta transformación se logra aplicando un operador diferencial que anule al término g(x). Asumiendo que D es un operador anulador de g(x), entonces al aplicar D a ambos lados de la ecuación no homogénea tenemos:
  • 12. D[f( y )] = D(g) = 0De esta forma transformamos la ecuación no homogénea en ecuación homogénea: Df[y]=0Entonces “y” es una solución de la ecuación no homogénea, entonces también es solución de laecuación homogénea ya que conserva la igualdad al aplicar el operador Da ambos lados de laecuación.Ejemplos:Las siguientes funciones son algunos ejemplos de la forma que puede tomar :Es decir es una combinación lineal de funciones de la clase:Donde n es un entero no negativo y y son números reales.En donde para poder eliminar a , tiene que tomar la forma de .Resolviendo la ecuación homogénea es posible descubrir la forma de una solución particular parayp de la ecuación no homogénea.
  • 13.  EJEMPLOS: I. Resolver:SOLUCIÓN:1° Se resuelve primero la ecuación homogénea:De la ecuación auxiliar se obtiene de la funcióncomplementaria:2° tenemos que puede ser transformada en homogénea derivando 3 veces cada miembro de laecuación, en otras palabras:Ya que la ecuación auxiliar es:y por lo tanto la solución general debe ser:Dónde: y entonces:En donde se han remplazado c1, c2, c3, por A, B,C, respectivamente. Sustituyendo en la ecuaciónoriginal el resultado:Igualando coeficientes en la última identidad se obtiene el sistema de ecuaciones:
  • 14. Resolviendo resulta: en consecuencia:3° la solución general es : II. Encuentre una solución particular de y” – y’ + y = 2sen 3xSOLUCION1° Una primera suposición natural para una solución particular sería A sen 3x. Pero debido a quelas derivadas sucesivas de sen 3x producen sen3x y cos3x, se pueden suponer una soluciónparticular que incluye ambos términos:Derivando y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial, se obtiene, después dereagrupar: O -8A-3B cos3x + 3A-8Bsen3x = 0 co3x + 2sen3xDel sistema de ecuaciones resultante, -8A – 3B = 0 , 3A-8B=2,Se obtiene y . Una solución particular de la ecuación es:Como se mencionó, la forma que se supone para la solución particular es una intuicióneducada; no es una intuición a ciegas. Esta intuición educada debe considerar no sólo los tipos defunciones que forman a g(x) sino también, como se verá en el ejemplo 4, las funciones queconforman la función complementaria .
  • 15. III. Resuelva: ……….. (1)SOLUCIÓN:Paso 1: Primero, resolveremos la ecuación homogénea asociada . Entonces, dela fórmula cuadrática se encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar son . Por tanto, la función complementaria es:Paso 2: Ahora, debido a que la función es un polinomio cuadrático, supongamos una soluciónparticular que también es de la forma de un polinomio cuadrático.Se busca determinar coeficientes específicos A, B , C para los cuales es una solución de (1).Sustituyendo y las derivadas YEn la ecuación diferencial (1), se obtieneComo se supone la última función es identidad, los coeficientes de los exponentes semejantes adeben ser iguales. Es decir: -Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtienen los valores antes calculados. Así, una soluciónparticular es:Paso 3: La solución general de la ecuación dada es:
  • 16. IV. Resuelva: ……….. (1)SOLUCIÓN:Paso 1: La ecuación auxiliar para la ecuación homogénea asociada es , y por tanto:Paso 2: Ahora, puesto que y , se aplica el operador diferencial a ambos lados de la ecuación (2): ………………….. (2)La ecuación diferencial de (2) es: óAsíUna vez que se excluye la combinación lineal de términos dentro del cuadro que corresponde ase obtiene la fórmula de :Sustituyendo en (1) y simplificando, se obtiene:Igualando los coeficientes se obtiene que:Y por lo tanto tenemos que:
  • 17. Paso 3: Entonces la solución general de (1) es: 9.2 MÉTODO DE LA SUPERPOSICIÓN:Para resolver una ecuación lineal no homogénea. …… ……. (1).Se debe hacer dos cosas: Encontrar la función complementaria . Encontrar alguna solución particular de la ecuación no homogénea (1).Entonces, como se explicó en la solución general de (1) es . La funcióncomplementaria es la solución general de la ED homogénea asociada de (1), es decir, ……Anteriormente vimos cómo resolver esta clase de ecuaciones cuando los coeficientes eranconstantes: Así, el objetivo en esta sección es desarrollar un método para obtener solucionesparticulares.EJEMPLO:Comprobar que: es una solución particular de : es una solución particular de : es una solución particular de :De acuerdo al teorema la SUPERPOSICIÓNEs una solución de :
  • 18.  EJEMPLOS:I. Resuelva (3)SOLUCION:Primero, se encuentra que la solución de la ecuación homogénea asociada es .A continuación, la presencia de 4x – 5 en g(x) indica que la solución particular incluye un polinomiolineal. Además, debido a que la derivada del producto produce y , se supone quetambién la solución particular incluye tanto a como a . En otras palabras, g es una sumade dos clases básicas de funciones: g(x)=Por lo que, el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas indica que se busca unasolución particular Donde y En la ecuación (3) y agrupando términos semejantes, se obtiene: (4)De esta identidad obtenemos las cuatro expresiones:La última ecuación en este sistema es resultado de la interpretación de que el coeficiente de en el miembro derecho de (4) es cero. Resolviendo, se encuentra que:Por tanto:Entonces la solución general de la ecuación es:
  • 19. En vista del principio de superposición se puede aproximar también desde el punto de vista deresolver dos problemas más simples. Se debe comprobar que sustituyendo:Se obtiene, a su vez, y . Entonces, una solución particular de(3) es = . 9.3 MÉTODO DE OPERADOR ANULADOR:Se tiene:Esto también se puede expresar como:Se tiene:Esto también se puede expresar como:Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y es una función suficientederivable tal que:
  • 20. Entonces se dice que es un anulador de la función. Por ejemplo, D anula una función constante y puesto que . El operador diferencial anula la función puesto que laprimera y la segunda derivada de son 1y 0, respectivamente.Como la derivación se puede hacer termino a término, un polinomioSe anula al encontrar un operador que aniquile la potencia más alta de x.Las funciones que se anulan por un operador diferencial lineal n-ésimo orden L son simplementeaquellas funciones que se obtienen de la solución general de la ecuación diferencial homogénea .El operador diferencial anula a cada una de las funciones.Para ver esto, observe que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea es . Puesto que es una raíz de multiplicidad , la solución general es: 9.4 VARIACIÓN DE PARÁMETRO:El método de variación de parámetros puede aplicarse a ecuaciones diferenciales lineales quetengan un término no homogéneo de cualquier forma. Este método incluso puede aplicarse aecuaciones diferenciales con coeficientes variables, siempre y cuando se conozca un conjuntofundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada.Si que sirve para encontrar una solución particular de , parala ecuación lineal de segundo se busca una solución de la forma:Sustituyendo la ecuación y las derivadas anteriores y agrupando términos se obtiene:
  • 21. Como se busca determinar funciones desconocidas y , la razón impone que son necesariasdos ecuaciones. Estas ecuaciones se obtienen con la suposición adicional de que las funciones y satisfacen y satisfacen .Esta suposición es el resultado de los dos primeros términos de y se reduce a .Ahora tenemos nuestras dos ecuaciones deseadas, a pesar de que sean dos ecuaciones paradeterminar las derivadas y . Por la regla de Cramer, la solución del sistemaPuede expresarse en términos de determinantes:Donde , ,Las funciones se encuentran integrando los resultados de (5). EL determinante W sereconoce como el Wronskiano de y . Por la independencia lineal de y en I, se sabe que para toda en el intervalo.Una vez encontradas las funciones V1 y V2 podemos encontrar una solución particular de la ED nohomogénea y por lo tanto la solución general.
  • 22.  EJEMPLOS: I. Resuelva:SOLUCIÓN:DE la ecuación auxiliar se tiene . Con lasidentificaciones y , a continuación se calcula el Wronskiano:Puesto que la ecuación diferencial dada ya es una ecuación de segundo orden; es decir elcoeficiente de es 1, identificamos . Obtenemos.Luego de las fórmulas anteriores tenemos:Se tiene que y . Por tanto
  • 23. II. ResuelvaSOLUCION:La ecuación auxiliar producen y . Por tantoAhora W( ) yPuesto que las integrales anteriores son no elementales, nos vemos obligados a escribir:Y por tanto 1. EJERCICIOS PROPUESTOS:Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden: 1. y’’ – y’ – 2y = -2x3 - 3x2 + 8x + 1 2. y’’ - 6y’ + 9y = x2 + ex 3. y’’ + y’ + y = 2cos2x – 3sen2x 4. y’’ + y = 2x 5. y’’ + 2y’ – 8y = xe-x + e-x 6. y’’ +4y’ + 5y = e-x – sen2x 7. y’’ – 2y’ – 35y = 13senx – e3x + 1 8. y’’ – y’ – 2y = cosx – sen2x; y(0) = - y’(0) = x 2x 9. y’’ + y’ – 12y = e + e – 1; y(0) = 1 y’(0)=3 10. y’’ – y’ = senx – e2x; y(0) = 1 y’(0) = -1 11. y’’ – 7y’ + 10y = x2 – 4 + ex; y(0) =3 y’(0) = -3
  • 24. 10. APLICACIÓNES: 10.1 SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO. LEY DE HOOKE:Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se le fija una masam a su extremo libre. Por supuesto la cantidad de alargamiento o elongación del resorte dependede la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferente. Por la ley geHooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora F opuesta a la dirección de elongación yproporcional a la cantidad de elongación denominada S (donde S es la deformación que delresorte una vez aplicada la fuerza) y es expresada en forma simple como F=ks, donde k es unaconstante de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esenciapor el número k. por ejemplo, si una masa de que pesa 10 libras hace que un resorte se alarguepie, entonces implica que . Entonces necesariamente una masa que pesa,digamos, o libras alarga el mismo resorte sólo pie. SEGUNDA LEY DE NEWTON:Después de que se une una masa m a un resorte, ésta alarga el resorte una cantidad s u logra unaposición de equilibrio en la cual su peso W se equilibra mediante la fuerza restauradora ks.Recuerde que el peso se define mediante , donde la masa se mide en slugs, kilogramos ogramos y, , o bien , respectivamente. La condición de equilibrioes o . Si la masa se desplaza por una cantidad de su posición deequilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces Suponiendo que no hay fuerzasrestauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzasexternas –movimiento libre- se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta oresultante de la fuerza restauradora y el peso.El signo negativo en (1) indica que la fuerza restauradora del resorte actúa opuesta a la direcciónde movimiento, Además, se adopta la convención de que los desplazamientos medidos debajo dela posición de equilibrio son positivos. ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO:Dividiendo (1) entre la masa , se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden ,o .
  • 25. Donde . Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónico simple o movimientolibre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias relacionadas con (2) sony , el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de la masa, respectivamente. Porejemplo , , la masa parte de un punto debajo de la posición de equilibrio con unavelocidad impartida hacia arriba. Cuando , se dice que la masa se libera a partir delreposo. Por ejemplo , , la masa se libera desde el reposo de un punto unidadesarriba de la posición de equilibrio. ECUACION DE MOVIMIENTO:Para resolver la ecuación (2), se observa que la solución de su ecuación auxiliar sonlos números complejos , . Así de podemos encontrar la solución general (2).El periodo del movimiento descrito por la ecuación (3) es . El número T representa letiempo (medido en segundos) que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo esuna oscilación completa de masa, es decir, la masa m que se mueve, por ejemplo, al punto mínimodebajo de la posición de equilibrio hasta el punto más alto arriba de la misa y luego del regreso alpunto mínimo. Desde un punto de vista gráfico, segundos es la longitud del intervalo detiempo entre los máximos sucesivos (o mínimos) de . Recuerde que un máximo de es eldesplazamiento positivo correspondiente a la masa que logra su altura máxima arriba de laposición de equilibrio. Se hace referencia a cualquier caso como un desplazamiento extremo de lamasa, La frecuencia de movimiento es y es el número de ciclos completado por cadasegundo. Por ejemplo si , entonces el periodo es u lafrecuencia es . Desde un punto de vista esquemático la gráfica se repite cadade segundo, es decir, , y completa ciclos de la gráfica se completan cadasegundo(o, equivalentemente, tres ciclos de la gráfica se completan cada dos segundos). Elnúmero (medido en radianes por segundo) se llama frecuencia circular del sistema, tanto como w se conoce como frecuencia natural del sistema. Por último, cuando se emplean lascondiciones iniciales para determinar las constantes en (3), se dice que la soluciónparticular resultante o respuesta es la ecuación del movimiento.Ejemplo: Una masa que pesa 2 libras alarga seis pulgadas un resorte. En se libera las masadesde un punto que está 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con una velocidadascendente de . Determine la ecuación del movimiento.SOLUCIÓN: Debido a que está usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones dadasen términos de pulgadas se deben convertir es pies: pie, 8 pulgadas =
  • 26. pie. Además, se deben convertir las unidades de peso dadas en libras a unidades de masa. De tenemos que slug. También, de a ley de Hooke, implica que laconstante de resorte es . Por lo que, de la ecuación (1) se obtiene:El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son, , , donde el signo negativoen la última condición es una consecuencia del hecho de que a la masa se le da una velocidadinicial en la dirección negativa hacia arriba.Ahora , por lo que la solución general de la ecuación diferencial es:Aplicando las condiciones iniciales se obtiene y . Por lo tanto laecuación del movimiento es:8.2. SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADOEl concepto de movimiento armónico libre es un poco irreal, puesto que el movimiento quedescribe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas retardadoras actuando sobre la masa enmovimiento. A menos que la masa se suspenda en un vacío perfecto, habrá por lo menos unafuerza de resistencia debida al medio circulante, es decir, la masa podría estar suspendida en unmedio viscoso o unida a un dispositivo amortiguador. ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO:En el estudio de la mecánica, las fuerzas de amortiguamiento que actúa sobre un cuerpo seconsideran proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, en el análisisposterior se supone que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de . Cuando ningunaotra fuerza actúa en el sistema, se tiene de la segunda ley de Newton que:Donde es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una consecuenciadel hecho de que la fuerza de amortiguamiento actúa en una dirección opuesta al movimiento.
  • 27. Dividiendo (10) entre la masa m, se encuentra que la ecuación diferencia del movimientoamortiguado libre es: DondeEl símbolo se usa solo por conveniencia algebraica, porque la ecuación auxiliar y las raíces correspondientes son entonces: y . Ahora se pueden distinguir tres casos posibles dependiendo del signo algebraico de . Puesto que cada solución contiene el factor amortiguamiento , ,losdesplazamientos de la masa se vuelven despreciables conforme el tiempo aumenta.CASO I: . En esta situación el sistema está sobre amortiguado porque el coeficientede amortiguamiento es grande comparado con la constante del resorte . La solucióncorrespondiente de (11) es:Esta ecuación representa un movimiento uniforme y no oscilatorio.CASO II: . Este sistema está críticamente amortiguado porque cualquier ligeradisminución en la fuerza de amortiguamiento daría como resultado un movimiento oscilatorio. Lasolución de (11) es .Este sistema es bastante similar al de un sistema sobre amortiguado. También es evidente de (14)que la masa puede pasar por la posición de equilibrio a lo más una vez.CASO III: . En Este caso el sistema está sub-amortiguado puesto que el coeficiente deamortiguamiento es pequeño comparado con la constante del resorte, las raíces sonahora complejas:Así que la ecuación general de la ecuación (11) es:
  • 28. El movimiento descrito por la ecuación (15) es oscilatorio; pero debido al coeficiente , lasamplitudes de vibración cuando .EJEMPLO MOVIMIENTO CRITICAMENTE AMORTIGUADO: Una masa que pesa 8 libras alarga 2 piesun resorte. Suponiendo que una fuerza amortiguada que es igual a 2 veces la velocidadinstantánea actúa sobre el sistema, determine la ecuación de movimiento si la masa inicial selibera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 pies/s.SOLUCIÓN: De la ley de Hooke se ve que da y que da . La ecuación diferencial de movimiento es entonces:La ecuación auxiliar para (17) es , así que . Portanto el sistema está críticamente amortiguado y ………..(18)Aplicando las condiciones iniciales , se encuentra, a su vez, que . Por tanto la ecuación del movimiento es8.3 SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO FORZADO ED DE UN MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO:Suponga que ahora se toma en consideración una fuerza externa f(t) que actúa sobre una masavibrante en un resorte. Por ejemplo, f(t) podría representar una fuerza motriz que causamovimiento vertical oscilatorio del soporte del resorte, es decir, la inclusión de f(t) en laformulación de la segunda ley de Newton de la ecuación diferencial de movimiento forzado odirigido.Dividiendo la ecuación (24) entre m se obtiene:Donde F(t) = f(t)/m y , como anteriormente vimos, . Para resolver la últimaecuación homogénea, se puede usar ya sea el método de coeficientes indeterminados o variaciónde parámetros.
  • 29. TÉRMINOS TRANSITORIO Y DE ESTADO ESTABLE:Cuando F es una función periódica, como , la solución generalde (25) para es la suma de una función no periódica y una función periódica .Además se desvanece conforme se incrementa el tiempo, es decir, =0. Así,para valores grandes de tiempo, los desplazamientos de la masa se aproximan mediante lasolución particular . Se dice que la función complementaria es un término transitorio osolución transitoria y la función , la parte de la solución que permanece después de unintervalo de tiempo, se llama término de estado estable o solución de estado estable. Por tanto,observe que el efecto de las condiciones iniciales en un sistema resorte/masa impulsado por estransitorio. En la solución particular es un término transitorio y es un término transitorio de estado estable.ED DE MOVIMIENTO FORZADO SIN AMORTIGUAMIENTOCuando se ejerce una fuerza periódica sin fuerza de amortiguamiento, no hay término transitorioen la solución del problema. También se ve que una fuerza periódica con una frecuencia cercana oigual que la frecuencia de las vibraciones libres amortiguadas causa un problema grave en unsistema mecánico oscilatorio.8.4. CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGOCIRCUITOS LRC EN SERIEComo se mencionó anteriormente, muchos sistemas físicos diferentes se describen mediante unaecuación diferencial de segundo orden similar a la ecuación diferencial de movimiento forzadocomo amortiguamiento.Si denota la corriente en el circuito eléctrico en serie LRC que se muestra, entonces las caídasen el inductor, resistor y capacitor se halla mediante la segunda ley de Kirchhoff, la suma de estosvoltajes es igual al voltaje aplicado al circuito; es decir.Por la carga en el capacitor se relaciona con la corriente con , así la ecuación(33) se convierte en la ecuación diferencial lineal de segundo orden:
  • 30. La nomenclatura usada en el análisis de circuitos es similar a la que se emplea para describirsistemas resorte/masa.Si , se dice que las vibraciones eléctricas del circuito están libres. Debido a que laecuación auxiliar para (34) es , habrá tres formas de solución con ,dependiendo del valor discriminante . Se dice que el circuito es: Sobreamortiguado si Críticamente amortiguado si Subamortiguado si En cada uno de esos tres casos, la solución general de (34) contiene el factor , así conforme . Cuando y , se dice que el circuito no está amortiguado y las vibraciones eléctricas no tienden a cero conforme crece sin límite; la respuesta del circuito es armónico simple.8.5CIRCUITO EN SERIE SUBAMORTIGUADOEncuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC cuando L=0.25 henry (h), R= 10 ohms(Ώ), C=0.001 farad (f), coulombs (C) e .Puesto que 1/C=1000, la ecuación: ……….. (34)Se convertiría en:Resolviendo esta ecuación homogénea de la manera usual, se encuentra que el circuito es sub-amortiguado y Aplicando las condiciones iniciales, seencuentra y . Por tantoUsando una de las ecuaciones anteriores (23), podemos escribir la solución anterior como:Cuando se aplica el voltaje al circuito, se dice que las vibraciones eléctricas son forzadas. Enel caso cuando R≠0m la función complementaria de (34) se llama solución transitoria. Si
  • 31. es periódica o una constante, entonces la solución particular de (34) es una soluciónde estado estable.8.6 CORRIENTE DE ESTADO ESTABLEEncuentre la solución de estado estable y la corriente de estado estable en un circuito LRCen serie cuando el voltaje aplicado es E(t)=SOLUCIONLa solución de estado estable es una solución particular de la ecuación diferencialCon el método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma . Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial e igualandocoeficientes, se obtiene:Es conveniente expresar A y B en términos de algunos nuevos símbolos.Si entoncesSi entoncesPor tanto A = y , así que la carga de estado estable es:Ahora la corriente de estado estable está dada por 11. LIMITACIONES DEL ESTUDIO
  • 32. Como es sabido en todos los trabajos de investigación existen limitaciones, en nuestro caso enparticular fue un poco difícil encontrar material de investigación ya que nuestros compañeros declase obtuvieron todos los libros disponibles; relegándonos a escoger entre los que quedaban.Aparte de ello tuvimos contratiempos en desarrollar los ejercicios de aplicación que hemos puestoen el trabajo, debido a que estábamos en semana de exámenes y trabajos de todos los cursos, porlo que nos llevó un tiempo digamos largo respecto del cual teníamos previsto 12. RESULTADOS Una ecuación diferencial lineal de segundo orden es de la siguiente forma: Existe tres casos para su solución: - CASO 1: RAÍCES REALES Y DISTINTAS - CASO 2: RAÍCES REALES REPETIDAS - CASO 3: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Mediante estas ecuación diferenciales, podemos obtener distintas aplicaciones prácticas, entre las que están: - SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO - ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO: - ECUACION DE MOVIMIENTO: - SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO - ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO: - SISTEMA RESORTE/MASA: MOVIMIENTO FORZADO - ED DE UN MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO: - TÉRMINOS TRANSITORIO Y DE ESTADO ESTABLE: - ED DE MOVIMIENTO FORZADO SIN AMORTIGUAMIENTO - CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO - CIRCUITOS LRC EN SERIE 13. DISCUCIÓN
  • 33. El tema de educaciones diferenciales de segundo orden, es un tema muy interesante, que tiene múltiples facilidades en casos prácticos que nos ayudan a desarrollar de manera más fácil un ejercicio. Estas ecuaciones diferenciales, tienen un campo muy amplio de estudio, para lo que se necesita tiempo y mucha práctica para que finalmente se pueda aprender de manera correcta y se tenga una buena aplicación.14. CONCLUSIONES
  • 34. Aprendimos cuales son los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales desegundo orden. Esto se logró leyendo, resumiendo y practicando en los casos que sepresentaron.Ahora ya sabemos cuál es la importancia de saber desarrollar ecuaciones diferenciales desegundo orden.Con la ayuda de lo leído y de lo practicado podemos desarrollar ejercicios que tenganecuaciones diferenciales de segundo orden como base.Creemos que alcanzamos un buen nivel como estudiantes de ingeniería civil, y creemosque estamos preparados para desarrollar problemas aún más difíciles en los cursos quevengan.
  • 35. 15. RECOMENDACIONES: Se recomienda que se busquen fuentes confiables (autores conocidos o editoriales que tengan buen prestigio), aparte de ello también se tiene que contar con el apoyo de algún docente, de preferencia se lo haría con el docente del curso. Esto va acompañado de una buena distribución en cuanto a que partes del trabajo van a ser desarrollados por alumnos específicos; al final cada aporte ayudará a que nuestro informe cuente con los ítems más principales. Tenemos que procurar que lo que copiemos este claro y tenga una buena ilación de temas, para que la estructura de nuestro trabajo sea adecuada. Nos debemos de asegurar que nuestro trabajo no cuente con errores ortográficos, ya que esto le quita presencia al trabajo.16. BIBLIOGRAFÍA
  • 36. o G. Zill, D., & R. Cullen, M. (2009). Ecuaciones Diferenciales. En D. G. Zill, Ecuaciones Diferenciales (A. E. Dra. García Hernández, Trad., Séptima edición ed., Vol. VII, págs. 120- 192). Mexico DF: Corporativo Santa Fe.o http://personal.us.es/niejimjim/tema02.pdfo Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. Dra. Pérsida Leyva Machín y otros (1987).o Ecuaciones Diferenciales, con Aplicaciones del Modelado. Zill, D.G., (1997).o Cálculo con Trascendentes Tempranas. James Stewart (1999).o Cálculo con Geometría Analítica. Earl W. Swokowski (1988)