Distribución de bernoulli   para combinar
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Distribución de bernoulli para combinar

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Distribución de bernoulli   para combinar Distribución de bernoulli para combinar Document Transcript

  • Un jugador de basquetbolestá a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55 a) Sea X= 1, si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la varianza de X. Probabilidad de anotar: 0.55 X=1 SI ANOTA X=0 SI FALLA µ= ¿? EVENTOS PROBABILIDAD ợ=? 1 0.55 (P)=1(0.55)=0.55 0 0.45 (1-P)=0(.45)=0 (0.55)=0.111375 (.45)=0.136125 0.2475 µ= .55 ợ=.2475 b) Si anota el tiro, el equipo obtiene dos puntos; si lo falla, el equipo no recibe puntos. Sea Y el número de puntos anotados. ¿tiene una distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito. Si no, explique porque. No es distribución Bernoulli porque los eventos son 2- 0 y solo puede ser 1-0 c) Determine la media y la varianza de Y. ợ= (2-1.1) ^2(.55)=.4455 (0-1.1) ^2(.45)=.5445 se suman ambos resultados y resulta una varianza de .99 En Bernoulli la media siempre va a ser la probabilidad de que ocurra tal evento en éxito por tanto:µ=.55 ợ= p (rp)= .55 (1-.55)=.2475
  • PROBLEMA NUMERO 2 PAG 194 DISTRIBUCIÓN BERNOULLI En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña, 35% de una mediana y 40% una grande. Sea X = 1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X= 0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la orden es una bebida mediana y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z= 0 si la orden es una bebida grande y Z= 1 en cualquier otro caso. X=1 PEQUEÑA Y=1 MEDIANA Z=1 PEQUEÑA O MEDIANA X=0 GRANDE O MEDIANA Y=0 PEQUEÑA O GRANDE Z=0 GRANDE a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px. 25% PEQUEÑA b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py. 35% MEDIANA c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz. 40% GRANDE EVENTO PROBABILIDAD RESPUESTA X=1 .25 (P)=1(.25)=.25 X=0 .75 (1-P)=0(.75)=0 Y=1 .35 .35 Y=0 .65 0 Z=1 .60 .40 Z=0 .40 0 A) .25 B) .35 C) .40 d) ¿es posible que X y Y sean iguales? No es posible porque en el ticket no pueden salir dos bebidas (pequeña o mediana) y en el experimento no es posible ya que la distribución Bernoulli solo puede lograrse con dos posibles resultados: 1 y 0. e) ¿es Pz = Px + Py?Si por que la suma de. 25 y .35 ( X y Y) es .60 (Z)
  • PROBLEMA NUMERO 3 BERNOULLI PAG. 195Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica, 5% es la probabilidadde que se decolore, 20% de que se agriete y 23 % de que se decolore o no seagriete, o ambas. Sea X=1 si se produce una decoloración y X=0 en cualquier otrocaso; Y=1 si hay alguna grieta y Y=0 en cualquier otro caso; Z=1 si haydecoloración o grieta, o ambas, y Z= 0 en cualquier otro caso. a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px.5% posibilidad de decoloración. EVENTO: PROBABILIDAD 1 .05 (P)=1(.05)=.05 A).05 0 .95 (1-P)=0(.95)=0 b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py. 20% posibilidad de que se agriete. EVENTO: PROBABILIDAD 1 .20 (P)=1(.20)=.20 B).200 .80 (1-P)=0(.80)=0 c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz. 23% de decoloración o agriete. EVENTO: PROBABILIDAD 1 .23 (P)=1(.23)=.23 0 .72 (1-P)=0(.72)=0 C).23 d) ¿es posible que X y Y sean igual a 1? Si porque el experimento Bernoulli si permite que tanto un evento pueda salirme uno como otro también pueda salir. e) ¿es Pz= Px+Py? No porque la suma entre .20 y .05 es .25 y Pz = .23.
  • Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X=1 si sale “cara” en lamoneda de 1 centavo y X= 0 en cualquier otro caso. Sea Y= 1 si sale “cara” en lamoneda de 5 centavos y Y =0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale “cara” enambas monedas y Z=0 en cualquier otro caso. A) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px. EVENTO PROBABILIDAD 1 .50 (1)=.50 A).50 0 .50 (0)=0 B) Sea Py la probabilidad de éxito de X. determine Py. EVENTO PROBABILIDAD 1 .50 (1)=.50 B).50 0 .50 (0)=0 C) Sea Pz la probabilidad de éxito de X. determine Pz. De que salgan ambas caras una en cada moneda. EVENTO PROBABILIDAD 1 .25 (1)=.25 C).25 0 .50 (0)=0 D) ¿son X y E independientes?Si, porque al efectuar el experimento no dependen ambos resultados. Esto quieredecir que no porque haya sacado cara en la moneda de 1 centavo significa queobtendré cara en la moneda de 5 centavos cuando la lance. Ambos tienen lasmismas posibilidades de ser lo contrario. E) ¿Es Pz =PxPy? No porque Pz= .50 y PxPy =.25. Por lo cual no son semejantes. F) Es Z=XY? Explique. Si, si ambas monedas salen “caras”, entonces X=1, Y=1 y Z=XY. Si no, entonces Z=0, y ya sea X, Y, o ambas, también son iguales a 0, por lo que nuevamente Z= XY.
  • DISTRIBUCION BINOMIAL EJERCICIO 1 PAGINA 204 Bin (8,0.4). Determine.8 ENSAYOS P=0.4 PROBABILIDAD0 P(X=0)= (8nCr0).4ˆ0 (1-.4) ˆ8-0 0.0162961 P(X=1)=(8nCr1).4ˆ1(1-.4)ˆ8-1 0.089579522 P(X=2)=(8nCr2).4ˆ2(1-.4)ˆ8-2 0.209018883 P(X=3)=(8nCr3).4ˆ3(1-.4)ˆ8-3 0.278691844 P(X=4)=(8nCr4).4ˆ4(1-.4)ˆ8-4 0.23224325 P(X=5)=(8nCr5).4ˆ5(1-.4)ˆ8-5 0.123863046 P(X=6)=(8nCr6).4ˆ6(1-.4)ˆ8-6 0.041287687 P(X=7)=(8nCr7).4ˆ7(1-.4)ˆ8-7 0.007864328 P(X=8)=(8nCr8).4ˆ8(1-.4)ˆ8-8 0.000011007La suma entre los datos de la columna de probabilidad siempre debe responder a1. En este caso la suma entre ellos es: 0.998855487, que es un aproximado a 1por los valores decimales que tomamos. De acuerdo a los datos de la tabla yapodemos obtener lo siguiente: a) P(X=2) =.20901888 b) P(X=4)= .2322432 c) P(X˂2) la suma entre (X=0) y (X=1)= .10587552 = d) P(X˂6) la suma entren (X=7) y (X=8)= .007875327 = e) µX= 0.4(8)=np=3.2 f) ợ=np(1-p)=1.92
  • EJERCICIO 2 BINOMIAL. PAGINA 204 a) Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los elementos esta defectuoso.ENSAYOS P=.10 PROBABILIDAD0 P(X=0)=(5nCr0).10ˆ0(1-.10)ˆ5-0 0.590491 P(X=1)=(5nCr1).10ˆ1(1-.10)ˆ5-1 0.328052 P(X=2)=(5nCr2).10ˆ2(1-.10)ˆ5-2 0.07293 P(X=3)=(5nCr3).10ˆ3(1-.10)ˆ5-3 0.00814 P(X=4)=(5nCr4).10ˆ4(1-.10)ˆ5-4 0.000455 P(X=5)=(5nCr5).10ˆ5(1-.10)ˆ5-5 0.00001∑=1 a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra este defectuoso. = 0.59049 b) Determine la probabilidad de que solo uno de ellos tenga defectos. = 0.32805 c) Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la muestra estén defectuosos. = restar a 1 la probabilidad de cero defectos= 0.40951 d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra tenga defectos. = sumar X=0 Y X=1= 0.91854
  • PROBLEMA NUMERO 3 BINOMIAL PAG. 204Se lanza al aire una moneda diez veces.ENSAYOS P=.50 PROBABILIDAD0 P(X=0)=(10nCr0)0.50ˆ0(1-.50)ˆ10-0 0.0009765621 P(X=1)=(10nCr1)0.50ˆ1(1-.50)ˆ10-1 0.0097656252 P(X=2)=(10nCr2)0.50ˆ2(1-.50)ˆ10-2 0.0439453123 P(X=3)=(10nCr3)0.50ˆ3(1-.50)ˆ10-3 0.11718754 P(X=4)=(10nCr4)0.50ˆ4(1-.50)ˆ10-4 0.2050781255 P(X=5)=(10nCr5)0.50ˆ5(1-.50)ˆ10-5 0.246093756 P(X=6)=(10nCr6)0.50ˆ6(1-.50)ˆ10-6 0.2050781257 P(X=7)=(10nCr7)0.50ˆ7(1-.50)ˆ10-7 0.11718758 P(X=8)=(10nCr8)0.50ˆ8(1-.50)ˆ10-8 0.0439453129 P(X=9)=(10nCr9)0.50ˆ9(1-.50)ˆ10-9 0.00976562510 P(X=10)=(10nCr10)0.50ˆ10(1-.50)ˆ10-10 0.000976562 a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”? =0.1171875 b) Determine la media del número de caras obtenidas.=µ=np=5 c) Determine la varianza del número de caras obtenidas. =ợ=np(1- p)=(10)(.50)(1-.50)=5*.5=2.5 d) Determine la desviación estándar del número de caras obtenidas.=√ợ= 1.58113883
  • EJERCICIO NÚMERO 4 BINOMIAL PÁGINA 204En un cargamento grande de llantas de automóvil, 5% tiene cierta imperfección.Se eligen aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil.EVENTOS P=.05 PROBABILIDAD0 P(X=0)=(4nCr0)0.05ˆ0(1-.05)ˆ4-0 0.814506251 P(X=1)=(4nCr1)0.05ˆ1(1-.05)ˆ4-1 0.1714752 P(X=2)=(4nCr2)0.05ˆ2(1-.05)ˆ4-2 0.01353753 P(X=3)=(4nCr3)0.05ˆ3(1-.05)ˆ4-3 0.0004754 P(X=4)=(4nCr4)0.05ˆ4(1-.05)ˆ4-4 0.00000625∑= 1 a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección? = 0.81450625 b) ¿Cuál es la probabilidad de que solo una de las llantas tenga imperfección?= 0.171475 c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o más llantas tenga imperfección? = 0.18549375
  • EJERCICIO 5 BINOMIAL PÁGINA 204En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada bittiene la misma posibilidad de ser 0 y 1. Suponga que los valores de los bits sonindependientes.ENSAYOS P=.50 PROBABILIDAD0 P(X=0)= (8nCr0).50ˆ0 (1-.50) ˆ8-0 .003906251 P(X=1)=(8nCr1).50ˆ1(1-.50)ˆ8-1 .031252 P(X=2)=(8nCr2).50ˆ2(1-.50)ˆ8-2 .1093753 P(X=3)=(8nCr3).50ˆ3(1-.50)ˆ8-3 .218754 P(X=4)=(8nCr4).50ˆ4(1-.50)ˆ8-4 .27343755 P(X=5)=(8nCr5).50ˆ5(1-.50)ˆ8-5 .218756 P(X=6)=(8nCr6).50ˆ6(1-.50)ˆ8-6 .1093757 P(X=7)=(8nCr7).50ˆ7(1-.50)ˆ8-7 .031258 P(X=8)=(8nCr8).50ˆ8(1-.50)ˆ8-8 .00390625 a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?= .00390625 b) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1?=.218755 c) ¿ cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1?=.1445 d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1?=.9648
  • EJERCICIO 1 POISSON PÁGINA 218 Poisson (4). Determine. a) P(X=1)= p(x) =P(X=x)= eˆ-ƛ (ƛ ˂/x ) x=entero no negativo ˂ P(X=1)=℮ˆ-4(4ˆ1/1˂ )=0.073262555b) P(X=0) =℮ˆ-4(4ˆ0/0˂ = 0.018315638 )c) P (X˂2)= P (X˂2)=P(X=0)+P(X=1)=0.091578193d) P (X˂1) P(X˂1)=1 = -P(X≤1)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=1-(eˆ-4(4ˆ0/0˂)+eˆ-4(4ˆ1/1˂)=1-(0.018315638+0.073262555)=0.908421807e) µ˂=4f) ợ˂=2
  • EJERCICIO 2 PÁGINA 218 POISSONLa concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita porcompleto la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el número departículas que son retiradas. Determine. a) P(X=5) Poisson (3) P(X=5)= eˆ-3(3ˆ2/5˂ 0.00373403 )= b) P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= eˆ-3(3ˆ0/0˂ eˆ-3(3ˆ1/1˂ eˆ- )+ )+ 3(3ˆ2/5˂)= 0.049787068+0.149361205+0.224041807= 0.42319008 c) P(X˂1)=1 -P(X≤1)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=1-(eˆ-3(3ˆ0/0˂)+eˆ-3(3ˆ1/1˂)=1- (0.049787068+0.149361205)=0.800851727 d) µ˂=3 e) σ˂=3
  • EJERCICIO 3 POISSON PÁGINA 218.Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto procesotiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el número decontenedores en una muestra aleatoria de 10000 que tienen este defecto.Determine.0.03% DE 10000Si 10000-100%X-0.03% =3 a) P(X=3) = eˆ-3(3ˆ3/3˂)=0.224041807 b) P(X≤2) = P(X=0)+(PX=1)+P(X=2)= eˆ-3(3ˆ0/0˂)+eˆ-3(3ˆ1/1˂)+eˆ- 3(3ˆ2/2˂)=0.049787068+.149361205+.224041807=.42319008 c) P(1≤X˂4) P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)= = P(X=0) =0.049787068+ P(X=1) = 0.149361205+ P(X=2) = 0.224041807+ P(X=3) = 0.224041807+ P(X=4) =eˆ-3(3ˆ4/4˂ = 0.168031355= ) 0.815263242 d) µ˂=3 e) σ˂ =1.73
  • EJERCICIO 4 POISSON PÁGINA 218 Uno de cada 5000 individuos en una población porta cierto gen defectuoso. Seestudia una muestra aleatoria de 1000 individuos.1 de cada 5000= 5 de cada 1000= muestra. a) ¿Cuál es la probabilidad de que solo uno de los individuos de la muestra porte el gen? Poisson (5) P=(X=1) =eˆ-5(5ˆ1/1˂ = 0.033689735 ) b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea portador? P(X=0)= eˆ-5(5ˆ0/0˂ 0.006737946 )= c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos individuos porte el gen? P (X˂2)=1 (X≤2)=1[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]= 1-(eˆ-5(5ˆ0/0˂ -P )+eˆ- 5(5ˆ1/1˂)+eˆ-5(5ˆ2/2˂ 1-(0.033689735+0.006737946+0.084224337)= 1- )= 0.124652018= 0.875347981. d) ¿Cuál es la media del número de individuos de la muestra que porta el gen? µ= 5 e) ¿Cuál es la desviación estándar del número de individuos portadores de gen? √σ= 2.236067978
  • EJERCICIO 5 POISSON PÁGINA 218.El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es unavariable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.µ= poisson= 8 a) ¿Cuál es la probabilidad de que reciban cinco mensajes en una hora? P(X=5) = eˆ-8(8ˆ5/5˂ 0.091603661 )= b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas? Cambiar poisson = 8*1.5= (12) poisson P(X=10)= eˆ-12(12ˆ10/10˂ 0.104837255 )= c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 1 ½ horas? POISSON (12) P (X˂3) P(X=0) +P(X=1) +P(X=2) = eˆ-12(12ˆ0/0˂ + eˆ-12(12ˆ1/1˂ + eˆ-12(12ˆ2/2˂ = ) ) ) 0.000006144+.00007373+.000442383= 0.000522257
  • DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA EJERCICIO 1 PÁGINA 230:Quince automóviles son llevados a una concesionaria para validar su garantía.Suponga que cinco presentan graves problemas de motor, mientras que dieztienen problemas sin importancia. Se eligen aleatoriamente seis automóviles paracomponerlos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos tengan graves problemas?P(X=2) =(16 nCr 6)= 15¡/ 6¡ (15-6)¡ =5005(5 nCr 2) = ( 5¡/ 2¡ (5-2)¡ = 10(10 nCr 4) = (10¡/ 4¡( 10-4)¡) = 210 H (15, 5, 6)P(X=2) = ((5 nCr 2) (10 nCr4))/ (15 nCr 6) = 2100/ 5005= 0.419580419
  • DISTRIBUCION MULTINOMIAL PÁGINA 230 EJERCICIO 10:De los clientes que ordenan cierto tipo de computadora personal, 20% ordena unatarjeta grafica actualizada, 30% memoria extra, 15% ordena tanto una tarjetagrafica actualizada como una memoria extendida, y 35% no ordena ninguna. Seeligen de forma aleatoria 15 órdenes. Sea X1, X2, X3, Y X4 los respectivosnúmeros de órdenes de las cuatros categorías dadas.X1= 20% T= .20X2= 30% M = .30X3= 15% TM = .15X4= 35% N = .35 a) Determine P(X1=3, X2=4, X3=2 Y X4=6) MN (15, .20, .30, .25, .35)15¡ /(( 3¡ )(4¡)( 2¡ )(6¡ ))(.20)ˆ3(.30)ˆ4(.15)ˆ2(.35)ˆ6=(6306300)(.008)(.0081)(.0225)(.001838265) = 0.016902084 b) Determine P(X1=3) Bin (10, 0.33)P(X=3)= 15¡ / ((3¡ )(12¡))(.33)ˆ3(.67)ˆ12= (455)(.35937)(.008182718)= .001337983
  • EJERCICIO 7 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA PÁGINA 230 Geom (p), ¿Cuál es el valor más probable de X? i) 0 ii) 1/p iii) P iv) 1 ya que x es el número de experimentos hasta donde se incluye el primer éxito el cual debe ser 1. v) (1-p)pˆ2
  • EJERCICIO 12 PÁGINA 231 DISTRIBUCIÓN MULTINOMIALUn termopar localizado dentro de cierto medio produce lecturas con margen de 0.1°C de la temperatura real 70% de las veces, lecturas mayores a 0.1 °C por encimade la temperatura real 10% de las veces, y lecturas mayores a 0.1° C por debajode la temperatura real 20% de las veces. a) En una serie de diez lecturas independientes, ¿Cuál es la probabilidad de que cinco se encuentren dentro de 0.1 °C de la temperatura real, dos a más de 0.1°C por encima de ella y tres más de 0.1° C debajo de dicho parámetro?X1= = 0.1 °C – 70% = .70X2= ˂0.1°C– 10% = .10X3= ˂ 0.1°C– 20% =.2010 LECTURAS (X1=5) (X2=2) (X3=3)= X1, X2, X3 MN (10, .70, .10, .20)P( X1=5, X2=2, X3=3)= 10¡ / ((5¡)(2¡)(3¡))(.70)ˆ5(.10)ˆ2(.20)ˆ3=(2520)(.16807)(.01)(.008)= .033882912 b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de ocho lecturas se encuentren dentro de 0.1°C de la temperatura real?P(X=8)= 10¡ / ((8¡)(2¡)) (.80)ˆ8(.20)ˆ2= (45)(.16777216)(.04)= B.301989888
  • EJERCICIO 11 PÁG.230 MULTINOMIALCierta marca de automóvil viene equipada con un motor en uno de cuatro tamaños(en litros): 2.8, 3.0, 3.3, o 3.8. El 10 % de los clientes ordena el motor de 3.0, 30%de 3.3 y 20% de 3.8. Se selecciona una muestra aleatoria de 20 órdenes para unaauditoria.X1= 2.8- 10% = .10X2= 3.0- 40% =.40X3= 3.3 – 30% = .30X4 = 3.8- 20% = .2020 ORDENES (X1, X2, X3, X4)= (X1=3) (X2=7) (X3=6) (X4=4) a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de órdenes para los motores de 2.8, 3.0, 3.3 y 3.8 litros sean 3, 7, 6 y 4 respectivamente?X1, X2 MN (20, .10, .40, .30, .20)=20¡ / ((3¡)(7¡)(6¡)(4¡)) (.10)ˆ3(.40)ˆ7(.30)ˆ6(.20)ˆ4=(4655851200)(.001)(.0016384)(.000729)(.0016)= .00889747 b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de diez ordenes de los motores de 3.0 litros?P(X=10) = 20¡ / ((10¡)(10¡)) (.40)ˆ10(.60)ˆ10=(184.756)(.000104857)(.006046617)= 0.1275
  • EJERCICIO 1 PÁGINA 258 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Ex (.45). Determine: a) µt 1/ .45= 2.222222222 b) σ2t 1/ (.45)ˆ2= 4.938271605 c) P(T˂3)= 1-P(T≤3)= 1-(1-eˆ(-.45(3)) = .2592 d) La mediana de T. = 1.5403
  • EJERCICIO 1 NORMAL PÁGINA 241Determine el área bajo la curva normal: a) Ala derecha de z= -.85Es de .1077 área a la derecha es : 1-.1977 = .8023 b) Entre z = .40 y z = 1.30Z= .40 = .6554Z= 1.30 = .9032= .9032 - .6554 = .2478 c) Entre z = -.30 y z= .90.Z= -.30 = .3821Z= .90 = .8159= .8159 - .3821 = .04338 d) Desde z= -1.50 hasta z = -.45Z= -1.50 = .0668Z= -.45 = .3264= .2596
  • DISTRIBUCIÓN WEIBULL EJERCICIO 7 PÁGINA 265La duración de un ventilador, en horas, que se usa en un sistema computacionaltiene una distribución de weibull con ά = 1.5 y ˂ = 0.0001. A) ¿ cuál es la probabilidad de que un ventilador dure más de 10,000 horas? P(T˂10000) = 1 P ( T ≤10000) - = 1- ( 1- e ˆ- [( 0.0001)(10000)] ˆ1.5 = 1- ( 1-(0.367879441) = 1 – (0.632120558) = 0.367879441 B) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000 horas? P( T ˂ 5000) = 1 T≥ 5000) -P( = 1 – (e ˆ-[( .0001)(5000)] ˆ1.5 = 1- 0.702188501 = 0.297811498 C) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure entre 3000 y 9000 horas? P( 3000 ˂ T ˂9000) = P ( T ≤9000) P ( T ≤3000) – = ( 1- e ˆ-[(0.0001)(9000)]ˆ1.5) – ( 1 - eˆ -[(0.0001)(3000)] ˆ1.5) = ( 1-( 0.425787463)-(1-0.84847321) = 0.574212537-0.151526789 = 0.422685748
  • EJERCICIO 5 PÁGINA 264 WEIBULLEn el artículo “parameter estimation with only one complete failure observation” (w.pang, p. loung y colaboradores, en international journal of rehability, quality, andsafety engineering, 2001: 109-122), se modela la duración, en horas, de cierto tipode cojinete con la distribución de weibull con parámetrosά = 2.25˂ = 4.474 * 10ˆ-4 a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure más de 1000 horas.P( T˂1000) = 1-P(T≤1000)= 1-(1-eˆ [(0.0004474)(1000)]ˆ2.25)= 1-(1-0.848992154)= 1-( 0.151008845)= .848991154 b) P(T˂2000) = 1-P(T≥2000)= 1-( eˆ -[(0.0004474)(2000)]ˆ2.25= 1- 0.458991405= .541008594
  • EJERCICIO 3 PÁGINA 264 WEIBULLSea T ˜ weibull (0.5, 3) a) Determine µComo 1 / ά = 2 y es este es un entero, para calcular la media y varianza utilizamoslas fórmulas para casos como este.µ= 1 / ˂[( 1 / ά )] ¡= .33 [(2)] = .66666= .6667 b) Determine σσ= 1/ ˂ˆ2[( 2/ά )¡ - [( 1/ά )¡] ˆ2σ= 1/ 3ˆ2[( 2/0.5)¡ - [( 1/.5)¡] ˆ2σ= .111( 24-4)σ= .111(20) = 2.222 c) Determine P(T˂1) 1- eˆ-(3t) ˆ 0.51-P(T≤5)1-(1-e ˆ[(3)(5)]ˆ0.51-(1-0.020796234)=0.979203765 = 0.020796234 d) P( T˂5) = 1 P( T≤5) - e) P( 2˂T˂4) = P(T≤4) –P(T≤2)=1- (1-e ˆ[( 3) (5)] ˆ0.5 = (1-e ˆ[( 3) (4)] ˆ0.5) –(1-e ˆ[( 3) (2)] ˆ0.5= 1-(1-0.020796234) = (1- 0.031301113)-(1-0.086337629)= 1- 0.979203765 = 0.968698887 – 0.91366237= 0.020796234 = 0.05503665
  • EJERCICIO 1 PAGINA 264 GAMMA Sea T ˜ ˂ ( 4, 0.5). a) Determine µtUtilizar formulas: r / ƛ donde r=4 y ƛ = 0.54/0.5= 8 b) Determine σUtilizar formula: σ = r / ƛ ˆ2 = 4 / (0.5)ˆ 16 c) Determine P ( T ≤ 1)Significa que el evento ocurrirá dentro de un minuto. El número de eventos queocurren dentro de 1 minuto es mayor o igual a 4. Sea X el número de eventos queocurren dentro de 1 minuto. Lo que se ha dicho es que: P( T ≤ 1) = P ( X ≥ 4).Ahora la media de X es (1) (0.5) = 0.5 y X tiene una distribución poisson, por loque X ˜ poisson (0.5). De ahí que:P(T≤1) = P(X≥4)= 1-P(X≤3)4 (.05)= 1- [(P (X=0) +P(X=1) +P(X=2) +P(X=3)=1 – (eˆ-.5(0.5ˆ0 / 0¡) + (eˆ-.5(0.5ˆ1 / 1¡) + (eˆ-.5(0.5ˆ2 / 2¡) + (eˆ-.5(0.5ˆ2 / 2¡)= 1 – (0.606530659 + 0.303265329 + .075816332 + -012636055= 1- 0.998248375= 0.001751624 d) Determine P( T ≥ 4)T ≥ 4 significa que el 4° evento ocurrirá después de 4 minutos. Esto es lo mismoque si dijera que el número de eventos que ocurren a los cuatro minutos es mayoro igual a 4. Lo que se ha dicho es que P(T≥4) = P(X≥4).ahora la media de X es(4)(.5) = 2 y X tiene una distribución de poisson, por lo que X ˜ poisson (2). De ahíque:
  • P(T≥4) = P(X≤4) =1-P( X≤3) = 1-( eˆ-2 (2ˆ0 / 0¡) + eˆ-2 (2ˆ1 / 1¡) + eˆ-2 (2ˆ2 / 2¡) + eˆ-2 (2ˆ3 / 3¡)= 1-(0.135335283 + .270670566 + .270670566 + 0.180447044)= 1- ( 0.857123459)= 0.14287654
  • EJERCICIO 6 BERNOULLI PÁGINA 195Se lanzan dos dados. Sea X = 1 si sale el mismo número en ambos y X= 0 encualquier otro caso. Sea Y= 1 si la suma es 6 y Y= 0 en cualquier otro caso. SeaZ= 0 si sale el mismo número en los dados y ambos suman 6 ( es decir, que salgatres en los dos dados) y Z=1 en cualquier otro caso. a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px.X= 1 sale el mismo número en ambos 21-100X= 0 en cualquier otro caso. 6-XEVENTO PROBABILIDAD1 28.571(1) = 28.57160 71.429 (0) =0PROBABILIDAD DE Px = 28.571 b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py.EVENTO PROBABILIDAD 21 - 1001 14.28 (1) = 14.28 3-X0 85.715 (0) = 0PROBABILIDAD = 14. 286 c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz.Z= 1 si sale el mismo número en ambos dados. Y ambos suman 6 ( que salga tresen ambos).Z= 0 en cualquier otro caso.EVENTO PROBABILIDAD1 4.762 (1)= 4.7620 95.238 (0)= 0PROBABILIDAD Pz = 4.762 d) ¿son X y Y independientes?
  • Si son independientes porque de acuerdo al espacio muestral puede salir elmismo número en ambos dados sin depender de que el resultado de su suma sea6, ya que no necesariamente tiene que salir 3+3 para poder sumar 6, sino queexisten otras posibilidades de obtener una sumatoria de 6, como es el caso desacar 5+1 y 2+4. e) ¿es Pz= PxPy?No, porque en la multiplicación entre 14.286 * 28.571 = 4065.253 y no iguala elresultado de Z= 4.762. Es mucha la diferencia. f) ¿ es Z= XY? Explique.No por la misma explicación anterior.ESPACIO MUESTRAL1+1 2+2 3+61+2 2+3 4+41+3 2+5 4+51+4 2+6 4+61+5 3+4 5+51+6 3+5 5+66+6 4+2 3+3 5+1