Ejercicios de resistencia_de_materiales_resueltos

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Ejercicios de resistencia_de_materiales_resueltos

  1. 1. AULA POLITÈCNICA 15Resistencia de materialesProblemas resueltos
  2. 2. 52 Aleaciones ligeras © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  3. 3. AULA POLITÈCNICA / ETSEIBResistencia de materialesProblemas resueltosMiquel Ferrer BallesterJosé Luis Macías SerraFrederic Marimón CarvajalM. Magdalena Pastor ArtiguesFrancesc Roure FernándezLluís Vilaseca Vilanova EDICIONS UPC
  4. 4. La presente obra fue galardonada en el quinto concurso"Ajuts a lelaboració de material docent" convocado por la UPC.Primera edición: septiembre de 1999Reimpresión: febrero de 2001Segunda edición: septeimbre de 2002Diseño de la cubierta: Manuel Andreu© los autores, 1999© Edicions UPC, 1999 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es E-mail: edicions-upc@upc.esProducción: CPDA Av. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 BarcelonaDepósito legal: B-30564-2002ISBN: 84-8301-621-4Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las san-ciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro-cedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares deella mediante alquiler o préstamo públicos.
  5. 5. AULA POLITÈCNICA 15Resistencia de materialesProblemas resueltos
  6. 6. 52 Aleaciones ligeras © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  7. 7. Prólogo 7PrólogoEl presente libro es una colección de problemas resueltos destinada a facilitar el aprendizaje de laResistencia de Materiales a través de su aplicación a la resolución de ejemplos concretos. Ha sidoelaborado pensando en su uso por parte de estudiantes de Ingeniería y de Arquitectura, como textocomplementario a un libro de teoría de Resistencia de Materiales. En concreto su estructura, enfoque ynomenclatura se adapta especialmente al texto Resistencia de Materiales de F. Roure, F. Marimón yX. Ayneto, que actualmente edita CPDA de la ETSEIB- UPC, en forma de fascículos.Se supone que antes de abordar los problemas de cada capítulo, el lector habrá adquirido losconocimientos de teoría correspondientes, y por ello no se repasan de forma explícita en el presentelibro. Se supone asimismo que el lector ha seguido previamente un curso de mecánica de medioscontinuos, y que dispone de los conocimientos de elasticidad lineal necesarios. Al efecto se hanincluido en la Bibliografía textos de teoría sobre ambos aspectos.Los temas que cubre este libro son los clásicos de un primer curso de Resistencia de Materiales: lostemas básicos relativos a la pieza prismática. Una rápida ojeada al índice ilustra perfectamente elalcance del temario abordado. Se ha centrado el texto en estos temas básicos para adaptarloprecisamente al desarrollo de un curso de duración cuatrimestral; aunque al final de algunos capítulosse han introducido también problemas más complejos (van marcados con un asterisco), para aquelloslectores que deseen profundizar en dichos temas.Los casos más sencillos, introductorios de cada tema, no se han incluido en este libro como problemas,porque ya suelen encontrarse como ejemplos introductorios en los libros de teoría, y no se haconsiderado necesario repetirlos. Tampoco se ha pretendido elaborar una colección exhaustiva deproblemas, sino seleccionar unos cuantos de cada tema, para ilustrar sus diversas facetas.A pesar de las numerosas revisiones que hemos hecho del texto y de las pruebas de impresión,estamos seguros de que algunos errores y erratas habrán conseguido colarse (confiamos en que seansólo algunas), y pedimos por ello disculpas al lector.Finalmente queremos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes estudiantes de la ETSEIB que,como becarios del Departamento, han colaborado en la esmerada confección del texto, las fórmulas ylos dibujos: Pedro J. Campos San Facundo, Antonio Cerra Franco y Robert Gimeno Feu. Los autores Barcelona, junio de 1999 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  8. 8. 52 Aleaciones ligeras © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  9. 9. Índice 9Índice1 Diagramas de esfuerzos.......................................................................................................112 Esfuerzo normal...................................................................................................................253 Esfuerzo de cizalladura pura................................................................................................354 Características de secciones.................................................................................................455 Dimensionado de secciones a flexión..................................................................................536 Flexión desviada y flexión compuesta.................................................................................757 Torsión y esfuerzos combinados..........................................................................................898 Corrimientos en piezas prismáticas....................................................................................1319 Piezas y sistemas hiperestáticos.........................................................................................13910 Inestabilidad elástica...........................................................................................................161Bibliografia................................................................................................................................185 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  10. 10. 52 Aleaciones ligeras © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  11. 11. 1 Diagramas de esfuerzos 111 Diagramas de esfuerzos © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  12. 12. 12 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 1.1Determinar los diagramas de esfuerzos en la estructura de la figura. 600 2 N 45o E 2m C 800 Nm A D B 3m 3m 2m 2 FH 600 2 600 N 2 2 FV 600 2 600 N 2Resolución:a) Descomposición de la fuerza exterior aplicada en el extremo de la barra BE.b) Cálculo de las reacciones. 600 N 600 NEjes globales E A C D 800 Nm B RAH RCV RAVTomamos momentos respecto al punto C: 100 Mc 0 R AV 6 600 3 600 2 800 0 R AV N = -33,3 N 3Suma de fuerzas verticales y horizontales: 100 1900 FV 0 R AV 600 RCV 0 600 RCV N 3 3 FH 0 RAH 600 N © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  13. 13. 1 Diagramas de esfuerzos 13c) Cálculo de momentos en los tramos AB y BC. 100TramoAB: M ( x) R AV x x MA 0 MB 100 Nm 3Tramo BC: M ( x) R AV x 600( x 3) 600 2 100 MB 3 0 1200 1100 Nm 3 100 MC 6 600 3 600 2 800 Nm 3Diagramas. 600 N E 600 N - N + A B C D B 600 N E A B C D + T - B 1900 100 N N 3 -800 N·m 3 E -100 N·m - - M A - B C D 1200 N·m B + 1100 N·mEquilibrio del nudo B. 600 N 600 N 100/3 N 600 N B 1900 N 3 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  14. 14. 14 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 1.2Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura, apoyada en los extremos y sometida auna carga repartida triangular. N 1600 m A B x 6m TResolución:a) Cálculo de la reacciones. 1600 6Resultante de la carga Q 4800 N . 2 4800 N A B 6m RA RB 4m 2m RA RB 4800 MA 0 RB 6 4800 4 4800 4 RB 3200 N 6 RA 1600 N © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  15. 15. 1 Diagramas de esfuerzos 15b) Cálculo de los esfuerzos de sección. N 1600 m A B d 1600 N 3200 N x- x L=6mSección situada a una distancia x del apoyo A:T: x x 1600 T 1600 qd 1600 d 0 0 6 x 1600 2 1600 2 T 1600 1600 x 6 2 0 12M: x x 1600 M 1600 x q x d 1600 x x d 0 0 6 x 2 3 1600 M 1600 x x 6 2 3 0 1600 x3 x3 1600 x 3 M 1600 x 1600 x 6 2 3 6 6 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  16. 16. 16 Resistencia de materiales. Problemas resueltosc) Diagramas. 1600 N + A T - 3200 N M + 3695 Nmd) Punto de Mmáx M T T 0 x 1600 2 T 0 1600 x x 12 3,46 m 12 1600 M máx 1600 3,46 3,46 2 3695 Nm 12 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  17. 17. 1 Diagramas de esfuerzos 17Problema 1.3Determinar los diagramas de esfuerzos del pórtico inclinado de la figura. 200 2 N B 400 2 N 2m 45 A C 2m 2mResolución:Para el cálculo de las reacciones, planteamos las ecuaciones de la estática. 200 2 400 2 B A RAH C RAV RC FV 0 R AV RC 200 2 0 FH 0 R AH 400 2 N MA 0 RC 4 400 2 2 200 2 2 0 RC 300 2 N © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  18. 18. 18 Resistencia de materiales. Problemas resueltospor tanto, RAV 100 2 N y descomponiendo cada reacción en las direcciones de las barras, 400 100 2 400 2 100 100 400 300 300 400 300 2 400 2 300 2 400 100 100 300 300 100 2 Diagrama N 500 N B + - C A -300 N Diagrama T 300 N B + - C A 300 N Diagrama M © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  19. 19. 1 Diagramas de esfuerzos 19 B B x + + A x’ C 300 N MA 0 MC 0 M = 300 · x M = 300 · x’ MB 600 2 Nm MB 600 2 NmMétodo alternativo para hallar las reacciones: resolución gráfica.Para que las tres fuerzas estén en equilibrio, sus líneas de acción deben cruzarse en punto O (ya que M0 0 ). A partir de la línea de acción vertical de RC, se obtiene O. F 200 2 RA // OA B 400 2 RC F // OC RA C RC © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  20. 20. 20 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 1.4Determinar los diagramas de esfuerzos en la viga de la figura. N p = 600 4000 N ml 3000 N P1 B C P2 D A a=2m L=6m b=2mResolución:Cálculo de las reacciones: FV : R B RC 4000 600 6 3000 0 M B : 4000 2 600 6 3 RC 6 3000 8 RC 4467 N RB 6133 NDiagrama de momentos flectores:Tramo AB: M 4000 x MA 0 MB 8000 NmTramo BC: 2 x 2 M 4000 x 6133 x 2 600 2 MB 8000 Nm MC 6000 NmTramo CD: M 4000 x 6133 x 2 600 6 x 5 4467 x 8 MC 6000 Nm MD 0Diagrama de esfuerzos cortantes.Tramo AB: T 4000 N TA 4000 N TB 4000 N © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  21. 21. 1 Diagramas de esfuerzos 21Tramo BC: T 4000 x 6133 600 x 2 TB 2133 N TC 1467 NTramo CD: T 4000 6133 3600 4467 TC 3000 N TD 3000 N B C D A a=2m L=6m b=2m -8000 -6000 M ( Nm ) - E xE 2133 3000 3000 + + T - - (N) -1467 -4000 -4000El diagrama de momentos flectores pasa por un mínimo relativo en el punto E, donde la tangente eshorizontal, o sea: M T 0 : 4000 6133 600 x E 2 0 x E 5,35 m x ME = -4208 Nm © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  22. 22. 22 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 1.5En la viga en voladizo de la figura, calcular las reacciones en el empotramiento y dibujar losdiagramas de esfuerzos cortantes y de momentos flectores en toda la viga. 4 KN 5 KN/m 0,5m 1m 2m 1mResolución:a) Reacciones en el empotramiento.Comenzaremos por buscar el sistema de fuerzas que ejerce el empotramiento, dibujamos el diagramade sólido libre y obligamos al equilibrio. Sumando fuerzas y tomando momentos obtenemos: 4 KN 5 KN/m 4 KN 10 KN ME ME 0.5m 0.5m 1m 2m 2m FE FEFE 14 KN Reacciones que ejerce el empotramiento sobre la viga.ME 4 0,5 10 2 22 KN m © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  23. 23. 1 Diagramas de esfuerzos 23b) Diagramas 4 KN 5 KN/m E D C B A 0,5 0,5 2m 1m x - M T +Tramo AB: M=0 T=0Tramo BC: 2 x 1 M 5 KN m MB 0 2 MC 0 2 T 5 x 1 KN TB 0 TC 10 KN © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  24. 24. 24 Resistencia de materiales. Problemas resueltosTramo CD: M 10 x 2 KN m MC 10 KN m MD 15 KN m T 10 KN TC 10 KN TD 10 KNTramo DE: M 10 x 2 4 x 3,5 KN m MD 15 KN m ME 22 KN m T 10 4 14 KN TD 14 KN TE 14 KNEstos diagramas se han obtenido tomando el origen de las x en el extremo A, de la derecha, porque eneste caso, es más cómodo. Si se determinan los diagramas tomando el origen de las x en el extremo dela izquierda E, tal como se hace habitualmente, el diagrama de momentos flectores, M, sale idéntico;pero el diagrama de esfuerzos cortantes sale opuesto (igual, pero de signo cambiado). © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  25. 25. 2 Esfuerzo normal 252 Esfuerzo normal © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  26. 26. 26 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 2.1Tenemos una barra rígida que está suspendida por dos cables de igual diámetro 4 mm , y cuyosmódulos de elasticidad son: E1=2.1·105 MPa y E2=0.7·105 MPa. La longitud de la barra es de 600 mmy la de los cables 300 mm. Se considera despreciable el peso propio de la barra. Dicha barra estásometida a una carga puntual P=500 N.Calcular la posición x de la fuerza para que los puntos A y B tengan el mismo descenso. E2 300 mm 4 mm 4 mm E1 A B x P=500 N 600 mmResolución:Dibujamos el diagrama de sólido libre y obligamos el equilibrio. Además imponemos la igualdad dedeformaciones. RA RB LA LB A B P=500 N FV 0 RA RB P MB 0 RA L P( L x) 0 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  27. 27. 2 Esfuerzo normal 27 LA LBLey de Hooke :RA LA RB LB R B E1 R B 210000 RA RA 3R B S E1 S E2 E2 70000 5003R B RB 500 RB 125 N RA 375 N 4De la ecuación de los momentos obtenemos x:RA L P( L x) 0375 600 500(600 x) 0 x 150 mm © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  28. 28. 28 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 2.2En la barra esquematizada en la figura adjunta los extremos A y D están empotrados. Determinar lastensiones en ambas secciones, cuyas superficies son: Aa=40 cm2 y Ab=80 cm2 .Hallar también el diagrama de esfuerzos axiles.Datos: E=2·105 MPa. A 1m Aa=40 cm2 B 3m Ab=80 cm2 C 1m 15 T DResolución: FV 0 RA+ RD = 15 T = 150000 NEcuación de deformaciónEl tramo AC está comprimido, por tanto RA es un esfuerzo de compresión, y el tramo CD estátraccionado, por lo que RD es un esfuerzo de tracción.Al estar los dos extremos , A y D, empotrados la variación total de longitud es 0; y el acortamiento deltramo superior es igual al alargamiento del tramo inferior: L AB L BC LCD F LAplicando la ley de Hooke: L A E R A L AB R A L BC R D LCD E Aa E Ab E Ab © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  29. 29. 2 Esfuerzo normal 29 RA R A 1000 R A 3000 R D 1000 A 2 10 5 40 10 2 2 10 5 80 10 2 2 10 5 80 10 2 1m B R A 2000 R A 3000 R D 1000 3m Resolviendo las ecuaciones, tenemos RA 25000 N 2.5 T C 1m 15 T RB 125000 N 12.5 T D RDCálculo de las tensiones. 25000 N Tramo AB: AB 6.25 MPa (COMP.) 40 10 2 mm 2 25000 N Tramo BC: BC 3.125 MPa (COMP.) 80 10 2 mm 2 125000 N Tramo CD: CD 15.625 MPa (TRAC.) 80 10 2 mm 2Diagrama de esfuerzos normales: 2.5 T A B - C 12.5 T + D © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  30. 30. 30 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 2.3a) Las dos barras de la figura articuladas en sus extremos, de acero, de 2 cm de diámetro y de 3.5 m de longitud, soportan un peso P=5 KN. Calcular el descenso del punto C, siendo =20º. Datos: E=2,1·105 MPa.b) Resolver para =0º. A B L L C C’ C1 PResolución:a) Para =20º: N N P Del equilibrio del punto C se obtiene P N N P N sen 2 Equilibrio del punto C P N 2 senSea (CC1) el descenso del punto C, entonces el alargamiento de la barra AC, L, será C’C1 Lpudiendo considerarse el triángulo CC’C1 rectángulo en C’. Aquí es . Como por otra sen NLparte: L , se tiene que: EA NL PL 5000 3500 1,13 mm EA sen 2 EA sen 2 2 2.1 10 3,14 10 2 0.34202 2 5b) Para =0º: A L C L B C1 P © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  31. 31. 2 Esfuerzo normal 31De acuerdo con la estática de los sistemas rígidos, descomponiendo la fuerza P en las direcciones delas barras, se encontrarían, para los esfuerzos en las barras y para las reacciones, valores infinitamentegrandes. La solución evidentemente es inaceptable, ya que ni las barras ni los apoyos resistirían.A fin de hacer desaparecer la aparente imposibilidad basta con considerar los alargamientos de lasbarras que toman direcciones no alineadas. Esto demuestra la necesidad de tener en cuenta lasdeformaciones en este caso.Poniendo tg (para ángulos pequeños)Lel alargamiento de las barras vale 2 2 AC1 AC L2 2 L 2 1 1 1 1 AC L L 2Esta última igualdad proviene de la expresión: 12 1 1 2 1 3 5 4 1 a 1 a 1 a a a a 2 8 16 128 aPara a<<1 , pueden despreciarse las potencias de a y, por tanto, queda 1 a 1 . 2El esfuerzo normal en una de las barras es: 2 E A N A E A 2Por otra parte, del equilibrio del punto C se deduce 2 P P E A P N sen N N 2 2 2 2Resulta 3 P E A P L L 3 E A © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  32. 32. 32 Resistencia de materiales. Problemas resueltosAplicando los datos numéricos del problema: 5000 3500 3 148 mm 2.1 10 5 3,14 10 2 148 0,04229 rad 2,42º L 3500 P 5000 N 59116 N 2 2 0,04229 N 59116 188 N/mm 2 A 314 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  33. 33. 2 Esfuerzo normal 33Problema 2.4Hallar las reacciones del sistema y las tensiones en las barras articuladas AB y CB de la estructurarepresentada en la figura, suponiendo infinitamente rígida la barra horizontal DE, articulada en D.Barra AB: sección 40 cm2Barra CB: sección 80 cm2Se considera el mismo módulo de elasticidad, para todas las barras. A 2m 40 T D B E 2m 2m 4m CResolución:Se trata de un sistema hiperestático.RBA y RBC siguen la dirección de la barra. 40 T RBA HD D E VD RBCEcuaciones de la estática: 2 2 FV 0 VD R BA R BC 40 0 2 2 2 2 FH 0 HD R BC R BA 0 2 2 MB 0 VD 2 40 4 V D 80 T © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  34. 34. 34 Resistencia de materiales. Problemas resueltos A acort. B LBC 45º B’’ D B E ~45º B’’ LAB alarg. B’ B’ C A L AB BB LCB BB Al ser deformaciones y ángulos pequeños: BB BB L AB L BC D Alargamiento barra AB= Acortamiento barra BC Aplicamos la ley de Hooke: R BA 2 2 R BC 2 2 2 R BA R BC C E 40 E 80 De la ecuación Fv = 0 tenemos: 2 2 80 R BA 2 R BA 40 0 2 2con lo que,R BA 56.73 T R BC 113.47 TDe la otra ecuación despejamos: HD= - 40 T (sentido contrario al supuesto)Cálculo de las tensiones: 56730 Kp AB 1418 40 cm 2 113470 Kp AB 1418 80 cm 2 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  35. 35. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 353 Esfuerzo de cizalladura pura © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  36. 36. 36 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 3.1a) Determinar el diámetro mínimo con el que se puede perforar una chapa de acero A-42b ( e=260N/mm2) de 5 mm de espesor suponiendo que el punzón tiene una tensión admisible a compresión, 2 adm= 500 N/mm .b) ¿ Qué fuerza máxima se ejercerá ?c) ¿ Qué adm debería tener el punzón para realizar un punzonado de 5 mm ?Nota: Suponer que el extremo del punzón es plano y horizontal. Punzón 2 adm = 500 N/mm Chapa de acero e = 260 N/mm2Resolución:a) punzon d2Fmax adm A 500 392,7 d 2 4 chapaFmax e S 0.65 260 d 5 2654.6d punzon chapaFmax Fmax 392,7 d 2 2654.6d d min 6,76 mm d2b) Fmax adm A 500 17945 N 4 52c) punzon 0.65 260 5 5 676 N adm 4 adm mm 2 adm 5 mm e © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  37. 37. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 37Problema 3.2Dimensionar la cadena de una bicicleta con un coeficiente de seguridad s y suponiendo todo el pesodel ciclista sobre uno de los pedales. P P = 800 N R = 200 mm R Plato D=200 mm D Chapa eslabones: e=360 Mpa Pasadores: e=260 Mpa b a e? e? d? cilindros “centradores”Resolución: D P F P R 800 N 200 mm F F 1600 N D 100 mm 2 R © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  38. 38. 38 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Dimensionado de la garganta ‘a’ de la chapa a tracción pura: F/2 F/2 F F 2 2 800 adm a e 3,3 mm 2 a e adm 240 F/2 F/2 360 MPa adm 240 MPa 1 .5 p.ej : a = 4mm e =1 mmDimensionado del pasador a cizalladura: F d2 d2 800 adm 138 d min 2.7 mm 2 4 4 260 adm 0.8 adm 0.8 138 N/mm 2 1.5Dimensionado del pasador a aplastamiento: F 800 adm d e 347 d 1 d min 2,3 mm 2 260 2 347 N adm 1.5 mm 2 d min máx 2,7 ; 2,3 d min 2,7 mmDimensionado de la chapa en la zona del orificio del pasador a tracción: F 800 b d e adm b 2,7 1 240 bmin 6,0 mm 2 a desgarro: t1 2d 5 .4 bmin 10.8 mm bmin max 6,0 ; 10,8 bmin 10,8 mmEl dimensionado final queda así: © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  39. 39. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 39 e 1 mm d 2,7 mm a 4 mm b 10,8 mm b=10,8 mm a= 4 mm e=1 mm d= 2,7 mm © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  40. 40. 40 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 3.3Dimensionar la unión esquematizada en la figura suponiendo que las chapas son de acero A-37b y lasuniones son roblonadas. e2 t1’ e1 t1 t1 e3 e3 d1 d2 t1 t1 t1’ N? b d2 d1Datos:e1 = 5 mm e2=e3Chapas: Roblones: Tomar: se=1,5Acero A37b Acero A37b 2 2 e=240 N/mm e=240 N/mmResolución:a) Unión 1 t1 e1 F/2 e2 F F/2 e2 d1 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  41. 41. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 41Cizalladura: 2 2 2 F d1 d1 240 d1T adm e 0.8 100,55 d 12 201.1 d1 2 Fmax 2 4 seg 4 1.5 4Aplastamiento: Fmax Fmax Fmaxd 1 e1 d1 5 2000 d 1 Fmax 240 adm adm 2.5 1.5De las condiciones cizalladura y aplastamiento simultáneas obtenemos:d1,optimo = 9.95 mm 10 mm = d1 Fmax = 20000 N ( fallará por aplastamiento de la chapa )- Desgarramientot1 2d 1 t1 20 mmCálculo de la sección neta t1=2d=20 mm Fmax 10 mm b 20000 N260/1.5 = 160 N/mm2 Fmax N 20000 N 160 b 10 mm = 35 mm Aneta mm 2 N 160 5 mm mm 2Dimensionado de e2: las dos chapas e2 son del mismo material que la chapa e1 , tiene las mismasdimensiones y trabajan de la misma manera, por tanto: e1 2 e2 e1 e2 2,5 mm 2 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  42. 42. 42 Resistencia de materiales. Problemas resueltosb) Unión 2 e2 t1’ e3 F/4 F/2 F/2 e1 F/2 e2 F/4 e3 F F N? d2 e1Atención: es un problema hiperestático. Aquí se presenta la solución concreta para el caso e2 2 ,ycon la hipótesis de roblón rígido; por lo que puede suponerse que la fuerza total se distribuye entre lastres chapas de la derecha de la manera indicada en la figura: F/4, F/2 y F/4.Cizalladura: F 2 2 4 F d2 20000 240 d2 49.74 2T adm 0.8 d2 N 4N 4 4N 1.5 4 NAplastamiento:F 2 F 20000 240 10 adm d 2 e2 2.5 d 2 2.5 d2 N 2N 2N 1.5 NDe las condiciones de cizalladura y aplastamiento obtenemosd2 4.97 mm d2 5 mm N 2con lo que vemos que fallara antes por aplastamiento.Desgarramiento:t1 2d 10 mmTracción:Seguro que cumple ya que b es igual y F es menor. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  43. 43. 3 Esfuerzo de cizalladura pural 43Problema 3.4Hallar el coeficiente de seguridad seg de las piezas rectangulares de trabado para los perfiles deestantería metálica representados en la figura. s ? Acero A-42b Kp 20 mm e 2600 cm 2 10 mm p = 100 N/cm h = 20 cm L = 50 cm © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  44. 44. 44 Resistencia de materiales. Problemas resueltosResolución: p 2Fh h 2Fv h L 2Fh 2Fv pL2 FH M (momento a transmitir en la sección 2 de empotramiento) FV M p L2 100 50 2 2 FH h M FH 2h 4h 4 20 T FH 3125 N FV 4 Fv p L 100 50 5000 N Fv 1250 N T FH 2 FV 2 3125 2 1250 2 3666 N FH FT (suponiendo una distribución constante de en la sección) S 3366 16,8 N/cm 2 20 10 e 0,6 e 0.6 260 S 9,28 máx máx 16,8 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  45. 45. 4 Características de secciones 454 Características de secciones © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  46. 46. 46 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 4.1Determinar las inercias resultantes Iz e Iy si partimos de cuatro perfiles L 45x45x5, para unas cotas b yh genéricas. b y z z h yResolución:De las tablas: Iz’ = Iy’= 7,84 cm4 y’ A = 4,3 cm2 z’ z’ c = 1,28 cm c c y’ 2 h Iz I z A c (momento de inercia de una L, respecto al eje z) 2 c h/2 z z 2 b Iy I y A c (momento de inercia de una L, respecto al eje y) 2 y c b/2 y © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  47. 47. 4 Características de secciones 47 2 hIz 4I z 4I z 4 A c 59,54 4,30 h 2 5,12 h (momento de inercia de las 2 cuatro L) 2 bIy 4I y 4I y 4 A c ( momento de inercia de las cuatro L) 2 Iz 4,30h 2 22h 59,54 Iy 4,30b 2 22b 59,54 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  48. 48. 48 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 4.2 Dado un perfil “doble T”, determinar la magnitud a de la figura para que la inercia de la vigaaligerada resultante sea 4 veces la inercia inicial. y’ y e z h z’ 2a h’ IZ A a ? IZ I Z’ = 4 I ZResolución: a/2 a z z a/2 3 IZ IZ/2 IZ 1 a e IZ’/2 2 12 2 A a A A a A A/2 e e 2 2 2 2 2 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  49. 49. 4 Características de secciones 49 3 2 IZ 1 a A a a IZ 1 a3 A 2 a3 IZ e e 2 e a e 2 2 12 2 2 2 2 2 12 8 8 8 13 a3 A 2 a2 13 IZ e a IZ A e a 12 4 4 4 12 a2 13 IZ IZ A e a 4 12 a2 13Ha de ser : IZ 4I Z IZ A e a 4 12 13 A 2 e a3 a 3I Z 0 a 48 4 esi suponemos que (e·a) es << A (área total del perfil IPE) : a A a2 a2 IZ IZ 3I Z A 4 4 IZ IZ a 12 2 3 2 3 iZ A A IZ ( iZ radio de giro de la sección respecto al eje z) A © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  50. 50. 50 Resistencia de materiales. Problemas resueltos Problema 4.3 Determinar las siguientes características de la sección monosimétrica de la figura respecto del eje principal z: a) A , Iz , Wz,sup , Wz,inf , iz . b) El momento resistente elástico, Mel. z , para un acero e=235 N/mm2. y 400 30# 400·30 ysup # 800·10 z G Mel.z 800 10 yG yinf# 250·20 250 20 e= 235 N/mm2 Resolución: a) El área de la sección total será la suma de las áreas de las pletinas: A Ai 400 30 800 10 250 20 25000 mm 2 Por simetría el centro de gravedad, G, está situado sobre el eje y (z = 0). © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  51. 51. 4 Características de secciones 51Para determinar la posición y del centro de gravedad de la sección, G, es cómodo calcular el momentoestático de cada elemento respecto de la fibra inferior. Así: A yG Ai y i Ai y i 400 30 835 800 10 420 250 20 10 yG 537 mm A 25000Se utiliza el teorema de Steiner para calcular el momento de inercia de la sección total respecto del ejey-y: 1 2 Iz bi hi3 Ai yi yG 12 1 2 Iz 400 30 3 400 30 835 537 12 1 2 10 800 3 800 10 420 537 12 1 2 250 20 3 250 20 10 537 299154 10 4 mm 4 12El módulo resistente respecto de la fibra superior, ysup: Iz 299154 10 4 W z ,sup 9558 10 3 mm 3 y sup 850 537El módulo resistente respecto de la fibra inferior, yinf: Iz 299154 10 4 W z ,inf 5571 10 3 mm 3 y inf 537El radio de giro de la sección respecto del eje z, iz: Iz 299154 10 4 iz 346 mm A 25000b) El momento resistente, Mel.z, se obtiene a partir de la tensión de límite elástico del material y delmódulo resistente mínimo de la sección: M el . z e W z ,min 235 5571 10 3 1309 10 6 N mm 1309 kN m © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  52. 52. © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  53. 53. 5 Dimensionado de secciones o flexión 535 Dimensionado de secciones o flexión © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  54. 54. 54 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 5.1Dimensionar la viga esquematizada suponiendo que disponemos de perfiles IPE 240 como máximo ychapa de 10 mm de grosor. C P A B P = 9500 Kp L=6m = = Acero A 42b L se = 1,5 E D C E D CResolución: Acero A 42 b 2600 Kp 2600 cm 2 1733 Kp 2 e adm 1,5 1,5 cm se L2 L1 C E D A x + P x Momentos flectores M ( x) 4750 x 2 P L MC 1425 103 Kp cm 4Tramo A-E : I 3890 cm 4IPE 240 3 M max W adm 561 103 Kp cm W 324 cm 561 · 103 = 4750·x x = 118,2 cm L1=115 cm © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  55. 55. 5 Dimensionado de secciones o flexión 55 Tramo E-D: es necesario reforzar 1 1 I b e3 b e d 2 12 13 12 12.52 1 1875 1876 cm 4 b=120 mm 12 12 e =10d 7642 I2 3890 2(1876) 7642 cm 4 W2 588 cm 3 13 M adm 588 1733 1019 10 3 kp cm 1019 · 103 = 4750·x x = 214,6 cm L1 = 210 cm Tramo D-C: e 1 e I b e3 b e d 2 1 12 13,52 2188 cm 4 12 d 12018 I3 I2 2(2188) 12018 cm 4 W3 858 cm 3 14 M adm 858 1733 1487 10 3 kp cm 1019 · 103 = 4750·x x = 313 cm > 300 cm no es necesario reforzar más 300 cm 210 cm P 115 M (m·Kp) 5460 + 14250 Solicitación 5610 9970 Capacidad resistente 10180 14872 9500/2 = 4750 Kp + T (Kp) - 4250 Kp © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  56. 56. 56 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 5.2Dimensionar un segmento de pistón de radio R para que pueda ejercer sobre la pared del cilindro unapresión uniforme de 0,19 N/mm2 , sin que las tensiones superen el valor de max= 261,5 N/mm2 ( e =340 N/mm2 , se = 1,3) (Fundición de grafito nodular). Nota: Usar la simplificación de simetría, R h suponiendo que es suficientemente R pequeño. R = 40 mm h bResolución: voladizoPor razones de simetría consideramos: RDiagrama de momentos flectores :Momento producido por dp en el punto genérico C C p R·d 2dM c b p R d R sen c p b R sen c d C dp (dp = p · R · d ) B O AMomento total para el punto genérico C: © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  57. 57. 5 Dimensionado de secciones o flexión 57 c p b R 2 sen p b R 2 cos p b R 2 1 cos cMc c d c 0 c 0Por tanto, si el momento flector para cualquier punto del segmento es :Mc p b R 2 1 cos c Mtendremos el máximo: c = 180Mmax = 2 · p ·b · R2 Mmax = 180 ==180 0 M h 2 p b R2 h 12 p R 2 261,5 N max I 2 1 h2 adm mm 2 b h3 2 12 h 0,093R 3,7 mm h No depende de b © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  58. 58. 58 Resistencia de materiales. Problemas resueltosProblema 5.3Un estudiante ha decidido instalar un estante para colocar sus libros y apuntes. Los ha colocado unojunto al otro y ha medido la longitud total de estante que necesita y la anchura que debe tener. Al ir acomprar el estante ve que para estas dimensiones puede escoger varios espesores distintos. No sabecuál escoger. Entonces recurre a un amigo suyo que está haciendo 3er curso de Ingeniería Industrial yle expone el problema:He decidido instalar un estante para libros, según el croquis de la figura: h b a a 100 cm a 15 cm b 20 cm p libros y apuntes 0,6 Kg/cmEn la tienda me han informado de que la madera de los estantes tiene las siguientes característicasmecánicas: adm 4 N/mm 2 E 10 000 N/mm 2La cuestión es: a) ¿De qué espesor h mínimo debo colocar el estante? b) Los dos apoyos los he colocado, simétricamente, a una distancia a = 15 cm del extremo por razones puramente estéticas. Pero, atendiendo a razones de comportamiento resistente, ¿cuál sería la distancia óptima de los apoyos a los extremos, que podría minimizar el espesor h del estante? c) Finalmente, me preocupa saber cuál será la flecha que tendrá el estante, una vez cargado, en su punto central (con la distancia a inicial). © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.
  59. 59. 5 Dimensionado de secciones o flexión 59Resolución:a) Determinación de h mínima. p A B C D h b a a x p RB RC 2 - - Tramo AB: M + x2 M p 2 a2 MA 0 MB p 2 + + T T p x - - TA 0 TB p a vE Tramo BC: x2 a2 a2 M p p x a MB p p a a p 2 2 2 2 2 a2 MC MB p 2 2 2 2 a a xE ME p p p p p 2 8 4 2 8 2 © Los autores, 2002; © Edicions UPC, 2002.

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