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  1. 1. MOISES VILLENA Integración Múltiple 5 5.1 INTEGRALES DOBLES 5.1.1 DEFINICIÓN. 5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD 5.1.3 TEOREMA FUBINI 5.1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES 5.1.5 PROPIEDADES 5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN 5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES 5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES 5.1.9 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS. 5.1.10 CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES DOBLES (TRANSFORMACIONES) 5.1.11 ÁREA DE UNA SUPERFICIE 5.2 INTEGRALES TRIPLES OBJETIVOS: • Calcular Integrales Dobles. • Invertir el orden de integración. • Calcular Volúmenes. • Evaluar Integrales Dobles empleando Transformaciones. • Calcular áreas de una Superficie. 149
  2. 2. MOISES VILLENA Integración Múltiple 5.1 INTEGRALES DOBLES 5.1.1 DEFINICIÓN La integral definida para funciones de una variable se la definió de lasiguiente manera: ⎡ n ⎤ b ∫ f ( x ) dx = lím ⎢ n→∞ ⎣ i =1 f xi Δxi ⎥ ⎦ ∑ ( ) a La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo lacurva y = f ( x) en un intervalo [ a, b ] . Si quisiéramos obtener una Integral definida para una función de dosvariables; primero deberíamos suponer que ahora la región de integraciónsería de la forma [ a, b] × [ c, d ] , es decir un rectángulo de R 2 , la cual ladenotamos como R. y d R c a b x Haciendo particiones de la región R , de dimensiones no necesariamenteiguales: ym y d R Δy m ym −1 Δxi yj Δyi y2 Δy2 y1 Δy1 c y 0 Δx1 Δx2 Δxn a x0 x1 x2 xi xn −1 b x x n150
  3. 3. MOISES VILLENA Integración Múltiple La ij − ésima partición tendrá forma rectangular. Ahora cabe referirse alárea de esta partición, que estaría dada por: ΔAij = Δxi Δy j Podemos definir una función de dos variables z = f ( x, y ) en la regiónR , que para la ij − ésima partición sería: ( ) f xi , y j Δxi Δy j Bien, veamos ahora su significado geométrico. Observe la gráficasiguiente: z z = f ( x, y ) ( zi = f xi , y j ) c d y a Δxi • (x , y ) i j b Δy j x El punto ( x , y ) , representa cualquier punto del ij − ésimo rectángulo. i jEl volumen del ij − ésimo paralelepípedo, denotémoslo como ΔVij , estaríadado por: ( ΔVij = f xi , y j Δxi Δy j . ) Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendríamos que haceruna suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepídedos, es decir: ∑ ∑ f ( x , y ) Δx Δ y m n V = lim i j i j n→∞ m→∞ j =1 i =1 151
  4. 4. MOISES VILLENA Integración MúltipleDe aquí surge la definición de Integral doble Sea f una función de dos variables definida en la región plana R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d } ∑ ∑ f ( x , y ) Δx Δy m n Al lim i j i j se le n→∞ m→∞ j =1 i =1 denomina la Integral Doble de f en R y se la denota de la siguiente manera: d b ∫ ∫ f ( x, y)dxdy c a Además, si existe este límite decimos que f es integrable en R . Por el momento no vamos a seguir con la interpretación geométrica de laIntegral doble, empecemos estudiando sus propiedades y la manera de cómoevaluarla. En la definición se dice que si el límite existe la función es integrable, perosurge la interrogante ¿cuándo será que el límite exista?. Esto lo veremos enel siguiente teorema. 5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD Sea f una función de dos variable definida en la región plana R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d } Si f está acotada en R y si f es continua en R a excepción de un número finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R . Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable,si la función es continua será integrable.152
  5. 5. MOISES VILLENA Integración Múltiple Bien, ahora nos compete indicar la forma de como evaluar una integraldoble. 5.1.3 TEOREMA FUBINI Sea f una función de dos variable definida en la región plana R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d } . Si f es continua en R , entonces: d ⎡b ⎤ ∫∫R c ⎣a ∫ ∫ f ( x, y )dA = ⎢ f ( x, y ) dx ⎥dy ⎢ ⎥ ⎦ b ⎡d ⎤ a ⎣c ∫ ∫ = ⎢ f ( x, y ) dy ⎥ dx ⎢ ⎥ ⎦ Este teorema nos presenta la integral doble para que sean evaluadascomo integrales simples, dichas integrales se denominan IntegralesIteradas. Ejemplo 1 2 Calcular ∫∫ 0 −1 xy 2 dydx SOLUCIÓN: Por el teorema de Fubini, integrando desde adentro hacia afuera, es decir: 1 ⎡2 ⎤ 1 1 ⎡ 3 ⎤ ∫∫ ∫ ∫ 3 ⎢ ⎥ ⎢ xy dy ⎥ dx = 2 ⎢x y ⎥ dx = ⎡ 23 ⎢x − x (− 1)3 ⎤ dx ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ 3 3 ⎥ ⎢ ⎣ −1 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 0 ⎢ −1 ⎣ ⎥ ⎦ 0 0 1 1 ∫ ∫ 1 ⎡8 1 ⎤ x2 3 = ⎢ 3 x + 3 x ⎥ dx = 3 xdx = 3 = ⎣ ⎦ 2 0 2 0 0 Aquí pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con respecto ay , sin mayor trabajo. No deje de hacerlo. 153
  6. 6. MOISES VILLENA Integración Múltiple Hasta el momento hemos trabajado con regiones de integraciónrectangulares, pero en las mayorías de las ocasiones se presentarán otrostipos de regiones. 5.1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES El teorema de Fubini puede ser extendido para regiones generales. En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una región plana,como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguientemanera: Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma: Cuya área, denotada como dA , está dada por: dA = dxdy = dydx Entonces, igual como lo habíamos mencionado anteriormente, una integraldoble sobre la región plana R tiene la forma: ∫∫R f ( x, y )dA Esta integral doble puede ser calculada de dos maneras: PRIMERO haciendo un barrido vertical154
  7. 7. MOISES VILLENA Integración Múltiple x =b ⎡ y= f ( x) ⎤ ∫ ∫ x=a ⎢ ⎣ f ( x, y )dy ⎥dx ⎢ y= g ( x) ⎥ ⎦ SEGUNDO: Haciendo primero un barrido horizontal y=d ⎡x= f ( y) ⎤ ∫ ∫ y =c ⎢ ⎣ f ( x, y )dx ⎥dy ⎢ x=g ( y) ⎥ ⎦ Si f ( x, y ) = 1 , la integral doble representa el área de la región R , es decir: A= ∫∫ dA R La región anterior es llamada una región simple- xy , sin embargo puedenexistir regiones simple- x , sólo se puede empezar haciendo primero unbarrido vertical. y y = f ( x) R dy dx y = g ( x) x a b 155
  8. 8. MOISES VILLENA Integración Múltiple Como también pueden existir regiones simple- y , sólo se puede empezarhaciendo primero un barrido horizontal. y d R dy x = g ( y) dx x = f ( y) c x Ejemplo 1 1 x Calcular ∫∫ 0 x2 160 xy 3 dydx SOLUCIÓN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: 1 ⎡ x ⎤ 1 1 ⎡ x⎤ ∫∫ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ( )4 − 40 x(x2 )4 ⎤ dx 4 ⎢ 160 xy 3dy ⎥ dx = ⎢160 x y ⎥ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ dx = ⎢40 x x ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ x2 ⎥ ⎦ 0 ⎣ x2 ⎦ 0 0 1 ∫ 1 = [40 x 3 ] ⎛ x4 − 40 x 9 dx = ⎜ 40 ⎜ 4 − 40 x10 ⎞ 10 ⎟ ⎟ = 10 − 4 = 6 ⎝ ⎠0 0 Ejemplo 2 1 y Calcular ∫∫ 0 0 y 2 e xy dxdy SOLUCIÓN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:156
  9. 9. MOISES VILLENA Integración Múltiple 1 ⎡y ⎤ 1 1 ⎡ y⎤ ∫∫ ∫ ∫ [ye ] ⎢ ⎥ xy 2 xy ⎥ ⎢ y e dx dy = ⎢ y2 e ⎥dy = yy − ye(0 ) y dy ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 0⎥ ⎦ 0 ⎣0 ⎦ 0 0 1 1 1 = ∫ 0 ⎡ ye y 2 − y ⎤dy = ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ∫ 0 y2 ye dy − ∫ 0 ydy 1 ⎛e y ⎞ ⎛ y2 ⎞ ⎛ 02 2 2⎞ 12 2 =⎜ − ⎟ = ⎜ e − 1 ⎟ − ⎜ e − 0 ⎟ = e −1 ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2⎟ ⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ejemplo 3 1 1 Calcular ∫∫ 0 1− y e y dxdy SOLUCIÓN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: 1 ⎡ 1 ⎤ 1 ⎡ 1 ⎤ 1 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ e y dx ⎥dy = e y ⎢ dx ⎥dy = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [e x]y 1 1− y dy ⎢ 0 ⎣1− y ⎥ ⎢1− y ⎥ ⎦ 0 ⎣ ⎦ 0 1 1 = ∫ 0 e y (1 − (1 − y ))dy = ∫0 ye y dy La última integral, se la realiza POR PARTES: 1 ∫ ∫ u v v du y e dy = y e − y y ( e dy = ye y − e y y ) 1 0 = (e − e ) − (0 − 1) = 1 u dv 0 En los dos ejemplos anteriores ya estaban dados los límites de integración,por tanto no había más que aplicar el teorema de Fubini para evaluar lasintegrales dobles, pero en otras ocasiones es necesario identificar la regiónde integración porque los límites no están definidos. Ejemplo 1 Calcular ∫∫ R xdA donde R es la región limitada por y = 2 x y y = x 2 SOLUCIÓN: Primero identificamos la región R: 157
  10. 10. MOISES VILLENA Integración Múltiple Note que es una región simple-, la calcularemos de las dos formas. PRIMER MÉTODO: Haciendo primero un barrido vertical. 2 2x La integral doble con límites será: ∫∫ 0 x2 xdydx Calculando la integral, resulta: 2 ⎡ 2x ⎤ 2 2 ∫∫ ∫ ∫ [x(2 x) − x(x )]dx ⎢ ⎥ ⎢ xdy ⎥dx = [xy] 2x x2 dx = 2 ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ 0 ⎣ ⎦ 0 0 2 ∫ (2 x ) ⎛ x 3 x 4 ⎞ 16 4 = 2 − x3 dx = ⎜ 2 − ⎟= −4 = ⎜ 3 4 ⎟ 3 3 ⎝ ⎠ 0 SEGUNDO METODO: Haciendo primero un barrido horizontal. 4 y La integral doble con límites será: ∫∫ 0 y xdxdy 2 Calculando la integral doble, resulta:158
  11. 11. MOISES VILLENA Integración Múltiple ⎡ ⎤ ⎢ y ⎥ ⎛ ⎛ y⎞ 2 ⎞ 4 4 ⎡ y⎤ 4 ⎜ ⎟ 4 ( y) ⎜ ⎟ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎜ 2 ⎟ ⎛ y y2 ⎞ −⎝ ⎠ 2 ⎜ − ⎟dy ⎢ xdx ⎥dy = ⎢ ⎥ dy = ⎜ ⎟dy = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜2 8 ⎟ ⎢ 2 y ⎥ 2 2 ⎝ ⎠ 0 ⎢ y ⎥ 0 ⎣ 2 ⎦ 0 ⎜ ⎟ 0 ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ 2 ⎦ 4 ⎛ y 2 y3 ⎞ =⎜ − ⎟ = 4− 8 = 4 ⎜ 4 24 ⎟ 3 3 ⎝ ⎠0 Ejemplo 2 ⎧y = x ⎪ ∫∫ ⎪y = 1 ⎪ Calcular dA donde R : ⎨ x SOLUCIÓN: ⎪x = 2 R ⎪ ⎪y = 0 ⎩ La región R es: 1 1 x 2 x Aquí es mejor hacer un barrido vertical primero: ∫∫ 0 0 dydx + ∫∫ 1 0 dydx Calculando las integrales dobles, tenemos: 2 ⎡ x ⎤ 1 1 ⎡ x ⎤ 1 2 ⎢ ⎥ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ⎢ dy ⎥ dx + ⎢ dy ⎥ dx = x 1 ⎢ ⎥ y 0 dx + y 0 x dx ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢0 ⎣ ⎥ ⎦ 1 ⎢0 ⎥ 0 1 ⎣ ⎦ 1 2 ∫ ∫ 1 = xdx + dx x 0 1 1 2 x 2 = + ln x 1 2 0 1 = + ln 2 2 159
  12. 12. MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo 3 ∫∫ 2 ⎧ y = x3 ⎪ Calcular 12 x 2e y dA donde R : ⎨ en el primer cuadrante. ⎪y = x ⎩ R SOLUCIÓN: La región R es: Aquí es mejor primero un barrido horizontal ¿Por qué? ¿Observe qué ocurre si hacemos primero un barrido vertical? Planteando la integral doble con límites y calculándola, tenemos: 3 y 1 1 ∫∫ ∫ 3 y 2 y2 x3 12 x e dxdy = 2 y 12e dy 3 y 0 y 0 1 ∫ 4e y ⎛ ( y) − y 3 ⎞dy 2 3 = ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ 0 1 1 ∫ y2 ∫ 2 = 4 ye dy − 4 y 3 e y dy 0 0 Haciendo cambio de variable t = y 2 . De aquí tenemos: dt = 2 ydy Reemplazando y resolviendo: 1 1 1 1 ∫ ∫ ∫ t⎛ ∫ y2 3 y2 dt ⎞ ⎛ dt ⎞ 4 ye dy − 4 y e dy = 4 ye ⎜ ⎜ 2y ⎟ − ⎟ 4 y 3et ⎜ ⎜ 2y ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 0 0 1 1 =2 ∫ ∫ 0 et dt − 2 0 tet dt = 2e t 1 0 [ − 2 te − et t ]1 0 = 2e − 2 − 2[0 − (− 1)] = 2e − 4160
  13. 13. MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo 4 Calcular ∫∫( R 2 x + 1)dA donde R es el triángulo que tiene por vértices los puntos (−1,0) , (0,1) y (1,0) SOLUCIÓN: La región R es: No olvide que dos puntos definen una recta, por tanto la determinación de las ecuaciones de las y 2 − y1 rectas se las puede obtener empleando la formula y − y 1 = (x − x 1 ) . x 2 − x1 Aquí también es mejor primero un barrido horizontal: 1 1− y 1 ∫∫ ∫ (x ) 1− y (2 x + 1)dxdy = 2 +x y −1 dy 0 y −1 0 1 = ∫ [(1− y) 0 2 ][ ] + (1 − y ) − ( y − 1)2 + ( y − 1) dy 1 = ∫ [( 0 y − 1)2 + 1 − y − ( y − 1)2 − y + 1 dy ] 1 = ∫[0 2 − 2 y ]dy ( = 2y − y2 ) 1 0 1 1− y ∫ ∫( 0 y −1 2 x + 1)dxdy = 1 161
  14. 14. MOISES VILLENA Integración Múltiple 5.1. 5 PROPIEDADES Sean f y g funciones de dos variables continuas en una región R , entonces: 1. ∫∫ kdA = k ∫∫ dA ; ∀k ∈ℜ R R 2. ∫∫ ( f ± g )dA = ∫∫ fdA ± ∫∫ gdA R R R 3. ∫∫ dA = ∫∫ dA + ∫∫ dA donde R = R ∪ R R R1 R2 1 2 5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN Algunas Integral Iterada pueden ser calculada de las dos formas, perotenga mucho cuidado cuando invierte el orden de las integrales. Ejemplo 1 e ln x Calcular ∫∫ 1 0 xydydx SOLUCIÓN: Primero se debe identificar la región de integración. En este caso, la integral doble está dada primero con barrido vertical porque el diferencial es de la forma dydx , entonces tenemos que interpretar la integral doble de la siguiente manera: x =e y = ln x ∫ ∫ x =1 y =0 xydydx ⎧ y = ln x ⎪ Por tanto, la región es R : ⎨ y = 0 , es decir: ⎪x = e ⎩162
  15. 15. MOISES VILLENA Integración Múltiple Invirtiendo los límites de integración hay que hacer ahora un barrido horizontal primero, es decir: ( ) 1 e 1 1 1 1 ⎛ e2 e y ⎞ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ e 2 x2 2 y⎜ ⎟dy = e 1 xydxdy = y dy = − ydy − ye 2 y dy 2 ⎜ 2 2 ⎟ 2 2 e y ⎝ ⎠ 0 ey 0 0 0 0 1 1 2 e y 2 1⎡ e 1e ⎤2y 2y = − ⎢y − ⎥ 2 2 2⎢ 2 ⎣ 2 2 ⎥ ⎦0 0 e2 e2 e2 1 = − + − 4 4 8 8 e2 1 = − 8 8 Ejemplo 2 2 4− x 2 Invierta el orden de integración para ∫ ∫ f ( x, y)dydx 0 0 SOLUCIÓN: x=2 y = 4− x 2 Interpretando los límites de integración dados, tenemos: ∫ ∫ x =0 y =0 f ( x, y )dydx . Se ha hecho primero un barrido vertical ⎧ y = 4 − x2 ⎪ ⎪ Entonces la región de integración es R : ⎨ x = 0 ⎪y = 0 ⎪ ⎩ Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir: 4 4− y ∫ ∫ 0 0 f ( x, y )dxdy 163
  16. 16. MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo 3 1 y +1 Invierta el orden de integración para ∫ ∫ f ( x, y)dxdy −1 − y +1 SOLUCIÓN: y =1 x = y +1 Interpretando los límites de integración dados, tenemos: ∫ ∫ y = −1 f ( x, y )dxdy . Se ha x = − y +1 hecho primero un barrido vertical ⎧ ⎪ y = x2 − 1 Entonces la región de integración es R : ⎨ ⎪y = 1 ⎩ Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir: 2 1 ∫ ∫ − 2 x 2 −1 f ( x, y )dydx Ejemplo 4 16 4 x Invierta el orden de integración para ∫∫ 2 x f ( x, y )dydx SOLUCIÓN: x=4 y =16 x Interpretando los límites de integración dados, tenemos: ∫ ∫ x=2 y=x f ( x, y )dydx Se ha hecho un barrido vertical primero ⎧y = x ⎪ ⎪ 16 Entonces la región de integración es R : ⎨ y = ⎪ x ⎪x = 2 ⎩ Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:164
  17. 17. MOISES VILLENA Integración Múltiple 16 4 y y ∫∫ 2 2 f ( x, y )dxdy + ∫∫ 4 2 f ( x, y )dxdy Ejercicios propuestos 5.1 1 y 1. Calcular ∫∫ 0 0 e x + y dxdy ⎧x − ⎪ y2 + 9 = 0 2. Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por ⎨ ⎪x + ⎩ y2 − 9 = 0 ⎧ y 2 = 2x − 2 ⎪ 3. Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por: ⎨ ⎪y = x − 5 ⎩ ⎧y = x ∫∫ y2 ⎪ 4. Calcular: dA donde R es la región limitada por ⎨ y = 2 x2 ⎪ xy = 1 ⎩ R ∫∫ ⎧y = x2 ⎪ 5. Calcular 12 x dA donde R es la región limitada por ⎨ ⎪ y = 2x ⎩ R 2 4 6. Calcular ∫∫ 0 x2 y cos ydydx 1 1 2 ∫∫ e − x dxdy 2 7. Calcular 0 y 2 2 x −1 3 3+ x 8. Invierta el orden de integración: ∫ ∫ −1 − 3+ x f ( x, y )dydx + ∫ ∫ 2 − 3+ x f ( x, y )dydx 1 x 2 2− x 2 9. INVERTIR el orden de integración y EVALUAR. ∫∫ 0 0 ydydx + ∫ ∫ 1 0 ydydx 165
  18. 18. MOISES VILLENA Integración Múltiple ∫∫ 2 10. Calcular: 12 x 2 e y dA , donde R es la región del primer cuadrante limitada por y = x3 y R y=x 2 x3 8 8 11. Representar la región de integración para: ∫∫ 1 x f (x, y) dy dx+ ∫∫ ( 2 x f x, y) dy dx e invertir el orden de integración. 5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Sea f una función continua en las variables x y y . El valor Medio de f en una región plana R está dado por: ∫∫ f ( x, y)dA Valor Medio = R ∫∫ dA R Ejemplo Encuentre el valor medio de la función f ( x, y ) = x 1 + y 3 ⎧y = 2 ⎪ sobre la región limitada por ⎨ y = x ⎪x = 0 ⎩ SOLUCIÓN: La región de integración es: Empleando la fórmula, tenemos:166
  19. 19. MOISES VILLENA Integración Múltiple 2 y Valor Medio = ∫∫R f ( x, y)dA = ∫∫ 0 0 x 1 + y3 dxdy ∫∫ 2 y ∫∫ dA dxdy R 0 0 2 ∫ y x2 1 + y3 dy 2 0 = 0 2 ∫ ( x ) 0 dy y 0 2 ∫ 1 y 2 1 + y3 dy 2 = 0 2 ∫ 0 ydy 2 1 (1 + y ) 3 3 2 2 ⎛ 3⎞ 1 2⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ( 27 − 1) = 2 0 =6 y2 2 2 0 13 = 6 Ejercicios Propuestos 5.2 −1 1. Calcule el valor medio de la función f ( x, y ) = e x y 2 en la región del primer cuadrante ⎧y = x2 ⎪ ⎪ limitada por ⎨x = 0 ⎪y = 1 ⎪ ⎩ 2. Para una compañía concreta, la función de producción de Cobb-Douglas es f ( x, y ) = 100 x 0,6 y 0,4 . Estimar el nivel medio de producción, si el número de unidades de trabajo varía entre 200 y 250 y el de unidades de capital entre 300 y 325. 3. Hallar el valor medio de f ( x, y ) = x + 2 y + 4 sobre la región limitada por las rectas y = 2 x, y = 3 − x, y=0 ⎧x = 0 ⎪ − x2 ⎪x = 2 4. Encuentre el valor medio de la función f ( x, y ) = e sobre la región ⎨ ⎪y = x ⎪y = 2 ⎩ y2 ⎧0 ≤ y ≤ 1 5. Encuentre el valor medio de la función f ( x, y ) = , sobre la región R = ⎨ ( xy + 1) 2 ⎩0 < x ≤ y 6. Hallar el valor medio de f (x, y) = 2xy en la región limitada por y= x2 y y=x 167
  20. 20. MOISES VILLENA Integración Múltiple 5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES Ya definimos el volumen bajo una superficie. Ejemplo x y z Hallar el volumen del sólido limitado por el plano + + = 1 y el plano xy en a b c el primer octante. SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo z c ⎛ x y⎞ z = c ⎜1 − − ⎟ ⎝ a b⎠ h b y dA a x El volumen del elemento diferencial sería dV = hdA = zdA Por tanto el volumen total está dado por : ∫∫ ⎛ x y⎞ V= c ⎜ 1 − − ⎟ dA ⎝ a b⎠ R Donde la región R sería: y b ⎛ x⎞ y = b ⎜1 − ⎟ ⎝ a⎠ x a Escogemos un barrido vertical primero, es decir que la integral iterada quedaría:168
  21. 21. MOISES VILLENA Integración Múltiple ⎛ x⎞ b ⎜1− ⎟ a ⎝ a⎠ ∫∫ ⎛ x y⎞ V= c ⎜1 − − ⎟ dydx ⎝ a b⎠ 0 0 Evaluando: ⎛ x⎞ b ⎜1− ⎟ a ⎝ a⎠ a ⎡ ⎛ x⎞ 2 b ⎜1− ⎟ ⎤ ⎛ x⎞ ∫∫ ∫ b ⎜1− ⎟ ⎛ x y⎞ ⎢⎛1 − x ⎞ y ⎝ a ⎠ − y ⎝ a ⎠ ⎥ dx V= c ⎜ 1 − − ⎟ dydx = c ⎜ ⎟ ⎝ a b⎠ ⎢⎝ a ⎠ 2b 0 ⎥ 0 0 0 ⎢ ⎣ 0 ⎥ ⎦ a ∫ ⎡ ⎛ x ⎞2 b2 ⎛ x ⎞2 ⎤ =c ⎢b ⎜ 1 − ⎟ − ⎜1 − ⎟ ⎥ dx ⎢ ⎝ a ⎠ 2b ⎝ a ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 0 a ∫ 2 b⎛ x⎞ =c ⎜1 − ⎟ dx 2⎝ a⎠ 0 3 a ⎛ x⎞ 1− bc ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠ = 2 ⎛ 1⎞ 3⎜ − ⎟ ⎝ a⎠ 0 a abc ⎡ ⎛ x ⎞ ⎤ 3 = ⎢ − ⎜1 − ⎟ ⎥ 6 ⎢ ⎝ a⎠ ⎥ ⎣ ⎦0 abc = [1 − 0] 6 abc V= 6 Ahora consideremos un sólido limitado por superficies. Por ejemplo: z z = f ( x, y ) z = g ( x, y ) y R x 169
  22. 22. MOISES VILLENA Integración Múltiple En el gráfico, el volumen del sólido limitado por las superficies está dadopor: V= ∫∫ ⎡⎣ f ( x, y ) − g ( x, y )⎤⎦dA RR , es la región plana que tiene por proyección la superficie en el plano xy . Ejemplo Hallar el volumen del sólido limitado por z = 4 − x 2 − 2 y 2 y el plano z = 2 SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo z z = 4 − x2 − 2 y 2 h 2 dA z=2 y R En este caso V= ∫∫ ∫∫ R hdA = R ⎡( 4 − x 2 − 2 y 2 ) − ( 2 ) ⎤dA ⎣ ⎦ Para ponerle los límites de integración identificamos la región R , en este caso sería la curva de ⎧ z = 4 − x2 − 2 y2 intersección de ⎨ proyectada en el plano xy . ⎩z = 2 Igualando y simplificando: 4 − x2 − 2 y 2 = 2 x2 + 2 y2 = 2 x2 y 2 + =1 2 1 Entonces la región sería: y 2 − x2 y= 1 2 x 0 2170

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