ESTATÍSTICA
Organizando dados para uma visão melhor
Por: Marden Rodrigues
Aluno de Administração – Segundo Período
CONCEITOS GERAIS DE ANÁLISE
DE DADOS

Por: Marden
Rodrigues
DEFINIÇÃO E TIPOS DE VARIÁVEIS

Por: Marden
Rodrigues
VARIÁVEIS QUALITATIVAS
Quando o resultado da observação é
apresentado na forma de qualidade ou
atributo,
dividem-se em:
 ...
EXEMPLOS DE VARIÁVEIS QUALITATIVAS


Variáveis nominais: a cor dos olhos, tipo de
acomodação, marcas de carro, sexo, etc....
VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Quando o resultado da observação é um
número,
decorrente de um processo de mensuração ou
contagem....
EXEMPLOS DE VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
Variáveis contínuas: não é possível
enumerar todos os possíveis valores, essas
variáve...
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

Por: Marden
Rodrigues
Um conjunto de observações de certo
fenômeno,
não estando adequadamente organizado,
fornece pouca informação de interesse ...
REPRESENTAÇÃO DOS DADOS



Dados brutos: são aqueles que não foram
numericamente organizados, ou seja, estão
na forma com...




Distribuição da freqüência sem
intervalos de classe: é a simples
condensação dos dados
conforme as repetições de seu...
CLASSE

Por: Marden
Rodrigues
DEFINIÇÃO
São intervalos de variação da variável.
As classes são representadas
simbolicamente
por i, sendo i = 1,2,3...
(o...
LIMITES DE CLASSE
São os extremos de cada classe. O menor
número é o limite inferior da classe (li) e o
maior número é o l...
AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE
É a medida de intervalo que define a classe.
Ela é obtida pela diferença entre os limi...
AMPLITUDE TOTAL (H)
É a diferença entre o valor máximo e o valor
mínimo da amostra:
H = Li – Ls
Se no total de uma amostra...
PONTO MÉDIO DE UMA CLASSE
O ponto médio de uma classe (xi) é o ponto que
divide o intervalo de classe em duas partes
iguai...
EM SÍNTESE...
Dados

brutos são aqueles que não foram
organizados.
Rol é a organização dos dados brutos em ordem de
gran...
-DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
-NÚMERO DE CLASSE
-TIPOS DE FREQÜÊNCIA

Por: Marden
Rodrigues
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CLASSES (K)
É importante que a distribuição conte com
um número adequado de classes. Se o
número...
TRÊS SOLUÇÕES PARA DETERMINAR “K”
1) Para n ≤ 25 , K = 5. E para n > 25, K =
√n
Por exemplo: se a amostra tiver 23
element...
TRÊS SOLUÇÕES PARA DETERMINAR “K”
2) Pode-se utilizar a regra de Sturges, que
fornece o número de classes em função do
tot...
TRÊS SOLUÇÕES PARA DETERMINAR “K”
3) Truman L. Kelley, sugere os seguintes
números de classes, com base no número
total de...
RELEMBRANDO...
Qualquer regra para determinação do número
de classes da tabela não nos leva a uma
decisão final, esta vai ...
AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE


Amplitude do intervalo de classe nada mais
é que o comprimento da mesma, dado por:
Ai ...
TIPOS DE FREQÜÊNCIA

Por: Marden
Rodrigues
FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA
Representada por “fi”, é o número de
repetições de um valor individual ou de uma
classe de ...
FREQÜÊNCIAS RELATIVAS
Representadas por “fri”, são os valores das
razões (divisões) entre as freqüências
absolutas de cada...
FREQUENCIA SIMPLES ACUMULADA
Representadas por “faci”, é o total das
freqüências de todos os valores inferiores do
limite ...
FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA
Representada por “fraci”, é a freqüência
acumulada da classe, dividida pela
freqüência total...
Classe

Fi

Fri

Fri (%)

Faci

Fraci

xi

280|-- 305

2

8%

8

2

8%

293

305|-- 330

3

12%

12

5

20%

318

330|-- 3...
EM SÍNTESE...
Para

determinar o número de classes,

temos
três casos:
1º caso:
Para n ≤ 25  número de classes é K = 5
P...
EM SÍNTESE...
 Amplitude

do intervalo de classe: é o comprimento
da classe, calculado por Ai = H/K.
 Freqüência simples...
MEDIDAS DESCRITIVAS

Por: Marden
Rodrigues
MÉDIAS

Por: Marden
Rodrigues
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
Para se obter a média aritmética simples de um conjunto
de dados, devemos dividir a soma dos valo...
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Média ponderada é uma média arítmética na
qual será atribuído um peso a cada valor da
série.
∂p...
MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS
SEM INTERVALOS DE CLASSES
As frequencias são as quantidades de vezes
que a variável ...
MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS
AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSES
Neste caso, convencionamos que todos os
valores incluídos e...
EXEMPLOS...


Sem intervalo de classes:
Após ter sido realizado trabalho bimestral numa turma de
Estatística, o professor...
EXEMPLOS...


Com intervalo de classes:
Determine a renda familiar, de acordo com os dados da tabela:
Classes – Renda
fam...
MODA (MO)

Por: Marden
Rodrigues
DEFINIÇÃO E LEMBRETE
Define-se a moda como o valor que ocorre com
maior freqüência em um conjunto de dados.




Primeira...
EXEMPLOS...
Calcular a moda nos seguintes conjuntos de dados:
X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8)
Mo = 6 (o valor mais freq...
MEDIANA (MD)

Por: Marden
Rodrigues
DEFINIÇÃO E OBTENÇÃO
É uma medida de posição cujo número divide um
conjunto de dados em duas partes iguais. Portanto, a
me...
EXEMPLOS...
1)

Determine o valor da mediana da série que é composta
dos seguintes elementos: 56, 58, 62, 65 e 90.
N = 5 (...
DICA IMPORTANTE

Para analisar a fundo a
diferença entre Média, Mediana
e Moda, estude a tabela da
página 60 da apostila.
...
POSIÇÃO – QUARTIS, DECIS E PERCENTIS

Por: Marden
Rodrigues
DEFINIÇÃO E DIFERENCIAÇÃO
As medidas de posição denominadas quartis, decis
e percentis têm o mesmo princípio da mediana.
E...
QUARTIS PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
0%

25%
Q1

50%
Q2

Para o cálculo das posições usaremos:

Q1  P1 = (n+1)/4
Q2  P2 = 2(...
DECIS PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
Para o cálculo das posições usaremos:
D1  P1 = (n+1)/10
D2  P2 = 2(n+1)10
D5  P5 = 5(n+1...
PERCENTIS PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
Para o cálculo das posições usaremos:
P1  P1 = (n+1)/100
P2  P2 = 2(n+1)/100
P50  P5...
LEMBRANDO QUE...

Utilizando medianas quartis, decis
ou percentis, se calcula uma
POSIÇÃO, ou seja, o valor obtido
do cálc...
MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE)

Por: Marden
Rodrigues
DEFINIÇÃO
São medidas utilizadas para medir o grau de
variabilidade ou dispersão dos valores
observados em torno da média ...
EXEMPLO (HOMO/HETEROGENEIDADE)
Um empresário deseja comparar a performance de dois
empregados, com base na produção diária...
TIPOS DE MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA
Amplitude total (Ai): é a diferença entre o maior
e o menor valor observado.
Exempl...
LEMBRANDO QUE...
Utilizando como medida de dispersão a amplitude
total de um grupo, se obtém algumas
desvantagens, que são...
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

Por: Marden
Rodrigues
DEFINIÇÃO
São as medidas de dispersão mais
empregadas, pois levam em consideração a
totalidade dos valores da variável em ...
FÓRMULAS: AMOSTRA X POPULAÇÃO
Ficará assim:
Dados não
agrupados
S² = ∑(xi- )
População
--------N
Amostra

S² = ∑ (xi- )
...
LEGENDA DAS FÓRMULAS E DESVIO PADRÃO
S = Desvio padrão, no entanto, o calcularemos elevado ao
quadrado, sendo assim:


De...
CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO
Retomando-se o exemplo de homo/heterogeneidade
para fins de aplicar as fórmulas dadas anteriormente...
LEMBRANDO QUE...
O enunciado da questão deverá
informar se os dados estão sendo
demonstrados através de uma amostra
ou de ...
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON

Por: Marden
Rodrigues
USO E CÁLCULO
O Coeficiente de variação de Pearson (CV) é
calculado através da divisão entre o desvio
padrão e a média mul...
COMO QUALIFICAR A DISPERSÃO


Se CV ≤ 15% , está sendo indicada uma baixa
dispersão.



Se 15% < CV < 30%, há uma média ...
Para finalizar...

MEDIDAS DE ASSIMETRIA

Por: Marden
Rodrigues
DEFINIÇÃO

Modo de analisar a distribuição de
freqüência em uma amostra/população
através da organização de seus dados em
...
CASOS
Caso 1: quando MÉDIA = MEDIANA = MODA,
temos uma distribuição de freqüências:
SIMÉTRICA
MODA
MEDIANA E MÉDIA
CASOS
Caso 2: quando MÉDIA < MEDIANA < MODA,
temos uma distribuição de freqüências:
ASSIMÉTRICA À ESQUERDA OU NEGATIVA
MED...
CASOS
Caso 3: quando MÉDIA > MEDIANA > MODA,
temos uma distribuição de freqüências:
ASSIMÉTRICA À DIREITA OU POSITIVA
MODA...
LEMBRANDO QUE...


A média é afetada pelos EXTREMOS, e por isso,
em gráficos assimétricos, é apresentada sempre
tendendo ...
BONS ESTUDOS!

Por: Marden
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Estatística Descritiva

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Estatística Descritiva

  1. 1. ESTATÍSTICA Organizando dados para uma visão melhor Por: Marden Rodrigues Aluno de Administração – Segundo Período
  2. 2. CONCEITOS GERAIS DE ANÁLISE DE DADOS Por: Marden Rodrigues
  3. 3. DEFINIÇÃO E TIPOS DE VARIÁVEIS Por: Marden Rodrigues
  4. 4. VARIÁVEIS QUALITATIVAS Quando o resultado da observação é apresentado na forma de qualidade ou atributo, dividem-se em:  Variáveis nominais: quando podem ser separadas por categorias chamadas de não mensuráveis  Variáveis ordinais: quando os números podem agir como categorias ou ordenações. Por: Marden Rodrigues
  5. 5. EXEMPLOS DE VARIÁVEIS QUALITATIVAS  Variáveis nominais: a cor dos olhos, tipo de acomodação, marcas de carro, sexo, etc.  Variáveis ordinais: como sugere o nome, elas envolvem variáveis que representam algum elemento em ordem. Uma classificação em anos pode ser um exemplo clássico Por: Marden Rodrigues
  6. 6. VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Quando o resultado da observação é um número, decorrente de um processo de mensuração ou contagem.  Variáveis contínuas: são aquelas que podem assumir qualquer valor num certo intervalo da reta real.  Variáveis discretas: são aquelas que podem assumir apenas valores inteiros em pontos da reta real. Por: Marden Rodrigues
  7. 7. EXEMPLOS DE VARIÁVEIS QUANTITATIVAS Variáveis contínuas: não é possível enumerar todos os possíveis valores, essas variáveis geralmente provém de medições, como de altura, peso, etc.  Variáveis discretas: é possível enumerar todos os possíveis valores da variável, como o número de alunos em uma escola ou o número de mensagens de uma secretária eletrônica.  Por: Marden Rodrigues
  8. 8. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Por: Marden Rodrigues
  9. 9. Um conjunto de observações de certo fenômeno, não estando adequadamente organizado, fornece pouca informação de interesse ao pesquisador e ao leitor. Para uma visão rápida e global do fenômeno deve-se fazer a organização dos dados coletados em uma pesquisa através Por: Marden das distribuições de freqüência. Rodrigues
  10. 10. REPRESENTAÇÃO DOS DADOS  Dados brutos: são aqueles que não foram numericamente organizados, ou seja, estão na forma com que foram coletados.  Rol: é a organização dos dados brutos em ORDEM de grandeza crescente ou decrescente Por: Marden Rodrigues
  11. 11.   Distribuição da freqüência sem intervalos de classe: é a simples condensação dos dados conforme as repetições de seus valores. Para um rol de tamanho razoável, esta distribuição de freqüência é inconveniente, já que exige muito espaço. Distribuição de freqüência com intervalos de classe: quando o tamanho da amostra é elevada e o número de variáveis é muito grande, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. REPRESENTAÇÃO DE DADOS Por: Marden Rodrigues As imagens respectivas às classificações estão nas páginas 39 e 40 da apostila
  12. 12. CLASSE Por: Marden Rodrigues
  13. 13. DEFINIÇÃO São intervalos de variação da variável. As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1,2,3... (ou seja, i = 1ª classe, 2ª classe...) Por: Marden Rodrigues
  14. 14. LIMITES DE CLASSE São os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior da classe (li) e o maior número é o limite superior da classe (ls). Por exemplo: se em uma classe temos que : 26|--- 36 (onde “ |--- “ indica: fechado em 26 e aberto em 36), dizemos que li = 26 e ls = 36 Por: Marden Rodrigues
  15. 15. AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE É a medida de intervalo que define a classe. Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior. A nomeando de “h”, temos que: h = ls – li Por exemplo, no exemplo anterior, podemos afirmar que a amplitude é de 10. (36-26) Por: Marden Rodrigues
  16. 16. AMPLITUDE TOTAL (H) É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra: H = Li – Ls Se no total de uma amostra, temos que o maior valor é de 96 e o menor é de 6, temos que H= 96 – 6 = 90 Por: Marden Rodrigues
  17. 17. PONTO MÉDIO DE UMA CLASSE O ponto médio de uma classe (xi) é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. xi = (li + ls)/2 No exemplo anterior do intervalo 26|--- 36, temos que: xi = (36+26)/2 = 62/2 = 31 Por: Marden Rodrigues
  18. 18. EM SÍNTESE... Dados brutos são aqueles que não foram organizados. Rol é a organização dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente. Distribuição de freqüências pode ser com ou sem intervalos de classe. Os elementos da distribuição de frequencias são:  Classe: são intervalos de variação da variável.  Limites de classe: são extremos de cada classe.  Amplitude de classe e total: é a diferença entre o maior e o menor limite.  Ponto médio: é a média aritmética dos limites de Por: Marden classe. Rodrigues
  19. 19. -DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS -NÚMERO DE CLASSE -TIPOS DE FREQÜÊNCIA Por: Marden Rodrigues
  20. 20. DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CLASSES (K) É importante que a distribuição conte com um número adequado de classes. Se o número de classes for excessivamente pequeno acarretará perda de detalhe e pouca informação se poderá extrair da tabela. Por outro lado, se for utilizado um número excessivo de classes, haverá alguma classe com freqüência nula ou muito pequena, não atingindo o objetivo de classificação que é tornar o conjunto de Por: Marden dados supervisionáveis. Rodrigues
  21. 21. TRÊS SOLUÇÕES PARA DETERMINAR “K” 1) Para n ≤ 25 , K = 5. E para n > 25, K = √n Por exemplo: se a amostra tiver 23 elementos analisados, o número de classes é 5, pois n< 25. Por outro lado, supondo que a amostra tenha 83 elementos analisados (n>25), o número de classes é dado por √83 = 9,1104335, que aproximando-se = 9 Por: Marden classes. Rodrigues
  22. 22. TRÊS SOLUÇÕES PARA DETERMINAR “K” 2) Pode-se utilizar a regra de Sturges, que fornece o número de classes em função do total de observações: K = 1 + 3,3 x log n Por: Marden Rodrigues
  23. 23. TRÊS SOLUÇÕES PARA DETERMINAR “K” 3) Truman L. Kelley, sugere os seguintes números de classes, com base no número total de observações, para efeito de representação gráfica: n 5 10 25 50 100 200 500 K 2 4 6 8 10 12 15 Por: Marden Rodrigues
  24. 24. RELEMBRANDO... Qualquer regra para determinação do número de classes da tabela não nos leva a uma decisão final, esta vai DEPENDER, na realidade, de um julgamento pessoal, que deve estar ligado á natureza dos dados. Por: Marden Rodrigues
  25. 25. AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE  Amplitude do intervalo de classe nada mais é que o comprimento da mesma, dado por: Ai = H/K Onde H = Limite superior – Limite inferior K = número de classes Por: Marden Rodrigues
  26. 26. TIPOS DE FREQÜÊNCIA Por: Marden Rodrigues
  27. 27. FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA Representada por “fi”, é o número de repetições de um valor individual ou de uma classe de valores da variável. A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados da distribuição. ∑fi = n Por: Marden Rodrigues
  28. 28. FREQÜÊNCIAS RELATIVAS Representadas por “fri”, são os valores das razões (divisões) entre as freqüências absolutas de cada classe e a freqüência total da distribuição. A soma das freqüências relativas é igual a 1 ou 100%. Fri = (fi/n) x 100 Por: Marden Rodrigues
  29. 29. FREQUENCIA SIMPLES ACUMULADA Representadas por “faci”, é o total das freqüências de todos os valores inferiores do limite superior do intervalo de uma determinada classe. Bilhete meu: se você não entendeu aqui, no exemplo entenderá.  Por: Marden Rodrigues
  30. 30. FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA Representada por “fraci”, é a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição. fraci = faci/n Por: Marden Rodrigues
  31. 31. Classe Fi Fri Fri (%) Faci Fraci xi 280|-- 305 2 8% 8 2 8% 293 305|-- 330 3 12% 12 5 20% 318 330|-- 355 4 16% 16 9 40% 343 355|-- 380 9 36% 36 18 76% 368 380|-- 405 5 20% 20 23 92% 393 405|--|430 2 8% 8 25 100% 418 ∑ 25 100% 100 - - -
  32. 32. EM SÍNTESE... Para determinar o número de classes, temos três casos: 1º caso: Para n ≤ 25  número de classes é K = 5 Para n > 25  número de classes é K = √n 2º caso: Pela regra de Sturges  K = 1 + 3,3 x log n 3º caso: Por: Marden Pela regra de Truman. Conforme a tabela Rodrigues
  33. 33. EM SÍNTESE...  Amplitude do intervalo de classe: é o comprimento da classe, calculado por Ai = H/K.  Freqüência simples ou absoluta (fi) é o número de repetições de um valor individual.  Freqüências relativas (fri) são os valores das divisões entre “fi” e “n”  Freqüência simples acumulada (faci) é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe.  Freqüência relativa acumulada (fraci) é a freqüência acumulada da classe (faci) dividida pela Por: Marden freqüência total da distribuição. Rodrigues
  34. 34. MEDIDAS DESCRITIVAS Por: Marden Rodrigues
  35. 35. MÉDIAS Por: Marden Rodrigues
  36. 36. MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES Para se obter a média aritmética simples de um conjunto de dados, devemos dividir a soma dos valores de todos os dados do conjunto pela quantidade deles. Coisa que todos nós já sabíamos. ∂ = ∑xi/n Onde: ∑ indica “soma de” xi = valores que a variável x assume n = número de valores ∂ = a média aritmética da amostra/população Por: Marden Rodrigues
  37. 37. MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Média ponderada é uma média arítmética na qual será atribuído um peso a cada valor da série. ∂p = (xi . Pi)/∑Pi onde o acréscimo da letra “i” na variável, indica o fator de “todos os valores de”, por exemplo: Pi = todos os valores de P Por: Marden Rodrigues
  38. 38. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSES As frequencias são as quantidades de vezes que a variável ocorre na oleta de dados, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular uma média ponderada. ∂ = (xi . fi)/n Por: Marden Rodrigues
  39. 39. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSES Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da seguinte fórmula: ∂ = (xi . fi)/n Onde : xi = (li + ls)/2 = ponto médio
  40. 40. EXEMPLOS...  Sem intervalo de classes: Após ter sido realizado trabalho bimestral numa turma de Estatística, o professor efetuou levantamento das notas obtidas pelos alunos, observou a seguinte distribuição e calculou a média de sua turma: Notas dos alunos Números de alunos - xifi fi 1 2 3 4 Total ∑ 1 3 5 1 Por: N = 10 Marden Rodrigues 1 6 15 4 26 ∂ =(∑xi . fi)/n ∂ = 26/10 ∂ = 2,6
  41. 41. EXEMPLOS...  Com intervalo de classes: Determine a renda familiar, de acordo com os dados da tabela: Classes – Renda familiar Xi Fi – numero de famílias xifi 2 |--- 4 3 5 15 4 |--- 6 5 10 50 6 |--- 8 7 14 98 8 |--- 10 9 8 72 10 |--- 12 11 3 33 N = 40 268 Total ∑ ∂ =(∑xi . fi)/n ∂ = 268/40 ∂ = 6,7
  42. 42. MODA (MO) Por: Marden Rodrigues
  43. 43. DEFINIÇÃO E LEMBRETE Define-se a moda como o valor que ocorre com maior freqüência em um conjunto de dados.   Primeiramente os dados devem ser ordenados para, em seguida, observar o valor que tem maior freqüência. É possível que haja mais de uma moda dentro de uma mesma amostra/população, dependendo da freqüência de determinado Por: Marden dado. Rodrigues
  44. 44. EXEMPLOS... Calcular a moda nos seguintes conjuntos de dados: X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8) Mo = 6 (o valor mais freqüente) Y = (1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6) Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais freqüentes) Conjunto BImodal Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4 (valores mais freqüentes) Conjunto POLImodal, ou seja, tem mais de 2 modas Por: Marden Rodrigues
  45. 45. MEDIANA (MD) Por: Marden Rodrigues
  46. 46. DEFINIÇÃO E OBTENÇÃO É uma medida de posição cujo número divide um conjunto de dados em duas partes iguais. Portanto, a mediana se localiza no centro de um conjunto de números ordenados segundo uma ordem de grandeza.  Para se obter o elemento mediano de uma série deveremos seguir os seguintes passos: - Se N for ímpar, a mediana é o termo de ordem: P = (N+1)/2 - Se N for par, a mediana é a média aritmética dos termos de ordem: P1 = N/2 e P2 = N/2 + 1 Por: Marden Rodrigues
  47. 47. EXEMPLOS... 1) Determine o valor da mediana da série que é composta dos seguintes elementos: 56, 58, 62, 65 e 90. N = 5 (ímpar)  P = (N + 1)/2 = 6/2 = 3 3  indica o 3º elemento  Md = 62 2) Em um pesquisa realizada a respeito de erros por folha, cometidos por digitadores, revelaram-se as seguintes quantidades: 12, 12, 13, 13, 15, 16, 18 e 20. Determinar a quantidade mediana de falhas. N = 8 (par)  P1 = N/2 = 8/2 = 4  4º elemento  Md = 13 P2 = N/2 + 1 = 8/2 + 1 = 5  5º elemento  Md = 15 Logo, a mediana será (13 + 15)/2 = 28/2 = 14 Por: Marden
  48. 48. DICA IMPORTANTE Para analisar a fundo a diferença entre Média, Mediana e Moda, estude a tabela da página 60 da apostila. Por: Marden Rodrigues
  49. 49. POSIÇÃO – QUARTIS, DECIS E PERCENTIS Por: Marden Rodrigues
  50. 50. DEFINIÇÃO E DIFERENCIAÇÃO As medidas de posição denominadas quartis, decis e percentis têm o mesmo princípio da mediana. Enquanto a mediana separa a distribuição em duas partes iguais, a característica principal de cada uma dessas medidas é que: Quartis: dividem a distribuição em quatro partes. Decis: dividem em dez partes iguais. Percentis: dividem em cem partem iguais. Por: Marden Rodrigues
  51. 51. QUARTIS PARA DADOS NÃO AGRUPADOS 0% 25% Q1 50% Q2 Para o cálculo das posições usaremos: Q1  P1 = (n+1)/4 Q2  P2 = 2(n+1)/4 Q3  P3 = 3(n+1)/4 Onde n  número de dados (valores). Por: Marden Rodrigues 75% Q3 100%
  52. 52. DECIS PARA DADOS NÃO AGRUPADOS Para o cálculo das posições usaremos: D1  P1 = (n+1)/10 D2  P2 = 2(n+1)10 D5  P5 = 5(n+1)/10 D9  P9 = 9(n+1)/10 Onde n  número de dados (valores). Por: Marden Rodrigues
  53. 53. PERCENTIS PARA DADOS NÃO AGRUPADOS Para o cálculo das posições usaremos: P1  P1 = (n+1)/100 P2  P2 = 2(n+1)/100 P50  P50 = 50(n+1)/100 P99  P99 = 99(n+1)/100 Onde  número de dados (valores). Por: Marden Rodrigues
  54. 54. LEMBRANDO QUE... Utilizando medianas quartis, decis ou percentis, se calcula uma POSIÇÃO, ou seja, o valor obtido do cálculo não será necessariamente o dado em si, e sim sua posição dentro do rol. Por: Marden Rodrigues
  55. 55. MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE) Por: Marden Rodrigues
  56. 56. DEFINIÇÃO São medidas utilizadas para medir o grau de variabilidade ou dispersão dos valores observados em torno da média aritmética. Servem para medir a representatividade da média e proporcionam o conhecimento do nível de homogeneidade ou heterogeneidade dentro de cada grupo analisado. Para compreender esse conceito, considere o exemplo a seguir. Por: Marden Rodrigues
  57. 57. EXEMPLO (HOMO/HETEROGENEIDADE) Um empresário deseja comparar a performance de dois empregados, com base na produção diária de determinada peça, durante cinco dias: Empregado A: 70, 71, 69, 70, 70  ∆ = 70 Empregado B: 60, 80, 70, 62, 83  ∆ = 71 A performance média do empregado A é de 70 peças produzidas diariamente enquanto que a do empregado B é de 71 peças. Com base na média aritmética, verifica-se que a performance B é melhor do que a de A. Porém, observando-se bem os dados, percebe-se que a produção de A varia apenas de 69 a 71 peças, ao passo que a de B varia de 60 a 83 peças, o que revela que a performance de A é bem mais uniforme do que a de B.
  58. 58. TIPOS DE MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA Amplitude total (Ai): é a diferença entre o maior e o menor valor observado. Exemplo: Pela situação sugerida na introdução, temos para a amplitude total os seguintes cálculos para os empregados: Empregado A  Ai = 71 – 69 = 2 Empregado B  Ai = 83 – 60 = 23 Por: Marden Rodrigues
  59. 59. LEMBRANDO QUE... Utilizando como medida de dispersão a amplitude total de um grupo, se obtém algumas desvantagens, que são: - - - Leva em conta apenas os valores mínimo e máximo do conjunto. Se ocorrer qualquer variação no interior do conjunto de dados, a amplitude total não nos dá qualquer indicação dessa mudança. - A amplitude total também sofre a influencia de um valor “atípico” (extremo) na distribuição, ( um valor muito elevado ou muito baixo em relação ao Por: Marden conjunto) Rodrigues
  60. 60. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Por: Marden Rodrigues
  61. 61. DEFINIÇÃO São as medidas de dispersão mais empregadas, pois levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. Ambos estão ligados como meios de se analisar a dispersão dos dados dentro de uma amostra.  Vocês vão ver.  Definiremos como: a variância é dada através da média aritmética dos quadrados dos desvios. Analisaremos na prática a seguir. Por: Marden Rodrigues
  62. 62. FÓRMULAS: AMOSTRA X POPULAÇÃO Ficará assim: Dados não agrupados S² = ∑(xi- ) População --------N Amostra S² = ∑ (xi- ) --------n-1 Dados agrupados S² = ∑(xi- ) . fi -----------N S² = ∑(xi- ) . fi -----------n-1 A legenda das fórmulas está no slide
  63. 63. LEGENDA DAS FÓRMULAS E DESVIO PADRÃO S = Desvio padrão, no entanto, o calcularemos elevado ao quadrado, sendo assim:  Desvio Padrão = √variância = √S² = S  = média (homenagem ao falecido Steve Jobs) rs Xi = no caso não agrupado, são todos os valores que os dados podem assumir e no caso agrupado, é o ponto médio de determinado intervalo de classe. Sobre a legenda de ∑ e “n”(ou N), vocês já conhecem, que é, respectivamente: somatório e total de valores. Por: Marden Rodrigues
  64. 64. CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO Retomando-se o exemplo de homo/heterogeneidade para fins de aplicar as fórmulas dadas anteriormente, efetuaremos os seguintes cálculos: Empregado A (média = 70) S² = ∑(xi- )/N = = (70-70)²+(71-70)²+(69-70)²+(70-70)²+(70-70)²/5 = 2/5 = 0,4 portanto, temos que Desvio Padrão = √S² = √0,4 = aproximadamente 0,64 Empregado B (média = 71) S² = ∑(xi- )/N = = (60-71)²+(80-71)²+(70-71)²+(62-71)²+(83-71)²/5 = 428/5 = 85,6 .:. Desvio Padrão = √85.6 = aproximadamente 9,25
  65. 65. LEMBRANDO QUE... O enunciado da questão deverá informar se os dados estão sendo demonstrados através de uma amostra ou de uma população, para que assim possa haver a mudança necessária nas fórmulas (e sua interpretação). Por: Marden Rodrigues
  66. 66. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON Por: Marden Rodrigues
  67. 67. USO E CÁLCULO O Coeficiente de variação de Pearson (CV) é calculado através da divisão entre o desvio padrão e a média multiplicado por cem. No caso, é expressado em porcentagem e facilita a visualização do quão dispersos estão os valores da amostra ou da população. Por: (S x 100)/ CV = Marden Rodrigues
  68. 68. COMO QUALIFICAR A DISPERSÃO  Se CV ≤ 15% , está sendo indicada uma baixa dispersão.  Se 15% < CV < 30%, há uma média dispersão.  E por fim, se CV ≥ 30%, está sendo representada uma alta dispersão entre os valores. Por: Marden Rodrigues
  69. 69. Para finalizar... MEDIDAS DE ASSIMETRIA Por: Marden Rodrigues
  70. 70. DEFINIÇÃO Modo de analisar a distribuição de freqüência em uma amostra/população através da organização de seus dados em forma de gráfico.  Simples? Por: Marden Rodrigues
  71. 71. CASOS Caso 1: quando MÉDIA = MEDIANA = MODA, temos uma distribuição de freqüências: SIMÉTRICA MODA MEDIANA E MÉDIA
  72. 72. CASOS Caso 2: quando MÉDIA < MEDIANA < MODA, temos uma distribuição de freqüências: ASSIMÉTRICA À ESQUERDA OU NEGATIVA MEDIANA MÉDIA MODA
  73. 73. CASOS Caso 3: quando MÉDIA > MEDIANA > MODA, temos uma distribuição de freqüências: ASSIMÉTRICA À DIREITA OU POSITIVA MODA MEDIANA MÉDIA
  74. 74. LEMBRANDO QUE...  A média é afetada pelos EXTREMOS, e por isso, em gráficos assimétricos, é apresentada sempre tendendo ao lado onde se encontram os mesmos.  Outro fator por simples observação é que representei a média dos gráficos assimétricos através de uma linha circular pois nos casos não estamos aplicando valores, portanto não podemos dar com exatidão a média de cada um. Por: Marden Rodrigues
  75. 75. BONS ESTUDOS! Por: Marden Rodrigues

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