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Matemática Média por Amigos Do Pinguim
 

Matemática Média por Amigos Do Pinguim

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Baseada nos posts criados de Matemática Básica no mesmo blog, foi feito um dump em XML e recuperado via banco de dados MySQL em PHP imprimido com o browser da Mozilla Firefox em formato PDF, as ...

Baseada nos posts criados de Matemática Básica no mesmo blog, foi feito um dump em XML e recuperado via banco de dados MySQL em PHP imprimido com o browser da Mozilla Firefox em formato PDF, as imagens e instruções foram baseadas nas aulas de Nerckie do Vestibulandia.

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    Matemática Média por Amigos Do Pinguim Matemática Média por Amigos Do Pinguim Document Transcript

    • Matemática MédiaApostila Criada por:Marcos da Boa Morte HTTP://AMIGOSDOPINGUIM.BLOGSPOT.COM.BR/ Baseada nas aulas do Vestibulandia por Nerckie Matemática Média: Conjuntos e Conjuntos Numéricos Matemática Média: Funções (Conceitos Básicos) Matemática Média: Função do Primeiro Grau Matemática Média: Função do Segundo Grau Matemática Média: Função Inversa e Função Composta Matemática Média: Inequações Matemática Média: Intervalos Reais Matemática Média: Progressão Aritmética Matemática Média: Progressão Geométrica Matemática Média: Equação Exponencial Matemática Média: Logaritmo Matemática Média: Função Exponencial Matemática Média: Função Logarítmica Matemática Média: Logaritmo Decimal Matemática Média: Inequação Exponencial Matemática Média: Inequação Logarítmica Matemática Média: Matrizes Matemática Média: Determinantes Matemática Média: Matriz Inversa Matemática Média: Introdução aos Sistemas Lineares Matemática Média: Sistemas Lineares Matemática Média: Módulo - Conceitos Iniciais Matemática Média: Equações Modulares Matemática Média: Função Modular Matemática Média: Inequação Modular Matemática Média: Fatorial Matemática Média: Binômio de Newton Matemática Média: Análise Combinatória Matemática Média: Probabilidade Matemática Média: Noções de Geometria e Trigonometria http://debian.linux/ 1 de 152 21-07-2013 17:19
    • Matemática Média: Conjuntos e Conjuntos Numéricos Conjunto é uma coleção de elementos . A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A . Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro. Importância Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos. Notação matemática É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por meio de uma: lista os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);1. definição de uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell, em Principia mathematica); 2. representação gráfica.3. A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como: Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo: Um conjunto ABCDEFGHIJ também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B3 . O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra: ou ainda: Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação http://debian.linux/ 2 de 152 21-07-2013 17:19
    • gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas. Conceitos essenciais Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas; Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas; Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se é um elemento de podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever Se não é um elemento de nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever Subconjuntos próprios e impróprios Ver artigo principal: Subconjunto Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a também pertence a então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto denotado por Note que esta definição inclui o caso em que e possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ( ). Se e ao menos um elemento pertencente a não pertence a então é chamado de subconjunto próprio de denotado por Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio. Conjunto vazio Ver artigo principal: Conjunto vazio Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos. Cardinalidade Ver artigo principal: Cardinalidade Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n. Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste http://debian.linux/ 3 de 152 21-07-2013 17:19
    • caso, a cardinalidade poderá ser (aleph-0), Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto é denotada por Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então Conjunto potência ou de partes Ver artigo principal: Conjunto de partes O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de denotado por O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção. Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto é usual representar-se P(A) por O Teorema de Cantor estabelece que Produto cartesiano Ver artigo principal: Produto cartesiano O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados: A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto Operações com conjuntos De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar. Operação Operador Definição Exemplo União A união (ou reunião) de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos ou A união de N conjuntos é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por http://debian.linux/ 4 de 152 21-07-2013 17:19
    • Interseção A interseção de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos e Diferença ou A diferença (ou ) entre dois conjuntos e é o conjunto dos elementos que pertencem a e que não pertencem a Conjuntos compostos por números Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r, s, t e u são números reais. Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem. 1. Números primos aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo usualmente representa este conjunto. 2. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números). 3. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente). 4. Números irracionais são números reais que não são números racionais. O símbolo usualmente representa este conjunto. 5. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto. 6. Números transcendentais são números reais que não são números algébricos. O símbolo usualmente representa este conjunto. 7. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: análise real.) 8. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo ou usualmente representa este conjunto. 9. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: O símbolo usualmente representa este conjunto. 10. Números quaterniões é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas: O símbolo usualmente representa este conjunto. 11. Números octoniões é a soma de números reais e de sete números imaginários de12. http://debian.linux/ 5 de 152 21-07-2013 17:19
    • unidades distintas. O símbolo usualmente representa este conjunto. Números complexos hiperbólicos é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz e Os números complexos hiperbólicos são da forma Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero. O símbolo usualmente representa este conjunto. 13. Números p-ádicos são uma extensão dos números inteiros, onde p é um número primo. Os símbolos usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo p) 14. Números ordinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Não existe o conjunto dos números ordinais. 15. Números cardinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum ordinal menor do que ele. Não existe o conjunto dos números cardinais. 16. Tipos de números Os números podem ser classificados em conjunto de números que vem a ser uma coleção de elementos Diferentes tipos de números podem ser digitados por dois métodos diferentes, pelo método construtivista ou através de axiomas. Pelo método construtivista é introduzido tipos diferentes de números através da construção de um conjunto de elementos. Pelo método axiomático é adotado um conjunto de postulados a partir dos quais e por dedução lógica, são demonstrados teoremas. Exemplos de diferentes tipos de números: Conjunto de números Natural 0, 1, 2, 3, 4, ... ou 1, 2, 3, 4, ... Inteiro ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... - Inteiro positivo 1, 2, 3, 4, 5, ... Racional a ⁄b aonde a e b são inteiros e b é diferente de zero Real Limite de uma sequência de números racionais convergentes Complexo a + bi aonde a e b são números reais e i é a raiz quadrada de −1 Número complexo Um número complexo é um número que pode ser escrito na forma , em que e são números reais e denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade , sendo que e são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de .O conjunto dos números complexos, denotado por , contém o conjunto dos números reais. http://debian.linux/ 6 de 152 21-07-2013 17:19
    • Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais. Número real O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Número racional É todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros. O conjunto dos números racionais (representado por Q, o uso da letra Q é derivada da palavra inglesa quotient, cujo significado é quociente, já que a forma de escrever um número racional é o quociente de dois números inteiros, com o denominador diferente de 0). Número inteiro São constituídos dos números naturais, incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e dos simétricos dos números naturais não nulos (-1, -2, -3, ...). Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, estes números são chamados de inteiros relativos. O conjunto de todos os inteiros é representado por um Z em negrito (ou ainda um em blackboard bold, ou ℤ, cujo código Unicode é U+2124), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos. Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável. Número natural Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, 3,...). O número natural também é definido como um número inteiro positivo, aonde o zero não é considerado como um número natural. Quando o símbolo dos números naturais (N) vier seguido de um asterisco (*) é retirado o 0 (zero). Número inteiro negativo Número negativo é todo número real menor que zero, como o −1 e o −3. Dois números são chamados de números simétricos quando estão à mesma distância do zero, como o −5 e o 5. Número fracionário Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. Número fracionário expressa esta condição. A palavra vem do latim fractus e significa "partido", http://debian.linux/ 7 de 152 21-07-2013 17:19
    • "quebrado" (do verbo frangere: "quebrar"). Número irracional Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo .O conceito de número irracional remonta ao conceito de incomensurabilidade. A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras. Número imaginário Número imaginário é um número complexo com parte real igual a zero, ou seja, um número da forma b i, em que i é a unidade imaginária. Em alguns contextos, exige-se que b seja diferente de zero. O termo foi inventado por René Descartes em 1637 no seu La Géométrie para designar os números complexos em geral, e tem esse nome pelo objetivo inicialmente pejorativo: na época, acreditava-se que tais números não existissem . Outros números Número excessivo ou abundante: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é maior do que ele mesmo (p. ex.: 12). Número perfeito: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é igual a ele mesmo (p. ex.: 6). Número defectivo ou deficiente: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é menor do que ele mesmo (p. ex.: 10). Número levemente imperfeito: número cuja soma de seus divisores é o próprio número menos a unidade (p. ex.: 4, 8, 16, 32, ). Números amigáveis: são dois números cuja soma dos divisores de um resulta no outro e vice-versa. Pares amigáveis: 220 e 284, 1184 e 1210, 17296 e 18416, 9363584 e 9437056. Números sociáveis: grupo de três ou mais números que formam um círculo fechado, pois a soma dos divisores do primeiro forma o segundo e assim por diante até que a soma dos divisores do último forma o primeiro (p. ex.: 12496, 14288, 15472, 14536 e 14264). Número primo: é um número natural que tem exatamente dois divisores distintos: o número um e ele mesmo. Número ordinal: são números usados para assinalar uma posição numa sequência ordenada. Exemplos: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto etc.Dauben, J.W.. Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite. New Jersey: Princeton University Press, 1979., pp. 156−159.. O número 26 é o único que existe que se encontra entre um quadrado (25 = ) e um cubo (27 = ) (provado por Pierre de Fermat). O número 69 é o único que existe cujos algarismos que compõem seu quadrado ( = 4761) e seu cubo ( = 328509) formam todos os números entre 0 e 9 sem repetição. O número de Skewes (10^10^10^34 = 10^10^10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000) é um dos maiores números que já serviram a algum propósito em Matemática (na fórmula de Gauss). O número de Graham, ainda maior, aparece em problemas de combinatória. http://debian.linux/ 8 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: Wikipédia Matemática Média: Funções (Conceitos Básicos) Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x). Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, Função linear, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas . Função Índice 1 Conceito 2 Definição formal 3 Exemplos 4 Elementos da função 5 Gráficos de função 6 Tipos de funções 7 Funções implícitas e explicitas http://debian.linux/ 9 de 152 21-07-2013 17:19
    • 8 Composição de funções 9 Outras propriedades 10 História 11 Ver também 12 Referências 12.1 Bibliografia 13 Ligações externas Conceito As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalidade, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções. Deve-se notar que as palavras "função", "mapeamento", "mapa" e "transformação" são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso pode-se ocasionalmente se referir a funções como "funções bem definidas" ou "funções totais". O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x (às vezes denominado variável independente) um único valor da função f(x) (também conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência. Cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x. 34 . Assim como a noção intuitiva de funções não se limita a cálculos usando números individuais, a noção matemática de funções não se limita a cálculos e nem mesmo a situações que envolvam números. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é o conjunto imagem ou chamado simplesmente imagem.4 Definição formal Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é: diz-se que a função f de X em Y que relaciona cada elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y.3 Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que: f é unívoca: se y = f (x) e z = f (x), então y = z;1. f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f (x).2. Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termo função multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção. Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial. Considere as três funções seguintes: http://debian.linux/ 10 de 152 21-07-2013 17:19
    • Esta não é uma função, pois o elemento 3 em X é associado com dois elementos (d e c) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de não ser uma função, representa uma função multivalorada. Esta não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com um elemento em Y. Apesar de não ser uma função, representa uma função parcial. Esta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão: Exemplos Para modelar o crescimento de uma população de bactérias de acordo com o tempo, da seguinte forma: Considera-se o tempo como variável independente, podendo-se denotá-lo por x. Como o tamanho da população de bactérias varia como o tempo, ele pode ser considerado como uma variável dependente, e denotado por ƒ(x). Dizemos então que, o crescimento desta população de bactérias está em função do tempo. Elementos da função Ver artigo principal: Conjunto imagem Ver artigo principal: Domínio http://debian.linux/ 11 de 152 21-07-2013 17:19
    • Função x 2 , definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada). Seja uma função. Toda função consta de três partes: A primeira é o conjunto , chamado de domínio da função, é o conjunto onde a função é definida 5 , ou seja, ele contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Outra parte integrante da função é o contradomínio (representado na figura por ), que é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. Em outras palavras, é o conjunto onde a função toma valores.5 Dentro do contradomínio, define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio. A terceira parte de uma função é a regra que permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento , um único elemento , chamado o valor que a função assume em x (ou no ponto x).5 A função, portanto, se caracteriza pelo domínio, o contradomínio, e pela lei de associação (regra). A função é diferente da função , pois o contradomínio é diferente. Gráficos de função Ver artigo principal: Gráfico#Gráficos de função As funções são comumente representadas em gráficos. O gráfico de uma função f : D → I é o conjunto dos pares ordenados em D x I da forma ( x , f (x) ), ou seja: ou equivalentemente: os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada, respectivamente. Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas funções têm o mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, a injectividade de uma função é completamente determinada pelo gráfico. Tipos de funções Dependendo do tipo de regra que associa os elementos do domínio aos elementos do contradomínio de uma função, ela pode receber nomes específicos. Por exemplo, Se a regra que associa o domínio ao contradomínio é um polinômio, então a função é dita uma Função polinomial. Exemplos de funções polinomiais são a função linear e a função quadrática. 6 Se a regra eleva o logaritmo neperiano pelos elementos do domínio, então a função é dita exponencial. 6 Os tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com relação à regra uma única saída para cada entrada. Como não foi dito nada sobre as entradas, ou se as saídas tem que ser únicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto encontramos apenas três tipos de classes de funções, e classe é empregado aqui como classificação mesmo e não como classe de equivalência. 6 http://debian.linux/ 12 de 152 21-07-2013 17:19
    • Tipo de função Característica da função Conjunto imagem Explicação visual Exemplo Admite função inversa? É inversível? Injetora ou injetiva Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando ≠ no domínio tem-se ≠ no contradomínio. Pode haver elementos do contradomínio que não pertençam à imagem da função. A função dada por , é injetiva porque números distintos possuem dobros distintos. Não sempre, mas sempre admite inversa à esquerda. Sobrejetora ou sobrejetiva Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio A função dada por , não é sobrejetiva, pois o número -1 é elemento do contradomínio e não é imagem de qualquer elemento do domínio. Não sempre, mas sempre admite inversa à direita. Bijetora ou bijetiva São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa. O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio A função dada por , é bijetiva porque é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo. Exemplo: função identidade Sim, sempre; imagem igual ao contradomínio vira domínio e vice-versa. Funções implícitas e explicitas O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo: http://debian.linux/ 13 de 152 21-07-2013 17:19
    • que associa a cada x o seu quadrado. Uma generalização direta é permitir funções que dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo: recebe dois números x e y e associa a eles o seu produto, xy. De acordo com o modo como uma função é especificada, ela é chamada de função explícita (como acima) ou de função implícita, como em que define implicitamente a função Composição de funções São as funções em que o conjunto imagem de uma função serve de domínio para uma outra função , que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de , nos leva diretamente ao conjunto imagem A. Por exemplo, dadas as funções: e uma função composta pode ser: Observa-se que f(x) transforma-se em variável de g(x). Ou seja, g(x)= ƒ(x)-1. Temos que, g(f(x)) = (2x+3)-1. Logo g(f(x)) = 2x+2. Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer , , etc. Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.6 Outras propriedades Há muitas outras classes especiais de funções que são importantes em áreas ou aplicações específicas da matemática. Alguns desses tipos de funções são listados a seguir. injetiva sobrejetiva bijetiva contínua diferenciável, integrável linear, polinomial, racional algébrica, transcendental trigonométrica fractal par ou ímpar convexa, côncava monótona, unimodal holomorfa, meromorfa, inteira vetorial computável Fonte: http://pt.wikipedia.org http://debian.linux/ 14 de 152 21-07-2013 17:19
    • Matemática Média: Função do Primeiro Grau 1.0 - Noções Intuitivas A função de Primeiro Grau é a função de grau 1, ou seja o maior expoente do x presente na função vale 1. Imagine uma função f(x) = ax + b onde a e b são números reais e 'a' é diferente de zero. O gráfico dessa função é sempre uma reta. Nota: A função de primeiro grau também é chamada de 'função linear' e 'função afim'. O jeito mais fácil de se construir uma função de primeiro grau é criar uma tabela para os valores de x e determinar os valores associados em y. O modo mais recomendado na construção de uma função é encontrar os interceptores em x e em y. http://debian.linux/ 15 de 152 21-07-2013 17:19
    • 2.0 - Estudo da função Imagine a função y = ax + b Quando a > 0 , teremos uma função crescente Quando a < 0 , teremos uma função decrescente Quando a = 0 , teremos uma função constante (não será de primeiro grau) 3.0 - Intersecção Em qual ponto as funções y = x + 1 e y = -2x + 1 se interceptam? http://debian.linux/ 16 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Função do Segundo Grau Função do Segundo Grau 1.0 - Noções Intuitivas já aprendemos que uma função d primeiro grau pode ser escrita na forma de: y = ax + b A função do segundo grau pode ser escrita na forma: y = ax 2 + bx + c A função de segundo grau recebe esse nome pois é uma função de grau 2, ou seja o maior expoente do x presente na função vale 2. Nota: função de segundo grau também é chamada de função quadrática. http://debian.linux/ 17 de 152 21-07-2013 17:19
    • O gráfico de uma função quadrática é uma parábola A Parábola 2.0 - Construção Podemos construir o gráfico da função quadrática usando uma tabela de números. O melhor modo, no entanto, é descobrir os interceptores no eixos.Raízes da função também são conhecidas como Zeros da função, que são os pontos que cortam o eixo X. 3.0 - Exemplo 1 Construir o gráfico de f(x) = x 2 - 5x + 6 1° passo: Verificar se a concavidade é para cima ou para baixo: PARA CIMA 2° passo: Achar as raízes da equação associada: x 2 - 5x + 6 = 0 : (2 e 3) 3° passo: Achar o termo independente: 6 http://debian.linux/ 18 de 152 21-07-2013 17:19
    • Resolver a equação x2 - 5x + 6 = 0 4.0 - Estudo do Delta 5.0 - Exemplo 2 Construir o gráfico de f(x) = x 2 + 2x - 2 http://debian.linux/ 19 de 152 21-07-2013 17:19
    • 6.0 - Exemplo 3 Um fazendeiro comprou 24 metros de cerca para a construção de um curral retangular. Determine as dimensões do terreno para que a área cercada seja máxima. Resolução: Fonte: www.vestibulandia.com.br http://debian.linux/ 20 de 152 21-07-2013 17:19
    • Matemática Média: Função Inversa e Função Composta Função Inversa 1.0 - Noções Intuitivas Imagine uma função onde A é o conjunto de partida e B é conjunto de chegada. Na inversa, temos a situação contrária, B é o conjunto de partida e A é o conjunto de chegada. Obs.: Função inversa pode ser chamada de f -1 (x) Só definimos função inversa quando a função é Bijetora. O motivo é simples: a Inversa da função Sobrejetora e da Injetora não são funções. http://debian.linux/ 21 de 152 21-07-2013 17:19
    • 2.0 - Como determinar a inversa Siga a seguinte regra prática: 2.1 - "Troque" o x pelo y (lembre-se: f(x)=y) 2.2 - Isole o y Achar a Inversa de f(x)= 2x + 1 f(x)=y y = 2x + 1 (vamos trocar o x pelo y) x = 2y + 1 (vamos isolar o y) 2y = x-1 3.0 - Gráfico da Inversa O Gráfico de uma função inversa é sempre simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares Esboçar o gráfico das funções f(x) = 2x + 1 e f -1 (x) = x-1/2 http://debian.linux/ 22 de 152 21-07-2013 17:19
    • Função Composta 1.0 - Noções Intuitivas Imagine uma função onde A é o conjunto de partida e B é conjunto de chegada. Imagine agora que o conjunto B de partida e C é um conjunto de Chegada. A função composta leva diretamente de A até C. 2.0 - Representações Imagine duas funções: f(x) e g(x). As seguintes representações são possíveis: fof = f(f(x)) fog = f(g(x)) gof = g(f(x)) 3.0 - Exemplos Se f(x) = x + 1 calcule fof. Antes entenda que: f(x) = x + 1 f(1) = 1 + 1 f(2) = 2 + 1 f(◊) = ◊ + 1 f(Δ) = Δ + 1 f(f(x)) = f(x) + 1 http://debian.linux/ 23 de 152 21-07-2013 17:19
    • lembrando que fof = f(f(x)), temos: f(x) = x + 1 f(f(x)) = f(x) + 1 f(f(x)) = x + 1 + 1 f(f(x)) = x + 2 Sejam f e g funções definidas em R por f(f(x)) = 2x + 1 e g(x) = x - 3. Calcule g(f(3)). Vamos calcular f(3): f(3) = 2 x 3 + 1 = 7 Vamos agora calcular g(f(3)), lembrando que g(x) = x - 3 g(f(3)) = g(7) ⇔ 7 - 3 ⇒ 4 Se f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4 então quanto vale g(1) ? Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Inequações 1.0 - Introdução Inequação é uma sentença matemática, com uma ou mais incógnitas, http://debian.linux/ 24 de 152 21-07-2013 17:19
    • expressas por uma desigualdade, diferenciando da equação, que representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações que não são de equivalência. É representada pelo sinal ≠, ou seja,inequação é toda a desigualdade literal que é apenas satisfeita por certos valores, as letras ou incongnitas que nela figuram, por outras palavras, apresentam os sinais de maior (>) ou menor (<) ao invês do sinal de igualdade que é o caracteriza as equações. Uma Inequação do 2º Grau é uma inequação que pode ser reduzida à forma: ax 2 + bx + c = 0 2.0 - Exemplo 1 Resolver a inequação: 5x - 4 ≤ 0 Primeiro passo: achar a raiz de 5x - 4 = 0 (x = ⅘) R.: V = { x ∈ ℜ/ x ≤ ⅘ } 3.0 - Exemplo 2 Resolver a inequação: x 2 - 5x + 6 ≥ 0 Primeiro passo: Resolver a equação: x 2 - 5x + 6 = 0 (através do Delta " Δ ", Raízes são: 2 e 3 ) lê-se: MA = Mesmo que A(a, número que multiplica x) CA = Contrário de A V = {x ∈ ℜ/ x ≤ 2 ou x ≥ 3} 4.0 - Exemplo 3 http://debian.linux/ 25 de 152 21-07-2013 17:19
    • Resolver a inequação: (2x + 3)(x - 4) > 0 5.0 - Exemplo 4 Resolver a inequação: (-2x + 3)(x 2 - 5x + 6) ≥ 0 6.0 - Exemplo 5 Resolver a inequação: (-x + 1)(x + 2)(x - 3) > 0 http://debian.linux/ 26 de 152 21-07-2013 17:19
    • 7.0 - Exemplo 6 8.0 - Exemplo 7 Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Intervalos Reais O conjunto dos números reais é formado a partir da união dos seguintes conjuntos: Números Naturais: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,....) http://debian.linux/ 27 de 152 21-07-2013 17:19
    • Números Inteiros: (....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....) Números Racionais: (números na forma de a/b, com b≠0 e decimais periódicos. Ex: 1/2; 3/5; 0,25; 0,33333.....) Números Irracionais: (números decimais não periódicos. Ex. 0,2354658752485879.....) Intervalo Real Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ , {xЄR/a < x < b} Aberto à esquerda e aberto à direita Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a,b], {xЄR/a < x ≤ b} Aberto à esquerda e fechado à direita Intervalo fechado em a e aberto em b, [a,b[, {xЄR/a ≤ x < b} Fechado à esquerda e aberto à direita Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b], {xЄR/a ≤ x ≤ b} Fechado à esquerda e fechado à direita Intervalos infinitos {xЄR/x > a} {xЄR/x {xЄR/x≥a} http://debian.linux/ 28 de 152 21-07-2013 17:19
    • {xЄR/≤a} Fonte: http://www.brasilescola.com Matemática Média: Progressão Aritmética 1.0 - Introdução Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números onde cada termo (exceto o primeiro termo) é resultado da soma do termo anterior com uma constante, chamada de razão. 2.0 - Termos de uma P.A. Seja a PA: (1,3,5,7,9...) Chamamos de a1, a2, a3, an o primeiro, segundo, terceiro e enésimo termo. No exemplo acima, note que: a1 = 1 a3 = 3 a5 = 5 http://debian.linux/ 29 de 152 21-07-2013 17:19
    • an pode ser qualquer termo que o problema quiser Razão(r): valor somado a cada termo anterior para obter o termo posterior.No exemplo, a razão vale 2. 3.0 - Fórmula do Termo Geral Seja a PA: (1,3,5,7,9...) Note que a razão(r) vale 2. Note também que: a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r a4 = a1 + 3r an = a1 + (n -1)r também podemos utilizar: an = am + (n-m)r 4.0 - Exemplo Achar o número de termos da PA (1,4,7,10, ... , 109) Resolução: r = 4 - 1 (subtraimos um termo pelo seu imediamente anterior para achar a razão) a1 = 1 (primeiro termo) an = 109 (último termo da PA) n = ? (vamos encontrar) an = a1 + (n -1)r 109 = 1 + 3n - 3 n = 37 5.0 - Interpolação Aritmética Interpolar x meios aritméticos entre dois termos significa descobrir http://debian.linux/ 30 de 152 21-07-2013 17:19
    • esses mesmos termos de tal forma que toda a sequência seja uma PA. Interpolar 5 meios aritméticos entre -5 e 37 Resolução: an = 37 (último termo da PA) n = 7 (verifique imagem logo acima para entendimento) a1 = -5 (primeiro termo da PA) r =? (vamos achar) an = a1 + (n - 1) 37 = -5 + (7 - 1)r r = 7 (-5, 2, 19 , 16, 23, 30, 37) 6.0 - Propriedade Numa PA, o termo médio é a média aritmética dos termos equidistantes. Exemplo: (a1, a2, a3, a4, a5) 7.0 - Representações convenientes http://debian.linux/ 31 de 152 21-07-2013 17:19
    • Em alguns exercícios reescrever a PA de outra forma. PA de três termos: (a - r), a, (a + r) PA de cinco termos: (a - 2r), (a - r), a, (a + r), (a + 2r) Três números estão em PA, A soma deles é 21 e o produto, 315. Quais são os três números? 8.0 - Exercício 1 Determine a quantidade de múltiplos de 13 entre 20 e 1000. Resolução: r = 13 (pois será a diferença que haverá de um número a outro) a1 = 26 (o primeiro termo múltiplo de 13 maior que 20) an = 988 (pois o maior número múltiplo de 13 menor que 1000 é 988, para achálo é necessário dividir 1000 por 13, e o resultado, A PARTE INTEIRA, multiplicar por 13, VEJA IMAGEM ABAIXO) an = a1 + (n -1)r 988 = 26 + (n - 1)13 n = 75 http://debian.linux/ 32 de 152 21-07-2013 17:19
    • 9.0 - Exercício 2 Determine a quantidade de múltiplos de 2 ou 3 entre 23 e 1001 Resolução: 10 - Soma dos Termos de uma PA Exercício: http://debian.linux/ 33 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Progressão Geométrica 1.0 - Introdução Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência de números onde cada termo (exceto o primeiro termo) é o resultado do produto do termo anterior com uma constante, chamada de razão. http://debian.linux/ 34 de 152 21-07-2013 17:19
    • 2.0 - Tipos de PG Uma Progressão Geométrica (PG) pode ser dos seguintes tipos principais: (1, 2, 4, 8, 16...) → Crescente (16, 8, 4...) → Decrescente (3, 3, 3, 3, 3,...) → Constante (1, -2, 4, -8,...) → Alternante (nesse caso, razão = -2) 3.0 - Termos de uma PG Seja a PG: (1, 2, 4, 8, 16...) Chamamos de a1, a2, a3, an o primeiro, segundo, terceiro e enésimo termo No exemplo acima, note que: a1 = 1 a2 = 2 a3 = 4 an pode ser qualquer termo que o problema quiser Razão (q) : valor multiplicado a cada termo anterior para obter o ermo posterior. No exemplo, a razão vale 2. 4.0 - Fórmula do Termo Geral Seja a PG: (1, 2, 4, 8, 16...) Note que a razão (q) vale 2. Note também que: a2 = a1 x q1 http://debian.linux/ 35 de 152 21-07-2013 17:19
    • a3 = a1 x q 2 a4 = a1 x q 3 an = a1 x q (n -1) an = am x q (n -m) Exemplo: Achar o número de termos da PG (1, 4, 16, ,..., 1024) Resolução: q = 4/1 = 4 an = 1024 a1 = 1 n = ? an = a1 x q (n -1) 1024 = 1 x 4 n - 1 1024 = 4n - 1 2 10 = 2 2(n - 1) 10 = 2(n - 1) 10 = 2n - 2 12 = 2n n = 6 5.0 - Interpolação Geométrica Interpolar x meios geométricos entre dois termos significa descobrir esses mesmos termos de tal forma que toda a sequência seja uma PG. Interpole 2 meios geométricos entre 5 e 40. Resolução: http://debian.linux/ 36 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5 _ _ 40 a4 = 40 n = 4 a1 = 5 q = ? an = a1 x q (n -1) 40 = 5 x q (4 -1) 8 = q3 q = 2 (5, 10, 20, 40) 6.0 - Propriedade Numa PG, o termo médio é a média geométrica dos termos equidistantes. Exemplo: (a1, a2, a3, a4, a5) 7.0 - Representações convenientes Em alguns exercícios é interessante reescrever a PG de outra forma. http://debian.linux/ 37 de 152 21-07-2013 17:19
    • 8.0 - Produto Exercício: Calcule o produto dos termos da PG (1, 2, 4, 8, ... , 512) Resolução: 9.0 - Soma de PG constante Termos dois casos: Primeiro Caso: (0, 0, 0, 0, 0) → A soma é zero Segundo Caso : (3, 3, 3, 3, 3) → Note que a soma = 3 x 8 = 24 No segundo caso (onde a razão é 1), vale a regra: http://debian.linux/ 38 de 152 21-07-2013 17:19
    • Sn = n x a1 10.0 - Soma de PG Finita (razão ≠ 1) Exercício Determine a soma dos seis primeiros termos de uma PG em que o sexto termo é 160 e a razão é igual a 2. 11.0 - Soma de PG Infinita Uma soma INFINITA pode dar um valor FINITO? Sim! Quando a razão da PG está no intervalo -1 < q < 1 a PG apresenta soma FINITA (também chamada de série convergente) http://debian.linux/ 39 de 152 21-07-2013 17:19
    • Exercício Determine a soma da PG: (1, ½, ¼, ...) Exercício Determine a fração geratriz da dízima periódica 1,333333... Primeiro Passo: Note que 1,333... = 1 + 0,333... Segundo Passo : Note que 0,333... = 0,3 + 0,03 + 0,003... Terceiro Passo: Note que isso equivale a: (3/10, 3/100, 3/1000, ...) Exercício Na figura abaixo, os triângulos são equiláteros e inscritos no ponto médio dos lados dos triângulos imediatamente maiores numa sequência infinita. Determinar a soma de todos os perímetros sabendo que o maior triângulo tem lado igual a 3. http://debian.linux/ 40 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Equação Exponencial 1.0 - Introdução Uma equação exponencial é aquela que possui a incógnita no expoente. Exemplo: 2 x = 4 Exemplo: Use a seguinte regra: Se a base é a mesma, os expoentes são iguais, desde que a base seja maior que zero e diferente de 1 a x = a y ⇒ y (a > 0 e a ≠ 1) Assim, por exemplo: 2 x = 2 4 ⇒ x = 4 2.0 - Exercício 1 Achar o valor de x na equação: 2 x = 64 http://debian.linux/ 41 de 152 21-07-2013 17:19
    • 2x = 64 2x = 2 6 x = 6 3.0 - Exercício 2 4.0 - Exercício 3 5.0 - Exercício 4 http://debian.linux/ 42 de 152 21-07-2013 17:19
    • 6.0 - Exercício 5 Achar o valor de x na equação: 2 x 2 - 5x + 6 = 1 2 x 2 - 5x + 6 = 1 2x 2 - 5x + 6 = 2 0 x 2 - 5x + 6 = 0 x = 2 ou x = 3 7.0 - Exercício 6 Achar o valor de x na equação: 4 x - 2 x - 2 = 0 http://debian.linux/ 43 de 152 21-07-2013 17:19
    • 8.0 - Exercício 7 Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Logaritmo 1.0 - Introdução Imagine você ter que resolver esses tipos de problema: ⌨ 10 x = 2 ⌨ 10 0,5 = 10 ½ = √10 = 3,16... ⌨ 10 = 0,3 = 10 3/1010 √10 3 = 10 √1000 = 1,995 http://debian.linux/ 44 de 152 21-07-2013 17:19
    • (...) ⌨ 10 0,3010 = 2 Note que o procedimento foi extremamente trabalhoso... Os logaritimos estão surgiram, entre outros motivos, para facilitar em quações exponenciais de maior complexidade. Através do conceito de logaritimos (e de algumas tabelas especiais que veremos em breve, o cálculo de equações exponenciais foi extremamente facilitado quando as bases não podem ser facilmente igualadas. Logaritmos apresentam várias aplicações na Ciência (são muitas as aplicações diretas: Química, Física, Engenharia, em mecanismos de criptografia, etc.) 2.0 - Definição logab = x ⇔ a x = b ♛ a > 0 ♛ a ≠ 1 ♛ b > 0 logab = x a = base b = logaritimando c = logaritimo Observação: a base 10 não precisa ser representada: log b = log10b log28 = 3 (afinal: 2 3 = 8) 3.0 - Exercício 1 Calcule log24 log24 2 x = 4 2x = 2 2 x = 2 http://debian.linux/ 45 de 152 21-07-2013 17:19
    • 4.0 - Exercício 2 Calcule log2 3 √16 5.0 - Outras Definições Cologaritimo(colog) e Antilogaritmo(antilog) 6.0 - Propriedades ༼ ༽ logaa = 1 (afinal: a 1 = a) ༼ ༽ loga1 = 0 (afinal: a0 = 1) ༼ ༽ logab = logac ⇔ b = c http://debian.linux/ 46 de 152 21-07-2013 17:19
    • ༼ ༽ a logab = b logab = logab 7.0 - Propriedades Adicionais Cuidado! ⨀ loga(b + c) ↦ Não existe propriedade específica ⨀ loga(b - c) ↦ Não existe propriedade específica Cuidado para não confundir com as seguintes propriedades válidas: logab + logac = loga(b x c) logab - logac = loga(b/c) 8.0 - Exercício 3 Simplifique: 10 2log100,1 102log100,1 10log100,1 2 = (0,1)2 = 0,01 alogab = b logab c = c x logab 9.0 - Exercício 4 http://debian.linux/ 47 de 152 21-07-2013 17:19
    • 10.0 - Exercício 5 11.0 - Exercício 6 Se log 2 = a e log 3 = b , calcule log 6 em função de a e b: log 6 = log(2 x 3) = log 2 + log 3 = a + b 12.0 - Exercício 7 http://debian.linux/ 48 de 152 21-07-2013 17:19
    • 13.0 - Exercício 8 Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Função Exponencial 1.0 - Introdução Uma função exponencial (similarmente ao que vimos na aula de Equação Exponencial) é aquela onde a variável está no expoente. http://debian.linux/ 49 de 152 21-07-2013 17:19
    • y = a x 2.0 - Exemplos Esboçar o gráfico da função y = 2 x Esboçar o gráfico da função y = (1/2) x http://debian.linux/ 50 de 152 21-07-2013 17:19
    • Esboçar o gráfico da função y = 2 x + 1 Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Função Logarítmica 1.0 - Introdução Uma função logarítimica é aquela onde a variável está no logaritmando. A função logarítimica é a inversa da função exponencial. y = logax Nota: a função acima é a inversa de y = a x http://debian.linux/ 51 de 152 21-07-2013 17:19
    • Assim, por exemplo, a inversa de y = log2x é y = 2 x Da mesma forma, a inversa de y = log1/2x é y = 1/2 x 2.0 - Dedução da Inversa Calcule a inversa da função y = log2x Dica: "Troque" o x pelo y e isole o y y = log2x x = log2y 2x = y y = 2 x 3.0 - Gráfico http://debian.linux/ 52 de 152 21-07-2013 17:19
    • As funções são simétricas em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Exemplos: Fonte: www.vestibulandia.com.br http://debian.linux/ 53 de 152 21-07-2013 17:19
    • Matemática Média: Logaritmo Decimal 1.0 - Introdução São logarítmos cuja a base é 10. Exemplo: log102 ou log 2 Lembramos: a base 10 não precisa ser representada. As calculadoras científicas normalmente trabalham apenas com a base 10 Nota: Sim. Existem calculadoras mais avançadas que trabalham com outras bases. 2.0 - Difinições Complementares Logaritmo Natural ou Neperiano Logaritmo cuja base é o número irracional e (e = 2,7182...) Representações: logex ιn x 3.0 - Característica e Mantissa A parte inteira é chamada de Característica. http://debian.linux/ 54 de 152 21-07-2013 17:19
    • A parte decimal é chamada de Mantissa. A Mantissa não se altera! Observe esses casos: 4.0 - Exercício Avançadíssimo Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Inequação Exponencial http://debian.linux/ 55 de 152 21-07-2013 17:19
    • 1.0 - Conceitos iniciais Assim como nas equações exponenciais, devemos igualar as bases para posteriormente concelá-las. Se as bases forem maiores que 1 a desigualdade é mantida Se as bases estiverem entre 0 e 1, devemos inverter a desigualdade 2.0 - Entendendo melhor as bases Se as bases estiverem entre 0 e 1, devemos inverter a desigualdade Observe: 3.0 - Exemplo 1 Resolva a inequação exponencial 2 x > 2 ¼ Note que a base 2 é MAIOR que 1 NÃO é necesário inverter a desigualdade. 2 x > 2 ¼ x > ¼ V = {x ∈ ℜ / x > ¼} 4.0 - Exemplo 2 http://debian.linux/ 56 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.0 - Exemplo 3 Resolva a inequação exponencial 2 x > 64 2 x > 64 2x > 2 6 x > 6 V = {x ∈ ℜ / x > 6} 6.0 - Exemplo 4 7.0 - Exemplo 5 Resolva a inequação exponencial 2 2x + 2 - 0,75 x 2 x + 2 < 1 http://debian.linux/ 57 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Inequação Logarítmica 1.0 - Conceitos iniciais Assim como nas equações logarítmicas, devemos igualar as bases para posteriormente cancelá-las. Se as bases forem maiores que 1 a desigualdade é mantida. Se as bases estiverem entre 0 e 1, devemos inverter a desigualdade. Cuidado! As condições de existência dos logaritmos continuam valendo: logba : b > 0 b ≠ 1 a > 0 http://debian.linux/ 58 de 152 21-07-2013 17:19
    • 2.0 - Entendendo melhor as bases Se as bases estiverem entre 0 e 1, devemos inverter a desigualdade. 3.0 - Exemplo 1 Resolva a inequação logarítmica log32x ≥ log34 4.0 - Exemplo 2 5.0 - Exemplo 3 http://debian.linux/ 59 de 152 21-07-2013 17:19
    • V = {x ∈ ℜ / -1 ≤ x < 0 ou 5 < x ≤ 6} Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Matrizes 1.0 - Noção Intuitiva A idéia de matriz se associa com a de uma tabela de números. O uso das matrizes no dia-a-dia é relativamente frequente: -Imagens da Internet (GIF, JPEG) -Planilhas Eletrônicas -Tabela de dados, etc. As matrizes terão impotância essencial no desenvolvimento de sistemas lineares. 2.0 - Representações Uma matriz pode ser representada de três formas: http://debian.linux/ 60 de 152 21-07-2013 17:19
    • 3.0 - Partes de uma Matriz Observação: FILEIRA pode ser uma linha ou uma coluna. 4.0 - Nomenclatura Amxn - Matriz A (m linhas e n colunas) aij - Elemento qualquer que está na linha i e coluna j 5.0 Lei de formação Uma matriz pode ser descrita também através de uma lei de formação. Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2x3 onde aij = i + j http://debian.linux/ 61 de 152 21-07-2013 17:19
    • 6.0 - Tipos de Matriz Uma matriz pode ser de vários tipos. Quanto às fileiras, temos: Ainda na matriz quadrada, temos: http://debian.linux/ 62 de 152 21-07-2013 17:19
    • Na matriz diagonal, quando todos os elementos da diagonal valerem 1 e os demais zero, teremos a matriz identidade. 7.0 - Igualdade de Matrizes Duas matrizes são iguais se (e somente se) são de mesma ordem (ou seja, igual número de linhas e colunas) e seus elementos correspndentes são iguais. http://debian.linux/ 63 de 152 21-07-2013 17:19
    • 8.0 - Soma de Matrizes Se duas matrizes possuem a mesma ordem, basta somarmos os elementos correspondentes. 9.0 - Propriedades da Soma São válidas as seguintes propriedades: 10.0 - Produto de Escalar por Matriz O que é? De maneira simplificada, é o produto de um número por uma matriza. Como fazer? Basta multiplicar o escalar por todos os elementos da matriz http://debian.linux/ 64 de 152 21-07-2013 17:19
    • 11.0 - Oposto de uma Matriz Suponha que A seja uma matriz. Ao multiplicarmos -1 por A vamos obter o oposto de A 12.0 - Subtração de Matrizes Sejam A e B matrizes de mesma ordem. Para se fazer A - B, basta fazer duas coisas: → Calcular o oposto de B → Adicionar A 13.0 - Produto de Matrizes http://debian.linux/ 65 de 152 21-07-2013 17:19
    • Antes de começarmos a fazer o produto entre matrizes, precisamos destacar alguns detalhes: → O produto AB é diferente de BA (a ordem importa!) → Seja A a primeira matriz do produto e B a segunda matriz. Para que exista o produto: o número de colunas da primeira matriz (A) deve ser igual ao número de linhas das segunda matriz (B) → O resultado terá o mesmo número de linhas da primeira matriz (A) e o mesmo número de colunas da segunda matriz (B). → Nos próximos quadros vamos apresentar o método de multiplicação. 13.1 - Exemplo de Produto 1 13.2 - Exemplo de Produto 2 http://debian.linux/ 66 de 152 21-07-2013 17:19
    • 14.0 - Revisão Se A é uma matriz 26 x 32 e B é uma matriz 32 x 26 , então, a matriz AB será: a) 26x26 b) 32x32 c)32x26 d)26x32 e)Não Existe 15.0 - Matriz Identidade (In) É a matriz quadrada onde: a) Todos os elementos da diagonal principal valem 1 b) Todos os demais elementos valem 0 Nota: Matriz quadrada: n° de linhas = n° de colunas 16.0 - Propriedade da Identidade (In) A Matriz Identidade é o elemento neutro da Multiplicação. http://debian.linux/ 67 de 152 21-07-2013 17:19
    • Sendo A uma matriz quadrada, e (In) uma matriz identidade de mesma ordem, temos: 17.0 - Propriedades do Produto As seguintes propriedades são válidas AB ≠ BA (normalmente)1. A(B + C) = AB + AC2. (B + C)A = BA + CA3. A x In = A4. 18.0 - Matriz Transposta É a matriz que obtemos transformando cada linha em coluna e vice-versa http://debian.linux/ 68 de 152 21-07-2013 17:19
    • 19.0 - Matriz Simétrica É quando uma matriz e sua transposta são iguais. Toda Matriz Identidade é Simétrica. 20.0 - Propriedades da Transposta As seguintes propriedades são válidas: 21.0 - Outras Matrizes Existem outros tipos de definições e conceitos envolvendo matrizes. ☎ Matrizes Inversas http://debian.linux/ 69 de 152 21-07-2013 17:19
    • ☎ Característica (ou Posto) de uma matriz Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Determinantes 1.0 - Noção Intuitiva Numa visão estremamente simplificada, o determinante é um número especial associado a uma tabela (matriz). Os conceitos envolvendo determinantes irão permitir (no Ensino Médio): → A resolução de Sistemas Lineares → A obtenção de Inversas de uma Matriz 2.0 - Representações Nota: Cuidado para não confundir com as notações já vistas em matrizes. 3.0 - Cálculo de uma Determinante Só calculamos determinantes de matrizes quadradas (mesmo n° de colunas e linhas). http://debian.linux/ 70 de 152 21-07-2013 17:19
    • Ordem 1: Quando tivermos um único elemento, o valor do determinante será o próprio elemento. Ordem 2: Quando tivermos uma matriz 2x2 , o valor da diagonal será o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. Ordem 3: Quando tivermos uma matriz 3x3 , poderemos resolver o determinante através da regra de Sarrus. Ordem > 3: http://debian.linux/ 71 de 152 21-07-2013 17:19
    • Com exceção do escalonamento (método que aprendemos mais adiante numa aula especial), não existem muito práticos cálculo desses determinantes(ordem maior que 3). E não se esqueça: Nós só calculamos determinantes de Matrizes Quadradas. 4.0 - Menor Complementar Menor Complementar (ou Matriz Complementar) é a matriz que se obtém ao eliminarmos a linha e a coluna de um elemento previamente escolhido. 5.0 - Cofator O Cofator (também chamado de complemento algébrico) é defindo da seguinte forma: 6.0 - Teorema Fundamental de Laplace Um determinante de uma matriz de ( no mínimo) ordem 2 é a soma dos podutos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. http://debian.linux/ 72 de 152 21-07-2013 17:19
    • 7.0 - Exemplo de Determinante de Ordem 4 Nota: Quanto mais zeros, mais fácil é o cálculo! 8.0 - Teorema de Jacobi Você notou como é trabalhoso resolver determinantes de ordem maior que três, correto? O teorema de Jacobi facilita o cálculo desses determinantes. Se somarmos a uma fila qualquer uma outra fila paralela que já tenha sido multiplicada por uma constante, o determinante não se altera. Nota: Filas paralelas: duas ou mais linhas OU duas ou mais colunas. Conclusão: Se conseguirmos "colocar muitos zeros" em uma coluna, nosso cálculo será mais fácil. http://debian.linux/ 73 de 152 21-07-2013 17:19
    • Agora veremos como aplicar o Teorema de Jacobi a outros Determinantes com "números ruins". Nota: Por comodidade vamos usar determinantes de ordem 3 , mas as mesmas técnicas podem ser utilizadas em determinantes de ordens maiores. 9.0 - Regra de Chió Se uma determinante possuir pelo menos um elemento igual a 1 é possível fazer o abaixamento da ordem usando a regra de Chió. E se não possuir nenhuma elemento igual a 1 ???? Use Jacobi e "consiga" um elemento igual a 1. http://debian.linux/ 74 de 152 21-07-2013 17:19
    • 10.0 - Propriedades Importantes Propriedade 1: Se a matriz possui uma fila nula, seu determinante é zero. Propriedade 2: Se a matriz possui duas filas iguais, seu determinante é zero. Propriedade 3: Se uma fila estiver multiplicada por um número qualquer, então todo o http://debian.linux/ 75 de 152 21-07-2013 17:19
    • determinante estará multiplicando por este número. Nota: Isso também prova que determinante de matriz com fila nula vale zero (P1). Propriedade 4: Se toda a matriz A de ordem n estiver multiplicada por um número qualquer (k) então a seguinte relação é válida: |kA| = k n x |A| Propriedade 5: Se a matriz possuir duas filas proporcionais, seu determinante será zero. Propriedade 6: Se trocarmos 2 filas paralelas de lugar, o determinante também muda de http://debian.linux/ 76 de 152 21-07-2013 17:19
    • sinal. 11.0 - Propriedades Adicionais O determinante de uma matriz e sua transposta são iguais |A| = |A t | Teorema de Binet: O determinante do produto é igual ao produto dos determinantes. (Desde que as matriz sejam quadradas e de mesma ordem, óbvio.) |A x B| = |A| x |B| 11.1 - Soma de Determinantes: Poderemos decompor um determinante na soma de outros dois determinantes desde que a soma de uma das filas correspodentes seja igual a do primeiro determinante e que as demais filas sejam iguais. 11.2 - Determinante de uma Matriz Diagonal Em uma matriz Diagonal (Superior, Inferior ou ambas simultaneamente) o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Nota: Essa propriedade é essencial para aprendemos Determinantes por http://debian.linux/ 77 de 152 21-07-2013 17:19
    • Escalonamento. 11.3 - Determinante de Vandermonde É um determinante especial onde os termos estão em progressão geométrica. Nota: As técnicas especiais de cálculos dos determinantes de Vandermonde SÓ VALEM para o determinante de Vandermonde. 12.0 - Determinante por escalonamento Já aprendemos que: Determinante de matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal principal. Escalonar significa deixar o determinante "na forma de uma escada" contendo apenas zeros. http://debian.linux/ 78 de 152 21-07-2013 17:19
    • Se a matriz estiver escalonada: O cálculo do determinante é imediato. Primeiro Caso: ordem 2 13.0 - Considerações Finais Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Matriz Inversa http://debian.linux/ 79 de 152 21-07-2013 17:19
    • 1.0 - Noção Intuitiva Vamos comparar produto de matrizes e produto de números(escalares) → Na multiplicação entre números, 0 1 é o elemento neutro: 15 x 1 = 15 → O inverso de um número é aquele que, multiplicado pelo próprio número, dá 1 5 x 1/5 = 1 (Logo, 5 é o inverso de 1/5 e vice-versa) → Se o número valer zero, não existe inverso. Não faz sentido 1/0!!! 2.0 - Cálculo da Inversa Para calcularmos a inversa pelo método tradicional, precisamos aprender dois novos conceitos. Nota: Não existe inversa se o determinante vale zero. Calcule sempre o determinante (quando for possível) ANTES de calcular a inversa. Vamos entender a Matriz Cofatora e a Matriz Adjunta 3.0 - Matriz Cofatora É a matriz onde cada elemento é substituído pelo seu respectivo cofator. Nota: Já aprendemos sobre cofatores nas aulas de Determinantes. 4.0 - Matriz Adjunta http://debian.linux/ 80 de 152 21-07-2013 17:19
    • É a transposta da cofatora. Nota: Já aprendemos sobre transpostas. 5.0 - Matriz Inversa É a matriz adjunnta divida pelo determinante da matriz original ou seja: Basta dividir CADA elemento da adjunta pelo determinante da matriz original. 6.0 - Notas Importantes Sempre que possível, ANTES de calcular a inversa, calcule o determinante (afinal, se o determinante for zero, não existe inversa, lembra?) É essencial dominar o cálculo de determinantes (e de todos os conceitos já vistos em matrizes). 7.0 - Exemplo 1 http://debian.linux/ 81 de 152 21-07-2013 17:19
    • 8.0 - Exemplo 2 Exemplo 2 (Cálculo da Cofatora) Exemplo 2 (Cálculo da Adjunta) Basta fazer a Transposta da Cofatora. http://debian.linux/ 82 de 152 21-07-2013 17:19
    • Exemplo 2 (Cálculo da Inversa) Já calculamos a cofatora e a adjunta. Só falta calcular o determinante. E usarmos a fórmula da inversa. 9.0 - Regra Prática (Ordem 2) http://debian.linux/ 83 de 152 21-07-2013 17:19
    • 10.0 - Elemento da Inversa 11.0 - Inversa (por combinações lineares) 12.0 - Exemplo 1 (matriz de ordem 2) http://debian.linux/ 84 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Introdução aos Sistemas Lineares 1.0 - Noção Intuitiva Uma equação linear é uma equação que apresenta em sua estrutura APENAS a soma* das variáveis (cada uma delas multiplicada por uma constante) e cujo resultado é um número real (chamado de termo independente). Nota: Nesse inicio do curso trabalharemos com os casos mais simples (duas variáveis). Posteriormente teremos um post específico com os casos mais complexos. 2.0 - Exemplos e contra-exemplos http://debian.linux/ 85 de 152 21-07-2013 17:19
    • 3.0 - Sistema de equações (noção intuitiva) → Em um sistema de equações lineares temos um conjunto limitado de equações lineares. Como resolver ? Existem MUITAS formas de se resolver um sistema de equações: por tentativa, gráficos, etc. Os mais importantes métodos são: → Comparação → Substituição → Adição → Método de Cramer → Escalonamento Nota 1: Os dois últimos métodos serão vistos num outro post Nota 2: Os três primeiros métodos são bons apenas com sistemas simples. 4.0 - Método Comparação Para usar este método, basta escolher uma variável qualquer, isolá-la e comparar os resultados com os da outra equação. http://debian.linux/ 86 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.0 - Método Substituição 6.0 - Adição Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Sistemas Lineares http://debian.linux/ 87 de 152 21-07-2013 17:19
    • 1.0 - Forma Matricial É possível escrever um sistema na forma de um produto de matrizes.Observe: Nota: Apesar de ser possível resolver sistemas usando apenas matrizes, não procederemos desta forma pois o método é bastante trabalhoso. No entanto é recomendável conhecer a forma matricial. 2.0 - Método de Cramer Antes de começarmos precisamos definir alguns conceitos: Matriz dos coeficientes: Matriz que se obtém através dos coeficientes das variáveis. Como resolver um sistema por Cramer? a) - Calcule o determinante da Matriz dos Coeficientes. (Vamos chamá-lo de D) b) - Para cada incógnita, devemos substituir sua respectiva coluna pelos elementos da matriz dos termos independentes na matriz dos coeficientes e calcular seus respectivos http://debian.linux/ 88 de 152 21-07-2013 17:19
    • determinantes (vamos chamá-las de Dx, Dy, ... Etc.) c) - Para achar o valor de cada incógnita, basta dividir o resultado encontrdo no passo 2 pelo resultado encontrado no passo 1 Nota: Ainda não falaremos dos sistemas impossíveis e indeterminados. Exemplo: (3 INCÓGNITAS) A idéia de cálculo é a mesma que na aula anterior. Devemos calcular primeiro o determinante dos coeficientes e depois um determinante relacionado a cada variável. Cuidado! Antes de resolver o sistema, cada incógnita deve ocupar apenas uma única coluna. http://debian.linux/ 89 de 152 21-07-2013 17:19
    • 3.0 - Escalonamento O escalonamento de sistemas lineares é considerado o melhor método pela a maioria dos professores de Matemática. Em alguns casos ele acaba sendo mais versátil que o método de Cramer. É um sistema onde a disposição das linhas lembra uma escada. Um sistema escalonado é praticamente um sistema já resolvido. http://debian.linux/ 90 de 152 21-07-2013 17:19
    • PROCEDIMENTO Para usar escalonamento, siga os passos: a) Crie uma nova matriz usando os coeficientes e os termos independentes. b) Através de combinações entre linhas "faça aparecer zeros" de maneira que a matriz fique escalonada. c) Quando a matriz estiver escalonada, encontrar os valores das incógnitas fica muito fácil. outro exemplo: http://debian.linux/ 91 de 152 21-07-2013 17:19
    • CUIDADOS A TOMAR Você aprendeu que é possível'escalonar um determinante. Você aprendeu que é possível escalonar um sistema linear. Existem ligeiras diferenças nos dois métodos. Basicamente temos duas diferenças principais: Escalonamento de Determinante: Se você trocar duas linhas de lugar isso altera o sinal do determinante. Escalonamento de Sistema Linear: Se você trocar duas linhas de lugar não muda nada. Escalonamento de Determinante: Uma combinação linear entre duas linhas só pode ser colocada no lugar da linha somada. Escalonamento de Sistema Linear: Uma combinação linear entre duas linhas pode substituir qualquer uma das linhas usadas na combinação http://debian.linux/ 92 de 152 21-07-2013 17:19
    • CONCLUSÃO Em determinantes temos que ser mais "cuidadosos" do que em sistemas lineares. Não confunda escalonamento de determinante com escalonamento de sistema linear (no sistema linear as regras são um pouco mais brandas). 4.0 - Discussão de Sistemas Lineares Existem três tipos de sistemas lineares: → Sistema Possível e Determinado (SPD) → Sistema Possível e Indeterminado (SPI) → Sistema Impossível (SI) Sistema Possível e Determinado (SPD) É quando as incógnitas são perfeitamente determinadas. Sistema Possível e Indeterminado (SPI) É quando não é possível descobrir o valos das incógnitas. Vamos ver 2 exemplos: O sistema acima também possui infinitas respostas (é indeterminado). Note que a segunda equação é uma combinação linear da primeira. Sistema Impossível (SI) É quando o sistema apresenta possibilidades absurdas. http://debian.linux/ 93 de 152 21-07-2013 17:19
    • Como é possível a soma dos mesmos dois números dar dois resultados distintos? ABSURDO, o sistema abaixo é IMPOSSÍVEL. CRAMER (discussão de sistemas) Antes de falarmos do Método de Cramer (na discussão de sistemas) vamos recordar alguns conceitos na divisão entre números. http://debian.linux/ 94 de 152 21-07-2013 17:19
    • Parâmetro Variável e Incógnita Noção Intuitiva de Parâmetro, Variável e Incógnita: - Em funções e inequações (por exemplo) usamos principalmente variáveis. http://debian.linux/ 95 de 152 21-07-2013 17:19
    • - Em equações usamos principalmente incógnitas. Roteiro (Utilizando Cramer) Exercício 1: http://debian.linux/ 96 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.0 - Discussão de Sistemas (Escalonamento) No escalonamento de sistemas , podemos ter três casos. Dica: Observe a última linha e compare. http://debian.linux/ 97 de 152 21-07-2013 17:19
    • Exercício 1: http://debian.linux/ 98 de 152 21-07-2013 17:19
    • 6.0 - Sistema Homogêneo http://debian.linux/ 99 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Módulo - Conceitos Iniciais 1.0 - Noção Intuitiva Vamos realizar algumas operações de subtração: 5 - 3 = 2 3 - 5 = -2 Podemos então dizer que o valor absoluto (também chamado de módulo) http://debian.linux/ 100 de 152 21-07-2013 17:19
    • do valor acima é exatamente o mesmo nas duas operações. Ou seja, |3 - 5| = 2 E, da mesma forma, |5 - 3| = 2 Em algumas situações, valores negativos podem parecer absurdos: Qual a distância entre dois postes em uma rodovia retilínea se um deles fica no segundo quilômetro da rodovia e o outro fica no quinto quilômetro da mesma rodovia? A distância vale 5 - 2 = 3 km (o maior valor menos o menor valor) Resposta: A distância vale 3 km. O módulo facilita o problema anterior. Observe: A distância vale |2 - 5| = 3 km Mas nós também poderíamos dizer que: A distância vale |5 - 2| = 3 km Note que, utilizando módulo, as duas diferenças acima dão o mesmo valor, independente da ordem. 2.0 - Exemplo de Aplicação http://debian.linux/ 101 de 152 21-07-2013 17:19
    • 3.0 - Definição Já vimos que o módulo torna positivo o valor de uma expressão. A definição matemática de módumo é: 4.0 - Propriedades As seguinte propriedades são válidas: http://debian.linux/ 102 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Equações Modulares Módulo ou valor absoluto de um número estão associados a sua distância do ponto de origem, observe a representação a seguir: Percebemos que a distância entre os números é a mesma, dessa forma dizemos que o valor absoluto dos números – 4 e + 4, indicados por |– 4| e |+ 4|, será 4. O módulo ou valor absoluto de um número x pode ser indicado pelo próprio x, se x é positivo ou nulo, e o simétrico de x, se x é negativo. Observe a conclusão geral: http://debian.linux/ 103 de 152 21-07-2013 17:19
    • Exemplos a) |+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3 b) |10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10 c) |x – 4| = x – 4, se x – 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 4 – (x – 4), se x – 4 < 0, ou seja, x < 4 Equações Modulares Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita. Exemplos de equações modulares: |x| = 7 |x + 6| = x + 6 |x – 3| + 4x = 7 |x + 2| = 4 Formas de resolução Exemplo 1 |x + 2| = 4 Condições: x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 Resolução: x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 S = {–6; 2} Exemplo 2 |4x – 8| = x + 1 Condições: http://debian.linux/ 104 de 152 21-07-2013 17:19
    • |4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1. |4x – 8| = x + 1 4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1) Resolução: 4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3 4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7/5 Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3} Exemplo 3 |x + 1| = |x – 3| x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível) x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1 Solução: {1} Exemplo 4 |x² – 5x + 6| = 2 x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais) x’ = 1 e x” = 4 x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais) Solução: {1,4} Fonte: http://www.brasilescola.com Matemática Média: Função Modular http://debian.linux/ 105 de 152 21-07-2013 17:19
    • 1.0 - Noção Intuitiva Função é uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio. A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. De maneira mais formal, podemos definir função modular como: f(x) = |x| ou y = |x| A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características: f(x) = x, se x≥ 0 ou f(x) = – x, se x < 0 Essas características decorrem da definição de módulo. Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x| Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica: http://debian.linux/ 106 de 152 21-07-2013 17:19
    • A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo. Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x| Solução: pela definição de módulo, temos que: f(x) = x2 – 3x, se x≥ 0 e f(x) = – (x2 – 3x), se x<0 Daí, segue que: x2 – 3x = 0 x = 0 ou x = 3, logo : Temos também que: – (x2 – 3x) = 0 x = 0 ou x = 3 Daí, segue que: Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x| http://debian.linux/ 107 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: http://www.brasilescola.com Matemática Média: Inequação Modular No estudo do número modular, o módulo consiste no valor absoluto de um número (x) e é indicado com |x|, o número real não negativo que satisfaz: Contudo, iremos estudar desigualdades envolvendo números modulares, consistindo, então, nas inequações modulares. Utilizando a propriedade anterior, vejamos uma desigualdade: Essas situações se repetem para os demais números, sendo assim, vejamos, de maneira geral, tal situação para um valor k (real positivo). Conhecendo essa propriedade, somos capazes de solucionar as inequações modulares. Exemplo 1) Resolva a inequação |x – 3|< 6. Pela propriedade, temos que: Exemplo 2) Resolva a inequação: |3x – 3| ≥ 2x + 2. Precisamos determinar os valores do módulo, com isso, temos: http://debian.linux/ 108 de 152 21-07-2013 17:19
    • Sendo assim, teremos duas possibilidades para a inequação. Portanto, deveremos analisar duas inequações. 1ª possibilidade: Fazendo a intersecção das inequações (3) e (4), obtemos o seguinte conjunto solução: 2ª possibilidade: Fazendo a intersecção das inequações (5) e (6), obtemos o seguinte conjunto solução: Portanto, a solução é dada pela união das duas soluções obtidas: Fonte: http://www.brasilescola.com Matemática Média: Fatorial 1.0 - Noção Intuitiva O fatorial de uma número n (n ∈ N)(representado por n!) é definido como: http://debian.linux/ 109 de 152 21-07-2013 17:19
    • 2.0 - Exemplos (e Contraexemplos) 3.0 - Operações Abaixo alguns exemplos de simplificação 4.0 - Exemplo 1 Simplifique a expressão http://debian.linux/ 110 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.0 - Exemplo 2 Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Binômio de Newton 1.0 - Número Binomial http://debian.linux/ 111 de 152 21-07-2013 17:19
    • 2.0 - Binomiais Complementares Dois binomiais são iguais se forem complementares OU se os termos correspondentes forem iguais. 3.0 - Triângulo de Pascal É possível ordenar os números binomiais numa tabela como mostrada abaixo: http://debian.linux/ 112 de 152 21-07-2013 17:19
    • 3.1 - Propriedade 1 (Teorema das linhas): A somatória dos elementos de cada linha vale 2 n onde n é o numerador comun de cada linha. 3.2 - Propriedade 2: (Relação de Stifel) A soma de dois elementos consecutivos está abaixo do elemento mais à direita. 3.3 - Existem outras propriedades (...) 4.0 - Binômio de Newton Cada termo do desenvolvimento da potência (a + b)n se associa com o desenvolvimento de um binomial no Triângulo de Pascal. http://debian.linux/ 113 de 152 21-07-2013 17:19
    • Desenvolvimento: O desenvolvimento de (a + b)n equivale a: 5.0 - Fórmula do Termo Geral 6.0 - Exemplo 1 Qual o coeficiente de b 3 no desenvolvimento de (a + b) 5 ? http://debian.linux/ 114 de 152 21-07-2013 17:19
    • 6.1 - Método Ruim Por binômio de Newton é BEM MENOS trabalhoso. 7.0 - Exemplo 2 Qual o coeficiente de x 4 no desenvolvimento de (3x + 2y) 5 ? 8.0 - Exemplo 3 Qual o coeficiente de x 2 no desenvolvimento de (2 - 3x) 5 ? http://debian.linux/ 115 de 152 21-07-2013 17:19
    • 9.0 - Exemplo 4 10.0 - Exemplo 5 Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Análise Combinatória http://debian.linux/ 116 de 152 21-07-2013 17:19
    • 1.0 - Introdução A Análise Combinatória procura resolver problemas de contagem. Ás vezes, contar pode ser algo bastante confuso ou trabalhoso. Nesses casos , através de métodos especiais, é possível obter resultados de um modo mais rápido. Para que serve? No planejamento urbano (determinação de combinações possíveis de placas de carros), na teoria dos jogos etc. Aprenderemos vários métodos. 2.0 - Diagrama de Árvore Representação que facilita a enumeração de eventos relacionados. Um homem possui 3 camisas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa? R: 6 possibilidades 3.0 - Princípio Fundamental da Contagem Se um evento depende de duas ou mais etapas independentes a quantidade de ocorrências é o produto das etapas intermediárias. Um homem possui 3 camisas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa? R: 3 x 2 = 6 maneiras diferentes Exemplo 1: Sabendo que as placas de carro possuem 3 letras e 4 números, quantas combinações são possíveis? (Indique cálculos) http://debian.linux/ 117 de 152 21-07-2013 17:19
    • Caso você calcule, o resultado será 175.760.000 placas possíveis. Exemplo 2: Quantos números (de 3 algarismos distintos) podemos montar com os números 1, 2, 3, 4 e 5 ? Resposta: 60 números distintos. Exemplo 3: Quantos números (de 3 algarismos distintos) podemos montar com os números 0, 1, 2, 3 e 4 ? Resposta: 48 números distintos. Cuidado: 024, 013 .. São números de 2 algarismos! Exemplo 6: Quantos números (de 3 algarismos distintos) que começam com 2 podemos montar com os números 0, 1, 2, 3 e 4 ? http://debian.linux/ 118 de 152 21-07-2013 17:19
    • Exemplo 5: Quantos números PARES (de 3 algarismos distintos) podemos montar com os números 0, 1, 2, 3 e 4 ? Resposta: 12 + 18 = 30 números pares distintos. Cuidado: Ao considerar os pares, não esqueça que o zero não pode vir no começo! Divida o exercício em casos. 4.0 - Arranjos Através do Princípio Fundamental da Contagem (que aprendemos nas aulas anteriores, podemos criar alguns conceitos que facilitam muito os cálculos e a resolução de problemas de Combinatória). Um Arranjo pode ser de dois tipos: ♣ Arranjo com Repetição ♣ Arranjo Simples (também chamado de Arranjo) 4.1 - Arranjo com Repetição Nos arranjos (com repetição ou simples) A ORDEM É IMPORTANTE. Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjos. Se em um grupo for possível repetir os elementos (como o próprio nome sugere) teremos um ARRANJO COM REPETIÇÃO. http://debian.linux/ 119 de 152 21-07-2013 17:19
    • Exemplo: Em uma urna há 4 fichas diferentes numeradas de 1 a 4. Uma pessoa retira uma ficha, anota o número da mesma em um papel e recoloca a ficha na urna, repetindo o processo mais três vezes, criando uma sequência de quatro números. Quantas sequencias diferentes são possíveis neste caso? 4.2 - Arranjo simples No arranjo simples (ou simplesmente "arranjo"), a ordem também é importante. Sempre que tivermos a formação de grupos onde a orden seja levada em conta, estaremos falando em arranjos. Se tivermos grupos sem repetição, teremos um Arranjo. http://debian.linux/ 120 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.0 - Permutação Noção Intuitiva: A Permutação é um caso particular de Arranjo. Se a ordem for importante e todos os elementos forem distribuídos em um Arranjo, teremos um caso de Permutação. Existem 3 tipos de Permutação: ♣ Permutação Simples ♣ Permutação com Repetição ♣ Permutação Circular 5.1 - Permutação Simples Uma permutação onde NÃO HÁ repetição dos elementos. Exemplo: Qual é o total de anagramas da palavra VESTIBULAR? Nota 1: Anagrama: "arrumação" possível com as letras de uma palavra. Por exemplo, "VSETIBULAR" é anagrama de VESTIBULAR Nota 2: Você vai usar TODAS as letras? Sim! A ordem é importante? SIM! Então é um caso de Permutação. http://debian.linux/ 121 de 152 21-07-2013 17:19
    • http://debian.linux/ 122 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.2 - Permutação com Repetição 5.3 - Permutação Circular http://debian.linux/ 123 de 152 21-07-2013 17:19
    • 6.0 - Revisão 7.0 - Combinação Se em determinado grupo a ordem NÃO FOR IMPORTANTE , teremos uma Combinação. Exemplo: http://debian.linux/ 124 de 152 21-07-2013 17:19
    • Exemplo Mega-Sena: Na Mega-Sena existem 60 números diferentes. A cada sorteio são retirados 6 números distintos . Quantos resultados (para cada sorteio) são possíveis Exemplo Quina da Mega-Sena: Na Mega-Sena existem 60 números diferentes. A cada sorteio são retirados 6 números distintos . Chama-se QUINA o acerto de 5 dos 6 números possíveis . Para cada resultado, quantas QUINAS existem? Note que para acertar a Quina você deve NECESSARIAMENTE acertar 5 números E errar 1 número. Exemplo Quadra da Mega-Sena: Na Mega-Sena existem 60 números diferentes. A cada sorteio são retirados 6 números distintos . Chama-se QUADRA o acerto de 4 dos 6 números possíveis . Para cada resultado, quantas QUADRAS existem? Note que para acertar a Quadra você deve NECESSARIAMENTE acertar 4 números E errar 2 número. http://debian.linux/ 125 de 152 21-07-2013 17:19
    • 8.0 - Casos Clássicos http://debian.linux/ 126 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Probabilidade 1.0 - Introdução A Probabilidade é uma das partes da Matemática que se preocupa com o estudo e quantificação das incertezas. Exemplo: Imagine um baralho convencional de 52 cartas. Calcule a probabilidade de se retirar: 1(Um) Rei(K): Resposta: 0,07 ou 7%. Exercício: (Unesp 2010) - Um jovem, à procura de emprego, foi selecionado por duas indústrias que estavam localizadas de lados opostos em relação à sua residência. Como não havia vantagens financeiras nem trabalhistas entre as ofertas, decidiu optar pelo emprego cuja probabilidade de pegar o primeiro trem que passasse ao chegar à estação fosse maior, fosse esse para direita ou para esquerda. Na estação ferroviária, foi informado de que os trens para DIREITA passavam nos horários 0h10, 0h40, 1h10, 1h40, 2h10, ... , 23h40 , enquanto que os trens para a esquerda passavam nos horários 0h00, 0h30, 1h00, 1h30, 2h00, ... , 23h30 , diariamente, de domingo a domingo. Que emprego o jovem escolheu, o da indústrias localizada à direita ou à esquerda de sua residência ? Justifique matematicamente sua resposta. http://debian.linux/ 127 de 152 21-07-2013 17:19
    • 2.0 - Probabilidade da União de 2 eventos Exemplo: Qual a probabilidade de sair número par OU número maior que 2 em um dado? 3.0 - Probabilidade e Combinatória Em muitos casos é impraticável listar todos os casos possíveis de um evento. Em outros, a contagem dos elementos de um evento pode ser confusa. Nas duas situações, utilizar conceitos de Combinatória são essenciais. Exercício 1: Um casal deseja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de que pelo menos um deles seja menino? (Considere que as chances para menino ou menina são as mesmas) Primeiro Modo: DIAGRAMA DE ÁRVORE http://debian.linux/ 128 de 152 21-07-2013 17:19
    • Segundo Modo: ARRANJO COM REPETIÇÃO Exercício 2: Para ganhar o maior prêmio da Mega-Sena, um apostador precisa acertar 6 números entre os 60 possíveis. Calcule essa probabilidade. Exercício 3: Para ganhar a quina da Mega-Sena, um apostador precisa acertar 5 números entre os 60 possíveis. Calcule essa probabilidade. http://debian.linux/ 129 de 152 21-07-2013 17:19
    • Exercício 4: Qual a probabilidade do apostador ganhar a Mega-Sena se, ao invés de apostar 6 números ele apostar 8 números em um jogo? 4.0 - Probabilidade Condicional http://debian.linux/ 130 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: www.vestibulandia.com.br Matemática Média: Noções de Geometria e Trigonometria 1.0 - Noções de Geometria A Geometria propriamente dita será divida em: ✔ Geometria Plana ✔ Geometria Espacial de Posição ✔ Geometria Espacial Métrica ✔ Geometria Analítica 2.0 - Perímetro É a soma dos lados de um polígono. Veja os exemplos abaixo: Perímetro do Quadrado: 12 Perímetro do Triângulo: 12 3.0 - Área É a medida da superfície. 3.1 - Área do Triângulo http://debian.linux/ 131 de 152 21-07-2013 17:19
    • 3.2 - Área do Quadrado http://debian.linux/ 132 de 152 21-07-2013 17:19
    • 3.3 - Área do Retângulo 3.4 - Área do Paralelogramo 3.5 - Área do Losango http://debian.linux/ 133 de 152 21-07-2013 17:19
    • 3.6 - Área do Trapézio 3.7 - Circunferência e Círculo http://debian.linux/ 134 de 152 21-07-2013 17:19
    • Circunferência: Lugar geométrico dos pontos que possuem a mesma distância de um determinado ponto, chamado CENTRO. Círculo: É a união da circunferência com seu interior. Conceitos importantes: Raio: É a distância do centro a qualquer ponto da circunferência. Diâmetro: Corda que passa pelo centro (mede o dobro do raio) 3.7.1 - O número π http://debian.linux/ 135 de 152 21-07-2013 17:19
    • 3.7.2 - Perímetro da Circunferência O Perímetro é o comprimento da circunferência. Prova-se que o perímetro C da circunferência vale: C = 2πR 3.7.3 - Área do Círculo A área do Círculo é dada por: A = πr 2 4.0 - Exercícios http://debian.linux/ 136 de 152 21-07-2013 17:19
    • http://debian.linux/ 137 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.0 - Noções de Trigonometria 5.1 - Reta, semi-reta e segmento de reta Simbologia: 5.2 - Ângulos É a união de duas retas distintas que possuem uma origem comum. http://debian.linux/ 138 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.2.1 - Ângulos Consecutivos Quando dois ângulos possuem um lado em comum, dizemos que eles são consecutivos. http://debian.linux/ 139 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.2.2 - Ângulos Adjacentes Quando dois ângulos consecutivos não possuírem pontos internos comuns eles serão adjacentes (um estará "ao lado" do outro) AÔB e BÔC são consecutivos (pois OB é um lado comum) e são adjacentes (pois não possuem pontos internos comuns) 5.2.3 - Medidas de Ângulos Se dividirmos um círculo em 360 "fatias" finas, cada uma dessas fatias poderá ser chamada de grau. http://debian.linux/ 140 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.2.4 - O Ângulo Raso O ângulo formado entre um segmento de reta e o seu prolongamento é um ângulo raso (180°). 5.2.5 - O Ângulo Reto Um dos ângulos mais importantes é o ângulo reto. Um ângulo reto (90°) possui a metade da medida de um ângulo raso (180°). http://debian.linux/ 141 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.2.6 - O Triângulo O Triângulo é uma figura geométrica que apresenta 3 lados (e três ângulos internos). 5.2.6.1 - O Triângulo Retângulo O triângulo retângulo é aquele onde um dos ângulos internos apresenta 90 graus. http://debian.linux/ 142 de 152 21-07-2013 17:19
    • 5.2.6.1.1 - Elementos do Triângulo Retângulo ✔ Hipotenusa: Lado oposto ao ângulo de 90° (maior lado) ✔ Catetos: Lados que formam o ângulo de 90° 6.0 - Teorema de Pitágoras Existe uma relação importantíssima entre os lados de um triângulo retângulo. Se a é hipotenusa, b e c são catetos, vale a relação: a 2 = b 2 + c 2 Essa relação é conhecida como Teorema de Pitágoras. 6.1 - Exemplo de aplicação Em um triângulo retângulo os catetos medem 3 e 4. Determine a medida da hipotenusa. http://debian.linux/ 143 de 152 21-07-2013 17:19
    • 6.2 - Cateto Oposto e Cateto Adjacente Quando nos referimos a um ângulo no triângulo retângulo, precisamos identificar 3 elementos: ✔ Hipotenusa: é sempre oposta ao angulo de 90° ✔ Cateto oposto: é o cateto que NÃO PARTICIPA de um ângulo. ✔ Cateto adjacente: é o cateto que participa de um ângulo. 7.0 - Razões Trigonométricas Podemos definir três razões importantes no triângulo retângulo: ✔ Seno: É a razão entre o cateto oposto a um ângulo e a hipotenusa. ✔ Cosseno (ou Co-seno): É a razão entre o cateto adjacente a um ângulo e a hipotenusa. ✔ Tangente: É a razão entre o cateto oposto a um ângulo e o cateto http://debian.linux/ 144 de 152 21-07-2013 17:19
    • adjacente a esse mesmo ângulo (também podemos dizer que é a razão entre o seno e o cosseno). No triângulo abaixo, temos: 7.1 - Exercício: Observação: Não podemos utilizar as razões trigonométricas para triângulos que NÃO SÃO RETÂNGULOS. http://debian.linux/ 145 de 152 21-07-2013 17:19
    • 8.0 - Ângulos notáveis Os ângulos notáveis são (como o próprio nome sugere) ângulos de fácil obtenção e cálculo. São os ângulos de 30° , 45° , 60° e seus respectivos valores de seno, cosseno e tangente devem ser memorizados. Os ângulos de 30° e 60° surgem do Triângulo Equilátero. Um triângulo equilátero possui 3 lados iguais e também 3 ângulo iguais (cada ângulo vale 60°) http://debian.linux/ 146 de 152 21-07-2013 17:19
    • http://debian.linux/ 147 de 152 21-07-2013 17:19
    • http://debian.linux/ 148 de 152 21-07-2013 17:19
    • 8.1 - Exercício Simples http://debian.linux/ 149 de 152 21-07-2013 17:19
    • http://debian.linux/ 150 de 152 21-07-2013 17:19
    • http://debian.linux/ 151 de 152 21-07-2013 17:19
    • Fonte: www.vestibulandia.com.br http://debian.linux/ 152 de 152 21-07-2013 17:19