Sistema de numeração

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Sistema de Numeração: Binário, Octal e Hexadecimal

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Sistema de numeração

  1. 1. Professor: Marcelo Vianello (MsC.) AULA 2 Organização e Arquitetura de Computadores
  2. 2. Objetivo da Aula Apresentar os conceitos dos Sistema de Numeração, destacando o sistema decimal, binário, octal e hexadecimal
  3. 3. Conteúdo Geral da Aula 1. Introdução 2. O Sistema Binário de Numeração 3. O Sistema Octal de Numeração 4. O Sistema Hexadecimal de Numeração
  4. 4. 1. Introdução
  5. 5. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 1. INTRODUÇÃO O homem, através dos tempos, sentiu a necessidade da utilização de sistemas numéricos. Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam:  O sistema decimal;  O sistema binário;  O sistema octal;  E o sistema hexadecimal.
  6. 6. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 1. INTRODUÇÃO O sistema decimal é utilizado por nós no dia-a-dia e é, sem dúvida, o mais importante dos sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui 10 (dez) algarismos, com os quais podemos formar qualquer número através da lei da formação. Os outros sistemas (binário, octal e hexadecimal) são importantes nas áreas de técnicas digitais e informática.
  7. 7. 2. O Sistema Binário de Numeração
  8. 8. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO No sistema binário de numeração, existem apenas dois (02) algarismos. São eles:  O algarismos “0” (zero) e  O algarismo “1” (um)
  9. 9. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO Informação Importante. Se não possuímos o algarismo 2 nesse sistema, como devemos representá-lo? No sistema decimal, não possuímos o algarismo “dez”, e representamos a quantidade de uma dezena utilizando o algarismo “1”, seguido do algarismo “0”. Neste caso, significará que temos um grupo de uma dezena e o algarismo “0” nenhuma unidade, o que significa “dez”. No sistema binário é a mesma coisa. Agimos da mesma forma. Para representarmos a quantidade “dois”, utilizamos o algarismo “1” seguido do algarismo “0”. O algarismo 1 significará que temos um grupo de “dois” elementos e o “0” o grupo de nenhuma unidade, representando assim o número “dois”.
  10. 10. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO
  11. 11. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2. SISTEMA BINÁRIO DE NUMERACÃO Cada dígito binário recebe a denominação de bit (binary digit). O conjunto de 4 bits é denominado de nibble e um conjunto de 8 bits corresponde a um byte ou octeto (Binary Term – muito utilizado para especificar o tamanho ou a quantidade de memória e a capacidade de armazenamento de um determinado dispositivo). Termo bastante utilizado na área de informática.
  12. 12. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL Para explicar a conversão, vamos utilizar como exemplo, o número decimal 594. Este número significa o seguinte: (5 x 100) + (9 x 10) + (4 x 1) = 594 Esquematicamente, temos: dezena 101) 100) 1 9 4 unidade 102) 10 5 centena 100 (5 x + (9 x + (4 x = 594 102 5 101 100 9 4 Utilizando o conceito básico de formação de um número, podemos obter a mesma equivalência, convertendo assim o número binário para o sistema decimal.
  13. 13. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL Para explicar a conversão do sistema binário para o sistema decimal, vamos utilizar como exemplo, o número binário 1012. 22 21 20 1 0 1 = (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 5 Portanto, o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. Para melhor identificação do número, colocaremos como índice, a base do sistema ao qual o número pertence. Para o nosso exemplo, podemos escrever: 510 = 1012
  14. 14. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL Exemplo: 22 21 20 1 0 1 = (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) = 5 Seguindo o exemplo acima, façam a conversão do sistema binário para o sistema decimal: a) 10012 b) 011102 c) 10102 d) 11001100012 e) 10112 f) 111112
  15. 15. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.1 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA DECIMAL a) 10012 (1 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) (1 x 20) = 910 b) 011102 (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) (0 x 20) = 1410 c) 10102 (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) = 1010 d) 11001100012 (1 x 29) + (1 x 28) + (1 x 25) + (1 x 24) + (1 x 20) = 512+256+32+16+1 = 81710 e) 10112 (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) = 1110 f) 111112 (1 x 24) + (1 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) = 3110
  16. 16. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Veremos agora a conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário. Para este tipo de conversão, basta você dividir o número decimal por 2, conforme demonstrado no exemplo a seguir, com o número decimal 47. 47 1º resto 2 1 23 1 2º resto 3º resto 4º resto 5º resto 6º resto 4710 = 1011112 2 11 2 1 5 1 2 2 2 0 1
  17. 17. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO (LSB) (MSB) O último quociente será o algarismo mais significativo e ficará colocado à esquerda. Os outros algarismos seguem na ordem até o 1° resto. 4710 = 1011112 O bit menos significativo de um número binário recebe a notação de LSB (Least Significant Bit) e o bit mais significativo de MSB (Most Significant Bit)
  18. 18. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.2 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Façam as conversões dos números decimais mencionados abaixo, para o para o sistema binário, utilizando o método das divisões sucessivas. a) 400 b) 21 c) 552 d) 715 e) 27 f) 45 g) 28
  19. 19. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.3 CONVERSÃO NÚMEROS BINÁRIO FRACIONÁRIOS EM DECIMAIS Seguindo o mesmo método apresentado anteriormente, só que agora, utilizando um número decimal fracionário qualquer, por exemplo, o número 10,5 e, aplicando a regra básica de formação de um número, temos: 101 100 10-1 1 0 5 = (1 x 101) + (0 x 100) + (5 x 10-1) = 10,5 Para números binários, agimos da mesma forma. Vamos transformar em decimal o número 101,1012. 22 21 20 2-1 2-2 2-3 1 0 1 1 0 1 = (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20) + (1 x 2-1) + (0 x 2-2) + (1 x 2-3) = = x 1/8) = 5,625 4 + 0 + 1 + 0,5 + (0 x ¼) + (1 10 = 101,1012
  20. 20. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.3 CONVERSÃO NÚMEROS BINÁRIO FRACIONÁRIOS EM DECIMAIS Façam a conversão dos números binários mencionados abaixo, para o sistema decimal. a) 1010,11012 b) 111,0012 c) 100,110012
  21. 21. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS Vamos tomar como exemplo, o número decimal fracionário 8,375 e convertêlo para binário. Este número significa: 8 + 0,375 = 8,375 1º Passo: Transformar a parte inteira do número, como já vimos anteriormente: 8 LSB 2 0 4 2 0 2 2 0 1 MSB 810 = 10002
  22. 22. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS 2º Passo: Transformar a parte fracionária, que consiste na multiplicação sucessiva das partes fracionárias resultantes pela base, até atingir zero. O número fracionário convertido será composto pelos algarismos inteiros resultantes tomados na ordem das multiplicações. Teremos então: 1° algarismo 2° algarismo 3° algarismo 0,375 x2 ------0,75 x2 ------1,5 0,5 x2 ------1 Parte fracionária Base do sistema Quando atingirmos o número 1, e a parte após a virgula não for nula, separamos esta última e reiniciamos o processo: O processo para aqui, pois a parte do número depois da vírgula é nula.
  23. 23. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 2.4 CONVERSÃO NÚMEROS DECIMAIS FRACIONÁRIOS EM BINÁRIOS Para finalizar a conversão, efetuamos a composição da parte inteira com a fracionária, ficando da seguinte forma: 8,37510 = 1000,0112 Exercícios Façam a conversão dos números decimais fracionários abaixo para o sistema binário: a) 4,810 b) 0,62510 c) 3,38010
  24. 24. SISTEMA DE NUMERAÇÃO Faça a conversão do número decimal fracionário 4,810, para o sistema binário. 1. Passo: Transformar a parte inteira do número 410 410 = 1002 2. Passo: Converter a parte fracionária utilizando a regra já aplicada. a) b) c) d) 0,8 x 2 = 1,6 0,6 x 2 = 1,2 0,2 x 2 = 0,4 0,4 x 2 = 0,8 0,810 = (0,1100 1100 1100...)2 Sequência calculada Repetições Podemos notar que o número 0,8 tornou a aparecer. Se continuarmos o processo, teremos a mesma sequência já vista até aqui. Um caso equivalente a uma dízima. Temos então: Logo: 4,810 = (100,1100110011001100...)2
  25. 25. SISTEMA DE NUMERAÇÃO Faça a conversão do número decimal fracionário 0,62510, para o sistema binário. a) 0,625 x 2 = 1,250 b) 0,250 x 2 = 0,5 c) 0,5 x 2 = 1 (verdadeiro) Logo, dizemos que (0,625)10 = (0,101)2
  26. 26. SISTEMA DE NUMERAÇÃO Faça a conversão do número decimal fracionário 3,38010, para o sistema binário. 1. Passo: Transformar a parte inteira do número 310 310 = 112 2. Passo: Converter a parte fracionária utilizando a regra já aplicada. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0,38 x 2 = 0,76 0,76 x 2 = 1,52 0,52 x 2 = 1,04 0,04 x 2 = 0,08 0,08 x 2 = 0,16 0,16 x 2 = 0,32 0,32 x 2 = 0,64 0,64 x 2 = 1,28 0,28 x 2 = 0,56 Neste caso, temos: 0,0110000102 = 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-8 = 0,3789062510 Observação: Se aproximarmos o número decimal em duas casas, teremos 0,38, logo, para uma precisão de duas casas decimais é suficiente que tenhamos seguido o método até aí. 0,3810 = 0,011000012 .: 3,3810 = 11,0110000102
  27. 27. 3. O Sistema Octal de Numeração
  28. 28. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.1 O SISTEMA OCTAL DE NUMERAÇÃO O sistema octal de numeração é um sistema de base 8 no qual existem 8 algarismos assim enumerados: 0, 1, 2, 3, 4 ,5 6 e 7
  29. 29. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL Para convertermos um número octal em decimal, utilizamos o conceito básico de formação de um número, conforme já visto. Vamos converter o número 1448 em decimal: 82 81 80 1 4 4 = (1 x 82) + (4 x 81) + (4 x 80) = 64 + 32 + 4 = 10010 .: 1448 = 10010
  30. 30. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA DECIMAL Converta os números abaixo em decimal. a) 778 b) 1008 c) 4768 d) 218 e) 358
  31. 31. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL O processo é análogo do sistema decimal do sistema binário. Só que neste caso utilizaremos a divisão por 8, por ser o sistema octal, sua base é igual a 8. Exemplo: Convertendo o número 9210 para o sistema octal. 92 4 8 11 8 3 1 9210 = 1348
  32. 32. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA OCTAL Converta os números decimais abaixo para o sistema octal. a) 7410 b) 51210 c) 71910
  33. 33. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo-se utilizar a regra prática descrita abaixo. Tomemos como exemplo o número octal 278. A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando o número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8. Desta forma, teremos: 2 010 7 111
  34. 34. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Trata-se de uma conversão extremamente simples, podendo-se utilizar a regra prática descrita abaixo. Tomemos como exemplo o número octal 278. A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando o número padrão de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8. Desta forma, teremos: 2 010 7 111
  35. 35. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3.2 CONVERSÃO DO SISTEMA OCTAL PARA O SISTEMA BINÁRIO Converta os números octais em binários: a) 348 b) 5368 c) 446758 d) 578 e) 258 f) 118 g) 728
  36. 36. 4. O Sistema Hexadecimal de Numeração
  37. 37. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.1 O SISTEMA HEXADECIMAL DE NUMERAÇÃO O Sistema hexadecimal possui 16 algarismos, sendo sua base igual a 16. Os algarismos são assim enumerados: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F Notamos que a letra “A” por sua vez representa a quantidade dez. A letra “B” que representa a quantidade onze, e assim sucede até a letra F, que representa a quantidade quinze. Este sistema é muito usado na área de microprocessadores e também no mapeamento de memoria em sistemas digitais, sendo aplicado em projetos de software e hardware.
  38. 38. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.1 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O SISTEMA DECIMAL A regra de conversão é análoga à de outros sistemas, somente que neste caso a base é 16. Exemplo: Converta o número 3F16 em decimal. 161 160 3 F = (3 x 161)+ (15 x 160) = 6310 Sendo F16 = 1510
  39. 39. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.1 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXADECIMAL PARA O SISTEMA DECIMAL Converta os números hexadecimal para decimal: a) 1C316 b) 23816 c) 1FC916
  40. 40. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL Da mesma forma como nos casos anteriores, esta conversão se faz através de divisões sucessivas pela base do sistema a ser convertido. Exemplo: transformar o número 100010 em hexadecimal. 1000 16 8 62 14 16 3 Sendo 1410 = E16 100010 = 3E816
  41. 41. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.3 CONVERSÃO DO SISTEMA DECIMAL PARA O SISTEMA HEXADECIMAL Convertam os números decimais abaixo para o sistema hexadecimal. a) 13410 b) 38410 c) 388210
  42. 42. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.4 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL É análoga à conversão do sistema binário para octal, só que neste caso, agrupamos de 4 em 4 bits para a esquerda. Exemplo: Transforme o número 100110002 em hexadecimal. 1001 1000 9 8 .: 100110002 = 9816
  43. 43. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.4 CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA O SISTEMA HEXADECIMAL Converta para o sistema hexadecimal os números binários: a) 11000112 b) 110001111000111002
  44. 44. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.5 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXA PARA O SISTEMA BINÁRIO É análoga à conversão do sistema octal para binário, só que neste caso, necessita-se de 4 bits para representar cada hexadecimal Exemplo: Converter o número C1316 para o sistema binário: C  C16 = 1210 C = 1100 1 = 0001 3 = 0011 C1316 = 1100000100112
  45. 45. SISTEMA DE NUMERAÇÃO 4.5 CONVERSÃO DO SISTEMA HEXA PARA O SISTEMA BINÁRIO Exercícios: Convertam os números abaixo para o sistema decima: a) 1ED16 b) 6CF916

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