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Ensino Superior 
Matemática Básica 
Unidade 1.3 - Potenciação 
Amintas Paiva Afonso
POTÊNCIAS 
Amintas Paiva Afonso
POTÊNCIAS 
O que é uma Potência? 
1. Potência de Expoente 0 
2. Potência de Exponente 1 
3. Multiplicação de Potências de Igual Base e Distinto Expoente 
4. Multiplicação de Potências de Distinta Base e Igual Exponente 
5. Divisão de Potências de Igual Base e Distintos Exponentes 
6. Divisão de Potências de Distinta Base e Igual Expoente 
7. Potência de uma Potência 
8. Potência de Expoente Negativo 
Potências de Bases 2 e 3.
O que é uma Potência? 
Potência é uma expressão que consta de uma 
BASE e um EXPOENTE. 
O que é uma Base e um Expoente? 
a 
2 
b 
4 
BASE EXPOENTE 
(-5,3) 
8 
4 
 
 
 
5 
 
 
4
O qué significa uma Potência? 
Potência é uma forma abreviada de escrever 
uma multiplicação recorrente. 
2 
4 
(-5,3) 
5 
2 
 
 
 
5 
 
4 
= 2  2 22 
O 2 se multiplica por si mesmo as 
vezes que indica o expoente 4. 
= (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3) 
 
 
 
 
5 
 
4 
 
 
 
5 
 
 
4 
=  
Obs: O Expoente 1 não se 
escreve. Se a base não tem 
expoente se assume que é 1. 
n 
m 
= n  n…n 
n se multiplica por si memo as 
vezes que indica o exponente m. 
m vezes
Algo importante: 
Leitura de uma Potência. 
2 - Expoente 2, Quadrado. Ex: 
6 
3 - Expoente 3, Cubo. Ex: 
6 
- Em Geral se pode usar “ELEVADO A”. 
Parênteses em uma Potência. 
Não é o mesmo  32 e 2  3 
3  3 33 
9 9 
2 x 
3 g
1 - Propriedade: 
Potência de Expoente Zero. 
0 
2 
= 1 
0 
2 - Propriedade: 
Potência de Expoente Um. 
1 
2 
= 2 
Exceção 
0 
0 
m = 1 
Não Existe 
1 
n 
= n
3 - Propriedade: 
Multiplicação de Potências de Base Igual 
e Expoente Distinto. 
Sabendo que: 2 
4 
= 2  2  2  2 
4 veces 
Qual será o resultado de? 
3 
4 
 3 
2 
6 
= 3 
= 3 
4+2 
3333 3 = 
4 vezes 2 vezes No Total são 
3 333333 
6 vezes 
a 
 n 
n 
b 
= n 
a+b 
Em Geral
3 - Propriedade: 
Multiplicação de Potências de Base Igual 
e Expoente Diferente. 
Resolver usando a Propriedade da Potência: 
5 
2 
3 
 2 
 
2 
7 
8 
a) = 
 
3 
 
7 
 
 
5 
 
 
5 
 
 
5 
b) =  
 
 
 
4 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
4 
3 
 
5 
 
-6 
 
 
 
1 
 
 
 
1 
 
 
 
1 
c) =  
 
 
 
2 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
2 
2 
5 
 7 
3 
 2 
2 
2 
d)  7 = 
Ordene 
   
 7 
5 
= 
= 
Resultado Final 
2
4 - Propriedade: 
Multiplicação de Potências de Base 
Distinta e Expoente Igual. 
Sabendo que: 2 
4 
= 2  2 2 2 
4 vezes 
Qual será o resultado de? 
2 
 3 
5 
2 
2 
= 15 
= 3) 
5  5 3  = 
3 (5 3)  (5  3) 
2 vezes 2 vezes No Total são 
2 
2 vezes 
(5  
 
a 
 n 
m 
a 
= (n • m) 
a 
Em Geral
4 - Propriedade: 
Multiplicação de Potências de Base 
Distinta e Expoente Igual. 
Resolver usando a Propriedade da Potência: 
6 
6 
6 
 2 
 
4 
56 
4 
6 
a) = 
 
 
 
4 
 
4 
 
 
5 
 
2 
 
 
4 
b) =  
 
 
 
1 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
1 
3 
 
3 
 
3 
 
 
 
5 
 
 
3 
 
 
3 
c) =  
 
 
 
3 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
1 
8 
3 
 5 
4 
 7 
3 
d)  6 = 
Ordene 
   
 30 
3 
= 
= 
Resultado Final 
4 
4
5 - Propriedade: 
Divisão de Potências de Base Igual e 
Expoente Distinto. 
Sabendo que: 2 
4 
= 2  2 2 2 
4 vezes 
Qual será o resultado de? 
4 
: 3 
3 
2 
4 vezes 
4 
2 = ______________ 3  3  3  3 
3 
= ─ 
3 
3  3 
2 vezes 
4 
 
e 1 
4 
3 
_ 
3 
= 
3 
_ 
3 
 
3 3   
= 1  1  3  3 = 3 
2 
O anterior se pode 
separar assim 
─3 
4 - 2 
Mais Rápido = 3 = 
2 
3 
2 
3 
4 
a 
: n 
n 
b 
= n 
a-b 
Em Geral
5 - Propriedade: 
Divisão de Potências de Base Igual e 
Expoente Distinto. 
Resolver usando a Propriedade de Potência: 
5 
: 2 
2 
3 
8 
  
: d) a) = 
5 
8 
b)  9 
8 
8 4 
5  
12 
c) 3 5 = 
5  
12 
e) 
2 
4 
 2 
  
2 
1 
2 
1 
 
3 6 
10  
2 
3 7 
2  
10 
  15 25 f) 9 9
6 - Propriedade: 
Divisão de Potências de Distintas Bases e 
Igual Expoente. 
Sabendo que: 2 
4 
= 2  2 2 2 
4 vezes 
Qual será o resultado de? 
9 
4 
: 3 
4 
4 vezes 
4 
4 = ______________ 9  9  9  9 
9 
= ─ 
3 
3  3 
4 vezes 
4 
 
y 1 
4 
O anterior se pode 
separar assim 
9 
3 
= _ 
9 
3 
_  
9 9 
  
4 
= 3  3  3  3 = 3 
─9 
Mais Rápido = 
4 
3 
9 m 
4 
3 
4 
 3  3 
_ _ 
3 3 
 
  
 
 
4 
3 
a 
: n 
a 
a 
=(m : n) 
Em Geral
6 - Propriedade: 
Divisão de Potências de Distintas Bases e 
Igual Expoente. 
Resolver usando a Propriedade da Potência: 
3 
: 10 
5 
3 
3 
  
: d) a) = 
5 
6 
b)  5 
12 
3 4 
15  
2 
c) 3 4 = 
5  
12 
e) 
2 
4 
 4 
  
2 
1 
4 
1 
 
3 6 
10  
2 
6 3 
4  
5 
  25 25 f) 3 9
7 - Propriedade: 
Potência de uma Potência. 
Sabendo que: 24 
= 2  2 22 
4 vezes 
Qual será o resultado de? 
5 
2 
) 6 
= 
2•6 
12 
= 15 
( 5 
2 
5 
5 
2 
5 
2 
5 
2 
5 
2 
5 
2 
     6 vezes 
5  5 
 5  5  5  5  5 5  5  5  5 5 = 5 
12 veces 
12 
(m ) a b 
a • b 
=m 
Em Geral
Resolver usando a Propriedade da Potência 
2 )3 a) ( 
3 
3 )1 b) ( 
3 )2 c) ( 
 
 
3 
9 )0 d) ( 
4 
2 )4 e) ( 
2 
3 )4 f) ( 
7 
5 )2 g) ( 
 
 
1 
 
4 
 
= 
= 
-4)-3 h) ( 
 2 
 
 
2 
1 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
7 - Propriedade: 
Potência de uma Potência.
8 - Propriedade: 
Potência com Expoente Negativo. 
Exemplos 
- 4 
2 
0,6 
- 3 
- 10 
(-7) 
- 2 
 
 
 
 
5 
 
 
4
8 - Propriedade: 
Potência com Expoente Negativo. 
- 4 
2 
- 3 
0,6 
= 
__ 1 
2 
4 
= 
__ 1 
0,6 
3 
4 
= 
__1_ 
(-5) 
- = 
7 
__ 3 
2 
- 
_3_ 
En General 
a 
a a 
 a 
 
1  
 m  
m 
 
 
 
n 
m 
m 
n 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
ó
8 - Propriedade: 
Potência com Expoente Negativo. 
Assim, podemos aplicar a propriedade 
várias vezes sobre um mesmo número. 
7 
2 
= 
__ 1 
7 
-2 7 
2 
= 
__ 1 
7 
-2 = 
7 
-2 
= 
__ 1 
7 
2 7 
-2 
= 
__ 1 
7 
2 =
8 - Propriedade: 
Potência com Expoente Negativo. 
Exercicios: Trocar o sinal do expoente. 
 6 4 
 
3 
1,12 
1 
6 
4 
3 
1 
1,12 
   6 5 
 
  
 
 
 
 
 
3 
3 
2 
1 
 
 6 5 
3 
2 
3 
 
 
 
 

Observe que 
 10 2 
 92 
 82 
 72 
 6 2 
 5 2 
 4 2 
 3 2 
 2 2 
 12 
 02 
1 
2 
2 1   
1 
4 
1 
2    
2 2 
2 
1 
8 
1 
3    
2 3 
2 
1 
1 
2 4    
2 
1024 
512 
256 
128 
64 
32 
16 
8 
4 
2 
1 
4 16 
1 
1 
2 5    
2 
5 32 
1 
1 
2 6    
2 
6 64
 10 3 
 93 
 83 
 73 
 6 3 
 5 3 
 4 3 
 3 3 
 23 
 13 
 03 
1 
3 
3 1   
1 
9 
1 
2    
3 2 
3 
1 
27 
1 
3    
3 3 
3 
1 
1 
3 4    
3 
59049 
19683 
6561 
2187 
729 
243 
81 
27 
9 
3 
1 
4 81 
1 
1 
3 5    
3 
5 243 
1 
1 
3 6    
3 
6 729 
Observe que
Curiosidades 
1) Dos números naturais, excluidos 
o 1, são o 8 e o 27 os únicos cujyo 
cubo dá exatamente algarismos que 
somam 8 e 27, respectivamente. 
8 3 
 
512    
5 1 2 8 
27 3 
 
19683      
1 9 6 8 3 27 
2) O número de dias do ano (365) é 
igual à soma dos quadrados de três 
números naturais consecutivos. 
10 2  11 2  
122 
100  121  144  
350 
E de dois números consecutivos 
13 2  
142 
169  196  
350 
2 
1 1 
2 
11  
121 
2 
111 12321 
2 
1111  
1234321 
2 
11111  
123454321 
 
3) 
Exercícios práticos porcentagem

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Exercícios práticos porcentagem

  • 1. Ensino Superior Matemática Básica Unidade 1.3 - Potenciação Amintas Paiva Afonso
  • 3. POTÊNCIAS O que é uma Potência? 1. Potência de Expoente 0 2. Potência de Exponente 1 3. Multiplicação de Potências de Igual Base e Distinto Expoente 4. Multiplicação de Potências de Distinta Base e Igual Exponente 5. Divisão de Potências de Igual Base e Distintos Exponentes 6. Divisão de Potências de Distinta Base e Igual Expoente 7. Potência de uma Potência 8. Potência de Expoente Negativo Potências de Bases 2 e 3.
  • 4. O que é uma Potência? Potência é uma expressão que consta de uma BASE e um EXPOENTE. O que é uma Base e um Expoente? a 2 b 4 BASE EXPOENTE (-5,3) 8 4    5   4
  • 5. O qué significa uma Potência? Potência é uma forma abreviada de escrever uma multiplicação recorrente. 2 4 (-5,3) 5 2    5  4 = 2  2 22 O 2 se multiplica por si mesmo as vezes que indica o expoente 4. = (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3) (-5,3)     5  4    5   4 =  Obs: O Expoente 1 não se escreve. Se a base não tem expoente se assume que é 1. n m = n  n…n n se multiplica por si memo as vezes que indica o exponente m. m vezes
  • 6. Algo importante: Leitura de uma Potência. 2 - Expoente 2, Quadrado. Ex: 6 3 - Expoente 3, Cubo. Ex: 6 - Em Geral se pode usar “ELEVADO A”. Parênteses em uma Potência. Não é o mesmo  32 e 2  3 3  3 33 9 9 2 x 3 g
  • 7. 1 - Propriedade: Potência de Expoente Zero. 0 2 = 1 0 2 - Propriedade: Potência de Expoente Um. 1 2 = 2 Exceção 0 0 m = 1 Não Existe 1 n = n
  • 8. 3 - Propriedade: Multiplicação de Potências de Base Igual e Expoente Distinto. Sabendo que: 2 4 = 2  2  2  2 4 veces Qual será o resultado de? 3 4  3 2 6 = 3 = 3 4+2 3333 3 = 4 vezes 2 vezes No Total são 3 333333 6 vezes a  n n b = n a+b Em Geral
  • 9. 3 - Propriedade: Multiplicação de Potências de Base Igual e Expoente Diferente. Resolver usando a Propriedade da Potência: 5 2 3  2  2 7 8 a) =  3  7   5   5   5 b) =     4     4     4 3  5  -6    1    1    1 c) =     2     2     2 2 5  7 3  2 2 2 d)  7 = Ordene     7 5 = = Resultado Final 2
  • 10. 4 - Propriedade: Multiplicação de Potências de Base Distinta e Expoente Igual. Sabendo que: 2 4 = 2  2 2 2 4 vezes Qual será o resultado de? 2  3 5 2 2 = 15 = 3) 5  5 3  = 3 (5 3)  (5  3) 2 vezes 2 vezes No Total são 2 2 vezes (5   a  n m a = (n • m) a Em Geral
  • 11. 4 - Propriedade: Multiplicação de Potências de Base Distinta e Expoente Igual. Resolver usando a Propriedade da Potência: 6 6 6  2  4 56 4 6 a) =    4  4   5  2   4 b) =     1     3     1 3  3  3    5   3   3 c) =     3     2     1 8 3  5 4  7 3 d)  6 = Ordene     30 3 = = Resultado Final 4 4
  • 12. 5 - Propriedade: Divisão de Potências de Base Igual e Expoente Distinto. Sabendo que: 2 4 = 2  2 2 2 4 vezes Qual será o resultado de? 4 : 3 3 2 4 vezes 4 2 = ______________ 3  3  3  3 3 = ─ 3 3  3 2 vezes 4  e 1 4 3 _ 3 = 3 _ 3  3 3   = 1  1  3  3 = 3 2 O anterior se pode separar assim ─3 4 - 2 Mais Rápido = 3 = 2 3 2 3 4 a : n n b = n a-b Em Geral
  • 13. 5 - Propriedade: Divisão de Potências de Base Igual e Expoente Distinto. Resolver usando a Propriedade de Potência: 5 : 2 2 3 8   : d) a) = 5 8 b)  9 8 8 4 5  12 c) 3 5 = 5  12 e) 2 4  2   2 1 2 1  3 6 10  2 3 7 2  10   15 25 f) 9 9
  • 14. 6 - Propriedade: Divisão de Potências de Distintas Bases e Igual Expoente. Sabendo que: 2 4 = 2  2 2 2 4 vezes Qual será o resultado de? 9 4 : 3 4 4 vezes 4 4 = ______________ 9  9  9  9 9 = ─ 3 3  3 4 vezes 4  y 1 4 O anterior se pode separar assim 9 3 = _ 9 3 _  9 9   4 = 3  3  3  3 = 3 ─9 Mais Rápido = 4 3 9 m 4 3 4  3  3 _ _ 3 3      4 3 a : n a a =(m : n) Em Geral
  • 15. 6 - Propriedade: Divisão de Potências de Distintas Bases e Igual Expoente. Resolver usando a Propriedade da Potência: 3 : 10 5 3 3   : d) a) = 5 6 b)  5 12 3 4 15  2 c) 3 4 = 5  12 e) 2 4  4   2 1 4 1  3 6 10  2 6 3 4  5   25 25 f) 3 9
  • 16. 7 - Propriedade: Potência de uma Potência. Sabendo que: 24 = 2  2 22 4 vezes Qual será o resultado de? 5 2 ) 6 = 2•6 12 = 15 ( 5 2 5 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2      6 vezes 5  5  5  5  5  5  5 5  5  5  5 5 = 5 12 veces 12 (m ) a b a • b =m Em Geral
  • 17. Resolver usando a Propriedade da Potência 2 )3 a) ( 3 3 )1 b) ( 3 )2 c) (   3 9 )0 d) ( 4 2 )4 e) ( 2 3 )4 f) ( 7 5 )2 g) (   1  4  = = -4)-3 h) (  2   2 1 = = = = = = 7 - Propriedade: Potência de uma Potência.
  • 18. 8 - Propriedade: Potência com Expoente Negativo. Exemplos - 4 2 0,6 - 3 - 10 (-7) - 2     5   4
  • 19. 8 - Propriedade: Potência com Expoente Negativo. - 4 2 - 3 0,6 = __ 1 2 4 = __ 1 0,6 3 4 = __1_ (-5) - = 7 __ 3 2 - _3_ En General a a a  a  1   m  m    n m m n               ó
  • 20. 8 - Propriedade: Potência com Expoente Negativo. Assim, podemos aplicar a propriedade várias vezes sobre um mesmo número. 7 2 = __ 1 7 -2 7 2 = __ 1 7 -2 = 7 -2 = __ 1 7 2 7 -2 = __ 1 7 2 =
  • 21. 8 - Propriedade: Potência com Expoente Negativo. Exercicios: Trocar o sinal do expoente.  6 4  3 1,12 1 6 4 3 1 1,12    6 5         3 3 2 1   6 5 3 2 3     
  • 22. Observe que  10 2  92  82  72  6 2  5 2  4 2  3 2  2 2  12  02 1 2 2 1   1 4 1 2    2 2 2 1 8 1 3    2 3 2 1 1 2 4    2 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 4 16 1 1 2 5    2 5 32 1 1 2 6    2 6 64
  • 23.  10 3  93  83  73  6 3  5 3  4 3  3 3  23  13  03 1 3 3 1   1 9 1 2    3 2 3 1 27 1 3    3 3 3 1 1 3 4    3 59049 19683 6561 2187 729 243 81 27 9 3 1 4 81 1 1 3 5    3 5 243 1 1 3 6    3 6 729 Observe que
  • 24. Curiosidades 1) Dos números naturais, excluidos o 1, são o 8 e o 27 os únicos cujyo cubo dá exatamente algarismos que somam 8 e 27, respectivamente. 8 3  512    5 1 2 8 27 3  19683      1 9 6 8 3 27 2) O número de dias do ano (365) é igual à soma dos quadrados de três números naturais consecutivos. 10 2  11 2  122 100  121  144  350 E de dois números consecutivos 13 2  142 169  196  350 2 1 1 2 11  121 2 111 12321 2 1111  1234321 2 11111  123454321  3) 