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    Portafolios maria Portafolios maria Document Transcript

    • UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHIESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL INTERNACIONALPORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL DOCENTE: MSC. JORGE POZO INTEGRANTES: MARÍA PUETATE MARZO 2012- AGOSTO 2012 Tulcán – Ecuador
    • INTRODUCCIONLa estadística inferencial es necesaria cuando queremos hacer alguna afirmación sobre máselementos de los que vamos a medir. La estadística inferencial hace que ese salto de la parte altodo se haga de una manera “controlada”. Aunque nunca nos ofrecerá seguridad absoluta, sí nosofrecerá una respuesta probabilística. Esto es importante: la estadística no decide; sólo ofreceelementos para que el investigador o el lector decidan. En muchos casos, distintas personasperciben diferentes conclusiones de los mismos datos.El proceso será siempre similar. La estadística dispone de multitud de modelos que están anuestra disposición. Para poder usarlos hemos de formular, en primer lugar, una pregunta entérminos estadísticos. Luego hemos de comprobar que nuestra situación se ajusta a algúnmodelo (si no se ajusta no tendría sentido usarlo). Pero si se ajusta, el modelo nos ofrecerá unarespuesta estadística a nuestra pregunta estadística. Es tarea nuestra devolver a la psicologíaesa respuesta, llenándola de contenido psicológico.La estadística descriptiva, como indica su nombre, tiene por finalidad describir. Así, si queremosestudiar diferentes aspectos de, por ejemplo, un grupo de personas, la estadística descriptivanos puede ayudar. Lo primero será tomar medidas, en todos los miembros del grupo, de esosaspectos o variables para, posteriormente, indagar en lo que nos interese. Sólo con esosindicadores ya podemos hacernos una idea, podemos describir a ese conjunto de personas.OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICALa estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la recolección, organización,análisis e interpretación de datos. Los datos pueden ser cuantitativos, con valores expresadosnuméricamente, o cualitativos, en cuyo caso se tabulan las características de las observaciones.La estadística sirve en administración y economía para tomar mejores decisiones a partir de lacomprensión de las fuentes de variación y de la detección de patrones y relaciones en datoseconómicos y administrativos. 1
    • JUSTIFICACIÓNEl presente portafolio tiene como justificación recolectar todo el trabajo dado en clases comoportafolio de apoyo del estudiante y además ampliar mas el contenido con investigacionesbibliográficas de libros ya que esto nos permitirá analizar e indagar de los temas no entendidospara auto educarse el estudiante y así despejar los dudas que se tiene con la investigación y elanálisis de cada uno de los capítulos ya que la estadística inferencial es amplia y abarcaproblemas que estas relacionados con el entorno para poder sacar nuestras propias decisionesya que la estadística inferencial nos ayudara a la carrera en la que estamos siguiendo como lo escomercio exterior ampliar mas nuestros conocimientos y utilizar más el razonamiento y sacarconclusiones adecuadas según el problema que se presente en el entorno ay que lasmatemáticas y la estadística nos servirá a futuro para así poderlos emplear a futuro . CAPITULO I EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADESLas unidades del sistema internacional de unidades se clasifican en fundamentales y derivadas.Las unidades fundamentales no se pueden reducir. Se citan las unidades fundamentales deinterés en la asignatura de ciencias e ingenierías de os materiales.Las unidades derivadas se expanden en función de las unidades fundamentales utilizando signosmatemáticos de multiplicación y de división. Por ejemplo las unidades de densidad del sí son elkilogramo por metro cubico algunas unidades derivadas tienen nombres y símbolos especiales. 2
    • Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo(Diaz, 2008)Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiacióncorrespondiente a la transición entre los dos niveles HIPERFINOS del estado fundamental delátomo de cesio 133. (Diaz, 2008)Unidad de intensidad de corriente eléctrica El ampere (A) es la intensidad de una corrienteconstante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, desección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío,produciría una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud. (Diaz, 2008)Unidad de temperatura termodinámica El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica,es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. (Diaz, 2008)Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema quecontiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.(Diaz, 2008)Unidad de intensidad luminosa La candela (CD) es la unidad luminosa, en una dirección dada,de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540·1012 HERTZ y cuyaintensidad energética en dicha dirección es 1/683 WATT por estereorradián. (Diaz, 2008)Peso: es una magnitud derivada se considera como una unidad vectorial. (Diaz, 2008)Escalar: aquel que indica el número y la unidad. (Diaz, 2008)Vector: indica número unidad dirección etc. (Diaz, 2008)Magnitud derivada: el peso de la unidad newton es una unidad de fuerza. (Diaz, 2008)Gravedad: es la que permite a los cuerpos caer en perpendiculares según la gravedad de latierra (Diaz, 2008) MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOSMúltiploUn múltiplo de un número es otro número que lo contiene un número entero de veces. En otraspalabras, un múltiplo de n es un número tal que, dividido por n, da por resultado un númeroentero Los primeros múltiplos del uno al diez suelen agruparse en las llamadas tablas demultiplicar. (Pineda, 2008) 3
    • SubmúltiploUn número entero a es submúltiplo de otro número b si y sólo si b es múltiplo de a, (Pineda,2008).COMENTARIO:El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene la finalidad de: Estudiar el establecimiento de unconjunto de reglas para las unidades de medida y como estudiantes de comercio exterior nosayuda muchísimo porque con el podemos obtener los resultados al almacenar una mercancía enel contenedor sin perder el tiempo que es valioso en la carrera, y también si perder el espaciodentro de dicho contenedor.El sistema internacional de unidades es estudiado para obtener datos reales y a su vez poder darnuestros resultados sacando conclusiones propias de la carrera Para una comunicacióncientífica apropiada y efectiva, es esencial que cada unidad fundamental de magnitudes de unsistema, sea especificada y reproducible con la mayor precisión posible. 4
    • ORGANIZADOR GRAFICO: Sistema Internacional de Medidas y Unidades Para resolver el problema que suponga la utilización de unidades diferentes en distintos lugares del mundo, en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas (París, 1960) se estableció el Sistema Internacional de Unidades (SI). En el cuadro siguiente puedes ver las magnitudes fundamentales del SI, la unidad de cada una de ellas y la abreviatura que se emplea para representarla:Magnitudes fundamentales Magnitudes derivadas Múltiplos SubmúltiplosUna magnitud fundamental Son la que Un número es un Un múltiplo de n eses aquella que se define dependen de las submúltiplo si otro lo un número tal que, dividido por n, da porpor sí misma y es magnitudes contiene varias veces resultado un númeroindependiente de las fundamentales. exactamente. Ej.: 2 es enterodemás (masa, tiempo, un submúltiplo de 14,longitud, etc.). ya que 14 lo contiene 7 veces.= 14 = 2 • 7 TRABAJO # 1 MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS MÚLTIPLOS.- Se pueden obtener múltiplos de cualquier número, son aquellos que se obtiene al sumar el mismo número varias veces o al multiplicarlo por cualquier número. (son infinitos), (Aldape & Toral, 2005, pág. 94). Ejemplo: Múltiplos de 5: 5-10-15-20-25-30-35-405-500-1000 SUBMÚLTIPLOS.- Los submúltiplos son todo lo contrario, son las divisiones exactas de un número, (Aldape & Toral, 2005). Por ejemplo : Submúltiplos de 30: 5
    • 6, 10, 5, 2, 3, etc. MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADASLAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Una magnitud fundamental es aquella que se definepor sí misma y es independiente de las demás (masa, tiempo, longitud, etc.). LONGITUD: Es la medida del espacio o la distancia que hay entre dos puntos. La longitud de un objeto es la distancia entre sus extremos, su extensión lineal medida de principio a fin, (Serway & Faughn, 2006). MASA: Es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo, (Serway & Faughn, 2006). TIEMPO: Es la magnitud física que mide la duración o separación de acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación, (Serway & Faughn, 2006). INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA: Se denomina intensidad de corriente eléctrica a la cantidad de electrones que pasa a través de una sección del conductor en la unidad de tiempo, (Serway & Faughn, 2006). TEMPERATURA: Es una magnitud referida a las nociones comunes de calor o frío. Por lo general, un objeto más "caliente" tendrá una temperatura mayor, (Serway & Faughn, 2006). INTENSIDAD LUMINOSA: En fotometría, la intensidad luminosa se define como la cantidad flujo luminoso, propagándose en una dirección dada, que emerge, atraviesa o incide sobre una superficie por unidad de ángulo solido, (Enríquez, 2002). 6
    • CANTIDAD DE SUSTANCIA: Su unidad es el mol. Surge de la necesidad de contar partículas o entidades elementales microscópicas indirectamente a partir de medidas macroscópicas (como la masa o el volumen). Se utiliza para contar partículas, (Enríquez, 2002).MAGNITUDES DERIVADAS.- Son la que dependen de las magnitudes fundamentales. VELOCIDAD: Es la magnitud física que expresa la variación de posición de un objeto en función del tiempo, o distancia recorrida por un objeto en la unidad de tiempo, (Enríquez, 2002). AREA: Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida denominadas superficiales, (Enríquez, 2002). VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo, (Enríquez, 2002). FUERZA: se puede definir como una magnitud vectorial capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles, (Enríquez, 2002). TRABAJO: El trabajo, en mecánica clásica, es el producto de una fuerza por la distancia que recorre y por el coseno del ángulo que forman ambas magnitudes vectoriales entre sí, (Enríquez, 2002). La unidad del trabajo es el JOULE. ENERGIA: Es una magnitud física abstracta, ligada al estado dinámico de un sistema y que permanece invariable con el tiempo en los sistemas aislados. La unidad de la energía es el Joule, (Enríquez, 2002). 7
    • Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricosFigura Esquema Área VolumenCilindroEsferaConoCubo A = 6 a2 V = a3Prisma A = (perim. base •h) + 2 • area base V = área base • hPirámide 8
    • CONCLUSIONES  El sistema internacional de unidades es muy importante porque se involucra en nuestra carrera permitiendo la relación económica con otros países mediante comercio internacional y su negociación entre ellos. como también la práctica de problemas del sistema internacional de unidades nos ayudan a ver la realidad de nuestro entorno de cómo podemos solucionar problemas al momento de exportar una mercancía, que cantidad de materia prima, electrodomésticos, enceres que actualmente se exporta en gran cantidad, puede alcanzar dentro de un contenedor.  El sistema internacional de unidades nos ayudan a vincularnos en los negocios, como realizar negociaciones en el exterior porque a través de este sistema podemos indicar el volumen, área, del tipo de trasporte el cual se va a exportar la mercancía, que cantidad de cajas por ejemplo podemos enviar al exterior este sistema es muy fundamental en la carrera de comercio exterior.Recomendaciones  Se recomienda saber todas las medidas del sistema internacional de unidades como también las magnitudes , longitud, masa y volumen de las figuras geométrica para que nuestro producto o mercancía pueda ser exportada al exterior, es necesario conocer debido a que nos permitirá realizar una buena negociación conociendo la cantidad de mercancía que puede introducirse en el transporte.  Es de mucha importancia, que como estudiantes de la carrera de comercio exterior conozcamos las unidades básicas más utilizadas que se encuentran presentes en el Sistema internacional para una correcta aplicación en los ejercicios propuestos. La utilización de las medidas del Sistema Internacional se presenta a nivel internacional y por ende son aplicadas en el los negocios de Comercio Internacional ya que permite una mejor movimiento e intercambio. 9
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    • BIBLIOGRAFÍAAldape, A., & Toral, C. (2005). Matemáticas 2. México: PROGRESO S.A.Altamirano, E. (2007).Anderson, D. R. (2005). Estadística para Administración y Economía. México: Cengage Learning.Diaz, R. G. (2008). Unidades fundamentales .Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N.J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .Pineda, L. (2008). matematicas.Rodrígues, M. E. (2001). Coeficientes de Asociación. México: Plaza y Valdés. 11
    • Sabadías, A. V. (2001). Estadística Descriptiva e Inferencial . Murcia: COMPOBELL.Serway, R. A., & Faughn, J. S. (2006). FÍSICA para bachillerato general. New York: THOMSON.Weiers, R. M. (2006). Introducción a la Estadística para Negocios. México: Learning Inc.Willliams, T. A. (2008). Estadística para Administración y Economía. México: Cengage Learning.LINKOGRAFIAhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htmfile:///K:/Tabla-de-Magnitudes-Unidades-Y-Equivalencias.htmfile:///K:/books.htmfile:///K:/volumenes/areas_f.htmlfile:///K:/cuerposgeoAreaVolum.htmANEXOS:1.- Convertir 2593 Pies a Yardas.2.- Convertir 27,356 Metros a Millas3.- Convertir 386 Kilogramos a Libras. 12
    • 4.- Convertir 2,352 Segundos a Año.5.- Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo. TRANSFORMACIONESEn muchas situaciones tenemos que realizar operaciones con magnitudes que vienenexpresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los cálculos que realicemos seancorrectos, debemos transformar las unidades de forma que se cumpla el principio dehomogeneidad, (Ledanois & Ramos, 2002).Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un móvil que se mueve a velocidadconstante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30 segundos, debemos aplicar la sencillaecuación S = v·t, pero tenemos el problema de que la velocidad viene expresada enkilómetros/hora, mientras que el tiempo viene en segundos. Esto nos obliga a transformar unade las dos unidades, de forma que ambas sean la misma, para no violar el principio dehomogeneidad y que el cálculo sea acertado, (Ledanois & Ramos, 2002). 13
    • Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión. Llamamos factor deconversión a la relación de equivalencia entre dos unidades de la misma magnitud, es decir, uncociente que nos indica los valores numéricos de equivalencia entre ambas unidades, (Ledanois& Ramos, 2002).EJERCICIOS REALIZADOS EN CLASEVolumen 300 transformar en pulgadas 3V= 100000V= 100000Q= 7200000Vol. Paralelepípedo L xaxhVol. CuboVol. EsferaVol. CilindroVol. PirámideÁrea cuadradaÁrea de un rectángulo BxhÁrea de un circuloÁrea de un triangulo 14
    • En una bodega tiene un largo de 60 m un ancho de 30 m cuantas cadjas de manzana puedeubicar en esta bodega en estas cajas tiene 60cm de lado y 30 de ancho y 40 de altura.Vol. de p bodega = l x a h = 60 x 30 x3 = 5400Vol. De p caja = 60 x 30 x 40 = 72000TRANSFORMACIÓNX=Un tanquero tiene una longitud de 17 m y un radio del tanque de 1.50 m. ¿Cuántos litros sepuede almacenar en dicho tanque?.RESOLUCIONVOL. CILINDRO =VOL. CILINDRO= 3.1416 X (1.50 X (17)= 0 120.17TRANSFORMACIÓN120.17 15
    • SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADESLONGITUD1 Km 1000 m1m 100 cm1 cm 10 mm1 milla 1609 m1m 1000 mmMASA1qq 100 lbs.1 Kg 2.2 lbs.1 qq 45.45 Kg1 qq 1 arroba1 arroba 25 lbs.1 lb 454 g1 lb 16 onzas1 utm 14.8 Kg1 stug 9.61 Kg1m 10 Kg1 tonelada 907 KgÁREA 1001 100001 hectárea 100001 acre 40501 pie (30.48 cm1 pie 900.291 10.76 16
    • COMENTARIO EN GRUPO:Como comentario en grupo podemos decir que las transformaciones nos servirá en la carreradel comercio exterior y además poder resolver problemas que se presenten ya que al realizarejercicios de cilindros y tanque etc., y otras formas geométricas nos servirá para determinarcuántas cajas o bultos, etc. que pueden alcanzar en una almacenera o en cada uno de loscontenedores esto nos servirá al realizar prácticas o al momento de emprender nuestroconocimientos a futuro.ORGANIZADOR GRAFICO: 17
    • LONGITUDObservamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la partesuperior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior, (Riley & Sturges, 2004). LONGITUD 1 KM 100 M 1M 100M, 1000MM 1 MILLA 1609M 1 PIE 30,48CM, 0,3048M 1 PULGADA 2,54CM 1 AÑO LUZ 9,46X1015MTIEMPO.El tiempo es la magnitud física con la que medimos la duración o separación de acontecimientossujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación, esto es, el período que transcurre entreel estado del sistema cuando éste aparentaba un estado X y el instante en el que X registra unavariación perceptible para un observador (o aparato de medida). El tiempo ha sidofrecuentemente concebido como un flujo sucesivo de situaciones atomizadas, (López, March,García, & Álvarez, 2004). MEDIDAS DEL TIEMPO 1 AÑO 365 DIAS 1 MES 30 DIAS 1SEMANA 7 DIAS 1 DIA 24 HR 1 HORA 60 MIN,3600SEG 1 MINUTO 60 SEG.MASA Y PESO.La masa es la única unidad que tiene este patrón, además de estar en Sevres, hay copias en otrospaíses que cada cierto tiempo se reúnen para ser regladas y ver si han perdido masa conrespecto a la original. El kilogramo (unidad de masa) tiene su patrón en: la masa de un cilindrofabricado en 1880, compuesto de una aleación de platino-iridio (90 % platino - 10 % iridio),creado y guardado en unas condiciones exactas, y que se guarda en la Oficina Internacional dePesos y Medidas en Seres, cerca de París, (Hewitt, 2004). 18
    • PESODe nuevo, atención a lo siguiente: la masa (la cantidad de materia) de cada cuerpo es atraída porla fuerza de gravedad de la Tierra. Esa fuerza de atracción hace que el cuerpo (la masa) tenga unpeso, que se cuantifica con una unidad diferente: el Newton (N), (Torre, 2007). SISTEMA DE CONVERSION DE MASA 1 TONELADA 1000 KG 1 QQ 4 ARROBAS, 100 L 1 ARROBA 25 L 1 KG 2,2 L 1 SLUG 14,58 KG 1 UTM 9,8 KG 1 KG 1000 GR 1L 454 GR, 16 ONZAS TRABAJO # 2 19
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    • CONCLUSIÓN:La conversión de unidades es la transformación de una cantidad, expresada en una cierta unidadde medida, en otra equivalente. Este proceso suele realizarse con el uso de los factores deconversión y las tablas de conversión del Sistema Internacional de Unidades.Frecuentemente basta multiplicar por un factor de conversión y el resultado es otra medidaequivalente, en la que han cambiado las unidades.Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se pueden utilizarvarios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado final será la medidaequivalente en las unidades que buscamos.Cuando se trabaja en la resolución de problemas, frecuentemente surge la necesidad deconvertir valores numéricos de un sistema de unidades a otro, por lo cual es indispensable tenerconocimientos sobre las equivalencias de los diferentes sistemas de unidades que nos facilitanla conversión de una unidad a otra, tomando en cuenta el país y la medida que se emplee en losdiferentes lugares.RECOMENDACIÓN:En toda actividad realizada por el ser humano, hay la necesidad de medir "algo"; ya sea eltiempo, distancia, velocidad, temperatura, volumen, ángulos, potencia, etc. Todo lo que seamedible, requiere de alguna unidad con qué medirlo, ya que las personas necesitan saber quétan lejos, qué tan rápido, qué cantidad, cuánto pesa, en términos que se entiendan, que seanreconocibles, y que se esté de acuerdo con ellos; debido a esto es necesario tener conocimientosclaros sobre el Sistema De Conversión De Unidades pues mediante el entendimiento de estesistema o patrón de referencia podremos entender y comprender con facilidad las unidades demedida las cuales las podremos aplicar en la solución de problemas de nuestro contexto.CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: MES DE MARZO-ABRILACTIVIDADES M J V S D L MInvestigar sobre el Sistema Internacional de Unidades y la Áreas y X Xvolúmenes de diferentes figuras geométricasEjecución del Formato del Trabajo X 29
    • Resumen de los textos investigados X XFinalización del Proyecto XPresentación del Proyecto XBIBLIOGRAFIAEnríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia: I.S.B.N.Hewitt, P. G. (2004). Física Conceptual. México: Pearson Educación S.A.J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .Ledanois, J. M., & Ramos, A. L. (2002). Magnitudes, Dimensiones y Conversiones de Unidades.Caracas: EQUINOCCIO.López, J. C., March, S. C., García, F. C., & Álvarez, J. M. (2004). Curso de Ingeniería Química.Barcelona: REVERTÉ S.A.Pineda, L. (2008). matematicas.Riley, W. F., & Sturges, L. F. (2004). ESTÁTICA. Barcelona: REVERTÉ.LINKOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_fundamental#Unidades_en_el_Sistema_Internacion al_de_Unidades_.28SI.29 http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29 http://www.quimicaweb.net/ciencia/paginas/magnitudes.html http://www.profesorenlinea.cl/geometria/VolumenCilindro.htm http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/volum1.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm 30
    • ANEXOS:1.- Investigar las medidas de un tráiler, de una mula y de un camión sencillo, además lasmedidas de las cajas de plátano, manzanas, quintales de papa y arroz. Con esa informacióncalcular el número de cajas y quintales que alcanzan en cada uno de los vehículos. TRAILER MULA CAMION SENCILLO Largo 14.30m Largo 8.27m Largo 10.80m Ancho 2.45m Ancho 2.50m Ancho 2.60m Alto 2.6m Alto 1.44m. Alto 4.40mMedidas de las cajas: Medidas de las cajas de plátano LARGO ANCHO ALTO 20cm 51cm 34cm Medidas de las cajas de manzana 7.5cm 9.5cm 7.5cmDesarrollo: 31
    • a.1 caja de plátano-----------------911*10-05m3 X 91.09m3 b. 32
    • 1 caja de manzana-----------------5.3*108m3 X 9.11*10-05m3 c.1 qq de papa-----------------0.05m3 X 9.11*10-05m3 d.1 qq de arroz-----------------0.05m3 X 9.11*10-05m3 33
    • e.1 caja de plátano-----------------911*10-05m3 X 29.77m3 f.1 caja de manzana-----------------5.3*108m3 X 29.77m3 g.1 qq de papa-----------------0.05m3 X 29.77m3 . h.1 qq de arroz-----------------0.05m3 X 9.11*10-05m3 34
    • i.1 caja de plátano-----------------911*10-05m3 X 123.55m3 j.1 caja de manzana-----------------5.3*108m3 X 123.55m3 k.1 qq de papa-----------------0.05m3 X 123.55m3 35
    • . l.1 qq de arroz-----------------0.05m3 X 123.55m3 .CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES DEL PRIMER CAPÍTULO: Tiempo MARZO ABRIL MAYO Actividades SEMANAS SEMANAS SEMANAS 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 PRIMERA CLASE Competencia especifica X (27-Marzo-2012) Introducción de la Materia x (27-Marzo-2012) SEGUNDA CLASE Sistema Internacional de Unidades X (03-Abril-2012) Tarea Sistema Internacional de Unidades. Entregar el 10 de abril del X 2012 TERCERA CLASE Aplicación de transformaciones X (17 de abril del 2012) Tarea Ejercicios de aplicación acerca del Sistema Internacional de X unidades según las transformaciones (24 de abril del 2012) CUARTA CLASE 36
    • Evaluación primer capitulo x (03 de Mayo del 2012)37
    • CAPITULO IIMARCO TEORICO: COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEALLa correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre las dos variables queintervienen en una distribución bidimensional. Es decir, determinar si los cambios en una de lasvariables influyen en los cambios de la otra. En caso de que suceda, diremos que las variables estáncorrelacionadas o que hay correlación entre ellas. Una medida estadística ampliamente utilizada que mide el grado de relación lineal entre dos variables aleatorias. El coeficiente de correlación debe situarse en la banda de -1 a +1. El coeficiente de correlación se calcula dividiendo la covarianza de las dos variables aleatorias por el producto de las desviaciones típicas individuales de las dos variables aleatorias. Las correlaciones desempeñan un papel vital en la creación de carteras y la gestión de riesgos, (Weiers, 2006).Comentario: A una correlación se la puede apreciar con un grupo de técnicas estadísticas empleadas para medir la intensidad de dicha relación entre dos variables, en donde se deben identificar la variable dependiente y la independiente.DIAGRAMA DE DISPERSIÓNRepresentación gráfica del grado de relación entre dos variables cuantitativas.Características principalesA continuación se comentan una serie de características que ayudan a comprender la naturaleza de laherramienta.Impacto visual 38
    • Un Diagrama de Dispersión muestra la posibilidad de la existencia de correlación entre dos variables deun vistazo.ComunicaciónSimplifica el análisis de situaciones numéricas complejas.Guía en la investigaciónEl análisis de datos mediante esta herramienta proporciona mayor información que el simple análisismatemático de correlación, sugiriendo posibilidades y alternativas de estudio, basadas en la necesidadde conjugar datos y procesos en su utilización, (García, 2000).Comentario: El diagrama de dispersión sirve para una representación gráfica más fácil y útil cuando se quiere describir el comportamiento de un conjunto de dos variables, en donde aparece representado como un punto en el plano cartesiano.COEFICIENTE DE CORRELACIÓN RECTILINEA DE PEARSONEn estadística, el coeficiente de correlación de Pesaron es un índice que mide la relación lineal entre dosvariables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación de Pesaron esindependiente de la escala de medida de las variables.De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pesaron como un índice quepuede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables siempre y cuando ambas seancuantitativas. El coeficiente de correlación es una medida de asociación entre dos variables y se simboliza con la literal r; los valores de la correlación van de + 1 a - 1, pasando por el cero, el cual corresponde a ausencia de correlación. Los primeros dan a entender que existe una correlación directamente proporcional e inversamente proporcional, respectivamente, (Willliams, 2008). 39
    • Comentario: El coeficiente de correlación de Pearson nos da una idea de que tan relacionadas están dos variables, este número varía entre 0 y 1; si el coeficiente es > 0.9, entonces es una buena correlación y cuando un coeficiente es < 0.3 indica que las variables no están correlacionadas entre ellas y por lo que el 1 representa una correlación perfecta.INTERPRETACIÓN DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓNEl coeficiente de correlación como previamente se indicó oscila entre –1 y +1 encontrándose en medioel valor 0 que indica que no existe asociación lineal entre las dos variables a estudio. Un coeficiente devalor reducido no indica necesariamente que no exista correlación ya que las variables puedenpresentar una relación no lineal como puede ser el peso del recién nacido y el tiempo de gestación. Eneste caso el r infraestima la asociación al medirse linealmente. Los métodos no para métrico estaríanmejor utilizados en este caso para mostrar si las variables tienden a elevarse conjuntamente o amoverse en direcciones diferentes. Como ya se ha planteado el grado de correlación mide la intensidad de relación lineal, ya sea directa, inversa o inexistente entre dos variables, se dice que es directa si tiene signo positivo, inversa de signo negativo y nula cuando el valor sea aproximadamente igual a cero, (Anderson, 2005).Comentario: El coeficiente de correlación mide solo la relación con una línea recta, dos variables pueden tener una relación curvilínea fuerte, a pesar de que su correlación sea pequeña; por lo tanto cuando analicemos las relaciones entre dos variables debemos representarlas gráficamente y posteriormente calcular el coeficiente de correlación para un mejor entendimiento.FORMULA 40
    • REGRESIÓN LINEAL SIMPLEElegida una de las variables independientes y representadas los valores de la variable bidimensional, siobservamos que la función que mejor se adapta a la forma de la nube de puntos es una recta, tendremosun problema de regresión lineal. Si hemos elegido el carácter X como variable independiente,tendremos a la recta de regresión de Y sobre X. Si elegimos Y como variable independiente, se obtendrála recta de regresión de X sobre Y.Regresión Lineal Simple.- suponga que tenemos una única variable respuesta cuantitativa Y, y unaúnica variable predictiva cuantitativa X. Para estudiar la relación entre estas dos variablesexaminaremos la distribución condicionales de Y dado X=x para ver si varían cuando varia x. (MORER,2004)COMENTARIO: Podemos concluir diciendo que una de las variables independientes y representadas los valores que mejor se adapta a la forma de la nube de puntos es una recta, tendremos un problema de regresión lineal. A demás el hecho de entender de que se trata una regresión lineal y saberla aplicar relacionando dos variables nos será de mucha ayuda en nuestro futuro ya que nos permitirá aplicar lo aprendido en problemas reales que se nos presenten en nuestra vida profesional como por ejemplo el saber que tan buena resulta una relación entre exportaciones e importaciones que el Ecuador ha realizado y así con esto poder tomar decisiones.CORRELACIÓN POR RANGOSCuando se obtienen datos en parejas, tales como observaciones de dos variables para un mismoindividuo, deseamos conocer si las dos variables están relacionadas o no y de estarlo, el grado deasociación entre ellas.Correlación Por Rangos.- Este coeficiente de Sperman, es muy utilizado en investigaciones demercado, especialmente cuando no se deben aplicar medidas cuantitativas para ciertas característicascualitativas, en aquellos casos , en donde se pueden aplicar ambos coeficientes de correlación,encontraremos que sus resultados son bastante aproximados. (BENCARDINO, 2006). 41
    • COMENTARIO: Son datos en pareja para poder conocer la relación que existe entre ellas para un solo individuo en común, y medir el grado de asociación entre ellas. Esto es muy interesante ya que en un futuro nos ayudara en lo que nos vamos a desarrollar que es un ambiente de negocios, ya que podemos aplicar esta técnica estadística aprendida, y así poder solucionar problemas que se nos presenten comúnmente y saber que tan buena es la relación entre las dos variables propuestas es decir nos ayudara mucho ya que nos dará una idea de que tan relacionadas linealmente están dos variables y si su relación es positiva o negativa.RANGOLa diferencia entre el menor y el mayor valor. En {4, 6, 9, 3, 7} el menor valor es 3, y el mayor es 9,entonces el rango es 9-3 igual a 6. Rango puede significar también todos los valores de resultado de unafunción.Rango.- es una categoría que puede aplicarse a una persona en función de su situación profesional o desu status social. Por ejemplo: “Tenemos que respetar el rango del superior a la hora de realizar algúnpedido”, “Diríjase a mi sin olvidar su rango o será sancionado. (MORER, 2004)COMENTARIO: Rango es el valor que se diferencia entre el menor y el mayor valor. Rango puede significar también todos los valores de resultado de una función, y se puede así relacionar y correlacionar a dos variables para obtener resultados que nos ayudan a la toma de decisiones. A demás un rango es importante ya que nos permite la obtención de datos más exactos y pues con esto nuestro trabajo se entonara de forma más real y sobre todo de forma más precisa, y por ende tomaremos decisiones más acertadas.COMENTARIO GENERAL:La correlación y regresión lineal están estrechamente relacionadas entre si las cuales nos ayudan acomprender el análisis de los datos muéstrales para saber qué es y cómo se relacionan entre sí dos omás variables en una población que deseemos estudiar para así poder determinar posibles resultadosque nos darán en un estudio de mercado por ejemplo ya que nuestra carrera de comercio exterior estámuy relacionada con ese ámbito. 42
    • La regresión lineal por otro lado nos permitirá graficar las dos variables a estudiar determinando susituación y si es conveniente o no desarrollar lo propuesto o investigado. La finalidad de una ecuaciónde regresión seria estimar los valores de una variable con base en los valores conocidos de la otra.Es decir en resumen que nos permitirá tomar decisiones acertadas dentro de un estudio ya sea en unapoblación que determinara el éxito o fracaso entre dos variables a estudiar, y facilitara la recolección deinformación.ORGANIZADOR GRAFICO: ayuda a la toma de decisiones segun lo resultante en la aplicacion de estos grupodetécnic herramienta basica asestadísticas para estudios y usadasparame analisis que pueden determinar el exito o dirlafuerzadel fracaso entre dos aasociaciónen opciones tredosvariable s CORRELACION Y REGRESION LINEAL se ocupa de establecer si existe una relación así como permite evaluar de determinar su magnitud decisiones que se y dirección mientras que la tomen en una regresión se encarga poblacion principalmente de utilizar a la relación para efectuar una predicción. determinar posibles resultados como por ejemplo del exito en un estudi de mercado 43
    • TRABAJO #3 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL INTERNACIONAL COMPETENCIA ESPECÍFICACapacidad para utilizar las ciencias exactas y dar solución a problemas del contexto aplicando laestadística con rigor científico y responsabilidad. MSC. JORGE POZO MARIA PUETATE NIVEL: 6TO“B” Periodo – 2012 44
    • TEMA: CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEALProblema: Desconocimiento de la correlación y regresión lineal para la aplicación en problemas delcontexto.OBJETIVOS.GENERALDar solución a problemas planteados de acuerdo a la correlación y regresión lineal.ESPECÍFICOS  Investigar bibliográficamente información de correlación y regresión lineal para fortalecer el conocimiento adquirido y aplicarlo adecuadamente en la solución de problemas  Realizar un análisis sobre el tema tratado para mejor comprensión  Poner en práctica los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas relacionados al ámbito de comercio exterior.PLANTEAMIENTOCon el tema de regresión y correlación trataremos el análisis de situaciones que se representa en unadistribución que contienen 2 variables X Y.Nuestro principal objetivo, al analizar las dos variables X Y, es el poder determinar la relación entreestas dos variables, es decir cómo se comportan las dos variables una con respecto a otra, además dedeterminar si están o no correlacionadas y en caso afirmativo, en hallar que tan fuerte es este grado derelación.JUSTIFICACIONEl presente tema se lo realiza con la finalidad de solucionar los ejercicios planteados y así lograr teneruna idea más clara en cuestiones relacionadas al comercio exterior, adquiriendo conocimientosprofundos sobre la correlación y relación lineal.Los ejercicios a resolver nos permitirán ahondar los conocimientos adquiridos en relación al tema y asípoder analizar las variables establecidas y determinar su comportamiento, además de establecer lacorrelación existente entre dichas variables a analizar 45
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    • CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: TIEMPO ACTIVIDAD M J V S L M M J investigación libros Investigación internet Elaboración de inicio de formato Realizar de ejercicios Entrega de tarea 64
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    • ANEXOS:Ejemplo 1:La siguiente tabla representa las puntuaciones de 7 sujetos en dos variables X e Y. X: 6 3 7 5 4 2 1 Y: 7 6 2 6 5 7 2Calcule: a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y b. La recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas c. La varianza de Y ( ), la varianza de las puntuaciones pronosticadas ( ) y la varianza error ( a) X Y XY X2 Y2 6 7 42 36 49 3 6 18 9 36 7 2 14 49 4 5 6 30 25 36 4 5 20 16 25 2 7 14 4 49 1 2 2 1 4 28 35 140 140 203 74
    • b)c)Ejemplo 2:Se tienen los datos conjuntos de dos variables, X e Y, con los valores que se muestran en la tabla:X: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13Y: 1; 4; 6; 6; 7; 8; 10 a. Si utilizamos la variable X como predictora de la variable Y, ¿qué porcentaje de variabilidad de Y no puede ser explicada por la variabilidad de X?. b. ¿Qué valor pronosticaríamos en la variable Y, si en la variable X obtenemos un valor de 10? c. Suponiendo que no dispusiéramos de la información relativa a la variable X, ¿qué valor pronosticaríamos para la variable Y? (Razone su respuesta).a) Completamos la siguiente tabla: X Y XY X2 Y2 75
    • 1 1 1 1 1 3 4 12 9 16 5 6 30 25 36 7 6 42 49 36 9 7 63 81 49 11 8 88 121 64 13 10 130 169 100 49 42 366 455 302El cuadrado del coeficiente de correlación (coeficiente de determinación) se interpreta comoproporción de varianza de la variable Y que se explica por las variaciones de la variable X. Portanto: es la proporción de varianza no explicada. Esta proporción multiplicada por 100 es eltanto por ciento o porcentaje.b) Aplicamos la ecuación de regresión de Y sobre X: Y= b.X + a. Siendo b la pendiente y ala ordenadacuyas expresiones aparecen entre paréntesis.c) Le pronosticaríamos la media, porque no disponiendo información de la variable X es con el quecometemos menos error de pronóstico. 76
    • Ejemplo 3:Elección de la prueba estadística para medir la asociación o correlación. Las edades en días están enescala de tipo intervalo, tenemos dos variables, entonces aplicamos esta prueba.Objetivo: Conocer qué grado de asociación existe entre la edad y peso corporal de niños de edadesdesde el nacimiento hasta los 6 meses.Hipótesis.Entre las observaciones de edad de los niños y peso corporal existe correlación significativa.Ho. Entre las observaciones de edad de los niños y pero corporal no existe correlación significativa. 77
    • Ejemplo 4:Se ha evaluado a 7 sujetos su inteligencia espacial (variable X) y sus puntuaciones fueron: 13, 9, 17, 25,21, 33, 29. Además se les pidió a los sujetos que reconocieran un conjunto de figuras imposibles(variable Y). Después de calcular la ecuación de regresión para pronosticar Y a partir de X, se sabe quepara una puntuación típica de 1,2 en X se pronosticaría una puntuación típica de 0,888 en Y. Tambiénse sabe que la desviación típica de las puntuaciones pronosticadas para Y es 11,1. Con estos datoscalcular: a. El coeficiente de correlación de Pesaron entre X e Y Sujeto Xi 1 13 169 2 9 81 3 17 289 4 25 625 5 21 441 6 33 1089 7 29 841 Sumatorio 147 3535 78
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    • a. La ecuación de regresión en puntuaciones diferenciales para pronosticar Y a partir de X a. La varianza de los errores del pronóstico.Ejemplo 5:De dos variables X e Y, y para un grupo de 5 sujetos, se saben los siguientes datos que se muestran en latabla:Calcular:a) Recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas.b) Coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y 80
    • c) La varianza de las puntuaciones pronosticadas.EJEMPLO 6:Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El Ecuador tiene lascotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis de cual empresa es la más conveniente, ylas unidades que se va a vender en el país de importación. Valor de los UnidadesEmpresas transformadores posibles a vender X2 Y2 XY x y 1 1800 100 3.240.000 10.000 180.000 2 1500 98 2.250.000 9.604 147.000 3 1200 80 1.440.000 6.400 96.000 4 900 62 810.000 3.844 55.800 5 850 58 722.500 3.364 49.300 ∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2=8.462.500 ∑y2=33.212 ∑xy= 528.100Fórmula: 81
    • Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la empresa importadora.EJEMPLO 7:Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El Ecuador tiene lascotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis de cual empresa es la más conveniente, ylas unidades que se va a vender en el país de importación. Valor de los UnidadesEmpresas transformadores posibles a vender X2 Y2 XY x y 1 1800 100 3.240.000 10.000 180.000 2 1500 98 2.250.000 9.604 147.000 3 1200 80 1.440.000 6.400 96.000 4 900 62 810.000 3.844 55.800 5 850 58 722.500 3.364 49.300 ∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2=8.462.500 ∑y2=33.212 ∑xy= 528.100Fórmula: 82
    • Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la empresa importadora.EJEMPLO 8:La empresa MIDECAR ha clasificado como mercancías de mayor responsabilidad las mercancíaspeligrosas y frágiles obteniendo así los siguientes datos mensuales sobre las toneladas de mercancíasque ingresan sobre este tipo:MESES Mercancías Mercancías Peligrosas Frágiles x y x^2 y^2 xyEnero 189 85 35721 7225 16065,00Febrero 105 96 11025 9216 10080,00Marzo 125 78 15625 6084 9750,00Abril 116 48 13456 2304 5568,00Mayo 124 98 15376 9604 12152,00 659 405 91203 34433 53615 83
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    • La relación que existe dentro de las mercancías frágiles y peligrosas tiende a positiva como lodemuestra el resultado numérico coma la formula y al grafica respecto al eje x y eje y.EJEMPLO 9:3. De una determinada empresa Exportadora de Plátano se conocen los siguientes datos, referidos alvolumen de ventas (en millones de dólares) y al gasto en publicidad ( en miles de dólares) de losúltimos 6 años: 85
    • a) ¿Existe relación lineal entre las ventas de la empresa y sus gastos en publicidad? 86
    • ANALISIS: En este caso r es 0.304 por tanto existe correlación ordinal positiva y es imperfecta, es decira mayor gasto en publicidad mayor volumen de ventas.EJEMPLO 10:La empresa FERRERO desea importar nueces desde Colombia por lo cual no está seguro que empresade transporte contratar para la mercancía de acuerdo a esto esta empresa decide verificar losrendimientos que han tenido estas empresas en el transporte por lo cual ha hecho una investigación demercado y a obtenido los siguientes resultados.EMPRESAS DE CALIDAD DE RENDIMIENTO (Y) XYTRANSPORTE SERVICIO (X)TRANSCOMERINTER 19 46 361 2116 874TRANSURGIN 17 44 289 1936 748TRANSBOLIVARIANA 16 40SERVICARGAS 14 30 256 1600 640 196 900 420 66 160 1102 6552 2682 r 87
    • r=r= 0,038Es una relación positiva pero se podría decir que la empresa no podrá depender de las dos variables ya que Empleados Años de Puntuación Servicio de “X” eficiencia “Y” XY X2 Y2 Y` A 1 6 6 1 36 3.23 B 20 5 100 400 25 4.64no son muy dependientes el uno del otro.EJEMPLO 11:Se está efectuando un proyecto de investigación en una empresa para determinar si existe relaciónentre los años de servicio y la eficiencia de un empleado. El objetivo de estudio fue predecir la eficienciade un empleado con base en los años de servicio. Los resultados de la muestra son: 88
    • C 6 3 18 36 9 3.61 D 8 5 40 64 25 3.77 E 2 2 4 4 4 3.31 F 1 2 2 1 4 3.23 G 15 4 60 225 16 4.30 H 8 3 24 64 9 3.77 61 30 254 795 128 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25r = .3531DESVIACIÓN ESTÁNDAR 89
    • b = 202 = .07652639a = 3.75 - .0765 (7.625) = 3.16 ( y - y )2 ( y - y´ )2 5.0625 7.6729 1.5625 0.0961 0.5625 0.3721 1.5625 1.5129 3.0625 1.7161 3.0625 1.5129 0.0625 0.09 0.5625 0.5929 r2 = 15.5 - 13.5659 = 0.1247 = 0.1247EJEMPLO 12:Un analista de operaciones de comercio exterior realiza un estudio para analizar la relación entre laproducción y costos de fabricación de la industria electrónica. Se toma una muestra de 10 empresasseleccionadas de la industria y se dan los siguientes datos: MILES DE MILES DEEMPRESA XY X2 Y2 UNIDADES x $y A 40 150 6000 1600 22500 B 42 140 5880 1764 19600 C 48 160 7680 2304 25600 90
    • D 55 170 9350 3025 28900 E 65 150 9750 4225 22500 F 79 162 12798 6241 26244 G 88 185 16280 7744 34225 H 100 165 16500 10000 27225 I 120 190 22800 14400 36100 J 140 185 25900 19600 34225 Σx 777 Σy 1657 Fxy 132938 Σx2 70903 Σy 2 277119 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160r = 1´329,380 - 1´287,489 =[709030 - 603729][2771190 - 2745949]r = ___41891 = r= _41891__ = 0.8078(105301) (25541) 51860.32DESVIACION ESTANDAR 91
    • Syx = (277119) - 134.7909 (1657) - (.3978) (132.938) 10 - 2Syx = 10.53MARCO TEORICO: CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEALLa correlación y la regresión están muy relacionadas entre sí. Ambas implican la relación entre dos omás variables. La correlación se ocupa principalmente. De establecer si existe una relación, así como dedeterminar su magnitud y dirección, mientras que la regresión se encarga principalmente de utilizar ala relación. En este capítulo analizaremos la correlación y más adelante la regresión linealRelaciones;La correlación se ocupa de establecer la magnitud y la dirección de las relaciones. Analizaremos algunascaracterísticas importantes generales de estas con las que comprenderemos mejor este tema.Relaciones lineales:Veamos una relación lineal entre dos variable. La siguiente tabla nos muestra el salario mensual quepercibieron cinco agentes de ventas y el valor en dólares de las mercancías vendidas por cada uno deellos en ese mes. 92
    • Agente variable X mercancía vendida ($) Y variable salario ($) 1 0 500 2 1000 900 3 2000 1300 4 3000 1700 5 4000 2100Podemos analizar mejor la relación entre estas variables. Si trazamos una grafica trazamos los valoresXyY, para cada agente de ventas, como los puntos de dicha grafica. Sería una grafica de dispersión o dedispersigrama.La grafica de dispersión para los datos de los agentes de ventas aparece en el cuadro.Una relación lineal.- entre dos variables, es aquella que puede representarse con la mejor exactitudmediante una línea recta.Problema de que ambos tienen escalas muy diferentes. Como mencionamos anteriormente podemosresolver esta dificultad al convertir cada calificación en su valor Z transformado, lo cual colocaría aambas variables en la misma escala, en la escala Z.Para apreciar la utilidad de los puntajes Z en la determinación de la correlación, consideremos elsiguiente ejemplo. Supongamos que el supermercado de su barrio está vendiendo naranjas, las cualesya están empacadas; cada bolsa tiene marcado el precio total. Ud. quiere saber si existe una relaciónentre el peso de las naranjas de cada bolsa y su costo. Como Ud. Es investigador nato, elige al azar seisbolsas y la pesa, de hecho están relacionadas estas variables. Existe una correlación positiva perfectaentre el costo y el peso de las naranjas. Asi el coeficiente de correlación debe ser igual a + 1.Para utilizar esta ecuación primero hay que convertir cada puntaje en bruto en su valor transformado.Esto puede tardar mucho tiempo y crear errores de redondeo con alguna algebra, esta ecuación sepuede transformar en una ecuación de cálculo que utilice datos en bruto:Ecuación para el cálculo de la r de pearson rDonde es la suma de los productos de cada pareja XyY también se llama la suma de losproductos cruzados. 93
    • Datos hipotéticos a partir de cinco sujetos: SUBJETIVO X Y X2 Y2 XY A 1 2 1 4 2 B 3 5 9 25 15 C 4 3 16 9 12 D 6 7 36 49 42 E 7 5 49 25 35 TOTAL 21 22 111 112 106 r r PROBLEMA DE PRÁCTICA: Tenemos una relación lineal imperfecta y estamos interesados en calcular la magnitud y dirección de la magnitud y dirección de la relación mediante la r Pearson.# de estudiantes IQ Promedio X2 Y2 XY (promedio de de datos Y calificaciones) 1 110 1.0 12.100 1.00 110.0 2 112 1.6 12.544 2.56 179.2 94
    • 3 118 1.2 13.924 1.44 141.6 4 119 2.1 14.161 4.41 249.9 5 122 2.6 14.884 6.76 317.2 6 125 1.8 15.625 3.24 225.0 7 127 2.6 16.129 6.76 330.2 8 130 2.0 16.900 4.00 260.0 9 132 3.2 17.424 10.24 422.4 10 134 2.6 17.956 6.76 384.4 11 136 3.0 18.496 9.00 408.0 12 138 3.6 19.044 12.96 496.8 TOTAL 1503 27.3 189.187 69.13 3488.0 r rUna segunda interpretación de la r de pearson es que también se puede interpretar en términos de lavariabilidad de Y explicada por medio de X. este punto de vista produce más información importanteacerca de r y la relación entre X y Y en este ejemplo la variable X representa una competencia deortografía y la variable Y la habilidad de la escritura de seis estudiantes de tercer grado. Suponga quequeremos que queremos predecir la calificación de la escritura de Esteban, el estudiante cuyacalificación en ortografía es de 88.Para calcular la r de Pearson para cada conjunto. Observe que en el conjunto B, donde la correlación esmenor, a algunos de los valores r= Son positivos y otros son negativos. Estos tienden a cancelarse entre si, lo cual hace que r tengauna menor magnitud. Sin embargo, en los conjuntos A y C todos los productos tienen el mismo signo, 95
    • haciendo que la magnitud de r aumente. Cuando las parejas de datos ocupan las mismas u opuestasposiciones dentro de sus propias distribuciones, los productos tienen el mismo signo, la cualproduce una mayor magnitud de rCalculando r utilizando para el conjunto B, utilizando la ecuación para los datos en bruto ¿Qué quiereutilizar la ecuación de los datos en bruto o la los puntajes z?Sume la constante 5 de los datos X en el conjunto A y calcule r de nuevo, mediante la ecuación de datosen bruto ¿ha cambiado el valor?Construya una grafica de dispersión para las parejas de datos.Sería justo decir que este es un examen confiableUn grupo de investigadores a diseñado un cuestionario sobre la tensión, consistente en quince sucesos.Ellos están interesados en determinar si existe una coincidencia entre dos culturas acerca de lacantidad relativa de ajustes que acarrea cada suceso. El cuestionario se aplica a 300 estadounidenses y300 italianos. Cada individuo debe utilizar el evento “matrimonio” como estándar y juzgar los demáseventos en relación con el ajuste necesario para el matrimonio recibe un valor arbitrario de 50 puntos.Si se considera un evento requiere de más ajustes que el matrimonio, el evento debe recibir más de 50puntos. el número de puntos excedentes depende de la cantidad de ajustes requeridos. Después de cadasujeto de cada cultura ha asignado de puntos a todos los eventos, se promedian los puntos de cadaevento. Los resultados aparecen en la siguiente tabla. EVENTOS ESTADOUNIDENSES ITALIANOS Muerte de la esposa 100 80 Divorcio 73 95 Separación de la pareja 65 85 Temporada en prisión 63 52 Lesiones personales 53 72 Matrimonio 50 50 Despedido del trabajo 47 40 Jubilación 45 30 Embarazo 40 28 Dificultades sexuales 39 42 96
    • Reajustes económicos 39 36 Problemas con la familia 29 41 política Problemas con el jefe 23 35 Vacaciones 13 16 Navidad 12 10 a. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo y calcule la correlación entre los datos de los estadounidenses y la de los italianos b. Suponga que los datos solo tienen una escala ordinal y calcule la correlación entre los datos de ambas culturas INDIVIDUO EXAMEN CON LÁPIZ PSIQUIATRA A PSIQUIATRA B Y PAPEL 1 48 12 9 2 37 11 12 3 30 4 5 4 45 7 8 5 31 10 11 6 24 8 7 7 28 3 4 8 18 1 1 9 35 9 6 10 15 2 2 11 42 6 10 12 22 5 3Un Psicólogo ha construido un examen lápiz-papel, a fin de medir la depresión. Para comparar losdatos de los exámenes con los datos de los expertos, 12 individuos “con perturbaciones emocionales”realizan el examen lápiz-papel. Los individuos son calificados de manera independiente por los dospsiquiatras, de acuerdo con el grado de depresión determinado para cada uno como resultado de lasentrevistas detalladas. Los datos aparecen a continuación.Los datos mayores corresponden a una mayor depresión. 97
    • a. ¿Cuál es la correlación de los datos de los dos psiquiatras? b. ¿Cuál es la correlación sobre las calificaciones del examen de lápiz y papel de cada psiquiatra?Para este problema, suponga que Ud. Es un psicólogo que labora en el departamento de recursoshumanos de una gran corporación. El presidente de la compañía acaba de hablar con Ud. Acerca de laimportancia de contratar personal productivo en la sección de manufactura de la empresa y le hapedido que ayude a mejorar la capacidad de la institución para hacer esto. Existen 300 empleados enesta sección y cada obrero fabrica el mismo artículo. Hasta ahora la corporación solo ha recurrido aentrevistas para elegir a estos empleados. Ud. Busca bibliografía y descubre dos pruebas de desempeñolápiz y papel, bien estandarizadas y piensa que podrían estar relacionadas con los requisitos dedesempeño de esta sección. Para determinar si alguna de ellas se puede usar como dispositivo deselección elige a 10 empleados representativos de la sección de la manufactura, garantizando que unaamplio rango de desempeño quede representado en la muestra y realiza las dos pruebas con cadaempleado por semana, promediando durante los últimos seis meses.Desempeño 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10en el trabajoExamen 1 50 74 62 90 98 52 68 80 88 76Examen 2 10 19 20 20 21 14 10 24 16 14 25 35 40 49 50 29 32 44 46 35 CORRELACIÓN4.1.1. TÉCNICAS DE CORRELACIÓNEn los capítulos anteriores, ustedes estudiaron las distribuciones de una sola variable. A continuaciónabordaremos el estudio de dos variables y no solamente de una. Particularmente estudiaremos quésentido tiene afirmar que dos variables están relacionadas linealmente entre si y cómo podemos mediresta relación lineal.4.1.2. RELACIONES LINEALES ENTRE VARIABLES 98
    • Supongamos que disponemos de dos pruebas siendo una de ellas una prueba de habilidad mental y otrauna prueba de ingreso a la Universidad. Seleccionemos cinco estudiantes y presentemos en la tabla Nº4.1.1 los puntajes obtenidos en estas dos pruebas. Tabla Nº 4.1.1 Estudiantes X Y Prueba de habilidad mental Examen de Admisión María 18 82 Olga 15 68 Susana 12 60 Aldo 9 32 Juan 3 18La tabla nos dice que si podemos hacer tal suposición ya que los estudiantes con puntajes altos en laprueba de habilidad mental tienen también un puntaje alto en el examen de admisión y los estudiantescon puntaje bajo en la prueba de habilidad mental. Tienen también bajo puntajes en el examen deadmisión. En circunstancia como la presente (cuando los puntajes altos de una variable estánrelacionados con los puntajes altos de la otra variable y los puntajes) afirmaríamos que hay unarelación lineal positiva entre las variables, entonces podemos definir una relación lineal positiva entreese conjunto de pares valores X y Y, tal la muestra la tabla N º 4.1.1Supongamos que en lugar de los resultados de la tabla Nº 4.1.1, hubiéramos obtenido los puntajes quese muestran en la tabla Nº 4.1.2 ¿podríamos afirmar que en esta situación los puntajes de la prueba dehabilidad mental pueden usarse para pronosticar los puntajes del examen de admisión? También,aunque en este caso mostramos una relación contraria a la que ocurre en la realidad ya que los sujetoscon puntajes altos en el test de habilidad mental aparecen con puntajes bajos en el examen de admisióny los sujetos con puntajes bajos en el test de habilidad mental presentan los puntajes altos en el examende admisión, entonces podemos definir una relación lineal negativa entre un conjunto de pares valoresX y Y (tal como en la tabla Nº 4.1.2) es decir, los puntajes altos de X están apareados con los puntajesbajos de Y y los puntajes bajos de X están apareados con los puntajes de Y. Tabla Nº 4.1.2 Estudiantes X Prueba de habilidad mental Y Examen de Admisión 99
    • María 18 18 Olga 15 32 Susana 12 60 Aldo 9 68 Juan 3 82 Tabla Nº 4.1.3 Estudiantes X Prueba de habilidad Y Examen de Admisión mental María 18 18 Olga 15 82 Susana 12 68 Aldo 9 60 Juan 3 32Examinemos ahora la tabla Nº 4.1.3. En este casi ya no podemos afirmar que los puntajes de la pruebade habilidad mental sirvan para pronosticar los puntajes del examen de admisión, ya que unos puntajesbajos del examen de admisión y algunos puntajes bajos del test de habilidad mental están apareadoscon otros puntajes altos del examen de admisión, entonces en este caso, decimos que no existe unarelación lineal entre las variables X y Y.4.1.3. DIAGRAMA DE DISPERSIÓNEn las situaciones que se presentan en la vida real no tenemos solamente cinco parejas de valores paraambas variables, sino muchísimas parejas. Otra forma alternativa de ver si existe o no relación linealentre dos variables seria hacer una grafica de los valores X y Y en un sistema de coordenadasrectangulares, este tipo de gráfica es conocido con el nombre de diagrama de dispersión, gráfico dedispersión o nube de puntos. Dibujemos el diagrama que corresponde a la Tabla N º 4.1.1. Lo haremoshaciendo corresponder a cada valor de la variable independiente X, un valor de la variable dependienteY, es decir, para la alumna Susana haremos corresponder du puntaje en la prueba de habilidad mental(12) con su puntaje de la prueba de admisión (60); al alumno Juan le hacemos corresponder su puntajedel test de habilidad mental (3) con su puntaje del examen de admisión (18). Luego ubicaremos los 100
    • cinco pares de puntajes en el sistema de ejes rectangulares y obtendremos los gráficos Nº 4.1.1 y Nº4.1.2Observemos en el gráfico Nª 4.1.1 que la tabla Nª 4.1.1. Es descrita por el diagrama de dispersión.Vemos en este gráfico que los cinco puntos dan la sensación de ascender en línea recta de izquierda aderecha. Esto es característico en datos en los que existe una relación lineal positiva. Aunque estoscinco datos no configuren una línea recta en forma perfecta. Se puede trazar una línea recta quedescriba que estos puntos en forma bastante aproximada conforme se ve en el gráfico Nª 4.1.2 y poresto decimos que la relación es lineal.Si ocurre que todos los puntos de la gráfica de dispersión están incluidos en una sola línea en formaexacta afirmamos que la relación lineal es perfecta. El grado en que se separan los puntos de una solalínea recta nos da el grado en que la relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos seencuentran en una sola línea decimos que la relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos seencuentran en una sola línea decimos que la relación lineal entre las dos variables es menos fuerte ycuando más puntos queden incluidos en una línea recta afirmamos que la relación lineal es más fuerte. 101
    • GRÁFICO Nº 4.1.1.Usando los datos de una tabla Nº 4.1.2 y utilizando la misma forma de razonar empleada hasta ahorapodemos construir el correspondiente gráfico de dispersión, tal como se muestra en el gráfico Nº 4.1.3.Podemos observar en el gráfico Nº 4.1.4. que la nube de puntos de la gráfica pueden delinearse bien poruna línea recta, lo que nos indica que hay una relación lineal entre las dos variables X y Y Vemos 102
    • también que la línea desciende de izquierda a derecha (tienen pendiente negativa) por lo que decimosque la relación lineal entre las dos variables es negativa.Si tenemos en cuenta la tabla Nº 4.1.3 podemos obtener una figura como se muestra en la gráfica Nº4.1.5 Notamos, en esta situación, que resultará inútil cualquier línea recta que trate describiradecuadamente este diagrama de dispersión. Y 80 70 60 50 40 30 20 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X 103
    • 4.1.4 COEFICIENTE DE CORRELACIONE RECTILINEA DE PEARSONCon ayuda de las gráficas nos podemos formar una idea si la nube de puntos, o diagrama de dispersión,representa una reacción lineal y si esta relación lineal es positiva o negativa, pero con la solaobservación de la gráfica no podemos cuantificar la fuerza de la relación, lo que si conseguiremoshaciendo uso del coeficiente r de Pearson.El coeficiente de correlación r de Pearson, toma valores comprendidos entre 1 y + pasando por 0. Elnúmero -1 corresponde a una correlación negativa perfecta (los puntos del diagrama de dispersióndeben encontrarse formando perfectamente una línea recta). El numero +1 corresponde a unacorrelación positiva perfecta. (los puntos del diagrama de dispersión deben encontrarse formandoperfectamente una línea recta). El coeficiente de correlación r=0 se obtiene cuando no existe ningunacorrelación entre las variables. Los valores negativos mayores que -1 indican una correlación negativay los valores positivos menores que 1 indican una correlación positiva.Referente a la magnitud de r podemos decir que independientemente del signo, cuando el valorabsoluto de r esté más cercana de 1, mayor es la fuerza de la correlación, es así que -0,20 y +0.20 soniguales en fuerza (ambos son dos valores débiles) los valores -0.93 y +0.93 también son iguales enfuerza (ambos son dos valores fuertes).Cálculo del Coeficiente r de Pearson utilizando una máquina calculadora cuando los datos noson muy numerosos.Dadas dos variables X y Y con sus respectivos valores. En la Tabla podemos calcular el coeficiente dePearson con una máquina calculadora mediante la siguiente fórmula. Tabla Auxiliar 4.1.4. (1) (2) (3) (4) (5) x Y X^2 Y^2 XY 18 82 324 6724 1476 15 68 225 4624 1020 12 60 144 3600 720 9 32 81 1024 288 3 18 9 324 54 ∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y2 =16296 ∑XY =3558 104
    • En las columnas (1) y (2) se han escrito los valores de X y Y. En la columna (3) se han elevado alcuadrado los valores de X. En la columna (4) se han elevado al cuadrado los valores de Y. En la columna(5) se ha efectuado el producto de cada pareja de valores X y Y. Aplicando los datos en la fórmula 4.1.1.,se tiene: INTERPRETACIONES DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN¿Qué tan elevado es un coeficiente de correlación dado? Tofo coeficiente de correlación que no sea ceroindica cierto grado de relación entre dos variables. Pero es necesario examinar más esta materia,porque el grado de intensidad de relación se puede considerar desde varios puntos de vista. No sepuede decir que un r de 0,50 indique una relación dos veces más fuerte que la indicada por un r de 0,25. Ni se puede decir tampoco que un aumento en la correlación de r = 0,40 a r = 0,60 equivalga a unaumento de r = 0,70 a r = 0,90. Es de observar que una correlación de 0,60 indica una relación tanestrecha como una correlación de + 0,60. La relación difiere solamente en la dirección.Siempre que éste establecido fuera de toda duda razonable una relación entre dos variables, el que elcoeficiente de correlación sea pequeño puede significar únicamente que la situación medida estácontaminada por algún factor o factores no controlados. Es fácil concebir una situación experimental enla cual, si se han mantenido constantes todos los factores que o sean pertinentes, el r podría haber sido1 en lugar de 0,20. Por ejemplos: generalmente la correlación entre la puntuación de aptitud y elaprovechamiento académico es 0,50 puesto que ambos se miden en una población cuyoaprovechamiento académico también es influenciable por el esfuerzo, las actitudes, las peculiaridadesde calificación de los profesores, etc. Si se mantuvieran constantes todos os demás factores 105
    • determinantes del aprovechamiento y se midieran exactamente la aptitud y las notas, el r seria 1 en vezde 0,50.Una conclusión práctica respecto a la correlación es que ésta es siempre relativa a la situación dentrode la cual se obtiene y su magnitud no representa ningún hecho natural absoluto. El coeficiente decorrelación es siempre algo puramente relativo a las circunstancias en que se ha obtenido y se ha deinterpretar a la luz de esas circunstancias y sólo muy rara vez en algún sentido absoluto.Además podemos agregar que la interpretación de un coeficiente de correlación como de medida delgrado de relación lineal entre dos variables es una interpretación matemática pura y estácompletamente desprovista de implicaciones de causa y efecto. El hecho de que dos variables tiendan aaumentar o disminuir al mismo tiempo no implica que obligadamente una tenga algún efecto directo oindirecto sobre la otra.A continuación calcularemos con la fórmula antes indicada el coeficiente de PEARSON de la relaciónpresentada en la tabla. Cuadro Auxiliar 4.1.5. (1) (2) (3) (4) (5) x Y X^2 Y^2 XY 18 18 324 324 324 15 32 225 1024 480 12 60 144 3600 720 9 68 81 4624 612 3 82 9 6724 246 ∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y2 =16296 ∑XY =2382 Vemos que la correlación es fuerte y negativa. 106
    • Ahora calculemos con la misma fórmula de Pearson Nº 4.1.1. El Coeficiente de Correlación lineal con losdatos de la tabla nº 4.1.3. Cuadro Auxiliar Nº 4.1.6 (1) (2) (3) (4) (5) x Y X^2 Y^2 XY 18 18 324 324 324 15 82 225 6724 1230 12 68 144 4624 816 9 60 81 3600 540 3 32 9 1024 96 ∑X=57 ∑Y=260 ∑X2=783 ∑Y2=16296 ∑XY=3006 La correlación es muy débil y positiva. CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS EN CLASESEl presente tema nos conduce a calcular el coeficiente de correlación r, que nos proporcionainformación de la fuerza de la relación que existe entre dos conjuntos.Ejemplo: calcular el grado de correlación entre las puntuaciones obtenidas en inventario de hábitos deestudio y los puntajes obtenidos de un examen matemático, aplicados a un total de 134 alumnos de uncolegio de la localidad. 107
    • ^-^X Hábitos de Y ^estudio 20 - 30 30 - 40 40 -50 50 - 60 Total fy Matemáticas^ 70 -*80 3 2 2 7 60 -> 70 1 0 4 5 10 50 ~» 60 2 6 16 3 27 40 50 4 14 19 10 47 30 >-■» 40 7 15 6 0 28 20 M 30 8 2 0 1 t1 10 20 1 1 2 4 Total f. 23 40 48 23 134Podemos notar que el problema no es tan simple, como el casa anterior, dado, que ahora los datos sehan clasificado en una tabla de doble entrada N" 4.1.7. Este): cuadro muestra, en la primera columnadel lado izquierdo los intervalos de clase 0» la variable Y, los que cubren todos los posibles datosacerca de las puntuaciones! alcanzadas por los estudiantes en la prueba de Matemática. Nótese que losi n t e r v a l o s los crecen de abajo hacia arriba. En la fila superior se presentan les intervalos <%Dentro del cuadro en los casilleros interiores o celdas de la tabla, se encuentran las frecuencias decelda que correspondan a puntajes que pertenecen tanto a un intervalo de la variable Y como unintervalo de la variable X.La fórmula que utilizaremos es la siguientePara obtener los datos que deben aplicarse en la formula vamos a construir el cuadro auxiliar almismo tiempo que se explica el significado de los símbolos de esa formulaLo primero que hacemos es reemplazar los intervalos horizontales y verticales por sus respectivasmarcas de clase a continuación adicionalmente al cuadro N4.1.7 cinco columnas por el lado derecho,cuyos encabezamientos son : f para la primera. 1) Para determinar las frecuencias marginales que se deben colocar en la columna f sumamos las frecuencias de las celdas que están en la misma fila de la marca de clase 75, obtenemos 3+2+2=7, numero que se escribe en el primer casillero o celda de la columna f. en la fila de la marca de clase 65 sumamos 1+4+5=10 numero que se escribe debajo del 7. 2) Ahora vamos a determinar las frecuencias marginales de la variable x: en la columna encabezada con la marca de clase 25 sumemos verticalmente las frecuencias 1+2+4+7+8+1=23 108
    • 3) Centremos nuestra atención en la columna encabezada u, este signo significa desviación estándar y procedemos a la misma forma en las tablas. Recuerden que las desviaciones unitarias positivas: +1+2 y negativas : -1-2 y -3 corresponden a los intervalos menores. 4) Luego vamos a determinar las desviaciones unitarias horizontales de la variable X. el origen de trabajo es la marca de clase 45 que se halla en la fila superior del cuadro , por esa razón , escribimos cero debajo de la frecuencia marginal 48. 5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse en la columna encabezada. Para obtener los valores de la cuarta columna encabezada debemos tomar en cuenta que por lo tanto basta multiplicar cada valor de la segunda columna por su correspondiente valor de la tercera columna así se obtiene el respectivo valor de la cuarta columna. En efecto: (3)(21)=63 (20)(20)=40(+1)(27)=27; 00*00=0; (-1)(-28)=28; (-2)(-22)=44 y (-3)(-12)=36 La suma 63+40+27+28+44+36=238 Ahora nos fijamos horizontalmente en la tercera fila. Tenemos que (f)(u)=fu por consiguiente basta multiplicar verticalmente un valor de la primera fila por su correspondiente valor de la primera fila por su correspondiente valor de la segunda fila para obtener el respectivo valor de la tercera fila. (23)(-2)=-46; (40)(-1)=-40; (48)(0)=0 y (23)(+1)=23 Sumando horizontalmente: (-46)+ (-40)+ (23)=-86+23=-63 Vamos por la cuarta fila vemos que u (fu)= Fu2 luego basta multiplicar cada elemento de la segunda fila por su correspondiente elemento de la tercera fila por su correspondiente elemento de la tercera fila para obtener el respectivo elemento de la cuarta fila así: (-2)(-46)=9; (-1)(-40)=40; 0*0=0y (+1)(23)=23 Para obtener valores de la quinta columna observamos que hay tres factores el 1 es la frecuencia f de la celda o casillero que se está considerando el segundo factor es la desviación unitaria u, el tercer factor es la desviación unitaria, por lo tanto el procedimiento será el siguiente: tomemos el número 3 que es la frecuencia de la celda determinada por el cruce de los intervalos que tienen la marcha de la clase 75 horizontalmente y 35 verticalmente. Para ubicar el tercer factor corremos la vista del numero 3 hacia su derecha hasta llegar a la columna de las desviaciones unitarias u y ubicamos el numero +3 formemos el producto de estos tres números: (3)(--1)(+3)=-9 encerrado de un semicírculo lo escribimos en la celda elegida En la misma fila tomamos la celda siguiente: (2) (0)(+)109
    • Continuando hacia la derecha (2) (+1)(+3)=6X hábitosestudio suma de losY # enmatemática 25 35 45 55 Fy Uy FyUy FyU^2y semicírculos 75 2 3 2 2 7 3 21 63 -3 65 1 0 4 5 10 2 20 40 6 55 2 6 16 3 27 1 27 27 -7 45 4 14 19 10 47 0 0 0 0 35 7 15 6 0 28 -1 -28 23 29 25 8 2 0 1 11 -2 -22 44 34 15 1 0 1 2 4 -3 -12 36 0 ∑FxUx = ∑FxUx^2= ∑FxyUxUy= 6 238 59Fx 23 40 48 23 134Ux -2 -1 0 1FxUx -46 -40 0 23 ∑FxUx=-63FxUx^2 92 40 0 23 ∑FxUx^2=155La fórmula del paso (9) lleva el signo ∑para indicar que se deben sumar horizontalmente los númerosque están encerrados en los semicírculos de esa primera fila elegida así: -9+0+6. Este número se escribeen la quita columna.Trabajemos con la segunda fila: (1) (-2)(+2)= -4 se encierra en un semicírculo.(0)(-1)(+2)= 0(4)(0)(+2)= 0(5)(+1)(+2)= 10Sumando 0 + 0 + 10 = 10Ahora con la tercera fila:(2)(-2)(+1)= -4(6)(-1)(+1)= -6(16)(0)(+1)= 0 110
    • (0)(+1)(+1)= 3Sumando: (-4) + (-6) + 0 + 3 = -7Cuarta fila(-4) + (-2) + 0 = 0 todos los productos vales cero, luego la suma = 0Quinta fila(7)(-2)(-1)= 14(15)(-1)(-1)= 15(6)(0)(-1)= 0(0)(+1)(-1)= 0La suma es: 14+15= 29(8)(-2)(-2)= 32(2)(-1)(-2)= 4(0)(0)(-2)= 0(1)(+1)(-2)= -2La suma es: 32 + 4 -2 = 34Séptima fila:(1)(-2)(-3)= 6(1)(0)(-3)= 0(2)(1)(-3)= -6Sumando: 6 + 0 – 6 = 0Sumando los valores de la columna quinta.Reuniendo los resultados anteriores, se tienen los datos para aplicar en la formulan= 134 111
    • ∑ = 59∑ = -63∑ =6∑ = 155∑ = 238r=r=r= 0,358Ejercicio Resuelto N° 2 de Cálculo de Coeficiente de Correlación Entre Conjuntos de DatosAgrupadosCalcular el coeficiente de correlación lineal de las puntuaciones en matemáticas y físicas de 100estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad MN X Puntuación matemáticas Y Puntuación fisica 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 TOTAL 90 - 100 0 0 0 2 5 5 12 80 - 90 0 0 1 3 6 5 15 70 - 80 0 1 2 11 9 2 25 60 - 70 2 3 10 3 1 0 19 50 - 60 4 7 6 1 0 0 18 40 - 50 4 4 4 0 0 0 11 TOTAL 10 15 22 20 21 12 100 112
    • SUMA DE LOS NÚMEROS ENCERRADOS EN SEMICÍRCULOS EN PUNTUACIÓN EN MATEMÁTICA CADA FILA 45 55 65 75 85 95 Fy Uy Fy Uy Fy U2y 95 2 5 5 12 2 24 48 54 85 1 3 6 5 15 1 15 15 30PUNTUACION ENFISISCA Y 75 1 2 11 9 2 25 0 0 0 0 65 2 3 10 3 1 19 -1 -19 19 2 55 4 7 6 1 18 -2 -36 72 28 45 4 4 3 11 -3 -33 99 36 fx 10 15 22 20 21 12 100 -3 -49 253 150 Ux -2 -1 0 1 2 3 3 Σfy Uy Σfy U2y Σ fxy Ux Uy FxUx -20 -15 0 20 42 36 63 Σfx Ux F x U 2x 40 15 0 20 84 108 267 Σfx U2x 113
    • En este problema tenemos que calcular el confidente de correlación lineal r para dos conjuntos de datosconstituidos por los calificativos en una escala de 0 a 100, en matemáticas y en física para 100estudiantes de la facultad de Ciencias de cierta universidadLos datos se muestran en el cuadro N° 4.1.9 Notemos que a lo largo de la línea horizontal superior seencuentran los intervalos que contienen los calificativos de matemáticas desde 40 hasta 100.Igualmente en la primera columna vertical izquierda, se encuentran los calificativos para física de losmismos estudiantes, desde el calificativo 40 hasta 100. Notese que en la columna de los calificativos defísica los datos crecen de abajo hacia arriba y para la fila horizontal superior vemos que los calificativosen matemáticas crecen izquierda a derecha.A continuación procederemos a calcular el confidente de correlación r para estos datos aplicando elmismo método que utilizaremos en el problema anterior. 1) Traslademos los datos del cuadro N° 4.1.9. Llamaremos xy a cualquiera de las frecuencias de los casilleros interiores del cuadro N° 4.1.9. En el cuadro N° 4.1.10. podemos observar que se han agregado cinco columnas por el lado derecho y cuatro filas por la parte interiorObservemos en el cuadro N° 4.1.10 que los intervalos para la puntuación en matemáticas y para lapuntación en física se han remplazado por las marcas de clase correspondientes. Así en la filahorizontal superior se han remplazado el primer intervalo 40 50 por su marca de clase45, el segundointervalo 50 60 por su marca de clase 55 y de esta manera se han remplazado los demás intervalospor sus marcas de clases en el cuadro N° 4.1.10.De igual forma para la columna primera de la izquierda vemos que los intervalos se han remplazadopor sus respectivas marcas de clase así para la puntuación en física el primer intervalo superior 90100 se han remplazado por su marca de clase 95, el segundo intervalo superior 80 90 se haremplazado por su marca de clase 85 y así sucesivamente hasta llegar al intervalo inferior 40 50 quese ha remplazado por su marca de clase 45.Ahora vamos a realizar los pasos siguientes 1) Para las frecuencia marginales fy sumemos todos los valores fxy de la primera fila que tiene la marca de clase 95. De esta forma tenemos: 2+5+5= 12 Para la segunda fila que corresponde a la marca de clase 85 obtenemos: 1+3+6+5= 15 que escribimos en el segundo casillero de f y. 2) Dediquemos nuestra atención a las frecuencias marginales f x. el primer resultado de fx lo obtenemos sumando las frecuencias fxy para la colunia que tiene la marca de clase 45, de esta forma tenemos: 2+4= 10 que se escribe en el primer casillero de f x para el segundo casillero 114
    • tenemos el número 15 que se obtiene verticalmente de las frecuencias fxy de la columna que tiene de marca de clase 55. Continuando con las sumas de las f de las demás columnas llenamos las frecuencias marginales fx. 3) Atendamos la columna Uy la columna Uy tiene en total 6 casilleros arbitrariamente escogemos uno de estos casilleros como origen de trabajo y le asignamos el numero 0. Aquí hemos escogido el tercer casillero contando de arriba hacia abajo. Observamos ahora la primera columna de la izquierda en donde están las marcas de clase de los puntajes de física. Aquí observamos que las marcas de clase crecen de abajo hacia arriba entonces las desviaciones unitarias en la columna Uy crecerán de abajo hacia arriba entonces del 0 hacia abajo, las desviaciones unitarias son números negativos que van decreciendo hacia abajo. Desde el 0 hacia arriba las desviaciones serán positivas y crecientes. De manera que podemos observar que la columna Uy está conformada por los siguientes números que crecen del 0 hacia arriba: 1,2 y desde el 0 hacia abajo decrece: -1,-2,-3. 4) Veamos la fila Ux Notamos que el fila horizontal superior las marcas de clase crecen de izquierda a derecha de igual forma las desviaciones unitarias crecerán de izquierda a derecha. Elegiremos como origen de trabajo arbitrariamente uno del casillero U x el tercero contando de izquierda a derecha, y vamos asignando números positivos crecientes hacia la derecha del 0, así tenemos 1, 2,3 ya hacia la izquierda, a partir del cero, tendremos:-1y-2. 5) Expliquemos la columna fy Uy. Multipliquemos cada valor de fy por su correspondiente valor de Uy y se obtiene un valor Fy Uy. Por ejemplo el numero 24 se obtiene multiplicando la frecuencia marginal fy = 12 por su correspondiente desviación unitaria U y = 2esto es, 12*2= 24. Para el segundo casillero multiplicamos 15*1=15; para el tercero 25*0=, así hasta terminar con 11*(- 3)= -33. 6) Observemos la columna Fy U2y. L primera celda de esta columna tiene el número 48 que se obtiene de multiplicando el valor Uy =2 de la segunda columna por su correspondiente valor Fy Uy = 24 de la tercera columna, es decir, 2*24= 48. Para el segundo casillero de la columna f y U2y , tenemos 15 que es igual a 1 por 15. De esta forma continuamos llenando los demás valores de la columna Fy U2y. 7) Veamos ahora la fila fx ux. El número -20 del primer casillero de esta fila se obtiene multiplicando la frecuencia marginal fx = 10 por su correspondiente desviación unitaria Ux = -2 es decir: 10 (-2)= -20. Para el segundo casillero de FX UX, multiplicamos (-1)*(-15)= 15 y así sucesivamente 12*3= 36.115
    • 8) Veamos Fx U2x. El primer casillero de esta fila es 40 y es el resultado de multiplicar -2 del primer casillero de la fila Fx Ux por menos 20 de su correspondiente primer casillero de la fila Ux esto es, (-2)* (-20)= 40. Para el segundo casillero de fx U2x multiplicamos -1 del segundo casillero de Ux por -15 de su correspondiente segundo casillero de FX UX, luego obtenemos (-1) *(-15)=15 .Así continuamos multiplicando los valores de los casilleros U x por sus correspondientes valores de la fila Fx Ux hasta llegar a (3) (36)= 108. 9) Interesa ahora obtener los números encerrados en semicírculo, por ejemplo ahora, el numero 4, que corresponde a la marca de clase 75 para la puntuación en matemáticas y a la marca de clase 95 de la puntuación en física. 10) Para saber cómo se obtiene este numero 4, corramos nuestra vista hacia la derecha dirigiéndonos hacia la columna UY y obtenemos el numero 2. Del numero 4, encerrado en semicírculo, bajemos la vista con dirección a la fila U x y obtenemos 1. La frecuencia del casillero donde esta el 4, encerrado en semicírculo, es fxy = 2. Multiplicando estos 3 factores tendremos fxy Ux Uy = (2) (1) (2) = 4.Podemos anunciar la siguiente regla:Para obtener los valores encerrados en semicírculos en los casilleros interiores del cuadro N°4.1.10multiplicamos el valor de la frecuencia fxy del casillero para el cual estamos haciendo el cálculo, por losvalores de las desviaciones unitarias Uy y Ux , obtenidas corriendo la vista hacia la derecha hastacolumna Uy y también hacia abajo hasta legar a la fila Ux.Así por ejemplo, para el casillero que corresponde a las marcas de clase 75 en matemática y 85 en física,tenemos la frecuencia de la celda Fxy = 3, los otros dos factores son: Uy =1 y Ux = 1.Luego (3) x (1) x (1) = 3 que es el valor encerrado en semicírculo.Para el casillero correspondiente a la marca de clase 55 en matemáticas marca de clase 45 en física,tenemos:fxy = 4, Uy = -3, Ux = -1fxy Ux Uy = (4) (-3) (-1) = 12 que es el valor encerrado en semicírculo. Así podemos proceder paraobtener todos los demás valores encerrados en semicírculos. 116
    • Sumando las frecuencias marginales de la columna fy, se tiene ∑ fy =100. Sumando los valores de latercera columna se obtiene ∑fy Uy = - 49. Sumando los valores de la cuarta columna, tenemos ∑f y U^2y =253. La suma de los valores de la quinta columna:∑fxy Ux Uy = 150Para todas las filas, en el último casillero de la derecha se tiene la suma de los valores de la fila. Así, porejemplo, ∑fx = 100; ∑fy = 100.Para la tercera fila: ∑fx Ux = 63Para la cuarta fila: ∑fx U^2x = 267Estos totales de filas y columnas reemplazaremos en la fórmula. Vemos que el coeficiente de correlación en este caso es 0.79.Ejercicio Propuesto Nº 1 del Cálculo del Coeficiente de Correlación entre dos ConjuntosAgrupados de Datos.Supongamos que tenemos 30 sujetos a los que hemos aplicado una prueba de conocimientos dePsicología General (variable x) y un test de inteligencia (variable y).Aplicando los datos tomados del Cuadro Auxiliar en la fórmula tenemos:Resultado: 117
    • Ejemplo propuesto N°2 del cálculo del coeficiente de correlación entre dos conjunto de datosagrupados. Supongamos que se tienen 50 vendedores de cierta compañía. Estos vendedores durante unaño 1985 han realizado ventas tal como lo muestra el cuadro N°4.1.13, el que también muestra elnúmero de años de experiencia que tiene como vendedores.Para dicho cuando, se pide calcular el coeficiente de correlación lineal r. Años de experiencia X Monto de 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 TOTAL ventas Y15 18 1 112 15 2 3 4 9 9 12 7 3 2 12 6 9 6 9 4 19 3 6 5 2 7 1 3 2 2TOTAL 2 11 18 12 7 50 118
    • Tomando los datos obtenidos n el cuadro Auxiliar N°4.1.14 apliquemos en la formula N° 4.1.12, se tiene. 119
    • 120
    • Progresiones lineales simples4.2.1. Regresión lineal simpleAl comenzar a estudiar las técnicas de correlación afirmamos que estudiaríamos dos variables yno solamente una. Llamamos a esa ocasión X a una de las variables Y a la otra. En el tema quenos ocuparemos ahora, estudiaremos la forma de predecir v valores de Y conociendo primerolos valores de X. Es así que viendo la tabla N 4.2.1, similar a la que utilizamos cuandoestudiamos correlación, conociendo el puntaje en la prueba de habilidad mental (variable X)para un alumno determinado, podemos anticipar el puntaje del examen de admisión (variableY) del mismo alumno.Consideraremos la relación lineal expresada por el cuadro N4.2.1 si dibujamos esarelación, obtenemos el grafico N4.2.1. Como podemos observar todos los puntos se alineanexactamente. En una sola línea recta, la que recibe el nombre de línea de regresión. Teniendo encuenta esta línea, podemos predecir cualquiera d los valores de Y conociendo el valor de X; paraX=25, según la recta, correspondiente de Y=35, para X=20 corresponde Y=30. Etc. En este casose trata de una correlación positiva perfecta cuyo coeficiente de correlación es +1. Prueba de habilidad mental X Examen de Admisión YSUSANA 5 15IVAN 10 20LOURDES 15 25ALDO 20 30JUAN 25 35MARIA 30 40CESAR 35 45OLGA 40 50Recordemos ahora el grafico N 4.1.2 que dibujamos cuando estudiamos correlación, en estegrafico observamos el diagrama de dispersión aproximado por una línea recta, la recta quemejor se ajuste a los puntos del diagrama de dispersión, es decir, en la mejor medida procure 121
    • dejar igual número de puntos del diagrama de dispersión por encima de ella que igual númerode puntos debajo, se llama línea de regresión.ECUACION DE LA REGRESION RECTILINEALa ecuación que describe la línea de regresión es:GRÁFICO y 45 40 Serie 1 f(x)=1*x+10; R²=1 35 30 25 20 15 10 r = 1,00 5 x -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -5 = media de la variable X en la muestra.X = un valor de la variable Xr = coeficiente de Pearson, de la correlación lineal entre las variables X y Y.SY = desviación estándar de Y en la muestra.SX = desviación estándar de X en la muestra.Yr = Valor Y resultado del cálculo de la fórmula. 122
    • Veamos cómo podemos predecir los valore de Y a partir de los valores de X. como el gráfico deeste cuadro es una línea recta ascendente sabemos que su coeficiente de correlación de Pearsonr = +1. Además tenemos los siguientes resultados:X = 22,5 SX = 11,46 Y= 32,5 SY = 11,46Estos resultados se pueden calcular a partir de los datos del cuadro. Apliquemos estos datos a lafórmula, obtenemos la siguiente expresión:Simplificando términos obtenemos:Escojamos cualquier valor de X, por ejemplo para María x = 30, reemplazando este valor en (b).Vemos en le cuadro el valor que corresponde a María efectivamente es 40, es decir podemosusar la ecuación para predecir los valores de Y conociendo los valores de X.Esta fórmula de regresión se puede aplicar par dos variables X y Y, entre las cuales no esobligatorio que exista una correlación lineal perfecta, es decir, no es obligatorio que el r para lacorrelación entre X y Y sea siempre igual a 1. Este valor de r para otras aplicaciones de laregresión, puede tomar cualquier valor distinto de 1. Ejercicios Resueltos de Regresión Lineal SimpleAl aplicar un test de inteligencia a una muestra representativa constituida por 800 alumnos, seobtuvo la puntuación media de 30,4 puntos, con la desviación estándar de 12,6 puntos.La edad media de la muestra fue de 14,5 años, con la desviación estándar de 3,2 años.El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre la variable Y, edad de los sujetos estudiadosy la variable X, rendimiento mental de los mismos sujetos, fue r = 0,89.Con estos datos se pide determinar la ecuación de regresión rectilínea de edad en base delpuntaje del rendimiento mental.¿Qué edad corresponde a los sujetos que alcanzan puntuaciones de:X1 = 18 Puntos X4 = 50 Puntos 123
    • X2 = 25 Puntos X5 = 60 PuntosX3 = 45 Puntos X6 = 80 PuntosDatos: = 14,5 SY = 3,2 r = 0, 89 = 30,4 SX = 12,6Aplicando estos datos en la fórmula se tiene: Es la ecuación de regresión buscada.Respuesta de la 1ra. PreguntaX1 = 18YR = 7,63 + 0,226 (18) = 7,63 + 4,07YR = 11,7 añosSegunda preguntaX2 = 25YR = 7,63 + 0,226 (25) = 7,63 + 5,65YR = 13,28 añosTercera preguntaX3 = 45YR = 7,63 + 0,226 (45) = 7,63 + 10,17YR = 17,8 añosCuarta preguntaX4 = 50YR = 7,63 + 0,226 (50) = 7,63 + 11,3YR = 18,93 años 124
    • Quinta preguntaX5 = 60YR = 7,63 + 0,226 (60) = 7,63 + 13,56YR = 21,19 añosSexta preguntaX6 = 80YR = 7,63 + 0,226 (80) = 7,63 + 18,08YR = 25,71 añosEste cuadro contiene la primera columna los nombres de los alumnos, en la segunda están losrangos de esos alumnos en la variable, en la tercera se hallan los rangos de los alumnos en lavariable Y. En la cuarta columna están las diferencias de los rangos correspondientes de lasvariables X y Y. en la quinta columna se colocan las cuadros de las diferencias, ya calculadas. CUADRO AUXILIAR Nº 4.3.4ALUMNOS RENGO DE RANGO DE D= DIFERENCIA X YRodríguez 3 3 0 0Fernández 4 5 -1 1Córdova 2 1 1 1Flores 1 2 -1 1Lema 5 4 1 1APLICANDO LOS DATOS EN LA FORMULA Nº 4.3.1, SE TIENEP= 0.08Es una correlación positiva. Su valor es muy alto y poco común puesto que la práctica enseñaque en la correlación de la inteligencia con el rendimiento escolar en las asignaturas, casisiempre se alcanza un valor próximo a 0.5. 125
    • EJEMPLO 2Supongamos el siguiente cuadro nº 4.3.5. Queremos calcular el coeficiente de correlación porrangos. CUADRO Nº 4.3.5EXAMINADOS PRUEBA DE HABILIDAD APTITUD ACADÉMICA MENTAL Y XSusana 49 55Iván 46 50Lourdes 45 53Aldo 42 35Juan 39 48maría 37 46cesar 20 29Olga 15 32Observamos que los examinados están ordenados con respecto a la prueba de habilidad mentalde mayor a menor; podemos afirmar que la posición o rango que se podría asignar a Susana esel primero, a Iván le correspondería el segundo, para Lourdes el tercero tal como se muestra enel cuadro Nº4.3.6.De igual forma podríamos ordenar la posición o rango de los postulantes según los resultados dela prueba de aptitud académica Y del examen de admisión, lo que se muestra en el cuadroNº4.3.6 es así como Susana también ocupa el número de orden o rango primero y Lourdes ocupael segundo lugar o rango dos en esa prueba, así podemos continuar ordenando los alumnossegún su rango en la pruebe de aptitud académica y terminaremos con cesar que ocupa el rango8 en tal prueba.CORRELACIÓN POR RANGOSEs el orden que posee o se asignan a cada miembro de un conjunto de de elementos de acuerdoa una escala ordinal dada. El rango ubica el elemento en un punto de esa escala.Por ejemplo: podemos establecer un ordenamiento de los alumnos de acuerdo a los puntajesalcanzados en un examen. Así tenemos en el cuadro Nº 4.3.1 que sigue: CUADRO Nº 4.3.1 126
    • ALUMNOS García León Pérez Ruíz Lazo LoraPUNTAJES 40 65 52 70 76 56Ordenándolos de acuerdo a la magnitud del puntaje, establecemos los rangos siguientes en elcuadro Nº 4.3.1. CUADRO Nº 4.3.2ALUMNOS García León Pérez Ruíz Lazo LoraRANGOS 6 3 5 2 1 44.3.2 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOSLa correlación por rangos se refiere a la correspondencia en el ordenamiento de los elementosde dos conjuntos dados. La fuerza de la correlación se mide por medio del coeficiente por rangosde spearman, cuya fórmula es:En donde.P= letra griega rho, designa el coeficiente de correlación por rangos.D= diferencias de rangos correspondientes entre si pertenecientes a dos variables X y Y. Porejemplo d=n= numero de pares correspondientes.EJEMPLOS Nº 1En la primera columna de la izquierda del cuadro Nº 4.3.3 se presenta un grupo de 5estudiantes; en la segunda columna están sus niveles mentales que se consideran comocategorías de la variable X, en la tercera columna se indican los resultados de una prueba dematemáticas aplicadas al grupo, cuyas puntuaciones son valores de la variable Y. CUADRO Nº 4.3.3 127
    • ALUMNOS NIVEL MENTAL MATEMÁTICAS X YRodríguez medio 35Fernández interior al promedio 17Córdova superior al promedio 48flores muy superior al promedio 42lema muy inferior al promedio 20Calcular el coeficiente de correlación por rangos. ESTUDIANTES CLASIFICACION DE CLASIFICACION DE LOS D= DIF D2 LOS RANGOS RANGOS RANGO X RANGO Y SUSANA 1 1 0 0 ESTEBAN 2 3 -1 1 LOURDES 3 2 1 1 ALDO 4 6 -2 4 JUAN 5 4 1 1 MARIA 6 5 1 1 CESAR 7 8 -1 1 OLGA 8 7 1 1∑D2 = 10En la descripción de este cuadro la columna X corresponde a los rangos en las pruebas dehabilidad mental, la columna Y corresponde a los rangos de las pruebas de los estudiantes deactitud académica. La columna D corresponde a la diferencia del rango de un elemento de lacolumna X menos el rango de su correspondiente elemento en la columna Y. en la columna D2 sehalla el cuadrado de la diferencia anotada en la columna D. 128
    • Ahora para medir la correlación entre los resultados de la prueba de habilidad mental y delexamen de admisión, tomamos los datos del cuadro anterior en el que los datos estántransformados en rangos.Conforme ya mencionamos en el ejemplo 1 la fuerza de la correlación en este tipo de problemas,se determina por el coeficiente p (rho) de correlación de rangos de spearman. Aplicamos laformula N° 4, 3,1 en dondeN= 8 pares∑D2 = 10, este número es el resultado de la suma de los números D elevados al cuadrado quefiguran la columna D2.Vemos que existe una correlación positiva fuerte entre las puntuaciones de la prueba de lahabilidad mental y los puntajes de la actitud académica del examen de admisión. Caso de rangos empatados o repetidosExaminemos el caso N° 4.3.7 y supongamos que en el examen de admisión de Susana y Estebanobtuvieron el mismo puntaje 55 y por lo tanto a cualquiera de los dos le corresponde los rangosprimero o segundo para romper esta indeterminación, convenimos en asignar a cada uno deellos el promedio de ambosRangos, o sea = 1.5 entonces tanto Susana como esteban tendrán el rangoTratemos ahora los rangos del VI Ciclo vemos que los profesores L Y P están empleados oigualados en puntaje por lo que a cualquiera de los dos le corresponde el rango 5 o el rango 6.elrango que le asignemos serán el resultado de promedio 5 y 6 que son los dos rangos empatados,luego (5+6) / 2 =5.5 será el número que le asignamos como rango.Los profesores Fy Z tienen en el VI ciclo los rangos 3 y 4 a cualquiera de estos dos lescorresponde el tercer o cuarto lugar. El número que les asignaremos será (3+4) /2 = 3.5.Luego elaboramos una columna para los nuevos rangos Y en donde a los profesores L y P lesasignaremos el rango 5.5 y a los profesores F Y Z les asignaremos el rango 3 Y 5. los profesores JY K seguirán con los rangos 1 y 2 respectivamente.En La Columna D se colocan las diferencias X – YNos ocuparemos ahora de la columna D2. En esta columna se encuentran valores de la columnaD elevados al cuadrado, luego sumamos los valores de la columna D2 y obtenemos = 17.Ahora aplicaremos la formula número 4.3.1. 129
    • Aquí = 17.N= 6P= 1- 6 (17) = 0.5 6 (36 -1)Luego la correlación entre los puntajes asignados a los 6 pro0fesores por el V ciclo y los puntajes 6 (36 – 1)asignados por el VI ciclo es positiva, pero su magnitud no es ni muy fuerte ni muy débil.2º EJERCICIOCinco niños se someten a una pruebe de habilidad mental y los resultados de estas se ordenanpor rangos en la columna X. también se muestran en la columna Y los rangos de estos mismos 5niños respecto al tiempo que gastan al mirar la tv.? (Ver cuadro Nº 4.3.1)¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que gastan mirando tv.?Calculando los nuevos rangos para la columna Y teniendo en cuenta rangos igualadosobtenemos: ALUMNOS x Y A 1 4o5 B 2 4o5 C 3 2o3 D 4 1 E 5 2o3¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que gastan mirando tv?Calculando los nuevos rangos para la columna Y. teniendo en cuenta los rangos igualesobtenemos: X Y D D2 X-Y A 1 4.5 -3.5 12.25 B 2 4.5 -2.5 6.25 C 3 2.5 0.5 0.25 D 4 1 3 9 E 5 2.5 2.5 6.25 2 = 34.00 130
    • Para Obtener Los Rangos Correspondientes A Los Niños A Y B Hemos Sumado Los Lugares QuePodrían Ocupar Cualquiera De Los Dos Y Que Son 5 Y 4 Y Luego Esta Suma La Dividimos Entre ElNumero De Rango Igualados Que Son Dos, Esto Es: (4+5)/ 2= 4.5 Luego Rango Que LesCorresponda A A Y B Es 4.5DE IGUAL FORMA PROCEDEMOS PARA LOS RANGO C Y E obteniendo para ellos como nuevorango 2.5.Ahora añadiremos una nueva columna D, en esta columna escribiremos diferencia entre uno delos rangos de x menos el correspondiente rango de Y.Elevamos al cuadrado cada valor de y y escribimos cada resultado en la columna del cuadrado.Luego sumamos los valores de la columna de D2 y obtenemos 2 =34.00 P= 1 – 1.7=+0.7 Luego obtenemos una correlación negativa cuya magnitud es 0.7 que es un valor fuerte para este tipo de situación. EJERCICIO PROPUESTO DE CÁLCULO DE COEFICIENTE DE SPEARMANLa tabla muestra siete estudiantes que ordenados alfabéticamente obtuvieron su número deorden según sus calificaciones en teoría y práctica académica en un curso de lenguaje. Calcularel coeficiente de correlación de SPEARMAN. ALUMNOS PRACTICA X TEORIA Y A 7 6 B 4 7 C 6 5 D 3 2 E 5 1 F 2 4 G 1 32º EJERCICIOEl cuadro muestra las correspondientes alturas en centímetros de grupo de padres y de sus hijosprimogénitos. 131
    • 1) calcular el coeficiente de correlación de espermas2) calcular también el coeficiente de Pearson3) son parecidos? ALTURA PADRE X ALTURA HIJOS Y 172 178 164 154 180 180 190 184 164 166 164 166 165 166 180 175RESPUESTA 1 p= 0.893º EJERCICIOEn la tabla los cinco siguientes individuos se han colocado por rangos de 1 a 5 sobre X e Y.calcular el coeficiente de correlación. X Y A 2 3 B 1 2 C 3 1 D 5 5 E 4 4RESPUESTA 1 p= 0.7 EJERCICIOEl gerente del personal una empresa agroindustrial estudia la relación entre la variabledependiente Y y la variable independiente X de su personal obrero. Recoge una muestraaleatoria de 10 trabajadores y se obtuvieron los datos en dólares por semana. a) Determinar el diagrama de dispersión 132
    • b) De su comentario sobre el valor de la pendiente La relación es positiva e imperfecta porque al pasar la recta no cruza por todos los puntos, sin embargo el valor de la pendiente se aproxima a uno. c) Estime el gasto que correspondería a un salario semanal de 90USD.Salario Gasto X2 Y2 XY (xi -Ẋ) (xi - Ẋ)^2 (Yi -Ῡ) (Yi -Ῡ)^2 (x) (y) 28 25 784 625 700 -17,8 316,84 -13,4 179,56 25 20 625 400 500 25 625 20 400 35 32 1225 1024 1120 35 1225 32 1024 40 37 1600 1369 1480 40 1600 37 1369 45 40 2025 1600 1800 45 2025 40 1600 50 40 2500 1600 2000 50 2500 40 1600 50 45 2500 2025 2250 50 2500 45 2025 35 30 1225 900 1050 35 1225 30 900 70 55 4900 3025 3850 70 4900 55 3025 80 60 6400 3600 4800 80 6400 60 3600ƩX=458 ƩY=384 ƩX2=23784 ƩY2=16168 ƩXY=19550 Ʃ(xi -Ẋ) Ʃ(xi - Ʃ(Yi -Ῡ) Ʃ(Yi-Ῡ)^2= =412,2 Ẋ)^2= =345,6 15722,56 23316,84 133
    • Desviación Estándar (X)Sx = Sx = = 48,28Ẋ= Sy = = 39, 65Ῡ= + + + + + = 73, 54 gasto de un salario semanal 134
    • r = -0.005COMENTARIO.- Vemos que los vehículos de 20 toneladas no tienen relación con los de 40toneladas, ya que a los de 20 se los utiliza más para las importaciones que los de 40 debido a queson más ligeros al transportar las mercancías. 135
    • 136
    • PRUEBA DE HIPÓTESISHipótesis EstadísticaSe llama hipótesis, a una suposición o conjetura; que se formula, con el propósito de serverificada. Cuando se establece la veracidad de una hipótesis, se adquiere el compromiso deverificada en base a los datos de la muestra obtenida. La hipótesis estadística esfundamentalmente distinta de una proposición matemática, debido que al decidir sobre sucerteza podemos tomar decisiones equivocadas, mientras que en la proposición matemáticapodemos afirmar categóricamente si es verdadera o falsa.Hipótesis NulaEs una hipótesis que afirma lo contrario de lo que se quiere probar. En ella se supone que elparámetro de la población que se está estudiando, tiene determinado valor. A la hipótesis nula,se le representa con el símbolo Ho, y se formula con la intención de rechazarla.Ejemplo: Para decidir que una moneda está cargada, suponemos lo contrario, es decir, que lamoneda es legal, esto es, que tiene igual probabilidad o proporción de salir cara, que de salirsello. Llamamos P (proporción poblacional de cara) y Q (proporción poblacional de sello), P +Q= 1 (proporción del total o 100% de los casos); pero la moneda es legal, entonces esperamos queP = Q, reemplazando P por Q, P + P = 1, 2P = 1 y P = 0.5, es decir, la proporción poblacional deéxito (cara), para todas las monedas legales es 0.5. Sobre esta base, durante la ejecución delexperimento, aceptamos que actúan únicamente las leyes del azar, descartando la influencia decualquier otro factor.Hipótesis AlternativaEs una hipótesis diferente de la hipótesis nula. Expresa lo que realmente creemos es factible, esdecir, constituye la hipótesis de investigación. Se le designa por el símbolo . En el ejemplocitado, la hipótesis alternativa sería: : P ≠ 0.5, es decir, P > 0.5 o P < 0.5, si es que queremosrealmente averiguar que la moneda no es legal.Concepto de significación en una Prueba Estadística 137
    • Suponiendo que está formulada una hipótesis y que al realizar un experimento para someterla aprueba encontramos que el estadístico de la muestra, difiere marcadamente del valor delparámetro que establece la hipótesis nula , en ese caso, decimos que la diferenciasencontradas son significativas y estamos en condiciones de rechazar la hipótesis nula o, almenos no aceptarla en base a la muestra obtenida.En realidad estamos determinando, si la diferencia, entre el valor del parámetro establecido en y el valor del estadístico obtenido en la muestra, se debe tan solo al error de muestreo (eneste caso aceptamos ); o si la diferencia es tan grande que el valor obtenido por el estadísticode la muestra, no es fruto del error de muestreo, en este caso rechazamos .Prueba de HipótesisSe le llama también ensayo de hipótesis o décima de hipótesis. Son procedimientos que se usanpara determinar, se es razonable o correcto, aceptar que el estadístico obtenido en la muestra,puede provenir de la población que tiene parámetro, el formulado en .Como resultado de la prueba de hipótesis, aceptamos o rechazamos . Si aceptamos ,convenimos en que el error de muestreo (el azar), por sí solo, puede dar lugar al valor alestadístico que origina la diferencia entre éste y el parámetro. Si rechazamos , convenimosque la diferencia es tan grande, que no es fruto del error de muestreo (al azar) y concluimos queel estadístico de la muestra no proviene de una población que tenga el parámetro estudiado.El mecanismo para rechazar la hipótesis , es el siguiente: suponemos como válida la hipótesisnula , la que afirma que el parámetro tiene cierto valor (supongamos el caso de la mediapoblacional entonces : ʯ= . Tomamos una muestra y calculamos el estadístico de la muestra(para el caso de la media el estadístico es la media muestral x). Como suponemos que escierta, podemos suponer que la muestra proviene de la población que tiene como parámetro elde (es decir, no serán muy diferentes) y la probabilidad de que dicha diferencia muestralpequeña aparezca, será grande. Si en cambio tomamos una muestra de una población que notiene como parámetro , en dicho caso el valor de x - , será grande, (x será muy distinto que ),es decir, dicha diferencia será significativa, y la probabilidad de obtener dicha diferenciamuestral al muestrear, será pequeña. Necesitamos un estándar, es decir, un valor tal que, alcomparar con él la probabilidad de obtener una diferencia entre x y , nos permita aceptar orechazar . Llamemos a este valor α el nivel de significación. Este será tal que, si laprobabilidad de la diferencia entre x y es muy pequeña (menor que α), rechazaremos y lamuestra aleatoria no proviene de la población con parámetro ; si la probabilidad de ladiferencia entre x - es grande (mayor que α) aceptamos y la muestra aleatoria proviene dela población con parámetro . 138
    • Cuando se toma la decisión de rechazar o aceptar la hipótesis , se corre el riesgo deequivocarse (recuerde que nos hemos referido a la probabilidad de obtener una diferencia entrex y y no de un hecho establecido), es decir, de cometer errores.Estos posibles errores son:Error tipo IConsiste en rechazar la hipótesis , cuando en realidad no debería ser rechazada, por serverdadera. La probabilidad de cometer el error tipo I, se llama alfa (α).Error tipo IIConsiste en no rechazar a hipótesis Ho, cuando debería ser rechazada por ser falsa. Laprobabilidad de cometer el error tipo II, se llama beta (β).Se debe procurar que la probabilidad de los errores tipo I y tipo II, sean las más pequeñasposibles, sin embrago, para un tamaño de muestra dado, el querer disminuir un tipo de error,trae consigo, incrementar el otro tipo de error. La única forma de disminuir ambos errores, esaumentar el tamaño de la muestra.Nivel de significación de una Prueba Estadística.En relación a la comprobación de una hipótesis dada, se llama nivel de significación, a laprobabilidad a de cometer el error tipo I, al rechazar la hipótesis nula Ho.Los niveles de significación más usados en la práctica son: de 0.05 (5%) y de 0.01 (1%).El nivel de significación de 5% se interpreta de la siguiente manera: en 100 casos, cabe esperar,que en 5 de ellos se cometa una decisión equivocada, al rechazar la hipótesis Ho, cometiendo, enconsecuencia, un error de tipo I.Pasos de una Prueba de Hipótesis1o Formular la Ho y la H12o Determinar si la prueba es unilateral o bilateral.3o Asumir el nivel de significación de la prueba.4oDeterminar la distribución muestral que se usara en la prueba.5o Elaborar el esquema de la prueba. 139
    • 6o Calcular el estadístico de la prueba.7o Tomar la decisión, para esto, se comparan el esquema de la parte. 5o, con el estadístico del paso 6o.Ejemplo de una prueba de hipótesis utilizando los pasos anteriores.Se realiza el experimento aleatorio de lanzar 50 veces una moneda, obteniéndose 34 veces elresultado cara. Al nivel de significación de 5%, se quiere averiguar si la moneda está cargada. 1) Ho: P= 0.5, la moneda no está cargada. H1: P≠ 0.5 la moneda está cargada (P>0.5 ó P<0.5). 2) La prueba debe ser bilateral o de dos colas, porque hay dos posibilidades en la H 1: a) Si se obtiene muchas veces cara, entonces la moneda está cargada de un lado (P>0.5). b) Si se obtiene pocas veces cara, entonces la moneda está cargada del otro lado (P<0.5). 3) Asumimos el nivel de significación de 5%, con lo que estamos aceptando de que con la probabilidad de 0.05, puede ocurrir que se rechace Ho, a pesar de ser verdadera; cometiendo por lo tanto el error de tipo I. la probabilidad de no rechazar H o, será de 0.95. 4) Determinar la distribución muestral que se utilizara en la prueba. Tenemos por dato muestral la proporción , el parámetro de Ho, es la proporción poblacional P; entonces utilizaremos la distribución muestral de proporciones para describir la variación de las muestras por el error d muestreo. Tamaño de muestra n= 50> 30. (Muestra grande) aproximaremos la distribución muestral de proporciones, mediante la distribución normal, porque n=50> 30. 5) Esquema de la prueba: En la distribución normal de probabilidades estandarizadas, para el nivel de significación de 5%, el nivel de confianza será de 95%, entonces los coeficientes críticos o coeficientes de confianza para la prueba bilateral serán: -1.96 1.96, es decir -1.96 ≤ z ≤ 1.96. 140
    • El esquema correspondiente es:Si al realizar el experimento y calcular el puntaje estandarizado Z, encontramos que Z cae fueradel intervalo -195 ≤ z ≥ 1.96, esto indicara que se debe rechazar HʯSi por el contrario Z cae dentro del intervalo ya mencionado, eso indicara que no debemosrechazar HʯVemos que hay dos regiones e rechazo, por eso la prueba se llama prueba bilateral o de doscolas.6) Cálculo de Z. utilizando la fórmula 5.3.2Donde Xi corresponde en este caso a la producción de la muestra: p` 141
    • : es la medida de la distribución muestral de proporciones, igual a la proporción poblacionalP de Hʯ : es la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones, llamada también errorestándar de la proporción: p`Ejemplo de Prueba de una Cola o Unilateral.Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene 905 de efectividad para curar unaenfermedad. En una muestra de 200 persona de aliviaron 160. Determinar que a afirmación noes cierta, es decir, la medicina cura meno del 90% de los casos. Sea el nivel de significación 0.05. 1) .- Hʯ P = 0.90 P, proporción poblacional de éxito. : 142
    • H1: P < 0.90 Es lo que queremos probar. 2) .- Habrá una sola región de rechazo o región crítica y es aquella en la que la proporción de personas curadas por la medicina es menor que 0.90; luego se trata de una prueba unilateral, o de una sea cola; en esta caso de cola izquierda, que es la dirección a la que apunta la desigualdad de H1. 3) Asumiendo el nivel de significación de 5% (0.05), en la distribución normal de probabilidades estandarizada se tiene el coeficiente critico de Z= -1.65. 4) Como el dato es una proporción muestral, y en Ho hay una proporción poblacional, usaremos la distribución muestral de proporciones. 5) El esquema de la prueba es: 6)´P = Proporción de la muestra =P = Proporción de la población P = 0.9 143
    • Grados de libertad: el termino libertad se refiere a libertad para variar y recoger datos de lamuestra. Analicemos la fórmula para la desviación estándar corregidaPara calcular la desviación estándar es necesario estimar la media poblacional û mediante x= u,es decir se eta estimando un parámetro poblacional por lo tanto por grados de libertad serán n-1. Al querer calcular la desviación estándar ha disminuido en uno la libertad de escoger losdatos, por haber estimado un parámetro, la media poblacional.En la prueba de STUDENT de diferencia de medidas, se estimaran dos medias poblacionales decada una de las dos poblaciones de las cuales se toman los datos, para calcular las dos medias.Los grados de libertad serán n1+n2-2 donde n1 es el tamaño de la muestra 1, tomada de lapoblación 1 y n2 es el tamaño de la muestra tomada de la población 2.Los grados de libertad están representados por la siguiente formulaGl=n-kN: numero de observaciones independientesK: numero de parámetros estimadosDistribución de StudentCuando:I) el tamaño de la muestra es pequeño y este es menor que 30II) la población de donde se obtienen los datos está distribuida normalmenteIII) se desconoce la desviación estándar de la población entonces haremos uso de la distribuciónde StudentLa distribución de Student está representada por el estadístico t:El estadístico z de la distribución normal era 144
    • En el denominador de t tenemos s, que varía de muestra en muestra. En el denominador de z tenemos o , la desviación estándar de la población que es una constante; t sigue una distribución de Student con n-1 grados de libertad, los valores de t se pueden encontrar en la tabla correspondiente en el apéndice de este libro. Existe un valor específico para cada grado de libertad asociado con un determinado nivel de significación. La grafica de la distribución de Student es más aplanada que la distribución normal Z.Distribución normal Distribución de student Ejemplo de prueba de una media utilizando la distribución de student Se aplico un test de inteligencia a una muestra de 15 alumnos de un salón de clase de cierto Colegio y se determinó un CI promedio de 105.4 con una desviación estándar de 5.3. Se saber que al estandarizar el mencionado test en los colegios secundarios de la localidad, se hallo un CI medio de 101. Asumiendo un nivel de significación de 1% probar que el rendimiento mental del grupo de 15 alumnos, es más alto que el promedio de estandarización del test. U= rendimiento mental medio de estandarización = 101 X= rendimiento mental medio de la muestra = 105,4 1) formulación de la hipótesis H0:µ = 101, no existe diferencias significativas en el rendimiento mental, de la muestra X y de la población H1: µ= >101 2) prueba unilateral de cola derecha, de acuerdo con H 1, 3) Nivel De Significación Asumido: 1% = 0.01 4) Distribución aplicable para la prueba 145
    • Considerando que los datos son la media de la muestra X y la media poblacional µ, se debereutilizar la distribución maestral de medias, además como n <30 (muestra pequeña) y sedesconoce 0 (desviación estándar de la población) se empleara la distribución de student, yaque ese sabe los valores de CI siguen una distribución normal.5) Esquema grafico de la pruebaEl nivel de significación es a = 0.01Los grados de libertad son:Gi= n-1 = 15 – 1=14g. De libEn la tabla de distribución de student, con 14gl, a = 0.01 y prueba de 1 cola, encontramos el tcrítica: tc =2.6246) Cálculo del estadístico de la pruebaDatos 146
    • X= 105.4 ; µ = 101 ; s= 5.3 ; n= 157) toma de decisionesObservamos que t=3.11 se ubica en la región de rechazo por tanto se descarta que µ = 101 y seacepta la alternativa µ > 101 es decir el grupo de 15 alumnos tiene rendimiento mental mayorque el promedio de estandarización.Ejemplo:Una tableteadora de un laboratorio farmacéutico produce comprimidos de cierto medicamento,con un peso medio de 2grs. Por comprimido. Para determinar si la maquina sigue en buenascondiciones de producción, se tomó una muestra de 10 tabletas cuyos pesos en gramos son:2.04; 1.96; 2.00; 1.98: 2.02; 2.01; 1.97; 1.94; 2.03; 2.01, asumiendo un nivel de significación de0.01, verificar que la maquina no está enBuenas condiciones de producción.Llamemos:µ: el peso medio de las tabletas producidas por la máquina. 1) Formulación de hipótesis H0: µ= 2, la maquinas se halla en buenas condiciones. 147
    • H1: µ ≠ 2, la maquina no se halla en buenas condiciones 2) Prueba bilateral porque en H1 hay dos posibilidad µ>2 o µ< 2 3) Nivel de significación , s4e asume el 1% = 0.01 4) Distribución de probabilidad apropiada para la prueba.Considerando que las hipótesis se refieren a medios poblacionales, que se da como dato el valorde la media población µ= 2grs, y que se puede calcular la media de la muestra, utilizaremos ladistribución muestral de las medias para efectuar la prueba. Siendo la muestra pequeña (n= 10)y la desviación de student o de la población desconocida, no es aplicable la distribución normal ypor tanto recurridos a la distribución de student, asumiendo que la población. 148
    • Ejemplo:Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene el 90% de efectividad para curar unaenfermedad. En una muestra de 200 personas se aliviaron 160. Determinar que la afirmación noes cierta, es decir que la medicina cura menos del 90% de los casos. Si el nivel de significancia(error de estimación) es del 0,05 149
    • 1) Hallar H0 Y HA2) Determinar la campana de gaussEs unilateral de una cola3) Determinar el valor de confianza4) Determinar el valor de n5) Graficar la campana de gauss 150
    • 6) Calcular el valor de z = 0,807) Rechazo de la hipótesis nula y aceptación de la hipótesis alternativa, porque losmedicamentos curan menos del 90% a los pacientes.Ejemplo:Una muestra de 80 alambres de acero producidos por la Fábrica A, da una resistencia media a larotura de 1230lobras con una desviación estándar de 120 libras. Una muestra de 100 alambres 151
    • de acero producidos por la Fábrica B da una resistencia media a la rotura de 1190 libras con unadesviación estándar de 90 libras. ¿Hay una diferencia real en la resistencia media de las dosmarcas de alambre de acero, si el nivel de confianza es el 95%?1) Determinar la HO Y LA HA. Ho: U1 = U2 Ha: U1 U22) Determinar la campana de gaussLa campana de gauss es bilateral de 2 colas3) Determinar el valor de confianza Nivel de significancia o E.E. = 0,05 Z = 1,96 valor estandarizado4) Determinar qué tipo de muestra se utiliza n 1 = 80 n > 30 n 2 = 100 n > 30 Prueba de Hipótesis5) Construir la campana de gauss 152
    • 6) Calcular el puntaje z 1 = 1230 S1 = 120 2 = 1190 S2 = 907) Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. La rotura de los alambres de laFábrica A es diferente a la rotura de los alambres de la Fábrica B.Los salarios diarios de una industria particular tiene una distribución normal con media de23,20 dólares y una desviación estándar de 4,50 dólares. Si una compañía de esta industriaemplea 40 trabajadores, les paga un promedio de 21,20 dólares. ¿Puede ser acusada estacompañía de pagar salarios inferiores con un nivel de significancia del 1%? 153
    • Ejemplo:1) Determinar la HO Y LA HA. Ho: U = 23,20 Ha: U > 23,202) Determinar la campana de gauss La campana de gauss es de una cola3) Nivel de confianza = 99%4) Determinar qué tipo de muestra se utiliza5) Construir la campana de gauss6) Calcular el puntaje z 154
    • 7) Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. No está pagando a los trabajadoreslo que les corresponde entonces debe entrar a un juicio para resolver este inconveniente.EJERCICIO PLANTEADOSegún una encuesta realizada se afirma que la exportación de petróleo crudo tiene el 95% deefectividad para comercializarse en el mercado internacional. En una muestra de 45 países a losque se envía el petróleo ecuatoriano, se reflejaron que 35 países los más grandes importadoresde petróleo tienen ventas elevadas. Determinar que la afirmación no es cierta, es decir que laexportación de petróleo se comercializa en menos del 95%. Si se tiene un nivel de significanciadel 0,05. 1. Ho: U = 95% Ha: U < 95% 2. La campana de Gauss es de una cola 3. α = 95% Error de Estimación: 0,05 Z = -1,65 4. n = 45 n > 30 Prueba de Hipótesis 5. Construir Campana de Gauss 155
    • 6. 7. Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. Las exportaciones de petróleo que el Ecuador realiza a diferentes países se comercializan en más del 95%, por lo que el país puede continuar realizando sus exportaciones al exterior. DISTRIBUCIÓN T-STUDENTEn probabilidad y estadística, la distribución t-Student es una distribución de probabilidad quesurge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando eltamaño de la muestra es pequeño.Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de t-Student con n grados de libertad,donde n es un entero positivo, si su función de densidad es la siguiente: 156
    • n 1 ( ) 1 2 t2 2 ( n 1) (1 ) n n ( p) x p 1e x dx ( ) nf(t)= 2 , - t , 0 siendo p>0La gráfica de esta función de densidad es simétrica respecto del eje de ordenadas, conindependencia del valor de n, y de forma semejante a la distribución normal.Propiedades: n 1. La media es 0 y su varianza n 2 , n>2. 2. La gráfica de la función de densidad es en forma de campana. 3. Los datos están más disperso que la curva normal estándar. 4. A medida que n aumenta, la gráfica se aproxima a la normal N(0,1). 5. La gráfica es muy parecida a la de la normal estándar diferenciándose en que las colas de t están por encima de la normal, y el centro se encuentra por debajo del de la normal. 6. Cuando los grados de libertad son altos, los valores de t coinciden con los de la normal.Ejemplo:La empresa de transporte pesado TRANSURGIR de la ciudad de Tulcán adquirió caminesnuevos que cargan un peso aproximado a 15 toneladas cada uno para determinar si estaafirmación es verdad se tomo una muestra de 7 camiones con repletos de carga cuya cargapesaba; 15,04tonn, 14,96tonn, 15tonn, 14,98tonn, 15,2tonn, 15,1tonn y 14,96tonn. Asumiendoun nivel de significancia de 0,01 verificar que los camiones si cumplen con el peso establecido. 1) Ho: u=15tonn Ha: u≠2 u es diferente de dos 2) Bilateral 3) 99% 0,01 gl=n-1 gl= 10-1= 9 t=±3,250 4) nʯ30 T-student 157
    • 5) GRAFICA Xi (Xi-X) (Xi-X)2 15,04 0,006 0,000032653 14,96 -0,074 0,005518367 15 -0,034 0,00117551 14,98 -0,054 0,002946939 15,2 0,166 0,027461224 15,1 0,066 0,004318367 14,96 -0,074 0,005518367 - 105,24 0,000000000000008881784197 0,046971429 – – 6) 7) Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa ya que el peso que puede transportar cada camión se encuentra en la zona de aceptación.Ejemplo:Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo.Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado caeentre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá élsacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: 158
    • PRUEBA CHI - CUADRADOPruebas Paramétricas. Se llama así a las pruebas de hipótesis que cumplen tres requisitosfundamentales: 1. La variable de la prueba debe ser la variable cuantitativa. 2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico. 3. Los datos deben ajustarse a determinadas distribuciones estadísticas.Ejemplos. 1. La prueba basada en la distribución normal de probabilidades. 2. La prueba de student.Pruebas No Paramétricas.- llamadas también pruebas de distribución libre. Son aquellas que: 1. La variable de la prueba puede ser cualitativa o cuantitativa. 2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico. 3. Son independientes de cualquier distribución de probabilidad.Ejemplo.La prueba de Chi – Cuadrado (también llamada prueba Ji –Cuadrado).Las pruebas paramétricas son mas poderosas. Sin embargo cuando la variable es cualitativa,sólo se puede usar las pruebas no paramétricas. 159
    • El Estadístico Chi – CuadradoEn un estadístico que sirve de base para una prueba no paramétrica denominada prueba chi –cuadrado que se utiliza especialmente para variables cualitativas, esto es, variables que carecende unidad y por lo tanto sus valores no pueden expresarse numéricamente. Los valores de estasvariables son categorías que sólo sirven para clasificar los elementos del universo del estudio.También puede utilizarse para variables cuantitativas, transformándolas, previamente, envariables cualitativas ordinales.El estadísticos chi- cuadrado se define porEn donde:n= número de elementos de la muestra.n-1= número de grados de libertads2= varianza de la muestraa2= varianza de la poblaciónDesarrollaremos un ejemplo numérico con la finalidad de fijar el concepto de Chi – cuadrado.Ejemplo:En un estudio de la capacidad de aprendizaje de matemáticas, en los niños de una población, setomó una muestra representativa de 40 niños. Se les aplicó una prueba de diagnostico delaprendizaje en matemáticas y con los datos obtenidos se calculó la varianza s 2=8.4, conociendoque la varianza poblacional es de α2= 12,37, calcular el valor del estadístico chi-cuadrados.Datos:n= 40 S2= 8,4 a2= 12,37Ahora vamos a elaborar el concepto de DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL ESTADÍSTICO CHI-CUADRADO.Supongamos que se realiza los pasos siguientes: 160
    • 1. De una población de N elementos se extrae todas las muestras posibles del mismo tamaño n. 2. Con los datos de cada muestra se calcula el estadístico chi – cuadrado. 3. Con todos los valores de Chi – cuadrado se forma una distribución de frecuencias; éstas se denomina distribución muestral del Chi-cuadrado.Esta distribución muestral se representa gráficamente en un sistema de coordenadas, colocandoen el eje de abscisas los valores del estadístico Chi- cuadrado.Cuadrado en el eje vertical se colocan las frecuencias de cada valor del chi-cuadrado.El área encerrada bajo la curva y el eje horizontal es igual a uno y representar la probabilidad deque Chi-cuadrado tome valores mayores que 0.El área rayada situada a la derecha de la ordenada levantada en la abscisa x 2 (gl), representa laprobabilidad de cometer el error tipo l en la prueba de chi-cuadrado. Esta probabilidad es elnivel de significación de la prueba. El valor x2 (gl) se llama valor crítico del CHI-CUADRADO y sedetermina por medio de una tabla especial, que representa al final del libro el aprendizaje detablas.Antes de entrar en el manejo de la tabla debemos tener encuentra que para una probabilidaddad, por ejemplo =0.05, al aumentar el número de grados de libertada también aumenta elvalor crítico de Chi-cuadrado; esto se ilustra en las tres figuras siguientes: 161
    • Este crecimiento del valor crítico se debe a que el aumentar el número de grados de libertad, lacurva de la distribución muestral de Chi-cuadrado tiende a tomar una forma más extendida ypor tanto el punto crítico se desplaza hacia la derecha.Descripción y manejo de la tabla.- La tabla de valores críticos de x2 se encuentra en elapéndice. En la línea horizontal superior encabezando en cada columna se hallan los valores de .En la primera columna de la izquierda están los grados de libertad. Los ejemplos siguientes elmanejo de la tabla. 1. Ejemplo: =0.05 y gl= 4 g de l A partir de gl=4g de l, dirigimos una visual hacia la derecha hasta cortar a la visual que baja por =0.05; en la intersección se encuentra el valor crítico 2. Ejemplo: Si 162
    • Hallamos x2 (6)=12.592 3. Ejemplo: Si Encontramos x2 (10) = 18.307Con estos 9 valores de la variable de estudio X, vamos a elaborar el cuadro de frecuenciasobservadas correspondientes a las 10 categorías establecidas.Cuadro 11. 3. 2 Intervalos Conteo Frecuencias Observadas Menos de 6,26 a 6, 26 IIII - I 6 6 , 26 a 11,62 IIII - I 6 11,62 a 15,51 III 3 15,51 a 18,80 IIII 5 18,80 a 21,96 IIII 4 21,96 a 25,12 IIII - IIII 10 25,12 a 28,41 III 3 28,41 a 32,30 IIII 4 32,30 a 37,66 IIII 4 37,66 a más. IIII 5A continuación debemos realizar la clasificación y conteo de los 50 datos, es decir, colocar a cadauno de ellos dentro de su categoría representándolo por una tarja. La suma de las tarjas de cadaclase da la frecuencia observada de esta clase.Para facilitar el cálculo del estadístico chi-cuadrado mediante la fórmula indicada 163
    • Agregamos las frecuencias observadas y esperadas en celdas tal como se presenta acontinuación. Recordemos que se fijo la frecuencia esperada de 5 en cada intervalo, luego:Frecuencia observada O, y frecuencia esperada E, en la Prueba Chi-cuadrado de Bondad deAjuste. Ei 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Oi 6 6 3 5 4 10 3 4 4 57) Toma de decisionesObservamos que este valor de Chi-cuadrado, en el esquema grafico (figura 11.3.5) se ubica en laregresión de aceptación, luego aceptamos esto es, que la muestra se obtiene de unapoblación distribuida normalmente.ProblemaDe una investigación demográfica se conoce que los habitantes de ciertos países se distribuyenen la forma siguiente: 0- 20 años, 25%; 21 – 40 años, 35%; 41 -61 años, 25%; 61 -80 años, 10%;81 – 100 años, 5%.Después de transcurridos varios años se quiso probar que la distribución poblacional de lasedades no ha cambiado para lo que se selecciono una muestra respectiva de 1000 personas y seobservo que las frecuencias de las 5 categorías fueron: 0- 20 años, 200; 21 – 40 años, 300; 41 -61años, 300; 61 -80 años, 100; 81 – 100 años, 100. 1) la distribución actual por edades es igual a la del año de ejecución del censo La distribución actual por edades no es igual a la del año de ejecución 2) La prueba es unilateral y de cola derecha 3) Nivel de significación a= 0.10 4) Se utiliza la distribución CHI – CUADRADOESQUEMA DE LA PRUEBA 164
    • Existen k= 5 celdas, tenemos gl = K-1 = 5-1=4 grados de libertad a = 0.10 en la tabla de CHI – CUADRADO obtenemos 7.779 77.14 5) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA 250 350 250 100 50200 300 300 100 100Las frecuencias observadas nos las proporcionan con la muestra aleatoria de los 1.000habitantes. 165
    • CALCULO DE LAS FRECUENCIAS ESPERADAS = 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 35% = 350 = 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 105% = 100 = 1.000 X 5% = 50CALCULO DEL ESTADISTICO CHI – CUADRADO = + = 10+7.14+10+0+50 = 77.14 6) TOMA DE DECISIONES Vemos que el estadístico calculado CHI – CUADRADO (77.14) es mayor que el valor critico encontrado en la tabla (7.779) vemos que 77.14 cae en la región de rechazo por lo tanto rechazamos y aceptamos , es decir la distribución actual por edades no es igual a la de la investigación demográfica.CORRECCIÓN DE YATESCuando el número de grados de libertad es igual a la unidad, es necesario realizar unacorrección por continuidad durante el cálculo del estadístico de la prueba. Esta corrección sedenomina de yates y consiste en disminuir en 0.05 al valor absoluto de la diferenciaentre las frecuencias observadas y as frecuencias esperadas. 166
    • El ejemplo siguiente ilustra la aplicación de esta corrección.PROBLEMAEn el año de 1960, la proporción de hombres y mujeres de cierta institución de enseñanzasuperior, fue de 75% y 25%, respectivamente. Con la finalidad de verificar si el transcurso deltiempo había originado algún cambio en las proporciones de estudiantes de ambos sexos, en elaño de 1970 se tomó una muestra aleatoria de 100 alumnos de 1º ciclo, obteniendo 60 hombresy 40 mujeres. Con estos datos realizar la verificación por medio de la prueba de CHI –CUADRADO, asumiendo el nivel de significación de a= 5%. 1) la distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 también es de 75% y de 25% respectivamente La distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 no es del 75% ni del 25% respectivamente 2) La prueba es universal y de cola derecha 3) Nivel de significación a= 0.05 4) Emplearemos la distribución muestral de CHI – CUADRADO 3.841 11.21 167
    • 5) ESQUEMA DE LA PRUEBA Existen 2 categorías entonces K= 2 y gl = K – 1 =2-1=1 a= 0.05 con estos datos vamos a la tabla de CHI – CUADRADO y obtenemos 3.841. 6) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA 75 2560 40 OBTENCIÓN DE LOS VALORES ESPERADOS Valor esperado para los hombres: 100 x 75% = 75 Valor esperado para las mujeres: 100 x 25% = 25 CACULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA Como gl = 1 utilizaremos la corrección de yates =2.8+8.41= 11.21 7) TOMA DE DESICIONES 168
    • Como el valor de CHI – CUADRADO es de 11.21, mayor que el valor CHI – CUADRADO afirmamos que 11.21 cae en la región de rechazo, luego rechazamos la por lo tanto afirmamos que la distribución de hombres y mujeres no es del 75% ni del 25% respectivamente.En un estudio realizado en el departamento de investigación del ESAN acerca del perjuicioétnico hacia el negro. En los universitarios de lima se aplico. 169
    • Una encuesta a los universitarios según su lugar de procedencia, obteniendo los resultados quepresenta la siguiente tabla Lugar de residencia Grado de Barriadas Barrios Barrios total perjuicio populares residenciales intermedios Alto 32 225 50 307 Bajo 28 290 79 397 Total 60 515 129 704Al nivel de significación Q=0.05, determinar que las variables perjuicio étnico hacia el negro ylugar de residencia son independientes 1. Ho: el perjuicio étnico y el lugar de residencia son independientes H1: existe dependencia entre las variables. 2. La prueba es unilateral y la cola derecha 3. Asumimos el nivel de significación de Q= 0.05 4. Utilizaremos la distribución muestral de chi-cuadrado porque las dos variables son cualitativas. 5. Esquema de la pruebaGl =(C-1) (F-1) 1.1.3.4Gl =(3-1) (2-1) = 2 11.3.4Gl= 2Q= 0.05X2 = (2) = 5.991C= # de columnasF= # de filas 170
    • 6. Calculo del estadístico de la prueba x= 3.54 5.991 Formula 2 X2= 3.54Ya conocemos las frecuencias observadas para determinar las frecuencias esperadasemplearemos la misma tabla, manteniendo invariables de frecuencias marginales de dosvariables Lugar de Residencia Grado de Barriadas Barrios Barrios total perjuicio populares residenciales (intermedios) Alto E11 E12 E13 307 Bajo E21 E22 E23 397 Total 60 515 129 704Cuando las variables X y Y son independientes, las frecuencias de cada celda son igual alproductos de las frecuencias marginales correspondientes dividido por el tamaño de la muestra. 26.16 224.58 56.25 32 225 50 33.84 290.42 72.75 28 290 79 171
    • Las frecuencias esperadas y las asociadas determinan las frecuencias observadas anteriormente 172