Cap 1 2- cinematica de una particula 1-31-2011 i

Cuaderno de Actividades: Física I

1) Cinemática de una
Partícula

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 1


1) Cinemática de una Partícula

Fenómeno → Movimiento

… Teoría de la relatividad (TR)…A Einstein

En la descripción del Fenómeno Movimiento debemos de considerar lo
siguiente,

a) El observador, referencia, O

→ Descriptor del movimiento

τ “La trayectoria es función
O
del estado del observador”, τ ≡ τ
(O)

Por ejemplo, si se deja caer una pelota, la caída es descrita por O y O’, tal
como se muestra a continuación,

1°
2°

O (reposo)
O’ (v=cte)

τ τ’

Por lo tanto, la trayectoria es una función de estado del observador.



b) El móvil, representado por el punto P usando el Modelo de Partícula, el
cual se usa cuando del movimiento del cuerpo solo nos interesa la
componente trasnacional.

Modelo de Partícula:

Móvil P
≡

Definición de Cinemática: La cinemática describe el fenómeno movimiento
usando las cantidades cinemáticas (cc):
r
r : vector posición
r
v : vector velocidad
r
a : vector aceleración

1,1) Cantidades Cinemáticas, cc
r
i) Vector Posición, r
Describe la posición del móvil en el tiempo. Es el problema fundamental de la
cinemática,

r r
r ≡r ( t ) → ( O)
τ

r r
Vector desplazamiento, ∆r : Describe como cambia la r ,

∆r ≡ rf − ri ≡ r ( t f ) − r ( ti )
r r r r r
r r
≡ r ( t ) − r ( 0)

ti → tf : ∆t = tf - ti



r
v ( ti )
tan
r
vm
r r
r ( ti ) ∆r
v ( tf )
r

r ( tf )
r
τ sec

r
ii) Vector velocidad, v
Describe los cambios de la posición respecto del t,

r
r dr
v≡
dt
r
r  ∆r 
v ≡ lim  
∆t →0 ∆t
 
}
r
vmedia

r
Definición de Vector velocidad media, vm

r
r ∆r  1  r
vm ≡ ≡   ∆r
∆t  ∆t 



r
Definición de rapidez, v
r
v : rapidez

¿? Describa que es el tiempo según la lectura de “Breve historia del
tiempo” de Stephen Hawking.

¿? Describa, de igual forma, que es el tiempo según la lectura de
“Brevísima historia del tiempo” también de Stephen Hawking.

¿? Cual es el último trabajo de divulgación de este brillante científico y
propalador de las ciencias.

r
iii) Vector Aceleración, a

Describe los cambios de la velocidad respecto del t.

 r
r r r  ∆v 
r dv d 2 r ← a ≡ lim   r r
a≡ ≡  {  → a // ∆v
∆t →0 ∆t

dt dt 2  am 
r

r
da
¿? Será importante definir . Existirá alguna rama de la tecnología
dt
donde interese conocer esta cantidad.

1,2) Tipos de Movimientos

i) Movimiento Rectilíneo, MR

Definición: τ → Λ (ℜ)



j) Movimiento Rectilíneo Uniforme, MRU

k) Condición
r ˆ ˆ
v ≡ vx i ≡ v i ≡ cte
v = cte
kk) Ecuaciones

l) v = cte
r r
II) r ≡r ( t)

r t f =t
r dr r r r r
dt ∫
v≡ : → r ≡r ( t ) ≡ r ( ti ) +v (t −ti )
ti

r r r
v ( t ) → r ≡ ∫ v dt

r
r ( t) ≡ x( t) i
r r r ˆ
r ( t ) ≡ r ( 0 ) + vt ←ti = 0 ∧t f = t

x ( t ) ≡ x ( 0 ) + vt



v

0 x
x(t)

kkk) Graficas

l) v-t

v

A(t)=x(t)
AA
0 t

ll) x-t

x

A

0 t

No da información cinemática

jj) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)

k) Condiciones

r
τ → ℜ ∧ a ≡ ax i ≡ a iˆ ≡ cte
ˆ
a = cte

kk) Ecuaciones



l) a = cte
r r
II) v ≡v ( t)

r tf
r dv r r r r
dt ∫
a≡ : → v ≡v ( t ) ≡ v ( ti ) + a (t −ti )
ti

r r r
v ( t ) → v ≡ ∫ a dt

r
v ( t) ≡ v( t) i
r r r ˆ
v ( t ) ≡ v ( 0 ) + a t ←ti = 0 ∧t f = t

v ( t ) ≡ v ( 0 ) + at

r r
IlI) r ≡r ( t)

r tf
r dr
v≡ :∫ →
dt ti

r r r r 1r
r ≡ r ( t ) ≡ r ( ti ) + v ( ti ) (t − ti ) + a (t f − ti ) 2
2

r r r
v ( t ) → r ≡ ∫ v dt

r r r r 1r
r ≡ r ( t ) ≡ r ( 0 ) + v ( 0 ) t + a t 2 ←ti = 0 ∧ t f = t
2



r 1 2
r ( t) ≡ x( t) i →
ˆ x ( t ) ≡ x ( 0 ) + vt + at
2

a(t)
v(t)

0 x
x(t)

kkk) Gráficas

l) a-t

a

A(t)=v(t)
AA
0 t

ll) v-t

v

A(t)=x(t)
A

0 t

lll) x-t

x

t A: no proporciona información
cinemática.



jjj) Movimientos Generales

a ≡ a(t) → v ≡ v(t) → x ≡ x(t)

dv
de a ≡
dt
→v≡ ∫ adt
→ a ≡ a(t) : “fácil”

→ a ≡ a(v) : Regla de la cadena, definición de diferencial exacta o
cambio de variable
→ a ≡ a(x) : Idem

dx
de v ≡ → x = ∫ vdt
dt
→x = x(t)

¿? Encuentre casos reales donde la aceleración dependa de la velocidad
o posición.

S1P14) La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X esta
dada por x = t3 - 12t2 + 36t + 30 con x en metros y t en segundos.
Determine:

a) La velocidad media entre 2 s ≤ t ≤ 6 s.
b) La aceleración media entre 0 s ≤ t ≤ 4 s.
c) Los intervalos de tiempo de movimiento desacelerado.
d) Los intervalos de tiempo de movimiento acelerado.

Solución:

P

0 X(t) x

x(t) = t3 -12t2 +36t + 30

a) vm :2→ 6



∆x x ( 6 ) − x ( 2 )
vm ≡ = =?
∆t 6−2

b) am : 0→ 4

∆v v ( 4 ) − v ( 0 )
am ≡ = =?
∆t 4−0

3t 2 − 24t + 36
dx
v≡ ≡ 3 ( t 2 − 8t + 12 )
dt
3 ( t − 4 ) − 12
2

c) ∧ d)

Movimientos acelerados:

r r r
DEF: v ↑← v ↑↑ a

v+ a+

0 x
−v −a

Movimientos desacelerados:

r r r
DEF: v ↓ ← v ↑↓ a

v- a+

x
v+ a-



a→
v→

a

v + - - + t

0 2 4 6

dv
a ≡ 6t − 24 ≡ a ( t ) ≡
dt

v ≡ v(t) → P v

4
t
2 6
12

0 → 2
c) ∆t 
4 → 6

2 → 4
d) ∆t 
6 →

ii) Movimientos Planares o Bidimensionales



Las trayectorias están contenidas en un plano.

τ → ℜ2 (Π)

j) Movimiento Parabólico, MP
r
Caso a ≡ cte .

Los movimientos parabólicos con raceleración constante son determinados
cuando la v(0) no es paralela a la a . El plano del movimiento es determinado
r r
por los vectores velocidad inicial v (0) y aceleración a . El eje de la parábola es
r
paralelo a la a ≡ cte . Estos movimientos también presentan simetría de
rapideces y tiempos a un mismo nivel.

r r
y a≡g Z

r
A A’ v ( 0)
r
v ( 0) ta td P
0 x 0 Y

X

r
y→ a : simplifica la descripción:

x : MRU → ax ≡ 0
y : MRUV → ay = a ≡ g (por lo general)

Esto es debido al “carácter” vectorial de la Física → Cinemática.

Mov Parab ≡ MRUx “+” MRUVy

MRUVx “+” MRUVy (caso general, x e y en cualquier dirección)

Simetrías
ξ
r
a ≡ cte
P



 Proporcionalidad de la trayectoria a ambos lados del eje

 Para todo nivel
va ≡ vd
ta ≡ td

Aplicación importante del MP: Movimiento de proyectiles

Como ha de suponerse, este movimiento no toma en cuenta alturas superiores
a 20 km, existencia de aire ni rotación de la tierra. El movimiento de proyectiles
constituye un caso interesante de la ciencia donde determinados campos de
investigación, el desarrollo de proyectiles, por ejemplo, resultan favorecidos por
motivos impropios. El desarrollo de la cohetería efectuado desde finales del
siglo XIX hasta mediados del siglo XX, jugo un papel preponderante en las 2
guerras mundiales así como en la conquista del espacio…

El movimiento de proyectiles suele describirse usando ciertos parámetros como
tiempo de vuelo, tv, alcance o rango, R y altura máxima, H. Si consideramos la
siguiente geometría,

r r
y a≡g Z
r r
a≡g

r
v ( 0)
r
v ( 0)
θ θ
0 x 0 Y

X



i) Tiempo de vuelo, tv

2v(0) sen(θ )
tv ≡
g

ii) Alcance o Rango, R

v 2 (0) sen(2θ )
R≡
g

iii) Altura máxima, H

v 2 (0) sen 2 (θ )
H≡
2g

¿? Conceptos de simetría. Como debo entender su manifestación en la
naturaleza. Simetría en la física. Simetría en las matemáticas.
r
¿? Qué otros tipos de MP que no guarden la condición de a cte se
desarrollan en el universo.

¿? Busque 5 ejemplos reales de MP.

¿? Como se vinculan el desarrollo de las computadoras y de la cohetería
con la carrera espacial.

¿? Que opina de la discrepancia acerca de la paternidad de la cohetería:
Werner von Braun- Pedro Paulet.

¿? 2009: Año internacional de la astronomía.

¿? Asteroide 2009 DD45: eventos de colisión-extinción.

S1P16) Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles con una
rapidez inicial v0 directamente hacía una colina,
cuyo ángulo de elevación es α ¿cuál será el R
ángulo respecto de la horizontal al que deberá v0
apuntarse el cañón, para obtener el mayor θ
α
alcance R posible a lo largo de la colina?

Solución:



θ / Rmáx =?

τ → x, y → P: y ≡ a + bx + cx2
y

P

R

θ
r
v (0)
α
0 x

x: MRU

x(t) ≡ x(0) + vx (0) t → x ≡ 0 + v(0) cosθ t …. (1)

y: MRUV

r g 2
y(t) ≡ y(0) + vy (0) t – (1/2)g t2 , g = 10, → y ≡ 0 + v(0) senθ t − t …. (2)
2

De (1):

x
t= …(1’)
v ( 0 ) cos θ

x 1 x2
1’ → 2: y ≡ v ( 0 ) senθ −
v ( 0 ) cos θ 2 v 2 ( 0 ) cos 2 θ




 g  2

P: y ≡ { tgθ} x −  2 x

 2v ( 0 ) cos θ 
2


P – P: xp ≡ Rcosα
yp ≡ Rsenα

→ Rsenα ≡ {tgθ} Rcosα - g R2cos2α
2v2(0)cos2θ

1 
 gR 2 cos 2 α 
 Rsenα ≡ (tgθ ) R cos α − 2 
R cos α 
 2v ( 0 ) cos θ 
2


gR (θ ) cos α
tgα ≡ tgθ − ...( I )
2v 2 ( 0 ) cos 2 θ

d g cos α d  R(θ ) 
: 0 = sec 2 θ − 2  
dθ 2v ( 0 ) dθ  cos 2 θ 

}0

dR
cos 2 θ + R { 2 senθ cos θ }
d  R ( θ )  dθ
 =
dθ  cos 2 θ  cos 4 θ

g cos α  2 Rsenθ 
0 = sec 2 θ −  cos3 θ 
2v 2 ( 0 )  

g cos α tgθ
0 = 1− R
v2 ( 0)

v2 ( 0)
R≡ ...( II )
g cos α tgθ

II → I

g cos α v2 ( 0)
tgα ≡ tgθ − x
2 v 2 (0) cos 2 θ g cos α tgθ



sec 2 θ 2tg 2θ − sec 2 θ
tgα ≡ tgθ − ≡
2tgθ 2tgθ

tg 2θ − 1 1
tgα = ≡− = −ctg 2θ
2tgθ  2tgθ 
 1 − tg 2θ 
 

−tgα = ctg 2θ

π  π α
ctg  + α  = ctg 2θ ⇒ θ = +
2  4 2

¿? Evalúe para v(0)= 50, θ ≡ 45º y α ≡ 30º
¿? Resuelva el problema asumiendo un sistema con eje x sobre la colina.
¿? Es más simple.

jj) Movimiento Circular, MC

La trayectoria será de una circunferencia.

Y t
n

R t
s
θ
x t=0
0

La descripción del MC se realiza frecuentemente usando las variables s o θ,
esto es, usando variables lineales o angulares.

k) Cantidades Cinemáticas del MC



l) Posición

m) Lineal: s= s(t)

mm) Angular: θ =θ(t)

mmm) Relación: s= Rθ

ll) Velocidad

m) Velocidad Lineal, v=vt

La llamada velocidad tangencial es la velocidad definida en las cantidades
cinemáticas iniciales, se relaciona con s mediante la rapidez,

r r r ds
v = vt → v =
dt
mm) Velocidad Angular, ω

Describe los cambios de θ respecto del tiempo. Se define de la siguiente forma,

dθ r r r
ω= → ω = r × vt u[ω]= rad/s
dt

mmm) Relación entre | v| y ω

r
vt = ω R

lll) Aceleración

m) Aceleración, a

El vector aceleración suele descomponerse en dos direcciones adecuadas,
tales como la radial y la tangencial, resultando,



r r r  vt2  d 2s 
a = ar + at =   eˆn +  2  etˆ
 R  dt 

A la componente radial de la aceleración se le denomina aceleración
centrípeta, acp.

mm) Aceleración Angular, α

Describe los cambios de la ω respecto del tiempo,

r
r dω
α= u[α]= rad/s2
dt

mmm) Relación entre at y α

at = α R

kk) Tipos de movimientos Circulares

Al igual que en el caso de los MR podrían ser MCU, MCUV o generales.

¿? De 5 ejemplos concretos de movimientos circulares.

¿? Los planetas hacen MC.

jjj) Movimientos Planares Generales: Coordenadas Polares (r,θ)

Este sistema se usa para describir movimientos planares (→ MC). En particular
es usado para los movimientos planetarios.



y

t
y ˆ
eθ ˆ
er

r

j θ

i x x

ˆ
r, er
ˆ
θ, eθ

{ r ,θ , er , eθ }
ˆ ˆ {
↔ x, y, i , ˆ ¿?
ˆ j }

x = r cos θ  r ≡ r ( t )

y = r s enθ θ ≡ θ ( t )

( )
er = er i , ˆ  e ≡ cos θ i + senθ ˆ
ˆ ˆ ˆ j  ˆ
r
ˆ j

ˆ ˆ ˆ j( )
eθ = eθ i , ˆ  eθ ≡ − s enθ i + cosθ ˆ

ˆ ˆ j

k) Cantidades cinemáticas en (r,θ)

r
l) r

r r = r( t)
r ( r , θ) = r er
ˆ
er = er ( t )
ˆ ˆ

r
ll) v



r
ˆ
r dr d (rer )
v≡ ≡ ˆ&
≡ rer + r (er )
&ˆ
dt dt

d d
dt
ˆ&
er ≡ (er ) ≡
ˆ
dt
{
cos θ i + senθ ˆ
ˆ j }
& {
≡ θ − senθ i + cos θ ˆ
ˆ j }
&ˆ
er . = θ eθ
ˆ

r
v ( r , θ) ≡r er +rθ eθ
&ˆ &ˆ

r
iii) a

r
r dv d
a≡ ≡
dt dt
&ˆ &ˆ
rer + rθ eθ { }
≡ &&ˆr + r (er & + (rθ & eθ + rθ (eθ &
re & ˆ ) {&) ˆ & ˆ )
{ {

re & & ˆ & & ˆ &&ˆ & ˆ
≡ &&ˆr + rθ eθ + rθ eθ + rθ eθ − rθ 2 er

r
{ } {
a ( r , θ) ≡ && −rθ2 er + rθ +2rθ eθ
r & ˆ && && ˆ }

¿? Aplicación de las coordenadas polares al movimiento planetario.

¿? En particular el movimiento de la Luna es problema CAOS. Leer “El
reloj de Newton”.

kk) Movimiento Circular en (r,θ)

r ≡ R ≡ cte!

r r
i) r ≡ rer → r ≡ R ≡ cte
r
ii) v ( r , θ ) ≡ rθ eθ → vt ≡ ω R,θ& = w
&ˆ



r
iii) a ( r , θ ) ≡ −rθ er + rθ eθ
&2 ˆ &&ˆ

{ }
&& ˆ
{ { { {
& {
≡ Rθ eθ + Rθ 2 { −er }
ˆ }

ˆ ˆ
≡ atT + an N
{ {
r r r
at an ≡ acp

S1P17) Una partícula se mueve en un plano sobre una trayectoria dada por
r = 10 µ r y θ = 2π t , en donde r está en metros, θ en radianes y t
ˆ
en segundos, a) Describa el movimiento, b) Halle el vector velocidad
V = dr / dt por derivación directa de r , c) Como la distancia sobre la
trayectoria es s = rθ, halle la celeridad hallando ds/dt. ¿Tiene el mismo
valor que el módulo de V hallado en la parte (b)?, d) Halle el vector
aceleración a en función de los vectores unitarios µ r y µθ .
ˆ ˆ

Solución:

r
r ≡ 10 µr , µ r = er
ˆ ˆ ˆ
θ = 2πt

a) r ≡ 10 → R ≡ 10 → MC
r
r dr r d
b) v = → v = { 10er } = 10(er ) = 10θ eθ
ˆ ˆ& &ˆ
dt dt
r r
v ≡ vt ≡ 20π eθ
ˆ

c) MC: s, variable lineal!

s → vt → at

θ, variable angular

θ, → ω → α

MC ≡ MC (variables lineales, v angulares)

s≡θR
vt ≡ ωR
at ≡ αR



ds &
≡ s ≡ Rθ ≡ 10 x 2π ≡ 20π
&
dt
r r
d) a ≡ a ( r ,θ )
…

r
&&{ & ˆ } && {
a ( r , θ) ≡ r −rθ2 er + rθ +2rθ eθ
&& ˆ } , µ r = er y µθ = eθ
ˆ ˆ ˆ ˆ

S1P11) Un punto M tiene durante su movimiento dos y ˆ
eθ M ˆ
er
velocidades constantes en modulo. La primera
permanece siempre perpendicular al eje X y la
segunda perpendicular al radio vector. Halle la V2
r V1
ecuación de la trayectoria si parte del punto (r0,
θ0) y calcule la aceleración de M. θ
0 x

Solución:

y
ˆ
eθ ˆ
er

M
V1r θ v1θ
V2
V1

θ
x

a) Ec τ / t ≡ 0 : (r0, θ0)?



b) aM ≡ ?
--------------------------------

a) Descomponiendo las velocidades en el sistema polar, tenemos
r r
vM ≡ v ( r , θ ) ≡ −v1senθ er − { v1 cos θ + v2 } eθ
ˆ ˆ

Ahora, comparando componentes,
r
v ( r , θ ) ≡ rer + rθ eθ
&ˆ &ˆ

r : r ≡ −v1senθ
& … (I)

&
θ : rθ ≡ −v1 cos θ − v2 …(II)

dr dr dθ dr &
En I aplicando regla de la cadena: r ≡
& ≡ ≡
dt dθ dt dθ
( )
θ

&
Despejando θ de II y reemplazando,

dr  −v1 cos θ − v2 
r≡
&   ≡ −v1senθ
dθ  r 

Separando variables para poder integrar,

1 dr d v senθ
≡ { ln r} ≡ 1
r dθ dθ v1 cos θ + v2

d   v1senθ 
∫ : ∫  dθ { ln r} dθ ≡ ∫  v cos θ + v
   1
dθ
2

ln(r ) = − ln { v1 cos θ + v2 } + c

Aplicando ci para determinar c:

ln(r0 ) + ln { v1 cos θ 0 + v2 } = c
c = ln  r0 { v1 cos θ 0 + v2 } 
 



 v cos θ 0 + v2 
r ≡ r0  1  → ( r ,θ ) → τ
 v1 cos θ + v2 

b) Para la a de M,

r
{ } {
a ( r , θ) ≡ r −rθ2 er + rθ +2rθ eθ
&& & ˆ && && ˆ }

c
%
r ≡ ? → r (θ ) ≡
& , c ≡ ec
%
v1 cos θ + v2
& &
r ≡ f (θ )θ → θ ≡ ?
&

De II,

 v cos θ 0 + v2  &
&
rθ ≡ r0  1 θ ≡ − { v1 cos θ + v2 }
 v1 cos θ + v2 
&
θ ≡ g (θ ) → r ≡ f (θ ) g (θ ) ≡ r (θ )
& &
&& &&
r ≡ &&(θ ), θ ≡ θ (θ )
&& r

r r
a ≡ a (θ )

iii) Movimientos Espaciales: Caso General

Los casos generales de movimiento podrían considerarse en el espacio.
Por muy complicado que parezca siempre es posible, usando el Principio de
Superposición, expresarlo en función de movimientos mas sencillos, de ello ya
hemos revisado algunos casos, por ejemplo,

MP → {MRU}x + {MRUV}y

M Helicoidal → {MRU}z + {MC}xy

M Cicloidal → {MRU}xy + {MC}xy

¿? Podría indicar 3 casos similares. Cree que es un tema de simetría.

La descripción del movimiento debe efectuarse usando un sistema de
coordenadas que comparta la simetría del movimiento.

→ x, y, z Rectangulares
→ r, θ Polares
→ ρ, φ, z Cilíndricas



→ r, θ, φ Esféricas
→ s Coordenada de sobre la curva, vectores tangencial, normal y binormal.

De no ser así, el desarrollo también ya se ha descrito,

r r r r r r
a ≡ a ( t ) → v ≡ ∫ adt → r = ∫ vdt

r r r
a ≡ a( v)
r r r técnicas de ∫
a ≡ a( r)

 Regla de la cadena
 Diferencial exacta
 Cambio de variable

Sistema de coordenadas sobre la curva

Es el sistema general. Este sistema que “viaja” con el móvil, está definido por la
ˆ
llamada coordenada sobre la curva s, y los vectores, T , tangente unitario, N ,ˆ
ˆ
normal principal, y B , binormal, los cuales son mutuamente perpendiculares.
r r
i) r ≡ r ( t )

r ˆ ˆ ˆ r
ii) v ≡ vT , T : u en la dirección de v
r
iii) a ≡ ?

r
r dv d
a≡ ≡
dt dt
ˆ &ˆ { }
vT ≡ vT + vT
&
ˆ

& r
ˆ
T ≡?
ˆ ˆ
& dT dT ds
ˆ
T≡ ≡
dt ds {
dt
v

ˆ
T: tangente unitario

ˆ
T =1
2
ˆ
T =1



ˆ ˆ
T .T = 1← derivando respecto a s

ˆ
Tˆ ⋅ dT = 0
ds

P
O R=ρ Tˆ Tˆ

1
k≡ : curvatura
ρ
 
  ˆ 
r
a ≡ vT
& ˆ + v v  dT 
 
 { ds 
 kN 
 ˆ 
2
r
a ≡ vT
& ˆ+v Nˆ ; ρ ≡ R: radio de curvatura
R

¿? Que información da la binormal.

¿? Podría construir ecuaciones para el radio de curvatura.



S1P21) Un muchacho en A arroja una pelota B
directamente a una ardilla parada
sobre una rama en B. Si la rapidez h
inicial de la pelota es de 16 m/s y la
ardilla, en vez de asustarse, se deja A 5.5 m
caer del reposo en el instante en que
se lanzo la pelota, demuestre que la 1.5 m
ardilla puede atrapar la pelota y
determine la longitud h que la ardilla 10 m
cae antes de hacer la captura.

Solución:

B

h g
H2 - H1
v(0) C
y A θ
H2
x
H1

A’ D

t ≡ 0: Pelota en A y Ardilla en B
r
v ( 0) “directamente” hacia B:

D
H 2 − H1 cosθ ≡
tgθ ≡ →
{ }
1/ 2
D 2 + [ H 2 − H1 ]
2
D



Sea t: Pelota en C y ardilla en C

Usando xy en A:

Para la pelota, x p ( t ) ≡ 0 + v px ( 0 ) t ≡ { v ( 0 ) cosθ } t ≡ D

D
→t ≡
v ( 0 ) cos θ
2
g 
g
{
y p ( t ) ≡ H1 + v py ( 0 ) t − t 2 ≡ H1 + v ( 0 ) senθ ×
2
}D
− 
 D 

v ( 0 ) cosθ 2  v ( 0 ) cosθ 
 

gD 2 gD 2
≡ H1 + Dtgθ − ≡ H 1 + ( H 2 − H1 ) −
2v 2 ( 0 ) cos 2 θ  D 
2
 
2v 2 ( 0 ) ×  1/ 2 
{ } 
 

yp ( t ) ≡ H2 −
{
g D 2 + [ H 2 − H1 ]
2
}
2v 2 ( 0 )

1
Para la Ardilla, y A ( t ) ≡ H 2 + { 0} t − gt 2
2
2
 
 
2
 
1 
 D 
 1  D 

≡ H2 − g ×   ≡ H2 − g  
2  v ( 0 ) cosθ 
  2   
 v ( 0) ×  D 
 2
{ }
1/ 2 
 
 D + [ H1 − H 2 ]
2

  


yA ( t ) ≡ H 2 −
{
g D 2 + [ H 2 − H1 ]
2
}
2v 2 ( 0 )

a) Como en t y p ( t ) ≡ y A ( t ) → la ardilla puede coger la pelota!



b) h ≡ H 2 − yA ( t ) ≡
{
g D 2 + [ H 2 − H1 ]
2
} ≡ 10 × { 10 2
+ 42 }
≡ 2,3
2v ( 0 )
2
2 × 16 2

h ≡ 2,3
¿? Será posible resolverlo rápidamente usando la Ec de la parábola.

S1P) La aceleración de un móvil, en función de su posición, está dada por:
a(x) = 3x – 2x3; para t = 0 se cumple que x = 0 y v = 0. Halle: (a) su
velocidad cuando x = 0,5, (b) su posición cuando su velocidad es
máxima, (c) la aceleración para esta velocidad máxima.

Solución:

a ( x ) ≡ 3x − 2 x3 , t ≡ 0: x ≡ 0∧v ≡ 0

a) v ≡ v ( x ≡ 0,5 ) b) x / vmax ∧ c) a / vmax ?

dv dv dx dv d 1 
a ( x) ≡ ≡ ≡ v ≡ 3 x − 2 x3 ≡  v 2 
dt dx dt dx dx  2 

1 3 1
→ ∫ : v 2 ≡ x 2 − x 4 + c  v 2 ≡ 3 x 2 − x 4 → v ≡ ± 3 − x 2 x
c.i .
→
2 2 2

2

a) v x ≡
1 1 1 11
  ≡ ± 3−  ≡±
 2 2 2 4

b)
d dv dv 3x − 2 x3 3 − 2x2 3
: 2v ≡ 6 x − 4 x →
3
≡ ≡ ≡ 0 → x ≡* ±
dx dx dx ± 3 − x 2 x ± 3 − x 2 2



Aparentemente, el movimiento se realiza desde x=0 hasta x≡+ 3
regresando a x ≡ 0 y permaneciendo allí ∀ t posterior. Este problema es
inconsistente desde su planeamiento: t ≡ 0, a ≡ 0, v ≡ 0 ∧ x ≡0?! Si se le da
cierta v (0) ≠ 0 ,

→ xMAX ≡ + 3
2 ∨− 3
2

* La partícula “mágicamente” se empieza a mover hacia la derecha (+)s ∨
hacia la izquierda (-)s.

** ¿? Analizar mediante gráficos.

 3 3 3 3
c) a x ≡  ≡ 3× −2× × ≡0→a≡0
 2 2 2 2

S1P) Un estudiante desea arrojar una pelota hacia afuera, por la ventana de
un dormitorio en el tercer piso, a 10 m de altura, para que llegue a un
blanco a 8 m de distancia del edificio. (a) Si el estudiante arroja la
pelota en dirección horizontal, ¿Con qué velocidad la debe arrojar?, (b)
¿Cuál debe ser la velocidad de la pelota, si la arroja, hacia arriba, con
un ángulo de 29º con respecto a la horizontal?, (c) ¿Cuánto tiempo
permanece la pelota volando en el caso (b)?

SOLUCION:
Y
g, g ≡ 10

v(0)
0 =A θ g
XY : y ≡ { tgθ } x − x2
X 2v ( 0 ) cos θ
2 2

10

B(8-10)
8

10
a) B ( 8, −10 ) en Ρ : − 10 ≡ { 0} × { 8} − × 82 → v ( 0 ) ≡ 4 2
2 × v ( 0 ) × { 1}
2 2

10
b) B ( 8, −10 ) en Ρ : −10 ≡ { tg 29º} { 8} − × 82
2 × v ( 0 ) × { cos 29º}
2 2



1/ 2
320 
 160 

→ 2 ≡ 10 + 8 tg 29º → v ( 0 ) ≡  2 
v ( 0 ) cos 29º  cos 29º { 5 + 4 tg 29º} 
2
 

→ v ( 0 ) ≡ 5, 4

c) X : MRU , x ( t ) ≡ x ( 0 ) + vx ( 0 ) t → 8 ≡ 0 + { ( 5, 4 ) cos 29º} t

→ t ≡ 1, 7

S1P) Se lanza un objeto (Mov. Parabólico) de forma que pasa justamente
sobre dos obstáculos cada uno de 11,35 m de altura y que están separados por
la distancia horizontal de 52 m. Calcule el alcance horizontal total (R=X) y la
velocidad inicial (V0) de lanzamiento sabiendo que el tiempo empleado en
recorrer el espacio entre los 2 obstáculos es de 2,6 segundos. (g=9,8 m/s2)

SOLUCION:
Y

g= 9,8

H v’0y v’0 D’
d B’ C’
11,35
v0
v0y

X
0 b B C b A
52

t B→C ≡ 2,6; R ≡ ? ∧ v0 ≡ v (0) ≡ ?

Del MP de B’ a C’: Como t B→C ≡ tB '→C ' ≡ 2,6 → t B '→ D ' ≡ 1,3

Y: 0 ≡ v ' y − (9,8) × (1,3) → v ' y ≡ 12,74

Del MP de 0 a B’:

v '2 ≡ v y (0) + 2 g × ∆y → ( 12,74 ) ≡ v y (0) + 2 ( −9,8 ) × ( 11,35 )
2 2 2
Y: y

→ v y (0) ≡ 19, 62



Del MP de B a C: Asumiendo “0” en B,

X: x(t ) ≡ x (0) + vx (0)t → 52 ≡ 0 + vx (0) × 2, 6

→ vx (0) ≡ 20

a) De la ecuación del rango,

v 2 (0) sen(2θ ) v(0)v(0)2 sen(θ )cos (θ )
R≡ ≡
g g

2 { v(0)cos (θ )} { v(0) sen(θ )}
≡
g

2vx (0)v y (0) 2 { 20} { 19, 62}
R≡ ≡ → R ≡ 80,1
g 9,8

b) v(0) ≡ vx (0) + v y (0) ≡ (20) 2 + (19, 62) 2
2 2

v(0) ≡ 28

M
S1P) En la grafica mostrada dos móviles son
lanzados simultáneamente, y chocan en el va vb
punto “M”. Si el que sale de A lo hace con una
velocidad de 50 m/s y un ángulo de 37°, ¿Cuál
debe ser el ángulo y velocidad de lanzamiento 37° θ
2 A 80 m 60 m B
del móvil que sale de B? (9,8 m/s )

SOLUCION:

Como el movimiento de los móviles es simultaneo, t A ≡ t B ≡ t , y usando el
sistema 0XY mostrado,

Y



M g

va vb

37° θ X
A 80 m 60 m B

Para el móvil A,

 4
x A ( t ) ≡ 80 ≡ 0 + 50 ×  t → t ≡ 2
 5

Para el móvil B,

xB (t ) ≡ xB (0) + vBx (0)t → 80 ≡ 140 + { −vB cos θ } × 2 ≡ 60 → vB cos θ ≡ 30...α

Usando y A (t ) ≡ yB (t )

 3 1 1
y A ( t ) ≡ 0 + 50 ×  × 2 − gt 2 ≡ yB ( t ) ≡ 0 + { vB s enθ } × 2 − gt 2
 5 2 2

→ vB s enθ ≡ 30...β

a) De α ∧ β : tgθ ≡ 1 → θ ≡ 45º

vB cos θ ≡ 30 → vB ≡ 30 2
{
b) De la ecuación α 1
2

S1P) Una bola es lanzada del origen de coordenadas con una velocidad inicial de v0
= 50 m/s. Si transcurridos 3 s alcanza su altura máxima, halle el punto del
plano (x,y) donde se encuentra la bola transcurridos 4 s después de su
lanzamiento.

SOLUCION:

Describamos el problema mediante el siguiente grafico,

y

v (0) t=3 t≡4

?
Q
t≡0 θ
0 x



Del tv calculamos el ángulo θ: como alcanza su altura máxima e 3 s, el tv ≡ 6 s
,

5
2v ( 0 ) senθ 3
2 × 50 × senθ 3
tv ≡ → tv ≡ 6 ≡ → senθ ≡ → θ ≡ 37º
g 10 5

 4
X : x ( t ) ≡ x (0) + { v ( 0 ) cosθ } t → x ( 4 ) ≡ 0 + 50 ×  × 4 ≡ 160
 5

 3
Y : y ( t ) ≡ y ( 0 ) + { v ( 0 ) s enθ } t − 5t 2 → y ( 4 ) ≡ 0 + 50 ×  × 4 − 5 × 16 ≡ 40
 5

→Q ≡ ( 160,40 )

S1P) ¿Cuál es el ángulo de elevación del lanzamiento de un proyectil para que
su alcance sea el doble que su altura máxima?

SOLUCION:

v(20) sen(2α ) 2 v(20) sen 2α
θ ≡ ?/ R ≡ 2 H MAX → R ≡ ≡
g 2 g

→ 2 sen α cos α ≡ sen 2 α → tgα ≡ 2 → α ≡ Arc − tg { 2}

S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez de 40 m/s, haciendo un ángulo de 37º,
desde la azotea de un edificio de altura H, impactando en el suelo a una
distancia de 160 m, medida desde la base del edificio. Halle la altura máxima
alcanzada por el cuerpo con respecto al piso.

SOLUCION:

y
v(0)

37º h
0 160
Q
X

H
piso P(160,-H)
-H


De la grafica adjunta, representando al punto de impacto con el piso, P=P
(160,-H), y reemplazarlo en la ecuación de la parábola para hallar H,

5
y ( x ) ≡ { tgθ } x − x2
v ( 0 ) cos θ
2 2

40
3 5
−H ≡ × 160 − 2
× 1602 ≡ 120 − 125 ≡ −5 → H ≡ 5
4 2  4 
40 ×  
5

Ahora, en el MP de 0Q, hallamos la altura máxima,

80 16
v ( 0 ) sen θ 40 × ( 3 / 5 )
2 2
2 2
80 × 9
h≡ ≡ ≡ ≡ 28,8 → h ≡ 28, 8
2g 20 25 5

∴ H MAX ≡ H + h ≡ 33,8

S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez v(0)=20 m/s, haciendo un ángulo de 53º,
desde la azotea de un edificio de altura 20 m, impactando en el suelo a una
distancia d, medida desde la base del edificio. Halle la distancia d y la altura
máxima con respecto al suelo alcanzada por el cuerpo.

SOLUCION:
y
a) Usando el eje Y para calcular el tiempo de v(0)
movimiento, t, vy(0)
t=0 53° %
h d
y ( t ) ≡ y ( 0 ) + v y ( 0 ) t − 5t 2 0 X

4
v y ( 0 ) ≡ v ( 0 ) sen53º ≡ 20 × ≡ 16 d P(d,-20)

5 -20 t=t

−20 ≡ 0 + 16 t − 5t 2

t 2 − 3, 2t − 4 ≡ 0 ,

( −3, 2 )
2
−(−3, 2) ± − 4 ×1× (−4) 3, 2 + 10, 2 + 16
t1,2 ≡ ≡ ≡ 4, 2 t ≡ 4, 2
2 2



Ahora usando X para hallar d,

 3
x ( t ) ≡ x ( 0 ) + vx ( 0 ) t → d ≡ 0 +  20 ×  (4, 2) ≡ 50, 4 → d ≡ 50, 4
 5

b) Ahora, en el tramo de ascenso, usamos,

v 2 ( t ) ≡ v y ( 0 ) + 2 g × ∆y
y
2

% %
0 ≡ 162 + 2 × (−10) × (+ h ) → h ≡ 12, 8 → H ≡ 20 + 12,8 ≡ 32, 8

H ≡ 32,8

S1P) Europa, la Luna de Júpiter, tiene un radio orbital de 6,67 x 108 m y un
periodo de 85,2 h. Calcule la magnitud de a) la velocidad orbital, b) la
velocidad angular y c) la aceleración centrípeta de Europa.

SOLUCION:

R ≡ 6, 67 ×108 m  a) vt ∧ c) acp

T ≡ 85, 2 h b) w

2π 2π 2π
b) w ≡ ≡ ≡ ≡ 2, 0 × 10−5 rad / s
T 85, 2h 85, 2 × 3600

 2π  −5
a) vτ ≡ wR ≡   × R ≡ 2, 0 × 10 × 6, 67 ×10 ≡ 13,3 ×10 m / s
8 3

 T 

−10 −2
c) acp ≡ w R ≡ 4 × 10 × 6, 67 ×10 ≡ 26, 7 ×10 m / s
2 8

S1P) Dos partículas pasan simultáneamente (MCU) por los
A
extremos de un diámetro AB y en los sentidos indicados en la
figura. Si giran con periodos TA = 25 segundos y TB = 30
segundos respectivamente, calcular al cabo de que tiempo
logran cruzarse por segunda vez.
B



SOLUCION:

TA ≡ 25 → wA ≡ 2π / TA ≡ 2π / 25
TB ≡ 30 → wB ≡ 2π / TB ≡ 2π / 30

A
AB B
B β
α AB β α
β α AB
A A
B
1° t1 t1 t1

t ≡ 3t1
t1 : α ≡ wAt1
β ≡ wB t1
 2π 2π 
π ≡ α + β ≡ ( wA + wB ) t1 ≡  +  t1
 25 30 
  5
1  55  25 ×15
≡  t1 → t1 ≡ → t1 ≡ 6,8
2  25 × 30  55 11
 15 

→ t ≡ 20,5

S1P) En una pista circular un ciclista puede dar tres vueltas en un minuto y otro
sólo 2 vueltas en un minuto. Si ambos parten de dos puntos diametralmente
opuestos y avanzan uno al encuentro del otro ¿en qué tiempo s encontraran y
que porción de circunferencia habrá recorrido cada uno?

SOLUCION:
AB
3ν 1 B t≡0
A: ν A ≡ ≡ Hz
θB
1min 20
θA
0
2ν 1
B: ν B ≡ ≡ Hz
1min 30 A

 1  1 1 20 × 30
a) θ A + θ B ≡ π ← θ ≡ wt →  2 π ×  t +  2 π ×  t ≡ π → t ≡ ×
 20   30  2 50
t≡6

b) θ A ≡ 0, 6π → f A ≡ 0,3
θ B ≡ 0, 4π → f B ≡ 0, 2



y
2.- La figura adjunta representa a un -gsenα
campesino irrigando un sistema de andenes, α
r
indicados por rayas horizontales, separados 3 v0 g x
m; la pendiente del cerro esta dado por α = 30º : P
a) El campesino desea averiguar cuantos A
andenes podrá irrigar con v0 = 15 m/s y β R
variando de 30º a 45º.Considere que el
primer andén dista 3 m de “0”. β
b) Encuentre el valor de β que nos permita α
irrigar el máximo número de andenes. ¿Cuál 0 x

es ese número máximo?. Tome g = -10  m/s2.
j

SOLUCION:

g
P : y ≡ { tgθ } x − x2 ← θ ≡ β
2v( 0 ) cos θ
2 2

y : y ≡ { tgα } x → x →≡ k cos α , y ≡ ksenα

g
( )
R
P : P ≡ L : R senα ≡ { tg β } ( R cos α ) − 2 R cos 2 α R
2v( 0 ) cos β
2

senβ cos α cos β g cos 2 α
senα ≡ − 2 R
cos 2 β 2v ( 0 ) cos 2 β

g cos 2 α senβ cos α − cos β senα
R≡ ≡ sen { β − α }
2v 2 ( 0 ) cos 2 β cos β

 2v 2 ( 0 ) 
 
R≡  cos β sen { β − α } ..…(ρ)
 g cos α 
2
 

dR  − senβ sen { β − α } + cos β cos { β − α } 
 
→ ≡C 
dβ 
 cos { 2 β − α } 




dR π π
≡ cos { 2β − α } ≡ 0 → 2β − α ≡ ≡ 60º ≡
dβ 4 3
b) de lo anterior β ≡ 60º

2 × 152 1 1 15 × 15
R≡ × × ≡ → R ≡ 15
En (ρ) : 3 2 2 15
510 ×
4
∴ Podrá irrigar 5 ANDERES

a) En (ρ) usando β ≡ 45º

2 × 152 1
R≡ × × 0,26 ≡ 11,1 → R ≡ 11,1
3 2
10 ×
4
∴ Solo podrá irrigar 3 ANDERES

* Hacer la variante de calcular R con x’


Cap 1 2- cinematica de una particula 1-31-2011 i

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (13)

Viewers also liked

Viewers also liked (14)

Similar to Cap 1 2- cinematica de una particula 1-31-2011 i

Similar to Cap 1 2- cinematica de una particula 1-31-2011 i (20)

More from Manuel Mendoza

More from Manuel Mendoza (20)

Cap 1 2- cinematica de una particula 1-31-2011 i