Apunte Usach - Álgebra I

2,463 views
2,364 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
2,463
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
7
Actions
Shares
0
Downloads
76
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Apunte Usach - Álgebra I

  1. 1. Introducci´n o “Saber es poder comprender es tolerar” La idea que me motiva a escribir estas notas esta sustentada en la firme creencia que, “unacondici´n necesaria y suficiente para que en alg´n instante se produzca aprendizaje de algo es o uque, la intersecci´n entre los deseos de ense˜ar del que ense˜a, y los deseos de aprender del que o n naprende, sea no vac´ ıa.” Lo anterior es con seguridad una muy dif´ tarea, no obstante poseo la esperanza que estas ıcilnotas ayudar´n en parte, a generar la motivaci´n en los actores para que ingresen a esa ”in- a otersecci´n.” Por esto espero que con estos apuntes se consiga al menos alguno de los siguientes oobjetivos. o a ´ Dar informaci´n introductoria y b´sica a los estudiantes de un primer curso de Algebra. Servir de hilo conductor para que los estudiantes recorran las primeras ideas algebraicashasta llegar a las bases del algebra Lineal, y puedan posteriormente reflexionar, respecto de lasilimitadas aplicaciones que esta disciplina posee. Generar un ambiente de di´logo permanente, entre el Profesor y el Estudiante del cual se aconcluya al menos que, “lo abstracto deja de serlo cuando se hace tangible en la mente, y seplasma a trav´s de la mano.” e Motivar al estudiante a profundizar d´ a d´ cada uno de los t´picos discutidos en clases, ıa ıa, ousando la bibliograf´ de apoyo sugerida por su profesor, para que se concreten y conecten la ıateor´ y la pr´ctica. ıa a Motivar al profesor, para que complemente estas notas, d´ndoles la contundencia y versatil- aidad necesaria para mantener vivo en el estudiante su inter´s por la asignatura. e Estas notas est´n distribuidas en dos tomos, en el primero de ellos se hace ´nfasis en estruc- a eturas algebraicas y en el segundo abordamos definitivamente temas de algebra lineal y algunas ´de sus aplicaciones m´s frecuentes. a Deseo enfatizar que desde hoy estas notas estar´n en constante revisi´n con el unico objetivo a o ´de mejorar y as´ llegar a ser alguna vez, un razonable material de apoyo, para la ense˜anza y ı naprendizaje de esta disciplina. Este primer trabajo se realiz´ en el marco del proyecto de docencia “Construcci´n de un o o ´libro de Algebra para el primer a˜ o de Ingenier´ Civil ” con el apoyo y financiamiento n ıade la Vicerrector´ de Docencia y Extensi´n. ıa o Finalmente debo agradecer el inestimable trabajo de la Profesora Gabriela Pe˜ailillo, quien ncon esmero y dedicaci´n corrigi´ y adem´s propuso ideas en la construcci´n de estas notas. o o a o Ricardo Santander Baeza
  2. 2. CAPITULO 1 Matem´tica B´sica a a 1. Contenidos (1) Polinomios (2) Adici´n de Polinomios o (3) Producto de Polinomios (4) Divisi´n de Polinomios o 2. Introducci´n o 2.1. Comentarios y Definiciones. La idea aqu´ es introducir informalmente el concepto de polinomio, el cual ser´ abordado ı aposteriormente desde el punto de vista de las estructuras algebraicas1. El punto de partida ser´ un elemento que “ seg´n parece todos conocemos en mayor o a u ´menor medida ”, EL NUMERO interpretado de una manera altamente intuitiva: ¿ Qu´ es un n´mero ?. Probablemente buscando una buena respuesta podr´ e u ıamos pasar portodas las ´pocas citando personajes fabulosos como: Pit´goras, Hermes, Hiram, entre otros, sin e aencontrar una respuesta satisfactoria, sin embargo todos tenemos nos guste o no, una idea quenos deja tranquilo respecto de lo que un n´mero es, probablemente la m´s com´n de las inter- u a upretaciones, sea asociar un n´mero con la idea de cantidades de cosas, por ejemplo un maestro, utres malos alba˜iles, nueve escogidos caballeros, etc. As´ que para una primera aproximaci´n n ı onos contentaremos con lo que ´l representa. e En esa direcci´n observemos los ejemplos: o (1) Caso del 33 33 = 3 · 10 + 3 = 3 · 101 + 3 · 100 (2) Caso del 987 987 = 9 · 100 + 87 = 9 · 102 + 8 · 101 + 7 · 100 1 Ver capitulo estructuras algebraicas 1
  3. 3. 2 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA (3) ¿ Cu´l es la idea ? ´ ¿ C´mo se hace ? a o o La idea es que en la representaci´n en potencias del n´mero 10 ( cosas del tipo o u 10n ), aceptamos como coeficientes ( los n´meros que multiplican a las potencias de 10) u n´meros mayores o iguales a 0 y menores que 10, y lo hacemos as´ u ı: 33 : 10 = 3 − 30 −− ⇐⇒ 33 = 3 · 101 + 3 · 100 3 Para el n´mero 987 tenemos que u 987 : 100 = 9 − 900(1) −− ⇐⇒ 987 = 9 · 102 + 87 87 Ahora, aplicamos el proceso al n´mero 87 y obtenemos: u 87 : 10 = 8 − 80(2) −− ⇐⇒ 87 = 8 · 101 + 7 7 Finalmente sustituyendo, obtenemos que:(3) 987 = 9 · 102 + 8 · 101 + 7 · 100 Definici´n 2.1.1. o Dado un n´mero natural n, (n ∈ N). Si u n = as 10s + as−1 10s−1 + · · · + a1 101 + a0 100 ; (0 ≤ aj ≤ 9); (0 ≤ j ≤ s)entonces(4) n = as as−1 as−2 as−3 · · · a2 a1 a0La llamaremos representaci´n del n´mero n en base 10 o u Observaci´n 2.1.2. o La idea de representar un n´mero de la forma (4) no es una exclusividad del n´mero 10, u um´s a´n si uno se fija en la idea central obtiene un algoritmo o procedimiento para representar a un´meros en cualquier base entera. u
  4. 4. ´ 2. INTRODUCCION 3 En efecto (1) Por ejemplo n = 10 lo podemos representar en base “2”, como sigue 10 = 8 + 2 = 1 · 23 + 1 · 2 1 = 1 · 23 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 0 · 2 0 As´ que, ı(5) 10 = 1010 ( base 2) (2) Para n = 33 tenemos que 33 = 2 · 16 + 1 = 2 · 24 + 1 = 25 + 1 = 1 · 25 + 0 · 2 4 + 0 · 2 3 + 0 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 Luego, 33 = 100001 (base 2) (3) Para n = 10 en base 3 tenemos 10 = 9 + 1 = 32 + 1 = 1 · 32 + 1 · 30 = 1 · 32 + 0 · 31 + 1 · 30 As´ que, ı(6) 10 = 101 ( base 3) (4) Para n = 33 tenemos que 33 = 27 + 6 = 33 + 2 · 3 = 1 · 33 + 0 · 3 2 + 2 · 3 1 + 0 · 3 0
  5. 5. 4 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA Luego, 33 = 1020 (base 3) Observaci´n 2.1.3. o Es posible representar un n´mero n, (n ∈ N) en base m, (m ∈ N), es decir, u(7) n = aq aq−1 · · · a1 a0 (base m) ⇐⇒ n = aq mq + · · · + a1 m1 + a0 m0 (0 ≤ ai ≤ m)pues: (1) Las potencias de m est´n definidas, es decir, m0 = 1 y mr · mt = mr+t a (2) Los coeficientes ai de la representaci´n en base m verifican la propiedad 0 ≤ ai ≤ m, o esta propiedad permite ver a m no como el n´mero que es, sino como un “s´ u ımbolo ” (3) Por tanto, para obtener una estructura similar debemos llevar en consideraci´n estas o propiedades... Definici´n 2.1.4. Definici´n informal de polinomio. o o Una expresi´n se llama un polinomio en la variable “x”, y con coeficientes en los n´meros o ureales si: (1) Es de la forma:(8) p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn (2) Los n´meros as , donde s = 0, 1, 2, . . . , n, se llaman los coeficientes del polinomio y son u en este caso numeros reales. (3) La variable x satisface las propiedades: (a) x no es un n´mero complejo u (b) x0 = 1 (c) xs · xt = xs+t (4) Los exponentes son n´meros enteros no negativos, es decir n ∈ (Z+ ∪ {0}) u Ejemplo 2.1.5. (1) p(x) = 0 + 0x + 0x2 + 0x3 + · · · + 0xn ; se llama el polinomio nulo y lo escribiremos de la forma abreviada: p(x) = 0 (2) p(x) = 1 − 3 · x2 + x5 √ 5 (3) q(x) = 3 x + x3 7
  6. 6. ´ 2. INTRODUCCION 5 (4) De acuerdo a estudios hechos por la polic´ la cantidad de robos por cada 100.000 habi- ıa tantes, a partir de 1990 puede calcularse aproximadamente por el polinomio:(9) r(x) = 251 − 17.24 · x + 1.76 · x2 (a) ¿Cu´ntos robos por cada 100.000 habitantes habr´ aproximadamente en 1990? a a Para este caso, tenemos el siguiente an´lisis del problema: a 1990 es el primer a˜o as´ que en r(x) debemos hacer x = 0, esto es: n ı r(0) = 251 − 17.24 · 0 + 1.76 · 02(10) = 251 (b) ¿Cu´ntos robos por cada 100.000 habitantes habr´ aproximadamente en 2000? a a Para este caso, debemos hacer en r(x), x = 10, esto es: r(10) = 251 − 17.24 · 10 + 1.76 · 102(11) = 251 − 172.4 + 176 ≈ 255 (c) ¿Cu´ntos robos por cada 100.000 habitantes habr´ aproximadamente en 2010? a a Para este caso, debemos hacer en r(x), x = 20, esto es: r(20) = 251 − 17.24 · 20 + 1.76 · 202(12) ≈ 610 (d) ¿Ser´ posible que en alg´n instante los robos se aproximen a cero por cada 100000 a u habitantes? Para este caso, debemos hacer en r(x) = 0,esto es: 251 − 17.24 · x + 1.76 · x2 = 0 ⇓ 17.24 ± (17.24)2 − 4 · 1.76 · 251 x = 2 · 1.76 √ 17.24 ± 297.2176 − 1767.04 = 3.52 √ 17.24 ± −1463.8224 = ∈R 3.52 La conclusi´n es que esta f´rmula indica que es necesario tomar otras medidas o o adicionales, caso contrario la delincuencia triunfar´.!!! a Definici´n 2.1.6. Grado de un polinomio o Llamaremos grado de un polinomio al mayor exponente de la variable x, cuyo coeficiente esdistinto de cero. Notaci´n: ∂(p(x)) = grado del polinomio p(x) o
  7. 7. 6 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA Ejemplo 2.1.7. (1) ∂(1 + 3x3 − 2x7 ) = 7 (2) ∂(a0 ) = 0 a0 ∈ (R − {0}) (3) ∂(2 + 3x − 5x2 + x4 ) = 4 Para concluir esta secci´n haremos una formal pero muy util definici´n o ´ o Definici´n 2.1.8. o Igualdad de polinomiosSi p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn y q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm entonces(13) p(x) = q(x) ⇐⇒ n = m ∧ ai = bi (i = 0, 1, 2, . . . , n) 3. Adici´n de Polinomios o 3.1. Motivaci´n. o (1) Sabemos que la adici´n o suma de n´meros se realiza en la forma usual; por ejemplo: o u 3 31 3285(14) + 4 + 02 + 0015 7 33 3300 Esta forma de disponer los n´meros para sumarlos no es al azar, en realidad corre- u sponde a un ordenamiento l´gico, por ejemplo en base 10: o 3 · 100 3 · 101 + 1 · 100 3 · 103 + 2 · 102 + 8 · 101 + 5 · 100(15) + 4 · 100 + 0 · 101 + 2 · 100 + 0 · 103 + 0 · 102 + 1 · 101 + 5 · 100 7 · 100 3 · 101 + 3 · 100 3 · 103 + 3 · 102 + 0 · 101 + 0 · 100 (2) Otras posibles escrituras, que emulen la escritura en base 10. Base 2: En este caso tenemos por ejemplo: • 2 = 1 · 21 + 0 · 20 =⇒ 2 = 10 (base2) • 10 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 1010 (base2) • 12 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 1100 (base2) Por otra parte, 2 = 0 · 2 3 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 (base2) + 10 = 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 (base2) 12 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 (base2)
  8. 8. ´ 3. ADICION DE POLINOMIOS 7 (3) Para concluir esta motivaci´n observen que nuestros polinomios se escriben ” en base o x ”, aunque ya dijimos que x no es un n´mero, sin embargo podemos imitar el pro- u cedimiento para sumar representaciones num´ricas con las debidas precauciones; por e ejemplo: Ejemplo 3.1.1. Si p(x) = 5 + x + 2x2 + 3 · x3 + x5 y q(x) = 4x + 3x2 − 7x4 entonces aplicando el formatoutilizado para la representaci´n de los n´meros en las diversas bases tenemos que: o u p(x) = 5x0 + 2x1 + 0x2 + 3x3 + 0x4 + 1 · x5 + q(x) = 0x0 + 4x1 + 3x2 + 0x3 + (−7)x4 + 0x5 p(x) + q(x) = (5 + 0)x0 + (2 + 4)x1 + (0 + 3)x2 + (3 + 0)x3 + (0 + (−7))x4 + (1 + 0)x5 Luego,(16) p(x) + q(x) = 5 + 6x1 + 3x2 + 3x3 − 7x4 + x5 Definici´n 3.1.2. o Si p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn y q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + · · · + bm xmtal que ∂(p(x)) = n, ∂(q(x)) = m y n ≤ m entonces p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + (a3 + b3 )x3 + · · · + (am + bm )xm representar´ la adici´n de polinomios o la forma de sumar dos polinomios. a o Ejemplo 3.1.3. Suma de polinomios (1) Sumemos los polinomios: p(x) = x2 + 5x − 2 y q(x) = 3x2 + 7x + 4 Soluci´n o p(x) + q(x) = 4x2 + 12x + 2
  9. 9. 8 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA (2) Sumemos los polinomios: p(x) = 4x3 + 2x + 21 y q(x) = x2 + x Soluci´n o p(x) + q(x) = 4x3 + x2 + 3x + 21 Observaci´n 3.1.4. o Si recordamos que la resta de dos reales puede ser interpretada como la operaci´n inversa ode la adici´n, esto es: o(17) a − b = a + (−b)As´ por ejemplo, ı 45 − 12 = (4 · 101 + 5 · 100 ) − (1 · 101 + 2 · 100 ) = 4 · 101 + 5 · 100 + (−1) · 101 + (−2) · 100 = 4 · 101 + 5 · 100 − 1 · 101 − 2 · 100 = 3 · 101 + 3 · 100 = 33 Lo anterior permite definir, la resta de polinomios como sigue: Definici´n 3.1.5. o Si p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn y q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + · · · + bm xmtal que ∂(p(x)) = n, ∂(q(x)) = m y n ≤ m entonces p(x) − q(x) = (a0 − b0 ) + (a1 − b1 )x + (a2 − b2 )x2 + (a3 − b3 )x3 + · · · + (am − bm )xm representar´ la sustracci´n de polinomios o la forma de restar dos polinomios. a o Ejemplo 3.1.6. Resta de polinomios (1) Restemos los polinomios: p(x) = x2 + 5x − 2 y q(x) = 3x2 + 7x + 4 Soluci´n o p(x) − q(x) = −2x2 − 2x − 6 (2) Restemos los polinomios: p(x) = 4x3 + 2x + 21 y q(x) = x2 + x Soluci´n o p(x) − q(x) = 4x3 − x2 + x + 21
  10. 10. ´ 3. ADICION DE POLINOMIOS 9 Definici´n 3.1.7. o Notaremos al conjunto de polinomios como: (1) R[x] = {p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn | n ∈ N} (2) Rs [x] = {p(x) ∈ R[x] | ∂(p(x)) ≤ s} ∪ {0} 3.2. Propiedades de la Adici´n de Polinomios. o (1) Propiedad Asociativa Si p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ R[x], q(x) = b0 + b1 x + · · · + bn xn ∈ R[x] y r(x) = c0 + c1 x + · · · + cn xn ∈ R[x] entonces(18) p(x) + [q(x) + r(x)] = [p(x) + q(x)] + r(x) En efecto p(x) + [q(x) + r(x)] = (a0 + a1 x + · · · + an xn ) + [(b0 + b1 x + · · · + bn xn )+ (c0 + c1 x + · · · + cn xn )] = (a0 + a1 x + · · · + an xn ) + [(b0 + c0 ) + (b1 + c1 )x + · · · + (bn + cn )xn ] = (a0 + [b0 + c0 ]) + (a1 + [b1 + c1 ])x + · · · + (an + [bn + cn ])xn ) = ([a0 + b0 ] + c0 ) + ([a1 + b1 ] + c1 )x + · · · + ([an + bn ] + cn )xn ) = ([a0 + b0 ] + [a1 + b1 ]x + · · · + [an + bn ]xn ) + (c0 + c1 x + · · · + cn xn ) = [(a0 + a1 x + · · · + an xn ) + (b0 + b1 x + · · · + bn xn )]+ (c0 + c1 x + · · · + c − nxn ) = [p(x) + q(x)] + r(x) (2) Existencia del polinomio neutro aditivo Si p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ R[x] entonces(19) p(x) + 0 = p(x) En efecto
  11. 11. 10 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA p(x) + 0 = (a0 + a1 x + · · · an xn ) + (0 + 0x + · · · + 0xn ) = (a0 + 0) + (a1 + 0)x + · · · (an + 0)xn = a0 + a1 x + · · · an xn = p(x) (3) Existencia del polinomio inverso aditivo Si p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ R[x] entonces(20) p(x) + (−p(x)) = 0 En efecto p(x) + (−p(x)) = (a0 + a1 x + · · · + an xn ) + (−[a0 + a1 x + · · · + an xn ]) = (a0 + a1 x + · · · + an xn ) + (−a0 − a1 x − · · · − an xn ]) = 0 + 0x + · · · + 0xn = 0 (4) Propiedad Conmutativa Sean p(x) ∈ R[x] y q(x) ∈ R[x] tal que: p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn y q(x) = b0 + b1 x + · · · + bn xn entonces(21) p(x) + q(x) = q(x) + p(x) En efecto p(x) + q(x) = (a0 + a1 x + · · · + an xn ) + (b0 + b1 x + · · · + bn xn ) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · · · + (an + bn )xn = (b0 + a0 ) + (b1 + a1 )x + · · · + (bn + an )xn = (b0 + b1 x + · · · + bn xn ) + (a0 + a1 x + · · · + an xn ) = q(x) + p(x) (5) Propiedad del grado de la adici´n de polinomios o
  12. 12. 4. PRODUCTO DE POLINOMIOS 11 Si p(x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn ∈ R[x] y q(x) = b0 +b1 x+· · ·+bm xm ∈ R[x] entonces(22) ∂(p(x) + q(x)) ≤ m´ximo{∂(p(x)), ∂(q(x))} a 4. Producto de Polinomios 4.1. Motivaci´n. o (1) Sabemos que la multiplicaci´n de n´meros nos dice que 3 · 11 = 33, pero tambi´n ten- o u e emos que: 3 · 11 = (3 · 100 ) · (1 · 101 + 1 · 100 ) = (3 · 100 ) · ((1 · 101 ) + (3 · 100 ) · (1 · 100 ) = (3 · 1) · 100+1 + (3 · 1) · 100+0 = 3 · 101 + 3 · 100 (2) Como 231 · 27 = 6237 entonces en base 10 231 · 27 = (2 · 100 + 3 · 10 + 1 · 100 ) · (2 · 10 + 7 · 100 ) = (2 · 102 + 3 · 101 + 1 · 100 ) · (2 · 10 + 7 · 100 ) = (2 · 102 ) · (2 · 10 + 7 · 100 ) + (3 · 101 ) · (2 · 10 + 7 · 100 ) + (1 · 100 ) · (2 · 10 + 7 · 100 ) = (2 · 102 ) · (2 · 10) + (2 · 102 )(7 · 100 ) + (3 · 101 ) · (2 · 10) + (3 · 101 )(7 · 100 )+ (1 · 100 ) · (2 · 10) + (1 · 100 )(7 · 100 ) = 4 · 103 + 14 · 102 + 6 · 102 + 21 · 101 + 2 · 10 + 7 · 100(23) = 4 · 103 + (101 + 4 · 100 ) · 102 + 6 · 102 + (2 · 101 + 1 · 100 ) · 101 + 2 · 10 + 7 · 100 = 4 · 103 + 103 + 4 · 102 + 6 · 102 + 2 · 102 + 1 · 101 + 2 · 10 + 7 · 100 = 5 · 103 + 12 · 102 + 3 · 101 + 7 · 100 = 5 · 103 + (101 + 2 · 100 ) · 102 + 3 · 101 + 7 · 100 = 5 · 103 + 103 + 2 · 102 + 3 · 101 + 7 · 100 = 6 · 103 + 2 · 102 + 3 · 101 + 7 · 100 = 6237 La forma y s´lo la forma de multiplicar los n´meros en base 10, sugiere definir el producto o ude polinomios como sigue: Si p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 y q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 son dos polinomios de grado 3 y2 respectivamente entonces imitando la idea podemos hacer lo siguiente:
  13. 13. 12 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA p(x) · q(x) = (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) · (b0 + b1 x + b2 x2 ) = (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 )b0 + (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 )b1 x+ (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 )b2 x2 = (a0 b0 + a1 b0 x + a2 b0 x2 + a3 b0 x3 ) + (a0 b1 x + a1 b1 x2 + a2 b1 x3 + a3 b1 x4 )+ (a0 b2 x2 + a1 b2 x3 + a2 b2 x4 + a3 b2 x5 ) = a0 b0 x0 + (a1 b0 + a0 b1 )x + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )x2 + (a3 b0 + a2 b1 + a1 b2 )x3 + (a3 b1 + a2 b2 )x4 + a3 b2 x5 La idea anterior nos permite generar una definici´n de polinomios: o Definici´n 4.1.1. o Si tenemos los polinomios p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn y q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 +· · · + bm xm entonces(24) p(x) · q(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · · + cn+m xn+m donde c0 = a0 b0 c1 = a1 b0 + a0 b1 c2 = a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 c3 = a3 b0 + a2 b1 + a1 b2 + a0 b3 . . . En general cs = as b0 + as−1 b1 + as−2 b2 + · · · + a2 bs−2 + a1 bs−1 + a0 bs 0≤s≤n+m Ejemplo 4.1.2. Si p(x) = 2 + 5x − 4x3 y q(x) = x − 7x2 + 6x4 entonces el producto es el siguiente: p(x)q(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + c5 x5 + c6 x6 + c7 x7 = 0 + 2x − 9x2 − 35x3 + 8x4 + 2x5 + 0x6 − 24x7 = 2x − 9x2 − 35x3 + 8x4 + 2x5 − 24x7
  14. 14. 4. PRODUCTO DE POLINOMIOS 13Donde, c0 = a0 b0 = 0 c1 = a1 b0 + a0 b1 = 2 c2 = a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 = −9 c3 = a3 b0 + a2 b1 + a1 b2 + a0 b3 = −35 c4 = a4 b0 + a3 b1 + a2 b2 + a1 b3 + a0 b4 = 8 c5 = a5 b0 + a4 b1 + a3 b2 + a2 b3 + a1 b4 + a0 b5 = 2 c6 = a6 b0 + a5 b1 + a4 b2 + a3 b3 + a2 b4 + a1 b5 + a0 b6 = 0 c7 = a7 b0 + a6 b1 + a5 b2 + a4 b3 + a3 b4 + 21 b5 + a1 b6 + a0 b7 = −24 4.2. Propiedades del producto de polinomios. (1) Propiedad distributiva Si p(x) = p0 + p1 x + p2 x2 + · · · + pn xn ; q(x) = q0 + q1 x + q2 x2 + · · · + qm xm y s(x) = s0 + s1 x + s2 x2 + · · · + st xt donde n ≤ m ≤ t entonces p(x) · q(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · · + cn+m xn+m p(x) · s(x) = d0 + d1 x + d2 x2 + d3 x3 + · · · + dn+t xn+t Donde, cr = pr q0 + pr−1 q1 + pr−2 q2 + · · · + p2 qr−2 + p1 qr−1 + p0 qr 0≤r ≤n+m dr = pr s0 + pr−1 s1 + pr−2 s2 + · · · + p2 sr−2 + p1 sr−1 + p0 sr 0≤r ≤n+t Ahora,p(x)[q(x) + s(x)] = (p0 + p1 x + p2 x2 + · · · + pn xn ) · [(q0 + s0 ) + (q1 + s1 )x + · · · + (qt + st )xt ] = u0 + u1 x + · · · + un+t xn+t (∗) Donde, ur = pr (q0 + s0 ) + pr−1 (q1 + s1 ) + · · · + p0 (qt + st ) 0≤r ≤n+t Pero,
  15. 15. 14 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA ur = pr (q0 + s0 ) + pr−1 (q1 + s1 ) + · · · + p0 (qt + st ) = pr q0 + pr s0 + pr−1 q1 + pr−1 s1 + · · · + p0 qt + p0 st = (pr q0 + pr−1 q1 + · · · + p0 qt ) + (pr s0 + pr−1 s1 + · · · + p0 st ) = cr + d r 0≤r ≤n+t (∗∗) Sustituyendo (*) en (**), tenemos que p(x)[q(x) + s(x)] = u0 + u1 x + · · · + un+t xn+t = (c0 + d0 ) + (c1 + d1 )x + · · · + (cn+t + dn+t )xn+t = (c0 + c1 x + · · · + cn+t xn+t ) + (d0 + d1 x + · · · + dn+t xn+t ) = p(x)q(x) + p(x)s(x) As´ que ı(25) p(x)[q(x) + s(x)] = p(x)q(x) + p(x)s(x) (2) Existencia del elemento neutro multiplicativo Si e(x) = 1 entonces para cualquier polinomio p(x) tenemos que p(x)e(x) = (p0 + p1 x + p2 x2 + · · · + pn xn ) · (1 + 0x + 0x2 + 0x3 + · · · + 0xn ) = p0 + p1 x + p2 x2 + · · · + pn xn = p(x) (3) Propiedad asociativa(26) [p(x)q(x)]s(x) = p(x)[q(x)s(x)] Es un buen ejercicio!!! Observaci´n 4.2.1. oSabemos que para polinomios, el proceso inverso de sumar es restar, es decir, si sumar significahacer entonces restar significa deshacer y viceversa. Pregunta ¿el producto de polinomios tieneproceso inverso?
  16. 16. 5. DIVISIBILIDAD 15 La pregunta tiene sentido, pues el concepto de inverso esta ligada directamente a la con-strucci´n de algoritmos (procedimientos, f´rmulas) que permiten realizar operaciones en forma o or´pida y eficiente, por ejemplo la f´rmula: a o 1 1 d´lar = 550 pesos ⇐⇒ 1 peso = o d´lar o 550 Nos permite usar sin problemas las monedas d´lar y peso indistintamente, pues a la hora de ocomprar podemos hacer lo siguiente: Si un articulo vale 300 d´lares entonces sacamos la calculadora y hacemos o 300 d´lares = 300 · 1d´lar o o = 300 · 550 pesos = 165000 pesos Por el contrario si un articulo vale 165000 pesos y s´lo tenemos d´lares entonces sacamos o ola calculadora y hacemos 165000 pesos = 165000 · 1 peso 1 = 165000 · d´lares o 550 165000 = d´lares o 550 = 300 d´lares o Como se ve la existencia de una operaci´n inversa esta ligada a la ”resoluci´n de ecua- o ociones”´es decir, cuando vale la equivalencia en el caso aditivo(27) x + a = b ⇐⇒ x = b − a O en el caso multiplicativo b(28) ax = b ⇐⇒ x = (a = 0) a Por ahora seguiremos actuando en forma intuitiva y haremos lo siguiente. 5. Divisibilidad Idea 1 ( Hay que partir de alguna parte ) 8 ¿ Qu´ significa que e 2 = 4?
  17. 17. 16 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA (a) Interpretaci´n pr´ctica o a parte 1 parte 2 parte 3 parte 4 • • • • (b) Interpretaci´n b´sica o a 8 : 2 = 4 (−) 4 · 2 − 0 (resto) 9 Idea 1’ Ahora ¿ Qu´ significa que e 2 = 4.5? (a) Interpretaci´n pr´ctica o a parte4 parte 1 parte 2 parte 3 parte 4 media • • • • • (b) Interpretaci´n b´sica o a 9 : 2 = 4 (−) 4 · 2 − 1 (resto)
  18. 18. 5. DIVISIBILIDAD 17 Conclusi´n: o 8=2·4+0 ∧ 9=2·4+1 Equivalentemente 8 0 9 1 2 =4+ 2 ∧ 2 =4+ 2 Definici´n 5.0.2. o Si n y m son dos n´meros enteros entonces diremos que n divide m si existe un u n´mero entero s tal que m = n · s. En s´ u ımbolos podemos escribir como sigue: n|m ⇐⇒ (∃s; s ∈ Z) : m = n · s Idea 2 ¿ C´mo generalizar estas ideas ? o Podemos copiar el algoritmo anterior, en algunos casos conocidos: (a) Como x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), pues (x − 1)(x + 1) = x2 + x − x − 1 = x2 − 1 entonces x2 − 1 : (x − 1) = x+1 (-) x2 − x x+1 (-) x+1 0 Es decir, 0(29) x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) + x−1 (b) Como x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), entonces las soluciones de la ecuaci´n x2 − 1 = 0 o son x = 1 o x = −1
  19. 19. 18 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA (c) Si escribimos f (x) = x2 − 1 entonces estamos construyendo una f´rmula llamada o funci´n que estudiaremos en el capitulo 2, por ahora esta formula funciona como o sigue:(30) f (a) = a2 − 1, a∈R Es decir, f (2) = 22 − 1 = 3 f (−2) = (−2)2 − 1 = 3 f (5) = 52 − 1 = 24 f (1) = 12 − 1 = 0 f (−1) = (−1)2 − 1 = 0 etc... Observaci´n 5.0.3. o Este concepto ser´ discutido en el capitulo 4 a f (c) = 0 ⇐⇒ (x − c)|f (x) ⇐⇒ el resto de la divisi´n o f (x) : (x − c) es 0 Observaci´n 5.0.4. o Si f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn entonces (i) f (c) = a0 + a1 c + a2 c2 + a3 c3 + · · · + an cn (ii) f (c) = 0 ⇐⇒ (x − c)|f (x) 6. Aplicaciones (1) Factorizaci´n. o
  20. 20. 6. APLICACIONES 19 (a) Descomponer en factores la expresi´n x3 − 1 o Soluci´n: o Si f (x) = x3 − 1 entonces f (1) = 13 − 1 = 0, luego podemos dividir: x3 − 1 : x − 1= x2 + x + 1 (-) x3 − x2 x2 − 1 (-) x2 − x x−1 (-) x − 1 0 Luego, x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) (b) Descomponer en factores la expresi´n x3 − y 3 o Soluci´n: o Si f (x, y) = x3 − y 3 entonces f (y, y) = y 3 − y 3 = 0, luego podemos dividir: x3 − y 3 : x − y = x2 + xy + y 2 (-) x3 − x2 y x2 y − y 3 (-) 2 x y − xy 2 2 3 (-) xy 2 − y 3 xy − y 0 Luego, x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ) (c) En general xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + xn−3 y 2 + · · · + y n−1 )(2) Radicaci´n. o 2.1 Precisemos lo que entenderemos por radicaci´n: o Si x2 = 9 ¿Cu´nto vale x? a
  21. 21. 20 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA • En primer lugar, buscamos un n´mero que multiplicado por si mismo nos de 9 u • Resolver la ecuaci´n significa para nosotros despejar x o ”dejar x sola” o • Sabemos que (xs )r = xrs entonces 1 1 1 x2 = 9 =⇒ (x2 ) 2 = (9) 2 =⇒ x = (9) 2 2.2 Notaci´n: Ra´ cuadrada o ız 1 √ x2 = a; a ≥ 0 ⇐⇒ x = a 2 ⇐⇒ x = a 2.3 Notaci´n: Ra´ n-´sima o ız e √ xn = a; n par; a ≥ 0 ⇐⇒ x = √a n xn = a; n impar ⇐⇒ x = n a Ejemplo 6.0.5. √ (1) 16 = 4 √ 3 (2) −27 = −3 √ √ (3) Factoricemos ( x − y) √ √ • a= x ⇐⇒ x = a2 ∧ b= y ⇐⇒ y = b2 √ √ √ √ • a2 − b2 = (a − b)(a + b) =⇒ x − y = ( x − y)( x + y) Equivalentemente x−y √ √ √ √ = x− y x+ y • Como, xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + xn−3 y 2 + · · · + y n−1 ) entonces para a = xn y b = y n tenemos la f´rmula: o √ √ √ √ √ √ √ √ a − b = ( n a − b)(( n a)n−1 + ( n a)n−2 ( b) + ( n a)n−3 ( b)2 + · · · + ( b)n−1 ) n n n n Equivalentemente a−b √ √ √ √ √ √ √ = ( n a)n−1 + ( n a)n−2 ( b) + ( n a)n−3 ( b)2 + · · · + ( b)n−1 n n n(31) √ n ( a − b) n
  22. 22. 6. APLICACIONES 21 6.1. Ejercicios Propuestos. (1) Factorizaci´n directa de trinomios o Descomponga en factores: (a) p(x) = x5 − x (b) p(x) = 2x3 + 6x2 + 10x (c) p(x) = 2x3 + 6x2 − 10x (d) p(x) = x4 − 5x2 − 36 (e) p(x, y) = 3xy + 15x − 2y − 10 (f) p(x) = 2xy + 6x + y + 3 (2) Factorizaci´n de trinomios usando sustituci´n o o Consideremos el trinomio; p(x) = (x − 2)2 + 3(x − 2) − 10 entonces podemos desar- rollar el siguiente procedimiento o algoritmo: Etapa 1: Sea u = x − 2 Etapa 2: Sustituyendo en p(x) tenemos que(32) p(x) = (x − 2)2 + 3(x − 2) − 10 ⇐⇒ q(u) = u2 + 3u − 10 Etapa 3: Resolvemos la ecuaci´n de segundo grado para la variable u. o √ −3 ± 9 + 40 q(u) = 0 ⇐⇒ u = 2 −3 ± 7 ⇐⇒ u =  2 u = 2  ⇐⇒ u = ∨   u = −5 ⇐⇒ q(2) = 0 ∨ q(−5) = 0 ⇐⇒ q(u) = (u − 2)(u + 5) Etapa 4: Volvemos a la variable original y obtenemos: p(x) = ((x − 2) − 2)((x − 2) + 5) = (x − 4)(x + 3) Usando el procedimiento anterior factorice los siguientes: (a) p(x) = (x − 3)2 + 10(x − 3) + 24
  23. 23. 22 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA (b) p(x) = (x + 1)2 − 8(x + 1) + 15 (c) p(x) = (2x + 1)2 + 3(2x + 1) − 28 (d) p(x) = (3x − 2)2 − 5(3x − 2) − 36 (e) p(x) = 6(x − 4)2 + 7(x − 4) − 3 (3) Planteamiento y resoluci´n de ecuaciones polinomiales o A modo de ejemplo, consideren el problema: Una sala de clases posee 78 sillas universitarias. Si el n´mero de sillas por fila es u uno m´s que el doble del n´mero de filas entonces determine el n´mero de filas y de a u u sillas por fila. Etapa 1: Planteamiento del problema Si x es la variable que representa el n´mero de filas entonces x(2x + 1) representa u el n´mero de sillas por fila, as´ que u ı(33) x(2x + 1) = 78 representa el n´mero total de sillas u Etapa 2: Resolvemos la ecuaci´n 2x2 + x − 78 = 0 o √ 2 −1 ±1 + 624 2x + x − 78 = 0 ⇐⇒ x = 4 −1 ± 25 ⇐⇒ x = 4 13 ⇐⇒ x = 6 ∨ x = − 2 Etapa 3: Decidimos la factibilidad de los resultados: 13 Como el n´mero de filas es un natural, as´ que desechamos x = − u ı y x = 6 es el 2 resultado posible y hay 13 sillas por fila. (a) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 72 (b) Determine dos enteros cuyo producto sea 105 y uno de ellos debe ser uno m´s que a el doble del otro. ımetro de un rect´ngulo mide 32 cm y su area es de 60 cm2 . Determine las (c) El per´ a ´ dimensiones del rect´ngulo. a (d) Si el largo de un rect´ngulo excede en 2 cm al triple de su ancho y su area es 56 a ´ cm2 . Determine las dimensiones del rect´ngulo. a (e) La suma de las ´reas de dos c´ a ırculos es 65π cent´ ımetros cuadrados. Si el radio del c´ ırculo mayor mide un cent´ımetro menos que el doble del radio del c´ ırculo menor entonces determine el radio de cada c´ırculo.
  24. 24. ´ ´ 7. PRELIMINARES SOBRE LOGICA MATEMATICA 23(4) Divisi´n de polinomios o Realice las divisiones que se indican: (a) (x2 − 7x − 78) ÷ (x + 6) (b) (2x3 + x2 − 3x + 1) ÷ (x2 + x − 1) (c) (5a3 + 7a2 − 2a − 9) ÷ (a2 + 3a − 4) (d) (2n4 + 3n3 − 2n2 + 3n − 4) ÷ (n2 + 1) (e) (x5 + 1) ÷ (x + 1) (f) (x5 − 1) ÷ (x − 1)(5) Ecuaciones con radicales Resuelva las ecuaciones √ √ (a) x+2=7− x+9 √ (b) x2 + 13x + 37 = 1 √ √ (c) x + 19 − x + 28 = −1 √ 3 (d) x+1=4 √ 3 (e) 3x − 1 = −4 √ 3 √ 3 (f) 3x − 1 = 2 − 5x 7. Preliminares sobre L´gica Matem´tica o a7.1. Contenidos.(1) Proposiciones(2) Conectivos(3) Tablas de verdad(4) Equivalencia L´gica o(5) Implicaci´n L´gica o o(6) Cuantificadores(7) Demostraciones
  25. 25. 24 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA 7.2. Proposiciones.Para demostrar que una situaci´n es correcta o incorrecta, deben ocurrir algunas cuestiones que ode tan naturales que aparentemente son, ni siquiera nos damos cuenta de su existencia. En efecto • Para demostrar la veracidad o falsedad de ”algo”, debe existir una situaci´n, la cual o debe ser decidida de acuerdo a ciertas claves enmarcadas en un sistema comprensi- ble(l´gico) para los que est´n involucrados en el suceso. o a • Dicha situaci´n para ser infalible en su decisi´n, debe poseer dos y s´lo dos ”opciones o o o de v¿ Inicio del periodo de presentaci´n de antecedentes de parte de los acad´micos o e ?erdad”,es decir,verdadera o falsa (cre´ ıble o no cre´ ıble). • La argumentaci´n total debe estar compuesta de una sucesi´n de estas situaciones las o o cuales interactuan armoniosamente, ya sea para obtener un valor de verdad verdadero o un valor de verdad falso. Definici´n 7.2.1. oLlamaremos proposici´n l´gica a una oraci´n declarativa que es verdadera o falsa, pero nunca o o oambas. Ejemplo 7.2.2. ´ P: Algebra es una asignatura anual de Ingenier´ Civil en la Usach. ıa q: 23 = 6 r: Colo Colo es el mejor equipo de f´tbol de Chile uObviamente, p y q son proposiciones y aunque me pese r no es una proposici´n, pues un hincha ode la ”u”, por ejemplo no comparte mi idea. 7.3. Generaci´n de Proposiciones y Tablas de Verdad. o Si p y q son proposiciones entonces (1) A cada una por separado le podemos asociar una expresi´n gr´fica o ”tabla de ver- o a dad”de la forma: p(34) 0 1 donde, 0 representa el valor de verdad falso(apagado) y 1 representa el valor de verdad verdadero(encendido).
  26. 26. ´ ´ 7. PRELIMINARES SOBRE LOGICA MATEMATICA 25 (2) La proposici´n negaci´n de p se obtiene con la tabla de verdad: o o p ∼p(35) 0 1 1 0 (3) A partir de p y q podemos obtener las siguientes proposiciones: • Conjunci´n o producto l´gico de p y q o o p q p∧q 0 0 0(36) 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Sintetiza el concepto de intersecci´n en el sentido que: p ∧ q ser´ verdadera s´lo si o a o p y q lo son simult´neamente. a • Disyunci´n o suma l´gica de p y q o o p q p∨q 0 0 0(37) 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Sintetiza el concepto de uni´n en el sentido que: Para que p ∨ q sea verdadera o basta que una de ellas lo sea. • Implicaci´n l´gica de p y q o o p q p =⇒ q 0 0 1(38) 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Sintetiza el concepto de relaci´n causal, en el sentido que p =⇒ q ser´ falsa s´lo o a o cuando la hip´tesis p es verdadera y la conclusi´n q es falsa. Caso contrario la o o nueva proposici´n es verdadera. o • Bicondicional l´gico de p y q o p q p ⇐⇒ q 0 0 1(39) 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Sintetiza el concepto de equivalencia, concepto central en el proceso de clasificaci´n o y p ⇐⇒ q ser´ verdadera s´lo cuando ambas tengan el mismo valor de verdad. a o
  27. 27. 26 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA 7.4. Tautolog´ y Contradicciones. ıas (1) Una proposici´n se dice compuesta si es formada por m´s de una proposici´n. o a o Ejemplo 7.4.1. Si p, q y r son proposiciones entonces a1 : p ∧ (q ∧ r) es una proposici´n compuesta o (2) Una proposici´n compuesta se llama una Tautolog´ si su valor de verdad es siempre o ıa verdadero independiente del valor de verdad de las proposiciones que la componen. Ejemplo 7.4.2. Tautolog´ ıa a : ∼ (∼ p) ⇐⇒ p En efecto p ∼ p ∼ (∼ p) ⇐⇒ p 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 T (3) Una proposici´n compuesta se llama una Contradicci´n si su valor de verdad es siempre o o falso independiente del valor de verdad de las proposiciones que la componen. Ejemplo 7.4.3. Contradicci´n o a: p∧∼p En efecto p ∼p p ∧ ∼p 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 C 7.5. Ejercicios Resueltos. (1) Demuestre que son equivalentes p∧(q ∧r) y (p∧q)∧r (asociatividad de la conjunci´n) o En efecto
  28. 28. ´ ´ 7. PRELIMINARES SOBRE LOGICA MATEMATICA 27 p q r q ∧ r p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ p ∧ q (p ∧ q) ∧ r 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 (2) Demuestre que son equivalentes p ∧ (q ∨ r) y (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (distributividad de la conjunci´n respecto de disyunci´n) o o En efecto p q r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ p ∧ q p ∧ r (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3) Demuestre que son equivalentes ∼ (p ∨ q) y (∼ p ∧ ∼ q) (ley de De Morgan para la disyunci´n) o En efecto p q ∼ p ∼ q p ∨ q ∼ (p ∨ q) ⇐⇒ ∼ p ∧ ∼ q 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 7.6. Ejercicios Propuestos. Demuestre que son tautolog´ las siguientes proposi- ıasciones:
  29. 29. 28 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA 1. ∼ (p ∧ q) ⇐⇒ (∼ p ∨ ∼ q) Ley de De Morgan de la conjunci´n o 2. p∧q ⇐⇒ q ∧ p Conmutatividad de la conjunci´n o 3. p∨q ⇐⇒ q ∨ p Conmutatividad de la disyunci´n o 4. p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r Asociatividad de la conjunci´n o 5. p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) Distributividad de la disyunci´n o 6. p∧p ⇐⇒ p Idempotencia de la disyunci´n o 7. p∨p ⇐⇒ p Idempotencia de la conjunci´n o 8. p∧C ⇐⇒ p Neutro de la disyunci´n; C contradicci´n o o 9. p∧T ⇐⇒ p Neutro de la conjunci´n; T tautolog´ o ıa 10. p ∨ ∼ p ⇐⇒ T Inverso de la disyunci´n; T tautolog´ o ıa 11. p ∧ ∼ p ⇐⇒ C Inverso de la conjunci´n; C contradicci´n o o 12. p ∧ T ⇐⇒ T Dominaci´n de la disyunci´n; T tautolog´ o o ıa 13. p ∨ C ⇐⇒ C Dominaci´n de la conjunci´n; C contradicci´n o o o 14. p ∨ (p ∧ q) ⇐⇒ p Absorci´n de la disyunci´n o o 15. p ∧ (p ∨ q) ⇐⇒ p Absorci´n de la conjunci´n o o 16. p =⇒ q ⇐⇒ ∼ q =⇒∼ p Contrapositiva de p =⇒ q 7.7. Reglas de Inferencia. Motivaci´n 7.7.1. o El problema puede ser enunciado como sigue: Si p1 , p2 , . . . , pn y q son proposiciones l´gicas entonces ¿cu´ndo o a(40) (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) =⇒ qEs una tautolog´ ıa? Existen varias e importantes formas de resolver o demostrar el problema, y dada la impor-tancia de estas leyes las enunciaremos como teoremas Teorema 7.7.2. Modus Ponens o M´todo de Afirmaci´n e o
  30. 30. ´ ´ 7. PRELIMINARES SOBRE LOGICA MATEMATICA 29 Si p y q son proposiciones entonces(41) [p ∧ (p =⇒ q)] =⇒ q es una tautolog´ ıa En efecto p q p =⇒ q p ∧ p =⇒ q [p ∧ (p =⇒ q)] =⇒ q 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Teorema 7.7.3. Implicaci´n L´gica o Ley del Silogismo o o Si p, q y r son proposiciones entonces(42) [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r)] =⇒ p =⇒ r es una tautolog´ ıa En efecto p q r p =⇒ q q =⇒ r (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r) =⇒ p =⇒ r 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Teorema 7.7.4. Modus Tollens o M´todo de Negaci´n e o Si p y q son proposiciones entonces(43) [(p =⇒ q)∧ ∼ q] =⇒∼ p es una tautolog´ ıa
  31. 31. 30 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA En efecto p q p =⇒ q ∼ q (p =⇒ q)∧ ∼ q ⇐⇒ ∼ p 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 Teorema 7.7.5. M´todo de Contradicci´n o Reducci´n al Absurdo e o o Si p es una proposici´n y C una contradicci´n entonces o o(44) (∼ p =⇒ C) =⇒ p es una tautolog´ ıa En efecto p ∼ p C ∼ p =⇒ F (∼ p =⇒ F ) =⇒ p 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Corolario 7.7.6.(45) [(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) =⇒ q] ⇐⇒ [(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ∧ ∼ q) =⇒ C] En efecto Si hacemos p = (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) entonces p =⇒ q ⇐⇒ p ∧ ∼ q =⇒ q ∧ ∼ q ⇐⇒ p ∧ ∼ q =⇒ C 7.8. Ejercicios Resueltos. (1) [(p =⇒ r) ∧ (∼ p =⇒ q) ∧ (q =⇒ s)] =⇒ (∼ r =⇒ s) es una inferencia l´gica o En efecto (p =⇒ r) ∧ (∼ p =⇒ q) ∧ (q =⇒ s) ⇐⇒ (∼ r =⇒∼ p) ∧(∼ p =⇒ q) ∧ (q =⇒ s) contrapositiva =⇒ (∼ r =⇒ q) ∧(q =⇒ s) silogismo =⇒ ∼ r =⇒ s silogismo
  32. 32. ´ ´ 7. PRELIMINARES SOBRE LOGICA MATEMATICA 31 (2) [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ (r ∧ s)) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) ∧ (p ∧ t)] =⇒ u En efecto Si hacemos w = [(p =⇒ q) ∧ (q =⇒ (r ∧ s)) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) ∧ (p ∧ t)] entonces w =⇒ (p =⇒ (r ∧ s)) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) ∧ (p ∧ t) silogismo =⇒ (p =⇒ r) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) ∧ p [(a ∧ b) =⇒ a]tautolog´ ıa =⇒ p ∧ (p =⇒ r) ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) conmutatividad de ∧ =⇒ r ∧ (∼ r ∨ (∼ t ∨ u)) Modus ponens =⇒ r ∧ ((∼ r∨ ∼ t) ∨ u) Asociatividad de ∨ =⇒ r ∧ (∼ (r ∧ t) ∨ u) De Morgan =⇒ r ∧ (∼ r ∨ u) [(a ∧ b) =⇒ a]tautolog´ ıa =⇒ (r∧ ∼ r) ∨ (r ∧ u) distributividad de ∧ en ∨ =⇒ C ∨ (r ∧ u) ley del inverso =⇒ r∧u ley del neutro =⇒ u [(a ∧ b) =⇒ b]tautolog´ ıa7.9. Ejercicios Propuestos. (1) Demuestre usando tablas de verdad que son v´lidas (tautolog´ a ıas) las proposiciones si- guientes: (a) [p ∧ (p =⇒ q) ∧ r] =⇒ [(p ∨ q) =⇒ r] (b) [(p ∧ q) =⇒ r]∧ ∼ q ∧ (p =⇒∼ r)] =⇒ (∼ p ∨ ∼ q) (c) [[p ∨ (q ∨ r)]∧ ∼ q] =⇒ (p ∨ r) (d) [(p =⇒ q)∧ ∼ q] =⇒∼ p (e) [(p ∨ q)∧ ∼ p] =⇒ q (f) [(p =⇒ r) ∧ (q =⇒ r)] =⇒ [(p ∨ q) =⇒ r] (g) (p ∧ q) =⇒ p (h) p =⇒ (p ∨ q) (i) [(p =⇒ q) ∧ (r =⇒ s) ∧ (p ∨ r)] =⇒ (q ∨ s) (j) [(p =⇒ q) ∧ (r =⇒ s) ∧ (∼ q ∨ ∼ s)] =⇒ (∼ p ∨ ∼ r) (2) Demuestre justificando paso a paso, (usando propiedades no tablas de verdad)las sigu- ientes proposiciones: (a) [p ∧ (q ∧ r)] =⇒∼ [p ∨ (q ∧ r)] (b) [((∼ p ∨ q) =⇒ r) ∧ (r =⇒ (s ∨ t)) ∧ (∼ s ∧ ∼ u) ∧ (∼ u =⇒∼ t)] =⇒ p
  33. 33. 32 ´ ´ 1. MATEMATICA BASICA (c) [(p =⇒ q) ∧ (∼ r ∨ s) ∧ (p ∨ r)] =⇒ (∼ q =⇒ s) (d) [(p ∧ ∼ q) ∧ r] =⇒ [(p ∧ r) ∨ q] (e) [p ∧ (p =⇒ q) ∧ (∼ q ∨ r)] =⇒ r (f) [(p =⇒ (q =⇒ r)) ∧ (∼ q =⇒∼ p) ∧ p] =⇒ r 7.10. Uso de Cuantificadores. Una forma natural de generar proposiciones es a trav´s de f´rmulas para hacer proposiciones, e ocomo por ejemplo: (1) p(x): x es un natural mayor que 3 En este caso Si notamos por I el conjunto de naturales x para los cuales p(x) es verdadera y por O el conjunto de naturales x para los cuales p(x) es falsa entonces I = {x ∈ N | p(x) verdadera} = {4, 5, 6, . . . }(46) O = {x ∈ N | p(x) falsa} = {1, 2, 3} (2) q(x, y) : x ∈ R e y ∈ R ∧ x2 + y 2 = 1 En este caso I es como veremos m´s tarde es un circulo con centro en (0, 0) y radio 1 y O es el resto a del plano cartesiano R2 Definici´n 7.10.1. o p(x1 , x2 , . . . , xn ) se llama una f´rmula proposicional definida en un conjunto A si: o • Cada xi para 1 = 1, 2, . . . , n son variables en A, es decir pueden tomar valores en el conjunto A. • Para cada sustituci´n de las variables en A la f´rmula se transforma en una proposici´n o o o l´gica. o Ejemplo 7.10.2. (1) Ya observamos que [p(x) : x es un natural mayor que 3], es una f´rmula proposicional o y en particular tenemos: (a) p(1) es falsa (b) p(2) es falsa (c) p(3) es falsa
  34. 34. ´ ´ 7. PRELIMINARES SOBRE LOGICA MATEMATICA 33 (d) p(x)es verdadera para cada x ∈ N y x ≥ 4 As´ p(x) es verdadera para algunos n´meros naturales y tambi´n p(x) es falsa para ı u e algunos n´meros naturales. u Definici´n 7.10.3. o Si p(x) es una f´rmula proposicional entonces o • ” Para alg´n x; p(x)” es una proposici´n y la notaremos por [∃x; p(x)]. u o • ” Para un unico x; p(x)” es una proposici´n y la notaremos por [∃! x; p(x)]. ´ o • ” Para todo x; p(x)” es una proposici´n y la notaremos por [∀x; p(x)] oEjemplo 7.10.4.Definamos en R las proposiciones: (1) p(x) : x ≥ 0 (2) q(x) : x2 ≥ 0 (3) r(x) : x2 − 3x − 4 = 0 (4) s(x) : x2 − 3 > 0 entonces (a) ∃x : (p(x)∧r(x)) es verdadera, pues existe 4 ∈ R tal que p(4) y r(4) son verdaderas. (b) ∀x : (p(x) =⇒ q(x)) es verdadera, pues para cualquier valor real a, q(a) es ver- dadera. (c) ∀x : (q(x) =⇒ s(x)) es falsa, pues por ejemplo q(1) es verdadera y s(1) es falsa.La siguiente tabla especifica el comportamiento de los cuantificadores (∃) y (∀) Proposici´n o Verdadera Falsa ∃x : p(x) Para al menos un a, p(a) es verdadera Para cada a, p(a) es falsa ∀x : p(x) Para cada a, p(a) es verdadera Existe a tal que p(a) es falsa ∃x :∼ p(x) Existe a tal que p(a) es falsa Para cada a, p(a) es verdadera ∀x :∼ p(x) Para cada a, p(a) es falsa Existe a tal que p(a) es verdadera
  35. 35. CAPITULO 2 Aritm´tica Natural e 1. Contenidos • Introducci´n1 o • Sumatorias • Inducci´n Matem´tica o a • Progresiones • Teorema del Binomio 2. Introducci´n o (1) Asumiremos que el conjunto de n´meros reales (R, +, ·, ≤) es un cuerpo ordenado com- u pleto . Despu´s de esa suposici´n podemos garantizar la existencia del neutro aditivo ”0” y e o el neutro multiplicativo ”1” en R. As´ que podemos sumar estos elementos a voluntad, ı es decir:(47) {0, 0 + 1, 0 + 1 + 1, 0 + 1 + 1 + 1, . . . } = {0, 1, 2, 3, . . . } ⊂ R La idea m´s b´sica posible, para definir el conjunto de n´meros naturales es motivada a a u por ( 47), en esa direcci´n hacemos. o Definici´n 2.0.5. Diremos que un conjunto I ⊂ R ser´ llamado ” Conjunto Induc- o a tivo ” si: • 1∈I • k ∈ I =⇒ k + 1 ∈ I Ejemplo 2.0.6. 1 • R,R+ − son conjuntos inductivos. 3 • R − {10} no es conjunto inductivo. Lema 2.0.7. Si A y B son conjuntos inductivos entonces A ∩ B es un conjunto inductivo En efecto • Por demostrar que (p.d.q.): 1Para profundizar lo dicho en este capitulo les sugiero ver [2], Mi Profesor y Amigo Q.E.D. 35
  36. 36. 36 ´ 2. ARITMETICA NATURAL – 1∈A∩B – k ∈ A ∩ B =⇒ (k + 1) ∈ A ∩ B • Informaci´n (datos, input): o 1∈A – A inductivo =⇒ k ∈ A =⇒ (k + 1) ∈ A 1∈B – B inductivo =⇒ k ∈ B =⇒ (k + 1) ∈ B • Demostraci´n propiamente tal: o Como, A ∩ B = {u | u ∈ A ∧ u ∈ B} entonces del item Informaci´n, sigue que: o – 1 ∈ A ∧ 1 ∈ B =⇒ 1 ∈ A ∩ B – k ∈ A∩B =⇒ k ∈ A∧k ∈ B =⇒ (k+1) ∈ A∧(k+1) ∈ B =⇒ (k+1) ∈ A∩B • Lo que demuestra que A ∩ B es un conjunto inductivo. Definici´n 2.0.8. o Llamaremos conjunto de n´meros naturales, N a la intersecci´n de todos los conjuntos u o inductivos de R, es decir. N = ∩{I : | I ⊂ R, I inductivo } = {1, 2, 3, 4, . . . } (2) Llamaremos una sucesi´n de n´meros reales a una ” regla que pone en correspondencia o u de manera unica los elementos de N con n´meros reales”. En los capitulos siguientes ´ u nos referiremos latamente a este tipo de reglas las cuales las agruparemos bajo el con- cepto de relaci´n. Por el momento notarems a las sucesiones como sigue: o f : N −→ R n −→ f (n) = fn Ejemplo 2.0.9. (a) Si fn = n + 1 entonces los posibles valores de esta sucesi´n son del tipo: o Img(f ) = {2, 3, 4, 5, . . . } donde Img significa imagen de la sucesi´n o 1 (b) Si an = entonces los posibles valores de la sucesi´n son: o n 1 1 1 1 Img(a) = 1, , , , , . . . 2 3 4 5 (c) Adoptaremos la notaci´n: o (an )n∈N ∨ {an }n∈N = Img(f )
  37. 37. ´ 3. INDUCCION 37 3. Inducci´n o 3.1. Objetivos. Que el Estudiante: (1) Se familiarice con el uso del S´ ımbolo de Sumatoria. (2) Comprenda que en esta primera instancia el S´ ımbolo de Sumatoria, aparece como una opci´n que permite simplificar la escritura de grandes vol´menes de datos, para facilitar o u la propia comprensi´n de estos. o (3) Use el M´todo de Inducci´n para verificar propiedades algebraicas. e o (4) En forma natural observe que el s´ ımbolo de Sumatoria junto al M´todo de Inducci´n e o se constituyen en una herramienta eficaz, que permite manipular de manera eficiente situaciones de una mayor complejidadEsta secci´n estar´ basada en los siguientes principios b´sicos: o a a Teorema 3.1.1. Principio de Inducci´n. o Sea k ∈ N y F (k) una f´rmula proposicional, es decir F (k) puede ser verdadera o falsa en ok, (s´lo una de ambas) y supongamos que F satisface las propiedades: o • F (1) es verdadera • F (k) verdadera implica que F (k + 1) es verdadera, para cada k ∈ N entoncesF (k) es verdadera para todo k ∈ N En efecto • p.d.q. F (k) es verdadera (∀k; k ∈ N) • Datos – F (1) es verdadera – k∈N ∧ F (k) verdadera =⇒ F (k + 1) verdadera • Demostraci´n propiamente tal: o (1) Basta mostrar que el conjunto(48) I = {k ∈ R | F (k) es verdadera } Es inductivo.
  38. 38. 38 ´ 2. ARITMETICA NATURAL ¿ Por qu´ ? e Por lo siguiente: – N = ∩{I : | I ⊂ R, I inductivo } =⇒ N ⊂ I (∀I; I inductivo) – Luego si vale para ( 48) entonces vale para N (2) Manos a la obra: De los datos sigue que: (a) 1 ∈ I (F (1) es verdadera) (b) Si K ∈ I entonces F (k) es verdadera y luego F (k + 1) es verdadera, es decir (k + 1) ∈ I.l • Finalmente I es inductivo y F (k) es verdadera (∀k; k ∈ N) Teorema 3.1.2. Teorema de Recurrencia Sea x ∈ R y g una funci´n definida sobre R y con valores reales entonces existe una unica o ´sucesi´n (an )n∈N tal que: o • a1 = x • Para cada n, an+1 = g(an ) Ejemplo 3.1.3. (1) Construcci´n de potencias. o Sea x ∈ R arbitrario y define la funci´n real a valores reales, g(r) = r ·x, (∀r; r ∈ R) o entonces existe una unica funci´n a tal que: ´ o (a) a(1) = x (b) a(n + 1) = g(a(n)) = a(n) · x (c) As´ tenemos ı a(1) = x a(2) = a(1 + 1) = g(a(1)) = a(1) · x = x · x = x2 a(3) = a(2 + 1) = g(a(2)) = a(2) · x = x2 · x = x3 a(4) = a(3 + 1) = g(a(3)) = f (3) · x = x3 · x = x4 . . . a(n + 1) = a(n + 1) = g(a(n)) = a(n) · x = xn · x = xn+1 Definici´n 3.1.4. Potencias de un real o Dado x ∈ R definimos x1 = x y xn+1 = xn · x (2) Costrucci´n de factoriales. o
  39. 39. ´ 3. INDUCCION 39 1! = 1 (n + 1)! = n! · (n + 1) Luego, 2! = 1 · 2 3! = 1 · 2 · 3 4! = 1 · 2 · 3 · 4 . . . n! = 1 · 2 · 3 · 4 · · · n Definici´n 3.1.5. Factoriales o Si n ∈ N entonces n!, se llama n-factorial. (3) Construcci´n de sumatorias o Dada una sucesi´n de n´meros reales (ai )i∈N) , podemos construir una nueva sucesi´n o u o usando recurrencia, como sigue: 1 (a) s1 = a1 = ai i=1 n (b) sn+1 = sn + an+1 = (a1 + a2 + · · · + an ) + an+1 = ai + an+1 i=1 Luego, tenemos la sucesi´n (sn )n∈N tal que: o n sn = ai = a1 + a2 + a3 + · · · + an , para cada n ∈ N. i=1 Definici´n 3.1.6. Dada una sucesi´n de n´meros reales (ai )i∈N) , entonces o o u n(49) sn = ai = a1 + a2 + a3 + · · · + an i=1 Se llama la sumatoria de los primeros n-n´meros de la sucesi´n (ai )i∈N u o (4) Construcci´n de Progresiones aritm´ticas o e Dado x ∈ R y d ∈ R define por recurrencia la sucesi´n: o a1 = x an+1 = an + d; n∈N Definici´n 3.1.7. A = {a1 , a2 , a3 , . . . , } ⊂ R, ser´ llamada una Progresi´n Aritm´- o a o e tica de diferencia d si(50) an+1 = an + d; n∈N (5) Construcci´n de Progresiones geom´tricas o e
  40. 40. 40 ´ 2. ARITMETICA NATURAL Dado x ∈ R y r ∈ R define por recurrencia la sucesi´n: o a1 = x an+1 = an · r (n ∈ N) Definici´n 3.1.8. G = {a1 , a2 , a3 , . . . , } ⊂ R, ser´ llamada una Progresi´n Geom´trica o a o e de raz´n r ∈ R − {0, 1} si o(51) an+1 = an · r (n ∈ N) (6) Construcci´n de matrices: o (a) Matriz fila o columna (ciclo de largo n) Consideramos una sucesi´n A = {a1 , a2 , a3 , . . . , an } entonces podemos construir o una fila o columna como sigue: Para una fila tenemos. • a1j = aj , para j = 1, 2, 3, . . . , n, • F:= a11 a12 a13 . . . a1n o Para una columna tenemos: • ai1 = ai , par i = 1, 2, 3, . . . , n   a11  a12      • C:= a13   .   ..  a1n (b) En realidad esta impl´ ıcito el concepto de sucesi´n doble ”aij ”, sin embargo pode- o mos hacer la siguiente construcci´n: o Dados n · m elementos en R, los ordenamos por como sigue: (1) aij para i = 1, 2, 3, . . . , n y j = 1, 2, 3, . . . , m (2) Para i = 1: j = 1, 2, 3, . . . m copia aij (3) Si caso contrario vaya a (4) si i = 1, 2, 3, . . . n hacer i = i + 1 e ir a (3) (4) caso contrario fin Luego, lo que conseguimos es lo siguiente:
  41. 41. ´ 3. INDUCCION 41   a11 a12 a13 ··· a1m  a21 a22 a23 ··· a2m     a31 a32 a33 ··· a3m (52) A = (aij ) =    . . . . . . . .   . . . . ···  an1 an2 an3 · · · anm Definici´n 3.1.9. Una expresi´n del tipo ( 52), ser´ llamada una matriz real de n-filas y o o am-columnas (orden n × m) El conjunto de matrices lo notaremos como sigue:(53) MR (n × m) = { matrices de orden n × m} 3.2. Propiedades de las sumatorias. Si (ai )(1≤i≤n) y (bi )(1≤i≤n) son dos sucesiones reales entonces: n n n (1) (ai ± bi ) = ai ± bi i=1 i=1 i=1 En efecto n n n • p.d.q. (ai + bi ) = ai + bi i=1 i=1 i=1 • Datos: n – ai = a1 + a2 + a3 + · · · + an i=1 n – bi = b1 + b2 + b3 + · · · + bn i=1 n – (ai + bi ) = a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 + · · · + an + bn i=1 • Luego, n (ai + bi ) = a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 + · · · + an + bn i=1 = (a1 + a2 + a3 + · · · + an ) + (b1 + b2 + b3 + · · · + bn ) n n = ai + bi i=1 i=1

×