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Logica Proposicional

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Marco Teorico y Practico de Logica Proposicional del CEPU "UNJBG" de Tacna

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  • 1. UNIVERSIDAD N ACION ALJ O R G E B AS A D R E G R O H M A N NCENTRO PREUNIVERSITARIORazonamiento Lógico Lic. Jorge Lozano Cervera TACNA - PERU
  • 2. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaI.LA LÓGICA PROPOSICIONALLa lógica proposicional también llamada simbólica o matemática, es aquella parte de lalógica que estudia las proposiciones y símbolos utilizados en la formación de nuevasproposiciones que podrán ser verdaderas o falsas, señaladas por reglas formales.1.1. TABLAS DE VERDAD DE LAS OPERACIONES LÓGICASLa validez de una proposición se puede demostrar mediante las siguientes tablas:Sean: “p” y “q”: dos proposiciones Negación: Conjunción: p ~p p q p∧q V F V V V F V V F F F V F F F F Disyunción (Debil) Disyunción (Fuerte) p q p∨q p q p∆q V V V V V F V F V V F V F V V F V V F F F F F F Condicional: Bicondicional: p q P q p q P↔q V V V V V V V F F V F F F V V F V F F F V F F VCentro Pre Universitario 2
  • 3. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica1.2. EJERCICIOS RESUELTOS1. Si la proposición: (p ∧ ~q) (r ~s) es falsa, el valor de verdad de: q, p, r, s (en ese orden es: a) FVVV b) VFVV c) VVFF d) FVFF e) VVVF Del enunciado tenemos: (p ∧ ~q) (r ~s) ≡ F V F ≡F (p ∧ ~q) ≡ V (r ~s) ≡ F V∧V ≡V V F≡F p≡V r≡V ~q ≡ V ~s ≡ F q≡F s≡V Respuesta: a) FVVV2. De la falsedad de la proposición: (p ~q) ∨ (~r s) se deduce que el valor de verdad de los esquemas moleculares: i. (~p ∧ ~q) ∨ ~q ii. (~r ∨ q) ↔ [(~q ∨ r) ∧ s ] iii. (p q) [(p ∨ q) ∧ ~q] Son respectivamente a) VFV b) FFF c) VVV d) FFV e) N.A. Del enunciado tenemos: (p ~q) ∨ (~r s) ≡ F F ∨ F ≡F (p ~q) ≡ F (~r s) ≡ F V F ≡F V F≡F p≡V ~r ≡ V ~q ≡ F r≡F q≡V s≡F De las alternativas se obtiene: i. (~p ∧ ~q) ∨ ~q ii. (~r ∨ q) ↔ [(~q ∨ r) ∧ s ] (~V ∧ ~V) ∨ ~V (~F ∨ V) ↔ [(~V ∨ F) ∧ F ] ( F ∧ F) ∨ F ( V ∨ V) ↔ [( F ∨ F) ∧ F ] F ∨F (V) ↔ [( F) ∧ F ] F (V) ↔ [F ] FCentro Pre Universitario 3
  • 4. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica iii. (p q) [(p ∨ q) ∧ ~q] (V V) [(V ∨ V) ∧ ~V] (V) [(V) ∧ F] (V) [F] F Respuesta: a) FFF3. Si: s y la proposición: s ~(p ∨ q) son verdaderas, indique los valores de verdad de las siguientes expresiones: i. ~(p ∧ ~q) ii. (p q) ∨ ~ s iii. s ∨ (q p) a) VVV b) VFV c) VVF d) FFV e) FFF Del enunciado se tiene: s≡V s ~(p ∨ q) ≡ V V V ≡V ~(p ∨ q) ≡ V ~ F ≡V (p ∨ q) ≡ F (F ∨ F) ≡ V p≡F q≡F i. ~(p ∧ ~q) ii. (p q) ∨ ~ s iii. s ∨ (q p) ~(F ∧ ~F) (F F) ∨ ~V V ∨ (F F) ~(F ∧ V) (V) ∨ F V ∨ (V) ~ (F) V V V Respuesta: a) VVV4. Si: p # q = VVFV. Entonces: p # (p # q) equivale a: a) p ∨ q b) p ∧ q c) p d) q e) p q Construyendo la tabla de verdad a través del enunciado tenemos: p q p#q p # (p # q) p∨q p∧q p q V V V V V V V V V V F V V V V V F F F V F F V F V F V F F V F F V F F V Respuesta: a) p ∨ qCentro Pre Universitario 4
  • 5. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica5. Si el esquema: [(p ∧ ~ q) ↔ (r s)] (~s r) es falsa, reducir: [(w ∨ (p ∧ q )] ↔ (r s) ∧ p a) V b) F c) w d) r e) w ∧ p Del enunciado se tiene: [(p ∧ ~ q) ↔ (r s)] (~s r) ≡ F V F ≡F [(p ∧ ~ q) ↔ (r s)] ≡ V (~s r) ≡ F V ↔ V ≡V (V F) ≡ F (p ∧ ~ q) ≡ V (r s) ≡ V ~s ≡ V (V ∧ ~V) ≡ V s≡F (V V) ≡ V r≡F p≡V ó ~q≡V (F F) ≡ V q≡F Al reducir el esquema [(w ∨ (p ∧ q )] ↔ ( r s ) ∧ p [(w ∨ (V ∧ F )] ↔ (F F) ∧ V [(w ∨ ( F ) ] ↔ ( V ) ∧ V [(w ∨ ( F ) ] ↔ ( V ) ∧ V [ w ]↔ V ∧V Si w = V Si w = F [ V ]↔ V ∧V [ F ]↔ V ∧V V ∧V F ∧V V F En ambos casos el valor obtenido es el mismo valor dado a w Respuesta: c) w6. Si: v(p) = V, q y r dos proposiciones cualesquiera. Hallar el valor de verdad de: i. ~ q (~p ∨ ~q) ii. [(r ∨ ~ p) ∧ (q ∨ p)] r iii. [(q ↔ (p ∧ q))] ↔ (q ∧ ~p). a) VVF b) VFF c) FVF d) FFF e) VVV.Centro Pre Universitario 5
  • 6. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Del enunciado se tiene: i. ~q (~p ∨ ~q) ii. [(r ∨ ~ p) ∧ (q ∨ p)] r ~q (~V ∨ ~q) [(r ∨ ~ V) ∧ (q ∨ V)] r ~q (F ∨ ~q) [ (r ∨ F) ∧ (V) ] r [ (r) ∧ (V) ] r si q=V [ r ] r ~V (F ∨ ~V) F (F ∨ F) Si r = V F (F) [V] V=V V Si r = F si q=F [F] F=V ~F (F ∨ ~F) V (F ∨ V) V (V) V iii. [(q ↔ (p ∧ q))] ↔ (q ∧ ~p) [(q ↔ (V ∧ q))] ↔ (q ∧ ~V) [(q ↔ (q) ) ] ↔ (q ∧ F) [(V)] ↔ (F ) F Respuesta: a) VVF1.3. EJERCICIOS PROPUESTOS1. Sean las proposiciones: p: 23 + 32 = 17 q: 62 = 36 r: 32 + 43 > 5 Los valores de verdad de los siguientes esquemas moleculares: • p∧q r • (p r) ∧ q • p ∧ (q r) Son respectivamente a) FFV b) VVF c) VVV d) FVF e) FFF2. Sea: ~ [(A ∧ ~B) (C D)] Verdadera. Luego: i. ~ (A ∧ ~B) ∧ C ii. ~ (A ∧ ~B ) ~ (~C ~D) iii. (~A C) ∧ (B ~C)Centro Pre Universitario 6
  • 7. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica iv. (A ↔ B) ∧ ~C v. (~A ↔ ~B) ∧ ~C. Son verdaderas: a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) ii, iii, v d) i, iii, v e) N.A.3. Si: ~[(p ∧ q ∧ r) s] (~ p ∨ s) es falso. Señale el valor de: p, q, r y s. a) VFVF b) VVVF c) VFFV d) VVFF e) FVVF4. Sabiendo que la proposición “p” es verdadera, ¿En cuáles de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones? i. (p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q) ii. (p ∧ q) (p ∨ r) iii. (p q) r a) sólo i b) sólo ii c) i, ii d) i, iii e) todas5. Si (~p ∧ ~r) (r ∆ q) es falsa, y las proposiciones s y t tienen valores de verdad desconocido, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? i. (p ∧ s) ∨ q ii. (t ∧ q) p iii. (s ∨ t) r a) Sólo i b) Sólo ii c) i, ii d) ii, iii e) Ninguna6. Sean las proposiciones: p, q, r, s, x, y. Si la proposición: (p ∧ r) (q ∨ s) es falsa. Determinar los valores de verdad: i. p∧[x∨(r∨s)] ii. (q∨r∨y) s iii. (q x) (y∧s) iv. ( s x ) ( y ∧ ~r ) a) VFFV b) VVFF c) VFFF d) FVVF e) N.A.Centro Pre Universitario 7
  • 8. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica7. Sabiendo que la proposición “p” es verdadera. ¿En cuales de los siguientes casos, es suficiente dicha información para determinar el valor de verdad de las proposiciones i. (p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q) ii. (p ∧ q) ( p ∨ r ∨ s) iii. (p q) r a) solo i b) solo ii c) solo i, ii d) Solo ii, iii e) en i, ii, iii8. Los valores de verdad de las siguientes proposiciones: i. (3 + 5 = 8) ∨ (5 - 3 = 4) ii. (3 - 5 = 8) (1 - 7 = 6) iii. (3 + 8 = 11) ∧ (7 – 4 > 1) iv. (4 + 6 = 9) ↔ (5 - 2 = 4) Son respectivamente: a) VVVV b) VVFV c) VVFF d) VFVF e) N.A.9. Si se sabe que: (p ∧ q) y (q t) son falsas. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? i. ( ~p ∨ t ) ∨ s ii. ~ [p ∧ ( ~q ∧ ~p ) ] iii. ~p ∨ (q ∧ ~t) a) solo i b) solo iii c) solo iii d) Todos e) N.A.10. Si: p * q = (-p ∧ q) p. Señale el valor de verdad de: i. ( p * q ) ∧ q ii. ~ ( p * q ) ∧ p iii. ( p * q ) ∨ ( q * p ) a) VFV b) VFF c) FFV d) FFF e) VVV11. Si: { ( ~p ∨ q ) ∨ [( p q ) ∧ t]} ∧ q, es verdadero. Hallar el valor de: i. p q ii. t ∨ qCentro Pre Universitario 8
  • 9. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica iii. ~q ∧ ( t ∨ p ) a) VFV b) VVF c) FFV d) FVF e) VVV.12. Si: [(r s) t ] ↔ [r (s t)] es falso. Señale la verdad o falsedad de: i. (r ↔ s) (s ↔ t) ii. (r s) ↔ (t s) iii. [(r s) ↔ t] ↔ [r ↔ (s ↔ t)] a) VVV b) FVV c) VFV d) VVF e) FVF.Centro Pre Universitario 9
  • 10. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaII.LOS PRINCIPIOS LÓGICOS Y LEYES LÓGICASSon esquemas tautológicos, es decir, son fórmulas formalmente verdaderas, ya queestán en función al orden de sus componentes y no a los valores de los mismos,constituyéndose una de ellas en instrumentos para el análisis de inferencias (formasinferenciales) y otras se sustituyen por sus equivalentes (formas de equivalencias).Un principio lógico es el fundamento de toda verdad lógica (tautologías). Aquí seubican los principios clásicos. En cambio una fórmula es una ley lógica si y solo sicualquiera sea la interpretación formalmente correcta que se haga de la misma seobtiene como resultado una verdad lógica, mientras que la regla lógica es una formaválida de razonamiento cuyo objetivo es la operatividad, permitiendo efectuaroperaciones para transformar una formula o derivar una consecuencia lógica.2.1. PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS1. El principio de identidad: p⇒p; p⇔p2. El principio de no-contradicción: ~(p ∧ ~p)3. El tercio excluido: p ∨ ~p2.2. LEYES EQUIVALENTES O EQUIVALENCIAS NOTABLES:Permiten transformar y simplificar formulas lógicas:4. Ley de Involución (doble negación): ~(~p) ≡ p5. La idempotencia: a) p ∨ p ≡ p; b) p ∧ p ≡ p;6. Leyes conmutativas: a) p∧q≡q∧p b) p∨q≡q∨p c) p⇔p≡q⇔p7. Leyes asociativas: a) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) b) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) c) (p ⇔ q) ⇔ r ≡ p ⇔ (q ⇔ r)8. Leyes distributivas: a) r ∨ (p ∧ q) ≡ (r ∨ q) ∧ (r ∨ q) b) r ∧ (p ∨ q) ≡ (r ∧ p) ∨ (r ∧ q) c) p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) d) p ⇒ (q ∨ r) ≡ (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)Centro Pre Universitario 10
  • 11. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica9. Leyes de Morgan a) ~ (p ∧ q) ≡ (~p ∨ ~q) b) ~ (p ∨ q) ≡ (~p ∧ ~q)10. Leyes del Condicional a) p ⇒ q ≡ ~p ∨ q b) ~ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ~q11. Leyes del Bicondicional a) p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) b) p ⇔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)12. Leyes de la Absorción a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p b) p ∧ (~p ∨ q) ≡ p ∧ q c) p ∨ (p ∧ q) ≡ p d) p ∨ (~p ∧ q) ≡ p ∨ q13. Leyes de Transposición a) (p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p) b) p ⇔ q ≡ (~q ⇔ ~p)14. Ley de Exportación (p ∧ q) ⇒ r ≡ p ⇒ (q ⇒ r)15. Formas normales: Para la Conjunción: V ∧ V ≡ V; V ∧ P ≡ P; F∧P≡F Para la Disyunción: F ∨ F ≡ F; F ∨ P ≡ P; V∨P≡V16. Elementos Neutros para la Contradicción y Tautología: P ∧ C = C; C ∨ T = T; P ∨ T = T; C∧T=C donde: T= Tautología (Verdad), C = Contradicción (Falso), P = Esquema Molecular Cualquiera2.3. EJERCICIOS RESUELTOS1. Simplificar el esquema: [( ~p ∧ q) (s ∧ ~s)] ∧ ~q a) ~p ∨ q b) ~ p c) p ∨ ~q d) ~q e) N.A. Del enunciado tenemos: [ ( ~p ∧ q) (s ∧ ~s) ] ∧ ~q [ ( ~p ∧ q) ( F ) ] ∧ ~q [~( ~p ∧ q) ∨ ( F ) ] ∧ ~q [ (p ∨ ~q) ∨ ( F ) ] ∧ ~q [ (p ∨ ~q) ] ∧ ~q ~q Respuesta: d) ~qCentro Pre Universitario 11
  • 12. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica2. Simplificar: ~ [ ~ ( ~ p ∨ q) p] ∨ q a) p ∨ ~q b) p ∧ q c) p d) ~q e) q Del enunciado tenemos: ~ [ ~ ( ~ p ∨ q) p] ∨ q ~ [ ~ {~ ( ~ p ∨ q)} ∨ p] ∨ q ~ [ ( ~ p ∨ q) ∨ p] ∨ q ~ [ (~ p ∨ p) ∨ q] ∨ q ~ [ ( V ) ∨ q] ∨ q ~[ V ]∨q F∨q q Respuesta: e) q3. Si se define p ∗ q, por la tabla p q p∗q V V V V F V F V F F F V Simplificar: (p ∗ q) ∗ q a) ~p b) ~q c) p ∨ ~q d) V e) p ∧ q Del enunciado construimos la tabla de verdad: p q p∗q (p ∗ q) ∗ q p ∨ ~q V V V V V V V V F V V V F V F V F F F V F F F V V V F V Respuesta: c) p ∨ ~q4. Si se define p ⊕ q, por la tabla p q p⊕q V V F V F V F V F F F V Simplificar: (p ⊕ ~q) ∨ (~p ⊕ q) p a) ~p b) ~ q c) p d) V e) p ∧ qCentro Pre Universitario 12
  • 13. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Del enunciado construimos la tabla de verdad: p q p⊕q (p ⊕ ~q) ∨ (~p ⊕ q) p p V V F V V F V V V F V F V V V V F V F V V F F F F F V F V V F F Respuesta: c) p5. Se define: p ◊ q = (p ∧ ~q) ∨ (q ∨ ~p) Simplificar: [(~p ◊ q) q] [p (q ◊ p)] a) p b) q c) ~p d) V e) F Del enunciado tenemos: [ (~p ◊ q) q ] [ p (q ◊ p) ] [{(~p ∧ ~q) ∨ (q ∨ p)} q ] [ p {( q ∧ ~p) ∨ (p ∨ ~q)} ] [{~(p ∨ q) ∨ (q ∨ p)} q ] [ p {~ (~q ∨ p) ∨ (p ∨ ~q)} ] [{ V } q ] [ p { V } ] [~{ V } ∨ q ] [~p ∨ { V } ] [ F ∨ q ] [~p ∨ V ] [q] [V] ~q∨V V Respuesta: d) V6. Se define: * , ⊕ en la tabla siguiente: p q pΘq p*q V V F F V F V F F V V F F F V V Simplificar: [(p ⊕ ~q) * p] ∧ (q ⊕ ~p) a) p b) q c) p ∨ ~q d) p q e) p ∧ ~p Del enunciado construimos la tabla de verdad: p q [(p ⊕ ~q) * p] ∧ (q ⊕ ~p) p ∧ ~p V V V F F V F V F F F F V F F V V F F F F F F V F F V F Respuesta: e) p ∧ ~pCentro Pre Universitario 13
  • 14. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica2.4. EJERCICIOS PROPUESTOS1. :Simplificar el esquema: [(p ∧ ~q) ∧ (q p) ∧ r] ∨ p a) p ∨ q b) p ∧ q c) p d) ~q e) q2. Simplificar el esquema: p ∧ {q ∨ [p (~p ∧ r )] } a) p ∨ ~q b) p ∧ q c) p d) ~p e) q3. Si se define p # q, por la tabla p q p#q V V F V F V F V F F F F Simplificar: {(~p#q) # ~q} # {(p#q) #~p} a) ~p b) F c) p ∨ ~q d) V e) p ∧ q4. Si se define p Θ q, por la tabla p q pΘq V V V V F V F V F F F V Simplificar: M = {[(~p Θ q) Θ p] (q Θ p)} a) ~p b) ~ q c) p ∨ q d) p ∧q e) p q5. Definimos p # q como una operación verdadera si p es falsa y q verdadera, y como falsa en todos los casos restantes. Luego ~(p#q) equivale a: a) p ∨ q b) p ∨ ~ q c) ~p ∨ q d) p q e) N.A.Centro Pre Universitario 14
  • 15. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica6. Simplificar: [ ( ~ p ∧ q) (~ s ∧ s ) ] ∧ ~q a) p b) ~p c) ~q d) p ∧ q e) N.A.7. Simplificar: [ (p q) ∧ ~q) ~p a) p b) ~p c) V d) F e) N.A.8. Simplificar el esquema: (~ p ∧ q) (q p) a) p ∨ q b) ~ p c) p ∨ ~q d) ~ q e) ~ (p ∨ q)9. Simplificar: [( ~p ∧ q) (r ∧ ~r)] ∧ ~q a) ~p ∨ q b) ~ p c) p ∨ ~q d) ~ q e) N.A.10. La siguiente proposición: [(~p ∨ q ) (p ∧ q)] ∨ (~p ∧ ~q) equivale a: a) ~p ∨ q b) ~ p ∧ q c) p ∨ q d) p ∨ ~q e) N.A.11. Simplificar el esquema: [ ~ (p q) ~ (q p)] ∧ (p ∨ q) a) p b)q c) ~ p d) p ∧ q e) p ∨ q12. Si: p * q ≡ ~p q simplifique: ~ [(p ∨ q) * (~p)] * [( p ∧ q) *q] a) p b) q c) p ∨ ~q d) p ∨ q e) p ∧ q13. Si: p # q = VVFV. Simplificar: { [p # (p # q)] ∧ q } ~p a) p ∧ q b) q c) p ∨ ~q d) p q e) ~ (p ∧ q)14. Si se define p * q por la tabla: p q p*q V V F V F F F V V F F FCentro Pre Universitario 15
  • 16. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Simplificar: ~ [(p * q) ∨ p ~ q] a) p b) q c) p ∨ q d) p q e) (p ∧ q)Centro Pre Universitario 16
  • 17. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaIII.CIRCUITOS LÓGICOSEntre algunas aplicaciones de la lógica aparece la construcción de circuitos lógicos en laElectrónica y al Cibernética. Para cualquier formula proposicional podemos construir uncircuito eléctrico basándose en 3 conectores u operadores: (∧, ∨, ~). Los circuitoseléctricos están formados por conmutadores o interruptores que son los órganos queimpiden o dejan pasar la corriente eléctrica. Los interruptores también llamados conmutadores son los elementos que participan en la instalación eléctrica: son de dos tipos: • Conmutador cerrado: permite el paso de la corriente eléctrica y equivale a un dato verdadero que numéricamente toma el valor de 1. • Conmutador abierto: impide el paso de la corriente y equivale a un dato falso que numéricamente toma el valor de 0.3.1 TIPOS DE CIRCUITOS • Circuito en serie: constan de dos o más interruptores, donde un interruptor esta a continuación de otro y así sucesivamente, el grafico de un circuito en serie es la representación de una formula proposicional conjuntiva, cuya expresión mas simple es “p∧q” Se representa: p q : p∧q p q p∧q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 • Circuito en Paralelo, consta de dos o más interruptores, donde un interruptor está sobre otro o en la otra línea y así sucesivamente. El grafico de un circuito en paralelo es la representación de la fórmula proposicional disyuntiva, cuya expresión mas simple es: “p∨q”. p p q p∨q Se representa: q : p∨q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0Centro Pre Universitario 17
  • 18. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica3.2 EJERCICIOS RESUELTOS1. Simplificar el siguiente circuito: ~p q q ~q p p a) p b) q c) ~ p d) p q e) ~q Del enunciado tenemos: p ∧ { [ ( ~p ∧ q ) ∨ q ] ∨ [ ~q ∨ p] } p∧{ [q ] ∨ [ ~q ∨ p] } p∧{ [q ] ∨ [ ~q ∨ p] } p ∧ { ( q ∨ ~q ) ∨ p } p∧{(V)∨p} p∧{ V } p Respuesta: a) p2. Señale el circuito equivalente a la proposición: [(p q) p] ∧ [~p (~p q)] p p q p q ~p q a) b) c) d) e) Del enunciado tenemos: [(p q) p] ∧ [~p (~p q)] [(~p ∨ q) p] ∧ [~p (~ ~ p ∨ q)] [~ (~p ∨ q) ∨ p] ∧ [~ ~p ∨ (~ ~ p ∨ q)] [~ (~p ∨ q) ∨ p] ∧ [ p ∨ ( p ∨ q)] [(p ∧ ~q) ∨ p] ∧ [ p ∨ ( p ∨ q)] [ p ] ∧ [ (p ∨ p) ∨ q ] p ∧[p∨q] p p Respuesta: a)3. La proposición: p∧{q∨[p (~p ∧ r) ] } equivale al circuito: p q p q q r p q r a) b) c) d) e)Centro Pre Universitario 18
  • 19. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Del enunciado tenemos: p ∧ { q ∨ [ p (~p ∧ r) ] } p ∧ { q ∨ [ ~p ∨ (~p ∧ r) ] } p ∧ { q ∨ [ ~p ] } p∧q p q Respuesta: a)4. El equivalente del siguiente circuito: ~p ~q p p p q q ~p Es: a) p ∨ q b) p ∧ q c) p ∧ ~q d) ~p ∧ ~q e) p ∧ r Del enunciado tenemos: { ( ~p ∧ ~q ) ∨ ( p ∨ q ) } ∧ { p ∨ [ q ∧ ( p ∨ ~ p ) } { [ ( ~p ∧ ~q ) ∨ p ] ∨ q ) } ∧ { p ∨ [ q ∧ V ] } { [ ~q ∨ p ] ∨ q } ∧ { p ∨ [ q ] } { [ ~q ∨ q ] ∨ p } ∧ { p ∨ [ q ] } {[V]∨p}∧{p∨q} {V}∧{p∨q} p∨q Respuesta: a) p ∨ q5. El siguiente circuito equivale a las formulas: A ~B ~A B i. [(A ∨ ~B) ∨ A] ∨ B ii. [(A B) ∧ A] B iii. [(A ∧ ~B) ∨ ~A] ∨ B iv. B ∨ [(A ∧ ~B) ∨ ~ A] v. B ∧ [(A ∧ ~B) ∨ ~A ] son correctas: a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) ii, iii, v d) iii, iv, v e) i, iii, v Del circuito en el enunciado se tiene: (A ∧ ~B) ∨ ~A ∨ BCentro Pre Universitario 19
  • 20. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Y de las alternativas se obtiene: i. [(A ∨ ~B) ∨ A] ∨ B ii. [(A B) ∧ A] B A A ~B ~B ~A ~A B B iii. [(A ∧ ~B) ∨ ~A] ∨ B iv. B ∨ [(A ∧~B) ∨ ~ A] A ~B B ~A A ~B B ~A v. B ∧ [(A ∧~B) ∨ ~A ] A ~B B ~A Respuesta: a) ii, iii, iv6. Se tiene que: ~p p r q q r q r El costo de instalación de cada interruptor es de S/. 12. ¿en cuánto se reducirá el costo de la instalación si se reemplaza este circuito por su equivalente más simple? a) S/. 48 b) S/. 60 c) S/. 72 d) S/. 36 e) S/. 24. Del circuito en el enunciado se tiene: [ p ∧ (~p ∨ q ) ∧ r ] ∨ [ r ∧ ( q ∨ r ) ∧ q El costo de instalacion inicial: S/ 12 * 8 = S/. 96 Simplificando el circuito [ p ∧ (~p ∨ q ) ∧ r ] ∨ [ r ∧ ( q ∨ r ) ∧ q ] [(p∧q)∧r] ∨ [r∧(q)] [(p∧q)∧r] ∨ [r∧q] [ p ∧ ( q ∧ r) ] ∨ [ r ∧ q ] [ p ∧ ( q ∧ r) ] ∨ ( r ∧ q ) r∧qCentro Pre Universitario 20
  • 21. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica El costo de instalacion del circuito simplificado es: S/ 12 * 2 = S/. 24 El costo se reduce en : S/. 96 ~ S/. 24 = S/. 72 Respuesta: c) S/. 723.3 EJERCICIOS PROPUESTOS1. Simplificar el siguiente circuito: p p q q ~p a) p ∧ q b) ~p∨q c) q d) ~(p∨q) e) p ∨~q2. Reducir el siguiente circuito: ~p ~q q p p q ~p ~p p q ~p p q ~q a) b) c) d) e)3. Determinar el circuito equivalente: p q ~q ~p p p ~q ~q q ~p a) p ∨ q b) p ∧ q c) p ∧ ~q d) ~p ∧ q e) N.A.Centro Pre Universitario 21
  • 22. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica4. Hallar la expresión que representa al circuito equivalente: ~ (p q) ~ (p q) ~q r a) p b) ~p c) q d) ~q e) p∧q5. Simplificar p q q p ~p q p a) p∨ q b) p∧q c) p d) q e) N.A.Centro Pre Universitario 22
  • 23. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaIV.CIRCUITOS CON COMPUERTAS LOGICASLas compuertas lógicas, son los distintos dispositivos que resumen la interconexión deconmutadores para procesar las leyes lógicas y ejecutar cálculos.Las Compuertas lógicas son bloques de circuitos que producen señales de salida cuyasentradas solo pueden tomar dos niveles distintos de tensión (1 = verdadero, 0 = falso)Esta teoría es la que permite el diseño de las computadoras y utilizaremos el sistemaASA para representar circuitos lógicos mediante compuertas. Las operaciones ofunciones lógicas que participan en el diseño de compuertas son solo tres: La negación,la conjunción ( incluyente o excluyente). Las demás formulas proposicionales sonrepresentadas mediante sus equivalencias, y las entradas dependen del numero devariables que participan en la formula directa a diseñar. Funciones lógicas Formas lógicas Símbolo de compuerta ~p Negación: p p “NO” p’ Conjunción o producto: p∧q p “AND” p.q q Disyunción (inclusiva) o p∨q p Suma: “OR” p+q q p∨q Disyunción (exclusiva) o p Suma: pq+p q q “XOR” p’q + p q’Centro Pre Universitario 23
  • 24. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica p↔q≡~(p∨q) Biimplicacion o negación p de la disyunción exclusiva p.q + p . q q “XNOR” p.q + p’q’ ~ (p ∧ q) p.q p Negación conjuntor “NAND” q (p . q)’ ~( p ∨ q ) Negación disyuntor p p+q “NOR” q (p + q)’4.1. EJERCICIOS RESUELTOS1. El circuito lógico equivalente a: p Es: q a) p b) q ∧ r r c) p ∧ q d) q ∨ r e) N.A. Del circuito se obtiene la expresión: [ ( p ∧ q ) ∧ r ] ∨ ( q ∧ r ) Simplificando la expresión por las Simplificando por el método digital: leyes lógicas [(p.q).r]+(q.r) [(p∧q)∧r]∨(q∧r) [p.(q.r)]+(q.r) [p∧(q∧r)]∨(q∧r) (q.r).[p+1] (q∧r) (q.r).[1] (q.r) Respuesta: b) q ∧ rCentro Pre Universitario 24
  • 25. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica2. El circuito: Equivale a: A a) ~ [ ~ B ~ A ] ∧ B b) ~ [ B (A B)] B c) ~ ( ~A ∨ B )] ∧ B d) todas e) N.A. Del circuito se obtiene: ~(~A∨B)∧B De las alternativas tenemos: a) ~ [ ~ B ~A ] ∧ B b) ~ [ B (A B)] ~ [ ~ ~ B ∨ ~A ] ∧ B ~ [ ~ B ∨ (A B)] ~ [ B ∨ ~A ] ∧ B ~ [ ~ B ∨ (~ A ∨ B)] ~ [~A ∨ B ] ∧ B [ B ∧ ~ (~ A ∨ B)] ~ (~ A ∨ B) ∧ B c) ~ ( ~A ∨ B )] ∧ B Respuesta: d) todas3. La expresión de salida del circuito es: A a) B(AC)´ B b) B(A´+C) C c) B´(AC)´ d) B´(A´C´) e) N.A. Del circuito se obtiene: [ ( A ∧ B ∧ ~ C ) ∨ (B ∧ ~ C ) ∨ ( ~ A ∧ B ) ] Simplificando por el método digital: [ ( A ∧ B ∧ ~ C ) ∨ (B ∧ ~ C ) ∨ ( ~ A ∧ B ) ] A . B . C’ + B .C’ + A’ .B B .[ A . C’ + C’ + A’ ] B .[ C’ ( A + 1 ) + A’ ] B .[ C’ ( 1 ) + A’ ] B .[ C’ + A’ ] B .[ A’ + C’ ] B . (A . C)’ Respuesta: a) B(AC)´Centro Pre Universitario 25
  • 26. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica4. Dada la compuerta: A Equivale a B a) (A ∧ B) ∨ (~A ↔ B) b) (A ∨ B) ∧ ( ~ A ↔ B) c) ~(~ A ↔ B) d) (A∨ B) ∨ ~B e) (~A ↔ B) Del circuito se obtiene: ( ~A↔ B ) ∧ ( A ∨ B ) Simplificando la expresión: ( ~A↔ B ) ∧ ( A ∨ B ) [ ( ~A ∧ B ) ∨ ( ~ ~A ∧ ~ B ) ] ∧ ( A ∨ B ) [ ( ~A ∧ B ) ∨ (A ∧ ~ B ) ]∧(A∨B) Continuando con el método digital de simplificación: [ ( ~A ∧ B ) ∨ (A ∧ ~ B ) ]∧(A∨B) [ A’. B + A . B’ ] . ( A + B ) { [ A’. B + A . B’ ] . A } + { [ A’. B + A . B’ ] . B } { A’.B.A + A.B’.A } + { A’.B.B + A.B’.B } { A’.A.B + A.A.B’ } + { A’.B.B + A.B’.B } { 0.B + A.B’ } + { A’.B + A.0} { 0 + A.B’ } + { A’.B + 0} { A.B’ } + { A’.B} A.B’ + A’.B A’.B + A.B’ Llevando la expresión a la estructura lógica A’.B + A.B’ ≡ (~ A ∧ B ) ∨ ( A ∧ ~ B ) ( ~ A ↔ B) Respuesta: e) (~A ↔ B)4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS1. El circuito: p Equivale a: q a) p r b) q c) p ∧ q d) q ∨ r e) ~pCentro Pre Universitario 26
  • 27. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica2. El siguiente circuito equivale a: p a) p ∨ q q b) 1 r c) p ∧ q d) 0 e) N.A.3. Encuentre la expresión de salida (F) en el circuito mostrado: a) B´A+C A b) B´+B´C c) A(B´C) d) B´(A+C) B F e) B´+C+A C4. La expresión de salida del circuito es: x a) (xyz)´ b) x´yz y c) xy´z d) xyz´ z e) N.A.5. Simplificar: A A B B a) A B b) C D A B c) A B d) e) N.A.Centro Pre Universitario 27
  • 28. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica6. Obtener la expresión “E” de salida del circuito de la figura: a) A.B.C.D b) (A.B)’.C.D A c) A’.B’.C’.D’ d) 0 B e) 1 C DCentro Pre Universitario 28
  • 29. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaV.EQUIVALENCIAS LÓGICAS:La equivalencia lógica es una relación que existe entre dos fórmulas que tienen losmismos valores en su matriz final y si se unen bicondicionamente. El resultado es unaTautología5.1. EJERCICIOS RESUELTOS1. Cuáles de las siguientes fórmulas son equivalentes a: ~ r ~ ( p ∧ ~q) i. p (q ∨ r ) ii. ~ p ∧ (q ∨ r) iii. ~ q (~ p ∨ r ) a) solo i Ninguna c) ii, iii d) i, iii e) todos Del enunciado se tiene: ~ r ~ ( p ∧ ~q) ~~ r ∨ ~ ( p ∧ ~q) r ∨ ~ ( p ∧ ~q) r ∨ ( ~ p ∨ q) r∨ ~p∨q De las alternativas podemos obtener: i: p (q ∨ r ) ii: ~ p ∧ (q ∨ r) iii: ~ q (~ p ∨ r ) ~ p ∨ (q ∨ r ) (~ p ∧ q) ∨ (~ p ∧ r ) ~ ~ q ∨ (~ p ∨ r ) r∨ ~p∨q q ∨ (~ p ∨ r ) q∨~p∨r r∨ ~p∨q Respuesta: d) i, iii2. La formula: [~ ( p ∧ ~q) ∨ r ] equivale a: i. [ r ∨ (~p ∨ q)] ii. [(~ p ∨ q) ∨ r ] iii. ~ [(~q ∧ p) ∧ ~ r] iv. ~[~(~p ∨ q) ∧ ~ r ] v. ~ [~r ∧ (~q ∧ p)]Centro Pre Universitario 29
  • 30. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Son ciertas: a) Todos b) Ninguna c) ii, iii, iv d) i, ii, iv e) iii, iv, v Del enunciado se obtiene: [~ ( p ∧ ~q) ∨ r ] ~p∨q∨r De los enunciados se obtiene: i. [ r ∨ (~p ∨ q) ] ii. [(~ p ∨ q) ∨ r ] r ∨ ~p ∨ q ~p∨q∨r ~p∨q∨r iii. ~ [(~ q ∧ p) ∧ ~ r] iv. ~[~(~p ∨ q) ∧ ~ r ] ~ (~ q ∧ p) ∨ r ~[( p ∧ ~ q) ∧ ~ r ] (~ ~ q ∨ ~ p) ∨ r ~ ( p ∧ ~ q) ∨ r q∨~p∨r ( ~ p ∨ q) ∨ r ~p∨q∨r ~p∨q∨ r v. ~ [~ r ∧ ( ~q ∧ p )] ~ ~ r ∨ ~ ( ~q ∧ p ) r ∨ ( ~ ~q ∨ ~ p ) r∨q∨~p ~p∨q∨r Respuesta: a) todas3. :Sea el esquema: [(p q) r] sus equivalencias son: i. (~q ~p) r ii. (~q ~p) ~r iii. ~r ~ (p q) iv. ~r ~(~q ~p) v. ~r ~ (q p) Son ciertas: a) i, iii, v b) ii, v c) i, iii, iv d) ii, iii, iv e) i, ii, iii Del enunciado tenemos: [(p q) r] (~ p ∨ q ) r ~ (~ p ∨ q ) ∨ r (~ ~ p ∧ ~ q ) ∨ r (p∧~q)∨rCentro Pre Universitario 30
  • 31. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica De las alternativas tenemos: i. (~q ~p) r ii. (~q ~p) ~ r ~ (~q ~p) ∨ r ~ (~q ~p) ∨ ~ r ~ (~ ~ q ∨ ~p) ∨ r ~ (~ ~ q ∨ ~p) ∨ ~ r ~ ( q ∨ ~p ) ∨ r ~ ( q ∨ ~p) ∨ ~ r (~q∧~~p)∨r (~q∧p)∨~r (~q∧p)∨r (p∧~q)∨~r (p∧~q)∨r iii. ~r ~ (p q) iv. ~ r ~(~q ~p) ~ ~ r ∨ ~ (p q) ~ r ~(~ ~ q ∨ ~p) r∨~(p q) ~ r ~( q ∨ ~p ) r∨~(~p∨q) ~ ~ r ∨ ~ ( q ∨ ~p ) r∨(p∧~q) r ∨ ~ ( q ∨ ~p ) (p∧~q)∨r r∨(~q∧p) (p∧~q)∨r v. ~ r ~ (q p) ~ ~ r ∨ ~ (q p) r ∨ ~ (q p) r ∨ ~ ( ~ q ∨ p) r ∨ ( ~ ~ q ∧ ~ p) r ∨ ( q ∧ ~ p) (~p∧q)∨r Respuesta: c) i, iii, iv4. Dadas las proposiciones p y q se establece: p # q ≡ p ∧ ~ q ¿Cuál de las siguientes es equivalente a: p ~ q? a) ~ (p # q) b) ~p # q c) ~ (p # ~q) d) p # ~q e) N.A. Del enunciado tenemos: p#q≡p∧~q p ~q ~p∨~q De las alternativas: a) ~ (p # q) ≡ ~ ( p ∧ ~ q ) b) ~p # q ≡ ~p ∧ ~ q ~p∨q c) ~ (p # ~q) ≡ ~(p∧~~q) d) p # ~q ≡ (p∧~~q) ~(p∧q) (p∧q) ~p∨~q Respuesta: c) ~ (p # ~q)Centro Pre Universitario 31
  • 32. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica5. Si: p ↓ q se define por (~p) ∧ (~q), entonces ¿ A cuál es equivalente: ~ (p ↔ q) ? a) ( ~p ↓ q ) ∨ ( q ↓ p ) b) ( ~p ↓ q ) ∨ ( ~q ↓ p ) c) ( ~p ↓ ~q ) ∨ ( q ↓ p ) d) todos e) N.A. Del enunciado tenemos: p ↓ q ≡ (~p) ∧ (~q) ~ (p ↔ q) ≡ ~ [( p ∧ q ) ∨ ( ~p ∧ ~q ) ~ [( p ∧ q ) ∨ ( ~p ∧ ~q ) ~ ( p ∧ q ) ∧ ~ ( ~p ∧ ~q ) (~p∨~q)∧(p∨q) [(~p∨~q)∧p]∨[(~p∨~q)∧q] [p∧~q]∨[~p∧q] De las alternativas se obtiene: a) (~ p ↓ q) ∨ (q ↓ p) b) (~ p ↓ q) ∨ (~ q ↓ p) (~~p∧~q)∨(~q∧~p) ( ~ ~ p ∧ ~ q) ∨ (~ ~ q ∧ ~ p) (p∧~q)∨(~q∧~p) ( p ∧ ~ q) ∨ ( q ∧ ~ p) (p∧~q)∨(~q∧~p) ( p ∧ ~ q) ∨ ( q ∧ ~ p) c) (~ p ↓~ q) ∨ (q ↓ p) (~ ~ p ∧ ~ ~ q) ∨ (~ q ∧ ~ p) ( p ∧ q) ∨ (~ q ∧ ~ p) Respuesta: b) (~ p ↓ q) ∨ (~ q ↓ p)6. Dado el esquema: {[(p q) r] s} t su esquema molecular equivalente es: a) {[(p ∧ ~q) ∨ r] ∧ ~s} ∨ t b) {[(p ∨ q) ∨ r] ∧ s} ∨ t c){[(~p ∨ q) ∧ ~r] ∨ s} ∧ t d) {[(p ∨ q) ∧ r] ∨ s} ∧ t e) {[( p ∧ q) ∨ r] ∧ s} ∧ t Del enunciado tenemos: { [ (p q) r ] s } t { [ (~ p ∨ q) r ] s } t { [ ~ (~ p ∨ q) ∨ r ] s } t { [ ( p ∧ ~ q) ∨ r ] s } t { ~ [ ( p ∧ ~ q) ∨ r ] ∨ s } tCentro Pre Universitario 32
  • 33. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica { [ ~ ( p ∧ ~ q) ∧ ~ r ] ∨ s } t { [ (~ p ∨ q) ∧ ~ r ] ∨ s } t ~ { [ (~ p ∨ q) ∧ ~ r ] ∨ s } ∨ t { ~ [ (~ p ∨ q) ∧ ~ r ] ∧ ~ s } ∨ t { [ ~ (~ p ∨ q) ∨ r ] ∧ ~ s } ∨ t { [ (p ∧ ~ q) ∨ r ] ∧ ~ s } ∨ t Respuesta: a) {[(p ∧ ~q) ∨ r] ∧ ~s} ∨ t5.2. EJERCICIOS PROPUESTOS1. La formula: ~ [(A ~B) ∧ C], equivale a: a) ~(A ~B) ∧ ~C b) (B ~A) ∨ ~C c) ~(~B A) ∨ C d) (~A B) ∨ ~C e) N.A.2. :La formula: ~(A ~B) ∨ ~C, equivale a: a) ~(A ∧ B) ∧ C b) ~(A ~B) ∧ C c) ~(B ~A) ∧ ~C d) ~(B A) ∧ C e) N.A.3. El esquema lógico: (p q) ∧ (p ∧ ~p) equivale a las siguientes proposiciones: i. (p ~q) ∧ (~q ~p) ii. ~p∨q iii. ~[~(p q) ∧ (p ∧ ~p)] iv. ~p ∧ p v. (~p ∨ q) ∧ (~p ∧ p) Son ciertas: a) ii, iii b) i, iv c) ii, iv, v d) i, iv, v e) sólo v4. Dadas las formulas: i. (~p ∨ q) p ii. (p q) ∨ (p ∧ q)Centro Pre Universitario 33
  • 34. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica iii. (~p ∨ q) p ¿Cuáles son lógicamente equivalentes: a) i, ii b) Ninguna c) ii, iii d) i, iii e) todos5. Son formulas equivalentes: i. p ∧ (p↔q) ii. p↔(p∧q) iii. p (p q) iv. ~p∧~q Se cumple: a) i, ii b) iii, iv c) ii, iii d) i, iv e) todos6. La proposición siguiente: ( p ∧ ~r ) ∨ [ ~q ~ (p ∧ r ) ] equivale a : a) (p ∧ r) ~q b) q (p ∧ r) c) p (p ∧ r) d) r (p q) e) N.A.7. Dados los esquemas lógicos: P = ( p q ) ∧ ~ ( ~p ∧ q ) R = ~( p ↔ q ) Q=~(p∨~q) ¿ Cuál de las siguientes relaciones es correcta? a) P ≡ R b) R ≡ Q c) P ≡ Q d) R ≡ Q e) N.A.8. La proposición: ~ (p q) ∧ (q ~r) Es equivalente a: a) (p ∧ ~q) ∧ ~ ( r ∧ q) b) (p ∧ ~q) ∧ ~ r c) (p ∨ ~q) ∧ ~ ( r ∧ q) d) (p ∧ ~r) ∧ ~ q e) (p q) ∧ (r ~q)Centro Pre Universitario 34
  • 35. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaVI.FORMALIZACIÓN Y TRADUCCIÓN PROPOSICIONALFormalización Proposicional es el procedimiento mediante el cual se identificanproposiciones simples y estructuras lógicas proposicionales, asignándoles a cada uno undeterminado símbolo del lenguaje de lógica proposicional organizándolos con signos deagrupación.Dentro de los términos del lenguaje natural que designan operadores proposicionalestenemos: Negador: ~ A • Es falso que A • Es negable que A • Es absurdo que A • No ocurre que A • Es mentira que A • Es inadmisible • Es inconcebible que A • Es refutable A. Conjuntor: A ∧ B • A pero B • A también B • A sin embargo B • A al igual que B • A incluso B • No solo A también B • A tanto como B • A no obstante B. • A así mismo B Disyuntor: A ∨ B • A o también B • A excepto que B • A o incluso B • A a menos que B • A a no ser B • A salvo que B • A y/o B • A alternativamente B • A o en todo caso B • A o bien B • A y bien o también B Implicador: A B • A implica a B • Siempre que A entonces B • A por lo tanto B • Dado que A entonces B • A luego B • A solo cuando B • A consecuentemente B • A es condición suficiente para B • Ya que A entonces B • A solo si B.Centro Pre Universitario 35
  • 36. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica • Puesto que A entonces B Biimplicador: A ↔ B • A siempre y cuando B • A es equivalente a B • A es condición suficiente y • A es lo mismo que B necesaria para B • A implica y esta implicado por B • A porque y solamente B • Solo si A entonces B. • A es suficiente y B también6.1. EJERCICIOS RESUELTOS1. El argumento: “Eres Ingeniero o Matemático. Pero no eres profesional en matemáticas. Por tanto eres profesional en Ingeniería”. Se simboliza: a) [(p q) ∧ ~ q] ∧ p b) [(p ↔ q) ∧ ~ q] ∧ p c) [(p ∨ q) ∧ ~ q] ∧ p d) [(p ∨ q) ∧ ~ q] p e) N.A. Del enunciado definimos: p : Eres ingeniero q : Eres matemático Construimos la expresión a través del enunciado: • (p ∨ q) // Eres Ingeniero o Matemático. • [(p ∨ q) ∧ ~ q] // ........ Pero no eres profesional en matemáticas. • [(p ∨ q) ∧ ~ q] p // ........ Por tanto eres profesional en Ingeniería Respuesta: d) [(p ∨ q) ∧ ~ q] p2. La proposición: “Habrá aros y sortijas refulgentes siempre que el oro sea derretido además moldeado”, se formaliza: a) (p ∧ q) (r ∨ s) b) r (p ∧ q) c) (r ∧ s) (p ∧ q) d) (r ∨ s) (p ∧ q) e) (p ∧ q) ↔ (r ∨ s)Centro Pre Universitario 36
  • 37. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Del enunciado definimos: p : Habrá aros refulgentes q : Habrá sortijas refulgentes r : Oro sea derretido s : Oro sea moldeado Construimos la expresión a través del enunciado: • (p ∧ q) // Habrá aros y sortijas refulgentes • (r ∨ s) // Oro sea derretido además moldeado • (r ∨ s) (p ∧ q) // ....... Siempre que ....... Respuesta: c) (r ∧ s) (p ∧ q)3. Formalizar: “Si en Marte no hay agua; entonces no hay vida; en consecuencia, no hay marcianos ni platillos voladores” a) ~p [~q (~r ∧ ~s)] b) (~p q) (~r ∧ ~s) c) (~p ~q) (~r ∨ ~s) d) ~p [~q (~r ∧ ~s) e) (~p ~q) (~r ∧ ~s) Del enunciado definimos: p : En Marte hay agua q : En Marte hay vida r : Hay marcianos s : Hay platillos voladores Construimos la expresión a través del enunciado: • (~p ~q) // Si en Marte no hay agua; entonces no hay vida • (~r ∧ ~s) // no hay marcianos ni platillos voladores • (~p ~q) (~r ∧ ~s) // en consecuencia, Respuesta: e) (~p ~q) (~r ∧ ~s)4. Hallar la equivalencia a: “Es falso que su Ud. ve un gato negro entonces tendrá mala suerte” a) Ve un gato negro y tiene mala suerte b) no tiene mala suerte si ve un gato negro c) Ve un gato negro y no tiene mala suerte d) Ve un gato negro si tiene mala suerte e) N.A. Del enunciado definimos: p : Ud. ve un gato negro q : Ud. tendrá mala suerteCentro Pre Universitario 37
  • 38. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Construimos la expresión a través del enunciado: • p q // Si Ud. ve un gato negro entonces tendrá mala suerte • ~ (p q ) // Es falso que ... Simplificando la expresión: ~ (p q ) ≡ ~ ( ~ p∨ q) ( p ∧ ~ q) La expresión se interpretaría como: “Ud. ve un gato negro y no tendrá mala suerte” Respuesta: c) Ve un gato negro y no tiene mala suerte5. La proposición “Si caigo, me levanto. Si me levanto, camino. Por tanto ya que caigo bien se ve que camino”. Se formaliza: a) [(p∧q) ∧ (q ∧ r) ] (p ∧ r) b) [(p q) ∧ (q r) ] ∧ (p r) c) [(p q) ∧ (q r) ] (p r) d) [(p ∧ q) (q ∧ r) ] (p r) e) N.A. Del enunciado definimos: p : Me caigo q : Me levanto r : camino Construimos la expresión a través del enunciado: • p q // Si caigo, me levanto • (p q)∧(q r) // ...... Si me levanto, camino. • (p r) // Ya que caigo bien se ve que camino • [ ( p q ) ∧ ( q r )] ( p r ) // ...... Por tanto ...... Respuesta: c) [(p q) ∧ (q r) ] (p r)6. “Si Alondra depende de Bárbara entonces también depende de Clotilde. Y, si depende de Clotilde, depende de Dalia, mas, si depende de Dalia luego depende de Ernestina. Por tanto, ya que alondra depende de Bárbara en tal sentido depende de Ernestina” se simboliza: a) [(A ∧B) ∧ (B ∧ C)] ∧ (C ∧ D) (A E) b) [(A B)∧ (B ∧ C)] ∧ (C D) (A D) c) [(A B)∧(B C)] (C D) (A D) d) [(A B)∧(B C)] ∧ (C D) (A D) e) N.A.Centro Pre Universitario 38
  • 39. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Del enunciado definimos: B : Alondra depende de Barbara C : Alondra depende de Clotilde D : Alondra depende de Dalia E : Alondra depende de Ernestina Construimos la expresión a través del enunciado: • (B C) // Si Alondra depende de Bárbara entonces también depende de Clotilde • (B C)] ∧ (C D) // ....... Y, si depende de Clotilde, depende de Dalia, • [ (B C) ∧ (C D) ] ∧ (D E) // ........ mas, si depende de Dalia luego depende de Ernestina • [ (B C) ∧ (C D) ] ∧ (D E) (B E) // ....... Por tanto, ya que alondra depende de Bárbara en tal sentido depende de Ernestina Revisando la estructura de respuesta con la de las alternativas del ejercicio obtenemos la alternativa d) como respuesta Respuesta: d) [(A B)∧(B C)] ∧ (C D) (A D)6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS1. Formalizar: “Si luchas por triunfar, entonces triunfarás, sin embargo no luchas por triunfar”. a) p (q ∧ r) b) (p q) ∧ ~p c) p (q ∧ ~r) d) (p q) ∧ (p ∨ q ) e) (p q) ∨ ~q2. La traducción correcta de la formula proposicional: (B A) ~ ( ~B ~A) es: a) Si actúo entonces soy consciente; por lo tanto si no actúo entonces no soy consciente b) Pienso porque existo. En consecuencia no pienso porque no existo c) Hace calor siempre que sea verano. Entonces es falso que si no hace calor luego es veranoCentro Pre Universitario 39
  • 40. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica d) Sale el sol si es de día, luego, es falso que si no sale el sol luego no es de día. e) N.A.3. “No es buen deportista pero sus notas son excelentes”. Es equivalente a: a) No es cierto que, sea un buen deportista o sus notas no sean excelentes. b) No es cierto que, sea un buen deportista o sus notas sean excelentes. c) No es cierto que, no sea un buen deportista o sus notas no sean excelentes. d) No es cierto que, es un buen deportista y sus notas no son excelentes. e) N.A.4. En la siguiente expresión: “El alcalde será reelegido, si mantiene el ornato de la ciudad o no aumenta el impuesto predial” su formalización es: a) (q ∨ r) ∧ ~p b) (q ∨ ~r) p c) p (q ↔ r) d) p (q ∨ r) e) N.A.5. Dada la proposición “Juan será encontrado culpable, si hoy rinde su instructiva, por tanto si hoy rinde su instructiva, dirá la verdad. Juan no será encontrado culpable, si no dice la verdad”. La formalización correcta es: a) [(A B) (B C)] ∧ (~C ~A) b) [(A ∧B) ∧ (B C)] ∧ (~C ∧ ~A) c) [(A B) ∧ (B ∧ C)] ∧ (~C ∧ ~A) d) [(B A) (B C)] ∧ (~C ~A) e) N.A.6. La proposición: “Siempre que y sólo cuando haya explosión nuclear, habrá radioactividad. Sin embargo, al haber radioactividad luego habrá mutaciones. por lo tanto la explosión nuclear es condición suficiente para las mutaciones ”, se simboliza: a) [(A B) ∧ (B C)] (A C) b) [(A ↔ B) ∧ (B C)] (A ↔ C) c) [(A ↔ B) ∧ (B ↔ C)] (A C) d) [(A ↔ B) ∧ (B C)] (A C) e) N.A.Centro Pre Universitario 40
  • 41. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica7. Sean R ≡ p ∧ ~q; S ≡ ~p ↔ q Expresar en términos de p y q “S es condición suficiente para R”: a) q p b) p q c) p ∧ ~q d) q ↔ p e) ~p ∨ ~q8. La proposición: “Es absurdo que, los sueldos no tienen capacidad adquisitiva, pero los trabajadores protestan”. Se formaliza como: a) A ∨ ~B b) ~( ~A ∧ B) c) A ∧ ~B d) ~A ∧ ~B e) ~(A ∧ B)9. La ley: “La negación de una disyunción de dos variables es equivalente a la conjunción de las negaciones de cada variable”. Se formaliza como: a) ~(A ∨ B) ~A ∧ ~B b) ~(A ∨ B) ↔ ~A ∨ ~B c) ~(A ∧ B) ∨ (A ∨ B) d) (~A ∧ ~B) ∨ ( ~A ∧ ~B) e) (~A ∧ ~B) ↔ ~(A ∨ B)10. La proposición lógica: “No es falso que no sea correcto que el Brasil no sea un pais subdesarrollado”. Su formalización es: a) ~ (~B) b) ~ (~B) c) ~ ~ (~B) d) ~ ~ [ ~ ~ (~B) ] e) ~ B11. La proposición “Alex ingresará a la UNJBG, siempre que y sólo cuando Felipe, Miguel además Raúl no sean postulantes”, se formaliza: a) A ( B ∧ C ∧ ~D) b) A ↔ (~B ∧ ~C ∧ ~D) c) A ↔ (B ∧ C ∧ ~D) d) (~B ∧ ~C ∧ ~D) A e) N.A.12. La fórmula lógica [(B ∧ C) A], se traduce como: a) Duermo si tengo sueño o cansancio b) Si camino además trajino entonces me canso c) De la uva deviene el vino y la cachina d) Por la materia es infinita es obvio que no se crea ni se destruye e) Todas las anteriores.Centro Pre Universitario 41
  • 42. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica13. Dado el siguiente argumento: “Si sudo es porque corro. Cierro los ojos entonces duermo. Pero no corro o no duermo; en consecuencia no sudo a menos que no cierro los ojos” la formalización correcta es: a) [(B A)∧(C D)∧(~B∨ ~D)] (~A ∨ ~C) b) [(B ↔A)∧(C D) ∧ (~B∨ ~D)] (~A ∨ C) c) [(A B)∧(C D) ∧ (~B∨ D)] (~A ∨ C) d) [(A B ∧ C D) ∧ (~B∨~D)] (~A ∧~C) e) N.A.14. La formalización de: 3 8 = 2 al igual que 9 = 3 en consecuencia 3 8 + 9 = 5 se formaliza: a) (A ∧ B) (A ∨ B) b) (A ∧ B) C c) (A ∨ B) (A ∧ B) d) (A ∨ B) C e) N.A.Centro Pre Universitario 42
  • 43. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaVII.EQUIVALENCIAS NOTABLES:Las equivalencias notables permiten realizar transformaciones, es decir, convertir unasexpresiones en otras, o unas formulas en otras7.1. EJERCICIOS RESUELTOS1. Dado el esquema: [( ~ p ∧ q) q] (p ∨ q). Su equivalencia es: a) Juan va al cine o estudia b) Juan no va al cine o estudia c) Juan va al cine y estudia d) Juan no va al cine ni estudia e) N.A. Del enunciado procedemos a simplificar el esquema: [( ~ p ∧ q) q ] (p ∨ q) Definiendo p : Juan va al cine ~ [ ~ ( ~ p ∧ q) ∨ q ] ∨ (p ∨ q) q: Juan estudia [ ~ ~ ( ~ p ∧ q) ∧ ~ q ] ∨ (p ∨ q) [ ( ~ p ∧ q) ∧ ~ q ] ∨ (p ∨ q) Se puede interpretar el esquema obtenido [~p∧(q∧~q)] ∨ (p ∨ q) como: [~p∧ F ] ∨ (p ∨ q) “ Juan va al cine o estudia ” F ∨ (p ∨ q) (p ∨ q) Respuesta: a) Juan va al cine o estudia2. La proposición “no es falso que sea absurdo que, el león es un mamífero”, equivale a: i. El león no es domestico ii. El león no es mamífero iii. Es objetable decir que, el león sea mamífero iv. El león es mamífero o además vertebrado v. No es innegable que, el león sea mamífero No son ciertas, excepto: a) i, ii, iii b) ii, iii, v c) i,ii, v d) ii, iii, iv e) N.A.Centro Pre Universitario 43
  • 44. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Del enunciado definimos: p: El león es un mamífero. La estructura del enunciado seria: • ~p // sea absurdo que, el león es un mamífero • ~~p // es falso que sea absurdo ..... • ~~~p // No es falso que ..... Por lo que el equivalente al enunciado seria : ~ p De las alternativas se tiene: i. El león no es domestico: ~q Definimos q: El león es domestico ii. El león no es mamífero: ~p iii. Es objetable decir que, el león sea mamífero: ~p iv. El león es mamífero o además vertebrado: p∨r Definimos r: El león es vertebrado v. No es innegable que, el león sea mamífero ~p Respuesta: d) ii, iii, iv3. Que se concluye de la expresión “No río a menos que reniegue. No reniego excepto que esté tranquilo” a) Ni río ni estoy tranquilo b) No estoy tranquilo salvo que reniegue c) Río porque estoy tranquilo d) No río salvo que esté tranquilo e) N.A. Del enunciado definimos p: Yo rio q: Yo reniego r : Yo estoy tranquilo Construimos la expresión a través del enunciado: • ~p∨q // No río a menos que reniegue • ~q∨r // No reniego excepto que esté tranquilo • ( ~ p ∨ q ) ∧ (~ q ∨ r )Centro Pre Universitario 44
  • 45. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Aplicando leyes lógicas tenemos: ( ~ p ∨ q ) ∧ (~ q ∨ r ) ≡ ( p q)∧(q r) Se observa que en la expresión ( p q)∧(q r ) existen dos condicionales, donde el consecuente q del primer condicional es el antecedente del segundo condicional, por lo que se deduce lógicamente que la expresión: (p q)∧(q r) → (p r) (p r ) ≡ ( ~p ∨ r ) Lo que se interpreta: “No rio a menos que esté tranquilo”. Respuesta: d) No río salvo que esté tranquilo4. La expresión: “Si la televisión es antinacional por tanto es alienante. Sin embargo no es mentira que sea alienante”. Es equivalente a: a) La televisión es antinacional b) Es falso que la televisión no sea antinacional c) No es verdad que la televisión sea antinacional y alienante d) Todas e) La televisión es alienante. Del enunciado definimos p: La televisión es antinacional. q: La televisión es alienante. Construimos la expresión a través del enunciado: • p q // Si la televisión es antinacional por tanto es alienante • ~~q // no es mentira que sea alienante • (p q)∧q // ...... Sin embargo ..... Simplificando la expresión tenemos : ( p q)∧q≡q De lo que se interpreta : “La televisión es alienante” Respuesta: e) La televisión es alienante.5. La proposición: “los cetáceos tienen cráneo si y solo si son vertebrados”, equivale a: i. Tienen los cetáceos cráneo y no son vertebrados, a menos que, ni son vertebrados ni tiene cráneo. ii. Tienen cráneo o no son vertebrados, así como, son vertebrados o no tiene cráneo. iii. Si tiene cráneo, son vertebrados; tal como; si son vertebrados, tienen cráneo.Centro Pre Universitario 45
  • 46. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica iv. Los cetáceos son vertebrados o no tienen cráneo, así como, tienen cráneo o no son vertebrados. v. Los cetáceos son vertebrados y no tiene cráneo. Son ciertas: a) i, ii, iii b) ii, iii, v c) i, ii, v d) ii, iii, iv e) N.A. Del enunciado definimos p: Los cetáceos tienen cráneo. q: Los cetáceos son vertebrados Construimos la expresión a través del enunciado: • p↔q // Los cetáceos tienen cráneo si y solo si son vertebrados Simplificando el enunciado tenemos: p↔q ≡ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) [ (p ∧ q) ∨ ~p ] ∧ [ (p ∧ q) ∨ ~q ] ( q ∨ ~p ) ∧ ( p ∨ ~q ) ( q ∨ ~p ) ∧ ( p ∨ ~q ) ≡ [ ( q ∨ ~p ) ∧ p ] ∨ [ ( q ∨ ~p ) ∧ ~q ] [ ( q ∧ p ] ∨ [~p ∧ ~q ] De las alternativas se obtiene: i: • p∧~q // Tienen los cetáceos cráneo y no son vertebrados. • ~p∧~q // ni son vertebrados ni tiene cráneo • (p ∧ ~ q ) ∨ ( ~ p ∧ ~ q ) // ......, a menos que, ...... ii: • (p ∨ ~ q ) // Tienen cráneo o no son vertebrados • (q∨~p) // son vertebrados o no tiene cráneo. • (p ∨ ~ q ) ∧ ( q ∨ ~ p ) // ...... , así como, ....... iii: • (p q) // Si tiene cráneo, son vertebrados • (q p) // si son vertebrados, tienen cráneo. • (p q)∧(q p) // ......; tal como; ...... iv: • ( q ∨ ~p ) // Los cetáceos son vertebrados o no tienen cráneo • p ∨ ~q ) // tienen cráneo o no son vertebrados. • ( q ∨ ~p ) ∧ ( p ∨ ~q ) // ...... , así como, .......Centro Pre Universitario 46
  • 47. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica v: • q∧~p // Los cetáceos son vertebrados y no tiene cráneo. Respuesta: b) ii, iii, v7.2. EJERCICIOS PROPUESTOS1. El enunciado “Pablo no es rico pero es feliz”. Se simboliza: a) Es falso que, Pablo es rico o no es feliz b) Pablo ni es rico ni feliz c) Es incorrecto que si pablo es rico, es infeliz d) Pablo es rico o feliz e) N.A.2. Sean las proposiciones: p: Los astronautas son seres normales q: Los científicos son seres normales Dado el esquema: (p ∧ q) ∨ ~ p. Su equivalencia es: a) Es falso que los científicos son seres normales, excepto que los astronautas son seres normales. b) Los científicos son seres normales a no ser que los astronautas no son seres normales. c) Es falso que los científicos no son seres normales. d) No sólo los científicos son seres normales también los astronautas son seres normales. e) N.A.3. Que se concluye de: “ Si practicas pesas, estás en forma. Si estas en forma, las chicas te miran”. a) No es el caso que practique deporte y las chicas te miren b) No es cierto que estés en forma o las chicas te miren c) Las chicas te miran y no practicas pesas d) No practicas pesas o las chicas te miran e) N.A.Centro Pre Universitario 47
  • 48. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica4. Dado el esquema molecular: (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (q ∧ r) ∨ (q ∧ s) es equivalente a: a) Carmela recibió la carta también tomó el bus. O también recibió el pedido salvo que ofrezca el brindis b) Carmela recibió la carta o también tomó el bus. Del mismo modo recibió el pedido salvo que ofrecerá el brindis. c) Carmela recibió la carta al mismo tiempo recibió el pedido, salvo que, Carmela tomó el bus al igual que ofrecerá el brindis. d) Carmela recibió la carta excepto que recibió el pedido. Tal como, Carmela tomó el bus a no ser que ella ofrecerá el brindis. e) N.A.5. La negación de la proposición: “Juan no viajó a Europa porque perdió sus documentos” equivale a: i. Es falso que Juan no perdió sus documentos o Juan no viajó a Europa ii. Juan perdió sus documentos y viajó a Europa. iii. Es mentira que si Juan viajó, entonces no perdió sus documento iv. Juan viajó y perdió sus documentos. v. Es absurdo que Juan no viajó, a menos que no perdió sus documentos. Son ciertas: a) i, ii, iii b) iii, iv, v c) i, ii, v d) i, ii e) Todas6. El enunciado: “Sandra ni es profesora ni es economista” equivale a: a) Es falso que Sandra sea profesora así como también economista. b) Sandra es economista o profesora c) Es incorrecto que Sandra fuera economista será profesora. d) Es falso que al no ser Sandra profesora deducimos que será economista. e) Si Sandra es economista, será profesora.7. Si la siguiente proposición es falsa: “Si el viaje es muy largo entonces Luis maneja con cuidado, o bien la carretera no está bien asfaltada o Luis maneja con cuidado; pero la carretera no está bien asfaltada. Por tanto el viaje no es muy largo.” Se puede afirmar: a) Luis maneja con cuidado y la carretera no está bien asfaltada. b) El viaje no es muy largo y Luis maneja con cuidado. c) El viaje es muy largo.Centro Pre Universitario 48
  • 49. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica d) La carretera está bien asfaltada. e) El viaje no es muy largo pero la carretera esta bien asfaltada.8. La proposición “Es inadmisible que el metabolismo se dé por catabolismo y anabolismo” equivale a: i. Metabolismo se da por catabolismo entones no se da por anabolismo. ii.Es absurdo que el metabolismo se da por anabolismo también por catabolismo. iii. El metabolismo se da por catabolismo y anabolismo. iv.Es falso que, si el metabolismo no se da por catabolismo, luego no se da por anabolismo. v. El metabolismo no se da por catabolismo o no se da por anabolismo. Son ciertas: a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) iii, iv, v d) i, iv, v e) i, ii, v.9. La negación de la proposición: “Benito no viajo a Europa porque perdió sus documentos” equivale a: i. Es falso que Benito no perdió sus documentos o Benito no viajo a Europa. ii. Benito perdió sus documentos y viajo a Europa. iii. Es mentira que si Benito viajó, entonces no perdió sus documentos iv. Benito viajó y perdió sus documentos. v. Es absurdo que Benito no viajó, a menos que no perdió sus documentos. Son ciertas: a) i, ii, iii b) iii, iv, v c) i, ii, v d) i, ii e) todas10. El enunciado “Si has estudiado, entonces pasarás de ciclo y no pagarás por segunda matricula”. Es equivalente a: a) Has estudiado entonces pasarás de ciclo excepto que has estudiado y no pagarás por segunda matricula. b) Siempre que has estudiado por consiguiente pasarás de ciclo, al mismo tiempo, toda vez que has estudiado en consecuencia no pagarás por segunda matricula. c) Sólo si has estudiado, pasarás de ciclo y no pagaras segunda matricula. d) Si has estudiado no pasarás de ciclo y pagarás por segunda matricula. e) N.A.Centro Pre Universitario 49
  • 50. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica11. Luis está de viaje. Pero Ricardo tiene fiebre o también está agripado: a) Luis está de viaje o Ricardo tiene fiebre. Pero Luis está de viaje salvo que Ricardo está agripado. b) Luis esta de viaje sin embargo Ricardo tiene fiebre. A menos que Luis está de viaje aunque Ricardo esta agripado. c) Luis esta de viaje así como Ricardo tiene fiebre. A menos que Luis está de viaje y Ricardo no está agripado d) No solo Luis está de viaje también Ricardo está agripado. A menos que, Luis está de viaje y Ricardo tiene fiebre. e) N.A.12. El enunciado: “La señal de corriente alterna es sinusoidal del mismo modo que la señal digital es cuadrada” equivale a: i. La señal digital es cuadrada aunque de la corriente alterna es sinusoidal. ii. Es absurdo que la señal de corriente alterna no es cuadrada. iii. Es falso que la señal de corriente alterna sea sinusoidal implica que la señal no sea cuadrada. iv. La señal digital es cuadrada implica que la señal alterna sea sinusoidal. Son ciertas: a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) i, iv, v d) Todas e) N.A.Centro Pre Universitario 50
  • 51. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaVIII.LÓGICA CUANTIFICACIONAL8.1. CUANTIFICADORES LÓGICOS Una VariableTambién llamados Cuantores son los símbolos que determinan la cantidad de unaproposición categórica y son de dos tipos: Cuantificador Universal: ∀ x Cuantificador Existencial: ∃ x (Universalizador o generalizador) (Particulazador o existencializador)• Para todo x • Existe x• Para cada x • Algunos x• Para cualquier x • Exista al menos un x• Cualquiera que sea x • Tantos, ciertos, muchos x• Sean todos los x • Existe por lo menos un x• Para cada una de las x. • Pocos, muchos x • Hay al menos un x que.EQUIVALENCIAS LOGICASEquivalencias entre cuantificadores con un predicado (una variable).• ~ (∀x(Px)) ≡ ∃ x(~Px)• ~ (∃x(Px)) ≡ ∀x(~Px)• ∃x(Px) ≡ ~[∀x(~Px)]• ~(∃x(~Px)) ≡ ∀x(Px)8.2. EJERCICIOS RESUELTOS (Una Variable)1. Hallar los valores de verdad de las negaciones de las proposiciones siguientes: p: ∀ x ∈ N: x² > x q: ∀ x ∈ Z: x + 1 > x r: ∃ x ∈ R: x² = x a) FFF b) FVF c) FVV d) VFF e) VVFCentro Pre Universitario 51
  • 52. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Del enunciado se tiene: p: ∀ x ∈ N: x² > x q. ∀ x ∈ Z: x + 1 > x ~p : ~ [ ∀ x ∈ N: x² > x ] ~q . ~ [ ∀ x ∈ Z: x + 1 > x ] ~p : ∃ x ∈ N: ~( x² > x ) ~q . ∃ x ∈ Z: ~( x + 1 > x ) ~p : ∃ x ∈ N: x² ≤ x ~q . ∃ x ∈ Z: x + 1 ≤ x x = 1 ∈ N ⇒ 1² ≤ 1 x = -5 ∈ Z: -5 + 1 ≤ -5 V - 4 ≤ -5 F r: ∃ x ∈ R: x² = x ~ r : ~ [ ∃ x ∈ R: x² = x ] ~ r : ∀ x ∈ R: ~( x² = x) ~ r : ∀ x ∈ R: x² ≠ x x = 1 ∈ R ⇒ 1² ≠ 1 F Respuesta: d) VFF2. Dadas las proposiciones: p: ~ { ∀ x ∈ Q, x + 2 > 0} q: ∃ x ∈ N: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 r: ∀ x ∈ Z, x/x = 1 Hallar el valor de verdad de: (p ∧ q) r a) F b) V c) Tautología d) Contradicción e) V ó F Del enunciado se tiene: p: ~ { ∀ x ∈ Q, x + 2 > 0} q: ∃ x ∈ N: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 ∃ x ∈ Q, ~ (x + 2 > 0) ∃ x ∈ Q, x + 2 ≤ 0 x=2: 32 + 32 + 1 + 32 + 2 = 117 32 + 33 + 34 = 117 x = - 4/2 ∈ Q (- 4/2) + 2 ≤ 0 9 + 27 + 81 = 117 -2+2≤0 117 = 117 V V r: ∀ x ∈ Z, x/x = 1 (p ∧ q) r (V ∧ V) F x = 0 ∈ Z x / x = 1 (Indeterminado) F F Respuesta: a) FCentro Pre Universitario 52
  • 53. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica3. Si “p Θ q” sólo es verdadero cuando p y q son ambos falsos. Hallar el valor de verdad de: ( ~ p Θ q) Θ (q Θ ~ r) si: p: 2 es número impar q: ∀ x ∈ A = {1, 2, 3}, x + 1 > 1 r: ∃ x ∈ B = {2, 4, 6}, x² = 9 a) F b) V c) V ó F d) No se Puede Determinar e) N.A. Del enunciado se tiene: p: 2 es número impar q: ∀ x ∈ A = {1, 2, 3}, x + 1 > 1 F ∀ x ∈ A = {1, 2, 3}, x > 0 V r: ∃ x ∈ B = {2, 4, 6}, x² = 9 (~ p Θ q) Θ (q Θ ~ r) ∃ x ∈ B = {2, 4, 6}, x = ± 3 (~ F Θ V) Θ (V Θ ~ F) F (V Θ V) Θ (V Θ V) (F) Θ (F) V Respuesta: b) V4. Hallar el valor de verdad de: i. (∀x ∈ R, | x |= x) ∧ (∃ x ∈ R, x+1>x) ii. ~∃ x ∈ R, x² ≠ x iii. ~[∀x ∈ N, | x | ≠ 0]. a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) N.A. Del enunciado se tiene: i. (∀x ∈ R, | x | = x) ∧ (∃x∈ R, x+1 > x) ii. ~ ∃ x ∈ R, x2 ≠ x x = -3 ∈ R [ | -3 | = 3 ] ∧ [ -3 + 1 > -3 ] x=1 1² ≠ 1 [ | -3 | = 3 ] ∧ [ -2 > -3 ] F F ∧ V F iii. ~ [∀x ∈ N, | x | ≠ 0]. ∃ x ∈ N, ~ [ | x | ≠ 0]. ∃ x ∈ N, | x | = 0]. x = 0∈ N |0|=0 0 =0 V Respuesta: c) FFVCentro Pre Universitario 53
  • 54. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica5. Sean las proposiciones: p: {∀x∈Q / 1 + x > 0} 2 q: { ∃ x ∈I / x + 0 = π} r: { ∀x∈R / x² + 1 = 0} Hallar el valor de: [(p q) ∧ r ] ↔ ~q a) F b) V c) Tautología d) Contradicción e) V ó F Del enunciado se tiene: p: {∀x∈Q / 1 + x > 0} q: { ∃ x ∈I / x + 0 = π} 2 ∀x ∈ Q / x > − 1 x=π∈I π+0=π 2 V x = -1/5 ∈ Q − 1 >−1 5 2 1 < 1 5 2 F r: { ∀x∈R / x² + 1 = 0} [ (p q) ∧ r ] ↔ ~q ∀x ∈ R / x² = -1 [ (F V) ∧ F ] ↔ ~V [V ∧F]↔F x = 5∈ R 5² = -1 [ F ]↔F F V8.3. EJERCICIOS PROPUESTOS (Una Variable)1. Sí: A = {0, 2, 4, 6, 8} indicar el valor de verdad de: i. ∀ x ∈ A: x + 3 < 12 ii. ∃ x ∈ A: x + 3 < 12 x iii. ∀ x ∈ A: x + 1 > 0 a) FFF b) FVF c) FFV d) VVF e) VFV2. Dado A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} señalar el valor de verdad de: i. ∀ n ∈ A : n² ≤ 40 ii. ∃ m ∈ A : m² > 40Centro Pre Universitario 54
  • 55. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica iii. ∃ n ∈ A : n² ≤ 25 a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) VFV3. Si A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p: ∀ x ∈ A, x+3>2 ∧ x+1<7 q: ∃ x ∈ A: x+1=5 x~2=1 r: ∀ x ∈ A: x+2>0 a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) VFV4. Sí : P(n): n ∈ N: n² = n Q(x): 2x + 1 > 8; A = {1, 2, 3, 4} Hallar el valor de verdad de: [∀ n P(n)] ∨ [∃ x Q(x)] [∃n P(n)] ∨ [∀x Q(x)] a) F b) V c) V ó F d) No se Puede Determinar e) N.A.5. Hallar el valor de verdad de en A = {1,2,3} i. ~ [∃x / x² = 4] ii. ~ [∀x / x + 1>3 ] iii. ~ [∀x / x + 2 = 5] a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) N.A6. ¿Cuál es el valor de verdad de las siguientes proposiciones? i. x ∈ A: x ≤ 3 ∧ x > 4 ii. ∃ x ∈ A: x + 2 < 8 x - 1 > 5 iii. ∃ x ∈ A: x ≤ 3 ∧ x ≥ 2 Donde A = { 1, 2, 3, 4 } a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) VFV7. Sean las proposiciones: P: ∃ x ∈ Z: (4x + 2) (3x - 7) = 0 Q: ∃ x ∈ Z: (x2 ≥ 2) ∨ (x -1) < 0Centro Pre Universitario 55
  • 56. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica R: ∃ x ∈ Z: (4x + 2) (3x – 7) = 0 Los valores de verdad son: a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) VFV8.4. CUANTIFICADORES LÓGICOS: Dos VariablesUna Proposición de dos variables es de la forma: P(x, y) en el cual existen 8posibilidades de determinar:• ∀x ∀y [P(x, y)]• ∀y ∀x [P(x, y)]• ∃x ∃y [P(x, y)]• ∃y ∃x [P(x, y)]• ∃x ∀y [P(x, y)]• ∃y ∀x [P(x, y)]• ∀x ∃y [P(x, y)]• ∀y ∃x [P(x, y)];EQUIVALENCIAS LOGICASEquivalencias entre cuantificadores con dos predicados (dos variable).• ∀x ∀y [P(x, y)] ≡ ∀y ∀x [P(x, y)]• ∃x ∃y [P(x, y)] ≡ ∃y ∃x [P(x, y)]• ~ {∀x ∀y [P(x, y)]} ≡ ∃x ∃y ~[P(x, y)]• ~ {∀x ∃y [P(x, y)]} ≡ ∃x ∀y ~[P(x, y)]• ~ {∃x ∃y [P(x, y)]} ≡ ∀x ∀y ~[P(x, y)]8.5. EJERCICIOS RESUELTOS (Dos Variables)1. Si A = { 1, 2, 3} Determinar el valor de verdad de: i. ∃x, ∃y: x² < y +1 ii. ∀x, ∀y: x² + y² < 12 iii. ∀x, ∃y: x² + y²< 12 a) FFV b) FFF c) VVF d) VFV e) FVFCentro Pre Universitario 56
  • 57. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Del enunciado se tiene: i. ∃x, ∃y: x² < y +1 ii. ∀x, ∀y: x² + y² < 12 x = 1; y = 2 1² < 2 +1 x = 2; y = 3 2² + 3² < 12 1<3 4 + 9 < 12 V F iii. ∀x, ∃y: x² + y²< 12 y=1 x² + 1² < 12 x² < 11 V Respuesta: d) VFV2. En los números reales, señalar el valor de verdad de: i. ∀x, ∀y [(x + y)² = x²+ y²] ii. ∀x, ∃y [(x + y)² = x² + y²] iii. ∀x, ∃y { xy = 0} a) FFV b) FFF c) VVF d) VVV e) FVV Del enunciado se tiene: i. ∀x, ∀y [(x + y)² = x²+ y²] ii. ∀x, ∃y [(x + y)² = x² + y²] x = 1; y = 2 [ (1 + 2)² = 1²+ 2² ] y=0 [ (x + 0)² = x² + 0² ] 9 = 1+ 4 x² = x² F V iii. ∀x, ∃y { xy = 0} y=0 x.0 = 0 0 =0 V Respuesta: e) FVV3. En los números reales señalar el valor de verdad de: i. ∀x, ∃y { y ≤ 2x} ii. ∀y, ∃x { y ≤ 2x} a) FV b) FF c) VF d) VV e) N.A.Centro Pre Universitario 57
  • 58. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Del enunciado se tiene: i. ∀x, ∃y { y ≤ 2x} ii. ∀y, ∃x { y ≤ 2x} y=0 0 ≤ 2x x=0 y ≤ 20 V y≤1 F Respuesta: c) VF4. Sea A = {0, 2, 4, 6, 8}. Indicar el valor de verdad de: i. ∀x, ∃y: x ≥ y ii. ∃y, ∃x: x² + y² < 9 iii. ∀x, ∀y: x² + y² > 128 a) FFV b) FFF c) VVF d) VVV e) FVF Del enunciado se tiene: i. ∀x, ∃y: x ≥ y ii. ∃y, ∃x: x² + y² < 9 y=0 x≥0 x = 0; y = 2 0² + 2² < 9 V 4 < 9 V iii. ∀x, ∀y: x² + y² > 128 x = 0; y = 2 0² + 2² > 128 4 > 128 F Respuesta: c) VVF5. Sean: A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 4, 5, 8} Determinar el valor de verdad de: i. ∀x ∈ B, ∃ y ∈ A: x - y ∈ A ii. ∃ x, y ∈ A: x + y > z, ∀z ∈ B a) FV b) FF c) VF d) VV e) N.A. Del enunciado se tiene: i. ∀x ∈ B, ∃ y ∈ A: x - y ∈ A ii. ∃ x, y ∈ A: x + y > z, ∀z ∈ B y = 1; x = 8 8-1∈A x = 4; y = 3 4 + 3 > z, ∀z ∈ B 7 ∈A 7 > z, ∀z ∈ B F F Respuesta: b) FFCentro Pre Universitario 58
  • 59. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica8.6. EJERCICIOS PROPUESTOS (Dos Variables)1. Si x, y pueden ser cualquiera de los números 1 y 2, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i. ∃x, ∀y: x ≤ y +2 ii. ∀x, ∃y: x + y < 5 iii. ∀x, ∀y: x² + y² ≤ 5. a) FFV b) VFF c) VVF d) VVV e) FVF2. Sí: P(x, y): x2 + y > 5. Determinar el valor de verdad de: i. ∀x, ∀y : x²+ y > 5 ii. ∀x, ∃y : x²+ y > 5 iii. ∃x, ∀y : x²+ y > 5 iv. ∃x, ∃y : x²+ y > 5 Cuando: x ∈ { 2, 3, 6, 7, 8}; y ∈ { -1, -2, -3} a) FFVV b) FFFV c) VVFF d) VVVF e) VFVF3. Sea A = { 1, 2, 3 }. Determinar el valor de verdad de: i. ∀x, ∀y: x²+ 3y < 12 ii. ∀x, ∃y: x² + 3y < 12 iii. ∃x, ∀y: x² + 3y < 12 iv. ∃x, ∃y: x² + 3y < 12 a) FFVV b) FFFV c) VVFF d) VVVF e) VFVF4. Sí: M = {1, 2, 3, 4, 5}. Determinar el valor de verdad de: i. ∃x, ∃y : x + y < 7 ii. ∀x, ∃y: x + y > 7 iii. ∃x, ∀y x + y ≤ 8 iv. ∃x: x + 3 > 6 a) FFVV b) VFFV c) VVFF d) VVVF e) N.A.Centro Pre Universitario 59
  • 60. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica5. Señalar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i. ∀x ∈ N, ∃y ∈ R: x +1 > y > x ii. ∃x ∈ N, ∀y ∈ R: y² > x > (y ~ 1)² iii. ∀x ∈ N, ∃y ∈ R: x ≤ (y ~ 1)² iv. ∀x ∈ N, ∃y ∈ R: y + 1 ≤ x a) FFVV b) FFFV c) VVFF d) VVVF e) VFVF6. En los números reales indicar la verdad o falsedad de: i. ∀x, ∀y: (-x)(-y) = xy xy > 0 ii. ∃x: (-1)x = 0 iii. ∀x: x2/x = x a) FFV b) FFF c) VVF d) VVV e) FVF7. Dado M = {1, 2, 3, 4, 5}. Determinar el valor de verdad de: i. ∃x: x+3<7 ii. ∀x, ∃y: x+y<7 iii. ∃x: x+3≤8 iv. ∃x: x+3>6 a) FFVV b) FFFV c) VVFF d) VVVF e) VFVF8. Sean: A = { -2, -1, 0, 1, 2}, B = { -1, 0, 1} determinar el valor de verdad de: i. ∀x ∈ A, ∀y ∈ B: 4x2 + y2 ≤ 17 ii. ∀x ∈ A, ∃y ∈ B: 1 - x2/4 ≤ y + 1 < 2. a) FV b) FF c) VV d) VF e) N.A.9. Sea A = { 0, 1, 2 }, determinar el valor de verdad de: i. ∀x ∈ A, ∀y ∈ A; y2 ≤ 4(x + 1) ii. ∃x ∈ A, ∀y ∈ A; (x -1)2 ≤ y a) FV b) FF c) VV d) VF e) N.A.Centro Pre Universitario 60
  • 61. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaIX.CUANTIFICADORES - FORMALIZACIÓN DE PREDICADOS9.1. FORMAS TÍPICAS DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICASLa lógica cuantificacional, predicativa o de los términos (clases o conjuntos) es aquellaque permite hacer un análisis más profundo, refinado y riguroso que la lógicaproposicional. La razón básica es que esta lógica permite el análisis de la Cantidad yCualidad de las proposiciones llamadas categóricas. Proposicion Forma Lingüística Formalización Lógica Categoría Todos los S Universal Afirmativo ∀x (Sx Px) Son P Ningún S Universal Negativo ∀x (Sx ~Px) Es P Participativo Afirmativo Algún S ∃x (Sx ∧Px) Es P Algun S Participativo Negativo ∃x (Sx ∧~Px) No es P9.2. INFERENCIAS INMEDIATAS 1 Variable 2 Variables ∀x ( Sx ) ∀x (Sx Px) ~ ∃x (~Sx) ~ ∃x (Sx ∧ ~Px) ∃x (~Sx) ∃x (Sx ∧~Px) ~ ∀x (Sx) ~ ∀x (Sx Px) ∀x (~Sx) ∀x (Sx ~Px) ~ ∃x (Sx) ~ ∃x (Sx ∧ Px) ∃x (Sx) ∃x (Sx ∧Px) ~ ∀x (~Sx) ~ ∀x (Sx ~Px)9.3. EJERCICIOS RESUELTOS1. El enunciado: “Existe al menos una cosa que es bella”, se formaliza: a) ∀x (Bx) b) ∃x (Bx) c) Bx d) ~ ∀x (Bx) e) N.A.Centro Pre Universitario 61
  • 62. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Del enunciado se procede a construir la formalizacion: • ∃x // Existe al menos una cosa • (Bx) // Es bella Por lo que la formalizacion es: ∃x (Bx) Respuesta: b) ∃x (Bx)2. El enunciado: “Todo no es terrestre”, se formaliza: a) ∀x ~(Tx) b) ~∃x (Tx) c) Tx d) ~ ∀x (Tx) e) ~∃x ~(Tx) Del enunciado se procede a construir la formalizacion: • ∀x // Todo • ~( Tx ) // Todo no es terrestre Por lo que la formalizacion es: ∀x ~ ( Tx ) Respuesta: a) ∀x ~ ( Tx )3. La formula: ∃x (~ Ax), se traduce: a) Cada uno no es lógico b) Es verdad que muchos no son no lógicos c) Varios no son lógicos d) Todas e) N.A. De las alternativas definimos Ax : Es Lógico a) Cada uno no es lógico: ∀x ~ Ax b)Es verdad que muchos no son no lógicos: ∃x ~~ Ax ≡ ∃x Ax c) Varios no son lógicos: ∃x ~ Ax Respuesta: c) Varios no son lógicosCentro Pre Universitario 62
  • 63. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaDOS PREDICADOS4. El enunciado: “Es falso que todo argentino sea sudamericano” es equivalente a: a) Todo argentino es sudamericano b) Todo argentino no es sudamericano c) Ningún argentino es sudamericano d) Algunos argentinos no son sudamericanos e) N.A. Del enunciado definimos: Ax : Es argentino Sx : Es sudamericano Construimos el enunciado: • ∀x ( Ax Sx ) // Todo argentino es sudamericano • ~ [∀x ( Ax Sx ) ] // Es falso que .... Simplificando: ~ [∀x ( Ax Sx ) ] ∃x ~ ( ~ Ax ∨ Sx ) ∃x (Ax ∧ ~ Sx ) Traduciendo a un nuevo enunciado seria : “Existen algunos argentinos que no son sudamericanos”. Respuesta: d) Algunos argentinos no son sudamericanos5. El enunciado: “Ningún arácnido es vertebrado”, es equivalente a: a) Todo animal es arácnido a menos que sea vertebrado b) Para todo animal no es arácnido a menos que no sea vertebrado c) Es falso que algunos vertebrados no sean arácnidos. d) Todo vertebrado es arácnido e) N.A. Del enunciado definimos: Ax : Es aracnido Vx : Es vertebrado Construimos el enunciado: • ∀x ( Ax ~Vx ) // Ningún arácnido es vertebrado Simplificando: ∀x ( Ax ~Vx ) ∀x ( ~ Ax ∨ ~Vx )Centro Pre Universitario 63
  • 64. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica De las alternativas tenemos: a) Todo animal es arácnido a menos que sea vertebrado ∀x ( Ax ∨ Vx ) b) Para todo animal no es arácnido a menos que no sea vertebrado ∀x ( ~Ax ∨ ~Vx ) c) Es falso que algunos vertebrados no sean arácnidos. ~ [∃x ( Vx ∧ ~Ax ) ] ≡ ∀x ~ ( Vx ∧ ~Ax ) ∀x ( ~ Vx ∨ Ax ) d) Todo vertebrado es arácnido ∀x ( Vx → Ax ) ≡ ∀x ( ~ Vx ∨ Ax ) Respuesta: b) Para todo animal no es arácnido a menos que no sea vertebrado6. Identificar la proposición categórica equivalente a: “Todo desleal es infiel” a) Algún desleal no es fiel b) Ningún fiel es leal c) Algún fiel es desleal d) Ningún desleal es fiel e) N.A. Del enunciado definimos: Lx : Es leal Fx : Es fiel Construimos el enunciado: • ∀x ( ~ Lx ~Fx ) // Todo desleal es infiel De las alternativas tenemos: a) Algún desleal no es fiel ∃x ( ~Lx ∧ ~Fx ) b) Ningún fiel es leal ∀x ( Fx → ~Lx ) c) Algún fiel es desleal ∃x ( Fx ∧ ~Lx ) d) Ningún desleal es fiel ∀x ( ~Lx → ~ Fx )Centro Pre Universitario 64
  • 65. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Respuesta: d) Ningún desleal es fiel9.4. EJERCICIOS PROPUESTOS1. El enunciado: “Dada cualquier x éste es un mamífero”, se formaliza: a) ∀x (Mx) b) ∃x (Mx) c) Mx d) ~ ∀x (Mx) e) N.A.2. El enunciado: “No todo x es oro”, se formaliza: a) ∀x (Ox) b) ∃x (Ox) c) Ox d) ~ ∀x (Ox) e) N.A.3. El enunciado: “No existe dinero”, se formaliza: a) ∀x (Dx) b) ~∃x (Dx) c) Dx d) ~ ∀x (Dx) e) N.A.4. El enunciado: “algunos no son felices”, se formaliza: a) ∀x ~(Fx) b) ∃x (~Fx) c) Fx d) ~ ∀x (Fx) e) ~∃x (~Fx)5. En un universo finito; “Existen profesionales” equivale decir: a) Patricia es profesional o julia es profesional b) A menos que Juan es profesional, Ricardo también es profesional c) Carmen profesional o a la vez Teresa también lo sea d) Todas a) N.A.6. El enunciado: “Todos los profesores son queridos”, se formaliza: a) ∀x (Px Qx) b) ∃x (Px Qx) c) ∀x Px d) ∀x (Mx ∧ Px) e) N.A.7. El enunciado: “No todo lo que brilla es oro”, se formaliza: a) ∀x (Bx Qx) b) ∃x (Px ∧ ~ Qx) c) ∀x Bx d) ∀x (Bx ∧ Ox) e) N.A.Centro Pre Universitario 65
  • 66. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica8. El enunciado: “Algunos niños son infelices”, se formaliza: a) ∀x (Nx Fx) b) ∃x (Nx ∧ ~ Fx) c) ∀x ( ~Nx Fx) d) ∃x (~Nx ∧ Hx) e) N.A.9. El enunciado: “Todo pez es acuático”, se formaliza: a) ∀x (~Ax ~Px) b) ∃x (Px ∧ ~ Ax) c) ∀x (Ax ∧ Px) d) ∃x (~Ax ∧ Px) e) N.A.10. La formula: ∀x ( ~Ax ∨ Bx ), se traduce: i. Cualquiera, a menos que no estudie, ingresará a la UNJBG. ii. Alguien no estudia o ingresa a la UNJBG. iii. Cada uno no estudia excepto que a la UNJBG ingrese a) i, ii b) i, iii c) ii, iii d) Todas e) N.A.11. La formula: ∃x (Ax ∧ ~ Bx), se traduce: a) Varios mamíferos no tienen onda acústica. b) Existe siquiera uno que no es periodista c) Cada uno de los obreros jamás es empresario. d) Todas e) e) N.A.12. El enunciado: “Al menos un esquimal es friolento”, es igual a: a) ∀x (Ax ~ Bx) b) ~ ∀x (Bx Ax) c) ~ [∀x (Bx ~ Ax)] d) ∃x (Ax ∧ ~ Bx) e) N.A.13. De las premisas: “Todos los cetáceos son acuáticos”. Equivale a: i. Es falso que algunos animales no acuáticos sean cetáceos ii. Es falso que algunos cetáceos no sean acuáticos iii. Ningún animal si no es acuático entonces es cetáceo. iv. Todos no son cetáceos o son acuáticos v. Todos son acuáticos o no son cetáceos. Son correctas: a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) iii, iv, v d) Todas e) N.A.Centro Pre Universitario 66
  • 67. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica14. ¿ Cuáles son equivalentes ? i. ∃x ( ~ Ax ∧ Bx) ii. ~ [∀x (Ax ∨ ~Bx)] iii. ~ [∀x (Bx Ax)] a) Todas b) i, iii c) i, ii d) ii, iii e) N.A.15. Si un señor afirma: que todos lo chips son hechos en Japón y yo estuviera en desacuerdo, para defender mi posición bastaría con: a) Mostrar un chip no hecho en Japón. b) Mostrar varios chips hechos en Japón. c) Probar que no existen chips en Japón. d) Probar que en Japón no fabrican chips. e) Probar que el señor no sabe de chips.16. El enunciado: “Los embajadores siempre reciben honores”, se formaliza: a) ∀x (Ex Hx) b) ∃x (Ex ∧ ~ Hx) c) ∀x (Ex ~ Hx) d) ∀x (Ex ∧ Hx) e) N.A.17. El enunciado: “Algunos políticos son honestos” equivale a: a) Ningún político es honesto b) Es falso que ningún político es honesto c) Todo político es honesto d) Algunas personas honestas no son políticas e) N.A.18. La proposición: “Hubo varios pueblos primitivos en África que fueron antropófagos”, equivale a: a) ∀x (Ax Bx) b) ~ ∀x (Bx Ax) c) ~ [∀x ( ~Ax ∨ ~Bx )] d) ∀x (Ax ∧ Bx) e)N.A.19. El enunciado “Todas las proteínas son compuestos orgánicos” equivale: i. Todos los que no son proteínas o son compuestos orgánicos ii. Es absurdo que algunos que no son compuestos orgánicos sean proteínas . iii. Ninguno que no es compuesto orgánico es proteína iv. Ninguna proteína es compuesto orgánicoCentro Pre Universitario 67
  • 68. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica v. Es falso que algunas proteínas sean compuesto orgánicos. Son ciertas: a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) iii, iv d) i, iii, v e) i, iv, vCentro Pre Universitario 68
  • 69. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaX.INFERENCIA LÓGICA10.1. LA INFERENCIAEs una estructura de proposiciones donde a partir de un o más proposiciones llamadaspremisas, se obtiene otras proposiciones llamada conclusión. La inferencia expresada enlenguaje natural es un argumento. Cuando el argumento se forma por dos o máspremisas, éstas van unidas por el conectivo conjuntivo (∧) y la conclusión a su vez vaprecedida por el conectivo condicional ( ).La inferencia es válida, cuando de la conjunción de premisas verdaderas se deriva suconclusión necesariamente también verdadera. Una inferencia es válida si las premisasimplican lógicamente la conclusión. Las inferencias lógicas se rigen por principios otautologías. Inferencia: Premisas ConclusiónAnalizar la validez o invalidez lógica de la inferencia es la tarea primordial de la lógica.Un argumento es la proposición que se forma al unir mediante una condicional, laconjunción de las premisas y la conclusión. P1 ∧ P2 ∧ .... ∧ Pn CAl analizar una inferencia para determinar su validez, se determina el esquema al cualpertenece el argumento. Si el esquema es tautológico, la inferencia es válida; si resultacontradictorio o inconsistente, la inferencia es inválida.10.2. EJERCICIOS RESUELTOS1. Determinar la validez de: [(~ p ∨ q) ∧ ~q ] ~p a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A. Se puede validar el enunciado a traves de la leyes logicas o una tabla de verdad: Leyes: [(~ p ∨ q) ∧ ~q ] ~ p Tabla de Verdad ~ [(~ p ∨ q) ∧ ~q ] ∨ ~ p p q [(~ p ∨ q) ∧ ~q ] ~p ~ [ ~ p ∧ ~q ] ∨ ~ p V V F V V F F V F (p∨q)∨~p V F F F F F V V F ( p ∨ ~p ) ∨ q F V V V V F F V V V F F V V F V V V VCentro Pre Universitario 69
  • 70. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica A traves de la simplificación logica se obtiene V (Valor Verdadero) y a traves del uso de una tabla de verdad se obtiene Tautologia (Todos los valores verdaderos), esto indica que el enunciado se considera valido. Respuesta: a) V2. Determinar la validez de: r ~t s s r ~t a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A. Primeramente se debe llevar el enunciado [ ( r ~t)∧(s)∧(s r)] (~t) a una estructura logica conocida: Se puede aplicar el metodo de la simplificacion logica o latabla deverdad para determinar la validez del enunciado. Simplificando el enunciado: [(r ~t)∧(s)∧(s r)] (~t) ~[(r ~t)∧(s)∧(s r)]∨(~t) ~ [ (~ r ∨ ~ t ) ∧ s ∧ ( ~ s ∨ r ) ] ∨ ( ~ t ) [(r∧t)∨~s∨(s∧~r)]∨(~t) [(r∧t)∨(~s∨~r)]∨(~t) [(r∧t)∨~t]∨(~s∨~r) [r∨~t]∨(~s∨~r) r∨~t∨ ~s∨~r r∨~r∨~t∨ ~s V∨~t∨ ~s V Respuesta: a) V3. Determinar la validez de: “Si hoy no llueve, entonces Carlos va a la playa. Carlos no va a la playa. Entonces no llueve” a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A. Del enunciado se define: p : Hoy llueve q : Carlos va a la playa Construimos el enunciado: • ~p q // Si hoy no llueve, entonces Carlos va a la playaCentro Pre Universitario 70
  • 71. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica • ~q // Carlos no va a la playa • ~p // Entonces no llueve Llevar el enunciado a una forma logica conocida: [(~p q)∧~q] ~p Simplificando el enunciado: [(~p q)∧~q] ~p ~[(~p q)∧~q]∨~p ~[(p∨q)∧~q]∨~p ~[~p∨q]∨~p [p∧~q]∨~p ~q∨~p El resultado del enunciado dependera de los valores que adopte p y q, entonces se determina que el enunciado es no valido. Respuesta: a) F4. Si ingresas serás ingeniero. Si no eres un gerente entonces no serás ingeniero. Se deduce: a) Si ingresas no eres ingeniero. b) Si ingresas serás gerente. c) Si eres gerente, entonces ingresaras. d) Si no ingresas, serás gerente. e) Si no eres ingeniero, eres gerente Del enunciado se define: p : Ingresas q : Seras ingeniero r : Eres gerente Construimos el enunciado: • p q // Si ingresas serás ingeniero • ~r ~q // Si no eres un gerente entonces no serás ingeniero. Aplicando leyes logicas se tiene: p q q r Se ve claramente que existen dos implicaciones. El segundo elemento q de la primera premisa es el primer elemento de la segunda premisa. Esto es suficiente para unir ambas en la forma: p r Por lo que el resultado se traduce como: “Si ingresas entonces seras gerente” Respuesta: b) Si ingresas serás gerente.Centro Pre Universitario 71
  • 72. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica5. Determinar la validez del siguiente argumento: Si estudio, entonces no me desaprueban en matemáticas. Si no voy a nadar, entonces estudio. Pero, me desaprobaron matemáticas. Por tanto: Me fui a nadar. a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A. Del enunciado se define: p : Estudio q : Desapruebo matemáticas r : Voy a nadar Construimos el enunciado: • p ~q // Si estudio, entonces no me desaprueban en matemáticas. • ~r p // Si no voy a nadar, entonces estudio • q // Pero, me desaprobaron matemáticas. • r // Por tanto: Me fui a nadar. Llevar el enunciado a una forma logica [(p ~q)∧(~r p)∧(q)] r conocida y simplificando: ~[(~p∨~q)∧(r∨p)∧(q)]∨r [ ( p ∧ q ) ∨ ( ~ r ∧ ~p ) ∨ ( ~q ) ] ∨ r ( p ∧ q ) ∨ ( ~ r ∧ ~p ) ∨ ( ~q ) ∨ r ( p ∧ q ) ∨ ~q ∨ ( ~ r ∧ ~p ) ∨ r ( p ∨ ~q ) ∨ ( ~p ∨ r ) p ∨ ~q ∨ ~p ∨ r p ∨ ~p ∨ ~q ∨ r ≡ V Respuesta: a) V6. Si la siguiente proposición es falsa: “Si él bebe, fuma, y si no bebe entonces no come; por lo tanto si no fuma, come” Es correcto afirmar: a) Bebe b) Fuma c) Come d) Fuma y no come e) No bebe o come Del enunciado se define: p : El bebe q : El Fuma r : El come Construimos el enunciado: • p q // Si él bebe, fuma • ~p ~r // Si no bebe entonces no come • ~q r // Por tanto: Si no fuma, comeCentro Pre Universitario 72
  • 73. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Llevar el enunciado a una forma [(p q)∧(~p ~r)] (~q r) logica conocida y simplificando: ~[(~p∨q)∧(p∨~r)]∨(q∨r) [ ( p ∧ ~q ) ∨ ( ~p ∧ r ) ] ∨ ( q ∨ r ) ( p ∧ ~q ) ∨ ( ~p ∧ r ) ∨ q ∨ r ( p ∧ ~q ) ∨ q ∨ ( ~p ∧ r ) ∨ r ( p ∨ q ) ∨ (r ) p∨q∨r Puesto que el enunciado es falso se tiene: p∨q∨r≡F De lo que se deduce que: p ≡ q ≡ r ≡ F De las alternativas se tiene: a) p ≡ F b) q ≡ F c) r ≡ F d) q∧~r ≡ F∧~F e) ~p∨r ≡ ~F∨F F∧V V∨F F V Respuesta: e) No bebe o come10.3. EJERCICIOS PROPUESTOS1. Determinar la validez de: [(~ p ∨ q) ∧ q ] ~p a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A.2. Determinar la validez de: [( p ∨ ~ q) ∧ q ] p a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A.3. Determinar la validez de: g h ~g f ~h f a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A.Centro Pre Universitario 73
  • 74. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica4. Determinar la validez de: Trabajo o apruebo matemáticas. Si trabajo no puedo estudiar. Apruebo matemáticas. Por lo tanto estudié. a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A.5. Determinar la validez del siguiente argumento: Si tiene luz propia, entonces el astro es una estrella. El astro no es una estrella Por lo tanto: No tiene luz propia. a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A.6. Determinar la validez de: p∧q ~p q ~q a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A.7. Determinar la validez del siguiente argumento: Si trabajo, no puedo estudiar Estudio o apruebo matemáticas Trabaje Por lo tanto: Trabajé a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A.8. Comprobar la validez del argumento: Si estudio o si soy un genio, entonces aprobaré el siguiente curso. No me permitirán tomar el siguiente curso. Si apruebo el curso, entonces me permitirán tomar el siguiente curso. Por tanto: No estudié. a) V b) F c) V ó F d) No se puede determinar e) N.A.Centro Pre Universitario 74
  • 75. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaXI.REGLAS DE INFERENCIA11.1. LEYES DE IMPLICACIÓN O REGLAS DE INFERENCIA:El objetivo es utilizar las reglas de inferencia de manera que conduzcan a otras formularque se denominan conclusiones. El paso lógico de las premisas a la conclusión que seobtiene se dice que es una consecuencia logica de las premisas si cada paso que se dapara llegar a la conclusión esta permitido por una regla. La idea de inferencia se puedeexpresar de manera siguiente: de premisas verdaderas se obtiene solo conclusiones queson verdaderas, es decir, si las premisas son verdaderas, entonces las conclusiones quese derivan de ellas lógicamente, han de ser verdaderas. Modus Ponendo Ponens (MMP): Modus Tollendo Tollens (MTT): Su forma simbólica es: A B Su forma simbólica es: A B A ~B B ~A Su forma implicativa es: Su forma implicativa es: [(A B) ∧ A] B [(A B) ∧ ~ A] ~ B Modus Tollendo Ponens (MTP): Silogismo Hipotetico (SH) Su forma simbólica es: A∨B Su forma simbólica es: A B ~A B C B A C Su forma implicativa es: Su forma implicativa es: [(A ∨ B) ∧ ~ A] B [(A B) ∧ ( B C)] A C Regla de la Simplificación: (S) Regla de la Conjunción (A) Su forma simbólica es: Su forma simbólica es: A A∧B A∧B B B A A∧B Su forma implicativa es: Su forma implicativa es: (A ∧ B) B; (A ∧ B) A (A ∧ B) (A ∧ B)Centro Pre Universitario 75
  • 76. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Regla de la adición: Regla del Silogismo Disyuntivo Su forma simbólica es: A Su forma simbólica es: A∨B A∨B A C B D Su forma implicativa es: C∨D A (A ∨ B) Su forma implicativa es: [(A∨B) ∧ (A C) ∧ (B D)] (C ∨ D) Regla de Expansion: Regla del Dilema Destructivo Su forma simbólica es: Su forma simbólica es: ~C ∨ ~D A B A C A (A ∧ B) B D ~A ∨ ~B Su forma implicativa es: ( A B ) [ A (A ∧ B) ] Su forma implicativa es: [(~C∨~D) ∧ (A C) ∧ (B D)] (~A∨~B) Regla de la adición: Regla del Silogismo Disyuntivo Su forma simbólica es: A Su forma simbólica es: A∨B A∨B A C B D Su forma implicativa es: C∨D A (A ∨ B) Su forma implicativa es: [(A∨B) ∧ (A C) ∧ (B D)] (C ∨ D) Ley Bicondicional Ley de Morgan A↔B A↔B ~ (A ∨ B) ~ (A ∧ B) A B B A ~A∧~B ~ B ∨ ~A11.2. EJERCICIOS RESUELTOS1. De las premisas: p q ~q∨r ~r Se infiere deductivamente: a) p b) ~p c) q d) s e) N.A.Centro Pre Universitario 76
  • 77. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Del enunciado tenemos: 1) p q 2) ~ q ∨ r 3) ~ r 4) ~ q MTP 2) , 3) ~q∨r ~r ~q 5) ~ p MTT 1) , 4) p q ~q Respuesta: b) ~p ~p2. De las premisas: ~g e e k ~g k ~l ~l m m b Se infiere deductivamente: a) b b) ~ b c) q d) ~m e) N.A. Del enunciado tenemos: 1) ~g e 2) e k 3) ~g 4) k ~l 5) ~l m 6) m b 7) e MPP 1) , 3) ~g e ~g e 8) k MPP 2) , 7) e k e k 9) ~ l MPP 4) , 8) k ~l k ~l 10) m MPP 5) , 9) ~l m ~l mCentro Pre Universitario 77
  • 78. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica 11) b MPP 6) , 10) m b m Respuesta: b) b b3. De las premisas: ~p q q ~r r∨s ~s Se infiere en: a) ~p b) ~r c) s d) p e) q Del enunciado tenemos: 1) ~p q 2) q ~r 3) r∨s 4) ~s 5) ~p ~r SH 1) , 2) ~p q q ~r ~ p ~r 6) r MTP 3) , 4) r∨s ~s r 7) p MTT 5) , 6) ~p ~r r Respuesta: d) p p4. El argumento es válido: “Si Juan es más alto que Pedro, entonces Maria es más baja que Juana. Maria no es mas baja que Juana. Si Juan y Luis tienen la misma estatura, entonces Juan es más alto que Pedro. Por lo tanto, Juan y Luis no tienen la misma estatura.” a) V b) F c) V ó F d) No se puede Determinar e) N.A. Del enunciado se define: • p: Juan es más alto que Pedro. • q: Maria es más baja que Juana • r: Juan y Luis tienen la misma estaturaCentro Pre Universitario 78
  • 79. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica Construimos la estructura de la inferencia • p q // Si Juan es más alto que Pedro, entonces Maria es más baja que Juana • ~q // Maria no es mas baja que Juana • r p // Si Juan y Luis tienen la misma estatura, entonces Juan es más alto que Pedro • ~r // Por lo tanto, Juan y Luis no tienen la misma estatura.” Para determinar la validez del enunciado se infiere las 1) p q premisas y de llegar a la 2) ~ q misma conclusión que en el 3) r p enunciado, se da por valido. 4) ~ p MTT 1), 2) p q ~q ~p 5) ~ r MTT 3), 4) r p ~p Respuesta: a) V ~r5. Determinar la validez del siguiente argumento: “Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andrés. Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj está adelantado. Por tanto, Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen”. a) V b) F c) V ó F d) No se puede Determinar e) N.A. Del enunciado • p: El reloj está adelantado. se define: • q: Juan llegó antes de las diez • r: Juan vio partir el coche de Andrés • s: Andrés dice la verdad • t: Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen Construimos la estructura de la inferencia • p (q∧r) // Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el coche de Andrés • s ~r // Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andrés • s∨t // Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimenCentro Pre Universitario 79
  • 80. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica • p // El reloj está adelantado • t // Por tanto, Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen. Para determinar la validez del 1) p (q∧r) enunciado se infiere las 2) s ~r premisas y de llegar a la 3) s∨t misma conclusión que en el 4) p enunciado, se da por valido. 5) q ∧ r MPP 1), 4) p (q∧r) p (q∧r) 6) r Simplificación 5) q ∧ r r 7) ~ s MTT 2), 6) s ~r r ~s 8) t MTP 3), 7) s∨t ~s t Respuesta: a) V11.3. EJERCICIOS PROPUESTOS1. De las premisas formales: (A C) (B ∧ C) Se infiere deductivamente: a) ~A b) ~B c)A d) D e) ~A ∧ ~B2. De las premisas: a b b c c d ~d Se infiere deductivamente: a) a b) ~a c) b d) s e) N.A.Centro Pre Universitario 80
  • 81. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica3. Del siguiente esquema formal: (~ A ∨ B) ∧ (~ A E) ∧ ~E Se concluye: a) A b) ~ A c) B d) ~B e) N.A.4. Del siguiente esquema formal: ~ S ∧ [S ∨ (H ∨ G)] ∧ ~ G Se concluye: a) H b) ~ H c) G d) ~B e) N.A.5. Dadas las premisas: P1: ~A ∨ B P2: A Por aplicación de las reglas de inferencia se concluye en: i. B ii. B ∨ C iii. ~B iv. ~A v. C Son ciertas: a) i, ii, iii b) i, ii c) i, ii, iv d) ii, v e) i, iii, v.6. El argumento es válido: “Si la ballena es un mamífero entonces toma oxigeno del aire. Si toma su oxigeno del aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por tanto, no necesita branquias. a) V b) F c) V ó F d) No se puede Determinar e) N.A.7. De las premisas: “Siempre que llegas tarde, tus maestros se enojan. Cada vez que tus maestros se enojan luego te llaman la atención”. Inferimos: i. No llegas tarde o bien te llaman la atención ii. Es falso que si llegas tarde, te llamen la atención iii. llegas tarde y no te llaman la atención iv. Si no le llaman la atención, no llegas tarde v. Te llaman la atención o no llegas tarde. Son correctas: a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) iii, iv, v d) i, iii, v e) i, iv, vCentro Pre Universitario 81
  • 82. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica8. De las premisas: P ∧ ~T S T S∨Q (Q ∨ P) U Se concluye: a) U b) T c) S d) ~ Q e) N.A.9. De las premisas: ~R S S (P ∧ Q) R T ~T Se concluye: a) R b) T c) Q d) ~ Q e) N.A.10. Determinar la validez del siguiente argumento: “Si la enmienda no fue aprobada entonces la Constitución queda como estaba. Si la Constitución queda como estaba entonces no podemos añadir nuevos miembros al comité. Podemos añadir nuevos miembros al comité o el informe se retrasará un mes. Pero el informe no se retrasará un mes. Por lo tanto la enmienda fue aprobada” a) V b) F c) V ó F d) No se puede Determinar e) N.A.11. Determinar la validez del siguiente argumento: “Si Tomás tiene diecisiete años, entonces Tomás tiene la misma edad que Juana. Si Joaquín tiene distinta edad que Tomás, entonces Joaquín tiene distinta edad que Juana. Tomas tiene diecisiete años y Joaquín tiene la misma edad que Juana. Por tanto, Joaquín tiene la misma edad que Tomás y Tomás la misma edad que Juana”. a) V b) F c) V ó F d) No se puede Determinar e) N.A.12. De las premisas formales: p q p∧q Se infiere deductivamente: a) p b) ~p c) q d) ~ q e) sCentro Pre Universitario 82
  • 83. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Lógica13. De las premisas: “En el Perú no hay estabilidad o no hay empleo. Pero hay empleo”. En consecuencia: a) En el Perú hay estabilidad b) En el Perú no hay estabilidad c) En el Perú hay empleo d) En el Perú no hay empleo. e) N.A.14. El argumento es válido: “ Si A ganó la carrera, entonces B fue el segundo o C fue el segundo. Si B fue el segundo, entonces A no ganó la carrera. Si D fue el segundo, entonces C no fue el segundo. A no ganó la carrera. Entonces, D no fue el segundo. “ a) V b) F c) V ó F d) No se puede Determinar e) N.A.Centro Pre Universitario 83
  • 84. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaCLAVE DE RESPUESTASI. La Lógica Proposicional II. Los Principios Lógicos y Leyes Lógicas 1. c) 2. e) 1. c) 3. b) 2. b) 4. c) 3. b) 5. b) 4. e) 6. c) 5. b) 7. c) 6. c) 7. c)III. Circuitos Lógicos IV. Circuitos con Compuertas Logicas 1. c) 1. b) 2. c) 2. b) 3. e) 3. d) 4. d) 4. e) 5. c) 5. b)V. Equivalencias lógicas: VI. Formalización y Traducción Proposicional 1. e) 2. e) 1. b) 3. e) 2. d) 4. d) 3. a) 5. c) 4. b) 6. d) 5. d) 6. d) 7. a) 8. b) 9. e) 10. d)VII. Equivalencias Notables 1. a) 2. b) 3. d) 4. b) 5. e)Centro Pre Universitario 84
  • 85. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaVIII. Lógica Cuantificacional ( Una Variable) ( Dos Variables) 1. d) 1. c) 2. e) 2. a) 3. e) 3. a) 4. b) 4. e) 5. e) 5. b)IX. Cuantificadores - Formalización de X. Inferencia Lógica Predicados 1. b) 1. a) 2. a) 2. e) 3. a) 3. e) 4. b) 4. b) 5. a) 5. d) 6. a) 7. b) 8. b) 9. a) 10. b) 11. a) 12. c) 13. d) 14. a) 15. a)XI. Reglas de Inferencia 1. a) 2. b) 3. c) 4. a) 5. b) 6. a) 7. e) 8. a) 9. c) 10. a) 11. a)Centro Pre Universitario 85
  • 86. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaBIBLIOGRAFIAIntroducción a la Lógica. Bernardo Rea Ravello. 2003. Tercera Edición. EditorialMantaro. Lima. Perú.Introducción a la Lógica. Alejandro Chavez Noriega.. 1995. Segunda Edición. EditorialMantaro. Lima. Perú.Lógica. Luis Piscoya Hermoza.. 1997. Primera Edición. Editorial UNMSN. Lima. Perú.Centro Pre Universitario 86
  • 87. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaINDICEI. LA LÓGICA PROPOSICIONAL 11.1. Tablas de Verdad de las Operaciones Lógicas 11.2. Ejercicios Resueltos 21.3. Ejercicios Propuestos 5II. LOS PRINCIPIOS LÓGICOS Y LEYES LÓGICAS 92.1. Principios Lógicos Clásicos 92.2. Leyes Equivalentes O Equivalencias Notables 92.3. Ejercicios Resueltos 102.4. Ejercicios Propuestos 13III. CIRCUITOS LÓGICOS 163.1 Tipos de Circuitos 163.2 Ejercicios Resueltos 173.3 Ejercicios Propuestos 20IV CIRCUITOS CON COMPUERTAS LOGICAS 224.1. Ejercicios Resueltos 234.2. Ejercicios Propuestos 25V. EQUIVALENCIAS LÓGICAS 285.1. Ejercicios Resueltos 285.2. Ejercicios Propuestos 32VI. FORMALIZACIÓN Y TRADUCCIÓN PROPOSICIONAL 346.1. Ejercicios Resueltos 356.2. Ejercicios Propuestos 38VII. EQUIVALENCIAS NOTABLES 427.1. Ejercicios Resueltos 427.2. Ejercicios Propuestos 46Centro Pre Universitario 87
  • 88. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann LógicaVIII. LÓGICA CUANTIFICACIONAL 508.1. Cuantificadores Lógicos: Una Variable 508.2. Ejercicios Resueltos (Una Variable) 508.3. Ejercicios Propuestos (Una Variable) 538.4. Cuantificadores Lógicos: Dos Variables 558.5. Ejercicios Resueltos (Dos Variables) 558.6. Ejercicios Propuestos (Dos Variables) 58IX. CUANTIFICADORES - FORMALIZACIÓN DE PREDICADOS 609.1. Formas Típicas de las Proposiciones Categóricas 609.2. Inferencias Inmediatas 609.3. Ejercicios Resueltos 609.4. Ejercicios Propuestos 64X. INFERENCIA LÓGICA 6810.1. La Inferencia 6810.2. Ejercicios Resueltos 6810.3. Ejercicios Propuestos 72XI. REGLAS DE INFERENCIA 7411.1. Leyes De Implicación O Reglas De Inferencia 7411.2. Ejercicios Resueltos 7511.3. Ejercicios Propuestos 79CLAVE DE RESPUESTAS 83BIBLIOGRAFÍA 85INDICE 86Centro Pre Universitario 88

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