Breviar teoretic

7,373 views

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
7,373
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
327
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Breviar teoretic

  1. 1. MATEMATICĂEVALUAREA NAŢIONALĂ 2011BREVIAR TEORETIC CLASA a VIII-a Material realizat de prof. MACOVEI CRISTINA Localitatea Bicaz, judeţul Neamt 1
  2. 2. CUPRINS PaginaARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂMulţimi……………………………………………………………………………… 3Calcul algebric………………………………………………………………………. 12Funcţii……………………………………………………………………………….. 14Ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de ecuaţii……………………………………………… 15GEOMETRIEMăsurare şi măsuri………………………………………………………………….. 18Figuri şi corpuri geometrice…………………………………………………………. 19Triunghiul……………………………………………………………………………. 22Patrulaterul convex………………………………………………………………..… 25Cercul………………………………………………………………………………... 26Corpuri geometrice………………………………………………………………….. 28 2
  3. 3. ARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂMULŢIMI TITLUL EXEMPLE, EXPLICAŢII CONŢINUTULUI1 Relaţii între mulţimi Dacă avem: A =1;2;3;4;5}, B = 2;3;5}, C = 3;2;5}. { { {  Apartenenţă, ∈: 2∈A;  Egalitate, = : B = C;  Incluziune, ⊂: B⊂A 2 Submulţime Dacă avem: A = 1;2;3;4;5}, B = 2;3;5}. { {  Mulţimea B este o submulţime a mulţimii A pentru că fiecare element din B aparţine mulţimii A. 3 Operaţii cu mulţimi Dacă avem: A = 1;2;3;4}, B = 2;3;5}. { {  Reuniunea: A∪ = x x ∈ B { A sau x∈ } B ; A ∪ = 1;2;3;4;5} B { .  Intersecţia: A∩ = x x ∈ B { A si x∈ } B ; A ∩ = 2;3} B { .  Diferenţa: A −B = x x ∈ { A si x∉ } B ; A − = 1;4} B { . Produsul cartezian: AΧ ={( x, y ) x ∈A si y ∈ } . B B 4 Mulţimi finite şi mulţimi  Mulţime finită este mulţimea cu un număr finit de infinite elemente. Exemple de mulţimi finite: A = 1;2;3;4}, B = 2;3;5}. { {  Mulţime infinită este mulţimea cu un număr infinit de elemente. Exemplu de mulţime infinită: N = 0;1;2;3;...;99,100,....}. { 5 Mulţimile N, Z, Q, R, RQ  N = 0;1;2;3;...;99,100,....}. {  Z ={.... − ;−;−;0;1 2;3;...}. 3 2 1 ; a  .  Q =  a ∈Z , b ∈Z *, ( a , b) = 1  b   R este mulţimea numerelor reale ce cuprinde toate categoriile de numere inclusiv cele scrise sub formă de radicali.  { R − Q = a a nu este patrat perfect à numere } iraţionale. 6 Relaţia N⊂Z⊂Q⊂R N ⊂ ⊂ ⊂ Z Q R  Orice număr natural este număr întreg;  Orice număr întreg este şi un număr raţional;  Orice număr raţional este număr real. +2 Exemplu: 2 = +2 = 1 = 4. 7 Scrierea numerelor naturale De exemplu, un număr natural format din trei cifre se scrie în baza în baza zece zece astfel: abc = a + b + 100 10 c 8 Propoziţii adevărate şi Exemple de propoziţii: propoziţii false  Propoziţie adevărată: ,, ” 12 : 3 + = 3 7  Propoziţie falsă: ,, ” 12 : 3 + = 3 2 Prin negarea unei propoziţii adevărate se obţine o propoziţie falsă, şi invers. 9 Împărţirea cu rest a Dacă avem: 17 : 5 =3 si rest 2. numerelor naturale Teorema împărţirii cu rest: d =î ⋅c +r, r <î . 17 = ⋅ + 5 3 2 3
  4. 4. TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII1 Divizibilitatea în N  Un număr natural este divizibil cu un alt număr natural dacă0 restul împărţirii dintre cele două numere este egal cu zero.  Dacă avem md sau d m atunci: m este multiplul lui d şi d este divizorul lui m.  Exemplu: D ={1;2;3;4;6;12} . 12  Exemplu: M ={0;3;6;9;....;3n;....} . 31 Proprietăţile divizibilităţii  Dacă avem md atunci şi (k ⋅m) d .1 (cele mai uzuale)  Dacă avem md şi nd atunci şi (m ±n)d .  Dacă avem md şi me iar (d , e) =1 , atunci şi m(d ⋅e) .1 Criteriile de divizibilitate  a...bc  2 dacă c = 0, sau 2, sau 4, sau 6, sau 8.2  a...bc 5 dacă c = 0, sau 5.  a...bc 10 dacă c = 0.  a...bc  3 dacă a+…+b+c se împarte exact la 3.  a...bc 9 dacă a+…+b+c se împarte exact la 9.  dacă bc4 . a...bc  41 Numere prime şi numere  Numere prime sunt numere care au doar doi divizori: pe 1 şi pe3 compuse el însuşi. Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, etc.  Numere compuse sunt numere care au cel puţin trei divizori. Exemple: 6, , 12, 15, etc.1 Numere pare şi numere  Numere pare sunt numere divizibile cu 2. Forma de scriere a4 impare cestora este 2k , k ∈N .  Numere impare sunt numere nedivizibile cu 2. Forma de scriere a cestora este 2k + sau 2k −, k ∈ . 1 1 N1 Numere prime între ele  Numere prime între ele sunt numere care au ca divizor comun5 doar numărul 1. Exemple: 4 şi 9; 15 şi 19.1 Descompunerea unui număr Prin descompunerea unui număr natural într-un produs de puteri de6 natural într-un produs de numere prime se înţelege scrierea acestuia sub formă de produs de puteri de numere prime factori care la rândul lor nu se mai pot descompune. Exemplu: 48 =16 ⋅3 =2 ⋅3. 41 C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. Pentru a afla c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. se procedează astfel:7  Se descompun în produs de puteri de numere prime numerele date: 48 = 2 4 ⋅ 3 180 = 2 2 ⋅ 32 ⋅ 5  Pentru a afla c.m.m.d.c. se iau factorii comuni (o singură dată) cu puterea cea mai mică şi se înmulţesc între ei: ( 48,180) =2 ⋅3 =12 . 2  Pentru a afla c.m.m.m.c. se iau factorii comuni şi necomuni (o singură dată) cu puterea cea mai mare şi se înmulţesc între ei: [ 48,180] =2 ⋅3 ⋅5 =240 .4 21 Divizibilitatea în Z Divizibilitatea în Z este asemănătoare cu divizibilitatea în N.8 În Z: D = −;−;−;+;+;+} . { 4 2 1 1 2 4 4 4
  5. 5. TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII1 Fracţii subunitare, a9 echiunitare, supraunitare  Fracţii subunitare b , a < b. a  Fracţii echiunitare b , a = b. a  Fracţii supraunitare b , a > b.2 Amplificarea şi m) a a ⋅m0 simplificarea fractiilor  Amplificarea = b b⋅m , m ≠ 0. (m a a:m  Simplificarea b = b:m , m ≠ 0.2 Fracţii ireductibile  Fracţie ireductibilă este fracţia în care numărătorul şi numitorul1 sunt numere prime între ele. Exemplu de obţinere a unei fracţii ireductibile, pas cu pas: (2 (2 (3 48 24 12 4 = = = . 36 18 9 32 Transformări de fracţii abc2  Fracţii zecimale finite a, bc = 100 . abc − a  Fracţii zecimale periodice simple a, ( bc ) = 99 . abcd − ab  Fracţii zecimale periodice mixte a, b( cd ) = 990 .  Exemple: 225 9 13 −1 12 4 213 −21 192 32 2,25 = = . 1, ( 3) = = = . 2,1( 3) = = = 100 4 9 9 3 90 90 15  O fracţie ordinară se poate transforma într-o fracţie zecimală prin împărţirea numărătorului la numitorul fracţiei. Exemplu: 22 = 22 : 3 = 7, ( 3). 32 Compararea, ordonarea şi  Compararea numerelor raţionale3 reprezentarea pe axă a 7 6 numerelor reale Dintre numerele a= 6 şi b= 5 mai mare este numărul …. 5) 6) 7 35 6 36 Aducem numerele date la acelaşi numitor: a= = 6 30 şi b= = 5 30 . Se observă că numărul mai mare este numărul b. Se poate să aducem numerele date şi la acelaşi numărător iar atunci comparăm numitorii.  Compararea numerelor reale din care cel puţin unul este număr iraţional Dintre numerele a = 3 7 şi mai mare ete numărul …. b =8 Introducem factorii sub radical şi obţinem: a =3 7 = 63 şi b =8 = 64 . Se observă că numărul mai mare este numărul b. 5
  6. 6. TITLUL EXEMPLE, EXPLICAŢII CONŢINUTULUI 42 Valoarea absolută a unui  a, a > 04 număr real  a =  0, a = 0  Valoarea absolută a unui număr real:  − a, a < 0   Valoarea absolută a unui număr iraţional Dacă avem: a − b , cel puţin unul este iraţional, a <b , atunci a −b = b −a . Exemplu: 3 − 2 = 2 − 3.2 Opusul şi inversul unui  Opusul unui număr real: opusul lui a este −a.5 număr real 1  Inversul unui număr real: inversul lui a este . a2 Partea întreagă şi partea  Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real pozitiv:6 fracţionară a unui număr real 4,4 este între 4 şi 5. Partea întreagă [4,4] = 4. Partea fracţionară {4,4} = 4,4 − [4,4] = 4,4 − 4 = 0,4.  Partea întreagă şi partea fracţionară a unui număr real negativ: −2,6 este între −3 şi −2. Partea întreagă [−2,6] = −3. Partea fracţionară {−2,6} = −2,6 − [−2,6] = −2,6 +3 = 0,4.2 Rotunjirea şi aproximarea  Metoda de a aproxima un număr real, mai ales când acesta este o7 unui număr real fracţie zecimală sau un număr iraţional este folosită la estimări şi exerciţii de comparare.  Exemplu: 20 =4,4721359..... Dacă s-ar cere aproximarea cu două zecimale prin lipsă atunci am avea: 20 = 4,47 . Dacă s-ar cere aproximarea cu două zecimale cu adaos atunci am avea: 20 = 4,48 .2 Intervale în R;  Interval mărginit închis la ambele margini: [a;b]8 reprezentarea pe axă  Interval mărginit închis la una din margini : ( a; b ]  Interval mărginit deschis la ambele margini: ( a ; b)  Interval mărginit închis sau deschis la una din margini şi nemărginit la cealaltă: (−∞; a]  Interval nemărginit la ambele margini: ( − ;+ ) =R ∞ ∞ 6
  7. 7. TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII2 Rădăcina pătrată a unui a =b dacă b 2 = a.9 număr natural pătrat perfect a2 = a dacă a > 0. În general a2 = a . Exemplu: 225 = 152 =15 .3 Algoritmul de extragere a èSă calculăm rădăcina pătrată a lui 55225.0 rădăcinii pătrate èDespărţim numărul în grupe de câte două cifre, de la dreapta spre stânga. èNe întrebăm: care este cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu 5. Acesta este 2; îl scriem în dreapta sus; èÎl ridicăm la pătrat, obţinem 4 şi-l trecem sub 5, aflăm restul scăderii 1. èCoborâm grupul de următoarele 2 cifre lângă rest. èDublăm pe 2 şi rezultatul 4 îl trecem sub 2. èNe gândim care cifră punem alături de 4 şi rezultatul îl înmulţim cu cifra aleasă astfel încât numărul dat să se cuprindă în 152. èNe gândim care cifră punem alături de 4 şi rezultatul îl înmulţim cu cifra aleasă astfel încât numărul dat să se cuprindă în 152. èRezultatul fiind 129, îl trecem sub 152 şi aflăm restul scăderii. Aşadar, radical din 55225 èCifra 3 o trecem la rezultat, alături de 2. este egal cu 235. èCoborâm următoarea grupă de cifre, pe 25, lângă restul 23. èCoborâm dublul lui 23, care este 46. èNe gândim care cifră punem alături de 46, numărul format îl înmulţim cu acea cifră iar rezultatul să fie mai mic sau egal cu 2325. èAcesta poate fi 5 şi facem calculele. èTrecem rezultatul 2325 sub numărul 2325 şi efectuăm scăderea. èRestul fiind zero, algoritmul s-a terminat, cifra 5 o trecm la rezultat alături de 23.3 Scrierea unui număr real  Dacă avem 7 atunci acest număr se poate scrie şi 7 = 7 2 = 49 .1 pozitiv ca radical din pătratul său 5 5 52 25  Dacă avem 2 atunci acest număr se poate scrie şi = = 2 22 4 .3 Reguli de calcul cu  Doi radicali se pot aduna sau scădea numai dacă sunt ,,la fel” adică2 radicali avem termeni asemenea: Exemplu: 5+ 4 5− 2 5 = 5 ⋅(1 + − ) = 5 ⋅3 = 4 2 3 5 .  Înmulţirea radicalilor: a ⋅ b = a ⋅b ; 3 ⋅ 10 = 30 . Împărţirea radicalilor: a : b = a:b ; 18 : 6 = 3 .3 Scoaterea şi introducerea  Scoaterea factorilor de sub radical. Prezentăm una din metodele3 factorilor sub radical cele mai utilizate la scoaterea factorilor de sub radical. Se descompune numărul dat în produs de puteri de numere prime – se iau perechi de numere prime egale – dintr-o pereche va ieşi un factor de sub radical – factorii nepereche vor rămâne sub radical – factorii ieşiţi sau rămaşi sub radical se înmulţesc. Exemplu: 216 = 2 3 ⋅33 =2 ⋅3 2 ⋅3 =6 6  Intro ducerea factorilor sub radical se bazează pe operaţia a ⋅ b = a ⋅b . Dacă avem 3 5 pentru a introduce pe 3 sub radical, se ridică la puterea 2 numărul 3 după care se înmulţeşte cu 5. 3 5 = 3 ⋅5 = 9 ⋅5 = 45 2 . 7
  8. 8. TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII3 Raţionalizarea numitorilor  Raţionalizarea numitorilor de forma a b .4 b) m m⋅ b m b = = . a b a b⋅ b ab 6) (3 9 9 6 9 6 9 6 3 6 = = = = 2 6 2 6⋅ 6 2 ⋅6 12 4  Raţionalizarea numitorilor de forma a b + c . În primul rând conjugatul numărului a b + c este numărul a b − c . Pentru raţionalizarea numitorului de această formă, fracţia se va amplifica cu conjugatul numitorului. a b −c ) m m ⋅(a b −c) m( a b − c ) = = a 2b − c 2 . a b +c (a b + c) ⋅ (a b − c) 4 +2 3 ) 5 5 ⋅ (4 + 2 3 ) 20 + 10 3 = = 2 = 4 − 2 3 ( 4 − 2 3 ) ⋅ (4 + 2 3 ) 4 − ( 2 3 ) 2 20 + 10 3 2(10 + 5 3) 10 + 5 3 = = = 16 − 12 4 23 Operaţii cu numere reale Adunarea şi scăderea5 Pentru a efectua adunarea sau scăderea numerelor raţionale este necesar a parcurge următorii paşi:  Se transformă fracţiile zecimale în fracţii ordinare;  Se aduc fracţiile la acelaşi numitor;  Se efectuează adunarea/scăderea. Exemplu: 3) 3) 2) (2 3 5 3 8 42 −15 −9 +16 34 17 7 −2,5 − + 2, ( 6) =6 ) 7 − − + = = = . 2 2 2 3 6 6 3 Proprietăţile adunării:  Adunarea este comutativă: a + b = b + a.  Adunarea este asociativă: a + b + c = (a + b) + c.  Elementul neutru al adunării este 0: a + 0 = a.  Pentru orice a există opusul lui a astfel încât: a + (-a) = 0. Înmulţirea  La înmulţirea unui număr întreg cu o fracţie, se înmulţeste numărul întreg cu numărătorul fracţiei, numitorul rămânănd neschimbat;  Se transformă fracţiile zecimale în fracţii ordinare;  La înmulţirea a două fracţii ordinare se înmulţesc numărătorii între ei şi numitorii între ei. Exemplu: (6 7 12 ⋅ 7 84 14 a) 12 ⋅ 18 = 18 = 18 = 3 . ( 21 6 14 6 14 ⋅ 6 84 b) 4, (6) ⋅ 7 = ⋅ = 3 7 3 ⋅7 = 21 = 4. Proprietăţile înmulţirii:  Înmultirea este comutativă: a ⋅ b = b ⋅ a;  Înmultirea este asociativă: a ⋅ b ⋅ c = (a ⋅ b) ⋅ c;  Elementul neutru al înmulţirii este 1: a ⋅ 1 = a;  Înmulţirea este distributivă faţă de adunare sau scădere: a ⋅ ( b + c ) = a⋅ b + a⋅ c 8
  9. 9. TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII3 Operaţii cu numere reale Împărţirea5 La împărţirea a două numere raţionale se înmulţeşte primul număr cu al doilea inversat. Exemplu: ( 30 25 5 25 24 25 ⋅ 24 600 20 : = ⋅ = = = . 18 24 18 5 18 ⋅ 5 90 3 Tabelul înmulţirii semnelor: Tabelul împărţirii semnelor: F1 F2 P D I C + + + + + + + − − + − − − + − − + − − − + − − + Ridicarea la putere Exemplu: ,,Puterea este o înmulţire repetată” 2 5 = ⋅2 ⋅2 ⋅2 ⋅2 = 2 32 a n =a ⋅ a ⋅ a ⋅... ⋅ a −2 2 2 3 9   =  = 3 2 4 1 a− = m m a Operaţii cu puteri:  am ⋅ an = am+n; a  1 = 1;  am : an = am-n;  a1 = a;  (am)n = am⋅n;  a = 1, dacă a ≠ 0; 0  (a⋅b)m = am⋅bm.  0 = 0, dacă a ≠ 0; a3 Ordinea efectuării  Într-un exerciţiu de calcul aritmetic ce conţine mai multe operaţii cu6 operaţiilor şi folosirea numere raţionale se efectuează mai întâi ridicările la putere, apoi parantezelor înmulţirile şi împărţirile în ordinea în care sunt scrise şi apoi adunările şi scăderile, la fel, în ordinea în care sunt scrise.  În exerciţiile de calcul aritmetic care conţin paranteze se efectuează mai întâi calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din paranteze mari (drepte) şi apoi cele din acolade.  Dacă în faţa unei paranteze ce conţine un număr raţional sau o sumă/diferenţă de numere raţionale se află simbolul ,,−”, atunci se poate elimina semnul şi paranteza, scriind numerele din paranteză cu semnul schimbat. Exemplu: {4 +5 ⋅(2 +3 ⋅4 − )] : 17 +3}⋅2 −3 ⋅10 = [ 2 10 3 = [4 + ⋅(4 + − )] : 17 + }⋅ − { 5 12 10 3 8 30 = = [4 + ⋅6] : 17 + }⋅8 − { 5 3 30 = = [4 + ] : 17 + }⋅8 − { 30 3 30 = ={34 : 17 + }⋅8 − 3 30 = ={2 +3}⋅8 −30 = = ⋅ − 5 8 30 = =40 −30 =10 .3 Factorul comun  Dacă f ⋅ a + + + + ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ( b c .... w f a f b f c ..... + ⋅ f w atunci7 şi f ⋅a +f ⋅ + ⋅ + b f c ..... + ⋅ f w =f ⋅ a + + + ( b c ..... + ) w  Exemplu: 12 ⋅ + ⋅ 3 5 12 − ⋅ 12 10 = ⋅ 3 + − ) = ⋅ −) = 24 12 ( 5 10 12 ( 2 −3 Media aritmetică a1 + a2 + a3 + .... + a n8  Media aritmetică ma = n . 9
  10. 10. TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII3 Media aritmetică  Media aritmetică ponderată9 ponderată a1 ⋅ p1 + a 2 ⋅ p2 + a3 ⋅ p3 +.... + a n ⋅ pn mp = p1 + p2 + p3 +.... + pn unde pi este ponderea numărului ai .4 Media geometrică a două  Media geometrică m = a ⋅ b . g0 numere reale pozitive4 Raportul a două numere a1 Dacă avem numerele reale a şi b, atunci raportul lor este egal cu b . ( 25 a 12,5 1250 50 Exemplu: Fie a =12,5 şi b =3,25 . = b 3,25 = 325 = 13 .4 Proprietatea fundamentală a m2 a proporţiilor Dacă avem proporţia = b n atunci a⋅ = ⋅ n b m4 Derivarea proporţiilor a m3 Dacă avem proporţia = b n atunci mai putem obţine şi proporţiile: a b b n a ±b m ±n a m  = m n ; = ; a m b = n ; = b±a n ±m . a ⋅k m⋅k a m a⋅k m a:k m:k  = ; = ; = ; = b n b⋅k n⋅k b⋅k n b n4 Aflarea unui termen x 7 8 ⋅ 7 564 necunoscut dintr-o  Dacă avem proporţia = 8 2 atunci x= 2 = 2 = 28 . proporţie dată extrem1 mez 2  În general dacă avem mez1 = extrem 2 atunci mez1 ⋅ mez 2 extrem1 ⋅ extrem 2 extrem1 = extrem 2 şi mez1 = mez 2 .4 Mărimi direct  Dacă numerele a, b, c, …., w sunt direct proporţionale cu5 proporţionale numerele α, β, γ, ...., ω atunci se poate forma un şir de rapoarte a b c w egale: = = = .... = =i , unde i este coeficientul de α β γ ω proporţionalitate.  Proprietate generală a unui şir de rapoarte egale: a b c w a + b + c +.... + w = = = .... = = . α β γ ω α + β +γ +.... +ω  Exemplu de o problemă: Să se împartă numărul 76 în trei părţi direct proporţionale cu numerele 3, 5, 11. Rezolvare: a b c a +b +c 76 = = = = = 4 ⇒ a = 3 ⋅ 4 = 12; b = 5 ⋅ 4 = 20; 3 5 11 3 + 5 +11 19 c = 11 ⋅ 4 = 44.4 Mărimi invers  Dacă numerele a, b, c, …., w sunt invers proporţionale cu6 proporţionale numerele α, β, γ, ...., ω atunci se poate forma un şir de produse egale: a⋅α b ⋅β= ⋅ = = ⋅ = c γ .... w ω Acest şir de produse egale se poate transforma într-un şir de rapoarte egale, precum: a b c w = = = .... = =i 1 1 1 1 ,unde i este coeficientul de proporţionalitate. α β γ ω 10
  11. 11. TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII4 Regula de trei simplă  Regula de trei simplă cu directă proporţionalitate7 2caiete..................... cos tă....................7lei x caiete..............vor cos ta.............17,5lei 2caiete ⋅17,5lei 35caiete x= = = 5caiete 7lei 7  Regula de trei simplă cu inversă proporţionalitate 4muncitori........... fac o lucrare .................... în 14 zile 7muncitori.....vor face aceeasi lucrare ........în x zile 4muncitori ⋅14 zile 56 zile x= = = 8 zile 7muncitori 74 Procente p8  Procentul este un număr raţional; p% = 100 . 20 1 125 5  Exemple: 20% = = 100 5 ; 125% = = 100 4 .4 Aflarea a p% dintr-un p9 număr  Din relaţia p% din a =b ⇒ 100 ⋅a = b 30 1800  Exemplu: 30% din 60 = 100 ⋅ 60 = 100 = 18 .5 Aflarea unui număr când p 100 ⋅ b0 se cunoaşte p% din el  Din 100 ⋅a = b ⇒ a= p . 100 ⋅ 54  Exemplu: 45% din x = 54; x= 45 = 1205 Aflarea raportului p 100 ⋅ b1 procentual  Din 100 ⋅a = b ⇒ p= a . 100 ⋅ 20  Exemplu: x % din 80 = 20; x= 80 = 25. 20 1 Mai explicit: x% = = = 25% 80 45 Calculul probabilităţii de nr. de cazuri favorabile Pr obabilitatea = .2 realizare a unui eveniment  nr. total de cazuri  Exemplu. Într-un coşuleţ sunt 8 mere galbene şi 12 mere roşii. Care este probabilitatea ca luând la întâmplare un măr, acesta să aibă culoarea roşie? 12 12 3 P= 8 +12 = = = 75% 20 4 . 11
  12. 12. CALCUL ALGEBRIC TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII1 Calculul cu numere Termenii de forma cl unde c, numit coeficientul termenului, reprezentate prin litere reprezintă un număr, iar, l, partea literală a termenului, este formată din numere reprezentate prin litere, eventual, cu diverşi exponenţi, îi numim termeni asemenea dacă părţile lor literale sunt identice, iar adunarea lor se numeşte reducerea termenilor asemenea. Exemple: 1) Perechi de termeni asemenea: 2 xy si5xy ; −5x y si +4 x y . 2 2 2 3 2 3 2) Adunarea: 3xy + xy + xy − xy =8 xy − xy . 2 5 4 2 2 2 2 3) Înmulţirea: 3x ⋅(−2 xy )⋅(− x y ) =24 x y . 4 2 2 4 3 4) Împărţirea: 28 x y : (7 x y ) =4 xy . 4 5 3 3 2 5) Ridicarea la o putere: (−2 x yz ) =− x y z . 8 2 3 3 6 3 9 6) Ridicarea la o putere cu exponent număr negativ: −2 +2  a +b  c +d    =  c +d   a +b 2 Formulele de calcul Formule utilizate: prescurtat 1) Produsul dintre un număr şi o sumă/diferenţă: a (b ± ) = c ab ±ac 2) Pătratul unui binom: (a ±b ) =a ±2ab +b 2 2 2 3) Pătratul unui trinom: (a + + ) b c 2 =a 2 + 2 + 2 + (ab + b c 2 ac + ) bc 4) Produsul sumei cu diferenţa: (a + )(a − ) =a 2 − 2 b b b 5) Produsul a două paranteze: (a + )(m + ) = (m + ) + (m + ) b n a n b n Exemple: 1) 2 x ( x +3) =2 x +6 x ; 2 2) (2 x +1)2 =4 x 2 +4 x +1 ; 3) (x 2 +2 x +3) =x 4 +4 x 3 + x 2 + x +9 2 10 12 ; 4) (3x +5)(3x −5) =9 x −25 ; 2 5) (x +2 )(x −5) =x −3x − .10 23 Descompunerea în factori Formule utilizate: 1) Scoaterea factorului comun: ab ±ac =a (b ±c ) 2) Restrângerea pătratului unui binom: a ±2ab +b 2 2 =(a ±b ) 2 3) Diferenţa de pătrate: a −b =(a +b )(a −b ) 2 2 4) Descompunerea unui trinom de forma: x +mx +n ; dacă 2 a ⋅b =n si a + = b m a, b ∈Z atunci: x +mx +n =(x +a )(x +b ) . 2 Exemple: 1) 15x −25 x =5 x (3x −5) ; 2 2) 9 x 2 −24 x +16 =(3 x −4 ) 2 ; 3) 4 x 2 −y 2 = 2 x +y )(2 x −y ) ( ; 4) x 2 −x −12 = x + )( x − ) ( 3 4 . 12
  13. 13. TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII4 Rapoarte de numere Exemple: reprezentate prin litere 2x x+ y x2 − 9 2x 3 ; 5 ; 4 ; x− 2 cu condiţia ca numitorul ≠0 .5 Amplificarea k) m m⋅k Amplificarea = n n⋅k ; x +2 ) 3x 3 x ( x + 2) 3x 2 + 6 x Exemplu: = x − 2 ( x − 2)( x + 2) = x 2 −4 .6 Simplificarea m (k m:k Simplificarea n = n:k ; Äpentru a simplifica un raport de fapt se caută c.m.m.d.c. al termenilor raportului dat. x2 + 4x + 4 Exemplu: Să se simplifice raportul: x2 − 4 ; se descompun în factori termenii raportului şi după aceea se simplifică. ( x + 2) 2 ( x +2 x2 +4x +4 x +2 = = . x2 −4 ( x + 2 )( x − 2 ) x −27 Adunarea sau scăderea Adunarea sau scăderea k :n ) k :q ) m p ( k : n ) ⋅ m + ( k : q) ⋅ p Ä n + q = k ; Unde k este c.m.m.m.c. al lui n şi q. Exemplu: x −2 ) 3x 2 3x 2 3 x 2 −6 x + 2 3 x 2 −6 x + 2 + 2 = + = = . x + 2 x −4 x +2 ( x + 2)( x −2) ( x + 2)( x −2) ( x + 2)( x −2)8 Înmulţirea m p m⋅ p Înmulţirea ⋅ = ; n q n⋅q x x +2 x ( x + 2) x2 +2x Exemplu: ⋅ = x + 3 x − 3 ( x + 3)( x − 3) = 2 x −9 .9 Împărţirea m p m q m ⋅q Împărţirea : = ⋅ = ; n q n p n⋅ p x −1 2 x −2 x −1 x −2 ( x −1)( x −2) x −2 Exemplu: : = ⋅ = = . x + 2 x −2 x + 2 2 x −2 ( x + 2) ⋅ 2( x −1) 2 x +41 Ridicarea la putere m a ma0 Ridicarea la putere   = a ; n n 2  x  x2 x2 Exemplu:   = = 2 .  x −1  ( x −1) x − 2 x +1 21 Ridicarea la putere cu m −a na1 exponent număr negativ Ridicarea la putere   n = ma ; −2  x  ( x −1) 2 x 2 − 2 x +1 Exemplu:   = = .  x −1  x2 x2 13
  14. 14. FUNCŢII TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII1 Noţiunea de funcţie Daca fiecărui element din mulţimea A îi corespunde un element din  mulţimea B spunem că este definită o funcţie pe A cu valori în B.  Se notează: f : A →B. A = domeniul de definiţie, B = codomeniul funcţiei. Exemplu: f : { 2;0;1 2;3}→ , − ; R f ( x) = + x 32 Funcţii definite pe mulţimi finite, 7 6 exprimate prin 5 4 diagrame, tabele, 3 formule, grafic 2 1 0 -1 0 2 5 x -1 0 2 3 5 f(x) = x + 2 y 1 2 4 5 73 Funcţii de tipul Exemplu: f:A→R, f(x) = ax + Să se construiască graficul funcţiei b, unde A este un f:[-2;4)→R, f ( x ) =− x +2 ; 3 interval de numere Pentru x = 2 ⇒( −) = + = ⇒( −;8) ; − f 2 6 2 8 A 2 reale Pentru x = ⇒( 4) = 12 + = 10 ⇒( 4;− ) ; 4 f − 2 − B 10 Graficul funcţiei este un segment de dreaptă ce uneşte punctele A şi B, închis în A şi deschis în B. * Dacă mulţimea A este un interval de numere mărginit la o extremă şi nemărginit la cealaltă extremă, atunci graficul funcţiei este o semidreaptă cu originea în extrema mărginită a intervalului.4 Functii de tipul Exemplu: f:R→R, f(x) = ax + Sa se construiască graficul funcţiei f:R→R, b 12 x 17 f ( x) = − 11 11 ; 72 17 55 Pentru x = 6 ⇒ f ( 6) = − = 11 11 11 = 5 ⇒ A( 6;5) ; Pentru −60 17 −77 x = − ⇒ f (− ) = 5 5 − = = − ⇒B ( − ;− ) 7 5 7 11 11 11 Graficul funcţiei este o dreaptă ce trece prin punctele A şi B.ECUAŢII, INECUAŢII, SISTEME DE ECUAŢII 14
  15. 15. TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII1 Ecuaţii de forma Propoziţia cu o variabilă de forma ax + b = 0 se numeşte ecuaţie cu o  ax + = b 0 , necunoscută, unde a şi b sunt numere reale. a ∈ *, b ∈ . R R  Într-o ecuaţie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru în alt membru cu semnul schimbat.  Într-o ecuaţie avem ,,dreptul” de înmulţi/împărţi egalitatea cu un număr diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor şi la final aflarea necunoscutei. Exemplu: 3 x + =x 2 + 2 3 ⇒ 3x −x 2 = 2 − 3 ⇒ x (3 − 2 ) =−3 − 2 ) ( − (3 − 2 ) ⇒ x= = −1 . 3− 22 Ecuaţii echivalente  Două ecuaţii sunt echivalente dacă au aceeaşi soluţie.  Bazându-se pe proprietăţile egalitatăţii, se pot obţine ecuaţii echivalente pornind de la o ecuaţiei dată. Exemplu: Fie ecuaţia 2 x −4 =0; 2 x − 4 + 5 = 0 + 5; a) adunăm la ambii membri ai ecuaţiei numărul 5: 2 x +1 = 5 2x +1 = 5⋅ 3 b) înmulţim ecuaţia (toţi termeni) cu 3: 6 x + 3 = 153 Inecuaţii de forma Propoziţia cu o variabilă de forma ax + b > 0 se numeşte inecuaţie cu o ax + < , ( >≤≥ b 0 , , ) , necunoscutăă, unde a şi b sunt numere reale. a ∈ *, b ∈ . R R  Într-o inecuaţie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru în alt membru cu semnul schimbat.  Într-o inecuaţie avem ,,dreptul” de înmulţi/împărţi inegalitatea cu un număr diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor şi la final aflarea necunoscutei.  Dacă o inecuaţie se va înmulţi/împărţi cu un număr negativ atunci sensul inegalităţi se schimbă. Exemplu: 5x − < x − 21 8 6 ⇒ 8 − ⇒ −3x <15 : ( −3) 5 x −x < 6 +21 ⇒ x >− ⇒ x ∈(−5;+ ) . 5 ∞4 Sisteme de ecuaţii Metoda reducerii: de forma  Se alege o necunoscută cu scopul de a fi ,,redusă” ţi se identifică  a1 x + b1 y + c1 = 0 coeficienţii săi;  ,  Se află c.m.m.m.c. al coeficienţilor şi se înmulţesc ecuaţiile astfel încât să a2 x + b2 y + c2 = 0 se obţină coeficienţii necunoscutei numere opuse; a ,a ,b ,b ,c ,c ∈ 1 2 1 2 1 2R  Se adună ecuaţiile şi se obţine o ecuaţie cu o singură necunoscută, după care se rezolvă; La fel se procedează şi cu cealaltă necunoscută. 2 x + y = 5 ⋅ 2 4 x + 2 y = 10 Exemplu:  ⇒  3x − 2 y = −3 3 x − 2 y = −3 7x =7 ⇒ x =1 ;  2x + y = 5⋅ 3  6 x + 3 y = 15  ⇒  3x − 2 y = −3 ⋅ ( − 2 ) − 6 x + 4 y = 6 x=1 7 y = 21 ⇒ y=3 ⇒  . y= 3 15
  16. 16. TITLUL CONŢINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAŢII4 Sisteme de ecuaţii Metoda substituţiei: de forma  Se află dintr-o ecuaţie o necunoscută în funcţie de cealaltă necunoscută;  a1 x + b1 y + c1 = 0  Se introduce valoarea acestei necunoscute în cealaltă ecuaţie şi se rezolvă  , ecuaţia; a2 x + b2 y + c2 = 0  Se află cealaltă necunoscută. a1 , a 2 , b1 , b2 , c1 , c2 ∈R  2x + y = 5 Exemplu:  din 2 x +y =5 ⇒ y =5 −2 x ; 3x − 2 y = −3 Introducem pe y =5 −2 x în 3 x − y =− 2 3 ⇒ 3 x − (5 − x ) = 3 2 2 − ⇒ 3x − + x = 3 10 4 − ⇒ 7 x =7 ⇒ x =1 x=1 Introducem pe x =1 în y =5 −2 x ⇒ y = − ⋅ =3 5 2 1 ⇒  . y= 35 Probleme ce se Etapele de rezolvare a unei probleme: rezolvă cu ajutorul 1. Stabilirea datelor cunoscute şi a celor necunoscute din problemă. ecuaţiilor, 2. Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) şi exprimarea celorlalte date inecuaţiilor şi a necunoscute în funcţie de aceasta (acestea). sistemelor de 3. Alcătuirea unei ecuaţii (sistem de ecuaţii) cu necunoscuta ecuaţii (necunoscutele) aleasă (alese), folosind datele problemei. 4. Rezolvarea ecuaţiei (sistemului de ecuaţii). 5. Verificarea soluţiei. 6. Formularea concluziei problemei. Exemplul 1(ecuaţie): Un călător parcurge un drum în 3 zile astfel: în prima zi 1 3 parcurge 3 din drum, a doua zi parcurge 5 din rest iar a treia zi ultimii 40 de km. Aflaţi lungimea totală a drumului. Rezolvare: Stabilim necunoscuta principală – lungimea totală a drumului, pe care o notăm cu x; x 2x În prima zi a parcurs: 3 ; i-au rămas de parcurs 3 ; a doua zi a parcurs 3 2x 2x ⋅ 5 3 = 5 ; 5) 3) x 2x x 2 x 15) Avem ecuaţia: x= + 3 5 + 40 pe care o rezolvăm: 15 ) x= 3 + 5 + 40 ⋅15 ⇒ = x +x + 15 x 5 6 600 ⇒ −x −x = 15 x 5 6 600 ⇒ = 4x 600 ⇒x = 600 = 150km este lungimea totală 4 a drumului. Exemplul 2 (inecuaţie): Să se gasească trei numere naturale consecutive a căror sumă este mai mică decât 16. Rezolvare: Stabilim necunoscuta principală – numărul cel mai mic pe care îl şi notăm cu x; Celelalte două numere vor fi x + 1 şi x + 2 ⇒ inecuaţia: x + ++ + < x 1 x 2 pe care o rezolvăm: 16 13 3x + < 3 16 ⇒ < 3x 13 ⇒ x< 3 ⇒ soluţiile: (1;2;3), (2;3;4), (3;4;5), (4;5;6). TITLUL EXEMPLE, EXPLICAŢII 16
  17. 17. CONŢINUTULUI5 Probleme ce se Exemplul 3 (sistem de două ecuaţii): Două creioane şi nouă cărţi costă rezolvă cu ajutorul împreună 80 de lei. Dacă 5 creioane şi 4 cărţi costă împreună 42 de lei, aflaţi ecuaţiilor, preţul unui creion şi a unei cărţi. inecuaţiilor şi a Rezolvare: Stabilim necunoscutele problemei: preţul unui creion = x şi preţul sistemelor de unei cărţi = y. ecuaţii 2 x + 9 y = 76 Se formează sistemul de ecuaţii:  pe care îl rezolvăm: 5 x + 4 y = 42  8 x + 36 y = 304  2 x + 9 y = 76 ⋅ 4  ⇒ − 45 x − 36 y = −378  ⇒ x = 2 lei (preţul unui creion). 5 x + 4 y = 42 ⋅ ( −9) − 37 x = −74 Introducem valoarea lui x în prima ecuaţie: 2⋅ + y = 2 9 76 ⇒ = 9y 76 − ⇒ = 4 9y 72 ⇒ = y 8 lei (preţul unei cărţi). GEOMETRIE 17

×